автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Решения конструктивных задач описания кривых и поверхностей на основе методов оптимизации

ммнйстерство общего и профессионального образования российской федерален московский государственна университет пщевых пр0изв0дс7е

На правах рунпшкл!

мульдекоб им оспа1жулоеич

ЗАДАЧ ОПИСАНИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

Специалъпоешь 05.01.01-''Нриилаззая геометрии и инжнернпч графика

Автореферат Д1 ¡ссершции на соискание ученой степени донтра техшчеешх наук

;-ai~oia выполнена в Жамоылско:.; технологи"ecra,; институте легкой п пшцевой промышленности

сф'ицизльны г сппок9 н ты:

1. Доктор технических ннук, профессор - Иванов 7.0.

2. Почетный академик AT России,

доктор технических наук, профессор - Филиппов П.Б. S. Заслуженный деятель науки н техники РФ,

доктор технических наук, профессор - Ломоносов Г.Г.

Еедуцал организация: АО "Жигер"

5ащ:оа состоится "14 мая_iо* Ч?.&Ih.OO -о?-ссг

на заседании диссертационного сонета Д 053,51.0^ г.о специальности 05.01.С1-"Прикладная геометрия и инженерная графика" при Московском государственном университете пищевых производств, в ауд. 5 Oh , корп./]

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направить по адресу: 125030, Москва А-НО, Еслоколамское аоссе И, отдел ученого секретаря. С диссертацией ыоашз ознакомиться в Библиотеке i.CSrHri.

Автореферат разослан " 10" апреля_159 7 г.

Ученый секретарь диссертационного совета .

д.п.н. профессор il^P__ Акимова К.К.

/

- 2 -

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Рыночная экономика непременно обостряет конкуренцию в сфере сбыта, поэтому борьба, за повышение качества продукции и роста производительности труда яз ляетея основным стратегическим направлением интенсификации современного производства. Предпринимаемые реальные усилия для решения этих проблем охватывают почти все виды человеческой деятельности, в там числе и системы as?эматизирован-ного проектирования. Применение средств автоматизации и вычислительной техники позволяет значительно повысить производительность конструкторского труда и привести к сокращению сроков разработок. Эффективность всего этого проявляется в том, что разрабатываемые и применяемые новые математические методы действительно позволяет найти более простые конструктивные резения и избегать роста стоимости продукции при использовании более современной технологии производства.

Математическим основам САП?,в том числе геометрическому моделированию, посвящено большое количество работ. Основное внимание при этом уделяется методам представления плоских, пространственных кривых и поверхностей. Следует сказать, что лишь нелавно появились работы, посвященные решению задачи точного описания геометрической формы объекта с помощью простых методоЕ. Например, методы интерполяции, аппроксимации кривых и поверхностей с помощью различных функции, в тем числе с помощью полиномов и сплайнов, методом конечных элементов и теории лолюсов. Практическая реализация этих методов обычно требует большого времени вычислений, большого объема памяти ЭгМ при их вычислительной устойчивости.

'¿в анализа существующих методов конструирования геометрических форм вытекэют следующие выгоды:

- существующие конструктивные методы геометрическое.: моделирования имеют определенную область применения, у некоторых эта область обширна, у других - узка, уровень привлечения современных достижений математических и смежных технических наук для комплексного решения задач проектирования и технологи;: еще не достиг своего завершающего этапа;

- в существующих подсистемах геометрического обеспечения САПР не применимы методы оптимизации, например, в- теории интерполяции поиск экстремальных решений становится рутинным делом и по этой причине до сих пор на практике сохраняется

- я -

интуитивный метод определения "правильности" кривой;

- существующие методы интерполяции на основе кусочно-полиномиальных или В-сплайнов дают достаточно точные результаты при проектировании одномерных обводов, но, к сожалению, при конструировании двумерных обводов добиться такого •эффекта не просто из-за сегментации задачи, что, в конечном итоге, приводит к увеличению объема вычислений и памяти ЭВМ.

Совершенно ясно, что основная сложность подгонки и проектирования кривых заключается в том,что пока нет ясного определения "правильности" кривой. Решение этой проблемы представляется возможным только е том случае, если строго конкретизировать смысл слова "правильность" п заменить его на оптимальность или рациональность, при определенных ограничениях, используя методы решения задач условной оптимизации. Следовательно, решение конструктивных задач описания обводов и поверхностей на основе методов оптимизации представляет собой актуальную научную проблему.

В настоящее время, под влиянием идей теории оптимизации подверглись эволюции представления о задачах и методах геометрического -моделирования, о возможных сферах его практического приложения.

Основной целью настоящего исследования является:

- разработка, на основе единой методологии исследования экстремальных задач, общей конструктивной теории моделирования геометрических форм;

- разработка аппарата геометрического конструирования плоских и пространственных сегментов кривых и на его основе предложить практический удобный метод аналитического описания обводов и поверхностей, позволяющий с единой точки зрения оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т.е. самым непосредственным образом определить локальные характеристики и параметры кривой, а также вычислить координаты точек без предварительного построения ее проекции.

Для достижения этой цели в работе решаются следующие теоретические и прикладные задачи:

- выполнить систематизацию краевых задач сопряжения по параметрам расположения граничных условий б И- разработать теоретическое обоснование методов конструирования со1 многообразия фокальных поверхностей 2-го порядка и некоторых экстремальных поверхностей вращения,

инцидентных в Я3 к произвольно заданным точкам касания двух скрещивающихся прямых и несущих на себе множество сегментов регулярных кривых без особых точек, кроме точки перегиба;

- разработать конструктивный аппарат моделирования геометрически:-: форм для проектирования по заданным граничным условиям плоские и пространственные сегменты рациональных кривых 3-го и кривых 4-го порядков, позволяющий оценить их оптимальность и полноту дискретной информации;

- разработать практически удобный метод математического описания сложных обЕодсз и поверхностей, обеспечивающий гладкость 2-го порядка и позволяющий проектировать как составные поверхности по методу Кунеа и Еезье, так и трубчатые пере х о д н ы е поверхности;

- разработать способ графического построения геодезической линии, проходящей через ДЕе заданные точки произвольной поверхности, на основе принципа условного экстремума, позволяющий получить решение задачи на исходной поверхности без ее аппроксимации и без построения линии е данном направлении;

- разработать алгоритм построения минимального связыва-?:щего дерена, на основе выбора оптимального поведения, позволяющий на 5и% ускорить сходимость функции цели.

Методика исследования. В работе используется в основном синтетические, аналитические методы и единая методология исследования экстремальных задач. При этом применяются аппараты начертательной, проективной, аналитической, дифференциальной и исчислительной геометрии, математического анализа и теории оптимизации.

