автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью формализации операций компьютера

На правах рукописи

005019895

СТРОГАНОВ АНДРЕЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛИЗАЦИИ ОПЕРАЦИЙ КОМПЬЮТЕРА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г да

Москва-2012

005019895

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики» (МГТУ МИРЭА)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Аристов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты:

Заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ МИРЭА, доктор физико-математических наук, профессор Самохин Александр Борисович

Заместитель заведующего отделом математики НИИСИ РАН кандидат физико-математических наук, Коганов Александр Владимирович

Ведущая организация: Механико-математический факультет

Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится «23 » ¿¿йЛ 2012г. в «/У на заседании диссертационного совета Д212.131.03 при МГТУ МИРЭА по адресу: 119454 г. Москва, проспект Вернадского, д. 78, ауд. Г-412

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ МИРЭА.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим отправлять по адресу: 119454 г. Москва, проспект Вернадского, д. 78, диссертационный совет Д212.131.03.

Автореферат диссертации разослан «0$ » а г 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.131.03 доктор технических наук, профессор

О.А. Тягунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие научные, технические, экономические и другие задачи приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений, в том числе и нелинейных, большинство из которых аналитического решения не имеет. Поэтому приходится использовать численные подходы с применением вычислительных устройств (компьютеров). По сравнению с численным, явное решение предоставляет больше информации о задаче, позволяет увидеть решение в целом с его качественными особенностями, асимптотиками и т.д., что важно, например, для физического описания явлений. Также существенно, что аналитические решения, даже частные, могут являться тестами, играющими большую роль при разработке различных численных методов (численный и аналитические подходы дополняют друг друга). В классических численных методах используется вычислительное устройство, определяющее представление решения фактически в виде чисел. При этом теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Отметим также вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием. Поэтому поиск новых методов, которые приводили бы к получению явных аналитических решений является несомненно актуальной задачей.

Для построения решений в явном виде существуют различные методы, однако они не обладают достаточной общностью. Среди численных методов решения задач особое место принадлежит методу конечных разностей ввиду его универсальной применимости. Однако, конечно-разностные методы, представляющие собой рекуррентные формулы, требуют использования компьютеров для вычисления значения искомой функции на каждом слое.

В диссертационной работе предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений (основной интерес представляют нелинейные, но он применим и к линейным уравнениям),

основанный на математической модели компьютера, в которой формализуются и обобщаются фундаментальные свойства компьютера при работе с числами. Заметим, что метод нацелен на получение именно аналитического представления решения, которое, в принципе, не требует применения вычислительной машины, то есть идеологически метод «направлен от компьютера к аналитике». Заметим, что, например, в современном направлении компьютерной алгебры развиваются новые алгоритмы и аналитические методы с применением в вычислительных устройствах.

На основе предложенной модели разрабатывается метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем, в котором исключаются вычисления на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым получается явное представление решения, где выражение на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). Для построения решения используется произвольная сходящаяся к решению исходного уравнения разностная схема, которую мы называем «руководящей». Решение ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. При построении решения проводится математическая формализация основных операций над числами в компьютере, а именно, ограничения количества разрядов при задании числа и переноса значений из разряда в разряд. Поэтому данный метод может быть назван «методом компьютерной аналогии». В процедуре переноса разрядов также используются операции выделения остатка от деления чисел, старшие разряды фактически являются генераторами псевдослучайных чисел. С использованием вероятностных методов проводится осреднение и исключение промежуточных действий.

Цель работы состоит в создании новой математической модели компьютера и формализации представления чисел в классической вычислительной машине и разработке алгоритма, который в принципе может привести к получению явного вида решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Методика исследования основана на общих методах вычислительной математики, математического моделирования, тео-

рии вероятностей, математической статистики и анализа. Для сравнения результатов и проверки гипотез производилось численное моделирование на компьютере, использовались язык программирования С++ и программа Gnuplot.

