автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы математического моделирования и анализа множеств возможностей сложных и трансформирующихся систем

Президиум ВАК

греаемиеот "Ж" г I*

присудил ученую степень ДО'

гик ужрав^есе

Казанский государственный технический университет

имени А.Н.Туполева

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА МНОЖЕСТВА ВОЗМОЖНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ И ТРАНСФОРМИРУЮЩИХСЯ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант -Академик МАН высшей школы. Академик АН Татарстана, доктор технических наук, профессор Г.Л.Дегтярев

Казань - 1997

На правах рукописи

Сиразетдинов Рифкат Тапгатович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...........................6

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОЩНОСТИ

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ........ ............27

1.1. Функционирование, развитие и понятие мощности

системы .......................27

1.2. Пространство работ системы..............33

1.3. Математическое описание характеристик функционирования системы...................38

1.4. Математическое описание мощности системы. . . . . . .43

1.5. Агрегирование и дезагрегирование мощности......47

1.6. Неиспользованная мощность системы .......... 55

1.7. Недостающая мощность..................62

1.8. Выводы........................68

Глава 2. ИНФРАСТРУКТУРА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И ЕЕ МОЩНОСТЬ ..... 70

2.1. Понятия объекта, инфраструктуры системы и

мощности инфраструктуры ..... .......... 70

2.2. Мощность системы, состоящей из подсистем.......74

2.3. Мощность инфраструктуры системы однотипных

объектов.......................79

2.4. Мощность инфраструктуры системы общего вида ..... 85

2. 5. Агрегирование инфраструктуры системы.........90

2.6. Параметризация поиска неиспользованной и недостающей мощностей ....................94

2.7. Выводы........................98

Глава 3. ВХОДНАЯ И ВЫХОДНАЯ МОЩНОСТИ ОБЪЕКТОВ.........100

3.1. Пространство выпуска системы. ............100

3.2. Пространство потребностей системы ..........103

3.3. Объекты и системы линейного типа...........105

3.4. Примеры объектов линейного типа...........111

3.5. Связь мощности объекта с выходной мощностью .....115

3.6. Связь мощности объекта с входной мощностью. . . . . .119

3.7. Примеры отображения мощностей объектов........123

3.8. Связь между входной и выходной мощностями объекта . .133

3.9. Взаимосвязь процессов функционирования объектов . . .137

3.10. Выводы.......................143

Глава 4. СВОЙСТВА МОЩНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ..........144

4.1. Выходная мощность системы линейного типа.......144

4.2. Входная мощность системы линейного типа.......148

4.3. Свойства отображений мощности при агрегировании . . .153

4.4. Располагаемая мощность объекта. . ..........158

4.5. Последовательное соединение объектов.........166

4.6. Параллельное соединение объектов...........170

4.7. Распределение выхода системы.............176

4.8. Выводы.........................180

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМИРУЮЩИХСЯ

СИСТЕМ........................181

5.1. Развитие трансформирующихся систем. . ........181

5.2. Старение и износ функционирующего объекта......187

5. 3. Математическая модель срока службы единичного

объекта.......................190

5.4. Математическая модель срока службы объекта в случае

линейности функции интенсивности выбытия ресурса. . .195

5.5. Уравнения развития системы однотипных объектов.

5.6. Моделирование развития трансформирующихся систем

5.7. Моделирование развития самолетно-вертолетного парка как системы однотипных объектов .....

5. 8. Выводы.....................