Теоретической базой настоящего исследования послужили работы:

- по геометрическому моделированию и прикладной геометрии поверхностей: И. II. Котов а, И.С.Джапаридзе, Г.С.Иванова,

A. М. Тевлина, В. Н. ПерЕикоЕой, К. И. Валь коза, Н. Н. Рыжова,

B. А. Осипова, В. А. Бусыгина, В. Е. Михайленко, А. Л. Подгорного, Е.С.Обуховой, А. В. Павлова, В. Я. Волкова и других;

- по вычислительной геометрии и кибернетики графики: Е. И. Якунина, С. А. Фролова, В. С. Полозова, К. М. Наджароза, А. Д. Тузова, Ю. В. Котова, Е,А,Зубкова, В. М. Найдыша, С. Н. Ковалева и других;

- зарубежных ученых: Ж. Фергюсон, П. Беэье, С. Кунса, П-Кастельжо, М. Коснар, П. Шенен, А. Фокса и других;

- по теории оптимизации: 3. М. Галеева, В. М. Тихомирова, Ф. П. Васильева, Л, А. Люстерника, И. Б. Моцкуса, Е. К. МудроЕа, А. Г. Сухарева, А. В. Тимохова, В. В. Федорова, Л. Э. Эльсгольца, Г. Буземана, Р.Беллмана и других.

Научная новиана работы заключается в следующем:

-систематизация краевых задач сопряжения по параметрам расположения в Р. является новым подходом к решению конструктивных задач проектирования сегментов пространственных кривых ;

- теоретическое обоснование методов конструирования многообразия фокальных поверхностей й-го порядка и некоторых экстремальных поверхностей вращения, инцидентных в Н3к произвольно заданным точкам касания двух скрещивающихся прямых и несущих на себе множество невырожденных сегментов регулярных кривых беэ особых точек, кроме точки перегиба, является новым подходом в области прикладной геометрии,позволяющим решать, на основе выпуклого анализа, конструктивные задачи моделирования геометрических форм, а также представляющим полную свободу их ЕЫбора;

- конструктивный аппарат моделирования геометрических форм для проектирования по заданным граничным условиям, плоских и пространственных сегментов кривых 3-го и 4-го порядков является новым методом, позволяющим оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т. е. непосредственно определить локальные характеристики и параметры кривых к вычислить координаты точек без предварительного построения их проекций;

- практически удобный способ математического представления сложных обводов и поверхностей является новым методом, обеспечивающим гладкость Е-го порядка (на основе экстремального принципа Ферма) и позволяющий проектировать как составные поверхности по методу Кунса и Еезье, так и трубчатые переходные поверхности;

- новым е графическом способе построения геодезической линии, проходящей через две заданные точки произвольной поверхности, является то,что, н отличие от существующих способов задача решается на исходной поверхности без аппроксимации и без построения линии в данном направлении;

- с- -

- новым в алгоритме построения минимального связывающего дерева является то, что, в отличие от существующих способов. процесс разбиения данного счетного множества на подмножества и последовательность выполнения этого разбиения строго взаимосвязаны.

Практическая ценность диссертации состоит:

- з разработке конструктивного аппарата моделирования геометрических форм для проектирования, по заданным граничным условиям, плоских и пространственных сегментоз кривых 3-го и 4-го порядков, позволяющего оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т.е. непосредственно определить дифференциальные характеристики и параметры кривых и вычислить координаты точек без предварительного построения их проекций:

- в разработке практически удобного метода математического описания обводов и поверхностей, ускоряющего процесс вычислений, расширяющего возможности конструирования и воспроизведения технических форм, позволяющего найти более простые решения и. тем самым, добиться сокращения сроков разработок и избежать роста стоимости продукции;

- в разработке геометрического способа решения экстремальных краевых задач сопряжения, который на основе методов вариационного исчисления позволяет решить некоторые прикладные задачи оптимального управления;

- в разработке графического способа построения геодезической линии, позволяющего провести предварительную "кратчайшую" трассировку, т. е. реально возможную траекторию между двумя точками на квазиэквидистантной топографической поверхности для выполнения маловысотных полетов;

- в разработке алгоритма построения минимального связывающего дерева, ускоряющего сходимость функции цели на 50%.

Реализация результатов работы. Енедренпе результатов исследования в производство осуществлялось совместно с лабораторией "карьерного транспорта" АН Республики, которые были опубликованы в виде информационных листков Джамбулского ДНТИ, КаэНШШТИ при Госплане Каз. ССР, в IV кв. 1977 г.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены:

- на Всесоюзном семинаре "Автоматизация проектирования", проведенном как совещание работников авиационной про-

мышлекностк в МАИ им. С. Орджоникидзе, М. , XI. 1978 г.; - на Всесоюзном семинаре "Кибернетика графики" в МАИ им. С. Орджоникидзе, М. , XI 1.1583 г.;

- на Московском семинаре по начертательной геометрии и черчению в МАДИ, М. , XI 1.1983 г. ;

- на областной научно-практической конференции "Развитие научных исследований на переходном .этапе к рыночным отн-шениям", Жаыбыл, IV.1991 г.;

- на семинарах кафедр: "Прикладная геометрия" МАИ им. С. Орджоникидзе, М. , XI,1983 г.; "Инженерной графики и черчения" МАИ им. С. Орджоникдзе, М. ,1.1394 г.; "Начертательной геометрии к черчения" МИИСП им. В. П. Горячкина, М., XI. 1983 г.; "Начертательной'геометрии и черчения" КазПТИ им. Ленина, А-Ата,11. 1991 г.; "Подъемно транспортных машин и гидравлики" КазНТУ, А-ты,VI. 1994 г.; "Геометрии" КазНУ, А-ты, VI. 1994 г.; "Маркшейдерское дело и геодезия" КазНТУ, А-ты,VI. 1994 г.; "Начертательной геометрии и черчения" ЖГМСИ, Жамбыл,V. 1993 г.

Публикация. Результаты исследования изложены в статьях научных сборников, технических отчетов, имеющих номер госре-гистрацип, опубликовано 27 публикаций, из них одна кандидатская диссертация и два технических отчета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, седьмая глава написана в качестве приложения I, приложения II, заключения и списка литературы.

Содержите работы

Ео введении дано обоснование актуальности темы исследования, краткий обзор и анализ наиболее приоритетных научных исследований, показана научная новизна и практическая ценность работы, приведены сведения о структуре диссертации.

Е первой главе приведены постановка основных задач исследования и методика их решения, сформулирован критерии оптимальности кривой обвода, а также общие сведения и некоторые теоремы проективной геометрии.

Основная задача исследования. Требуется сконструировать обвод из дуг кривых 3-го и 4-го порядков как линию пересечения двух фокальных, т.е. касательных поверхностей вращения 2-го порядка, проходящих через точки сопряжения произвольно заданных в И двух скрещивающихся прямых.

Для получения такого обвода должны быть удовлетворены

необходимое и достаточное условия.

Необходимое условие. Заданные скрещивающиеся прямые соответственно должны лежать на линии пересечения касательных плоскостей, проведенных через точки сопряжения к конструируемым фокальным поверхностям 2-го порядка.

Достаточное условие. Кривая обвода в интервале точек сопряжения должка быть непрерывной и не должна иметь особых точек, кроме точки перегиба.