Научная новизна. Предлагаемый подход является принципиально новым. Строится математическая модель работы компьютера с числами, что при использовании разностных схем позволяет получить явное представление решения для нелинейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение при решении дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Разработанный метод может применяться в итерационных задачах приближения. Практическая значимость работы заключается в получении аналитических приближений для задач, не разрешимых в квадратурах. Метод может позволить получать тестовые решения, необходимые для отладки новых численных алгоритмов и решения сложных нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Представление численного решения в виде отрезка ряда по степеням шага независимой переменной допускает параллельное вычисление коэффициентов, может привести к ускорению вычислений даже в тех случаях, когда явный вид приближения выписать не удается. Явное представление решения также может быть вычислено быстрее и эффективнее по сравнению с традиционными методами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Тихонов и современная математика» в 2006 г.; на 14-й, 16-й, 17-й международной конференции «Математика, компьютер, образование» в Пущино и Дубне в 2007, 2009, 2010 г.; международной конференции «Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences» (Четраро, Италия, 2010); ежегодных научно-технических конференциях МИРЭА; на семинаре кафедры вычислительных методов ВМК МГУ под руководством профессора,

д.ф.-м.н. A.B. Гулина; семинаре сектора информатики и биофизики сложных систем биологического факультета МГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н, Г.Ю. Ризниченко; семинаре кафедры прикладной математики МИРЭА под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.Б. Самохина. Методологические аспекты метода обсуждались на конференциях «Философия математики. Актуальные проблемы» в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 и 2009 годах; конференции «Искусственный интеллект. Философия, методология, инновации», МИРЭА в 2010 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12] (из списка ВАК [1-4]), вклад соавторов в работу равный.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 106 страниц и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В заключении сформулированы положения, выносимые на защиту.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются актуальность и новизна диссертационной работы, представлены общие идеи, на которых строится метод. Определяются задачи исследования и кратко описывается содержание работы по главам.

В главе 1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка в виде

cfy/dt = f{t,y),te[t0,T] (1)

с начальным условием>>(/0) = у0> гДе f{Uy) - некоторая, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Параметр t для краткости назовем «временем». Будем считать, что для данной задачи Коши выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [/0,Г] ее решения у-y{t).

Уравнение (1) удается решить традиционными методами точно лишь для некоторых специальных типов функций f{t,y). Рассмотрим явную разностную схему задачи (1) в виде:

Л+1 + (2)

где г - шаг по времени, а <?(/',>') - некоторая функция, зависящая как от функции в правой части (1), так и от параметров / и у.

Будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом т = {р N, расчетными точками (узлами) служат точки

/„ =/0 + пт, (и = 0,1,...,ТУ) промежутка Фактически (2) оп-

ределяет разностную схему, решение которой предполагается сходящимся к решению (1).

В простейшем случае точное решение можно получить непосредственно из разностного за счет последовательного раскрытия рекуррентной зависимости в (2) и предельного перехода при г-»0.

В качестве модели, иллюстрирующей основные этапы данного метода решения, рассматривается простая нелинейная задача Коши, на примере которой изучаются основные стороны алгоритма. Для этой задачи показывается, что решение в виде отрезка степенного ряда, где коэффициенты при степенях т ничем не ограничены, не будет обеспечивать сходимость к точному решению.

В главе 2 вводится понятие «позиционной г-системы счисления», в которой в качестве основания выбирается обратная величина к шагу разностной схемы г (2), то есть г-1. Предполагается, что г выбран так, что 0 < г < 1.

Сформулирована и доказана теорема.

Пусть для задачи Коши

<1у1й = Г{у),у(0) = уъ (3)

выбрана некоторая разностная схема вида (2) и допустим, что шаг т выбран достаточно малым чтобы схема (2), аппроксимирующая задачу (3), была устойчивой. Если значение у0 может быть представлено в виде полинома степени р по степеням г с действительными коэффициентами, тогда у„ также может быть представлено в виде полинома степени р и некоторого остаточного члена.

В соответствии с этой теоремой будем выражать численное

решение дифференциального уравнение с помощью т -системы счисления, то есть в виде отрезка ряда по степеням г с положительными коэффициентами ат и определенным набором знаков между слагаемыми:

>'„ = t РпМ'" , (4)

т=О

где (3\ - коэффициенты, определяющие знаки перед коэффициентами, то есть ¡Зт е {-1,1} .

Для получения представления решения на п + 1-м слое функция 0(уп ) раскладывается в ряд в окрестности у* = /?0о0 п:

«2 1 ( р k=\K-\m=l

Лк dkG(y)

dy'

У=У

Здесь каждое к-е слагаемое содержит полином относительно г степени рк. Следовательно выражение (?(}'„) может быть

перегруппировано и записано в виде ряда по степеням г. Представление решения по схеме (2) для автономного ОДУ на (п +1)-м слое будет иметь вид:

т=0 к=\

к\

Рт®т,п^

\т=1

(5)

где

Гк =

dkG{y)

df

В общем случае нельзя обеспечить сходимость к решению, если на каждом слое удерживать фиксированное количество членов в (4). Без дополнительных условий представление решения в виде отрезка ряда по степеням т с р{п) = const приводит к расходящемуся ряду. Если коэффициенты ai „ при степенях г в (4)

превысят 1/г, то приближение станет неэффективным, так как с ростом п придется вводить дополнительные слагаемые в (4) с бо-

лее высокими степенями г.

