автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы исследования робастной устойчивости в системах управления

На правах рукописи

Стрюк Елена Владимировна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2006

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына Российской Академии Наук и Морской Государственной Академии им. Ф.Ф. Ушакова

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

технический

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Н. В., кандидат физико-математических наук Зеленков Г. А.

доктор физико-математических наук, профессор Бутусов О. Б., кандидат физико-математических наук, доцент Мартынов В. В. Московский государственный

университет им. Н.Э. Баумана.

Защита диссертации состоится 2006 г. в часов

на заседании Диссертационного совета Д 002.017.03 в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им. A.A. Дородницына.

Автореферат разослан « QS» MfiLjlOtt. 2006г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук / Мухин A.B.

jtOOCft

SOSb'

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Необходимость учета неопределенности при моделировании систем управления всегда являлась важнейшим моментом в теории управления. Оцна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов сделал большое продвижение в этой области - доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (A.C. Bartlctt, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является весьма важным и актуальным направлением научных исследований, т.к. устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства. Поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение частных задач.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Выпшеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков,

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

A.C. Немировский, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Например: определить существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином; найти ближайший (в смысле нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к заданному неустойчивому. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще больше, например, решить задачу о робастной устойчивости интервальных матриц и т.д.

Работа посвящена развитию математического аппарата для анализа устойчивости систем управления по первому приближению, включающего новые аналитические методы и алгоритмы исследования задач робастной устойчивости для этих систем.

Целью диссертационного исследования является: развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости систем управления по первому приближению, включающих аналитические методы и алгоритмы исследования робастной устойчивости этих систем.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем).

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируется на известных достижениях в теории устойчивости, робастной теории и корректности постановки задач. Все доказательства теорем являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, линейная и высшая алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в исследовании устойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления с помощью модифицированных критериев робастной устойчивости, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамической безопасности для исходных нелинейных систем управления. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа управляемых систем, т.к. он позволяет установить границы допустимых

отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых система остается устойчивой.

Практическая значимость полученных результатов, с одной стороны, заключается в применении повых прикладных методов уточнения областей робастной устойчивости, что позволяет обеспечить динамическую безопасность изучаемого объекта, а с другой, в возможности конструирования более эффективных систем управления, т.к. предложенные подходы позволяют рассматривать целиком семейство математических моделей динамики управляемых систем, определяемых множеством их допустимых параметров. В итоге появляется возможность снизить затраты времени и средств на создание новых управляемых систем.

Кроме того, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию устойчивости при наличии неопределенности, т.е. в теорию робастной устойчивости линейных систем управления. Результаты, полученные в работе, использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивое!и динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и при издания двух учебных пособий подготовленных диссертантом в соавторстве.

На защиту выносятся:

1. Аналитические критерии исследования экспоненциальной устойчивости для нестационарных линейных систем управления.

2. Методы построения устойчивых выпуклых множеств Гурвица и исследования устойчивости любых, заданных множеств коэффициентов семейства полиномов с помощью допустимых линейных преобразований коэффициентов стандарт ного полинома, сохраняющих его устойчивость.

3. Методы уточнения границ областей устойчивости и построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров системы первого приближения.

4. Аналитические критерии, устанавливающие однозначную связь между собственным числом матрицы нестационарной системы управления и отрицательной определенностью ее квадратичной формы.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (2005) Санкт-Петербург; на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» (2002) факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского

Государственного университета; на региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта» (2005) Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова. Результаты работы также обсуждались на семинарах ПМ - ПУ СПбГУ, ВЦ РАН, НФ КубГУ, МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять научных работ, включая два учебных пособия.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (главы 1, 2 содержат по четыре параграфа, а глава 3 — три параграфа), приложения, заключения и списка литературы.

Краткое содержание диссертации.

Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации, включая актуальность темы исследования, достоверность, научную новизну и практическую значимость результатов, полученных в работе.

В первой главе рассматриваются различные критерии устойчивости линейных стационарных систем, которые можно условно разделить на аш ебраические (корневые), графические (частотные) и вычислительные. Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициентов характеристического полинома. К алгебраическим методам относятся матричные критерии (§ 1.1), носящие имена А. Гурвица, А Льенара и М Шипара, иннорный метод Джури и их модификации. Кроме того, к алгебраическим критериям можно отнести методы понижения порядка (МПП) характеристического полинома, например, алгоритмы Э Рауса, А.Е. Барабанова, Н.В. Зубова (§ 1.4). С помощью геометрических критериев по поведению специальных кривых (годографов) делают выводы об устойчивости линейных систем. Наиболее известными являются критерии A.B. Михайлова, Ш. Эрмита и Билера, Найквиста (§ 1.3). Установление локализации собственных чисел матрицы системы без их прямого вычисления и без построения характеристического полинома и последующего исследования его на устойчивость является вычислительный метод В.И. Зубова (§ 1.2).

В §1.1 с помощью метода допустимых линейных преобразований коэффициентов полинома, сохраняющим инвариантом его устойчивость, приведено новое, более простое, доказательство критерия Рауса - Гурвица.

В частности, показано, что любой стандартный полином Гурвица /л(2) = во + в1г+-+ апг" степени и с действительными коэффициентами а,-, / = 0, и где я0 > 0, ап* 0 может быть получен единственным образом, из стандартного полинома Гурвица первого порядка, путем многократного применения операции присоединения

/к (*) = (1+«)/*_ 1<г)+Л-1 (-2) = Я«/*-, (г), к =

и, наоборот.

