автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод моделирования пространственного распределения светимости в галактиках с учетом поглощения света

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Марданова Мария Асмедовна

МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВЕТИМОСТИ В ГАЛАКТИКАХ С УЧЕТОМ ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на факультете прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кутузов Сергей Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шмыров Александр Сергеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Калиберда Валентина Семеновна

Ведущая организация:

Главная Астрономическая Обсерватория Российской Академии Наук в Пулкове

Защита состоится " " яг/,.Р 2006 г. в /£■ часов на

заседании диссертационного совета Д.215.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Менделеевский центр,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " № " /¿£<Ргр.г 2006 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.50 доктор физико-математических наук,

профессор Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача изучения структур галактик является одной из наболее сложных задач астрономии, для ее решения нередко применяют методы моделирования. Первая в науке схематическая модель для нашей Галактики была построена В. Гершелем в конце XVII века, с помощью которой можно было получить общее представление о ее строении на основе звездных подсчетов.

5 ходе исследования галактик в числе прочих используется метод моделирования пространственного распределения светимости, где неизвестные параметры моделей ищутся по имеющимся наблюдательным данным. Т.е. решается задача депроекции. Постановка ее не является новой; авторами многих работ предлагались различные методы решения этой задачи для различных моделей галактик и их модификаций. Основные вычислительные трудности здесь заключаются в следующем:

1) рассматриваемая задача не является корректной (в соответствии с определением Ж.Адамара корректно поставленных задач);

2) она решается для неограниченных распределений светимости и яркости;

3) существует проблема единственности полученного решения.

Под неограниченностью в п. 2 понимается бесконечность соответствующего распределения.

К проблемам исследования звездных систем подходят по-разному. Например, в работе Dejonghe H. к рассмотрению предлагаются динамические модели галактик, в качестве минимизируемого функционала выбирается квадратичная функция. Пространственное распределение моделируется линейной комбинацией трех интегралов движения, в хоторой значения интегралов известны, неизвестными являются только коэффициенты линейной комбинации. Далее идет процесс поиска квадрата разности модельного выражении и наблюдательных данных. Минимум квадратичной и линейной функции найти проще, поэтому предлагаемый метод в общем случае неприменим.

Emselle m Б. и Monnet G. на первом этапе поиска параметров общей фотометрической модели галактики "восстанавливают" поверхностную яркость, применяя PSF (point spread function - функция рассеяния точки), далее представляя ее выражение суммой гвусскан. На втором этапе решается задача депроекции, т.е. непосредственно осуществляется поиск параметров пространственного распределения светимости. Для этого составляется функционал, минимум которого ищется методом наименьших квадратов. Светимость при этом также моделируют разложением в ряд по функциям Гаусса. Единственность решения достигается за счет того, что уровенные поверхности светимости полагают трехосными подобными эллипсоидами. Однако, и здесь рассматривают частный случай пространственного распределения. Подобные модели достаточно часто применяются на практике, но использование их в известной степени упрощает задачу депроекции, поэтому они являются не самым лучший приближением реальной картины светимости галактик.

Цель диссертационной работы - проведение исследований, направленных на построение численного метола, позволяющего обойти основные сложности, возникающие в процессе решения задачи депроекции, Поэтому основные задачи состоит в следующем:

1) выбор наиболее приближенной к реальности модели галактики и исследование ее внутренней непротиворечивости;

2) исследование методов решения этого класса задач и как следствие -создание численного алгоритма но нахождению параметров модельного распределения светимости;

3) анализ найденного решения и сопоставление полученных результатов с результатами авторов других работ;

4) оценка адекватности предложенной модели и эффективности построенного алгоритма.

Методика исследования. В работе используются методы математического моделирования, математической статистики и численные методы.

Научная новизна. На примере двух моделей галактик был разработан численный метод решения обратной задачи депроекции. Некорректность ее снимается за счет поиска решения в пространстве параметров модели. Новым в диссертации является создание алгоритма, основанного на комбинации трех оптимизационных методов и добавление к нему процесса генерации компонент вектора, позволяющего уточнить найденные приближения модельных параметров на промежуточных этапах минимизации функционала. Основываясь на анализе полученных' результатов и оценке погрешностей, было показано, что для рассмотренного типа моделей галактик построенный алгоритм минимизации нелинейной целевой функции позволяет найти минимум (т.е. параметры моделей) за конечное число шагов и для любого физически правдоподобного вектора параметров модели, выбранного в качестве начального приближения. Кроме того, с помощью этого метода можно улучшить уже полученные результаты посредством варьирования помех в ходе повторной минимизации функционала.

Теоретическая и практическая ценность работы определяется тем, что построенный алгоритм применим для создания и корректировки других параметрических моделей спиральных галактик с нелинейными функциями описания для отыскания неизвестных параметров.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах кафедры космических технологий и прикладной астродинамики (ПМ-ПУ СПбГУ), на семинарах по звездной динамике К.Ф. Огородников а (МАТ-МЕХ СПбГУ) и на следующих научных конференциях: XXX и XXXI конференциях студентов и аспирантов ПМ-ПУ СПбГУ "Процессы управления и устойчив ость "(Санкт-Петербург, 1999, 2000); международной конференции ''Stellar Dynamics: from Classic to Modem"(Санкт-Петербург, 2000); международной конференции "Order and Chaos in Stellar and Planetary Systems"(Санкт-Петербург, 2003); всероссийской астрономической конференции BAK-2Q04 "ГЪризонты Вселенной" (Москва, ГАИШ, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти печатных работах и две из них - в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоят из введения, трех глав, заключения и приложения. Она содержит 131 страницу текста (включая 9 страниц приложения), 24 таблицы, 13 рисунков и список литературы из 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается история вопроса и общие положения, связанные с решением поставленной задачи.

В первой главе излагаются общие проблемы моделирования звездных систем, причем рассмотрены вопросы построения как кинематических, так и динамических моделей. В частности, дается определение математической модели галактики н перечисляется ряд основных принципов, по которым классифицируются аналитические и численные модели звездных систем. При этом прослеживается взаимосвязь между типами построенных моделей и задачами их построения. Т^кже привадится краткое описание морфологической классификации галактик по типам. В §5 освещены отдельные вопросы построения динамических моделей на базе данных о массах галактик направлении и скорости их вращения. В §6 приводится определения основных понятий астрофизики (интенсивности, яркости, светимости), используемые в данной работе, а также постановка реашемой задачи депроекцки с физической точки зрения.

В среде, поглощающей излучение, на некотором пути da, интенсивность излучения света будет ослаблена на величину

dIu = -kKda*, (1)

где к - коэффициент поглощения. Для Iv имеем:

-/

= 0)e~Tut т= k(s.)ds„ (2)

где ти ~ оптическая толщина, Величина о~т" показывает, во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего через поглощающую среду, имеющую оптическую толщину ти. В том случае, когда среда как поглощает свет, так и излучает, имеем следующее выражение для интенсивности излучения:

fe <3> где коэффициент иэлу\енил - это количество энергии, излучаемое объемом в 1см3 в единичном интервале частот в единичном телесном угле за 1сек. Уравнение (3) называют уравнением переноса излучения. Если коэффициент е» является переменным, тогда вместо него в (3) вводят пространственное распределение светимости L:

t = hL~ki- <4>

Учитывая определите яркости, из (4) можно получить интегральное уравнение связи светимости с яркостью на бесконечном интервале значений е.. В общем виде оно будет выглядеть так;

+оо

¿е..

(5)

В ходе поиска решения задачи это уравнение рассматривалось как базовое.

Поверхностная яркость является проекцией пространственного распределения светимости на некоторую картинную плоскость. Яркость - это наблюдаемое распределение, которое в общем случае осложняется поглощением света; светимость - реальное. В данной работе предлагается метод нахождения параметров пространственного распределения светимости модели галактики по известному (наблюдаемому) распределению поверхностной яркости. Иначе говоря, но видимым свойствам изучаемого объекта (галактики) определяются его истинные свойства. Т.е. решается задача депроекцин распределения светимости, она относится к классу обратных задач.

