автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы формализации и обработки нечеткой экспертной информации

На правах рукописи

ПОЛЕЩУК ОЛЬГА МИТРОФАНОВНА

Методы формализации и обработки нечеткой экспертной информации

Специальность 05 13 01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Московском государственном университете леса

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Домрачев Вилен Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Иванников Александр Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Пярнпуу Аарнэ Антонович

доктор технических наук, профессор Солодовников Игорь Владимирович

Ведущая организация Институт проблем управления

им. В.А.Трапезникова РАН

Защита состоится 16 апреля 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.146.04 Московского государственного университета леса по адресу: 141005, Мытшци-5, Московская обл., 1-ая Институтская ул., д. 1, МГУЛ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета леса.

Автореферат разослан_марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Тарасенко П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решения многих народнохозяйственных задач (наука, техника, экология, образование, медицина и т. д.) опираются на информацию, полученную от экспертов. Эффективность использования этой информации непосредственно зависит от мощности современного аппарата формализации и обработки экспертной информации, важность совершенствования и развития которого трудно переоценить.

Информация, поступающая от экспертов, может содержать, как четкие данные, так и нечеткие. Последних объективно много по причине того, что эксперты, оценивая признаки и выражая свои знания, используют в рамках профессионального языка лингвистические значения этих признаков (например, технологичность - низкая, интерфейс - удобный, квалификация - высокая, соответствие — полное, вероятность - большая и т.

Д.).

Экспертная информация с нечеткими данными (то есть нечеткая экспертная информация) трудноформализуема в рамках традиционных математических формализмов. Для количественных признаков возникают скачкообразные переходы от одного лингвистического значения к другому, в связи с чем плохо описываются объекты с пограничными физическими значениями этих признаков. При отображении лингвистических значений качественных признаков на числовые элементы порядковых шкал информация огрубляется, теряется та ее ценная составляющая, которая характеризует индивидуальный опыт и знания эксперта. Попытки формализации нечеткой информации на основе классических и субъективных вероятностей не принесли успеха в связи с известными ограничительными требованиями их использования.

Модельный подход на основе аппарата теории нечетких множеств позволил устранить недостатки традиционных формализации нечеткой экспертной информации. С точки зрения этого подхода моделями экспертного оценивания признаков служат семантические пространства, термы которых соответствуют уровням вербальных шкал, используемых для оценивания признаков.

Успешное развитие теории нечетких множеств и ее приложений обеспечило признание этой теории, но выявило также и проблемы, требующие своего решения.

Этап формализации нечеткой информации на основе семантических пространств является фундаментом, на которых строятся методы обработки информации непосредственно в рамках аппарата теории нечетких множеств. Эти методы используются для разработки экспертных систем, интеллектуальных систем поддержки принятия решений, анализа данных и управления сложными процессами.

Однако субъективное и приближенное представление значений функций принадлежности термов семантических пространств может приводить к неадекватности нечетких моделей субъективным суждениям и исходным данным. Широкое использование такого представления диктует необходимость усиления разработок, направленных на повышение адекватности как самих моделей формализации, так и нечетких моделей на их основе.

При формализации экспертной информации требования к моделям формализации, как правило, формулируются в рамках каждой конкретной задачи, а качество, построенных моделей зависит от опыта и искусства исследователей. Причиной такой зависимости, по-видимому, является не только то, что методы формализации ограничены как способами получения информации от экспертов, так. и видом информации, но и отсутствие общих естественных требований к функциям принадлежности используемой для формализации совокупности нечетких множеств.

Проведенные Аверкиным А.Н., Алексеевым А.В. и Рыжовым А.П. исследования свойств семантических пространств, направленные на повышение адекватности моделей экспертного оценивания признаков и их полезности для решения практических задач, позволили обоснованно сформулировать такие требования и на их основе определить количественный показатель качества семантических пространств, названный степенью нечеткости.

Тем не менее, вне рассмотрения оказались методы построения семантических пространств, обеспечивающие практическое выполнение сформулированных требований.

Не разработаны методы сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков, изучения структурного состава их множеств и построения обобщенных моделей. Эти методы имеют существенное значение как для обработки нечеткой экспертной информации, полученной из разных источников- при оценивании одного признака, так и для обработки нечеткой экспертной информации, полученной при оценивании качественного признака у разных совокупностей объектов.

Для прогноза лингвистических значений: признаков и анализа зависимостей между признаками используются методы нечеткого регрессионного анализа, которые, находясь в стадии активного развития, значительно расширили область применения методов классического регрессионного анализа. Ограниченность спектра функций принадлежности исходных данных в методах нечеткого регрессионного анализа явилась причиной пробела, частично восполненного построением Таранцевым. А.А. нечеткой регрессионной модели в виде системы классических линейных регрессионных уравнений. При этом актуальной остается разработка регрессионной модели с нечеткими коэффициентами, позволяющей расширить, спектр функций принадлежности исходных

лингвистических значений признаков и соответственно спектр анализируемой нечеткой экспертной информации.

Поэтому, разработка методов формализации и обработки нечеткой информации, позволяющих проводить сравнительный и кластерный анализ моделей экспертного оценивания признаков, строить обобщенные модели, использовать их для прогноза значений признаков и определения количественных показателей качественных признаков, является актуальной научной проблемой.

Основания для выполнения работы. Диссертационные материалы получены в рамках выполнения ряда тем по научно-техническим программам Министерства образования Российской Федерации и при выполнении гранта 01-07-463 Российского фонда фундаментальных исследований.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертации является решение научной проблемы - разработка методов формализации и обработки нечеткой информации, позволяющих осуществлять сравнительный анализ моделей экспертного оценивания признаков, изучать структурный состав их множеств, строить обобщенные модели, использовать построенные модели для прогноза значений признаков и определения количественных показателей проявлений качественных признаков.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи:

• развитие методов формализации нечеткой экспертной информации в рамках количественных и качественных признаков;

• разработка методов сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков и нечеткого кластерного анализа их множеств;

• разработка методов построения обобщенных моделей оценивания признаков в рамках фиксированных множеств их лингвистических значений;

• определение количественных показателей проявлений качественных признаков на основе моделей их экспертного оценивания;

• разработка регрессионной модели, позволяющей использовать формализацию лингвистических значений признаков для анализа зависимостей между этими признаками и прогноза их значений.

Методы исследования.. Для решения поставленных задач использовались методы теории нечетких множеств, нечеткого кластерного анализа, нечеткого регрессионного анализа, вычислительной математики и математического программирования. Для практических исследований использована интегрированная среда «МАТЬАВ».

На защиту выносятся.

1. Методы формализации нечеткой экспертной информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах.

2. Нечеткие бинарные отношения сходства и подобия на множествах формализации экспертного оценивания признаков, построенные на основе впервые введенных попарных сравнительных показателей и показателей согласованности моделей формализации; методы нечеткого кластерного анализа этих множеств.

3. Обобщенная модель экспертного оценивания признака в рамках фиксированного множества его лингвистических значений с учетом различных критериев оптимальности.

4. Нечеткие рейтинговые оценки объектов для одного и нескольких качественных признаков, позволяющие находить количественные показатели проявлений этих признаков.

5. Метод построения линейной комбинированной регрессионной модели, позволяющий использовать формализацию лингвистических значений признаков для анализа зависимостей между этими признаками и прогноза их значений.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими научными результатами.

1. Разработаны методы построения функций принадлежности терм-множеств семантических пространств, повышающие адекватность моделей экспертного оценивания признаков; построена совокупность нечетких чисел для использования их в качестве формализации лингвистических значений признаков; определен аналог показателя надежности для моделей экспертного оценивания признаков.

2. Созданы методы сравнительного анализа разработанных моделей экспертного оценивания признаков; построены нечеткие отношения сходства и подобия на множествах моделей; разработаны методы нечеткого кластерного анализа этих множеств.

3. Разработаны методы определения обобщенных моделей экспертного оценивания качественных признаков и описания в лингвистических термах значений количественных признаков с учетом различных критериев оптимальности; разработан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков по критерию максимина.

4. Построены методы определения нечетких рейтинговых, интервальных (с заданным уровнем доверия), точечных оценок и оценок интенсивности проявлений признаков- для объектов с качественными признаками.

5. Разработана линейная комбинированная регрессионная- модель, расширяющая спектр функций принадлежности анализируемой формализованной экспертной информации; определено новое понятие -«взвешенное множество»; на его основе разработан метод дефаззификации нечетких чисел, включающий построение интервальных агрегирующих показателей для лингвистических значений признаков; определены

аналоги коэффициента детерминации, оценки стандартной ошибки и стандартного отклонения, позволяющие оценивать качество нечетких регрессионных моделей.

Практическая значимость результатов работы.

1. Разработан комплекс инструментальных средств формализации и обработки нечеткой экспертной информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах; результаты диссертации реализованы в разработанной библиотеке программ, названной автором «Fuzzy Expert».

2. Полученные в работе результаты обеспечивают возможность дальнейшего развития практических приложений на их основе и возможность создания новых инструментальных средств. Разработанные методы внедрены и позволили:

- построить оптимальные (в определенном смысле) множества лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств;

- осуществить многокритериальный выбор программных средств на основе нечетко сформулированных предпочтений пользователя;

- опираясь на нечеткую информацию экологического мониторинга, принять адекватные решения о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения г. Москвы;

- построить модели профессионального отбора выпускников вуза и оценивания соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности;

- построить линейную комбинированную регрессионную модель образовательного процесса и обосновать ее преимущество над классической линейной регрессионной моделью.

Достоверность полученных научных результатов подтверждена строгостью математического аппарата, корректным доказательством сформулированных утверждений, результатами практических применений и положительными результатами их обсуждения на международных и российских научных конференциях и симпозиумах.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и используются в следующих организациях.

• ЗАО «Диасофт» - методика построения оптимальных множеств лингвистических шкал, применяемых для оценивания качества программных средств.

• Академия Спецсвязи России — обработка информации образовательного процесса.

• Дочернее государственное унитарное предприятие зеленого хозяйства № 8 ГУЛ «Мосзеленхоз» - методика оценки состояния видов

древесных и кустарниковых растений в рамках экологического мониторинга г. Москвы.

• ЗАО АКБ «Русь-Банк» - методика оценки соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности.

• РГУ им. И.М. Губкина - библиотека программ «Fuzzy Expert» для оценивания качества программных средств в испытательной лаборатории сертификации программных средств; научные результаты при чтении курсов «Методы обработки экспериментальных данных и планирование эксперимента» и «Методы оптимизации»;

• * Всероссийский научно-исследовательский институт проблем вычислительной техники и информатизации - научные результаты в системе сертификации «РОСИНФОСЕРТ».

Апробация. Результаты диссертации прошли апробацию на научных конференциях: VIII Белорусская математическая конференция, г. Минск,

2000 г.; II Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы науки и образования», г. Керчь, 2001 г.; Международные научно-практические конференции «Телематика», г. Санкт-Петербург, 2001, 2002, 2003 г.г.; VI Международная конференция «Математические модели и информационные технологии», г. Краснодар,

2001 г.; ежегодные научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава МГУЛ; ежегодные научно-технические конференции аспирантов и докторантов МГУЛ; Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления» г. Харьков, 2001 г.; II Всероссийский конгресс женщин-математиков, г. Красноярск, 2002 г.; III Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы науки и образования», г. Харьков, 2002 г; Ш, IV Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике, г.Сочи, г. Петрозаводск, 2002, 2003 г.г.; Всероссийская научная конференция по проблемам образования, г. Саранск, 2002 г.; Международная научная конференция «Качество и ИПИ-технологии», г. Москва, 2002 г.; Международная научная конференция «Качество образования» г. Судак, 2003 г.

Публикации. Результаты диссертации изложены в 55 печатных работах, в том числе в 25 статьях, опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах, перечень которых рекомендован Высшей аттестационной комиссией для докторских диссертаций, и в 22 тезисах докладов на международных и Всероссийских конференциях. Список работ приведен в конце реферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка использованных источников из 278 наименований и одного приложения. В работе содержится 51 таблица и 27 рисунков. Общий объем работы 270 страниц, с приложением 278 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, изложены цель и задачи исследования. Определены научная новизна, практическая ценность полученных результатов, основные научные положения, выносимые на защиту. Проведен краткий анализ вопросов, подлежащих исследованию.

В первой главе дан анализ методов формализации и обработки нечеткой экспертной информации на основе семантических пространств, поставлена научная проблема, определены задачи исследования и класс решаемых прикладных задач.

Приведена классификация видов неопределенности и методов их обработки. Рассмотрены шкалы, применяемые для оценивания количественных и качественных признаков, и допустимые преобразования значений этих признаков. Изложены необходимые сведения из теории нечетких множеств, теории нечетких отношений, теории кластерного анализа.

Одним из основных понятий теории нечетких множеств является понятие лингвистической переменной: {Х,Т(Х\и,У,3}, где Х- название переменной; Т{Х)=\Х,,1 — 1,т} - терм-множество переменной X, то есть множество термов или названий лингвистических значений переменной (каждое из этих значений — нечеткая переменная со значениями из универсального множества I})', V- синтаксическое правило, порождающее названия значений лингвистической переменной семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной с названием из Т{Х) нечеткое подмножество универсального множества и.

Термы Х,,1 = 1,т называют понятиями, образующими лингвистическую переменную. Функцию принадлежности нечеткого множества Хг,1 = 1,т, описывающего возможные значения нечеткой переменной с названием традиционно называют функцией

принадлежности понятия Х,,1 = 1,т или функцией принадлежности терма

Семантическим пространством называется лингвистическая переменная с фиксированным терм-множеством

С точки зрения аппарата теории нечетких'множеств семантические пространства служат моделями экспертного оценивания признаков на основе вербальных шкал, уровни которых соответствуют термам этих пространств.

Применение моделей оценивания признаков в экспертных системах, интеллектуальных системах поддержки принятия решений, анализа данных и управления сложными процессами обеспечивает актуальность

совершенствования и развития методов, направленных на повышение адекватности как самих моделей экспертного оценивания признаков, так и нечетких моделей на их основе.

Среди методов построения семантических пространств следует отметить метод Поспелова ДА, Ежковой И.В., состоящий в построении лингвистических термов частотных оценок. Отсутствие формального алгоритма построения функций принадлежности термов является причиной неоднозначности построения и зависимости его качества от опыта и искусства исследователей. Метод Поспелова Д.А., Ежковой И.В. получил развитие в методах Сваровского С. Г. и Ходашинского И.А.

В этих методах не описаны связи между функциями принадлежности термов (предполагается только наличие одного максимума и гладко затухающих до нуля фронтов у функций принадлежности) и отсутствует алгоритм получения непрерывных функций принадлежности на основе их дискретных значений.

Метод построения семантических пространств, разработанный Скофенко А.В., опирается на экспертные оценки типа «приблизительно равно числу А» или «приблизительно в интервале от А до В». Недостатком метода является отсутствие обоснованных требований на связи между функциями принадлежности термов, что не позволяет добиться независимости качества построенных моделей от навыков работы исследователей.

Отсутствуют методы формализации экспертного оценивания качественных признаков на универсальных множествах, элементами которых являются значения интенсивности проявлений этих признаков. Как следствие, отсутствуют методы, позволяющие использовать формализации качественных признаков для определения количественных показателей их проявлений и, тем самым, решать одну из основных задач экспертного оценивания. Актуальность разработки таких методов и их значение для решения практических задач подчеркиваются в работах признанных зарубежных специалистов в области теории нечетких множеств.

Проведенные Аверкиным А.Н., Алексеевым А.В. и Рыжовым А.П. исследования свойств семантических пространств, направленные на повышение адекватности моделей экспертного оценивания признаков и их полезности для решения практических задач, позволили обоснованно сформулировать требования к функциям принадлежности /¿¡{х),! = \,т их

терм-множеств.

1.Для каждого понятия Х1,1 = 1,т существует {?;/0, где 0[ = {х е II: ¿¡¡(х) = 1} есть точка или отрезок.

2. Пусть 01 = {л еи: /¿¡(х) — 1}, т =а,т е убывает слева от и не возрастает справа от

3. = имеют не более двух точек разрыва первого рода.

4. Для каждого х е и существует /,/ = 1,ти: ^(х) * 0.

т

5. Для каждого х еи

Семантические пространства, функции принадлежности которых, удовлетворяют сформулированным требованиям, получили название полных ортогональных семантических пространств (ПОСП).

Первое требование означает, что у. каждого понятия (терма) существует хотя бы один эталон - типичный представитель (степень оттеночной уверенности эксперта в принадлежности типичного представителя соответствующему понятию равна единице). Если эталонов несколько, то они все расположены рядом, а не разбросаны по универсальному множеству.

