автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями

на правах рукописи

ДждеедМ.

Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями

Специальность: 05.13.01. Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2004

Работа выполнена на кафедре информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Андреева

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Б. Карпухин, доктор физико-математических наук, профессор А. В. Язенин.

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН (г. Москва).

Защита состоится 28 января 2005 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан

2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.263.04

д. т. н., профессор

252.406

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На современном этапе развития науки, техники и экономики большое внимание уделяется развитию математической теории оптимального управления динамическими системами, так как она сочетает в себе фундаментальные математические разработки с актуальными прикладными задачами. Одной из таких актуальных задач является сохранение и использование природных ресурсов. Математические модели сохранения и использования природных ресурсов описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Однако они не охватывают в полном объёме модели управления процессом взаимодействия популяций с целью сохранения их численности на заданном уровне, при учёте таких факторов, как естественная рождаемость, смертность и различные типичные функции роста популяции. Управление процессом должно осуществляться по критерию прибыли, в зависимости от интенсивности отлова. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения различных типов непрерывных динамических моделей типа Лотки-Вольтерра, описываемых интегро-дифференциальными и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Исследование управляемых интегро-дифференциальных моделей типа Вольтерра является новым актуальным разделом этой теории.

Отмеченные обстоятельства обусловливают актуальность темы диссертации, направленной на разработку и исследование методов и алгоритмов оптимального управления динамическими системами природного происхождения в их взаимодействии.

г 007^ %

/7037

Целью работы является разработка численных методов и алгоритмов для исследования управляемых моделей, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Для достижения этой цели в работе обосновываются необходимые условия оптимального управления и решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе математических моделей типа хищник-жертва методами математической теории оптимального управления.

Новизна научных результатов. В диссертационной работе впервые рассматривается общая динамическая модель взаимодействия п популяций, а также динамическая модель хищник-жертва (п=2) при различных способах управления отловом и параметрами популяций. Найдены значения параметров, при которых в модели хищник-жертва возникают особые режимы оптимального управления, то есть режимы, при которых вырождается принцип максимума. Оптимальность управления для таких случаев исследуются с помощью условий Келли.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные способы и методы решения задач оптимального управления природными динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями, составляют специальное расширение теории исследования управляемых динамических моделей при особых решениях. Разработаны методы и алгоритмы построения особого оптимального управления для различных моделей хищник-жертва.

Практическая значимость исследования состоит в том, что результаты диссертации расширяют специальное математическое обеспечение по обоснованию оптимальных рекомендаций на основе

максимизации прибыли от реализации отлова хищников и жертв при сохранении их популяций на требуемом уровне.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения работы были представлены на международной конференции по оптимальному управлению (г. Воронеж), на научных семинарах кафедры информатики и методов оптимизации ТвГУ (2003г., 2004г.) и ВЦ РАН (2004г.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на обоснованных методах математической теории оптимального управления, принятых за основу постановки научной задачи; на применении строгих математических методов для численных расчётов и результатов вычислительных экспериментов в достаточно широком диапазоне исходных данных.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы и отдельные положения опубликованы в шести печатных работах (2000 -2003 гг.).

Положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительные алгоритмы и численные методы нахождения оптимального решения, построенные на основе применения необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями.

2. Применение методов теории оптимального управления к задачам моделирования взаимодействия популяций с учётом

[

управления ростом популяции в зависимости от заданной цели использования и сохранения популяции.

3. Программно реализуемые на ПЭВМ алгоритмы построения оптимального управления в моделях хищник-жертва, основанные на необходимых условиях оптимальности.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах. Список литературы включает в себя 78 наименований.

Содержание работы

Взаимодействие организмов и среды определяет развитие, размножение и выживание особей, структуру и динамику популяций, развитие сообществ животных, растений и микроорганизмов. Наиболее распространенный тип взаимодействия между популяциями - это взаимодействие типа хищник-жертва. При исследовании модели не учитываются возрастные, половые и генетические различия особей, климатические изменения и их влияние на параметры модели.

Рассмотрим динамику сообщества, состоящего из п видов. Пусть F('¡V^ , N2 , ...А^ - количество пищи, поедаемой всеми п популяциями за единицу времени, е,, / = 1,и - постоянные положительные коэффициенты, характеризующие скорость прироста популяций Nl(t),i = \,n, коэффициенты у,,у7,...у„ отвечают за потребность в пище для каждой из п рассматриваемых популяций.

В этом случае система уравнений, описывающая динамику сообщества из п взаимодействующих популяций, имеет вид:

ш

При заданных начальных условиях существует единственное решение системы, на любом конечном интервале (0,7).

В работе рассматривается управляемая модель хищник-жертва, с учётом внутривидовой и межвидовой конкуренции. Управление осуществляется с помощью отлова хищников и жертв:

здесь и, - часть отлова в единицу времени (управление), - отлов жертв (/=1), хищников (/=2),. в единицу времени. Управление удовлетворяет двум типам ограничений:

а) 0£и,0)<Ь,

б)0<и,(1) + щ(1)<В,и1>0, / = 1,2, /е[0,Г],

Требуется найти оптимальное управление, которое максимизирует прибыль фирмы, выраженную интегралом

{¿(А^(О-^К(')Л, (3)

о м

и обеспечить заданный уровень популяции #((Г) = Л,,/ = 1,2 хищников и жертв соответственно в конечный момент времени, где р„ 1=1,2 -стоимость хищников и жертв, с,, /=7,2 - стоимость затрат на отлов. Заметим, что в общем случае стоимость затрат с, (Л^) может зависеть от величины / = 1,2.

