автореферат диссертации по обработке конструкционных материалов в машиностроении, 05.03.01, диссертация на тему:Методы компьютерного конструирования дискретных моделей механики станков на ранних этапах проектирования

На правах рукописи

Гб од

МАСЛОВ Геннадий Васильевич

УДК 621.9: 531: 681.3 + 658.512

МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИКИ СТАНКОВ НА РАННИХ ЭТАПАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Специальность 05.03.01 - Процессы механической и физико - технической обработки, станки и инструмент

Автореферат

диссертации на соискание учг»»п« <"г~г~:::: доктора техниче

Москва -1999

Работа выполнена на Нижегородском заводе фрезерных сганков

(ОАО «ЗеФС»)

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Кудинов ВА.;

доктор технических наук, профессор Хомяков B.C.;

доктор технических наук, профессор Гуськов А.М. ^

Ведущая организация: Нф ИМА1П РАН им. А. А. Благонравова

Защита диссертации состоится" 2000 г. ^ '

на заседании диссертационного совета Д 053.15.04 при Московском государственном техническом университете имени К Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, просим выслать по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Телефон для справок 267-09-63

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук,

доцент Усов Б. А.

Подписано к печати Mt. /Я. 33. . Объем 2 п л. Тираж J00 экз. Заказ № il?0 Т Ротапринт МГТУ им. Н. Э. Баумана

К&д . о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению проблемы моделирования металлорежущих станков в условиях автоматизированного проектирования. В ней применительно к его ранним этапам разработаны мегоды компьютерною конструирования дискретных математических моделей станков, описывающих их статическое поведение, собственные и вынужденные колебания. Разработан численный метод машинной дискретизации и статического расчета нелинейно деформируемых затянутых и подвижных соединений корпусных деталей, содержащих плоские стыки с заданными топологией поверхностей, мнкро и макрогеометрией, зазорами и натягами, а также несущих конструкций с г ни ков с соединениями такого вида. С использованием процедур указанных методов разработан оптимизационный подход к ртиепию многокошяктних ш-дач. С целью получения проектных оценок статическою и динамическом» качеств конструктивных вариантов на базе разработанных методов со таны две подсистемы автоматизированного моделирования, расчета и анализа станков. Возможности подсистем проиллюстрированы па примерах решения практически важных .задач, возникающих при проектировании станков.

На защиту выносятся:

1. Новые эффективные методы ручного и компьютерного блочного конструирования в аналитическом и числовом матричном виде линеаризованных уравнений движения станочных конструкций (несущих систем, приводов главного движения, приводов подач, приспособлений и др.), идеализированных в виде многомерных дискретных систем твердых тел с упруго-дисснпативными связями и структурами типа простой цепи; де(>ева, неполного или полного связных графов с циклами.

2. Численный метод дискретизации и статического расчета нелинейных многоконтактных систем с плоскими стыками.

3. Оптимизационный подход к решению задач, сформулированных в и. 2.

Личный вклад автора. Все выносимые на защту методы и оптимизационный подход разработаны автором диссертации. Компьютерные средства автоматизации моделирования, статического и динамического расчета металлорежущих станков, созданные с использованием этих методов, разра&маны в соавторстве по инициативе при участии и научном руководстве Г .В. Мас-лова. Так, подсистема моделирования, дискретизации и статического расчета станочных конструкций создана совместно с В. Н. Жильцовой и аспирантом Л. А. Ершовым, научным руководителем которого является Г. В. Маслов. Программная реализация оптимизационного подхода выполнена совместно с А. М. Стерлиным и А. А .Ершовым. Подсистема САПР для моделирования, расчета и анализа собственных и вынужденных колебаний станков сшдана

совместно с А. М. Стерлиным и В. Е. Трубимым.

Актуальность проблемы разработки методов компьютерного конструирования дискретных моделеИ механики станков обусловлена необходимостью создания подсистем автоматизированного моделирования как комно-ненгов САПР, обеспечивающих многовариантный анализ и оценку статическою и динамического качеств генерируемых вариантов конструкций станков ни |нпличных, и в частности ранних, этапах автоматизированного проектирования. Опыт многих конструкторских коллективов свидетельствует о том, чю на ранние этапы проектирования приходятся сравнительно небольшие затраты огносительно стоимости разработки проекта. Однако, именно на этих, этапах принимается наибольшая часть важных технических решений. Некоторые из них очень трудно, а порой практически невозможно изменить на последующих этапах '1 кшому для повышения эффективности проектирования сразу вслед за появлением геометрического облика будущего станка необходимо моделировать условия его приёмо - сдаточных испытаний и эксплуатации, включая процесс механической обработки на станке.

Цель работы - повышение точности и производительности создаваемых станков за счет вскрытия с помощью математических моделей и использования при проектировании факторов, улучшающих их статические и динамические качества.

Методы исследовании. В работе использовались методы аналитической механики, теории колебаний, линейной алгебры, теории чувствительности, «оптимизации, элементы теории графов, математический аппарат теории матриц. ИI специальных дисциплин привлечена динамика станков. При всех видах исследований широко использовались современные ПЭВМ.

Достоверность полученных результатов. Достоверность разработанных методов компьютерного конструирования линейных динамических моделей (уравнений движения) станочных конструкций основывается на:

- строгом соблюдении при их разработке основных теорем механики и правил матричного исчисления;

- симметричности получаемых матриц массы, демпфирования и жестко сти конструкций;

- совпадении результатов сопоставления моделей, сконструированных I соответствии с разработанными методами, с моделями, полученными авто ром диссертации с помощью системы аналитических вычислений Исс1исс I уравнений Лагранжа II рода, а также с известными моделями различных кон сгрукций, полученными другими авторами путСм использования классичо ских методов механики.

Достоверность численного метода статического расчета и дискрстизаци!

нелинейных многоконтактных станочных систем с плоскими стыками, разработанного с использованием эвристического подхода, основывается на приведенных » диссертации доказательствах сходимости вычислительных процессов, а также совпадении результатов расчетов с опубликованными экспериментальными данными других авторов (ЭНИМСа, Д. Н. Решетова, Г). В. Рыжова и В. И. Островского).

Указанные результаты совпадаюг с результатами расчетов, полученными с использованием разработанного оптимизационного подхода к решению многоконтактных задач с плоскими стыками. Поэтому достоверность последнего не вызывает сомнений.

Научная нопнзна работы состоит в следующем.

• Разработаны новые эффективные методы блочного ручного и компьютерного конструирования в матричном виде линеаризованных уравнений движения станочных конструкций (несущих конструкций, приводов, приспособлений и др.), идеализируемых многомерными системами твердых тел, связанных сосредоточенными пружинами и демпферами, со структурами простых цепей, дереяа, неполного или полного связных графов с циклами. Конфигу рации исследуемых объектов мо!уг быть заданы абсолютными или относительными обобщенными координатами. Число степеней свободы и регулярных элементов объектов может быть сколь угодно большим, но конечным числом.

• Разработан новый численный метод дискретизации и статического расчета нелинейных многоконтактных систем с плоскими стыками. Мегод обеспечивает учет топологии, макро и мнкрогеометрии поверхностей соединений, в также наличие в них зазоров с любыми законами распределения по поверхностям контактов. Объектами расчета могут быть плоские стыки, затянутые фланцевые соединения (которые могут содержать уступы, шпонки и т.п.), направляющие скольжения произвольного профиля, а также несущие конструкции машин и их подконструкцни, корпусные детали которых связаны соединениями указанного типа. М!югоконтакттIыс системы могут иметь любое конечное число плоских стыков, п том числе содержащих зазоры н натяга. В идеализации объекты представляются системами абсолютно твердых тел. связанных распределёнными нелинейно деформируемыми контактами. Структура таких систем может быть произвольной.

• С использованием части процедур указанных выше методов разработан оптимизационный подход к решению многокопгастных задач данного п>и;<

Практическая ценность. Применение разработанных компьютерных методов существенно облегчает задачу создания подсистем автоматизированного моделирования и способствует реализации многовариатного анализа при

ив гоматнзированном щюектировании станков на основе проведения машинных экспериментов, имитирующих значительную часть проверок соответствия проектируемого станка установленным нормам точности, жесткостр и механической обработки.

Методы конструирования линеаризованных уравнений динамики станочных конструкций не содержат процедур классических методов механики. В силу своей п|юсто1Ы они могут быть использованы в заводской практике как ннженеримн-рисчетчнкамн, так и инженерами-разработчиками подсистем автомат изирооинного моделирования САПР.

Реализации в промышленности. С использованием разработанных автором методов на Нижегородском заводе фрезерных станков (ОАО «ЗеФС») созданы две подсистемы автоматизированного моделирования, анализа и оценки нариангов создаваемых конструкций станков по показателям статическою и динамического качеств. Обе подсистемы вошли в ядро разрабатываемой САПР фрезерных станков.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Ш-еЙ (г. Тольятти, 1988) и IV-ой (г. Н. Новгород, 1992) Российских научно-технических конференциях «Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств»; Всесоюзной конференции «Аналитические преобразования на ЭВМ и автомашзации научно-исследовательских работ» (г. Вильнюс, 1990); Ш-ей (г. Н. Новгород, 1993) и IV-ой (г. Н. Новгород, 1996) Российских, и V-ой Международной (г. II. Новгород, 1999) конференциях «Нелинейные колебания механических систем»; Международной конференции «Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела» (г. Н. Новгород, 1995); Международной конференции по компьютерной геометрии и графике «Когра(}>-96» (г. Н. Новгород, 1996); Российской научно-технической конференции, посвященной 10-леттно Нф ИМАШ РАН «Проблемы машиноведение (г. Н.Новгород, 1997); V-ой Международной конференции по динамике технологических систем (г. Ростов-на-Дону, 1997).

Полиостью работа докладывалась на совместном заседании кафедр «Теория технологических машин» и «Станки» МГТУ « СТАНКИН ».

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав заключения и приложения. Она содержит 213 страниц машинописного тек ста и 68 рисунков. Список литературы включает 128 наименований.

Ниже в тексте реферата приняты следующие обозначения: Ц - проста)

цепь, Д - дерево, НСГ(ц) - неполный связный граф с циклами бет петель, ПСГ - полный связный граф

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ВВЕДЕНИЕ

Обеспечение чаленной точности и производительности обработки - ключевой вопрос при проектировании и эксплуатации метал но режущих станков Основы учения о точное™ механической обработки металлов ремпнем за-ложепы работами Н. С. Ачеркана, Б. С. Балакшина, Б. М. Назрова, Н А. Бо-родачева, Ю. Д. Вратт>ва. А. М. Далмжогхт, 3. М. Левиной, А. А. Маталина, В. Г. Митрофанова, В. Г. I1оргмапа, Д. Н. Решетова, А. II. Соколовского, Ю. М. Соломенцева и др. Фундаментальный вклад в исследование поведении станочных конструкций при их взаимодействии с рабочими процессами но время обработки внесли О. И. Аверьянов, И. С. Амосов, В. С. Белов, К. В. Бордачёв, В. Л. Вейц. К. В Ватинов, Ю. И. Городецкий, В. К Дондошан-скпй. II. А. Дроздов. В. Л. Заковорогный, В. В. Заре. В. В. Каминская. А. И. Каширин, С. С. Кедров, М. К. Клебанов, Л. Ф. Копелев, В. А. Кудинов, Л К Кучма, А. И. Левин, Л. С. Мурашкии, С. Л. Мурашкин, В. Н. Подураев. А. С. Проникоп, В. '). Пуш, А. В. Пут, Ж. С. Равна, В. А. Ратмнров, 3. В. Рыжов, 10. И. Санкип, В. С. Хомяков. М. Е. Эльясберг н другие отечественные и зарубежные ученые. Практика показала, что наиболее рациональные - пи 1« проектные решения, которые учитывают результаты, рекомендации и выводы указанных выше работ.

С развитием средств вычислительной техники, вычисли 1елыюй мигемц-|ики, механики и появлением САШ' резко возросли объёмы, слотни'ль ¡, число решаемых при проектировании задач. Переход на автоматизированное просижрованне выдвинул на передний план новую проблему - автманпа-ции моделирования в процессе проектирования. Необходимость еО решения явилась причиной появления и развития компьютерных методов механики станков, как составной части развиваемой в последнее время алтритмиче-ской механики для ЭВМ, базирующейся на классических методах механики и учитывающей специфику и результаты научных исследований объектов п}ч>-екгироваиия, их прототипов и аналогов. Наиболее серьезные, но мнению автора, результаты в этой области получены Е. А. Арайсом, В.- К, В. Амуиай-1 и сом, И. Вигтеибургом, В. М. Дмитриевым, В. В. Всличенко, В, А. Коноплёвым, Т. А. Кейном, Д. А. Левинсоном, В. С. Хомяковым и др.

Далее во введении С((юрмулированы проблемы, решению которых посвящена диссертация. Приведены результаты обзора литературы, хараккрн-

зующего состояние этих проблем. Обоснована их актуальность. Кратко изложено содержание диссертации но главам.

1. РАЗРАБОТКА МЕТОДА КОНСТРУИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СТАНОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В АБСОЛЮТНЫХ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ Показано, что по структурным признакам станочные конструкции (несущие системы, приводы и др.) подразделяются на конструкции со структурами Ц, Д, НСГ(ц), и леса, состоящего из графов различных типов. Для разработки метода была принята идеализация объекта исследования в виде линейной поконсервативней системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из любого конечного числа твердых тел с голономными стационарными связями и имеющей в общем случае произвольное число степеней свободы и структуру НСГ(ц) или НСГ. Снятие ограничений на структуру, число тел н число степенен свободы в значительной мере «размывает» существующие границы между распределенными и дискретными системами. Тем самым значительно расширяется крут объектов моделирования, конструкции которых в общем случае могут быть многократно статически неопределимыми. В соответствии с принятой идеализацией расчетная схема исследуемого объекта может быть построена при помощи типового набора регулярных элементов, включающего твердое тело, пружину растяжения-сжагия, пружину кручения и два демпфера. Один из них работ ает при поступательных перемеще-.ниях, другой - при поворотах соединяемых тел.

Описанные в главах 1 - 3 методы компьютерного конструирования динамических моделей станочных конструкций разработаны с использованием уравнений Лагранжа 2-ю рода. Согласно этим методам искомые модели конструируются без использования процедур Лагранжа в матричном виде

+ Щ + = , (1.1)

где М, Н, С - симметрические матрицы массы, демпфирования и жесткости конструкции, ()и} - векторы обобщенных сил и обобщенных координат объекта. Основные математические конструкции, являющиеся «строительными блоками» разработанных методов, включают структурный граф объекта, его матрицу смежности (рис. 1), вектор обобщенных координат, а также базовые, неполные н полные матрицы регулярных элементов и векторы обобщенных сил. Конструируемым динамическим агрегатом в методах является уравнение движения объекта (1.1) и его блоки - матрицы м, Я, С н векторы q, Q.