Теорема существования. Если на скрещивающихся прямых заданы произвольные точки сопряжения, то существует бесчисленное множество линейчатых и криволинейных поверхностей вращения 2-го порядка касательных, т.е. фокальных к заданным прямым и проходящим черев точки инцпденций.

Совершенно ясно, что оптимальное решение этой задачи находится иг множества допустимых решений, поэтому методику ее решения можно рассматривать с точки зрения единой методологии исследования экстремальных задач. Следовательно, рассматриваемые пространства являются метрическими, конечно- компактными и выпуклыми.

Множества Хе к" называются выпуклыми, если [:•:,, хг ] -{:{« 1?я1 х= и 7., при всех х, , х^К, /[0,1]. Эти

множества являются аффинными и представляют собой сдвиги линейных подпространств или множество решений систем конечного числа линейных уравнений, пли пересечения конечного числа гиперплоскостей. Пересечение всех выпуклых множеств из содержащих X, называется его выпуклой (конической, аффинной) оболочкой и обозначается через сопуХ (оопеХ, аГГX). Любую точку из сопуХ можно представить в виде выпуклой комбинации не более п+1 точек из X (теорема Каратеодорп;.

Мы исходили из того факта, что оптимальное решение основной задачи в определенной степени связано с понятием расстояния между выпуклыми множествами. Для доказательства этого утверждения рассмотрим взаимное положение, в смысле расстояния: а) точки А и поверхности,т.е. конечно-компактного множества Г(х); б) прямой МЫ и поверхности г (к) и в) плоскости и поверхности Г(х).

Если заданы точка А и некоторая выпуклая поверхность Р(х), то тогда каждую точку поверхности Р(х) можно соединить с точкой А. В результате получим множество сфер Ф(А,х. ). Используя теорему отделимости выпуклых множеств {<р,х. > ^/

^ < р, > при всех х, е F(x) и Ф(А,г. )>' можно построить нормали к поверхности F(x), проходящие через точку А, т.е. можно найти на ней две стационарные точки С. и С. , которые являются точками касания опорных плоскостей ДЕух соприкасающихся поверхностей F(x) и Ф(А,г.) , F(x) и «К А, г.).

С <»

В оставшихся случаях мы придем к аналогичным результатам, т.е. существуют на поверхности F(x) только ДЕе точки стационарности С. и С. по отношению к прямой Ш (.плоскости о- ). При этом: во втором случае точки С. и С. принадлежат к геодезической линии поверхности F(x), е третьем случае в окрестности одной из этих точек стационарности (С. пли С.) достигается экстремум минимального связывающего дерева для данного счетного подмножества точек хе X поверхности F(x), если заданная плоскость е- разделяет это подмножестзо точек от остальных точек поверхности F(x).

Применительно к решению основной задачи требуется дополнить заданные граничные условия двумя фокальными фигурами, а именно: прямой PQ и поверхностью Fix). Действительно, если заданы прямые m , п и Ш (М е m к К е п), то тогда можно определить прямую АВ, т.е. кратчайшее расстояние прямых ш к п. Прямые ш, п, MN и АВ определяют единственную поверхность гиперболического параболоида F(m, п.П'), с плоскостью параллелизма П'//(АВ,Ш) и п'//(гп,п). Поверхность F(m,n,n') пересекает любую другую фокальную поверхность 2-го порядка по кривой 4-го порядка, которая содержит две точки стационарности Ц,Ц по отношению к хорде Ш. Плоскость параллелизма п'//( АВ, MN), проходящая через точку Ц, пересекает заданные прямые m и п сооветственно в точках Р и Q. Для нахождения промежуточных точек сопрягаемой кривой используется конгруэнция прямых с фокальными фигурами PQ , F(x) и погружаемой прямой MN, т.е. получим дуальную конгруэнцию пли, наоборот, с фокальными фигурами PQ , ММ и погружаемой поверхностью F(x) - гиперболическую конгруэнцию. Е обеих случаях прямолинейный ряд точек Е. прямой PQ определяет перспективный пучок плоскостей с осью Ш, т.е. PQ(E, , Ех ,. . .) я

MN( , ... ), последние пересекают поверхность F(x) по пучку кривых 2-го порядка. Тогда точки касания С;, С. прямых Е^. F; , Е. F'. , проведенных соответственно из точек к этим сечениям, являются стационарными точками искомой кривой, поэтому прямые E.F.,E.Fi являются ее унисекантами.

Критерий оптимальности кривой обвода. Кривая сопряжения будет оптимальной только в том случае, если по способу построения она состоит из совокупности стационарных точек и принадлежит к некоторой экстремальной фокальной поверхности (сферы, катеноиды, циклоидного тора или параболоида), единственность которой является ее физическим сзсйотеом. Если соблюдается только принцип построения стационарных точек, а фокальная поверхность не является экстремальной (или наоборот) , то тогда кривая колет обладать определенным рациональным свойством, но не быть экстремальной, т. е. идеальной.

Все выше сказанное можно доказать на примере построения конического сегмента рациональной кубической кривой. Следует отметить, что при конструировании обводов по способу Безье только в плоском случае можно получить гладкость 2-го порядка, а для гладкости 2-го порядка в трех измерениях нельзя построить сегмент кубической кривой, т. к. для определения векторов положения и кривизны требуется по три скаляра, а для направления касательных - два. Поэтому необходимо удовлетворять шестнадцати условиям, ко имеется только двенадцать степеней свободы - по три скаляра для каждого ив четырех векторов, определяющих характеристическую ломаную.

для решения этой задачи необходимо построить характеристический тетраэдр и вписать в него фокальную, т.е. коническую поверхность (рис.2). Тогда геометрическое место точек касания унисекант этой поверхности, определяют искомую кривую. Действительно, для построения характеристического тетраэдра МРПМ с фокальным конусом потребуется 16 параметров, а для нахождения текущих точек кривой один параметр, т. е. угол поворота касательной плоскости.

В конце главы приведены необходимые сведения о кривых 3-го порядка и некоторые теоремы проективной геометрии.

Глава II. Теория конструирования фокальных поверхностей. Систематизация краевых задач сопряжения по параметрам расположения граничных условий.

Приводится доказательство теоремы существования в виде решения задач конструирования различных фокальных поверхностей 2-го порядка.

1. Способ конструирования линейчатых поверхностей 2-го порядка. Произвольная прямая з, пересекающая заданные прямые т и п, определяет двугранный угол, грани (т,з) и (п,з) кото-

poro являются касательными плоскостями некоторой линейчатой поверхности. Действительно, пусть точка Е будет отражением точки )А в плоскости (п,з), а точка F - точки H в плоскости (m,s), относительно плоскости симметрии двугранного угла (m,s) и (n.s). Тогда три плоскости (m,s),ín,s) и (MENF) имеют единственную общую точку 5, т.е. точку пересечения трех ребер s, MF и НЕ. Поэтому прямые MF и НЕ определяют образующие линии линейчатой поверхности, принадлежащие соответствующим касательным плоскостям (m,sï и (.г., s). Нормали, проведенные через точки M и N, пересекут плоскость симметрии в двух точках I и J, которые определяют ось вращения IJ искомой поверхности. Нормальные сечения, проведенные через стороны ME и .ъ'? перпендикулярно к ребру г, образуют подобные фигуры »СЕ и üd? , при С <к 2 и Des, поэтому справедливо следующее соот-

Счевидно, что при Л ф 1 получим коническую, а при X = 1 цилиндр ; гче с кую п о г е рхно с т ь.

