автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы оптимизации мультиплексных систем измерений пуанссоновских потоков частиц

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ПЕЧАТИ

На правах рукописи

П~Б ОЛ

1 з т ш

ШУТОВА Юлия Александровна

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МУЛЬТИПЛЕКСНЫХ СИСТЕМ ИЗМЕРЕНИЙ ПУАССОНОВСКИХ ПОТОКОВ ЧАСТИЦ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования,

численные методы, комплексы программ. »

Автореферерат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте Московского государственного университета печати на кафедре математики и естественнонаучных дисциплин

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Седунов Е. В.

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Вагер Б. Г.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гарнаев А. Ю., кандидат физико-математических наук, с.н.с. Хмылко В. В.

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита диссертации состоится 19 июня 2000 года в 13.00 час. на заседании диссертационного совета К.063.31.06 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 198005, г. Санкт - Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4, ауд. 505 а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан мая 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

/Фролькис В. А./

Общая характеристика работы.

Проблема оптимизации экспериментальных исследований в широком смысле состоит в извлечении наибольшего количества информации об изучаемом явлении при заданном уровне априорной информации и ограниченных затратах. Подобные задачи возникают настолько часто в физике, химии, биологии и других науках, а также в самых различных областях техники, что вопрос об актуальности соответствующих исследований просто отпадает. Более того, с ростом сложности экспериментальных исследований и повышением стоимости используемого оборудования потребности практики выдвигают перед теорией оптимизации эксперимента все новые задачи, для решения которых требуется разработка, как правило, и нового математического аппарата.

Так, развитие мультиплексного принципа измерений в спектроскопических экспериментах ' выдвинуло задачу эффективного управления разнообразной измерительной аппаратурой для повышения точности и устойчивости решения интегрального уравнения, когда исходные данные получаются в эксперименте со случайной ошибкой. Это открывает широкие перспективы для применения математических методов оптимизации эксперимента, но при условии их обобщения на более сложные математические модели, достаточно реалистично учитывающие природу наблюдаемых величин и практические ограничения в процессе получения и интерпретации данных.

Актуальность темы. Данная работа посвящена оптимизации мультиплексных систем измерений пуассоновских потоков частиц. Рассматриваются критерии локальной , Фр-, и ¿- оптимальности, что позволяет получить уже известные результаты для И-, А-, Е- критериев как частные случаи. Поскольку учет обоих источников случайности (флуктуации потока и шум приемника) дает исследователю существенный выигрыш, то

становится очевидной актуальность постановки и разработки методов решения поставленных задач при измерениях в мультиплексных системах. Целью диссертационной работы являлось:

Постановка задачи оптимизации планов эксперимента над потоком пуассоновских частиц в мультиплексных системах как задачи локальной Jcr, ФрЬ- оптимизации измерений.

Разработка метода построения оптимальных в смысле указанных критериев планов при параметрическом оценивании плотности пуассоновского потока частиц.

Обобщение известных результатов по £>-, А-, - критериям на более общие случаи (Уа-, Фр-, Ь- критерии).

Сравнительный анализ полученных результатов с известными на практике режимами измерения (одноэлементный и адамар- режимы).

Разработка соответствующего программного обеспечения и решение задачи табулирования. Научная новизна:

Сформулированы и доказаны теоремы о нахождении оптимальных в смысле Фр-, Ь- критериев планов эксперимента с учетом обоих источников случайных помех: статистических флуктуаций потока частиц и шума приемника.

Разработаны алгоритмы решения полученных уравнений и составлен комплекс программ расчета оптимальных планов эксперимента -бинарных масок.

Приведено численное сравнение достигаемых точностных характеристик рассчитываемых оптимальных масок мультиплексных систем с аналогичными характеристиками сканирующего и классического адамар-спектрометров.

Практическая ценность:

С помощью полученных теорем и разработанного программного обеспечения исследователь, располагающий хотя бы приблизительной априорной оценкой о соотношении шума приемника и статистических флуктуаций, получает возможность существенно улучшить информационные характеристики мультиплексных систем путем оптимального выбора плана эксперимента.

Данная теория построения оптимальных режимов наблюдения (планов эксперимента) может быть применена при мультиплексных измерениях в адамар - спектроскопии, оптике, масс - спектрометрии, радиационной интроскопии и т.д.

