автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Уда 519.876.2

ВЕРШЕЙ Евгений Игоревич

ШЮДЫ И АЛГОРИТМЫ СРЩШМА$?&ТтЮГО ШОГОЩЛЕВОГО СИНТЕЗА

Q5.13.t6 - прикааение вычислительной техники, матеиаттаскаго коделирования в катемзтнчэскет кэтодоз в научны* исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

дассертадца на соискание учЗной стешзЕз доктора ©шжо-иатематаческих наук

f

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена ва факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Штербургского государственного

универститета '

Научный консультант: член-корреспондент РАН, доктор физи-ко-матеыатгяескях наук, профессор В.И.Зубов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.Л.Харитонов (Санкт-Петербург),

доктор технических наук, профессор Е.П.Маалов(г.Москва)

доктор технически неук, профессор Д.А.Скороходов (Санкт-Петербург)

Ведущая организация: Инстнтут проблем транспорта РАН (Санкт-Петербург)

' • , " ' • ' ,JÜ

Зашив состовтся » 7% ( tï!р, j 199Хг., в ['•/ часоЕ не ввоздании сгацкажизированного совета Д-063.57.33 по защите диссертаций на оовшсавю учёной степени доктора физико-математя-чеаквх наук прв Сенкт-Петербургском государственном университете ш адозоу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом з:

С дкссертацкав иокно ознакомиться в фундаментальной библжш KS ШбГУ т, А.М.Горького (Санкт-Петербург, Университетская набережная» дан 7/9).

Автореферат разослан \2i_" 199 Sr.

Учвннй секретарь

специализированного совета, профессор

А.П.Каб»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный этап развития математических методов и моделей, используемых при исследовании, проектировании и практической реализации систем автоматического управления техническими объектами, характеризуется исключительной орзентаци-эй на широкое применение различных средств вычислительно® техники. Эсобое внимание уделяется вопросам поиска законов управления„ анализа устойчивости и качества динамических процессов в синтезируемых системах, их технической реализации на базе цифровых в аналоговых элементов.В зависимости от круга решаемых проблей и от класса вычислительных средств, на которые возлагается их ранение, осуществляется необходимая адаптация существующих ала разработка яовых математических методов и применявши математических моделей. [Три этом актуальность соответствуй^ исследований, в первую очередь, определяется стремлением к повышенна вычислительной еффэк-гивности, и, следовательно,- к умэпыпевпа сроков шгалнеши необходимых работ и улучшении их качества.

Исключительно широкое распространенна п теоретических нссла-цованиях и практических прилоаэшипс получила теория аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динашчесюш управляемых объектов. Основы соотватствущлх подходов была разработаны в трудах А.М.ЛЗтова, В.И.Зубова, А..А.Красовского, В.В.Сопо-цовникова, В.С.ПугачЗва, Н.Винэра, Р.Капмана и» других учёных.

В частности, заслухюшюЗ популярности) пользуется теория синтеза оптимальных регуляторов, обостзчивагпгпс ютшум среднеквадратичных функционалов для линейных дансггячзскаг объектов, подверженных воздействии сгацпанаршх Еяагтттг возкданаа случайного характера. Большой пхяад в отаковязЕЗЭ а развятЕЭ иэтематпчзгашх «етодов по данному направлэшш внеслз В.В.Сододовншюв, В.О.Пугачёв, А.А.Красовский, А.А.ПэрЕозвгнсжа, Ю.П.Штров» Х.Нввкорнаак.

Необходимо откатить, что ках a eco подхода, находятся в рамках линейно-квадратичной гауссовской проблюка, арэдняквадра-гичная оптимизация является сравнительно грубый иатаматичосгога аппаратом анализа и синтеза дкнвгяйаскгх сготем. Оддвко этот под-код исключительно кярако распрастрппЗп в сшу своей достаточной адекватности (как комплекса математических кодолай) объективной реальности, что подтварядаатся богатым шзхсл ого практического

применения. Дахэ в самых слояных случаях, среднеквадратичная оггги-оптишзация даёт определённую информацию о свойствах объекта, ко. торая может быть полезной при использовании более тонких и глубоких методов теорш управления.

Теоретическая и практическая значимость оптимального среднеквадратичного синтеза, при относительной грубости и простоте его математического аппарата, с очевидностью определяют выбор класса средств вычислительной техники для реализации соответствующих катодов и вычислительных алгоритмов. В качестве таковых целесообразно щшювять соврешЕные персональные ЭВМ, вычислительные ресурсы которых (при соотвэтствувдзй ориентации математического обеспечения) вполне достаточна для указанной цели. Привлечение ПЗШр которые отЕосагаяьш шроно распространены в настоящее вре-вреш, шаат позеойсгь с иаксшлалъЕОй вффэктивность» использовать среднеквадратичную опшжзшдаа в научных исследованиях и конструкторских разработках.

Тем не кзнзе, шшосшша иэтодз среднеквадратичного оптимального синтеза но орвшхгрсгшв на широкое применение в условиях Еютоштвльш! под©|ШИ сродозвегаг тяой мощности. Привлечение классической ортдатшадрзгшзвЗ опткхизоция при выполнении реальных научных и твюшк' Ехесэтоэ а значительной мэре затрудняемся (а в ряда одучссз стягапатоя пшюзиохшыы) в связи с наличием обьэктйтата •гщк&ъхг'й, №НО разделить на две группы:

а) трудеоохв ращазздяа кэгсдоа (алгоритмов) оптимального синтеза на Оваа ооврсшЕЕЗж ерэдата шчткательной техники;

б) трудаостп рзадтвсЕД рэ8|да»татов оптимального синтеза -штемвтачоашх мэдахзй атйшмих рэгуляторов - с помощью реальных техЕшзсашх устройств.

Огшченнаэ трудаоста сЗуавовязш некоторыми недостатками сдаотвувдах подходов к рсвэкза проблем среднеквадратичной оптимизации:, что определяет актуальность определЗнного развития теорш и построения на е8 основе ооотватствущего алгоритмического и программного обеспечения.

Далью работы является проведение исследований, оправленных на развитие математических методов среднеквадратичной оп-гимизацви динамических систем. Указанные метода долкш быть априорно ориентированы на выполнение комплекса.требований, прздгявля-еш к синтезируемым регуляторам с точки зрения несбходиуос! и ре -.

влизвции технических устройств, ошсивеешх наЭденншн в процесса синтеза математическими моделями. Ц о л ь а диссертации шляется также разработка алгорит?згчзсксго обеспечения полученных катодов, предназначенного для реализации соответствузщего штештнчэ-ского аппарата и вида програмд для соврэгатшх енчнслитэлышх средств малой мопроста (ПЗШ).

Методы исследований. В работе используется шшссячйсяна п современные катода анализа и синтеза даняипчоскпг слсгсп управления, базирувднесп на фундаментальных трудах А.И.ЛЗтоаа, В.К.Зубова, В.В.Солодовникова, Н. Винера. Построение и исследование ряда изтэ-матических моделей объектов управления а снэтезирувшх регуляторов осуществляется с привлечением соцрс!;эшгого сшюрата иатакзта-ческого анализа, теории оОшспоеоннзе дп^фэрзщгагьннх уршзябниЭ п высшей алгебра. Широко пршлешпггся штода таапзяЕого опалина н еэ-линейного программирования.

Научная новизна. Оспоппаэ пшпгсшта в работе удаляется огэдующим направлениям исследований:

- развитию новой техники поиска оптимального рзпзппл задачи в классической постановке (на гдзогастЕЭ устойчивости зегшутсЗ слотами ), позволяющей построить еф$эктппша Езчгогзтапьшэ алгоритмы и представить решение в удобной длл псслэдозегпй <?ар:;з;

- изучению (на базо принятого прэдстпагоЕЗЯ) особенностей и свойств оптималышх регуляторов для малопсагадавапЕнх воряантоэ постановки задачи синтеза с поа'.^зхппгпз гашипого ранга п разработке методов поиска втнх регуляторов;

- построению систеет оцзесх озвтрзнзльгаго ешчошш срадпз-квадратичдаго функционала снерху п спгзу, ппзвог„чг-,дх судить об эффективности оппггкзвцпп без гопосрэдстЕзшшго репешш задача синтеза, и приникать необходима гзри по о9 погызовпп;

- разработке кошлокса носил; иэтодоз п решызущдх гас алгоритмов, предназначенных для решения аадзчн срэдгщкшдратичЕого синтеза в многоцелевой постановке, спрэдэлгкЪсЗ разлЕгтют Езрз-антами (локальными п комшюксшкя) супксш допустпстго гскогэстна регуляторов по сравнении о областью устоЗчпЕОстз;

- рассмотрении общих принцшкйз и контратак нарааятоа прско-непия предлагаемого математического п агггсрхтшчосяого аппарата в системах автоматизация научных иссшдовшшй и прозютравЕШот;

- адаптации подхода, прштгого з работа, к рзвошаз задач гп-

- б -

равления дзжениом судов (надводных и подводных) с модификацией штодов s алгоритмов , учитвакдай специфику конкретной ситуации.