Введем процедуру переноса разрядов, которая будет гарантировать, что величины коэффициентов п на каждом слое будут меньше 1/г. Так, если коэффициент становится равным или большим величины 1/г, его часть должна быть перенесена в младший коэффициент (то есть в коэффициент с меньшим индексом). Если абсолютное значение коэффициента меньше величины 1/г, то коэффициент называется нормализованным, иначе - ненормализованным и отмечается волной (например: Если на

(и —1)-м слое выписано нормализованное представление решения в виде (4), то, используя (5), и обрывая полученное выражение после р-то слагаемого, получается ненормализованное представление решения на п -м слое:

р

Уп = X ААм/" •

;и=0

Выражения для нормализации коэффициентов будут иметь вид (квадратные скобки обозначают взятие целой части числа):

7.Я = («тл + А,А+А1+1,,,)т0с1-> (6)

4 ' Т

{ат,п + РтРт+\3т+\,п )Г]» вр+\,п = 0 >

где значения ненормализованных коэффициентов находятся из предыдущего слоя с помощью формулы (6). Таким образом, процедура нормализации позволяет гарантировать, что при переходе от л-го шага к (« + 1)-му коэффициенты не превысят величину 1/г —1, а, следовательно, представление решения (4) будет отрезком сходящегося ряда.

Учитывая операцию переноса разрядов, выражение (4) можно записать следующим образом:

ат„

С _

Уп = Е Рт \(йт,п + РтРт+Ап+\,п)т0&~ т=О V Т

тт.

т=О

Локальное представление решения (на данном слое) и глобальное (на п слоях) в предлагаемом методе могут различаться количеством членов р представления решения, о чем говорит

доказанная в диссертации теорема:

Пусть в качестве руководящей разностной схемы выбрана схема с точностью О (У), и решение на данном шаге представляется в виде отрезка ряда (4). Тогда после применения операции переноса разрядов, в (4) достаточно удерживать члены до г'' включительно, то есть:

т=о

В (4) необходимо удерживать такое количество членов р , чтобы ошибка, вносимая при отбрасывании в (5) членов со степенями г, превосходящими р, была порядка ошибки разностного решения (2), следовательно, представление (4) будет сходиться к решению задачи (1) с точностью выбранной разностной схемы.

Доказана следующая теорема:

Пусть решение на п-ом шаге представлено в виде (4). Для получения представления на (п+1) - ом шаге используется выражение (5), которое может быть перегруппировано по степеням т. Затем члены со степенями г, превосходящими р отбрасываются. Обозначим га сумму как п+1. Тогда справедливо следующее неравенство:

I I I vW

)hk\№rhPk\-

В главе 3 описываются стохастические свойства старших разрядов решений в методе компьютерной аналогии. Использование этих свойств позволяет избавляться от рекуррентной зависимости на промежуточных шагах по времени.

Выражение для коэффициентов представления решения (6) в общем виде соответствуют выражению для конгруэнтного генератора псевдослучайных чисел, который дается следующей рекуррентной формулой:

^n+i = (ахп + c)modM, где а и с — некоторые целочисленные коэффициенты, причем

О < а,с,х0 < М. Можно рассматривать выражения для коэффициентов а в (6) как отдельные линейные конгруэнтные генераторы, связанные между собой через операции переноса разрядов.

Такая зависимость приводит к сильно запутанному состоянию, что, однако, не гарантирует улучшение свойств генератора случайных чисел. С другой стороны, в зависимости от функции б в правой части (2), такой генератор может менять свои свойства с ростом п.

Можно рассматривать величины переноса разрядов 5т , О<т<г как случайные. Они определяются стохастическими свойствами коэффициентов аг+1, ..., ар, где г- порядок точности

разностного метода (2). На отрезках, где коэффициенты с номерами 0<т<г не меняются, можно заменить 6т своим математическим ожиданием, обозначим его как М{дт). Тем самым будут исключены все промежуточные слои, на которых коэффициенты а0, аь ..., аг не меняют свои значения.

Рассматривается численное моделирование стохастического поведения коэффициентов и проверяется справедливость предположения о случайном распределении величин старших коэффициентов. Важнейшим критерием в изучаемом случае является приближенное совпадение математического ожидания и дисперсии с идеальными теоретическими аналогами, что подтверждается численными экспериментами.

