автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы математического моделирования и анализа множества возможностей сложных и трансформирующихся систем

На правах рукописи

СИРАЗЕТДИНОВ РИФКАТ ТАЛГАТОВИЧ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА (ШОЖЕСТВА ВОЗМОЖНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ И ТРАНСФОРМИРУЮЩИХСЯ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.13 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

(авиационная и ракетно-космическая техника)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Казань - 1997

Работа выполнена в Казанском государственном техническо! университете им. А.Н.Туполева

Научный консультант - Академик МАН высшей школы.

Академик АН Татарстана, доктор технических наук, профессор Г.Л.Дегтярев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Хрусталев М.М.

доктор технических наук, профессор Фурасов В. Д. доктор технических наук, профессор Егоров Г. А.

Ведущая организация:

Государственный институт проблеу промышленности, бизнеса и приватизации (г.Казань).

Защита состоится 1997г. в ■/3 часов

на заседании диссертационного совета Д 063.43.03 в Казански государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул. К.Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университет Автореферат разослан ^ 1997г.

Ученый секретарь

диссертационного

П. Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время математические методы 1 моделирование находят все более широкое применение к описанию, [рогнозированию и проектированию различных сложных систем и процес-:ов. Сложность систем и процессов определяется по некоторым, общим гарактеркым признакам, к которым относятся многокригериальность, ■¡ногорежимность, многофункциональность, многосвязность, многоплано-юсть, большая размерность и некоторые другие свойства. Эти признаки досматривались в работах А. И. Кухтенко, Н. П.Бусленко, Л. А. Растриги-ia. Дк.Касти, Т.К.Сиразетдинова и ряда других исследователей.

К сложным процессам относятся не только процессы, протекающие в пехнических системах и инженерных объектах, которые наиболее изучена но и а математически менее изученных объектах, такие как экономические, экологические, общественные и другие 'процессы, которые юобенно интенсивно стали рассматриваться с точки зрения применения •атематических методов в последнее время. Таким образом, исследование и развитие методов математического моделирования сложных систем, с которым относится и тема данной диссертационной работы, является шуальной проблемой современной науки и техники.

Как известно, на высоком уровне развития находится современная сосмическая наука и техника, которая перед инженерами и учеными ставит все более псБке и сло;шко проблемы. В частности, развитие дина-шки пслета, теории управления движением, синтеза траекторий привело с рассмотрению множества возможных вариантов функционирования систе-щ, поведения траекторий, математическое описание и оценка их воз-южностей. В ряде работ достаточно подробно изучались вопросы о мно-sscTBe достижимости динамических систем и сценка области притяжения (Ф. Л.Черноусько, В.И.Коробов, И.Д.Кочубиевский, А.В.Лотов, А.И.Пана-жк, В.Д.Фурасов, М.М.Хрусталев и др.), построение пучков, ансамблей траекторий, управления ими (Н.Н.Красовский, В.И.Зубов. A.B. Куржанс-шй и др.), построение множества траекторий, основанных на'дифференциальных включениях (A.A.Толстоногоз и др.), эллипсоидальные оценки тожеств траекторий (Ф.Л.Черноусько и др.), синтез множества управ-иения из условия удовлетворения заданным ограничениям в виде нера-зенств (А.И.Богомолов, Т.К.Сиразетдинов, Г.Л.Дегтярев и др.) К этой чроблеме относятся и. задачи с параметрическими неопределенностями, зценивание областей расположения корней характеристического уравне-

- г -

ния в условиях неопределенности (В.М.Кунцевич. ю.И.Шокин, 0. в. Абрамов, В.В.Здор, В.Л.Харитонов, Н. А.Хлебалин и др.). Эти и другие исследования показали необходимость целенаправленного изучения проблем моделирования множества возможностей сложных технических систем.

К теоретически и практически очень важным проблемам математического моделирования относятся модели и исследование на основе этих моделей процессов, протекающих в производственных и экономических объектах. В настоящее время существуют ряд подходов к моделированию экономических объектов, описывающих их как на микро-, так и на макроуровнях (В.Леонтьев, Дж. Форрестер, В.С.Немчинов, Л.В.Канторович, А.И.Гранберг, К.А.Багриновский, В.В.Коссов, В.М.Матросов, 'Т.К.Сира-зетдинов, В.И.Цурков и др.). Необходимость дальнейшего изучения этих задач следует из критического состояния экономики во многих странах мира. В связи с этим в последнее время начали развиваться концепция и подходы к построению теории стабильного развития (В.М.Матросов. М.М.Хрусталев, С. Н. Васильев и др.).При этом перспективным направлением является развитие и применение математических методов и. в частности, моделирование и исследование развития многопродуктовых объектов, когда производственную мощность объекта невозможно описать как скалярную величину.

В сложных системах происходят два вида процессов. Первый - развитие системы, а второй - процесс функционирования системы. При этом процессы функционирования, т.е. множество возможностей функционирования системы, ограничены уровнем развития система. Поэтому важна и актуальна проблема математического описания процессов развития системы, функционирования'ее, трансформирования ее структура и инфраструктуры. Термин "трансформирующиеся системы" введен для характеристики поведения современных экономических систем В.М.Матроссвым.

К сложным системам относятся транспортные системы, в том число и авиационные, которые рассматривались в работах А.В.Дабагяна, Н.Ащ-форда, Х.П.М.Стентона, К. А. Мура, Г.И.Глушкова и других.

Исследованию и математическому моделированию перечисленных сложных систем и процессов посвящены большое количество исследований и в них получены значительные научные результаты, имеющие большое теоретическое и практические значение. Несмотря на эти крупные научные достижения многие проблемы математического моделирования и исследования сложных систем и процессов остаются еще не достаточно развитыми. В частности, нет единого подхода к моделированию сложных

систем, остается мало исследованными проблемы моделирования развития многопродуктоЕых объектов, трансформирования структуры и инфраструктуры сложных систем, системы защиты Земли от падения опасных космических объектов, обеспечивающей встречу либо перехват до попадания их в опасную для Земли зону. При этом важно исследование и управление множеством возможных, или реализуемых, перелетов космических аппаратов. Ва:кнсй проблемой остается также проектирование инфраструктуры авиационных транспортных систем, и подходы к ее решению.

Все эти проблемы связаны с моделированием их как сложные системы и процессы. Данная диссертационная работа посвящена к моделированию сложных систем и процессов с приложением к исследованию указанных объектов, которые являются многорежимными, многокритериальными, многофункциональными, многовариантными и обладают рядом других свойств множественного поведения при их реализации.

Цель работы. Разработка методов и алгоритмов анализа множества возможностей функционирования сложных, многокритериальных, многорежимных и трансформирующихся систем и их применение в задачах исследования и проектирования систем и объектов различного назначения.

Задачи исследований.

1. Разработка принципов и методов формализации множества возможностей Функционирования сложных системь; и, на их основе, методов-построения математических моделей мощности сложных систем.

2. Разработка методов математического моделирования развития, трансформирования сложных систем, которое связывается с изменением инфраструктуры системы.

3. Исследование свойств выходной и входной мощности системы, а также располагаемой мощности, под которой понимаются возможности системы, стесненные, с одной стороны, самой системой, а с другой стороны, возможностями внешней среды.

4. Разработка методов и алгоритмов, позволяющих исследовать сложную систему на предмет обеспечения ее требуемой мощности, определять неиспользованную часть либо недостающую мощность, системы.

5. Разработка методов и алгоритмов аналитического проектирования сложных систем, предполагающих последовательное уточнение и развитие модели мощности проектируемой системы.

6. Разработка методов и алгоритмов решения задач синтеза управ-

ления и проектирования многокритериальных, многорежимных систем не основе моделирования их мощности как множества в пространстве критериев качества:

7. Показать эффективность разработанных методов при решении задач исследования сложных систем различного назначения.

Методы исследований. При решении поставленных в работе зада1 применяются методы математического моделирования, теории множеств, системного анализа, ■ линейной алгебры, теории автоматического регулирования и управления. При выполнении расчетов применяется математическое моделирование на основе вычислительной техники, расчеты выполнены с использованием языка программирования DELPHI 2. 0.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научныЕ результаты:

1. Дано определение мощности системы как множества всех ей потенциальных возможностей функционирования, т.е. выполнения функци! системы,, представляющих собой цели создания, существования или использования ее, и разработаны способы построения этой мощности.

2. Формализован процесс функционирования системы, введеш пространства характеристик функционирования, и мощности системы моделированы как множества в этих.пространствах.

Разработаны способы моделирования выходной и входной мощностей объекта как множества выпусков, и множества потребностей системы i соответствующих пространствах.

Даны способы моделирования систем объектов и процессов, функционирование которых линейно связаны с выпуском и с потребностями. Ohi названы системами или объектами линейного типа.