Практическая ценность результатов диссертации определяемся тем, что разработанные в еэй методы, алгоритмы и рекоменда-щш изначально ориентированы на решение проблем реализуемости математического аппарата на базе широкодоступных вычислительных сродств тша ПЭВМ, е такш реализуемости синтезируемых регуляторов в рзадышх. условиях функционирования. Рекомендуемой формой организация процесса поиска оптимальных законов управления является система автогштнзироваяного синтеза (автономная или в состава АСШ ш САПР). Будучи щшмэнВнной на различных этапах практического исследования ш проектирования САУ, такая система позволяет существенно повысить Бффоктивность и качество выполняемых работ.

Апробация работы. Диссертация в целом, в таю® еБ отдельные части а полученные рэзультаиг докладывались на Г/ п V Всесоюзных сшшоввуцах "Броблэш систештехншш" (г.Ленинград, 1978, 1983 гг), на семинара совдш судоЕой овтоглатшш ИГО им. акад. А.Н.Крылова (г.Ленинград,.1978 г.) на IX Всесоюзном совещании по проблемам уп-раанзшл {г.Ерэваз, 1S33 г.), на ВсосоюзноС научно-технической нопфаравдаи "Црзбхома создания гибких автоматизированных систем га прздприятЕяг судэстроитольной отрасли" (г.Ленинград, 1986), па VII п VIII Bcseosanuz научно-технических конференциях "ПроО-лаш кошшвкспой озтсь.-аютацга судовых технических средств" (г.Ленинград, 193Э г.и 1832 г.), ка 19-м заседании Совета по уп-рШЕЗВШ) ДБЙЕЭНS6M СУДОВ (Ш/ РАН) (г.НОВОРОССИЙСК, 1992),НО Св-

кзшарзх кафэдр творив осотва управления к математического моделирования енорготпчошшх сштеы и ffiffi Вычислительной математики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного уни -Еэрситета.

Публикации. Одаовзоз содержание дассертации отражено б 42-х опубликованных работах, в том чкеле - в одной монографии.

Структура работа. Диссертация состоит из введения, девяти глав с выводами ш кбздой ез них, заключения по диссертации: в целом, прнлоЕонжя п списка литература, включающего 15Э ншв^нэсчяий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулированы цель и основные направления исследований, приведено краткое содержание диссертационной работы п основнне результата,, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации носит постановочный характер. Она посвящена обсуздении двух центральных проблем, рассматриваемых п работе, связанных с реализуемость*) методов полюса оптимальных рз-шений, а такЕв с реализуемостью синтезируегшх математических моделей. Здесь приводятся определения основных используеккх понятна, формулируются конкретные направления исследований, осуществляется краткий обзор научных работ по доссзртацна.

В качестве моделей объектов управления в работе принята системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида 1 = 1?(х,й,<р) „ заданные на положительной полуоси времена ШО.ш). Здесь вектор состояния объекта, щП1- управление, фей1- воалущатэ, 3? -

- п-мерная вектор-функция с непрерывными п дп1й»раЕЦпруо'«2.а ш всем аргументам кагатонэнтогш.

Введем в рассмогрвнЕэ пааптта рагулятора, кок дпншзгеасксго устройства, фортетрупцого сйрзтпул связь в зкшутоЗ спстекз управления. С этой цельо задпдигл нокотороэ ганпроллрутзаа депзгзпгэ объекта ¿=хр(1),й=йр(1),ф=фр(г) п обозначал через г-г(й), и=и(1;)» Ф=Ф(1:) соответствуйте отапонангя пзрз:гзнних о? пзгэ. Линеаризуя модель объекта в окрэстностп заданного дагкапля, получая

2 = Л™ + Ьи +с;р - (1)

- уравнения линейного приближения. Регулятором йудеы называть устройство с лшэйноЗ кзтегптпчзсшЯ кодера гшдз

и = Щр)х , (2)

где р = йУ(И - оператор дифференцировали, Щр)*!?, (р)Л7?(р) - передаточная матрица регулятора, ^ (р)= (П^ (р) ®1г(р) ... П1п(р))» 1711(р)(1=ТТп) и й2(р) - полиноки . Регулятора гддз (2), обаспзчп-еэпцио асвнптотичэскув устойчивость заданного дашшга ,

будем называть стабилизпрупцивп.

На движениях замкнутой спстеш

' х - Р(хи),и(1),<рр(г)+ф(г)),

(3)

- в -

sсдадим некоторый неотрицательный функционал

1Я - IB(5(t).ü<t))p (4)

хзрактернзущнй качество стабилизации. Очевидно, что 1£=1;1(И).

Определение t Задачей аналитического синтеза линейных регуляторов взда (2) будем называть задачу

1„ = 1„(Ш) - min (5)

н Е üen,

о понокз оптимального стабшшзярущэго регулятора по отношению к ©да-сцгоналу Вдась 01 - шжэство пэродаточных матриц с дроб-но-рацЕональншн шлкшэнтклз такгла, что характеристически по-леппол A (s)B(s), где A(s)=äet(Ea-A), В(з)»А(в)«

«(Ез-Д)~ЧЬ, является гурзвдэшзл.

Расскотрзу чаишй всрзалт еадачн аналитического синтеза. Пусть св (3) - ато стсцпааорннй случайный процесс с заданной спэктр&ЕЬЕИй шэтпэстьэ S (ы). Dpa отец естественно ввести поня-SSS 2O4H0ÜÍE стебгшззсцнз и в н в р Г 6 т в ? в с -r,nz Büipa! т стобглшзярущое управление в замкнутой сп-(1 )s (2)с связав атн понятия о величинами дисперсий ко,»,«ногат1 (1-1Е u(í): 1}¡ Х)~ , 1ц « Du , Р = z'rix , где П- иакожзаальЕО ецрэдахйнаая матрица.

Оарадэлзшэ 2 Вадзэдй среднеквадратичного с н н т е в в дез оейакха с 1.ше?гатичаокой модзлья (1). где t)-отршар223 сязгсшпшй процзсс, удовлэтвэряяяпй вргодаческой гшютааЭр о ездззеэЛ спиральной шэтностьа S {(j)=N9(w)/T?(w), гдз Н - чЗтю голзшяг, будэм называть задачу

I = I(ff) -» min (6)

о пснс1Э сз|одагочпой шград опткгалыюго регулятора вида

(2)„ обзегшчлззгшдэго ьшжгдп срздаакЕадратичного функционала

5

I - 2(1?) «= <s'fk>+c^<uz> - lira i fft'(t)Rx(t)+c^uE(í)]üt (7) 0 ? J 0

О

ц гурвяцевооть хар^чюргстсчесгого полинома замкнутой системы.

Следует откатить, что оппашзация функционала 1('Я) на кно-иаства П, далеко ез всегда приводит к практически реализуемым решениям, в связи с чам вводятся понятие многоцелеЕой ориентации среднеквадратичного сштагза. Для формализации этого поллтяя наряду с уравнениями 88икнутоа нелинейно!) системы (3) рассмотрим ко-кэчнув совокупность систям вида

| 5 = F1(x(t),0(t)>^(t)-Kp1(t)), (в) ®

\ ü = öJ(t)+W(p)(S(t)-lJ(t)), 1-17И .

Здесь H - количество возможных режимов функционирования, характеризуемых контролируемыми движениями x=x*(t),ü=üp(t),9=<()*(t) а отклонениями ф1 (t) от заданных возмущений Для характеристики поведения регулятора (2) в каждом из возмошшх режимов функционирования, на движениях систем (8) зададим неотрицательные функцио-©ункционалы 1ц = ljj.(s(t),ü(t)) , 1=1 »Ы . (9)

Определение 3 Задачей среднеквадратичного многоцелевого синтеза для объекта (1) (с тем ве возмущением, что и в определении 2) будем называть задачу

I = 1(й) - Inf- , (10)

0 S?eQ

где О =ЛСЛП„ - кнонество передаточных матриц регуляторов вида

(2), рлшааство Пс определяется заданными ограничения?® на структуру искомого регулятора, а множество П? соотношением

0, = {^СЗ,: lj(0) S I*0 . 1 ИЗ } . lH0=conat- <11>

В связи с привэдешшш определениями, мокно выделить трз основные направления исследований в диссертации:

1. Разработка методов s алгоритмов решения задачи (ß), которая на решалась ранее и частотной области, а также других задач подобного типа в классической постановке, позволящих обеспечить реализуемость.расчЗтного аппарата синтеза на ПЗЕМ.

