автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Методы аппроксимации дискретных обводов в задачах твердотельного моделирования

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБВОДОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ

МОДЕЛИРОВАНИИ.

1.1. Требования, предъявляемые к методам конструирования обводов в твердотельном моделировании.

1.2. Анализ методов полиномиальной аппроксимации.

1.2.1. Аппроксимация обводов параметрическими полиномами.

1.2.2. Аппроксимации обводов параметрическими полиномами в форме Бернштейна.

1.3. Линейная интерполяция и барицентрические координаты.

1.3.1. Барицентрические координаты на прямой.

1.3.2. Барицентрические координаты на, плоскости.

1.3.3. Барицентрические координаты в пространстве.

1.4. Анализ методов аппроксимации обводов кривыми NURBS.

1.4.1. Геометрические свойства обводов, построенных с помощью рациональных кривых.

1.4.2. Преобразование NURBS в форму Безье.

Выводы к главе 1.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ОБВОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ КРИВЫМИ.

2.1. Разработка алгоритмов преобразования полиномиальных базисов в форму Бернштейна.

2.1.1. Преобразование стандартных однопараметрических полиномов.

2.1.2. Преобразование многопараметрических полиномов.

2.2. Алгоритмы вычисления производных параметрических кривых.

2.2.1. Геометрические свойства производных функции Бернштейна.

2.2.2. Методика определения нерегулярных точек с помощью годографов.

2.3. Разработка метода управления формой одномерных обводов с помощью весовых функций.

2.3.1. Метод смешивания функций.

2.3.2. Конструирование замкнутого одномерного обвода второго порядка гладкости.

2.3.3. Применение метода управления формой обвода при конструировании поверхности зависимых сечений.

Выводы к главе 2.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ФОРМОЙ ОБВОДОВ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ ЛОКАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ.

3.1. Метод определения точек, инцидентных треугольной порции поверхности, по заданным локальным координатам.

3.1.1. Алгоритм задания квадратичной параболы.

3.1.2. Анализ алгоритма Кастельжо для произвольной кривой.

3.1.3. Разработка обобщенного алгоритма для треугольной порции поверхности.

3.2. Исследование локальных свойств двумерных обводов, сформированных из треугольных порций поверхности.

3.2.1. Аппроксимация поверхностей обобщенными полиномами Бернштейна.

3.2.2. Вычисление и геометрический смысл косых производных.

3.2.3. Алгоритм вычисления косых производных треугольной порции поверхности Безье.

3.3. Локальная модификация обводов с использованием линейной интерполяции.

3.3.1. Алгоритм локальной модификации одномерного обвода

3.3.2. Разработка алгоритма управления формой треугольной порции поверхности.

3.3.3. Разработка методики формирования двумерного обвода произвольного порядка гладкости.

Выводы к главе 3.

В настоящее время на многих предприятиях различных отраслей промышленности, занимающихся проектированием и изготовлением сложной техники, происходит процесс перехода к новым перспективным автоматизированным системам сквозного проектирования класса CAD/CAM/CAE, позволяющим выпускать конкурентоспособную продукцию. Этот процесс обусловлен целым рядом причин, среди которых главное место занимают проблемы управления качеством выпускаемой продукции, особенно при выходе ее на мировой рынок и сертификации на соответствие международным стандартам. В связи с этим в практике руководства предприятиями начинают широко применяться методы и принципы всеобщего управления качеством (TQM). Одним из ключевых моментов в философии TQM является организация мероприятий, предусматривающих на всех этапах производственного процесса все необходимое для обеспечения качества продукции: лучшие комплектующие и материалы, современное высокотехнологичное оборудование, инструменты и средства измерений, высококвалифицированный персонал и необходимую документацию всех уровней. Действие системы качества, взаимоувязанной с вышеперечисленными факторами, распространяется на все этапы жизненного цикла продукции: от первоначального выявления потребностей рынка до конечного удовлетворения установленных требований (quality loop) /23/.

Таким образом, внедрение на предприятии системы качества неразрывно связано с использованием новых прогрессивных технологий, обеспечиваемых CAD/CAM/CAE-системами. Базируясь на принципах оптимизации и контроля параметров изделий на всех этапах проектирования и изготовления, такие системы 5 обеспечивают комплексное выполнение проектных работ при значительном сокращении их сроков и одновременном повышении качества /6, 54/. Основной целью при этом является постоянное снижение себестоимости выпускаемой продукции и обновление ее ассортимента, улучшение показателей надежности, ремонтопригодности, экономичности и др.

Важными тенденциями современного развития систем автоматизации в промышленности являются /50/: интеграция автоматизированных систем САБ/САМ/САЕ/РБМ на основе единой информационной технологии; внедрение объектно-ориентированного подхода и на этой базе - предоставление пользователям более естественного интерфейса; открытость систем автоматизации для расширений; расслоение классов систем автоматизации по мощности и профессиональной ориентации с сохранением возможности интеграции программных продуктов в единую среду.

Следует отметить, что процесс полной автоматизации производства сопряжен с большими капиталовложениями, в настоящее время наметился так называемый трехуровневый подход, или пирамидальная схема /29/.