Глава 6. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА МОЩНОСТИ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИНФРАСТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ АВИАЦИОННОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ......... - .217

6.1. Задача анализа мощности сложных систем........237

>

6.2. Задача проектирования инфраструктуры сложных систем .225

6.3. Авиационная транспортная система...........230

6. 4. Моделирование мощности парка ВС...........233

6.5. Моделирование мощности служб аэропорта........ 236

6. 6. Моделирование мощности аэропорта........... 242

6.7. Пример. Моделирование мощности авиационной

транспортной системы. . . . . ................244

6. 8. Выводы........................253

Глава 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМИРОВАНИЯ МОЩНОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПРИМЕРЕ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА

РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН. ........... .....252

7.3. Схема завкнутой экономической системы ........252

7.2. Мощность рынка потребностей .............255

7.3. Мощность производственного объекта........ . .259

7.4. Мощность рынка сбыта.................263

7.5. Моделирование замкнутой экономической системы . . . .266

7.6. Кризис машиностроения в Республике Татарстан.....270

7.7. Основные предположения при моделировании.......272

. . .200

. . .204

. . .207

. . .236

7.8. Динамика развития отрасли машиностроения

Республики Татарстан в 1992-1996 годах........274

7.9. Моделирование развития отрасли машиностроения,

как трансформирующейся системы............282

7.10. Выводы.......................292

Глава 8. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА МНОЖЕСТВА ВОЗМОЖНОСТЕЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ И МНОГОРЕЖИМНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИОНАЛОВ КАЧЕСТВА ....... .293

8.1. Основная задача управления и проектирования ..... 293

8.2. Обобщение постановки основной задачи управления . . .296

8.3. Основная задача управления и проектирования

в теоретико-множественной постановке.........303

8.4. Задача перехвата опасных космических объектов . . . .310

8.5. Множества реализуемых перелетов ...........313

8.6. Задача обеспечения возможности перехвата ОКО.....316

8.7. Задача модального синтеза линейных систем

в условиях неопределенности ............. 327

8.8. Пример. Задача синтеза управления упругим КА

при неопределенности параметров конструкции ..... 335

8.9. Выводы........................339

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..........................340

ЛИТЕРАТУРА..........................344

Приложение 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ..........359

П1. Структура линейного отображения ........... 359

П2. Арифметические действия над множествами ...... .360

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке математических методов исследования сложных систем и процессов, рассмотрению и моделированию их с единой, общей позиции с приложением к ряду конкретных объектов, которые являются многорежимными, многокритериальными, многофункциональными, многовариантными и обладают рядом других свойств множественного поведения при их реализации.

В настоящее время математические методы и моделирование находят все более широкое применение к описанию, прогнозированию и проектированию различных сложных систем и процессов. К сложным процессам относятся не только процессы, протекающие в технических системах и инженерных объектах, которые наиболее изучены, но и в математически менее изученных объектах, такие как экономические, экологические, общественные и другие процессы, которые особенно интенсивно стали рассматриваться с точки зрения применения математических методов в последнее время. Таким образом, исследование и развитие методов математического моделирования сложных систем, относящееся к задачам системного анализа (Н.Н.Моисеев [543), является актуальной проблемой современной науки и техники.

Рассмотрим понятие сложной системы. Многие авторы сходятся на том, что нет четкого определения сложной системы. Как правило, ограничиваются приведением примеров больших, сложных систем, например, системы гидроэлектростанций, водохранилищ, информационные сети и т.п., и рассматривают признаки сложных систем (А. И. Кухтенко, Н. П. Бусленко, Л. А. Растригин, Р. Шеннон, Дж. Касти, Т. К. Сиразетдинов и др. [43,15,63,125,31,102]). Так в

работах А. И. Кухтенко [43] даются следующие признаки сложности систем:

- многомерность;

- многосвязность;

- многокритериальное^;

- многоплановость в научном отношении.

Н.П.Бусленко [153 вводит следующие отличительные признаки сложных систем:

- большое количество взаимодействующих элементов;

- сложность функции, выполняемой системой;

- возможность декомпозиции системы и цели;

- наличие управления (часто, иерархического), разветвленной информационной сети и интенсивных информационных потоков;

- наличие взаимодействия с внешней средой, функционирование в условиях случайных факторов.

Р.Шеннон [1253 указывает следующие признаки сложных систем:

- изменчивость;

- наличие окружающей среды;

- противоинтуитивность поведения;

- тенденция к ухудшению характеристик;

- взаимозависимость;

- организация.