Ниже при описании методов считается, что каждое тело объекта имеет 6

степеней свободы. Общее замечание, относящееся к случаям, когда эти числа меньше 6, сделано после изложения метода, описанного в главе 3.

о 1 2

к

б)

Рис. 1. Струкгурный граф (а) механического объекта, идеализированного в виде системы твердых тел, и его матрица смежности (б): вершины графа -твердые тела, ребра - группы пружин и демпферов, • - неподвижное тело

Перейдем к описанию метода, изложенного в главе 1. В соответствии с этим методом конфигурация объекта в пространстве задастся блочным (<5и х У) - векторам обобщенных координат

V

ч = \

Чп

(1.2)

блоками которого служат (б х I) - векторы абсолютных обобщенных координат тел qj V, IV, Ф, Ч/, (9 где } -- 1, п; п - общее число тел объекта; и у , К,, - составляющие перемещения полоса у-го тела вдоль координатных осей правой инерцналыюй системы координат ХУ2, ФJ, - углы поворотов тела относительно осей, проходящих через его по

люс параллельно указанным.

Базовая матрица массы _/ - го тела - это блочная (6 * 6 ) - мя грина

Е К :

К

4,1 к]. 1К,1.1

+ (1.3)

I де Я/у н Jj - сю масса м тензор инерции в центральной системе координат КСнша, Е и Оз^з - единичная и нулевая (3><3)- ма!рицы, К] / - кососим-мегрнчоская координатная (3 » 3) - матрица т.1 - цешра масс тела _/', (обозначенной как т\],1)). Диагональные элементы матрицы К^ 1 - нули, не

диагональные - разности координат центра масс и полюса тела - т. р). (шювыЛ (6 41)- веклюр обобщен/Лиг сип тела _/' имеет вид ;

2Л'

Q

6 а:

Xi

(1.4)

где Fjj - Fy, 1 |' -сим, приложенная в т. (j,î)\ J'j*^ =

i Y \Т

| lx, I\, I3 J 1 - «чистый» момент (не являющийся моментом силы Fj t ),

х j - число моментов, действующих на тело j .

Неполные (12 Ч12) - матрицы жесткости пружин, связывающих тела с номерами j и g, определяются выражением

Ci неп

В ■

= Х<а>,Л<ь>), (1.5)

.«V;) : <С„>__

где Ян Л - коэффициенты жесткости пружин соответственно растяжения -

сжатия и кручения, а ~ и Ь-1,Т]- номера пружин, В, - число пружин растяжения - сжатая, 1/ - то же, но кручения. Для пружины растяжения - сжатия, связывающей т. (у .') ст-(&>')> блоками неполной матрицы служат (б * б)- матрицы

л ). I -в, / 9

где к, г = у, у, £ е(1, 2,..м); I е(1, М- число точек. Для

пружины кручения - (б * 6) - матрицы

<С*-><„ • г = ]; (1.7)

В (1.6),(1.7) 8kr =

R(a). =

Z.'

N

J Ы

A J.l'g.l

J, k = r*0;

0, k=r =0, umik^r^O, или r * к =■•0 ;

-1, к фг фО\

\ -

<Ь) (h • /

/Г

W * = ./Vg, и Рл

ЛГ

, (Ы

(tf * /) -

векторы , названные собственными векторами пружин растяжения - сжат им

„(а) и кручения; /V ,

и N

(О

V-«

- (5 * 3) - векторы направляющих косину-

соп их осей.

Математические конструкции для диссипативных элементов аплюгич->т рассмотренным конструкциям для пружин.

Уравнение движения объекта (1.1) конструируются следующим обратом. Матрица массы объекта консфуируется из базовых матриц масс юл (1.3). В сформированном виде - тго блочно-диагопальная (бп х бп) - ма фица

М = ding (д/f",Alf"Mf",...Л/f').

Матрица жесткости объекта конструируется пугем рассылки блоков неполных матриц жесткости пружин (1.5) - (1.7) в блочную, первоначально пулевую, (бп х бп) - матрицу. Рассылка производится с учетом информации, содержащейся п обведенной жирной линией субматрице матрицы смежности объекта (рис. 1,6). При попадании в один блок рассылаемые блоки суммируются. Поясним сказанное. Если тела j и g соединены пружиной, то б локи с¿5

неполной матрицы (1.5) должны быть разослан!,т в блоки (j ~g) н (g-j), содержащие на рис. 1,6 цифры «1», и диагональные блоки ( j - \g -g) Таким образом, адреса заполняемых и рассылаемых блоков должны совпадать. Из рис. 1,6 следует, например, что в блоке (j- у) матрицы жесткости

объекта должны быть просуммированы соответствующие блоки неполных матриц жесткости пружин, соединяющих тела 2 и у, а также / и g. В блоке

(2-2) - соединяющих тела 0, 1,_/ с телом 2.

Процесс конструирования матрицы демпфирования объекта аналогичен описанному.

Вектор обобщенных сип объекта конструируется из базовых вектором обобщенных сил тел (1.4) п соответствии с выражением

Q =

0.6Г

Q6a,

(1,8)

При отсутствии действия на Л-ос тело {1 <, к П) внешних сил и моментов в (1.8) вместо Qследует по/вставит, нулевой вектор 0^ ху.

Изложенный метод имеет особенность, ограничивающую обметь его применения и связанную с использованием специального набора указанных выше абсолютных обобщенных координат. По этой причине он не распространяется на такие системы с упруго-шарнирными соединениями подвижных тел, у которых в число обобщенных координат не могут быть включены имеющие место линейные перемещения полюсов тел. Простейшим примером подобного рода систем может служить двухстепенной плоский маятник, состоящий из двух тел, первое из которых связано с неподвижным и вторым телом посредством упруго-шарнирных соединений. В этом случае особенность заключается в том, что линейные перемещения полюса (шарни-ра) второго тела не могут быть приняты за его обобщенные координаты, поскольку они реализуются по законам движения первого тела.

С целью снятия указанного ограничения были разработаны другие методы. Их описание приведено в главах 2, 3.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА КОНСТРУИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СТАНОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ СО СТРУКТУРАМИ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

Разработка такого метода имеет две предпосылки. С одной стороны, она представляет самостоятельный интерес, поскольку среди реальных существуют конструкции со структурами Ц. С другой, конструирование динамических моделей объектов с более сложными структурами в соответствии с методом автора, описанным в З-ей главе, предполагает уже на начальном этапе декомпозицию сложного объекта на простейшие подобъекты со структурами Ц и построение для них своих моделей.

В связи со сказанным был разработан алгоритм, позволяющий осуществлять декомпозицию сложного объекта со структурой конечного НСГ(ц) или ПСГ на подобъекты (подконструкции) со структурами ориентированных Ц. Декомпозиция осуществляется с использованием принципа освобождаемое™ от связей и проводится в два этапа. На первом этапе выполняется переход от

исходного к эквивалентному объекту со структурой Д. На втором - ог объекта со структурой Д к подобьектам со структурами ориентированных Ц. Охарактеризуем основные математические конструкции метода. Вектор обобгценных координат объекта со структурой Ц из } подвижных тел (первое из которых связано с «нулевым» - неподвижным телом, второе - с первым и т.д.) имеет вид (1.2). Элементами его блоков - векюров обобщенных координат тел (] к (к—1,]) являются перемещения ик рА'к р> ту ^ р полюсов тел относительно начал их подвижных локальных систем координат в направлениях координатных осей, а также углы поворотов тел фь , у/ к , 0у относительно осей, проходящих через их полюса

параллельно указанным направлениям.

Базовая (6 к * 6 к) - матрица массы к -го тела цепи ( 1 <> к <, ] ) имеег размерность, зависящую от номера тела. Если эту матрицу представить в

блочном виде, разбив на к одинаковых блоков, то формула для еб общего члена будет

К,)

Л/?"

где Т] — 1,к, N^ и N ^ -(3*1)- векторы направляющих косинусов осей

7*

локальных систем координат тел £ и 7/; (3 * 5) - матрица Л^.^ = N ^ N

и К^1] - кососимметрнческие (3 * 3) - матрицы. Их диагональные элементы - нули, остальные - разности координат центра масс тела к - т. ( к , 1) и полтосов тел £ и Т] - т. (р) и т.( 1], р).

Базовые матрицы жесткости пружин растяжения - сжатия и кручения, связывающих I- ые точки соседних тел с номерами к и {к-[}, -это соответственно (6 х 6) и (3 х .?) - матрицы вида

- С<?=лм1м^к. (2.2)

где ЛЛ} -Л'л^Д и Nл = Nл Nл - {3 х 3) - матрицы направляющих косинусов осей пружин, а^ = К J -(3*6)- матрица.

БтовыИ (6 к* 1) - вектор обобщенных сил, действующих на к -ое тело цени, находится как

о!г =

(а)

(2.3)

Его блочные компоненты

<ег

сГ

/V

г

Ш,, +

'1*3

N

IТМ

Конструирование математических агрегатов объекта со структурой Ц выполняется по следующим правилам.

)

Матрицы массы объекта определяется суммой М — Х-Л/^ , где

*=/

М - полная (6у х бу) - матрица массы А' -го тела. Ее блоки .число которых , находятся в соответствии с выражением

(М£г,)м6а,\ к

О,

6x6'

Матрица жесткости объекта находится как

г=1 У=/

где^ и /У - число пружин растяжения - сжатия и кручения, С^ и С/4 ( их полные блочно - диагональные (6jx6/) - матрицы жесткости:

Сх =<Ьа8(0бхб.0бхб>-0бхб-сха3'°б*б>-0б*б)-

-' (бхб)

М<

О-*)«

СЛ = ^а8(03х3,03х3,...03х3,Сб^,03х3,...03х3), где к = 7,у.

V---, -----

(л-т) бкжп 2{)-к)баою»

Процедуры получения базовых и полных матриц диссипативных элементов, а также матрицы демпфирования объекта, аналогичны описанным процедурам получения соответствующих матриц жесткости.

Вектор обобщенных сил объекта Q = £ , где —

к=1

(а.)

Ок

полный (бу х 1) - векгор обобщенных сил к-го теля. Его блоки

/п&в' 4

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ КОНСТРУИРОВАНИЯ ЛИНЕИНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СТАНОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

В этой главе описаны методы конструирования моделей объект« со структурами Д. НСГ(ц) и ПСГ. Работу методов проиллюстрируем на примере конструирования модели объекта со структурой Г (рис. 2). Вначале п соответствии с разработанным алгоритмом, описанным в главе 2, выполняется

Структурный граф исходного объекта

Цепь 1 Цепь 2 Цепь 3 Цгпь -4 * ^ |

Лее

Рис. 2. Структурная декомпозиция объекта, используемого для иллюстрации работы метода

декомпозиция исходного объекта на подобъекты со структурами дерена V и цепей Г] ~Г4. Модель исходного объекта конструируется в три этапа. На первом этапе конструируются модели подобъектов со структурами Ц, затем Д, и на последнем этапе - исходного объект.

Объект со структурой Д. Поясним обозначения на рис. 2. Для обозначения тел - вершин графов используются их полные идетгптфнкаюры. Они представляют собой глобальные номера тс л в структуре исходного объема

Г с нижними и верхними (в скобках) индексами. Нижние индексы - это локальные номера тел в одной из ориентированных цепей Г} —Г4, номер которой указан в верхнем индексе. В общем виде идентификатор может быть записан как /¿У/'. Буквой «Л» на рис. 2 обозначены векторы сил реакций разорванных связей между телами с глобальными номерами, указанными в об индексе. Пупкгнром обведены вершицы графов (тела), входящие в разные цепи, но имеющие одинаковые глобальные номера.

Конструирование модели объекта со структурой Д начинается с введения блочного (6 п * 1) - вектора относительных обобщенных координат

ь

Яг

(3.1)

где п - число тел объекта (в примере п - 6). Его блоки - векторные элементы упорядоченного в порядке глобальной нумерации тел множества, полученного путем объединения множеств из векторов обобщенных координат тел цепей, т.е. подобъектов низшего уровня декомпозиции исходного объекта.

Для образования других математических конструкций используются мат-

рицы С а- , линейных преобразований (7» ,

» (у)

Я Г п. вектора q р (у)

и полные

(6 к х I) - векторы обобщенных координат тел л,) = •

1 *

91

Як

где 1,2, ... к- локальные номера тел участка V- ой цепи из к тел Так, например, для тела 4, полным будет (б * /) - вектор обобщенных координат

Ч4= Ч4(3) -Ч4{3) для тела 2-{12* 1)- вектор Ц^(г) = ^у -

(

Я 4

Ш

Ш

, тела 3 - (]8 * I) - вектор ^ =

Я2 Яз

После получения базовых матриц масс М]"3 тел цепей, базовых матриц жесткосгн пружин растяжения - сжатия (2.1) и кручения (2.2). неполных матриц жесткости пружин кручения СдП — базовых

матриц линейных н неполных матриц демпфирования поворотных демпфо-

ров, уравнения движения объекта со структурой Д конструируются в форме Mpifp +Hrqr+Crqr =Qp.

При этом (б п * 6 ri) - матрица массы объекта находится как

МТ = £ .

1=1 '

Конструирование его (6п х 6 п)-матрицы жесткости осуществляется в соответствии с выражением

я Г

где суммарные (б * б) - матрицы жесткости пружин соединений XI ба} Я/

С3 = £ С Л"' 4- £ ^ Х1 " число пружин растяжения - сжошя в

'' 'I

I ом соединении, - то же, но кручения. Аналогичным образом конструируется (б п х б п)- матрица демпфирования объекта. Его (6 п х 1) - вектор

обобщенных сип находится как ()р ~ £

I ' 'к

Объект со структурой НСГ(ц) или ПСГ. Число степеней свободы такого объекта и объекта со структурой Д, полученного в результате его декомпо зиции, совпадают. Поэтому их векторы обобщенных координат выбираются одинаковыми. При этом условии одинаковыми получаются векторы обобщенных сил и матрицы масс. Матрицы жесткости и демпфирования конструируются в соответствии с выражениями Сг = Ср + н

нг = нг +Нао

, где

и Н - добавочные (б п * б п) - матрицы жесткости и демпфирования. Их появление является следствием «замыкания » отдельных цепей, характеризующегося наличием цикловых ребер в структуре исходного объекта.

Если цепи / и } замыкаются посредством упруго - дисснпативных связей между телами и , то для каждой отдельной пружины растяжения - сжатия, связывающей эти тела, добавочная матрица жесткости будет

С?6 =Ьсь.ВТ1 N . В3

lJ.c-L,. Л^а,,

где Вх = А У а (1)-А в где А ^ , и А - мшри-

цы, составленные m блоков - матриц направляющих косинусов к тел Ц /, m тел Ц j и координатных матриц точек связи - т. (1т,С) и т. ( Lk,e). Добавочная матрица для пружины кручения будет

=aj-l*>Ta N л D. ,

,де Я'Ь.^^/О) -^г(') где Я,0) и Я, С) - матрицы.