Во второй главе рассмотрены вопросы построения параметрических моделей распределения светимости. В ней в качестве примеров рассмотрены несколько моделей, связывающих распределение светимости с яркостью, а также, в общих чертах, методы нахождения модельных параметров. В §3 дана математическая постановка задачи.

Приведем математическую постановку задачи депроекщш.

Пространственное распределение светимости Ь при заданной поверхностной яркости В определяется как минимум функционала;

Лр) = {ВтыНит-.р) - Воы(Ь,т)]3 (6)

1=1

при заданных линейных ограничениях в виде неравенств

г*(р) >о {"П

па вектор параметров р модельного распределения светимости Ь.

Охуг — система координат, в которой описывается распределение светимости исследуемой звездной системы, а ~ система координат

наблюдателя. Связь между ними представлена на Рис.1.

Плоскость является плоскостью проекции пространственного распределения светимости £ — это луч зрения, вдоль которого наблюдается система, - координаты наблюдателя, т.е. «о координаты точки пересечения луча зрения с плоскостью 0£1), они должны быть постоянными. Ось х пространства и инверсия оси £ берем совпадающими, при этом х — является линией пересечения плоскостей 0$т) и Оху, и< - угол между лучом зрения и осью г.

В (б) N - число узлов эллиптической сетки Г — (¿ь^).' = 1, N на плоскости 0£т}, зд — веса, причем ~ 1. Дли разработки метода

г

используется численный эксперимент, в котором наблюдательные данные, т.е. В0ы генерируются.

относительно друг друга.

Общее выражение для модельной яркости ига0(1 дается в (5); оно представляет собой интегральное уравнение относительно Ь,

Таким образом, чтобы получить решение задачи, нужно оценить вектор р неизвестных параметров, который входит непосредственно в модельное выражение для пространственного распределения светимости. Б целом, решается задача условной минимизации. В ней, так же, как и в большинстве других задач по отысканию минимума последовательность используемых в ходе ее решения шагов довольно типична. Первоначально выделяют набор параметров, который нужно найти, затем определяется целевая функция, далее следует описание качеств решения с учетом связей между параметрами и ограничениями на них. На следующем шаге остается выбрать подходящий алгоритм поиска минимума.

Однако, основной сложностью является не столько процесс поиска минимума функционала (6), сколько то, что речь идет О решении обратной, некорректно поставленной задачи.

Третья глава является основной. Она полностью посвящена разработке алгоритма нахождения параметров для конкретных моделей пространственного распределения светимости.

В §1 непосредственно выбирается метод решения задачи.

Первоначально алгоритм был составлен из комбинации двух методов -Хука и Дживса и штрафных фукниий. В виду сложности выражений для модельной функции и ее первых производных по неизвестным параметрам,

не говоря уже о вторых, оказалось, что применение методов минимизации первого и второго порядков в данном случае довольно затруднительно.

Алгоритм Хука и Дживса состоит из структурно-аналитического и, по необходимости, моделирующего поиска. Этот метод работает медленнее, чем алгоритмы, использующие производные, во по оценке алгоритмов нелинейного программирования при отсутствии ограничений, которая была проведена путем сравнения времени решения задач у Химмельблау, он попадает в класс "благоприятных" алгоритмов. Что касается недостатков, то он может как бы "застревать", т.е. останавливаться вблизи локального минимума, будучи неспособным обеспечивать дальнейшее улучшение. Однако, этого можно избежать посредством значительного усложнения стратегии фазы обследования.

Так как метод Хука и Дживса представляет собой алгоритм безусловной оптимизации, а поставленная здесь задача - с ограничениями, то пришлось изменить процесс поиска решения, скомбинировав выбранный метод С методом штрафных функций.

Теперь, вместо минимума функционала (б) рассматривается задача минимизации нового (или "расширенного") преобразованного функционала вида:

Этот вариант метода штрафных функций был предложен Фкакко н Мак-Кормиком; иногда его называют методом внутренней точки или, иначе, методом последовательной безусловной минимизации.

В решаемой здесь задаче выбранный метод сходится за конечное число шагов, и в процессе вычислений получается последовательность приближений к вектору параметров, которая в пределе дает искомое решение. При этом выполняются все промежуточные критерии счета.

В §2 главы даются описания двух спиральных моделей галактик -сфероидальной, Кутузова С.А, и модификации дисковой модели НатаЪе М., для которых решается задача депроекции.

В обеих моделях пространственного распределения светимости учитывается чистое поглощение снега; рассеяние не рассматривается. Сфероидальная модель включает в себя два компонента — звездный и пылевой, для которых предполагается гомотетическое распределение материи. Формулы для плотностей пылевой и звездной материи здесь строились экспериментальным образом. Так, для плотности поглощающего свет компонента взяли функцию вида:

где по - плотность в центре системы, гц - параметр, являющийся единицей длины, к - сферичность, а Я, г - цилиндрические координаты. Для плотности светимости выбираем следующее выражение:

(9)

I

(Ю)

где ¿о ** плотность светимости в центре, а:, аналогично и; — единица длины, а € — сферичность. При фиксированном а светимость убывает с ростом параметра 7 и возрастает по мере его уменьшения. Оба компонента имеют постоянные сферичности, при этом к < е. Они имеют также общие ось и плоскость симметрии, что видно из Рис.2. На рисунке изображены два семейства сфероидов, те, что более сплюснутые - пылевые.

Рис.2. Общая схема сфероидальной мелели.

Формула (б), связывающая поверхностную яркость со светимостью, для данной модели преобразуется к виду:

Втоа(£,»7;р) = Вое

А0 1 /

¿(г)]

а За

7а* - А!'

(11)

ХМ _ / е~'п"г - > О, А < а < А1, 1 ' ~ \ О, Л1 < о < А0.

Здесь р - вектор параметров модели, Во - яркость в центре; тс - оптическая толщина Галактики в заданном направлении, А\ — полуось звездного сфероида, проходящего через точку касания с пылевым сфероидом:

Л7 - А3 + ^ ~~ п3

. а . з .

бш »сов i,

(12)

где А - большая полуось звездного сфероида со сферичлостью Е,

Распределения звездной и пылевой материи рассматриваются ограниченными, в отличие от функций описания, которые ограниченными не являются, поэтому при вычислениях отсекается (или обрезается) бесконечная часть этих функций, что приводит к скачку плотностей пыли и звезд на границах модельных сфероидов.

Модель предполагает возможность исследования ближней и дальней частей галактики, как видно из Рис.2 и формулы (13); rnw и r¡„ - оптические толщины этих частей:

иа и

W -кк j + j (13)

и с/

где fc - коэффициент поглощения, У - большая полуось пылевого сфероида со сферичностью К.

Модель включает в себя 10 параметров, поэтому вектор параметров р пространственного распределения светимости для сфероидальной модели выглядит следующим образом:

Р =* (Во, та, а>,гц,к, по, зо, Ъ *)•

Дисковая модель. Согласно морфологической классификации галактик Вокулера, модель Hamabe М. представляет собой модель нормальной галактики, состоящей ИЗ двух компонент: диска и балджа (балдж -почти шарообразное сгущение света, вид ядерной области) незначительных размеров. В результате модификации выражений распределений светимости в балдже и диске, имеем следующие формулы:

Lb(R, z) = + R2 + z3/cT(7+Ií. Пл\

где Lob-, Lad - плотности светимости в центрах этих двух компонент, оо вводится, чтобы исключить появление особенностей в выражении для Lb. Параметр С - сферичность, 7 имеет тот же физический смысл, что и 7 в сфероидальной модели, а и 0 (а < ß) характеризуют протяженность модели в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.