Далее в этом параграфе приведены критерии Льенара - Шипара (1914 г.) и иннорные критерии Джурн (1962), позволяющие в два и более раза сократить число вычислений, необходимых для исследования устойчивости характеристических многочленов. На основе сделанного анализа показано, что число методов исследования устойчивости матриц, не использующих коэффициенты характеристическою полинома или вычисления самих собственных чисел этой матрицы, весьма ограничено.

В § 1.2 достаточно подробно изложен конструктивный метод, предложенный В.И Зубовым (1964) в приложении к различным областям локализации собственных чисел матрицы линейной системы управления или системы первого приближения.

Сущность метода В.И. Зубова состоит в следующем. Пусть матрица А-[- системы первого приближения имеет собственные числа Я лежащие в некоторой области Т на плоскости комплексного переменного. С помощью дробно-линейного преобразования этой области, в круг единичного радиуса с центром в точке р = 0 строится матрица Вр. В.И.

к

Зубовым показано, что условие В -» 0, к °о эквивалентно тому, что ЛеТ.

В данном параграфе рассмотрены дробно-линейные отображения в кру! единичного радиуса нескольких областей: полуплоскость, круг, «усеченный угол«, пересечение нескольких кругов, прямоугольник, полуполоса. Показано, что главное отличие использование метода В.И. Зубова для этих множеств касается вычислительного аспекта: для одной группы областей (полуплоскость, прямоугольник и др.) требуется вычисление обратной матрицы, а для другой (круг, пересечение кругов) - нет.

Очевидно, что выбор локализации собственных чисел прямо следует из инженерной практики. Например, наиболее распространенными требованиями, предъявляемыми к линейной системе X = АХ при проектировании систем автоматического регулирования, являются требования асимптотической устойчивости с определенным запасом, а также

требования по ограничению колебательности в контуре системы управления. Для всех этих случаев, в данном параграфе, построены соответствующие матрицы или системы таких матриц и доказаны соответствующие теоремы.

В § 1.3 рассматриваются частотные критерии Михайлова и Найквиста, которые по поведению некоторых кривых (их называют годографами) дают возможность делать выводы об устойчивости характеристических полиномов матриц систем первого приближения без вычисления корней этих полиномов.

Частотные критерии прямо связаны с понятиями передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования. Критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости системы при непосредственном использовании характеристического многочлена замкнутой системы, предварительно ее не размыкая. Однако, с помощью критерия Найквиста, можно оценить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

На основе этих подходов в данном параграфе рассматриваются случаи астатизма, т.е. наличие нулевого полюса передаточной функции

разомкнутой системы ап

Х(п)(!)+...+айХ(?) = Ьаё(т)(0+...+Ь^О).

Достаточно подробно исследуется случай наличия чисто мнимых полюсов (ненулевых полюсов) передаточной функции разомкнутой системы и комбинации обоих случаев. Указаны правила подсчета соответствующих углов, когда имеется разрыв характеристики в точках мнимого полюса. Также упомянут случай, когда числитель и знаменатель передаточной функции имеют общие корни. Показано, что сокращение общих нулей и полюсов передаточной функции, находящихся в правой полуплоскости или на мнимой оси, приводит к неверным заключениям об устойчивости системы. Однако, сокращение таких чисел, локализованных в левой полуплоскости, не меняет выводов об устойчивости системы, сделанных до их сокращения.

Также в § 1.3 исследован вопрос о расчете запасов устойчивости замкнутой системы по модулю, по амплитуде и по фазе. С помощью этих понятий легко указать так назыьаемую «запретную область», которую не должен пересекать годограф №р(м>) разомкнутой системы.

В § 1.4 проведен анализ рекуррентных методов исследования устойчивости полиномов. Существуют различные схемы исследования устойчивости полиномов с помощью метода понижения порядка полинома (МПП). Для выяснения Гурвицевости конкретных полиномов (с числовыми коэффициентами) схема Рауса предпочтительнее, нежели упомянутые в первых параграфах матричные критерии из-за значительно меньшего числа операций 2 3

умножения (порядка п против п ). Однако, для исследования характеристических полиномов в общем виде (с коэффициентами, зависящими от параметров) рекуррентные методы понижения порядка практически непригодны. Отметим, чю МПП Рауса в общей задаче по локализации и подсчету числа корней полинома в правой полуплоскости работает только в случае, когда у полинома нет корней на мнимой оси. Полное решение проблемы локализации корней характеристического полинома с помощью модифицированного МПП Рауса приведено в работах (Л.Д. Блистановой, Н.В. Зубова, Я.А. Русаковой, H.A. Северцева и Е.В. Стрюк). В них предложенные алгоритмы теоретически обоснованы, а вычислительные аспекты доведены до оценки числа операций и величины ошибок округления.

Известно, что во всех реальных задачах управления имеет место неопределенность, которая может выступать в различных формах. При этом всегда требуется, чтобы система управления была работоспособной при наличии всех видов неопределенности. Такого рода управление называют робастным, а методы ее исследования образуют сравнительно новую часть науки - робастную теорию управления.

Во второй главе сделан обзор известных методов исследования робастной устойчивости семейств полиномов и матриц.