Функция Понтрягина для задачи имеет вид:

//(/,л/1,^2,ы1,ы2,р1(/),рг(/)) = ^(р1 N. -у2Л',Л-2 -у, Л',2 -ид]+

>•1

Теорема 1 (о необходимых условиях оптимальности)

Пусть й = - оптимальный процесс в задаче

(1)-(3), тогда оптимальное управление (гл(0>"2(0) удовлетворяет принципу максимума:

НО Д (1),Що, МО, МО, А (•). МО) - шах н«> щ .«:. 7, (•). Л (•)).

и,Л.

для любой точки непрерывности хф), / = 1,2 / е [0,7] . При этом сопряжённые функции р/(0 и Р2О) являются решением системы

дифференциальных уравнений:

________ (4)

Р2 (0=-ур2«2 +А(0е2 +/>|(')72^1(0+Л(')"2 -РгШЩЪ и удовлетворяют условиям трансверсальности на правом конце:

~р. СО = -2А/,(Л/,(7") - Л,), / = 1,2,

Используя принцип максимума, найдём оптимальное

управление для ограничений (2) случай а):

0, еслг/ /О, - с, - р[(0Щ0 < 0 ¡7; = • 6,, ем«/?, Щ1) - с, - А (')Л^(') >0 (5)

[0,Ь,1,если р, ЛГ(0 - с, - МОЩО = 0

0, если р2 I) - с2 - рЦО'ЩО) < 0

62, если рг N¡(1) -с,- рА0Щ(0 > 0 , (6)

[0,г>г ],если р2Ж2(1) - с2 - Уг(1)Щ(0 = о

где = р, - с, - А(')Л^С); = л л£(/) - С2 -Т2(1)Щ(1) ■

Если офаничения на управление заданы соотношением б) 0<и,(/) + и2(г)<В,и,>0, 1 = 1,2, ? е [0,Г], то оптимальное управление имеет вид:

1) если <р1 < 0, то и, =0, / = 1,2;

2) если <рх > <рг > 0, то и\ = Ъ; мг = 0;

3)если > > 0, то и, =Ь, щ =0; (?)

4)если <рх <0, <рг >0,то и2 =Ь, щ = 0

5) если р2 < 0, ср^ > 0, то и2 = О, и, = Ь

6) если на не котором отрезке /б(г,,г2) (3,(0 = 0, то возникает

особое оптимальное управление.

Теорема 2 (необходимое условие оптимальности особого управления).

Пусть и = (и1(/),«2(/)) - особое оптимальное управления на интервале (г,,^). Для оптимальности особого управления необходимо, чтобы выполнялось неравенство :

(8)

Г^\ди, (¡Г ди1

или, для рассматриваемой задачи, положительная определённость

Зи, (Ц2 3", й? ди2

матрицы вида: Д/, .№(/),/>(*))=

д сР- дН д ¿12 дН ди2 Ж2 дщ ди2 Ж2 ди2,

(9)

В Приложениях 1,2 представлены результаты численных расчётов, полученные методом функции штрафа и методом сопряжённых градиентов. Исследовано влияние параметров задачи, при которых возникают особые оптимальные управления.

Показано, что особое оптимальное управление является «устойчивым» к параметрам г = 1,2, то есть при малом

отклонении от исходных значений управление сохраняет свойства особого оптимального управления.

В работе рассмотрена зависимость оптимального решения от скорости прироста ех, естественного вымирания е2, потребности в пище у\ " У г > стоимости /з, и р2 и затрат с/ и Сп.

Ер$Иоп_1 ЕрзИоп_2 Сатта_1 ввттв_2 границы отрезка Число итераций

1ои 1 | /аи_2

1,45 0,75 0,8 0,8 не возникает 111,1527 4005

1.48 0,75 0,8 0,8 13,4 14,34 -70,1758 39287

1.5 0,75 0,8 0,8 13,42 15,24 -76,7559 35831

2.3 0,75 0,8 0,8 17,06 17,54 -190,293 28094

2.5 0,75 0,8 0.8 не возникает -207.986 17194

1.5 <0,5 0.8 0,8 смотри приложение

1,5 1 0,8 0.8 1,76 I 7,68 2891,288 10866

1.5 1.3 0,8 0.8 не возникает 6779,74 5

1,5 0,75 0,3 0,8 16,8 17,72 -190,689 82497

1,5 0,75 0,8 0,8 13,42 15,24 -76,7559 35831

1,5 0,75 1.8 0,8 не возникает 10244,8 7814

1.5 0,75 0,8 0,6 1,64 7,86 338,2058 5878

1,5 0,75 0.8 0,8 13,42 15,24 -76,7559 35831

1,5 0,75 0,8 1,2 не возникает -73,1956 894

Зависимость особого управления от параметров рх и рг

представлена в Приложениях б, 7, 9 - 13.

Сравнение методов проекций градиента и метода сопряжённых градиентов представлено в таблицах.

