автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы расчета и моделирование дискретных стохастических систем с парными взаимодействиями

На правах рукописи

ЛАНГ'Е Андрей Михайлович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы И комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ ОЗОбЬЬ

Москва - 2007

003065675

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Калйнкин А.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Морозов А.Н.

кандидат физико-математических наук Чаплыгин В.В.

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.. Стеклода РАН

Защита диссертации состоится -/■/ час. на заседании диссертационного совета

2007 г.

в "7 Т час, на заседании диссертационного совета 'Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005 Москва; 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «_

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

И.К. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Одним из направлений математического моделирования является исследование дискретных систем со стохастическим характером эволюции определяемым случайными взаимодействиями элементов системы между собой и с окружающей средой Такие стохастические системы, различные по природе происхождению и масштабам составляющих элементов, характеризуются общностью математических моделей основанных на аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов Вероятностные модели используются для изучения таких физических явлений, как процессы с превращениями и взаимодействиями молекул в физической и химической кинетике, флуктуации числа частиц в космических лучах, процессы развития популяций в биологии и распространения эпидемий в медицине, потоки поступления и обслуживания заявок в теории массового обслуживания, отказы элементов в теории надежности технических систем и др

Первоначально системы с взаимодействием исследовались при детерминистском подходе, предполагающем предопределенность поведения макроскопических характеристик системы (давление, объем, концентрация реагентов и т д ) начальными данными Вероятностные модели систем с взаимодействием развивались при микроскопическом подходе вызванным необходимостью адекватного описания случайных флуктуаций числа частиц в системе В литературе по математическому моделированию таких систем понятие «частица» понимается в широком смысле и может означать молекулу химического реагента особь или индивидуум биологической популяции элемент системы массового обслуживания и т п

В диссертационной работе рассматриваются стохастические модели систем с взаимодействиями в виде марковских процессов с дискретным множеством состояний Л/"™, N = {0,1 2, }, и непрерывным временем £, I € [0, ос) Такие марковские процессы задаются плотностями переходных вероятностей и начальным распределением Состояние марковского процесса а — (аг , ап) 6 Мп означает наличие в системе совокупности частиц 5а — ахТг + + апТп, состоящей из аг частиц типа 1\, а„ частиц типа Тп Переход случайного процесса в другое состояние — результат взаимодействия одного из комплексов частиц 5ег, г = 1, , I Продукт взаимодействия комплекса частиц не зависит от других частиц в системе е1 а1 € Ып задают схему взаимодействий (кинетическую схему) Такие дискретные марковские модели вводились при описании и исследовании кинетики ядерных и биохимических реакций динамики взаимодействующих популяций в системах с ограниченными ресурсами процессов борьбы за существование и в других прило-

жениях Основополагающий вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые М А Леонтович НН Боголюбов, А Н Колмогоров, Б А Севастьянов 2', Р Л Добрушин, а также зарубежные ученые Т Е Харрис, И Пригожин Н Г Ван Кампен 4), Ф Поллет, Г Волян и др

Точные аналитические методы исследования марковских моделей с взаимодействием на •/Vй основаны на рассмотрении первого и второго уравнений Колмогорова — уравнений в частных производных для производящих функций переходных вероятностей Однако число стохастических моделей, поддающихся точному анализу, невелико К исследуемым в диссертации моделям с парными взаимодействиями частиц, при определенных условиях, накладываемых на параметры модели, применимы аналитические методы Получение явных выражений для производящих функций дает возможность вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных распределений

Альтернативой являются численные методы Монте-Карло, позволяющие моделировать дискретные системы с произвольными кинетическими схемами, но часто требующие больших вычислительных затрат для обеспечения приемлемой точности расчетов Применение методов статистического моделирования позволяет выявить закономерности для марковских систем более общего вида, исследование которых аналитическими методами затруднительно

Цель работы — получение асимптотических оценок и исследование характера предельных распределений в дискретных моделях с парными взаимодействиями исследование стационарного распределения в открытой системе с внешним источником частиц, исследование финального распределения в системе с выходом конечного продукта

^ Леонтович М А Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1935 — Т 5, № 3 — С 211-230

2) Севастьянов Б А Ветвящиеся процессы — М Наука, 1971 —436 с.

3^Николис Г , Пригожин И Самоорганизация в неравновесных системах — М Мир, 1979 — 512 с

Ван Кампен Н Г Стохастические процессы в физике и химии — М Высшая школа, 1990 — 376 с

5)Пичу гин Б Ю , Перцев Н В Статистическое моделирование популяций взаимодействующих частиц с произвольным распределением времени жизни // Матем структуры и моделирование — 2001 — Вып 7 -С 67-78

Основные результаты выносимые на защиту

1 Точные решения стационарного второго уравнения в модели открытой системы с внешним источником и парными взаимодействиями частиц одного типа асимптотические оценки для математического ожидания, дисперсии и предельные теоремы об асимптотической нормальности стационарного распределения при большой интенсивности поступления новых частиц

2 Интегральные представления решения стационарного первого уравнения в модели с парными взаимодействиями и образованием финального продукта, асимптотические оценки для математического ожидания, дисперсии и предельная теорема об асимптотической нормальности финального распределения при большом начальном числе частиц нефинального типа

3 Описание алгоритма численного моделирования дискретных марковских систем с взаимодействием, представляемых кинетическими схемами общего вида, и результаты вычислительных экспериментов для моделей открытых систем и моделей систем с частицами финального типа

Научная новизна Исследуемые вероятностные модели являются более общими, чем часто рассматриваемые в приложениях марковские процессы рождения и гибели

Установленный факт асимптотической нормальности стационарного распределения является новым для марковских моделей открытых систем с парными взаимодействиями

Модель системы с парными взаимодействиями и образованием финального продукта рассмотрена при наличии превращений отдельных частиц нефинального типа

Алгоритм статистического моделирования дискретных марковских систем с взаимодействием сформулирован в терминах общей кинетической схемы при произвольном распределении числа новых частиц для каждого комплекса взаимодействия

Методы исследования Использовались методы теории вероятностей, теории марковских процессов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотические методы анализа специальные функции Применялись численные методы моделирования марковских процессов, основанные на методе статистических испытаний Монте-Карло Использовались средства программирования на ЭВМ (системы Ма(;1аЬ, С+-)

Теоретическая и практическая ценность Установленные асимптотические свойства стационарных и финальных распределений являются фундаментальной основой для методов расчета дискретных марковских

систем Полученные предельные теоремы дают в частности теоретическое обоснование для используемых в прикладных работах предположений о нормальности отклонений экспериментальных данных от средних значений Примеры реальных физических, химических экологических и технических систем с конкретными кинетическими схемами даны в диссертации

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 4 глав, разделенных на пункты, выводов и списка литературы из 65 наименований Текст изложен на 126 страницах и включает 28 рисунков

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 6 тезисов докладов

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им НЭ Баумана (Москва 1-2 декабря 2004 г), Третьей (Москва 24-26 января 2005 г), Четвертой (Москва, 29-31 января 2007 г) Всероссийских конференциях «Необратимые процессы в природе и технике» Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург 3-7 мая 2005 г) Двенадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 1-7 октября 2005 г)

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах в МГТУ им Н Э Баумана в Институте космических исследований РАН и в Математическом институте им В А Стеклова РАН

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определены научная новизна и практическая ценность Кратко изложено содержание работы

В первой главе приведены необходимые сведения о математическом аппарате теории марковских процессов Дано описание общей модели системы взаимодействующих частиц, включающее схему взаимодействий и основные уравнения модели — первое и второе V равнения Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей

В 1 1 дан обзор используемых далее результатов теории марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Пусть £(£) = (£1(0, , £п00). 4 € [0 ос). — однородный во времени марковский процесс на множестве состояний Л"" — {а = (аьа2, аи). аг = 0,1 2, , г = 1, ,/?} Обозначим переходные вероятности -Раз(г) = Р{€(*) = 3|£(0) = а} а 3 е ЛГП Марковский процесс задается плотностями переходных вероятностей ааз =