Отметим, что когда модель управления описывает какой-либо объект (процесс), то почти всегда его параметры точно не известны: либо нужные характеристики получены не точно, либо они вообще неизвестны, либо они меняются с течением времени и (или) ■меняются под влиянием других факторов. В таких случаях говорят о параметрической неопределенности. Как следствие, линейная система заменяется на семейство систем

х = A{q)x+В(д)и + Щ (q)co, ^ ^

у = С(д)х+¡>2(9)0),

где *(/) - вектор состояния системы, u(t) - вектор управления, y(t) - вектор выходных сигналов системы (выход системы), ©(/) - входящие сигналы или задающие воздействия (внешние возмущения). Матрицы A,B,C,E\,Di зависят от вектора параметров qeQ,

Q с Rm. Размерности всех векторов и матриц системы согласованы. Множество Q называют

допустимым множеством или множеством неопределенности. Считают, что система (2.1) является стационарной, если ее параметры д не меняются со временем

При описании системы управления (2.1) с помощью передаточных функций ее элементы также будут зависеть от параметров. Например, в одномерном случае передаточная функция объекта имеет вид

где 3(5, д) — неопределенные полиномы, коэффициенты которых зависят от

вектора параметров де().В таких случаях #(£,?) называют неопределенным объектом.

В том случае, когда задается характеристический многочлен матрицы принято говорить о семействе характеристических многочленов

Р(г, О) = | Р(г, д) = а0(д) + о, (ф+...+(9)ги : ? е 0, / = м}. В § 2 1 подробно анализируются различные типы неопредетенноети, т е наиболее используемые виды зависимости коэффициентов матриц Д?) и многочленов А(5,д), и Р(г,ф от вектора параметров д и геометрии множества 2. Часто множества 0. задаются в виде т - мерного параллелепипеда (интервальная

неопределенность) £> = б Ят : или в виде эллипсоида

т ( — Рч^

б^еД": дТМ'\<,\,М>^\ о 0 = {<?еДи': ^ %} <1}

(=1 а1

где М — положительно определенная матрица квадратичной формы, | -

некоторое фиксированное значение вектора параметров ц, соответствующее номинальной системе, а, — масштабные множители.

Большое количество результатов посвящено исследованию интервальных семейств полиномов, которые можно представить в виде:

Р(г)-^Р(г) = ай + Щ2+...+ап2" : аГ1> 0, / = 0,и|

Часто применяется более удобная (центрированная) форма записи интервального семейства полиномов:

Р{1) = {^(г) = йо + в,г+...+апгп : |в, - а? | < уа,, / = (Ц, (2.2)

где число у, у > О, называют размахом неопределенности.

Аналогично определяется интервальное семейство матриц:

А = К )' 2д£ад^3и> } = > (2-3)

которое можно записать в форме подобной (2.2), т.е. А = + А> где Л = (ау), Ад = (я®) —

номинальная матрица, Д = (Д ^) = ау-ау, а - ) — матрица масштабов

изменения элементов а^ матрицы А относительно центров а® элементов номинальной матрицы у (у>0) — размах неопределенности.

Однако, на практике коэффициенты полинома зависят от вектора параметров ц более сложным образом, чем в интервальном семействе полиномов. Наиболее простая модель такой зависимости является аффинная неопределенность Аффинное семейство полиномов задается следующим образом:

Н*, Я) = { Р(г, О) = ?0(г) + <ц!\ (г) +... + ЧтРт (*), <?е0}, где Р,{г), / = 1, т, известны. Причем Р(г,0) - Ро(г) называют номинальным полиномом семейства.

Подобным образом задается матричное аффинное семейство:

где А,, ¡ = 1,т, — фиксированные известные матрицы.

Далее в параграфе проведен подробный анализ мультилинейной и полиномиальной зависимости неопределенности от параметров. Примером первой зависимости можно привести характеристический полином цепи простых звеньев к1/(\ + Т12)1 замкнутой единичной обратной связью, т.е. Р(2,Т,К) = (1 + Т\2) ...■(! + Тт2) ьк{к2 ... кт, где Т, — постоянные времени, а к, — коэффициенты усиления. Здесь

9 = (7),..., Тт, ,..., кт ) е , е Я2т. Очевидно, характеристический полином интервальной матрицы А-Ад + Л тоже является мультилинейной функцией переменных Ау . Примером

второй (полиномиальной) зависимости является характеристический полином аффинного матричного семейства (2.3).

В матричных моделях неопределенности в системе Х = (Ад+А)Х, обычно Д — постоянная матрица. Довольно часто возмущения зависят от времени, что дает модель

нестационарных возмущений Д = Д (()■ Причем, предполагается, что для всех t матрицы Д(?) находятся в заданном семействе, например ||Д(0| ^ У для некоторой матричной нормы. В других случаях элементы Д(/) принадлежат интервальному семейству Ду < Дц (/) < ду, i,j-\,n. В некоторых случаях возмущения зависят и от состояния системы, т.е. нужно исследовать системы вида Х = (А$ + Д(/, X(t))X.

Существуют и другие варианты вхождения нелинейных и нестационарных возмущений в робастных системах, включая и вероятностный. В этом случае при параметрической неопределенности вектор параметров д выбирается из допустимого множества Q случайным образом, но в соответствии с заданным на Q вероятностным распределением. В этом случае можно оценить вероятность того, что случайно выбранная система будет обладать нужным свойством. Если окажется, что эта вероятное гь близка к единице, то считают поведение системы практически удовлетворительным. Маловероятными событиями приходится пренебречь.