Формулируется и проверяется в численных экспериментах следующее утверждение.

Если величины переноса разрядов д2 слабо коррелируют на последовательных слоях, то выполняется закон больших чисел:

В последнем неравенстве подразумевается сходимость в

или

с п

обычном смысле, поскольку принимается, что старшие разряды ведут себя как квазислучайные числа с равномерным заполнением соответствующей плоскости изменения, что подтверждают компьютерные эксперименты. Поэтому суммирование величин переноса заменяются суммированием соответствующих математических ожиданий. Фактически речь может идти о методе обратном к методу Монте-Карло: сумма реализаций случайной величины заменяется теоретически определяемым математическим ожиданием. Для простоты записи используем обозначение а Удобно искать представление решения обратной зависимости, т.е. п(а), которая ставит в соответствие некоторому значению оси ординат а значение на оси абсцисс (рассматривается система координат (п,а)). Задаем приращение Да = 1, ему будет соответствовать приращение Апа = па+х - па . Так как коэффициент линеаризации а{ постоянен на отрезке [па,па+j), вероятность переноса S2 „ также постоянна во всех точках этого отрезка и равна Р(а). '

При стремлении шага по времени к нулю статистические свойства алгоритма улучшаются, и можно ожидать, что данная аппроксимация обеспечивает сходимость к точному решению.

В главе 4 вначале приводятся основные этапы алгоритма решения задачи методом компьютерной аналогии.

1. С помощью выбранной сходящейся разностной схемы записывается представление в виде отрезка ряда по степеням шага аргумента г.

2. Перенос разрядов: требуем, чтобы коэффициенты этого отрезка ряда были меньше 1/г; если оказывается, что это не так, то берется целая часть произведения коэффициента на т и прибавляется к младшему коэффициенту, а на прежнем месте остается остаток от деления коэффициента на 1/г.

3. Выбор необходимого количества членов отрезка ряда.

4. Определение вероятности переноса разряда в коэффициент при тг, где г - порядок выбранной разностной схемы.

5. Нахождение зависимости номера шага п от значения коэффициента линеаризации; используя закон больших чисел при уменьшении г, определяем обратную зависимость для решения исходной задачи, восстанавливается и прямая зависимость на интервалах монотонности искомой функции.

6. Предельный переход к решению исходной задачи осуществляется при уменьшении шага г.

В этой главе приводятся примеры решения дифференциальных уравнений методом компьютерной аналогии. Решение получается в виде обратной зависимости ¡(у).

Пример 1. Построение решения модельной задачи:

с1у/Ж=-у2,у( 0) = 1, /е[0,-юо). Представление решения в виде (4):

Уп = а0,п - аит + а2,У - ■ Полученное решение:

а-1 _2

у(а) = \-ат, /(д)= X г(1-тг) .

т=0

Пример 2. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (система Карлемана):

¿и/Ж = у2-и2, ы(0) = 1

, г е [0, +оо)

<Л//Л = и2-у2, у(0) = 0 Представление решения в виде (4):

ип = - V + а2У2> = 1 - % ■ Полученное решение:

а-1 т

и(а) = \-ат, у{а) = ат, /(а) = £ ———.

„)=01-2тг

В главе 5 приведены примеры построения решения методом компьютерной аналогии для задач, неразрешимых в квадратурах или не имеющих решения в элементарных функциях. Для задач

из примеров 3 и 5 были проведены тесты с целью оценить производительность вычислений, которые показывают, что решение, полученное методом компьютерной аналогии, находится быстрее, чем решение, полученное по руководящей разностной схеме.

Пример 3. Решение задачи Коши, неразрешимой в элементарных функциях:

¿у/Ж = -]пу, ;'(0) = 2, /е[0,+оо). Представление решения в виде (4):

^ = р=[ьё>,01/г]+1.

т=0

Получено решение в следующем явном виде:

а-1

у(а) = 1-аг, t(a)- У-:—.

Ш—\ 1 V г

ь^о-Е—г

Приводится сравнение, демонстрирующее близость полученного решения к разностному решению (рис. 1), здесь г = 0.01.

2 ' Г 1-I-I-!---

Численное решение Предлагаемый метод

? о

О)

о оГ X

а

а о о

а

о

8 о 3

о о. сг

2 1.5 1

0.5 0

Предлагаемый метод Численное решение

0.5

15

2.5

3.5

Рис. 1. Сравнение решений (верхний график) и оценка времени вычислений по двум алгоритмам (нижний график).

