автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и синтеза систем управления высокой динамической точности

1. Введение.

2. Метод гарантированной точности следящих систем.

3. Формирование задающего устройства.

4. Примеры применения гарантированной точности.

5. Оптимальное управление системами с ограничителями.

6. Примеры синтеза оптимальных по быстродействию систем с ограничителями.

7. Синтез регулятора следящего гидропривода высокой динамической точности.

Решение любой технической задачи никогда не бывает единственным. Одной и той же цели можно достичь различными путями, одну и ту же функцию могут выполнять различные устройства. При этом сами технические задачи становятся в условиях современной научно-технической революции все масштабней и сложнее, а решение их требует все больших средств. Проектирование, изготовление и эксплуатация современных мощных и сложных машин и аппаратов связаны с огромными и все возрастающими затратами материальных и трудовых ресурсов. В этих условиях становится всё более важным из всех возможных вариантов решения выбрать наилучший, наиболее эффективный и выгодный, другими словами, оптимальный вариант. Сделать такой выбор совсем не просто даже и в том случае, когда имеется исчерпывающее описание всех вариантов и сформирован достаточно информативный критерий качества, позволяющий сравнивать варианты между собой. Однако именно сравнение вариантов, их оценка, вызывает наибольшие трудности. Любую техническую систему всегда можно оценивать с разных точек зрения, и среди них всегда присутствуют противоречащие друг другу критерии - эффективность и стоимость.

При проектировании САУ, как и при любом проектировании, также приходится иметь дело с большим количеством противоречивых показателей качества. Не затрагивая весьма важные стоимостные, массогабаритные, эксплуатационные и прочие показатели, остановимся исключительно на показателях, связанных с эффективностью. По большому счёту к САУ предъявляется только одно требование, чтобы выходной сигнал соответствовал назначению системы, был таким, каким требуется. Наиболее простой, хотя и достаточно богатый пример представляют в этом отношении следящие системы, которые должны обеспечить сигнал на выходе по возможности похожий на сигнал на входе.

Добиться эффективности любой системы можно по меньшей мере двумя диаметрально противоположными путями - интенсивным и экстенсивным. Применительно к системам управления эти пути означают: первый - применение более точных элементов, более мощных и быстродействующих исполнительных устройств, второй - использование более совершенных алгоритмов и законов управления, позволяющих выжать из несовершенных элементов максимум того, на что они способны. Понятны преимущества второго пути, особенно в условиях современной России. Понятна также актуальность проблемы создания теоретических методов и вычислительных алгоритмов, позволяющих обеспечить наибольшую эффективность разрабатываемых или модернизируемых управляемых систем. По большому счёту именной этой цели и служит вся теория автоматического управления. Однако проблема далека от исчерпания.

Остановимся ещё раз на вопросе эффективности системы автоматического управления (САУ). Здесь естественно выделить два аспекта

- точность и быстродействие, соответствующие двум режимам работы САУ

- переходному и установившемуся. В конкретных случаях могут выдвигаться различные дополнительные требования (гладкость, отсутствие перерегулирования, энергосбережение и т.д.), но два основных критерия, быстродействие и точность, сохраняют своё значение практически всегда.

Под быстродействием естественно понимать то время, за которое гарантированно закончится переходный режим и начнётся режим слежения (установившийся режим). Именно гарантированное время окончания переходного режима может служить количественной мерой (оценкой) быстродействия.

Для установившегося режима системы характерна другая сторона эффективности - точность. Представляется естественным оценивать точность по величине ошибки, то есть, разности между реальным значением выходного сигнала системы и его требуемым, идеальным значением. Для следящей системы, которая может считаться достаточно общим случаем САУ (в дальнейшем речь будет идти именно о следящих системах), это будет разность входного и выходного сигнала, то есть функция времени. Часто в качестве оценки точности используются некоторые преобразованные значения (функционалы) ошибки, причём наибольшей популярностью пользуется средний квадрат (СКО, среднеквадратичное отклонение, дисперсия, мощность). Однако в ряде случаев такая интегральная оценка может оказаться недостаточной. Это относится в первую очередь к тем системам, для которых важно мгновенное значение ошибки. Сюда можно отнести системы наведения, сопровождения, управления технологическими процессами в которых даже кратковременное превышение ошибкой некоторого критического уровня способно вызвать необратимые последствия - срыв слежения, потерю цели, технологический брак. В этом случае разумным представляется принять за оценку точности максимальную величину модуля ошибки по всему процессу (норму пространства С). Но следящие системы никогда не проектируются для отработки какого-то заранее точно известного сигнала. Однако практически всегда более или менее известен класс входных сигналов, описанный тем или иным способом. Представляется логичным, оценивая точность системы, говорить именно о точности отработки сигналов из некоторого заранее предопределенного класса.

Приведённые рассуждения приводят нас к использованию в качестве количественной оценки точности системы максимального значения модуля ошибки в установившемся режиме при отработке произвольных сигналов из заданного класса. В дальнейшем будем называть такую оценку гарантированной точностью системы.