2. Проведение исследований, направленных на разработку методов решения задач многоцелевого синтеза типа (10), позволящих обеспечить практическую реализуемость результата среднеквадратичной оптимизации - регуляторов вида (2).

3. Разработка общих принципов и отдельных вариантов применения полученных результатов для решения задач управления конкретными классами объектов, в частности, морсюэ.гл судами. Форлирова-ние систем автоматизированного анализа и синтеза на базе ПЭВЦ.

Во второй главе рассматривается задача среднеквадратичного оптимального синтеза (6) в классической постановке. При этом основу содержания главы составляет обоснование предлагаемого нового подхода к техника поиска онтимальнбго решения и его конкретизация для различных честных вариантов формулировки задачи.

В параграфе 2.1 рассматривается общая схема решения аадач среднеквадратичного синтеза типа (6) в частотной области. В рам-

как известны! подходов еб существо состоит в выполнении цепочки операций, сводящейся к следущему.

1. Параметризация допустимого множества пар í?x,Fu) передаточных матриц замкнутой системы дробно-рациональными матрицами Ф ,

_ л» w га w м w

т.е. задание прямой Ф = 0(Рн,?и) и обратной Рк= РХ(Ф), Ри(Ф) связей мевду ними.

2. Решэше задача о поиске оптимальной дробно-рациональной матрицы Ф = Ф°.

3. Выполнение цепочки обратных преобразований

Ф0-» Í?0 (12)

с цель» исключения промежуточных результатов и вспомогательных математических объектов и получения передаточной матрицы оптимального регулятора для исходной задачи.

Следует отметить, что вопрос о выполнении преобразований (12) отнвдь не тривиален п требует особого внимания. В первув очередь это относится к задачам типа (6) со скалярным возмущением.

В параграфах 2.2 я 2.3 приведенная схема, с учбтом сделанного замечания, реализована для решения задачи (6), которая ранее пэ решалась в рамках частотного подхода. Основной результат данной глаЕЫ может быть представлен следующей теоремой.

Теорема 2.2 Передаточные функции оптимальной замкнутой системы определяются формулами

В(а)Г(а)Н(а) + Я(з)£ A(-3)c^C(a)+7(s)RB(-a) ]

p°(s) =------5---- , (13)

11 N(3)G(a)G(-s)

A(s)T(a)R(s) - B'(-s)RC(3)N(s)

F°(3) ----, (14)

u N(a)G(B)G(-a)

гдэ 7(s) = [C(s)B'(3)-B(s)D'(a)]A~1 (a) - полиномиальная матрица,

^ G(-a> B'f-g.jSfltg.JS.Íg.)

H(a) - - V---_J_!_i - (15)

fe в4- в # A(g,)G (-gt)

вспомогательный полином, G'(-g,) = dG;-a)/da „ , g, - простые

1 1

корни полинома G(-a) . Указанный полином - ато негурвицев результат факторизации с^А(а)А(-з) + В'(-а)ЕВ(з) = G(s)G(-a), (16) где A(e)=det(E3-A), B(s)-A(s)(Ea-A>_,b , С(з)=А(з)(Ез-ДГ'с . ГурЕицевы полиномы N(s) и Т(з) - результат факторизации спектра S (з) « К ísj/T (а) 2 S (a)S (-з), Sis) s NO)/T(s), (17) '

т т т

: числители в (13),(14) делятся на полином С(-з) в зна-ыонзтолд нацело .

Приведенная теорема слугит основой для расчЭтного алгоритма поиска решения задачи (6), предлагаемого в данной главе в качестве еб итогового результата. Существо алгоритма состоит в выполнении операций по формулам (13)+(17) а также в решении полиномиального уравнения ^(aJF^ia) - И2(э)Рц(а) = 0 (18) относительно компонент 1(з) строки 5^(8) и полинома Wz(a) оптимальной передаточной матрицы искомого регулятора еидв (2). Здесь

?и(а) = F°(s)H(3)G(a), Рц(а) - J°(b)H(b)G(b>. (19)

Заметим, что решение уравнения (18) неединственно, поэтому среда них необходимо выбрать только такие, которые обеспечивают гурви-цевость полинома дз(а) =■ A(3)W?(3) - ff (s)B(s).

В парагрвфе 2.4 приводится сводка расчбтннх алгоритмов поиска решений для задач среднеквадратичного синтеза, непосредственно не сводящихся к (6), по решаемых по аналогичным схемам.

Третья глава диссертации посвящена исследования проблема среднеквадратичного синтеза на множестве обратных связей с неполной информацией о векторе состояния объекта. Особое вникание уделяется задаче синтеза (6) со скалярным возмущением, для которой подробно рассматривается вопрос о возможности совпадения окстрему-иов на множествах решений с полной и неполной информацией.

В отличие от задачи (6), наряду с уравнениями объекта (1), введЗм в рассмотрение математическую модель устройства измерения, связыващуп вектор состояния х и вектор измеряемых косрданат

у = Кк (20)

при условях Rang Н ■= к , к < п , где И - постоянная матрица.

В связи с введением уравнения (20) и невозможность!) построения обратной связи по вектору состояния з, в качестве допустимых будем рассматривать регуляторы вида u « V(p)y , (21)

где (p)/V2(p) - передаточная матрица регулятора ,

где V,(p) - ( V„(p) Vi2(p) ... V1h(p) ], V1t.(p) (l=T7k) m Vz(p)-

полиномы от оператора дифференцирования ped/dt. Аналогично fl , введ5м множество Qvi регуляторов вида (21), обеспечивающих гурви- . цевость характеристического полинома замкнутей системы (1),(20),

(21): 0v1=|v€^:Reai(V)<0,A3(6l(V))"0,l-TTn;i,n3=de8 Д3(а)| (22)

где &з(а) A(a)V2(a) - Т((з)ВВ(а).

Здесь Од - мнокество k-мерных векторов-строк с дробно-рациональ-

ныш компонентами произвольных степеней.

При этом постановка задачи среднеквадратичного синтеза с неполной информацией принимает вид

I = I(V) - ш1п , (23)

Ven ,

V1

где I(V) - функционал, определяемый соотношением (?).

В параграфе 3.1 рассматриваются особенности задачи (23) щш условиях (20)+(22) по сравнении с задачей (б). Показано, что в od щем случае е§ моею решать сведением уравнений (1),(20) к модели "вход-выход" и применением соответствующего алгоритма из главы 2.

Однако при неединственности решения, что имеет место в ситу-ецях со скалярным возмущэниен, появляется возможность существенного повышения сффонтшзностл подхода за счВт единообразия рвсчЭт-еых схем сштеза при различных уравнениях измерения (20).

Рассмотрению етой возможности посвящены параграфа 3.2 и 3.3. В первом из них приведена общая теорема 3.1 „ определявшая условие

выполнения равенства I = min I(V?) = mln I(V) = I „ (24)

0 uen, ?env1 0V

то есть условия совпадения экстремумов пе шогоствах П и CJv1. Для случаев, когда (24) лмэет место, приведена схеме рэзения ев-дачи (23), которая проиллюстрирована на частном примере пря fc=1.

В параграф 3.3 подробно исследованы условия выполнения равенства (24) для задачи со скалярным возмущением. Основной розул! тат здесь канат бать представлен следующей теоремой.

Теорема 3.3 Если пара полиномов (з)=Н^Ра(в) к Ри(з) взаимно проста - некоторый но мор), то глобальный юшиму« 1С критерия (7) достигается на множестве О регуляторов вида (21) с неполной информацией в том и только в том случае, если полином

н.о.д.^ J(s),pZJ(s)p...,pJ_1f j(B),pí+bJ(a),...,pJtJ(B),HJ0(e)J

- гурвицев. Здесь р (в) = НД - pj (в)Р.£(з)Н30(а) J/ffijts),

(деление на ®^(э) осуществляется и а ц а л о ), B1(l-1,2,...к)-строки матрицы II в (20),F3f(s) и Рц(в) определяются формулами (13¡ (14),(19). Полином Pj(a)=(-1 )®р*(в)/р3 определяется в результате деления полинома Ри(а) на полином по схеме: Рц = S,Q0+R1,

VRiVV RrWR3.....*WViQc-i+IV VrRA' V Pj'

"const, через знаменатель цепной дройя e

а.(о)

Q0(a)+1/[Q, (s)+1/[Q2(3)+1/[...1/Qt¡_1 0)]...J о .

В частности, справедлива

Т е о р о м а 3.4 Если наибольший общий делитель полиномов Н10 (а) (1=1,2.....к) гурвпцев ( например, если они взаимно простые), то глобальный минимум 10 критерия (7) достигается на мнокестве регуляторов с неполной информацией вида (21).