Метод Значение минимизируемого функционала Количество итераций

Начальное Оптимальное

Проекций градиента 78,125 -76,75591918 30626

Сопряжённых градиентов 78,125 -76,75593622 32416

В третьей главе исследована общая управляемая модель

хищник-жертва, описываемая системой п-интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Задача оптимального управления системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра состоит в минимизации функционала т

/(")= I Л«,А(ОЛ,(у,(О)-с0'(О)кОЛ + + 1м1(у,(Т)-А1)21 (10) /=1 о /=1

'•,(0- ia,j(t)yj(l)-ibIJ(t)'\KIJ{t-s)y(s)cis H 7=1 0

(ID

при динамических ограничениях с заданными начальными условиями .*',(') = у, (О

-«,;/(/)/?,. (>-,(0). ' = 1," Офаничениях на управление

0<u(t)<b, (е[0;Т]. (12)

Функция Понтрягина и функция переключения задачи (10)-(12) имеют вид:

<i .1

- уХ0±а„(0у,(0 -yX0lbv(0K(t - s)y,(s)ds -,

>1 I 1 о

-a,yXt)uh, (у,(0)] m = -t[aMy,iyA')P,(0 - РАО - с(>0)]

, I

Теорема 3. Пусть >•(/), u(i) оптимальный процесс в задаче (10)-(12), тогда оптимальное управление i/(?) определяется с помощью функции переключения

ч fo, v(t) < О

Сопряжённые функции являются решением системы интефо-дифференциальных уравнений:

+ Pj(t)ia„(0у,(0 + (')Р, (1)У,(О ~

"I (14)

- Pj(0i Ь9{1)]к9и - s)yl(s)ds + t'iKv(s - t)Pj(s)y,(s)bIJ(s)ds + '-1 о / If

, Mjiyj«))

dyj

с граничными условиями

р(Г)=-2/Л/ у = Ц7. (15)

Для численного решения задачи (10)—(12) использована дискретная аппроксимация с постоянным шагом интегрирования Д/ и точностью <э(Лг).

Дискретная задача оптимального управления имеет вид:

Ф])=мЕЁкл'Ш) - с(У!)У + Ьк(У! - А,У (16)

ЕЙ . _

I»! | а I

у;-' д"-/ -д£<>1 -(й'УХКЁхГ""?: I-

/«I га-0

-МаУИХу"), у1 = с1„ / = 1Тп\

(17)

0<г/ <Ь, к = 0,д-\. (18)

Запишем функцию Лагранжа задачи (1.14) - (1.16):

+ -А-(АО2 Ы I ¡=1/с~о V № ;=1 »'=0 1 1 )

-ЬщиЧ^уЧ)]

Используя функцию Лагранжа, находим выражение для

сопряжённых векторов:

р)=-Лй Ы

ду} 0у) )

и' + р^+Мр^г]-

-Д'РГ1 ЫУ!-А/ХрГЦУ! -(ДО^Г11 Ъ$л I ку^у'," - (19)

/-1 /=1 т-0

-(ДО2! 2 р^ь^УЧ-^РТ^Щ1, У = й. .' = 0^1

¡=Ц=*+1 ду^

р) = [у] - а, У", )=й (20)

Во втором параграфе третьей главы рассмотрена модель хищник-жертва, описываемая интегро-дифференциальными уравнениями

}\(О = >\ (OÍ 1" - « (')>': (') - У\ (/)«, (О

К } , , (21) У: (О = -u,(í)y,(l) + /?>',(О - T)dr

с начальными условиями:

V, (0 = ую (О, Уг (0 = У2о (t), ' е [- У.О] (22)

Здесь y¡(t) и у ¡(i) - количество жертв и хищников соответственно в момент времени t.

Параметры а> 0, к> 0, /7 > О - описывают внутривидовую и межвидовую конкуренцию. Функция G(i-r), i-v<r<t характеризует распределение жертв в момент времени t доступных хищникам. Функции управления удовлетворяют неравенствам:

а) а, <«,(/)< Д.í = l,2,re[0,Г], (23)

б) а < ut (/) + и2 (/) < Ь, / е [О. Г].

Управление: u¡ - отлов жертв, и2 - отлов хищников; к>О -характеризует выживаемость жертвы в заданной среде;

Оптимальное управление вычисляется с учётом минимизации затрат и сохранения популяции на заданном уровне А,. / = 1,2. Требуется найти минимум функционала:

Ли) = MI«?(')<* + Iе,{у,{Т)-А,)2 (24)

ОМ /=1

на множестве всех допустимых процессов, удовлетворяющих системе интегро-дифференциальных уравнений (21).

Запишем функцию Понтрягина задачи (21)—(23):

Я(/, У1, у2, к,, и2, Р\ (/). Рг (.')) = -е0I "Г +

1=1

+ М0

I

Теорема 4 (необходимое условие минимума).

Пусть н' = (у,(/).>'3(0,щ(0<")(0) - оптимальный процесс в задаче (21) - (24), тогда оптимальное управление и, (О, и, (О удовлетворяет принципу максимума:

для любой точки непрерывности и^), / = 1,2 . При этом функции и рэ(0 являются решением системы линейных интегро-дифференциальных уравнений:

У.

р1(') = -А( О

И)-

-ау2 - и,

+ \в(}-т)р(т)с1 т

(25)

р, (0 = аух + р,(г)и,-р,(!)/3 |у,(т)0(г-г)£/т и удовлетворяют условию трансверсальности на правом конце:

л-(П = -2£1(у/(Г)-Л), ¿ = 1,2. (26)

Используя принцип максимума, найдём оптимальное управление:

если а, < н,(/):*/?,,/ = 1,2,/е[0,г], то оптимальное управление определяется из следующих условий

«1(0 =

А>всиМШ>&/?1

(27)

/3.. если -ЬЛ г д,

б) В случае суммарного ограничения оптимальное управление почти везде. I е [о. т] является решением задачи квадратичного программирования:

1р{щ.и1) = -Е011- -р,(/)>',(/>, +-£0<<2 - /МО.1'ДО»; ->тах (29)

г/, + и, <Ь, а, + >а, м, гО, / = 1,2 ,

В пятом параграфе рассматривается задача управления отловом хищников н2(0 и коэффициентом рождаемости жертв г/, (0 при условии минимизации функционала

о ' 1 ■ I

здесь ,х,(/), х2(0 количество хищников и жертв соответственно. Динамика системы описывается интегро-дифференциальными уравнениями

.V, (/) = ,Г| (/)!/, (0(1 - .г, (/)«, (0)- ж, (/)х2 (0 (3 ] ^

*: (/) = -"2 (0*2 (0 + А"2 (0^1 (т)О(г - г)г/г

О

Для этой задачи сформулирован принцип максимума и предложен алгоритм построения оптимального решения. Исследовано решение в зависимости от параметров задачи.