Совокупность всех прямых s, пересекающих две данные скрещивающиеся прямые m и п, представляет собой конгруэнцию прямых, т.е. оо2 многообразие прямых трехмерного пространства. Действительно, через каждую точку А прямой m проходит пучок прямых первого порядка ос/ , пересекающий прямую n, а таких пучков на прямой m будет Поэтому имеем совокуп-

ность с>о'. <«' =ooî прямых пространстваR* Таким образом, в пространстве существует оо2 множество касательных линейчатых поверхностей вращения цилиндров и конусов. Что к требовалось доказать.

2. Способ конструирования инцидентных линейчатых поверхностей 2-го порядка. Линейчатая поверхность 2-го порядка определяется тремя прямыми, не лежащими попарно в одной плоскости. Е данном случае прямые га,п и MN расположены попарно (и,Ш) и (n,MN) в двух плоскостях, из этого следует, что прямые m и n принадлежат одному семейству, а прямая ММ ко второму семейству прямых линейчатой поверхности, поэтому третья прямая,принадлежащая к первому семейству должна пересекать прямую MN. Через каждую точку К прямой Ш проходит связка прямых, т.е. множество прямых, а таких связок с

центром на прямой Ml] будет ¿>о'. Таким образом имеем совокуп-

( 1 )

ность оо2-^' = »о3 прямых пространства, но в ату совокупность входят к те прямые которые принадлежат к двум пучкам К(т) и К(п) прямых первого порядка оо'со* = ( которые надо вычесть иг общей совокупности прямых, тогда получим оо3/сог =<?<>' Поэтому в пространстве существует оо' совокупность линейчатых поверхностей ( однополостных гиперболоидов, гиперболических параболоидов), инцидентных к заданным прямым ¡л и п.

Для построения торсовой поверхности с ребром возврата необходимо выполнить следующие дополнительные построения: построить произвольную фокальную поверхность к заданным прямым и и п; построить произвольную касательную плоскость к Фекальной поверхности, не инцидентной к поямым щ и п; построить точки пересечения прямых ;п и п с этой плоскостью. После этого, принимая прямые ММ и Ру за директрисы, проводятся лучи линейной конгруэнции, которые должны касаться фокальной поверхности и пересекать прямые Ш и рп. Геометрическое место точек касания лучей на фокальной поверхности определяет ребро возврата поверхности торса X4. В пространстве существует множество невырожденных инцидентных торсовых поверхностей.

3. Способ конструирования касательных поверхностей вращения второго порядка. Известно, что для построения поверхности 2-го порядка должны быть заданы девять параметров. Е данном случае гадание прямых т и п с точками сопряжения М и N определяют десять параметров, но два параметра не принадлежат конструируемой повехности, т. к. прямые г- и п являются только касательными. Поэтому остается только 2 = восемь параметров. В пространстве многообразие может быть совокупностью кривых 2-го порядка, т.к. каждая плоскость в Распределяется тремя параметрами, а кривая 2-го порядка на ней - пять:ю параметрами. Таким образом, дополняя восемь параметров одним произвольным параметром можно конструировать множество касательных криволинейных поверхностей Еращения 2-го порядка.

О системе отнесения. Кратчайшее расстояние заданных прямых ш и п располагается перпендикулярно к картинной плоскости Оуг, а кратчайшее расстояние другой пары скрещивающихся прямых Ш и Р5 - к плоскости Охг, тогда расположение горизонтальной плоскости Оку становится тривиальным (рис. 1а).

После этого, для реализации выше сказанного требуется

о)

Рис. 1

Система отнесши 1а), основания фоколних поверхностей (В) и (ё).

выполнить следующие построения: через точки сопряжения М и М проводятся нормальные плоскости ^ п £ к заданным прямым п и г.; линия пересечения нормальных плоскостей принимается га ось вращения и, т.е. за ось Ох; проводятся окружности параллелей, с радиусами К' = Ш и К = через ось вращения И проводится мерпдпанальное сечение т параллельно к горизонтальной плоскости проекции Оху и находятся точки пересечения 'З.Ь.Н и Т этой плоскости 'С с окружностями параллелей.

Легко доказать, что через точки 3,1,Н и Г можно провести пучок кривых 2-го порядка и единственную окружность. Поэтому справедливо следующее уравнение

: 1- Л -г Л г} = 0, ( 2 )

где г% = 0 и т~2 = С уравнения конических сечений, которые определяются задание?« двух произвольных точек плоскости Значение X определяется задание!;! третьей произвольной точки плоскости

и С:

JL

NiK^y,. - С S )

Если все пять типов проективно различных кривых пучка (2) могут быть получены проективным преобразованием окружности, то вращением этого пучка вокруг оси IJ могут быть получены пучок сооекых фокальных поверхностей вращения 2-го порядка и единственная сфера.

Для исследования возможных вариантов расположения заданных прямых ш и п рассматривается та единственная сфера в совокупности связки прямых М(т.) и Н(п.) и плоскостей MC «i, ) и Ц( щ, ) с центрами в точках сопряжения М и II. Ясно, что касательные плоскости wM и wv, проведенные через их центры определяют два пучка прямых М( и»,) и М( п. ). Если исключить из рассмотрения те прямые пучков М(т{) к N{ п.), которые пересекаются между собой на линии Хл пересечения касательных плоскостей \чм и чг„ , та получим множество пар скрещивающихся прямых m и п, т. к. они на той же линии XX образуют два ряда первого порядка проективно соответственных точек. Такой же результат получим, для любых соответственна пар скрещивающихся линии щ и r\-L из о^4 множества связки прямых ) и Min.). Других возможных вариантов расположения скрещивающихся прямых быть не может. Поэтому из множество возможных расположений невырожденными являются только множество

пар скрещивающихся прямых.

Легкс доказать, что вся совокупность возможных расположений скрещивающихся прямых может быть разделена только на девять разных типов.

Е конце главы приведены способы выбора и построения, наиболее рациональных для использования, фокальных линейчатых поверхностей вращения.

Глава III. Конструирование одномерного пространственного обвода из дуг кривых 2-го порядка.

1. Построение сегмента кривой с помощью плоских сечений фокальных поверхностей. Для этого используются фокальные поверхности конуса и цилиндре.. Касательная плоскость проведенная через середину кругового сектора MN пересекает заданные прямые m и п е точках Р и Q (рис.2). Поэтому прямая PQ касается средней образующей линии поверхности в точке Ц. Тогда линия пересечения плоскости МРЦ с фокальной поверхностью $ определяет верхюю часть, а линия пересечения плоскости МОД -нижнюю часть сегмента кривой. Для аналитического описания сегмента кривой, сначала необходимо представить секущие плоскости в виде семейства прямых, а затем выполнить совместное решение уравнений прямой и фокальной поверхности. Таким образом определяются координаты текущей точки кривой.