В § 2.2 сделан анализ основных теоретических результатов в области робастной устойчивости полиномов. Подробно рассмотрены- принцип исключения нуля, теорема Харитонова, графический критерий Цыпкина - Поляка, реберная теорема и оценки собственных чисел возмущенной матрицы. На основе этого анализа сделан вывод о том, что большинство методов определения устойчивости семейства полиномов основаны на принципе исключения нуля, который является обобщением критерия Михайлова.

В § 2.3 подробно анализируются все основные известные подходы к исследованию робастной устойчивости матриц стационарных линейных систем управления или систем первого приближения.

Обычно рассматриваются параметрические семейства матриц:

А = (a,j ), ay < a,j <. ai}, i, j = 1, n, (2.4)

Л = Ло + Д, Д = (Лу), |A,j|<Г, и = Гп, (2.5)

m _

Ag) = Ao+X<?/4> \фг, ' = lm (2-6)

/=1

Первые два семейства называют интервальными, а третье называют аффинным семейством.

Определение Семейство матриц А называется робастно устойчивым, если устойчивы все его элементы (матрицы), т. е. ReX, <0, ¿ = 1,и, при всех q (Д для семейства (2 5)) из

допустимого множества, где Я, —собственные значения А Наибольшее число у - утах, для которого робастная устойчивость сохраняется при всех у < /тах, называется радиусом устойчивости матричного семейства.

Проблемы робастной устойчивости таких матричных семейств не решаются так же, как и для соответствующих семейств полиномов. Например, для интервального семейства (2.4) нет аналога теоремы Харитонова (все вершинные матрицы могут быть устойчивы, однако робастная устойчивость отсутствует), для аффинного семейства (2.6) неверна реберная теорема.

Один из подходов к проблеме робастной устойчивости матриц основан на идеях теории возмущений. Для собственных чисел возмущенной матрицы используется оценка

где к = 1,..., п - собственные числа, а и Ук — соответствующие им правые и

левые собственные векторы матрицы А(0), которые являются различными Равенство (2.7) дает оценку чувствительности собственные числа матрицы А(д) к изменению параметра д.

Другой подход связан с использованием достаточных условий робастной устойчивости. Можно потребовать, чтобы у всего семейства матриц А(д), qeQ была общая функция

Ляпунова У(х) = хтРх, Р> 0. Известно, что существование решения матричного

неравенства АтР +РА < 0, Р> О обеспечивает устойчивость матрицы А, т.е. существование решения системы

гарантирует робастную устойчивость матричного семейства А(д). Если А{д) — семейство интервальных матриц (2.4) или аффинное семейство (2.6), то неравенства (2.8) достаточно решить только для вершин множеств 2е Д"1, поскольку любая точка де() представляется

как выпуклая комбинация вершин. Очевидно, число неравенств остается большим (2т) Однако, существуют итерационные методы решения таких неравенств, работоспособные даже для больших размерностей.

т уТ Г) У

/=1 Гк Хк

5А(Ч)

(2.7)

Ат{д)Р+РА(ч)<О, Р>0, <?еб,

(2.8)

Еще один подход заключается в использовании сверхустойчивости вместо устойчивости. Покажем, как такой подход работает на примере интервального матричного семейства, записанного в виде:

А = (яу), а1} = а\ + Д,у, [л,, | < у8г], г,] = й, (2.9)

где номинальная матрица = ^а® | сверхустойчива, т.е. сг(Ар) = т1п(-а° - > 0 —

отрицательное диагональное преобладание. Потребуем, чтобы условие сверхустойчивости сохранялось для всех матриц семейства:

* = (2.Ю)

Легко видеть, что (2.10) выполняется при условии

у < у* = min

/Xv (2-п)

В частности, если S„ =1, то из (2.11) следует у* = . Таким образом,

«

последние две

формулы в явном виде дают радиус сверхустойчивости интервального семейства матриц (2.11).

В § 2.4 рассматриваются некоторые известные приемы исследования робастной устойчивости одномерных систем управления, описанных неопределенными передаточными функциями. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: Wp(i,q) = A(s,q)/B(s,q),qeQ,

где A(s,q), B(s,q) — полиномы, зависящие от вектора параметров qsQ, Qе Rm. Регулятор в цепи обратной связи замкнутой системы имеет вид: С (s) = F(s)/G(s), где F (s). G(s) — заданные полиномы. Как и выше исследуется робастная устойчивость (устойчивость при всех qeQ) замкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы

W(s,q) =---имеет характеристический полином

1 + C(sWp(s,q) ^

P(stq) = A(s,q)F(s) + B(s,q)G(S) (2.12)

Таким образом, задача сводится к проблеме устойчивости параметрического семейства полиномов (2.12). Если A(s,q) и B(s,q) интервальные полиномы, то P(s,q) таким не

является. Если же А($,д), — аффинные семейства, то и ¡'(5, ц) является аффинньм

семейством полиномов. Справедлив аналог реберной теоремы для этого случая.

Теорема Если А(х,д), #(•$,?) —аффинные семейства и все реберные образы Р(м>,д) из (2.12), когда д пробегает ребро параллелепипеда £), устойчивы, то семейство - робастно устойчиво при де(?.