и т «И Ь к $ к •> т Ь к

блоками которых с.1|ужат матрицы направляющих косинусов тел с локальными номерами о г 1 до т для Ц у и от 1 до А: для Ц /.

Добавочные матрицы жесткости объекта конструируются из добавочных матриц жесткости пружин путём их суммирования. Аналогично - суммированием добавочных матриц демпферов получаются его добавочные матрицы демпфирования. Полученные в соответствии с этим методом матрицы жест-кос! и и демпфирования объекта со структурой НСГ(ц) представляют собой разреженные матрицы. Для объекта со структурой Г1СГ они становятся полностью заполненными.

Заканчивая описание содержания первых трех глав диссертации, укажем на особенности конструирования уравнений движения объектов с различными структурами, когда число степеней свободы у одного, нескольких или каждого тела объекта меньше 6. В такой ситуации в используемых для указанной цели базовых, неполных и полных матрицах удаляются строки и столбцы, а в векторах - строки, соответствующие отсутствующим степеням свободы. В остальном ход конструирования соответствует описанному.

4. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА И ДИСКРЕТИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОКОНТАКТНЫХ СИСТЕМ С ПЛОСКИМИ СТЫКАМИ

Под миогоконтактными здесь понимаются системы произвольной структуры с любым конечным числом твердых тел, связанных соединениями с распределенными нелинейно деформируемыми плоскими стыками. К числу подобного рода соединений относятся направляющие скольжения различного профиля, фланцевые соединения, соединения с уступами, шпонками н др. Примерами многоконгактных систем могут служитт. несущие конструкции металлорежущих сганков и других машин. Предполагается, что контактные поверхности соединений тел в рассматриваемых системах могут иметь произвольное очертание, вырезы, любую макро и микрогеометрию, свойственную различным видам механической обработки, а сами соединения - иметь зазоры и натяги.

В основу разработки метода положены эмпирические характеристики

кош-актнош де<1 нормирования поверхностных слоев твердых шероховатых тел. К ним относятся: известная зависимость А. П. Соколпнског'о, описывающая продесс контактного деформи|ювания в нормальном х плоскости контакта направлении, кусочно-линейная характеристика трения с участками предварительного смещения и скольжения контактно взаимодействующих тел и полученная Back N., Burdekin М. и Cowley А. зависимость касательной контактной жесткости от давления в стыке, физических констант материала кон тактируемых тел и шероховатости их поверхностей.

Описаны предложенные эвристические подходы и численные алгоритмц решения нелинейных задач контактирования двух тел, одно из которых неподвижно, при малой площади контакта (<30 - 50 см1). Показано, что решение задач такого типа может быть найдено о использованием вывески подвижного тела на линейных нормальных и тангенциальных пружинах растяжения - сжатия. Эффективность и сходимость предложенных алгоритмов продемонстрированы на примерах решения задач контактирования тел без и при наличии скольжения, а также при отсутствии и наличии начального зазора. С использованием этих подходов и алгоритмов разработан численный метод статического расчета и дискретизации нелинейных многоконтактных

станочных систем с плоскими стыками большой площади (> 30 - 50см2). Описаны основные процедуры метода. Они заключаются в следующем.

На предполагаемых поверхностях контакта соединений тел многокон-таетной системы наносится сетка, разбивающая их на треугольные элементы, названные в отличие от конечных сеточными. Ввиду того, что метод базируется на эмпирических зависимостях, полученных на площадях контакта 3050 см*, площади этих элементов не должны превышать указанные размеры. Задаются поля начальных давлений (или перемещений - «натягов»), а также зазоров. Переход от давлений к перемещениям при необходимости производится по зависимости А. П. Соколовского. Выполняется дискретизация рабочих поверхностей соединений. Она заключается в замене поверхностных слоев сосредоточенными пружинами, имитирующими их свойства. Первоначально на каждом сеточном элементе.вводится по три пружины. Одна из них - нормальная к плоскости элемента, две другие - касательные. Точками сосредоточения этих пружин на 1-ой Итерации служат проекции на плоскость элементов центров тяжести эпюр давлений.

В результате проведения начальной дискретизации в зависимости от вида и сложности объекта получается его расчетная схема в виде либо системы твердых тел, связанных различно ориентированными в пространстве линейными пружинами растяжения - сжатия, либо в виде одного т^ла, взвешенно-'

го на упругом подвссе. В соответствии с полученной расчетной схемой с использованием процедур одного из разработанных автором методов, описанных в главах 1-3, формируется система уравнений статического равновесия объекта в виде

где С - симметрическая матрица жесткости конструкции, ф и 0_ - векторы обобщенных координат и обобщенных сил объекта. Находится с4 решение. По найденному вектору д вычисляются узловые перемещения сеточных элементов, давления и касательные напряжения. На контактных поверхностях с учетом знаков узловых нормальных перемещений выделяются области контакта и устанавливаются их границы. Если последние рассекают сеточные элементы, то на время следующей итерации вводятся временные дополнительные элементы. Выполняется проверка: находится ли исходный объект при действии приложенных внешних сил и найденных контактных давлений и касательных напряжений в состоянии статического равновесия или нет? Для этого на каждом находящемся в контакте сеточном элементе вычисляются силы реакции и находятся точки их приложения. Формируются векторы обобщенных сил <2 и сил реакций • Проверяется выполнение условия статического равновесия объекта

где £ - вектор заданных абсолютных погрешностей вычислений. Его компонентами служат заданные погрешности вычисления сил и моментов сил. Если данное условие выполняется, то дальнейшие вычисления прекращаются. Задача решена. В противном случае осуществляется переход к следующей процедуре. Для следующей итерации с использованием данных, полученных на предыдущей итерации, для каждого элемента вычисляются новые значения нормальных и касательных пружин и координаты точек их сосредоточения. В зависимости от характера распределения касательных напряжений на отдельном сеточном элементе может быть введено от 3-х до 5-ти пружин: одной в нормальном направлении и от 2-х до 4-х - в касательном.

Далее в главе 4 описана специфика работы метода при расчетах многоконтактных систем, включающих равномерно двигающиеся тела, и систем с зазорами. Отметим две особенности, характерные для работы метода в этих случаях.

При расчетах систем, содержащих равномерно двигающиеся тела, в качестве «динамометрических элементов» для определения значений тяговых сил подвижных тел используются фиктивные пружины малой жесткости. Один конец каждой такой пружины связывается с точкой приложения тяговой си-

лы, другой жестко заделывается. Ориентации осей пружин и тяговых сил совпадают. Вычислительный алгоритм пост роен таким образом, что решение квазистатнческих задач расчета многоконпхтных систем с равномерным движением отдельных ее тел сводится к статическому случаю.

Механизмом решения задач с зазорами, как и в других случаях, .служит подвес тел, корректировкой числа и параметров пружин которого решается поставленная задача. Отличительной особенностью подвесов для решения задач с зазорами заключается в том, что на каждом сеточном элементе в нормальном направлении вместо одной вводятся две последовательно соединен-, ные пружины. Одна из них - пружина малой жесткости считается «зазорной». Другая - пружина значительно большей жесткости - «контактной». В ходе решения задачи эти пружины корректируются по-разному в соответствии с разработанным алгоритмом.

Оптимизационный подход, предложенный для решения многоконтактных 'задач, заключается в следующем. Как и раньше на контактных поверхностях соединений вводится сетка, и определяется массив координат узловых точек. В соответствии с одним из разработанных автором и описанных в главах 1 - 3 методов вводится вектор обобщенных координат объекта д. и устанавливаются зависимости для вычисления векторов обобщенных

сил Q{q) и сил реакций (2 (?) ■ Задача оптимизации ставится как задача

минимизации квадрата длины вектора невязок

\(Оя(ч) + й(ч))\3-**пт при выполнении ограничений

где £ - в общем случае (6 п * 1) - вектор невязок, компонентами которого

V"

служат заданные невязки по силам и моментам, П - число тел объекта, ([ и

Ч*' - ограничения на вектор обобщенных координат, назначаемые с учетом геометрических факторов, зазоров и толщины контактных слоев. Управляемыми параметрами задачи служат компоненты вектора q.

Приобретенный опыт в решений многоконтактных задач оптимизационным путем показал, что выбор начального значения вектора обобщенных координат, как правило, оказывает существенное влияние на ход и длительность вычислительного процесса и в значительной мере зависит от опыта и интуиции пользователя. Поэтому для повышения эффективности предложенного оптимизационного подхода был разработан комбинированный подход,

сочетающий процедуры различных описанных выше методов.

5. КОМПЬЮТЕРНЫЕ СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ, СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ, СОЗДАННЫЕ НА БАЗЕ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ

Описаны две автоматизированные подсистемы, позволяющие быстро оценивать по показателям статического и динамического качеств проектные варианты станочных конструкций. Программное обеспечение для обеих подсистем написано на языке «Си ». Операционная среда - МБ ЕЮБ версии 6.22 и выше. Объем рабочих модулей первой из описанных ниже подсистем занимает 150 Кбайт, второй, - 300 Кбайт.

Подсистема моделирования, дискретизации и статического расчета станочных конструкций

В этой подсистеме программно реализован метод автора, описанный в 4 - ой главе, и часть метода, описанного в 1 - ой главе диссертации.

Подсистема позволяет рассчитывать конструкции с различной степенью их детализации. Это обеспечивает учет податливости болтов, контактной податливости клиньев, шпонок, отжатий планок и др. При моделировании и расчете все конструктивные элементы считаются абсолютно твердыми телами. При необходимости каждое из них может быть представлено группой связанных пружинами тел. Расчеты выполняются при учете эмпирических законов контактного взаимодействия твердых шероховатых тел в нормальном и тангенциальном направлениях. По желанию пользователя эти законы могут быть учтены как в нелинейном, так и линеаризованном видах. В результате автоматизированного расчета определяются: значения и распределения по поверхностям соединений контактных давлений, касательных напряжений, сил трения, а также нормальных и касательных перемещений; средние давления; тяговыб силы приводов подач; абсолютные и относительные перемещения заданных точек конструкции, в том числе и перемещения тел, приведенные в зону резания; энергии деформаций соединений; координаты точек сосредоточения, коэффициенты жесткости и направляющие косинусы осей пружин, полученных в результате дискретизации стыков; главные векторы и главные моменты систем распределенных реактивных сил в каждом соединении. Заметим, что две последние возможности подсистемы следует рассматривать как препроцессорные, если иметь ввиду последующий динамический расчет конструкций или их конечно-элементный анализ.

С помощью созданной подсистемы можно выполнить анализ чувствительности выходных характеристик рассчитываемого объекта к изменению

его конструктивных параметров.

Перечисленные выше функции позволяют расчитыкать рабочие поля несущих конструкций станков и делать оценку точности взаимных расположений и перемещений их узлов.

Возможности подсистемы проиллюстрированы на примерах реше.ния ряда задач. В частности, приведены результаты машинных экспериментов, нмтт1р)тощих натурные эксперименты ЭНИМСа, Г). 13. Рыжова и В. И. Островского по определению контактных перемещений в плоских стыках при центральном погружении, и эксперименты Д. Н. Решсгова по исследованию, влияния непрямолиценности направляющих на контактные де<|юрмации. Показано, что погрешности расчетов не превышают 5 - 10%.

Получены проектные оценки влияния зазоров, смещения нагружающей силы, а также различных пндов макрогеометрии поверхностей направляющих на распределения контактных деформаций и давлений на их гранях. По данному машинному эксперименту сделан вывод о "том, что в направляюща с одинаковыми размерами при одинаковой внешней нагрузке в зависимости от вида макронсровностсй средние давления могуг отличаться не более, чем на 10%. При этом их контактная жесткость может отличаться в 5 раз, а максимальные давления - в 14 раз. Это свидетельствует о том, что технологические факторы и стабильность производства деталей выпускаемых станков играют важную роль в обеспечении их выходных характеристик.

Для сравнения эффективности функционирования подсистемы в неоптимизационном и оптимизационном режимах часть описанных выше задач была решена оптимизационным путем. Результаты сравнения свидетельствуют о том, что время, затраченное на решения, в обоих случаях имеет один порядок. При этом па решение оптимизационным путем процедур, как правило, затрачивается в 3 - 4 раза больше.

Созданная подсистема может служить эффективным инструментом получения проектных оценок статического качества конструктивных вариантов станков, отличающихся повышенной сложностью. В качестве такого примера для одного из вариантов несущей конструкции фрезерного станка нетрадиционной компоновки (рис. 3,а,б) приведены результаты решения ряда важных вопросов, включающих:

- выбор целесообразного расположения ходовых винтов передвижения подвижных узлов и определения тяговых сил (рис. 3,в);

- оценку перемещений корпусных деталей, приведенных в зо!гу резания;

- определение распределений по контактным поверхностям соединений контактных давлений, касательных напряжений и перемещений;

№ Наличие ХОДОВЫХ вшггов Движение Тягошш сила, кН $Р„ кН (/=Л,- В;С) К, 1К, £Р. к 11 К2

консоли стойки Рл Р» Рс

1 А, В' \ 4,40 4.31 8,71 2 6 23,74 4

\ / 5,41 9,62 15,03 4

2 в \ / 7,87 7,87 1 2 19,73 1

\ / 11,86 11,86 1

3 в, с \ ^ 6,38 3,45 9,83 4 6 22,28 2

\ 6,48 5,97 12,45

4 А, В, С \ / 4,09 3,85 1,63 9,57 3 6 23,56 3

/ 2,75 5,76 5,48 13,99 3

5 А, С \ 7,17 4,76 11,93 5 10 28,90 5

\ * / 7,02 9,95 16,97 5

6 А \ / Заклинивание

\ / 29,3 29,3

7 С \ / 18,2 18,2

\ / Заклинивание

в)

Рис. 3. Общий вид (а), расчетная схема (б) и таблица (в) проектных оценок вариантов несущей конструкции фрезерного станка, отличающихся ■''■л-, числом и расположением ходовых винтов: о- пол цеха, 1 - основание, 2 и 10-тумбы, 3 - стойка, 4 - ползун,5 - плита,б - корпус,7 - головка, в - консоль, 11 - деталь; к, и К3 - приоритеты

- оценку распределений энергии деформаций по соединениям корпусных деталей с ганка;

- выявление наиболее ослабленных соединений;

- вычисление сил реакций в соединению для последующего конечно-элементного расчет корпусных деталей и др.

Заметим, что все задачи по этому станку были решены при введении 2418 сеточных элементов. Их количество на поверхностях соединений колебалось от 32 до 420. Время решения отдельных задач на ПЭВМ на базе 486-го микропроцессора с тактовой частотой 66 МГц составляло 1-4 мин при числе итераций, не превышающем, как правило, 100.