Получены соотношения, связывающие входную, выходную мощности i мощность инфраструктуры системы линейного типа.

3. Введены математически формальное определение инфраструктур! системы объектов как совокупности элементов или объектов, из которы образована система, и пространство инфраструктуры, каждой точке ко торого соответствует определенный элементный состав системы. Мощ ность системы конструируется из мощностей типовых объектов и расс матривается как семейство множеств, параметризованное на точка пространства инфраструктуры.

Разработаны методы агрегирования инфраструктуры, построения не

использованной и недостающей мощностей, основанные на их параметризации.

4. Дано определение трансформирования системы, как изменения во времени ее инфраструктуры, и разработана математическая модель, описывающая процесс трансформирования сложной системы за счет ввода новых объектов и выбытия объектов за счет старения, износа и по другим причинам.

5. Введено понятие располагаемых мощностей, под которыми понимаются возможности системы, стесненные, с одной стороны, мощностью самой системы, и, с другой стороны, внешней средой.

Исследованы взаимосвязи располагаемых и.требуемых мощностей для систем, состоящих из последовательно и параллельно соединенных объектов, а также варианты распределения выходной мощности системы между различными объектами.

6. Разработаны методика и алгоритмы аналитического проектирования сложых систем путем выбора вектора инфраструктуры, предполагающие последовательное уточнение и развитие модели мощности проектируемой системы.

Разработан алгоритм решения задачи анализа мощности, основанный на проверке достаточности или недостаточности мощности системы для обеспечения требуемой мощности.

Разработан алгоритм решения основной задачи проектирования инфраструктуры, которая заключается в нахождении такого вектора инфраструктуры системы, чтобы мощность системы была достаточна для обеспечения требуемой мощности.

7. На основе представления мощности многокритериальных систем, кзк т.яожества возможных значений критериев качества функционирования з соответствующем пространстве, разработаны критерии проверки существования решения основной задачи управления в теоретико-множественной постановке, в том числе в условиях неопределенности, и итерационный метод решения задач проектирования многорежимных систем, названный методом одновременного спуска.

3. Разработана математическая модель мощности замкнутой системы экономических объектов, включающая некоторый производственный объект. рынок потребностей и рынок сбыта продукции.

9. Разработана математическая модель мощности авиационной транспортной системы, включающая модели мощности парка воздушных судов. аэропорта и служб аэропорта как его подсистем.

10. Разработаны методы решения задачи обеспечения возможности перехвата опасных космических объектов, несущих угрозу Земле, на основе построения множеств реализуемых перелетов космического аппарата-перехватчика.

11. Предложены алгоритмы решения задачи модального синтеза линейных систем в условиях параметрической неопределенности и с учетом множества вариантов реализации.

Практическая ценность полученных научных результатов в диссертации состоит в том, что они позволяют разработать инженерные методы и алгоритмы решения задач анализа и синтеза сложных систем и управления ими с учетом их множественности поведения. В частности, эти результаты автором, применены при рассмотрении и решении следующих технических задач:

- моделирования и исследования таких систем, как парк воздушных судов, авиационная транспортная система;

- обеспечения возможности перехвата опасных космических объектов, несущих угрозу Земле;

- исследования возможных вариантов развития отрасли машиностроения Республики Татарстан в плане конверсии;

- синтеза регулятора для одноосной стабилизации космического аппарата с упругими элементами конструкции при неопределенности параметров.

Выполненные исследования являются частью работ, которые в течении ряда лет проводились с участием автора на кафедрах Динамики полета и управления. Управления, маркетинга и предпринимательства, Автоматики и управления Казанского государственного технического университета.

Анализ функционирования авиационной транспортной системы, исследование и построение моделей ее мощности проводились при выполнении хоздоговорных работ с консорциумом АвиаСпецТранс (г.Жуковский) и по плану фундаментальных научных исследований Казанского, государственного технического университета.

Начиная с 1987 года в Казанском государственном техническом университете по плану фундаментальных научных исследований при участии автора велись.и ведутся работы, связанные с разработкой быстродействующих алгоритмов построения множеств реализуемых перелетов КА-перехватчика с целью обеспечения возможности перехвата опасных

и' ''

:осмических объектов, несущих угрозу Земле.

Разработка математических моделей и исследование отраслей про-кшленности Республики Татарстан проводились в соответствии с хоздо-'оворами с Государственным институтом проблем промышленности, бизне-;а и приватизации (Госинпром-КНИАТ. г.Казань).

Результаты диссертации использованы на предприятиях НИИ Авиаци-iHHoro оборудования (г.Жуковский). Госинпром-КНИАТ (г.Казань), а -акне в учебном процессе и дипломном проектировании в КГТУ им. I. Н. Туполева.

В диссертации дается единый подход к математическому моделированию сложных систем и процессов, который является обобщением рецепта ряда инженерно-технических задач, выполненных автором в течение ¡яда лет. Полученные в диссертации научные результаты обладают дос-■аточной общностью и могут быть применены при решении задач анализа, ¡роектирования и прогнозирования процесса развития сложных систем ¡азличной природы.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

Межвузовской конференции по применению вычислительной техники и [атематических методов в научных исследованиях. (Алма-ата, 1980г.), III Поволжской научно-технической конференции "Алгоритмы, :редства и системы автоматического управления" (Волгоград, 1984г.),

Пятой (Казань, 1985г.) и Шестой (Львов, 1988г.) всесоюзных конвенциях по управлению в механических системах.

Пятой (1987г.), Шестой (1992г.) и Седьмой (1997г.) всесоюзных [етаевсжх конференциях "Аналитическая механика, устойчивость и уловление движением", Казань.

I (Казань, 1989г.) и II (Казань, 1996г.) Республиканских науч-шх конференциях молодых ученых и специалистов,

XI всесоюзном совещании по проблемам управления. (Ташкент, 1989

Научных чтениях по авиации и космонавтике (Казань, 1990г.) "Управление полетом и устойчивость движения летательных аппаратов".

Научно-технической конференции "Научный потенциал вузов - прог->амме "КОНВЕРСИЯ" (Казань, 1993г.).

VI Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению дви-сением и навигации летательных аппаратов (Самара, 1994г.),

III и IV Международных конференция "Многокритериальные задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994 и 1996гг.),

Втором Всероссийском ахметгалеевском семинаре "Аналитическая механика, ■ устойчивость и управление движением" (Казань, 1995г.).

Международной научно-технической конференция "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. МОДЕЛЬ-ПРОЕКТ 95" (Казань, 1995г.),

Международной конференции "Устойчивость и управление для трансформирующихся нелинейных систем" (Москва, 1995г.).

III Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления, оптимизации и их приложения" (Сант-Петербург, 1995г.),

Международном семинаре "Искусственный интеллект в образовании" (Казань, 1996г.),

Украинских конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995 и 1996гг.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 38 научных трудах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 360 страниц машинописного текста, включая 64 рисунка и 11 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности проблемы, основные научные положения и результаты, выносимые на защиту, краткое изложение диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием мощности сложных систем. Вводятся понятия функционирования, работы, вектора функционирования, пространства потока работ. мощност> сложной системы. Даются принципы математического моделирования мощности сложных систем.

Определение 1.1. Мощностью системы называется множество всех е£ потенциальных возможностей функционирования, т.е. выполнения функщй

(работы, операций, оказание услуги, производство продукции, обработка. информации и т.п.). представляющих собой цели создания, существования или использования системы.

Определение 1.2. Функционированием системы называется выполнение во времени конкретных функций, присущих системе, ее подсистемам и элементам.

Результат функционирования системы характеризуется выполняемой ей работой. Результат измерения работы, произведенной на некотором интервале времени, называется объемом работы.

Определение 1.3. Работой элементарного вида (РЭВ) называется работа, объем которой измеряется скалярной величиной и образует линейное пространство над полем вещественных чисел.

Пусть система может выполнять N различных элементарных видов работ, объемы которых обозначим, соответственно, Wi, W2. ... , WH. Вводится N-мерное линейное пространство работ R*. такое что любая

работа, выполняемая системой, изображается точкой W = (Wt.....WH) в

пространстве R„. В дальнейшем предполагается, что результаты функционирования системы при заданной номенклатуре РЭВ полностьа определяются точка!«! W пространства работ Rw.

Вводится понятие вектора функционирования wx(t,t), как объема работы, выполненной начиная с момента t за время т. Если работа W(t) дифференцируема по t, то существует поток работ X(t) = dW/dt, в каж-льгл момент времени принимающий свои значения из . некоторого N-мерного линейного пространства Rx. В случае недифференцируемости работы рассматривается вектор средних потоков работ Xcp(t,т) =wx(t,т)/т, выполняемых га время т, и вектор потоков XT(t) = wx(t,T)/T, средний по периоду Т, где Т - некоторый характерный для функционирования системы период времени, например, час, сутки, квартал, год и т. п.