В третьей главе предложены методы решения задач робастной устойчивости и построения границ области экспоненциальной устойчивости в системах первого приближения, опирающиеся на изучение замкнутых, выпуклых устойчивых множеств как в пространстве параметров системы первого приближения, так и в пространстве коэффициентов ее характеристического многочлена.

В § 3.1 для построения выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица использованы допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Ряд из них предложен Н.В. Зубовым, и они дополняют подобные результаты Наймарка. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов Харитонова, базируясь на одном интервальном полиноме.

Известно, что самые простейшие из этих преобразований имеют вид ¿>,=ав,-, ¿>, = а , 0 = 0,1,...,л), Ь21=ааги = Раъ\\> 0 = 0,1,...,»), ¿2, =ага2|+гв21+Ь Ь2М=Ра2,+ъ (1 = 0,1,...), а„+,=0, Ь, ~ааИ' = РаЪ+\+7аЪ> ('=0,1,...)

Ь21=аа11 + га2,_ь = (¿ = 0,1,...), ,=0, ^>0

где я,- - коэффициенты полиномов Гурвица /(г) = а0 + Я1г+...+апг", а а, р и у произвольные положительные постоянные.

Определение. Будем называть выпуклое множество коэффициентов Леи с Еи полиномов п - ой степени устойчивым выпуклым множеством Гурвица, если для любой

и Т

точки Ае11 полином f{2) = atí+a\Z + ..лг , А = (а0,а1,...,ап^) , является полиномом Гурвица.

В данном параграфе показано, что любое допустимое линейное преобразование коэффициентов полинома О переводит произвольное устойчивое выпуклое множество Гурвица и в другое устойчивое выпуклое множество Гурвица V так, что

ЧАеИ: ИА = В еУ.

При этих преобразованиях угловые точки одного устойчивого выпуклого множества Гурвица переходят в угловые точки другого устойчивого выпуклого множества Гурвица Однако, при этих преобразованиях, устойчивые интервальные полиномы Харитонова, переходя в устойчивые выпуклые множества Гурвица, могут терять свойства интервальности, т.к. при допустимых линейных преобразованиях обычно меняются метрические соотношения между образами и прообразами различных точек

В § 3.2 найдены необходимые и достаточные условия существования замкнутых, выпуклых и устойчивых множеств в пространстве коэффициентов характеристического многочлена системы первого приближения, которые сформулированы в виде нескольких теорем.

Определение. Пусть задано семейство полиномов

/(Л,д) = {дЛ,д) = а0(д) + а1(д)Л + ... + ап_1Ш"~Х+^, Ч<^0\ (3-1)

коэффициенты а,(д) которых зависят от I параметров, изменяющихся на допустимом

множестве де(2сЕ1. Это семейство называется робастно устойчивым, если полиномы /(/.,<?) являются полиномами Гурвица при всех ¿уе£), те выполняется условие ЯеЛ(д)<0, # е где Л(д) корни полиномов /(Л, «¡г).

Теорема 1. Пусть множество коэффициентов семейства полиномов (3.1)

т

Д9) = (ао(9)>а1(?)>--->аи-1('?)) ПРИ 9 е б представляет собой замкнутое, ограниченное и

выпуклое множество и а Е", имеющее конечное число угловых точек А\,А2.....Ат. Для

того чтобы это множество было выпуклым множеством Гурвица, необходимо и достаточно.

и—1 и Т

чтобы «угловые» полиномы /(г) = й,0+ял2 + ...,а,я_1г +г , А1 =(£г,о,д(],...,а,'и_|) . являлись полиномами Гурвица и выполнялось одно из трех условий: 1. полиномы

щ т т

У и , У^а, = 1, а,- > 0 - не имеют общих положительных корней;

/=1 г-1 /=1

2. полиномы а/,(г)+(1-а)/^х), а е [0,1], ',] = 1 ,т являются полиномами Гурвица;

3. для всех положительных корней уравнения (m)gl (со) - А, (а) = 0 выполняются неравенства gl((o)gJ(a>)-hl(a>)hJ((D)> 0, /,/ = 1 ,т.

В условиях теоремы %,{<в) и — вещественные и мнимые части годэграфа

Михайлова «угловых» полиномов /¡(г) ¡ = 1,т.

Замечание 1 Если выполняются условия теоремы 1 и справедливы соотношения

^(со^ф-Щш^^со)**} при й>е(0,+оо), /*1,)=\т,

т.е. полиномы hJ((o)gl(w)-hJ(ю)gJ(ю) не имеют положительных корней, то множество и

является выпуклым множеством Гурвица.

Замечание 2. С помощью теоремы 1 можно исследовать устойчивость произвольного допустимого множества коэффициентов семейства полиномов А(д) при де() разбивая это множество на выпуклые множества имеющие конечное число угловых точек. Доказана теорема, являющаяся аналогом критерия Найквиста.

Теорема 2. (графический критерий) Пусть множество коэффициентов семейства полиномов (3.1) А(д) = (а0(д),а\(д),.(д))г при д е£) представляет собой замкнутое,

ограниченное и выпуклое множество V сЕ", имеющее конечное число угловых точек А\,А2,...,Ат. Для того чтобы это множество бьио выпуклым множеством Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы «угловые» полиномы

являлись полиномами Гурвица, а годографы Михайлова полиномов Р1} (г)

Я ;("») =-ф-г--+—1—5-5--, г*], «,;=1,и

не пересекали отрицательную вещественную полуось при т е [0,-юо).