Функциональные возможности созданной подсистемы позволяют получать трехмерные изображения эпюр распределения по поверхностям соединений контактных давлений, касательных напряжений и перемещений. Такие эпюры для рассмотренной несущей конструкции приведены в конце раздела 5.1 диссертации. Подобные данные необходимы для выполнения прочностных расчетов, а также расчетов износа и долговечности соединений.

Завершая описание возможностей первой подсистемы, отметим, что получаемая с ев помощью информация дает достаточно глубокое представление о напряженно-деформированном состоянии соединений корпусных деталей исследуемой конструкции. При проектировании это облегчает сравнение ее вариантов и выбор наиболее рационального варианта.

Подсистема САПР для моделирования, расчета и анализа собственных и вынужденных колебаний станков

В этой подсистеме программно реализован метод автора, описанный в 1-й главе диссертации.

Объектами моделирования и расчета могут быть приводы главного движения, приводы подач, несущие конструкции станков и их подконструкцни, а также более сложные объекты в виде комбинаций выше перечисленных. Расчетные схемы объектов представляются системами твердых тел, связанных линейными дискретными пружинами и демпферами. Структуры объектов могут быть любыми. Поскольку подсистема ориентирована на эксплуатацию на ранних этапах проектирования, все расчеты выполняются при модальном демпфировании.

Функциональные возможности подсистемы обеспечивают: проведение в течение одного сеанса расчетов нескольких объектов или вариатов одного объекта; ввод, просмотр, корректировку и распечатывание исходных данных; конструирование математических моделей объектов в обобщенных и главных координатах ; расчет собственных частот и форм колебаний; анализ собст-

23

венных форм колебаний с целью выявления чувствигельных конструктивных элементов, оказывающих наибольшее влияние на проявление тех или иных форм, отстройку собственных частот от запрещенных диапазонов частот (что особенно важно для станков специального назначения); расчет вынужденных колебаний при гармонических и полигармонических кинематических возмущениях; расчет частотных характеристик; расчет вынужденных колебаний при произвольных детерминированных силовых возмущениях (в том числе и нелинейных, действующих со стороны процесса резания); расчет переходных п|к>цсссов при импульсных и внезапно приложенных статических нагрузках; расчет перемещений любых точек объектов под действием статических нагрузок (в отличие от первой подсистемы здесь расчет производится в окрестности состояния статического равновесия); анализ чувствительности статических перемещений выбранных точек конструкции к'изменению жесткости соединений; проведение модального анализа конструкций при всех указанных выше видах возмущений; изменение во время сеанса работы точек наблюдения, точек приложения нагрузок и самих нагрузок; получение абсолютных и относительных перемещений, скоростей и ускорений выбранных точек конструкции при всех видах нагрузок и возмущений.

В разделе 5.2 освещены основные концепции разработки подсистемы и достаточно подробно описаны ей структура и возможности. Она состоит из шести блоков: ввода данных, конструирования математических моделей объекта, расчета и анализа собственных колебаний, отстройки собственных час-тог, расчета вынужденных колебаний и блока статических расчетов.

Функционирование подсистемы в различных режимах работы показано на примере моделирования и анализа одного из конструктивных вариантов несущей конструкции одностоечного продольно-фрезерного станка, выполненных на стадии проектирования с целью выявления путей улучшения его статического и динамического качеств. Общий вид и расчетная схема несущей конструкции станка приведены на рис. 4. На расчетной схеме конструкция представлена системой^ имеющей 48 степеней свободы и состоящей из 8-ми твердых тел. В качестве последних приняты базовые узлы станка. Поскольку демпфирование принято модальным, их соединения имитированы наборами пружин с различной пространственной орие!ГтаЦией.

С учетом накопленного опыта в эксплуатации подсистемы машинные эксперименты были поставлены в следующей последовательности. Вначале для оценки уровня колебаний и величины статических отжатий был выполнен расчет выттужденных колебаний при фрезеровании деталей - представителей на станке с начальным вариантом конструктивного исполнения несущей конструкции (кривые 1 на рис. 5 справа). Далее были рассчитаны е& амплитудно-частотные характеристики. В результате было установлено, что ко-

7 б

а) б)

Рис. 4. Расчетная схема (а) и общий вид (б) несущей конструкции одностоечного продольно-фрезерного станка: 0 - пол цеха, 1 -станина, 2 -стол с деталью. 3 - стойка, 4 - салазки, 5 - редуктор, 6 - ползун, 7 - головка, 8 - коробка подач

лебательнмс свойства станка проявляются в диапазоне до 280 Гц. В этом диапазоне на относительные колебания фрезы и детали в направлении оси Z доминирующее влияние оказывают 1-я, 3-я и 4-я моды колебаний. Из анализа распределения энергий и самих деформаций по соединениям гга этих модах был сделан вывод о том, что наиболее эффективным путем снижения уровня колебаний и статических отжатнй фрезы относительно детали в вертикальном направлении является увеличение в этом тте направлении жесткости соединения «стойка - салазки» (3-4), т.е. механизма перемещения салазок. Подтверждением правильности сделанного вывода служат кривые 2, 3 на рис. 5, а также амплитудно-частотные характеристики, которые здесь tie приводятся.

В конце главы 5 приведены результаты, полученные при функционировании подсистемы в режимах отстройки собственных частот, расчета переходных процессов и статического расчета. Приведены также результаты использования данной подсистемы для проектной оценки вынужденных колебаний станков, вызываемых действием различных факторов: сил резания, деба-лансных возмущений вращающихся деталей приводов, кинематических возмущений со стороны фундаментов станков или полов цеха.

Симметричное фрезерование плоскости сплошной детали

Симметричное фрезерование плоскости рамки

Рис. 5. Проектная оценка ьлияння изменения жесткости соединения "стойка-салазки" на поведение станка при различных видах обработки: слева схема обработки в составляющие силы фрезерования, справа -относительные перемещения (лИ') между фрезой и деталью; кривая 1 - для начального варианта конструкции, 2 - при увеличении указан -ной жесткости в 2 раза, 3 - в 3 раза

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В результате выполненных исследований решены следующие научно-технические проблемы.

1 .Разработаны новые методы ручного и компьютерного конструирования аналитических и числовых матричных форм линеаризованных уравнений динамики станочных конструкций (несущих систем, приводов главного движения и подач, приспособлений и др.), допускающих идеализацию, по крайней мере, на ранних этапах проектирования в виде многомерных дискретных систем абсолютно твердых тел с упруго-диссипатнвными связями и структу-' рами тина Ц, Д., НСГ(ц) или ПСГ. В соответствии с этими методами уравнения движения таких систем конструируются в матричном виде (1.1). Для описания конфигурации объектов исследования могут использоваться абсолютные или относительные обобщенные координаты.

Разработанные технологии конструирования уравнений движения исключают выполнение стандартных процедур, присущих формализму классических методов механики. Процесс получения уравнений движения математических моделей объектов сводится к прямому конструировании матриц, входящих в (1.1), из типовых блоков, сформированных на основе информации о структуре и параметрах моделируемого объекта. Процедуры конструирования просты, и не требуют от пользователя знаний вариационных принципов механики. В сил)' отмеченных обстоятельств разработанные методы легко доступны как для заводских инженеров-расчетчиков, применяющих для получения моделей проектируемых объектов либо «ручную» технологию, либо системы аналитические вычислений, так и для инженеров-разработчиков подсистем автоматизированного моделирования САПР.

Разработанные методы высокоэффективны. При их «ручном» применении время получения моделей объектов относительно невысокой сложности сокращается в десятки и алии раз в сравнении со временем получения моделей с использованием аппарата уравнений Лагранжа второго рода. По мере возрастания степени сложности объектов эффективность применения методов увеличивается. Опыт компьютерного конструирования моделей несущих конструкций и приводов главного движения фрезерных станков, идеализм- . руемых системами с числом степеней свободы порядка 50-80, показывает, 'по время их получения на ПЭВМ PC/AT, как правило, не превышает 1-1,5 с.

2. Разработан новый численный метод дискретизации и статического расчета нелинейных многоконтактных станочных систем с плоскими стыками. Объектами расчета могут быть плоские стыки, затянутые фланцевые соединения, направляющие скольжения произвольного профиля, а также носу-

щие конструкции станков и их подконструкции, корпусные детали которых связаны соединениями указанного типа. Перечисленные объекты могут иметь гаобое конечное число плоских стыков, в том числе и содержащих зазоры и натяги. Ограничений на топологию, а также микро и макрогеометрию плоских поверхностей не накладывается. В идеализации объекты представляются системами абсолютно твердых тел. связанных распределенными нелинейно-деформируемыми контактами. В общем случае структура таких систем может быть произвольной. При отработке метода контактные свойства поверхностных слоев имитируются группами сосредоточенных пружин. Их параметры подбираются в ходе решения задачи в соответствии с разработанными алгоритмами. Моделирование контактов осуществляется на каждой итерации. При этом обеспечивается согласованное, определяемое заданными эмпирическими законами контактного взаимодействия, взаимно-однозначное соответствие между контактными деформациями, давлениями и касательными напряжениями.

Результатом отработки метода служат данные статического расчета, характеризующие напряженно-деформированное состояние соединений объекта, а также его механический линеаризованный аналог в виде многомерной системы твердых тел, связанных линейными пружинами. Последние ттахо-Д1ИТСЯ при соблюдении условий идентичности напряженно-деформированных аьстояний, вызванных действием приложенных сил, и статической эквива-аатностн в их малой окрестности исходного нелинейного дискретно-распре-Дйленного объекта и его линейного аналога.

Разработанный метод является важной методической разработки для решения проблемы машинной генерации расчетных схем станков для последующих динамических расчетов в условиях многовариантного автоматизированного проектирования.

3. Для решения многоконтактных задач с плоскими стыками разработан оптимизационный подход, использующий часть процедур вышеуказанных методов. При реализации данного подхода за управляемые параметры задачи принимаются компоненты вектора обобщенных коордштат объекта, определяющие в любой момент времени его конфигурацию, а, следовательно, и контактные деформации соединений. Целевой - минимизируемой функцией задачи служит квадрат длины вектора невязок, равного разности между вектором обобщенных сил объекта и вектором его обобщенных реакций. Для решения задачи накладываются ограничения на изменения компонент вектора обобщенных координат и вектора невязок.

4. На базе разработанных автором методов, описанных в главах 1 к 4, ни Нижегородском заводе фрезерных станков под руководством и при участии автора созданы две компьютерные подсистемы, предназначенные для много-

вариантою анализа статических к динамических качеств конструкций станков на рашшх этапах проектирования.

Использование созданных подсистем существенно расширяет круг задач, подлежащих оперативному решению при проектировании.

Особо следуй'' отмстить дям обстоятельства. Во-первых, с помощью первой из подсистем обеспечивается возможность численного решения класса МИ0ГОК01ГШКГНЫХ задач при больших площадях контакта (превышающих 30 -

50смг), наличии макрогеометрии на контактных поверхностях и зазоров в соединениях. Во-вторых, использование другой подсистемы позволяет решать практически важные задачи о колебаниях несущих конструкций и приводов станков при детерминированных возмущениях произвольного вида, включая нелинейные возмущения от сил резания и кинематические возмущения, передающиеся от полов цехов и фундаментов станков.

Опыт эксплуатации созданных подсистем свидетельствует о том, что их внедрение в практику проектирования предоставляет возможности:

• сокращения сроков создания конкурентоспособных моделей станков за счет проведения многоаспектных машинных экспериментов над математическими моделями их различных конструктивных вариантов;

• автоматизации процессов анализа и поиска путей совершенствования как создаваемых, так и существующих станков;

• синтеза конструкций станков с наперед заданными характеристиками качества;

• существенного сокращения времени и экономических затрат на доводку опытных образцов за счет замены большей части натурных испытаний создаваемых станков машинными экспериментами над их математическими моделями, обеспечивающими получение результатов имитации поверочных процедур приемки-сдачи.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Содержит акт внедрения на Нижегородском заводе фрезерных станков (ОАО «ЗеФС») двух подсистем САПР, созданных на базе разработанных Г. В. Мословым методов компьютерного конструирования дискретных моделей механики станков.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Маслов Г. В. Об общих закономерностях в динамическом поведении несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков // Динамика систем: Межвуз. сб. - Горький: Горьк. ун -т. - 1975.- Вып. 5.- С. 109-117.

2. Маслов Г. В. О построении математических моделей, описывающих

29

камертонные формы колебаний несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков // Динамика систем: Межвуз. сб. - Горький: Горьк. ун-т.-1975.- Вып. 7.-С. 117-127.

3. Городецкий Ю. И., Маслов Г. В. Колебания несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков и их математическая модель // Динамика систем. Оптимизация и адаптация: Межвуз. сб. - Горький: Горьк. ун-т.-1978,-Вып. 14.-С. 178-199.

4. Городецкий Ю. И., Маслов Г. В. Определение путей снижения уровня колебаний несущих систем консольных вертикально - фрезерных станков // Динамика систем. Математические методы теории колебаний: Межвуз. сб.-Горький: Горьк. ун-г. - 1979. - С. 187- 202.

5. Городецкий Ю. И.. Маслов Г. В. Повышение динамических качеств вертикальных консольно-фрезерных станков // Актуальные проблемы проектирования и эффективной эксплуатации металлорежущих станков и их комплексов в машиностроении: Материалы зон. конф. - Уфа, 1980,- С. 98 - 99.

6. Городецкий Ю. И., Маслов Г. В. Повышение динамической жесткости несущих систем консольных вертикально - фрезерных станков // Изв. ВУЗов. Машиностроение,-1981,-К® 2,-С. 126-128.

7. Ануфриева Н. Ю., Маслов Г. В. Автоматизация расчета геометрии масс в задачах динамики сложных тел / НИИ прикл. мат. и кибернетики при Горьк. ун-те. - Горький, 1986.- 9 е.- Деп. в ВИНИТИ 10.06.86, №4227- В86.

8. Маслов Г. В., 'Грубин В. Е.. Автоматизация построения на ЭВМ динамических моделей компоновок в задачах САПР металлорежущих станков /7 Динамика станочных систем гибких автоматизированных П]юизводств: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф,- Тольятти, 1988 - С. 123 -124.

9. Ануфриева П. Ю., Галкин А. П., Маслов Г. В. Расчет инерционных параметров сложного тела // Алгоритмы и программы: Инф. бюл. ВНТИЦ -1988.- Ks 5 - реф. № 50870001342.

10. Ануфриева Н. Ю,; Галкин А. П., Маслов Г. В. Расчет инерционных параметров сложного тела на СМ ЭВМ в диалоговом режиме // Алгоритмы и программы: Инф. бюл. РНТИЦ.- 1989,- № 1.- реф. № 50880000566.

11. Мае шов Г. В., Трубин В. Е. Проблемы автоматизированного проектирования компоновок несущих конструкций специальных фрезерных станков // Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ: Тез. докл. Всесоюз. конф.- Вильнюс, 1990.- С. 26.