Будем называть совокупность быстродействия и точности в установившемся режиме динамической точностью системы. В одних случаях при проектировании системы главным требованием может оказаться точность, в других - быстродействие. Возможны, однако, ситуации, когда обе эти стороны динамической точности одинаково важны и требования, к ним предъявляемые, в равной степени высоки. Будем в таком случае говорить о системах высокой динамической точности.

Посмотрим, как отражены эти две составляющие эффективности различных конкретных методах теории автоматического управления. Условно можно поделить все методы формирования регулятора (синтеза закона управления, синтеза системы) на корневые, частотные и методы пространства состояний. Фактически все они могут формулироваться как некоторые оптимизационные задачи, целевые функционалы которых основаны на расположении корней характеристического полинома в первом случае, форме частотных характеристик во втором и некоторых операторах от фазовых траекторий в третьем. Первые две группы методов в принципе пригодны лишь для линейных систем, методы пространства состояний в принципе могут применяться и в нелинейном случае.

Быстродействию повезло явно больше. Как частотные, так и корневые методы в принципе позволяют оценивать и в известной степени управлять быстродействием линейных систем (см. [11-15, 21]). Однако такие оценки очень часто оказываются некорректными, поскольку линейные (линеаризованные) модели, по которым они выполняются, адекватны лишь при "малых" перемещениях, что имеет место в режиме слежения, для переходного же режима характерны как раз большие перемещения, в которых существенно проявляются нелинейные свойства и, в первую очередь, имеющиеся в них ограничители. Что же касается методов пространства состояний, то специально быстродействию посвящено, можно сказать, целое научное направление в рамках теории оптимального управления.

Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов. Ее основой является принцип максимума и связанные с ним исследования, проведенные группой советских математиков, возглавляемых Львом Семеновичем Понтрягиным [25], [26], [41-45], [120]. Принцип максимума был высказан в качестве гипотезы Л.С. Понтрягиным и был впервые обнародован на международном конгрессе математиков в Эдинбурге в 1958 году. Теория оптимального управления стала развиваться особенно интенсивно после выхода в свет в 1961 году известной работы [118] коллектива ученых, возглавляемого Л.С. Понтрягиным. В этой работе было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, широко известное как принцип максимума Л. С. Понтрягина. Для линейных систем принцип максимума был доказан Р.В. Гамкрелидзе, а для нелинейных - В.Г. Болтянским. Оба они работали под руководством Л.С. Понтрягина.

Появление принципа максимума повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. Вышли в свет многочисленные публикации на эту тему, существенно продвинувшие вперед теорию оптимального управления. Среди них следует отметить работы A.A. Павлова [112], Л.И. Розонэра [125], Л.П. Смольникова [132], В.П. Колесника и В.В. Солодовникова [75-77], H.H. Красовского [82], Ю.Г. Антомонова [7, 8], A.A. Колесникова, A.C. Клюева, B.C. Карпова [70, 71], М. Атанса, П. Фалба [12] и другие. Были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, теорема о числе переключений и другие, являющиеся теоретической основой решения задач оптимального управления.

Но, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу оптимального по быстродействию управления, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Это объясняется серьезными затруднениями теоретического и технического порядка, которые возникают при построении и последующей реализации оптимального закона управления. Эти трудности обусловлены, прежде всего, высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта и нелинейностью реальных технических объектов. Особое место занимают здесь специфические нелинейности, получившие название ограничителей. Они ограничивают динамические возможности системы, что самым непосредственным образом влияет на её быстродействие и обуславливает важность учёта их при синтезе регулятора.

Объект, содержащий ограничители, представляет собой нелинейную систему специфического вида. Движение такого объекта описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными могут быть и его фазовые траектории.

С точки зрения теории оптимального управления объекты, содержащие ограничители, имеют много общего с задачами оптимального управления при ограничениях на фазовые координаты системы. Эти задачи достаточно хорошо изучены (см. [2], [3], [47], [50], [57-62], [74], [148], [149]).

Условия оптимальности для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями и фазовыми ограничениями были получены в [24], [37], [136], [137] и некоторых других работах. Однако, формальное распространение результатов этих работ на объекты с ограничителями оказывается невозможным. Дело в том, что для объектов с ограничителями при получении необходимых условий оптимальности, как и в случае ограничения фазовых координат, часто необходимо сравнить оптимальную траекторию, соответствующую движению на ограничителе, с близкими траекториями, принадлежащими открытому ядру допустимой области. Это сравнение сильно усложняется тем обстоятельством, что движение на ограничителе и свободное движение описываются разными дифференциальными уравнениями.

Следует отметить, что объекты с ограничителями в теории оптимального управления рассматривались, хотя и крайне незначительно. В основном опубликованные результаты принадлежат школе Н.В. Фалдина, к которой принадлежит и автор настоящей работы (см. [40], [52], [98, 99], [100], [130], [131]). В них были сформулированы условия оптимальности, приведены примеры синтеза оптимального по быстродействию управления для некоторых объектов с ограничителями.

