автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Экстремальная задача теории квадратур: методы решения и приложения к инженерным задачам

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Линейные и периодические функционалы погрешности

§ 1.1. Пространства УГ™{Еп), Ь™(Еп).

§ 1.2. Общий вид функционала погрешности

§ 1.3. Оптимальный периодический функционал погрешности

§ 1.4. Оптимальный периодический функционал погрешности в пространствах и Ь™

§ 1.5. Общий вид периодического функционала погрешности

ГЛАВА 2. Оценка норм функционалов погрешности и построение квадратурных формул

§ 2.1. Квадратурные формулы с регулярным симметричным пограничным слоем

§ 2.2. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем при четном т.

§ 2.3. Построение формулы с симметричным пограничным слоем при т —

§ 2.4. Квадратурные формулы с переменным шагом.

§ 2.5. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в Ь™.

§ 2.6. Оценка снизу функционала погрешности в Ь™

Теория квадратур рассматривает методы, позволяющие находить ь приближенные значения интегралов f<p(x)dx для широких классов функций (р(х), сводящих вычисление интеграла к вычислению линейной комбинации значений подынтегральной функции.

В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек.

Эта область математики давно уже превратилась из набора отдельных формул для вычисления отдельных интегралов в дисциплину, тесно связанную с другими разделами: функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, математическим моделированием, теорией функций, алгеброй, теорией чисел.

Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличения объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей - научной, технической, организационной и т. д. При больших численных расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла, и если вычисления производятся с помощью квадратурных формул, то оптимизировать и сами формулы.

Квадратурной называется формула вида:

7=1

1) где х1 (7 = 0,1,., га) называются узлами квадратурной формулы, а числа С1 -коэффициентами квадратурной формулы. Требуют, чтобы узлы х1 и коэффициенты С7 не зависели от выбора функции /(я) из рассматриваемого класса функций.

Величина называется остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы.

Целью диссертационной работы является построение различных квадратурных формул , доказательство их асимптотической оптимальности , нахождение асимптотического выражения оценок функционалов погрешности,а также применение построенных формул к инженерным задачам.

Для достижения цели ставятся задачи: вычисление в явном виде экстремальной функции и нормы функционала погрешности; получение в явном виде экстремальной функции периодического функционала погрешности и вычисление константы, входящей в норму оптимального периодического функционала погрешности;

Сама погрешность как разность между неизвестным точным значением интеграла и его приближением является вполне определенной числовой величиной.

Значение погрешности индивидуально для каждой отдельной функции, а потому ее величина может рассматриваться как переменная, заданная на множестве функций. Иными словами, отображение I : X —> Л, ставящее в соответствие каждой функции (р из множества X числовое значение погрешности < /, (р > данной квадратурной формулы, будет представлять собой некоторый функционал. Из того, что функционал < /, (р > линеен ,т.е. аддитивен, однороден и непрерывен, следует, что он является обобщенной функцией над пространством X основных функций. При этом само приближенное значение интеграла представляется в виде функционала ь

1ч>(х)(1х = I £{а1Ь](р(х)(1х = (£(0)Ь),у>), (3)

Ег где £(а ^-характеристическая функция (а, 6).

Квадратурная же сумма, приближающая интеграл, выражается через 5-функцию Дирака

N N . N С1ср(х1) = £С7/ 5(х — х1)(р(х)с1х = £ С7{6(х — аг7), <р) (4)

7=1 7=1 7=1

Функционалом погрешности квадратурной формулы (1) называется обобщенная функция вида N

1(а,Ь)(Х) = £(а,Ь)(Х) ~ С^6(Х ~ Ж7),

7=1

Г м к

Функцию считаем принадлежащей банахову пространству В. Такая функционально-аналитическая постановка была впервые предложена академиком С.Л.Соболевым.