Третий компонент модели представляет собой пылевую материю, оптическая толщина которой равна:

+ OQ

т = к0 J exp{-(R/Ra-\z\/za)}dC, (15)

—во

где fco = т(0,0) - коэффициент поглощения в центральной части пылевого слоя, его значение рассматривается как постоянное. Параметры Ra и za являются структурными, причем Ra < Эта модель также описывается десятью параметрами, и неизвестный вектор р параметров модели выглядит так:

р = (йо, ос, 0, f, с, ка, Lob, Loa, Ra, ¿a)>

В §3 главы более детально излагается алгоритм поиска модельных параметров.

Алгоритм. Отдельные этапы построенного алгоритма изложены в работах автора [2], [4], (б] и более подробно в (3). В работе [1] решается прямая задача (для модели распределения масс).

Некорректность поставленной задачи снимается за счет того, что ее решение ищется в пространстве параметров модельного распределения, посредством минимизации функционала (8). Как известно, особенность любой некорректной задачи состоит в том, что в ней при всяких, даже незначительных изменениях аргумента функции, значения самой функции могут изменяться очень существенно. Если же переходить к задаче минимизации функции в пространстве параметров этой функции, то в таком случае меняются лишь параметры, и тогда проблему с некорректностью рассматриваемой задачи можно считать решенной. Здесь использовалась идея метода регуляризации.

В общих чертах последовательность выполненных действий была такой:

1) построение эллиптической сетки узлов на плоскости проекции;

2) генерация наблюдательных данных В0ы;

3) поиск минимума функционала (8);

4) подсчет погрешностей интегрирования найденного приближения р и среднеквадратичного отклонения

5) вычисление точек изофот (уровенных ливий яркости) и уровенцых линий оптической толщины для найденных параметров и построение графиков:

= ЧкВа, чь = 0.1-2-0.5.

Для нахождения неизвестного вектора р (см. (в)) в алгоритм было внесено дополнение, изложенное ниже. Анализ результатов позволил заключить, что с такой модификацией алгоритма получается более точное решение, чем без использования этого дополнения. Погрешность решения при этом может быть уменьшена. Но здесь многое зависит от того, какие исходные данные будут введены. Модификация основана на применении датчика случайных чисел, их генерация производится так, что случайные числа распределяются по нормальному закону.

После каждого шага минимизации вычисляются относительные и абсолютные погрешности найденного приближения - £П1 и соответственно, а также среднеквадратичное отклонение ар.

В конце каждой итерации, когда найдено очередное приближение к решению р, и получены соответствующие ему значения минимума исходного целевого функционала и расшире!шого ^(рД), в соответствии с

дополнениями, внесенными в алгоритм минимизации, ищем приближение к р, которое станет исходным для поиска минимума на следующей итерации. С этой целью генерируется несколько случайных чисел в интервале [—1/2,1/2] по методу полярных координат, точно ток же, как и на этапе генерации наблюдательных данных. Эти случайные числа не искажают, а уточняют каждое найденное приближению р. Связь между предыдущим и последующим приближениями выглядит так:

где j - помер итерационного цикла, £ — номер компоненты, а - вектор "уточнений", добавляемых к найденному приближению р. Далее вычисляется значение функционала при новом приближении а затем и

значение среднеквадратичного отклонения с?р для этого приближения. В том случае, если выполняются соотношения

< ЯРО, (17)

приближение берем в качестве исходного для поиска минимума

на следующей итерации. Если эти соотношения не выполняются, тогда генерируется следующий набор д*, для него строится новое приближение и затем опять производится проверка соотношений (17). Этот процесс повторяется до тех пор, пока неравенства (17) не станут истинными. Дальше снова решаем задачу поиска минимума для нового приближения т.е. переходим к следующей итерации. Вычислительная программа предусматривает возможность генерировать "уточнения"заданное число раз (например, брали от 1000 до 3000 раз) за все время, пока идет поиск решения задачи минимизации. По этой причине обязательно находится такое приближение, для которого будут удовлетворяться неравенства (17).

Построенная процедура использования "уточнений" в ходе поиска минимума и является тем самым дополнением к алгоритму, о котором упоминалось ранее. Без него решение задачи вычисляется с более существенными значениями погрешностей и уменьшить эти значения можно либо варьированием величины вектора приращения, либо генерацией нового набора наблюдательных данных, но при этом погрешности уменьшаются несущественно. В общем, когда добавляется вектор из достаточно малых по величине сгенерированных случайных чисел к уже найденному приближению р на каком-то конкретном итерационном цикле, тогда получаем возможность перейти к следующей итерации с улучшенным результатом. Таким образом, можно получить и меньшую погрешность, и меньшее значение минимизируемого функционала.

В алгоритме, предлагаемом здесь, критериями окончания счета являются неравенства (17) и (18):

(18)

где £ - некоторая достаточно малая величина, она задается заранее. Каждый раз, когда происходит переход от одного итерационного цикла к другому, значение штрафного множителя й уменьшается в 10 раз. Разность под знаком модуля в (18) - это штраф. При увеличении штрафа происходит удаление от минимума функционала, а при его уменьшении - приближение к этому минимуму.

Таким образом, при переходе от предыдущего итерационного цикла к следующему должны уменьшаться все вычисляемые в процессе поиска минимума погрешности, а в конечном итоге должны быть выполнены неравенства (17) и (18). Если уменьшения погрешностей не происходит, или значение расширенного функционала на каком-то шаге начинает увеличиваться, можно перезапустить программу или взять меньшее значение отклонения в процедуре полярных координат, В результате перезапуска (или

выбора иного значение отклонения) генерируются уже другие случайные числа, а значит, и другие "уточнения" для р, и тоща получается иное решение, для которого критерии окончания счета уже выполнятся. Т.е. происходит следующее: те приближения которые получаются в результате перезапуска программы (если ее понадобится запустить повторно), дают несколько иные значения функционала в каждом итерационном цикле (или, по крайней мере, в тех из них, где не выполнялись соотношения (17) и (18)). Такой подход гарантированна дает решение задачи минимизации, и с его помощью можно улучшить значения вычислительных погрешностей, т.е. уменьшить их величины за счет варьирования значений случайных чисел для образования "уточнений", даже в том случае, когда все критерии выполнены.

В §4 главы представлены и проанализированы результаты вычислений.

Для нахождения минимума F{pi к) и получения оценки неизвестного вектора параметров р пространственного распределения светимости была составлена и отлажена вычислительная программа на языке Turbo Pascal 7.0. Процедура минимизации методом Хука н Дживса первоначально была позаимствована из работы Вавиловой Т.И., написанной на языке Fortran. В дальнейшем в нес был внесем ряд изменений, среди которых, в частности, учитывается тот факт, что решается задача с ограничениями, тогда как в исходном варианте процедура минимизации была расчитана на решение задачи безусловной минимизации. Кроме того, метод Хука и Дживса в программе преобразован в метод покоординатного спуска (его еще иногда называют релаксационным). Согласно ему, поиск минимума производится в несколько циклов - изменением одной компоненты вектора р искомых параметров, в то время как другие остаются неизменными.

Вычисления проводились для четырех вариантов угла наклона галактик: О9, 30s, 60е и 85е - для того, чтобы, в частности, проанализировать влияние поглощения света при различных углах наклона и отследить, какие значения в этих случаях принимает поверхностная яркость, а какие - оптическая толщина.

В этом же параграфе на основе проведанных расчетов доказана практически сходимость метода: результаты минимизации функционала (9) для обеих моделей на каждом итерационном шаге занесены в таблицы. На табличных результатах показано выполнение критериев счета, уменьшение значения функционала и штрафной функции по мере приближения к минимуму. Также выписаны значения приближений р, полученные в ходе минимизации, как на каждом ее шаге, так и итоговые. Они позволили сделать вывод о том, что найденные значения вектора параметров модельного распределения светимости доставляют минимум функионалу (8) за конечное число шагов.

Выли также построены графики изофот поверхностной яркости В и уровенные линии оптической толщины г с использованием Advanced Grapher 2.11.