Мощность системы математически описывается как множество Н» в пространстве вектор-функций wx. Сечение Qw(t,т) множества Ew при фиксированных t и т представляет собой множество всех возможных работ, которые система имеет возможность выполнить начиная с момента t за время т, и представляет собой мощность системы на интервале [t,t+т). В случае, когда функционирование системы описывается потоком работ X £ Rx, ее мощность задается в виде множества Qx(t) с rx.

Пусть два пространства работ RWJ размерности Nj и R«2 размерности Ы2 связаны некоторым линейным отображением f$ : R»1 - R„z. Тогда векторы работ в этих пространствах связаны следующим выражением:

у;2 = р ш1 , ш'е!?,,1 , мге11„2 , (1.1)

где р = - некоторая матрица коэффициентов размерности 112 х М^

Это отображение однозначно определяет вектор работы в пространстве Л»2, соответствующий работе из пространства И»1. Обратное же отображение в общем случае существует не всегда. Элементы ри каждого 3-го столбца матрицы р представляют собой объем работы 1-го элементарного вида (1=1,N2) пространства соответствующие выполнению 3-го элементарного вида работ пространства й«1 (3=1,N1).

Пусть функционирование системы описывается потоком работ X £ Ех, а мощность ее описывается множеством йх с Кх- Рассмотрим пространство потоков работ Е^, связанное с пространством Ех линейным отображением р:

2(1) = Р Х(Ю . (1.2)

Выражения (1.1) и (1.2) рассматриваются как агрегирование работ или потоков .работ системы, хотя, в общем случае, размерность векторов, стоящих в левых частях выражений, может быть больше размерности векторов, стоящих в правых частях.

Мощность системы в пространстве представляет собой множество Й2 с й2 всех возможных потоков работы Ъ. определяемых допустимыми вариациями вектора X е Ох, и записывается в следующем виде:

Й2 = { Ъ\ г = Р X. X е Ох с } . (1.3)

Это выражение определяет некоторое отображение множеств рХ2:

Ох = рх2 ах - (1.4)

Пусть теперь задана мощность в агрегированных переменных Й2 с 112. Мощность системы Ох в пространстве 1гх, соответствующая й2, представляет собой множество всех тех точед X е Ех, которые в соответствии с (1.2) отображаются на множество й2 пространства Е2. Это отображение в общем случае многозначное и записывается в виде:

ах = { X: х е их, р х = г, г е а2 с и2 }. (1.5)

Выражение (1.5) определяет некоторое'отображение множеств р2Х:

Йх = Ргх Йг •

(1.6)

Рассмотрены свойства отображений рХ2 и р2Х. Показано, что

Рхг ( Ргх С 02* .

(1.7)

При функционировании системы часть мощности может остаться неиспользованной. Пусть Йх - мощность системы, а X* = Х*и) е йх - поток работы, выполняемой системой в некоторый момент времени 1;. Множество всех возможных потоков дополнительной работа системы при условии выполнения работы X* определяется следующим выражением:

ДЙх(Х') = { ДХ : АХ > О, X* + ЛХ е Йх , ДХ е } , (1.8)

и представляет собой неиспользованную мощность системы.

Пусть для выполнения каких-либо задач или функций требуется мощность Ох*. Множество всех потоков дополнительной работы системы определяется следующим выражением:

ДОх + = { ДХ: ДХ > О, ДХ + О/ С 2Х, ДХ £ Ях } . (1.9)

Система может не располагать достаточной мощностью Йх для удовлетворения требований, заданных в виде множества Ох*. Тогда возможны такие потоки работ X* £ Йх*, что мощности системы йх не достаточно для их реализации. Недостающая мощность ДЙХ~, при добавлении которой к йх станут реализуемыми любые потоки работы X' из йх* удовлетворяет соотношению

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием мощности инфраструктуры сложных систем. Вводится понятие инфраструктуры как элементного состава системы и строится математическая модель мощности инфраструктуры системы.

Как известно, под системой понимают совокупность взаимосвязанных элементов или объектов, которая рассматривается как нечто единое с какой-либо точки зрения. Под структурой системы понимают взаимодействие, взаимосвязь ее элементов или объектов. Элементный состав

йх + Д8Х~ 3 й

*

(1.10)

:х

системы также можно было бы назвать структурой, но он относится к структуре более низкого уровня, чем структура взаимодействия и связей между элементами. Элементный состав назовем инфраструктурой системы (от латинского Infra - ниже, structura - строение).

Пусть система S состоит из m подсистем S3 (3=1,m), функционирование каждой из которых характеризуется вектором выполняемых работ WJ(t) из пространства работ R„ размерности N. Показано, что мощность системы определяется как множество Н„ всех возможных вектор-функций w, которые складываются из векторов функционирования ез подсистем:

ш

Н„ = { w: w = I Vf3, w3 Е Н,1 с L, } . (2.1)

3 = 1

Таким образом, мощность инфраструктуры системы определяется как сумма мощностей ее подсистем. Аналогичные выражения получены и для мощности системы Qx в пространстве потоков работ Rx.

Пусть система состоит из к однотипных объектов, мощности каждого из которых представляют собой заданное множество Йх° в пространстве Rx. Мощность инфраструктуры системы однотипных объектов, как сумма мощностей составляющих ее объектов, определяется выражением:

к К _

Qx = X Qx° = { X: X = I XJ, X3 e Qx°, J=l,k } , (2.2)

3=1 3=1

Если Qx° - выпуклое множество, то это выражение запишется в виде Qx - к Qx°, где к может принимать любые неотрицательные значения.

Пусть даны ЫК различных типов объектов Oi. 1=1,NK. мощности которых заданы в виде множеств Qxi° в пространстве потоков работ Rx. Пусть система S состоит из NK подсистем однотипных объектов, где к!

- количество объектов 1-го типа. 11к-мерный вектор К = (ki_____ kSK),

составленный из этих величин, полностью определяет количественный состав системы S. т.е. ее инфраструктуру. NK-MepHoe линейное пространство RK векторов К названо пространством инфраструктуры, а вектор К е RK - вектором инфраструктуры.

Мощность инфраструктуры системы запишется в следующем виде:

НО kl Нк

Qx = I 2 Qxi° + S ki Qxl° , (2.3)

1-1 3=1 1-Н +1

о

где компоненты вектора инфраструктуры kt.....kNo соответствуют невыпуклым мощностям типовых объектов и могут принимать только целые не-

отрицательные значения, а компоненты кц0-ц,.... кцк - выпуклым, и принимают вещественные неотрицательные значения. Множество всех допустимых значений вектора К обозначим через 1?к0. Выражение (2.3) представляет собой отображение точек множества Ик^х на некоторое семейство множеств Шх} в пространстве Ех, основанное на совокупности базовых множеств ЙХ1°. 1=1,Ык. Показано, что это отображение линейное.

Разработан метод агрегирования инфраструктуры систем. Вводятся агрегированные объекты, инфраструктура которых в пространстве 1?к определяется фиксированными векторами, и строится новое, агрегированное пространство инфраструктуры.

Разработаны методы построения неиспользованной и недостающей мощностей, основанные на параметризации искомых множеств в соответствии с инфраструктурой системы. Неиспользованная мощность ищется в виде: „к

АЙХ = 2 Дк1 Йх1° . (2.4)

1 = 1

где АК = (ДК2..... Лкцк) £ 1?к0 • Задача поиска неиспользованной мощности сводится к поиску положительного вектора ДК, удовлетворяющего включению: и к к к

Ох' + I Дк! йх1° С I к! ЙХ10 • (2.5)

1=1 1=1

ИК

и максимизирующего функцию J = ¿Г(ДК) = I . Сг Дк1 , (2.6)

1 = 1

где с 1 (1-1,!'1К) - весовые коэффициенты.

Задача поиска недостающей мощности сводится к поиску вектор ДК минимизирующего функцию (2.6), удовлетворяющего включению:

Нк 1)к

й/ С 2 к! ЙХ1° + I Дк! Йх1° . (2.7)

1=1 1=1

В третьей главе вводятся понятия пространства потребностей и пространства выпуска, связанные с входом и выходом системы, и соответствующие им входная и выходная мощности объекта; вводятся понятия системы и объекта линейного типа, пространство работ которых линейно связано с входом и выходом объекта. Рассматриваются входная и выход-

. ная мощности и их связь с мощностью объекта.

Система в процессе функционирования взаимодействует с внеькей средой, с различными объектами, внешними по отношению к системе. Для поддержания внутренних процессов в системе необходимо поступление определенных веществ, энергии, информации и т.д., т.е. потребностей. Это вход системы. В результате функционирования системы выполняются какие-то действия над внешними объектами. Это - выход системы.