Апробация работы была проведена на следующих конференциях и семинарах:

Конференция «Планирование эксперимента и обратные задачи оптического зондирования» (Санкт-Петербург, 8-9 апреля 1998 г.);

Третий Санкт-Петербургский семинар по моделированию (Санкт-Петербург, 28 июня- 3 июля 1998 г.);

Международная конференция «Прикладная оптика - 98» (Санкт-Петербург, 12-16 декабря 1998 г.);

Международная научно- практическая конференция «Математические методы в образовании, науке и промышленности» (Тирасполь, 28 июня-01 июля 1999 г.);

Семинар кафедры математики и естественнонаучных дисциплин СПбИ МГУП (Санкт-Петербург, сентябрь, 1999 г.);

Семинар кафедры прикладной математики и информатики СПбГАСУ (Санкт-Петербург, январь, 2000 г.);

57-я Научная Конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (Санкт-Петербург, февраль, 2000 г.);

Семинар кафедры статистического моделирования СПбГУ (Санкт-

Петербург, май, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-7].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений, списка литературы из 80 наименований. Общий объем основной части работы 126 страниц, приложений - 20 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранного исследования, дан краткий обзор исследований по теме диссертации и приведено краткое содержание диссертации.

Глава 1 содержит предварительные сведения, необходимые для работы в целом, а также постановку задачи.

В § 1.1 описывается принцип мультиплексности. В § 1.2 дается краткий обзор результатов по оптимизации бинарных масок как при отсутствии статистических флуктуации, так и с их учетом. В § 1.3 рассматривается физический аспект процесса измерений потока частиц.

В § 1.4 формулируется следующая постановка задачи. Рассмотрим процесс измерений пуассоновского потока частиц, имеющего неизвестную плотность распределения rj{x) (Рис. 1). Доступными измерению являются значения некоторых функционалов и} (rj), которые задаются аппаратными функциями aj (х) (физически реализуемыми либо бинарными масками, т.е. dj(x)=0 или 1 для ц почти всех х из X, либо мультиплексными системами с фильтрами, т.е. О < а] (л) < 1 (mod f-i)) в каждому-ом измерении:

uj (л) = fa {x)n(x)fi{dx)J = 1,2,...,«, (1)

x

n - число наблюдений, Х- область измерения, /л - мера Лебега.

•л

ШГ1

д, ¿.

Бинарная маска

Фотоприемник

У}=М1+е1~Р{11(и1(г])л-Уе))

Рис. 1. Мультиплексный принцип измерения плотности пуассоновского потока частиц в оптическом адамар-спектрометре.

Этой схеме соответствует некоторое разбиение анализируемой области Хна непересекающиеся подобласти {}, внутри которых г/(х) усредняется. Таким образом,

- разложение по системе кусочно-постоянных функций q>k(x) = fi~\Aк)Хьк(х)> где 9к, к el : т - подлежащие оценке параметры, (х) - индикатор

т

множества At, X = , ) - М мера множества Ак.

ы

Исследуется задача оптимизации мультиплексной системы измерений пуассоновского потока частиц, допускающая точное решение.

Пусть интенсивность потока частиц v(Ak) не зависит от времени и

характеризуется плотностью 4]{х):

¡n(xHdx)=ek. О)

Л»

В каждом j-ou опыте (/el:п) приемником регистрируется число частиц Nj, прошедших через мультиплексную систему с фильтрами, имеющую функцию пропускания а^х). Принимая во внимание собственный пуассоновский шум приемника, результаты измерений представятся в виде набора независимых пуассоновских случайных величин:

yj:--N]+erP{tj{uj(T1) + vi)). (4)

В схеме (4) под планом эксперимента f потока частиц будем понимать совокупность функционалов uj вида (1) (или аппаратных функций сг,{х)) и соответствующих им весов наблюдений pt=t IT \

£ = (или ^ = (5)

где tj - интервал времени j-то наблюдения, T = - общее время эксперимента, и. sU:=(u:u(T]))=ja(x)f][x)ju(dx), а(х)е[ОД], (mod ju).

X

Задача состоит в выборе плана исходя из требования наилучшего в

некотором смысле оценивания параметров распределения т^х).