2. Конструирование обвода с помощью развертки фокальных поверхностей. Для этой цели используется только развертывающие поверхности. Такие поверхности рассматриваются как огибающее семейство касательных плоскостей, т. е. геодезическая кривизна кривой на развернутой поверхности равна кривизне проекции конструируемой кривой на касательную плоскость. Для того, чтобы представить касательную поверхность огибающим семейством касательных плоскостей, ноебходимо задать условие пере>лещения образующей линии по ДЕум направляющим линиям. Такими направляющими линиями являются параллели плоских се-чеий. Рациональность такого подхода заключается в том, что кривую обвода можно получить при любых расположениях заданных прямых, е общем случае - на развертке конуса, а в частном случае - развертке цилиндра. Если на развертке кривая обЕода конструируется из дуг кривых 2-го порядка, то для получения 2-го порядка гладкости в точках сшивки дуг можно воспользоваться известными соотношениями радиуса кривизны и дискриминанта кривой.

Рис. Z

Конический сегмент рациональной кубической кри&ой.

Г .тана IV. Конструирование пространственного сегмента кривой 4-го порядка.

1. О конструировании обвода с помощью линии пересечения цилиндра вращения и кругового конуса. Для выполнения "необходимого условия" конструирования сегмента кривой обе поверхности должны касаться заданных скрещивающихся прямых. При этом построение цилиндра вращения определенной трудности не представляет, а построение кругового конуса, т.е. окружности его основания,сопряжены жесткими условиями отображения по образам трех точек дробно-линейной функции. Поэтому должно быть выполнено следующее соотношение на построение (рис.16)

где: m 9 -СМ, А,Р и О и n? <N,E,Q и D> -точки заданных прямых;

£ э{а,Б и П> -точки линии пересечения касательных плоскостей конуса;

С, ,D, и П< -горизонтальные следы прямых m,п и I.

По построению через заданные прямые проходят две пары касательных плоскостей, взаимное пересечение которых образует некоторый тетраэдр, сечение этого тетраэдра, в общем случае, образует полный четырехугольник, гармоническое свойство последнего является подтверждением справедливости соотношения (4).

Общее решение задачи (рис.1в). Выбирается цилиндр наиболее удобный для построения. Для этого: через прямые ш и п проводятся параллельные плоскости (ш,р) и (n,q); в точках М и N восстанавливаются перпендикуляры к этим плоскостям и определяются их основания М и N. Полученный прямоугольник MMi-IN является осевым сечением искомого цилиндра, ось вращения которого преходит через середины отрезков ММ, ¡-Ш и iv!K( MK=KN). Поэтому диаметр цилиндра будет равен кратчайшему расстоянию заданных прямых, р. Решение задачи облегчается, если вершину конуса совместить с точкой М (или N). Тогда для построения окружности основания достаточно построить горизонтальные следы C,,D, и F, прямых m и п и MN. При этом, прямая D, F, является горизонтальным следом касательной плоскости (п,Ш). Точка пересечения 0, двух перпендикуляров О. F. и O.K., восстановленных е точках F, п К', (середины отрезка Cf F, ) к прямым D, F, и С, F4 является центром искомой окр уж-

ности радиуса R' = О, F, .

Легко Еидеть, что образующее линий фокальных поверхностей представляют собой коллинеарные связки прямых с несобственным S~( f) и собственным ) центрами. Эти связки не имеют общегс луча, поэтому они пересекаются между собой по линии 4-го порядка. Далее приведены способы конструирования обводов из дуг кривых 4-го порядка с использованием различных фокальных поверхностей 2-го порядка.

2. Конструирование обвода с помощью линии пересечения конуса вращения гиперболического параболида (рис.1а). Фокальный конус IJ.L.7) определяется осью вращения Ij и образующей линией LT, а поверхность гиперболического параболида $04K,PQ,I3 - направляющими линиями МЫ и FQ и плоскостью асимптотического направления X = G. Текущая точка сегмента кривой определяется пересечением поверхностей конуса и гиперболического параболоида О с плоскостью П.. Каждая секущая плоскость n¿пересекает конус F, по окружности е£ радиуса F.¿ =2[ 2'. , а поверхность Q - по прямой А'. Ъ1. , т.е. (п - e¿n

л а1, к . * í. i.

Для аналитического описания кривой через точки !,', Р, у, К, j и I проводится цилиндр, расположенный перпендикулярно к плоскости л = 0. Тогда, при пересечении секущих плоскостей ¡I с линиями IJ. PQ и Ш образуются три ряда прямолинейных соответственных точек { D' D'í. . . > £ IJ, < А', А", ...>£" и { В', 5".. ...';€ ж, ксторь:- соответственны криволинейному ряду точек \ ...:•& х поверхности цилиндра Z . Перемещение точек tí A'i п Распределяет положение скользящих векторов В*. «. = Ьч-С ). Л ГО, 1j и dTÁ'. - ú. С á¿ = const). Если C¡ е А£ 2. , тс справедливо следующее векторное уравнение

СС = ''1 - t)Í3 -г tO\. : 5 ;

i ?'. i ; ci4 - r\ nz- 'к?

где t=7wt¡=1-~—k—-:—

который определяется из треугольников .ч. J. :: и'.^С'.. ¿.рп этом R¿ = кх. , к = (Р.„- = tq-; и х. [ >:м й :iK'¡. Уравне-

ние С 5) с помощью линейного параметра л 10,11 векторов ОБ и ОА можно записать в форме

rc =(l-t)[(l- л )г„ + Л?к ]+t[(l- А )Г? + Ат3 ] или r¿ = г„ + Л Г г„ -ij, ) +t( г. -гм ) + Л-tC С г.. ) -(г. -г„ ) ]. ( 5а)

Аналогично выводятся уравнения линии пересечения гиперболического параболида с поверхностями вращения 2-го порядка

и эллиптического цилиндра, а также циклоидного тора к катеноида.

Преимущество (5) состоит в том, что кривая обвода вычисляется только в заданном интервале без предварительного построения ее проекции, обеспечивается непрерывность ее производных и могут быть определены ее локальные параметры. Поэтому (5) позволяет решить е геометрической постановке краевую задачу (с граничными условиями) вариационного исчисления, что является одним из основных результатов данной главы.

Глава V. Конструирование обвода из дуг кривой 3-го порядка.