Вводятся понятия выпуска элементарного вида (ВЭВ) и потребности элементарного вида (ПЭВ) по аналогии с РЭВ. На основе ВЭВ вводится выходной вектор функционирования wy(t. т) и вектор потоков выпуска Y системы, принадлежащий некоторому 11у-мерному линейному пространству Ry, как поток результатов работы системы. На основе ПЭВ потребности системы представляются как входной вектор функционирования wv(t,t) и вектор потоков потребностей V(t), принимающий значения из некоторого Nv-мерного линейного пространства R„.

Назначением системы, целью ее функционирования является получение некоторых выходных результатов, т.е. выполнения определенного воздействия на среду и, тем самым, обеспечение нужд пользователей системы. Этот , выходной результат обеспечивается функционированием, структурой и процессами, протекающими внутри системы, которые, в свою очередь, определяют потребность входа. Вводятся в рассмотрение системы и объекты, названные системами или объектами линейного типа, внутренние процессы функционирования которых линейно связаны с выпуском и с потребностью:

X(t) = ß Y(t) , V* Ct) = ßv X(t) , V(t) = V0(t) + V'(t) , (3.1)

где X(t) - вектор потоков работ, V0(t) er, - вектор постоянных потоков потребностей системы, а V'(t) £ R, - вектор потоков переменных потребностей.

Вводится математическое описание выходных мощностей Е»у, Qvy(t.T) либо Gy(t), как множеств возможных выпусков объекта, и входных мощностей объекта Ewv, QwvU.t) либо Qv(t). как множеств возможных реализаций потребностей.

Определение 3.4. Выходная мощность объекта, т.е. множество всех возможных потоков выпуска, определяется выражением:

Qy = { Y : Y е Ry. ß Y..- x • X e Qx с rx }

(3.2)

Допустим, что множество возможных потоков выпусков объекта Qy, т.е. мощность выхода задана. Тогда мощность объекта Qx. которая требуется для обеспечения множества выпусков Qy определяется выражением:

Qx = { X : X Е Rx. X = Р Y. Y Е Qy С Ry } . (3.3)

Выражения (3.2) и (3.3) представляют собой отображения множеств, которые обозначим рху и рух. Тогда Qy = рху Qx и Qx = Рух Qy .

Определение 3.5. Входная мощность Qv, необходимая для обеспечения заданной мощности объекта Qx, определяется выражением:

Qv = { V : VER,, V = Vo + Pv X. X E Qx С Rx } . (3.4)

Если входная мощность Qv задана, то мощность объекта Qx, которую может обеспечить данная входная мощность Qv, определяется выражением:

flx - { X : X £ Rx, Pv X = V'. V' Е Qv' С Rv } . (3.5)

Выражения (3.4) и (3.5) также представляют собой некоторое отображение множеств: Qv = V0 + Qv\ Qv' = pxv Qx и Qx = pvx Qv' •

В общем случае эти отображения не являются взаимнообратными. Исследована структура этих отображений.

Схема функционирования объекта линейного типа изображена на рисунке:

Вход

V?v ^ — wV b^v

Потребность

V = V0 + V'

V'= pv X ->

V Е Qv с Rv

£ -IX L»x

Выход Wy ^ ^wy L,y

В четвертой главе рассматриваются свойства входных, выходных мощностей, и мощности систем, составленных из объектов линейного типа. Вводятся понятия мощности внешней среды и располагаемых мощностей входа, выхода и объекта. Исследуются мощности систем различной конфигурации.

Исследованы свойства выходной и входной мощности системы линейного типа. Показано, что эти мощности представляют собой линейные комбинации соответствующих мощностей составляющих их объектов. Пространство инфраструктуры системы линейно отображается в соответствующие семейства множеств {Йу} и (йу), основанных на выходных и входных мощностях типовых объектов.

Рассмотрены свойства отображений мощностей системы при агрегировании и дезагрегировании пространства потоков работ системы. Показано, что операции пересечения, объединения и включения множеств при дезагрегировании мощности и при агрегировании (кроме операции пересечения) сохраняются.

Пусть некоторый объект Б имеет мощность Йх3 с Множество всех возможностей выпуска объекта характеризуется выходной мощностью 2/ с йу, которая связана с мощностью объекта выражением йу3=рху0хв.

Для того, чтобы вся мощность йх3 обьекта могла быть использована, необходимо обеспечить входную мощность й„3 с которая зависит от мощности объекта Йх3 и записывается в виде й»г = V0 + рХ7 йхБ . Здесь О,8' = Йх3 - множество переменных потребностей.

Возможности использования потребностей в общем случае не зависят от объекта, а определяются возможностями среды.

Определение 4.1. Множество йу° пространства Иу, определяющее возможности внесшей среды обеспечивать потребности объекта, называется мощностью внешней среды.

■ Выражения йх°= рУХ Йу0' и йу°= Рху Йх° = Йу0', где О/' -множество переменных потребностей, обеспечиваемых внешней средой, определяют соответствующие мощность системы и выходную мощность, которые могла бы обеспечить внешняя среда.

Вводятся понятия располагаемых мощностей входа, выхода и системы, которые представляют собой соответствующие мощности, т.е. возможности системы, ограниченные, с одной стороны, возможностями самой системы выполнять работу, и, с другой стороны, возможностями внешней среды обеспечивать потребности системы.

Определение 4.2. Располагаемой мощностью системы называется множество йхр с rx, которое определяется как пересечение множеств:

fixp = fix3 п а/ . (4.1)

Определение 4.3. Располагаемой выходной мощностью системы называется множество Qyp с ry, которое определяется как отображение множества Qxp: Йур = Рху Йхр .

Справедливы следующие соотношения: йур= ЙУ°П Qys, (5УХЙУР с йхр.

Пусть задано некоторое множество fiy*c ry, представляющее собой требуемую выходную мощность. Требуемая мощность объекта определяется выражением Qx* = рух йу* .

Свойство 4.7.. Для того, чтобы выполнялось включение Йх* с qxp , необходимо и достаточно, чтобы Qy* с QyP .

Определение 4.4. Располагаемой входной мощностью системы называется множество Qvp с Rv. ..которое определяется как отображение множества fisp: Qvp = V° + pxv Qxp •

Свойство 4.8. Справедливо следующее равенство: Qvp'= ЙУ0'ПЙТ3\ где Qvp'- gxv Йхр - множество располагаемых переменных потребностей.

Пусть задано некоторое тожество йх*с rx, представляющее собой требуемую мощность объекта. Требуемое множество переменных потребностей определяется выражением йу*' = (5XV йх" .

Свойство 4.9. Для того, чтобы выполнялось включение Йу"с йтр\ необходимо и достаточно, чтобы Йх* с охр .

Рассмотрены системы, состоящие из последовательно соединенных объектов, к системы, объекты которой имеют общий вход и общий выход, т.е. соединены параллельно. Получены выражения для располагаемых входных и выходных мощностей объектов этих систем.

Рассмотрена система, выход которой служит входом 'одновременно нескольким объектам. При этом потребности объектов пропорционально зависят от выпуска системы. Такая ситуация возникает, например, при моделировании мощности предприятия с учетом налоговых отчислений.

Тогда мощность Йу3*, достающаяся J-му объекту, определяется выражением Г = Кj Qy . З-ТГп, где "¡(] - коэффициенты пропорциональности. а располагаемая системой выходная мощность имеет вид:

п

йур = Но Йу . Ко - 1 - 2 Kj. (4.2)

3 = 1

В пятой главе вводится понятие трансформирующейся системы, математическая ' модель старения и износа функционирующих объектов и на ее основе моделируется развитие трансформирующейся системы.

Определение 5.1. Изменение инфраструктуры назовем трансформированием системы, а системы с изменяющейся во времени инфраструктурой - трансформирующимися системами.

Рассмотрим некоторый объект, функционирование которого заключается в выполнении потока работ X = ХШ из п-мерного пространства Их. До начала функционирования объект обладает некоторым ресурсом работы. В процессе функционирования объекта ресурс его вырабатывается, уменьшается, и, при достижении нуля, объект теряет свою работоспособность. Старение и износ объекта в процессе его функционирования зависит в общем случае от потока работ ХШ и от времени. Пусть задана вектор-функция ХШ как некоторый программный (требуемый) поток работ, не зависящий от того, функционирует объект, или нет. Объект может начать функционировать в любой момент времени ^ > 0, и от этого зависит,- в каких условиях он будет функционировать. Получено дифференциальное уравнение, связывающее срок службы объекта 'Гв=Тв(г) с моментом начала функционирования объекта ^о:

атв т ( хш, г )

- ---1. (5.1)

г ( хц+тв), г+тв )

Получены два вида краевых условий, зависящих от срока выхода из строя объекта за счет старения Тс, номинального потока работ объекта Х„, и номинального срока службы объекта Тн при потоке работ Хн.