Следует особо подчер?шуть, что условия теорем 3.1+3.4 дают возмошость предпринять усилия по обеспечении глобального минимума 10 на множестве регуляторов с неполной информацией при ведаемом составе измерителей. Это, в принципе, мокко сделать путЗм вариаций компонент матрицы Н (если такие вариации допустимы).

В четвЗртой главе работы исследуются структурные особенности передаточных матриц оптимальных регуляторов. Для задач синтеза с единственным решением выводятся формулы для степеней числителей и знаменателей когякшант этих матриц. В случае неединственности раненая рассматривается вопрос об ограничениях на выбор степеней, назначаемых априорно.

В параграфа 4.1 рассматриваются различные варианты задачн среднеквадратичного синтеза с возмущениями полного ранга (ршгг матрицы спектральных плотностей равен размерности вектора состояния). Поскольку указанные задачн имеют единственное решение, принятая в работе форма представления передаточной матрицы оптимального регулятора позволяет достаточно легко получить оценки степеней компонент их числителей и знаменателей. Эти оценки осуществляются по степеням соответствупцях исходных или вспомогательных полиномов и не требуют непосредственного решения задачи синтеза.

В параграфа 4.2 проведено исследование структурных особенностей решений задачи (6) со скалярным возмущением. В салу неединственности оптимального регулятора, здесь степени назначается при синтезе по усмотрэнгю исследователя, в зависимости от конкретных целей. Однако выбор степеней стеснЭн опрэделВтпюя ограничениям, выявление которых и составляет содерганпэ данного параграфа.

В качества предварительного отела рассматривается.вопрос об оценках степеней компонент числителей ¡?я(а) и ?и(з) передаточных матриц оптимальной замкнутой систеш. Как следует из (13 Ж19), в отЛичие от передаточных матриц регулятора, это могно сделать в силу единственности 7ж и Рц . ВЕедбм следующие обозначения для степеней исходных а результирупцях полиномов:

- u -

n = deg A(s) , p = deg N(s) , fu = deg Рц(з) , nsj- deg BjCs), q = deg T(a) , f1 = deg Fxl(s), lj- deg Cj(b), к,- deg (B'(-s)RC(s)), = TTñ ,

где А(з) = dat(Es-A), B(s) = А(з)(Еэ-А)_1Ь, 0(s) = А(а)(Ез-А)_,с, Bj, С^ - компоненты полиномиальных векторов В и С соответственно. Полученные оценки степеней можно проиллюстрировать схемой:

О

fu= n + q - 1

íj= mt+ q - 1

fu= ti + q - 1

V V P

Запретная, область — 6 силу psq-1

п!+ ч - 1 - Ч

Основной результат данного параграфа мовет бнть сформулирован в виде слодувдей теоремы:

Теорема 4.1 Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения отлиномаальнго урашения V.. (а)©, (з)+7,,(о)Ф,(а)+...+У„ (а)©. (а)-У.,(з):Р, (з)=0 с заданными

1 1 < 1 ь I 12 Я С- Ц

степенями и.. (1=1,к) и V иско;шх полиномов v., (з) н v, (а) является

' 1 11 ь

выполнение системы кз (1:+1 )-го неравенства вида ь ь

^ (х^ + V 2 е, - + 1 , 1=Т71с ; ^Г ц1 2 п - к + а ■

3=1.3/1 1=1

Здесь Ф.(с)=Н,Р (з) (1=1,2,—„к). е.= ¿ез ф.(а). Очевадаор что

1 1 и 11

это не условие относится и к существованию регулятора вида (20) с заданными степенями компонент передаточной матрицы.

В параграфе 4.2 такке подробно исследовано требование изображения в нули ковфЕкцнентов при старших степенях, назначошшх априорно, полиномов у11(о) н 7„ (я). Доказаны соответсвущиэ теоремы о необходимых и достаточных, а такте необходимых условиях выполнения этого требования.

Параграф 4.3 посвящён построению полного расчетного алгоритма синтеза для задачи со скалярным Еозмущвыием, реализуемого в виде системы автоматизированного синтеза для работы в диалоговом режиме. Система функционирует как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления и позволяет выполнить широкий круг исследований по анализу его данами-чо-чшх свойств и поиску оптимальных регуляторов.

Пятчя глава содорзшт материал, связанный с оценочными полхо-

дами к среднеквадратичной оптимизации. Основное внимание уделяется разработке методов пост-роения оценок оптимума минимизируемого функционала снизу, гарантированных оценок в условиях неопредэлЗи-ностп спектра возмущения, оценок качества аппроксимации спектральной плотности при неаналитическом eä задании.

Параграф 5.1 посвящЗн рассмотрению общих аспектов оценочшого подхода к оптимизации. Отмечается, что в рамкшс данной главы оценивание среднеквадратичного функционала осуществляется путбм форгягровання и решения некоторых вспомогательных оптимизационных задач, связанных с исходной задачей синтеза. При этом постановка вспомогательной задачи, метод eä решения и полученный результат по существу определяют метод построения искомой оценки.

В параграфе 5.2 рассматривается вопрос о построении простейшей оценки снизу для оптимумов а задачах (6) и (10). В качестве таковой MOS9T с очевидностью выступать величина I = min 1(0),

которая в работе именуется абсолютным (линшлумом среднеквадратичного критерия качества. Здесь - рлнокесгво n-керкнх строк с дробно-рациональными компонентами произвольных степеней. Доказаны теоремы, позволявшие находить оценку I 0 по следующим формулам

?u0<B)-B'(-B)gO(8)/G(8)G(-B),

^0(3)=Cc^A(-3)C(a)+7(3)RB(-a)3/G(a)G(-3), (26)

где А(а),В(з),С(а),С(з) определяется формулами (16),7(a) - (14).

В параграфе 5.2 подробно рассмотрена ситуация, когда величина 1д0 достигается на гшонэствз 01О что возмогшо лишь при условия, что возмущение cp(t) в (1) является гармоническим колебанием. Получено простое условие, которому удовлетворяют вез оптимальные регуляторы (решение задачи синтеза здесь всегда неедкнетвенно).

Параграф 5.3 посвящбн построении гарантированных оценок и гарантирующего управления в условиях неопределённости спектра возмущения. В современной трактовка вопроса исследования по данному направлению относятся к таор'ли оптимизации по норма в пространствах Харда передаточных матриц искомых регуляторов.

Постановка рассматриваемой задачи имеет следующий вид

то

max I(5J,S )-* min , 9 = í S (u) : Г S (Ci))d¡j = Hz ) . (27)

S íf> * 5?e0 l ? J * ? J

» 1

Решением задачи (27) является гарантирующий регулятор вида (2), с

передаточной матрицей Вог= arg min шах I(K,S ), а такаэ гаран-

ШП S if> *

1 у

тированная оценка I - min тах 1(1?.S ) = I(0or,Sp) . (28) °г S «|> f v

1 у

Основной результат параграфа мосет быть представлен как Теорема 5.5 Если на множестве найдется передаточная матрица Щз)=&'(а), удовлетворяющая уравнения

^(-^(^J^IPJJO))!2] = IA0 , (29)

где Fx(;ju) = |£jcj-A-raUto)J с, Рц №)=*?№)[eJw-A-KJUuj)] с,

Ко>fö?xo<ИК l?uo<>о>12• Ао<°> и °праделя-

отся формулами (26),ш =arg иах Г I' (-;iu)RPvn№Hc*ff 1пиш)|г

ui [0,оз) L к0 м0 0 UD

то искомым гарантирующим будет регулятор u=Fif(p)s,T.e. ffDr(s)sf(s), а гарантированной оценкой (28) - величина 1ог «

В работе продложэпо насколько способов численного поиска ре-еэния уравнения (29) при прздваритольной фиксации структура регулятора вида (2) с выделением варьируемых параметров heRk.

В параграфа 5.4 рассматривается задача среднеквадратичного синтеза при алгоритмическом задании спектральной плотности возмущения. В классическом синтезе спектр mosqt быть только лишь чЗт-ной дробно-рациональной функцией. Однако в практических задачах спектральная плотность чаще всего задается в иной форме - будем считать, что в обцем случае - алгоритмически. Т.е. известен способ, позволяющий какдому значению частоты ш однозначно поставить в соответствие значение спектральной плотности S^a(u). В параграфе вводится понятие решения задачи синтеза в дшшой ситуации и

предлагается метод численного поиска оценки I = Inf min I(0,S ),

üa S еР,ИеП, v 1 1

где V - множество дробно-рациональных спектров (аппроксимаций), определЗшшм образом связанных с исходным спектром S?9(u). Существо метода состоит в представлении графика функции

Ьт9(ш) = 10 lg 5?в<10ш) , ы,- lg и сопрягающимися отрезками прямых с нвклонеми +20к дб/дек, ЫЗ.1,2, ...с последуицей обработкой координат точек сопряжения.