В основании пирамиды находятся системы нижнего уровня, предназначенные для автоматизации выпуска документации и программирования 2,5-осевой ЧПУ-обработки «по электронному чертежу». Они сокращают сроки выпуска конструкторской документации, позволяя экономить время на разработке большого количества проектов. Но такие системы не гарантируют конструктора от ошибок даже при полном соответствии документации ЕСКД. 6

Следующий слой - системы среднего уровня, позволяющие создать объемную модель изделия, по которой определяются массово-инерционные, прочностные и прочие характеристики, моделируется работа механизмов и все виды ЧПУ-обработки. С помощью таких систем возможно контролировать «собираемость» изделия, по фотореалистичным изображениям отрабатывать внешний вид и выпускать документацию. Экономический эффект заключается в многократном повышении производительности труда при резком сокращении ошибок и соответственно затрат на доводку изделия.

Наконец, на самой вершине пирамиды стоят многофункциональные системы высшего уровня, которые кроме перечисленных функций, обладают следующими возможностями: конструировать детали с контролем технологичности и учетом особенностей материала (пластмасса, металлический лист и др.); проводить динамический анализ сборки с имитацией сборочных приспособлений и инструмента; - проектировать оснастку с моделированием технологических процессов (штамповки, литья, гибки), что исключает брак и устраняет необходимость в изготовлении натурных макетов, то есть значительно уменьшает затраты и время на подготовку производства изделия. Данная схема предусматривает организацию нескольких рабочих мест, оснащенных системами высокого уровня, позволяющими выполнять концептуальную конструкторско-технологическую проработку нового изделия. Для детальной проработки изделия предполагается организация нескольких десятков или сотен рабочих мест, оснащенных системами среднего уровня. И, наконец, для подготовки конструкторско-технологической докумен7 тации и рабочих чертежей организуются рабочие места, оснащенные системами нижнего уровня. В зависимости от размера предприятия количество таких мест может доходить до тысячи /30/.

В CAD/CAM/CAE-системах всех трех уровней геометрическое моделирование технических объектов, компьютерное решение геометрических и графических задач занимают центральное место. При создании реального объекта в первую очередь формируется геометрия этого объекта, его составных частей, после этого решаются другие задачи проектирования, технологии и изготовления. Проблемам геометрического моделирования, в том числе самому новейшему его направлению - объемному твердотельному моделированию посвящено значительное число исследований, как за рубежом, так и в нашей стране. Многообразие постановок задач твердотельного моделирования в практике современного проектирования технических и других объектов сложной формы требует разработки методов и алгоритмов формирования геометрических моделей одно- и двумерных обводов, во-первых, наиболее приспособленных для использования в твердотельном моделировании и, во-вторых, использующих стандартный для современных САПР математический аппарат.

Как известно, в настоящее время для CAD/CAM/CAE систем высшего и среднего уровня, а также для коммерческих, внутренних производственных приложений и приложений для обмена данными стандартом де-факто становится 'геометрическое ядро Parasolid компании Unigraphics Solutions Inc., в основу которого положена теория неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS) и кривых Безье.

Данный программный продукт лицензирован для разработчиков CAD/CAM/CAE систем, включая такие известные фирмы как 8

Bentley Systems, Solid Edge, CADMAX, Fujitsu, SolidWorks, Topcad, Vero International, MacNeal-Schwendler, Mechanical Dynamics и других. Parasolid также широко используется машиностроительными компаниями для разработки специальных внутренних приложений. Среди самых известных пользователей отметим компании Boeing, General Electric, GM Research Labs, Israel Aircraft Industries, Mitsubishi Motors, Pratt & Whitney. Общий формат представления внутримашинной информации в этом геометрическом ядре обеспечивает единство данных между подобными приложениями и коммерческими системами, подобными Unigraphics и Solid Edge. Тот факт, что в настоящее время на ядре Parasolid работает 200 тысяч пользователей (а к 2000 году ожидается полмиллиона), позволяет заявлять о нем как о наиболее передовом и предпочтительном программном средстве геометрического представления трехмерных данных.

Коротко поясним причины такого широкого использования «математики» Parasolid самыми известными в мире разработчиками 'программного обеспечения в области геометрического моделирования, ЧПУ, инженерного анализа, проектирования робототехники, динамических процессов и виртуальной реальности /104/: разработчики Parasolid из университета Кембриджа одними из первых исследовали задачи в области твердотельного моделирования, начиная с 1970-х годов. Первая версия пакета была выпущена в 1988 г. и в настоящее время поддерживается 30 миллионами долларов инвестиций;

Parasolid обеспечивает CAD/CAM/CAE системы наиболее точным и надежным на сегодняшний день пакетом инструментальных средств для геометрического моделирования сложных объектов; разработанное как ядро твердотельного моделирования в системах с граничным представлением (B-REP), Parasolid поддерживает проектирование сложных криволинейных поверхностей с помощью библиотеки стандартных программ с интерфейсом объектно-ориентированного программирования; стратегической линией компании Unigraphics Solutions является направление на совершенствование обмена данными между всеми системами, базирующимися на геометрическом ядре Parasolid. В начале 1999 года компания Unigraphics Solutions Inc. выпустила версию 10.1 этого пакета, которая еще более расширила область применения технологии твердотельного моделирования, включая создание и манипулирование сложными поверхностями. Эти возможности полностью интегрированы в топологическую структуру модели Parasolid, обеспечивая высокий уровень точности и надежности.

Отметим основные преимущества применения геометрической модели объекта в виде твердого тела /8/.

1. Точность и наглядность представления проектируемого изделия, в модель может быть включена вся необходимая существенная информация.

