автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы декомпозиции разнотемповых систем с релейными управлениями



^ На правах рукописи

ФРИДМАН Леонид Моисеевич

МЕТОДЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ РАЗНОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ С РЕЛЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Москва — 1998

Работа выполнена в Самарской государственной архитектурно-строительной академии

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Васильева доктор технических наук, профессор В. Р. Носов доктор технических наук, профессор Е. С. Пятницкий

Ведущая организация - Институт проблем передачи информации РА

Защита состоится б^~1998г. часовой мин. на заседании диссе] тационного совета Д 063.68.05 в Московском государственном институт электроники и математики по адресу: Москва, Трехсвятительский пер 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского гос дарственного института электроники и математики.

Автореферат разослан "L7" йЬ 1998г. Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в однс экземпляре, заверенный печатью организации.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент Бузников С. Е

Актуальность работы. Для достижения высокой точности управления объектами часто используются релейные управления, системы с переменной структурой, бинарные системы управления.

Увеличение сложности современных систем управления, появление более эффективных регуляторов-ключей, позволяющих переключать управление с высокой частотой, приводит к необходимости построения недорогих релейных систем регулирования, надежно работающих в сложных условиях. Однако высокий порядок уравнений, описывающих поведение релейных систем управления, является серьезным препятствием для их анализа и синтеза, а повышение требований к точности систем управления привело к необходимости учета влияния дополнительной динамики на поведение таких систем. С другой стороны, наличие в системах управления различных динамических неидеальностей приводит к потере точности, возникновению "болтанки" (chattering), а зачастую и их разрушению.

Появление систем управления, имеющих только датчики, которые с запаздыванием измеряют лишь знак отклонения измеряемой величины или исполнительные устройства которых обладают запаздыванием, сделало актуальными разработку методов анализа, декомпозиции и синтеза релейных систем с запаздыванием.

Математическим аппаратом для разделения движений в системах управления служат теоремы теории сингулярных возмущений, Которые не выполняются для систем с релейными управлениями, и, следовательно, для декомпозиции релейных систем управления необходима разработка специального аппарата.

Целью работы является разработка методов декомпозиции разнотем-повых РЕЛЕЙНЫХ систем и РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ и применение этих методов для синтеза алгоритмов релейного управления.

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в том, что для разнотемповых РЕЛЕЙНЫХ систем и РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ разработаны методы декомпозиции, позволяющие осуществлять не только разделение движенийпо темпам, но и решать задачи анализа и синтеза систем управления, позволяющие учитывать влияние дополнительной динамики на поведение таких систем управления. Кроме того, описана структура пространства решений релейных систем с запаздыванием, исследована их устойчивость.

Практическое значение работы. Разработанные методы декомпо-

зиции сингулярно возмущенных релейных систем (СВРС) позволяют

• использовать модели меньшего порядка при анализе и синтезе релейных систем управления;

• повысить точность систем с релейными управлениями за счет использования предлагаемых методов коррекции уравнений скольжения;

• реализовать предлагаемые алгоритмы управления, использующие наличие дополнительной динамики;

• использовать предлагаемые алгоритмы управления, учитывающие наличие запаздывания;

• применить предложенные методы для анализа поведения разнотемпо-вых систем с сухим трением.

Внедрение результатов работы для оценки параметров работы инжектора и разработки электронного блока управления двигателем проведено в ходе выполнения договоров 3122/92 и 924/94 Поволжским отделением Российской Инженерной Академии на Волжском автомобильном заводе. В рамках проекта Европейского Экономического Сообщества MAST AMADEUS MAS2-CT91-0016 алгоритмы управления релейными системами с запаздыванием применены при создании системы управления «пальцами» захвата глубоководного аппарата AMADEUS. Материалы работы использованы в учебном процессе кафедр высшей математики и прикладной математики Самарской государственной архитектурно-строительной академии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях и совещаниях по сингулярным возмущениям и решениям в системах управления (Переяславль-Залесский 1993, 1995, 1997, Обнинск 1996), теории устойчивости (Москва 1992, 1996, Самара 1994), 15-м всемирном конгрессе IMACS (Берлин 1997), Европейских конференциях по управлению (Гренобль 1991, Гронинген 1993, Брюссель 1997), международных конференциях по принятию' решений в управлении (CDC) (Кобе 1996, Сан-Диего 1997), по мехатронике (ICRAM) (Стамбул 1995), управлению колебаниями и хаосу (СОС'97) (Санкт-Петербург 1997), международных совещаниях по теории систем с переменной структурой (Шеффилд 1992, Беневенто 1994, Токио 1996), сингулярным возмущениям и их приложениям (Берлин 1997). Материалы диссертации представлены в публикациях

12-го всемирного конгресса ШЛС (Сидней 1993), симпозиума ШАС по синтезу нелинейных систем (Лайк Тахо, США 1995).

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры математики физфака МГУ, Московского государственного университета электроники и математики, Института проблем передачи информации РАН, Института проблем управления РАН, университетов Неаполя, Флоренции, Генуи, . Шеффилда, Института прикладной математики и стохастики им. Вейер-штрасса (Берлин), института индустриальных наук Токийского университета.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 125 названий. Объем диссертации 242 страницы, включая 42 рисунка.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, отмечается ее актуальность, кратко излагается содержание глав.

Первая глава посвящена методам декомпозиции анализа и синтеза систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами, полная модель которых описывается СВРС со скользящими режимами второго порядка. В первой части главы разработан математический аппарат для декомпозиции таких систем. Рассмотрена СВРС со скольжением второго порядка

\idzjex = 5(£,г,£,х,и(£)),

ц^/И — Ь.1(Ь,г,£,х), ¿х/сИ = я)> (1.1.1)

где г € Е.т,£ е К, х € Ип,д,И 1,/гг — гладкие функции своих аргументов, ц — малый параметр, ) = ¡гдп(£). Предполагается, что решения системы (1.1.1), лежащие в скользящем режиме второго порядка, определяются однозначно по методу эквивалентного управления и описываются уравнениями

^¿г/<И = д{г, 2,0,5,и*({,г,5, д)) = д{Ь,г,х, ц),

йх/йЬ = /12(4,2,0,®), (1-1-2)

где величина г1*(£, г, 0, г, /х) — эквивалентное управление для скользящего режима второго порядка определяется равенствами —

кх{Ь, г, 0, х) = 0, «¿2£/Л2(г,г,0,г,и*(М,С),х,р),д) =0.

Быстрые движения в (1.1.1) описываются уравнениями

dz/dr = g{t,z,^x,u(0), 'd£/dT = hi(t,z,t,x). (1.1.3)

Предполагается, что (zo(i,a:),0) — положение равновесия системы (1.1.3) — лежит в области скольжения второго порядка. Укороченной системой по отношению к' (1.1.1) является система

dx/dt = h2(t,zQ(t,x),0,x). (1-1-4)

Система (1.1.1) приводится к виду

(idrj/dt = Bn{t, + Bi2(t,n)a + Вi3/u£ + Вцх + <pi{t,T],<r,€, z,/i), Hdff/dt = B2l(t, /г)г) + B22(t, p)<r + B23(t, + B2ix +^t,ri,ff,£,i,M) + b(t,x)U(t,z,u(0)t vd£/dt = <r, (1.1.5) dx/dt - B3i(t, ц)т] + B32(t, ц)(х + ВззС + B3ix + f3{t, rj, a, f, x, fi), при этом при всех (t) ,о,£,х) € Z С Rra_1 xRxRx Rn, t £ R+

Vi{t,ri,a,£,x,n) = O(fi), <pi(t,r], 0,0,x,fj.) = 0,

^(«.Ч.вг.е.&.м) = o(|fe,oXx)||), < £U(t,x,u(О) < U2>U,> I

При ц = 0 система (1.1.5) совпадает с системой (1.1.4).

В §1.1 показано, что равномерная асимптотическая устойчивость решений системы (1.1.1) следует из условий

• экспоненциального убывания амплитуды колебаний в направлении поверхности переключения и ее производной:

(i) b(t,x) < —а < 0;

(«') B22(t, 0) < -а < 0;

• устойчивости быстрых движений гладкой системы (1.1.2), описывающей движения исходной СВРС в скользящем режиме второго порядка:

(Hi) Re Spec Bn(t, 0) < -а < 0;

• (ги) равномерной асимтотической устойчивости линейного приближения системы (1.1.4).