т = (Пек + (г, (?) -А,)2, (30)

Заключение.

Сформулируем основные результаты диссертационной рабош.

1. Разработана математическая модель, описывающая управляемый процесс взаимодействия между хищником и жертвой, в которой управление осуществляется по критерию максимизации прибыли от реализации отлова особей и сохранения популяции на заданном уровне, а также осуществляется управление коэффициентов прироста жертв. Исследована управляемая модель хищник-жертва, описываемая системой п-интегро-дифференциальных уравнений. Записаны необходимые условия оптимальности.

2. Исследовано влияние коэффициентов прироста, внутривидовой и межвидовой конкуренции, времени процесса на оптимальное решение. Показано, что с ростом коэффициентов прироста е,, ¡ = 1,2 возникают особые оптимальные управления.

3. Определены параметры задачи, при которых может возникать особый режим оптимального управления. Установлена содержательная сущность такого режима, а именно исследована устойчивость особого оптимального управления по отношению к параметрам функции роста, максимальной величине отлова популяций и коэффициентам межвидовой и внутривидовой конкуренции.

4. Разработаны численные методы построения оптимального решения и приведено их сравнение. Показана достоверность результатов путём сравнения численных методов. Проведена оценка точности и скорости сходимости используемых методов.

Основное содержание диссертации опубликовано в

работах:

1. Андреева Е. А., Дждеед М. А. Модель оптимального использования природных ресурсов // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000. С.

2. Андреева Е. А., Дждеед Л/. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями. ТвГУ, Тверь 2003. С. 100.

3. Дждеед М. Задача оптимального управления системой, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Тверь, 2001. Сборник 300 лет математике в России. Оптимальное управление динамическими системами.

4. Дждеед М. Математические модели использования и сохранения природных ресурсов в условиях индустриализации // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2001

5. Дждеед М., Семыкина Н. А. Задача оптимального управления описываемая интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. ТеГУ.

6. Дждеед М. Необходимые условия оптимальности в модели описываемой интегро-дифференциалными уравнениями. В сб.: Тезисы докладов Воронежской зимней школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы ", Воронеж 2005 г.

РНБ Русский фонд

2007-4 17037

1 б ФЕВШ i: i 11

Содержание Введение

Глава 1 Необходимые сведения из математической теории оптимального управления

§ 1. Основные определения и понятия

§ 2 Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра

§ 3 Принцип квазимаксимума

Глава 2. Модель хищник - жертва, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 1 Постановка задачи. Краевая задача принципа максимума Л. С. Понтрягина

§ 2 Особое оптимальное управление

§ 3 Дискретная задача

§ 4 Влияние параметров задачи на оптимальное решение

Глава 3. Модель хищник - жертва, описываемая системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

§ 1 Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра

§ 2 Необходимые условия оптимальности

§ 3 Исследование общей модели хищник - жертва.

§ 4 Постановка задачи. Необходимые условия оптимальности.

§ 5 Модель хищник - жертва. Управление отловом хищников и коэффициентами прироста жертв.

В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии на современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из первых работ в области математической экологии была работа А. Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 -1963/) В настоящее время уравнения, описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки - Вольтерра.

Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается па информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и её параметры, расширяет возможности математического моделирования.

В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям. В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума JI. С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.

Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.

Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно.

Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.

Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.

Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.

Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счёт внешних факторов, так и за счёт изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.

Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.

В работах [18, 44, 45] исследовались неуправляемые модели типа хищник - жертва, описываемые обыкновенными диф ф ер енциал ьными уравнениями.

Пусть x(t) и y(t) — численность жертв и хищников соответственно. Предположим, что единственным лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда в отсутствие хищников, численность жертв должна расти экспоненциально с относительной скоростью sx, а хищники в отсутствие жертв — также экспоненциально вымирать с относительной скоростью ег.

Коэффициенты st и s2 — коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно.

Пусть V = V (х) — количество (или биомасса) жертв, потребляемых одним хищником за единицу времени, причем к-я часть полученной с этой биомассой энергии расходуется хищником на воспроизводство, а остальное тратится на поддержание основного обмена и охотничей активности. Тогда взаимодействие хищника и жертвы можно записать нелинейной системой дифференциальных уравнений: dx = sxx- V(x)y % (1.1) dt с заданными начальными условиями х(0)=х° у(0)=у° (1.2).

Функцию V (х) обычно называют трофической функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы. Именно эти функции обычно определяются в экспериментальных работах, посвященных изучению хищничества, и к настоящему времени считается установленным, что эти функции обычно принадлежат к одному из следующих трех типов (рис. 1). Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от вида трофической функции. A

VA

Vn 0 x, x О л X a) в)

Рис. 1. Различные типы трофических функций в системе хищник — жертва: а) этот тип характерен для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб; 6) трофическая функция с резко выраженным порогом насыщения характерна для хш 1 даиков-филыраторов (например, многих моллюсков); в) такой тип характерен для позвоночных — организмов, проявляющих достаточно сложное поведение (например, способных к обучению). Аналогичный вид будет иметь трофическая функция, если жертвы могут вырабатывать защитную стратегию (например, прятаться в убежище, недоступное хищникам).