2. Возможность представления концептуального проекта изделия на самой ранней стадии проектирования с помощью средств реалистичного рендеринга и виртуальной реальности.

3. Возможность автоматического построения чертежей. Например, в EUCLID QUANTUM и EDS UNIGRAPHICS основная работа при

10 получении изображений разрезов сборок выполняется автоматически, включая генерацию линий разрезов и штриховки.

4. Прямой интерфейс с программами технологического анализа GFEM, NASTRAN, ANSYS, Euclid Analyst, воспринимающих на входе геометрию твердого тела, автоматически генерирующих сетку конечных элементов и выполняющих на ней расчеты с выводом результатов на трехмерную модель. Анализ может заключаться в расчете и простейших физических (например, массово-инерционных) характеристик детали, и в выполнении более сложных видов исследований, включая прочностной, термический, вибрационный, кинематический и динамический анализы.

5. Возможность имитации таких производственных процедур, как заливка и охлаждение. Для визуальной оценки динамики заполнения шаблонов и состояния пропускающих каналов строится мультипликация, которая помогает обнаружить некорректные участки на сварных швах и линиях сплавления во внутренних полостях детали.

6. Возможность моделирования механообработки, что позволяет оценить качество детали с точки зрения усадки и деформации (коробления, перекоса, искривления).

7. Использование процесса быстрого прототипирования (RP). На вход системы RP подаются STL-файлы, генерируемые по трехмерным моделям. Применяется несколько разных технологий RP. Например, в стереолитографическом процессе жидкие полимеры послойно отвердевают, принимая нужную форму под воздействием ультрафиолетового лазера. После построения прототип извлекается из формы, помещается в печь для окончательного отвердевания и сушки, далее производится

11 его окончательная доводка (например, выполняется полировка и шлифовка).

8. Уникальные возможности для технологической подготовки производства. На основе твердотельной модели изделия достигается пятикратное улучшение в точности обработки поверхностей и в четыре-шесть раз сокращается время программирования станков ЧПУ. Например, в 1999 году в составе системы Unigraphi.cs появился первый в мире модуль для 5-координатной механообработки КГОКВБ-поверхностей, разработанный в тесном сотрудничестве с компаниями Maki.no и СЕ/Тапис. Этот модуль поддерживает новый выходной формат файла траекторий для 5-координатной обработки сложных 1\ИтВЗ-поверхностей, применяющийся в станках Maki.no со стойками ЧПУ Рапис. Модули ИтдгарМсз САМ предоставляют возможность контролировать направление движения режущего инструмента и его осей в соответствии с геометрическими свойствами сплайн-поверхностей. Эта функциональность позволяет вести обработку сложных деталей на более высоких скоростях обработки, что значительно увеличивает качество поверхности (вплоть до "зеркальной") и точность обработки. При этом размер файла траектории сокращается в несколько раз /36/. Или другой пример. Повышение качества изделия требует создания высокоточных траекторий инструментов, а для этого нужно генерировать гораздо большие объемы данных, поскольку режущему инструменту при этом необходимо сделать намного больше проходов по каждой траектории. Чтобы создать программу для станка ЧПУ при изготовлении типовой головки блока цилиндров, требуется работа 3-4 специалистов в течение, примерно, пяти месяцев, при этом генерируется около миллиона точек. Автоматическая генерация

12 из твердотельной модели с помощью, например, СУ Тоо1шакег выполняется за полчаса, учитывается два с половиной миллиона точек и достигается высота гребешков менее 0.0001 дюйма при промышленном стандарте в 0.0005 дюйма.

Итак, геометрическое ядро современной САБ/САЕ/САМ-системы построено с помощью объектно-ориентированного подхода на основе трехмерной модели изделия. Далее мы рассмотрим основные типы используемых геометрических моделей.

В геометрическом ядре реализуются, как правило, три класса моделей геометрии /10/: проволочная или каркасная, поверхностная и твердого тела (Рис. 1).

Каркасные модели. Используются в основном для систем низшего и среднего уровней. Особенностью каркасной модели является то, что для ее описания используются прямые линии - ребра. Каркасные модели применяются, как правило, для задания объектов, представляющих собой полиэдры, т.е. замкнутые многогранники произвольной формы, ограниченные плоскими гранями, или объекты, получаемые перемещением образующей, которая фиксируется в некоторых положениях. Трехмерная модель в этом случае содержит список координат вершин полиэдра с указанием связей между ними, т. е. ребер. В случае использования каркасных моделей для представления объектов, ограниченных поверхностями более чем первого порядка, в системах низшего уровня прибегают к ряду условностей, например, интерполируют поверхность цилиндра плоскими гранями или вводят псевдоребра для представления таких объектов на экранах графических дисплеев. При этом формируется не реальное, а условное изображение объекта.

13

Следует отметить, что каркасное представление часто используется не при моделировании, а при отображении моделей как один из методов визуализации. Можно получить каркасные представления объектов твердотельного моделирования и объектов, ограниченных криволинейными поверхностями. В соответствии с этим отличают изображения объектов, представленные точечным, линейным дискретным и сетчатым каркасами.