Что же касается оценки точности системы в том смысле, как это было сформулировано выше, ситуация значительно хуже. Как частотные, так и корневые методы, которым посвящено огромное количество публикаций (см. [9-11, 19, 20, 89,]) в этом смысле могут предложить лишь косвенные или приближённые оценки. Практически не затронут также вопрос о конструктивном описании класса входных сигналов, если не принимать во внимание такие группы сигналов, как ступенчатые, линейно нарастающие и гармонические, не столь уж часто встречающиеся в реальной жизни. Можно утверждать, что ни один из известных методов не позволяет ни обеспечить ни оценить максимальную ошибку при отработке произвольных входных сигналов из заданного (достаточно богатого) класса. Следует оговориться, что принципиальная возможность такой оценки существует, поскольку, например, частотные характеристики несут полную информацию о линейной системе и с их помощью возможно получить конкретный отклик на конкретный сигнал. Однако как описать и обработать целый класс сигналов -такие вопросы решения пока не имеют.

Не лучше обстоит дело и с методами пространства состояний. Разумеется, можно сконструировать интегральный функционал, характеризующий ошибку слежения в установившемся режиме за одним единственным входным сигналом, однако и такой подход в литературе обнаружить не удалось. Наиболее распространённый квадратичный функционал (напр. [104]) проблемы решить не может. Точно также не может решить её применение и других норм, вычисляемых на процессе ([83]).

Отдельно надо упомянуть группу методов, рассматривающих управление как дифференциальную игру ([164, 84]), наиболее близких по своим идеям к предложенной выше оценке точности. Однако по ряду причин они едва ли могут удовлетворить разработчика следящих систем. С одной стороны, в них решается задача более сложная, чем простая оценка точности слежения для класса сигналов, хотя эта последняя по своей сути также является игровой. С другой стороны игровая постановка вряд ли может привести к желаемой или хотя бы легко реализуемой структуре закона управления.

Ещё одну группу методов оценки точности образуют методы статистической динамики ([10]). Здесь заслуживает внимания достаточно детальное описание класса входных сигналов с помощью понятия стохастического процесса. Действительно, если задана спектральная плотность входного сигнала, это фактически означает, что определён целый класс входных функций - возможных реализаций соответствующего случайного сигнала. Однако методы статистической динамики имеют дело обычно с мощностью ошибки, а не с мгновенными её значениями, и поэтому проблему оценки точности решить не в состоянии.

Итак, в настоящее время в литературе отсутствуют теоретические результаты, позволяющие ставить и решать задачи как синтеза, так и анализа систем высокой динамической точности, что позволяет констатировать наличие актуальной нерешённой проблемы. Её основными составными частями являются проблема вычисления и оптимизации гарантированной точности, понимаемой как максимум модуля (мгновенной) ошибки системы при отработки произвольных сигналов из заданного класса в установившемся режиме и формирование закона управления, обеспечивающего высокое (предельное) быстродействие в переходном режиме, когда существенно проявляются имеющиеся в объекте ограничители.

Решение сформулированной проблемы содержит настоящая работа, посвящённая созданию теоретических основ, методов и частных методик анализа, синтеза и оптимизации динамической точности САУ. Для достижения указанной цели в работе:

• Введено понятие "гарантированной точности" системы и определены основные его математические свойства.

• Разработаны вычислительные методы и методика применения гарантированной точности при анализе, синтезе, аппроксимации САУ с линейным, кусочно линейным и нелинейным объектом управления.

• Рассмотрены примеры применения метода гарантированной точности для упрощения моделей и синтеза закона управления.

• Получены необходимые условия оптимальности для систем с ограничителями.

• Решены примеры синтеза оптимального по быстродействию управления для конкретных типов модельных систем с ограничителями.

• Построен регулятор высокой динамической точности для силового следящего гидропривода горизонтального канала наведения.

Общую теоретическую основу как анализа и оптимизации гарантированной точности, так и синтеза быстродействующего закона управления составляет аппарат математической теории оптимальных процессов ([120]).

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследований, представленные в диссертации, развивают методы анализа и синтеза систем управления в направлении решения проблемы анализа и синтеза систем управления высокой динамической точности, понимаемой как одновременное обеспечение точности САУ в установившемся режиме при воспроизведении произвольных входных сигналов из заданного класса и высокого быстродействия в переходном режиме при больших начальных рассогласованиях.

В работе развит метод гарантированной точности систем управления, основанный на понятии гарантированной точности, определяемой как максимально возможная ошибка САУ при отработке произвольных входных сигналов из заданного класса. Класс входных сигналов описывается как множество выходных сигналов некоторой вспомогательной линейной САУ (задающего устройства) при произвольных ограниченных по модулю входных сигналах. Приводятся основные математические свойства гарантированной точности. Формулируются частные задачи, которые могут решаться методом гарантированной точности - задачи анализа точности следящей системы в установившемся режиме, параметрического синтеза регулятора, идентификации и упрощения (понижения порядка, линеаризации) математической модели системы.