Анализ полученных графиков показал, что с увеличением угла наклона нэофоты, а вместо с ними и уровенные линии оптической толщины все больше приближаются к горизонтальной оси С ростом угла i поверхностная яркость уменьшается, на это указывает сокращение длины больших и малых полуосей изофот, а оптическая толщина, а значит и поглощение,

увеличивается. У дисковой модели по мере возрастания угла I взофоты по форме становятся похожими не столько на эллипсы, сколько на линзы. В целом, вцднО) что у этой модели форма изофот при увеличении угла наклона меняется от почти круговой до линзолодобной, что, в общем, и следовало ожидать - такой результат обусловлен спецификой модельного распределения светимости.

У сфероидальной модели значения гпедг на сетке получились меньше значений гг„ (так как для ближней части галактики оптическая толщина меньше), но различия между ними оказались довольно незначительными, поэтому в работе приводятся графики только для Гош.

Анализ вида уровенных линий г выявил, что чем больше угол наклона г, тем более уроненные линии становятся вытянутыми, более приплюснутыми к горизонтальной оси тогда как чем меньше этот угол, тем более они близки по форме к круговым.

В ходе сравнения графиков уровенных линий с графиками изофот обнаружилось также то, что с увеличением г поглощающие эффекты становятся более явными, так как в процентном отношении пылевой слой занимает все большую часть рисунка, а звездная материя уменьшается в объем е.

Для обеих исследуемых моделей был также дополнительно проведен анализ влияния поглощающих эффектов отслеживанием значения величины центральной поверхностной яркости и оптической толщины прн изменении угла наклона

В последнем §5 главы приводится оценка погрешностей вычисления на основе полученных результатов к освещается вопрос скорости сходимости метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для двух моделей пространственного распределения светимости в галактиках - сфероидальной модели Кутузова С.А. и модифицированной модели НашаЬе М. был разработан алгоритм нахождения параметров модельного распределения светимости и исследованы эффекты поглощения света по полученным в результате вычислений графикам уровенных линий оптической толщины.

Численные эксперименты, в ходе которых рассматривались различные варианты модификаций алгоритма поиска минимума функционала (8) показали, что представленный здесь метод является наиболее удачным по следующим основным причинам:

X) он гарантированно и за конечное число шагов дает решение задачи, с выполнением всех ограничений на параметры модели и всех критериев счета на промежуточных этапах, где после каждого итерационного цикла и генерации "уточнений" а\ отслеживается уменьшение среднеквадратичных отклонений и погрешностей интегрирования;

2) предлагаемый метод позволяет найти приближенное решение задачи с более высокой точностью, чем без его применения путем выбора иной последовательности случайных чисел для генерации "уточнений".

В исследуемых моделях рассматривались только эффекты внутреннего поглощения, рассеяние света в расчет не принималось. С одной стороны, для получения картины распределения светимости наиболее близкой к действительности, при построении моделей галактик нередко учитывают как чистое поглощение, так и рассеяние света. А с другой стороны, известно, что при исследованиях спиральных галактик, наблюдаемых "с ребра" или почти с ребра, т.е., когда угол наклона i < 90е рассеяние света можно не учитывать. В ряде работ проводились исследования пылевых слоев спиральных галактик раииих типов с большим углом наклона к оси симметрии без учета экстинкции. Таким образом, если уровенные Линии оптической толщины в рассмотренном здесь случае при углах наклона меньше 60° могли получиться с некоторой долей искажений газа того, что не учитывалось рассеяние, то при значениях I > 60* эти искажения должны были существенно уменьшиться. Во избежание ситуаций подобного рода предложенные здесь модели целесообразно использовать для нахождения параметров пространственного распределения светимости спиралыплх галактик, сильно наклоненных к оси симметрии. В целом, полученные графики изофот поверхностной яркости и уроненных линий оптической толщины хорошо согласуются с результатами аналогичных исследований.

Как показали исследования, сфероидальную модель Кутузова С.А. целесообразно использовать для изучения свойств эллиптических галактик, в которых выявлено наличие пыли и спиральных галактик ранних типов, например, 5а, где размеры балджа довольно значительны. Можно с уверенностью сказать, что зга модель более приближена к реальности, чем рассмотренная модификация модели НатаЬе М. Это следует, в частности, из сравнительного анализа рисунков изофот и уровенных линий оптической толщины обеих моделей. Очевидно, что модель НашаЬе М. больше абстрактная, однако, она вполне может быть использована для изучения некоторых линзообразных галактик, в особенности, их поздних подтипов, которые более близки по морфологии к спиральным галактикам, чем к эллиптическим.

Основные результаты, выносимые на защиту, следующие!

1 Исследована задача построения параметрических моделей спиральных галактик на основе метода депроекции пространственного распределения светимости. Единственность решения задачи обеспечивается заданием вида изоповерхностей светимости на предварительном этапе.

2 Разработан и теоретически обоснован численный метод для реализации депроекции и решения некорректной задачи нахождения параметров модельного распределения светимости на примере двух моделей спиральных галактик, дисковой и сфероидальной, в которых учитывается поглощение света. В нем на основе идеи метода регуляризации, некорректность задачи снимается за счет того, что ее решение ищется в пространстве параметров модельного распределения светимости.

3 Создан пакет вычислительных программ для определения параметров пространственного распределения светимости исследуемых моделей галактик, построения изофот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины.

4 Установлено влияние поглощения света на общую картину поверхностной яркости для разных углов наклона моделей галактик путем сравнительного анализа полученных численных результатов.

Публикации по теме диссертации:

1. Кутузов С.А., Марданова М.А. Вычисление экеиденсит с проектированной плотности по моделям галактик. Вестник СПбУ, 1999, сер.1, вып.2, с. 109-119, (вклад диссертанта 50%).

2. Марданова М.А, Сфероидальная модель распределения яркости галактик. Труды XXXI научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", СПб: нэд-во С.-Петербургского унив-та, 2000, с.202-205.

3. Марданова М.А. Модели пространственного распределения ceetnuMOC* mu е галактиках.I. Вестпик СПбУ, 2003, сер.1, вып.1, с.131-142.

4. Mardanova М.А. Luminosity profileз in galactic models. Proceedings of the Saint-Petersburg international conference "Stellar dynamics: from classic to modern", 2001, pp.121-124.

5. Mardanova M. A. Method of determination of spatial luminosity distribution vsing SD-data. Proceedings of the Saint-Petersburg international conference "Order and chaos in stellar and planetary systems", ASP conf. series, 2004, vol.310, pp.294-299.

Отиечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 08.11.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экзч Заказ № 452/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

Глава 1. Общие вопросы моделирования звездных систем

§1. Понятие математической модели галактики

§2. Представление наблюдательных данных поверхностной яркостью

§3. Описание пространственного распределения светимости

§4. Связь распределения светимости с распределением масс (отношение масса/светимость как функция места и как гросс-параметр)

§5. Наблюдательные данные для построения динамических моделей

§6. Интегральное уравнение, связывающее распределение светимости с яркостью. Прямая и обратная задачи. Учет поглощения света

Глава 2. Проблемы построения параметрических моделей распределения светимости

§1. Обзор исследований по построению параметрических моделей распределение светимости-яркости"

§2. О точности конкретных моделей

§3. Математическая постановка задачи

§4. Обзор методов минимизации функционала

Глава 3. Разработка метода решения обратной задачи

§1. Выбор метода и его модификация

§2. Описание моделей

§3. Алгоритм решения задачи

§4. Проведение численных экспериментов. Результаты вычислений

§5. Анализ вычислительных погрешностей

Задача изучения структур галактик является одной из наболее сложных задач астрономии, для ее решения нередко применяют методы моделирования. Первая в науке схематическая модель для нашей Галактики была построена В. Гершелем в конце XVII века, с помощью которой можно было получить общее представление о ее строении на основе звездных подсчетов. Метод Гершеля был усовершенствован в XIX веке Зеелигером, а позднее - Шварцшильдом. Каптейн предложил в качестве модели для Галактики форму, напоминающую эллипсоид вращения. Он выдвинул гипотезу, согласно которой пространственная звездная плотность не может увеличиваться с расстоянием от наблюдателя и получил столь незначительную величину для максимального поглощения света, что ею можно было пренебречь.