Выполнены обычные для таких процессов условия, при которых переходные вероятности удовлетворяют первой (обратной) системе дифференциальных уравнений Колмогорова

ЩМ = аеЛГ" (1)

7

(здесь и далее суммирование обозначается ) и второй (пря-

мой) системе дифференциальных уравнений Колмогорова

= беЛ'" (2)

начальные условия Раа(0) = 1, Раз{0) = 0 при а ф 3

В 1 2 даны сведения о многомерных производящих функциях для дискретных вероятностных распределений и их свойствах

В 1 3 дано описание модели системы с взаимодействиями частиц типов /х , Тп Состояние системы характеризуется вектором а = (а.1 ап) и означает наличие совокупности б1« из ах частиц типа Т\ а.2 частиц типа Т2, ап частиц типа Тп = агТх + + +апТп Возможные переходы системы из одного состояния в другое представляются схемой взаимодействий (кинетической схемой

'е\Т1+е1Т2+ +72^2+ +

< е\Тг + ек2Т2 + + екпТп 7^ + о|Г2 + + 7*Т„ (3)

е\Тг + е12Т2 + + е1пТп - 7}^ + 7^2 + + 7

в которой комплексы частиц , к = 1 , / фиксированы, а векторам = (71 7|, ,-)п) соответствуют распределения вероятностей {Р^ ^ 0 Р7 ~ = 0} А: = 1, I Стохастическая модель такой системы строится в виде марковского процесса £(£), Ь £ [0, ос), на множестве состояний Ып Событие {{(¿) — а} означает наличие в системе в момент времени Ь совокупности частиц Через случайное случайное время тк может произойти взаимодействие комплекса частиц В этот момент из ах частиц типа Т\ выбирается частиц, из <22 частиц типа Т2 выбирается е2 частиц из ап частиц типа Тп выбирается частиц, и этот комплекс частиц Бек с распределением вероятностей {р7} заменяется совокупностью 57 новых частиц Система из состояния

Эмануэль Н М , Кнорре Д Г Курс химической кинетики — М Высшая школа, 1974 — 400 с

S0 соответствующего вектору а. переходит в состояние соот-

ветствующее вектору а — ек +7, и далее аналогичная эволюция системы частиц

Вероятность взаимодействия комплекса частиц Sek за время Ai,

ек i

Ai —> 0 пропорциональна числу Со' сочетаний ef частиц типа Ti из

ек

имеющихся ai частиц типа 1\ , пропорциональна числу сочетаний частиц типа Тп из имеющихся ап частиц типа Тп и равна Ч>%Ы + o(At), где tpka = А* ПГ=х «.(а. ~ 1) К - + 1) = О если при некотором г имеет место неравенство аг < А¡- — коэффициент интенсивности взаимодействия комплекса Sek Плотности переходных вероятностей марковского процесса £(£) полагают равными

Оаа = - ELi VS, ^ EL 1 афв a 3eNn

Время имеет экспоненциальное распределение P{r¿ < í} = 1 — e-v>„* g состоянии ¿"q система находится случайное время т0, до тех пор пока не произойдет какое-либо из I взаимодействий, т е та = mm(r¿, , r¿) Поскольку предполагается, что случайные величины t¿, ,независимы, то Р{та < í} = 1 — а вероятность,

что произошло взаимодействие комплекса частиц Sek, при условии, что взаимодействие имело место равна / (Va + + •fia)

Далее для вектора s = (si, ,sn) применяется сокращенная запись sa = б"1 а1 = ах' а„' Неравенство |¿| ^ 1 означает что |s,| < 1 г = 1, ,п Запись da/dsa обозначает частную производную dai~ "LOn/(3s"1 Для вектора а: = (z 1, приняты аналогичные обозначения

Для свертки первой системы уравнений (1) используется экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей Gs(t,z) = Paa{í)za/> <3 £ А™, и линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами hk(d/dz) = Е7 p^d'^/dz'1 к = 1, ,1

Теорема 11 Экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей Gg{i z) при любом 3 £ Nn удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных

Для свертки второй системы (2) используются производящие функции Fn(t s) = Y:s P*3(t)s'\ а € .Vя. ftfc(í) = E-> P^", * = 1 i

Калинкин А В Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием ,'/ Усп матем наук — 2002 — Т 57, № 2 — С 23-84

Теорема 12 Производящая функция переходных вероятностей Faites) при любом a G Nn удовлетворяет при |s| ^ 1 линейному дифференциальному уравнению в частных производных

dFa(t s) . f, , , ,k\ dekFa(t s) „ . „ ...

-a^-l = (M*) ~ * ) = (°)

/с=i

Во второй главе рассмотрена марковская модель системы с внешним источником и парными взаимодействиями частиц одного типа Найдены явные решения стационарного второго уравнения Исследованы асимптотические свойства стационарного распределения

В 2 1 определена модель со схемой взаимодействий

О к0Т, 2Т -> каТ (6)

Состояниями марковского процесса £(t) t G [0 оо), являются {0 1,2, } Второе уравнение (5) для производящей функции переходных вероятностей Fj(t s) = Y^Lo (t)s3 >г e N, принимает вид

gMlfl = x2(h2(b) - ь2)92^2,3) +\0(h0(*) - l)F,(f 6), S) =

(7)

Поведение процесса £(t) при t —» 00 характеризуется стационарными вероятностями <?j = limt_oo fy (t) (не зависят от начального состояния г) Вводим производящую функцию /(s) — <?js-7, H ^ 1 Из уравнения (7) следует стационарное уравнение

А2(М>) - + Ао(ЛоЫ - 1 )/(*) = 0, /(1) = 1 (8)

В 2 2 модель со схемой (6) исследована при ко = 1,2, к2 — 0,1 (см рис 1) В этом случае ho(s) — pis+p2s2, h2{s) = Pq + pfs

Для модели со схемой 0 —+ Г, 2Г —» к2Т к2 = 0,1 (р% — 0), уравнение (8) сводится к модифицированному уравнению Бесселя Производящая функция стационарного распределения имеет вид

f(t) .. f S+Po) I^2l/\/s + Po) (Q)

m~ \l+P2o) h(2vJTT?0y V Л2 ' W

где h(z) — модифицированная функция Бесселя Из (9) следует явное выражение для стационарных вероятностей (pç >0)

л П%~Н>му h-^yffî) ,_П1

Случай ро = 1 соответствует химической реакции А -*Т, 2Т В при постоянстве концентраций веществ .4 и Б 4'

Рис 1 Переходы между состояниями марковского процесса £(i) и их интенсивности

На основе (9) полечены выражения для математического ожидания ти и дисперсии <т2 стационарного распределения {q3 j — 0 1, }

У т в е р ж д е н и е 2 1 Пусть ho(s) — s, Лг(з) = Ро +PiS Обозначим а = у 1 + Ро При v —► ос справедливы асимптотики

v 2 v Л 1 \

Для модели со схемой 0 —> коТ, 2Г —> к^Т, к0 = 1,2, fe = 0,1, при р% > 0, Р2Р0 < 1 уравнение (8) сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению Обозначим а = (1 — Р2Ро)/(2рг); 6 = 1+ Pq, v = л/ЛоРг/^2 Производящая функция стационарного распределения имеет вид

fM = Р^1-«) Ф(1+ ДУ, 2, 2У(*+/>§))

Л; U Ф(1+ ^,2,2^(1+ р2))'

где Ф(а, 6 г) — вырожденная гипергеометрическая функция

Утверждение 22 Пусть ho(s) — p°s + p°s2 h2(s) = р% 4- pf s и > 0, p^o < 1 При г/ —► ос справедливы асимптотики

m, ~ ^V^T' Ч1 " ¿(¿По) Г + Т

Введем параметры критичности au = ^k(h'k{ 1) — fc), fc = 0 2 Марковскому процессу ^ (i) со схемой (6) соответствует детерминированное приближение x(t) определяемое дифференциальным уравнением х' — a2a;2-i-ao, с начальным условием .т(0) = ¡со В случае <2.2 < 0 система стремится к положению равновесия lim^-c x{t) = ха где ха = \/—ао/а,2 При h0(s) = p^s + h^is) = Pq + p\s установлено что mv ~ ха, v —» -ос, и исследовано поведение разности гп„ — при v —> ос

