автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Методы конструирования циклических поверхностей сопряжения и их применение в решении технических задач

государственный комитет российской

федерации по высшему образованию московская государственная академия пищевых производств

Р Г Б од

/ Л Л л

' На правах рукописи

УДК 515.2

Фазылов Камидулла Рафикович

МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СОПРЯЖЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РЕШЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Специальность 05.01.01. - Прикладная геометрия

и инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (техническом университете).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Тевлин A.M.

доктор технических наук, профессор Наджаров K.M. кандидат технических наук, Филипенков В.А.

Ведущая организация: Научно-исследовательский центр автоматических систем конструирования (НИЦ АСК) в г.Москве.

Защита состоится " 14 " мая 1996 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 063.51.07 "Прикладная геометрия и инженерная графика" при Московской государственной академии пищевых производств, в ауд. 509, корп. А.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направить по адресу: 125080, Москва А-80, Волока-ламское ш. 11, отдел ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГАПП.

Автореферат разослан " 26 " МАРТА 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.т.н., профессор

И.Н. Акимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Вопросы конструирования поверхностей плавного перехода от одной заданной поверхности к другой представляют большой интерес при моделировании составных гладких поверхностей в авиа-, судо- и автомобилестроении, в турбостроении, при решении задач технической эстетики и в архитектурно-строительной практике.

Одним из способов моделирования составных гладких поверхностей является метод сопряжений.

Реферируемая диссертация посвящена разработке методов конструирования циклических поверхностей, сопрягающих заданные (сопрягаемые) поверхности.

Теоретической основой изложенных в данной диссертации исследований послужили некоторые положения дифференциальной, кинематической и прикладной геометрии в вопросах касания линий и поверхностей, параметрических множеств геометрических фигур, конструирования составных гладких поверхностей.

Современная прикладная геометрия технических поверхностей, опираясь на теорию параметризации геометрических фигур и их множеств, разработанную Четверухиным Н.Ф., Котовым И.И. , Рыжо-еым H.H., предложила ряд конструктивных способов задания множеств линий, их линейных каркасов (Тевлин A.M.-, Подгорный А.Л., Павлов A.B., Рыжов H.H., их ученики и др.)

Оценивая методы конструирования поверхностей сопряжения, предлагаемые различными авторами (Подгорный А.Л., Швиденко Ю.З., Скидан И.А., Манашеров Э.Э., Кулиш A.C. и др.), следует отметить, что большинство авторов при решении этих задач исходит только из функционального назначения конструируемых поверхностей. Поэтому обладая достаточными достоинствами, эти методы не лишены определенных недостатков. Одним из недостатков, присущих почти всем предлагаемым методам, является отсутствие универсальности. Часто применение этих методов требует наличия определенных условий для возможности конструирования поверхности сопряжения. К этим условиям следует отнести необходимость определенного сочетания видов сопрягаемых поверхностей, их взаимного расположения, наличия на них линий стыка, по которым должно происходить сопряжения и др. Если говорить о линейчатых поверхностях сопряжения (Подгорный А.Л.,

Швиденко ¡ч.З.), то построение их ввиду возможного появления карстровых областей осуществимо только при определенном взаимном расположении сопрягаемых поверхностей и притом только частных видов.

Сравнительный анализ и сопоставление существуещих методов построения поверхностей сопряжения позволяют сделать вывод, что наиболее приемлемыми, по нашему мнению, в этом качестве являются циклические поверхности, так как они имеют сравнительно невысокую степень сложности расчетных формул, определяющих элементы поверхности.

Целью настоящего исследования является разработка методов конструирования циклических поверхностей, сопрягающих заданные (сопрягаемые) поверхности.

Данная работа имеет два аспекта:

1.Циклическая поверхность сопряжения конструируется выделением из шестипараметрического множества окружностей пространства Е! На окружность накладываются различные геометрические условия, суммарное параметрическое число которых должно равняться 5. При этом, геометрические условия касания к заданным (сопрягаемым) поверхностям должны обязательно входить в определитель конструируемой поверхности.