В §1.2 показано, что при выполнении условий (г) — (ггг) интегральное мнообразие медленных движений гладкой сингулярно возмущенной системы (1.1.2), описывающей движения в скользящем режиме второго порядка, является интегральным многообразием медленных движений исходной СВРС. Предложен алгоритм нахождения асимптотических разложений этого многообразия по степеням малого параметра. При этом показано, что в некоторой окрестности области скольжения второго порядка любое решение исходной СВРС представимо в виде медленной части решения, определяемой из уравнений движения по медленному многообразию системы (1.1.2), описывающей движения исходной СВРС в скользящем режиме второго порядка, и быстрой экспоненциально убывающей функции, характеризующей скорость убывания ■ '

-амплитуды колебаний решения в направлении поверхности переключения и ее производной ;

-быстрых движений гладкой системы, описывающей движения исходной СВРС в скользящем режиме второго порядка.

Во второй части первой главы этот математический аппарат применен для анализа поведения релейных систем в случае, когда полная модель системы, учитывающая наличие в ней малоинерционных исполнительных и измерительных устройств является СВРС со скольжением второго порядка. В §1.3 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах при наличии малоинерционных исполнительных устройств. Исследовано соотношение между условиями устойчивости

• малоинерционных исполнительных устройств;

• объекта

и условиями (г) — (ггг), гарантирующими существование и устойчивость интегрального многообразия медленных движений полной модели системы и экспоненциальное убывание амплитуды колебаний в направлении поверхности переключения и ее производной (отсутствие "болтанки").

Показано, что уравнение для доопределения решений укороченной системы в скользящем режиме по методу эквивалентного управления для систем с малоинерционными исполнительными устройствами соответствует нулевому приближению уравнений движений по медленному интегральному многообразию. Используя более высокие приближения уравнений медленных движений, предложен алгоритм коррекции уравнений метода

эквивалентного управления, позволяющий учитывать наличие в системе малоинерционных исполнительных устройств. Приведем его описание

Рассмотрена система, поведение вектора состояния которой описывается уравнениями

ds

¿¡ = Щ1,в,хМ')), -£ = H2(t,s,x,u{s)), (1.3.1)

где 5 е R _ выход, гбГ- другие координаты вектора состояния системы, «(S) = sign (s), Яь Я2 - гладкие функции своих аргументов и исходя из каких-либо соображений (инвариантность, необходимость обеспечения заданных связей между переменными пространства состояний) закон управления выбран так, что на поверхности а = 0 возникает устойчивый скользящий режим. При этом движения в скользящем режиме происходящие в (1.3.1), согласно методу эквивалентного управления описываются уравнениями

dx

#i(i, 0, x,uei(t, х)) = 0, — = Ha{t, 0, х, ueg{t, х)).

dt

(1.3.2)

Рис. 1.3. 8

Математическая модель системы управления, учитывающая наличие малоинерционных исполнительных устройств, имеет вид

dz . ...

^dt ~

ds dx

— = h!{t,z, s,x), — = h2(t,z,s,x), (1.3.3)

где z £ Rm, g, hi, hi — гладкие функции своих аргументов. Особенность таких систем состоит в том, что для них выполняются условия динамической неопределенности, состоящие в том, что в полной модели системы (1.3.3) устойчивый скользящий режим первого порядка отсутствует, а в укороченной модели системы выполняются достаточные условия его существования. Переменная 2 6 Rm в (1.3.3) описывает поведение исполнительных устройств, ц — постоянная времени этих устройств.

Из результатов §1.2 следует, что уравнение (1.3.2) совпадает с нулевым приближением уравнений, описывающих движения по медленному интегральному многообразию системы (1.3.3). Алгоритм сингулярной коррекции метода эквивалентного управления состоит из четырех шагов.

1-й шаг. Записать алгебро-дифференциальные уравнения, описывающие движения в скользящем режиме второго порядка, происходящие в (1.3.3). Эти уравнения имеют вид

dzг

— = h2(t,z,0,x), (1.3.4)

где величина u*(t, х, ¿¿) — величина эквивалентного управления для скользящего режима второго порядка, определяемая равенствами

ds d2s

~^hl{t,z,0,x)=Q, —{t,z,0,x,u'(t,x,n),ij.) = 0. (1.3.5)

2-й шаг. Записать дифференциальные уравнения, описывающие движения в скользящем режиме второго порядка, происходящие в (1.3.3). Для этого одну из координат вектора z нужно выразить из уравнения — = hx(t,z,0, х) = 0. Пусть это будет его последняя координата — zm. Выражая ее по формуле zm — q(t,z,x), где z £ Rm_1 — вектор первых (m — 1) координат вектора z, запишем (1.3.4) в форме

dz

/¿Л - g(t,z,x,n), (1.3.6)

clx "

— = h2(t,z,q(tlz,x),Q,x) - h2[t,z,x),

где g — функция, состоящая из первых (т — 1) координат функции д в точке (t,z,q(t,z,x),x,fj.).

3-й шаг. Найти интегральное многообразие медленных движений системы (1.3.6) в виде i = p(i, х, ц). Функция р(£, х, р.) удовлетворяет дифференциальному уравнению

dp от) —

g^h{t,p{t,X,fl),0,x)} =g(t,p(t,X,fi),X,n). (1.3.7)

Функцию p{t,x,/i) найти из (1.3.7) в виде асимптотического ряда p{t, х, ft) = ^f^kpk(t,x).

4-й шаг. Для получения уточненных уравнений скольжения подставить полученный отрезок ряда для z = p(t, х, ц) в систему

dx -

— =h2{t,p(t,x,v),x), (1.3.8)

описывающую движения по этому многообразию.

Показано, что в критическом с точки зрения устойчивости случае такая коррекция уравнений скольжения необходима, т.к. наличие инерционных исполнительных устройств может изменить поведение системы с устойчивости на асимптотическую устойчивость или неустойчивость.

В §1.4 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах при наличии малоинерционных измерительных устройств. Показано, как для коррекции уравнений скольжения таких систем можно применить асимтотическое представление интегрального многобразия медленных движений. В критическом с точки зрения устойчивости случае такая коррекция уравнений скольжения необходима, т.к. наличие инерционных измерительных устройств может изменить поведение системы с устойчивости на асимптотическую устойчивость или неустойчивость. Предложена асимптотическая формула для оценки разности идеальной и измеряемой поверхностей разрыва.

В третьей части первой главы предложены алгоритмы решения задачи синтеза систем с релейными управлениями, исполнительные устройства которых являются системами с несколькими входами и выходами. В §1.5

показано, как наличие в системе таких исполнительных устройств может быть использовано для решения задачи модального управления ме-денными движениями системы. Для систем, в которых исполнительные устройства имеют не менее двух входов и выходов, предложен алгоритм синтеза управления в виде суммы релейного управления и линейной комбинации других переменных объекта. Показано, как при помощи алгоритма коррекции уравнений скольжения задача может быть решена с любой степенью точности по отношению к степеням малого параметра.

В §1.6 для систем, в которых исполнительные устройства имеют не менее двух входов и выходов, предложен алгоритм синтеза управления в виде суммы релейного управления и линейной комбинации других переменных объекта, позволяющий решать задачу оптимальной стабилизации движений системы по медленному интегральному иногообразшо, соответствующих движениям в скользящем режиме в укороченной системе.

Вторая глава посвящена анализу и синтезу систем с малоинерционными исполнительными устройствами, полная модель которых описывается СВРС со скользящими режимами порядка выше второго, или систем с положительной обратной связью по знаку выхода. Движения в, скользящих режимах в таких системах неустойчивы, и в них могут возникать быстрые автоколебания.

В §2.1 разработан математический аппарат для усреднения и исследования быстрых периодических решений в СВРС. Рассмотрены системы вида

/idz/A = $(*,£, ®fti(0), ' • (2.1.1)

fid£/dt = hi(z,$,x,u(£)), dx/dt = h2(z,£,x,«(£)),

z e Rm, £ € R, x € Rn,-u(£) = sign(£),g,hi,h2 — гладкие функции своих аргументов. Вводя быстрое время г = t/ц в (2.1,1), получим

dz/dT = g{z,Z,x,v.{Z)), (2.1.2)

d£/dr = /ij(z, х, u(f)), dx/dr = /jh2(z, x, u(f)).

Предположим, что выполняются следующие условия: i°hi,h2,gec2[Zx[-i,i]}.