Второе требование означает, что если объекты «близки» в смысле метрики в универсальном множестве, то они также «близки» в смысле принадлежности к некоторому понятию.

Третье требование обеспечивает возможность обработки нечеткой и четкой информации одновременно с единых позиций, поскольку в качестве функций принадлежности могут использоваться обычные характеристические функции.

Четвертое требование обеспечивает для каждого объекта из универсального множества существование хотя бы одного понятия, которое описывает этот объект с ненулевой степенью принадлежности.

Пятое требование обеспечивает разделимость понятий, образующих семантическое пространство, и исключает использование синонимии или семантически близких, терминов.

Эти требования позволили определить количественный показатель качества информации, поступающей от экспертов и формализованной в моделях экспертного оценивания признаков. Показатель был назван степенью нечеткости ПОСП.

Однако вне рассмотрения оказались методы построения семантических пространств, обеспечивающих практическое выполнение сформулированных требований, или методы построения функций принадлежности терм-множеств ПОСП.

Не разработаны методы сравнительного анализа моделей формализации, анализа внутренней структуры их множеств и построения обобщенных моделей на основе информации, полученной из разных источников.

Требуют развития методы построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков. Как известно, существуют два критерия оптимальности: минимальная степень нечеткости экспертной информации и максимальная согласованность информации при

использовании этих множеств для оценивания признаков. Задача построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков решена только в условиях первого критерия.

Широкое использование моделей экспертного оценивания признаков в экспертных системах, интеллектуальных системах поддержки принятия решений, анализа данных и управления сложными процессами диктует необходимость разработки перечисленных методов с целью повышения адекватности нечетких моделей моделируемым в этих системах процессам. Критерием адекватности, как известно, может служить «естественность» заключений, получаемых на основе этих моделей. Подобный критерий «естественности» является обобщением известного теста Тьюринга.

Существенную роль при анализе нечеткой информации играют методы нечеткого регрессионного анализа, которые, находясь в стадии активного развития, значительно расширили область применения методов классического регрессионного анализа. Ограниченность спектра функций принадлежности исходных данных в методах нечеткого регрессионного анализа явилась причиной пробела, частично восполненного построением нечеткой регрессионной модели в виде системы классических линейных регрессионных уравнений. При этом актуальной остается разработка регрессионной модели с нечеткими коэффициентами, позволяющей расширить спектр функций принадлежности исходных лингвистических значений признаков, анализировать зависимости между этими признаками и прогнозировать их значения.

В результате проведенного анализа сформулированы решаемая в диссертации проблема и постановки задач исследования.

Приводятся выводы по первой главе.

Вторая глава посвящена методам формализации нечеткой экспертной информации на основе ПОСП (методам построения функций принадлежности понятий, образующих ПОСП).

Рассматривается толерантное (Ь—Л)-число Л с функцией

принадлежности

г \

Ь , 0 ^ ^—- <1, а£> О

К. аь ) а1

->1и-

«I «л

и символической записью (й^^ а^вд). Отрезок [ах>а2] называется

интервалом толерантности, а а£ и ак- соответственно левым и правым коэффициентами нечеткости (Ь-В.)-числа 2. Функция

( \ ах — х

•¿1

называется

левой

принадлежности толерантного (Ь-Л.)-числа

называется правой принадлежности толерантного

границей а

границей 2.

функции функция функции

предполагается, что (

при

ак = О

При аь=О

предполагается, что

-а.

- О .При а, = а2 (Ь - Л)-число 2

называется унимодальным.

я у

Если 1(;с) = Д(х)=1-л:, то толерантное число называется Т -числом, а унимодальное число называется нормальным треугольным числом.

Предполагаются выполненными условия:

1) 1(0)=Я(0)=1, ¿(1)=Д(1) = 0,

2) Ь{х) и монотонно убывающие функции на множестве [0,1].

Через Л обозначена совокупность всех толерантных и унимодальных

чисел с условиями 1) и 2).

Элементы совокупности Л названы Л-числами, которые в свою очередь разделены на Л -толерантные и Л -унимодальными числа.

Доказаны утверждения для суммы и произведения Л -толерантных чисел.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Сумма Л -толерантных чисел является Л толерантным числом.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Произведение Л -толерантных чисел является Л толерантным числом.

Разработан метод построения функций принадлежности термов ПОСП на основе апостериорной информации, полученной в результате оценивания качественного признака X у совокупности объектов. В рамках этого метода предполагается, что для оценивания признака используется вербальная шкала с уровнями Х1г1 = 1,т, упорядоченными по возрастанию интенсивностипризнака.

Построение ПОСП с названием X, терм-множеством Т(Х) = {Хх,Хг,...Хт} и универсальным множеством С/ = [0,1] осуществляется исходя из соотношений между относительными частотами а/,1 = 1,т появления объектов, у которых интенсивность признака X

оценена соответственно уровнями Х1у1=1,т, ¿л, =1. Предполагается,

что нечеткие числа ^,/ = 1,»! с функциями принадлежности ^¡(х), 1=1,т, соответствующие термам Х/,/ = 1,»2) являются Л-числами и удовлетворяют дополнительному условию:

1*) Если ■£/(*),Л(х) - нелинейные, то они имеют центральную симметрию относительно точки перегиба.

Построения функций принадлежности нечетких чисел Х1,1 = \,т осуществляются таким образом, чтобы площади фигур, ограниченных графиками этих функции и осью абсцисс, равнялись / = \,т .

Функция принадлежности терма Хт имеет следующий, вид в зависимости от соотношений между числами аи ат.

Функция принадлежности терма имеет следующий вид в

зависимости от соотношений между числами

1. Если а„_, > тах(ат,ат_2), то

fm-2

w-

4. Если

am-l — >ат-2)' T0 Mm-= } •

Причем левой границей функции принадлежности терма Хт_х является функция R{x), а правой границей функции принадлежности терма Xm_i является функция Ь(х). Аналогично ¡лт_,(х) строятся функции принадлежности fit(х), 1 = 2,т-2.

Функция принадлежности терма X] имеет следующий вид в зависимости от соотношений между числами а, и а2.

. Если а, £ а2, то ш .

2. Если а1>а1, то ^(х^^О.а,-~,0,а2 j.

Если число термов ПОСП четное, то правой границей функции принадлежности терма Х1 является функция ¿(х), а если число термов нечетное, то правой границей функции принадлежности терма Х1 является функция И(х).

Метод может быть применен не только в рамках информации, полученной от эксперта непосредственно в результате оценивания им проявлений качественного признака у совокупности объектов, но и в рамках информации, полученной от эксперта на основе его опыта проведения подобных процедур оценивания в прошлом.

Разработан метод построения функций принадлежности термов ПОСП в рамках информации, полученной при оценивании в балльной шкале качественного признака у совокупности объектов. Отличие от описанного выше метода состоит в том, что результаты оценивания используются для их стандартных парных сравнений в рамках уровней вербальной шкалы. Для проведения парных сравнений требуется привлечение эксперта. Метод позволяет не только построить ПОСП, терм-множество которого соответствует уровням вербальной шкалы, но и каждому из полученных результатов балльного оценивания поставить в соответствие один из этих уровней.

В рамках разработанного метода дискретные значения функций принадлежности терм-множества определяются на основе координат нормированных собственных векторов матриц парных сравнений, соответствующих максимальным собственным числам этих матриц. Полученные дискретные значения функций принадлежности интерполируются линейными функциями, в результате чего определяются функции принадлежности -чисел или нормальных треугольных чисел, которые и являются функциями принадлежности терм-множества ПОСП.

Эти методы неприменимы к построению функций принадлежности термов ПОСП для количественных признаков. Поэтому разработаны методы построения ПОСП на основе экспертного опроса, которые в равной мере могут применяться для формализации экспертного оценивания как качественных, так и количественных признаков.

Разработанный метод построения функций принадлежности терм-множества ПОСП на основе прямого опроса единственного эксперта основываеу« на тпм. ото эксперт для каждого терма ппеттттагает типичный интервал \х}, х} | / = 1, т универсального м н о ж е с £/в=а[<г»3&31 а ч е н и е

функции принадлежности соответствующего терма для всех точек этого интервала равно единице). Для некоторых термов типичными могут быть точки, а не интервалы.

Будем считать, что нечеткие числа, соответствующие терм-множеству ПОСП, являются Л--числами с дополнительным условием 1*), которое сформулировано на стр. 11.

Обозначим через = \,т- функции принадлежности термов

Х„1 = 1,т. Тогда

Ап-Д*)- (*т-1>*т-1»Х«-1 ~ Хт-2'Хт ~ Мт{Х) = - *я-1>0).

У функций принадлежности с нечетными индексами левой границей является функция Л(х), правой границей является, функция Ь(х), у функций принадлежности с четными индексами левой границей является функция а правой границей является функция

Метод построения функций принадлежности терм-множества ПОСП на основе прямого опроса группы экспертов отличается от метода построения функций принадлежности на основе прямого опроса единственного эксперта тем, что типичные интервалы определяются с помощью операции - композиции интервалов. Операция г-композиции интервалов гарантирует возможность нахождения типичных интервалов при любых результатах опроса экспертов и определяется через операции объединения и пересечения следующим образом:

Если эксперт по каким-либо причинам затрудняется, определить типичные интервалы для термов ПОСП, то ему предлагается разбить универсальное множество V = \а,Ъ\ на непересекающиеся интервалы, каждый из которых соответствует одному из термов. Обозначим длину интервала, соответствующего терму , / = 1, т через. , / = 1, /и,

т

Построение функций принадлежности терм-множества ПОСП

Ы1

осуществляется в зависимости от соотношений между и

повторяет построения функций принадлежности терм-множества ПОСП для качественных признаков при условии использования вербальных шкал для их оценивания.

Для модели экспертного оценивания признака Х = =

определен аналог показателя надежности

Приводятся выводы по второй главе.

В третьей главе построено множество моделей экспертного оценивания признака и множество формализованных результатов экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов; определены операции для элементов этих множеств; попарные сравнительные показатели; показатели согласованности; построены нечеткие бинарные отношения сходства и подобия; разработаны методы нечеткого кластерного анализа.

Построено множество Е*, элементами которого являются к моделей экспертного оценивания признака с функциями

принадлежности терм-множеств {и1/(х),/ = 1,ти}, г = 1,£. Определены операции на этом множестве: пересечение, объединение, обобщенная сумма, обобщенное умножение на положительные числа:

Определены попарные сравнительные, показатели и показатели общей согласованности элементов множества Е* с универсальным множеством С/ = [0,1]. Если универсальным множеством является отрезок и = \а,Ь\, то для нахождения показателей параметры функций принадлежности элементов множества предварительно необходимо привести к [0,11 по формуле:

Показатель различия в рамках / -го терма двух элементов множества

Е* с функциями принадлежности {/^(х),/ =

,т\1 = \,к, ] = \,к определен как потеря информации между

1

этими элементами в рамках терма

о

Показателем сходства в рамках /-го терма двух элементов множества

Показатель различия двух элементов множества определен как потеря информации между ^ этими элементами

Показателем сходства двух элементов множества назван

Показателем согласованности в рамках 1-го терма двух элементов

множества

Показателем согласованности двух элементов множества назван

Аддитивным и мультипликативным показателями- общей

согласованности элементов множества Е* соответственно названы

1

, и }ттОц, (4 Ми (*)>-. Ми (*))&

-:-

П*

|тшСи11[х),р121{х\...,11И{х))сЬс

ы

|тах(/г1; (х), (х),..., ца (х)>&

Все показатели меняются от нуля до единицы. Доказано утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Нечеткие множества. с функциями

п. пиналлежностисоответственно

| = = = определяют на -Е* нечеткие бинарные отношения

сходства.

Поскольку в общем случае не являются транзитивными, то

транзитивное замыкание = каждого из отношений Яр,р = 1,4

строится объединением композиций этого отношения с собой, определяют на нечеткие бинарные отношения, подобия и

соответственно иерархию разбиений множества моделей экспертного оценивания признака на классы эквивалентности. То есть декомпозиция с помощью подмножеств -уровня на систему обычных

отношении эквивалентности позволяет проводить нечеткий кластерный анализ множества а*.

Построено множество 0*, элементами которого являются формализованные результаты оценивания к экспертами, качественного признака у совокупности объектов. Определены операции на этом множестве: пересечение, объединение, обобщенная сумма, обобщенное умножение на положительные числа.

Пусть М1 = \р"{х\п = 1,//} / = 1,Аг - элементы множества ©*, функция ц"{х) совпадает с одной из функций принадлежности термов ПОСП Х1={]и11(х),1 = 1,т}, построенного по информации, полученной от /-го эксперта, N - число объектов оцениваемой совокупности.

Определены попарные сравнительные показатели и показатели общей согласованности элементов множества 0*.

Показателем различия между /-ыми ] -ым элементами множества ©*

назван ¿(Л/(,Му) = 1 = =

Показателем сходства между 1-ыми /-ым элементами множества ©* назван

Показателем согласованности между элементами

множества назван

Аддитивным и мультипликативным показателями общей согласованности элементов множества соответственно названы

Все показатели меняются от нуля до единицы. Доказано утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Нечеткие множества Л^Л^ с функциями принадлежности соответственно (М,, ) = , (Л/,, М; ) = ,

= 7 = определяют на ©* нечеткие бинарные отношения сходства. Транзитивные замыкания нечетких бинарных отношений

сходства определяют на нечеткие бинарные отношения подобия

и позволяют проводить нечеткий кластерный анализ множества 0*.

Построенные в главе показатели определены на основе функций

„I ь

принадлежности элементов множеств а, и 0 , поэтому они позволяют

проводить сравнительный анализ моделей экспертного оценивания!, признаков и формализованных результатов > экспертного оценивания качественных признаков, а также нечеткий, кластерный анализ их множеств на объективных основаниях. Приводятся выводы по третьей главе.

Четвертая глава посвящена построению обобщенных моделей экспертного оценивания признаков и обобщенных формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов.

•к.

Элементы множества Е обозначены через

Обобщенная модель экспертного оценивания признака в рамках

элементов множества Е обозначена чесез

Х-{/,{х\1 = Щ, /,(*)■ (а[,а1г,а[,а1К\1 =

к■• число экспертов, от которых получена информация.

Сформулировано условие Парето для оптимальной обобщенной модели Х=^(х),1 = 1,т}:

или

пчвС"1/ (х)>Ми (*)) ^ /г (*) (х\м21 (4-> Ма (*))

1=\,к 1-1,к

Разработан м етод построения оптимальной по Парето обобщенной модели экспертного оценивания признака на основе

минимума суммы взвешенных квадратов разностей между параметрами ее функций принадлежности и соответствующими параметрами функций

Е*. Если

принадлежности элементов множества

нечеткие числа,

соответствующие терм-множествам элементов множества

являются

Л -числами, то и нечеткие числа, соответствующие терм-множеству обобщенной модели, являются Л -числами.

Параметры а[, а1г, а\, а'л, I = 1, т функций принадлежности

обобщенной модели X={/)(*)>/ = 1,тя} находятся из условия:

• тт,

/=1(=1

где а>{,1 = 1,к - весовые коэффициенты элементов множества Е*.

Разработан метод- определения весовых коэффициентов элементов множеств Е*и 0* на основе отношений подобия, построенных в третьей главе.

Построен метод определения весовых коэффициентов элементов множества Е* на основе их степеней нечеткости. Согласно этому методу наибольший весовой коэффициент получает элемент с наименьшей степенью нечеткости.

Разработан метод построения обобщенной модели Х=(/"/(х))/ = \,т} на основе минимума потери информации.

Потерей информации при построении обобщенной модели в рамках

множества названо среднее значение потерь информации между —к

элементами множества Е и обобщенной моделью:

1.

к.

К <-1

Предполагается, что терм-множествам элементов множества Е*и терм-множеству обобщенной модели соответствуют Т -числа или нормальные треугольные числа, £/ = [0,1]. Для удобства построения обобщенной модели вводятся новые параметры функций принадлежности:

Так как а^, = 0, ап2 = 0, г = 1, к, а. ам = 1, аш — 1, i = 1, к, то полагается

ап=0,а12=0,

тЗ

аи+п = ааъ' «¿/+12 =аШ'апн ~ап>аип =аН' Т0

для

Поскольку построения

обобщенной модели достаточно определить параметры которые являются решениями оптимизационной задачи:

1 т-1 к к /=1 ¡-1

ч 2{аи~ат+ааг-ап) ,

•тт,

1,

-1, an<am, a¡4 йаа4 ;

an > а,п>ан < au* илиа n< ааз>а м> am

1» ai3 <a¡i3'au >ам

-1, а13>а,п,ац<а,н an ^am>ai* *аа4 илиа níflli3>a í4áaíM

Элементы множества 0* обозначены через

М, = = i = U, = TjJ,

N - число объектов совокупности.