В §1.4 для получения оценки 9 вектора в используется метод максимального правдоподобия. Качество этих оценок определяется информационной матрицей Фишера, нормированной на общее время эксперимента:

В данной работе наличие двух источников случайности влечет за собой появление у информационной матрицы (в сравнении с информационной матрицей при отсутствии статистических флуктуаций) множителя (;<j('l(o))+vc)~', зависящего от неизвестного распределения г;(х). Для устранения связанных с этим трудностей зададимся априорной оценкой вектора в.

Как следствие, критерии оптимальности в данной постановке носят локальный характер.

Определение. План называется локально Ф- оптимальным в точке 0Щ для оценивания в, если

É^arginfФМ^01)] , (7)

где S - множество всех планов вида (5) на множестве функционалов U.

Определение. План называется Ja-, Фр- или L- оптимальным в

точке вдля оценивания в, если, соответственно, он служит решением следующих задач:

9т) = Argmí\mAtrM°(£,9m))V", (8)

íe= Íe3

^L)(9m)=ArgWríM-Xli,em), (10)

Í£=

где L - положительно полуопределенная матрица т х т; а, р- вещественные: /5 > 0; - оэ < о < 1.

Данная постановка задачи относится к нетрадиционному направлению в планировании регрессионных экспериментов, которое на протяжении последних 40 лет развивается ленинградской математической школой по планированию эксперимента и методу Монте-Карло под руководством проф. С.М. Ермакова1. В связи с этим можно сослаться на исследования следующих авторов: Козлов В.П., Ковригин А.Б., Мелас В.Б., Седунов Е.В. и др.

В исследовании указанных выше планов участвовали Козлов В. П., Седунов Е. В., Попова Л.П., Сороко Л. М., Федоров Г. А., а также зарубежные авторы Ченг Ч. - Ш., Харвит М. и Слоуэн Н.

Зарубежные авторы исследовали планы без учета статистических флуктуации потока. Гарвит М. и Слоуэн Н. - В- критерий. Ченг Ч. - Ш. - Ja-критерий.

В тех случаях, когда шумом измерительной аппаратуры можно пренебречь (учитывая только статистические флуктуации), известно, что оптимальным является одноэлементный режим сканирования.

А когда исследователю требуется учитывать оба источника случайных помех, схемы измерений одноэлементного и адамар - спектрометра уже не являются оптимальными. Попытку учесть специфику такого эксперимента предпринял Федоров Г.А.2, но построенные им режимы давали приближенное решение задачи при дополнительном условии насыщенности. Математически строгое решение задачи нахождения точного оптимального (в смысле определенных критериев) режима эксперимента было предложено Козловым В.П., Седуновым Е. В. и Поповой Л.П.3 Ими изучены £>-, А-, Е- критерии.

Математическая теория планирования эксперимента/под ред.Ермакова С. М. М., 1983.

2 Федоров Г. А. Радиационная интроскопия: Кодирование информации и оптимизация эксперимента.-М., 1982.

3 Козлов В. П., Седунов Е. В., Попова Л. П. Оптимальные бинарные маски оптических адамар-спектрометров в режиме счета фотонов //Науч. приборостроение. - 1991.-Т. 1,№2.-С. 104-119.

Данная работа обобщает вышеизложенные результаты с учетом обоих источников случайности - шума приемника и статистических флуктуации потока.

Глава 2 посвящена решению задач (8) - (10).

В §2.1 рассматриваются необходимые и достаточные условия оптимальности, приводятся аналоги теоремы эквивалентности Кифера для задач (8) - (10).

Теорема 2,2. (Эквивалентности для локального /д- критерия)

План 0; локально ]а- оптимален в точке вт тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

I. вирЛ^Г.^^Мзирл^.^^)' (11)

иЛ!

2 *иР (12)

иеи

/.(,,.г.в»')-!:1(АГ'(£-.в'»Г I-!»!.. (">

Теорема 2.3. (Эквивалентности для локального Ь- критерия)

План локально Ь-оптимален в точке 0Ф) тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

1- $ирк{и, 4-, £!0>) = шГ £ 6,!<"). (14>

ки чей

2. зир (15)

«ей

где •

Структура функционалов локального Ф- оптимального плана определяется следующей теоремой:

Теорема 2.4.

