автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод граничных элементов в прямых, обратных и вариационных задачах электро- и аэродинамики

МИНИСТЕРСТВО ОБАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

На правах рукописи

Соппа Михаил Сергеевич

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРЯМЫХ, ОБРАТНЫХ И ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРО- И АЭРОДИНАМИКИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (Сибстрине)

Научный консультант: академик В Н. Монахов

Официальные оппоненты: доктор фи шко-математически\ на}к

про(|>есеор А Ф Воеводин, доктор физико-математических наук про<|)ессор В.М Ковеня. доктор фичико-математическич на} к профессор В А Цецохо

Ведущая организация: НИИ Механики МГУ им М В Ломоносова.

г Москва.

Защита диссертации состоится 15 сентября 2005 г в 15 часов на юссда-нии диссертационного совета Д 003 015 04 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу. 610090. Новосибирск, проспект Академика Коптюга. 4

С диссертацией можно ошакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат раюслан / августа 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор фи шко-математически\ на} к к В Н Белы\

КЮ6-1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Важной и активно развивающейся областью современной математики и механики является математическое моделирование физических процессов электро- и аэродинамики. В последнее время достигнут значительный прогресс в разработке расчетно-теоретических методов, основанных на переходе от исходных краевых задач к интегральным уравнениям, см., например, работы Васильева E.H., Дмитриева В.И., Захарова Б.В., Пименова Ю.В., Колтона Д., Кресса Р , Миттры Р. и др. - в электродинамике и Белоцерковского С.М., Ништа М.И., Маслова Л А., Павловца Г.А., Вудворда Ф.А., Морино J1., Мас-кью В. и др. - в аэродинамике.

При решении полученных интегральных уравнений успешно применяется метод граничных элементов, развитый в работах Бреббии К., Громадки 11 Т., Баттерфилда Р. Метод граничных элементов имеет ряд важных преимуществ. Он, в принципе, пригоден для тел произвольной формы и позволяет сводить задачу в бесконечной области к постановке на ограниченном многообразии, притом на единицу меньшей размерности. Автоматически удовлетворяется условие на бесконечности. Значения переменных, описывающих решение, могут быть вычислены в любой точке области в непрерывном виде Эти особенности присущи только методу граничных элементов и выделяют его среди возможных альтернатив.

Расчетные методы позволяют в рамках своей применимости получать качественные и количественные оценки важнейших параметров исследуемых явлений, что является неотъемлемой частью большинства систем автоматизированного проектирования новых образцов современной техники. Поэтому несомненной является актуальность проводимых исследований.

Цели и задачи исследования. Разработка на единой основе методов и алгоритмов решения прямых, обратных и вариационных задач электро- и аэродинамики. Математическое обоснование вычислительных алгоришов для конкретных классов задач. Проведение вычислительного эксперимента и математическое моделирование рассматриваемых физических явлений.

Научная новизна заключается в том, что : -в постановках обратных задач использовано модифицированное граничное условие, что позволило получить линейное интегрооператорное уравнение в задаче восстановления поверхностного импеданса,

-построены функциональные соотношения подобия в обратных задачах при Е- и //-поляризациях,

-разработан, обоснован и применен метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы тела, основанный на новом виде функционала невязки,

-результатами проведенных вычислительных экспериментов показана эффективность предложенных методов решения задач минимизации сопротивления несущих элементов сложных пространственных конфигураций при до- и сверхзвуковых скоростях полета,

-для конкретных классов обратных и прямых задач электро- и аэродинамики

получено математическое обоснование вычислительных алгоритмов метода граничных элементов,

-исследована корректность краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного плоскопараллельного и осесимметричного пограничного слоя с общей матрицей диффузии,

-дана постановка и получено численное решение совместной обратной задачи по определению геометрии аэродинамического контура, обладающего как свойством безударного обтекания, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния.

Достоверность научных положений обоснована: -применением дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих изучаемые физические явления,

-использованием математического аппарата теории аэродинамического и электродинамического расчета, теории методов вычислений, -проведением многочисленных вычислительных экспериментов, сопоставлением с данными, полученными другими авторами,

-строгими математическими доказательствами по обоснованию алгоритмов, полученными для конкретных классов задач.