2° поверхность ( = 0 является поверхностью без контакта по отношению к траекториям решений системы

dz/dr = g(z,£, x,u(£)), d^jdr = h\(z,£,x,u(£)), (2.1.3)

которая при всех х G X С R" имеет изолированное орбитально асимптотически устойчивое решение (го(т,х),(о(г>х)) с периодом Т(х). 3° R(z, х) — точечное отображение множества

V = {(z,®):hi(2,0,x,l)>0}

на поверхности f = 0 в себя, осуществляемое системой (2.1.3), имеет неподвижную точку z'(x), соответствующую (z0(r, х), £о(т> х)).

4° существует (zo(t, £),£o(rjг))| — невырожденное быстрое периодическое решение такое, что ||f^(.z*(a:o),a:o)|| ф 1.

5° существует невырожденное положение равновесия хо усредненной системы

dx/dt = р(х) = J*{X) h2(zo(T,x),Ç0(Ttx),x,u(Ç0(T,x))dT, (2.1.4)

такое, что р(хо) = 0, dei|^(xo)| Ф 0.

Теорема 2.1.1. При выполнении условий 1° — 5° система (2.1.1) имеет изолированное периодическое решение с периодом fx(T(xo) + 0(fi)) вблизи цикла (zo(t//j,,xo),£o{t/(¿,х0),х0).

Доказано, что после добавления к условиям 1° - 5° условий

6°||f№o),so)||<l.

7° ReSpec\fx(xa)\ < 0.

справедлива

Теорема 2.1.2. При выполнении условий 1° — 7° существует изолированное орбитально асимптотически устойчивое периодическое решение систем (2.1.1),(2.1.2).

Кроме того, предложен алгоритм нахождения периода Т(у) и периодического решения (2.1.2) на отрезке [0,Т(^)] в форме

Т{ц) = Т0 + (iTi + (12Тг + р3Т3 + ...,

z(r, ц) = zq{t) + hZi{t) +/i2z2(r) +- ... + nkzk[r) + ...,

£(r, ¡I) = £„(т) + /uÇi(t) + /u2fc(r) + ... + ц%(т) + ...,

х(т, fi) = x0 + fJ.Xi(r) + fi2x2(r) + ... + nkxk{r) + ... .

Полученные разложения использованы для коррекции усредненных уравнений.

В §2.2 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах, быстрые автоколебания которых обусловлены наличием малоинерционных исполнительных устройств.

Математическая модель системы управления с алгоритмами на скользящих режимах при наличии быстрых исполнительных устройств имеет вид

^.¿г/М = д[г, з,х,и(я)), (2.2.1)

йэ/йЬ — /11(2, 5, х, и(в)), йх/вХ — ¡12(г,з,х,и(з)),

где 2 £ Л"1, в £ К, х 6 Н",-и(з) = згдп(з)\д,к 1, Л2 — достаточно гладкие функции своих аргументов. Переменная я в (2.2.1) описывает поведение выхода объекта, х — остальные координаты вектора состояния системы управления, а вектор 2 — поведение исполнительных устройств. Условия динамической неопределенности для системы (2.2.1) означают, что, отбрасывая дополнительную динамику, т.е., полагая /1 = 0и выражая г из уравнения

д[го, з,х,и(з)) = О по формуле го = <¿>(5, х, и(з)), получим укороченную систему

¿в/сИ = Ъ,\(}р(з,х,и(з)),з,х,и(з)) = Н\(з,х,и(з)), (2.2.2)

с?х/Л = /12(95(3, я, и(5)),з,х,и(5)) = Яг(5, х,и(з)).

Показано, что, если для систем (2.2.1) и (2.2.2) выполняются условия теорем 2.1.1, 2.1.2, то медленные движения в (2.2.1) описываются усредненными уравнениями

5 = = т^у Г/12(2о(г' и(^о(т' х№т- (2-2-3)

Если в исходную систему (2.2.1), учитывающую наличие малоинерционных исполнительных устройств, релейное управление входит нелинейно, усредненные уравнения таких систем могут не совпадать с доопределениями А. Ф. Филиппова и методу эквивалентного управления для доопределения решений (2.2.2). Приведен пример, показывающий, что введением дополнительной динамики, приводящей к возникновению быстрых автоколебаний, в систему с нелинейным вхождением релейного управления, в которой решения в скользящем режиме, полученные доопределеннием по А. Ф. Филиппову и методу эквивалентного управления неустойчивы,

можно добиться того, что положение равновесия усредненных уравнений будет устойчиво по первому приближению, а, значит, в исходной СВРС возникнут орбитально асимптотически устойчивые быстрые периодические решения.

Рассмотрен случай, когда релейное управление входит в (2.2.1) линейно. В этом случае система (2.2.1) может быть записана в виде

\idzjdt = A(s,x)z + /i(s,x) + K\(s,x)u{s)>

ds/dt = B(s, x)z + /2(s,x) + K2(s, x)u(s), (2.2.4)

dx/dt — D(s, x)z + fi(s, x) + Ki(s, x)u(s),

где z 6 Rm, s б R, u(s) = sign{s),x 6 Rn; /;, K, (i = 1,2,3) — гладкие функции своих аргументов. Положив fi = 0 и выражая z0 из первого уравнения системы (2.2.4) по формуле zo = — A~l(s, x)[fi(s, х) + Ki(s, z)ii(s)], получим укороченную систему

ds/dt = -B(s,x)A~1(s,x)fi(s,x) + f2{s,x)~

~[B{s,x)A~l(s,x)Ki(s,x) - K2(s,x)]u(s), dx/dt — D{s,x)A~1(s, x)fi(s, i) + fz(s,x)-—[D(s, a:) A-1 (s, x)Ki(s,x) - JC3(s, z)]u(s).

Уравнения, описывающие движения в скользящем режиме в укороченной системе, принимают вид

dx/dt = -D(0,x)A-1{0,x)f1(0,x) + /з(0,®)-

-[ДО.аОА-ЧО.гЖДО.®) ~ ВД,х)](и(а) - иед{х)). (2.2.5)

ueq(x) = [B(0,a)j4-l(0,e)ffi(0,s) -^(О,®)]"^

х [-В(0, х)А-\0, x)h{О, х) + /2(0, х)].

Показало, что, если для систем (2.2.4) и (2.2.5) выполняются условия теорем 2.2.1 и 2.2.2, уравнения усреднения вдоль возникающих в системе (2.2.4) быстрых автоколебаний совпадают с уравнениями (2.2.5), описывающими движения в скользящем режиме, происходящими в укороченной системе.

В §2.3 это свойство системы (2.2.4) использовано для решения задачи модального управления усредненными уравнениями в системах с быстрыми автоколебаниями для случая, когда исполнительные устройства в

системе являются устройствами с несколькими входами и выходами. Для таких систем предложен алгоритм синтеза управления в виде суммы релейного управления и линейной комбинации других переменных объекта. При этом, для решения задачи модального управления для усредненных уравнений предлагается использовать динамику имеющихся в системе малоинерционных исполнительных устройств, а синтез производить в пространстве, размерность которого совпадает с размерностью уравнений скольжения.

В третьей главе работы изучено влияние динамики исполнительных устройств на поведение релейных систем, работающих в колебательных режимах. Показано, что особенностью медленных периодических движений в СВРС является наличие внутренних пограничных слоев, возникающих при переходе из окрестности одного листа интегрального многообразия в окрестность другого. Другой особенностью медленных периодических решений СВРС является то, что, в отличие от релаксационных колебаний, в момент переключения значения управления правые части уравнений, описывающих быстрые движения, отличны от нуля и, следовательно, после некоторых естественных предположений для описания срыва решения из окрестности одного листа интегрального многообразия в окрестность другого можно применять метод пограничных функций. В §3.1 найдены достаточные условия существования, единственности и исследована устойчивость периодических решений без внутренних скользящих режимов в разнотемповых релейных системах управления.

Рис. 3.1.

Рассмотрена система

цв.г/<1Ь = д(г, в,х,и), ¿в/Л = /11(2, ж, и), йх/И = к2(г, в, г, и), (3.1.1)

где 2 6 Лт, в € Л, а; € Я", и(я) = — вгдп [в(4)], д, Ль к2 — гладкие функции своих аргументов, /л — малый параметр. Вектор 2 в (3.1.1) может описывать поведение исполнительных устройств, переменные 5 — выход, х — другие координаты вектора состояния объекта управления, /г — постоянная времени исполнительных устройств. При ц = О, выразив г из уравнения

д(г01в,х,и(в)) =0 (3.1.2)

по формуле го = <р(з,х,и), вместо (3.1.1) получим систему

¿5оМ = Ы((р(за, Х0, и), «О, Хд,и) = Я^во,

¿хо/сИ = /12(¥>(5о,5о,«)>«о> £()>«) = Я2(50,г<ьи), (3.1.3)

для которой выполняются достаточные условия существования орбиталь-но асимптотически устойчивого периодического решения с периодом Г0.