Аппаратные функции соответствующие локально Ф-

оптимальнъш планам, допускают следующее представление:

к-1

где .( \ [1, если Л^ирря", (18)

[О, иначе,

зирра' = {х е X: а(х) > 0} - носитель а(х).

Следствие.

Локально Ф- оптимальные планы характеризуются п-наборами т-мерных точек, образующих (0,1) -матрицу планов:

то есть, расположение вырезов и перемычек в маске задается расположением единиц и нулей в строках матрицы измерений /Л

Вспомогательные соотношения и выкладки, необходимые для получения основных результатов данной главы, приводятся в §2.2.

Обозначим через ^ план, содержащий все п, = С'т т - точки с / единицами и (т-Г) нулями. Через - план, включающий еще кроме того и т - точки с (/+1) единицами и (т-1-1) нулями (общее число точек п1т =<"'1 причем веса в обоих случаях распределены равномерно. План

£ представим в виде линейной комбинации планов с весами р, (¿^=1): /=1

В §2.2 получен вид информационной и ковариационной матриц для определенных выше планов:

Лемма 2.2.

Информационная матрица в рассматриваемой задаче имеет следующий зависящий от плана £, вид:

/

т(т-\)900 + 0 I + 1

{(/7! -/)/„ +(/-!)£„,}.ДЛЯ £ =

X {(/я-0(1Я/ + тС - ¿-)/„ + /(/я/ + тС-£- 1)ЕК}, .Для £ =

Обратная к ней ковариационная матрица М~1(%,в0) тогда запишется как

- V- - ('■- да *=;

(21)

(/+ 1Хя»-/)(«/+ О

X (от - 1)(т/(/ +1) + £(/я/ + т - /'))-' X х {(от -1 ){т1{1 +1) + £(т1 + от - /))/„ --1(т1 + т<$-£-\)Ет}, для

где /т - единичная (т х ш) матрица, Ет - (тх т) матрица, составленная из

единиц.

Лемма 2.8.

т

Для плана информационная и ковариационная матрицы имеют вид:

1=1

в0т2(т-\) ,) = ватг <«-!)• [0(£ + ЩМ)Ет ],

где:

0

ы 1 + С, ы 1+С,

(22)

(23)

В §2.3 дано аналитическое решение задачи для /а-критерия (8). Доказан следующий результат: Теорема 2.5.

Пусть £=у£/0о. Если - положительный вещественный корень уравнения (он существует и единственный)

где

т! - (т1 + т - + т\ - £ )' а <1, т >1, 1<1<т,

(25)

(26)

(27)

(28)

то локально За- оптимальный план Е,'имеет следующий зависящий от значения параметров £ е [о,«>] и а <1 вид:

е„если^» = 0<С<Й); £„еслиС<:' <С<С,%;

Г(0 =

(29)

где

еКм.е- (2/+1^_1) + (2/+1_т){(2/+1_т)/(2у+1ГМ) ■

1П[(2/-1-ш)/(2/-1)]+ [(т+1)/2]+1</<т_1;

1п[/(«-1)/(ти-/)] и ' 1 /(/) = ] -оо, если /=[(т+1)У2]; (30) 1 , если I = т.

«О»

(31)

1, если / = т.

Значение определяется параметром а, а именно, последовательности

(30) и (31 ^образуют разбиение промежутка [~оо,1] на непересекающиеся

промежутки, причем гтш=' , если /(/")< а <

Аналитическое решение для Фр- критерия может быть сформулировано

в виде следствия теоремы 2.5. Следствие.

Пусть С, - ус(в0. Если ¿¡¡^ - положительный вещественный корень уравнения (он существует и единственный)

/г+г + <г(2/ +0+^=0,

где

т

-1

1(т£-£+т1-1)

(32)

(33)

(34)

(35)

р>0, т >1, \<,1 <т,

то локально Фр -оптимальный план £,* имеет следующий, зависящий от значения параметров Се[о,сс] и р>о вид:

<С - нечетное;

,т/2 к £ - °°>т ~ четное, р е [р,, да}

<С<ю,т - четное,ре[о,р,);

(36)

где

^1/2,(т+2)/2 - е%т12 + 0 ~

{т*2)Ц<

(т+1У(т-1)+(т2 -4){т+1}"(^, 1 4{т2 +(т+-1)1;(рт) -1)

р, -

-1-

Следует отметить, что в отсутствии статистических флуктуаций (т.е. при ^=оо) полученные для Уд- и Фр- критериев результаты полностью совпадают с результатами Ченга Ч. - III.4

При а=0, -I и -оо -/¿гкритерий эквивалентен О-, А- и Е- критериям соответственно, и результаты исследований Козлова В.П., Седунова Е.В., Поповой Л.П. аналогичной задачи для последних трех критериев являются частными случаями данного результата. Выкладки, подтверждающие это, приведены в §2.4.