2.Сопрягающая поверхность моделируется, как циклическая поверхность, производящая круговая образующая которой инцидентна со1 сфер-посредников, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей. Производящая круговая образующая а1 инцидентна сфере-посреднику X1 и проходит через две точки касания Ви л В12. В частном случае при Я=сот^ сфер X1 образующая а1 будет являться экватором сферы-посредника к1, в общем случае - при переменном радиусе сфер А,1 образующей а' будет некоторая паралель сферы X1, инцидентная точкам касания Ви и Ви (рис.1).

Для достижения цели в диссертационной работе решались следующие задачи:

1) Разработать способы получения со1 окружностей, как круговых образующих циклической поверхности сопряжения, выделением из со5 окружностей пространства Е3 с учетом наперед заданных геометрических условий.

2) Исследовать и систематизировать конструктивно-геометрические условия, участвующие в организации «1 окружностей, каса-

РИС. 1

щихся заданных Iсопрягаемых) поверхностей.

3) Разработать способы получения циклических поверхностей сопряжения, круговые образующие которых инцидентны со1 сфер-посредников.

4) Исследовать и разработать способы получения сфер, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей выделением из со1 сфер пространства Е3 с помощью определенных конструктивно-геометрических условий.

5) Исследовать и систематизировать конструктивно-геометрические условия, участвующие в организации оо1 сфер, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

6) Разработка алгоритмического и программного обеспечения предлагаемых методов.

7) Практическое внедрение результатов исследования.

Методика исследований. Решение поставленных задач осуществляется методами теоретического исследования с применением методов аналитической, дифференциальной и прикладной геометрии, вычислительной математики, средств вычислительной техники и программирования на ЭВМ.

Исходя из поставленных задач и из анализа существующей литературы по конструированию циклических поверхностей, различных видов поверхностей сопряжения, научная новизна предлагаемых исследований заключается в-следующем:

1. Предлагается и исследуется общий способ конструирования циклических поверхностей сопряжения выделением оэ1 окружностей из

постранства Е3.

2. Предлагается и исследуется способ конструирования циклических поверхностей сопряжения, в определитель которых входит однопараметрическое множество сфер-посредников, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

3. Пои^-одлтся систематизация, параметраж и аналитическое описание геометрических условий, участвующих в формировании одно-парамитрических множеств сфер и окружностей.

Практическая ценность результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в том, что разработанные методы, алгоритмы и программы могут быть успешно использованы в составлении прикладных программ для систем автоматизированного проектирования.

Реализация работы. Результаты диссертационной работы внедрены в Научно-исследовательском центре автоматических систем конструирования (НИЦ АСК) в г.Москве.

Основные положения, представленные к защите:

1.Принципы и способы формирования циклической поверхности сопряжения по наперед заданным конструктивно-геометрическим условиям, основанные на выделении из сов окружностей пространства £? со1 окружностей, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

2.Принципы и способы формирования циклической поверхности сопряжения, в определитель которой входит со1 сфер-посредников.

3.Математическое моделирование геометрических условий, выступающих как параметры при конструировании со1 окружностей, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

4.Математическое моделирование геометрических условий, выступающих как параметры при конструировании со1 сфер-посредников, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

5.Решение ряда прикладных задач, связанных с формированиями циклических поверхностей сопряжения, разработка алгоритма математического описания проектируемой поверхности, на базе которого составлен пакет прикладных программ, включенный в систему автоматизированного проектирования изделий.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на научно-практической и учебно-методической конференции: "Рынок и проблемы развития науки и техники Казахстана", (г.Москва, 1992г.); на Всероссийской научно-методической конференции: "Актуальные вопросы современной инженерной графики" (г.Рыбинск, 1995г.); на научных семинарах кафедры прикладной геометрии Московского государственного авиационного института; в отделе объемного моделирования и объемной обработки в Научно-исследовательском центре автоматических систем конструирования (НИЦ АСК) (г.Москва).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 тезиса докладов на конференциях, три статьи депонировано в ВИНИТИ. В этих работах отражены основные теоретические и прикладные аспекты проведенных исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глаз, заключения, приложений и списка литературы. В ней

содержится 147 страниц, в том числе 40 рисунков, 6 таблиц, биоли ография в количестве 132 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи исследований. Показана научная новизна работы, область практических приложений теоретических результатов, полученных в диссертации, их практическая значимость, а также приведены сведения о структуре и объеме работы.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с подсчетом и исследованием независимых параметров, определяющих форму и положение производящей окружности в пространстве и разработке способов формирования со1 окружностей.

