автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы оптимизации мультиплексных систем измерений пуассоновских потоков частиц

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ОПТИМИЗАЦИИ

ЭКСПЕРИМЕНТА В МУЛЬТИПЛЕКСНЫХ СИСТЕМАХ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

§ 1. 1. О принципе мультиплексности.

§1.2. Краткий обзор результатов по оптимизации бинарных масок . 14 п. 1. 2. 1. Оптимальные бинарные маски при отсутствии статистических флуктуации. п. 1. 2. 2. Оптимальные бинарные маски с учетом статистических флуктуации.

§1.3. Физический аспект процесса измерений флуктуирующих потоков частиц.

§1.4. Постановка задачи оптимизации бинарных масок кодирующих мультиплексных систем в режиме счета квантов.

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ ПУАССОНОВСКОГО ПОТОКА ЧАСТИЦ ПО ОСНОВНЫМ КРИТЕРИЯМ.

§2. 1. Существование решений. Необходимые и достаточные условия оптимальности. п. 2. 1. 1. Свойства основных критериев, существование решений. п.2. 1. 2. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

Структура функционалов оптимального плана.

§2.2. Вспомогательные соотношения. п. 2. 2. 1. Соотношения для 3 а- критерия. Планы ^ и п.2. 1. 2. Соотношения для 3 а- критерия. План £. п.2. 1. 3. Соотношения для Ь-критерия.

§2.3. Аналитическое решение задачи для За-критерия .Вывод основного уравнения.

§2.4. Некоторые частные случаи. £>-, А- и Я-критерии.

7.2. 1. 1. Э -критерий. п. 2. 1. 2. А-критерий. п. 2. 1. 3. Е-критерий.

§2.5. Аналитическое решение задачи для -критерия. Вывод основного уравнения.

Концепция оптимизации - одна из центральных в математической кибернетике и вычислительной математике. Проблема оптимизации экспериментальных исследований в широком смысле состоит в извлечении наибольшего количества информации об изучаемом явлении при заданном уровне априорной информации и ограниченных затратах. Подобные задачи возникают настолько часто в физике, химии, биологии и других науках, а также в самых различных областях техники, что вопрос об актуальности соответствующих исследований просто отпадает. Более того, с ростом сложности экспериментальных исследований и повышением стоимости используемого оборудования потребности практики выдвигают перед теорией оптимизации эксперимента все новые задачи, для решения которых требуется разработка, как правило, и нового математического аппарата.

Так, развитие мультиплексного принципа измерений в спектроскопических экспериментах выдвинуло задачу эффективного управления разнообразной измерительной аппаратурой для повышения точности и устойчивости решения интегрального уравнения, когда исходные данные получаются в эксперименте со случайной ошибкой. Это открывает широкие перспективы для применения математических методов оптимизации эксперимента, но при условии их обобщения на более сложные математические модели, достаточно реалистично учитывающие природу наблюдаемых величин, и практические ограничения в процессе получения и интерпретации данных. Некоторым аспектам этой общей проблемы и посвящена данная работа.

Классическая теория оптимизации экспериментов [5, 14, 47, 70] плодотворно используется для решения многих прикладных задач. Вместе с тем, усложнение моделей, возникающих при изучении физических явлений, нарушение на практике основных предпосылок классической теории, разнообразие видов и способов задания априорной информации, нестандартные критерии оптимальности эксперимента и многие другие особенности реальных задач приводят к постановкам, выходящим за рамки традиционной теории.

Новые подходы к оптимизации эксперимента развивались независимо в различных областях науки и техники. Так, в области научного приборостроения приходится иметь дело со многими задачами оптимизации физических экспериментов, которые характеризуются специфической и, как правило, довольно бедной априорной информацией, ограниченностью экспериментальных ресурсов и другими особенностями, не позволяющими воспользоваться результатами и рекомендациями классической теории. Своеобразие задач безусловно стимулировало теоретические исследования и способствовало разработке нетрадиционных подходов к задачам оптимизации экспериментов. Результаты теоретических исследований в этих направлениях и нашли свое отражение в главах 2-3 диссертации.