В шестой главе диссертации рассматриваются предельные возмоз-ностп среднеквадратичной оптимизации. Исследуется зависимость точности оптимальных за?.ашутых систем от величины энергетических затрат на управление. Выводятся форлулн для оценок сверху п аглзу па указанные характеристики, позволяйте без непосредственного роке-пия задачи синто за провести анализ динамических свойств системы.

В ряде ситуаций привлечение оценочного подхода з за/дачах среднеквадратичной оптимизации определяется необходимостьэ не только в получении информации о величине оптимума функционала (7), по и его отдельных слагаемых = <s'Rx>, 1 (Я) =» <иг>

без непосредственного решешя задвчи синтеза. Поскольку функционалы I (Я) и IU(V?) определяют соответственно точность зЕмкпутой спстеш я энергетические затраты на упрвзлониа (его мозщость), представляет существенный интерес выяснение сдздущих вопросов:

- какова точность системы при отсутствии управляющего зоз-дэйствш5, если объект управления устойчив;

- какова минимальная мощность управления необходима для обеспечения устойчивости замкнутой системы, если объект неустойчив;

- какова предельно достжимая точпость замкнутой систзкы при несущественности ограничений на мощность управления;

- каков предел повышения мощности управлявшего воздействия, которнй обеспечивает максимальную точность.

Очевидно, что аналитическое представление указанных величин -в достаточно простой формо, чему п основном и посвящена настоящая глава, можно трактовать как один из способов оценки пффзктишостп среднеквадратичной оптимизации с одноврошшхнм выявлением путей для еб повииепия.

В параграфе 6.1 рассматриваются общие вопросы зависимости точности 1=1 (с) = I ), и0 = arg тШ1('7) (30)

* X о я ^ « F/Cf3

и мощности упрзвлепия 1ц = Iu(c0) - Iu(« ) (31)

в оптимальной замкнутой системе от велшшш cQ. Доказала

Теорема 6.1 Зависимости точности и мощности управления для оптимальной замкнутой система от весового инояителя с0€ eto.w ) являются отрого монотонными.

Т.е. для приведения полного исследования предельных возгадя-ностей среднеквадратичной оптимизации в смысле достигимой точности и использования мощности управления, достаточно рассмотреть ситуации при су с и с .-« п.

В параграфе 6.2 исследуется предельное поведение оптимальной замкнутой система при со-с°. Доказана

Теорема 6.2 Для замкнутой системы (1), (2)0 которая оптимальна в смысле функционала (7), справедливо сладущез:.

1. Если полином А (а) гурвицев, то

lim i (c.)=-L- f fi Ш1 s (s)da, I - lim Iu(o_)-0.

** с - » 0 2.J J A(-s) A(s) f ^ с o u 0 '

•-J00

2. Если полином А(в) не является гурвнцевым, то

Iе0

1да - lim I (cQ) = J_ f L'(-a)RL(a)S (в) da . (33) C so 2 ] J "

- JCD jco

Aa(a)A°(-s) ^

I „ ■= lira I <c„) - -Í- f

0 -e u 0 2 .1 J

е.— и ° 2 ^ А (в)А(-в)

0 , -1оо п п

где 1(8) -[ В(в)Т(а)А (в) + Н(а)Ап(-а)0(в) ]/Н(в)А(в)Ап(-в),

А(а) в Аг(а)Ап(в), причем полином Ап(э) ш имеет корней в лаво2

полуплоскости, а А (в) - • в правой,

„ (в) А(-а,)В' (-а,)бо(а,)В (а.)

А (а) - ) -2--;---¡1—2—1- ,

^ а.,- а В (-а^)НВ(а^)Ап(а^)Аг(-а^)

где а^ (3=1,2.....к) - корни полинома Ап(з).

Параграф 6.3 посвящён рассмотрении предельного поведения при с0-*0. Основные результата исследований представляет

Г в о р в и е 6.3 Для замкнутой системы (1), (2), которая оптимальна в смысле функционала (7), справедливы слэдущие соотношения _ 3»

0 -Я

3®

I - 11л I (с) - -1- Г У*(-в)Р"<в)3 <в)с1в , (35) и0 с о и 0 2 3 J и *

0 -100 где » [ В(а)Т(вЖа(в)+Н(в)7(в)ЙВ(-а) ]/Щв)В' (-а)ЙВ(а),

Рц(в) - [ А(в)Т(з)Н*(а)-Н(а)В'(-з)8с(а) ]/Ы(а)В'(-а)ЙВ(а), О, если к - и , k^•deg Ырв(в) ,

Нв(а)

as

a(s)-B{-a)5o(a)sdf..(-s)L(a), В' (-3)SB(a)=Be(-s)B*{s), m-deg В*(а),

0 а

В (-a)-ba(Pra)...(P1(-a)(Plt+1-B)...(Pn-a)=!Ipa(-3)B0(-a) - негур-вицов полином, ß1 ,ß2,...,ßb- общие корни полиномов 11(з) п В°(-э).

В частности, справедливо утверждение, определяющее возможность достижения предельной нулевой точности управления.

Т о о р в и а 6.5 Если матрица К является диагональной о единственным отличным от нуля элементом г^И , т.е. точность замкнутой системы определяется дисперсной 1-й компонента гзктора я, то н.'эжт место следующие соотноиения:

а) если все "правые" корни полинома З^з) совпадают с корня-im ползпома С (а) пли es нет вообще, то ^

, , , г С,(в)0 (-В) <xb-I -Ilm I (о )=0,<uz>=I - lim I (О )j- —ä-Í-S (a)da;

1 a0 o0- o!l 0 u0 c0- o u 0 2JJ В^зЩ^-з) '

б) есыя поляне:,: В}(з) тлеет хотя-бы один''корень е драгой полуплоскости, не совпадений с корнями полинома Ojia), тс

сф-- Ш i (с)- J- .

1 с - о !! 0 . 2 ¡ j В (з)В.(-в)

-J50

a <u2> = I = lim I (с) и определяется формулой (35) (k<n). u0 с о

В параграфа 5.4 осуществляется обобщение результатов построения предельных оценок среднеквадратичной опттягаацпя и приводятся прогори их Енчксленая. Основши результатом адось является утверждение о том, что завлскмость I -I (I ) , образующаяся шнивэ-чешгок взлзчшш с , как параметра, из соотношений (30) и (31), яд-ляяатся строго монотонно убываидай. rpajsst указанной зввпсашст начинается к точке с координатами 1ц=' I , опрэделяета-

í5u формулами (32),(32), и завершается в точка с коорданаит Iu" I,I0 , Ix0 - формулы (34), (35).

Содержание сэдшоД главы состой? в яссдедозснпи задач оптимизации Евствцяонарпнх рэоттсв двиаания дянвиичоскнх объектов.

Полученные здесь результата формируют основу для учбта ограничений, определяемых честпиионарными реиямвш, в среднеквадратичном многоцелевом синте о.

В параграфе 7.1 рассматриваются вопроса , связашше с роптанием задачи (5) оптимизации замкну тих систем вида (3) в ©.меле произвольного функционала (4), характеризупцего качество стабил*-

нации заданного, в общем случае - нестационарного, двикешя.

Пусть, в отличив от (2), исходный объект замкнут регулятором и - V(p.h)y - V1(p,h)y/VS!<p,li), у - Нх , (36)

где p-d/dt, V(p,h) » (V^tp.h) V,z(p,b) ... Vlk(p,is)), V^fp.li), V2(p,h) -полиномы наперед заданных степеней от р, йкЕ1-внделешый вектор настраиваемых параметров. Будем считать, что с пошщьа выбора вектора h можно обеспечить произвольный набор корней характеристического полинома линейной системы (1),(2). Обозначим через £2& - СЬеЕ1: V(p,h)H £ flt) - множество допустимых векторов й. Очевидно, что для замкнутой системы (3) при условии ö(p)=V(p,ü)H функционал (4) превращается в функцию й 1н =1Е(Ю и аналог задачи (б) принимает ввд 1„(ЬЫпГ. При атом основной результат дан-

heil

ного параграфа состоит в обосновании метода редукции рассматрэва-еной задачи нелинейного программирования к эквивалентной задаче на безусловный акстремуы, которая существенно проще. Прэдловзя расчетный алгоритм, реализующий этот метод.