Пример 4. Решение задачи Коши для уравнения Риккати:

с1у/Ж = -у?-1,у{ 0) = 1,/є[0,і].

Рассматривается область, где у> 0, тогда решение можно представить в виде отрезка ряда (4) с р = 2:

Уп = а0,п ~ а1,пт + а2,„т2 • Полученное решение (на отрезке [0,1]):

а~\ 1

у{а) = 1-ат, ({а) = т £-^---•

да=0(1-/пг)2 + гХ

Я(1-Уг)2 + ...

і

+г-

(1-г)2

Пример 5. Решение системы дифференциальных уравнений, не имеющей аналитического решения

{с1и/Ж = г2 -и2, ы(0) = 1

*є[0,+оо)

У(и) = С

Представление решения в виде (4):

\dvldt-ii1 -IV, у(0) = 0

В качестве независимой переменной здесь будем использовать а , тогда п (номер слоя по времени) и Ь должны быть выражены через а:

а-1 , _2 ч

иа=\-яг, Уа=Ьат = т^ П (1-2г(1-Ат) ,

,п=\к=т+Г '

а-1 _2

¡а=гпа=т^(\-тт) . т=о

Показано, что решение методом компьютерной аналогии может быть вычислено на компьютере быстрее, чем прямое вычисление с использованием разностного решения (см. рис. 2).

Далее показывается, что из анализа детерминированных ко-

эффициентов (то есть в данной схеме - для коэффициентов ах и Ь{) возможно получить простую асимптотику решения для начальных моментов времени:

а |

иа=\-ат, va=baт = т(l-2т{a + \))YJ—-

т=9 1 -

■2тт

0-1

'а X, .

и=01-2гог

и(х), численное ренюнио V)!), чиспенное решение иМ, предлагаемый метод ур), предлагаемый метод

к

3

а

ю

ф

о

3

с

1.6 1-2 0.8 0.4 . О

Предлагаемый метод Численное решение

Рис. 2. Сравнение решений (верхний график) и оценка времени вычисления по двум алгоритмам (нижний график).

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построена модель вычислительного устройства, в которой формализуются важные свойства компьютера при работе с числами (компьютерная аналогия). С помощью этой модели можно исключать промежуточные слои в разностных схемах для решения дифференциальных уравнений.

2. Разработан новый алгоритм, который может привести к

явному виду решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем. Выявлены вероятностные свойства старших коэффициентов в представлении решения в виде отрезка ряда по степеням шага аргумента, что дает возможность получать решение в явном виде.

3. Применение нового метода может быть сопряжено с достаточно большой аналитической работой. Но алгоритм обладает рядом достоинств, в частности - он может быть более быстрым по сравнению с традиционными численными методами, возможно эффективное распараллеливание, выявление качественных свойств решения, получение простых асимптотик.

4. Решение по предложенному алгоритму является приближением точного решения. Точное решение получается в предельном переходе при устремлении шага по времени к нулю. Приведены многочисленные примеры построения решений для задач, не разрешимых в квадратурах или элементарных функциях. При этом показано, что при уменьшении шага по времени решения сходятся к предельному с ожидаемой точностью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах из списка ВАК:

1. Аристов В.В. Строганов A.B. Построение решений дифференциальных уравнений с помощью метода «компьютерной аналогии» // Доклады академии наук РАН, том. 434, N2,2010, с. 151-157.

2. Аристов В.В. Строганов A.B. Вероятностные аспекты метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, 2009, Т. 1, N 1, с. 21-31.

3. Аристов В.В. Строганов A.B. Перспективы метода решения дифференциальных уравнений на основе компьютерной аналогии // Прикладная информатика, 2008, 6(18), с. 91-99.

4. Aristov V.V., Stroganov A.V. A method of formalizing computer operations for solving nonlinear differential equations // Applied Mathematics and Computation, 2012, Vol. 218, p.8083-8098. doi: 10.1016/ j.amc.2011.09.029.

Другие публикации:

5. Аристов В.В., Строганов A.B. Метод решения дифференциальных уравнений на основе «компьютерной аналогии» // Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика» М • МГУ. 2006 г. — с26-27.

6. Аристов В.В. Строганов A.B. Новый метод решения дифференциальных уравнений с формализацией математических операций компьютера // Сб. научн. трудов. «Математика. Компьютер. Образование». Ред. Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотич. динамика. 2006 т.2. с.295-307.

7. Аристов В.В. Строганов A.B. Полуаналитический подход для решения дифференциальных уравнений // 54-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб.тр. — М.: МИРЭА, 2005. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.35-40.