Апробация материалов диссертации была проведена на следующих конференциях и семинарах:

- Конференция «Планирование эксперимента и обратные задачи оптического зондирования» (Санкт-Петербург, 8-9 апреля 1998 г.);

- Третий Санкт-Петербургский семинар по моделированию (Санкт-Петербург, 28 июня -3 июля 1998 г.);

- Международная конференция «Прикладная оптика - 98» (Санкт-Петербург, 12-16 декабря 1998 г.);

- Международная научно - практическая конференция «Математические методы в образовании, науке и промышленности» (Тирасполь, 28 июня -01 июля 1999 г.);

- Семинар кафедры математики и естественнонаучных дисциплин СПбИ МГУП (Санкт-Петербург, сентябрь, 1999 г.);

- Семинар кафедры прикладной математики и информатики СПбГАСУ (Санкт - Петербург, январь, 2000 г.);

- 57-я Научная Конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (Санкт-Петербург, февраль, 2000 г.);

- Семинар кафедры статистического моделирования СПбГУ (Санкт

Петербург, май, 2000 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30, 33, 34, 35, 36, 54, 82].

Диссертация состоит из введения, трех основных глав, двух приложений и заключения. Общий объем работы 145 страниц, в том числе, объем основного текста 124 стр. В работе 4 таблицы, 12 рисунков, список основной литературы содержит 85 наименований. Главы разбиты на параграфы, в некоторых параграфах используется более мелкое дробление на разделы. Ниже дается общая характеристика каждой из глав.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Сформулированы задачи оптимизации плана измерений потока частиц в мультиплексной системе с учетом статистических флуктуаций и шума приемника как задач локальной За-, Фр- и Ь- оптимизации.

2. Дано аналитическое решение этих задач при любом заданном значении параметра 0 < С, < оо, характеризующего соотношение между шумом приемника и квантовыми флуктуациями сигнала в предположении пуассоновского потока частиц и распределения шума приемника. Получены информационная и ковариационная матрицы планов определенного вида.

3. Обобщены ранее полученные в [16-18] результаты для Б-, А-, Е- критериев.

4. Указан метод расчета на шкале у границ оптимальности сканирующего и классического адамар- спектрометров, а также интервала, внутри которого необходимо учитывать как шум приемника, так и статистические флуктуации сигнала.

5. Приведены примеры вычислений локально Фр- и Ь- оптимальных планов и сравнение их характеристик с классическим адамар- и сканирующим спектрометрами.

6. Поставлена и решена задача нахождения локально За- , Фр- и Ь- оптимальных планов в постановке главы 1 с наименьшим числом точек.

7. Разработан комплекс алгоритмов и программ, реализующих предложенный в диссертации метод. Построены таблицы За-, Фр- и Ь- оптимальных планов в мультиплексных системах измерений с учетом квантовых флук-туаций.

В заключении автор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Е. В. Седунову за всестороннюю помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Автор признателен заведующему кафедрой прикладной математики и информатики СПбГАСУ доктору физико-математических наук, профессору Б. Г. Вагеру за внимание к работе и создание благоприятных условий, во многом способствующих появлению диссертации.

Заключение.

В диссертационной работе исследована задача оптимизации процесса измерения плотности пуассоновского потока частиц, регистрируемого совместно с фоновым потоком, также распределенным по закону Пуассона, по отношению к семейству За- и Фр- критериев, а также Ь- критерию, учитывающих как систематическую так и случайную ошибки восстановления неизвестной плотности.

1. Березин И. С., Жидков К П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966.-Т.1.- 632 с.

2. Бродский В. 3. Введение в факторное планирование эксперимента. -М.: Наука, 1976. 132 с.

3. Бродский В. 3., Голикова Т. И. Построение Б- оптимальных планов взвешивания с минимальным числом наблюдений// Теория вероятностей и ее применения.- 1972. Т. 17, № 3.- С. 578.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1990.

5. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука. 1987. - 320 с.

6. Жиглявский А. А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: ЛГУ, 1985. - 256.с.