При малых значениях х, например, когда трофические отношения в системе напряжены и почти все жертвы становятся добычей хищника, который всегда голоден и насыщения которого не наступает (ситуация, довольно обычная в природе), трофическую функцию V (х) можно считать линейной функцией численности жертв, т. е. V(x) -fix. Кроме того, предположим, что к = const. Тогда система (1.1) перепишется в виде:

Система дифференциальных уравнений (1.2) называется классической моделью хищник — жертва типа В. Вольтерра. Эта система имеет интеграл вида dx -■ ь\х - р ху,

1.2). = к(3 ху - е2у dt f x V2 f r V1 e e

J' J C,

1.3) где X~x/x*, Y=y/y*, x* =s2 /kf3, у = alp. Если x0, yo - начальные значения численности жертв и хищников соответственно, то значение постоянной С определяется равенством

С = Ч/ л Ei ( У Л е/х У д /У

V / \ У 0 и уравнение (1.3) описывает семейство вложенных друг в друга кривых, соответствующим фазовым траекториям периодических решений системы (1.2). При увеличении С амплитуды колебаний х и у возрастают,

Orj+r,) при минимальном значении С* =е эти кривые стягиваются в точку (х*,у*).

Несмотря на то, что модель Вольтерра смогла объяснить многие реально наблюдавшиеся явления, у нее есть большой недостаток — не грубость (в математическом смысле этого слова) вольтерровских циклов, так что при любых сколь угодно слабых, возмущениях фазовых координат система переходит с одного цикла на другой. По-видимому, более адекватные модели должны обладать свойством «грубости».

С точки зрения теории устойчивости, состояние равновесия системы (х*, у*) это состояние безразличного равновесия, устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически. Отсутствие асимптотической устойчивости равновесия указывает на то, что в вольтерровской системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее нетривиальное равновесное состояние.

Уже из простейшего анализа вольтерровской модели, можно заключить следующее. Например, в отсутствие хищников численность жертв может неограниченно возрастать. В действительности этого не происходит, поскольку любая популяция существует в условиях ограниченности ресурсов (пища, пространство и т. п.), что и лимитирует ее численность. С другой стороны, количество жертв, потребляемых в единицу времени хищником, может возрастать до бесконечности при возрастании численности жертв, что тоже неверно, поскольку существуют чисто физиологические ограничения.

Введение в вольтерровскую модель внутривидовой конкуренции среди жертв, возникающей из-за ограниченности ресурсов, делает модель «грубой», но колебания численностей становятся затухающими. Дифференциальные уравнения описывающие модель в этом случае имеют вид dx 0 2 = £jX — рху — УуХ , dtd , (1.4)

-= кВху — £тУ dt 2 где слагаемое угх2 описывает внутривидовую конкуренцию. Легко видеть, что в отсутствии хищников предельное значение численности жертв равно .г = еу . Последняя система имеет У1 единственное нетривиальное положение равновесия в точке (х*;у*): Sry

X =■

У = к/3 kjs2

В диссертационной работе рассматриваются управляемые модели типа хищник - жертва на отрезке времени [0,Т]. Введем в модели (1.4) управление, с помощью которого осуществляется отлов хищников и жертв. Пусть uj(t) - часть жертв, подлежащая отлову; u2(t) - часть хищников, подлежащая отлову в момент времени t тогда uj(t)x(t) — отлов жертв, a n2(t)y(t) - отлов хищников в единицу времени. В этом случае динамика управляемой модели хищник — жертва описывается следующей системой дифференциальных уравнений dx 2

-= SxX-p X}' — ухх -llxx dt dy 1 п = kpxy-e7v - и 7 у dt

1.5) с заданными начальными условиями х(0)=х , у(0)=у° На функции управления обычно накладываются ограничения, связанные с техническими возможностями и с необходимостью сохранения популяции:

О <и,<й, / = 1,2, t е [о, т\.

Возможен и другой способ управления, при котором управлением является величина отлова хищников и жертв соответственно в единицу времени ut , i—1,2. В этом случае управляемая система примет вид dt xy — sny — u2 dt

1.6) x(0) = x° , y{0) = 0<ui<um, i = 1,2

Модель Вольтерра можно обобщить для п особей, как это сделано в главе 3, например, для трех видов особей, численность популяции которых равна x(t), y(t), z(t) соответственно. В этом случае Взаимодействие особей описывается следующей системой дифференциальных уравнений. где £;, i = 1,3 прирост биомассы i — го вида; параметры a,fi,y -характеризуют межвидовую конкуренцию, а ст.,/' = 1,3 отвечают за внутривидовую конкуренцию.

Учитывая отлов и естественную смертность популяции, в систему (1.7) можно ввести управления, которые характеризуют отлов популяции в единицу времени, при этом на управление наложены суммарные ограничения, а сама функция управления характеризует часть отлова популяции в единицу времени: х = x(sl - Ру — a-jX — yz) У = Яе2 + fix - сг2у - аут), z = z(eз + ay + рс - cr3z)

1.7)

X = - Ру — СТjX — y = y(s2 + fix-a2y-ayz-u2) z = z{£j + ay + yx - cr3z — u3)

1.8) 3 и, >0 i=i где х(0), у(0), z(0) заданные начальные состояния системы, или аналогично (1.6) управляемая модель в случае трёх взаимодействующих особей описывается системой: х = x(st - f5y - <зхх y = y(s2+/3x-(T2y-ayz)-u2^ ^ ^ z = z{si +ау + рс- cr3z)-u3

О <Щ<ит, /=1,2,3 t е [О,Г]

Заметим, что наряду с отловом популяции в этих моделях может учитываться также естественная смертность.