Среди авторов фундаментальных работ, построивших модели для нашей Галактики, можно упомянуть и таких, как Пласкетт, Кертис, Шепли, Эймс. Составленные ими каталоги галактик по яркости и морфологическим типам, а также их списки можно найти, например, в [110].

В начале и середине XX века в связи с улучшением качества технических средств, был проведен ряд очередных попыток классификации наблюдаемых форм галактик. И самой удачной из них оказалась классификация Хаббла, которая явилась основой для более поздних морфологических классификаций (ван ден Берга [56], Ходжа [100], Моргана [99], Вокулера [116], и др.), хотя и не отразила в полной мере всего многообразия реальных галактик. Тем не менее, разделение Хабблом галактик на последовательность классов, показало, что каждую из них можно представить совокупностью компонент, различающихся друг от друга по физическим свойствам, химическому составу и т.д. В дальнейшем этот способ деления на части использовался исследователями с переменным успехом в решении задачи по изучению структуры галактик. Это был самый первый и главный ее этап - этап построения моделей.

В данной работе с целью исследования спиральных галактик рассматривается метод моделирования пространственного распределения светимости, и неизвестные параметры моделей ищутся по имеющимся наблюдательным данным, т.е. по поверхностной яркости. Иначе говоря, решается задача депроекции. Постановка ее не является новой; авторами многих научных работ предлагались различные методы решения этой задачи для различных моделей галактик и их модификаций. Основные вычислительные трудности здесь заключаются в следующем:

1). рассматриваемая задача не является корректной (в соответствии с определением Ж.Адамара корректно поставленных задач);

2). она решается для неограниченных распределений светимости и яркости;

3). существует проблема единственности полученного решения.

Под неограниченностью в п.2 понимается бесконечность соответствующего распределения.

Трудности, связанные с некорректностью, снимаются за счет разработки различных численных методов по нахождению параметров модели светимости галактики. Например, в [70], где к рассмотрению предлагаются динамические модели галактик, в качестве минимизируемого функционала берут квадратичную функцию. Пространственное распределение моделируют линейной комбинацией трех интегралов движения, в которой значения интегралов известны, неизвестными являются только коэффициенты линейной комбинации. Далее идет процесс поиска квадрата разности модельного выражения и наблюдательных данных. Минимум квадратичной и линейной функции, конечно, найти проще, чем неквадратичной и нелинейной, поэтому метод предлагаемый в работе [70], в общем случае неприменим.

В [75] на первом этапе поверхностную яркость "восстанавливают", применяя PSF и далее представляют суммой гауссиан. На втором этапе решается задача депроекции; для нахождения параметров пространственного распределения светимости составляется функционал, минимум которого ищется методом наименьших квадратов. Светимость при этом также моделируют разложением в ряд по функциям Гаусса. PSF, point spread function, или "функция рассеяния точки", как известно, является характеристикой искажений, возникающих в ходе наблюдений объектов и используется для корректировки результатов этих наблюдений.

Единственность решения задачи в [75] достигается за счет того, что уровенные поверхности светимости полагают трехосными подобными эллипсоидами. Однако, и здесь рассматривается частный случай пространственного распределения. Подобные модели достаточно часто применяются на практике, но использование их в известной степени упрощает задачу депроекции, поэтому они являются не самым лучшим приближением реальной картины светимости галактик.

Помимо метода депроекции, существуют и другие, позволяющие проводить исследования галактик на различного рода моделях. Например, используя в качестве модели суперпозицию конечного или бесконечного (в зависимости от целей исследователя) числа эллипсоидов, получают представление о распределении массы в сильно сплюснутых спиральных галактиках (см. [21]). В методе декомпозиции для нахождения параметров компонентов моделей основываются, в частности, на значительном различии между яркостью центральной и дисковой составляющих. В работе [89], например, предложена итерационная схема, в соответствии с которой можно выделить балдж и диск у спиральных галактик, при условии, что вклады этих компонентов сравнимы. Для нахождения параметров компонентов требуется около десяти таких итераций.

Отметим, что в представленной здесь работе параметрический подход к решению задачи депроекции позволяет выполнить и декомпозицию.

Задача депроекции для других моделей решается, например, в [69], [72], [94]; без учета поглощения - в [111], [ИЗ], проблема единственности ее решения рассматривается в [93], [103], [104]. Безусловно, у каждого из предлагаемых методов нахождения параметров моделей есть свои преимущества перед другими, но, исходя из всего сказанного, можно сделать вывод, что этапы выбора наиболее подходящей модели и разработка численного метода, позволяющего "обойти" перечисленные выше основные сложности, возникающие в процессе решения задачи депроекции, оказываются, тем не менее, весьма актуальными. Таким образом, целью данной диссертационной работы является:

1). выбор наиболее приближенной к реальности модели галактики, и исследование ее внутренней непротиворечивости;

2). проведение численных экспериментов с различными методами и, как следствие их - построение алгоритма нахождения параметров модельного распределения светимости для общего случая;

3). сопоставление полученных численных результатов с аналогичными результатами авторов других работ;

4). оценка эффективности предложенной модели и построенного алгоритма (в том смысле, насколько модель приближена к реальности, и насколько удачно численный алгоритм позволяет находить параметры этой модели).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она также содержит 24 таблицы, 13 рисунков, приложение и список литературы, включающий 118 наименований.

Заключение

Решение поставленной задачи депроекции рассматривалось как реализация следующих этапов:

1) выбор метода решения, общая разработка алгоритма;

2) построение модельного распределения светимости или модификация уже известной модели для разработанного алгоритма;

3) симуляция наблюдательных данных и проведение численных экспериментов для нескольких вариантов параметров модели;

4) построение изофот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины и сравнительный анализ их форм;

5) анализ результатов найденных параметров пространственного распределения светимости и оценка вычислительных погрешностей;

6) оценка эффективности рассмотренных моделей.

Итак, для двух моделей пространственного распределения светимости в галактиках - сфероидальной модели С.А.Кутузова [23] и модифицированной модели М. Hamabe [80] - был разработан алгоритм нахождения параметров модельного распределения светимости и исследованы эффекты поглощения света по полученным в результате вычислений графикам уровенных линий оптической толщины. Вычислительные процедуры были написаны на языке Turbo Pascal 7.0, графики изфот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины построены с использованием Advanced Grapher 2.11.

Решение интегрального уравнения для поставленной задачи депроекции в соответствии с построенным алгоритмом сводится к решению задачи условной минимизации. На первом этапе алгоритма генерируются наблюдательные данные поверхностной яркости: методом полярных координат [17] на интервале [0,1] получаем выборки случайных величин, распределенных по нормальному закону. Далее они используются как помехи, искажающие предполагаемые "истинные" данные наблюдений.

В процедуре поиска минимума расширенного функционала (3.3.3) также используется этот метод генерации случайных чисел: к компонентам искомого вектора параметров р, найденным на одной из предыдущих итераций (начиная с самой первой), добавляются сгенерированные помехи и находится минимум для преобразованного таким образом вектора р. По ходу этих промежуточных преобразований проверяем, выполнены ли условия (3.3.5) и (3.3.5), т.е. уменьшились ли вычислительные погрешности для вектора рг + аг (где аг - это помехи), или нет. И только после того, как проверка даст положительный результат, продолжаем вычисления, до тех пор, пока не будут удовлетворены критерии окончания счета (3.3.6) и (3.3.7). Далее для найденных параметров модели строим графики изофот и уровенных линий оптической толщины, анализируя влияние поглощающих эффектов на общую картину светимости для разных углов наклона.