8. Аристов В.В. Строганов A.B. Развитие метода решения дифференциальных уравнений на основе «компьютерной аналогии» // 55-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. — М.: МИРЭА, 2006. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.92-95.

9. Аристов В.В. Строганов A.B. Решение дифференциальных уравнений на основе метода компьютерной аналогии // 56-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. — М.: МИРЭА, 2007. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.51-56.

10. Аристов В.В., Строганов A.B. Развитие метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений. «Математика. Компьютер. Образование». Ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотич. динамика. 2008. вып.12, т.2. с.110-120.

11. Аристов В.В., Строганов A.B. Развитие метода решения дифференциальных уравнений с формализацией математических операций компьютера // Сб. научн. трудов. «Математика. Компьютер. Образование». Ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотич. динамика 2010. т.2. с.227-235.

12. Aristov V.V., Stroganov A.V. Method of formalizing computer operations for solving nonlinear differential equations H Intern. Conf. Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences. Book of Abstracts. Cetraro. 2010, p. 16.

Подписано в печать 26.03.2012. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0,93. Усл. кр.-отг. 3,72. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 149. Бесплатно

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики" 119454, Москва, пр. Вернадского, 78

61 12-1/790

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ»

На правах рукописи

Строганов Андрей Валентинович

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛИЗАЦИИ ОПЕРАЦИЙ

КОМПЬЮТЕРА

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Аристов В.В.

ДИССЕРТАЦИЯ

Москва 2012

Оглавление

Введение..................................................................................................................4

Глава 1. Проблемы построения методов решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем.........................................................9

1.1 Различные подходы для получения аналитических и численных

решений дифференциальных уравнений..........................................................9

1.2 Численные методы решения задачи Коши, их достоинства и недостатки, разностный подход............................................................................................11

1.3 Проблема связи получения явного и численного решений на основе разностных схем.................................................................................................13

1.4 Модельная задача для изучения свойств метода......................................14

Глава 2. Представление решения в методе компьютерной аналогии......20

2.1 Системы счисления и представление чисел в вычислительных

устройствах.........................................................................................................20

2.2 т-система счисления...................................................................................21

2.3 Представление решения дифференциальных уравнений в виде ряда по степеням шага аргумента..................................................................................23

2.5 Операция переноса разрядов......................................................................30

2.6 Оценка отбрасываемой части ряда при приведении решения к отрезку

ряда фиксированной длины..............................................................................35

Глава 3. Стохастические свойства решений в методе компьютерной аналогии................................................................................................................41

3.1.Случайные числа и генераторы случайных чисел. Методы оценки

качества генераторов случайных чисел...........................................................41

3.2. Стохастическое поведение коэффициентов в т-представлении решения

..............................................................................................................................47

3.3 Моделирование случайного и квазислучайного поведения коэффициентов...................................................................................................49

3.5 Оценка свойств последовательностей чисел и использование получающихся случайных чисел в разрабатываемом методе......................59

3.6 Свойства самоподобия величин переноса.................................................60

Глава 4. Применение метода компьютерной аналогии для решения нелинейных дифференциальных уравнений................................................62

4.1 Алгоритм построения решения методом компьютерной аналогии.......62

4.2 Построение неполного решения для задачи (1.5)....................................63

4.3 Построение полного решения для задачи (1.5)........................................69

4.4 Система нелинейных дифференциальных уравнений.............................77

Глава 5. Задачи, не разрешимые в квадратурах или не имеющие решения в элементарных функциях. Выявление качественных свойств решения.................................................................................................................80

5.1 Примеры решения задача Коши для уравнений, неразрешимых в

элементарных функциях...................................................................................80

5.2 Задача Коши для уравнения Риккати.........................................................84

5.3 Получение явного решения методом компьютерной аналогии для системы нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющей известного аналитического решения...............................................................88

5.4 Асимптотическое решение.........................................................................93

5.5 Осциллятор Ван дер Поля. Исследование поведения решения..............95

Заключение.........................................................................................................101

Литература..........................................................................................................103

Введение

Многие научные, технические, экономические и другие задачи приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Однако, класс дифференциальных уравнений (см. например [1-3]), допускающих аналитическое решение, достаточно узок. Поэтому обычно не удается избежать численного моделирования. Заметим, что в некоторых случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но требует большого объема алгебраических выкладок, компьютерные методы могут оказаться даже предпочтительнее аналитических, так что эти подходы в принципе способны взаимодополнять друг друга. И хотя применение современной компьютерной техники дает возможность разрешать многие сложные задачи, поиск аналитических (или полуаналитических) подходов не теряет актуальности. В отличие от численного, решение в явном аналитическом виде позволяет получить больше информации о задаче, увидеть решение в целом с его качественными особенностями, асимптотиками и т.д., - что важно, например, для физического описания явлений. Также существенно, что аналитические решения, даже частные, могут являться тестами, играющими большую роль при разработке численных методов.