Трехмерное евклидово пространство заполняет со* окружностей. Это множество окружностей можно записать ввиде:

" Х=а+й'С08ф'С08г-Н'С03е'31Пф'31пг

■ у=Ь+Н«з1пф«с081;-Н'С08е-с08ф'31Ш; (1)

г=с+Н«81пф*з1гп;

Система (1) представляет собой аналитическую модель оо5 окружностей пространства Е3 с параметрами (рис.2):

а, Ь, с - координаты центра окружности,

9, Ф - углы Эйлера,

Н - радиус окружности,

í - параметр, определяющий точку на окружности, представляет собой угол между радиусом-вектором точки окружности и осью X' подвижной системы координат.

Подчинение окружности тому или иному условию накладывает определенную функциональную зависимость на а, Ъ, с, е, ф, Д (1).

В качестве геометрических условий могут выступать аффинные, позиционные, метрические, дифференциально-геометрические условия. Каждое условие имеет свое параметрическое число. Задание геометрических услоеий равносильно заданию некоторого числа параметров.

Всевозможные оо1 окружностей можно получить из а>й, накладывая различные условия, суммарное параметрическое число которых каждый раз должно быть равно 5.

.. Т.к. конструируемая циклическая поверхность является сспряга-

Рис.2

ющей, окружность, как образующая поверхности, должна касаться заданных сопрягаемых поверхностей. Следовательно, среди всех условий таблицы условия касания окружности к сопрягаемым поверхностям (условие касания окружности к заданной поверхности, условие касания окружности к заданной поверхности вдоль линии на ней) имеют особое значение. Они должны обязательно входить в определитель конструируемой циклической поверхности.

Выбрг:^ наиболее часто встречающиеся геометрические условия и сведены в таблицу с указанием параметрических чисел, соответствующих каэтому условию.

На основании этой таблицы, учитывая параметрическое число каждого условия, составлена таблица всех возможных вариантов комбинаций геометрических условий, суммарное параметрическое число которых равнялось бы 5.

Для тех геометрических условий, которые приведены в работе (в соответствующих таблицах), можно, в принципе, определить 28 видов циклических сопрягающих поверхностей. Число 28 определяет число поверхностей без учета метрических и позиционных характеристик элементов определителя моделируемой поверхности. Каждый раз конкретизируя метрику и позицию элементов определителя, будем получать конкретную поверхность. И в этом смысле вариативность конкретных поверхностей становится как угодно большой.

Для того, чтобы в определенной степени формализовать вывод уравнений конструируемых циклических поверхностей сопряжения, не-обходию определить и записать аналитические аналоги геометрических условий, которым будут подчиняться со5 окружностей при получении ОО1.

Рассмотрим одно из условий:

1 .Касание (1 порядка) окружности заданной поверхности.

Пусть задана некоторая поверхность г^(х,у).

Систему (1) запишем в виде:

Г г=Р(х,у) [ у=г1(х,а,ь,<р,е,Н)

задает на поверхности г=1(х,у) некоторую линию, которой должна касаться окружность. Эту систему можно записать иначе:

{

у^х.а.Ь.ф.е.Ю 2=хг(х,а,с,ф,е,к)

(2)

Система

у=^(х,а,Ь,ф,е,Ю ; (4)

в таком случае:

Г1(х,а,с,ф,9,11)=Р[х,Г (х,а,Ь.ф.в.Ю]

или

$(х,а,Ь,с,ф,8,Н)=0 ,

откуда

х=б(а,Ь,с,ф,0,Н) А также Ф'=0, откуда х=<о(а,Ь,с,ф,е,Н) Следовательно

х=б(а,Ь,с,(р,е,Н) х=ю(а,Ь,с,ф,9,Н) б(а,Ь,с,ф,в,Н)=эд(а,Ь1с,ф,9,Н)

или

Ф1 (а,Ь,с,ф,9,Ю=0 (5)

В результате получили функциональную зависимость вида ф{, которая определяет ®5 окружностей, касающихся заданной поверхности.