Особенностью системы (3.1.1) является то, что интегральное многообразие медленных движений в ней состоит из двух листов, соответствующих ¿о = <р(в,г,1) и ¿о = -1).

Доказано, что система (3.1.1) имеет изолированное орбитально асимптотически устойчивое периодическое решение (г(£, ц), ц), х(Ь, ¡л)) с периодом Т{/л) близким к То при выполнении условий

• достаточной гладкости д,к

• существования изолированного То периодического решения (¿о^), го(£)) (3.1.2) с моментами переключения знака управления Ь = 0, Ь = во < То, которому соответствует £о — изолированная неподвижная точка ) — точечного отображения поверхности в = 0 в себя, осуществляемого системой (3.1.2);

• экспоненциальной устойчивости ($о(£),а:о(£))

• равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия системы, описывающей быстрые движения

dz/dr = g(z,s,x,u),

означающих, что при всех (5,2) из некоторой окрестности (so(t),xo(t)) и U& [-1,1]

Re Spec dg(zo,s,x,u)/dz < —а< 0;

• условия притяжения, при выполнении которого точки <р(0,2о(0), — 1) и <р(0, х q (бо), 1) лежат в области влияния устойчивых положений равновесия

z = <p( 0,5j(0),l) и z = <p(O,5(60),-l)

соответственно.

Равномерная асимптотика этого периодического решения, а также асимптотика момента переключения 6(fi) и его периода Т(ц) на отрезке [0, имеют вид

¿=о

в{ц) = ва + цвх + --- + fikek + • • •

где функции Y, П ^у(г),П~г/(гк+1) € Rm+"+1 соответствует асимптотическому разложению всех координат на отрезке [0,T*+i(aO] и, кроме того,

г = t/ц, тк = (i - 0*+i(/O))//i,

Vk+l

Тк{ц) - То + m^i + • • • + (лкТк;

||ПГу(г) \\<Се~^,С,у>0, ПГу(т) = 0 при г < 0;

||П+2/(п.+1)||<Се-^', П+у(т*+1) = 0 при тш < 0.

В §3.2 задача о существовании, устойчивости и нахождении асимптотических разложений медленных периодических решений для систем с

внутренними скользящими режимами. Особенностями таких периодических решений является то, что при исследовании их устойчивости рассматриваются точечные отображения границы области скольжения в себя, а особенностью асимптотических разложений этих решений является то, что в окрестности точек срыва решений с поверхности скольжения нулевое приближение медленного интегрального многообразия непрерывно и равномерные асимптотические разложения периодических решений в окрестности этих точек начинаются с пограничных функций первого порядка. Показано, что полученные результаты могут быть применены для анализа движения двух упруго связанных маятников, один из которых лежит на наклонном равномерно вращающемся диске при наличии сухого трения.

Четвертая глава работы посвящена исследованию релейных систем с запаздыванием (РСЗ).

В §§4.1-4.4 изучено поведение скалярных РСЗ (СРСЗ) вида

¿(4) = -«дп[;г(*-1)]-^(х(г),4), 1бЕ+, (4.1.1)

*(«)=*>(£), ¿€[-1,0], (4.1.2)

|р(1,4)|<р<1. (4.1.3)

В качестве множества начальных функций выбрано пространство

С[—1,0] : ^-1(0) конечно }.

Множество нулей решения в которых меняется его знак, зануме-

ровано в порядке возрастания

-1 < ¿1 < ¿2 < ••• < ¿п < ••• •

Частотой решения £ Р) — решения задачи (4.1.1), (4.1.2)

— названа функция г^(тг) : N -> N110, сопоставляющая натуральному числу п количество перемен знака решения х^) на интервале (£„ — 1, £п).

Показано, что каждому решению х9(£) задачи (4.1.1), (4.1.2) может быть поставлена в соответствие некоторая частота, которая принимает лишь четные значения и не возрастает.

Таким образом, каждому решению задачи (4.1.1),(4.1.2) может быть поставлена в соответствие некоторая частота. Обозначим ее

Решение задачи (4.1.1) с vv{n) = const названо установившимся режимом (УР).

Изучены свойства установившихся режимов и показано, что:

1 .Для каждого четного N — 2п и вещественного а > 0 существует установившийся режим. xv(t), удовлетворяющий условиям:

Nv = N, xv(a) = 0, xv{a) > 0.

При N = 0 такой режим единственен. В автономном случае УР при всех N = 2л определены однозначно (ниже мы будем обозначать их 9no{t))-

2. Функции gna(t) периодичны, причем

gna(t) = gno(t + ot).

Периоды этих функций тп, соответствующие частоте Nv ~ 2п, удовлетворяют неравенству

т0 > 2, 1/п > тп > 1/(п + 1), п>1.

3. Для любого (р £ Т существует Т > 0 такое, что xv(t) совпадает с одним из УР при t > Т.

4. Если

(*)*±i <®i TTFw >

и

(**) хТ > xZi или f»Zi y^jj > 1, существует такое 5 > 0, что решение x9(t) задачи (4.1.1), (4.1.2) Ли (р Е гс?е ||<^>|| < <5 продолжимо на [—1,оо), равномерно ограничено и обладает свойством 3.

Таким образом, показано, что множество установившихся режимов в релейных системах с запаздыванием обладает свойствами скользящих режимов.

Действительно, основными чертами скользящих режимов являются следующие:

(i) решения релейных систем, лежащие в области скольжения, не являются решениями в обычном смысле каждой из непрерывных частей, описывающих поведение системы вне поверхности разрыва;

(ii) время, предшествующее движению системы в скользящем режиме, конечно;

(iii) оператор сдвига необратим;

(iv) решения систем, лежащие в области скольжения, инвариантны по отношению к ограниченным возмущениям.

Множество УР обладает всеми основными свойствами скользящих режимов, а именно:

(i) множество переключений любого УР неограничено; а значит,ни один УР не может быть составлен из решений непрерывной части (4.1.1).

(ii) время, за которое решение СРСЗ совпадет с одним из УР, конечно;

Определим оператор сдвига Тд, соответствующий (4.1.1), как

Ъ ■■ Т Т, T8{y{t)) = xv{t + 9).

(iii) оператор сдвига Те не обратим в 7";

(iv) свойства (i)-(iii) инвариантны по отношению к возмущениям, удовлетворяющим (4.1.3) или (*),{**)■

В §4.2 исследована устойчивость УР в СРСЗ. При исследовании устойчивости УР выделены три основных случая:

— автономный случай, когда

F(x,t) = F(x)-,

— квазиавтономный случай, когда

roo i dF i

/о даР1вгМЛ <оо; {QAC)

— периодический случай, когда для некоторого Т

F[x,t + T) = F(x,t).

Тогда

В автономном случае все решения а^(£) с нулевой частотой устойчивы, но не асимптотически.

При выполнении условия (QAC) все решения xv(t) с нулевой частотой устойчивы, но не асимтотически устойчивы.

Кроме того удалось показать, что в автономном случае, все решения задачи (4.1.1)-(4.1.3) с ненулевой частотой неустойчивы, а в неавтономном случае свойство неустойчивости для УР (4.1.1)-(4.1.3) с ненулевой частотой формулируется в виде:

Если либо

/» Ч(1 - р)2

то УР с Ы^ > О неустойчивы.

В §4.3 исследована структурная устойчивость УР в СРЗС в периодическом случае. Для этого применена теория диффеоморфизмов окружности на себя.

Введена в рассмотрение Я — окружность длиной 1, и То — период функции Р(х, £). Тогда

Л о

— проекция осп £ на 5 ([] — целая часть числа).

Для произвольного Г € Г1 существует единственный установившийся режим <?(£) с нулевой частотой, который при д(Т) = 0, при этом д'(Т) > 0. Тогда для Т' — второго нуля д(£) на [Т,оо) справедливы соотношения

д(Г) = 0, д'{Т')> 0.

Таким образом, получено отображение

/ : Я Я, /(Т) = Т.

Применяя к / отображение ш, получим диффеоморфизм

С = ш(/) : 5 -» 5,

определяемый функцией ¿).

Таким образом, исследование устойчивости и периодичности <?(£) с периодом, соизмеримым с То, эквивалентно устойчивости и периодичности траектории Т, £(Т), £(£(Т)),... точки Т.

Теорема 4.3.1 (устойчивость в нерезонансном случае). Если I иррационально, тогда все решения с нулевой предельной частотой

устойчивы , но не асимптотически.