Функционал погрешности является линейным и непрерывным функционалом в Б и норма его определяется формулой

И I (1(а,Ь) э Ф) | а,Ь)\\в* — Slip |j |j- = рфо М\в sup \{l{ajb):(p)\ = d(x7,C7,N) (6)

1М1в=1

Совокупность линейных функционалов с нормой, определенной таким образом,и с естественными операциями сложения и умножения на число образуют сопряженное банахово пространство В*.

Пусть X = {ж7, 7 = 1,2,., TVj-узлы квадратурной формулы, Р = |С7, 7 = 1, 2,., ^-коэффициенты квадратурной формулы, (X, Р)-совокупность узлов и коэффициентов формулы. о

Квадратурная формула (1) с функционалом погрешности ^ (ж) в виде (5) называется оптимальной в пространстве В, если

II /(„,ч || = inf sup Ki&aiM = (7) о ° ini d(z7,C7,iV) =d (x^iCjiN). ix>p)

Отыскание минимума (7) по ж7, С7 называют экстремальной задачей теории квадратур.

Функция <ро(х) G В, если она существует, реализующая минимум выражения (7), называется экстремальной функцией функционала а,6) Мо о о о

Функционал погрешности l(a)fy(x,X,P,N), зависящий от X,P,N о о называется асимптотически оптимальным, если Цаtb)(x, X, Р, N) G В* и для любого функционала 1(а,ъ){х-> Р, N) G -В* выполняется условие aM(x,X,P,N)W в* о 0

Узлы и коэффициенты х1, С1 называются соответственно асимптотически оптимальными.

Действительное число а называется порядком сходимости квадратурной формулы над пространством В при N —> со, если указаны константы С\ > 0 и С2 > 0, не зависящие от ТУ, для которых выполнено соотношение

СхЛГ^ < й < С2ТУ-^

Пусть формула N Е сМхр)

3=1 имеет порядок сходимости его- Если для любой Ьмср с порядком сходимости а выполняется условие сто > а, то формула (р называется асимптотически оптимальной по порядку сходимости над пространством В.

Пусть некоторый функционал 1(х) Е С*(Еп) удовлетворяет условиям:

1. вирр 1{х) С {х : |ж| < Ь},

2. ||/М||с*<Л

3. (1(х),ха) = 0 при а = 0,1,. ,гп.

Множество всех таких функционалов обозначим Л(Х, А, т) . Построим решетку Г = {/г/3, ¡3 £ покрывающую все пространство Е\.Эт& решетка частично попадает внутрь интервала (а,Ь), а частично лежит вне его.

Обозначим: Г£} = {а + ЬН,Ъ-Щ, (-оо, а-Щи(Ь + ЬК, оо), \ и г[2).

Все три множества не имеют общих точек. г = г[1)иг!2)иг13)

Множество значений индекса /3, соответствующих обозначим 5|3).

Функционал 1(х) вида

М^М)" £ ПР5(~~{3) (9) называется функционалом погрешности с регулярным пограничным слоем порядка т, толщины 2Ь, с оценкой А, если он допускает представление

К*)= £ Е (Ю) где

Соответствующая квадратурная формула называется квадратурной формулой с регулярным пограничным слоем порядка т,толщины 2Ь, с оценкой А.

Определение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем дал С.Л.Соболев [46].

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве Ь™.

С.Л.Соболевым показано, что в формуле с регулярным пограничным слоем во всех точках И/З,удаленных от границы более, чем на 2Ыг все коэффициенты Ир равны единице. С этой точки зрения будем называть пограничным слоем функционала 1{х) множество тех точек /г/3, где коэффициенты Вр отличны от единицы, или которые лежат вне (а, Ь).

Пограничный слой может быть внутренним, если все его точки лежат в (а,Ъ), внешним, если они лежат вне (а, Ь) и двусторонним, если среди точек есть как те, так и другие.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М.Никольский [25], В.И.Крылов [22], Н.П.Корнейчук [18], Н.С Бахвалов [4], И.М. Соболь [52] и другие.

Ими были получены оптимальные квадратурные формулы в пространстве Ь™(а, Ъ) ив родственных к ним пространствах при небольших значениях т. В этих работах варьируются одновременно узлы и коэффициенты квадратурных формул.