В работе разработаны всевозможные аналитические аналоги геометрических условий, используемых для получения однопараметри-ческого множества окружностей, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей, являющий собой непрерывный каркас циклической сопрягающей поверхности.

Далее на основании теоретических исследований рассматривается пример геометрического конструирования и математического описания циклической поверхности сопряжения.

Во второй главе диссертации рассматривается сопрягающая поверхность, моделируемая как циклическая поверхность, производящая круговая образующая которой инцидентна со1 сфер, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей. В данном случае в качестве однопа-раметрического семейства X1 поверхностей-посредников применяется о»1 сфер переменного радиуса, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей Ф1 и Ф2. Производящая круговая образующая а* инцидентна сфере-посреднику X1 и проходит через две точки касания В11 и Ви. (рис.1). Процесс построения циклической поверхности сопряжения данным способом можно разделить на два основных этапа:

I. Моделирование вд1 сфер , касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей Ф1 и Ф2.

II. Построение круговой образующей а1, инцидентной сфере-посреднику А,1 и касающейся заданных (сопрягаемых) поверхностей Ф1 и Ф2.

Уравнение оо1 сфер, заполняющих Е3 имеет вид:

(х-хс )г+ (у-у0 )2+ <г-г0 )2=Нг , (6)

где хо, уо, 20 - параметры положения, а Й - параметр формы (рис.3).

Если задать значения трех параметров, а четвертый оставить свободным, то тем самым будет задано со1 сфер. В качестве параметров часто выступают геометрические условия, которым должна подчиняться сфера. Подчинение сферы тому или иному условию накладывает определенную функциональную зависимость на х0, у0, г0, Е.

Всевозможные со1 сфер можно получить из »*, накладывая различные условия, суммарное параметрическое число которых каждый раз должно быть равно 3.

Т.к. конструируемое га1 сфер по условию должны касаться заданных сопрягаемых поверхностей, среди всех условий, условия касания сферы к сопрягаемым поверхностям (условие касания сферы к заданной поверхности, условие касания сферы к заданной поверхности вдоль линии на ней) имеют особое значение. Они должны обязательно входить в определитель конструируемого оо1 сфер.

Выбраны наиболее часто встречающиеся геометрические условия, которые сведены в таблицу с указанием параметрических чисел, соответствующих каждому условию.

На основании зтой таблицы, учитывая параметрическое число каждого условия, составлена таблица всех возможных вариантов комбинаций геометрических условий, суммарное параметрическое число которых равнялось бы 3.

Для того, чтобы в определенной степени формализовать вывод уравнений конструируемых со1 сфер, необходимо определить и записать аналитические аналоги геометрических условий, которым будут подчиняться со* сфер при получении со1.

Рассмотрим одно из условий:

Касание сферы заданной поверхности.

Поверхность сферы задана уравнением (6), а поверхность, которой касается сфера, системой уравнений:

fïîc.3

(10)

(11)

х = 11(11,V)

У=Г,(и,7) (?)

г = Г3(и,у)

Тогда наличие общей точки выражается зависимостью :

[Г1(и,7)-хо)г+[1г(и,т)-уо]г+[1э(и,у)-2о]2-Нг=0 (8)

Условие касания выражается двумя уравнениями : аг4 (и,у)-хо]2+[Г2 (и,7)-уо]2+[Гз(и,у)-2о]г-Н2Г=0 ССГ1(и,у)-хо]г+(12(и,7)-уо]2+[^(и,7)-2о]г-НгГ=0 (Э)

или

' ги1 (и,у)-хо][Г1(и,7)]Ч2[1г(и,У)-уо][Гг(и,У)]^+ + 2[13(и,у)-2оНГэ(и,у)Г=0

2111 (и,У)-хо]СГ1 (и,у)];+2[Гг(и,у)-уо][£г(и,у)];+ + 2[1,<и,т)-го][1,(и.7)];=0 или

[Г, (и,у)-х0] (и,У) (и,У)-У0 3112 (и,У) Г + + [1э(и,у)-2оШ3(и,у)Г=0

(и,У )-хс 1 11 ^ (и,У) У+[12 (и,У )-У0] [1г (и,У) ] Ч + СГ3(и,у)-2о][1э(и,у)Г=0

Таким образом получаются три зависимости между параметрами :