7. Карасина Е. Г., Козлов В. 77. Алгоритм оптимизации плана для оценивания плотности распределения и оптимальные планы полиномиальной регрессии /Под ред. Пененко В.В. //Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981.- С.243-250.

8. Кендалл М.Дж., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

9. Ковригин А. Б. Методы обработки наблюдений в навигационных задачах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 177 с.

10. Козлов В. П., Седунов Е.В. Оптимизация мультиплексных систем измерений с учетом статистических флуктуаций сигнала// Кибернетика и системный анализ. 1992. -N4. - С. 13-23.

11. Козлов В. П. Планирование регрессионных экспериментов в функциональных пространствах // Математическая теория планирования эксперимента -М.: Наука, 1983.-С. 74-101.

12. Козлов В.П., Мелъцин A.JI., Попова Л.П., Седунов Е.В. Построение D- и А- оптимальных режимов измерений в адамар-спектроскопии с учетом квантовых флуктуаций. Алгоритмы и программы, 1989, № 12.- С. 38. (Per. Номер ГосФАП СССР - 50890000297)

13. Козлов В. П., Мелъцин А. Л., Седунов Е. В., Попова Л. П. Таблицы ^-оптимальных режимов измерений в адамар спектрометрии с учетом квантовых флуктуаций. - М., 1988.- 42 с. Деп. во Всесоюз. ин-те науч. и тех-нич. информ. 24.06.88.-1988.-№644, В88.

14. Козлов В. П., Седунов Е. В., Попова Л. П., Белозерова Л. Н. Таблицы D-оптимальных режимов измерений в адамар-спектрометрии с учетом квантовых флуктуаций. -М., 1987.-56 е.- Деп. во Всесоюз. ин-те науч. и технич. информ.-№29,В87.

15. Козлов В. П., Седунов Е. В., Попова Л. П. Таблицы ^-оптимальных режимов измерений в адамар спектрометрии с учетом квантовых флуктуаций. - М., 1990.- 56 с. Деп. во Всесоюз. ин-те науч. и технич. информ. 29.08.90.-№5466, В90.

16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука. 1989.- 624 с.

17. Линейные планы с целочисленными уровнями. / Горский В.Г., Адлер Ю.П., Бродский В.З., Кузнецов B.C. // Заводская лаборатория. 1973.Т. 39, №5,- С. 579.

18. Марчу к Е. П., Ермаков С. М. О некоторых проблемах теории планирования эксперимента// Математическая теория планирования эксперимента Новосибирск: Наука, 1981.-С.3 - 18.

19. Математические методы планирования эксперимента. / Под ред. Пененко В.В. Новосибирск: Наука, 1981. - 256 с.

20. Мелас В. Б. E-оптимальные планы эксперимента. СПб: Изд-во санкт-петерб. гос. ун-та. 1997.- 60 с.

21. Мелас В. Б. Одна теорема двойственности и Е оптимальность// Заводская лаборатория. 1982, №3. - С. 48 - 50.

22. Мелас В. Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах // Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981.- С. 155-173.

23. Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания планирования эксперимента. М.- Металлургия. 1976. - 128 с.

24. Попова Л.П. Численный метод оптимизации измерения плотности пуассоновского потока. // Тез. докл. респуб. науч. конф. «Математическое и программное обеспечение анализа данных». Минск: Наука, 1980. - С.4.

25. Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применение. М. Наука. 1968.

26. Раутиан С. Г. Реальные спектральные приборы. Успехи физич. наук. Т. 66, вып. 3. 1958. - С. 475-517.

27. Седунов Е.В., Шутова Ю. А. Линейно оптимальные режимы в ада-мар-спектрометрии// Планирование эксперимента и обратные задачи оптического зондирования. Программа и тез. докл. СПб. 1998.- С.47-48.

28. Ъ\. Седунов Е. В., Шутова Ю. А. Линейные оптимальные бинарные маски оптических адамар-спектрометров в режиме счета фотонов// Оптич. журн. СПб.: ГОИ.- 2000.- Т.67, №2. С.49-53.

29. Седунов Е. В. Несмещенное планирование и анализ регрессионных экспериментов в конечномерных пространствах функций // Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981.- С. 102140.