Системы среднего и высокого уровней позволяют воспроизводить изображения объектов, использующих каркасные модели, с необходимым для восприятия количеством графических элементов. Имеются классы инженерно-геометрических задач, в которых проволочные модели являются достаточными для получения решения, например, системы анализа движения роботов, проверки корректности программ управления ими. Проволочная модель геометрии робота обрабатывается компьютером практически в реальном времени, что позволяет проследить динамику его действий. На основе пространственной каркасной модели можно получать произвольные проекции. Однако в общем случае получаемые изображения являются неоднозначными (Рис. 2). С помощью таких моделей невозможно автоматически анализировать процессы удаления невидимых линий и получения различных сечений.

Поверхностные модели. Эти модели применяют в областях, где проектируются объекты, ограниченные сложными криволинейными поверхностями. При проектировании криволинейных поверхностей в основном используется каркасно-кинематический метод, основанный на перемещении некоторых заданных образующих по заданным направляющим. Формирование математических моделей поверхностей осуществляется методами аппроксимации, обеспечивающими получение поверхности с необходимыми

14 локальными характеристиками. Поверхностное моделирование осуществляется на основе двух следующих положений:

- допускается, что любую поверхность можно аппроксимировать многогранником, каждая грань которого является простейшим плоским многоугольником (в таком случае модель иногда называют полигональной);

- наряду с плоскими многоугольниками в модели допускается использование поверхностей второго порядка и криволинейных аналитически неописываемых поверхностей, форму которых можно определить с использованием различных методов интерполяции или аппроксимации (как уже было отмечено, стандартом являются параметрические сплайн-поверхности).

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество при их числовой обработке, т.к. при этом используются простые математические методы. Недостатком метода является то, что сохранение формы и размеров проектируемого объекта зависит от числа граней многогранника, используемого для аппроксимации каждой поверхности. Чем больше число граней, тем меньше отклонение от действительной формы объекта. Отсюда вытекает еще один недостаток: с увеличением числа граней в многограннике одновременно повышается и объем информации, необходимой для получения внутримашин-ного представления. Вследствие этого увеличивается время манипулирования внутримашинным представлением объекта и соответствующий ему размер памяти.

Модели твердых тел. Эти модели изначально получили наибольшее распространение в системах, ориентированных на проектирование машиностроительных объектов. В теории твердотельного моделирования классически рассматривают следующие

15

Рис. 1. Виды геометрических моделей объектов а — изображение объекта, рассеченного некоторой плоскостью, б — каркасная модель, в — модель твердого тела, г — поверхностная модель.

Рис. 2. Неоднозначность изображений каркасной модели типы геометрических моделей: (Рис. 3, а-г):

1) Тело определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей (граничное представление тел, B-REP, Boundary Representation);

2) Тело определяется комбинацией элементарных объемов, каждый из которых образуется в соответствии с п.1 (конструктивная объемная геометрия, структурное представление тел, CSG, Constructive Solid Geometry). Структурная модель тела представляет собой бинарный древовидный

16 граф С = (¡И, где II - множество вершин - элементарных тел (графических примитивов), из которых конструируется объект; V - множество ребер,

В) г)

Рис. 3. Виды представления объемных моделей, а) граничное представление (B-REP) б) структурное представление (CSG) в) структурное представление (CSG) г) Sweep-представление

17 которые обозначают теоретико-множественные операции, выполняемые над соответствующими примитивами. Графические примитивы задаются множеством атрибутов /25/:

A = (x,Y,Z,ax,ay,az,Sx,Sy,.Sn), где X,Y,Z- координаты точки привязки локальной системы координат примитива к системе координат конструируемого объекта; ax,ay,az - углы поворота примитива относительно соответствующих осей координат; Sx,Sv,Sn - метрические параметры объекта.

Каждый графический примитив имеет уникальную топологию, и его геометрическая модель может быть задана как в граничном, так и каркасном представлении.

3) Тело, как сложная геометрическая структура, определяется комбинацией элементарных тел с использованием таких операций, как геометрическое объединение, геометрическое пересечение, геометрическая разность (CSG - представление). В данном случае под элементарным телом понимается множество точек в пространстве. Например, прямоугольный параллелепипед можно получить пересечением шести линейных полупространств. Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура;

4) Тело определяется кинематическим заданием в общем виде (Sweep-представление).

Твердотельная модель геометрического объекта, полученная любым из указанных способов, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки. Корректность модели можно проверить, используя формулу Эй

18 лера. Для любого выпуклого многогранника имеет место следующая зависимость: f + е — к = 2 , где f - число граней; е- число вершин; к - число ребер. Учитывая вышеизложенное, сделаем основные выводы: в CAD/CAM/CAE-системах по-прежнему уделяется много внимания совершенствованию технологии геометрического трехмерного моделирования; в настоящее время разработаны практически все основные методы для твердотельного и поверхностного пространственного представления геометрических объектов; одним из основных достижений современного периода можно считать разработку методов моделирования кривых и поверхностей произвольной формы на основе кривых Безье и неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS), ставших международным промышленным стандартом для проектирования сложных криволинейных поверхностей.

Однако главной проблемой здесь является не столько сам процесс моделирования, сколько способы модификации и оптимизации созданных геометрических моделей, что очень существенно при итерационном режиме работы. Кроме того, известно, что наибольший объем работ занимает не процесс проектирования, а итерационный процесс внесения в проект улучшающих изменений. Именно поэтому на сегодняшний день актуальными являются проблемы совершенствования методов геометрического моделирования криволинейных поверхностей и тел, использующих стандартный для CAD/CAE/CAM-систем математический аппарат (кривые Безье и NURBS), а также адаптации этих методов для конкретных промышленных приложений.