Рассмотрены частные случаи уравнения (5.1) для случая, когда интенсивность выбытия ресурса является линейной по X:

{ (Х(П, Ю - Рс° + Рс' хи), (5.2)

где рс° - коэффициент, характеризующий интенсивность старения объекта, - п-мерный вектор коэффициентов, характеризующих влияние процесса функционирования на износ объекта.

Пусть система в момент времени X, состоит из к=Ш) однотипных объектов и выполняет некоторый поток работ х=хи) е Их. Количество

бьектсз г> системе удовлетворяет следующему дифференциальному соот-саешл):

ак (I)

------ ц0(О - ивШ-, Ш0) = к„ , 1Е [t0. со). (5.3)

сН

до к0 - количество объектов в начальный момент и0(1) - поток бъектов вводимых в эксплуатацию, ив(I) - поток выбывающих объектов.

Вводится предположение, что работа распределяется между объек-ами равномерно. При этом все объекты, введенные в один момент вре-ени 1;', функционируют с одинаковой интенсивностью и выбывают .также вдовременно в мсмент '+ТВ С Ъ *). Тогда зависимость между интенсив-зстями ввода и выбытия объектов имеет вид:

сПвШ

uB(t) =

1 -

_ u„(t-TB(t)) . (5.4)

dt

Система уравнений (5.3), (5.4), (5.1) представляет математичес-/в модель развития системы однотипных объектов и при этом

X(t)

TB(t0) = То, X(t) = 0, X(t) = -- , t Е [to, га) .

t<t0 КС t)

Если функция f(x(t),t), закон ввода новых объектов u0(t) и по-работ системы X(t) заданы, то система является замкнутой относи-;лъно k=k(t) и Ts=TB(t). Решение ее позволяет определять в каждый з.<ент времени t количество объектов в системе k(t).

Если задана мощность объектов системы Qx°, то мощность системы заотипных объектов записывается в виде Qx(t) = k(t) Qx° и изменяет; с соответствии с системой дифференциальных уравнений.

Процесс трансформирования системы, инфраструктура которой опре-

зллется некоторым вектором K=(kf..... k„K) е Rk. описывается соот-

зтствуюцей системой Ык дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрено развитие самолетно-вертолетного фка (СВП) некоторого авиапредприятия, состоящего из воздушных су-:з (ВС) одного типа (можно рассматривать парк ВС, приведенных к од-)му типу). Потек работ, выполняемых СВП, является скалярной величи-;й. Построены графики развития мощности СВП при различных вариантах фмирозания парка.

В шестой главе рассмотрены задача анализа мощности и основная задача проектирования инфраструктуры (ОЗПИ) сложных систем, разработаны рекуррентные алгоритмы аналитического проектирования сложных систем, предполагающие последовательное уточнение и развитие модели мощности проектируемой системы.

Построена модель мощности авиационной транспортной системы, ее подсистем, и дается метод решения ОЗПИ на примере авиационной транспортной системы.

Целью существования и функционирования систем, создаваемых человеком, является выполнение различного рода задач, которые ставятся теми, для кого создается система - пользователями. В дальнейшем предполагается, что множество задач или требований, предъявляемых потенциальными пользователями к системе, может быть формализовано и представлено в виде некоторого множества в пространстве выпуска Rwy либо в пространстве потоков выпуска Ry системы. Это множество представляет собой требуемую мощность системы йу*.

Определение 6.1. Задачей анализа мощности системы называется задача определения того, достаточна ли мощность системы для обеспечения требуемой мощности.

Для решения задачи анализа мощности необходимо сравнить дна множества, т. е. проверить выполнение следующего включения:

qy* с ,qyp . (5.1)

Пусть задана требуемая выходная мощность Qy" с Ry, а требуемая

мощность системы Qx* с rx определяется выражением Qx* = f5yx Qy* .

Требуемое множество переменных потребностей с Rv определяется соотношением Qv" = Pxv fix* •

Теорема 6.1. Для выполнения условие (6.1) необходимо и достаточно, чтобы

Qx* с qx3 и qv" с qv°* . (6.2)

где Qx3 с rx - мощность системы, Qv0,c rv - множество переменных потребностей, обеспечизаемых внешней средой.

Эта теорема позволяет разбить задачу анализа мощности системы на две самостоятельные задачи. Одна - это выяснение, достаточно ли мощности самой системы для выполнения задач пользователей. Вторая -

достаточно ли мощности внешней среды системы для обеспечения множества потребностей, необходимых для выполнения задач пользователей.

Теорема распространена также для случая, когда располагаемая ■ющность системы является выпуклым множеством, а требуемые выходные мощности представляют собой выпуклую оболочку конечного числа точек 1V, l=l7n, либо объединение конечного числа выпуклых оболочек.

Разработан алгоритм решения задачи анализамощности, который заключается з отображении системы точек Yi* (1=1,п) в соответствую-лие пространства и проверке принадлежности их множествам Qxs и Qv0'.

Определение 6.S. Основная задача проектирования инфраструктуры (ОЗПИ) заключается в поиске такого вектора инфраструктуры "К. чтобы выполнялось включение:

йх' с Ох3 (К) . (6.3)

Если решение ОЗПИ существует, то, в общем случае, оно не единственно. Возможно множество векторов К, удовлетворяющих (6.3). В этом случае можно решать задачи, например, оптимизации вектора К по какому-либо критерию, либо поиску неиспользованной мощности и т.п. Однако, в первую очередь требуется найти хотя бы один вектор К, чтобы вшолнялось включение (6.3), т.е. решить ОЗПИ.

Для решения ОЗПИ разработан рекуррентный алгоритм, идея которого заключается в следующем. Система точек Yi* (1=1,п) отображается в пространство потоков'работы системы в виде точек Xt*. На каждом паге итерации определяются компоненты вектора К, которые следует увеличить для того, чтобы точки ХЛ не принадлежащие QXS(K), приблизились к Qx3(К). Если все точки Xj* принадлежат множеству ЙХ3(К), то вег.тор К является решением ОЗПИ. Если на инфраструктуру системы наложены какие-либо ограничения, то, возможно, не существует такой вектор К, чтобы все точки Xi* (i=l,n) принадлежали QXS(K). В этом случае решение ОЗПИ не существует.

Второй важной проблемой является обеспечение мощности внешней среды. Если она неограничена,- задача решена. Если она задана в виде жестких ограничений, например, некоторой системы неравенств, то задача сводится к проверке выполнения этих ограничений, т. е. к задаче анализа.

Однако, мощность внешней среды, вообще говоря, задается располагаемой выходной мощностью некоторой другой системы, которая имеет

свою инфраструктуру, ее мощность и мощность своей внешней среды. Тогда задача снова разбивается на две: первая - это анализ мощности инфраструктуры системы, создающей эти потребности, и вторая - анализ мощности ее внешней среды.

Этот процесс добавления новых систем, подсистем, объектов обеспечивающих потребности первоначальной системы, может быть продолжен. Вводя в рассмотрение новый объект или подсистему, необходимо вводить вектор ее инфраструктуры и строить мощности инфраструктуры и внешней среды. Таким образом, развивается математическая модель мощности системы, вектор ее инфраструктуры, и при этом каждый раз остается внешняя среда, которую опять можно уточнять и вводить в состав модели новые подсистемы. Этот процесс может быть продолжен до получения замкнутой среды.

Разработана методика проектирования сложных систем с целью обеспечения выполнимости множества задач пользователей.

Полученные результаты применены при моделировании мощности инфраструктуры авиационной транспортной системы (АТС). В качестве подсистем аэропорта, наиболее сильно влияющих на мощность АТС в целом, рассмотрены: зона района аэропорта . взлетно-посадочная полоса, ави-атопливообслуживание, техническое обслуживание. Разработаны модели мощности этих подсистем и АТС в целом.

Седьмая глава посвящена моделированию и исследованию процесса развития замкнутой экономической системы промышленного производства и рыночного обмена. Строятся модели мощности рынков потребностей и выпускаемой продукции, производственного объекта. Исследуются варианты динамики развития мощности промышленности на примере машиностроительного комплекса Республики Татарстан.

Имеется производственный объект Бо, выполняющий некоторый поюк работ Х£Их и выпускающий поток продукции Уеку. Поток этих потребностей поступает с рынка потребностей Бп. Произведенная продукция реализуется на рынке сбыта Зс. Вырученные за продукцию деньги Оу после выплаты налогоз и других отчислений расходуются на покупку потребностей в размере и на развитие производства в размере Бк. Этим замыкается цикл производства. Динамика системы определяется временем оборота капитала т0 и Бременем освоения капитальных вложений. тк. Блок-схема рассматриваемой системы изображена на рисунке.