Теорема 2 1 Пусть Ло(ь) = + pSji2, ^2(s) = р2 + р\ь Обозначим r/u, v = yOvo/A2 случайную величину с распределением вероятностей {q3,D = 0,1 } m„ — Mrjv al — D-qv При фиксированном

X е ( — ос, оо)

"-♦<» I j ^27Г У

—со

Доказательство теоремы проводится методом характеристических функций Для нахождения асимптотик специальных функций используется метод перевала

В 2 3 найдены нестационарные математическое ожидание и дисперсия для дискретной модели со схемой взаимодействий 0 —> коТ Г —> к\Г, 2Т —> к2Т в критическом случае (а2 = 0), и исследовано их поведение при t —► оо Установлены необходимые условия существования стационарного распределения в моделях указанного вида

В третьей главе рассмотрена марковская модель системы с парными взаимодействиями и выходом финального продукта

В 3 1 дано описание марковского процесса £(£) = (£),«^гС^)) являющегося моделью дискретной системы со схемой взаимодействий

'Л - 7}Тг + 2Л - 71Г1 + 7|Тг (10)

Пусть начальное состояние £(0) = (аъО), сц € N Частицы типа Т2 называются финальными, их число не уменьшается со временем и не влияет на число частиц типа 1\ Обозначим г]а1 случайное число частиц типа Т2 оставшихся после исчезновения (вырождения) частиц типа Т\ Исследуется финальное распределение Р{т?а1 = в2} = /з'г)

Для записи первого уравнения Колмогорова (ср уравнение (4)), используется производящая функция Шд^Ь г и) = ,з2=о '%•)(*) га1иЯг/а^1 3\ € ./V, и дифференциальные операторы К^(д/дг\,и) — ^2=0 Ръуз и^д11 /дг^1, к = 1,2 Теорема 31 Производящая функция переходных вероятностей И^^ г, и) при любом (¡1 € N удовлетворяет при |г<( < 1 дифференциальному уравнению

г, и)

Ж

дг д.

Ш31(1ги), = ^ (11)

Введем производящие функции финальных вероятностей /а1(и) = ££=0«(№3а> ™о(г-и) = Е^о/^С")301/^', М < 1 Для функции №о(г, и) — з2=о 9(о з'г) ■^^^Л*1' имеем стационарное первое урав-

((04-2 а2 + <2)) л2а1(а1 -1)Ро/

ф»ц-1 аг + гг))

((а

(а, -г! пг)"~)

Рис 2 Переходы марковского процесса £(£) = (¿а(0> £г(£)) из состояния (аь аз) и их интенсивности

((а, а )

-1 )р21_

( (<*! о 2-1) }

N. ; У

■( (а, «2) у

7

нение

\2t\h2 ( ~4?>)+Х 1 - 4

адо(з,«) = 0 (12)

¿г2) ' * \ч "'1 ~) йг/ с граничным условием гио(0, и) = 1

В 3 2 модель со схемой взаимодействий (10) исследована при 7}, "/2 = 0,1 2 72,7% — 0 1,2, (см рис 2) Введем производящие функции Ц» = Еу2=о Р^г^3' М < 1. и обозначения р^ = 72,

к = 1,2 В рассматриваемом случае и) = + к\(и)з + Л|(гг)52, ЛгСв.и) — Ь.2(и) + 1г\{и)8 + /г|(и)й2 и уравнение (12) относится к типу уравнений Лапласа Для функций /а1(гг) и гоо(г и) получены различные интегральные представления

Теорема 32 Пусть /ц(в, г;) = И1(и) + к\(и)з + ЬЦ^э2 /12(5, и) = + Ь2(и)Б + к2(и)з2 к р}) > 0, р2 < 1 Обозначим (и)

корни квадратного уравнения /г2 (в, и) — й2 = 0, ^о(1) = 1 Положим ¿(и) = АхЛ^гООроМ - (^1(и))/(А2(1 - Л|(и))), щ(и) = Ах (/и (^ (и), и) -— — ^ = 0 1 Производящая функ-

ция финального распределения при |гг — 11 < г (некотором малом е > 0) равна

(0-г)

/<ц (и)

А{и)

-1 (уо(ц) + - м(и))ъ)°"-

сЬ, (13)

(о-)

1

где интегрирование ведется в комплексной у-плоскости по контуру с началом и концом в точке г> = 1 и положительном обходом вокруг точки

v - о

В 3 3 на основе (13) получено интегральное представление для математического ожидания mQl финального распределения {<?(озд ^

Теорем а 33 В условиях теоремы 3 2 имеет место асимптотическая оценка

mai=<po(l)ai-p'0{l)lnai+0(l) ах ос (14)

Обозначим параметры критичности = X^dh^Si, s2)/dsi\!,1=i^!=i — k\k, а.2 = Xkdhk^i S2)/db2\ai=i s2=i, к = 12 Детерминированной моделью системы с кинетической схемой (10) является нелинейная система уравнений х\ — + afxf х'2 = а\хг + а\х\ с начальными условиями ci(0) = хх2 (0) = t\ Исследование решений системы в случае а\ < 0 показывает, что limt_oo {t) = 0 (вырождение частиц типа Ti), limt^oo = х{ (финальное число частиц типа 1\) имеет место лишь при а\ < 0 С помощью оценки (14) показана справедливость соотношения mai ~ х2 —» оо, при = gj, х® = 0

В 3 4 марковская модель со схемой (10) исследована при j} = 0,1, Ji = 1, 2, 72,72 = 1,2, Получены выражения для математического ожидания mai и дисперсии финального распределения

Утверждение 31 Пусть hi(s,v) = h^ (и) + h\(v)s, h2(s,v) — hi(u)s + /i|(w)s2 и Po > < 1 Справедливы асимптотики

mai ~ Vo(l)ai - ^(l)lna! + ^(1)^(^(1)), < ~ №) + ^o(l) - KW) Vi - ("о (1) + ^o(l)) Ьаъ - oo Здесь ib{z) — d\nT{z)/dz Г(г) — гамма функция

Теорема 34 Пусть выполнены условия утверждения 3 1 и хотя бы одна из функций hi{b,u), Н2(ь и) зависит от v При фиксированном х 6 (—ос, оо)

hm < д = 1 Je-yV2(iy

Л 1-ос [ crai J Л/27Г У

— ос

В четвертой главе проводится численное моделирование марковских систем с взаимодействиями при дискретных состояниях

В 4 1 изложен численный метод Монте-Карло моделирования марковского процесса со схемой взаимодействий (3), задаваемого набором параметров Äi, е1, , Аi el {pi,} Алгоритм моделирования таких

систем реализован в составе комплекса программ

В 4 2 проведено статистическое моделирование открытых систем с частицами одного типа, задаваемых общей схемой

0 — к0Т Т->кгТ 2 Т->к2Т , lT-*hT

боо1-1-■-'->->- всю1---а

О 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 t 0 0 01 4j

Рис 3 Реализации марковского процесса £(i), детерминированной модели x(t) (вверху) и гистограммы стационарного распределения при рЪ = 1/3 р\ = 2/3, pf = 3/4, pi = 1/4, Л0 = 50 Лх = 15, Л2 = 2, £(0) = 10 (вверху) и А0 = 5 105 £(0) = 709 (внизу) число скачков процесса £(t) равно 107 (для гистограмм)

Для указанной модели второе уравнение (5) принимает вид

^ = Ft(0 s) = s1 (15)

о

Обозначим параметры критичности а^ = Aj- (h'k (1 ) — к) Из уравнения (15) в предположении справедливости «предельного термодинамического перехода» ^' следует кинетическое уравнение для числа частиц x(f) в детерминированной модели с' = atxl+ai^ixl~1 + +a\X+aQ, с начальным условием а;(0) = xq