Обобщенный формализованный результат экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов в рамках элементов множества 0* обозначен через М = (х), и = 1, ./v],

Сформулировано условие Парето для обобщенного формализованного результата М:

nMt cAícuAfj

или

тш^^й...,/,;^)^ и" (*) * msxfo" (x),M¡ (х\..., Д {х))Ух е [0,lj и = Щ

Разработан метод построения оптимального по Парето обобщенного формализованного результата М = \¿in{pc),n = l,iv} экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов на основе минимума суммы взвешенных квадратов разностей между параметрами его функций принадлежности и соответствующими параметрами функций принадлежности элементов множества

Е с p"{x),i = l>k,n = l,N т с я функциями принадлежности Л чисел, то и /j"(x)>n = l,N определяются в виде функций принадлежности Л -чисел.

Параметры а",а2,а1,а1^,п = \,Ы функций принадлежности обобщенного формализованного результата находятся

из условия:

[-» ппп,

где б)„1 = 1,к - весовые коэффициенты элементов множества

Разработан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков. Известны два критерия оптимальности: минимальная степень нечеткости экспертной информации и максимальная* согласованность информации при использовании этих множеств для оценивания признаков. Задача построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков решена в условиях первого критерия. В диссертации при решении этой задачи рассматриваются оба критерия.

Согласно разработанному методу формулируются множества лингвистических значений признака. В рамках каждого

множества значений строится множество Е*. Элементами Е* являются модели оценивания или описания этого признака экспертами.

Через Р1р,1 = 1,п — 1,р = 1,к обозначена модель экспертного оценивания или описания признака X р-ым экспертом в рамках терм-множества 7) (ПОСП р-го эксперта с терм-множеством ГД а через /|,г = 1,и-1 обобщенная модель экспертного оценивания или описания признака X в рамках терм-множества Т(. Через £(7]),/ = 1,я —1 обозначена степень нечеткости модели - показатель

общей согласованности моделей Р^р = 1,к .

Для показателя согласованности моделей строится ПОСП с универсальным множеством [0,1], термами «низкий», «высокий» и функциями принадлежности термов Для степени нечеткости

строится ПОСП с универсальным множеством [0,0.5], термами «малая», «большая» и функциями принадлежности термов ^(х),^^).

Вычисляются значения принадлежности показателей согласованности моделей экспертов к терму «высокий» - и значения

принадлежности степеней нечеткости обобщенных моделей к терму «малая» - ^(^(Т])),! = 1,и -1.

Определяются #,=тт[ =

Тогда / -ое множество лингвистических значений признака считается оптимальным множеством, если в,= шах в..

Приводятся выводы по четвертой главе.

В пятой главе изложены методы определения нечетких рейтинговых, интервальных (с заданным уровнем доверия), точечных оценок и оценок

интенсивности проявлений признаков для объектов с качественными признаками.

Разработан метод построения рейтинговых оценок N объектов в рамках качественного признака ■ X. Рейтинговые оценки определяются на основе балльных-оценок к характеристик, составляющих этот признак. Минимальное количество баллов, которыми может быть оценен объект в рамках г -ой характеристики равно нулю, максимальное количество баллов равно 2^ — 1,к. Оценка, присвоенная и-му объекту в рамках г-ой

характеристики обозначена через: нормированная оценка

обозначена через

Пусть Х[,1 = \,т - расположенные по возрастанию интенсивности признака X уровни вербальной шкалы, применяемой для его оценивания. В рамках первого метода второй главы осуществляется построение ПОСП с названием X и функциями принадлежности /х1(х),1 = 1,т термов

Х1,1 = 1,т. Нечеткие числа, соответствующие термам Х,,1-\,т, обозначены через Х/,/ = 1,те. Тогда согласно свойствам функций принадлежности терм-множества ПОСП справедливо равенство:

«Г =«Г =й, и = ЦУ.

Учитывая- свойственную процедуре оценивания нечеткость, нормированные оценки т" в каждом из произведений т"///(/я"^/ = 1,и1 заменены соответственно на нечеткие числа Х/,1 = 1,тя. В результате такой замены получены нечеткие числа

Символами обозначены обобщенные операции умножения и сложения для нечетких чисел.

Нечеткая рейтинговая оценка проявления качественного признака X у

объекта найдена по формуле:

Д, = I»! ® т" ©... © сок ® тпк, где о,.,/ = 1 ,к - весовые коэффициенты, характеристик. Нечеткие числа

= ,Х1 и Хт дефаззифицируются по методу центра тяжести. В результате получаются четкие числа, которые обозначены соответственно через Д,,л = 1,Лг, В1,Вт. Дефаззификацией нечеткого числа называется его отображение в точку или отрезок действительной прямой.

Число Д,,и = 1,ЛГ названо точечной рейтинговой оценкой проявления качественного признака объекта,

Определены доверительные интервалы (с уровнями доверия £а,аб[0,1]) для точных значений нечеткой рейтинговой'- оценки 2n,n = l,N в виде а - срезов ее функции принадлежности.

Нормированная рейтинговая оценка найдена по формуле

—= и названа степенью интенсивности проявления

признаках у и-го объекта п — 1 ,N.

Пусть rfn{x) - функция принадлежности нечеткого множества Д,,

Если л-му объекту, n = l,N необходимо- присвоить один из квалификационных уровней Xi,l-\,m, то предлагается использовать

Jminfo (х),//,(*)>& __,

показатели: = --,1 = 1,m или ст'п = (х)-^¡{xjflx,

Jmax(rjn(x),Ml(x))dx 0

о

Е = тах Л[ = шах а[ ), то вычисляется возможность

/ 1

равенства нечетких чисел

Если у, то и-му объекту, п = 1,ЛГ с возможностью у

присваивается квалификационный уровень

Пользуясь этим методом, можно не только определять рейтинговые оценки объектов в рамках одного качественного признака, но и рейтинговые оценки- объектов- в рамках нескольких качественных признаков при условии использования для оценивания этих признаков балльных шкал.

Разработан метод определения рейтинговых оценок N объектов в рамках- нескольких качественных признаков Xj,j = \,k. Через Хц,1 = \,т} обозначены уровни вербальной шкалы, применяемой для оценивания, признака Xj,j = \,k. Уровни расположены*. в порядке возрастания интенсивности проявления этого признака.

Используя первый метод второй главы, осуществляется построение к ПОСП с названиями Xj,j-=\,k и терм-множествами Ху, l = \,mjtj-=\tk. Функции, принадлежности нечетких чисел = j = l,k,

соответствующих терм-множествам построенных ПОСП, обозначены через щ{х\ I = 1 ,т], ) = 1Д.

Нечеткие числа Ху, 1 = \,т}, ] = 1,к названы оценками объектов.

Оценка «-го объекта в рамках у-го признака обозначена через

Нечеткое число с функцией принадлежности

равно одному из нечетких чисел Х1}, 1 = \,т}, ] = \,к. Весовые

коэффициенты оцениваемых признаков обозначены через

Нечеткая рейтинговая оценка» и-го объекта, п = 1,Ы в рамках признаков определяется в виде нечеткого числа

Д, = ю, ® X" ©... @фк® хпк

с функцией

Мп(Х) =

Е®,^. 1>/*д> 1>х*

/-1 7=1

,и = 1,ЛГ.

Нечеткиечисла = Я, = й), ®ХП ® ...Фго4

Вт=аз1® Хщ! ®... © й>4 ® дефаззифицированы по методу центра

тяжести. Полученные числа обозначены через А„,п = 1,Ы,В1,Вт. Число Ап,п = \,М названо точечной- рейтинговой оценкой проявления качественных признаков

Определены доверительные интервалы (с уровнями доверия £ а, а б [0,1]) для точных значений нечеткой рейтинговой оценки в виде - срезов ее функции принадлежности.

Нормированная рейтинговая оценка, найдена по формуле А,-В,

Е=-

названа средней степенью интенсивности

вт-вх _ __

проявления признаков X] = \,к у п -го объекта п = 1,Ы.

Если каждому из оцениваемых объектов необходимо присвоить один из квалификационных уровней то осуществляется построение

ПОСП с терм-множеством и- далее процедура повторяет

описанную выше процедуру присвоения квалификационных уровней в рамках одного оцениваемого признака.

Разработан метод определения рейтинговых оценок для- к совокупностей объектов в рамках качественного признака X. Для оценивания этого признака применяется вербальная шкала с уровнями.

Нечеткая рейтинговая оценка _/-ой совокупности объектов в рамках признака X определена в виде нечеткого числа с функцией принадлежности

ЛJ=a{®^l^@al®tl2®...®aí®tln>

где а/,/ = 1,/я,У= \,к - относительные числа объектов _/-ой совокупности, отнесенные к /-му уровню вербальной ш к ^(лл),/ы - функции принадлежности терм - множества ПОСП с названием X, построенного по результатам оценивания всех к совокупностей объектов. Нечеткие числа с функциями принадлежности к^] =-\,к,цх,цт дефаззифицированы

и полученные числа обозначены через С],]' = 1,к,ВиВт. Число С},]-\,к названо точечной' рейтинговой оценкой проявления качественного признака совокупности объектов,

Определены доверительные интервалы (с уровнями доверия £а,ае[0,1]) для точных значений нечеткой рейтинговой оценки у-ой совокупности в виде а - срезов ее функции принадлежности Х}.

Нормированная рейтинговая оценка = найдена по формуле С -2?, _

и названа средней степенью интенсивности

Вт~В1

проявления признака X у ] -ой совокупности объектов

Разработан метод определения рейтинговых оценок к совокупностей объектов в рамках нескольких качественных признаков Оценивание признаков производится в рамках вербальных шкал с числом уровней соответственно Относительное число объектов

совокупности, отнесенных при оценивании признака

уровню вербальной шкалы обозначено через

относительное число объектов всех совокупностей, отнесенных при оценивании признака уровню вербальной шкалы

обозначено через Опираясь на данные

кр3,] = \,кр, р = 1,т, построены ПОСП Хр, р = 1,т с функциями принадлежности терм-множеств соответственно

Функция принадлежности нечеткой рейтинговой оценки 1-ой

совокупности объектов в рамках качественного признака у определена

формулой

Весовые коэффициенты оцениваемых признаков обозначены через а)р,р = Ът, |>р= 1.

Функция принадлежности нечеткой рейтинговой оценки /-ой совокупности объектов в рамках качественных признаков

определена формулой _

X, = <и, ® А} Ф...Фй?т ®4т,/ = 1,Аг.

Нечеткие числа с функциями принадлежности Я,, г = 1, &, т? = гг^ ® Ф... Ф й>,„ <£> $, 5 = а\ ® ^ Ф... Ф сат ® ц^ дефаззифицированы и полученные числа обозначены через Д,/ = 1,к,В,С. Число Д-,/=1 ,к названо точечной рейтинговой оценкой проявления качественного признака -ой совокупности объектов,

Определены доверительные интервалы (с уровнями доверия для точных значений нечеткой рейтинговой оценки совокупности объектов в виде - срезов ее функции принадлежности

Нормированная рейтинговая оценка /-ой совокупности объектов в памках качественных признаков Хх.....Хт найдена по формуле

с-в

Приводятся выводы по пятой главе. Шестая глава посвящена развитию»

методов

нечеткого

регрессионного анализа.

Разработан новый метод дефаззификации нечетких чисел, состоящий в построении для этих чисел интервальных агрегирующих показателей.

Известное понятие взвешенной точки для нормального треугольного числа распространено на понятие взвешенной точки для -унимодального числа.

Взвешенной точкой. Л-унимодального числа 3 с функцией принадлежности {Ь,Ь1гЬя) названо число

В = ¡(гЬ-Ь-Чар, + ВГ1{а%)ои1а = Ь + гЪй

1 1 /= \1Г1{а)х1а,г= ¡!Г1(а)а4а.

Определено новое понятие «взвешенное множество» для Л -чисел. Взвешенным множеством Л -числа названо объединение взвешенных точек всех -унимодальных чисел, принадлежащих этому числу. Доказано утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Взвешенным множеством Л-толерантного числа Я с функцией принадлежности /¿}(х)г(а1»а21а£>ая) является отрезок [4>Л2], Ах=а1-1а1, Аг =а2 + гак.

Отрезок [4>4г.1 назван взвешенным отрезкомАтолерантного числа

Доказанное утверждение позволяет определять для нечетких чисел интервальные агрегирующие показатели. Необходимость построения таких показателей определяется тем, что методы дефаззификации нечетких чисел на основе точечных агрегирующих показателей не всегда сохраняют информационные особенности этих чисел, то есть делают, например, неразличимыми унимодальные числа с разными коэффициентами нечеткости или унимодальные числа с толерантными числами.

Доказаны утверждения относительно свойств взвешенных отрезков.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Взвешенный отрезок суммы Л -толерантных чисел равен сумме взвешенных отрезков этих чисел.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Границы взвешенного отрезка произведения Л толерантных чисел определяются линейными комбинациями произведений параметров этих чисел.

Определена мера близости /{а,В)= ^(Л^ -В^ +{Лг -В2)2 для Л

толерантных чисел имеющих взвешенные отрезки соответственно

[4,41 [я„я2].

Изложен метод построения линейной комбинированной регрессионной модели для исходных данных, принадлежащих совокупности Л.

Модель названа комбинированной, поскольку она сочетает в себе элементы нечеткой и классической регрессионных моделей. Как известно, классическая регрессионная модель базируется на методах теории вероятностей и, следовательно, учитывает один из видов неопределенности - случайность. Нечеткая регрессионная модель базируется на методах теории нечетких множеств и, следовательно, учитывает другой вид неопределенности - нечеткость. Односторонний подход к учету заложенной в модели неопределенности явился причиной появления исследований, направленных на разработку комбинированных регрессионных моделей.

Разработанная в диссертации комбинированная регрессионная модель имеет нечеткие коэффициенты и позволяет расширить спектр функций принадлежности исходных лингвистических значений признаков, анализировать зависимости между этими признаками и прогнозировать их значения. Построение модели осуществляется на основе минимума суммы квадратов мер близости между исходными выходными нечеткими

данными и модельными выходными нечеткими данными, определенными выше на основе взвешенных отрезков.

Пусть Г =

чПу

- выходные -толерантные числа с

функциямипринадлежности

^(^{У'ИУЬУЬуя),

входные -толерантные числа с

,т

функциями принадлежности

неизвестные коэффициенты регрессионной модели - Л -унимодальные числа с функциями принадлежности цг¡¡ = ,Ь[,Ь1).

Зависимость между входными и выходными данными находится в виде:

Г = а0+з1Х1+...+атХт.

Определены взвешенные отрезки [.У1'-М».)'2+0,л1,':=1>и для

наблюдаемых выходных данных ?1. Через

у = 1,/и, 1 = 1,«, обозначены взвешенные

отрезки произведений чисел И! и Щ, ] = \,т, г = 1,и. Определены

отрезки

взвешенные

,/ = 1 ,п

+£в1в х, {ь\ь[Х)ь0+гь1+±е!х1{ь<,ь1Л) ' ' 1=1 1 1

модельных выходных данных

Оптимизационная задача ставится следующим образом:

для

Так как

0.

Ь[>0,ь^0,] = 0,т,

(ъ}Я,ъ{)

•тт,

"Л

и в.

"Л

{ь'МЛ)

являются кусочно-

линейными функциями в области является

кусочно-дифференцируемой функцией, и решения оптимизационной задачи находятся с помощью известных методов.

Построены аналоги стандартного отклонения, оценки стандартной ошибки и коэффициента детерминации, позволяющие контролировать качество регрессионных моделей при нечетких исходных данных.

Аналогом стандартного отклонения для выходных наблюдений назван

Аналогом оценки стандартной ошибки назван

i/'(tr)

Аналогом коэффициента детерминации назван HR2 = —-.

if2M

1-1

Разработанный метод применен для построения линейной комбинированной регрессионной модели для неотрицательных исходных данных, представленных Г-числами.

Приводятся выводы по шестой главе.

В седьмой главе изложены примеры практического применения разработанных в диссертации методов формализации и обработки нечеткой информации экспертного оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах.

1. Решена задача определения оптимальных множеств лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств на примере характеристики «завершенность», которая характеризует степень обладания этими средствами всеми необходимыми частями и чертами, требующимися для выполнения своих явных и неявных функций.

2. Построена модель многокритериального выбора программных средств с учетом нечетких предпочтений пользователя. Выбор осуществлялся на основе цены, модифицируемости, изучаемости и завершенности программных средств «Audit Expert» компании «Про-Инвест-ИТ», «ИНЭК-АФСП» компании «ИНЭК» и «1С: АФС» компании «1С», разработанных для анализа финансового состояния предприятия. Сформулированные нечеткие предпочтения пользователя в совокупности с оценками выделенных характеристик позволили принять решение о приобретении программного средства «ИНЭК-АФСП».