Вычисление гарантированной точности формулируется как задача оптимального управления. Приведены необходимые условия оптимальности для гладких систем, имеющие форму модифицированного принципа максимума Понтрягина. Получены необходимые условия оптимальности для кусочно-линейных систем, имеющие форму принципа максимума и условий скачка. Указано аналитическое выражение для вычисления гарантированной точности линейной системы. Предложен алгоритм вычисления гарантированной точности нелинейных и кусочно-линейных систем, аналогичный методу квазилинеаризации Беллмана.

Задающее устройство формируется на основе имеющейся информации о классе входных сигналов. Предлагается два метода такого формирования -метод, использующий область достижимости в фазовом пространстве, и метод, использующий спектральную плотность случайного сигнала. Получены аналитические выражения границ областей достижимости для линейных звеньев второго порядка, позволяющие подбирать передаточную функцию задающего устройства по форме области достижимости входного сигнала.

Предложен способ формирования модельного случайного сигнала с известной спектральной плотностью, не использующий "белый шум" в качестве исходного сигнала. В рамках этого метода получены аналитические выражения для задающих устройств, соответствующих наиболее распространённым типовым спектральным плотностям. Предложен простой в реализации типовой случайный сигнал, спектр которого позволяет получать хорошие приближения к реальным спектрам входных случайных сигналов.

В работе рассмотрены примеры применения метода гарантированной точности для задач понижения порядка линейной системы, синтеза регулятора следящего электропривода, линеаризации сухого трения.

Обеспечение высокого (предельного) быстродействия в переходном режиме при больших начальных рассогласованиях требует учёта имеющихся в объекте управления ограничителей (насыщения, упоры, предохранительные клапаны, схемы отсечки, концевые выключатели, ограниченность мощности и т.д.). Для этой цели предложено математическое описание объектов с ограничителями. Для объектов с ограничителями получены условия оптимальности в форме принципа максимума и условий скачка, оформленные в виде двух теорем. С использованием доказанных теорем построены оптимальные по быстродействию законы управления для

209 модельных (типовых) систем с насыщением и неупругими механическими упорами.

Решённая задача синтеза закона управления объёмным следящим гидроприводом, сочетающего практически предельное быстродействие с высокой точностью слежения, во-первых, демонстрирует эффективность разработанных методов для решения реальных практических задач расчёта САУ, во-вторых, имеет самостоятельное практическое значение. В частности, при решении этой задачи показано, что учёт ограничителей позволяет построить практически оптимальный по быстродействию закон управления весьма простой для реализации формы.

Всё сказанное позволяет утверждать, что в работе созданы теоретические методы, позволяющие успешно решать проблему анализа и синтеза систем управления высокой динамической точности. Применение разработанных методов на практике позволит повысить качество проектирования систем управления, а также сократить сроки проектирования.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. 1. П. Автоматика и телемеханика. № 7, 8, 1974.

2. Алекперов В.П., Бор-Раменский АД, Фалдин Н.В. Оптимальные быстродействия в случае инерционного руля. // Оптимальные системы. Статические методы: Труды / III Всесоюзное совещание по автоматическому управлению. М. 1967. С. 169-175.

3. Алекперов В.П., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной системы при наличии ограничений по фазовой координате. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1965, №5. С. 143-148.

4. Алексаков Г.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости. М.: Энергия, 1973. 143 с.

5. Александровский Н.М. Элементы теории оптимальных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1969. 127 с.

6. Аноров В.П. Принцип максимума для процесса с ограничениями общего вида. I, П. Автоматика и телемеханика. № 3,4, 1967.

7. Антомонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. Л.: Судпромгиз, 1962. 339с.

8. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972. -316 с.

9. Астапов Ю.М. Частотные методы анализа автоматических систем// Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах. Том 1 4. Автоматическое управление. Теория. Редактор-составитель Е.А.Федосов. М.: Машиностроение, 2000. С 38-43.

10. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982,-304с.

11. Астапов Ю.М. Качество линейных непрерывных систем автоматического управления// Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах. Том 1 4. Автоматическое управление. Теория. Редактор-составитель Е.А.Федосов. М.: Машиностроение, 2000. С 64-82.

12. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. -764с.

13. Башта Т.М. Объемные гидравлические приводы. Машгиз, 1969.

14. Бегалишвили Г.М. О задаче оптимального управления с переменной областью управления. Труды Тбилисского университета, вып.135,1970.

15. Бедров Я,А., Канарев Л.Е. Метод последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления. Техническая кибернетика, № 4, 1965.

16. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 428 с.

17. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118с.

18. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.- 183с.

19. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

20. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. -М.: Наука, 1970.

21. Блейз Е.С., Семенов Ю.Н., Чемоданов Б.К., Якименко Н.М. Динамика электромашинных следящих систем. Энергия, М., 1967.