В классических численных подходах используется вычислительное устройство (компьютер), определяющее представление решения фактически в виде чисел. Тем самым теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Также существенными являются вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием и т.д. Поэтому возможность получения явного представления решения привлекательна. Поиск новых методов (тем более обладающих достаточной общностью), которые приводили бы к получению явных аналитических решений является актуальной задачей.

Для построения решений дифференциальных уравнений в явном виде существуют различные подходы. Отметим известный метод представления решения в виде ряда по степеням аргумента, который имеет, однако, существенные ограничения: точность приближения бывает трудно оценить, коэффициенты сложно вычислить, а сходимость ряда может оказаться медленной. Но основной недостаток такого подхода (применяемого в основном к линейным уравнениям) заключается в том, что часто ряд имеет конечный радиус сходимости (в частности, радиус может быть равен нулю), т.е. удается получить решение лишь для ограниченного значения аргумента. Продвижение на величину отрезка, меньшего радиуса сходимости, и получение затем новых граничных условий с повторением процесса приводит, по сути, к рекуррентным формулам (как в разностных схемах), для разрешения которых требуется вычислительная техника.

Среди численных подходов решения задач для дифференциальных уравнений особое место принадлежит методу конечных разностей ввиду его универсальной применимости. Однако конечно-разностные методы, представляющие собой рекуррентные формулы, также требуют использования компьютеров для вычисления значения искомой функции на требуемом слое.

В данной работе предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений (основной интерес представляют нелинейные, но он применим, конечно, и к линейным уравнениям) с помощью математической модели вычислительного устройства, в которой формализуются и обобщаются фундаментальные свойства компьютера при работе с числами. Заметим, что рассматриваемый метод направлен на получение именно аналитического представления решения, которое, в принципе, не требует применения вычислительной машины, то есть идеологически метод направлен «от компьютера к аналитике». Известные логические модели компьютеров, например Тьюринга или Поста, явились прообразом будущих реальных вычислительных устройств. Также

аналогичную цель (направленности «от формул к машине») имеют современные теоретические разработки новых типов компьютеров, например, квантовых. Компьютерная алгебра (в частности символьные вычисления) имеет целью разработку новых алгоритмов и аналитических методов, но для использования в вычислительных устройствах.

В настоящей диссертационной работе разрабатывается новый метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем. В данном подходе исключаются решения на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым можно получить явное представление решения. В результате значение искомой функции на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). При этом используется произвольная сходящаяся к решению исходного уравнения разностная схема, которую мы называем «руководящей». Решение ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. При построении решения проводится математическая формализация основных операций над числами в компьютере, а именно ограничения количества разрядов при задании числа и переноса значений из разряда в разряд. Поэтому данный метод может быть назван «методом компьютерной аналогии». В процедуре переноса разрядов также используются операции выделения остатка от деления чисел, старшие разряды фактически являются генераторами псевдослучайных чисел. С использованием вероятностных методов проводится осреднение и исключение промежуточных действий. Приводятся примеры решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Подчеркнем, что смысл создания такого метода - попытка найти алгоритм для получения аналитического (или полуаналитического) явного представления решения.

Основные результаты по построению и применению этого подхода отражены в наших работах [4-15].

Опишем кратко содержание работы.

В первой главе рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Вводятся основные понятия, термины и обозначения. Формулируются основная проблема данной работы - изучение возможности построения явного решения для нелинейных дифференциальных уравнений. В общем виде рассматривается разностное решение, которое будет использоваться для построения аналитической аппроксимации. На примерах показывается, что в простейших случаях точное решение можно получить непосредственно из разностного за счет последовательного раскрытия рекуррентной зависимости и предельного перехода при стремлении шага схемы к нулю. Рассматривается простая модельная нелинейная задача Коши, на примере которой изучаются основные этапы алгоритма. Для модельной задачи показывается, что представление решения в виде отрезка степенного ряда, где коэффициенты при степенях шага ничем не ограничены, не обеспечивает сходимость к точному решению (или требует быстрого нарастания количества членов отрезка ряда с ростом величины аргумента).