Выбор критерия управления зависит от цели. Это может быть и переход системы из одного устойчивого состояния х(0), у(0), z(0) в другое х(Т), у(Т), z(T) за минимальное время с минимальными затратами или получение максимальной прибыли от продажи того или иного вида популяции, и др.

В математических моделях, описывающих двувидовые взаимодействия, игнорируется возможность неоднородного размещения популяций в занимаемой ею части пространства. Такие модели служат лишь первым приближением к реальности. В действительности условия проживания популяции никогда не бывают одинаковыми в разных частях ареала. Кроме того, даже для пространственно однородной среды обитания всегда существенны чисто биологические причины скопления и разрежения представителей популяции: инстинктивные поведенческие мотивы собирания их в стаи и стада, сезонные изменения в природе и т. д.

Более точным математическим описаниям двувидовых взаимодействий, учитывающим неравномерность распределения численности популяций на занимаемых территориях, соответствует система уравнений в частных производных.

В основу классификации всевозможных типов межвидовых отношений может быть положена принадлежащая Ю.Одуму идея классифицировать взаимодействие между видами по тому влиянию, которое это взаимодействие оказывает на численность взаимодействующих популяций. Так, например, тип взаимодействия при котором рост численности каждого вида подавляет численность остальных видов, называется конкуренцией. Если прирост численности взаимодействующих видов положительно влияет на каждый из них, то тип взаимодействия -симбиоз (или мутуализм). Если же рост численности одного вида подавляет прирост второго, а рост численности второго вида стимулирует прирост первого, то взаимодействие классифицируется как хищник - жертва (или паразит - хозяин, или травоядные — растения и т. п.). Взаимодействие, при котором один из видов извлекает выгоду, не принося другому ни вреда, ни пользы, называют комменсализмом.

Характер влияния одного вида на другой можно изображать одним из знаков: +(стимулирующий), -(угнетающий) или О (нейтральный). Тогда классификация парных взаимодействий состоит, очевидно, из шести основных типов: симбиоз (мутуализм), — конкуренция,

- хищник — жертва, -0 аменсализм,

0 комменсализм, 00 нейтрализм.

Пусть у число, знак которого и абсолютная величина отражают соответственно характер и интенсивность влияния j- го вида на /- й вид, тогда /. - показатель внутривидового взаимодействия /- го вида. Квадратную матрицу Г = jy;j j|, отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей сообщества.

Анализ динамики сообщества с матрицей Г должен опираться на некоторую систему уравнений относительно функций Ni(t), аппроксимирующих численность видов сообщества. Чтобы составить эту систему уравнений, рассмотрим сообщество, структура которого изображена на рисунке.

Солнечная энергия

Рис. Структура взаимодействия между видами

Компоненты сообщества разобьём на группы: Продуценты с биомассами (или концентрациями) х,-(г=1,2, .,р) - это в основном зелёные растения, способные преобразовывать световую энергию в собственную органическую биомассу и использовать в пищу простые минеральные вещества.

Консументы с биомассами Vj (j-l,2,.,q) - это животные, питающиеся продуцентами и другими организмами, а также разлагатели, расщепляющие мёртвую органику на простые вещества, которые используются продуцентами.

Субстракты с биомассами ск (к=1,2,.,р) - это абиотические вещества (в основном продукты жизнедеятельнос ти консументов), используемые продуцентами.

Вся цепь превращений органических веществ от растений к разного вида животным - это так называемая трофическая (пищевая) цепь. Каждый живой организм в процессе питания преобразует органическое вещество и передаёт его дальше по цепи. Любая биомасса, как и любой человек, рано или поздно погибает и, разлагаясь, превращается в более простые химические соединения. Почва помогает попавшим в неё веществам и элементам, потребляемыми животными, снова включиться в природный круговорот.

Составим уравнения, отражающие баланс масс каждой из компонент xb yj, ск. По сути дела, балансовые уравнения есть не что иное, как законы сохранения масс. Эти уравнения имеют вид:

Иг / \ q [К -D'xК - Е v„у, + Rх, i = 1,2,.,р, (1.10)

L = (F; -Dfo-^Vby, +Ry, j = 1,2,.,q, (1.11) at s=i r+R<> k=(i.i2) dt J=\ ы и называются уравнениями экологического баланса. Здесь F* и D' - функции рождаемости и смертности продуцентов и консументов (с соответствующими нижними индексами); Vy -функции выедания, описывающие скорость потребления биомассы /- го вида - продуцента единицы биомассы j- го консумента; vjs функции выедания j- го вида 5-м (среди консументов); Wki функции выедания к- го субстракта j-м видом - продуцентом; Ukj -интенсивность производства к- го субстракта j- м консументом; Rx,

Ry , Rc - сумма входных и выходных потоков соответствующих компонент. Естественно, что все эти функции зависят от параметров внешней среды (от сезонно изменяющейся влажности, температуры и т. п.).

Такая модель в целом правильно описывает балансовые соотношения в наземных экосистемах, однако она страдает излишней общностью, не позволяющей использовать её для исследования конкретных систем. Поэтому необходимо, исходя из различных биологических соображений, конкретизировать вид входящих в модель функций с помощью подходящего выбора коэффициентов, являющихся, вообще говоря, функциями компонент, входящих в систему.