22. Бойко И.В. Синтез систем, близких к оптимальным по быстродействию. ДАН УССР, №7,1964.

23. Болтянский В.Г. Задачи оптимизации со сменой фазового пространства и с переменной областью управления. // Динамика неоднородных систем. М., 1983.-С. 78-86.

24. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968. 408 с.

25. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. К теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1956, т. 110, № 1. с. 7-10.

26. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. Теория оптимальных процессов. Принцип максимума. // Изв. АН СССР, серия матем., 1960, т. 24, № 1,-с. 3-42.

27. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

28. Будак Б.М., Беркович Е.М. О задачах оптимального управления для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Журнал вычислительной математики и математической физики, № I, 1971.

29. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными коэффициентами. Доклады АН СССР, 1946, т 51, выпуск. 5

30. Вайсборд Э.М. Об одном приближенном методе синтеза оптимального управления. Автоматика и телемеханика, т. 24, № 12, 1963.

31. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, № 1. С. 37-67.

32. Величенко В.В. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями. Автоматика и телемеханика, № 7, 1966.

33. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами. // ДАН СССР, 1967, т. 176, №4. С. 754-756.

34. Веретенников В.Г., Синицын В.А. Разрывная вариационная задача оптимизации процессов управления. Прикладная математика и механика, № 2,1972.

35. Виноградов В.Н. Синтез оптимальных систем одного класса с учетом ограничений управляющего воздействия.

36. Вознюк Л.Л., Иваненко В.И., Сраченец Д.В., Свердан M.JI. Синтез оптимального по быстродействию управления для объектов 2-го порядка. Техническая кибернетика, № 6,1963.

37. Волин Ю.М., Островский Г.М. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам с фазовыми ограничениями. // Известия вузов. Радиофизика, Т.12,1969, №11. С. 1609-1621.

38. Волков Е.Ф. Оптимальная по быстродействию электромеханическая система 3-го порядка с учетом ограничений, наложенных на координаты системы. В сборнике "Известия ЛЭТИ", вып. 90, 1970.

39. Володин Л.В., Макаров H.H., Фалдин Н.В. Один метод повышения точности следящего пневмопривода. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. / ТулПИ. Тула, 1973. Вып. 3. - с. 166-175.

40. Володин Л.В., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной по быстродействию системы автоматического регулирования третьего порядка с запаздыванием. // Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ: Тр. ТулПИ. Тула, 1970. С. 24-30.

41. Гамкрелидзе Р.В. К общей теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1958, т. 123, № 2.- С. 223-226.

42. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. // ДАН СССР, 1957, т. 116,№1.-С. 9-11.

43. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах. // ДАН СССР, 1959, т. 125, № 3. С. 475-478.

44. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. // Изв. АН СССР, 1960, т. 24, № 3. С. 315-356.

45. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, серия матем., 1958, т. 22, № 4. С. 449474.

46. Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления. М.: Машиностроение, 1972.-376с.

47. Гетманов В.Г., Федулов Б.Е. Синтез оптимального по быстродействию управления объектом третьего порядка с фазовыми ограничениями. // ПММ, 1976. Вып. 3,-С. 446-454.

48. Гордион М.И., Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности задачах с ограничениями. Радиофизика, № II, 1969.

49. Гроп Д. Методы идентификация систем. М.: Мир, 1979.-302с.

50. Демьянов В.Ф. К нахождению оптимального управления в задачах автоматического регулирования. // Вестник ЛГУ, 1965, т. 13, вып. 3. С. 2635.

51. Демьянов В.Ф. Оптимизация нелинейных систем управления при ограничениях на фазовые координаты.

52. Дехтярь Е.М., Блюмин C.JL, Дубицкий A.B. Система с одним управлением и ограничением специального вида. Автоматика и телемеханика, № I, 1973

53. Динамика гидропривода. Под ред.Прокофьева В.Н., Машгиз,М., 1972.

54. Долголенко Ю.В. Скользящие режимы в релейных системах непрямого регулирования . Труды И-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, т.1. Изд-во АН СССР, 1965.

55. Дубовицкий А.Я.,Милютин A.JI. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. Наука, М., 1971.

56. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 3. С. 395-453.

57. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенств. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 4. С. 725-779.

58. Дубовицкий А.Я., Милютин A.JI. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислительной математики и математической физики, т.5., № 3, 1965.

59. Дубовицкий А.Я., Милютин A.JI. Задачи на экстремум при наличии ограничений. ДАН, т. 149, № 4, 1965.

60. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, №5. С. 937.

61. Дунаев В.И. Квазиоптимальные по быстродействию системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 63 с.

62. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. Наука, 1967

63. Емельянов C.B., Уткин В.И., Таран В.А, и др. Теория систем с переменной структурой. Наука, 1970.

64. Красовский H.H. О достаточных условиях оптимальности. Прикладная математика и механика, т.25, № 5.,1961.

65. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. -336 с.