19

Таким образом, целью нашей диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов полиномиальной аппроксимации и управления формой дискретных обводов с соблюдением заданных дифференциально-геометрических характеристик для использования в задачах твердотельного моделирования.

Для достижения этой цели в диссертации поставлены и решены следующие основные задачи: исследованы методы формирования математических моделей обводов, применяемые в твердотельном моделировании;

- разработаны методы и алгоритмы аппроксимации дискретных обводов с использованием параметрических полиномов;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой обводов с заданными локальными свойствами;

- разработаны методики исследования локальных свойств обводов в задачах твердотельного моделирования; разработаны методики преобразования между основными видами полиномиальных базисов;

- разработаны и приняты к внедрению алгоритмы и программы решения инженерно-геометрических задач конструирования изделий сложной формы и визуализации результатов научных исследований.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе и обладающие научной новизной, следующие: обоснована целесообразность применения в задачах твердотельного моделирования параметрических полиномов и рациональных функций, а также сформулированы основные требования к методам аппроксимации обводов;

20

- предложен обобщенный метод линейной интерполяции с использованием барицентрических координат;

- разработан алгоритм определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности;

- предложены методики локальной модификации одно- и двумерных обводов с использованием обобщенных полиномов Бернштейна;

- разработаны алгоритмы преобразования полиномиальных базисов в форму Бернштейна;

- разработана методика выявления особых и специальных точек параметрических кривых с помощью последовательных годографов;

- разработаны методика и алгоритмы формирования двумерных обводов произвольного порядка гладкости из треугольных порций поверхностей.

Основные результаты исследований были доложены и обсуждены: на Всероссийской научно-технической конференции "Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования", организованной Восточно-Сибирским государственным технологическим университетом, г. Улан-Удэ, 1996 г.; на 7-ой Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям КОГРАФ-97, организованной Нижегородским государственным техническим университетом, г. Н. Новгород, 1997 г.; на 8-ой Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям КОГРАФ-98, организованной Нижегородским государственным техническим университетом, г. Н. Новгород, 1998 г.;

21 на Международной научно-практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования", организованной Харьковским государственным техническим университетом, г. Харьков, 1998 г.; на научно-методических семинарах кафедры "Прикладная геометрия" Московского государственного авиационного института (технического университета), г. Москва, 1997 - 1999 г.г.

Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение решения прикладных задач конструирования сложных криволинейных форм и визуализации научных исследований включено в комплекс средств по автоматизации проектно-конструкторских и проектно-технологических работ, разрабатываемый в одном из НИИ МО Российской Федерации, что подтверждается актом внедрения.

Результаты исследований включены в учебный процесс Московского государственного авиационного института (технического университета) для подготовки инженеров различных специальностей и переподготовки преподавателей кафедр графических дисциплин в рамках ФПКП.

Основные теоретические результаты диссертационной работы опубликованы в б научно-технических статьях, по материалам работы готовится к публикации учебно-методическое пособие. Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом подготовки специалистов высшей квалификации кафедры "Прикладная геометрия" Московского государственного авиационного института (технического университета).

Структурно диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка использованных источников из 105 наименований, приложения. В работе содержится 162 страницы машинописного текста, 52 рисунка, 1 таблица.

Выводы к главе 3

В результате исследований, проведенных в третьей главе, получены следующие научные результаты:

1. Исследованы и обобщены вопросы задания точек, инцидентных дуге кривой, по известным локальным координатам.

2. Разработан метод определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности, на основе линейной интерполяции трех точек.

3. Исследованы вопросы аппроксимации поверхностей обобщенными полиномами Бернштейна.

4. Разработан алгоритм локальной модификации одномерного обвода на единичном и произвольном интервалах.

5. Разработан алгоритм управления формой треугольной порции поверхности на основе процедур разбиения.

6. Предложена методика конструирования двумерного обвода произвольного порядка гладкости.

Разработанные в третьей главе методы и алгоритмы формирования математических моделей гладких непрерывных обводов обеспечивают возможность конструирования и целенаправленного управления формой реальных технических объектов сложной конфигурации.

150

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведены исследования методов и алгоритмов полиномиальной аппроксимации и управления формой дискретных обводов с заданными дифференциально-геометрическими характеристиками для использования в задачах твердотельного моделирования.

Выполненные исследования позволили получить следующие результаты, обладающие научной новизной.

1. В целях дальнейшего развития и совершенствования прикладного обеспечения систем геометрического моделирования криволинейных поверхностей и тел, использующих стандартный для CAD/CAE/CAM-систем математический аппарат (кривые Безье и NURBS), обоснована целесообразность адаптации разрабатываемых методов для конкретных теоретических и практических приложений.

2. На основе проведенного анализа вычислительных возможностей различных методов аппроксимации:

- обоснована целесообразность применения в задачах твердотельного моделирования параметрических полиномов и рациональных функций;

- показано, что для геометрического моделирования гладких кривых и обводов целесообразно использовать полиномы Бернштейна;

- разработаны алгоритмы преобразования стандартных полиномиальных базисов в форму Бернштейна на единичном и произвольном интервалах изменения параметра;

- исследованы геометрические свойства полиномиальной аппроксимации Бернштейна.

151

3. Отмечено, что одним из основных требований, предъявляемых к методам конструирования криволинейных обводов для обеспечения интеграции с методами твердотельного моделирования, является требование получения заданной формы геометрического объекта с использованием минимального количества параметров.