Параграф 7.2, в отличие от предшествующего, шсвящЗн вопросу стабилизации линейного приближения регуляторами вида (36) при условии, что выбором h (в его состав здесь включаются только коэффициенты полиномов Vj в Ти) нельзя обеспечить произвольные корни характеристического полинома. При в том рассматривается вадвча обеспечения заданного удаления его корней от мнимой оси. Основноэ содерааккэ параграфа составляет доказательство теорема, обоснова-внващэй алгоритм поиска соответствующего вектора ti в результате мгшшизашш функции í(7)=[| á(7)-f0T^fl(7) 1 по вектору уеЕ3. Здесь - матрица лзнзйной система Tfíh - á(7), получвеыой из тоадества 4(в,Ь)а й"(а,7),^ - пса'вдообратнвя к ней матрица: S^-lS^)"1®^. ПолиЕошг Asi" составляются по формулам:а

¿(e,to)-A(8)Ví¡(efti)-Vt<e,h)HB(a), Дв(а) (в2^, (7,a)a+ai0(7,a)),

гдэ а11(7.а)мз11(71,а)-7|1+2а , а1о(7,а11а1о(71,п)-7^г47|1а+аг, 1-í ,(1 , й - т/2 в если в - чётное . В противном случае d - (m/2),

а i-t

ú - üeg А(в,Ь).7 » { Т11.7,г.7г1.7гг..-- } •

Содэрваше параграфа 7.3 составляет исследование возможности использования алгоритмического аппарата предшествующих глав для

решения задач стабилизации линейного приближения ьида (1) с переметши яогагонентами матриц А и Ь. В рамках данного параграфа допустимыми считаются регуляторы вида (36) с кусочно-постоянными коэффициентами. При втом задача стабилизации сформулирована, как аа-ча обеспечения заданной величины для наихудшей из степеней устойчивости сооТЕетствуищих систем с замороженными коэффициентами. Допустимое множество регуляторов задаётся ограничениями внергетичес-ких затрат пэ управление и количеством интервалов постоянства векторов настраиваемых параметров. Доказана соответсзущая теорема я па еО основе предложены вычислительные алгоритма репення поставленной задачи в трЭх вариантах: с простой редукцией к конечнокер-. ному безусловному спуску; с максимизацией праинх границ участков постоянства настраивавши векторов, обеспэчиванцих заданную степень устойчивости; с использованием специализированного метода на . основе АКР-оптимального синтеза.

Восьмая глава диссертации посвящена мшпмлзацпл срадпеквадра-■пгапх функционалов на допустимых множествах, которые суг:енн по отношения 2с области устойчивости за счёт введения дополнительных локальных требований к свойствам синтезируемой система. В центре взимания учЭт модальных ограничений, динамических ограничений но качество нестационарных регашав, требований физической роализуемо-стп л сохранения устойчивости пря малых вариациях параметров.

В параграфе 8.1 рассматриваются различимо яарпэнтя задач синтеза на допустимых мновнзстввх регуляторов вида (36), ограниченных требованиями к расположении по.шосов замкнутой системы (1),(2), В частности, вводится ограниченна на степень устойчивости. Показано, что решение задачи при этом могэт быть сведено к послодоввтвльяо-стл задач конечномерной безусловной оптягшацпп. Сформированы расчётные алгоритма шпека варьируемых параметров передаточной матрицы регулятора (Е5) на база результатов параграфов 7;1 и 7.2.

Здесь из' прэдлокэн алгоритм максимизации степени устойчивости при ограничении сверху величины ерэдввквадратичного функционала. Алгоритм построен на базе метода оптимального синтеза на г,шо-коствв регуляторе "1 с задании« спектром полисов системы (1),(2).

Параграф 8. . оодеркит материалы исследований по учёту требований к динамическим показателям нестационарных регимов в сродне-¡шадратичном синтезе. Полученные результаты позволяют построить

расчетные алгоритмы решения задач типа (10) при конкретных вариантах задания множества О*. В частности, предаовен спецналканрован-ннгй подход, и на его базе разработан расчетный алгоритм синтеза с учетом указанных ограничений, оснований на целенаправленных вариациях параметров спектральной плотности возмущения. Данный алгоритм особенно эффективен в тех ситуациях, когда искомое решение находится близко к решению задачи без дополнительных ограничений.

В параграфе 8.3 исследованы особо важные варианты сужения допустимого множества регуляторов О за счёт учёта дополнительных требований сохранения устойчивости при малых отклонениях параметров объекта или регулятора от номинальных значений, а также отсутствия идевлышх дифференцирований в составе регулятора.

Наряду с системой (1),(2),(36), рассмотрим замкнутую систему с математической моделью

4 = А(е)х + Ь(§)и + с(£)ф , (37)

у - Н(е)х , и = У(р,Л5г , где - соответственно векторы параметров объекта и регулятора, допускающие неконтролируемые вариации по отношению к номиналу

Теорема 8.2 Пусть зависимости А(е),Ь(§),Н(е),?(р,1) являится непрерывными по параметрам § и 1 соответственно в точках 5° и 2°,в характеристический полином Л(а,е,1) системы (37) - гур-взщэеыл при Тогда необходимым и достаточным условием

невозможности потери устойчивости при сколь-угодно малых вариациях параметров (устойчивой реализуемости регулятора (36)) является совпадение порядка пр системы и степени полинома Д(а,&°,£0).

Здесь п = вах { Аее(А(в)«7 (а)), шах <1ев(У (а)(НЗ(а)).)}.

В результате применения теоремы 8.2 при анализе оптимальных регуляторов дня задачи АКОР (задача А.М.Лбтова) и задачи среднеквадратичного синтеза, доказаны следущие утверждения.

Теорема 8.3 Если размерность вектора у измеряемых координат не меньше, чей п-1, то оптимальное решение задачи АКР на «шояэотве является устойчиво реализуемым. В противном случае требуется дополнительная проверка условия теоремы 8.2.

Теорема 8.5 Любой регулятор вида (36), с передаточной

матрицей, являющейся решением полиномиального уравнения типа (18),

со степенями компонент, удовлетворяющими неравенствам к

ц.^ » п+я-1 , V ш шах | } " (п+Ч-1) •

является устойчиво реализуемым, если поливом AH(a)=A(3)/N(a)»G(8) - гурвяцев, а его степень dH определяется соотношением

dg<nax |ц^тгис|тр Др +p-(q-1) || -n-p .p^arg шах degpl^O)].

3=1,1t 1 ^ 1=1 ,n

Для случая задачи скалярного среднеквадратичного синтеза приведенное условие существенно упрощается и принимает вид известного ранее неравенства р > m + q - 1.

В данном параграфе показано, что на множестве устойчиво реализуема регуляторов, в случае нарушения соответствующих условий, шеняя точная граница среднеквадратичного функционала не достигается. В связи с этим предложен метод построения иишшизирувдвй последовательности регулятороз, рошахщях задачу среднеквадратичного синтеза на указанием суаешш области устойчивости.

Аналогичные исследования проведены для задачи синтеза на кео-етстве физически реализуемых регуляторов о ограниченным часлом ццэалышх дифференцирований в составе математической модели. Предложен соответствупций алгоритм построения мзвЕмизирувдеЗ последовательности регуляторов, решащих эту задачу.

В девятой главе, на примера конкретных проблем управления движением подводных лодок, рассматривается общие концепции и раз-' рабатываптся отдельные методы и алгоритмы среднеквадратичного синтеза в многоцелевой постановке. Глава является итоговой, в пей используется основные результаты, отлученные в диссертации.

В параграфе 9.1 вводится в рассмотрение комплекс математических моделей, описывающих процессы управления подводной лодкой (ЕЛ) в различных режимах функционирования. В качестве таковых выступает: а) собственное двинете лодки под воздействием командной поправки в законе управления боа воздействия енвпних возмущений; б) движение, обусловленное скачкообразным:! возмущениями типа t(t); в) дЕипепие в условиях морского волнения. По каздому кз ря-аимов формулируется комплекс требований и ограничений, одределяв-щий допустимые множества и цели формирования законов управления.

В качестве уравнений объекта здесь принята система

i - Ах + ЬГ1 (0) + ccp(t), (38)

. в - í2(u),

где xtR" (rs=3), вей1- отклонения рулей, uíR1- управляидий сигнал.

Целью аналитического проектирования (синтеза) системы стабилизации ПЛ является поиск закона формирования управлящего воздействия и, обеспечиващего выполнение указанного комплекса требований для всех трёх режимов, что определяет многоцелевую ориентацию задачи. При атом обратную связь будем формировать в виде

® (р) й„ (р) u =W(p)(х' 10)'- ®к(р)х+Не(р)3 = х + 3 » *39)

где p=d/dt, Wfll (р) и Wg(p) - полиномы, (р) - шлшошальнвя отрока, 0(р) - дробно-рациональная строка размера (п+1).