3. В рамках нечеткой экспертной информации экологического мониторинга г. Москвы проведен кластерный анализ и найдены рейтинговые оценки состояния 17-ти видов древесных и кустарниковых растений, произрастающих в центре города и на его окраинах. Отсутствие

научно - обоснованных методик анализа такой информации, не опирающихся на предположение о случайности экспертных оценок, существенно ограничивало - возможности ее использования в задачах принятия решений. Анализ, проведенный на основе разработанных в диссертации методов, позволил достоверно оценить устойчивость отдельных видов древесных и кустарниковых растений в условиях интенсивного антропогенного воздействия. Полученные результаты были использованы для принятия решений о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения центра г. Москвы и его окраин. Достоверность этих результатов была подтверждена результатами практических обследований состояния видов растений в 2002-2003 г.г.

4. Разработана новая формула для определения степени аналогичности технических изделий по некоторому параметру на основе функций принадлежности терм-множества ПОСП, построенного на области изменения оцениваемого параметра Предполагается, что оптимальное множество лингвистических значений этого параметра содержит значений. Построение ПОСП осуществляется по методу второй главы на основе прямого экспертного опроса о типичных значениях термов. Типичные значения могут быть указаны одним числом или целым промежутком. В зависимости от этого функции принадлежности терм-множества являются функциями принадлежности унимодальных или Л -толерантных чисел.

Степень аналогичности изделий со значениями параметра соответственно предлагается определять по формуле

Применение этой формулы к конкретным данным позволило получить результаты, согласующиеся с опытом экспертов.

5. Проведен эксперимент на реальной выборке по определению соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности, который показал, что оперирование с функциями принадлежности оценок позволяет извлекать из одних и тех же данных существенно больше информации по сравнению с традиционными методами.

6. Проанализированы результаты оценивания экспертами качества учебной литературы в рамках характеристики «соответствие учебным планам». В связи с малым значением аддитивного показателя согласованности этих результатов и нулевым значением мультипликативного показателя был сделан вывод о возможной некомпетентности (неопытности) части экспертов. Нечеткий кластерный анализ показал наличие двух различающихся между собой кластеров

экспертов. Внутрикластерный анализ позволил выявить достаточную согласованность только внутри одного из кластеров, результаты экспертов которого были выделены для определения обобщенного результата оценивания.

7. Построена модель профессионального отбора выпускников вуза в рамках показателей успеваемости, познавательных психофизиологических и личностных характеристик с учетом нечетких предпочтений. Оперирование с функциями принадлежности лингвистических значений рассматриваемых характеристик позволило не только определить нечеткие рейтинговые оценки и степени интенсивности проявления этих характеристик, а также формализовать требования к выпускникам в рамках различных направлений профессиональной деятельности и выработать оптимальные рекомендации по их распределению.

8. На основе данных успеваемости учащихся по четырем предметам построены классическая и разработанная в диссертации линейная комбинированная- регрессионная модель. Классическая регрессионная модель, построенная по методу наименьших квадратов, имеет вид: У = 0.708 + 0.301Х, + 0.428Х2 + 0.394^, Д = 0.808.

Комбинированная модель построена с четкими и нечеткими коэгЬгЬиттиентами:

7 = 0.352^, + 0.466^2 + 0.133^,5 = 0.454, Я5 = 0.239, ЯД = 0.805,

7 = (0,0.566,0)+ (0.412,0.104,0)Х, + (0.466Д0)Х, + (0.130,0,0)Х3,

5 = 0.454,Ж = 0.213, ЯК = 0.827.

Сравнение показателей комбинированных моделей позволило сделать вывод о преимуществах модели с нечеткими коэффициентами. Составленный прогноз показал, что у классической, комбинированной с четкими коэффициентами и комбинированной с нечеткими коэффициентами регрессий модельные выходные данные соответственно на 60%, 80% и 90% совпадают с исходными выходными данными.

Проведенный на конкретных данных анализ позволил сделать вывод о преимуществах разработанной в диссертации линейной комбинированной регрессионной модели и обоснованно рекомендовать применение этой модели для обработки и достоверного прогноза информации образовательного процесса.

Приводятся выводы по седьмой главе.

В приложение вынесены акты о внедрении результатов диссертационной работы в № 8 ГУЛ «Мосзеленхоз», ЗАО «Диасофт», ЗАО АКБ «Русь-Банк», Академии Спецсвязи России, РГУ им. И.М. Губкина, Всероссийском научно-исследовательском институте проблем вычислительной техники и информатизации.

ЙАЦИОНАЛЬНАЯ [ БИБЛИОТЕКА | С. Петербург

* 09 ЮО »«т '

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем..

1. Разработаны методы формализации нечеткой информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах. Эти методы позволяют повышать адекватность, как моделей экспертного оценивания признаков, так и нечетких моделей, построенных на их основе; обеспечивать полезность этих моделей для решения практических задач; контролировать качество экспертной информации (путем вычисления степени нечеткости ее формализации) и применять аппарат теории нечетких, множеств для дальнейшей обработки этой информации. Построена совокупность нечетких чисел для формализации лингвистических значений признаков. Построен аналог показателя надежности для моделей экспертного оценивания признаков.

2. Разработаны методы сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов. С целью проведения этого анализа построены сравнительные количественные показатели и показатели согласованности для моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов.

3. Построены нечеткие бинарные отношения сходства и нечеткие бинарные отношения подобия на множествах моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов. Построенные отношения использованы для проведения при разных уровнях доверия нечеткого кластерного анализа этих множеств и соответственно для изучения их структурного состава.

4. Построена обобщенная модель экспертного оценивания признака на основе минимума потери информации, содержащейся в исходных моделях его оценивания, - и на основе минимума суммы взвешенных квадратов разностей между параметрами обобщенной и исходных моделей.

5. Построен обобщенный формализованный результат экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов на основе минимума взвешенных квадратов разностей между параметрами обобщенного результата и исходными формализованными результатами.

6. Разработан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков, обеспечивающий решение максиминной задачи: минимальная нечеткость при оценивании признаков

и максимальная согласованность экспертной информации при использовании этих множеств.

7. Разработаны методы построения нечетких рейтинговых оценок реальных объектов и совокупностей объектов по одному и нескольким качественным признакам. На основе нечетких оценок найдены точечные значения четких рейтинговых оценок, их интервальные значения с заданным уровнем доверия и количественные значения интенсивности проявлений качественных признаков.

8. На основе определенного понятия» - «взвешенное множество» разработан метод дефаззификации нечетких чисел, позволяющий сохранять информационные особенности лингвистических значений признаков. Для контроля качества регрессионных моделей, построенных на основе нечетких исходных данных, определены аналоги стандартного отклонения, оценки стандартной ошибки и коэффициента детерминации.

9. Построена линейная нечеткая комбинированная регрессионная модель, позволяющая изучать зависимости между признаками в рамках их лингвистических значений и прогнозировать эти значения. Модель названа комбинированной, поскольку она сочетает в себе элементы нечеткой и классической регрессионных моделей. Разработанная модель расширяет спектр функций принадлежности анализируемой формализованной информации и соответственно область применения методов нечеткого регрессионного анализа, поскольку позволяет строить регрессионную зависимость как для исходных унимодальных, так и для толерантных нечетких чисел. Описанная модель может применяться для обработки нечеткой информации, полученной при оценивании как количественных, так и качественных признаков в рамках их лингвистических значений.

10. Результаты диссертации реализованы в авторской библиотеке программ «Fuzzy Expert» и использованы при построении оптимальных множеств лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств. Построена модель многокритериального выбора программных средств с учетом нечетких предпочтений пользователя. Применение разработанных методов для обработки информации экологического мониторинга г. Москвы позволило принять адекватные решения о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения центра г. Москвы и его окраин. На основе результатов диссертации построены модели профессионального отбора выпускников вуза и оценивания соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности. Разработанная в диссертации нечеткая линейная комбинированная регрессионная модель обоснованно рекомендована для анализа и достоверного прогноза информации образовательного процесса.

Основные публикации по теме диссертации

1. Полещук О.М. Предельные теоремы для условного случайного блуждания // Вестник МГУ. Серия математика, механика. - 1993. - № 6. С. 38 - 42.

2. Полещук О.М. Условная предельная теорема для случайного блуждания с нулевым сносом // УМН. - 1995. - Т. 50. - № 2. - С. 219 - 220.

3. Полещук О.М., Рыбников К.К. О формировании образа эталонного специалиста // Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции. - Минск, 2000. - Ч. III. - С. 81.

4. Полещук О.М. Линейная нечеткая регрессионная модель при условии четких входных и выходных данных // Лесной вестник. - 2000. -№4(13).-С. 138-142.

5. Полещук О.М. Выявление существенных показателей при работе с нечеткой информацией // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научные труды. - М.: МГУЛ,

2000. - Вып. 308. - С. 130 -136.

6. Полещук О.М. О применении нечетких множеств в задачах построения уровневых градаций // Лесной вестник. - 2000. - №4 (13). -С.142-146.

7. Полещук О.М. О применении нечеткой кластеризации в моделировании образовательного процесса // Современные проблемы науки и образования. Мат-лы 2-ой международной междисциплинарной научно-практической конференции. - Керчь, 2001. - Ч. 2. - С. 89 - 90.

8. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Рыбников К.К. О построении эталонного образа специалиста // Лесной вестник. - 2001. - № 2(16). - С. 191-193.

9. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В., Рыбников К.К. Нечеткие модели рейтинговых систем оценки знаний // Телематика 2001. Труды Международной научно - практической конференции. - С-Пб.,

2001.-С. 245-246.

10. Полещук О.М. Применение лингвистических переменных в моделировании образовательного процесса // Лесной вестник. - 2001. - № 2(16).-С. 194-195.

11. Полещук О.М. Прогнозная модель показателей качества образовательных услуг на основе успеваемости // Телематика 2001. Труды Международной научно - практической конференции. - С-Пб., 2001. - С. 247-248.

12. Полещук О.М., Рыбников К.К. О некоторых моделях анализа тестирования в образовательном процессе // Ярославский педагогический вестник. - 2002. - № 2 (31). - С. 124 -127.

13. Полещук О.М. Рейтинговая модель оценивания объектов по ряду качественных признаков // Современные проблемы науки и образования. Материалы II Международной научно - практической конференции. -Керчь, 2001. - Ч. П. - С. 90-91.

14. Полещук О.М., Северов М.В. О применении структурного анализа системных связей к изучению междисциплинарных отношений // Лесной вестник. - 2001. - № 5 (20). - С. 197 - 202.

15. Полещук О.М. Построение прогнозных уравнений при нечеткой исходной информации // VI Международная конференция. Математические модели и информационные технологии. Материалы конференции. - Краснодар, 2001. - С. 308.

16. Полещук О.М. О разбиении на нечеткие кластеры по качественной информации // VI Международная конференция. Математические модели и информационные технологии. Материалы конференции. - Краснодар, 2001.

- С. 309.

17. Полещук О.М. Модель рационального распределения обучающихся по группам // II Международная междисциплинарная научно

- практическая конференция. Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления. Тезисы докладов. - Харьков, 2001. - С. 218 -219.

18. Домрачев В.Г., Петров ВА, Полещук О.М. Лингвистические переменные в задачах кадрового отбора // Лесной вестник. - 2001. - № 5 (20).-С. 192-197.

19. Полещук О.М. Применение лингвистических переменных в задаче ранжирования обучающихся // II Международная междисциплинарная научно — практическая конференция. Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления. Тезисы докладов. - Харьков, 2001. - С. 220 -221.

20. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. О применении лингвистических переменных в задачах кадрового отбора // Информационно-измерительная техника, экология и мониторинг. - М.: Изд-во МГУЛ, 2001. - Вып. 2001/1. - С. 554 - 560.

21. Полещук О.М., Ретинская И.В. Построение рейтинговых оценок с использованием полных ортогональных семантических пространств // П Всероссийский конгресс женщин-математиков / Под ред. проф. ОТ.Проворовой. - Красноярск, 2002. - С. 160.

22. Полещук О.М., Ретинская И.В. Задача кадрового отбора и лингвистические переменные // П Всероссийский конгресс женщин-математиков / Под ред. проф. О.Г.Проворовой. - Красноярск, 2002. - С. 162.

23. Полещук О.М. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3 (10). - С. 54 - 72.

24. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О тенденциях развития систем обработки информации в образовательной среде // Качество. Инновации. Образование. - 2002. - № 1. - С. 67 - 69.

25. Полещук О.М. Нечеткие рейтинговые системы в образовательной сфере // Сборник научных статей докторантов и аспирантов Московского государственного университета леса. - М.: Изд-во МГУЛ, 2002. - Вып. 315 (3). - С. 70 - 76.

26. Полещук О.М. Модель прогноза успеваемости обучающихся // Современные проблемы науки и образования. Материалы III международной междисциплинарной научно-практической конференции. -Харьков, 2002.-С. 120-121.

27. Полещук О.М. Выявление существенных признаков при работе с нечеткой информацией // Современные проблемы науки и образования. Материалы III международной междисциплинарной научно-практической конференции. - Харьков, 2002. - С. 121 - 122.

28. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. - 2002. - Вып. 6. - С. 52 - 53.

29. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О присвоении квалификационного уровня // Телематика - 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2002. - С. 286 - 288.

30. Домрачев В.Г., Полещук О.М. Нечеткий метод построения эталонного образа специалиста. Телематика — 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2002. - С. 285 - 286.

31. Полещук О.М. Нечеткий метод наименьших квадратов в регрессионном анализе данных Т -типа // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т.9. - Вып. 2. - С. 434 - 435.

32. Полещук О.М. Изучение междисциплинарных отношений на основе структурного анализа системных связей // Телематика - 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2002. -С. 288.

33. Полещук О.М. Построение рейтинговых оценок с использованием лингвистических переменных // Материалы Всероссийской научной конференции. - Саранск, 2002. - С. 104 -108.

34. Полещук О.М. Нечеткая регрессионная модель прогноза успеваемости обучающихся // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т.9. - Вып. 2. - С. 435 - 436.

35. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса -Лесной вестник. - 2002. - № 5 (25). - С. 198 - 216.

36. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Рыбников К.К. Математические модели сопровождения образовательного процесса // Сборник научных статей докторантов и аспирантов Московского государственного университета леса. - М.: Изд-во МГУЛ, 2002. - Вып. 315 (3). - С. 5 - 8.

37. Домрачев В.Г., Полещук О.М- О построении регрессионной зависимости при исходных нечетких данных Г-типа // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. - 2002. - Вып. 8. - С. 4 -11.

38. Домрачев В.Г., Полещук О.М. Повышение качества образовательных услуг на основе системы индивидуального подхода к подготовке специалиста // Материалы научной конференции «Качество и ИПИ-технологии». - Москва. Фонд «Качество», 2002. - С. 68 - 70.

39. Полещук О.М., Полещук И. А. Нечеткая кластеризация элементов множества полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. -2003.-№ 1(26). -С. 117-127.

40. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. Определение оптимального множества значений лингвистических шкал для экспертного оценивания качества программных средств // Телематика — 2003. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2003. - Т.1. -С. 255-257.

41. Полещук О.М. О развитии систем обработки нечеткой информации на базе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2003. - № 1 (26). - С. 112 -117.

42. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О рациональном распределении учащихся по группам. Телематика - 2003. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2003. - Т. 2, - С. 433 - 434.

43. Комаров Е.Г., Полещук О.М., Фролова В.А. О нахождении рейтинговых оценок состояния видов растений, произрастающих в сложных экологических условиях больших городов // Обозрение прикладной и промышленной математики, - 2003. - Т. 10. - Вып. 1. - С. 175.

44. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О контроле качества образовательного процесса с учетом анализа познавательных психофизиологических характеристик // Первая научная конференция «Качество. Инновации. Образование». Материалы конференции. - Судак, 2003.- С. 80 - 82.

45. Полещук О.М. Об оценке аналогичности технических изделий в рамках некоторого параметра // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т. 10. - Вып. 1. - С. 205.

46. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О выявлении существенных показателей, влияющих на успешность профессиональной деятельности выпускников // Первая научная конференция «Качество.

Инновации. Образование». Материалы конференции. Судак, 2003. - С. 79 -80.

47. Полещук О.М. О применении теории нечетких множеств в задачах обработки информации образовательного процесса // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. -2003. - № 3 (28). - С. 164 - 169.

48. Полещук О.М. О построении рейтинговых оценок на основе лингвистических переменных // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2003. - № 3 (28). - С. 169 -177.

49. Домрачев В .Г., Полещук О.М. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных // Автоматика и телемеханика. -2003.№11.-С.74-83.