Численные эксперименты, в ходе которых рассматривались различные варианты модификаций алгоритма поиска минимума функционала (3.3.3) показали, что представленный здесь метод является наиболее удачным по двум основным причинам:

1) он гарантированно и за конечное число шагов дает решение задачи, с выполнением всех ограничений на параметры модели и всех критериев на промежуточных этапах, где после каждого итерационного цикла и генерации помех аг отслеживается уменьшение среднеквадратичных отклонений и погрешностей интегрирования;

2) предлагаемый метод позволяет не только найти приближенное решение задачи, но и улучшить результат, т.е., получить меньшие значения погрешностей путем выбора иной последовательности случайных чисел для генерации помех.

Единственным, но, как кажется, несущественным недостатком здесь является этап, связанный с генерацией случайных чисел. Нельзя сказать заранее, насколько та или иная последовательность этих чисел будет способствовать нахождению наиболее удачного решения из нескольких возможных вариантов именно вследствие наличия элемента случайности в этом процессе поиска.

Из всех изученных материалов по оптимизационным методам нигде не нашлось упоминания об алгоритме, имеющим четко выраженное сходство с предложенным здесь способом поиска минимума функционала. В ряде монографий по теории оптимизации встречались краткие описания методов, имеющих нечто общее с построенным здесь алгоритмом - в частности, в [44], где была дана ссылка на работу Вейсмана (изложение основных его этапов в общих чертах приводится в §3 текущей главы). Однако, метод Вейсмана показался при ближайшем рассмотрении по своему описанию довольно громоздким и трудновыполнимым для тех случаев, когда решается задача минимизации нелинейных функций, представленных сложными аналитическими выражениями. Приближенная оценка времени, которое потребовалось бы для поиска минимума нашего функционала методом Вейсмана, показала, что временные затраты могли оказаться слишком большими. Так, например, основываясь на некоторых идеях этого метода, связанных с выбором элементов случайных последовательностей для генерации помех, был проведен ряд численных экспериментов по минимизации функционала (3.3.3). При этом выбирались не все элементы случайной последовательности, а только те из них, для которых выполнялось неравенство

F(p + a)<i-F(p), (*) где F(p) - значение целевой функции (в данном случае минимизируемого расширенного функционала) при р = р в каком-то итерационном цикле, a F(p + а) - значение целевой функции при р = р + а. Множитель ё в правой части неравенства означает, что в результате перебора всех сгенерированных помех мы должны найти такое значение <т для последующего приближения вектора р, при котором значение функционала F(p + а) получилось бы меньше значения F(p) для предыдущего приближения р на ё% (ё измеряется в процентах). У Вейсмана ё = 10%, а в данной работе взяли ё = 80%, т.е., явно больше, так как было замечено, что с уменьшением этого значения поиск решения задачи усложнялся. Казалось бы, этот подход должен был ускорить процесс нахождения минимума, потому как вместо перебора всех подряд генерируемых помех выбирались только те из них, для которых выполнялось неравенство (*). Однако, на деле этого ускорения не происходило, наоборот, имело место очень существенное увеличение количества вычислительных операций, и с каждым новым итерационным циклом добиться того, чтобы удовлетворялось неравенство (3.4.1), становилось все труднее. В конечном итоге, вычислительный процесс зацикливался, и критерии его окончания не выполнялись. В тех случаях, когда вместо значения 80% для ё мы брали 90% или 95%, поиск минимума немного ускорялся на промежуточных этапах, но далеко не всегда доходил до своего конца, так что и в этом случае имело место зацикливание вычислительной программы.

Причина возникающих сложностей состояла в следующем: чем меньшие выбирались значения для множителя ё в правой части (*) (от большего значения 0.95 до меньшего 0.8), тем меньшие значения помех требовались для выполнения этого неравенства. Но все дг генерировались на одном и том же интервале [1/2,1/2], и нужные среди них по мере уменьшения значения F(p+cг) попадались все реже, процесс поиска помех а для выполнения (*) с каждым итерационным циклом все более затягивался. Именно это на последних итерациях приводило к зацикливанию, точнее, к бесконечному поиску значений а%, для которых неравенство (*) было бы удовлетворено. Сужение интервала, на котором генерировались помехи, также не дало бы позитивного результата, хотя бы потому, что не имеет смысла брать их слишком маленькими - в этом случае использование генерации аг оказалось бы вообще излишним.

Итак, этот способ минимизации функционала с применением некоторых идей метода Вейсмана пришлось отвергнуть, и в итоге остановили свой выбор на уже изложенном в §3 этой главы другом варианте алгоритма. Оценки для найденного вектора параметров модельного распределения светимости двух моделей были приведены в предыдущем параграфе. Анализ вычислительных погрешностей позволил получить представление о возможных причинах их возникновения. Так, была выявлена необходимость более точного определения границ оцениваемых параметров на начальных этапах вычислений.

В исследуемых моделях рассматривались только эффекты внутреннего поглощения, рассеяние света в расчет не принималось. Следует отметить, что для получения картины распределения светимости наиболее близкой к действительности, при построении моделей галактик нередко учитывают как чистое поглощение, так и рассеяние света. В качестве примера можно привести работы [60], [82]. С другой стороны, известно, что при исследованиях спиральных галактик, наблюдаемых "с ребра" или почти с ребра, т.е., когда угол наклона г < 90° рассеяние света можно не учитывать. Например, в [87] и [88] проводились исследования пылевых слоев спиральных галактик ранних типов с большим углом наклона к оси симметрии без учета экстинкции. Таким образом, если уровенные линии оптической толщины в рассмотренном здесь случае при углах наклона меньше 60° могли получиться с определенной долей искажений из-за того, что не учитывалось рассеяние, то при значениях i > 60° эти искажения должны были с теоретической точки зрения существенно уменьшиться. Во избежание ситуаций подобного рода предложенные здесь модели целесообразно использовать для нахождения параметров пространственного распределения светимости спиральных галактик, сильно наклоненных к оси симметрии. Построенные профили центральной оптической толщины показывают асимметрию - большую при больших углах наклона и мёныиую - при меньших. Это соответствует выводам о том, что с ростом угла наклона галактики увеличивается поглощение света, и становится все более заметной асимметрия профилей оптической толщины (или профилей поглощения - в зависимости от того, какие графики строятся). В целом, полученные графики изофот поверхностной яркости, уровенных линий и профилей оптической толщины хорошо согласуются с результатами аналогичных исследований, таких, например, как [86], [71].

Здесь необходимо отметить еще тот факт, что исследования распределения светимости внегалактических объектов на базе результатов фотометрии проводятся довольно часто. И нередко в них, используя методы моделирования пространственного распределения, т.е., приближая видимое распределение к истинному различными численными методами, находят неизвестные параметры. В частности, в [72] изложен один из методов решения подобной задачи. Для разработки модели там прибегают к симуляции наблюдательных данных, а поиск модельных параметров осуществляется минимизацией соответствующего функционала с помощью критерия х2 •

В данной работе был также представлен один из подходов к задаче нахождения пространственного распределения светимости по поверхностной яркости. Что касается оценки эффективности исследованных в этой работе моделей, то сфероидальную модель С.А.Кутузова [23] было бы целесообразно использовать для изучения свойств эллиптических галактик, в которых выявлено наличие пыли и спиральных галактик ранних типов, например, Sa, где размеры балджа довольно значительны. Можно с уверенностью сказать, что эта модель более приближена к реальности, чем рассмотренная модификация модели M.Hamabe [80] (кроме того, расчеты, проведенные с ней, были менее трудоемкими, чем в случае с дисковой). Это следует, в частности, из сравнительного анализа рисунков изофот и уровенных линий оптической толщины обеих моделей. Очевидно, что модель [80] - больше теоретическая, однако, она вполне может быть использована для изучения некоторых линзообразных галактик, в особенности, их поздних подтипов, которые более близки по морфологии к спиральным галактикам, чем к эллиптическим.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

1. Исследована проблема построения параметрических моделей спиральных галактик. Для ее решения здесь используется метод депроекции пространственного распределения светимости. Единственность решения достигается путем задания вида изоповерхнос-тей светимости на предварительном этапе.