В §2.5 дано аналитическое решение задачи для ¿-критерия (10). Доказан следующий результат. Теорема 2.9.

Пусть Ь = 1т+ рЕт, где Iт-единичная т-матрица, Ет - т- матрица

из единиц. Пусть = : /3 е >' 1 -1 < I, т - 11елые.

т'тJ

Если - положительный вещественный корень (он существует и единственный) уравнения

А^+Я^+Я^ +Г>з=0, (37)

где

D0=(m- 1)2х

х [(«/+т - /)3(1 + (21 + \)ß) -1(21 +1)(1 -f mß)(ml + 2т- 21)}, £>, = (т-1 )21(1 +1)(/ -ml-m)(ß(l -ml-m)- 2т(\ + ß(2I +1)))- /2(1 + mß)(l +1 )(m - У)2(2m + ml - 21) -ml2( 1 + mß)(2l + 1)(ш -1) x x (ml + Im - 21 - 1) - /(1 + mß)(2l +1 )(ml -1 )(m-1)(2m + ml - 21); D2 = м2/2 (m - j)2 (/ +1)2 • (1 + (21 + l)ß) + 2ß(m-l)2 ml2 (1 +l)2 x x(ml+m-l)- ml\ 1 + mß)(m -1)(/ +1 )(ml ¥ 2m - 21 -1) -- ml2 (21 +1)(1 + mß)(ml + 2m-2l-1 )(ml -1) --12 (l+1 )(m -1)(1 + mß)(7m + ml- 2l)(ml -1);

D3 = (m -1 )2m2l\l + l)'ß- mP( 1 + mß)(l +1 )(ml -1 )(ml + Im - 21 -1);

4 Cheng C. -S. An application of the Kiefer - Wolfowitz equivalence theorem to a problem in Hadamard transform optics //Ann. Statist. - 1987. - Vol.15, N 4. - P. 1593 - 1603.

то решение задачи (10) имеет следующую структуру: если£"0, = 0 < ^ <£12,Р <0, 1;

= (38)

> < С ^ ^ - нечетное;

£,/2>еслиС(т-2)Дт/2 четное.

В то время как нижняя граница области

.12 т' т

определяется из

условия положительной полуопределенности матрицы Ь, верхняя граница определяется из условия существования единственного положительного корня уравнения (37).

Воспользовавшись обобщениями Кифера5 и Пукельсхейма6, запишем:

= «е[-ооД (39)

в случае, когда матрица Ь представима в виде £ = /„ + рЕт, ¿-критерий легко включить в ./„-критерий, и уравнения (25), (32) и (37) перепишутся в виде:

КО КО

В Главе 3 описываются численные процедуры , задача табулирования и практические приложения. С практической точки зрения параметр £ удобнее заменить на параметр у = / от, характеризующий относительную интенсивность шума приемника.

В §3.1 предлагается следующий порядок расчетов Ja-, Фр- и Ь-оптимального плана.

1. При заданном числе элементов разрешения т, параметре о (или р,

5 Kiefer J. C. General equivalence theory for optimum designs //Ann. Statist. Vol. 2, 1974.-P. 849-879.

6 Pukelsheim F. On linear regression designs which maximize information // J. Statist. Plann. Inference, 1980, № 4. P. 339 -364.

или Р) и критерии оптимальности (8) (или (9), или (10)) для каждого 1 = 1: вычисляются значения у}°2\ у\й}л, ..., , путем решения

уравнения (40).

2. Определяется открытый интервал (/¡"¡,, ), в который попадает

априори заданный параметр у = С!т Ввиду того, что значение ¿Г (а, соответственно, и у) на практике известно лишь приближенно, точное совпадение у с одним из концов интервала можно исключить. Если ^(И-и-^м)' т0 оптимальным планом (в смысле выбранного критерия) служит план с бинарной маской, содержащей в каждом измерении I пропускающих элементов и (т-Г) задерживающих.