Отчисления: АБг ДЮ1

Вводятся в рассмотрение типовые ОПФ, мощности 9x1° которых определяются неравенствами: _

О < X! < ^ , 1=1,П. (7. 1)

где Г! - максимальный поток работы, приходящийся на единицу стоимости ОПФ 1-го вида (1=Г7п), X! - поток работы 1-го элементарного вида, приходящийся на единицу стоимости ОС 1-го вида.

Разомкнутая система (РС) образуется последовательным соединением таких объектов, как рынок потребностей, производственный объект и рынок сбыта. Располагаемая выходная мощность РС, как множество возможных потоков денег, определяется неравенством 0 < ду < Оупах , где 0уяах - определяется как решение задачи линейного программирования:

Бутах = шах Су У (7.2)

при условии выполнении системы неравенств

О < У0 + (3 у

О < Буо + Су 07 Р у

О < ру

О < У3 < Ултах .

^ утах

< ОутаХ, ^ ^тах

Л=Т7т.

(7.3)

Здесь V - вектор потоков потребностей, Су - вектор иен потребностей, Вуо = Су У а - постоянные потребности в денежном выражении, ушах _ вект0р< ограничивающий возможные потоки потребностей, X -

вектор потока работ, хгаах=(Х1тах.....Хптах)1 - вектор с компонентами

Хшах1 = Г! к! . к! - стоимость ОПФ 1-го вида, У - вектор потока выпуска, Су - вектор цен на выпускаемую продукцию, Утах - вектор, определяющий максимально возможные потоки реализуемой продукции соответствующего вида, Оутах - максимально допустимый шток денег, который производственный объект может тратить на приобретение потребностей.

Входная мощность разомкнутой системы, т.е. множество возможных потоков денег Бу, поступающих в момент времени I на рынок потребностей. определяется следующим выражением:

0' < буш < б/ах(1;) . (7.4)

где БушахЦ) = Ко Вугаах(1-т0) - Бк(и . Это выражение замыкает мощности, т.е. возможности системы. Возможности приобретения потребностей в момент времени t переходят в возможности производства и выпуска продукции, что, в свою очередь, приводит к возможности в момент времени получить доход. Оставшаяся часть возможного дохода дне: уже новые возможности приобретения потребностей и продолжения производства продукции. Отчисления на капитальные вложения позволяю1: увеличить мощность инфраструктуры производственного объекта и, те! самым, увеличить возможности производства продукции.

Расчеты по этой модели выполнены для отрасли машикостроени; Республики Татарстан с использованием доступных данных. Рассматривалась двухпродуктовая модель, когда отрасль производит продукцию обо ронного характера и товары народного потребления (ТИП). Исследован развитие отрасли в 1992-96 годы в предположении, что делаются ннвес тиции в специальные основные производственные фонды (ОПФ) для произ водства ТИП. Показано, что отрасль могла бы успешно развиваться условиях конверсии при соответствующих капитальных вложениях в про изводство ТНД.

В восьмой главе разработанный общий подход применен для решена задач управления и проектирования сложных многокритериальных и мне горежимных технических систем. При этом мощность системы строится и

i пространстве работ, а в пространстве функционалов качества. Расс-ютрены задача выбора параметров космических аппаратов (Ш для перехвата опасных космических объектов (ОКО) и задача синтеза управления для линейных динамических систем в условиях параметричёской' неопределенности на примере угловой стабилизации упругого КА.

Обобщена классическая постановка основной задачи управления [ОЗУ). Пусть качество функционирования объекта управления характеризуется некоторой совокупностью функционалов Ji = Ji tu], i=l,NJf определенных на множестве допустимых управлений идоп, где Nj - коли-гество функционалов. Каждой реализации управления ц е идоп соответствует определенное качество функционирования управляемого объекта, характеризуемое расположением вектора J = (Ji,...,JNj) в некоторой точке Nj-мерного пространства Rj функционалов качества.

Вводятся в рассмотрение множества Qt (1 = 0, ш) в пространстве íj, удовлетворяющие следующему выражению:

Q„ с йд.! с .. . С Q0 с Rj, и Й -i = Rj \ fio. (8.1)

такие, что й0 соответствует множеству реализаций управления, обеспечивающих удовлетворительное качество функционирования, Qm - высшего уровня качества функционирования объекта. Q -i - неудовлетворительному функционированию. Множества Qi (i = l.m-1) представляют собой промежуточные уровни или степени качества. При каждом 1 = Т7т качество функционирования считается неразличимым для всех J е Q1_1\Q1.

Определение 8.1. Основная задача управления заключается в том. чтобы найти одно или множество управлений u е идоп, при которых вы:: о лаг; е т с я в к лючени е

J С Ц ] е йозу. (8.2)

где 003у = Qj при некоторой заданной степени качества функционирования системы i е {1,2.....ш).

В общем случае вектор функционалов качества J = J [k, u, v] зависит от трех групп параметров: проектные параметры k = (kt, ... , кп) £ К, где К - некоторое заданное множество пространства параметров; управление или управляющие параметры u = (Uj.....цг) е идоп; неопределенные параметры и функций v=(vi,----vq) е 8Н, где 9Н - некоторое

заданное множество.

Рассмотрим детерминированный случай, когда неопределенные пара-

метры отсутствуют, т.е. J = J [ к, и]. При каждом варианте выбо] проектных параметров k е К существует множество возможностей выбс! управлений u е иДОп- Введем в рассмотрение многозначное отображен! Й(к,•) множеств U пространства управлений в множества пространств функционалов качества Rj : Q(k,U) = { J [k, u] : u e и }, U с в, .

Тогда множество возможных значений функционалов при конкретнс значении k е К определяется выражением Йдоп(к) = Q (к, идоп) . Мне жество Йд0П'(к) определяет множество возможных вариантов функционирс вания системы и, следовательно, описывает ее мощность.

Так как управления u - будут реализованы при функционировав системы, то проектные параметры k должны обеспечивать возможное! выбора такого управления, при котором достигалось требуемое качеств функционирования. Поэтому задача аналитического проектирования синтеза управления заключается в выборе таких к, чтобы существовав управление u-e идоп, удовлетворяющее заданным требованиям, т.е. су ществовало решение ОЗУ.

Теорема 8.1. Для существования решения ОЗУ необходимо, а в слу чае однозначности отображения J = J [ к, u] и достаточно, чтобы вы поднялось следующее условие: йДОп(к*) П Йозу * 0-

Пусть S - множество видов задач, выполняемых рассматриваемо системой. Требование к качеству выполнения задачи ses определяете расположением вектора J в соответствующем множестве Й303у в прост ранстве качества Rj:

J е Й303у , ses. (8.3

Тогда задача проектирования заключается в выборе такого вектора k=k е Кдоп. чтобы йд0П(К.*) П й3озу 54 0 Для всех ses.

Для решения этой задачи предложен следующий метод, который наг ван методом одновременного спуска (МОС). Вводятся расстояния меж ду множествами йд0П(Ю и Й%зу (sES), используя, например, метрик Хаусдорфа. Тогда ОЗУ заключается в определении вектора k = k*, чтоб: выполнялась система неравенств: К3 < 0 для всех s е S.

МОС представляет собой итеративную процедуру, на каждом шаг которой выбирается такое приращение Ак вектора проектных параметров чтобы все положительные величины к3 убывали, т. е. приращения Ду4 были отрицательными.

Пусть задача аналитического проектирования решена, и проектньи параметры k=k* выбраны. Тогда вектор функционалов с учетом неопреде'

энных параметров запишется гз виде 3 = J [ и. V] , и е идоп , V е 9„. пя каждого вектора управления и £ иДОп существует множество реалн-аций вектора неопределенных параметров V из множества 8„. Вводится рассмотрение многозначнее отображение й(и,■) множеств 9 пространс-:за неопределенных параметров в множества й с в, пространства функ-доналоз: й(и. 8) = { Ли, V]: уев). Тогда шожество возможных качений функционалов при конкретном значении и е идоп определяется ьражением: £3„(и) = Я (и, 8Н) .

ОЗУ заключается в том, чтобы найти такой вектор и = и* е идоп, рп котором выполняется следующее условие: Он(и) с дозу .

Разработаны методы решения задачи обеспечения возможности пе-ехвата ОКО, несущих угрозу Земле, с помощью КА, находящегося на ругэвой орбите. Мощность КА-перехватчика описывается в виде мно-ества реализуемых перелетов йКА = йКА (к), представляющих собой об-асти на плоскости, .по осям координат которой откладываются, соот-етственно, момент ^ времени старта КА и момент времени встречи го с ОКО, к - вектор параметров КА и его орбиты.