4. Анализ некоторых аспектов линейной интерполяции показал, что в целях достижения общности, необходимой для формирования математических моделей обводов в твердотельном моделировании, целесообразно использовать метод барицентрических координат. Для этого разработан обобщенный метод линейной интерполяции для одномерного и двумерного случаев. Предложено в дальнейших исследованиях обобщить этот метод на пространства более высоких размерностей.

5. На основе исследований геометрических свойств кривых Безье установлена взаимосвязь между векторами производных функции Бернштейна и векторами управляющих точек, что позволило разработать методику определения особых и специальных точек полиномиальных кривых с помощью последовательных годографов.

6. Для улучшения возможностей управления формой одномерных обводов разработаны метод локальной модификации обвода с сохранением заданного порядка гладкости на основе весовых функций и алгоритм локальной модификации обвода на произвольном интервале изменения параметра.

7. Разработан алгоритм конструирования замкнутых обводов второго порядка гладкости и предложена методика конструирования поверхностей зависимых сечений с использованием линейной и нелинейной интерполяции поперечных сечений переменной формы.

152

8. Исследование и обобщение методов задания точек, инцидентных кривой, по известным барицентрическим координатам позволили разработать новый метод определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности, на основе линейной интерполяции трех точек. Показано, что отличительной особенностью и преимуществом аппроксимации двумерных обводов обобщенными полиномами Бернштейна является единство с алгоритмами для одномерного случая, а также низкий порядок конструируемых поверхностей (он равен порядку граничных кривых, в отличие от поверхностей тензорного произведения).

9. Предложена методика конструирования двумерного обвода произвольного порядка гладкости из треугольных порций поверхностей Безье. С целью обеспечения возможностей локальной модификации такого обвода разработан алгоритм управления формой произвольного куска заданной треугольной порции поверхности на основе процедур разбиения.

Результатами диссертационной работы, имеющими практическое значение, является разработка и внедрение на одном из предприятий инженерных методик и программ расчета дифференциально-геометрических характеристик динамических поверхностей корпусных оболочек сложной конфигурации, сформированных из треугольных кусков, а также программ визуализации данных в типовых системах научных расчетов /13/.

Продолжение исследований, проведенных в диссертационной работе, будет направлено на решение проблем, связанных с формированием на основе предложенных методов геометрических моделей криволинейных твердотельных примитивов переменной формы.

153

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. - 318с.

2. Алгоритмы и программы решения геометрических задач на ЭВМ //Учебное пособие под ред. В.И.Якунина. М.: изд. МАИ, 1982. - 69 с.

3. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. -М.: Наука, 1987. 159 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632с.

5. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248с.

6. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. М.: Мир, 1987. - 272 с.

7. Гилой В. Интерактивная машинная графика. Структуры данных, алгоритмы, языки. М.: Мир, 1981. - 380 с.

8. Грувер М., Зиммерс Э. САПР и автоматизация производства. -М.: Мир, 1987. 528 с.

9. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла: Методы и алгоритмы проектирования несущих цоверхностей. М.: Машиностроение, 1987. - 131 с.

10. Денискина А.Р. Исследование локальных свойств параметрических кривых с помощью годографов //8-ая Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-98. Н. Новгород: НГТУ. - 1998. -С. 61-62.154

11. Денискина А.Р. О применении информационных технологий для научных исследований в прикладной геометрии //8-ая Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-98. Н. Новгород: НГТУ. - 1998. - С. 62-63.

12. Денискина А.Р. Особенности применения NURBS- технологии для конструирования криволинейных обводов //Современные проблемы геометрического моделирования. Международная научно-практическая конференция. Харьков: ХГТУ - 1998. - С. 31-36.

13. Денискина А.Р., Якунин В.И. Аппроксимация кривых второго порядка полиномами Везье //7-ая Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-97. Н. Новгород: НГТУ. - 1997. - С. 36-37.

14. Егоров Э.В., Тузов А.Д. Моделирование поверхностей агрегатов JIA //Учебное пособие под ред. Э.В.Егорова. М.: изд. МАИ, 1988. - 54 с. : ил.

15. Жермен-Лакур П., Жорж ПЛ., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 264 е., ил.

16. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

17. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 223с.155

18. Иванов Г.С. Бирациональные преобразования в моделировании поверхностей //Учебное пособие. М.: изд. МАИ, 1984. - 45 с.

19. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987. - 188 с.

20. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. М. Машиностроение, 1995. 224с.: ил.

21. ИСО 9004-1:1994 Общее руководство качеством и элементы системы качества. Часть 1. Руководящие указания.

22. Кастельжо П. Математика и САПР: Теория полюсов. М.: Мир, 1988.- 206 с.

23. Климов В.Е. Графические системы САПР. М.: Высшая школа, 1990. 142с.: ил.

24. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

25. Котов И.И. Каркасные поверхности зависимых сечений //Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. XI Тем. сб. научных трудов МАИ. 1974. - вып. 296 - с. 4-8.

26. Котов И.И., Полозов B.C., Широкова JI.B. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977. - 231 с.

27. Лихачев А. Высший уровень автоматизации подготовки производства //САПР и графика, № 4, 1999. С. 51-57.

28. Мазурин А. САПР: итоги и перспективы развития //САПР и графика, № 1, 1998. С. 11-14.