Дж. Касти [313 рассматривает большие системы и разные аспекты их сложности:

- структурную, связанную с иерархией, связями, многообразием компонент, силой взаимодействия;

- динамическую, связанную с функционированием, поведением системы;

- вычислительную, связанную со сложностями реализации ал-

горитмов функций;

- другие.

Он вводит меру сложности системы, и, на ее основе, аксиомы сложности.

В работах Т. К. Сиразетдинова [102] среди множества достаточно нечетких признаков сложных систем выделен следующий общий и, в то же время, конструктивный признак:

-множественность возможных реализаций системы, или проявлений ее при наблюдении.

Этот признак, с одной стороны, охватывает такие основные признаки, как многоплановость, изменчивость, противоинтуитив-ность поведения, но, в то же время, не ограничивает требованием наличия управления, иерархии, многосвязности и т.п. В соответствии с этим признаком, к сложным системам относятся многорежимные, многофункциональные, многокритериальные системы, которые могут выполнять задачи своими частями, подсистемами.

В диссертации в дальнейшем опираемся на данное понятие сложной системы и рассматриваем системы, обладающие множеством возможностей по выполнению различных функций и задач.

Н.Н.Моисеев [54] рассматривает три направления, этапа, присутствующих в исследовании операций и системном анализе:

а) построение модели, т. е. формализация изучаемого процесса или явления;

б) формулировка, описание цели, математическая постановка задачи;

в) решение поставленной задачи.

Большая часть диссертации посвящена первому из этих этапов: формализации процессов, протекающих в сложных системах, построению их математических моделей. В современной науке уделяется огромное внимание математическому моделированию и исс-

ледованию функционирования различных систем и процессов и управлению ими. Однако функционирование системы ограничено рамками системы, ее возможностями. Все варианты функционирования возможны лишь в определенных границах, которые связаны с возможностями элементов, связей, структурой системы.

Согласно подходу, предложенному в работе Т. К. Сиразетдино-ва [104], процессы в производственных, экономических и технических системах разделяются на два типа. Первый тип процессов соответствует развитию системы, второй - ее функционированию в пределах этой развивающейся системы. Развитие системы связано с количественными и структурными изменениями самой системы. Функционирование - это процессы, идущие внутри системы, которые протекают, как правило, быстрее, чем развитие самой системы, и ограничены имеющимся на данный момент уровнем ее развития. Заметим, что под развитием системы понимается не только расширение, а любые изменения структуры или элементного состава системы.

Развитие системы еще не означает ее функционирования, а функционирование системы - её развития. Развитие и функционирование - два достаточно независимых процесса. Система может развиваться, т. е. расширять свои возможности, увеличивать мощность, но не функционировать. Она может функционировать, но не развиваться, оставаться неизменной. Система может развиваться и функционировать одновременно. При этом процессы функционирования, т.е. множество возможностей функционирования системы, ограничены уровнем развития системы. Поэтому важна и актуальна проблема математического описания процессов развития системы, трансформирования ее структуры и инфраструктуры, и, тем самым, процессов изменения, эволюции множества возможностей ее функционирования.

Итак, процесс развития системы предполагает изменение возможностей ее функционирования, и описание развития системы связано, в общем случае, не с конкретными реализациями функционирования, а с описанием именно множества ее возможных реализаций.

Как известно, на высоком уровне и переднем плане развития и использования математических методов и моделирования находится современная космическая наука и техника, которая перед инженерами и учеными ставит все более новые и сложные проблемы. В частности, развитие динамики полета, теории управления движением, синтеза траекторий привело к рассмотрению множества возможных вариантов функционирования системы, поведения траекторий, математическому описанию и оценке их возможностей. В ряде работ достаточно подробно изучались вопросы о множестве достижимости динамических систем и оценке области притяжения (Ф.Л.Черноусько [123], В.И.Коробов [35], А.В.Лотов [47],