30. Седунов Е. В., Шутова Ю. А. Об одном обобщенном критерии оптимизации оптических адамар-спектрометров.//Сб. тез. и программа между-нар. конф. «Прикладная оптика 98» СПб.: ГОИ им. С. И. Вавилова, 1998. -С. 51.

31. Седунов Е.В., Старшинов А. И., Шутова Ю. А. Оптимальный эксперимент для параметрического оценивания плотности пуассоновского потока// Вестник СПбГУ. Изд-во СПбГУ, 1998. №1. Вып. 1. - С. 40 -44.

32. Седунов Е.В., Шутова Ю. А. Оптимизация мультиплексных систем измерений по общему критерию// В сб. «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» под ред. Б.Г. Вагера. СПб.: СПбГАСУ. 1999.- Вып. 5. С. 148-154.

33. Седунов Е.В., Шутова Ю. А. Принцип мультиплексности: история, преподавание, новые результаты// Тез. докл. междунар. науч.-практ. конф. «Математические методы в образовании, науке и промышленности», Тирасполь, РИО ПТУ, 1999.- С. 39-40.

34. Сороко Л. М. Интроскопия М.: Энергоатомиздат, 1983. -215 с.

35. Сороко Л. М. Мультиплексные системы измерений в физике. М.: Атомиздат, 1980. - 118 с.

36. Сороко Л. М. Сцинтилляционный счетчик с использованием преобразования Адамара //ОИЯИ, Р13-5696.- 1971.- Дубна.

37. Сороко Л. М. Униполярные и биполярные мультиплексные системы регистрации частиц //ОИЯИ, Р13-6378.- 1972.- Дубна.

38. Тараканов В. Е. Комбинаторные задачи и (0,1) матрицы. - М.: Наука, 1985.- 192 с.

39. Успенский А. Б., Федоров В. В. Вычислительные аспекты метода наименьших квадратов при анализе и планировании регрессионных экспериментов. М.: МГУ. 1975.- 168 с.

40. Фаррар Т., Беккер Э. Импульсная и фурье- спектроскопия ЯМР. -М.: Мир. 1973.

41. Федоров В. В. Активные регрессионные эксперименты /Под ред.

42. Пененко В.В. //Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981. - С. 19 - 73.

43. Федоров В. В. Планирование экспериментов при линейных критериях оптимальности // ТВ и ее прим. Т. 16, №1. - 1971.- С. 189.

44. Федоров В. В. Свойства и методы построения планов, минимизирующих выпуклые функционалы от информационной матрицы. Препринт № 10, ЛСММГУ. 1970.

45. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.-312 с.

46. Федоров В. В. Численные методы построения оптимальных планов для регрессионных экспериментов. Кибернетика, 1975, № 1.- С. 124-130.

47. Федоров Г. А. Радиационная интроскопия: Кодирование информации и оптимизация эксперимента. -М.: Энергоиздат, 1982. 110 с.

48. Федоров Г. А., Терещенко С. А. Планирование оптимального эксперимента при регистрации излучений. //Вопр. дозиметрии и защиты от излучений. -М.: Атомиздат, 1980. Вып. 19. - С. 26-36.51 .Холл М. Комбинаторика. -М.: Мир, 1970. 424 с.

49. Шутова Ю. А. Оптимизация бинарных масок оптических адамар-спектрометров// Оптич. журн. -2000.- Т.67, № 1. С.61-65.

50. Barerjee К S. Singular weighing designs and a reflexive generalized inverse//J. Amer. Statis. Assoc. 1972. - Vol. 67. -P.211.

51. Barerjee K.S. Weighting Designs for use in Chemistry, Medicine, Economics, Operations Research and Statistics. New York: Marcel-Dekker, 1975.

52. Bell R. J. Intoductory Fourier Transform Spectroscopy. New York: Academic Press, 1972, № 4.- P. 23.

53. Cheng C. -S. An application of the Kiefer Wolfowitz equivalence theorem to a problem in Hadamard transform optics //Ann. Statist. - 1987. -Vol.15, №4.-P. 1593- 1603.