29. Наджаров K.M. Алгоритм и программа расчёта массово-инерционных параметров тел вложной переменной формы методом линейчатого шестигранника //Учебное пособие под ред. В.И.Якунина. М.: изд. МАИ, 1982. - С. 27-42.156

30. Наджаров K.M. Матричная стереометрия и геометрия масс тел переменной формы в проектировании самолёта: Автореф. дисс. докт. техн. наук. М.: 1983. - 34 с.

31. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики. М.: Мир, 1976. - 573 с.

32. Погорелов A.B. Геометрия. М.: Наука, 1984. - 287 с.

33. Пресс-релиз компании Unigraphics Solutions Inc., 1999.

34. Рыжов H.H. О теории каркаса //Труды УДН им. П.Лумумбы -1963. вып. 1. - С.9-19.

35. Рыжов H.H., Гершман И.П., Осипов В.А. Прикладная геометрия поверхностей //Труды МАИ. 1972. - вып. 242. - С. 8-20.

36. Стародетко Е.А. Алгоритмы и примеры решения Минск: Наука и техника, 1981.- 111 с.

37. Стародетко Е.А. Математическое моделирование лекальных поверхностей. Минск: Наука и техника, 1984. - 126 с.

38. Стародетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. -Минск: Наука и техника, 1986. 240 с.

39. Стародетко Е.А., Цепко П.С. Ключевые задачи в геометрическом моделировании //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1987. - С. 7-10.

40. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248с.157

41. Тевлин A.M. Конструирование каркасных поверхностей //Труды МАИ. 1975. - вып. 331 - С. 90-93.

42. Тевлин A.M. Перспектива развития и взаимосвязи методов механики и прикладной геометрии поверхностей //Вопросы машинного проектирования и инженерной графики. М.: МАИ. - 1980. - С. 7-10.

43. Теоретические основы формирования моделей поверхностей //Учебное пособие под ред. В.И.Якунина. М.: изд. МАИ, 1985. -51 с.

44. Тузов А.Д. Сглаживание функций, заданных таблицами //Вычислительные системы. Новосибирск. - 1976. - вып. 68. -С.61-66.

45. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304с.

46. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. М.: Машиностроение, 1974. - 222 с.

47. Хухлаев Е. Интегрированная среда Euclid Quantum //Открытые системы, №6, 1997. С. 69-73.

48. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1968. - 276 с.

49. Четверухин Н.Ф. О графической геометрии //Вопросы прикладной геометрии. М.: изд. МАИ. - 1972. - вып. 246. - С. 5-9.

50. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: Диалог-МИФИ, 1996. - 240с.

51. Шпур Г., Краузе Ф. Автоматизированное проектирование в машиностроении. М.: Машиностроение, 1988. - 647 с.

52. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей //Учебное пособие. М.: изд. МАИ, 1980. - 85 с.158

53. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического конструирования технических объектов //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1987. - С.4-7.

54. Якунин В.И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1986. - С.12.

55. Bajaj С., G. Xu Converting a Rational Curve to a Standard Rational Bernstein-Bezier Representation //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.256-260.

56. Barry P., T. DeRose, R. Goldman Pruned Bezier Curves: Proceedings of Graphics Interface '90. Halifax, Nova Scotia, 1418 May 1990. - p.229-238.

57. Chang G. Matrix Formulations of Bezier Curves //Computer-Aided Design. 1982. - v.14. - p.345-350.

58. Chaudhuri В. В., S. Dutta Interactive Curve Drawing by Segmented Bezier Approximation with a Control Parameter (Computer Graphics) //Pattern Recognition Letters. 1986. -v.4. - p.171-176.

59. Coons S.A. Modification of the Shape of Piecewise Curves, Computer-Aided Design 9, 3, pp. 178-180, 1977.

60. Daniel M., J. C. Daubisse The numerical problem of using Bezier curves and surfaces in the power basis //Computer Aided Geometric Design . 1989. - v.6. - p.121-128.

61. DeRose Т., M. Bailey and other Apex: two architectures for generating parametric curves and surfaces //The Visual Computer. 1989. - v.5. - p.264-276.

62. Farin G. Algorithms for Rational Bezier Curves //Computer-Aided Design. -1983. v.15. - p.73-78.159

63. Farin G. Smooth interpolation to scattered 3D data //in Surfaces in Computer-Aided Geometric Design, ed. R. Barnhill and W.Boehm. 1983. - p.43-63.

64. Farin G. Surfaces over Dirichlet tessellations //Computer Aided Geometric Design . 1990. - v.7. - p.281-292.

65. Farin G., B. Piper, A. J. Worsey The octant of a sphere as a non-degenerate triangular Bezier patch //Computer Aided Geometric Design. 1987. - v.4. - p.329-332.

66. Farouki R.T. and Goodman T.N.T. On the optimal stability of the Bernstein basis //Mathematics of computation, 65, 216 (1553-1566), 1996.

67. Farouki R.T. and Rajan V.T. Algorithms for polynomials in Bernstein form //Computer Aided Geometric Design, 5, (1-26), 1988.

68. Forrest A.R. Interactive Interpolation and Approximation by Bezier Polynomials. Computer J. 15, 1, pp. 71-79, 1972.

69. Fournier A., B. A. Barsky Geometric Continuity with Interpolating Bezier Curves //in Graphics Interface '85 Proceedings, ed. M. Wein and E. M. Kidd. 1985. - p.337-341.