Далее в § 3.3 получены условия существования робастной экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления.

Теорема 3, Если матрица семейства нестационарных линейных систем управления

Х = А(1,д)Х (3.2)

определена и непрерывна в области G = T*Q, где (еГ, Т =[>0,=о), /0>0 (время),

qeQcRm (пространство параметров), то для робастной экспоненциальной устойчивости

системы (3 2) достаточно чтобы Эрмитова составляющая матрицы системы AQ) + АТ(I) была отрицательно определенной в G, и выполнялось условие

sup ¿i,{t,д)<0, ¿ = 1,п. teT, qsQ

В работе приведены примеры, показывающие, что в отличие от стационарных систем для асимптотической устойчивости системы (3.2) не достаточно устойчивости матриц A(t,q) или отрицательной определенности ее Эрмитовой составляющей в каждой точке области G .

Установлены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, т.е. частично решена проблема «матричной» робастной устойчивости.

Теорема 4. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество U с Епп.

имеющее конечное число угловых точек A](?), A2(t),...,Aj[(t) Для того чтобы это множество было устойчивым матричным множеством достаточно того, чтобы матрицы A, (t)

О = 1 ,к) были отрицательно определены.

Для того чтобы сопоставить этот результат, с результатами, полученными для устойчивых полиномов, установлен вид взаимно однозначной связи между собственными числами матрицы системы линейного приближения и отрицательной определенностью её квадратичной формы. Эти результат можно кратко сформулировать в виде одной теоремы.

Теорема 5. Если матрица A(r), te[0,-wo) ортогонально подобна вещественной форме Жордана, то она является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда выполняются неравенства

(-1)'Ф,(2^(0)>0, l=~s, (-\)l4'i(2aJ(t))>0, / = Ы, здесь Л* (0 — вещественные собственные числа матрицы A(r), aj(t) — действительные части комплексных собственных чисел матрицы А(1), s и d — максимальный размер канонических ящиков (клеток) Жордана соответствующих этим собственным числам, а многочлены Ф/ и Ч'i находятся по рекуррентным формулам:

Ф,(//(0) = А(0, Ф2(М')) = /Л>)-1. Ф*(МО) = М0Ф*-1 (МО)-фк-2(МО). ¿ = 3,4,...,

П(М0) = М0Ч'ы(М0)-М0Ч'*-з(М0)+Ч,*-4(Ж0), А = 5,6, . Таким образом, мнимые части собственных чисел матрицы A(t) никак не влияют на отрицательную (положительную) определенность ее квадратичной формы Анализ корней многочленов (-1)'фг(2^(0) и (-1)',:Р/(2аД/)) показывает, что при увеличении кратности корней матрицы A(t), для отрицательной (положительной) определенности ее квадратичной формы необходимо, чтобы они лежали в левой (правой) полуплоскости и достаточно, чтобы они были расположены в полуплоскости Rez <-2,а для положительной определенности — в полуплоскости Re z > 2.

Если же матрица A(t) не является ортогонально подобной своей вещественной Жордановой форме, то в параграфе приведен ряд примеров, показывающих нарушение прямой связи устойчивости и даже сверхустойчивости А(1) со знакоотрицательностью ее вещественной Жордановой формы.

Основные результаты диссертационной работы.

1. Сделаны обзор и анализ методов исследования устойчивости матриц систем первого приближения, как с вычислением характеристического полинома, так и без его использования.

2. Проведены обзор и анализ методов исследования робастной устойчивости и типов неопределенности при описании линейных систем управления.

3. Установлены условия экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления в связи с поведением собственных чисел вблизи мнимой оси от времени. Показано, что устойчивость матрицы и ее отрицательная неопределенность не гарантирует асимптотической устойчивости линейной нестационарной системы управления.

4. Показано, что использование допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость, позволяет конструировать новые устойчивые выпуклые множества Гурвица и исследовать устойчивость любых заданных множеств коэффициентов семейства полиномов.

5. Для системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве

коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

6. При некоторых условиях установлена взаимно однозначная связь между собственными числами матрицы первого приближения в нестационарном случае и отрицательной определенностью ее квадратичной формы Проведены численные эксперименты с методами исследования устойчивости и робастной устойчивости.

Публикация по теме диссертации.

1. Зубов Н.В., Русакова Я.А., Стрюк Е.В. Применение метода «понижения порядка» в вычислительной практике. Труды XXXIII научной конференции «Процессы управления и устойчивость». СПб.: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2002, с. 54-58.

2. Зубов Н.В., Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Критерии устойчивости для нелинейных систем управления с последействием. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. «Проблемы водного транспорта». Спец. выпуск. Ростов-на-Дону. PIT, 2004.

3. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О существовании выпуклых областей устойчивости в пространстве коэффициентов системы первого приближения. Сборник научных трудов. Выпуск 9. Новороссийск. РИО НГМА, 2004, с.12-14.

4. Зубов Н.В., Русакова Я.А., Стрюк Е.В. О методе «понижения порядка» в вычислительной практике. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2005, с. 374-377.

5. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2005.

6. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О робастной устойчивости систем первого приближения. Материалы IV региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта». Новороссийск. РИО МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2005.

7. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О связи устойчивости матриц систем первого приближения с поведением Жордановых форм. Материалы IV региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и

коммерческой эксплуатации морского транспорта». Новороссийск. РИО МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2005.

8. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Метода вычисления характеристического многочлена. Использование теоремы Гамильтона-Кэли и формул Ньютона. (Учебное пособие). Новороссийск. РИО МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2005. - 80с.

9. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Методы вычисления характеристического многочлена. Использование канонической и нормальной форм матриц и интерполяционного многочлена. (Учебное пособие). Новороссийск. РИО МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2005. - 66с.

к исполнению 06/03/2006 Исполнено 07/03/2006

Заказ № 124 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495)975-78-56 (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

ZOO£ ft 5052)

5053

Введение

Глава 1. Обзор матричных, частотных, рекуррентных h вычислительных методов исследования устойчивости.

§1.1. Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.

§ 1.2. Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения.

§1.3. Частотные методы А.В.Михайлова и Найквиста.

§1.4. Рекуррентные методы понижения порядка

Глава 2. Обзор методов исследования робастной устойчивости.

§ 2.1. Типы неопределенности в линейных системах управления.

§ 2.2. Исследование робастной устойчивости полиномов.

§ 2.3. Исследование робастной устойчивости матриц.

§ 2.4. Робастная устойчивость одномерных систем описанных неопределенными передаточными функциями.

Глава 3. Метод допустимых линейных преобразований для решения задач робастной устойчивости полиномов. Условия устойчивости выпуклых матричных множеств.

§ 3.1. Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований.

§ 3.2. Критерии существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома.

§ 3.3. Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления. Заключение. Список литературы.

В очерках истории автоматического управления Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал четких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя двадцать лет русский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования. Фактически, он нашел те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости (устойчивость грубых систем по А.А. Андронову, 1937). Конечно, основой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.

Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и ее приложений были разработаны такими учеными как A.M. Ляпунов, Н.Н. Красовский, Н.Г. Четаев, А.Н. Крылов, К.П. Персидский, Е.А. Барбашин, А.А. Андронов, А.А. Марков, В.В. Румянцев, Н.П. Еругин, J1.A. Эсгольц, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский, В.М. Матросов, А.Н. Тихонов, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, С.Н. Шиманов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский, И.Г. Малкин, Б.П. Демидович, A.M. Летов, В.В. Семенов, А.А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Иошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А.В. Михайлова, Найквиста, Е.П. Попова, Л.С. Понтрягина.

Однако, математические модели учета неопределенности в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И.А. Вышнеградского — почти через сто лет.

Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. JI. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости. Затем B.JI. Харитонов сделал большое продвижение — доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов (1978). Теорема Харитонова, как оказалось, не переносится на семейство интервальных матриц. Эта задача оказалась сложнее, т.к. устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Поэтому усилия исследователей направлены на решение частных задач.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности (роба-стная теория) является новым направлением, т.к. основные результаты получены совсем недавно. Например, графический критерий робастной устойчивости полиномов доказан в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин), а реберная теорема получена в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin).

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) используют как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, B.J1. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Ko-gan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Перечислим некоторые из них. Как проверить существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином. Найти ближайший (в смысле нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустойчивому. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще больше. Например, задача о ро-бастной устойчивости интервальных матриц и т.д.

Приведенными проблемами далеко не исчерпываются нерешенные задачи линейной теории управления при наличии неопределенности, т.е. робастности. Эта теория является динамичной, развивающейся областью исследований, где постоянно возникают новые задачи и создаются новые методы и подходы для их решения в соответствии с инженерными требованиями. Более того, многие вопросы робастной устойчивости в линейных системах управления остаются открытыми.

Работа посвящена развитию математического аппарата для анализа устойчивости стационарных и нестационарных систем управления по первому приближению, включающего новые аналитические методы и алгоритмы исследования задач робастной устойчивости для этих систем.

Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости систем управления по первому приближению, включающих аналитические методы и алгоритмы исследования робастной устойчивости этих систем.

В работе последовательно применяются как классические методы теории устойчивости (точное описание систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (неопределенности в описании систем).

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируется на достижениях в теории устойчивости, робастной теории, на корректности поставленных задач. Все доказательства проведены строго и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, линейная и высшая алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Основные результаты были представлены на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» Санкт-Петербург (2005); на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета (2002); на региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта» Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова (2005). Результаты работы обсуждались на семинарах ПМ - ПУ СПбГУ, НФ КубГУ, МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова. Работа использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и для издания двух учебных пособий.

По теме диссертации опубликовано семь научных работ и два пособия.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим ' образом:

1. Сделан обзор методов исследования устойчивости матриц систем первого приближения, как с вычислением характеристического полинома, так и без его использования.

2. Проведен обзор методов исследования робастной устойчивости и типов неопределенности при описании линейных систем управления.

3. Установлены условия экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления. Показано, что устойчивость и даже сверхустойчивость матрицы и(или) ее отрицательная определенность не гарантирует асимптотической устойчивости линейной нестационарной системы управления.

4. Показано использование допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость к исследованию устойчивых выпуклых множеств таких коэффициентов.