66. Карасий И.А., Котченко Ф.Ф. Некоторые неосциллирующие и квазиосциллирующие оптимальные системы. Техническая кибернетика, № 2, 1971.

67. Карасий И.А., Федоровский J1.M. Неосциллирующая оптимальная система 3-го порядка. Приборостроение, т. 15, № 9,1972.

68. Клюев A.A., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 238 с.

69. Клюев A.C., Карпов B.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. М.: Наука, 1990. 256 с.

70. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. Наука, 1964.

71. Кожевников С.Н., Ленский А.Н. Динамические исследования механизмов с зазорами в кинематических звеньях. Труды П Всесоюзного совещания по основным проблемам ТММ. Машгиз, 1960.

72. Козлов В.И. Синтез системы управления оптимальной по быстродействию. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1976, №3. С. 181-190.

73. Колесник В.П. Метод синтеза оптимальных по быстродействию нелинейных систем высокого порядка с ограничениями и в условиях неопределенностей. Дис. д-ра техн. Наук 05.13.02. М., 1982. 383 с.

74. Колесников A.A. О синтезе оптимального по быстродействию управления нелинейными объектами одного класса. // Изв. Вузов. Электромеханика. 1978.-№3,-С. 310-320.

75. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Физматгиз, М.,1968.

76. Коровин С.К., Уткин В.И. Применение скользящего режима в задачах статической оптимизации. Автоматика и телемеханика, № 4, 1972.

77. Котрикадзе О.Г. Синтез квазиоптимальных быстродействующих САР. В сборн. "Труды Грузинского политехнического института". Вып. 2 (150), 1972.

78. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957, № И. С. 960-970.

79. Красовский H.H. Теория управления движением. Наука, ГРФМЛ, М.: 1968 г. -476с.

80. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985, 520с.

81. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. Физматгиз, М., 1973.

82. Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач. Изв. ВУЗ, Математика, т.1., № 5, 1960.

83. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, №1,-С. 14-34.

84. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. // ЖВМ и MB, 1962, т.2, № 6. С. 1132-1138.

85. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184с.

86. Кутузов B.K. Синтез оптимального по быстродействию управления одного класса линейных систем высокого порядка. Техническая кибернетика., № 3, 1968.

87. Кутузов В.К. Формирование управляющей части оптимальных по быстродействию замкнутых систем второго порядка с комплексными корнями . Электричество., № 8., 1970.

88. Леончук М.П. и др. О численном решении одной задачи оптимального управления ядерными реакторами. // ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 3. С. 558560.

89. Леончук М.П. О численном решении задач оптимальных процессов с распределенными параметрами. // ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6. С. 1112-1116.

90. Летов A.M. Синтез системы оптимальной стабилизации космической станции. Автоматика и телемеханика, № 2, 1968.

91. Лукоморский Ю.А., Луков Н.Д,, Червяков В.В.Синтез оптимальных обратных связей САР на основе принципа максимума Понтрягина. "Известия ЛЭТИ", вып. 86, 1970.

92. Лыткин И.П. О приближенном решении задачи синтеза оптимальных релейных управлений. В сборн. "Методы управления большими системами". ИркутскД970.

93. Мазуров В.М., Карпов B.C. Расчет и проектирование дискретных оптимальных регуляторов. Тула, ТПИ, 1979. 80 с.

94. Макаров H.H. Синтез оптимального по времени управления для одной системы с упорами. В сборн."Динамика и точность функционирования тепломеханических систем". Вып.1., ТПИ, Тула, 1971.

95. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное по времени управление объектом третьего порядка с насыщением. // Динамика систем: Оптимизация и адаптация: Межвузовский сборник статей. / ГГУ. Горький, 1979. С. 136-151.

96. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное управление системами с ограничителями. // «Оптимальное управление в механических системах». Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. Киев, 1979, т. II. С. 69-70.

97. Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах. Том 1 4. Автоматическое управление. Теория. Редактор-составитель Е.А.Федосов. М.: Машиностроение, 2000. 688 с.

98. Медведев B.C. Управление линейным объектом по квадратичному критерию качества.

99. Михайлов H.H., Новосельцева Ж.А. Оптимальные процессы в системе третьего порядка с комплексными полюсами. Автоматика и телемеханика ., т.26, № 9,1965.!

100. Моисеев H.H. Оптимизация и управление (эволюция идей и перспективы). Техническая кибернетика, № 4, 1974.

101. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-324 с.

102. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. // Кибернетика, 1966, т. 5, №3, С. 1-23.

103. Мороз А.И. Синтез оптимального по времени управления для линейных систем третьего порядка. // Автоматика и телемеханика. 1969. №5 с. 5-17, №7-с. 18-19,№9 -5-15.

104. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, № I, 1957.

105. Павлов A.A. Синтез некоторых оптимальных релейных систем методом фазового пространства. Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, № 6, 1959.

106. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. 390 с.

107. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1. М.: Наука, 1970, 456 с.114115,116,117,118,119,120,121.122.123.124.125.126.127.128.