Ввиду сложности построения решения уравнения (15) и соответствующего стационарного уравнения ^k{hk(s) — sfe)/^(s) = 0, /(1) = 1, для исследования свойств стационарного распределения применяется метод численного моделирования марковского процесса Для бимолекулярной реакции

0 ^Т Т к±Т, 2Т->к2Т кi=0,2 = 1,3

имеем h0(s) — ь hi(b) — Pq + plt>2, h2(i) = р\ь + p%s3 Стационарное второе уравнение A2s{p%s - pf)f"{s) + Ai (j^s - pl)f'{s) + A0f{s) = 0

8^McQuame D A Stochastic approach to chemical kinetic // J Appl Prob - 1967 - V 4 - P 413-478

Becker N G Interactions between species some comparisons between deterministic and stochastic models / /' Rocky Mountain J Math — 1973 — V 3 № 1 — P 53-68

О 002 0 004 0 006 О 008 О 01 1 0 О 01 Ч

Рис 4 Реализации марковского процесса £(£) и гистограммы стационарного распределения при Ао = 4,5 105, А1 = 1,95 104, А2 = 2,6 102, А3 = 1, £(0) = 60 (вверху) и А0 = 6,75 105, £(0) = 160 (внизу), число скачков процесса £(£) равно 107 (для гистограмм)

сводится к гипергеометрическому уравнению 10) Случай А]. = 0 — 0 исследован в главе 2 Отметим, что уравнение детерминированной модели х' = Аг(2рз — 1)х2 + Ах(2р\ — 1)х + Ао, ж(0) = хо, в докритическом случае (р| < 1/2) известно как уравнение популяционной динамики с внутривидовой конкуренцией

Численным моделированием получены оценки стационарных вероятностей , 2 € N При увеличении интенсивности внешнего источника частиц (Ао —> ос) гистограмма стационарного распределения приобретает вид кривой нормальной плотности (см рис 3, внизу)

Моделью, иллюстрирующей роль случайных флуктуаций, является химическая реакция

А + 2Т ^ ЗУ, Г ^ В (16)

при постоянстве концентраций веществ А и В Реакции (16) соответствует схема взаимодействий 0 —> Т Т —> О 2Т —* 3Т, 3Т —> 2Т В уравнении третьего порядка (15) имеем ко (в) = э, /11(5) = 1, /12(5) — з3, Лз(й) = ¿2, его решение неизвестно

Уравнение детерминированной модели х' = — А3Х3 + Агж2 — А1 х + Ао,

10)Roehner В , Valent G Solving the birth and death processes with quadratic asymptotically symmetric transition rateb // SIAM J Appl Math. - 1982 — V 42 № 5 — P 1020-1046

и)Базыкин А Д Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М Наука 1985 — 182 с

ъ

р.

400

\

- ми

200

200

100

100

0 100 200 300 400 500

О

Рис 5 Фазовые траектории в стохастической и детерминированной моделях, гистограмма финального распределения при А1 = 249 А2 = 1, ¿а (0) = ах = 500 6г(0) = 0 г? = 500, х% = 0, число реализаций процесса (£].(£), £2(£)) равно 104 (для гистограммы)

г(0) = жо Точки равновесия системы определяются корнями уравнения —А3Ж3 + А2а;2 — А1Х 4- Ао = 0 При наличии трех действительных и различных корней среднему корню соответствует положение неустойчивого равновесия, а двум другим корням — положения устойчивого равновесия При единственном действительном корне имеется одна точка устойчивого равновесия системы

Марковский процесс £(£), соответствующий реакции (16), проводит большую часть времени вблизи точек устойчивого равновесия соответствующей детерминированной модели, переходя от одной точки к другой (бистабильная система 12^) Гистограмма стационарного распределения имеет двухвершинный вид (см рис 4, вверху, положение неустойчивого равновесия обозначено штриховой линией) При увеличении интенсивности внешнего источника (Ао —» оо) гистограмма приближается к кривой нормального закона распределения (см рис 4, внизу)

В 4 3 проведено моделирование систем вида (10) когда решения уравнений (11) и (12) неизвестны Рассмотрена модель со схемой взаимодействий 7\ —> -цГх + 72^2, 71 = 0 2, 72 =0,1 27\ —» Тх при /г-1 (-9 и) — 1/3 4- и/3 + э2и/3. Л.2(5 и) = в Для соответствующей детерминированной модели х'х = — А1-Г1/З - А2Х2, г'2 — 2А1Х1/З, ^х(0) = г° хг(0) = х2, имеем 1ш14^оо Я1ОО = 0 Ьзд—оо х2(Ь) = х2

Путем численного моделирования получены оценки вероятностей финального распределения §[оад - е ^ Гистограмма близка к кривой нормальной плотности (см рис 5) Выборочное среднее близко к значению, даваемому оценкой (14)

Известны марковские модели при дискретных состояниях, когда распределение финального продукта отлично от нормального закона

12^Гардинер К В Стохастические методы в естественных науках — М Наука 1986 — 528 с

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Исследована стохастическая модель системы с внешним источником, задаваемая кинетической схемой 0 —► коТ, 2Т —» ?г2Т, ко = 1, 2,

= 0,1 Найдены явные решения стационарного второго уравнения

Получены выражения для математического ожидания и дисперсии стационарного распределения, исследованы их асимптотические свойства, и показана асимптотическая нормальность стационарного распределения при большой интенсивности внешнего источника частиц

Проведено сравнение исследуемой стохастической модели с соответствующей детерминированной моделью Получена оценка погрешности детерминированного приближения

2 Рассмотрена дискретная модель системы с парными взаимодействиями и образованием финального продукта, задаваемая схемой Т\ —* 7\Тг + 7^2, 2Т\ -> 712Гх + 7|Г2, у}, 7? = 0,1, 2, 72^ 722 - 0,1 2, Найдены представления решения стационарного первого уравнения Колмогорова в виде контурных интегралов

Получена асимптотическая оценка логарифмического вида для математического ожидания финального числа частиц типа Т2 при большом начальном числе частиц типа 1\ установлена его связь с решением соответствующей детерминированной модели

В случае -у} = 0,1, 72 = 1,2, установлена асимптотическая нормальность финального распределения при большом начальном числе нефинальных частиц

3 На основе метода Монте-Карло сформулирован алгоритм численного моделирования на ЭВМ стохастических систем с дискретными состояниями. задаваемых схемами взаимодействий С произвольным числом типов частиц и комплексов взаимодействия Алгоритм реализован в составе программного комплекса

Результаты численного моделирования докритических систем со схемами вида 0 —» кдТ, Т —» к{Г, 2Т —► к^Т, , 1Т —>• /с;!' демонстрируют близость стационарного распределения к нормальному при большой интенсивности поступления новых частиц

Численные эксперименты, проведенные для докритических систем со схемами вида 2\ —> +72 Тг, 2'1\ —> + 72/2, позволяют предположить асимптотическую нормальность распределения финального продукта при большом начальном числе нефинальных частиц

4 Полученные в диссертации результаты об асимптотических свойствах стационарных и финальных распределений а также методы численного моделирования, дают основу для проведения точных и приближенных расчетов дискретных марковских моделей систем с взаимодействием

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Ланге А М Об одном ветвящемся процессе с иммиграцией и взаимодействием частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2001 - Т 8 № 2 - С 783-784

2 Ланге А М Решение стационарного уравнения Колмогорова для обобщенного процесса рождения и гибели квадратичного типа / / Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы Труды научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им Н Э Баумана - М 2005 - С 333-335

3 Ланге А М Статистическое моделирование открытой системы с тройными взаимодействиями частиц // Необратимые процессы в природе и технике Тезисы докладов Третьей Всероссийской конференции

- М , 2005 - С 60-62

4 Ланге А М Статистическое моделирование открытых дискретных систем с взаимодействиями частиц одного типа // Необратимые процессы в природе и технике Труды Третьей Всероссийской конференции

- М , 2005 - Вып 1 - С 56-67

5 Ланге А М О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 2Тц —> + 72Т2, Т1 —* О'х?! + 7гТг // Обозрение прикладной и промышленной математики