Если предположить, что рождаемость продуцентов не ограничена ни светом, ни минеральным питанием, а ограничена лишь физиологическими пределами, то F[ = const. Поскольку компоненты - субстракты в этом случае не оказывают влияния на динамику остальных компонент, то в уравнениях экологического баланса можно рассматривать только уравнения (1.10) и (1.11). Вводя масштабные преобразования переменных

N, = aixi (/ = 1,2,., р), Nj = Ъ.у} (J = 1,2,., q) при довольно естественных предположениях о коэффициентах прироста и смертности, а также скоростях преобразования биомасс, можно преобразовать уравнение экологического баланса к виду где st - скорость естественного прироста или смертности /го вида в отсутствии всех остальных видов, Г = ||/,;|| - матрица сообщества, n=p+q — порядок матрицы Г. dN;

L / = 1,2,.,и

1.13) dt

V J=l

В диссертационной работе исследованы различные типы управляемых моделей хищник - жертва.

Во второй главе рассматривается модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой оптимальное управление процессом отлова выбирается из условия максимума прибыли и сохранения популяции на заданном уровне. Формализованная задача оптимального управления состоит в максимизации функционала

Т 2

1.14)

О '=1 выражающего прибыль от использования популяции хищников и жертв. где р., i —1,2 - стоимость популяции, с, - стоимость использования технических средств.

Динамика популяции хищников и жертв описывается системой дифференциальных уравнений: iV, (0 = * д (о - rM W2 00 - гi^i (0 - «! (r)iv, (О

Аг2 (0 = -^2iV2 (0 + у2 N\ (t)N2 (t) - и 2 (t)N2 (t) с заданными начальными условиями и ограничениями:

0) =Nю, N2(0)=N2o, Nt (T)=Ab i=l,2 (1.16) и с двумя типами ограничений на функции управления: а) 0 < u;{t) < bt, (1.17) б) 0 <ux(t) + u2(t) < В, и. >0,i = 1,2, t е [О,Г].

Для этой задачи строится оптимальное управление, исследуется влияние параметров задачи на оптимальное решение, анализируется возможность возникновения особых оптимальных управлений.

В третьей главе исследуется общая задача типа хищник -жертва, которая описывается системой п- интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Требуется найти минимум функционала Т

1{и) = X \[aiPi (t)h {yt (0) - c(y{i))\i{t)dt +

1 о ±Mi(yi(T) - А,)2! -+mf

1=1 при динамических ограничениях

0 - Z (t)yj (0 - X b{j (/) jX7 (/ - s)y(s)ds

1.18)

7-1 7=1

1.19) с заданными начальных условиями и скалярным управлением удовлетворяющим ограничению

0 <u{t)<b, t е [0;Г] (1.20)

Для этой задачи выписываются необходимые условия оптимальности управления, краевая задача принципа максимума, приводятся численные методы и алгоритмы построения приближённого оптимального решения. Рассматривается задача с нефиксированным временем процесса, для которой получены условия оптимальности и разработаны методы построения приближённого решения.

В четвёртом параграфе третьей главы рассматривается задача управления отловом хищников и жертв с целью минимизации затрат на отлов и сохранения популяции на заданном уровне At, i=l,2. Требуется найти минимум функционала

J(u) = s0)±u*(t)dt + tsXyXT) - АУ (1-21) о 1=1 ы где sl >0, i = 0,1,2, заданные весовые коэффициэнты.

Динамика взаимодействия описывается системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

У1(О - У\(О

V к J

У2 (0 = -»2 (0у3 (О + РУг (О j* - r)dT

1.22) с начальными условиями:

2 (0 = 720 (0, /e[-v,0]

Рассматриваются два типа ограничений на управления а) < и,(0 < Д., / = 1,2, * е [О,Г], (1.23) б) а<их (0 + w2 (Г) < 6, ui > 0, i = 1,2, t е [0,Г]

В пятом параграфе третьей главы управление осуществляется не только отловом, но и коэффициентами прироста жертв и хищников. Формализованная задача состоит в минимизации функционала т=в„ JE (о^+Z ^ fc со - д- )2, (i-24) о 1=1 1=1

При ограничениях: х, (о = х, (Ои, (0(i - (0"3 (0) - оос1 (t)x2 (О,

1.25) х2 (0 = —и2 (0*2 (0 + fix2 (О J*1 (j)G(t - r)dr. о и.(О > а., г = 13, * е [О,т] (1.26)

Для поставленной задачи сформулирован принцип максимума, найдено оптимальное управление, разработан численный метод и реализован алгоритм построения приближённого оптимального решения.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М., Наука: (1979).

2. Андреева Е. А., Евтушенко Ю. Г. Численные методы решения задач оптимального управления для систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями типа Фредголъма// Модели и методы оптимизации. 1989. № 1. С. 4 -4 13.

3. Андреева Е. А., Дждеед М. А. Модель оптимального использования природных ресурсов // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000. С.

4. Андреева Е. А., Дждеед М. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными и интегродифференциальными уравнениями. ТвГУ Тверь 2003. 100 стр.

5. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Тверь, 2001.

6. Андреева Е. А., Колмановский В.Б., Uleiixem Л.Е. Управление системами с последействием. М. , 1992.

7. Андреева Е. А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь, 1999.

8. Андреева Е. А. Управляемые модели, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1999. с 9-18.

9. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. Москва, Наука: (1969), 408с

10. Васильев А. Б., Тихонов А. Н. Интегральные уравнения. М. Наука: 1989.