108. Поляк Б.Т. К теории нелинейных задач оптимального управления. Вестник МГУ. Математика, механика, № 2,1968.

109. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 5. С. 791-803.

110. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум. // ЖВМ и МФ, 1973, т. 13, № 1. С. 34-46. Пономарев В.М. О синтезе оптимальной системы управления. Техническая кибернетика, № 5, 1963.

111. Понтрягин JI.C. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып. 1. С. 3-20.

112. Понтрягин JI.C. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, ГРФМЛ, 1965.-331с.

113. Синтез квазиоптимального управления механизмом вращения шагающего экскаватора-драглайна методом прогнозирования. / Ф.Б. Гулько, В.П. Морозов, Ж.А. Новосельцева и др. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. -№1. С. 59-66.

114. Синтез следящего гидропривода, близкого к оптимальному по быстродействию. / Н.В. Фалдин, H.H. Макаров, С.А. Руднев и др. // Системы управления, следящие приводы и их элементы (материалы семинара) / ЦНИИинф. М., 1984. С. 76.

115. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967. 167 с.

116. Смольянов Э.Р. Принцип максимума для задач с фазовыми ограничениями. В сб."Исследование операций (модели, системы, решения)", Изд-во ВЦ АН СССР, М., 1971.

117. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1957, т. 7, № 2. С. 416- 424.

118. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления для уравнений с разрывными правыми частями. Прикладная математика и механика, № 4, 1962.

119. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координатами. // ПММ, 1962, вып. 3. С. 431-443.

120. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления для уравнений с разрывными правыми частями. // ПММ, 1962, вып. 2. С. 233246.

121. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации управления в системах с ограниченными координатами .Прикладная математика и механика, № 3, 1962.

122. Троицкий В.А. Задача Майера-Болъца вариационного исчисления в теории оптимальных систем. Прикладная математика и механика, т.26, № I, 1962.140141142143144145146.147,148.149.150.151.152.153.

123. Троицкий В.А. О вариационных задачах оптимизации процессов управления. Прикладная математика и механика, т.26, № I, 1961.

124. Троицкий В.А. О синтезе оптимальных систем. Автоматика и телемеханика. № I, 1968,

125. Уткин В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах. I. Автоматика и телемеханика, № 12, 1971.

126. Уткин В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах. II. Автоматика и телемеханика., № 2, 1972. |

127. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. Физматгиз , М., 1974.

128. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: "Наука", ГРФМЛ, 1981.-368с.

129. Фалдин Н.В., Макаров H.H. Оптимальное по времени управление линейными объектами третьего порядка в задачах с ограничениями. Радиофизика, т.ХШ, №11, 1970.

130. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.-488 с.

131. Фельдбаум A.A. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства. Автоматика и телемеханика, т. 16, № 2, 1955.

132. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

133. Филиппов А.Ф. Приложение теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью к нелинейным задачам автоматического регулирования. Труды I конгресса ИФАК. Непрерывные системы. Изд-во АН СССР, 1961;

134. Флюгге-Лотц И., Титус Г.Оптимальное и квазиоптимальное управление системами 3-го и 4-го порядка. Труды П конгресса ИФАК, оптимальные системы, статистические методы, Изд-во "Наука", М., 1965.

135. Хохлов В.А. Электрогидравлический следящий привод, Наука, М., 1966.

136. Хрусталев М.М. Достаточные условия оптимальности в задачах с ограничениями. Диссертация , МГУ, 1970.

137. Цыпкин Я.3. Релейные автоматические системы. Физматгиз,М.,1974.

138. Чебыкин Л. С. Синтез оптимального по быстродействию управления для одной неустойчивой системы 3-го порядка. Автоматика и телемеханика, № 12,1971

139. Чебыкин Л.С. Об одном способе синтеза квазиоптимального по быстродействию управления. Труды института математики и механики Уральск, научи, центра АН СССР. Вып. 12, 1973.

140. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределённости с помощью эллипсоидов, I, II, III // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1980.-№3,4, 5.

141. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978, 270с.

142. Чуркин Г.М. Некоторые вопросы оптимального управления дроссельным гидроприводом. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Казань, КАИ , 1970.

143. Чуркин Г.М. Об одной системе управления, близкой к оптимальной. В сб. "Труды Казанского авиационного института". Вып. 117, 1970.

144. Чэнг С. С. Видоизмененный принцип максимума для оптимальногоуправления системами с ограниченными фазовыми координатами. Труды 2-го конгресса ИФАК. Оптимальные системы, статистические методы. Наука, 1965.

145. Публикации по содержанию диссертации

146. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное управление в линейных системах 3-его порядка с ограничениями по фазовым координатам. Известия ВУЗов. Радиофизика. 1970, №11. С 1700-1707.

147. Макаров H.H. Синтез оптимального по времени управления для одной системы с упорами. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1971, вып.1. С 149-158.

148. Макаров H.H., Володин JI.B. Фалдин Н.В. Один метод повышения точности следящего пневмопривода. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1973, вып.З. С 166-175.