2. На примере двух моделей спиральных галактик, в которых учитывается поглощение света, дисковой и сфероидальной, для реализации депроекции и решения некорректной задачи нахождения модельных параметров разработан и теоретически обоснован численный метод. В нем на основе идеи метода регуляризации, некорректность задачи снимается за счет того, что ее решение ищется в пространстве параметров модельного распределения светимости.

3. Создан пакет вычислительных программ для определения параметров пространственного распределения светимости исследуемых моделей галактик, построения изофот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины.

4. Для разных углов наклона моделей галактик проведен сравнительный анализ влияния поглощения света на общую картину поверхностной яркости на основе полученных численных результатов. Произведена оценка эффективности рассмотренных моделей.

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. шк., 1994, 544с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977, 343с.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982, 583с.

4. Бертсекас Д. Условная минимизация и методы множителей Лагранжа.- М.: Радио и связь, 1987, 399с.

5. Вавилова Т.И. Минимизация функционала с учетом неточности его параметров. Дипл.р., 1984.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988, 2-ое изд., 549с.

7. Воронцов-Вельяминов Б.А. Внегалактическая астрономия. М: Наука, 1972, 464с.

8. Гаген-Торн В.А., Решетников В.П., Яковлев В.А. Детальная поверхностная фотометрия пекулярной галактики NGC 3718// Астрофизика, 1990, т.32, вып.2, с.255-266.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация.- М.: Мир, 1985, 509с.

10. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985, 350с.

11. И. Горбацкий В.Г. Введение в физику галактик и скоплений галактик.- М.: Наука, 1986, 254с.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, изд. 4-ое, 1962, 1100с.

13. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970, 664с.

14. Засов. Физика галактик. 1993.

15. Засов А.В., Кязумов Г.А. Кривые вращения нормальных галактик. //АЖ, 1983, т.60, с.656.

16. Идлис Г.М. О рациональных основах и актуальных проблемах теоретических моделей галактик //Труды Астрофиз.инст.АН КазССР, 1965, т.5, с.105-178.

17. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. М: Мир, 1977.

18. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии: уч. пособие, -М.: Едиториал УРСС, 2001, 542с.

19. Куликовский П.Г. Звездная астрономия. М: Наука, 1985, 272с.

20. Курс астрофизики и звездной астрономии, т.2, ред. Дейч А.Н., Крат В.А., Мельников О.А., Соболев В.В. М.: - Физматгиз, 1962, 688с.

21. Кузмин Г.Г. Уравнение распределения массы и модели галактик// Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1966, т.35, N5-6, с.285-315.

22. Кутузов С. А. О построении моделей звездных систем.III. К описанию распределения масс в моделях//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.379-395.

23. Кутузов С.А. К методике определения распределения светимостей в галактиках//Доклад на совещ. рабоч. группы по внегалактич. астрофиз., Тарту астрофиз.обс., 1970.

24. Кутузов С.А. Интервальный метод оценивания параметров// Кинем, и физ. неб. т., 1988, т.4. N5, с.39-47.

25. Кутузов С.А., Марданова М.А. Вычисление эквиденсит спроектированной плотности по моделям галактик // Вестник СПбУ, 1999, сер.1, вып.2, с. 109-119.

26. Кутузов С.А. К оцениванию массы галактики по круговой скорости и сферичности // Вестник СПбУ, 1993, сер.1, вып.З, с. 115-119.

27. Кутузов С.А., Осипков Л.П. Роль эквипотенциалей и эквиденсит при моделировании галактик//Астрофиз., 1986, т.25, N3, с.545-558.

28. Кутузов С.А., Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем. I. К классификации моделей//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с. 341-356.

29. Кязумов Г.А., Барабанов А.В. Вращение и масса спиральных галактик NGC1055 и сходных с ней NGC681 и NGC4594// Письма в Астрон. журн., 1980, т.6, с.329.

30. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: изд-во ин-та математики, 1999, 701с.

31. Марданова М.А. Сфероидальная модель распределения яркости галактик // "Процессы управления и устойчивость", Труды 31 научн. конф. аспирантов и студентов, редакт. Старков В.Н. СПб: изд-во СПбУ, 1-7апреля, 2000г. с.202-205.

32. Марданова М.А. Модели пространственного распределения светимости в галактиках.1. Вестник СПбУ, 2003, сер.1, вып.1, с.131-142.

33. Мартынов Д.Я., Черепащук A.M., Липунов В.М. Звезды и звездные системы. М.: Наука, 1981, 416с.

34. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М: изд. МГУ, 1992, 319с.

35. Поляк В.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983, 384с.

36. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983, 136с.

37. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975, 319с.

38. Решетников В.П. Поверхностная фотометрия галактик: уч. пособие, СПбГУ, 2003, 151с.

39. Решетников В.П. Интерпретация стандартных фотометрических параметров на основе их двухкомпонентной модели //Кинемат. физ. неб. тел, 1990, т.6, N3, с.30-35.

40. Строение звездных систем, ред. Холопов П.Н., т.53. М: Иностр. лит., 1962, 664с.

41. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач-М.: Наука, 1986, 3-е изд., 288с.

42. Фиакко А.В., Мак-Кормик Г.П. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972, 240с.

43. Форсайт Дж., Мальколм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, 279с.

44. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.- М: Мир, 1975, 534с.

45. Шеннон Р.Ю. Имитационное моделирование систем искусство и наука.- М.: Мир, 1978, 418с.

46. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.II.Функции и параметры описания//Публ. Тарт. астрофиз. обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.357-378.

47. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.IV. Степенно-полиномиальная модель//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.396-413.

48. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.V. Биномиальная модель //Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.414-441.

49. Aoki Т.Е., Hiromoto N., Takami Н., Okamura S. JHK imaging of the edge-on spiral galaxy NGC 891 11 PASJ, 1991, Vol.43, p.755-780.

50. Bergh S.van den. A reclassification of the northern Shapley-Ames galax-ies//Publ. Obs. Dunlap, 1960, Vol.2, N6, p.159-199.

51. Binney J., Merrifield M. Galactic Astronomy. Princeton. 1998.

52. Binney J., Gerhard 0. On the deprojection of the Galactic bulge // MNRAS, 1996, Vol.279, p.1005-1010.

53. Binney J., Gerhard 0. On the deprojection of axisymmeric bodies// MNRAS, 1996, Vol.279, p.993-1004.

54. Byun Y.K., Freeman K.C. and Kylafis N.D. Diagnostics of dust content in spiral galaxies: numerical simulations of radiative transfer// ApJ, 1994, Vol.432, p.114-127.

55. Capaccioli M. and Vaucouleurs G.de. Luminosity distribution in galax-ies.II. A study of accidental and systematic errors with application to NGC3379// ApJS, 1983, Vol.52, p.465-486.

56. Choloniewski J. Inclination dependence of galaxy brightness, diametrs and average surface brightness//MNRAS, 1991, Vol.250, p.486-504.

57. Contopoulos G. On the isophotes of ellipsoidal nebulae //Zeitschrift fur Astrophys., 1956, Bd.39, s.126-132.

58. Cubarsi R. Some kinematics and dynamics from a superposition of two axisymmetric stellar systems//AJ, 1990, Vol.99, p.1558-1568.

59. Cubarsi R. Central moments of the velocity distribution from a superposition of two stellar systems//AJ, 1992, Vol.103, p.1608-1620.

60. Cubarsi R., Ninkovic S., Sanz-Subirana J., Alcobe S. Discussion of hypotheses and dynamic models for stellar systems//in Structure & evolution of stellar systems, proceed, of the int. conf., Petrozavodsk, 1995.