В работе приняты три возможные концепции многоцелевого подхода к построению регулятора (ЗЭ):

- локально-оптимальный многоцелевой синтез;

- кощромиссшй многоцелевой синтез;

- многоцелевой синтез с аддитивной вариацией структура. Вопросам локально-оптимального и компромиссного подхода пос-

вящён параграф 9.2. Здесь рассматриваются конкретные варианты, определяемые спецификой ситуации, приложения методов, алгоритмов и рекомендаций, полученных на базе исследований в предшествующих главах. Выполняется их адаптация к управлению ПЛ и (формируются соответствующие расчётные алгоритмы синтеза.

Принципиально новый подход к синтезу исследуется в параграфа 9.3, где управление формируется в виде струтуры (40), содержащей некоторую фиксированную часть (р)(х'1б)', инвариантную по от-ноааниа к конкретному режиму и соответствуйте аддитивные добавки, подключаемые ш tape необходимости при переходе с режима на ракигл:

1ut = 01(p)(s'lS),'- W^(p)x* , если 6 » 1 , (40)

ut+ug » [е1 (p)+sA1 (р)7(s' 1й)*« вг(р)(х'ю)', если в » 2 ,

1Ц+ ug+ и3 » [йг(р)+®4г(р)3 (2*15)'« U3(р)(ж' 15)',если в >=3. (переменная 0 обозначает номер регаш).

В 8том &э параграфе осуществляется обоснование представления структуры (40) в конкретном виде

1ut « Л + hQ0 , если 8 = 1, (41)

u,+u2 = hxz + hQ5 + L1(p)(xn-zB)/®1(p) , если в = 2 ,

иг+ u3 = + ho0 + Ьг(р)(ха-2в)/Фг(р) .если 9 = 3,

.где i = Да + Н(х-в) + ЬО , р - d/dt .

Приводится также обоснование декомпозиции задачи и предлагаются

метода п расчйтнне алгоритмы поиска варьируемых элашнтов п (41): параметров h* и hQ базового закона ¡травления; матрица Н пгблцца-кщего устройства; передаточных функций эддитиешх добавок Ь1 <р)/ /Ф,(р), и Ьг(р)/Ф2(р).

Приложение к диссертационной работе содержит оппсанет спсто-!.ш автоматизированного синтеза законов управления два^огатгз судов в горизонтальной плоскости (авторулевых) в условиях морского •вол--нешя. Алгоритмическая и програтсдзая подцзргяа csctcüjh цэлпкся построена на базе материалов прэдгествуЕпцгх глав дносартецпи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатшш, которое пслучепн в итога_правадзешнх исследований и выносятся на зшшту, яглягггся аяэдрщзэ.

1. Прэддотан пошй способ представления рзпапет нздетя среднеквадратичного синтеза в частотной сблпста. Из ого осгспо рязрэ-Сотанз новая техника поиска огггплалышх рэгуляторов, спрэдзлтенпл соотЕетствуЕСза раочЗтпшл плгорзтж:"!.

2. Получено репопкэ в чсстотпсй облпота садачз спатэза со скалярным возмузэпяем как прл па.тжя, таг? и пр; отсутстЕпд ползой информация о вектора соотолшш объекта.

3. Исследозая вопрос о сээдакотас-гзоотз ргззззя указанной оплата. Получэш услоеш (п300хсдг?ОТ п достзточисл, о токгз достаточное) ссепвдоппя вг:стрз?,07лп из птогэскзю: рэгуглтортз с полной и неполной ипформацнэй.

4. Наследованы структургта оссбоггазотз пзрэдагсгшх матриц оптпкалышх регуляторов. Длл аадач сязтязг о одрхатвззжл рзвгенпеа выведены фвряуш для сцсшет стопзнай етштелзй и шшзнаталэй irr ксупопэнт. Длл задачи со скалярака возиузэпзэя 'получена огрснпчэ-нпя на априорное задание ртях отэпонэа.

5. Разработаны метода оцапиззття оптггдумов срэдяэкэодратлч-ных фупкцнонэлов Соз вэпосрэдствзппого рзгаяпя подача сзггаза. Предложен способ Еычислогая оценок прз наличии поопрэделЭнностей в задании спектра::- -ьчх плотностей возмуцвяпй.

6. ИсслвдовЕ.'.1£ продольные возтокности оптпмизацшт по достя-кимой точности и затрата?/! на управление. Получены формулы для вычисления верхних и кпишх предельных значений этих характеристик.

7. Построен алгоритм оптимизации нестационарных рекимов на множества устойчивости линейного приближения. Предложен спосос наксдаизацша степени устойчивости регуляторами неполной структурь а танка способ решения задачи стабилизации линейного объекта с переменными коБЗфициентамн.

8. Исследованы вопросы среднеквадратичной оптимизации с ло-квльнтаи ограничениями. Разработаны методы синтеза с учётом требований к размещению полюсов замкнутой системы и с учётом ограничений на динамику нестационарных режимов.

9. Найдены условия сохранения устойчивости при малых вариациях параметров замкнутой системы и условия физической реализуемости математических моделей синтезируемых регуляторов. Разработаны штада обеспечения устойчивой и физической реализуемости.

10. Введено понятие многоцелевой ориентации среднеквадратичного синтеза как единого подхода к обеспечению реализуемости ал-горкшзчэского обеспечения и получаемых с его помощью результатов. На примерз управления судами предлошны три концепции формирования многоцелевого управления. Разработаны алгоритмы поиска его влзызнтов, исходя пз заданного комплекса ограничений.

11. Рассмотрена общие принципы ы разработаны конкретные ва-рзанш реализации полученных в работа катодов и алгоритмов в виде сгстеаз автсштцзировашюго анализа и сштеза законов управлешш на шчЕСЕзташш: средствах иалоа коацюсти (ШВУ).

Ощкншнэ результате дщссэртацш отрадна в следующих опубли-коввпных работах:

1. Верэ^аЙ ЕД1. .Иванов В.В.,Серый С.Я.,НрШ9вич C.B. Исследование колебательных дветвттй объекта с релейным регулятором.- в кн.: Нэкоторш задачи автоматического управления движением. К., Наукова души, 1974.

2. Взрешй Е.11.,Петров Ю.П.Упрашшэиость линейных систем при наличии Еозадащах воздействий. и.,1977.-Деп.в ВИНИТИ ,111984-77.

3. Варекзй E.H.,Галактионов U.A. .Петров Ю.П. Закон управления рухавой установкой судда, обесшчпвавдкй стабилизации на курса пра каша чкога шраклвдок руля.- В кн.: Автоматизация технических срэдств корсккх судов. Л., Судостроение, 1977, с. 72-62.

4. Варемэй Е.И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экст-

ремалей. М., 1978. - Доп. В ВИНИТИ, N3413-78.

5. Вэремей Е.И., Петров Ю.П. Предельные возможности оптиии-зации линейных систем управления - В кн.: Вопросы механики и процессов управления, вып.2: Управление динамическими системами. Л., Изд-во ЛГУ, 1978, с. 23-28.

6. Веремей Е.И. О возможности потеря устойчивости оптимальной замкнутой системы при малых вариациях параметров.- В сб.: Управление в днншягеесках системах, НИИ ЕМ и ПУ ЛГУ, Н., 1979'. -Деп. в ВИНИТИ, N2794-79.

7. Версией Е.И., Шумилов B.S. Синтез оптимального управления с учётом погрешностей измерительных приборов в канала обратной связи. - В кн.: Некоторые вопроси качественной теории управления дппзениеы. Саранск, 1979, с.122-126. "

8. Веремей Е.И., Петров Ю.П. О подавлении колебаний напрягз-ния синхронных машин прз случайной нагрузке.-В 1ш.:Сппг:и8г.цпя рз-гамов работы систем элзктроправодов. Красноярск,КПП, 197Э,с;9-13.

9. Еереггай Е.И..Галактионов М.Д. 0 структуре устройства, ста-билизирущего Еысоту полёта.- В га. :Упрпвлзпяа, надЭяпоста п пппа-гация, вш 5.-Саранск, Изд-во Норд.ГУ, 1979, с. 178-180.

10. Ворэмой Е.И.,Ерекаев В.В., Корчапсв В.И. Сшггоз алгоритмов стабилизации судна в условиях Еошгенпл моря. - В сб.: Вопроси ' судостроения, сер. Судовая автоматика, "п. 22, Л., ЦНИИ "ГугО", 1980, с.42-47.

11. Веремей Е.И. ,Ере!шов,В.В. Саетаз рзгулятороз, дсстазляз-цих минимум среднеквадратично^ краторзэ качества о учЗтсп трзбо-вакий к степени устойчивости зиштутой слстоет. - D сб.: Натеиа-тичэскио метода оптимизации я структурировала! слагем. Калшгш, Изд-во Калин.ГУ, 1980, с.91-98.