Теорема 4.3.2 (устойчивость в резонансном случае). Если I рационально и все циклы невырбжденны, тогда существуют четное число

2к установившихся режимов с одинаковым периодом кратным Т такие, что к из них асимптотически устойчиво, а к неустойчивы. Все другие УР апериодичны и притягиваются к асимптотически устойчивым периодическим УР.

В §4.4 рассмотрена задача об условиях стабилизации неустойчивой системы

х = кх, (г 6 R, к > 0) (4.4.1)

разрывным управлением с запаздыванием и = —sign[x(t — 7)]. В этом случае уравнение движений стабилизируемой системы (4.1.1) принимает вид

¿(t) = — sign[x(t — 7)] + кх, (4.4.2)

Оказалось, что стабилизация простейшей неустойчивой системы (4.4.1) возможна лишь при условии

kf < ln2. (4.4.3)

Тогда, если |<¿>(0)| < ^fíp, решение xp(t) ограничено.

Кроме того, предложены релейные алгоритмы управления скалярными системами с запаздыванием, позволяющие сделать амплитуду колебаний в окрестности заданной поверхности меньше наперед заданной величины.

Идея алгоритма. Рассмотрена задача стабилизации решений системы

х = F(t,x) (4.4.4)

при помощи разрывного управления с запаздыванием

и(х) = —a sign(x(t — 1)) (4.4.5)

за счет выбора коэффициента усиления а. Предполагается сначала, что выполняются условия

8F

F(0,t) = 0, -faiX't) <к< Ь2при |х| < а/к (4.4.6)

и имеется полная информация об F(t,x). При этом, имеется возможность измерять нули z(í) с запаздыванем 1. Используя распределение знаков x(t) на отрезке [0, íj], можно экстраполировать x(t) на интервал t > ¿1. Вычислим первый нуль x{t), такой, что t > t\ -f 1. В идеальной ситуации можно положить

a{t) = а, t > t\,

причем а настолько мало, чтобы обеспечить желаемое отклонение амплитуды УР от нуля.

Случай ошибки измерительных устройств. Предполагается, что в силу разных причин (влияние возмущений, ошибки измерительных устройств), можно экстраполировать £ с ошибкой 5 и, следовательно, изменить а в точке в такой, что — 0\ < д. Условие осуществления последующего шага не зависит от а и имеет вид:

1п2

О < <5 < —--1. (4,4.7)

Пусть

еы - 1

Тогда можно положить а\ = ар. После т шагов будем иметь

^ _ 1 (ек — 1 '[И1-1

|*(01 > <*'—£-Рт = - 2е-ь_ 1 + °('5т+ ) -»• 0- (4.4.9)

Управление неопределенными системами. Автономный случай. Рассмотрен автономный случай, когда F(í,г) = х) и известно лишь, что для Р выполняются условия (4.4.6), а нули г(£) на интервале (0,4 — 1] измерены с ошибкой Тогда в системе

¿х/Л = F(x) + и(£), и(£) = —авгдп [ж(£ - 1)]

возникает УР нулевой частоты. Пусть в момент времени ¿2« измеритель зафиксировал очередной нуль последовательности (о,£ь ...,£гп таких, что £¿+1 >£¿ + 1,1 = 0, ..,2п. В силу периодичности УР для экстраполирования следующего нуля используется формула

¿2И+1 = ¿2П-1 + —-- > £2П + 1.

п

Эта формула позволяет определить следующий нуль с точностью не меньше, чем 6 = (1 + Если 8 удовлетворяет (4.4.7), то можно сделать следующий шаг.

В §4.5 изучены РСЗ второго порядка (РСЗВП). Показано, что особенностью таких систем является то, что если частота решения является четной, то она не возрастает, а если частота решения является нечетной, то она сможет возрасти не более, чем на единицу. Это позволило ввести

понятие частоты для РСЗВП по формуле ф= ([ ] — целая часть

числа). Тогда для каждого решения РСЗВП существует своя предельная частота Л^ = Игтц^^ф^Ь). Решения РСЗВП, для которых постоянна, названы установившимися режимами второго порядка (УРВП). При этом в автономном случае для любого целого неотрицательного значения частоты существует периодический УРВП.

Кроме того, получены условия сохранения частоты для кусочно-линейной РСЗВП (КЛРСЗВП). Найдены достаточные условия, при выполнении которых частота ф9{£) не возрастает. Доказано, что если эти условия не выполнены, сушествует такое решение КЛРСЗВП, для которого частота ф<р{Ь) возрастает. Найдены условия, при выполнении которых существует периодический орбитально асимптотически устойчивый УРВП нулевой частоты. Показано, что в сингулярно возмущенном случае это условие совпадает с условием (4.4.3).

В §4.6 найдены достаточные условия существования счетного числа периодических установившихся режимов в многомерных автономных РСЗ.

В §4.7 аналогично тому, как это сделано в §3.1, найдены достаточные условия существования и орбитальной асимптотической устойчивости изолированного периодического решения системы (3.1.1), в которой и(в) = з{дп[8(Ь — 1)]. Особенностью асимптотических разложений этих периодических решений по сравнению с рассмотреными в §3.1 является то, что для периодического УР нулевой частоты, для которого ¿(О. р.) = О, скачки происходят в точках Ь = I, Ь = в{1м) + I, где t = 9(р) — момент пересечения поверхности в — 0.

Пятая глава диссертации посвяшена применению полученных результатов в задачах управления некоторыми техническими системами. §5.1 . посвящен алгоритмам управления составом отработавших газов бензиновых двигателей. Особенностью таких систем состоит в том, что в качестве измерительных устройств в системе управления отношением концентраций окисляемых компонентов и кислорода — Л - регуляторе — используется Л - зонд, имеющий характеристику, близкую к релейной. Более того, суммарная задержка отклика выходного сигнала Л - зонда на изменение величины подачи топлива форсунками в угловой форме составляет 6-7 рабочих циклов. Она складывается из времени рабочего цикла, включающего продолжительность переходных процессов по топливоотда-че во впускной системе, и транспортной задержки, связанной с конечной скоростью перемещения отработавших газов в выпускной системе от вы-

пускного клапана до места установки датчика. Одной из главных целей Л - регулирования является поддержание параметров отработавших газов двигателя в "окне бифунхциональности" нейтрализатора, когда отношение разности концентраций окисляемых компонентов отработанных газов на входе и выходе к их концентрации на входе не менее 0,7.

Математической моделью Л - регулятора является РСЗ. При Л - регулировании используется адаптивный алгоритм, состоящий в подборе величины подачи топлива для всех основных режимов работы двигателя, обеспечивающих колебания параметров отработавших газов в устойчивом установившемся режиме в пределах "окна бифункциональности" для всех стационарных режимов работы двигателя, и формировании адаптивных коэффициентов топливоподачи в переходных и нестационарных режимах. Использование результатов главы 4 позволило сделать вывод о работоспособности такого алгоритма. Кроме того, получены оценки частоты и амплитуды колебаний параметров отработавших газов в "окне бифункциональности" нейтрализатора. Доказана возможность компенсации постоянного возмущения, обусловленного старением или загрязнением топливнй системы, за счет адаптации топливоподачи.

В §5.2 алгоритмы стабизации РСЗ из §4.4 применены для построения алгоримов управления пальцами глубоководного аппарата AMADEUS. Конструктивные особенности пальцев захвата отличаются тем, что в захватах, сконструированных без алгоритмов гашения колебаний, происходила потеря захватываемого предмета.

S

CJ

1

>Г

t

-S

«Г в

10

gain В

в

а

»I»1

■

Рис. 5.2. 25

Особенностью работы захвата глубоководного аппарата является практическое отсутствие возмущений. Более того, для практики, чтобы не потерять предмет, достаточно добиться гашения колебаний на кончике пальца. Тогда для кончика пальца наличие упругости можно моделировать как запаздывание. При помоши моделирования проиллюстрированы результаты §§4.1-4.2, из которых следует, что применение обычных алгоритмов на скользящих режимах приводит к возникновению автоколебаний, обусловленных наличием упругости, которое для фиксированной точки пальца моделируется как запаздывание.

На рисунке 5.2 изображены результаты моделирования поведения координат кончика пальца. В левой колонке смоделированы движения, происходящие в системе без применения алгоритмов стабилизации, а в правой — результаты применения алгоритма стабилизации. Правый нижний график показывает уменьшение коэффициента усиления.