1. Конструирование обвода кривой с помощью линии пересечения поверхностей цилиндра вращения и конусом 2-го порядка. Решение задачи осуществляется с помощью деух коллинеарных связок с общим носителем. Пергая связка 5^(0 задается цилиндром вращения йр = р), а вторая связка ) - эллиптическим конусом с вершиной 3=М, основание которого определяется заданием горизонтальных следов (М,,0, и Г,) прямых ! ,

ш и Ж и горизонтальными следами (О,Р, и Ь,) касательных плоскостей (п,Ш) и (ш,п). При этом должно быть Ь.4//0, ^ , т.к. из-за условия (4) прямые М, С, и , К', 0, и Ъ,Т, будут являться соответственными прямыми двух пучков 2-го порядка. Линия пересечения этих поверхностей описывается следующим уравнением

х = - (1+ихм + , У - Ум " -У*Н, ' ( 7 )

г = {1+1}г„, 2Ц£ Ьи.-^Кх^ )3

т 1 , ч- (г -Ум)2 ( 8 )

при £ = Ь/а' а2 - х* и х. С-Х^Х;« а]. Поэтому из (7) можно получить уравнение рациональной кубической кривой только б том случае, если Ь'а = 1 (рис.1 в).

2. Конструирование сегмента кубической кривой с помощью линейной конгруэнции (рис.2). Для решения задачи используется характеристический тетраэдр МРЦН, отличный от основного тетраэдра МРцы. В секторе МЗН проводится касательная плоскость к фокальой поверхности, которая касается ее по линии 33 и пересекает прямые т и п в точках Р и 0. Точка касания Ц(53 РО) прямой РП с поверхностью Рк принадлежит сегмен-

ту кубической кривой. Аналогично определяются и остальные точки кривой. Для этого прямые МЫ и РП принимаются за директрисы, а конус JvCIJ.LT) за погружаемую поверхность линейной конгруэнции. Тогда множество лучей конгруэнции, пересекающее директрисы Ш п РП и касающееся поверхности Г, образует торсовую поверхность, ребро возврата которой является кубической кривой,т.к. луч, проведенный из бесконечноудален-ной точки пространства,окажется параллельным соответствующей образующей конуса, т. е. асимптотой кривой.

Аналитическое описание конического сегмента 'ложно выполнить следующим образом. Сначала составляются уравнения директрис и сгибающего семейства касательных плоскостей п после их совместного решения определяются два рядз проектив-но соответственных точек и С Б,' , Б^,. . . ) тс ■/( Г,' , ,. , . ), а затем составляются уравнения прямых Б! Г1 и погружаемой поверхности. Б результате их совместного решения получим уравнение вида - tУг = 0, где к = СНж-ки)/р.

После приведения подобных членов получим квадратное уравнение относительно 1: С = 0), решение которого дает действительные корни г., , т.к. прямые Г/ касаются погружаемой поверхности. Подставляя их в уравнения прямых е! ?'. получим координаты текущих точек кривой.

х = у = у.и л = г. + ГЛ. ( 5 ;

Аналитическое описание кривой значительно упрощается, если в качестве погружаемой поверхности езять поверхность цилиндра вращения. Уравнение цилиндрического сегмента" кубической кривой при

= х: '

У = (К2- с 1С )

^ = И - у/К) [г„ + (п(!?*-х. х„)/1х. ] -+ у/НС г,Ч У (К2- Ry - х;х/3)/ех;] Следует сказать, что полученные кривые Г9) и Г10) являются рациональными, т.е. уникурсальными кривыми,нулевого жанра (£епге,а), их фронтальные проекции можно попользовать как плоские кривые, т.к. жанр (род) кривой не изменяется при любых взаимнооднозначных преобразованиях. Поэтому предложенный способ значительно упрощает процедуру проектирования порции поверхности ( что более технологично ), при этом проектант имеет возможность в широких пределах варьировать формой кривой и поверхности.

Е конце главы приводятся известные методы интерполяции и аппроксимации, а также методы описания кривых с помощью кубически:-: сплайнов, применение которых значительно упрощается при использовании фекальных поверхностей.

Глава 71. Составные кривые и поверхности.

1. О конструировании составных кривых. Известно, что непрерывность кривизны кривой в точке соединения двух сег-ментсЕ задается соотношением

гЛ С0) = (^А) гД1) ( и )

где ;г ыг - "нормирующие" скалярные константы по Фергюсону, ^ - произвольный скаляр, значение которого приравнивается к кулю. Е данном случае удовлетворение соотношения (11) достигается либо изменением параметра фокальной поверхности, либо изменением положения четвертой стороны РС} характеристического тетраэдра М?г.Н. Для этого мы располагаем <*=' множеством фокальных поверхностей и оог множеством прямых Р'З линейной конгруэнции. В работе все зти аспекты подробно описаны. Приведем пример (рис.3). В зависимости от условии задачи возможны различные варианты решения, а именно: обвод, состояний либо из одних только конических сегментов, либо из - цилиндрических сегментов,либо из - сегментов различных поверхностей. Конические сегменты ([М,Ш и [!_,£]) рациональной кубической кривой удобны тем, что их можно построить используя только одну фронтальную проекцию, тогда как для построения цилиндрического сегмента ([М,ы) кривой - все три проекции чертежа, но они более удобны для получения непрерывности кривизны кривой обвода в точках соединения.

Действительно, для получения 2-го порядка гладкости конические сегменты (СМ, 1.0 и следует заменить цилинд-

рическими, при этом соотношение (11) заменяется следующим выражением

гг„= ггз 'зтч, ( 12 )

где щ и у,-», - углы наклона касательной к образующим линиям смежных фокальных поверхностей; г. и -значения полуосей оснований фокальных поверх-

ностей, которые расположены параллельно к плоскости отражения, т.е. касания.

Легко доказзть, что в точке соединения М из (12) следует Ь. - , которые являются значениями полуосей нормальных сечений соприкасающихся поверхностей, расположенных парал-

лельно к плоскости отражения. При этом для двух соседних точек М и L будем иметь (Ь. = (& = т-к- касательные прямые ni и £ не могут быть параллельными между собой. Ясно, что значения полуосей, расположенных перпендикулярно к плоскости отражения,остаются постоянными, т.е. а. = а. =...= а„ = = aft + f= const. Поэтому заданные скрещивают,иеся прямые должны иметь равномерные расположения, т. е. их кратчайшие расстояния должны быть равными между собой, р. = р;<=... = рй = р„+, = = const. При условии р£= pv=. . . = р„= P„¿,= Ö получим плоский обвод.

Следует сказать, что соотношения (12) в оптике называется принципом П. Ферма и на его основе решаются многие экстремальные задачи, в том числе задачи конструирования рациональных кубических кривых. Это дает преимущество перед другими методами при проектирован:!;; плоских и пространственных кривых, что является еще одним из основных результатов наст о я ще г о ис о ле д о в ания.