- 2005 - Т 12, № 2 — С 417-419

6 Ланге А М Асимптотические свойства финальных вероятностей одного ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики — 2005 — Т 12, № 3 — С 669-770

7 Ланге А М Стационарное распределение в открытой стохастической системе с парным взаимодействием частиц // Вестник МГТУ им Н Э Баумана Естественные науки — 2005 — Вып 1(16) — С 3-22

8 Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействий при дискретных состояниях / А В Калинкин, А М Ланге А В Мастихин А А Шапошников // Вестник МГТУ им Н Э Баумана Естественные науки —2005 — Вып 2(17) - С 53-74

9 Ланге А М О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса с превращениями и парными взаимодействиями // Теория вероятностей и ее применения — 2006 — Т 51, № 4 — С 801-809

10 Ланге А М Распределение количества финального продукта в системе со схемой взаимодействий 1\ 7{Т1 + 7221\ 71Тх + 7|Гг // Необратимые процессы в природе и технике Труды Четвертой Всероссийской конференции — М , 2007 — С 257-259

Подписано к печати 9 06 07" Заказ № 375 Объем 1,0 печ л Тираж 100 экз Типография МГТУ им H Э Баумана 105005, Москва 2-я Бауманская ул, д 5 .263-62-01 .

Введение

Глава 1. Марковские модели дискретных систем с взаимодействием

1.1. Марковские процессы на счетном множестве состояний.

1.1.1. Процессы рождения и гибели.

1.2. Многомерные производящие функции.

1.3. Модель системы с взаимодействиями частиц типов Т\,., Тп. Уравнения Колмогорова.

1.3.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей.

1.3.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей.

Глава 2. Стационарное распределение в открытых системах с парными взаимодействиями

2.1. Открытая система при парных взаимодействиях с частицами одного типа.

2.1.1. Детерминированное приближение для стохастической модели.

2.2. Решение стационарного второго уравнения. Асимптотические свойства стационарного распределения.

2.2.1. Модель со схемой 0 2Т, 2Т 0.

2.2.2. Модель со схемой 0 Т, 2Т к2Т, к2 = 0,

2.2.3. Модель со схемой 0 к0Т,2Т к2Т, к0 = 1,2, к2 = 0,

2.3. Вычисление математического ожидания и дисперсии в модели со схемой 0 —> коТ, Т к{Г, 2Т —> к2Т (критический случай)

Выводы к главе

Глава 3. Распределение финального продукта в системах с превращениями и парными взаимодействиями 3.1. Модель дискретной системы со схемой взаимодействий 72^2) 2Ti —> 7jTi + ч2Т2.

3.1.1. Детерминированное приближение для стохастической, модели.

3.1.2. Задача о финальных вероятностях.

3.1.3. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей

3.2. Решение стационарного первого уравнения методом определенного интеграла при j} = 0,1,2, jf = 0,1,2.

3.3. Вычисление математического ожидания для финального распределения.

3.4. Асимптотическая нормальность финального распределения при

7} =0,1, т? = 1,2.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Статистическое моделирование дискретных систем с взаимодействием

4.1. Моделирование систем с взаимодействиями частиц типов

Ть.,Тп.

4.1.1. Алгоритм построения реализации марковского процесса

4.2. Моделирование открытых систем с частицами одного типа

4.2.1. Анализ детерминированного приближения марковского процесса.

4.2.2. Бимолекулярная реакция 0 —Т, Т к\Т, 2Т —> к{Г} к\ = 0,2, fo = 1,

4.2.3. Бистабильная система.

4.3. Моделирование систем с образованием финального продукта

4.3.1. Докритический процесс.

4.3.2. Надкритический процесс.

4.4. Модель конкуренции со схемой Т\ + Тг Ti, Т2, Т\ 2Т\,

2Т\ —► Ti, Т2 2Т2, 2Гг —> Т2.

Выводы к главе 4.

Результаты и выводы.

1. Актуальность темы. Одним из направлений математического моделирования является исследование дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными взаимодействиями элементов системы между собой и с окружающей средой. Такие стохастические системы, различные по природе, происхождению и масштабам составляющих элементов, характеризуются общностью математических моделей, основанных на аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов. Вероятностные модели используются для изучения таких физических явлений, как процессы с превращениями и взаимодействиями молекул в физической и химической кинетике, флуктуации числа частиц в космических лучах, процессы развития популяций в биологии и распространения эпидемий в медицине, потоки поступления и обслуживания заявок в теории массового обслуживания, отказы элементов в теории надежности технических систем и др.

Первоначально исследования систем со взаимодействиями развивались в рамках детерминистского подхода, когда физический процесс рассматривается как. изменение во времени макроскопических характеристик системы (давление, объем, концентрация реагентов и т. д.), и предполагается, что его поведение предопределено начальными данными [3]. Однако детерминированные модели имеют ограниченное применение. В ряде случаев невозможно предсказать поведение процесса по начальным данным, что связано с наличием в системе невоспроизводимых флуктуаций [6], [49]. Детерминированная модель в этих случаях оказывается неадекватной, так как не учитывает случайного характера наблюдаемых физических явлений.

Вероятностные модели развивались при микроскопическом подходе к физическим процессам. Основной задачей статистического подхода к изучению физико-химических процессов является установление, при предельном переходе к большому числу частиц (молекулы, атомы и т. п.), макроскопических законов поведения количества вещества на основе законов взаимодействия частиц, составляющих систему [1], [9]. В литературе по математическому моделированию систем с взаимодействием понятие «частица» понимается в широком смысле и может означать наименьшую неделимую единицу рассматриваемой системы (молекула химического реагента, особь или индивидуум биологической популяции, элемент технической системы и т. п.).

Часто в основе построения вероятностных моделей лежит предположение о том, что для каждого момента времени будущее поведение системы не зависит от ее предыстории и зависит только от текущего состояния. Это приводит к использованию в качестве моделей марковских случайных процессов. В диссертационной работе рассматриваются стохастические модели систем с взаимодействием в виде марковских процессов с дискретным множеством состояний Nn, N = {0,1,2,.}, и непрерывным временем t, t 6 [0, оо). Такие марковские процессы задаются плотностями переходных вероятностей и начальным распределением. Состояние марковского процесса а = («1,. ,an) G Nn означает наличие в системе совокупности частиц Sa = а{Г\ + . + апТп, состоящей из а\ частиц типа ., ап частиц типа Тп. Переход процесса в другое состояние является результатом взаимодействия одного из комплексов частиц S£i,i = 1Продукт взаимодействия комплекса частиц не зависит от других частиц в системе; е1,., е1 £ Nn задают схему взаимодействий (кинетическую схему [3]). Такие дискретные марковские модели вводились при описании и исследовании кинетики ядерных и биохимических реакций [И], динамики взаимодействующих популяций в системах с ограниченными ресурсами, процессов борьбы за существование и в других приложениях.

Основополагающий вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые М.А. Леонтович, Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, Б.А. Севастьянов, P.JI. Добрушин, а также зарубежные ученые Т.Е. Харрис, А.Т. Баруча-Рид, И. Пригожин, Н.Г. Ван Кампен, Ф. Поллет, Г. Волян и др.

2. Обзор исследований в этой области. Начало работ по построению дискретных стохастических моделей систем взаимодействующих частиц принято связывать с работами А.Н. Колмогорова и М.А. Леонтовича по физической статистике. М.А. Леонтовичем [1] была предложена дискретная марковская модель физико-химической системы с парными столкновениями частиц. Модель такой бимолекулярной химической реакции строилась в виде однородного марковского процесса на множестве N всех 71-мерных векторов с целыми неотрицательными компонентами; в [1] исследовалась ее связь с соответствующим детерминированным описанием кинетики такой реакции — законом действующих масс. В [5] марковские процессы на множестве состояний N2 использовались для описания кинетики цепной реакции рождения нейтронов с учетом ядер тяжелых элементов. В работах [4], [8] стохастические модели с дискретными состояниями применялись для описания неравновесных пространственно-однородных процессов столкновения частиц в многокомпонентном разреженном газе. Подобные марковские процессы рождения и гибели на множестве состояний Nn определялись во многих работах, посвященных различным задачам физической и химической кинетики [4], развитию популяций в экологических системах, теории надежности [17], теории массового обслуживания [22] и другим приложениям.