70. Goldman R. N. Subdivision Algorithms for Bezier Triangles //Computer-Aided Design. 1983. - v.15. - p.159-166.

71. Goldman R. N. Using Degenerate Bezier Triangles and Tetra-hedra to Subdivide Bezier Curves //Computer-Aided Design. -1982. v.14. - p.307-312.

72. Gorowara K. K. Representation of Two Bezier Cubic Curves: Proceedings of the IEEE 1986 National Aerospace and Electronics Conference NAECON 1986,- IEEE, New York, 1986. - v.3. - p.733-734.160

73. Gunther O., S. Dominguez Hierarchical schemes for curve representation //IEEE Computer Graphics and Applications. -1993. v.13. - p.55-63.

74. Guo B. Surface generation using implicit cubics: Scientific Visualization of Physical Phenomena (Proceedings of CG International '91). Cambridge, Massachusetts, 26-28 June 1991. -p.485-503.

75. Hall M., J. Warren Adaptive Polygonalization of Implicitly Defined Surfaces //IEEE Computer Graphics and Applications.- 1990. v.10. - p.33-42.

76. Harada K., K. Kaneda, E. Nakamae A Further Investigation of Segmented Bezier Interpolants //Computer Aided Design. -1984. v.16. - p.186-190.

77. Hering L. Closed (C2- and C3-continuous) Bezier and B-spline curves with given tension polygons //Computer-Aided Design.- 1983. v.15. - p.3-6.

78. Kahmann J. Krummungsubergange zusammengesetzter Kurven und Flachen. Diss. TU Braunschweig.

79. Kaufman A. Efficient Algorithms for 3D Scan-Conversion of Parametric Curves, Surfaces, and Volumes: Computer Graphics (SIGGRAPH '87 Proceedings). Anaheim, California, July 27-31, 1987. - v.21. - p.171-179.

80. Klassen R. A note on integer subdivision of NURBS //The Visual Computer. 1993. - v.9. - p.289-291.

81. Klassen R. Intersecting Parametric Cubic Curves by Midpoint Subdivision //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.261-277.

82. Konno K., T. Takamura, H. Chiyokura A new control method for free-form surfaces with tangent continuity and its application: Scientific Visualization of Physical Phenomena161

83. Proceedings of CG International '91) . Cambridge, Massachusetts, 26-28 June 1991. - p.435-456.

84. Lau K. H. Conditions for avoiding loss of geometric continuity on spline curves //Computer Aided Geometric Design. -1988. v.5. - p.209-214.

85. Lischinski D. Converting Rectangular Patches into Bezier Triangles //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.278-285.

86. Loop C., Tony DeRose A multisided generalization of Bezier surfaces //ACM Transactions on Graphics . 1989. - v.8. -p.204-234.

87. P. de Casteljau. Courbes et surfaces a poles. Technical Report, A. Citroen, Paris, 1963.

88. P. de Casteljau. Outillages methodes calcul. Technical Report, A. Citroen, Paris, 1959.

89. Patterson R. R. Projective Transformations of the Parameter of a Bernstein-Bezier Curve //ACM Transactions on Graphics. 1985. - v.4. - p.276-290.

90. Peters J. Parametrizing Singularly to Enclose Data Points by a Smooth Parametric Surface: Proceedings of Graphics Interface '91. Calgary, Alberta, 3-7 June 1991. - p.1-7.

91. Peterson J. Tessellation of NURB-Surfaces //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.286-320.

92. Piegl L. Coons-type patches //Computers and Graphics. -1988. v.12. - p.221-228.

93. Piegl L. A Generalization of the Bernstein-Bezier Method //Computer Aided Design. 1984. - v.16. - p.209-215.

94. Pratt M. J. Cyclides in computer aided geometric design //Computer Aided Geometric Design . 1990. - v.7. - p.221-242.162

95. Ramshaw Lyle H. Bezier- and B-splines as multiaffine maps //Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD, NATO ASI. 1988. - v.F40. - p.757-776.

96. Rockwood A., Kurt Heaton, T. Davis Real-Time Rendering of Trimmed Surfaces: Computer Graphics (SIGGRAPH '89 Proceedings). Boston, Massachusetts, 31 July - 4 August 1989. - v.23. - p.107-116.

97. Sabin M. The use of piecewise forms for numerical representation of. shape. Diss. MTA Budapest, 1977.

98. Schmitt F., B. Barsky, Wen-hui-Du An Adaptive Subdivision Method for Surface-Fitting from Sampled Data: Computer Graphics (SIGGRAPH '86 Proceedings). Dallas, Texas, August 1822, 1986. - v.20. - p.179-188.

99. Seidel H. Algorithms for B-patches: Proceedings of Graphics Interface '91. Calgary, Alberta, 3-7 June 1991. - p.8-15.

100. Spencer M. Polynomial Real Root Finding in Bernstein Form: Ph.D. thesis, Dept. Civil Eng., Brigham Young University, 1994.

101. Worsey A. J., G. Farin Contouring a bivariate quadratic polynomial over a triangle //Computer Aided Geometric Design. 1990. - v.7. - p.337-351.104. www.ugsolution.com

102. Zettler M. and Carlo J. Robustness Analysis of polynomials with polynomial parameter dependency using Bernstein Expansion //IEEE Transactions on Automatic Control, 43, 3, (425-431), 1998.inn mmoirrnno I ' I—11 IО "Darunu1.1. УТВЕРЖДАЮH