Выводы

Разработаны следующие методы декомпозиции СВРС

• для СВРС со скольжением второго порядка найдены достаточные условия декомпозиции задачи исследования устойчивости по первому приближению, найдены достаточные условия существования и предложен алгоритм нахождения интегрального многообразия медленных движений;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго найдены достаточные условия существования быстрых периодических решений, предложен алгоритм их нахождения в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений;

• найдены достаточные условия существования медленных периодических решений, содержащих скачки в окрестности моментов переключения управления, предложен алгоритм нахождения медленных периодических решений по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений; показано, что особенностью систем с внутренними скользящими режимами является то, что в точках срыва из области скользящего режима пограничные функции нулевого порядка равны нулю;

• для разнотемповых многомерных РСЗ найдены достаточные условия существования периодических решений (установившихся режимов нулевой частоты), содержащие скачки в окрестности моментов переключения управления; предложен алгоритм нахождения установившихся режимов нулевой частоты по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений.

Проведен анализ поведения релейных систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами и релейных систем с

запаздыванием

• в СВРС со скольжением второго порядка исследовано соотношение между устойчивостью объекта управления, устойчивостью исполнительных устройств и экспоненциальным убыванием амплитуды колебаний в окрестности поверхности разрыва (отсутствием "болтанки");

• предложен алгоритм коррекции уравнений метода эквивалентного управления для описания движений в области скольжения в укороченных системах, позволяющий учитывать наличие в системе малоинерционных исполнительных и измерительных устройств;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго и систем с положительной обратной связью по знаку выхода, в которых происходят быстрые автоколебания, показано, что медленные движения описываются усредненными уравнениями; в то же время, в случае линейного вхождения релейного управления в исходную СВРС усредненные уравнения совпадают с уравнениями для доопределения решений укороченной системы в скользящем режиме, возникающем в укороченной системе;

• показано, что поведение решений релейных систем с запаздыванием (РСЗ) характеризуется одним скалярным параметром: частотой — числом переключений на интервале, предшествующем смене знака, длина которого равна запаздыванию; введено понятие установившихся режимов (УР) - решений с постоянной частотой; показано, что в автономном случае УР являются периодическими;

• показано, что все решения скалярных РСЗ (СРСЗ) через конечное время совпадают с одним из установившихся режимов, а само множество

УР обладает всеми основными свойствами скользящих режимов; доказано, что в СРСЗ устойчивыми, но не асимптотически, являются лишь установившиеся режимы с нулевой частоты, а остальные УР неустойчивы; исследована структурная устойчивость СРСЗ при наличии периодических возмущений;

• введено понятие частоты и установившихся режимов в РСЗ второго порядка; найдены условия при выполнении которых УР с нулевой частотой являются орбитально асимптотическими устойчивыми.

На основе разработанных методов декомпозиции и проведенного анализа решены следующие задачи синтеза:

• для систем со скольжением второго порядка, в которых исполнительные устройства имеют несколько входов и выходов, предложен алгоритм синтеза, позволяющий решать задачи модального управления и оптимальной стабилизации для уравнений медленных движений, соответствующих уравнениям скольжения;

• для систем, имеющих исполнительные устройства с несколькими входами и выходами, в которых происходят быстрые автоколебания, предложен метод синтеза решения задачи управления модами усредненной системы, соответствующей уравнениям скольжения;

• предложены алгоритмы стабилизации при помощи релейного управления с запаздыванием.

Литература

[1] Фридман Л.М. О грубости скользящих режимов систем с разрывными управлениями // Автоматикам телемеханика.-1985.-N5.-0. 172-175.

[2] Фридман Л.М. Анализ грубости скользящих режимов систем с разрывными управлениями // Автоматика и телемеханика.-1985. -N11.-С. 172 - 176.

[3] Соболев В.А., Фридман Л.М. Декомпозиция разнотемповых разрывных систем // Автоматика и телемахиника.- 1988. - N3.- С.39-44.

[4] Фридман JI.M. Разделение движений в разнотемповых разрывных системах управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика.-1997. -N7.-C. 240 - 255.

[5] Фридман JI.M. О сингулярных предельных переходах при доопределении разрывных систем // Дифференциальные уравнения.-1986. -Т. 22,- N8.- С. 1461-1463.

[6] Фридман J1.M. Сингулярные доопределения разрывных систем и устойчивость// Дифференциальные уравнения.-1990. -Т. 26.-N10.- С. 1759-1765.

[7] Богатырев С. В., Фридман Л.М. Сингулярная коррекция метода эквивалентного управления // Дифференциальные уравнения.-!992. -Т. 28.-N6.- С. 930-943.

[8] Фридман JI.M., Фридман Э.М., Шустин Е.И. Установившиеся режимы в автономных уравнениях с разрывом и запаздыванием // Дифференциальные уравнения.-1993.-Т.29. N 8.- С. 1340-1346.

[9] Shustin E.I., Fridman Е.М., Fridman L.M. Steady Modes in a Discontinuous Control Systems with Time Delay // Functional Differential Equations.-1993. -V.I.- P. 165-178.

[10] Shustin E., Fridman E., Fridman L. Steady Modes in a Discontinuous Control Systems with Time Delay // Pure Mathematics and its Applications.-1993.- V.4.- P. 59-73.

[11] Fridman L., Levant A. Higher Order Sliding Modes as the Natural Phenomenon in Control Theory // In: Robust Control via variable structure and Lyapunov techniques, F. Garafalo and L. Glielmo (eds.), Berlin:Springer - Verlag.-1996.-P. 103-130.

[12] G. Bartolini, W. Caputo , M. Cecchi, A. Ferrara, L. Fridman. Vibration Damping in Elastic Robotic Structure via Sliding Modes // Int. Journ. of Robotic Systems.-1997. -V.14.-N.9.-P. 675-696.

[13] Fridman L.M., Bogatyrev S.V. Infinite Dimensional Singularly Perturbed Systems with Sliding Mode Control Decomposition// IEEE International Workshop on Intelligent Motion Control, IEEE Cat. No. 90TH0272-5 Istanbul.-1990.-P. 697-701.

[14] Fridman L.M. Sliding Mode Controi System Decomposition Proceedings of the First European Control Conference, Grenoble.- 1991.-V.1.-P. 1317.

[15] Fridman L.M. Fast Periodic Oscillations in Singularly Perturbed Discontinuous Control Systems // Proc. of IEEE Workshop on Variable Structure and Lyapunov Control of Uncertain Dynamical Systems,Sheffield.- 1992.- P. 70-72.

[16] Fridman L.M. Stability of Motions in Singularly Perturbed Discontinuous Control Systems // Prepr. of 12th IFAC World Congress.-1993. - V. 4.-P. 367-370.

[17] Fridman L. , Levant A. Higher Order Sliding Modes sis the Natural Phenomena of Control Theory // Proc. of the Workshop on Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.-P. 302-309.

[18] Fridman L.M. Chattering Control in Sliding Mode Systems: Possibility of Using of Additional Dynamics of Actuators // Proc. of the Workshop on Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.-P. 310314.

[19] Fridman L.M. Design of the Robust Control Algorithms Using Dynamics of the Fast Actuators // IFAC Symposium on Robust Control Design, Rio de Janeiro.-1994.-P. 85-90.

[20] Fridman L.M. Chattering in Sliding Mode Systems and Singular Perturbation // Proc. of Int. Symp.on Nonlinear Control Systems Design. Lake Tahoe, California, USA.-1995.-P. 725-730.

[21] Fridman L. , Gordienko I. Analysis and Control of Turbine Blades with Coulomb Friction Using Boundary Layer Method (invited) // Proc. of Int. Conf. on Recent Advances in Mechatronics. Istanbul,Turkey.-1995.-V.l. -P. 34-39.

[22] Fridman L.M. Steady Modes in Relay Control Systems with Delay// Proc.of IEEE Workshop on Variable Structure Systems.Tokyo,Japan.-1996.-P. 111-116.

[23] Fridman L., Rumpel R. On the Asymptotic Analysis of the Singularly Perturbed Systems with Sliding Modes// Weiersstrass Institute fur Angewandte Mathematik und Stochastik, Preprint N 246.-1996.-29 p.

[24] Fridman L., Fridman E., Shustin E. Second Order Steady Modes in Relay Control Systems with Delay//Proc. of IEEE Workshop on Variable Structure Systems,Tokyo. -1996.-P. 108-110.

[25] Fridman L., Fridman E., Shustin E. Steady Modes and Sliding Modes in the Relay Control Systems with Time Delay // Proc.of 35th Conference on Decision in Control. -1996.-V.4.-P. 4601-4606.