V Уо- 2о' Ц' У

111(и,у)-х0]2+[Гг(и,у)-ус]2+[Га(и,у)-го]2-Н2=0 [Г, (и,у)-хо ] . (и,У) ] Ч и2 (и,у)—ус) • [1а (и,У) Г +

4 [11(и,у)-го].[Г,(и,т)];=0 (12)

[Г, (и,у)-хо ] • (и,у) ] (и,у)-ус ] • иг (и,у) Г +

+ СГ3(и,у)-г0 3•[Га(и,у)Г =0 Исключив из трех уравнений системы (12) параметры точки на поверхности и, и, получим одну зависимость типа <р{ между параметрами сферы :

ф (2о,Уо,2о,И)=0 (13)

Следовательно, условие касания сферы к заданной поверхности равносильно заданию одного параметра.

Рассмотрим построение круговой образующей а1, инцидентной сфере X1 и касающейся Ф1 и Ф2 (рис.4).

Через прямую В1 В2 можно провести оо1 плоскостей а^.. Каждая плоскость этого пучка пересекает сферу по окружности различного диаметра.

Рассмотрим случай, когда плоскость а1 проходит через центр

сферы 0. В этом случае плоскость а* пересекает сферу Х{ по экватору а1 - окружности максимального диаметра в пучке окружностей. а}. Если принять это положение за начало отсчета и поворачивать плос-

Г 4 р

кость а вокруг оси В В до конечного положения, когда она станет перпендикулярной своему исходному положению (<р=%/2), то в этом случае сечением сферы плоскостью а^ будет параллель а3~ окружность минимального диаметра в пучке окружностей а^.

В работе показано, что угол ср наклона плоскости а1 к базовой плоскости а1, равен скорости изменения радиуса Я* сферы-посредника X1. Т.е., если задан закон изменения радиуса Я относительно некоторого параметра %0 однопараметрического множества (рис.5) Н=Г(а0), то ЩЩго)] = =» Ф(го) = агсгв СйГ(2о)/<12о]

Следовательно, если нам известен закон изменения радиуса й сферы-посредника X1 относительно некоторого параметра г0, то можно определить зависимость угла ф наклона плоскости а^ к базовой плоскости а1 от г0.

Отсюда следует краткий алгоритм построения циклической по верхности сопряжения, круговые образующие которых инцидентны оо1 сфер-посредников:

1.Определяется аналитический аналог геометрического условия касания сферы-посредника X1 к поверхности Ф1.

2.Определяется аналитический аналог геометрического условия касания сферы-посредника X1 к поверхности Ф2.

3.Определяется аналитический аналог геометрического условия зависимости радиуса Я сферы-посредника X1 от параметра со1.

4.Определяется аналитически формула со1 сфер-посредников, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей Ф1 и Ф2.

5. Определяется положение линии центров (1) и линий сопряжения Ъ1 к Ъ2 (ю1 точек касания) оо1 сфер-посредников X1.

б.Определяется положение плоскости => {I1,В11,В12) ?.Определяется зависимость угла <р наклона плоскости а* к базовой плоскости от г0: Ф(зо) = агсг£ 1<Н(г0)/6г ]

8.Определяется уравнение круговой образующей аг циклической поверхности сопряжения как а{= Х1(\ а{.

При введении условий касания сферы-посредника X1 заданных сопрягаемых поверхностей Ф1 и Фг и введении зависимости между параметрами Я и г , получим в общем случае более, чем одну линию I

центров со1 сфер инциденции к1. Для получения однозначности решения, т.е. для конструирования однолистных циклических поверхностей сопряжения, на линии центров 7 необходимо ввести граничные условия. При решении прикладных задач дополнительные требования, ограничивающие линию I, выбираются в каждом случае, исходя из конкретных конструктивных условий.

В данной главе диссертационной работы предлагается общая методика введения граничащих условий (алгоритм и блок-схема).