5. Для системы первого приближения приведены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

6. При некоторых условиях установлена взаимно однозначная связь между собственными числами матрицы первого приближения в нестационарном случае и отрицательной определенностью ее квадратичной формы. Проведены численные эксперименты с методами исследования устойчивости и робастной устойчивости.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в исследовании устойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления с помощью модифицированных критериев робастной устойчивости, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамический безопасности для исходных нелинейных систем управления. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа управляемых систем, т.к. он позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых система остается устойчивой.

Практическая значимость полученных результатов, с одной стороны, заключается в применении новых прикладных методов уточнения областей робастной устойчивости, что позволяет обеспечить динамическую безопасность изучаемого объекта, а с другой, в возможности конструирования более эффективных систем управления, т.к. предложенные подходы позволяют рассматривать целиком семейство математических моделей динамики управляемых систем, определяемых множеством их допустимых параметров. В итоге появляется возможность снизить затраты времени и средств на создание новых управляемых систем.

Кроме того, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию устойчивости при наличии неопределенности, т.е. в теорию робастной устойчивости линейных систем управления. Результаты, полученные в работе, использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и при издания двух учебных пособий подготовленных диссертантом в соавторстве.

Заключение.

1. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164с.

2. Барабанов А.Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, № 5, с. 1061-1065.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223с.

4. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. -СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. 119 с.

5. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена. Труды XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ ПМ-ПУ. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. С. 18-20.

6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. - 824с.

7. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 318 с.

8. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

9. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

10. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

11. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. 301 с.

12. Дедков В.К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Высшая школа, 1967.-472 с.

14. Дивеев А.Н., Северцев Н.А. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105 с.

15. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 304 с.

16. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. - 353 с.

17. У/Зубов Н.В., Русакова Я.А., Стрюк Е.В. О методе «понижения порядка» в вычислительной практике. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2005, с. 374-377.

18. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. - 190 с.

19. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989.-311 с.

20. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред. Третьякова А.А. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема, 1996, - 102 с.

21. Каштанов В.А., Медведев А.И. Алгоритм вычисления характеристик безотказности резервированной системы. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». М.: ВЦ РАН, 2002. С. 3 14.

22. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983. - 83 с.

23. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения- М.: Физ.мат., 1959.-212 с.

24. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука,1976, т. 1.-303 с.

25. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука,1977.

26. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

27. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950. 472 с.

28. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования.-М.: АН СССР, 1949.

29. Мейлахс A.M. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // Автоном. телемех. 1975. № 2. С. 182 184.

30. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. - 319 с.

31. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432с.

32. Миронов В.В., Северцев Н.А. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

33. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управлемые процессы. М.: Наука, 1978.

34. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа. 2003. - 583 с.

35. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

36. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004.-270 с.1. Г)

37. Поляк Б.Т., Панченко О.Б. Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц // Доклады РАН. 1997. Т. 353, выпуск 4. С. 456 458.

38. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастный критерий Найквиста // Автоном. телемех. 1992. № 7. С. 25-31.

39. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоном. телемех. 1990. № 9. С. 45 54.

40. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. -303 с.

41. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II // Автоном. телемех. 2002. № 8, 9.

42. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

43. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981. - 176 с.

44. Раус Э. Об устойчивости заданного состояния движения. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, - 199 с.

45. Садыхов Г.С. и др. Устойчивость расходования ресурса в подсистемах с параллельно соединенными элементами. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 5. М.: ВЦ РАН, 2003. С. 3 15.

46. Северцев Н.А. Минимизация обобщенного риска угроз безопасности. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005. С.3-11.

47. Семенов В.В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.

48. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

49. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 456 с.

50. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.

51. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

52. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

53. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3 -31.

54. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

55. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207 с.

56. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003. - 575 с.

57. Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters/ New York: Springer-Verlag, 1993.

58. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

59. Barmish B.R., Hollot C.V., Kraus F.G., Tempo R. Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first-order compensators // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V. 37, No. 6. P. 707-714.

60. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic prediction formulae // Proc. 13th World Congress of IFAC. 1996, San Francisco CA. V.H. P. 1 6.

61. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges // Mat. Contr. Syst. 1988. V. 1. P. 61 71.

62. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

63. Dahleh M., Diaz-Bobillo I.J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

64. Djaferis Т.Е. Robust control design: a polynomial approach. Boston: Kluwer, 1995.

65. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. ScuolaNorm. Super. Piza, Ser. sci. fis. emat. 1953. V. 7, No. 1 -2. P. 53 -63.

66. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions // Proc. Roy. Soc., Ser. A. 1929. V. 124. P. 642 654.

67. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer-Verlag, 1995.

68. Nemirovskii A.A. Serial NP- hard problems arising in robust stability analysis // Math. Contr. Sig. Syst. 1994, No. 6. P. 99 -105.

69. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula for computation of the real stability radius//Automatica. 1995. V. 31, No. 6. P. 879 890.

70. Rosenbrock H.H. Computer-aided control system design. London: Academic Press, 1974.

71. Sanchez-Pena R., Sznaier M. Robust systems: theory and applications. New York, Wiley, 1998.

72. Stengel R.F., Ray L.R. Stochastic robustness of linear time invariant control systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 36. P. 82 87.

73. Systems and control encyclopedia / Ed. M. G. Singh. V. 1 8. Pergamon Press, 1987.

74. The control handbook / Ed. W. S. Levine. CDC Press, IEEE Press, 1996.

75. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Boston, MA: MIT Press, 1985.

76. Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991.

77. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.