12. Маслов Г". В. К вопросу моделирования динамики машин со сложной структурой /.' Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств: Тез. докл. IV РНТК.- Н. Новгород, 1992. - С. 60.

13. Маслов Г. В., Стерлнн А. М„ Трубин В. Е. Подсистема САПР для мо-

делироэання, статического и динамического анализа станочных систем // Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств: Тез. докл. IV РНТХ.-Н Новгород, 1992. - С. 60-61

14. Маслов Г. В., Трубки В. Е Специфика задач динигшкн при создании интегрированных САПР фрезерных станков // Динамик« станочных систем гибких автоматизированных производств: Тез. докл. IV Р1ГГК.- Н. Новгород, 1992.-С. 61.

15. Маслов Г. В. Проблемно-ориентированные методы автоматизации моделирования металлорежущих станков // Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. III РНТК по нелинейным колебаниям механических систем. - Н. Новгород, 1993,- С. 133.

16. Маслов Г. В. Численный метод решения многоконтактных задач статического расчета несущих конструкций машин / Нижегород. гос. техн. ун -т.- Н. Новгород, 1994,- 22 с. - Дсп. в ВИНИТИ 15.06.94, № 1463 - В94.

17. Маслов Г. В. Построение линейных динамических моделей машин / Нижегород. гос. техн. ун -т. - Н. Новгород, 1994.- 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.94, № 1818 - В95.

18. Маслов Г. В. К вопросу автоматизации моделирования металлорежущих станков на ранних этапах проектирования // Математическое моделирование и оптимальное управление: Межвуз. сб. науч. тр. / Под ред. Р. Г. Строншна. - Н. Новгород: Нижегород. ун-т., 1996,-С. 172-179.

19. Маслов Г. В. Компьютерный метод построения дискретных динамических моделей машин одного класса // Изв. ВУЗов. Машиностроение. -1996,-№7-9,-С. 13-20.

20. Маслов Г. В., Ершов А. А. Получение проектных оценок влияния нелинейных свойств соединений корпусных деталей на колебания фрезерных станков // Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. IV РНТК но нелинейным колебаниям механических систем.- Н. Новгород, 1996.- С. 103.

21. Маслов Г. В. Автоматизация построения дискретных расчетных схем несущих конструкций металлорежущих станков // КОГРАФ - 96: Тез. Меж-дунар. конф. по компьютерной графике. - Н. Новгород, 1996,- С. 108.

22. Маслов Г. В., Стерлин А. М., Трубин В. Е. Подсистема автоматизации моделирования н анализа механических конструкций // КОГРАФ - 96: Тез. Междунар. конф. по компьютерной графике. - Н. Новгород, 1996,- С. 110.

23. Маслов Г. В. Методы блочного компьютерного конструирования матричных форм уравнений малых колебаний станочных конструкций // V Междунар. конф. по динамике технологических систем: Тез. докл: В 2 т.- Ростов - на - Дону, 1997.-Т 1.-С.50-51.

24. Маслов Г. В. Метод получения уравнений малых колебаний сложных систем абсолютно твердых тел с большим числом степеней свободы // Проблемы машиноведения: Тоз. докл. РНТК, посвящ. 10-летшо Нф ИМЛ111 РАН,- Н. Новгород, 1997,- С. 31.

25. Маслов Г. В. Дискретизация соединений в многоконтактных соединениях одного класса II Проблемы машиноведения: Тез. докл. РН'ГК, носвянд. 10-летию Нф ИМЛ1П РАН.- Н. Новгород. 1997,- С. 115.

26. Маслов Г. В., Стерлин А. М. Оптимизационный подход к решению многокошактных задач // Прикладные проблемы прочности и пласгичиости. Анализ и оптимизация: Материалы Междунар. конф. «Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела», г. II. Новгород. 16-20 октября 1995 г.- М„ 1997,- С. 143-147.

27. Маслов Г. В. Инженерный метод получения динамической модели сз-анка // Проектирование технологаческих машин: Сб. науч. тр. / Под ред. А. В. Пуша,- М.: МГТУ «СТАНКИН», 1998,- Вып. 11.- С. 7 - 16.

28. Маслов Г. В., Трубин В. Е. Опенка динамического.качества станков в условиях автоматизированного проектирования // Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям механических систем. - Н. Новгород, 1999.- С. 149.

Введение . . . . -.

Глава 1. Разработка метода конструирования линейных динамических моделей сложных станочных конструкций в абсолютных обобщенных координатах

1.1. Виды объектов и вопросы идеализации.

1.2. Подход к получению уравнений движения

1.3. Обобщенные координаты и описание конфигурации объекта в пространстве.

1.4. Матрицы массы.

1.5. Матрицы жесткости.

1.6. Матрицы демпфирования

1.7. Векторы обобщенных сил

1.8. Сборка уравнений движения

1.9. Ограничения работы метода

1.10. Пример использования разработанного метода

Глава 2. Разработка метода конструирования линейных динамических моделей станочных конструкций со структурами простых цепей в относительных обобщенных координатах

2.1. Декомпозиция объекта сложного вида на подобъекты со структурами простых цепей.

2.2. Принятые обозначения.

2.3. Системы координат и обобщенные координаты.

2.4. Перемещения точек и углы поворотов тел

2.5. Матрицы массы

2.6. Матрицы жесткости

2.7. Матрицы демпфирования.

2.8. Векторы обобщенных сил.

2.9. Учет кинематических возмущений .'

2.10. Конструирование уравнений движения

Глава 3 Разработка методов конструирования линейных динамических моделей сложных станочных конструкций в от но

3 стр сительных обобщенных координатах

3.1. Объект со структурой дерева.

3.1.1. Декомпозиция и обобщенные координаты.

3.1.2. Получение основных характеристик структурных компонентов

3.1.3. Конструирование матрицы массы.

3.1.4. Конструирование матрицы жесткости.

3.1.5. Конструирование матрицы демпфирования.

3.1.6. Конструирование вектора обобщенных сил.

3.1.7. Конструирование уравнений движения . . . . ЮЗ

3.2. Объект со структурой неполного связного графа с циклами . 104 3.2.1.Общность и различие в решений задач получения уравнений движения объектов со структурами дерева и неполного связного графа с циклами

3.2.2. Особенности конструирования матрицы жесткости

3.2.3. Особенности конструирования матрицы демпфирования

3.2.4. Конструирование уравнений движения.

Выводы к

главам 1

Глава 4. Разработка численного метода статического расчета и дискретизации нелинейных многоконтактных станочных систем с плоскими стыками

4.1. Базовые эмпирические характеристики контактного де -формирования поверхностных слоёв твердых тел, поло -женные в основу метода.

4.2. Контактирование двух тел с малой площадью контакта

4.2.1. Контактирование без скольжения

4.2.2. Контактирование при скольжении

4.2.3. Контактирование при начальном зазоре.

4.3. Многоконтактные системы

4.3.1. Основные процедуры метода.

4.3.2. Системы, включающие равномерно двигающиеся тела

4.3.3. Системы с зазорами.

4.3.4. Оптимизационный подход к решению многоконтактных задач.

Выводы.

Глава 5. Компьютерные средства автоматизации моделирования, статического и динамического расчета и анализа металлорежущих станков, созданные на базе разработанных методов

5.1. Подсистема моделирования, дискретизации и статического расчета станочных конструкций.

5.1.1. Возможности, структура и функционирование подсистемы

5.1.2. Примеры расчетов контактных перемещений и давлений в плоских стыках с различной микро и макрогеометрией

5.1.3. Пример статического расчета несущей конструкции станка

5.2. Подсистема САПР для моделирования, расчета и анализа собственных и вынужденных колебаний станков

5.2.1. Основные концепции разработки.

5.2.2. Структура и возможности подсистемы.

5.2.3. Режимы функционирования.

Выводы

В последние годы в станкостроении, как и в других отраслях машиностроения, наметился устойчивый переход от традиционного в недалеком прошлом «ручного» конструирования к новой технологии проектирования, ориентированной на создание и использование систем автоматизированного проектирования [55, 112]. В число основных компонентов таких систем входят и подсистемы автоматизированного моделирования объектов проектирования. Основные функции подобного рода систем сводятся к машинной генерации математических моделей различного уровня описания поведения создаваемых объектов и к проведению с их помощью машинных экспериментов над различными конструктивными вариантами. Целью проведения экспериментов обычно ставится получение численных значений критериев, с помощью которых оцениваются статические и динамические качества объектов проектирования. Для металлорежущих станков за такие критерии, как правило, принимают параметры, характеризующие «точность обработки, долговечность (стойкость), производительность, энергетические потери, шум и др.» [64]. Наиболее полно вопросы анализа и оценки динамических качеств станков рассмотрены в [64]. Развитие системы оценочных критериев можно найти в [1, 3, 19, 20, 23, 29, 34, 44, 46, 47, 58, 59, 89, 90, 96, 102, 108, 117, 118, 123, 128 и др.].

Обращаясь к истории развития подсистем автоматизированного моделирования различных объектов машиностроения, следует отметить, что на его начальных этапах использовались типовые расчетные схемы и упрощенные готовые математические модели для прототипов и близких вариантов конструкций [64]. Для последующих этапов характерна тенденция к машинной генерации расчетных схем и получению математических моделей проектируемых объектов с помощью ЭВМ. Наибольшее число отечественных публикаций в этой области, по мнению автора, относится к задачам робототехники, авиации, ракетной техники и космонавтики.

Возвращаясь к области станкостроения, отметим, что станок как объект проектирования и анализа представляет собой сложную замкнутую, в смысле теории управления, динамическую систему, состоящую из совокупности физически неоднородных подсистем - механических (несущих конструкций, приводов, приспособлений, манипуляторов и др.), электрических, гидравлических, управляющих, информационных и т.п. По В. А. Кудинову «эта замкнутость определяется взаимодействием элементов упругой системы «станок-приспособление-инструмент-деталь» с рабочими процессами, протекающими в подвижных соединениях этих элементов, т.е. с процессами резания, трения, электромагнитными, гидродинамическими, тепловыми и т.п.» [64]. В различных ситуациях каждая из названных подсистем может играть значительную роль в поведении станка. Однако в диссертации основное внимание уделено механической части станка как главному компоненту его конструкции.

Охарактеризуем основные проблемы, решению которых посвящена диссертация.

Проблема разработки компьютерных методов конструирования математических моделей механической части конструкций станков на ранних этапах проектирования

При современном автоматизированном проектировании на различных этапах разработки (а также доводки, испытания и эксплуатации) машин различного технологического назначения, в том числе и металлорежущих станков, используются модели различного уровня математического описания. Несмотря на то, что на ранних этапах проектирования станков принимаются исключительно важные проектные решения, касающиеся выбора их технических характеристик, компоновки, типа приводов, систем управления и т.д., модели этого этапа - самые простые. Причиною того является недостаточный объем информации о параметрах из-за низкой степени проработки конструкций, свойственной этому этапу проектирования. С накоплением опыта проектирования по мере выделения, осмысления и формализации проектных процедур сложность и роль используемых при проектировании математических моделей возрастает. Например, результаты, полученные при обследовании деятельности ведущих отечественных конструкторских организаций в области создания новой авиационной техники, свидетельствует о том, что чем сложнее математические модели низшего уровня, тем выше экономический эффект от вновь созданной техники [55]. Разумеется, при этом имеется ввиду то, что высокие технологические возможности производства обеспечиваются.

Разработка новой конструкции конкурентоспособного станка - это сложная и трудоемкая задача. В соответствии с требованиями новой технологии проектирования [112, 120] для ее решения требуется выполнение не только статических, но и динамических расчетов на всех этапах проектирования. Поскольку с развитием проекта растет и объем информации о проектируемом объекте, при переходе от одного этапа проектирования к другому должна возрастать и сложность математических моделей. Несмотря на то, что реальные конструкции станков являются сложными распределенными колебательными системами, проявляющими при эксплуатации свойства как линейных, так и нелинейных распределенных и дискретных систем [20, 22, 23, 3438, 47, 52, 64, 67,68, 71-74, 77, 81-83, 89, 91, 95-97, 102, 111, 116-123, 128 и др.], в начале проектирования их целесообразно интерпретировать как линейные системы с сосредоточенными параметрами. В поддержку сказанного могут служить методические рекомендации, содержащиеся в [44, 51, 91, 97] и приведенные ниже аргументы.

Поведение станков при статических нагрузках, собственных и вынужденных колебаниях в значительной мере характеризуется их модальными свойствами. Накопленный опыт моделирования при проектировании станков свидетельствует о том, что уже на концептуальной его стадии формируется упруго-инерционное ядро будущей механической части станка [120]. Несмотря на неопределенность многих параметров оно обеспечивает сохранение качественной картины поведения станка в значительном частотном диапазоне [120, 38, 72, 74 и др.].

Автоколебательные явления в станках свидетельствуют о протекании в них нелинейных процессов, рассмотрение которых выходит за рамки диссертации. Однако, уместно заметить, что потеря устойчивости станков часто происходит на частотах, мало отличающихся от одной из низших собственных частот их упругих систем [64, 35 и др.]. При этом поведение последних целиком определяется собственными формами, соответствующими указанным частотам [74 и др.].

Упругие" системы станков содержат большое число подвижных и неподвижных слабо затянутых соединений. Поэтому роль контактных деформаций в поведении машин этого типа чрезвычайно высока [28, 106, 94, 96, 50, 64, 68, 42 44, 60 62, 84, 91, 96, 99, 100]. Достаточно сказать, что при статических нафузках станков с литыми базовыми деталями доля контактных от общего уровня деформаций, приведенных в зону резания, доходит до 70% [68, 96]. Влияние же стыков в динамике характеризуется снижением значений собственных частот конструкций и значительным повышением рассеяния энергии [95]. Из этого можно сделать вывод о том, что при моделировании, по крайней мере, на ранних этапах проектирования упругие свойства соединений целесообразно имитировать дискретными пружинами, сосредоточенными в стыках.

Специфической особенностью металлорежущих станков является и то, что для обеспечения требуемой точности обработки их упругие системы должны иметь высокую жесткость. Это предопределяет такие допустимые значения статических и динамических деформаций упругих систем, При которых их следует считать малыми. Например, в соответствии с нормами точности и жесткости [40] для продольно-фрезерных станков нормальной точности углы поворотов столов при длинах перемещений до 2,5 м не должны превышать 0,02 мм/м (т.е. 4-х угловых секунд) и 0,08 мм/м (т.е. 16 угловых секунд) при длинах перемещений от 16 до 25 м. Точность, форма и взаимное расположение поверхностей образцов - изделий, обработанных фрезерованием, регламентируется допуском в 6 и 80 мкм при длинах измерений соответственно до 160 мм и от 16 до 25 м. Для получения представления об аналогичных требованиях, предъявляемых к станкам повышенной точности, приведенные выше допускаемые значения следует уменьшить на 30%.