149. Макаров H.H., Володин JI.B., Руднев С. А., Фалдин Н.В., Федоров А .Я. Релейный следящий пневмопривод высокой точности. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1973, вып.4. С 59-70.

150. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Принцип максимума для систем с ограничителями. Межвузовский сборник «Динамика систем», Горький, ГГУ, НИИПМК, 1975, вып. 5. С. 154-173.

151. Макаров H.H., Варшавская JI.C. Руднев С.А. Один машинный алгоритм синтеза быстродействующего привода. Третий всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и системам управления. Тезисы докладов. Москва-Тула, 1977. С. 29-30.

152. Макаров H.H., Варшавская Л.С. Быстродействующий пневмопривод с двухкаскадным распределительным устройством. Третий всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и системам управления. Тезисы докладов. Москва-Тула, 1977. С. 16-17.

153. Макаров H.H., Белов C.B. Синтез следящего гидропривода на ЭВМ. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1977, вып.6. С 55-64.

154. Макаров H.H., Варшавская JI.C. Быстродействующий пневмопривод с двухкаскадным распределительным устройством. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1978, вып.7. С 68-75.

155. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Звягин В.Д. Подчуфаров Б.М. Некоторые вопросы оптимального управления параметрами газовой среды в проточной полости. В кн.: Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1979. С 5-26.

156. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное управление системами с ограничителями. В кн.: Оптимальное управление в механических системах. Тезисы III Всесоюзной конференции, Киев, 1979, т. И. С. 69-70.

157. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное по времени управление объектом третьего порядка с насыщением. В кн. Динамика систем. Оптимизация и адаптация. Межвузовский сборник. Горьковский государственный университет. Горький.-1979. С. 136-152.

158. Макаров H.H., Подчуфаров Б.М. Фалдин Н.В., Звягин В.Д. Некоторые вопросы оптимального управления параметрами газовой среды в проточной полости. В кн. : Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТулПИ, 1980. С 8-17.

159. Макаров H.H. Гарантированная точность в проектировании следящих систем. Изв. Вузов, Электромеханика, 1980. №7. С 744-747.

160. Макаров H.H., Есипов А.Н. Андреев В.М. Цифровое моделирование динамических систем с разрывом. В кн. : Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов, Тула, ТулПИ, 1984. С 139-147.

161. Макаров H.H., Дешин А.Н., Иванов Д.Г., Щуров Ю.Н. О цифровой реализации одного класса систем с разрывным управлением. Известия ВУЗ. Электромеханика . 1987, № 10. С 72-76.

162. Макаров H.H., Воробьёв В.В., Мозжечков В.А. Гарантированная точность в идентификации систем автоматического управления. В кн. Динамика систем и процессы управления. Тезисы докладов. Тула ТулГУ 1997. С. 19.

163. Мозжечков В.А., Воробьев В.В., Макаров H.H. Идентификация динамических объектов с использованием системы моделей. В кн.: Системы автоматического управления и их элементы. Тула, ТулГТУ, 1996. С. 110-120.

164. Макаров H.H., Воробьёв B.B. Один способ оценки точности параметров упрощенной модели. Сборник «Управление в технических системах», материалы научно-технической конференции. Ковров; КГТА, 1998. — С. 275-276.

165. Макаров H.H., Воробьёв В.В. Использование иерархии моделей для идентификации параметров динамических систем. Сборник «Управление в технических системах», материалы научно-технической конференции. Ковров; КГТА, 1998. - С. 276-277.

166. Макаров H.H., Макарова H.H. О методе гарантированной точности следящей системы. Сборник «Управление в технических системах», материалы научно-технической конференции. Ковров; КГТА, 1998. -С. 209-210.

167. Макаров H.H., Макарова H.H. Построение областей достижимости для типовых задающих устройств в методе гарантированной точности. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление» Том 1. Выпуск 3. Управление. 1998. С 131-140.

168. Макаров H.H., Варнавский С.О. Гарантированная точность идентификации. Известия ТулГУ. Серия «Проблемы специального машиностроения » Выпуск 2. 1999. С 281-284.

169. Макаров H.H., Макарова H.H. Предельные отклонения и построение области достижимости апериодического звена второго порядка. Известия ТулГУ. Серия «Проблемы специального машиностроения » Выпуск 2. 1999. С 284-288.

170. Макаров H.H., Варнавский С.О. Учёт малых постоянных времени при синтезе систем управления методом гарантированной точности. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление» Том 2. Выпуск 3. Управление. 2000. С 37-41.

171. Макаров H.H., Макарова H.H. Синтез регулятора методом гарантированной точности. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление» Том 2. Выпуск 3. Управление. 2000 С 41-52.

172. Макаров H.H., Макарова H.H. Оценка гарантированной точности следящей системы со случайным сигналом на входе. Известия ТулГУ. Серия «Проблемы специального машиностроения » Выпуск 3. Часть 1. 2000. С 263-267.