В [4, 18, 25, 52] для построения оптимальной квадратурной формулы явно вычислялись нормы функционала погрешности в Ь™(а,Ь) и затем эти нормы минимизировались по х1 и С1.

У В.И.Крылова в известной книге [22] осуществляется подход к оценке остаточного члена квадратуры периодической функции с минимизацией остатка.

Вообще в многообразии подходов к проблемам численного интегрирования набор задач оптимизации довольно обширен.

С.Л.Соболев в работах 60—70г.г., результаты которых обобщены в монографии [46], предложил теоретико-функциональный метод оценки функционала погрешности и рассмотрел задачу минимизации нормы функционала порешности с фиксированными узлами (минимум по коэффициентам) в пространстве Ь

В русле соболевской школы оптимальные формулы исследовали Ц.Б.Шойнжуров [54]—[60], М.Д.Рамазанов [38]—[45], В.И.Поло-винкин [29]—[36], М.В.Носков [27],[28], В.Л.Васкевич [10],[11], [50] и другие.

В настоящей диссертационной работе реализуется соболевский подход к проблеме построения оценок погрешности. В условиях банаховых пространств погрешность квадратурной формулы оценивается с помощью неравенства

И1М1> 1ев*, (11) где ||/|| и ||<£>|| — нормы функционала I и функции ср соответственно в сопряженном и основном пространствах.

Если значение нормы конкретной подынтегральной функции можно вычислить или оценить, то основная проблема заключается в нахождении нормы функционала погрешности. С.Л.Соболев [46] предложил находить норму ||/|| через экстремальную функцию сро данного функционала, т.е. через такую функцию, значение функционала на которой {1,<ро) равно значению его нормы ||/||, при условии, что

1Ы1 = 1.

В связи с вышесказанным приведем некоторые определения и утверждения функционального анализа [24], [46], [53].

Пусть В — произвольное банахово пространство. Поскольку по определению банаховым называется полное линейное нормированное пространство, то утверждения, приведенные для линейных нормированных пространств будут справедливы и для банаховых.

Норма функционала I определяется равенством (6).

Определение. Экстремальной функцией данного функционала I называется функция <ро Е В, для которой выполняется равенство

Определение. Банахово пространство В называется рефлексивным, если для любого функционала I £ В** существует такой элемент <Р1, что для любого функционала / £ В*.

Теорема Джеймса . Для того чтобы пространство В было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякий непрерывный линейный функционал (/,95), определенный в В, достигал зиргетшп'а на единичной сфере пространства В, т.е. чтобы существовал элемент (pf такой, что

В данной работе в качестве пространства В выступают пространства Ь™(Е\) и ¿"(0,1) с нормами

Ш = И1М1 /> = </, VI)

М| = 1 и </,^> = 11/11 1<р< оо и 1 о

Эти пространства являются рефлексивными [24]. Более подробно, пространства, в которых проводится исследование , определены в §1.1.

Таким образом возникает вариационная задача для функционала погрешности в Ь™.

Задача Найти функцию <ро 6 удовлетворяющую условиям г (го)* р, <Ро)

О Ы») 1

12)

Для решения такой задачи обычно составляется вспомогательная функция т = L ,

13) где (ро — экстремальная функция функционала ср — произвольная функция из Ь™.

Функция ^(А) непрерывна по Л, определена в окрестности нуля и достигает максимума при Л = 0, так как в силу рефлексивности Ь функционал р достигает верхней грани (6) на функциях вида m Р

1МГ т.е. maxF(A) = F( 0). Л

В настоящей работе при решении вариационной задачи получено квазилинейное уравнение d dx l4mV)rWi>m)M] = (-1 )>(*), (14)

Решением уравнения (14) является экстремальная функция, которая выражается в явном виде при помощи свертки ф0(х) = e£>(*) * * Л') * /ФОУ (15) где £2т(ж)-фувдаментальное решение уравнения т(х) = 8{х).