[26] Fridman L., Fridman E., Shustin E. The Phenomenon of Second Order Steady Modes in Relay Control Systems with Delay// Proc. of European Control Conference.- Brussels.- 1997.- V.3. N 767.

[27] Fridman L., Fridman E., Shustin E. Steady modes in the relay control systems with time delay and periodic disturbances// Proc.of 1st conf. on Control of Oscillations and Chaos, IEEE cat No.97TH8329,St-Petersburg. -1997.-P. 75-78.

[28] Fridman L. Fast periodic oscillations in the singularly perturbed relay control systems// Proc. of the IFAC Workshop on Singular Perturbation and Solution in Control Systems, Pereslavl -Zalessky,Russia.Elsevier Publishers:Dod/echt.-1997.-P.19-24.

[29] Fridman L. Chattering in high gain control system with fast actuator and singular perturbation// Proc.of 36th Conference on Decision in Control. San - Diego, CA,USA.-1997. -P. 3232-3233.

[30] Fridman L. Fast Periodic Oscillations in Singularly Perturbed Relay Control Systems and Sliding Modes // Weiersstrass Institute fur Angewandte Mathematik und Stochastik. Preprint N 358. Berlin.-1997.-22 p.

[31] Fridman L., Mikheev Y. Slow Periodic Motions in the Singularly Perturbed Relay Control Systems// Proc. of European Control Conference,Brussels.-1997.-V.3.- N 768.

[32] Fridman L., FYidman E., Shustin E. Steady Modes in the Relay Control Systems with Delay //Proc.ofthe 15th World Congres of IMACS, Berlin.-1997,- V.l. -P. 239-244.

[33] Shustin E., Fridman L., FVidman E. Steady Modes in Discontinuous Equations with time Delay // Proc. of IEEE Workshop Variable Structure and Lyapunov Control of Uncertain Dynamical Systems,Sheffield.-1992,-P. 65-69.

[34] Shustin E., Fridman E., Fridman L. Adaptive Delay Control of Relay Type in Autonomous and Periodic Systems // Proc. of the second European Control Conference (ECC'93), Groningen.- 1993. -V.3.- P. 2212-2215.

[35] Shustin E.I., Fridman E.M., Fridman L.M. Sliding Modes, Stability and Stabilization in Discontinuous Delay Control Systems // Proc. of the Workshop Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.-P. 165-169.

[36] Shustin E.I., Fridman E.M., Fridman L.M. Steady Modes Sliding Modes in Discontinuous Delay Control Systems // Proc.of Int. Symp. on Nonlinear Control Systems Design, Lake Tahoe, California,USA.-1995. -P. 731-734.

г

Л „■>

Щ

V'

Г)

г,.-'

Самарская государственная архитектурно-строительная академия

На правах рукописи

Фридман Леонид Моисеевич

МЕТОДЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ РАЗНОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ С РЕЛЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

05.13.01 - Управление в технических системах

Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук

Самара 1998

Содержание

0.1 ВВЕДЕНИЕ............................ 4

1 РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ С МАЛОИНЕРЦИОННЫМИ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМИ УСТРОЙСТВАМИ 18

1.1 Декомпозиция задачи исследования устойчивости сингулярно возмущенных релейных систем со скольжением второго порядка............................... 19

1.2 Интегральные многообразия медленных движений в сингулярно возмущенных системах со скольжением второго порядка ................................ 26

1.3 Анализ колебаний систем с алгоритмами на скользящих режимах, имеющих малоинерционные исполнительные устройства .....................................37

1.4 Влияние инерционности измерительных устройств на поведение систем управления со скользящими режимами.....47

1.5 Модальное управление скольжением в системах с малоинерционными исполнительными устройствами.......... 54

1.6 Оптимальная стабилизация движений в скользящем режиме в системах с малоинерционными исполнительными устройствами ............................... 62

2 БЫСТРЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И УСРЕДНЕНИЕ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМАХ

С РЕЛЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ И СКОЛЬЗЯЩИЕ

РЕЖИМЫ 67

2.1 Быстрые периодические решения и усреднение в сингулярно возмущенных релейных системах..............68

2.2 Анализ усредненных уравнений в системах со скользящими режимами, имеющих малоинерционные исполнительные устройства............................. 82

2.3 Модальное управление усредненными уравнениями с использованием динамики исполнительных устройств........90

3 МЕДЛЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ РАЗ-НОТЕМПОВЫХ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 97

3.1 Медленные периодические движения без внутренних скользящих режимов в разнотемповых релейных системах управления ................................ 98

3.2 Медленные периодические движения с внутренними скользящими режимами в разнотемповых релейных системах управления ................................117

4 РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 137

4.1 Установившиеся режимы в скалярных разрывных системах

с запаздыванием.......................... 138

4.2 Устойчивость установившихся режимов в скалярных разрывных системах с запаздыванием...............147

4.3 Структурная устойчивость установившихся режимов в скалярных разрывных системах с запаздыванием. Периодический случай.............................156

4.4 Алгоритмы стабилизации скалярных разрывных систем с запаздыванием...........................159

4.5 Установившиеся режимы второго порядка...........164

4.6 Установившиеся режимы в векторных системах с разрывом

и запаздыванием..........................183

4.7 Разделение движений в разнотепмовых релейных системах управления с запаздыванием...................186

5 ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫМИ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ 204

5.1 Оценка параметров системы управления составом отработавших газов бензинового двигателя . .............204

5.2 Демпфирование колебаний упругих "пальцев" захвата глубоководного аппарата AMADEUS................210

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................... 222

Примечание............................225

Приложение............................227

Литература 232

ВВЕДЕНИЕ

Для достижения высокой точности управления объектами часто используются релейные управления, системы с переменной структурой, бинарные системы управления. Основные идеи теории таких систем заложены в работах A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина [5], Я. 3. Цыпкина [65], C.B. Емельянова [25],[26], В.й. Уткина [51],[52].

Увеличение сложности современных систем управления, появление более эффективных регуляторов-ключей, позволяющих переключать управление с высокой частотой, приводит к необходимости построения недорогих релейных систем регулирования, надежно работающих в сложных условиях. Однако высокий порядок уравнений, описывающих поведение релейных систем управления, является серьезным препятствием для их анализа и синтеза, а повышение требований к точности систем управления привело к необходимости учета влияния дополнительной динамики на поведение таких систем. С другой стороны, наличие в системах управления различных динамических неидеальностей приводит к потере точности, возникновению "болтанки" (chettering), а зачастую и к их разрушению [26], [125],[101].

Появление систем управления, имеющих только датчики, которые с запаздыванием измеряют лишь знак отклонения измеряемой величины или исполнительные устройства которых обладают запаздыванием, сделало актуальной разработку методов анализа, декомпозиции и синтеза релейных систем с запаздыванием.

Математическим аппаратом для разделения движений в системах управления служат теоремы теории сингулярных возмущений, которые не выполняются для систем с релейными управлениями, и, следовательно, для декомпозиции релейных систем управления необходима разработка специального аппарата.

Целью работы является разработка методов декомпозиции разнотемпо-вых релейных систем и релейных систем с запаздыванием и применение этих методов для синтеза алгоритмов релейного управления.

Рассмотрим особенности основных технических систем, изучение которых стало отправной точкой для создания предлагаемых в работе методов.

Системы с инерционными исполнительными устройствами. Такими устройствами могут быть электрические двигатели с малыми постоянными времени при управлении технологическими процессами [103], жесткость конструкций летательных аппаратов [104]. Особенностью таких систем (рис.0.1) является то, что в них на объект вместо релейного управ-

ления подаются непрерывные координаты вектора, описывающего поведение исполнительных устройств. Предположим, что исходная система управления имеет относительную степень п по отношению к выходу в смысле йзидори [78], а ее исполнительные устройства имеют относительную степень га.

ОБЪЕКТ (я, х)

8

ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО

и

Рис. 0.1

Тогда полная система, учитывающая наличие в системе инерционных исполнительных устройств, является сингулярно возмущенной (роль малого параметра играет постоянная времени исполнительных устройств), имеет относительную степень т 4- п по отношению к выходу и в ней могут возникать лишь скользящие режимы порядка т + п ([27],[55]). В случае, когда релейное управление синтезировано без учета динамики исполнительных устройств и ориентировано на существование в укороченной системе устойчивых скользящих режимов первого порядка, для полных сингулярно возмущенных моделей систем выполняются условия динамической неопределенности, которые означают, что в полной модели системы устойчивые скользящие режимы первого порядка отсутствуют, а в укороченной выполняются достаточные условия их существования.