Б.А. Севастьяновым [30] определены ветвящиеся процессы с взаимодействием — специальный класс марковских процессов на множестве состояний Nn, который обобщает все эти модели. А.В. Калинкиным в работе [36] изложен систематический подход к рассмотрению марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях, в рамках которого модели физических, химических, биологических, а также технических объектов поставлены с единых позиций, основанных на понятиях дискретного фазового пространства и схемы взаимодействий.

При исследовании систем с взаимодействиями рассматривают нестационарные модели, когда рассматривается изменение системы во времени и стационарные модели, когда исследуется предельное поведение системы при t —» оо. Предельное поведение реальных физических, химических, биологических систем взаимодействующих частиц очень разнообразно. Для марковских моделей при дискретных состояниях поведение при t —» оо определяется классификацией состояний соответствующего марковского процесса. Основные случаи — когда случайный процесс попадает в поглощающее состояние (дальнейшие взаимодействия невозможны, и система частиц навсегда остается в таком состоянии), когда процесс уходит на бесконечность и когда процесс приходит к стационарному положению.

Точные аналитические методы исследования дискретных марковских моделей систем с взаимодействием основаны на рассмотрении первой и второй системах дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей. В стационарных моделях для нахождения финальных вероятностей (вероятностей вырождения процесса в поглощающих состояниях) решается стационарная первая, а для нахождения стационарных вероятностей — стационарная вторая системы дифференциальных уравнений.

Используемые в работах [1], [2], [4], [5], [24], [25], [30] точные методы исследования моделей систем с взаимодействием характеризуются записью второй (прямой) системы дифференциальных уравнений Колмогорова в виде линейного уравнения в частных производных для многомерной производящей функции переходных вероятностей. Детально исследованным классом марковских моделей с дискретными состояниями являются ветвящиеся процессы без взаимодействия [26], [28]. Для таких процессов второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей является уравнением в частных производных первого порядка. Обзор современного состояния теории ветвящихся процессов дан в [29].

Марковские модели со вторым уравнением Колмогорова порядка выше первого рассматривались в работах [1], [4], [5], [30] и др. D.A. McQuarrie, C.J. Jachimowcki, М.Е. Russel [48], D.A. McQuarrue [49] для моделей с парными взаимодействиями вида 2Т —*• 0 и 2Т —> Т (Т — частица некоторого типа) получили решение второго уравнения в виде ряда, содержащего многочлены Гегенбауэра. J. Letessier и G. Valent [53], в связи с приложениями в ядерной физике, построили решения второго уравнения в виде рядов Фурье по гипергеометрическим функциям для процессов рождения и гибели квадратичного, кубического и биквадратичного типов. В работе [52] исследован случай сведения второго уравнения к уравнению гипергеометрического типа применительно к химической реакции А + 2Т В + Т,

С -f- IT —► D -j- ST, T E при поддержании постоянства отношения концентраций веществ Л и С.

А.В. Калинкин [36] получил интегральные представления решений второго уравнения Колмогорова для бимолекулярной реакции 2Т —> кТ при частных предположениях о распределении числа потомков пары взаимодействующих частиц. Аналогичное интегральное представление для производящей функции переходных вероятностей получено для модели бимолекулярной реакции 27\ 71X1 + 72Т2, 71 = 0,1, с выходом финального продукта Т2 [34]. В работе [35] приведены замкнутые решения второго уравнения для моделей с двумя комплексами взаимодействия частиц 2Т —> к2Т, Т к{Т в критическом случае (когда среднее число потомков пары взаимодействующих частиц равно двум). Рассмотрены асимптотические свойства таких моделей.

Б. А. Севастьяновым рассмотрена задача о распределении числа финальных частиц типа Т2 в модели с превращениями вида Т\ —> 71 Т\ + 72Т2. Установлено [28], что при большом начальном числе частиц типа Т\ в случаях докритического и надкритического процессов (когда среднее число потомков типа Т\ меньше и, соответственно, больше единицы) финальное распределение асимптотически нормально, а в случае критического процесса отлично от нормального закона. В работе [30] получено уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей — стационарное первое уравнение. В [32] задача о финальных вероятностях исследована для модели со схемой e{Ti —71 Ti+72Т2, £"1 = 2,3,., получено явное решение первого уравнения и установлены предельные теоремы, аналогичные данным в [28]. В работах [33], [36] построены точные решения первого уравнения для моделей систем с парными взаимодействиями и исследованы асимптотические свойства таких моделей. В частности, в работе [33] найдено интегральное представление для вероятностей вырождения в модели со схемой взаимодействий 2Т —> к2Т, Т —> к{Г и исследованы асимптотические свойства вероятности вырождения.

И.С. Бадалбаев и А.В. Дряхлов [37] рассмотрели задачу об асимптотическом поведении вероятности продолжения в модели с парными взаимодействиями 2Т —► кТ при частных предположениях о распределении числа потомков к = 0,1, — Марковская модель с взаимодействием частиц двух типов (процесс на №) связана со случайными блужданиями в четверти плоскости, асимптотические задачи для которых рассматривались В.А. Малышевым [38] и др.

N.G. Becker в работе [50] рассмотрел стохастическую модель взаимодействия двух популяций со схемой вида 7i + !Г2 —» Т2; 0 —> Ti, Т2; Т\ —> О, Т2 —> 0, Т\ —» 2Ti, Г2 2Т2. В работе [51] рассмотрены марковские модели динамики взаимодействующих популяций со схемами Т\ + Т2 —> 2Т\, Т2 —>■ 2Т2 и + Т2 —> Т2, Т2 —► О, Т2 —> 2Т2, а также модели открытых систем со схемами Т\ + Т2 Т2, 0 -> Т2, Тг 2Тг и Тх + Т2 -» Т2, О —> Ti, 0 —> З2, —> 0. Найдены решения нестационарных уравнений Колмогорова, и проведено сравнение полученных решений с решениями соответствующих детерминированных моделей. S.E. Hitchcock [54] для модели «хищник-жертва» со схемой взаимодействий Т\ + Т2 —» 2Ti, Т2 —> О, Т2 —> 2Т2 предложил метод приближенного нахождения вероятности вырождения популяции «хищников» (частиц типа Ti). Изложение результатов теории марковских процессов с непрерывным временем с точки зрения прикладных аспектов дано W.J. Anderson [55].

Явные решения уравнений Колмогорова дают возможность вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных распределений в марковских моделях с дискретными состояниями. Проблема получения точных решений уравнений Колмогорова представляет не только теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования. Следует отметить, что количество систем, поддающихся точному анализу, невелико. К исследуемым в диссертации моделям с парными взаимодействиями частиц, при определенных условиях, накладываемых на параметры модели, применимы аналитические методы.

Альтернативой являются численные методы Монте-Карло, позволяющие моделировать дискретные системы с произвольными кинетическими схемами, но часто требующие больших вычислительных затрат для обеспечения приемлемой точности расчетов. Применение методов статистического моделирования позволяет выявить закономерности для марковских систем более общего вида, исследование которых аналитическими методами затруднительно. Марковские модели систем взаимодействующих частиц при дискретных состояниях, близкие к изучаемым в диссертации, исследовались через численный эксперимент в работах [15], [16] и др., где рассматривались реальные физические явления.

3. Цель работы — получение асимптотических оценок и исследование характера предельных распределений в дискретных моделях с парными взаимодействиями: исследование стационарного распределения в открытой системе с внешним источником частиц; исследование финального распределения в системе с выходом конечного продукта.

4. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Исследуемые вероятностные модели являются более общими, чем часто рассматриваемые в приложениях марковские процессы рождения и гибели.

Установленный факт асимптотической нормальности стационарного распределения является новым для марковских моделей открытых систем с парными взаимодействиями.