12. Вбрзг.тай Е.И., Гадзхтползв .М.А., Патрон Ю.П. Сяптэз оятл-язльных регуляторов с учЗтом дополнительпт тэхшчасют трвбоза-гай. М., 1980. - Деп. з ЦНШТЗИ приборе строения, Ш ДР-1289.

13. Веремей Е.И., Петров Ю.П. Рдяная система регуляторов для эттсиизации линейных управляемых систем. В кн.: Проблем систеко-гехяики. Л.. Судостроение, 1980, о.287-289.

14. ВерэмеЯ Е.й „.Еремеев В.В.„Пэтроз Э.П. О синтезе епткмэль-п;х регуляторов длп л,:.;ейшх систеи с приложением к вадачам управ-т-п;:я юрскими су тт. Л., 1980. - Деп. в ЦНИИ пРу?гб", N ДР-1182.

15. Верной Е.И. ,йг'рмеов В.В. Учбт огрешпений на отклонения

рэгудлрувщх коорданат в задаче синтеза оптимальных регуляторов.-В об.гПрикдадтга задачи теории управления.Л.,ЛГУ, 1S82, с.88-95.

16. Взрзиэй В.И. О раиапш! вадачи синтеза оптимальных рагу-Лйхороа прл гра&яаскои аадашш спектральной плотности возмущения. - в кв.: Ыодаяаровшш н патоматичаскоа обеспечение систем управления. Вопросы ызпшиш и процэссов управления, вып. 5, Л., Изд--ео ЛГУ, 1232, о. 183-189.

17. Вврсиза Е.Н.,Штроа Ю.П. Ыатод синтеза оптимальных рагу-лятороа, дсщоиагцпй тохтчаскую раашзацна. - В кн.: Ыатематпчэс-IS3 катода; ЕооЕЗдавашя управляемых кэханичаскнх систем. Л., Изд--ЕО Ш, 1S32, 0.24-31.

18. Езрзглз« С.II., Корчаюв B.Ü. Сзамграцпя волновых помох в tEotcsiss ыжхяшг*осг.ой ствбашзацш двагешш судов. - В сб.:вопроса сдоотрозисл, сор. Оудааая автоматика, вып 28,Л.,ЦНИИ "Румб", 1SS3, с.45-51.

19. ВзрзлэС Е.1!.,Ерзмзев B.B. Синтез оптимальных систем с за-дшззея кадйшиза свойствами. - В кн.: Оптимальное управление в юхштооки оеттеавх. л., Изд-во ЛГУ, 1983, с.3-12.

20. Вэраай Е.И.,1Сорчанов B.U. К решению задачи'синтеза опти-.цошюго Qsrqgyfssoro в условиях волнения моря.- Тезисы докладов ix воасоззеого соесдшшя по проблемам управления. м., 1983, с. 85.

21. Взреза Е.Й.,Ерэмэав В.В.,Корчанов В.ti..Пэтров Ю.П. При-изезшз шчгосясхьеи алгоритмов оптимального синтеза для конст-¡$sposssca шгсен оте&гЕазацнп судов, л., 1984,- Деп.в цнии "Румб", НДР-1Ш4.

22. BspsíaS Е.И. ЧаатотЕЪ'И метод синтеза оптимальных регуляторов дзш ешзШш ссотоа со скалярным возмущением (Часть 1). Из-соетоп syson ССОР, Элэдярахсшшка, Н 10, 1285, с.52-57.

23. Ворошй Е.И. Частотный' катод синтеза оптимальных регуляторов дел лшшШаа систем со скалярным возмущением (Часть 2). Из-ВЭОТЕЯ вузов COOP, Элзктромэхашпш, N 12, 1985, с.33-39.

24. Варзшй Е.И.,Горелик B.D. .Корчанов В.М. САПР систем ста-бздщз&фт морских судов. - В кн.: Автоматизация морских судов и систем их обслривашт. Л., Судостроение, 1985, с.29-35.

25. Варекой Е.Й.,Карелин В.В..Полыскалин В.Я. Вопросы построения иатштичэского аппарата исследования динамики ГПК. - В СборШЕ» шиш, ü., 1935, с.10-20.

26. Еэрашй Е.И. Автоматизация проектирования многоцелевых

управляющих систем в ИАСУ ГПО.-В сборнике НШГМ.Н. ,1986,0.123-131.

27. Веремей Е.И.,йуйкоа В.Г..Карелин В.В.,Нелепин P.A. Алгоритмическое и программное обеспечение ГАП. - Тезиса докладов на Всесоюзной научно-технической конференция "Цроблеки создания ГАО на предприятиях отрасли". Л., Судостроэниа, 19G6, о.87-88.

28. Веремей Е.И. Обеспечение заданной стопэни устойчивости регуляторами с неполной информацией. Пзсэстая АН ССОР,Техническая кибернетика, N 4, 1986, с.123-130.

29. Веремей Е.И. Об одном подходе к автдааткзацпл проектирования обратной связи для настацяшйршго объекта. - В ira.: Анализ и синтез систем управления. Вопроса гахезшш и процессов управления, вып.10, Л., Изд-во ЛГУ, 1937, 0.28-SS.

30. Веремей Е.И. .Горелик Б.Ю. .йорчагнэ B.U. Программное обеспечение автоматизированного синтеза сзсгза стпйпяпзацяя дбшзэния судов. - В сборнике ЦНИИ "Аврора", пыл. 3, 1SS7, с.22-87.

31. Веремей Е.И. ,1£орчг?поз D.U. гйюгсцэлэвзя' стзбялетзцпл динамических систем одного класса. АН ССОР, Азтстатпяа п тэлймэха-ника, N 9, 1S88, с. 126-137.

32. Веремей E.H., Ерекзев В.В. СрдаетздрзтгпгаЗ кштоз.при учёте вектора возмугдадай, рззглргость которого mms.э шрдджа системы. Вестник ЛГУ, сер. 1, шп.4 (II 22), 1SS8, 0.14-18.

33. Варамей Е.И., Корчвшв В.У. Склон аптсругэюто, осу^ест-' влящего многоцэлевуи стабилизации судна из щзсз. - В сборззки ЦНИИ "Аврора", енп. 5, 1S88, 0.3-8.

34. Веремей Е.И..Горэлпя B.D.,1Сор~стз B.U. ОзЕаззедш.сго-тем управления двиаеняви судов с ус*гро;Зстан!з. - В сборнике ЦНИИ "Аврора", енп. 6, 15Ш, s.C5-C5. .

35. Веремей E.lí., Шагалова О.И. Способ фхяьтртцшх волновой помехи в канале управления оудаоз. - Тааяся даьяздсз на VII Всесоюзной нвучно-технячэской иоЕфэрэгарл "ЦроШгзтга таявявтй автома-зации судовых технических средств". Л., 1839, о.Ш-69.

36. Веремей Е.И.,- Ерамэев В.В. Епбср опитльннх параметров обратной связи оптимальной структур». Вестнак ЛГУ, сер. 1, шп.2 (N8), 1989, с.12-14.

37. Веремей F.K. Абсолютный минимум среднеквадратичного критерия, качества в ; адаче синтеза со скалярным возмущением. Известия ВУЗов СССР, Приборостроение,.том XXXII, Н 1, 1989, с.10-15.

38. Веремей Е.И. Оптимизация линейных систем с гаргонически-

ш воамущенияыи. - В кн.: компьютер в помощь ученому и учителю. Куйбшюв, Изд-во Куйб. пед. ин-та, 1989, с. 135-143.

39. Вере май Е.И.,Еремеев В.В.,Полыокалин В.Я. Расчетная схема сштеза цифровых регуляторов, оптимальных по среднеквадратичным критериям. - В сборнике НИИТЫ, Ы., 1990, с.63-75.

40. Воремай Е.И. Численные метода среднеквадратичного синте-ва при наличии модальных ограничений. АН УССР, Автоматика, N 2, 1990, 0.22-27.

41. Вэремай Е.И. Среднеквадратичный синтез многоцелевых систем стабилизации судов.-Тезисы докладов на VIII Всесоюзной канфе-ранцщз "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических орэдота"В сборника ЦНИИ "Аврора", вып. 13 , Л., 1991, с 47.

42. Бэрекей Е.И.,Соломенцэв Ю.Ы.,Исаченко В.А.,Полнскалин В.Я. а др. Введашш в теорию интегрированных САПР гибких технологий п производств (Глава 8. Модели оптимизации динамических про-цэоооа & ОАПР ИАОУ ГШ - 80 е.. Глава 3. Подели и алгоритмы кногоцэдевого синтеза управляла подсистем в составе ИАСУГПС -70 о.). П., Ыашшоотроешга, 1992.