Опыт, накопленный при проектировании и исследовании станков, свидетельствует также о том, что в силу неопределенности и большого разброса реальных нелинейных параметров на ранних этапах проектирования целесообразно использовать линейные дискретные модели.

Поскольку методы классической механики, с помощью которых можно получить математические модели таких систем, общеизвестны [69, 5, 9, И, 13, 15, 17, 18, 25, 27, 31, 54, 85, 93, 105, 110, 125], а методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо изучены [10, 87, 109, 78, 57, 127, 114, 104], может сложиться ложное впечатление об отсутствии серьезных проблем на пути автоматизации моделирования на ранних стадиях проектирования станков. Опыт, приобретенный автором при создании подсистем автоматизированного моделирования фрезерных станков, говорит о следующем.

Иллюзии относительно простоты и быстрого получения математических моделей множества конструктивных вариантов механической части проектируемых станков как линейных голономных неконсервативных систем с сосредоточенными параметрами и стационарными связями быстро разбиваются о следующие обстоятельства.

Объекты описания, как правило, имеют большое число элементов (твердых тел, пружин и демпферов), большое число степеней свободы и сложную структуру, зачастую типа неполного связного графа с циклами. Известные классические методы механики Ньютона - Эйлера, Даламбера, Ла-гранжа, Гамильтона, Больцмана-Гамеля, Гаусса, Гиббса-Аппеля [69, 31, 13, 18, 11, 25] из-за большой трудоемкости выполнения стандартных процедур не дают возможности получить в приемлемые для производства сроки уравнения движения множества конструктивных вариантов проектируемого станка, как систем с десятками и сотнями степеней свободы, как того требует концептуальное проектирование. Сказанное объясняется тем, что эти методы были разработаны задолго до появления ЭВМ и были ориентированы на «ручное» применение.

Автоматизированное многовариантное проектирование настойчиво требует разработки новых автоматизированных методов моделирования объектов проектирования. Моделирование по времени не должно отставать от проектирования!

Применение систем аналитических вычислений в сочетании с использованием традиционных вышеуказанных методов механики не решает полностью данную проблему. Ее полное и эффективное решение возможно только при разработке новых специальных хорошо алгоритмизированных проблемно-ориентированных методов, нацеленных на использование современных вычислительных средств.

За последние годы прослеживается тенденция к разработке обобщенных матричных методов описания сложных механических систем и созданию алгоритмической «механики для ЭВМ» [24]. Этому вопросу посвящено достаточно много работ, значительная часть библиографии которых приводится в [24, 26, 8, 2, 56, 79]. Как правило, подавляющее большинство указанных работ было стимулировано нуждами робототехники и производства космических и наземных летательных аппаратов. Отметим наиболее значимые, с точки зрения автора, в этой области работы.

В [26] разработан общий формализм динамики систем конечного числа твердых тел, сопряженных между собой посредством идеальных, голоном-ных, неголономных, стационарных и/или нестационарных связей. Этот формализм приводит к математическим матрично-тензорным выражениям и уравнениям, описывающим кинематические соотношения, энергию, движение и другие величины. Полученные выражения пригодны для описания любых систем твердых тел.

В [53] описан новый машинно ориентированный метод получения уравнений движения сложных распределенных и дискретных объектов. Согласно методу эти уравнения получаются на основе принципа сохранения количества движения и принципа Даламбера. Обобщенные активные и инерционные силы формируются с использованием введенных понятий парциальных скоростей.

В [116] описан алгоритм построения уравнений движения упругих систем станков, идеализируемых системами твердых тел, связанных безинерци-онными стержневыми элементами.

В [8] разработаны подходы к построению математических моделей сложных механических систем, основанные на их представлении в виде компонентных цепей с заранее заданными математическими моделями компонентов.

В [24] на основе развития и применения матрично-геометрических методов механики (в отличие от вариационных принципов в механике Лагранжа) разработаны алгоритмы конструирования в явной форме уравнений движения сложных механических систем, представляемых системами твердых тел с голономными связями.

В [2] применительно к механическим объектам с сосредоточенными параметрами разработан циклический машинный алгоритм составления уравнений движения с использованием неклассических нормальных координат Булгакова, уравнений и неопределенных множителей Лагранжа. Число циклов при составлении уравнений движения определяется количеством вводимых пользователем избыточных координат.

В [56] предложен агрегативный метод конструирования аналитических и числовых форм моделей механики (кинематики, динамики и управления) систем твердых тел со структурой дерева на основе использования винтового исчисления и систем аналитических вычислений.

Все отмеченные выше методы обладают хотя и различной, но высокой степенью универсальности и поэтому претендуют на широкое применение. Их сравнительная оценка «в общей рабочей области действия» затруднена из-за нерешенности вопроса об условиях тестирования. Поэтому решение о необходимости и актуальности разработок новых методов должно приниматься с учетом, с одной стороны, особенностей самих объектов моделирования, с другой - комплекса вопросов, обеспечивающих его (моделирования) успех.

Ориентируясь на принятие стратегии модального управления [120] на ранних этапах проектирования, можно заключить, что постановка проблемы разработки методов моделирования упругих систем станков как линейных динамических систем с сосредоточенными параметрами уместна в совокупности с решением проблемы машинного определения их жесткостных параметров. Поясним сказанное.

Вопрос о расчетном определении возмущающих воздействий на станки в настоящее время изучен относительно полно, и его решение, как правило, не вызывает принципиальных затруднений.

Вопрос об определении инерционных параметров можно решить с использованием рекомендаций [91, 29, 3, 6, 7] или функциональных возможностей применяемых при автоматизированном проектировании пакетов трехмерного геометрического моделирования разрабатываемых конструкций.

Демпфирование в конструкцию можно ввести с учетом рекомендаций [91, 119], или как релеевское, т.е. в виде линейной комбинации матриц массы и жесткости [12, 110, 105, 41, 125].

С учетом выше изложенного первой из проблем, поставленных и решенных в диссертации, была проблема разработки новых более простых методов ручного и компьютерного конструирования аналитических и числовых форм линеаризованных уравнений динамики станочных конструкций (несущих систем, приводов и др.), идеализированных в виде многомерных дискретных систем твердых тел с упруго-диссипативными связями и структурами типа простой цепи, дерева, а также неполного и/или полного связных графов с циклами без петель. (Последние две структуры иногда называют структурами с замкнутыми цепями [26], что, вообще говоря, не соответствует терминологии теории графов [48, 63]).

Проблема разработки численных методов статического расчета и дискретизации нелинейных многоконтактных станочных систем, имеющих плоские стыки с зазорами и произвольную структуру связей

Металлорежущий станок, как и любая технологическая машина, представляет собой многоконтактную систему, состоящую из соединенных и контактно-взаимодействующих при передаче нагрузки деталей и узлов. Эффективность автоматизации моделирования при проектировании таких систем резко снижается, если не решены вопросы автоматизации построения их расчетных схем и определения параметров моделей, в частности параметров жесткости. Несмотря на то, что за последнее время на рынке и промышленных предприятиях появились различные пакеты двух и трехмерного геометрического моделирования, решить первый вопрос без решения второго практически невозможно. Решение же второго вопроса сдерживается рядом причин. Главные из них заключаются в следующем.

Упругие системы станков, как правило, представляют собой нелинейные многократно статически неопределимые системы со сложной структурой. Соединения корпусных деталей в этих системах могут иметь натяги и зазоры. Грани соединений имеют сложную макро и микрогеометрию. Процессы контактирования деталей соединений носят нелинейный характер. Вопросы вычисления жесткости отдельных соединений нередко требуется решать в совокупности со статическим расчетом сразу всей конструкции. Методы подобных расчетов в настоящее время полностью не разработаны.

Несмотря на отмеченные обстоятельства, решение указанной проблемы представляется все-таки возможным благодаря фундаментальным экспериментальным и теоретическим исследованиям процессов контактирования шероховатых тел [21, 42, 43, 60-62, 68, 92, 99, 100, 107], развитию средств вычислительной техники, накопленному опыту в разработке и использовании методов «ручного» [61, 68, 92, 96, 99, 100] и машинного [4, 123, 126 и др.] расчета станочных соединений в отдельности и упругих систем в целом [123], а также развитию численных методов математики и механики.

Учесть контактные свойства при решении данной проблемы можно, как указывается в [68], используя два подхода. Один из них основывается на использовании эмпирических зависимостей о контактном взаимодействии твердых тел с шероховатыми поверхностями контакта [68, 106, 21, 28, 99]. Другой - на использовании теоретических расчетов по моделям шероховатых поверхностей с неровностями в виде сферических сегментов, цилиндров, стержней, пирамид, эллипсоидов и др. [42, 43, 61]. Принципиально, возможны и комбинации указанных подходов.

За последние 12 лет, если судить по отечественным литературным источникам, различными коллективами были разработаны три системы автоматизированного статического расчета станочных конструкций [4, 123, 126]. Общим для них является идентичность допущений об абсолютной жесткости корпусных деталей и о сосредоточении деформационных свойств рассчитываемой конструкции в поверхностных слоях контактируемых деталей. Приведем краткую информацию о системах, поскольку уровень этих разработок отражает состояние рассматриваемой проблемы.

В ЭНИМСе [4] была создана автоматизированная система расчетно-конструкторских работ «Направляющие», предназначенная для расчета направляющих скольжения, качения и комбинированных прямолинейного и кругового движения. В результате автоматизированного расчета вычисляются: давления на гранях, нагрузки на тела качения, перемещения заданных точек под действием внешней нагрузки, статическая податливость и ее баланс, информация о линейных и угловых сосредоточенных пружинах, используемых при последующих динамических расчетах. В созданной системе для учета контактных свойств использовался первый подход. Причем эмпирические зависимости брались в линейном приближении. Наличие зазоров в соединениях не учитывалось.

Разработанный в Щецинском политехническом институте (Польша) пакет «PROWA» имеет аналогичное назначение [126]. Для учета контактных свойств в пакете также используется первый из отмеченных выше подходов. Расчеты проводятся в соответствии с предложенным авторами численным методом, учитывающем наличие в соединениях предварительных натягов и зазоров. Согласно этому методу для достижения состояния равновесия рассчитываемой конструкции итерационно корректируются заданные нагрузки путем введения добавочных фиктивных сил, вычисляемых по разработанному алгоритму. Математическая модель объекта строится автоматически. Существо метода при расчете направляющих с зазорами в соединениях не раскрывается. В приведенных для иллюстрации работы пакета примерах зазоры отсутствуют.

Разработанный в Мосстанкине универсальный комплекс программ «SLIDE» представляет собой инструмент для оценки влияния стыков на точность и точностную надежность станков при сравнительном анализе их компоновочных решений на ранней стадии эскизного проектирования [123]. Он, обладая возможностями пакета «PROWA», но без учета зазоров, имеет ряд особенностей и дополнительных функциональных преимуществ. С помощью комплекса «SLIDE» могут быть рассчитаны как отдельно взятые направляющие, так и вся упругая система станка, если ее структура - цепь или дерево. Математическая модель упругой системы в процессе расчета формируется автоматически из разработанной совокупности моделей компонентов: граней направляющих, отдельных направляющих и стыков, представленных комбинациями двух или трех направляющих. При этом геометрия направляющих рассчитываемого станка синтезируется на основе предложенной обобщенной геометрической формы направляющих. Учет нелинейных контактных свойств стыков производится в соответствии со вторым подходом. При расчетах учитывается влияние отжатий планок, регулировочных клиньев направляющих, натягов, полимерных покрытий и смазки. По результатам расчетов для каждого стыка определяются жесткости 6-ти сосредоточенных в одной точке пружин, имитирующих его линейную и угловую жесткость. По желанию пользователя может быть выполнен анализ чувствительности выходных характеристик станка (относительных деформаций инструмента и заготовки, тяговых сил и др.) к изменению его конструктивных параметров и нагрузки.

Из изложенного выше следует вывод об актуальности новых разработок в области статических расчетов упругих систем станков, имеющих зазоры в соединениях корпусных деталей, а также более сложные структуры, чем дерево. Поэтому в диссертации в качестве очередной для решения была поставлена проблема разработки численного метода статического расчета и дискретизации упругих систем станков и их компонентов, как систем абсолютно твердых тел с нелинейно деформируемыми распределенными плоскими контактами, имеющими зазоры. Предполагается, что структура таких систем может быть любой, т.е. цепью, деревом, неполным или полным связным графом с циклами.

Проблема разработки инструментальных средств автоматизации моделирования, расчета и анализа станков с целью оценки и улучшения их статических и динамических качеств на ранних этапах проектирования

Сформулированная проблема хотя и является последней из проблем, решению которых посвящена диссертация, в действительности является первопричиной появления первых двух. Постановка этой проблемы возникла в связи с очередным этапом развития техники и связанным с ним переходом к автоматизированному проектированию станков, которое всегда является многовариантным. Как отмечается в [122], трудоемкость многовариантного анализа при проектировании остается в настоящее время пока большой. Поэтому совершенствование методов и создание инструментальных средств его проведения, особенно на ранних этапах проектирования, является актуальной проблемой.

Для автора решение данной проблемы входило в круг его.прямых рабочих интересов по созданию подсистем автоматизированного моделирования как компонентов САПР фрезерных станков на ГЗФС (ныне ОАО «ЗеФС», г. Нижний Новгород). Работы по созданию подсистем проводились, начиная с 1987 г., по инициативе, при непосредственном участии (разработка методического обеспечения, структуры, алгоритмов, концепций режимов функционирования, интерфейсов и др.)? а также под общим и научным руководством автора. Рабочий коллектив в разные годы состоял из 2-4 человек (включая автора). Ядром подсистем стали научные разработки автора, полученные им при решении первых двух проблем.

Диссертация содержит 5 глав. Первые три главы посвящены разработке компьютерных методов конструирования линейных дискретных динамических моделей сложных станочных конструкций в абсолютных и относительных обобщенных координатах. Конструкции интерпретируются системами конечного числа твердых тел, связанных сосредоточенными пружинами и демпферами. Ограничений на количество регулярных (повторяющихся, типовых) элементов (тел, пружин, демпферов) систем не накладывается. В общем случае система может содержать сколь угодно большое, но конечное число элементов й иметь любую структуру.

Четвертая глава посвящена разработке численного метода статического расчета и дискретизации нелинейных многоконтактных станочных систем с плоскими стыками. Предполагается, что такие системы представляют собой дискретно-распределенные системы, состоящие из твердых тел, связанных распределенными нелинейно деформируехмыми соединениями (направляю

17 щими скольжения, затянутыми стыками). Последние могут иметь произвольную микро и макрогеометрию, а также зазоры и натяги. Ограничений на число тел и структуру систем не накладывается.

В пятой главе описаны две подсистемы автоматизированного моделирования станков, построенные на основе разработанных автором методов. С их помощью выполнены расчеты некоторых стыков, в том числе и стыков с зазорами, по которым имеются опубликованные в литературе экспериментальные данные, полученные другими авторами. Сделано сравнение расчетных и экспериментальных данных. Приведены примеры моделирования, расчетов и анализа несущих конструкций фрезерных станков, выполненных на ранних этапах проектирования. Продемонстрированы возможности созданных подсистем в части определения путей улучшения статического и динамического качеств исследованных станков.