Далее на основании теоретических исследований рассматривается пример геометрического конструирования и математического описания циклической поверхности сопряжения, производящая круговая образующая которой инцидентна и1 сфер-посредников, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

В третьей главе рассмотрены прикладные задачи. По результатам теоретических исследований, изложенных во второй главе, предлагается алгоритм построения образующих циклических поверхностей сопряжения матрицы пуансона крышки пылесоса "ЧАйКА-10-К".

Криволинейные грани крышки пылесоса представляют собой отсеки поверхностей торов (Ф1, Фг, Ф3) и цилиндрической поверхности (Ф4) 'рис.й). Необходимо построить циклические трубчатые " поверх

ностя постоянного радиуса , %г , %э сопрягающие поверхности тора и цилиндра (Ф1 и Ф4, Фэ и Ф4, Фг и Ф4 соответственно) и циклические поверхности переменного радиуса х*> сопрягающие два тора (Ф1 и Фг, Фг и Ф3 соответсвенно).

заключение

В настоящей диссертации, посвященной созданию математически обоснованного аппарата конструирования циклических поверхностей сопряжения, получены следующие основные результаты:

1.Исходя из существующих способов конструирования поверхностей сопряжения дано обоснование выбора в этом качестве циклических поверхностей.

2.На базе каркасно-параметрического метода предложен и разработан способ конструирования циклических поверхностей сопряжения по наперед заданным геометрическим условиям.

3.Произведен параметраж геометрических условий, задающих циклические поверхности сопряжения.

4.Выведены и систематизированы аналитические аналоги конструктивно-геометрических условий, участвующих в организации каркаса циклической сопрягающей поверхности.

5.Разработан способ конструирования циклических поверхностей сопряжения с круговой образующей, инцидентной со1 сфер переменного радиуса.

6.Произведен параметраж геометрических условий формирования со1 сфер, касающихся заданных (сопрягаемых) поверхностей.

7.Выведены и систематизированы аналитические аналоги конструктивно-геометрических условий, участвующих в организации » сфер инцинденции.

8.Рассмотрены примеры циклических поверхностей сопряжения, смоделированных по наперед заданным геометрическим условиям и циклических сопрягающих поверхностей с круговой образующей, инцидентной » сфер переменного радиуса.

9.Решены прикладные задачи. Разработаны алгоритмы, блок-схемы, положенные в основу написания программ моделирования циклических поверхностей сопряжения заданных криволинейных граней матрицы пуансона крышки пылесоса "ЧАИКА-Ю-К", (АО "ДУКС" г.Москва) Результаты теоретических исследований были использованы при моде-

лировании поверхности бензобака легкового автомобиля "МОСКВИЧ- 2142". (АО "МОСКВИЧ" Г.Москва)

10.На базе разработанного алгоритма, составлен пакет прикладных программ, включенный в систему автоматизированного проектирования изделий "KREDO-WINDOWS" в Научно-исследовательском центре автоматических систем конструирования (НИЦ АСК) в г.Москве.

Публикации :

1 .Фазылов K.P. Теория параметризации при конструировании циклических поверхностей./ Тез. докл. научно-практической и учебно-методической конф.: "Рынок и проблемы развития науки и техники Казахстана", - г.Москва, 1992, - с.15-16.

2.Тевлин A.M., Фазылов K.P. Конструирование циклических поверхностей сопряжения по наперед заданным геометрическим условиям/ Моск. авиац. ин-т. - М., 1995. - 37с., - Деп. в ВШИТИ 13.06.95. J61720-В95

3.Тевлин A.M., Фазылов K.P. Метода аналитического задания од нопараметрического множества сфер, касающихся двух заданных поверхностей/ Моск. авиац. ин-т. - М., 1995. - 23с.,- Деп. в ВШИТИ 13.06.95. J6 1718-В95.

4.Тевлин A.M., Фазылов K.P. Моделирование циклических поверхностей сопряжения, в определитель которых входит однопараметри-ческое множество сфер/ Моск. авиац. ин-т. - М., 1995. - 9с., -Деп. в ВИНИТИ 13.06.95. JS 1719-В95

5.Тевлин A.M., Фазылов K.P. К вопросу о конструировании циклических поверхностей сопряжения /Тез. докл. Всероссийской научно-методической конф.: "Актуальные вопросы современной инженерной графики ", - г.Рыбинск, 20-23.06.1995, - с.10.

\<