2. О конструировании порции поверхности. Пусть заданы угловые точки MC rw ), NC т„ ), L{ r„ ) и S(r0 } и проходящие через них касательные плоскости (гг.,р),(n.q),(Е,з) и (¿,з), пары vn ¿.n, p¿3, q-8 и являются скрещивающимися прямыми с соответствующими единичными векторами. Для ясности изложения воспользуемся фокальными сферическими поверхностями. Через пары скрещивающихся прямых можно провести столько же фокальных сфер, пересечения которых образуют четыре радикальных сечения, проходящие через заданные точки vB0 ,r0l , г,, и rw . К зтим сечениям можно провести касательные прямые f , % , / ni, т. е. две пары диагонально скрещивающихся прямых ? — { и •? — £ и их единичные векторы. Если соединить соответствующим образом концы единичных векторов, то получим характеристический многогранник Безье, который определяется векторами положения Гц его шестнадцати вершин. Далее, через прямые / —f С или i-и t ) проводится сегмент кривой (10) и через среднюю точку г(0.5,0.5) этой кривой проводятся кривые и(0.Б) и v(0.5), которые принимаются за функции смешения. Тогда, при перемещении образующей линии v(i)rn i i] по трем направляющим ц(0), и(С.5) и u(1) или наборот - линии u(í)[Qa i¿1] по линиям v(Q), v(Q. 5) и v(1) получим одну и ту же поверхность.

Построение составной поверхности решается аналогично, с

Рис. 5

той лишь равницей, что за функции смешения принимаются средние линии сшивки в обеих направлениях, образованных из сегментов кривых (10). Все это выполнимо, если заданы девять (четыре угловых, четыре промежуточных и одна центральная) касательных плоскостей с соответствующей направлениями касательных прямых.

2. Способы конструирования поверхностей зависимых сечений. Известно, что векторное иоле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубчатым. Поэтому, при условии сп'/А(Р) = 0 поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно,

Лк„¿в = , С 13 )

где 5М и ЗдI - площади поперечных сечений, т. е. входного и выходного отверстий трубки; п„ и Пд, - нормали этих сечеий, направленные по ходу движения потока.

Иг (13) следует, что поток вектора, в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, т.е. через каждое сечение нормальной поверхности протекает одно и то же количество жидкости пли газа. Поэтому условие (13), при рациональности осп канала, является критерием оптимальности нормальных циклических поверхностей. Потери будут минимальными, если поток при своем течении все время будет двигаться по трубке,не пересекая ее стенок. Пропускная способность таких поверхностей зависит от внутренних потерь энергии, которые в общем случае определяются потерями на трение и потерями, связанными с образованием зон отрыва турбулентного пограничного слоя от стенок поверхности.

При проектировании переходных поверхностей типа диффузоров оперируют в основном двумя геометрическими параметрами, а именно; углом расширения я> и степенью расширения п. Экспериментально установлено, что при значении

п = Б*./Б,,>1.26 ( 14 )

происходит отрыв потока.

Легко убедиться в том, что если соотношение (14) определяет зависимость площадей нормальных сечений,то стационарные точки кривой оси канала определяют последовательность их расположения по ее длине. При этом площадь каждого из них будет определяться по формуле

=>5/., + (1- , ( 15 )

при Л = 0. 5 . При этих условиях и рациональности кривой осп канала поверхность диффузора будет представлять собой векторную трубку (13).

Для определения стационарных точек осп канала необходимо в определенной последовательности разбить кривую на элементарные дуги и по формуле Лагранжа

[f(xt )-Г(хл)]/(хх-х, ) - f (j? ) (16) вычислить их координаты.

Конструирование составной поверхности по методу Кунса и Беаье выполняется аналогично, с той лишь разницей, что для определения зависимых сечений используются направляющие косинусы углов заданных опорных касательных прямых.

Глава VII. Конструктивные методы решения некоторых прикладных задеч. Приведены примеры решения краевых зале.ч оптимального управления, т.е. - задачи о ::р: :транстне:-:кой брахистохроне и задачи построения сегмента кривей минимальной длины. Установлена,что область существования функции краевых задач имеет нижний предел, ко ке имеет верхнего предела, т.к. множество линейчатых фокальных поверхностей в <*»' случаях вырождаются в параллельные плоскости. Приведены примеры решения задач частного расположения заданных прямых, т.е. построения кривых высших порядков, трансцендентных кривых и геодезической линии. Дальнейшие изыскания привели к разрабстке алгоритма построения минимального связывающего дерева, которое должно начинаться с крайних диаметрально противоположных точек и заканчиваться в его середине, т.е. либо в точке - центроид, либо на отрезке - бицентроид. При этом ка каждом шаге должен быть выполнен выбор оптимального поведения, т. е. разбиение оставшихся точек множества на фрагменты.

Заключение

1. Е диссертационной работе, на основе методологии исследования экстремальных задач, формулируется новое направление исследования в области конструктивной теории моделирования геометрических форм, критерий оптимальности проектируемой кривой и разработана единая методика решения основных задач конструирования одномерных и двумерных обводов.

2. В работе выполнена систематизация краевых задач con-

ряжения по параметрам расположения граничных условий, которая дает наглядное представление о возможных вариантах задания сопрягаемых прямых и точек инциденцип, что позволяет подробно исследовать подобные задачи и найти более общие подходы к их решению.

5. Разработанная в работе конструктивная теория построения фокальных поверхностей позволяет доказать теорему их существования и решить задачу конструирования одномерных и двумерных геометрических Форм е трехмерном пространстве, а также с помощью методов вариационного исчисления моделировать решения экстремальных задач прикладного характера.

4. Основная идея разработанной теории применена в работе для создания конструктивного аппарата моделирования геометрических форм, который позволяет оценить оптимальность, определить локальные характеристики и параметры кривых, а также вычислить координаты точек без предварительного построения их проекпий.

5. Разработанные в работе методы математического представления сложных обводов и поверхностей обеспечивают их гладкссть :2-го порядка и позволяют проектировать как составные поверхности по методу Кунса и Безье. так и трубчатые пере:-: о д к ые п о вер х к ости.

5. Идеи конструктивной теории в работе используются для решения экстремальных краевых задач сопряжения, т.е. некоторых прикладных задач оптимального управления.

Графический способ построения геодезической линии позволяет провести предварительную "кратчайшую" трвсспрозку, т.е. реально возможную траекторию между точками на квазизк-впдиотантной топографической поверхности для заполнения маловысотных полетов, а также может найти применение в других областях практики, например, для выполнения предварительной трассировки линии трубопроводов, автодорог и т.п.

3. Эффективность предлагаемого алгоритма построения минимального связывающего дереза подтверждается вычислениями на конкретных примерах, оптимизационных задач САПР ¡сводящихся к многошаговому вычислительному процессу последовательного приближения к искомому экстремуму.

9. Исследования, проведенные в данной работе,устанавливают, что проектируемая кривая будет оптимальной только в

том случае, если она по способу построения состоит из совокупности стационарных точек и принадлежит к некоторой экстремальной фокальной поверхности вращения, единственность которой является ее физическим свойством. Если соблюдается только принцип построения текущих точек, а фокальная поверхность не является экстремальной (или наоборот), то тогда кривая может обладать определенным рациональным свойством, но не быть оптимальной, т.е. "идеальной".