Практическая ценность проведенных исследовании. Разработаны и исследованы методы и алгоритмы решения прикладных задач, возникающих при проектировании объектов, обладающих близкими к заданным аэродинамическими и радиоотражательными характеристиками. Созданный пакет программ позволяет определять деформацию и крутку срединной поверхности крыла летательного аппарата из условия минимизации потерь на сопротивление в различных диапазонах скоростей полета. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в научно-исследовательских институтах и конструкторских бюро при проектировании и создании новых образцов авиационной техники, систем электромагнитного зондирования, вычислительной диагностики и неразрушагощего контроля. По материалам исследований получен акт о внедрении из СибНИА им. С.А. Чаплыгина. Научные положения и выводы работы используются в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов.

Основные научные положения, защищаемые в работе. 1 Метод численного решения обратных задач восстановления поверхностного импеданса, включающий переход к линейному интегрооператорному уравнению, допускающему эффективную дискретизацию и регуляризацию.

2. Функциональные соотношения подобия, устанавливающие связь между решениями обратных задач при Е- и //-поляризациях.

3. Метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы импедансного рассеивателя и новый вид функционала невязки.

4. Методы определения оптимальной деформации и крутки несущей поверхности на до- и сверхзвуковых скоростях для сложных аэродинамических компоновок летательных аппаратов.

5. Доказательства аппроксимации, устойчивости и сходимости вычислитель-

2

пых алгоритмов метода граничных элементов для конкретных классов задач аэро- и электродинамического расчета.

6. Доказательство корректности краевых задач для уравнений тепловою многокомпонентного пограничного слоя с обшей матрицей диффузии в случае плоскопараллельного и осесимметричного обтекания.

7. Пакет программ, позволяющий проводить математическое моделирование в обратных и вариационных задачах электродинамики и аэродинамики, включая задачи в совместной постановке.

8. Результаты вычислительных экспериментов по численному исследованию обратных и вариационных задач, а также результаты решения важных научно-технических задач.

Апробация результатов исследований. Основные положения диссертации докладывались на конференциях: V Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Омск, 1983; IV Всесоюзная школа по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 1986; 11-я отраслевая научно-техническая конференция по автомати-!ации проектирования летательных аппаратов, Москва, ЦАГИ, 1987, VII Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул, 1989; Vflí Международная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Красноярск, 1992; Всероссийская научная конференция «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач», Екатеринбург, 1995, 1998; V Международная НТК «Математическое моделирование и САПР сии ем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ», Москва, Сергиев Посад, 1995; X и XI Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 1995, 1998 ; II, III и IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1996, 1998, 2000; Международная НТК "Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1997; Международная НТК «Научные основы высоких технологий», Новосибирск, 1997, Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 1997; International Conference on Methods of Aerophysics Research , Novosibirsk, 1998; The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS' 99, Novosibirsk, 1999; VIII НТК «Обратные и некорректно поставленные задачи», Москва, МГУ, 2003; Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (CIT - 2004)», Алма-Ата, 2004, а также на семинарах: Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. академик В.Н. Монахов, чл.-корр. П.И Плотников), «Математика в приложениях» Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. академик С.К Годунов), Института вычислительных технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин, профессор В.М Ковеня), НИИ Механики МГУ им М В Ломоносова (рук. профессор Г А. Тирский) и других организаций.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 работ Основные результаты диссертации представлены в статьях, список которых приведен в

3

конце автореферата. Доля соавторов в совместных работах одинакова. В монографию [22] результаты диссертанта вошли как независимая часть.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 235 наименований. Общий объем работы 296 стр.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен критический обзор существующих подходов к численному моделированию в задачах электро- и аэродинамического расчета.