54. Cheng S.-C. Optimality of some weighting and 2n fractional factorial designs// The Ann. Stat. 1980.- Vol. 8, № 2.- P. 436.

55. Decker J. A. Jr. Experimental realization of the multiplex advantage with an Hadamard-transform spectrometer// Appl. Optics.- 1971.- Vol. 10, № 3. P. 510.

56. Decker J.A., Harwit M. Sequential encoding with multislit spectrometers // Appl. Optics. 1968. - Vol. 7, № 11. - P. 2205 - 2216.

57. Dey A., Gupta S. C. Singular weighting designs and estimation of total weight// Commun. Statist. Theor. Meth. - 1977.- A6, № 3.- P.289.

58. Fellgett P. A propos de la theorie du spectrometre interferential multiplex// J. Phys. Radiol. 1958. - Vol. 19, № 3. - P. 187.

59. Fellgett P. The genesis of multiplex spectroscopy// Science J. Vol. 3, N 4. 1967.-P. 58.

60. Golay M. Multislit spectrometry// J. Opt. Soc. Amer. 1949.- Vol. 39, №6.-P. 437.

61. Golay M. Static multislit spectrometry and its application to the panoramic display of infrared spectra// J. Opt. Soc. Amer.- 1951.- Vol. 41, № 7. P. 468.

62. Harwit M, Sloane N. J. A. Hadamard transform optics and weighting designs //Appl. Optics 15, 1976. P. 107 - 114.

63. Hazra P. K., Barerjee K S. On augmentation procedure in singular weighting designs// J. Amer. Statis. Assoc. 1973. - Vol. 68, № 342. - P.392.

64. Hotelling H. Some improvements in weighting and other experimental techniques// Ann. Math. Statist. 1944. Vol. 15. - P.297-306.

65. Jacroux M., Notz W. On the optimality of spring balance weighting designs// Ann. Statist. 11, 1983. P. 970 - 978.

66. Karlin S., Stadden W. Optimal experimental designs // Ann. Math. Stat. Vol. 35. P. 783-815.

67. Kiefer J. C. General equivalence theory for optimum designs //Ann. Statist. 2 , 1974.-P. 849-879.

68. Kiefer J. C. On the nonrandomized optimality and randomized nonopti-mality of symmetrical designs //Ann. Math. Statist., 1958. Vol. 29. P. 675-699.

69. Kiefer J. C. Optimum experimental designs //J. Roy. Statist. Soc. Ser., 1959. B21. P.272-304.

70. Kiefer J., Wolfowitz J. The equivalence of two extremum problems// Ca-nad. J. Math., 14, 1960. P. 363-366.

71. Nelson E. D. Fredman M. L. Hadamard spectroscopy // J. Opt. Soc. Am. Vol. 60, № 12. 1970. -P. 1664.

72. Pukelsheim F. On linear regression designs which maximize information// J. Statist. Plann. Inference , 1980, 4. P. 339 -364.

73. Pukelsheim F. Optimal design of experiments. Wiley. New York. 1993.454 p.

74. Pukelsheim F., Titterington D. M. General differential and Lagrangian theory for optimal experimental design // Ann. Statist. 11, 1983. P. 1060 - 1068.

75. Raghavarao D. Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments. New York: Wiley. 1971. 354 p.81 .Rao C. R. A study of BIB designs with replications 11 to 15. Shank-hay, 1961. Vol. 23.-P. 117.

76. Sedunov E. V., Choutova J. A. On the problem of linear optimal binary masks for density estimation of flow of particles // Proc. of the 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation. St. Petersburg. StP Univ. Press, 1998. P. 204 - 208.

77. Sloane N. J. A. Multiplexing methods in spectroscopy // Math. Mag., 52, 1972.-P. 71-80.

78. Sprott D. A. Listing of BIB designs from r=10 to 20,- Shankhay. Ser. A, Vol. 24, part 2. 1962. P. 203-204.

79. Wynn H. P. Results in the theory and construction of D- optimal experimental design// J. Roy. Stat. Soc. 1972. B. 34. P. 133 147.