10. Геометрическая задача сопряжения в Е?, с точки зрения вариационного исчисления, является краевой задачей с граничными условиями. 3 работе доказывается, что область существования функиий краевых задач имеет нижний предел, но не имеет верхнего предела. Методами исчислительной геометрии установлено число ее невырожденных со* п вырожденных <*>' решений. Очевидно, по этой причине дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в окончательном виде лишь е о п р е де лен н ых с лу чая х.

Выполнено математическое описание плоских и пространственных сегментоЕ рациональных кубических кривых, кривых 4-го порядка, составных кривых, составных и трубчатых переходных поверхностей. В конечном итоге предлагаемая разработка является геометрическим обеспечением подсистемы автоматизированного проектирования (САПР). Разработаны методы конструирования одномерных и двумерных динамических обводов второго порядка гладкости, которые могут найти широкое применение в проектировании кривых (автодорожных, железнодорожных и т.п.) скоростных магистралей и технических поверхностей в машиностроении (авиастроении, судостроении и т.п). Приведенные примеры решения вариационных задач и задач прикладного характера убеждают нас е том, что результаты работы заслуживают самого серьезного внимания и могут быть использованы во многих областях науки и техники.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Мульдеков ¡1. О. Теоретическое обоснование конструирования касательных поверхностей Еращенил второго порядка. Н.-т. ж. Механика и моделирование процессов и технологий" N1, Жамбыл 1935, 53-56 с.

2. 2.1ульдеков и. О. Проективное обоснование конструирования касательных поверхностей Еращения второго порядка. Там

_ 9g -

;ite [1], 57-60 с.

2, МульдекоЕ И.О. Методы решении некоторых конструктивных задач на рпмановой (сферической) плоскости на основе экстремальных свойств геодезических. Диссертация на соиск. учен. ст. к. т. к. , МАИ, М. , 1972, 200 с.

4. Мульдеков И. О. Конструирование одномерных пространственных обводов из дуг кривых высших порядков. Межзуз. сб. "Преобразование и конструирование кривых и поверхностей методами начертательной геометрии", КазПТП, А-Ата,1992,22-30с.

5. Мульдеков И, О. , Коваленко О. Q. Конструирование пространственных обводов посредством развертывающихся поверхностей. Труды ДТИЛПП, ЕЦКТн, 02630040063, М. ,1983, 55 с.

6. Ыульдеков И. 0. Геодезические линии в "G - пространствах". Техн.отчет "Геометрические преобразования и их технические приложения", !» 37-70-"К", МАИ, Ы. , 1970, 51-60 с.

Мульдеков II. 0. , Ыульдеков Г. И. Конструирование пространственной кубической кривой. Н.-т. ж. "Механика и моделирование процессов технологии", N1. Жамбыл,1994,16G-163C.

8. Мульдеков И. 0. Алгоритм построения кратчайшей связывающей сети (КСС). Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", вып. 3, КазПТК, А-Ата, 1978. 78-30 с.

9. Мульдеков И. 0. , Мульдеков Г. И. Конструирование пространственных динамических обводов. К.-т.к. "Механика и моделирование процессов технологии", там же [71, 80-83 с.

10. Мульдеков П.0., Нурпеисов Д. Д. Конструирование одномерных пространственных обводов из дуг кривых высших порядков. Тезисы док. олб. н.-т.конф. "Развитие научных исследовании на переходном этапе к рыночным отношениям". Намбыл, 1993, 198-я с.

11. Мульдеков И.О., Джаимбаев А. Д. О развертке нераз-вертывающихся поверхностей. Там же [101, 197-я с.

12. Мульдеков И. 0. Кратчайшие линии на топографической поверхности. Сб. "Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей",труды МАИ 5, вып. 195, М. ,1970. 63-66 с.

"13. Мульдеков И. О, Конструирование пространственных обводов из дуг кривых высших порядков. Мат. всесоюз. сем. -сов. раб. авиационной промышленнсти, "Автоматизация проектирования", "Геометрия и графика", МАИ, М. , 1978.

14. Мульдеков И. О. , Коваленко 3. Ф. Конструирование пространственного обвода из дуг кривых 2-го порядка посредс-

твом развертывающихся поверхностей. С5. "Прикладная геометрия и инженерная графика", вып. 3, КазПТИ, А-Ата,1978,61-64с.

15. Мульдеков И. О. , Коваленко Ф. Конструирование пространственного обвода кусками геодезической линии. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", КазПТИ, А-Ата, 1981, 75-78 с.

16. Конструирование обвода из дуг кривых 2-го порядка. Межгуг. сб. "Преобразование и конструирование кривых и поверхностей методами начертательной геометрии". КазПТИ, А-Ата, 1992, 50-52 с.

17. Мульдеков И. О. Некоторые вопросы реализации задачи Штейнера на римановой плоскости. Сб. "Геометрические преобразования и их технические применения",МАИ, М. ,1970,125-135с.

18. МульдекоЕ И. 0. Методы решения некоторых конструктивных задач на римановой (сферической) плоскости на основе экстремальных свойств геодезических. Автореферат днсс. на сопс. уч. ст. к. т. н. , М. , 1973, 26 с.

19. Мульдеков И.О. Приближенное построение кратчайшей линии на топографической поверхности с использованием линий нормальных сечений. Сб. "Геометрические преобразования и их технические применения", МАИ, вып. 232, М. , 1571, 84-90 с.

20. Мульдеков И. О. Геодезические линии в "В - пространствах". Сб. "Вопросы прикладной геометрии", МАИ, вып. 246, М. , 1972, 70-76 с.

21. МульдекоЕ И.О. Конструирование пространственных обводов посредством развертывающихся поверхностей. Мат. нсесо-юз. сем. "Кибернетика графики", МАИ, 1933.

22. Мульдеков И. О. Конструирование одномерных пространственных обводов. Мат. московского сем. по нач. геом. ичерч. , МАДИ, М. , 1984.

23. ЮсупбекоЕ Б. X. , Мульдеков И. 0. , Дауылбаез Е. С. Методика выбора оптимального режима работы пструзочно-транспортных средств. И. л.,серия 03-01, 75-77, ЦНТИ, Джамбул,IV кв. 1577, 1-3 с.

24. ЮсупбекоЕ Б. X. , Мульдеков И. 0. , Дауылбаев Е. С. Определение режима работы погрузочнс-транспортных средств. И. с. серия 03-01, 76-77, ЦНТИ, Джамбул, IV кв. ,1977, 1-6 с.

25. Производственное расписание (ПТС) погрузочно-транс-портных средств. И.Л. серия 03-01, 77-77, ЦНТИ, Джамбул, IV ке. 1977, 1-4 С.

- 30 -

£6. Нульдеков И. О. О КОКСТру ировании касательной ци-

л п к д с* и ч е с к о й поверхности. Н. -т. ж. "Механика и моделирование

процессов технологии", ?'2, Жамбыл, 1995, 159 - 16 2 с.

27. Мульде ко в И. О. Кр квые, со ставленные иг рациональных

кубических сегментов. Н. -т . ж. Там же [26], 1