Оно имеет вид 2(2ш — 1)!'

Отсюда \ хт~1

4тМ = "

2(т — 1)!'

Тогда функционал погрешности имеет представление р,<р) = 1е№(х)*р(х)(-1)т^(х)с1х, Ч<реЬ™ (16) и его норма равна оо г 00

Этот результат (получение в явном виде норм функционала погрешности и экстремальной функции) явился опорной точкой для исследований, изложенных в настоящей диссертации.

Особую роль при построении оценок норм функционалов погрешности отводят элементарному периодическому функционалу погрешности чЭ = 1-фчЭ' (И) где /¿-шаг решетки.

Выписав в явном виде экстремальную функцию периодического функционала погрешности, мы смогли получить нижнюю оценку нормы произвольного функционала погрешности.

С одной стороны произвольный периодический функционал погрешности по основному периоду является средневзвешенным нескольких элементарных функционалов д (|) - Л Е - **) = Е с* (1 - Фо (|)) , (19)

А — фундаментальный полуинтервал.

С другой стороны сумма (бесконечная) произвольных локальных функционалов погрешности (непериодических) представляет собой элементарный периодический функционал

7 / 7

--К

20) здесь (3 пробегает конечное множество.

Любой функционал с регулярным пограничным слоем 1(а,ъ){х) на некотором интервале (а, Ъ) может быть представлен в виде разности периодического функционала I и функционала с регулярным пограничным слоем по дополнению Е\\ (а, Ь) * - (21)

Такое представление выводится из определения функционала с регулярным пограничным слоем, который выражается через сумму локальных функционалов по фундаментальным полуинтервалам решетки, расположенным внутри интервала и по интервалам пограничного слоя.

На основании представления (21) в нашей работе строятся оценки сверху норм функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем.

В оценке нормы функционала погрешности

11% < ^тЗт + 0(Ит+1) для формул с регулярным симметричным пограничным слоем мы оценили 0(/гт+1) , где

0(/гт+1) < Нт+В^Стр,

Е1Г тт-1 ™ Ч (т — 1)т / т

Стр = га р

Ранее константа Стр не была выделена в явном виде. Решение задачи о минимальной норме периодического функционала погрешности в настоящей работе приводит к уравнению вида 1

11Вт{х)+ С \^здп{Вгп(х)+ С)йх = 0. (22) о где 5т(ж)-полином Бернулли.

Специальным исследованием таких уравнений занимался В.И.Поо ловинкин. В его работе [35] устанавливается, что значение С при четных т зависят от показателя степени у модуля под знаком интеграла. В работах [32] он вводит понятие сопутствующего функционала и сопутствующего числа [33]. Это число для формул с регулярным пограничным слоем равно 0.

В данном исследовании ф(х) = ^Вт{х), где Вт(х)-полином Бернулли.

Т.е. уравнение (22) принимает вид 1

I \Вт{х)+ С \^8дп(Вт(х)+ С)(1х = 0. (23) о о

Из этого уравнения в работе получено сопутствующее число С в явном виде при любых значениях тжр,в том числе и для предельных случаев р = 1 и р = оо.

У В. И. Половинкина уравнения вида (22) возникают в связи с другой задачей, а именно об асимптотической оптимальности последовательности квадратурных формул с пограничным слоем.

В частности, в [31] им доказано, что при нечетном т формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в

Вывод В.И.Половинкина, показавшего, что формулы с регулярным пограничным слоем могут не быть асимптотически оптимальными над пространством Ь™(0,) при четном т привел к необходимости расширить сам класс рассматриваемых формул, не ограничиваясь только формулами с регулярным пограничным слоем.

Ц.Б.Шойнжуровым был построен функционал с пограничным слоем в п-мерном случае [59], который представляется в виде разности функционала с регулярным пограничным слоем и чисто точечного функционала (т.е. функционала с точечными носителями).