Системы с инерционными измерительными устройствами. Особенностью таких систем является то, что на вход реле подается не координата выхода объекта управления, а координата выхода инерционного исполнительного устройства (рис. 0.2). Предположим, что исходная система управления имеет относительную степень п по отношению к выходу, а ее измерительные устройства имеют относительную степень т. Тогда полная система, учитывающая наличие в системе инерционных измерительных устройств, является сингулярно возмущенной релейной системой

(СВРС) (роль малого параметра играет постоянная времени измерительных устройств), имеет относительную степень га 4- п по отношению к выходу и в ней могут возникать лишь скользящие режимы порядка.

и

Рис. 0.2

В случае, когда релейное управление синтезировано без учета динамики измерительных устройств и ориентировано на существование в укороченной системе устойчивых скользящих режимов первого порядка, для полных сингулярно возмущенных моделей систем выполняются условия динамической неопределенности.

Особенностью некоторых систем с релейными управлениями является наличие запаздывания. Можно выделить две основных причины появления запаздывания при синтезе алгоритмов релейного управления.

Системы с запаздыванием в измерениях. Такими системами являются, например, системы управления впрыском топлива [111],[74], в которых датчик измеряет лишь знак отклонения параметров выхлопных газов от задания с запаздыванием 6-7 рабочих циклов двигателя и основным рабочим режимом являются колебания этих параметров в окрестности заданных значений.

Системы с запаздыванием исполнительных устройств. В задачах управления пальцами глубоководного робота [72] измерения отклонения кончиков пальцев происходят без запаздывания, само управляющее воздействие поступает на кончики пальцев с большим запаздыванием.

Вопрос об описании и свойствах решений релейных систем с запаздыванием (РСЗ) и существовании аналогии в них со скользящими режимами до последнего времени оставался открытым, й. Андре и П. Зайбертом [66] показано, что даже наличие малого запаздывания не позволяет ре-

ализовать скользящие движения по поверхности разрыва, и вместо него в малой окрестности поверхности разрыва возникают устойчивые периодические движения. В монографии В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [107] дано определение решений таких систем, из которого следует, что запаздывания не позволяют реализовать идеальное скольжение. В цикле работ Дж.Малле - Парре и Р.Нюсбаума (см., например [109],[110] ) изучены частотные свойства решений РСЗ. В статье Е.А. Асарина и Р.Н. Измайлова [9] смоделированы периодические движения РСЗ с несколькими реле. Поэтому, наряду с разработкой методов декомпозиции СВРС, в работе проведен анализ поведения РСЗ, позволивший показать , что основным видом устойчивых движений в РСЗ являются установившиеся режимы с постоянной частотой, которые обладают основными свойствами скользящих режимов, и предложены некоторые алгоритмы синтеза, основанные на осцилляционных свойствах решений РСЗ.

В то же время в реальных РСЗ всегда есть исполнительные, измерительные и другие устройства, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при производных, соответствующими постоянным времени этих устройств, и, следовательно, полная модель поведения таких систем описывается при помощи СВРС. В системах управления впрыском топлива [99] СВРС могут описывать, например, влияние двигателя автомобиля на работу инжектора. В системе управления пальцами глубоководного робота [72] СВРС могут описывать поведение упругих элементов конструкции.

Еще одним классом технических систем, в которых возникает необходимость в изучении СВРС, является задача управления системами, содержащие элементы с сухим трением [67].

Такими системами также являются гироскопические системы с сухим трением в осях [31], [16], системы управления лезвием турбин, на основания крепления которых действуют силы сухого трения [88]. В этих системах происходят быстрые колебательные движения. Другой задачей,

приводящей к изучению СВРС, является задача об учете влияния дополнительной динамики на поведение колебательных систем с внутренними скользящими режимами. В качестве модельной задачи, поясняющей характер движений в таких системах, рассмотрим систему связанных маятников, один из которых имеет контакт с сухим трением с наклонным равномерно вращающимся диском. К необходимости исследования СВРС приводит задача об изучении возмущений, вносимых дополнительным маятником, упруго связанным с маятником, лежащим на вращающемся диске [91] (рис. 0.3).

Перечислим некоторые другие аспекты, делающие актуальным исследование СВРС.

Развитие теории сингулярных возмущений. Разработка методов разделения движений для систем с релейными управлениями является актуальной и с точки зрения теории сингулярных возмущений. Особенностью СВРС является то, что для них не могут применяться стандартные методы декомпозиции гладких сингулярно возмущенных систем, основанные на их спектральных свойствах, гладкой зависимости решений от начальных данных м параметров и возможности разложения в ряды правых частей дифференциальных уравнений [50],[18],[29],[48], [43],[44],[7], [34].

Для СВРС с конечным числом переключений для конечного интервала времени B.JI. Пасиковым [42] был доказан аналог теоремы А.Н, Тихонова [50]. В.й. Уткиным [52] методом регуляризации была обосновано свойство грубости скользящих режимов. Метод пограничных функций распространен Т.А. Мельник [33] на некоторые решения СВРС с конечным числом переключений. Б. Хек [102] было показано, что при выполнении некоторых естественных условий для СВРС с идеальными скользящими режимами величина эквивалентного управления для полной системы стремится к величине эквивалентного управления для доопределения движений в скользящем режиме в укороченной системе. Задачи синтеза для СВРС с идеальными скользящими режимами решались A.C. Востриковым, В.И. Уткиным и Г А. Французовой [20].

Принципиальное отличие технических задач, рассматриваемых в данной работе состоит в том, что число переключений в них БЕСКОНЕЧНО. Для систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами это происходит в силу того, что для них выполняются условия динамической неопределенности, а для релейных систем с запаздыванием и рассматриваемых классов систем с сухим трением тем, что основным видом устойчивых движений являются периодические.

Развитие теории систем с разрывной правой частью. Одной из важных задач теории систем дифференциальных уравнений с разрывной пра-

вой частью является задача о доопределении решений уравнений в скользящем режиме. Наиболее распространенными определениями являются доопределение решений в смысле А. Ф. Филиппова [54] и по методу эквивалентного управления, подробно изложенному в [52].

"Физический подход" к доопределению решений был, по - видимому, впервые предложен Андроновым, Хайкиным и Виттом в [5]. Согласно этому подходу, для доопределения решения системы в скользящем режиме необходимо анализировать модели, в которых учитываются имеющиеся в системе малые неидеальности, и устремить значения малых параметров к нулю. В работе М.А. Айзермана и Е.С. Пятницкого [1] описано множество всех возможных доопределений разрывной системы, при которых в малой окрестности поверхности разрыва разрывные управления заменяются такими, при которых решения системы определяются однозначно, а радиус окрестности стремится к нулю.

Предельные переходы для доопределения релейных систем, при которых реле обладает малым запаздыванием или гистерезисом, проделаны й. Андре и П. Зайбертом [66]. В их работе показано, что в этих случаях в малой окрестности поверхности разрыва возникает устойчивые периодические решения, а усредненные вдоль этих решений уравнения совпадают с доопределением в смысле А. Ф. Филиппова. Таким образом, снгулярные предельные переходы представляют интерес как физически обснованный метод регуляризации задачи о доопределении разрывных систем в скользящем режиме.

Расширение возможностей синтеза релейных систем, основанных на наличии в них разнотемповых движений. Создание методов декомпозиции СВРС, позволяющих заменить исследование релейных анализом гладких систем, даст возможность применения известных методов синтеза сингулярно возмущенных систем, подробно описанных в монографиях и обзорах Р.О'Молли [108], П.Кокотовича, Дж.О'Рейли и X. Халила[105], А.Б.Васильевой, М.Г. Дмитриева [19], A.A. Первозванского и В.Г. Гайц-гори [41], В.А. Соболева [47].

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в том, что для разнотемповых РЕЛЕЙНЫХ систем и РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ разработаны методы декомпозиции, позволяющие осуществлять не только разделение движений по темпам, но и решать задачи анализа и синтеза систем управления, учитывал влияние дополнительной динамики на их поведение. Полученные результаты являются новыми.

Разработаны следующие методы декомпозиции СВРС

• для СВРС со скольжением второго порядка найдены достаточные условия декомпозиции задачи исследования устойчивости по первому приближению, найдены достаточные условия существования и предложен алгоритм нахождения интегрального многообразия медленных движений;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго найдены достаточные условия существования быстрых периодических решений, предложен алгоритм их нахождения в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений;

• найдены достаточные условия существования медленных периодических решений, содержащих скачки в окрестности моментов переключения управления, предложен алгоритм нахождения медленных периодических решений по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений; п