Задача обеспечения возможности перехвата с 1-й степенью безо-аснссти заключается в тем, чтобы выбрать такие значения параметров , при которых выполняется выражение: 0КА (к) П * а , где -бласть на плоскости времен, соответствующая 1-й степени безопаснос-и Земли.

Запас устойчивости, колебательность и, вообще, качество функци-ннрования линейных стационарных систем в значительной степени опре-;еляются расположением корней характеристического уравнения (полю-ов) замкнутой системы на комплексной плоскости. Обычно ' задается • ребуемая область расположения корней на комплексной плоскости, беспечиважщая требуемое качество управления.

Разработан метод и алгоритм решения задачи поиска множества уп-¡азляющих параметров в виде гиперпараллелепипеда, таких что при лю-ых значениях неопределенных параметров из заданной области, корни :арактеристического уравнения замкнутой системы лежали в требуемой 'бласти йоэу.

Результаты проиллюстрированы на примере упругого- космического .ппарата. Рассмотрено построение гарантированной области расположе-:ия полюсов замкнутой системы в задаче одноосной угловой стабилиза-ии КА с упругими элементами конструкции. КА представляет собой, сесткое тело с консольно заделанной симметричной парой упругих неве-

сомых стержней с грузами на концах. В качестве неопределенных параметров приняты момент инерции жесткого тела, момент инерции груза, парциальная частота упругих колебаний и длина упругой балки.

В заключении приводятся основные результаты и выеоды по диссертации.

Приложение "носит справочный характер и содержит некоторые сведения из линейной алгебры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации решена научная проблема разработки методов и алгоритмов анализа множества возможностей функционирования сложных, многокритериальных, многорежимных и трансформирующихся систем и их применения в задачах исследования и проектирования систем и объектов различного назначения, имеющая важное народно-хозяйстзеяное значение.

Получены следующие основные научные и практические результаты.

1. Введено понятие мощности системы как множества всех ее потенциальных возможностей функционирования, т.е. выполнения функций (работы, операций, производстве продукции, обработка информации и т.п.), представляющих собой цели создания, существования или использования системы и даны способы ее моделирования. Формализован процесс функционирования системы, введены пространства характеристик функционирования. Математические модели мощности системы строятся как множества в этих пространствах.

2. Введены формальное определение инфраструктуры системы и пространства инфраструктуры, каждой точке которого соответствует определенный элементный состав системы. Мощность системы конструируется из мощностей типовых объектов и рассматривается как семейство множеств, параметризованное на точках пространства инфраструктуры. Разработаны методы агрегирования инфраструктуры, методы построения неиспользованной или недостающей мощности, основанные на их параметризации.

3. Введены понятия выходной и входной мощностей сложного объекта, которые моделируются как множества выпусков и множества потреб-

остей системы в соответствующих пространствах. Построены модели иотем объектов л процессов, функционирование которых линейно связа-о с выпуском и с потребностями. Они названы системами или объектами инейного типа.

4. Получены соотношения, связывающие входную, выходную мощности мощности инфраструктуры системы линейного типа. Эти соотношения

редставляют собой отображения множеств и, в общем случае, не явля-тся взаимкэобратными. Исследованы структура и свойства этих отобра-:ений. Показано, что операции пересечения, объединения и включения ножэств при дезагрегировании мощности и операции объединения и ключения при агрегировании сохраняются.

5. Введено понятие располагаемых мощностей, под которыми пони-:аются возможности системы, стесненные, с одной стороны, мощностью амой системы, и, с другой стороны, внешней средой. Исследованы взаимосвязь' располагаемых и требуемых мощностей для систем, состоящих [3 последовательно и параллельно соединенных объектов, а также вари-1кты распределения выходной мощности системы между различными объек-•ами.

6. Дано определение трансформирующейся системы и разработана ¡атематическая модель, описывающая процесс трансформирования сложной ¡истеки за счет ввода ноеых объектов и выбытия объектов за счет старения и износа и других причин.

7. Разработаны методика и алгоритмы аналитического проектирования сложных систем путем Еыбсра вектора инфраструктуры, предполагайте последовательное уточнение и развитие модели мощности проектируемой системы. Предложен алгоритм решения задачи анализа мощности, заключающейся в определении достаточности или недостаточности мощности системы для обеспечения требуемой мощности. Создан алгоритм знания осксеной задачи проектирования инфраструктуры, которая заключается в нахождении такого вектора инфраструктуры системы, чтобы эе мощность была достаточна для обеспечения требуемой мощности.

8. Рассмотрена мощность как множество возможностей по обеспечению различных вариантов качества функционирования системы. Мощность образует некоторые области в пространстве критериев качества системы я представляет собой множество возможных качеств функционирования системы, которые могут быть достигнуты при управлении из допустимой области. Сформулирована более общая постановка основной задачи управления (ОЗУ), заключающаяся в поиске такого управления, чтобы

функционирование системы удовлетворяло различным заданным уровня! качества. Предложены критерии проверки существования решения ОЗУ е теоретико-множественной постановке, в том числе в условиях неопределенности. На их основе разработан итерационный метод решения зада-проектирования многорежимных систем, названный методом одновременного спуска.

9. Построена математическая модель мощности авиационной транспортной системы, включающая модели мощности парка воздушных судов, аэропорта и служб аэропорта как его подсистем. Результаты использованы при решении задачи проектирования инфраструктуры авиационноЕ транспортной системы, состоящей из трех аэропортов.

10. Построена математическая модель мощности замкнутой систекь экономических объектов, включающей рынок потребностей, некоторый производственный объект и рынок сбыта продукции. Результаты использованы при моделировании мощности машиностроительного комплекса Республики Татарстан как трансформирующейся системы. С помощью этой модели ' исследованы возможные варианты развития машиностроения е 1992-1996 годы в плане конверсии.

11. Разработаны методы решения задачи обеспечения возможности перехвата опасных космических объектов, несущих угрозу Земле, на основе построения множеств реализуемых перелетов КА-перехватчика.

12. Разработаны алгоритмы решения задачи модального синтеза линейных систем в условиях параметрической неопределенности. Результаты использованы для синтеза регулятора угловой стабилизации КА с упругими элементами конструкции.

Научные результаты,' полученные в диссертации, обладают достаточной общностью и могут быть применены при решении задач исследования и прогнозирования процесса развития сложных систем различной природы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сиразетдинов Р.Т. Решение основной задачи управления методом одновременного спуска.- В сб.: Оптимизация процессов в авиационной

• технике. Межвузовский сборник. Казань: Изд.-КАИ. 1980, с.82-88.

2. Сиразетдинов Р.Т. Разработка алгоритма синтеза управления для упругого летательного аппарата.- 3 сб.: Межвузовская конференция по

еимененив вычислительной техники и математических методов в научных селедоЕаниях. Тезисы докладов. Алма-ата: Изд. КазГУ, 1980, с. 28.

3. Сиразетдинов Р. Т. Синтез регулятора для линейных систем методом дновременного спуска. - В сб. : Оптимизация процессов в авиационной ехнике. Межвузовский сборник. Казань: Изд.: КАИ. 1931, с.100-103.

4. Сиразетдинов Р.Т. Определение области решения основной задачи правления,- В сб.: Оптимизация процессов в авиационной технике, ежвузовский сборник. Казань: Изд. КАИ, 1982, с. 43-48.

5. Сиразетдинов Р.Т. К решению основной задачи управления (ОЗУ). -зб. ВУЗов. Сер. "Авиационная техника". Казань: Изд. КАИ, 1982. N 4,

.S5-89.

6. Сиразетдинов Р.Т. Синтез области управления для упругого лета-'ельнсго аппарата. - В сб. : Алгоритмы, средства и системы автомати-:еского управления. Тезисы докладов, Волгоград, 1984, с.39-40.

7. Сиразетдинов Р.Т. К построению гарантированной области располо-:ения корней характеристического уравнения замкнутой системы. -Изв. ¡УЗсв. Сэр. "Авиационная техника". Казань, 1984, N4, с. 72-76.

8. Сиразетдинов Р.Т. Синтез регуляторов для линейных непрерывных :кстем по прямым показателям качества, основанным на построении ан-¡амблей траекторий,- 3 сб.: Пятая всесоюзная конференция по управле-шю в механических системах: (Тезисы докладов). 12-14 июня 1985 г.-[азань: КАИ, 1985, с. 52-53.

9. Сиразетдинов Р.Т. Параметрический синтез управления летательны-ю аппаратами в условиях неопределенности начальных условий и возму-закщих Бездействий.- Изв. ВУЗоз. Сер. "Авиационная техника". Казань: Тзд. КАИ. 1986, N 3, с. 35-40.

1С. Сиразетдинов Р.Т. Построение множества решений задачи модального синтеза линейных систем.- В сб.: Пятая всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" 22-24 сентября 1987 г.: Тезисы докладов. - Казань: КАИ, 1987, 3.86.