В §3.1 также доказываются следующие важные факты.

Лемма 3.1. (Л-кригерий)

Для любых а,, а2 таких, что а1<а2<1 и фиксированных т и I (1<т, I - из области существования соответствующих оптимальных планов) справедливо неравенство:

(41)

Лемма 3.2. (Фр- критерий)

Для любых />,, р2, р3 таких, что р1 > р2 > рэ > 0 и фиксированных т и I (1<т/2) справедливо неравенство:

(42)

Последнее означает, что при любом значении у = £!т по крайней мере два из любых трех критериев Фр- семейства оказываются эквивалентными. Отсюда, в частности, следует соотношение для О-, А-, Е- критериев, указанное Козловым В.П., Седуновым Е.В., Поповой Л.П.:

(43)

В §3.2 подробно изложены вопросы программного обеспечения,

реализующего алгоритм §3.1.

В §3.3 проводится анализ численных результатов, а также сравнение с одноэлементной схемой и схемой Адамара, рассматривается иллюстративный

пример, приводятся графики, отражающие выигрыш в точности .)а- и Ь-планов по сравнению со сканирующими и схемой Адамара при различных т в зависимости от параметра у [т.

а).

Ъ).

Рис. 2 Выигрыш в точности L- оптимального плана по сравнению ajeo сканирующим при т~Ю, 20, 30,40, 50; Ь)со схемой Адамара при т-=!00 в зависимости от параметра у при ¡] =-1/2т.

Указанные теоремами 2.5 и 2.9 и следствием теоремы 2.5 локально Ja-, L- и Фр- оптимальные планы содержат большое число m-мерных точек: nf. (m+lï

""-тйФг (44)

Очевидно, что с практической точки зрения наибольший интерес представляют оптимальные планы, сосредоточенные в меньшем числе точек, а еще лучше, в наименьшем возможном числе точек.

Общая теория оптимального (по выпуклым (вогнутым) критериям) планирования гарантирует существование оптимального плана с числом точек п:

т{т +1)

tn<n<—---.

2

В §3.4 дано решение задачи минимизации числа измерений, связанное с вопросом существования уравновешенных неполных блок-схем.

Определение. Пусть задано множество S из m элементов; {5'1,52,...,5т}; Sl,S2,...JSn- п различных подмножеств (блоков) множества S. Совокупность подмножеств называется уравновешенной неполной блок-схемой ( (п, m, г, I, I)- конфигурацией), если каждый блок содержит точно I различных элементов, каждый элемент появляется ровно в г различных блоках, каждая неупорядоченная пара различных элементов st и sj появляется точно в А

блоках. Множество всех С'т сочетаний из m элементов по I, взятых в качестве блоков, образует полную блок-схему.

Определение. Блок-схема называется симметричной, или (m, I, А)-конфигурацией, если п~ т.

Доказан следующий результат. Теорема 3.1.

Пусть выполнены условия теоремы 2.5 (2.9), тогда :

1. Если Çr [(. < Ç < Çf. (.+i, то для существования локально Ja- (L- ) оптимального в точке О® плана 4'(С) с числом наблюдений п, меньшим чем достаточно, чтобы существовала (п, т, г, Г, X)-конфигурация такая,

что п<п}.. Матрицей Р' тана £{£) служит при этом матрица А инцидентности этой конфигурации, а веса наблюдений в точках носителя равны.

2. Если £ = то для существования локально .1а- (Ь-) оптимального в точке в^ плана с числом наблюдений п, меньшим, чем п.

достаточно, чтобы существовали (п, т, г\ Г, У)- и (пт, г". Г,

и \

конфигурации такие, что и'+ п"<п.. и —=-При этом Е' = ■■•

п" т-1

к;

где АА" -матрицы инцидентности указанных конфигураций, а веса наблюдений также полагаются равными.

В §3.5 говорится о практическом использовании полученных

результатов на примере пространственной модуляции излучения в радиационной интроскопии и адамаровского сцинтилляционного счетчика.