50. Полещук О.М., Фролова В.А. Рейтинговые оценки состояния городских насаждений на основе методов теории нечетких множеств // Лесной журнал. - 2003. - № 2 - 3. - С. 7 -14.

51. Полещук О.М. Об одном методе формализации нечеткой информации // Обозрение прикладной и промышленной математики. —

2003. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 724 - 725.

52. Полещук О.М. Построение интегральных моделей в рамках нечеткой экспертной информации // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2003. - № 5 (30). -С.155-159.

53. Полещук О.М. Методы предварительной обработки нечеткой экспертной информации на этапе ее формализации // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. - 2003. - № 5 (30). -С.160-167.

54. Полещук О.М. Применение семантических пространств для экспертного оценивания характеристик качества программных средств и нечеткого многокритериального выбора // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2004. - № 1 (32). -С. 120 -125.

55. Полещук О.М. О библиотеке программ «Fuzzy Expert», разработанной для обработки нечеткой экспертной информации // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. -

2004.-№ 1(32). - С. 126-135.

Отпечатано с готового оригинала Лицензия ПД№ 00326 от 14.02.2000 г.

Подписано к печати £ Формат 60x88/16

Бумага 80 г/м2 "Снегурочка" Ризография

Объем £'-т.л._Тираж/ЙРэкз._Заказ № ■¿ее*

Издательство Московского государственного университета леса. 141005. Мытшци-5, Московская обл., 1-я Институтская, 1, МГУЛ. Телефоны: (095) 588-57-62,588-53-48,588-54-15. Факс: 588-51-09. E-mail: izdat@mgul.aciu

9 - 3635

Введение.

Глава I. Анализ методов формализации и обработки нечеткой экспертной информации на базе семантических пространств и постановка решаемой проблемы.

1.1. Классификация неопределенности и класс решаемых прикладных задач.

1.2. Шкалы и допустимые преобразования.

1.3. Нечеткие множества, лингвистические переменные, семантические пространства и полные ортогональные семантические пространства.

1.4. Обзор методов построения функций принадлежности нечетких множеств и семантических пространств.

1.5. Нечеткие отношения и элементы нечеткого кластерного анализа.

1.6. Обзор методов нечеткого регрессионного анализа.

1.7. Выводы по главе 1.

Глава П. Методы формализации нечеткой экспертной информации.

2.1. Построение совокупности нечетких чисел для формализации лингвистических значений признаков.

2.2. Формализация нечеткой информации, полученной при оценивании качественных признаков в вербальных шкалах.

2.3. Формализация экспертной информации, полученной при оценивании качественных признаков в балльных шкалах.

2.4. Формализация нечеткой информации на основе прямого опроса единственного эксперта.

2.5. Формализация нечеткой информации на основе прямого опроса группы экспертов.

2.6. Формализация нечетких рассуждений экспертов.

2.7. Выводы по главе II.

Глава Ш. Методы сравнительного и нечеткого кластерного анализа формализованной информации.

3.1. Построение сравнительных показателей и показателей согласованности моделей экспертного оценивания признака.

3.2. Нечеткий кластерный анализ множества моделей экспертного оценивания признака.

3.3. Построение сравнительных показателей и показателей согласованности формализованных результатов оценивания качественного признака у совокупности объектов.

3.4. Нечеткий кластерный анализ множества формализованных результатов оценивания качественного признака у совокупности объектов.

3.5. Выводы по главе III.

ГЛАВА IV. Методы построения обобщенных моделей экспертного оценивания признаков.

4.1. Построение обобщенной модели экспертного оценивания признака на основе метода наименьших квадратов.

4.2. Определение весовых коэффициентов моделей экспертного оценивания признака и формализованных результатов экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов на основе отношений подобия.

4.3. Определение весовых коэффициентов моделей экспертного оценивания признака на основе степеней нечеткости.

4.4. Построение обобщенной модели экспертного оценивания признака на основе минимума потери информации.

4.5. Построение обобщенного формализованного результата экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов на основе метода наименьших квадратов.

4.6. Метод определения оптимальных множеств лингвистических значений признаков.

4.7. Выводы по главе IV.

Глава V. Методы определения рейтинговых оценок для объектов с качественными признаками.

5.1. Метод определение рейтинговых оценок объектов в рамках одного качественного признака.

5.2. Определение рейтинговых оценок объектов по нескольким качественным признакам.

5.3. Метод определения рейтинговых оценок совокупностей объектов в рамках одного качественного признака.

5.4. Метод определения рейтинговых оценок совокупностей объектов в рамках нескольких качественных признаков.

5.5. Выводы по главе V.

Глава VI. Развитие методов нечеткого регрессионного анализа.

6.1. Метод дефаззификации нечетких чисел на основе взвешенных множеств.

6.2. Линейная комбинированная регрессионная модель на основе формализации лингвистических значений признаков.

6.3. Линейная комбинированная регрессионная модель на основе нечетких неотрицательных чисел.

6.4. Выводы по главе VI.

Глава VII. Примеры практического применения разработанных методов.

7.1. Определение оптимальных множеств значений лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств.

7.2 Многокритериальный выбор программных средств на основе семантических пространств и нечетких правил вывода.

7.3. Анализ нечеткой экспертной информации экологического мониторинга.

7.4. Определение степени аналогичности технических изделий.

7.5. Оценивание соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности.

7.6 Формализация и обработка результатов экспертного оценивания качества учебной литературы.

7.7. Профессиональный отбор выпускников вуза на основе показателей успеваемости, психофизиологических и личностных характеристик с учетом нечетких предпочтений.

7.8. Сравнительный анализ классической и комбинированной регрессионных моделей образовательного процесса.

7.9. Выводы по главе УП.

Решения многих народнохозяйственных задач (наука, техника, образование, медицина и т. д.) опираются на информацию, полученную от экспертов. Эффективность использования этой информации непосредственно зависит от мощности современного аппарата формализации и обработки экспертной информации, важность совершенствования и развития которого трудно переоценить.

Информация, поступающая от экспертов, может содержать, как четкие данные, так и нечеткие. Последних объективно много по причине того, что эксперты, оценивая признаки и выражая свои знания, используют в рамках профессионального языка лингвистические значения этих признаков (например, технологичность - низкая, интерфейс - удобный, квалификация -высокая, соответствие — полное, вероятность - большая и т. д.).

Экспертная информация с нечеткими данными (то есть нечеткая экспертная информация) трудноформализуема в рамках традиционных математических формализмов. Для количественных признаков возникают скачкообразные переходы от одного лингвистического значения к другому, в связи с чем плохо описываются объекты с пограничными физическими значениями этих признаков. При отображении лингвистических значений качественных признаков на числовые элементы порядковых шкал информация огрубляется, теряется та ее ценная составляющая, которая характеризует индивидуальный опыт и знания эксперта. Попытки формализации нечеткой информации на основе классических и субъективных вероятностей не принесли успеха в связи с известными ограничительными требованиями их использования.

Модельный подход на основе аппарата теории нечетких множеств позволил устранить недостатки традиционных формализаций нечеткой экспертной информации [1-9]. С точки зрения этого подхода моделями экспертного оценивания признаков служат семантические пространства, термы которых соответствуют уровням вербальных шкал, используемых для оценивания признаков [1]. Формализация нечеткой информации на основе этих моделей позволяет использовать аппарат теории нечетких множеств для воплощения в ЭВМ компоненты опыта эксперта, основанной на знании [1,2, 10-35].

Успешное развитие теории нечетких множеств и ее приложений обеспечило признание этой теории, но выявило также и проблемы, требующие своего решения.

Этап формализации нечеткой информации на основе семантических пространств является фундаментом, на котором строятся методы обработки информации непосредственно в рамках аппарата теории нечетких множеств. Эти методы используются для разработки экспертных систем, интеллектуальных систем поддержки принятия решений, анализа данных и управления сложными процессами.

Однако субъективное и приближенное представление значений функций принадлежности термов семантических пространств может приводить к неадекватности нечетких моделей субъективным суждениям и исходным данным. Широкое использование такого представления диктует необходимость усиления разработок, направленных на повышение адекватности, как самих моделей формализации, так и нечетких моделей на их основе.

Требования к моделям экспертного оценивания признаков, как правило, формулируются в рамках каждой конкретной задачи, а качество построенных моделей зависит от опыта и искусства исследователей. Причиной такой зависимости, по-видимому, является не только то, что методы формализации ограничены как способами получения информации от экспертов, так и видом информации, но и отсутствие общих естественных требований к функциям принадлежности используемой для формализации совокупности нечетких множеств [36-42].

Отсутствуют методы формализации экспертного оценивания качественных признаков на универсальных множествах, элементами которых являются значения интенсивности проявлений этих признаков. Как следствие, отсутствуют методы, позволяющие использовать формализации качественных признаков для определения количественных показателей их проявлений и, тем самым, решать одну из основных задач экспертного оценивания. Актуальность разработки таких методов и их значение для решения практических задач подчеркиваются в работах зарубежных специалистов в области теории нечетких множеств [43-44].

Проведенные рядом авторов исследования свойств семантических пространств, направленные на повышение адекватности моделей экспертного оценивания признаков и их полезности для решения практических задач, позволили обоснованно сформулировать требования к свойствам функций принадлежности термов и на их основе определить количественный показатель качества семантических пространств, названный степенью нечеткости [9].

Тем не менее, вне рассмотрения оказались методы построения семантических пространств, обеспечивающие практическое выполнение сформулированных требований.

Не разработаны методы сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков, изучения структурного состава их множеств и построения обобщенных моделей. Эти методы имеют существенное значение как для обработки нечеткой экспертной информации, полученной из разных источников при оценивании одного признака, так и для обработки нечеткой экспертной информации, полученной при оценивании качественного признака у разных совокупностей объектов.

Требуют развития методы построения множеств лингвистических значений признаков, удовлетворяющих критериям оптимальности: минимальная степень нечеткости экспертной информации и максимальная согласованность информации при использовании этих множеств для оценивания признаков. Задача построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков решена только в условиях первого критерия [9].

Широкое использование моделей экспертного оценивания признаков в экспертных системах, интеллектуальных системах поддержки принятия решений, анализа данных и управления сложными процессами диктует необходимость разработки перечисленных методов с целью повышения адекватности нечетких моделей моделируемым в этих системах процессам. Критерием адекватности, как известно, может служить «естественность» заключений, получаемых на основе этих моделей. Подобный критерий «естественности» является обобщением известного теста Тьюринга [45].

Для прогноза лингвистических значений признаков и анализа зависимостей между признаками используются методы нечеткого регрессионного анализа [46], которые, находясь в стадии активного развития, значительно расширили область применения методов классического регрессионного анализа. Ограниченность спектра функций принадлежности исходных данных в методах нечеткого регрессионного анализа явилась причиной пробела, частично восполненного построением нечеткой регрессионной модели в виде системы классических линейных регрессионных уравнений. При этом актуальной остается разработка регрессионной модели с нечеткими коэффициентами, позволяющей расширить спектр функций принадлежности исходных лингвистических значений признаков и соответственно спектр анализируемой нечеткой экспертной информации.

Поэтому разработка методов формализации и обработки нечеткой экспертной информации на основе семантических пространств является актуальной научной проблемой.

Целью диссертации является разработка методов формализации и обработки нечеткой информации, позволяющих осуществлять сравнительный анализ моделей экспертного оценивания признаков, изучать структурный состав их множеств, строить обобщенные модели, использовать построенные модели для прогноза значений признаков и определения количественных показателей проявления качественных признаков.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи:

• развитие методов формализации нечеткой экспертной информации в рамках количественных и качественных признаков;

• разработка методов сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков и нечеткого кластерного анализа их множеств;

• разработка методов построения обобщенных моделей оценивания признаков в рамках фиксированных множеств их лингвистических значений;

• определение количественных показателей проявлений качественных признаков на основе моделей их экспертного оценивания;

• разработка регрессионной модели, позволяющей использовать формализацию лингвистических значений признаков для анализа зависимостей между этими признаками и прогноза их значений.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими научными результатами.

1. Разработаны методы построения функций принадлежности терм-множеств семантических пространств, повышающие адекватность моделей экспертного оценивания признаков; построена совокупность нечетких чисел для использования их в качестве формализаций лингвистических значений признаков; определен аналог показателя надежности для моделей экспертного оценивания признаков.

2. Созданы методы сравнительного анализа разработанных моделей экспертного оценивания признаков; построены нечеткие отношения сходства и подобия на множествах моделей; разработаны методы нечеткого кластерного анализа этих множеств.

3. Разработаны методы определения обобщенных моделей экспертного оценивания качественных признаков и описания в лингвистических термах значений количественных признаков с учетом различных критериев оптимальности; разработан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков по критерию максимина.

4. Построены методы определения нечетких рейтинговых, интервальных (с заданным уровнем доверия), точечных оценок и оценок интенсивности проявлений признаков для объектов с качественными признаками.

5. Разработана линейная комбинированная регрессионная модель, расширяющая спектр функций принадлежности анализируемой формализованной экспертной информации; определено новое понятие -«взвешенное множество»; на его основе разработан метод дефаззификации нечетких чисел, включающий построение интервальных агрегирующих показателей для лингвистических значений признаков; определены аналоги коэффициента детерминации, оценки стандартной ошибки и стандартного отклонения, позволяющие оценивать качество регрессионных моделей.

Практическая значимость результатов работы.

1. Разработан комплекс инструментальных средств формализации и обработки нечеткой экспертной информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах; результаты диссертации реализованы в разработанной библиотеке программ, названной автором «Fuzzy Expert».

2. Полученные в работе результаты обеспечивают возможность дальнейшего развития практических приложений на их основе и возможность создания новых инструментальных средств. Разработанные методы внедрены и позволили: построить оптимальные (в определенном смысле) множества лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств;

- осуществить многокритериальный выбор программных средств на основе нечетко сформулированных предпочтений пользователя;

- опираясь на нечеткую информацию экологического мониторинга, принять адекватные решения о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения г. Москвы;

- построить модели профессионального отбора выпускников вуза и оценивания соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности; построить линейную комбинированную регрессионную модель образовательного процесса и обосновать ее преимущество над классической линейной регрессионной моделью.

На защиту выносятся.

1. Методы формализации нечеткой экспертной информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах.

2. Нечеткие бинарные отношения сходства и подобия на множествах формализаций экспертного оценивания признаков, построенные на основе впервые введенных попарных сравнительных показателей и показателей согласованности моделей формализации; методы нечеткого кластерного анализа этих множеств.

3. Обобщенная модель экспертного оценивания признака в рамках фиксированного множества его лингвистических значений с учетом различных критериев оптимальности.

4. Нечеткие рейтинговые оценки объектов для одного и нескольких качественных признаков, позволяющие находить количественные показатели проявлений этих признаков.

5. Метод построения линейной комбинированной регрессионной модели, позволяющий использовать формализацию лингвистических значений признаков для анализа зависимостей между этими признаками и прогноза их значений.

В соответствие с выше изложенным, диссертация построена следующим образом.

Первая глава посвящена анализу методов формализации и обработки нечеткой экспертной информации на базе семантических пространств и постановке решаемой в диссертации проблемы. Рассмотрены шкалы, применяемые для оценивания количественных и качественных признаков, и допустимые преобразования значений этих признаков. Приведены классификация видов неопределенности и методов их обработки. Изложены необходимые сведения из теории нечетких множеств, теории нечетких отношений, теории кластерного анализа. Критически проанализированы известные методы формализации и обработки нечеткой экспертной информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах. Рассмотрен класс задач, требующих применения разрабатываемого в диссертации аппарата.

Проведенный в главе анализ позволил сделать вывод об актуальности развития методов формализации и обработки нечеткой информации, обеспечивающих повышение адекватности, как самих моделей формализации, так и нечетких моделей на их основе и сформулировать постановки задач исследования в данной работе.

Во второй главе разработаны методы формализации нечеткой информации, состоящие в построении моделей экспертного оценивания признаков. Эти модели удовлетворяют требованиям, сформулированным автором на основе постановки задачи главы 1.

Построена совокупность нечетких чисел для использования их в качестве формализаций лингвистических значений признаков. Определены необходимые операции для элементов этой совокупности и доказаны утверждения относительно свойств этих операций.

Разработаны два метода формализации информации, полученной в результате оценивания экспертом качественного признака у совокупности объектов. Первый метод работает в условиях применения вербальной шкалы для оценивания признака и не требует дополнительного привлечения эксперта, что существенно при многочисленности оцениваемых объектов. Второй метод работает в условиях применения балльной шкалы для оценивания признака и требует дополнительного привлечения эксперта для проведения сравнительных процедур.

Разработаны три метода формализации нечеткой информации на основе прямого экспертного опроса, которые могут быть применены как для качественных, так и для количественных признаков. Первый метод опирается на мнение единственного эксперта о типичных значениях лингвистических термов. Второй метод опирается на мнения группы экспертов о типичных значениях лингвистических термов. Третий метод опирается на мнение единственного эксперта о разбиении множества значений признака.