Итоги диссертационной работы подведены в заключительной части диссертации.

ВЫВОДЫ

1. С целью получения критериев оценки вариантов станочных конструкций и выявления путей улучшения их статических и динамических качеств при проектировании на базе разработанных автором методов, описанных в главах 1 и 4, разработаны две компьютерные подсистемы. Первая из них - подсистема моделирования, дискретизации и статического расчета станочных конструкций. Вторая - подсистема САПР для моделирования, расчета и анализа собственных и вынужденных колебаний станков.

2. Использование созданных подсистем существенно расширяет крут задач, подлежащих оперативному решению при проектировании конструкций станков. К их числу относятся задачи статического расчета многоконтактных систем с плоскими стыками, включая несущие конструкции станков; задачи дискретизации, статического расчета и определения жесткостных параметров затянутых и подвижных соединений корпусных деталей; а также задачи на собственные и вынужденные колебания сложных станочных конструкций с произвольной структурой, идеализируемых линейными системами с сосредоточенными параметрами.

Особо следует отметить два обстоятельства. Во-первых, с помощью первой из подсистем стало возможным решать целый ряд контактных задач, отличающихся наличием так называемого «масштабного фактора» [68]. Специфика этих задач - контактирование жестких тел при больших площадях контакта (превышающих 30-50см ) и наличие макрогеометрии (зазоров). Во-вторых, использование второй подсистемы обеспечило возможность решения практически важных задач о колебаниях несущих конструкций станков при детерминированных возмущениях произвольного вида, включая возмущения от сил резания.

3. Практика эксплуатации созданных подсистем показала, что степень сложности объектов1, исследуемых с их помощью, определяется максимальны -ми ресурсами оперативной памяти, предоставляемой пользователю используемой операционной средой MS DOS (не более 640 Кбайт). Поэтому с целью существенного расширения возможностей обеих подсистем следующие их версии необходимо реализовать в других операционных системах, например, WINDOWS или UNIX, предоставляющих пользователю ресурс оперативной памяти на несколько порядков выше указанного.

1 При статических расчетах ней свободы объекта.

- это число тел, число и тип их соединений. При -динамических число стеие

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных исследований решены следующие научно-технические проблемы.

1. Разработаны новые методы ручного и компьютерного конструирования аналитических и числовых матричных форм линеаризованных уравнений динамики станочных конструкций (несущих конструкций, приводов главного движения, приводов подач, приспособлений и др.), допускающих идеализацию, по крайней мере, на ранних этапах проектирования в виде многомерных дискретных систем абсолютно твердых тел с упрзто-диссипативными связями и структурами типа простой цепи, дерева, неполного или полного связного графов с циклами. В соответствии с этими методами уравнения движения таких систем конструируются в матричном виде (1.1). Для описания конфигурации объектов исследования могут использоваться абсолютные или относительные обобщенные координаты.

Разработанные технологии конструирования уравнений движения не требуют выполнения стандартных процедур, присущих формализму классических методов механики. Благодаря этому отпадает необходимость как в составлении аналитических выражений для кинетической и потенциальной энергий, лагранжиана, диссипативной функции Релея, виртуальной работы активных сил, интеграла действия, функций принуждения и т.п., так и в выполнении каких-либо действий над ними; дифференцирования, интегрирования и т.д.

Процесс получения уравнений движения математических моделей объектов заключается в прямом конструировании матриц, входящих в (1.1), из типовых блоков, сформированных на основе информации о структуре и параметрах моделируемого объекта.

Процедуры конструирования просты, понятны инженеру и не требуют от нег о знаний вариационных принципов механики.

В силу отмеченных обстоятельств разработанные методы легко доступны как для заводских инженеров-расчетчиков, применяющих для получения моделей проектируемых объектов либо «ручную» технологию, либо системы аналитических вычислений, так и для инженеров-разработчиков подсистем автоматизированного моделирования САПР.

Разработанные методы высокоэффективны. Например, при их «ручном» применении время получения моделей объектов относительно невысокой сложности сокращается в десятки и сотни раз в сравнении со временем аналогичных операций, но с использованием аппарата урав нений Лагранжа второго рода. По мере возрастания степени сложности объектов эффективность применения методов увеличивается.

Опыт компьютерного конструирования моделей несущих конструкций и приводов главного движения фрезерных станков, идеализируемых системами с числом степеней свободы порядка 50-80, показывает, что время их получения на ПЭВМ PC/AT, как правило, не превышает 1-1,5 с.

2. Разработан новый численный метод дискретизации и статического расчета плоских стыков, затянутых фланцевых соединений, направляющих скольжения произвольного профиля, а также несущих конструкций станков и их подконструкций, корпусные детали которых связаны соединениями указанного типа. Перечисленные объекты могуг иметь любое конечное число плоских стыков, в том числе и содержащих зазоры и натяги. Ограничений на топологию, а также микро и макрогеометрию плоских поверхностей не накладывается. В идеализации объекты представляются системами абсолютно твердых тел, связанных распределенными нелинейно-деформируемыми контактами. В общем случае структура таких систем может быть произвольной: цепью, деревом, неполным или полным связным графом с циклами.

В основу метода положено два подхода.

При первом из них контактные свойства поверхностных слоев имитируются группами сосредоточенных пружин. Их параметры подбираются в ходе решения задачи в соответствии с разработанными алгоритмами. Моделирование контактов осуществляется на каждой итерации. При этом обеспечивается согласованное, определяемое заданными эмпирическими законами контактного взаимодействия, взаимно-однозначное соответствие между контактными деформациями, давлениями и касательными напряжениями.

Другой подход - оптимизационный, использующий часть процедур первого. При его применении за управляемые параметры задачи принимаются компоненты вектора обобщенных координат объекта, определяющие в любой момент времени его конфигурацию, а, следовательно, и контактные деформации соединений. Целевой - минимизируемой функцией задачи служит квадрат длины векгора невязок, равного разности между вектором обобщенных сил объекта и вектором его обобщенных реакций. Для решения задачи накладываются ограничения на изменения компонент вектора обобщенных координат и вектора невязок.

Результатом отработки метода служат данные статического расчета, характеризующие напряженно-деформированное состояние соединений объекта, а также механический линеаризованный аналог объекта. Он представляет собой многомерную систему твердых тел, связанных линейными пружинами. Последние находятся с учетом выполнения условия статической эквивалентности исходного нелинейного дискретно-распределенного объекта и его линейного аналога в малой окрестности деформированного состояния, вызванного действием приложенных сил.

Необходимо отметить, что разработанный метод следует рассматривать не только как новый численный метод статического расчета конструкций указанного выше типа, но и как важную часть методической разработки для решения проблемы машинной генерации расчетных схем станков для последующих динамических расчетов в условиях многовариантного автоматизированного проектирования.

3. На базе разработанных методов (см. п. 1,2) на Нижегородском заводе фрезерных станков под руководством и при участии автора были созданы две компьютерные подсистемы, предназначенные, главным образом, для многовариантного анализа конструкций станков на ранних этапах проектирования. Одна из них - это подсистема моделирования, дискретизации и статического расчета станочных конструкций. Она предназначена для получения в численном виде дискретных моделей и статического расчета плоских стыков, фланцевых соединений, соединений с уступами, шпонками и др., направляющих скольжения прямолинейного движения, а также несущих конструкций станков со всеми возможными типами структур и соединениями корпусных деталей указанного вида.

Программное обеспечение написано на языке Си, занимает 150 Кбайт и предназначено для работы в среде MS DOS версии 6.22 и выше.

Подсистема позволяет рассчитывать конструкции с различной степенью их детализации. Это обеспечивает учет податливости болтов, контактной податливости клиньев, шпонок, отжатий планок и др. При моделировании и расчете все конструктивные элементы считаются абсолютно твердыми телами. Расчеты выполняются при учете эмпирических законов контактного взаимодействия твердых шероховатых тел в нормальном и тангенциальном направлениях. По желанию пользователя эти законы могут быть введены как в нелинейном, так и линеаризованном видах.

В результате автоматизированного расчета определяются:

• значения и законы распределения по поверхностям соединений контактных давлений, касательных напряжений, сил трения, а также нормальных и касательных перемещений;

• средние давления;

• силы тяги приводов подач;

• абсолютные и относительные перемещения заданных точек конструкции, в том числе и перемещения тел, приведенные в зону резания;

• энергии деформаций соединений;

• координаты точек сосредоточения, коэффициенты жесткости и направляющие косинусы осей пружин, полученных в результате дискретизации стыков; в главные векторы и главные моменты систем распределенных реактивных сил в каждом соединении. Заметим, что две последние возможности подсистемы следует рассматривать как препроцессорные, если иметь ввиду последующий динамический расчет конструкций или их конечно-элементный анализ.

С помощью созданной подсистемы можно выполнить анализ чувствительности выходных характеристик рассчитываемого объекта к изменению его конструктивных параметров.

Необходимо отметить, однако, что программная реализация разработанных численных методов в среде MS DOS не обеспечивает полного использования их возможностей из-за малого объема предоставляемой пользователю оперативной памяти, ограничиваемой 640 Кбайт. Из-за нехватки оперативной памяти круг задач, решаемых с учегом различной макрогеометрии контактных поверхностей (или, иначе, различных законов распределения зазоров по поверхностям стыков), ограничивается. Поэтому с целью устране ния указанного недостатка, последующие программные разработки, реализующие указанные методы, следует вести в операционных средах более высокого уровня, например, в WINDOWS или UNIX, где пользователю предоставляется объём оперативной памяти больше указанного на несколько порядков.

Вторая созданная подсистема - это подсистема САПР для моделирования, расчета и анализа собственных и вынужденных колебаний станков.

Она реализована на ПЭВМ PC/AT в среде MS DOS 6.22. Занимаемый объем памяти - 300 Кбайт. Программное обеспечение написано на языке Си.

Объектами моделирования и расчета могут быть приводы главного движения, приводы подач, несущие конструкции станков и их подконструкции, а также более сложные объекты в виде комбинаций выше перечисленных объектов.

Расчетные схемы объектов представляются системами твердых тел, связанных линейными дискретными пружинами и демпферами. Структуры объектов могут быть любыми. Для построения исходных моделей объектов используется разработанный автором метод, описанный в 1-ой главе диссертации. Поскольку подсистема ориентирована на эксплуатацию на ранних этапах проектирования, все расчеты выполняются при модальном демпфировании.

Функциональные возможности подсистемы обеспечивают:

• проведение в течение одного сеанса расчетов нескольких объектов или вариантов одного объекта; ввод, просмотр, корректировку и распечатывание исходных данных;

• конструирование математических моделей объектов в матричном численном виде (1.1);

• расчет собственных частот и форм колебаний; в анализ собственных форм колебаний с целью выявления чувствительных конструктивных элементов, оказывающих наибольшее влияние на проявление тех или иных форм;

• отстройку собственных частот от запрещенных диапазонов частот (что особенно важно для станков специального назначения); расчет вынужденных колебаний при гармонических и полигармонических кинематических возмущениях;

• расчет частотных характеристик;

• расчет вынужденных колебаний при нелинейных детерминированных силовых возмущениях (в том числе и нелинейных периодических, действующих со стороны процесса резания);

• расчет переходных процессов при импульсных и внезапно приложенных статических нагрузках;

• расчет перемещений любых точек объектов под действием статических нагрузок (в отличие от первой подсистемы здесь расчет производится в окрестности состояния статического равновесия);

• анализ чувствительности статических перемещений выбранных точек конструкции к изменению жесткости соединений;

• проведение модального анализа конструкций при всех указанных выше видах возмущений;

• изменение во время сеанса работы точек наблюдения, точек приложения нагрузок и самих нагрузок; в получение абсолютных и относительных перемещений, скоростей и ускорений выбранных точек конструкции при всех видах нагрузок и возмущений.

Приведенные в 5-ой главе примеры применения подсистем, созданных на базе разработанных автором методов, убедительно свидетельствуют о том, что их (подсистем) внедрение в практику проектирования предоставит возможности:

• сокращения сроков создания конкурентоспособных моделей станков за счет проведения многоаспектных машинных экспериментов над математическими моделями их различных конструктивных вариантов;

• автоматизации процессов анализа и поиска путей совершенствования как создаваемых, так и существующих станков;

• синтеза конструкций станков с наперед заданными характеристиками качества;

• существенного сокращения времени и экономических затрат на доводку опытных образцов за счет замены большей части натурных испытаний

201 создаваемых станков машинными экспериментами над их математиче^ скими моделями, обеспечивающими получение результатов имитации поверочных процедур приемки-сдачи.

1. Аверьянов О.й. Модульный принцип построения станков с ЧПУ,- М.: Машиностроение, 1987.-232 с.

2. Автоматизированный расчет колебаний машин / В.-К.В. Аугустайтис, Г.-П.К. Мозура, К.Ф. Сливинскас, Э.-Э.Р. Ставяцкене; Под ред. K.M. Рагуль-скиса-Л.: Машиностроение. Ленинградскоеотд-ние, 1988.- 104 с.

3. Автоматизированный расчет несущих систем металлорежущих станков: Методические рекомендации / Сост. В.В. Каминская, Э.Ф. Кушнир М.: ЭНИМС, 1980.- 58 с.

4. Автоматизированные расчеты станков.- М.: ЭНИМС, 1990.- 19 с.

5. Айзерман М.А. Классическая механика.- М.: Наука, 1980.- 367 с.

6. Ануфриева Н.Ю., Галкин А.П., Маслов Г.В. Расчет инерционных параметров сложного тела // Алгоритмы и программы: Инф. бюл. ВНТИЦ.-1988.- № 5.- реф. № 50870001342.

7. Ануфриева Н. Ю,, Маслов Г. В. Автоматизация расчета геометрии масс в задачах динамики сложных тел / НИИ прикл. мат. и кибернетики при Горьк. ун-те. Горький, 1986.- 9 е.- Деп. в ВИНИТИ 10.06.86, № 4227-В86.

8. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Автоматизация моделирования многосвязных механических систем.- М.: Машиностроение, 1987.- 240 с.

9. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1979.-431 с.

10. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1971.-381 с.

11. Бабаков И.М. Теория колебаний.- М,: Наука, 1968.- 559 с.

12. Батте К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод коночных элементов,- М.: Стройиздат, 1982,- 448 с.

13. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику.- М.: Высшая школа, 1964.- 324 с.

14. Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.: Наука, 1969.- 367 с.3 5. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний.- М.: Высшая школа, 1980.- 408 с.

15. Биргер H.A., Иосилевич Г.Б. Резьбовые и фланцевые соединения.- М.: Машиностроение, 1990.- 368 с.

16. Булгаков Б.В. Колебания,- М.: ГИТТЛ, 1954.- 891 с.

17. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику.- М.: Наука, 1991.-255 с.

18. Васильев Г.Н. Автоматизация проектирования металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1987.- 280 с.

19. Васильков Д.В., Вейц B.JL, Шевченко B.C. Динамика технологической системы механической обработки.- СПб.: ТОО «ИНВЕНТЕКС», 1997.230 с.

20. Back N., Burdekin М., Cowley А. Анализ контактных деформаций методом отдельных элементов // Автоматические линии и металлорежущие станки. 1975.-№45.- С.18-33.

21. Вейц B.JL, Дондошанский В.К., Чиряев В.И. Вынужденные колебания в металлорежущих станках.- M.-JL: Машгиз, 1959.- 288 с.

22. Вейц B.JI. Динамика машинных агрегатов.- Л.: Машиностроение, 1969.368 с.

23. Величенко В.В. Матрично-геометрические методы в механике с приложениями к задачам робототехники.- М.: Наука, 1988.- 280 с.

24. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т.- М.: Машиностроение, 1978.Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина,- 352 с.

25. Виттенбург Й. Динамика системы твердых тел.- М.: Мир, 1980.- 296 с.

26. Воробьев Е.И., Попов СЛ., Шевелева Г.И. Кинематика и динамика. // Механика промышленных роботов: Учеб. пособие для втузов. В. 3 кн. / Под ред. К.В. Фролова, Е.И. Воробьева М.: Высшая школа, 1988.-Кн. 1.-304 с.

27. Вотинов К.В. Жесткость станков /Под ред. А.П. Соколовского.- Ленинград: Лонитомаш, 1940.- 88 с.

28. Врагов Ю.Д. Анализ компоновок металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1978.- 207 с.

29. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел.- М.: Наука, 1976.431 с.

30. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М.: Физматгиз, I960.-296 с.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: ГИТТЛ, 1953.- 491 с.

32. Гольник Э.Р., Радченко И.Г. Обобщение смешанного метода контактных сил и переносных перемещений на класс систем произвольного числаупругих деталей // Изв. ВУЗ. Машиностроение.- 1988.- № 10.- С.17-22.

33. Городецкий Ю.И. Анализ и синтез динамического качества фрезерных станков: Автореф. дис. . д-ра техн. наук.- М., 1986.- 46 с.

34. Городецкий Ю.И. Динамика сложных систем машиностроения // Проблемы машиноведения: Тез. докл. РНТК, посвящ. 10-летию Нф ИМАШ РАН.- Н. Новгород, 1997.- С. 108.

35. Городецкий Ю.И., Маслов Г.В. Исследование спектров резонансных частот и собственных форм колебаний консольных вертикально-фрезерных станков // Станки и инструмент.- 1973.- № 7.- С.3-5.

36. Городецкий Ю.И., Маслов Г.В. Собственные формы колебаний несущей системы консольного вертикально-фрезерного станка // Изв. ВУЗ. Машиностроение,- 1974.- № 8.- С. 149-152.

37. Городецкий Ю.И., Маслов Г.В. Колебания несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков и их математическая модель i i Динамика систем. Оптимизация и адаптация: Межвуз. сб. Горький: Горьк. унт.- 1978.- Вып. 14.-С. 178

38. ГОСТ 18101-85. Станки продольно-фрезерные. Нормы точности и жесткости.- М.: ГК СССР по стандартам, 1981.- 46 с.

39. Григолюк Э.И., Кулаков Н.А. Метод исследования динамики и прочности конструкций с учетом матрицы демпфирования общего вида // Проблемы машиностроения и надежности машин 1990.- № 5.- С.15-19.

40. Демкин Н.Б., Беркович И.И. Фрикционный контакт деталей машин.- Калинин: Калининский политехнический ин-т, 1989.- 151 с.

41. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин.- М.: Машиностроение, 1981.- 244 с.

42. Детали и механизмы металлорежущих станков. В 2 т. / Под общ. ред. Д.Н. Решетова,- М.: Машиностроение, 1968.-Т. 1, 664 е.; Т. 2.- 520 с.

43. Дмитриев В.М. Автоматизация моделирования промышленных роботов.-М.: Машиностроение, 1995.- 304 с.

44. Евстигнеев В.Н., Левина З.М. Основные направления совершенствования компоновок многоцелевых станков по критерию жесткости // Станки и инструмент.- 1986.- № 1С.5-7.

45. Еремин А.В. Влияние компоновки на динамические характеристики токарных станков // Станки и инструмент.- 1991.- №7.- С. 18-19.

46. Зыков А.А. Основы теории графов.- М.: Наука, 1987.- 384 с.

47. Исследование и расчет контактной жесткости: Методические рекомендации / З.М. Левина, В.Л. Назаров, Л.Б. Котляренко, В.Н. Кирсанова М.: ЭНИМС, 1969.- 146 с.

48. Каминская В.В., Левина З.М., Решетов Д.Н. Станины и корпусные детали металлорежущих станков (Расчет и конструирование).- М.: Машгиз, I960.- 364 с.

49. Каминская В.В., Гринглаз А.В. Расчетный анализ динамических характеристик несущих систем станков // Станки и инструмент.- 1989.- № 2.-С.10-13.

50. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1978.- 196 с.

51. Кейн Т.А., Левинсон Д.А. Вывод уравнений движения для сложных космических летательных аппаратов //' Ракетная техника и космонавтика.-1980.-№9.- С.158-173.

52. Кирпичников С.Н., Новоселов B.C. Математические аспекты кинематики твердого тела.- Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.- 250 с.

53. Коноплев В.А. Агрегативные модели механики систем твердых тел со структурой дерева // Изв. АН СССР. МТТ.- 1989.- № 6.- С. 46-53.

54. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1968.- 720 с.

55. Косов М.Г., Киселев В.В. Оценка точности металлорежущих станков на этапе проектирования // Станки и инструмент.- 1988.- № 8.- С. 16-18.

56. Кочинев Н.А. Оценка динамических характеристик станков при испытаниях// Станки и инструмент,- 1986.- № 1.- С. 10-12.

57. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения.- М.: Маш-гиз, 1962.- 220 с.

58. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ.- М.: Машиностроение, 1977.- 526 с.

59. Крагельский И.В., Михин Н.М. Узлы трения: Справочник.- М.: Машиностроение, 1984.- 280 с.

60. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход,- М.: Мир, 1978.-432 с.

61. Кудинов В.А. Динамика станков.- М.: Машиностроение, 1967.- 359 с.

62. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.- М.: Энергоатомиздат, 1988.- 480 с.

63. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука, 1982.- 270 е.

64. Левин А.И. Математическое моделирование в исследованиях и проектировании станков.- М.: Машиностроение, 1978,- 183 с.

65. Левина З.М., Решетов Д.Н. Контактная жесткость машин.- М.: Машиностроение, 1971.-264 с.

66. Лурье А.И. Аналитическая механика.- М.; Физматгиз, 1961.- 824 с.

67. Магнус К. Колебания.- М.: Мир, 1982.- 303 с.

68. Масатака Иошимура. Конструирование упругих систем станков, оптимальных по отношению к регенеративным автоколебаниям // Автоматические линии и металлорежущие станки.- 1978.- № 2.- С. 1-17.

69. Маслов Г.В. Об общих закономерностях в динамическом поведении несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Горьк. ун-т.- 1975.- Вып. 5.- С. 109-117.

70. Маслов Г.В. О построении математических моделей, описывающих камертонные формы колебаний несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков // Динамика систем: Межвуз. сб.- Горький: Горьк. унт.- 1975.- Вып. 7.-С. 117-127.

71. Маслов Г.В. Исследование динамики несущих систем консольных вертикально-фрезерных станков: Дис. . канд. технич. наук.- Горький, 1975.304 с. (Машиностроение: Сб. реф. НИР и ОКР / ВНТИЦ.- 1976.- № 14.-реф. 0001387 (К179182)).

72. Маслов Г. В. К вопросу автоматизации моделирования металлорежущих станков на ранних этапах проектирования // Математическое моделирование и оптимальное управление: Межвуз. сб. науч. тр. / Под ред. Р. Г.

73. Стронгина.- Н. Новгород: Нижегород. ун-т., 1996.- С. 172-179.

74. Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов: Справочное пособие.- М.: Машиностроение, 1968,- 270 с.

75. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- Минск: Вышэйшая школа, 1970.- 379 с.

76. Методы компьютерного конструирования моделей механики систем твердых тел // Материалы Всесоюз. рабочего совещ. АН СССР, ин-т машиноведения им. А.А. Благонравова.- Ленинград, 1988.- 32 с.

77. Михайлов О.П. Динамика электромеханического привода металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1989.- 223 с.

78. Мурашкин JI.C., Мурашкин C.JI. Прикладная нелинейная механика станков.- Л.: Машиностроение, 1977,-192 с.

79. Никитин Б.В. Расчет динамических характеристик металлорежущих станков,- М.: Машгиз, 1962.- 111 с.

80. Опитц Г. Современная техника производства.- М.: Машиностроение, 1975.-279 с.

81. Островский В.И. Влияние способов обработки на контактную жесткость направляющих// Станки и инструмент.-1965.- № 1.- С.9-11.

82. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний.- М.: Наука, 1980.- 270 с.

83. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.- М.: Мир, 1984.- 384 с.

84. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1974.-349 с.

85. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. В 3 т. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко.- М.: Машиностроение, 1968.- Т.1.- 831 е.; Т.2.-463 е.; Т.З.- 567 с.

86. Пуш А.В. Оценка динамического качества станков по областям состояний их выходных параметров // Станки и инструмент.- 1984.- № 8.- С. 912.

87. Пуш A.B. Гибкая система автоматизированной оценки качества и надежности станков // Станки и инструмент.- 1988.- №12.- С. 2-5.

88. Расчет динамических характеристик упругих систем станков с ЧПУ: Методические рекомендации / Под ред. В.А. Кудинова М.: ЭНИМС, 1976,97 с.

89. Расчетные методы оценки трения и износа / Под ред. И.В. Краге льского, A.C. Пронинкова, A.C. Осипова и др.- Брянск: Приокское кн. изд-во, 1975.-234 с.

90. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел.- М.: Наука, 1983.- 464 с.

91. Решетов Д.Н. Контактная жесткость металлорежущих станков // Труды I Всесоюз. семинара по контактной жесткости.- Тбилиси, 1966,- С. 15-23.

92. Решетов Д.Н., Левина З.М. Демпфирование колебаний в деталях станков // Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов / Под ред. В.И. Дикушина и Д.Н, Решетова.- М.: Машгиз, 1958.- С. 45-86.

93. Решетов Д.Н., Портман В.Г. Точность металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1986.- 336 с.

94. Ривин Е.И. Динамика привода станков.- М.: Машиностроение, 1966,203 с.

95. Розенберг A.M. Динамика фрезерования.- М.: Советская наука, 1945.360 с.

96. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин.- М.: Машиностроение, 1966.- 193 с.

97. Рыжов Э.В. Основы расчета стыковых поверхностей деталей машин на контактную жесткость.- М.: Машгиз, 1962.-144 с.

98. Сопоставление нескольких методов вычисления производных собственных форм колебаний / Т.Р. Саммер, Дж. Камарда, Дж. Л., Уойлш, Г.М. Адельман // Аэрокосмическая техника.- 1989.- № 9.- С. 99-105.

99. Санкин Ю.Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1986.- 95 с.

100. Светлицкий В,А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 1973.- 456 с.

101. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы.- М.: Мир, 1971.557 с.

102. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А.Ф. Смирнов, A.B. Александров, Б.Я. Лащеников, H.H. Шапошников.- М.: Стройиздат, 1984,- 414 с.

103. Соколовский А.П. Жесткость в технологии машиностроения.- M.-JL: Машгиз, 1946.- 454 с.

104. Справочник по триботехнике. В 3 т. / Под общ. ред. М. Хебды, А. В.

105. Чичинадзе. М.: Машиностроение, 1989.- Т.1. Теоретические основы.-400 с.

106. Старостин В.К., Макаров В.М. Оценка компоновки металлорежущего станка If Станки и инструмент.- 1987.- № 4.- С.8.

107. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1974.475 с.

108. НО. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле.-М,: Машиностроение, 1985.-472 с.

109. Тлустый И. Автоколебания в металлорежущих станках: Пер. с чешского В.В. Шварца.- М.: МИР, 1965,- 395 с.

110. Трубин В.Е. Проблема технологии проектирования фрезерных станков // V Междунар. конф. по динамике технологических систем: Тез. докл. В 2 т.- Ростов-на Дону, 1997.- Т 1.- С. 130.

111. Уилкинсон Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.- М.: Машиностроение, 1976.- 389 с.

112. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1950.-445 с.

113. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.- М.: Мир, 1978.-417 с.

114. Хомяков B.C. Расчет динамических характеристик станков // Металлорежущие станки 1 Под ред. В.Э. Пуша.- М.: Машиностроение, 1986,- С. 357-376.

115. Хомяков B.C., Давыдов И.И. Влияние компоновки станка на его точность с учетом действия силовых факторов // Станки и инструмент.-1988.- №12.- С. 8-11.

116. Хомяков B.C., Давыдов И.И. Прогнозирование точности станка на ранней стадии его проектирования с учетом компоновочных факторов // Станки и инструмент.- 1987.- № 9.- С. 5-7.

117. Хомяков B.C., Досько С.И. Об учете демпфирования при динамических расчетах станков // Станки и инструмент.-1990.- №11.- С. 4-7.

118. Хомяков B.C., Досько С.И. Модальное управление на концептуальной стадии проектирования станков // V Междунар. конф. по динамике технологических систем: Тез. докл. В 2 т.- Ростов-на Дону, 1997.- Т 1,- С. 119-120.

119. Хомяков B.C., Досько С.И., Лю Цзои. Идентификация упругих систем станков на основе модального анализа // Станки и инструмент.- 1988.-№7.-С. 11-14.

120. Хомяков B.C., Досько С.И., Терентьев С.А. Повышение эффективности расчета и анализа динамических характеристик станков на стадии проектирования // Станки и инструмент,-1991№ 6.- С. 7-12.

121. Хомяков B.C., Тарасов И.В. Оценка влияния стыков на точность станков // Станки и инструмент.-1991.- №7.- С. 13-17.

122. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций.- М.: Мир, 1988.- 428 с.

123. Цзе Ф.С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания.- М.: Машиностроение, 1966.- 507 с.

124. Швенгер Г., Берчински С., Бедункевич В.(ПНР). Автоматизированные расчеты направляющих металлорежущих станков // Станки и инструмент.-1988.-№4.- С. 16-18.

125. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.- М.: Наука, 1969.- 424 с.

126. Эльясберг М.Е., Демченко В.А. Динамическая устойчивость станков при работе фрезами различных видов // Станки и инструмент.- 1988.- № 12.-С. 11-14.211