Модель системы с парными взаимодействиями и образованием финального продукта рассмотрена при наличии превращений отдельных частиц нефинального типа.

Алгоритм статистического моделирования дискретных марковских систем с взаимодействием сформулирован в терминах общей кинетической схемы при произвольном распределении числа новых частиц для каждого комплекса взаимодействия.

6. Методы исследования. Использовались методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотические методы анализа, специальные функции (функции Бесселя, гипергеометрические функции и др.). Применялись численные методы моделирования марковских процессов, основанные на методе статистических испытаний Монте-Карло. Использовались средства программирования на ЭВМ (системы Matlab, С++).

7. Теоретическая и практическая ценность. Установленные асимптотические свойства стационарных и финальных распределений являются и фундаментальной основой для методов расчета дискретных марковских систем. Полученные предельные теоремы дают, в частности, теоретическое обоснование для используемых в прикладных работах предположений о нормальности отклонений экспериментальных данных от средних значений. Примеры реальных физических, химических, экологических и технических систем с конкретными кинетическими схемами даны в диссертации.

8. Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определены научная новизна и практическая ценность.

В первой главе приведены необходимые сведения об используемом в диссертации математическом аппарате теории марковских процессов. Дано описание общей модели системы взаимодействующих частиц, включающее схему взаимодействий и основные уравнения модели — первое и второе уравнения Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей.

В 1.1 дан обзор используемых далее результатов теории марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Приведены первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковского процесса.

В 1.2 даны необходимые сведения о многомерных производящих функциях дискретных вероятностных распределений и их свойствах.

В 1.3 дано описание модели дискретной системы с взаимодействиями частиц типов Ti,., Тп, задаваемой схемой взаимодействий. Определен соответствующий марковский процесс £(£) = (£i(£),., £n(£)), t € [0, оо), на Nn, заданы плотности вероятностей переходов аар, а,/3 6 Nn. Приведены первое и второе уравнения — дифференциальные уравнения в частных производных для производящих функций переходных вероятностей и соответствующие стационарные уравнения для производящих функций предельных вероятностей.

Во второй главе рассмотрена модель системы с внешним источником и парными взаимодействиями частиц одного типа. Найдены явные решения стационарного второго уравнения. Исследованы асимптотические свойства стационарного распределения.

В 2.1 определен марковский процесс £(i), t 6 [0, оо), на множестве N = {0,1,2,.}, задаваемый схемой взаимодействий 0 —» коТ, 2Т —> к2Т.

В 2.2 получены явные решения второго стационарного уравнения. На основе найденных решений получены асимптотики математического ожидания и дисперсии стационарного распределения. Установлены предельные теоремы об асимптотической нормальности стационарного распределения при большой интенсивности поступления новых частиц. Исследована взаимосвязь математического ожидания стационарного распределения и значения равновесия в соответствующей детерминированной модели.

В 2.3 приведены выражения для математического ожидания и дисперсии в модели со схемой взаимодействий 0 —> коТ, Т —> к{Г, 2Т —> к%Т в критическом случае, и исследовано их предельное поведение при t —* оо. Установлены необходимые условия существования стационарного распределения в марковских моделях указанного вида.

В третьей главе рассмотрена модель системы с парными взаимодействиями и выходом финального продукта.

В 3.1 дано описание марковского процесса £(t) = &(£))» t 6 [0, оо), на N2, являющегося моделью системы со схемой взаимодействий Т\ —> j\Ti + 72^2, 2Ti —* jjTi + 72Т2. Сформулирована задача о финальных вероятностях (Тг — финальный тип частиц). Дан вывод специальной формы первого уравнения для процессов с частицами финального типа.

В 3.2 найдены различные интегральные представления для производящих функций финальных вероятностей.

В 3.3 найдены интегральные представления для математического ожидания финального распределения. Получена асимптотическая оценка для среднего числа финальных частиц при большом начальном числе нефинальных частиц. Рассмотрена взаимосвязь математического ожидания финального распределения и количества финальных частиц в детерминированной модели.

В 3.4 найдены асимптотики математического ожидания и дисперсии финального распределения, а также установлена предельная теорема об асимптотической нормальности финального распределения при большом начальном числе нефинальных частиц.

В четвертой главе проводится численное моделирование марковских систем с взаимодействиями при дискретных состояниях.

В 4.1 изложен численный метод статистического моделирования марковского процесса, задаваемого схемой взаимодействий. Алгоритм моделирования реализован в составе комплекса программ.

В 4.2 сформулирован алгоритм моделирования открытых систем с взаимодействиями частиц одного типа, задаваемых общей схемой 0 —► коТ, Т ВД 2Т к2Т,., IT к{Г.

Приведены результаты вычислительных эксперименты для модели бимолекулярной реакции 0 —> Т, Т —>• kjT, 2Т к2Т, к\ = 0,2, к2 = 1,3, и модели бистабильной системы со схемой взаимодействий 0 —► Т, Т —* О, 2Т —> 3Т, 3Т —> IT. Исследован характер стационарного распределения в указанных моделях.

В 4.3 проведено моделирование систем со схемами взаимодействий вида

Ti - 7}Ti + 72^2, 2Ti -> 7i^i + 722^2, 7i\ 7i = 0,1,2, 7],7J = 0,1,2,.с выходом финального продукта Т2. Исследован характер финального распределения в ряде моделей указанного типа.

В 4.4 проведен вычислительный эксперимент для модели конкуренции с кинетической схемой взаимодействий 1\ + T2—>Ti, Т2\ Т\ —► 27\, 2Ti —> Ti, Т2 —> 2Т*2, 2Т2 —> Т2. Исследован характер квазистационарного распределения.

9. Структура и объем работы. Диссертация состоит из. введения, 4 глав, разделенных на параграфы и выводов. Каждая из глав диссертации предваряется кратким описанием ее содержания. При ссылке на параграф слева добавляется номер главы. Список литературы содержит 65 наименований. Текст изложен на 126 страницах, включая 28 рисунков.

10. Публикации и апробация. Основные результаты диссертации докладывались на научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 1-2 декабря 2004 г.), Третьей (Москва, 24-26 января 2005 г.), Четвертой (Москва, 29-31 января 2007 г.) Всероссийских конференциях «Необратимые процессы в природе и технике», Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005 г.), Двенадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 1-7 октября 2005 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах в МГТУ им. Н.Э. Баумана, в Институте космических исследований РАН и в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН. У

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследована марковская модель системы с внешним источником и парными взаимодействиями частиц, даваемая кинетической схемой 0 —> к0Т, 2Т —> к2Т, ко = 1,2, к2 = 0,1. а). Найдены явные решения стационарного второго уравнения Колмогорова. б). Получены выражения для математического ожидания и дисперсии стационарного распределения, исследованы их асимптотические свойства при большой интенсивности внешнего источника частиц. в). Проведено сравнение исследуемой стохастической модели с соответствующей детерминированной моделью, В частности, установлено асимптотическое равенство математического ожидания стационарного распределения и стационарного детерминированного решения. Получена оценка погрешности детерминированного приближения. г). Установлены предельные теоремы об асимптотической нормальности стационарного распределения при большой интенсивности внешнего источника. Факт асимптотической нормальности стационарного распределения является новым для рассмотренного класса стохастических моделей с взаимодействием.

2. Для марковской модели со схемой взаимодействий 0 —» коТ, Т —> к\Т, 2Т —> к2Т получены выражения для нестационарных математического ожидания и дисперсии в критическом случае.

3. Рассмотрена марковская модель системы с парными взаимодействиями и образованием финального продукта, задаваемая схемой Т\ —> 7\Тх + 7JT2, 2Т\ - TJTI + 72272, 7I> 7I = 0,1,2, 7], 7| = 0,1,2,. а). Найдено явное решение стационарного первого уравнения методом Лапласа. Выражение для производящей функции финального распределения получено через контурный интеграл от функции комплексного переменного и через вырожденную гипергеометрическую функцию. б). Получены выражения для математического ожидания финального распределения через контурный интеграл и интеграл по действительной полуоси. На основе последнего представления найдена асимптотическая оценка логарифмического вида для финального числа частиц типа Т2 при большом начальном числе частиц типа Т\\ установлена его связь с решением соответствующей детерминированной модели. в). Получены выражения для математического ожидания и дисперсии финального распределения в случае 7J = 0,1, 72 = 1,2. Найдены их асимптотики и показана асимптотическая нормальность финального распределения при большом начальном числе нефинальных частиц.