11. Ф. П. Васильев. Численные методы решения задач оптимизации. Наука, Москва (1981).

12. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач //М. Наука. 1980.1в.Величенко В. В. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями II Автоматика и телемеханика. 1966. №7. С. 20-30.

13. Винокуров В. Р. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными уравнениями II Изв. высш. уч. заведений. Сер. ма-тем. 1967. Т. 62, №7. С. 21-33.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. -288 с.

15. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и дифференциальных уравнений. М., 1982.

16. Вольтерра, Перес On some extremal problems in the theory of differential equations with applications to the theory of optimal control, J. Soc. Indust. Appl. Math, ser. A, Conti-ol 3 (1965), 106- 128.

17. P. Габасов. О необходимых условиях оптимальности для особых управлений. Известия Академии наук СССР. Техническая кибернетика, 5(1968), 34-43.

18. Габасов Р. Ф., Гусакова К. Л. Принцип максимума для общих дискретных систем II Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7,№9. С. 1581 -1590.

19. Габасое Р. Ф., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, 1974.

20. Рамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах, ДАН СССР, 1962, 143, No6, 1243 1246.

21. Глушков В. М. Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование развивающихся систем. М, 1983.

22. В. PI. Гурман. Модели управления природными ресурсами // М. Наука. 1981

23. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. М., 1988.

24. Дждеед М. Задача оптимального управления системой, описываемой интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Тверь 2001. Сборник 300 лет математике в России. Оптимальное управление динамическими системами. Стр. 41 -51.

25. Заславский Б. Г., Полуэктов Р. А. Управление экологическими системами. -М.: Наука, 1988. 296 с.

26. Колмогоров А. Н. Качественное исследование моделей динамики популяций. // Проблемы кибернетики. -1972. - Вып. 25 С. 100 — 106.

27. Костищш В. А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата. М: Наука, 1984. 96 с.41 .Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

28. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 368 с.АЪ.Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.,-1972.

29. Петросян Л. А., Захаров В. В. Введение в математическую экологию. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. -222 с.

30. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматггаз, 1961.

31. Полуэктов Р. А., Пых Ю. А., Швытов И. А. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. —288 с.

32. Свирежев Ю. М, Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических сообществ. — М.: Наука, 1972 159 с.

33. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Наука, 1978, 352 с.

34. Тимофеев — Ресовский Н. В. Популяции, биоценозы и биосфера Земли. // Математическое моделирование в' биологии. - М.: Наука, 1975, С. 19 - 29.

35. Фёдоров М. П., Романов М. Ф. Математические основы экологии. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 156 с.

36. Флеминг У., Ригиел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами М.Мир 1978, 316 с.

37. Харатишвилли Г. Л. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием II ДАН СССР. 1961. Т. 136, № 11. С. 39-42.ЪЪ.Хейли Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. М„ 1984.

38. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. Мир 1975, 534 с.55 .Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Ю. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.,Наука 1971.

39. Clarke F. Н. The Generalized problem of Bolza, SIAM J. Control Optim.

40. Clarke F. H. Necessary conditions for a general control problem, Proc. Of International Sysposium on Calculus of Variations and Optimal Control, University of Wisconsin, Sept. 22 — 24, 1975 (D. L. Russell, editor), Academic Press, New York.

41. Federer H. Geometric measure theory, Springer Verlag, New York,1971.59 .Holling С. S. The functional response of predators to prey desity and its role in mimiery and population. // Men. Ent. Soc. Canada, 1965, vol 45.-P. 1-60.

42. Murray J. D. Some simple mathematical models in ecology. // Math. Spektrum. 1983 - 1984, vol. 16, №2. -P. 48- 54.вЪ.Мокроу M. E. Introduction to Measure and Integration, Addison -Wesley,Cambridge, Massachusetts, 1953

43. Rishel R. W. An extended Pontiyagin principle for control systems whose control laws contain measures, SIAM J. Control 3 (1965), 191 — 205.

44. Vinokurov V. R., Optimal Control of Processes Described by Integral Equations, I, 11, III, SIAM Journal on Control, Vol. 7, pp. 324 355, 1969.

45. Warga J. Necessery conditions without differentiability assumptions in optimal, J. Diff. Eqs. 18 (1975), 41 62.61 .Krasnosel'skii M. A. Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations, The Macmillan Company, New York, New York, 1964.

46. Angell T. S. Existence Theorems for a Class of Optimal Control Problems Involving Functional Differential Equations, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 7, pp. 149—169, 1971.

47. Angell T. S. Existence Theorems for Hereditary Lagrange and Mayer Problems of Optimal Control, SIAM Journal on Control (to appear)

48. Angell Т. S. On the Optimal Control of Systems Governed by Nonlinear Equations, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 19, №1, 1976.

49. Farkas, M., Freedman, H.I. 1989. The Stable Coexistence of Competing Species on a Renewable Resource. J. Math. Anal. Appl. 138: 461-472.

50. Farkas, M., Freedman, H.l. 1989. Stability Conditions for Two Predators One Prey Systems. Acta Appl. Math. 14: 3-10.

51. Farkas, M. 1990. On the Stability of One-Predator Two-Prey Systems. Rocky Mountain Journal of Mathematics 20(4): 909-916.

52. Freedman, H.L, Waltman, P. 1984. Persistence in Models of Three Interacting Predator-Prey Populations. Math. Biosci. 68: 213-231.

53. Gurtin, M.E., Levin, D.S. On Predator-Prey Interactions with Predation Dependent in Age of Prey. Math. Biosci. 44: 207-219.