A. И. Панасюк [60], В. Д. Фурасов [114], М, М. Хрусталев [119] и др.), построения пучков, ансамблей траекторий, управления ими (Н.Н.Красовский [41], В.И.Зубов [27]. А.Б.Куржанский [42] и др.), построения множества траекторий, основанных на дифференциальных включениях (А.А.Толстоногов [110] и др.), эллипсоидальных оценок множеств траекторий (Ф.Л.Черноусько [124] и др.), синтеза множества управления из условия удовлетворения заранее заданным ограничениям в виде неравенств (А. И. Богомолов, Т.К.Сиразетдинов [12], Т.К.Сиразетдинов, А.И.Богомолов, Г.Л.Дегтярев [100] и др.). К этой проблеме относятся и задачи с параметрическими неопределенностями, оценивание областей расположения корней характеристического уравнения в условиях неопределенности (В. М. Кунцевич, М. М. Лычак [40], О.В.Абрамов,

B. В. Здор, А. А. Супоня [1], В.Л.Харитонов [116], Н.А.Хлебалин

[118] и др. ).

Сюда же относится ряд других многочисленных исследований, которые можно найти, например,, в обзорах В. М. Матросова, Мали-кова [50], Т. К. Сиразетдинова [106], в списках литературы книг Ф. Л. Черноусько [124], А. Д. Цвиркуна [121] и других обзорах и книгах, в которых при моделировании современных инженерных и других видов объектов обнаруживается необходимость введения в рассмотрение одновременно множества возможных состояний объекта или множества возможных процессов.

Учет множественности проявлений реальных процессов иногда моделируется как вероятностный. Вероятностный подход также является одним из способов описания неопределенных процессов. Но при этом многие характерные свойства объекта, такие как многокритериальное^, многорежимность и т.д., теряются и, кроме того, возникает необходимость априори вводить вероятность начальных состояний, вероятности перехода из одного состояния в другое или какие-нибудь другие характеристики случайных процессов, например, числовые характеристики распределения вероятностей, которые трудно заранее точно определить или оценить. Вероятностный подход не позволяет учитывать все особенности современных технических объектов. Должен быть другой подход более приспособленный к учету проявления множественности процессов.

Использование интервального анализа также является одним из путей учета множественности состояний объекта (Ю. И. Шокин [127], Г.Алефельд, Ю. Херцбергег [3]). Однако, интервальная арифметика позволяет строить только оценки множеств, огрубляя их при каждом арифметическом действии, что затрудняет непосредственное применение этих методов при рассмотрение инженерно-технических задач и сложных процессов.

Таким образом, при исследовании и разработке методов проектирования современных сложных систем далеко не достаточно рассмотрение их просто как системы взаимодействующих элементов, а необходимо представить их как сложную, т. е. многовариантную, многорежимную, многокритериальную, многофункциональную систему, и рассматривать множество возможностей ее реализации. Все это показывает необходимость целенаправленного изучения проблем моделирования множества возможностей сложных технических систем с некоторых единых позиций.

Множества возможностей обычно связывают с предельными возможностями системы. Так, мощность автомобиля - это максимально развиваемая в определенном режиме мощность его двигателя. В экономике вводится понятие производственной мощности, как максимально возможного количества продукции, которое предприятие может выпускать в единицу времени (М. Н.Тимохин и др. [1293 ). Однако, когда имеется несколько режимов функционирования системы, несколько критериев оценки качества функционирования, оценить возможности системы одной скалярной величиной уже не удается. Яркими примерами являются проблемы, возникающие при моделировании многопродуктовых производственных объектов и синтезе многокритериальных систем.

Рассмотрим известный пример, иллюстрирующий производственные возможности общества как многопродуктового объекта, приведенный, например, в книге П. Самуэльсона [64]. Пусть некоторое общество располагает определенной численностью людей, определенной суммой технологических знаний, определенным количеством фабрик, орудий труда, землей, природными богатствами. Это общество может производить военную продукцию (пушки) и гражданскую продукцию (масло). Причем, чем больше производится �