Благодаря вычислению сопутствующего числа, о котором говорилось выше,и использованию представления функционала с пограничным слоем, полученного Ц.Б.Шойнжуровым, в данной работе построен в явном виде новый асимптотически оптимальный функционал с симметричным пограничным слоем при четном т.

Он имеет представление: ад М = Е код)(г - Р) ~ Е - Мт + Р)) /?=0 п 7=0

Nх т

ЛГ— 1г X 171 т Е £(0,1)(т - Р) - Е - /1(7 + Д) - Е - % + 0))

3=0 1 п 7=0 7=0 Р(од)М-Р(од)(*), (24) где

9(од)(ж)"ФУНКЦИОнал погрешности с регулярным пограничным слоем с коэффициентами С7,

Р{о,1)(хУ чисто точечный функционал с коэффициентами е1.

Системы уравнении для определения С7 и £7 записываются следующим образом пг ^ —г?' = о, 1,. .,т.

7=о а +1

Ш то

Е = 0, а = 0,1,.,т-1,£ гт7т =С •

7=0 7=0 о где С - сопутствующее число.

Коэффициенты £>7, 7 = 0,1,., ш, функционала /(од)(^) определяются из равенств:

1)7 = С7 + е7, 7 = 0,1,., ш,

По вопросу исследования асимптотической оптимальности формул с пограничным слоем назовем также работы М.Д.Рамазанова [39], [40], [43], [44].

Изложим кратко содержание работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, одинадцати параграфов , списка литературы и приложения. Формулы отмечены тройной

1. Артюнин А.И., Алхунсаев Г.Г., Серебренников К.В. Экспериментальные исследования роторной системы с гибким валом и маятниковыми балансирами. // Сборник научных трудов: технические науки. — Улан-Удэ, 1997. — Вып.4. —С.31-37.

2. Артюнин А.И. и др. Об особенностях движения роторов с маятниковыми балансирами. //Проблемы механики современных машин ¡материалы международной конференции. —Улан-Удэ, 2000.—т.З— С. 14-19.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы.—М.:Наука,1973.—631с.

4. Блинов Н.И. О численном интегрировании функций с особенностями // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики: Материалы совещ. — Новосибирск, 1978. — С. 8—11.

5. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ :ВСГТУ, 1999. — Вып. 4. — С.70 —74.

6. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы в пространствах L™(A) и ¿™(Д)//Сб.научных трудов:Физико-математические науки. — Улан-Удэ:ВСГТУ,2000.—Вып.5.—С. 118-125.

7. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем //Математика в восточных регионах Сибири:ма-териалы международной конференции.—Улан-Удэ:БГУ,2000.— С.110—112.

8. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем//Abstracts of the International Conference of Mathematics.— Ulaanbaatar, 2001.—C.14

9. Васкевич В.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис.канд. физ.-мат. наук (01.01.01) /Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск, 1982 — 108 с.

10. Васкевич B.JI. Об одной задаче теории квадратурных формул.— Новосибирск,1982.—50с. (Препринт/ИМ СО АН СССР; №3).

11. Войтишек J1.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1969. — Т.9, №2. — С. 417—419.

12. Войтишек JI.В. О выборе решеток для интегрирования по формулам С.Л.Соболева // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т.17, №4. С. 774—781.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976. — 280 с.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — 5-е изд., доп. — М.: Наука, 1988. — 512 с.

15. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1975. — 327 с.

16. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.:Наука,1981.—431с.

17. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур// С.М.Никольский.Квадратурные формулы. —М.:Наука,1988.—с.127—253

18. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных статей: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С. 150—152.

19. Корытов И.В. Повышение точности квадратурных формул с регулярным пограничным слоем для индивидуальных функций // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96: Тез. докл.— Новосибирск, 1996. — 4.1. — С.75.

20. Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатур-ных формул в функциональных пространствах Соболева: Дис.канд.физ.-мат.наук(01.01.07)—Улан-Удэ, 1997—88с.

21. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1967. — 500 с.

22. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы.— М.: Наука, 1981.

23. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. — 456 с.

24. Никольский С.М. Квадратурные формулы. — 4-е изд., доп. с добавлением Н.П.Корнейчука. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

25. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — т. 2. — 544 с.

26. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул/Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С 114-116.

27. Носков М.В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным// Тр.семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР,1982.№1. С.83-102.

28. Половинкин В.И. Кубатурные формулы в ¿^(П) // Докл. АН СССР. — 1970. — Т.190, №1. — С. 42—44.

29. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. — 1972. — Т.13, №4. — С. 951—954.

30. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. — 1974. — Т.15, №2. — С. 413— 429.

31. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн. — 1975. — Т. 16, №2. — С. 328—335.

32. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук (01.01.01) / ЛГУ. — Л., 1979 — 18 с.

33. Половинкин В.И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул // Кубатурные формулы и их приложения: Сб. ст. семинара-совещ. / Отв. ред. М. В. Носков. — Красноярск, 1994. — С.79—89.

34. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из L™*(Q) // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т.36, №1. — С. 156—158.

35. Пономаренко A.K. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д.Рамазанов. — Уфа, 1996. — С. 70—76.

36. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств / / Сиб. мат. журн. — 1972. — Т.13, №2. — С. 481—484.

37. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. — Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

38. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. — 1974. — Т.216, №1. — С. 44—45.

39. Рамазанов М.Д. Оптимизация расположения узлов решетчатых кубатурных формул //Докл. РАН. — 1995. — Т. 343, №4. — С. 456—457.

40. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. — Уфа, 1996. -— С. 77—89.

41. Рамазанов М.Д. К Lp-теории соболевских формул // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И.Половинкин. — Красноярск, 1996. — С. 39—52.

42. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых ку-батурных формул //Докл. АН СССР. 1992. Т.324, №5. С. 933— 937.

43. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.

44. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А.Олейник. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

45. Соболев C.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. — М.: Наука, 1989. — 254 с.

46. Соболев C.JI. Уравнения математической физики / Под ред. А.М.Ильина. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1992. — 432 с.

47. Соболев C.JI., Васкевич B.JI. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.

48. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973. — 311 с.

49. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. — М.: Наука, 1969. — 288 с.

50. Функциональный анализ /Под ред. С.Г.Крейна. — М.: Наука, 1964. — 424 с.

51. Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатур-ной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дисканд. физ.-мат. наук (01.01.07)/ Ин-т математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1967 — 83 с.

52. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в // Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. — Новосибирск, 1972. — С. 256—255.

53. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дисдокт. физ.-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб.технол. ин-т. — Улан-Удэ, 1977 — 235 с.

54. Шойнжуров Ц.Б. Об оптимальном расположении узлов квадратурной формулы. // Сб.мат.анализ и его применения,— Новосибирск, 1978. — С. 256—265.

55. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. — Новосибирск, 1979. — 28 с. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №55)

56. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве Иг(т\Еп) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д.Рамазанов. — Уфа, 1996. — С. 123—127.

57. Шойнжуров Ц.Б., Васильева Е.Г. Интегрирование обобщенных периодических функций //Сб.научных трудов: Физико-математические науки—Улан-Удэ: В СГТУ ,1999. — вып.З.—С.31-37

58. Шойнжуров Ц.Б., Васильева Е.Г. Кубатурные формулы с симметричным пограничным слоем //Вестник Восточно—Сибирского государственного технологического университета—Улан-Удэ,2001. —№3.—С.29-32

59. Шойнжуров Ц.Б., Корытов И.В. Вариационная задача для линейного функционала в пространстве Соболева // Тезисы докладов XXXI научной конференции ВСТИ. — Улан-Удэ, 1992. — С. 6.

60. Шойнжуров Ц.Б., Корытов И.В. Квадратурные формулы Соболева с регулярным пограничным слоем / Вост.-Сиб. технол. ин-т. — Улан-Удэ, 1994. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 27.06.94, №1594-В94, деп.