61. Cunow B. Internal absorption in spiral galaxies//MNRAS, 1992, Vol.258, p.251-257.

62. Davies J.I. Missing mass or missing light? //MNRAS, 1990, Vol.245, p.350-357.

63. Dejonghe H., Bruyne V.de, Vauterin P., and Zeelinger W.W. The internal dynamics of very flattened normal galaxies. Stellar distribution functions for NGC 4697//A&A, 1996, Vol.306, p.363-380.

64. Disney M., Davies J., Phillipps S. Are galaxy discs optically thick? //MNRAS, 1989, Vol.239, p.939-976.

65. D'Onofrio M. 2D-modelling of the light distribution of early-type galaxies in a volume-limited sample. I. Simulations with artificial data // MNRAS, 2001, Vol.326, p.1508-1516.

66. Emsellem E., Dejonghe H., Bacon R. Dynamical models of NGC3115 // MNRAS, 1999, Vol.303, p.495-514.

67. Emsellem E., Monnet G., Bacon R. Modelling the stellar intensity and radial velocity fields in triaxial galaxies by sums of Gaussian functions //A&A, 1992, Vol.253, p.366-373.

68. Emsellem E., Monnet G., Bacon R. The multi-gaussian expansion method: a tool for building realistic photometric and kinematical models of stellar systems//A&A, 1994, Vol.285, p.723-738.

69. Faber S.M., Tremain S., Ajhar E.A. et al. The centers of early-type galaxies with HST. IV. Central parameter relations// AJ, 1997, Vol.114, p.1771-1796.

70. Fillmore J.A. Observable properties of oblate spheroids //AJ, 1986, Vol.91, p.1096-1107.

71. Freeman K.C. On the disks of spiral and SO galaxies// ApJ, 1970, Vol.160, p.811-830.

72. Galactic models. Proceedings of the 4th Florida workshop on nonlinear dynamics // Galactic models, University of Florida, Gainesville (USA), 1989, l-2March, eds. by J.R.Buchler, S.T.Gottesman, J.H.Hunter, in Ann.N.Y.Acad.Sci., 1990, Vol.596.

73. Hamabe M. Surface photometry of edge-on galaxies.IV.Global structure of disk galaxies//PASJ, 1982, Vol.34, p.423-447.

74. Hiotelis N. A two component model for spherical galaxies// A&A, 1994, Vol.291, p.725-730.

75. Houten C.van. Surface photometry of extragalactic nebulae// BAN, 1961, Vol.16, 72p.

76. Jansen R.A., Knapen J.H., Beckman J.E., Peletier R.F., Hes R. Measurements of dust extinction in highly inclined spiral galaxies//MNRAS, 1994, Vol.270, p.373-383.

77. Kerr F.J., Vaucouleurs G.de. The masses of the Magellanic clouds from radio observations// Austral.J.Phys., 1956, Vol.9, p.90-111.

78. Kochanek G.S., Rybicki G.B. Deprojection of axially symmetric objects //MNRAS, 1996, Vol.280, p.1257-1264.

79. Kodaira K., Doi M., Shimasaku K. A study of inclination effects on galaxy surface brightness/break //AJ, 1992, Vol.104, p.569-577.

80. Kodaira K., Ohta K. Absorption-layer model for edge-on galaxies // PASJ, 1994, Vol.46, p.155-164.

81. Kodaira K., Ohta K. Absorption-layer analyses of early-type edge-on galaxies: NGC4217, NGC4565, NGC4594//PASJ, 1995, Vol.47, N1, p.17-26.

82. Kormendy J. Brightness distributions in compact and normal galaxies. Ill Decomposition of observed profiles into spheroid and disk components // ApJ, 1977, Vol.217, p.406-419.

83. Kruit P.C. van der and Searle L. Surface photometry of edge-on spiral galaxies// A&A, 1981, Vol.95, p.105-115.

84. Kruit P.C. van der, Searle L.Surface photometry of edge-on spiral galaxies.IL- The distribution of light and colour in the disk and spheroid of NGC891 // A&A, 1981, Vol.95, p.116-126.

85. Kylafis N.D. Opacity diagnostics in spiral galaxies //Nato advanced research workshop on the opacity of spiral disks, 1995, Vol.469, p.55-66.

86. Lucy L.B. An iterative technique for the rectification of observed distributions//AJ, 1974, Vol.79, p.745-754.

87. Magorrian J. Kinematical signatures of hidden stellar discs// MNRAS, 1999, Vol.302, p.530-536.

88. Mardanova M.A. Luminosity profiles in galactic models // Proceedings of the Saint-Petersburg intern, conf. 'Stellar dynamics: from classic to modern', aug. 21-27, 2000, ed. by Ossipkov L.P., Nikiforov I.I., 2001, p.121-124.

89. Maron N., Maron 0. Model of interstellar dust and extinction //Zesz. nauk.Bud./WSI Zielonej Gorze, 1994, N106, p.93-121.

90. Mihalas D., Binney J. Galactic Astronomy. San Francisco, 1981, 608p.

91. Morgan W. A preliminary classification of the forms of galaxies according to their stellar population // PASP, 1958, Vol.70, N415, p.364-386.

92. Hodge P. The nature of SO galaxies //Leaflet A.S.P., 1965, N435, p.281-288.

93. Larson R.B. Dynamical models for the formation and evolution of spherical galaxies//MNRAS, 1974, Vol.166, p.585-616.

94. Pahre M.A. Near-infrared imaging of early-type galaxies.II. Global photometric parameters //ApJS, 1999, Vol.124, p.127-169.

95. Palmer P.L. The deprojection of axsymmetric galaxies//MNRAS, 1994, Vol.266, p.697-702.

96. Richardson W.H. Bayesian based iterative method of image restoration //J.Opt.Soc.Am., 1972, Vol.62, p.55-59.

97. Ryden B.S. Projections of box-shaped galaxies // ApJ, 1992, Vol.386, p.42-51.

98. Sala F. Time-dependent axisymmetric galactic models//A&A, 1990, Vol.235, p.85-93.

99. Sargent W.L., Young P.J., Boksenberg A., Shortridge K., Lynds C.R., Hartwick F.D.A. Dynamical evidences for a central mass condensation in the galaxy M87// ApJ, 1978, Vol.221, p.731-744.

100. Scorza C. and Bender R. The internal structure of disky elliptical galaxies //A&A, 1995, Vol.293, p.20-43.

101. Sersic J.L. Extragalactic astronomy: lecture notes from Cordoba. D.Reidel Publish.Comp., Dodrecht, Holland, 1982, 259p.

102. Shapley H., Ames A. A survey of the external galaxies brighter than the thirtheenth magnitude // Harv. Obs. Ann., 1932, Vol.88, N2, p.41-76.

103. Stark A.A. Triaxial models of the bulge of M31//ApJ, 1977, Vol.213, p.368-373.

104. Stromberg G. The asymmetry in stellar motions and the existence of a velocity-restriction in space // ApJ, 1924, Vol.59, p.228-251.

105. Varela A.M., Munoz-Tunon C., and Simmoneau E. Spatial source distribution of bulges from surface photometry: application to NGC 2841//A&A, 1996, Vol.306, p.381-390.

106. Vaucouleurs G.de. Recherchers les nebuleuses extragalactiques// Ann. d'Astrophys., 1948, Vol.11, p.247-287.

107. Vaucouleurs G.de. On the distribution of mass and luminosity in elliptical galaxies //MNRAS, 1953, Vol.113, p.134-161.

108. Vaucouleurs G.de. Revised classification of 1500 bright galaxies //ApJS, 1963, Vol.8, p.31-80.

109. Vaucouleurs G.de, Page J. Southern galaxies.II. Isophotometry of the large spiral NGC 300// ApJ, 1962, Vol.136, p.107-118.

110. Zeipel H.von. Catalogue de 1571 etoiles contenues dan l'amas globulaire Messier 3 (NGC5272)//Ann.Obs.Paris, 1908, t.25, p.F.l-F.101.