Определен аналог показателя надежности для моделей экспертного оценивания признаков.

В третьей главе разработаны методы сравнительного и нечеткого кластерного анализа информации, формализованной методами второй главы.

Построено множество, элементами которого являются модели экспертного оценивания признака. На основе элементов этого множества построено множество, элементами которого являются формализованные результаты оценивания экспертами качественного признака у совокупности объектов. Определены операции на этих множествах; попарные сравнительные показатели, показатели согласованности моделей формализации; построены нечеткие бинарные отношения сходства и подобия; разработаны методы нечеткого кластерного анализа построенных множеств, позволяющие изучать их структурный состав.

Все показатели определены на основе функций принадлежности моделей формализации, а поэтому позволяют проводить сравнительный и нечеткий кластерный анализ на объективных основаниях.

Четвертая глава посвящена построению обобщенной модели экспертного оценивания признака и обобщенного формализованного результата экспертного оценивания качественного признака у совокупностей объектов на основе элементов множеств, построенных в третьей главе.

Сформулировано условие оптимальности по Парето для обобщенной модели экспертного оценивания признака и обобщенного формализованного результата экспертного оценивания качественного признака у совокупностей объектов.

Разработаны методы определения оптимальных по Парето обобщенной модели экспертного оценивания признака и обобщенного формализованного результата экспертного оценивания качественного признака у совокупностей объектов в рамках построенных в третьей главе множеств на основе минимума суммы взвешенных квадратов разностей между параметрами обобщенной модели и обобщенного результата и параметрами элементов этих множеств.

Изложены методы определения весовых коэффициентов элементов построенных в третьей главе множеств на основе отношений подобия, которые тоже построены в третьей главе.

Разработан метод определения весовых коэффициентов моделей экспертного оценивания признаков на основе степеней их нечеткости.

Разработан метод построения обобщенной модели экспертного оценивания признака на основе минимума потери информации, заложенной в исходных моделях экспертного оценивания этого признака.

Описан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков с учетом двух показателей оптимальности: минимальная степень нечеткости экспертной информации и максимальная согласованность информации при использовании этих множеств для оценивания признаков.

В пятой главе построено пять методов определения нечетких рейтинговых, интервальных (с заданным уровнем доверия), точечных оценок и оценок интенсивности проявлений признаков для объектов с качественными признаками.

Шестая глава посвящена развитию методов нечеткого регрессионного анализа.

Определено новое понятие «взвешенное множество» для нечетких чисел. На его основе разработан метод дефаззификации нечетких чисел, включающий построение интервальных агрегирующих показателей для лингвистических значений признаков и позволяющий сохранить их информационные особенности. Доказаны утверждения относительно свойств взвешенных множеств для суммы и произведения нечетких чисел.

Разработан метод построения линейной комбинированной регрессионной модели, позволяющий использовать формализацию лингвистических значений признаков для анализа зависимостей между этими признаками и прогноза их значений. Модель названа комбинированной, поскольку она сочетает в себе элементы нечеткой и классической регрессионных моделей.

Определены аналоги коэффициента детерминации, оценки стандартной ошибки и стандартного отклонения, позволяющие оценивать качество регрессионных моделей с нечеткими исходными данными.

В седьмой главе изложены примеры практического применения разработанных в диссертации методов.

Решена задача определения оптимальных множеств лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств на примере характеристики «завершенность».

Осуществлен многокритериальный выбор программных средств на основе нечетких предпочтений пользователя.

В рамках экспертной информации экологического мониторинга г. Москвы проведен кластерный анализ и найдены рейтинговые оценки состояния видов растений, произрастающих в центре города и на его окраинах. Полученные результаты позволили принять подтвержденные последующими обследованиями адекватные решения о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения города.

Разработана новая формула для определения аналогичности технических изделий.

Проведен эксперимент на реальной выборке по определению соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности.

Формализованы и проанализированы результаты оценивания экспертами качества учебной литературы по характеристике «соответствие учебным планам», построен обобщенный результат оценивания.

Построена модель профессионального отбора выпускников вуза в рамках показателей успеваемости, психофизических и социально-психологических особенностей с учетом нечетких предпочтений.

На основе данных образовательного процесса построены классическая линейная и разработанная в диссертации линейная комбинированная регрессионные модели. Сравнительный анализ качества обеих моделей позволил обоснованно рекомендовать применение разработанной комбинированной модели для обработки и достоверного прогноза информации образовательного процесса.

7.9. Выводы по главе VII

1. Решена задача определения оптимального множества лингвистических значений характеристики качества программных средств - завершенность. Разработанный в диссертации метод определения оптимальных множеств лингвистических значений признаков внедрен ЗАО «Диасофт» и используется для оценивания качества разрабатываемых программных средств.

2. На основе цены и характеристик качества программных средств — модифицируемости, изучаемости, завершенности с учетом нечетких предпочтений пользователя произведен выбор программного средства из предложенных трех программных средств. Разработанные в диссертации методы формализации нечеткой экспертной информации позволили оперировать с количественной и качественными характеристиками с единых позиций на основе их функций принадлежности, определенными на едином универсальном множестве.

3. Разработанные в диссертации методы были применены для обработки нечеткой экспертной информации, полученной в рамках экологического мониторинга г. Москвы при оценивании состояния различных видов древесных и кустарниковых растений. Методика проведения этого анализа используется ГУЛ «Мосзеленхоз» и является составной частью комплексной системы оценки состояния насаждений и прогноза их развития. Полученные результаты используются для принятия решений о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения центра г. Москвы и его окраин. Достоверность изложенных в настоящем разделе результатов была подтверждена результатами практических обследований состояния видов растений в 2002-2003 г.г.

4. Разработана формула для определения степени аналогичности технических изделий, которая позволяет учитывать опыт экспертов.

5. На реальной экспериментальной выборке решена задача определения соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности. Построена функциональная модель оценивания специалистов. Для решения задачи применялся разработанный в диссертации метод нахождения рейтинговых оценок и присвоения квалификационных уровней. Этот метод позволил получить больше информации о квалификации сотрудников по сравнению с традиционным методом в рамках одной и той же информации. Разработанный метод используется ЗАО АКБ «Русь-Банк» для оценивания уровня подготовленности соискателей при приеме на работу и для разработки комплекса мероприятий, направленных на повышение квалификации персонала.

6. Проанализированы результаты оценивания экспертами качества учебной литературы по характеристике «соответствие учебным планам». Выявлена подгруппа экспертов, результаты которых плохо согласуются с результатами остальных экспертов. На данном этапе исследования их результаты были исключены из рассмотрения, а в рамках результатов остальных экспертов построен обобщенный результат.

7. Проведен машинный эксперимент профессионального отбора выпускников вуза на основе показателей успеваемости, познавательных психофизиологических и личностных характеристик с учетом нечетких предпочтений. Построена функциональная модель профессионального отбора выпускников. Формализация полученной информации на основе разработанных в диссертации методов позволила выработать оптимальные рекомендации по распределению каждого выпускника и оптимальные рекомендации по распределению в рамках каждой специальности.

8. Построены классическая и разработанная в диссертации нечеткая комбинированная линейные регрессионные модели для показателей успеваемости образовательного процесса. Нечеткая комбинированная модель построена с четкими и нечеткими коэффициентами. Полученные результаты показали, что значение аналога коэффициента детерминации у нечеткой комбинированной регрессионной модели с нечеткими коэффициентами больше аналога коэффициента детерминации нечеткой модели с четкими коэффициентами. Прогноз, полученный на основе нечеткой комбинированной регрессии с нечеткими коэффициентами, точнее прогноза, полученного на основе нечеткой комбинированной модели с четкими коэффициентами, который в свою очередь точнее прогноза, полученного на основе классической регрессии. Методы построения рейтинговых оценок и нечеткой комбинированной регрессионной модели используются Академией Спецсвязи для обработки информации образовательного процесса.

9. Для обработки информации применялась разработанная автором диссертации библиотека программ «Fuzzy Expert».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем.

1. Разработаны методы формализации нечеткой информации, полученной в результате оценивания качественных признаков и описания значений количественных признаков в лингвистических термах. Эти методы позволяют повышать адекватность, как моделей экспертного оценивания признаков, так и нечетких моделей, построенных на их основе; обеспечивать полезность этих моделей для решения практических задач; контролировать качество экспертной информации (путем вычисления степени нечеткости ее формализации) и применять аппарат теории нечетких множеств для дальнейшей обработки этой информации. Построена совокупность нечетких чисел для формализации лингвистических значений признаков. Построен аналог показателя надежности для моделей экспертного оценивания признаков.

2. Разработаны методы сравнительного анализа моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов. С целью проведения этого анализа построены сравнительные количественные показатели и показатели согласованности для моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов.

3. Построены нечеткие бинарные отношения сходства и нечеткие бинарные отношения подобия на множествах моделей экспертного оценивания признаков и формализованных результатов экспертного оценивания качественных признаков у совокупности объектов. Построенные отношения использованы для проведения при разных уровнях доверия нечеткого кластерного анализа этих множеств и соответственно для изучения их структурного состава.

4. Построена обобщенная модель экспертного оценивания признака на основе минимума потери информации, содержащейся в исходных моделях его оценивания, и на основе минимума суммы взвешенных квадратов разностей между параметрами обобщенной и исходных моделей.

5. Построен обобщенный формализованный результат экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов на основе минимума взвешенных квадратов разностей между параметрами обобщенного результата и исходными формализованными результатами.

6. Разработан метод построения оптимальных множеств лингвистических значений признаков, обеспечивающий решение максиминной задачи: минимальная нечеткость при оценивании признаков и максимальная согласованность экспертной информации при использовании этих множеств.

7. Разработаны методы построения нечетких рейтинговых оценок реальных объектов и совокупностей объектов по одному и нескольким качественным признакам. На основе нечетких оценок найдены точечные значения четких рейтинговых оценок, их интервальные значения с заданным уровнем доверия и количественные значения интенсивности проявлений качественных признаков.

8. На основе определенного понятия - «взвешенное множество» разработан метод дефаззификации нечетких чисел, позволяющий сохранять информационные особенности лингвистических значений признаков. Для контроля качества регрессионных моделей, построенных на основе нечетких исходных данных, определены аналоги стандартного отклонения, оценки стандартной ошибки и коэффициента детерминации.

9. Построена линейная нечеткая комбинированная регрессионная модель, позволяющая изучать зависимости между признаками в рамках их лингвистических значений и прогнозировать эти значения. Модель названа комбинированной, поскольку она сочетает в себе элементы нечеткой и классической регрессионных моделей. Разработанная модель расширяет спектр функций принадлежности анализируемой формализованной информации и соответственно область применения методов нечеткого регрессионного анализа, поскольку позволяет строить регрессионную зависимость как для исходных унимодальных, так и для толерантных нечетких чисел. Описанная модель может применяться для обработки нечеткой информации, полученной при оценивании как количественных, так и качественных признаков в рамках их лингвистических значений.

10. Результаты диссертации реализованы в авторской библиотеке программ «Fuzzy Expert» и использованы при построении оптимальных множеств лингвистических шкал для экспертного оценивания характеристик качества программных средств. Построена модель многокритериального выбора программных средств с учетом нечетких предпочтений пользователя. Применение разработанных методов для обработки информации экологического мониторинга г. Москвы позволило принять адекватные решения о перспективности использования отдельных видов растений для озеленения центра г. Москвы и его окраин. На основе результатов диссертации построены модели профессионального отбора выпускников вуза и оценивания соответствия уровня подготовленности специалистов требованиям их профессионального поля деятельности. Разработанная в диссертации нечеткая линейная комбинированная регрессионная модель обоснованно рекомендована для анализа и достоверного прогноза информации образовательного процесса.

Исходя из этого, можно сделать заключение, что в диссертации получено решение научной проблемы, состоящей в разработке методов формализации и обработки нечеткой экспертной информации, которые позволяют осуществлять сравнительный анализ моделей экспертного оценивания признаков; изучать структурный состав их множеств; строить обобщенные модели; использовать построенные модели для прогноза значений признаков и определения количественных показателей проявлений качественных признаков.

1. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. - 304 с.

2. Малышев Н.Г., Берштейн JI.C., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 136 с.

3. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Под ред. Поспелова Д.А. М.: Наука, 1986. - 312 с.

4. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой информации. М.: Наука, 1981. - 208 с.

5. Алиев Р.А. Интеллектуальные роботы с нечеткими базами данных. -М.: Радио и связь, 1995. 176 с.

6. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А., Меркурьева Г.В. Попов В.А. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. -Рига.: Зинатне, 1982. 256 с.

7. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. Пер. с япон. М.: Мир, 1993. - 368 с.

8. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приблизительных решений. М.: Мир, 1976. - 165 с.

9. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М.: Диалог-МГУ, 1998. - 116 с.

10. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 312 с.

11. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях искусственного интеллекта. В кн.: Вопросы кибернетики. Проблемы искусственного интеллекта. Вып. 61. М.: АН СССР, 1980. - С. 79 - 86.

12. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига.: Зинатне, 1990. -184 с.

13. Рыжов А.П. Об агрегировании информации в нечетких иерархических системах // Интеллектуальные системы. 2001. - Т. 6. -Вып. 1 - 4. - С. 341 - 364.

14. Рыжов А.П. О системах информационного мониторинга сложных объектов и процессов // VI Международная конференция по математическому моделированию. СТАНКИН. - С. 33 - 40.

15. Ryjov A., Belenki A., Hooper R., Pouchkarev V., Fattah A., Zadeh L. // Development of Intelligent for Monitoring and Evaluation of Peaceful Nuclear Activities (DISNA). IAEA. - STR-310. - Vienna, 1998. - P. 122.

16. Ананич И.С., Беленький А.Г., Пронин Л.Б., Рыжов А.П. Агрегирование информации в системах информационного мониторинга // Труды Международного семинара «Мягкие вычисления 96». - Казань, 1996. -С. 22 - 26.

17. Рогожин С.В., Рыжов А.П. О нечетко заданных классах функций к -значной логики // Сб. докладов V Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение». Москва, 1999. С. 460 - 463.

18. Рыжов А.П. О степени нечеткости размытых характеристик // Математическая кибернетика и ее приложения в биологии / Под ред. Крушинского Л.В., Яблонского С.В., Лупанова О.Б. М.: Изд-во МГУ, 1987. -С. 60 - 77.

19. Автоматизация поискового конструирования (искусственный интеллект в машинном проектировании) / Под ред. Половинкина А.И. -М.: Радио и связь, 1981. 186 с.

20. Заде Л.А. Основа нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня / Под ред. Моисеева Н.Н. М.: Знание, 1974. С. 5 - 48.

21. Борисов А.Н., Корнеева Г.В. Лингвистический подход к построению моделей принятия решений в условиях неопределенности. Рига.: Риж. политехи, ин-т, 1980. - С. 4 - 11.

22. Dubois D., Prade Н. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Application. -New York.: Acad, press, 1980. 393 p.

23. Dubois D.,Prade H. Ranking Fuzzy Numbers in Setting of Possibility Theory // Information Science. 1983. - V. 30. - P. 183 - 224.

24. Dubois D.,Prade H. Fuzzy real algebra: some results // Fuzzy Sets and Systems. 1979. - V. 2. - № 4. - P. 327 - 348.

25. Mizumoto M., Tanaka K. Algebraic properties of fuzzy numbers // Proc. IEEE Int. Conf. Cybernetics and Society, 1976. P.559 - 563.

26. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. - 258 с.

27. Рыжов А.П. Оценка степени нечеткости и ее применение в системах искусственного интеллекта // Интеллектуальные системы. Москва.: МНЦ КИТ. - 1996.- Т. 1. - Вып. 1 - 4. - С. 95 - 102.

28. Ryjov A. Fuzzy data bases: description of objects and retrieval of information // Proceeding of the First European Congress in Intelligent Technologies. Aachen. Germany, 1993. - V. 3. - P. 1557 - 1562.

29. Ryjov A. Description of Objects in Human-Machine Information Systems // Application of Fuzzy Systems Proceeding of the International Conference on Application of Fuzzy Systems. - ICAES - 94. Iran, 1994. - P. 246 - 249.

30. Экспертные системы. Принципы работы и примеры / Под ред. Р.Форсайта. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1987. - 224 с.

31. Нильсон Н. Принципы искусственного интеллекта. М.: Радио и связь, 1985. - 376 с.

32. Хейс-Рот Ф., Уотерман Д., Ленат Д. Построение экспертных систем. — М.: Мир, 1987.-430 с.

33. Элти Д., Кумбс М. Экспертные системы: Концепции и примеры. М.: Финансы и статистика, 1987. - 191 с.