Во второй главе вводится понятие «позиционной Т -системы счисления», в которой в качестве основания выбирается величина, обратная к шагу разностной схемы. Описывается представление чисел в такой системе счисления. Формулируется и доказывается теорема о том, что численное решение может быть представлено в виде ряда по степеням шага выбранной разностной схемы. Выводится формула для такого представления. Указывается, что в общем случае невозможно обеспечить сходимость к решению исходной задачи, если на каждом слое удерживать лишь фиксированное количество членов в представлении решения. Вводится процедура переноса разрядов, гарантирующая, что при переходе от п-то

шага к [п + 1) -му коэффициенты в представлении решения в виде т-системы

счисления не превысят основания этой системы, а следовательно, представление решения будет отрезком сходящегося ряда. Формулируются и доказываются теоремы о достаточном количестве членов в отрезке ряда для

представления решения.

В третьей главе описываются стохастические свойства старших разрядов в представлении решения в предлагаемом методе. Показывается, что некоторые коэффициенты в представлении решения можно рассматривать как линейные конгруэнтные генераторы, связанные между собой через операции переноса разрядов. Рассматривается численное моделирование стохастического поведения коэффициентов и проверяется справедливость предположения о случайном распределении величин старших коэффициентов. Важным является приближенное совпадение математического ожидания и дисперсии с идеальными теоретическими аналогами, подтвержденное численными экспериментами. Оценивается ошибка при замене величин переноса разрядов их математическими ожиданиями.

В четвертой главе приводятся основные шаги алгоритма в методе компьютерной аналогии, которые используются для всех задач. На примерах демонстрируется решение дифференциальных уравнений разработанным методом. Рассматривается усеченное и полное решение модельной задачи, и решение простой системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В пятой главе приводятся примеры построения решения методом компьютерной аналогии для задач, не разрешимых в квадратурах или не имеющих решения в элементарных функциях. Для некоторых задач приводится оценка времени вычислений. Рассматривается задача Коши, не разрешимая в элементарных функциях, задача Коши для уравнения Риккати, не разрешимая в квадратурах, приводится пример нелинейной системы, не имеющей аналитического решения (для нее строятся также асимптотики при малых и умеренных значениях аргумента), на примере осциллятора Ван дер Поля показывается, что в случае, когда не удается выразить решение через начальные условия, решение предлагаемым методом воспроизводит качественные особенности точного решения, причем даже в тех случаях, когда сходимость не гарантируется.

Глава 1. Проблемы построения методов решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем

1.1 Различные подходы для получения аналитических и численных решений дифференциальных уравнений

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

^ = (1.1)

ш

с начальным условием

У{*о) = Уо>

где /((,у) - некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух

переменных. Параметр ? для краткости назовем «временем». Будем считать, что для данной задачи, называемой начальной задачей или задачей Коши, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность (см. [1]) на отрезке ее решения у = у({). Более того, не оговаривая это

отдельно, будем полагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного разностного метода.

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1.1) решить его аналитически удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений [1 - 3].

Отметим достаточно распространенный метод решения уравнений первого порядка - представление решения в виде ряда по степеням независимой переменной. Решение ищется в виде ряда

ос

У = Та/> С1-2)

к=О

Решение данным методом во многих случаях представляется специальными функциями (например, функции Бесселя, гипергеометрические функции и

др.). Можно высказать суждения о сходимости ряда (1.2) (см., например, [16]), во всяком случае требуется исследовать ряд на сходимость и необходимо исследовать ряд на сходимость и обосновать, что определяемая им функция y(t) действительно является решением исходного уравнения.

Данный метод применяется в основном для решения линейных уравнений. Его главным недостатком является то, что часто ряд имеет конечный радиус сходимости, т.е. удается получить решение лишь для ограниченного значения аргумента.

Так как для большинства уравнений не удается выписать решение в явном виде, часто приходится использовать приближенные способы решения (см. например [17-22]) начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы (такая классификация предложена в [23]):

1) приближенно-аналитические методы;

2) графические или машинно-графические методы;

3) численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближение решения y(t) сразу в виде некоторой «хорошей» функции

(p[t). К этой группе может быть отнесен упомянутый выше метод

степенных рядов. Другим представителем этой группы методов является метод последовательных приближений [21].

Графические методы дают приближенное представление искомого решения у(х) на промежутке [t0,b\ в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Изменение параметров уравнений приводит к адекватному изменению поведения решений, что положено в основу специализированных аналоговых вычислительных машин.

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы человеческой деятельности цифровой вычислител