11. Сиразетдинов Р.Т. Построение гарантированной области расположения нулей и полюсов передаточных функций динамических систем// Автоматика и телемеханика, 1988, с. 51-58.

12. Сиразетдинов Р.Т. О построении множества решений основной задачи управления для линейных стационарных систем в условиях неопределенности. - В сб. : Шестая всесоюзная конференция по управлению в механических системах. Тезисы докладов. 26-28 апреля 1988 г.- Львов:

Инст. приклад, проблем механики и математики .АН УССР, 1938, с.142.

13. Андреев О.В., Сиразетдинов Р.Т. Построение расписания пара; лельного обслуживания с минимаксным критерием, - В сб.: I республ! канский научно-технический семинар молодых ученых и специалисте "Актуальные вопросы использования достижений науки и техники в не родном хозяйстве". Тезисы докладов. Казань, 1989, с. 45.

14. Сиразетдинов Р.Т. Синтез множества управлений, гарактируюпц качество линейных стационарных систем при неопределенности парамет ров. - В сб.: XI всесоюзное совещание по проблемам управления. (Таи кент, сентябрь 1989 г.). Тезисы докладов. М.. 1989, с. 23-24.

15. Сиразетдинов Р.Т., Файзутдинов Р.Н. Алгоритм построения облас тей существования решений задачи встречи.- В сб.: Труды Научных чте ний по авиации и космонавтике (Казань, 14-17 мая 1990 г.). "Управле ние полетом и устойчивость движения летательных аппаратов", М.: ИИЕ АН СССР, 1990, с. 15.

16. Сиразетдинов Р. Т. Построение множества решений задачи модальнс го синтеза линейных систем при неполном измерении состояния и неог ределенности параметров объекта управления,- В сб.: Проблемы акал* Тической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирс? "Наука". Сибирское отделение, 1991, с.192-199.

17. Амирханоз Ш. Д., Андреев О.В., Иваненко И. С., Родионов В. В., й разетдинов Р.Т. О новом подходе к моделированию и управлению развь тием сложной транспортной системы.-В сб.: Шестая Четаевская конф^: ренция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движем ем", 21-24 января 1992 г.: Тезисы докладов.- Казань: КАИ, 1992 с.88.

18. Сиразетдинов Р.Т., Файзутдинов Р.Н. Построение областей реал1-зуемых перелетов между круговыми орбитами. -В сб.: Шестая Четаевске конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление двг жением", 21-24 января 1992 г. Тезисы докладов,- Казань: КАИ, 1992 с. 110.

"19. Сиразетдинов Р. Т., Амирханов Ш. Д., Иваненко И. С. Динамическс моделирование развития инфраструктуры авиационных транспортных пере возок.- В сб.: Научный потенциал вузов - программе "КОНВЕРСИЯ": Нг учно-техническая конференция: Тезисы докладов. 27-29 января 1993г. Казань: КГТУ им. А. Н. Туполева. 1993, с. 69.

20. Сиразетдинов Р.Т. Математическое моделирование развития систе?, однотипных объектов с учетом интенсивности их эксплуатации (На щи

lepe самолетно-вертолетного парка). - Изв. ВУЗов. Сер. "Авиационная техника". Казань, 1994, N 1, с.63-68.

21. Сиразетдинов Р.Т., Файзутдинов Р.Н. Построение множества реализуемых перелетов геометрическими методами.- В-сб.: Научно-техническая конференция по итогам работы за 1992-1993 гг. "НИЧ - 50 лет", 1-15 апреля 1994г., Казань: Тезисы докладов.- Казань КГТУ им. ¡LH. Туполева, 1994, с. 98.

22. Р.Т.Сиразетдинов, Р.Н.Файзутдинов. Применение геометрических методов для построения и анализа областей реализуемых перелетов.-В сб.: Управление движением и навигация летательных аппаратов: Сб. тр.' 41 Всерос. науч.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов ( 22-24 июня 1993г".): 4.2 /Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1994. с. 89-92.

23. Деваев В.М., Сиразетдинов Р.Т. Задача гарантированного управления многокритериальными системами в условиях неопределенности.- В сб.: III Международная конференция "Многокритериальные задачи при неопределенности", 5-9 сентября 1994г., Орехово-Зуево, Россия : Тезисы докладов,- Орехово-Зуево: Изд. Педагогического института, 1994,

24. Амирханов Ш.Д.. Сиразетдинов Р.Г. Один подход к моделированию процессов обслуживания.- В сб.: Второй Всероссийский ахметгалеевский семинар "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 1-2 февраля 1995г.: Тезисы докладов,- Казань: КГТУ им. А.Н.Туполева, 1995, с. 4.

25. Сиразетдинов Р.Т., Файзутдинов Р.Н. О задаче проектирования траектории перехвата опасных" космических объектов.- В сб.: Второй Всероссийский ахметгалеевский семинар "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 1-2 февраля 1995г.: Тезисы докладов. - Казань: КГТУ им. А.Н.Туполева, 1995, с. 31.

¿6. Сиразетдинов Т.К., Амирханов Ш.Д.. Сиразетдинов Р.Т. Моделирование и исследование мощности системы обслуживания по выполнению многомерного потока задач. - В сб.: Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем", 15-19 мая 1995г.: Тезисы докладов конференции. - Киев, 1995, с. 100.

27. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Р.Т.. Файзутдинов Р.Н. Проектирование траекторий перехвата опасных космических объектов. - В сб.: "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении.■ МОДЕЛЬ-ПРОЕКТ 95".: Тезисы док-

ладов. Международная научно-техническая конференция, 1-3 июня 1995г - Казань, 'Казанский государственный технический университет, 1995 с. 36-38. '

28. Сиразетданов Р.Т. Математическое моделирование мощности транс формирующихся систем. - В сб.: Международная конференция "Устойчи вость и управление для трансформирующихся нелинейных систем", 21-?:. июня 1995г.: Тезисы докладов. - Москва, 1995, с. 52.

29. Сиразетданов Р.Т.. Файзутдинов Р.Н. Задача проектирования тра ектории перехвата опасных небесных тел в постановке основной задач! управления,- III Международный семинар "Негладкие и разрывные задач! управления, оптимизации и их приложения": Тезисы докладов ч.I,-Сант-Петербург, 1995, с.137-140.

30. Амирханов Ш. Д., Сиразетданов Р. Т. Моделирование многорежимкы; систем обслуживания //Изв. вузов. Авиационная техника. 1S95. М. с.52-58.

31. Сиразетданов Р.Т. О моделировании развития трансформирующихся систем,- Научно-техническая конференция "Факультету Автоматики j электронного-приборостроения - 45 лет". Тезисы докладов, 5-9 февралг 1996г.- Казань, Казанский государственный технический университет, 1996, с. 52.

32. Сиразетданов Р.Т. Один подход к моделированию развития инфраструктуры сложных систем.- Украинская конференция "Моделирование i исследование устойчивости систем" (Исследование систем). Тезисы докладов конференции, 20-24 мая 1996г.- Киев, 1996, с. 121.

33. Сиразетданов Р.Т., Старостин Б.А., Файзутдинов Р.Н. Построение и анализ множеств реализуемых двухимпульсных траекторий перехвата опасных небесных тел.- II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. Книга 4. Математическое моделирование и проектирование. 28 июня - 1 июля 1996г.- Казань. 1996, с.62.

34. Сиразетданов Р.Т., Файзутдинов Р.Н. Моделирование мощности системы защиты Земли от опасных космических объектов.- II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. Книга 4. Математическое моделирование и проектирование. 28 июня - 1 июля 1996г.- Казань, 1996, с. 63.

35. Иваненко И.С., Сиразетдинов Р. Т. Математическое описание задач пользователей авиационной транспортной системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 1996. N2. С.94-99. •

6. Serazetdinov R.T.. Phajzutdinov R.N. The capasity modeling of ngerous Space Objects shielding orbital satellite system. - The urth International Workshop (6-14 September. 1996) "MULTIPLE ;ITERIA AND GAME PROBLEMS UNDER UNSERTANTY". Abstrcts. - Moscow, '96. p. 102.

7. Сиразетдинов P.Т. Один подход к моделированию АОС как сложной :стемы. Труды Международного семинара "Искусственный интеллект в разевании. Казань, 1-4 октября 1996г. Часть II,- Казань, 1996, 72-77.

¡8. G.L.Degtjarev, R. Н. Phajzutdinov, Sirazetdinov R.T. The goritiiip.s for constructions of the set of near-earht objects itercept realisable trajectories. RUSSIAN-AMERICAN SCIENTIFIC URNAL. ACTUAL PROBLEMS OF AVIATION AND AEROSPACE SYSTEMS: ■ocesses, models, experiment. Kazan - Daytona Beach. 1996, N2, 31-38.