34. Гаврилова Т.А., Червинская К.Р. Извлечение и структуризация знаний для экспертных систем. М.: Радио и связь, 1992. - 200 с.

35. Уинстон П. Искусственный интеллект: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.519 с.

36. Ходашинский И.А. Логика оценок величин. Томск, 1984. - Деп. в ВИНИТИ, № 1631-84. - 19 с.

37. Ежкова И.В. Семантически инвариантная формализация лингвистических оценок // Семиотические аспекты формализации интеллектуальной деятельности. - М.: МДНТП, 1983. - С. 48 - 51.

38. Ежкова И.В., Поспелов Д.А. Принятие решений при нечетких основаниях // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика. 1977. - № 6. - С. 3 -11.

39. Сваровский С.Г. Аппроксимация функций принадлежности значений лингвистической переменной. В кн.: Математические вопросы анализа данных. - Новосибирск.: НЭТИ, 1980. - С. 127 - 131.

40. Борисов А.Н., Фомин С.А. Аксиоматический подход к восстановлению функций принадлежности термов лингвистической переменной. В кн.: Модели выбора альтернатов в нечеткой среде. - Рига.: РПИ, 1980.-С. 77-79.

41. Аверкин А.Н. Построение нечетких моделей мира для планирования в условиях неопределенности. В кн.: Семиотические модели при управлении большими системами. - М.: АН СССР, 1979. - С. 69 - 73.

42. Скофенко А.В. О построении функций принадлежности нечетких множеств, соответствующих количественным экспертным оценкам // Науковедение и информатика. Киев.: Наукова думка, 1981. - Вып. 22. - С. 70 -79.

43. Chiu-Keung Law. Using fuzzy numbers in educational grading system // Fuzzy Sets and Systems. 1996. - № 83. - P. 311 - 323.

44. Chang Y.-H., Ayyub B.M. Hybrid regression analysis for uncertainty modeling // Proc. Annual. Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 96). California University.: Berkeley, 1996. - P. 93 - 97.

45. Сирл Д. Разум мозга компьютерная программа? // В мире науки. -1990.-№3.-С. 7-13.

46. Chang Y.-H. Hybrid fuzzy least- squares regression analysis and its reliability measures // Fuzzy Sets and Systems. 2001. - № 119. - P. 225 - 246.

47. Пфанцгаль И. Теория измерений. Пер. с англ. М.: Мир, 1976. — 166 с.

48. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-ое. -М.: Наука, 1974. - 118 с.

49. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

50. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследования зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 488 с.

51. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989. -607 с.

52. Полещук О.М. Предельные теоремы для условного случайного блуждания // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1993. - № 6. - С. 38 -42.

53. Полещук О.М. Условная предельная теорема для случайного блуждания с нулевым сносом // УМН. 1995. - Т. 50. - № 2. - С. 219 - 220.

54. Полещук О.М., Рыбников К.К. Слабая сходимость условного случайного блуждания к винеровскому процессу // VII Белорусская математическая конференция. Тез. докладов. — Минск, 1996. Ч. 3. - С. 17.

55. Налимов В.В., Чернова H.JI. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Физматгиз, 1965. - 340 с.

56. Налимов В.В. Математическая теория эксперимента. М.: Изд. МИФИ, 1982.-28с.

57. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики.- М.: ВНИИСтандартизадии, 1987. 64 с.

58. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. - 350 с.

59. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

60. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации. М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», 1981. - 80 с.

61. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inform. And Control. 1965. - №8. - P. 338352.

62. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. -М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

63. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Статистическая обработка неоднородных совокупностей. М.: Статистика, 1980. - 208 с.

64. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970. - 556 с.

65. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. М.: Знание, 1980. - 64 с.

66. Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. Новосибирск.: Наука, 1978. -160 с.

67. Егоршин А. Прогноз (О перспективах образования в России) // Высшее образование в России. 2000. - №4. - С. 17-21.

68. Алчинов В., Купцов А. Рейтинг-контроль успеваемости курсантов // Высшее образование в России. 1998. - №1. - С. 95 - 97.

69. Асеев Н., Дудкина Н.,Федоров А. Оценка мастерства преподавателя // Высшее образование в России. 2001. - №3. - С. 41 - 46.

70. Жураковский В., Приходько В., Федоров И. Вузовский преподаватель сегодня и завтра (Педагогический и квалификационный аспекты) // Высшее образование в России. 2000. - №3. - С. 3 - 12.

71. Мартынова Т., В.Наделяев В., и др. Рейтинговая система оценки знаний при изучении общетехнических дисциплин // Высшее образование в России. 1997. - №2. - С. 103 - 107.

72. Мельничук О., Яковлева А. Модель специалиста (К вопросу о гуманизации образования) // Высшее образование в России. 2000. - №5. - С. 19-25.

73. Панин М. Морфология рейтинга // Высшее образование в России. -1998. -№1.-С.90-94.

74. Хампель Ф, Рончетти Э, Рауссеу П, Штаэль В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. М.: Мир, 1989. - 512 с.

75. Кендалл М, Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-899 с.

76. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 304 с.

77. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.- М.; Наука, 1979. 296 с.

78. Литвак Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений. М.: Патент, 1996.-271 с.

79. Бешелев С.Д., Гурвич Ф. Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. Изд. 2-ое. М.: Статистика, 1980. - 263 с.

80. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок ПНАЭ Г 7 - 002 - 86. - М.: Энергоатомиздат, 1989.- 523 с.

81. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска банкротства предприятия с применением нечетких множеств // Вопросы анализа риска. -1999. №2-3.

82. Рыжов А.П., Аверкин А.Н. Аксиоматическое определение степени нечеткости лингвистической шкалы и ее основные свойства // II Всесоюзная конференция «Искусственный интеллект 90»: Секционные и стендовые доклады. - Минск, 1990. - Т. 1. - С. 162 - 165.

83. Рыжов А.П. Степень нечеткости лингвистической шкалы и ее свойства // Нечеткие системы поддержки принятия решений / Под ред. Аверкина А.Н. и др. Калинин.: Изд-во Калининского госуниверситета, 1988. -С. 82-92.

84. Брутян Г. А. Гипотеза Сепира — Уорфа. Ереван, 1968. 120 с.

85. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска инвестиций с применением нечетких множеств // Управление риском. — 2001. №1.

86. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень.: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2002. 268 с.

87. Алексеев А.В. Интерпретация и определение функций принадлежности нечетких множеств. В кн.: Методы и системы принятия решений. - Рига: РПИ, 1979. - С. 42 - 50.

88. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

89. Ragade R.K., Gupta М.М. Fuzzy sets theory: introduction. In: Fuzzy Automata and Decision Processes / Ed. by Gupta M.M., Saridis G., Gaines B. Amsterdam.: North-Holland, 1977. - P. 105 - 131.

90. Thole U., Zimmermann H.J., Zysno P. On the suitability of minimum and products operators for the intersection of fuzzy sets // Fuzzy Sets and Systems. -1979.-V. 2.-P. 167- 180.

91. Zadeh L.A. Calculus of fuzzy restrictions. In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes / Ed. by Zadeh L.A. et al. New York.: Academic Press, 1975. - P. 1 - 41.

92. Алексеев A.B. Разработка принципов применения теории нечетких множеств в ситуационных моделях управления организационными системами: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Рига.: РПИ, 1979. - 20 с.

93. Борисов А.Н., Осис Я.Я. Методика оценки функций принадлежности элементов размытого множества. В кн.: Кибернетика и диагностика. - Рига.: РПИ, 1970. - С. 125 - 134.

94. Логинов В.И. О вероятностной трактовке функций принадлежности Заде и их применение для распознавания образов // Известия АН СССР: Техническая кибернетика. 1966. - № 2. - С. 72-73.

95. Осис Я.Я. Распознавание неисправностей сложных объектов с использованием нечетких множеств. В кн.: Кибернетика и диагностика. -Рига.: РПИ, 1968. - С. 13 - 18.

96. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Новый метод определения функций принадлежности нечетких множеств II Новые информационные технологии. -1997.-№7.-С. 30-33.

97. Scala H.J. On many-valued logics, fuzzy sets, fuzzy logics and their applications // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - V. 1. - P. 129 - 149.

98. Жуковин B.E., Оганесян H.A., Бурштейн Ф.В., Корелов Э.С. Об одном подходе к задачам принятия решений с позиции теории нечетких множеств. В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределенности. - Рига: РПИ, 1980.-С. 12-16.

99. Saaty T.L. Exploring the interface between hierarchies, multiple objectives and fuzzy sets // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - V. 1. - P. 57 - 69.

100. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2001. - № 3. - С. 150 - 154.

101. Блишун А.Ф. Моделирование процесса принятия решений в нечетких условиях на основе сходства понятий классов: Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1982.- 19 с.

102. Saaty T.L. Measuring the fiizziness of sets // Journal of Cybernetics. -1974.-V. 4.-P. 53-61.

103. Киквидзе 3.A., Ткемаладзе H.T. Об одном способе взвешивания элементов нечеткого множества // Сообщения АН СССР. 1979. - Т. 93. - № 2. С. 317-320.

104. Шер А.П. Согласование нечетких экспертных оценок и функция принадлежности в методе размытых множеств. В кн.: Моделирование и исследование систем автоматического управления. - Владивосток.: ДВНЦ АН СССР, 1978.-С. 111 - 118.

105. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. 1978. - Вып. 33. -С. 28 - 57.

106. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: «Наука», 1985. - 319 с.

107. Дробышев Ю.П., Пухов В.В. Аппроксимация нечетких отношений // Эмпирическое предсказание и распознавание образов (Вычислительные системы). Новосибирск, 1978. - Вып. 76. - С. 75 - 82.

108. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. -М.:Статистика, 1982. 319 с.

109. Заде Л.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов и кластер анализе. — В кн.: Классификация и кластер / Под ред. Дж. Вэн Райзина. - М.: Мир, 1980. - С. 208 - 247.

110. Руспини Э.Г. Последние достижения в нечетком кластер анализе. -В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Рональда Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 47 - 62.

111. Tamura S., Higuchi S., Tanaka К. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. - V. SMC-l.-P. 61 -66.

112. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy orderings // Information Sciences. 1971. - V. 3. - P. 177 - 200.

113. Ruspini E.H. A new approach to clustering // Information and Control. -1969.-V. 15. P.22 - 32.

114. Ruspini E.H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. 1970. V. 2. - P. 319 - 350.

115. Батыршин И.З. Кластеризация на основе размытых отношений сходства. В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы докладов III научно-технического семинара. - Пермь.: НИИУМС, 1980 - С. 25 -27.

116. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир. -1976.-511 с.

117. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. М.: Статистика, 1977. - 128с.

118. Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Группировка, корреляция, распознавание образов. М.: Статистика, 1977. - 144 с.

119. Жаке-Лагрез Э. Применение размытых отношений при оценке предпочтительности распределенных величин. — В кн.: Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений. М.: Статистика, 1979 - С. 168 - 183.

120. Кононов Б.П. Числовые отношения в теории сравнений // Научно-техническая информация (НТИ). 1977. - Серия 2. - С. 11-18.

121. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982. - 168 с.

122. Bezdek J.C. Numerical taxonomy with fuzzy sets // Journal of Mathematical Biology. 1974. - V. 1. - P. 57 - 71.

123. Kaufmann A. Introduction to the theory of fuzzy subsets. V. 1 N.Y.: Academic Press, 1975. - 643 p.

124. Negoita C.V., Ralescu D.A. Applications of fuzzy sets to systems analysis. Basel.: Birkauser Verlag, 1975. - 187 p.

125. Rosenfeld A. Fuzzy graphs. In.: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes / Ed. by L.A. Zadeh et al. N.Y.: Academic Press, 1975. P. 77-95.

126. Ruspini E.H. Recent developments in fuzzy clustering. In: Fuzzy Set and Possibility Theory / Ed. by R.R. Yager. N.Y.: Pergamon Press, 1982. - P. 133 -146.

127. Shimura M. Fuzzy sets concepts in rank-ordering objects // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973. - V. 43. - P. 713 - 733.

128. Watada J., Tanaka H. and Asai K. A heuristic method of hierarchical clustering for fuzzy intransitive relations. In: Fuzzy Set and Possibility Theory/ Ed. by R.R. Yager. N.Y.: Pergamon Press, 1982. - P. 148- 166.

129. Yeh R.T., Bang S.Y. Fuzzy relations, fuzzy graphs and their applications to clustering analysis. In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes / Ed. by L.A. Zadeh et al. N.Y.: Academic Press, 1975. - P. 125 -149.

130. Zadeh L.A. Fuzzy sets and their application to pattern classification and cluster analysis. Memo No. ERL M 607. Electronics Research Laboratory. -California University.: Berkeley, 1976. - 67 p.

131. Negoita C.V., Ralescu D.A. Representation theorems for fuzzy concepts // Kybernetes. 1975. - V. 4. - P.l 69 - 174.

132. Chang Y.-H., Ayyub B.M. Fuzzy regression methods a comparative assessment // Fuzzy Sets and Systems. - 2001. - № 119. - P. 187 - 203.

133. Полещук O.M. Линейная нечеткая регрессионная модель при условии четких входных и выходных данных // Лесной вестник. 2000. - № 4(13). - С. 138- 142.

134. Tanaka Н., Uejima S., Asai. Linear regression analysis with fuzzy model // IEEE, Systems, Trans. Systems Man Cybernet. SMC-2, 1982. P. 903 - 907.

135. Chanrong V., Haimes Y.Y. Multiobjective Decision Making: Theory and Methodology. North-Holland, 1980. - 204 p.

136. Dubois D. Linear Programming with fuzzy data // Analysis of Fuzzy Information. 1987. - V.3. - P. 241 - 263.

137. Fiacco A.V. Introduction to sensitivity and stability analysis in nonlinear programming. New York.: Acad, press, 1983. - 367 p.

138. Таранцев А.А. Принципы построения регрессионных моделей при исходных данных с нечетким описанием // Автоматика и телемеханика. 1997. -№11. -С. 27-32.

139. Tanaka Н. Fuzzy data analysis by possibilistic linear models // Fuzzy Sets and Systems. 1987. - № 24. - P. 363 - 375.

140. Sakawa M., Yano H. Fuzzy linear regression and its application to the sales borecasting // International Journal of Policy and Information. 1989. - № 15. -P. 111-125.

141. Sabic D.A., Pedrycr W. Evaluation on fuzzy linear regression models // Fuzzy Sets and Systems. 1991. № 39. - P. 51 - 63.

142. Tanaka H., Watada J. Possibilistic linear systems and their applications to the linear regression model // Fuzzy Sets and Systems. 1988. № 27. - P. 275 - 289.

143. Bardossy A. Note on fuzzy regression // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - № 37. - P. 65-75.

144. Celmins A. Least squares model fitting to fuzzy vector data // Fuzzy Sets and Systems. 1987. - № 22. - P. 245 - 269.

145. Celmins A. Multidimensional least-squares model fitting of fuzzy models // Math. Modeling. 1987. - № 9. - P. 669 - 690.

146. Chang Y.-H., Ayyub B.M. Reliability analysis in fuzzy regression. Proc. Annual // Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 93). — Allentown, 1993. P. 93 - 97.

147. Chang P.-T., Lee E.S. Fuzzy linear regression with spreads unrestricted in sign // Comput. Math. Appl. 1994. - № 28. - P. 61 - 71.

148. Chang Y.-H., Johnson P., Tokar S., Ayyub B.M. Least- squares in fuzzy regression // Proc. Annual. Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 93). Allentown, 1993. - P. 98 - 102.

149. Diamond P. Fuzzy least squares // Inform. Sci. 1988. - № 46. - P. 141157.

150. Ishibuchi H. Fuzzy regression analysis // Japan. J. Fuzzy Theory and Systems. 1992. - № 4. - P. 137 - 148.

151. Redden D., Woodal W. Properties of certain fuzzy regression methods // Fuzzy Sets and Systems. 1994. - № 64. - P. 361 - 375.

152. Tanaka H., Ishibuchi H. Identification of possibilistic linear models // Fuzzy Sets and Systems. 1991. - № 41. - P. 145 - 160.

153. Tanaka H., Ishibuchi H., Yoshikawa S. Exponential possibility regression analysis // Fuzzy Sets and Systems. 1995. - № 69. - P. 305 - 318.

154. Celmins A. A practical approach to nonlinear fuzzy regression // SI AM. J. Sci & Stat. Computing. 1991. - № 12. - P. 329 - 332.

155. Moore R.E. Interval Analysis. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. - N.J.,1966.

156. Moore R.E. Methods and Applications of Interval Analysis. SLAM. -Philadelphia, 1979.

157. Шурыгин A.M. Регрессия: выбор вида зависимости, эффективность и устойчивость оценок // Автоматика и телемеханика. 1996. - №6. - С. 90 - 101.

158. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 11.-С. 74-83.

159. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. 2002. - № 5 (25). - С. 198 - 216.

160. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. - 320 с.

161. Полещук О.М. О развитии систем обработки нечеткой информации на базе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник.- 2003. - № 1 (26).-С. 112- 117.

162. Левин В.И. Новое обобщение операций над нечеткими множествами // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2001. - № 1. - С. 143 - 146.

163. Zadeh L.A. A theory of approximate reasoning (AR) // Machine Intelligence. 1979. - V. 9. - P. 149 -194.

164. Zadeh L.A. Fuzzy logic and approximate reasoning // Synthese. 1975. -V. 80. - P. 407 - 428.

165. Шкондин А.И. Нечеткий вывод на основе модификаторов определенности // Известия Академии наук. Теория и системы управления. — 2001. -№ 1.-С. 136- 142.

166. Насибов Э.Н. О двух усредненных характеристиках нечетких чисел. -Деп. в ВИНИТИ 14.02.91. № 772 - В91. - 24 с.

167. Насибов Э.Н. Некоторые интегральные показатели нечетких чисел и визуально-интерактивный метод определения стратегии их вычисления // Известия АН. Теория и системы управления. 2002. - № 4. - С. 82 - 88.

168. Шер А.П. Решение задачи математического программирования с линейной функцией в размытых ограничениях // Автоматика и телемеханика. -1980.-№ 7.-С. 17-22.

169. Llena J. On fuzzy linear programming // EJOR. 1985. - V. 22. - № 2. - P. 124-131.

170. Нечеткие множества и теория возможностей / Под. Ред. Р.Ягера. М.: Радио и связь, 1986. 408 с.

171. Nguyen Н.Т. A note on the extension principle for fuzzy sets // Journal of Mathematical Analysis and Application. 1978. - № 64. - P. 369 - 380.

172. Mizumoto M., Zimmerman H.J. Comparison of fuzzy reasoning methods // Fuzzy Sets and Systems. 1982. - №. 8. - P. 253 - 283.

173. Полещук O.M., Полещук И.А. Нечеткая кластеризация элементов множества полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. - 2003. -№1(26).-С.117-127.

174. Полещук О.М. Методы предварительной обработки нечеткой экспертной информации на этапе ее формализации // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. - 2003. - № 5 (30). - С. 160-167.

175. Гофман О.Г. Экспертное оценивание. — Воронеж.: Изд-во ВГУ, 1991. 152 с.

176. Кендэл М. Ранговые корреляции. Пер. с англ. М.: Статистика, 1975. -214 с.

177. Миркин Б.Г. Группировки в социально экономических исследованиях: Методы построения и анализа. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 222 с.

178. Arrow K.J. Social Choice and Individual Values. New Haven-London.: Yale univ. press, 1972. - 124 p.

179. Миленький A.B. Классификация сигналов в условиях неопределенности. М.: Сов. Радио, 1975. - 328 с.

180. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Сов. радио, 1972.-192 с.

181. Лезина З.М. Процессы коллективного выбора // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 8. - С. 3 - 35.

182. Hwang C.L., Lin N.J. Group decision making under multiple criteria. -Berlin.: Springer, 1987. 400 p.

183. Полещук О.М. Построение интегральных моделей в рамках нечеткой экспертной информации // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. - 2003. - № 5 (30). - С. 155 - 159.

184. Миллер Г. Магическое число семь плюс минус два. Инженерная психология. М.: Прогресс, 1964.

185. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.-352 с.

186. Nguyen Н.Т. A note on the extension principle for fuzzy sets // Journal of Math. Anal. And Appl. 1978. - № 64. -P. 369 - 380.

187. Coleman T.F., Li Y. A reflective newton method for minimizing a quadratic function subject to bounds on some of the variables // SIAM J. Optim. -1996. V. 6. - № 4. - P. 1040 - 1058.

188. Хубка В. Теория технических систем. М.: Мир, 1987. 208 с.

189. Хубаев Г. О построении шкалы оценок в системах тестирования // Высшее образование в России. 1996. - №1. - С.122 - 125.

190. Ершиков С., Лобова Т., Филиппов С., Шидловска Т. Опыт использования рейтинговой системы // Высшее образование в России. 1997. -№4.-С. 97-102.

191. В.Кругликов. Рейтинговая система диагностики учебного процесса в вузе // Высшее образование в России. 1996. - №2. - С.100 - 102.

192. Гусев В.В., Петров В.А., Федоренко С.А. Разработка и применение педагогических тестов в образовательном процессе: Методическое пособие. -Орел.:ВИПС, 1997.-41 с.

193. Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений. М.: Патент, 1996.-271 с.

194. Полещук О.М. Построение рейтинговых оценок с использованием лингвистических переменных // Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск. - 2002. - С. 104 - 108.

195. Полещук О.М. О построении рейтинговых оценок на основе лингвистических переменных // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. - 2003. - № 3 (28). - С. 169 - 177.

196. Полещук О.М., Ретинская И.В. Построение рейтинговых оценок с использованием полных ортогональных семантических пространств // II Всероссийский конгресс женщин-математиков / Под ред. проф. О.Г.Проворовой. Красноярский гос. университет, 2002. - С. 160.

197. Подиновский В.В. Количественные оценки важности критериев многокритериальной оптимизации // НТИ. Сер.2. ВИНИТИ. 1999. - №5. - С. 22-25.

198. Полещук О.М. О применении нечетких множеств в задачах построения уровневых градаций // Лесной вестник. 2000. - №4 (13). - С. 142 -146.

199. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В., Рыбников К.К. Нечеткие модели рейтинговых систем оценки знаний // Телематика 2001. Труды Международной научно практической конференции. - С-Пб., 2001. -С. 245-246.

200. Полещук О.М. Рейтинговая модель оценивания объектов по ряду качественных признаков // Современные проблемы науки и образования. Материалы II Международной научно — практической конференции. Керчь, 2001.-Ч. II. С. 90-91.

201. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О построении регрессионной зависимости при исходных нечетких данных Т -типа // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. 2002. -Вып. 8.-С. 4- 11.

202. Полещук О.М. Нечеткий метод наименьших квадратов в регрессионном анализе данных Т -типа // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - т.9.- Вып. 2. - С. 434 - 435.

203. Козелецкий Ю. Психологическая теория решений. М.: Прогресс, 1979. - 504с.

204. Уолстен Т.С. Использования алгебр моделей для изучения процессов принятия решений. В кн.: Нормативные и дескриптивные модели принятия решений. - М.: Наука, 1981, - С.310 - 319.

205. Fine T.L. Theories of Probability: An Examination of Foundations. New York-London.: Acad, press, 1973. - 263 p.

206. Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integral // Trans. SICE. 1972. -V.8. - № 2. - P. 95 - 102.

207. Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integrals: a survey. In: Fuzzy Automata and Decision Processes / Ed. By M.M.Gupta, G.Saridis, B.R.Gaines. -Amsterdam.: North-Holland, 1977. - P. 89 - 102.

208. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - V.l. - P. 3 - 28.

209. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. Пер. с фр. М.: Радио и связь, 1990. — 286 с.

210. Dubois D., Prade Н. Possibility Theory. New York-London.: Plenum press, 1988.-263 p.

211. Нгуен Ф.Т. О возможностном подходе к анализу сведений. В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. / Под ред. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 285 - 292.

212. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 192 с.

213. Клир Дж. Системология. М.: Радио и связь, 1990. - 544 с.

214. Полещук О.М., Фролова В.А. Рейтинговые оценки состояния городских насаждений на основе методов теории нечетких множеств // Лесной журнал. 2003. - № 2 - 3. - С.7 - 14.

215. Комаров Е.Г., Полещук О.М., Фролова В.А. О нахождении рейтинговых оценок состояния видов растений, произрастающих в сложных экологических условиях больших городов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. - Т. 10. - Вып. 1. - С. 175.

216. Полещук О.М. О применении нечеткой кластеризации в моделировании образовательного процесса // Современные проблемы науки и образования. Мат-лы 2-ой международной междисциплинарной научно-практической конференции. Керчь, 2001. - Ч. 2. - С. 89 - 90.

217. Полещук О.М. О разбиении на нечеткие кластеры по качественной информации // VI Международная конференция. Математические модели и информационные технологии. Материалы конференции. Краснодар, 2001. - С. 309.

218. Полещук О.М. Модель рационального распределения обучающихся по группам // II Международная междисциплинарная научно практическая конференция. Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления. Тезисы докладов. - Харьков, 2001. - С.218-219.

219. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. 2002. -Вып. 6. - С. 52 - 53.

220. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О рациональном распределении учащихся по группам // Телематика 2003. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2003. - Т. 2. - С. 433 - 434.

221. Полещук О.М. О применении аппарата теории нечетких множеств в задачах обработки информации образовательного процесса // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. 2003. - № 3(28).-С. 164- 169.

222. Полещук О.М. Об одном методе формализации нечеткой информации // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. — Т. 10. - Вып. 3. - С. 724 - 725.

223. Полещук О.М., Рыбников К.К. О формировании образа эталонного специалиста // Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции. Минск, 2000. - Ч. III. - С. 81.

224. Домрачев В.Г., Полещук О.М. Нечеткий метод построения эталонного образа специалиста // Телематика 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2002. - С. 285 - 286.

225. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Рыбников К.К. О построении эталонного образа специалиста // Лесной вестник. 2001. - № 2(16). - С. 191 -193.

226. Полещук О.М., Рыбников К.К. О некоторых моделях анализа тестирования в образовательном процессе // Ярославский педагогический вестник. 2002. - № 2 (31). - С. 124 - 127.

227. Полещук О.М., Рыбников К.К. Развитие моделей тестирования на основе использования систем булевых уравнений // Телематика 2001. Труды Международной научно практической конференции. - С-Пб., 2001. - С. 248 — 250.

228. Домрачев В.Г., Полещук О.М. Повышение качества образовательных услуг на основе системы индивидуального подхода к подготовке специалиста // Материалы научной конференции «Качество и ИПИ-технологии». Москва. Фонд «Качество». - 2002. - С. 68 - 70.

229. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О контроле качества образовательного процесса с учетом анализа познавательных психофизиологических характеристик // Первая научная конференция

230. Качество. Инновации. Образование». Материалы конференции. Судак, 2003. - С. 80 - 82.

231. Полещук О.М. Прогнозная модель показателей качества образовательных услуг на основе успеваемости // Телематика 2001. Труды Международной научно практической конференции. - С-Пб., 2001. - С. 247 -248.

232. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О тенденциях развития систем обработки информации в образовательной среде // Качество. Инновации. Образование. 2002. - № 1. - С. 67 - 69.

233. Полещук О.М. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. 2002. - № 3 (10). - С. 54 - 72.

234. Полещук О.М. Применение лингвистических переменных в моделировании образовательного процесса // Лесной вестник. 2001. - № 2(16).-С. 194- 195.

235. Полещук О.М. Нечеткие рейтинговые системы в образовательной сфере. Сборник научных статей докторантов и аспирантов Московского государственного университета леса. Москва, 2002. - Изд-во МГУЛ. - Вып. 315.-С. 70-76.

236. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О присвоении квалификационного уровня // Телематика 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2001. - С. 286 - 288.

237. Полещук О.М. Построение прогнозных уравнений при нечеткой исходной информации // VI Международная конференция. Математические модели и информационные технологии. Материалы конференции. Краснодар, 2001.-С. 308.

238. Полещук О.М. Модель прогноза успеваемости обучающихся. Современные проблемы науки и образования // Материалы III международной междисциплинарной научно-практической конференции. Харьков, 2002. - С. 120-121.

239. Полещук О.М. Нечеткая регрессионная модель прогноза успеваемости обучающихся // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9. - Вып. 2. - С. 435 - 436.

240. Полещук О.М. Об оценке аналогичности технических изделий в рамках некоторого параметра // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. - Т. 10. - Вып. 1. - С. 205.

241. Полещук О.М., Ретинская И.В. Задача кадрового отбора и лингвистические переменные // II Всероссийский конгресс женщин-математиков / Под ред. проф. О.Г.Проворовой. Красноярский гос. университет, 2002. - С. 162.

242. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. Лингвистические переменные в задачах кадрового отбора // Лесной вестник. 2001. - № 5 (20). -С. 192 - 197.

243. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. О применении лингвистических переменных в задачах кадрового отбора // Информационно-измерительная техника, экология и мониторинг. Выпуск 2001/1. Москва.: Изд-во МГУЛ, 2001. - С. 554 - 560.

244. Полещук О.М. Выявление существенных показателей при работе с нечеткой информацией // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научные труды. М.: МГУ Л, 2000. - Вып. 308. - С. 130 -136.

245. Полещук О.М., Северов М.В. О применении структурного анализа системных связей к изучению междисциплинарных отношений // Лесной вестник. 2001. - № 5 (20). - С. 197 - 202.

246. Полещук О.М. Выявление существенных признаков при работе с нечеткой информацией // Современные проблемы науки и образования. Материалы III международной междисциплинарной научно-практической конференции. Харьков, 2002. - С. 121 - 122.

247. Полещук О.М. Изучение междисциплинарных отношений на основе структурного анализа системных связей // Телематика 2002. Труды Всероссийской научно-методической конференции. - С-Пб., 2002. - С. 288.

248. Полещук О.М. О библиотеке программ «Fuzzy Expert», разработанной для обработки нечеткой экспертной информации // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник.- 2004. - № 1 (32).-С. 126-135.256. mgul.ac.ru/info/scnit

249. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. М.: Сов. Радио, 1977.-304 с.

250. Общая методика оценки качества программных средств. Москва, 1988.-53 с.

251. Хубаев Г.Н. Экономическая оценка потребительского качества программных средств: Текст лекций. РГЭА. - Ростов-на-Дону, 1997. - 104 с.

252. Липаев В.В. Обеспечение качества программных средств. Методы и стандарты. М.: МГТУ «Станкин», 2000. - 355 с.

253. Criteria for Evaluation of Software. ISO TC97/SC7 # 383.

254. Revised version of DP9126 Criteria of the Evaluation of Software Quality Characteristics. ISO TC97/SC7 #610. - Part 6.

255. Боэм Б., Браун Дж., Каспар X. и др. Характеристики качества программного обеспечения. М.: Мир, 1981. - С. 61 - 87.

256. Кульба В.В., Сиротюк В.О., Ковалевский С.С., Косяченко С.А. и др. Промышленная технология и CASE средства автоматизированного проектирования баз данных: Препринт. - М.: ИПУ РАН, 1998. - 120 с.

257. Мозолевская Е.Г. Мониторинг состояния зеленых насаждений и городских лесов Москвы. Методы оценки состояния деревьев и насаждений // Экология большого города. М.: Прима-пресс, 1997. - Вып. 2. - С. 16 - 59.

258. Санитарные правила в лесах Российской Федерации. М.: ВНИИЦлесресурс, 1998. - 20 с.269'. Терехина А.Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования. М.: Наука. Главная редакция физ.- мат. литературы, 1986. - 168 с.

259. Фролова В.А. О состоянии зеленых насаждений на территории бульваров юго-запада Москвы (по результатам мониторинга 1998 года) //

260. Проблемы управления качеством окружающей среды. Сборник докладов Международной конференции. М.: Прима-пресс-М, 1999. - С. 202 - 204.

261. Авсиевич Н.А., Агальцова В.А., Атрощенко JI.A. и др. Состояние зеленых насаждений и городских лесов в Москве (по данным мониторинга за 1999 г.): Аналитический доклад. М.: Прима-пресс-М, 2000. - 277 с.

262. Марушкин В.М., Иващенко С.С., Вакуленко Б.Ф. Подогреватели высокого давления турбоустановок ТЭС и АЭС. М.: Энергоатомиздат, 1985. -63 с.

263. Тихонов А.Н., Иванников А.Д. Информатизация российского образования и общества в целом // Международное сотрудничество. 1997. — №4.-С. 1-3.

264. Тихонов А.Н., Абрамешин А.Е., Воронина Т.П., Иванников А.Д., Молчанова О.И. Управление современным образованием: социальные и экономические аспекты / Под ред. Тихонова А.Н. М.: Вита-Пресс, 1998. - 256 с.

265. Тихонов А.Н., Иванников А. Д. Технологии дистанционного образования в России. 1994. - № 3. — С. 3 — 10.

266. Гусев В.В., Петров В. А. Математическое моделирование профессионального отбора и рационального распределения абитуриентов по специальностям. Орел.: ВИПС, 1996. - 23 с.

267. Baas S.M., Kwakernaak Н. Rating and ranking of multiple-aspect alternative using fuzzy sets // Automatica. 1977. - V. 3. - № 1. - P. 47 - 58.