4. На основе метода Монте-Карло сформулирован алгоритм статистического моделирования на ЭВМ стохастических систем с дискретными состояниями, задаваемый схемой взаимодействий с произвольным числом типов частиц и комплексов взаимодействия. Алгоритм реализован в составе программного комплекса.

Проведены вычислительные эксперименты, которые позволили выявить характер предельных распределений в докритических системах с парными взаимодействиями. а). Результаты численного моделирования систем со схемами вида 0 —> UqT, Т —> к\Т, 2Т —> к2Т, ., IT —* к{Т демонстрируют близость стационарного распределения к нормальному при большой интенсивности поступления новых частиц. б). Численные эксперименты, проведенные для докритических систем со схемами вида Т\ + 72Т2, 2Т\ —»• 72Ti -f 72Т2, позволяют предположить асимптотическую нормальность распределения финального продукта при большом начальном числе нефинальных частиц. в). Созданный программный модуль может использоваться для моделирования более сложных марковских моделей систем с взаимодействием.

5. Полученные в диссертации результаты об асимптотических свойствах стационарных и финальных распределений, а также методы численного моделирования, дают основу для проведения точных и приближенных расчетов дискретных марковских моделей систем с взаимодействием.

1. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1935. - Т. 5, № 3. - С. 211-230.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. — М.: Мир, 1970. — 328 с.

3. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. — М.: Высшая школа, 1974. — 400 с.

4. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.- М.: Мир, 1979. 512 с.

5. Дорогов В.И., Чистяков В.П. Оценка флуктуаций нуклидов в нейтронном потоке методами теории ветвящихся процессов //Докл. АН СССР.- 1983. Т. 273, № 5. - С. 1102-1104.

6. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Наука, 1986. 528 с.

7. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. - 182 с.

8. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.

9. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.

10. Гаузе Г.Ф. Борьба за существование. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 159 с.

11. Вржещ П.В., Завада К.Г. Предстационарная и стационарная кинетика ферментативных реакций. — М.: Макс Пресс, 2004. — 176 с.

12. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 496 с.

13. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1971. 328 с.

14. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973.- 312 с.

15. Шематович В.И. Нестационарное статистическое моделирование столк-новительных физико-химических процессов в разряженном газе: Авто-реф. дисс. . канд. физ.-матем. наук. — М.: ВЦ РАН, 1980. — 16 с.

16. Пичугин Б.Ю., Перцев Н.В. Статистическое моделирование популяций взаимодействующих частиц с произвольным распределением времени жизни // Матем. структуры и моделирование. — 2001. — Вып 7.- С. 67-78.

17. Математические методы в теории надежности. / Г.Д. Карташов, О.И. Тескин; О.А. Бархатова, С.М. Швартин. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1982. 32 с.

18. Печинкин А.В., Тескин О.И. Теория вероятностей. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 456 с.

19. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 448 с.

20. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 320 с.

21. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.- М.: Наука, 1977. 568 с.

22. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. — М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.

23. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1984. Т. 1. - 528 с.

24. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. — М.: ИИЛ, 1958. 384 с.

25. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — М.: Наука, 1969. 512 с.

26. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. — М.: Мир, 1966.- 356 с.

27. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. - 256 с.

28. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. — М.: Наука, 1971. — 436 с.

29. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. — М., 1985. — Т. 23. — С. 3-67.

30. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 264, № 2.- С. 306-308.

31. Калинкин А.В. Стационарное распределение системы взаимодействующих частиц с дискретными состояниями // Докл. АН СССР. — 1983.- Т. 268, № 6. С. 1362-1364.

32. Калинкин А.В. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. — 1983.- Т. 269, № 6. С. 1309-1312.

33. Калинкин А.В. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. - Т. 46, № 2. - С. 376-381.

34. Калинкин А.В. Третье уравнение для ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 2Т\ —» 71 Ti + 72Т2, 71 = 0,1 // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8, № 2. — С. 766-767.

35. Калинкин А.В. Точные решения уравнений Колмогорова для критического ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Усп. матем. наук. 2001. - Т. 56, № 3. - С. 173-174.

36. Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Усп. матем. наук. 2002. - Т. 57, № 2. - С. 23-84.

37. Бадалбаев И.С., Дряхлов А.В. Об асимптотическом поведении вероятности продолжения ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Теория вероятностей и ее применения. — 1996. — Т. 41, № 4. С. 721-737.

38. Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа. — М.: Изд-во МГУ, 1970.- 202 с.

39. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 480 с.

40. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Трансцендентные функции. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 2. — 516 с.

41. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

42. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 348 с.

43. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Наука, 1973. — Т. 1.- 296 с.

44. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 296 с.

45. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 368 с.

46. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. — Рига: Зинатне, 1977. Т. 2. - 464 с.

47. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.- М.: Наука, 1978. 376 с.

48. McQuarrie D.A., Jachimowcki C.J., Russel М.Е. Kinetic of small system // J. Chim. Phys. 1964. - V. 40, n. 10. - P. 2914-2921.

49. McQuarrie D.A. Stochastic approach to chemical kinetic //J. Appl. Prob.- 1967. V. 4. - P. 413-478.

50. Becker N.G. A stochastic model for two interacting populations //J. Appl. Prob. 1970. - V. 7. - P. 544-564.

51. Becker N.G. Interactions between species: some comparisons between deterministic and stochastic models // Rocky Mountain J. Math. — 1973.- V. 3, n. 1. P. 53-68.

52. Roehner В., Valent G. Solving the birth and death processes with quadratic asymptotically symmetric transition rates // SIAM J. Appl. Math. — 1982.- V. 42, n. 5. P. 1020-1046.

53. Letessier J., Valent G. The generating function method for quadratic asimptotically symmetric birth and death processes // SIAM J. Appl. Math.- 1983. V. 44. - P. 245-247.

54. Hitchcock S.E. Extinction probabilities in predator-prey models // J. Appl. Prob. 1986. - V. 23. - P. 1-13.

55. Anderson W.J. Continuous-time markov chains: an application-oriented approach. — New York: Springer, 1991. — 340 p.

56. Ланге A.M. Об одном ветвящемся процессе с иммиграцией и взаимодействием частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2001. Т. 8, № 2. - С. 783-784.

57. Ланге A.M. Статистическое моделирование открытой системы с тройными взаимодействиями частиц // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов Третьей Всероссийской конференции. — М., 2005. С. 60-62.

58. Ланге A.M. . Статистическое моделирование открытых дискретных систем с взаимодействиями частиц одного типа // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Третьей Всероссийской конференции.- М., 2005. Вып. 1. - С. 56-67.

59. Ланге A.M. О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 27\ —>■ + 7IT2, Т\ —> + 72^2 // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005.- Т. 12, № 2. С. 417-419.

60. Ланге A.M. Асимптотические свойства финальных вероятностей одного ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — Т. 12, № 3. — С. 669-770.

61. Ланге A.M. Стационарное распределение в открытой стохастической системе с парным взаимодействием частиц // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2005. — Вып. 1(16). — С. 3-22.

62. Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействий при дискретных состояниях / А.В. Калинкин, A.M. Ланге, А.В. Мастихин, А.А. Шапошников // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2005. — Вып. 2(17). — С. 53-74.

63. Ланге A.M. О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса с превращениями и парными взаимодействиями // Теория вероятностей и ее применения. 2006. - Т. 51, № 4. - С. 801-809.

64. Ланге A.M. Распределение количества финального продукта в системе со схемой взаимодействий Ti + 27\ —> 727\ -f 7IT2 // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. — М., 2007. — С. 257-259.