Радиационная интроскопия - это совокупность методов изучения протекающих в оптически непрозрачных средах процессов при помощи источников ионизирующего излучения. Одним из наиболее распространенных методов интроскопии является гамма-топография - метод, связанный с получением двумерного пространственного распределения физиологически активного зондирующего индикатора, меченного радионуклидом в органах и системах человеческого организма.

Рассмотрена методика измерений интроскопом, его структурная схема. Основными узлами прибора являются: сканируемая площадка, многоканальный коллиматор, кодирующее устройство, экранирующее каналы коллиматора, измерительный преобразователь, анализатор и система управления кодирующим устройством. От двумерного распределения в математических выкладках можно перейти к одномерному, если последовательно пронумеровать элементы сканируемой площадки и вытянуть матрицу в т- строку.

В Заключении формулируются основные результаты диссертации. Приложение 1 содержит текст программ, которые реализуют

предложенные в диссертации алгоритмы построения локально Фр- и I-оптимальных планов. Приложение 2 содержит таблицы Уд-, Фр- и Ь- планов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Сформулированы задачи оптимизации плана измерений потока частиц в мультиплексной системе с учетом статистических флуктуаций и шума приемника как задач локальной Уд-, Фр- и Ь- оптимизации.

2. Дано аналитическое решение этих задач при любом заданном значении параметра 0 <^ 5 со, характеризующего соотношение между шумом приемника и квантовыми флуктуациями сигнала в предположении пуассоновских потока частиц и распределения шума приемника. Получен вид информационной и ковариационной матриц планов определенной структуры.

3. Обобщены полученные ранее Козловым В. П., Седуновым Е. В., Поповой Л. П. результаты с учетом статистических флуктуаций потока для £>-, А-, Е- критериев, а также результат Ч.-Ш. Ченга для Ja- и Фр- критериев в отсутствии статистических флуктуаций.

4. Указан метод расчета на шкале у границ оптимальности сканирующего и классического адамар- спектрометров, а также интервала, внутри которого необходимо учитывать как шум приемника, так и статистические флуктуации сигнала.

5. Приведены примеры вычислений локально Уд-, Фр- и Ь-оптимальных планов и сравнение их характеристик с классическим адамар- и сканирующим спектрометрами.

6. Поставлена и решена задача нахождения локально Уд-, Фр- и Ь-оптимальных планов в постановке главы 1 с наименьшим числом точек.

7. Разработан комплекс алгоритмов и программ, реализующих предложенный в диссертации метод. Построены таблицы Уд-, Фр- и 1-оптимальных планов в мультиплексных системах измерений с учетом статистических флуктуаций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Седуное Е.В., Шутова Ю.А. Линейно оптимальные режимы в адамар-спеюрометрии// Планирование эксперимента и обратные задачи оптического зондирования. Программа и тез. докл. СПб. - 1998,- С.47-48.

2. Седуное Е. В., Шутова Ю. А. Об одном обобщенном критерии оптимизации оптических адамар-слектрометров //Сб. тез. и программа междунар. конф. «Прикладная оптика 98». - СПб.: ГОИ им. С. И. Вавилова. -1998.-С. 51.

3. SedunovE. V., ChoutowJ. А. On the problem of linear optimal binary masks for density estimation of flow of particles // Proc. of the 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation.- St. Petersburg, StP Univ. Press, 1998. - P. 204 - 208.

4. Седуное E.B., Шутова Ю.А. Оптимизация мультиплексных систем измерений по общему критерию// Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. - СПб.: СПбГАСУ. - 1999,- Вып. 5. - С.148-154.

5. Седуное Е.В,, Шутова Ю. А. Принцип мультиплексности: история, преподавание, новые результаты// Тез. докл. междунар. науч.- практ. конф. «Математические методы в образовании, науке и промышленности», Тирасполь, 1999,- С. 39-40.

6. Шутова Ю. А. Оптимизация бинарных масок оптических адамар-спектрометров //Оптич. журн. - 2000.-Т.67, №1.- С.61 -65.

7. Седуное Е. В., Шутова Ю. А. Линейные оптимальные бинарные маски оптических адамар-спектрометров в режиме счета фотонов// Оптич. журн. - 2000. - Т.67, №2. - С. 49-53.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 25.04.2000 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная.

Печать ризографичеекая. Объем 1,4 пл. Тираж 100 экз. Заказ 1368.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика.

198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.