Обратным задачам теории рассеяния электромагнитных волн посвящены работы Маркова Г.Т., Чаплина А.Ф., Терешина О Н., Кондратьева A.C., Еро-хина Г.А., Кочержевского В.Г., Чечкина A.B., Юханова Ю.В., Петрова Б.М. и др. Применяемые в этих работах подходы и методы основывались либо на использовании точных и асимптотических решений, либо включали прямые методы минимизации невязки типа покоординатного спуска, что в условиях высокой овражности целевой функции приводит к весьма громоздким вычислительным процедурам. Возникает проблема подбора начального приближения. В диссертации благодаря применению модифицированного граничного условия для задачи восстановления импеданса впервые получено линейное интег-рооператорное уравнение. К преимуществам подхода относятся: линейность уравнения, получение решения за конечное число шагов, отсутствие проблемы выбора начального приближения, возможность построения решения в широком классе комплекснозначных распределений импеданса, а также наличие функциональных соотношений подобия между решениями обратных задач при Е- и Н-поляризациях Полученное линейное интегрооператорное уравнение является важным вспомогательным этапом в решении нелинейных задач с неизвестной фазовой функцией и задач восстановления формы импедансного рассеивателя предложенным автором методом искусственного «погружения».

Вопросы обоснования постановок обратных задач дифракции электромагнитных волн и их численного решения методом граничных интегральных уравнений рассматривались в работах Еремина Ю.А., Свешникова А.Г., Кол-тона Д., Кресса Р., Рамма А.Г., где использовался аппарат теории аналитических функций и предполагалось, что диаграмма рассеяния является аналитической функцией быстрого роста. В случае, когда диаграмма рассеяния задана в конечном наборе точек, такие результаты отсутствуют. В работах автора получено доказательство сходимости приближенных решений для дискретных аналогов соответствующих нелинейных операторных уравнений

В качестве базового для аэродинамических расчетов в диссертации используется одна из разновидностей метода граничных элементов - панельный метод. Он развивался в работах Хесса Д.Л., Смита А.М.О., Вудворда Ф.А., Морино ЛЖилина Ю.Л., Захарова А.Г., Теперина Л Л. и др. Сравнительная простота программирования, полный учет формы современных летательных аппаратов и возможность создания единых программ для расчета обтекания как при сверхзвуковых, так и при дозвуковых скоростях - его основные досто-

инства. Программа панельного метода имеется в каждом авиационном КБ. F.c-тественно, что существуют программы для моделирования гораздо более сложных явлений: отрывы на больших углах атаки, местные трансзвуковые зоны, вязкое обтекание и т. д. Однако, эти программы сложно применять для серийных параметрических расчетов на предварительном этапе, когда из нескольких разнородных и достаточно сложных компоновок конструктор должен выбрать одну. Поэтому программы типа метода дискретных вихрей и панельные методы по-прежнему являются признанным эффективным инструментом для оценки влияния тех или иных элементов компоновки, приращений параметров и производных основных аэродинамических характеристик на линейном этапе их протекания.

Оптимизацией формы срединной поверхности крыла в сверхзвуковом диапазоне скоростей занимались Булыгина Е.В., Глушков H.H., Коробейников Н.П., Прохоров Е.М., Прошина Т.Д., и др. В основном, эти работы основывались на представлении потенциала по Красильщиковой Е.А., рамки применимости которого ограничены крыльями с плоской базовой поверхностью. В ряде работ задача минимизации индуктивно- волнового сопротивления с ограничениями на масштабы деформаций сводилась к задаче нелинейного программирования, решаемой громоздкими вычислительными методами. В диссертации предложен метод решения применимый для крыльев с поперечным V, при этом задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений.

При дозвуковых скоростях в работах Белоцерковского С.М., Скрипача Б К, Жигулева В.Н., Кроткова Д.П., Шкадова J1 М., Прысева Б.Ф. для построения оптимальной деформации тонкого крыла использовались подходы, связанные с обеспечением эллиптического распределения циркуляции по размаху и плавного, безотрывного обтекания передней кромки крыла. Однако данный подход неприменим, если базовая поверхность крыла неплоская, для компоновки с фюзеляжем или в случае наличия у крыла заранее заданной профилировки. Автором разработан метод определения оптимальной крутки толстого крыла, применимый в рассмотренных ситуациях, а также метод реализации концепции адаптивного тонкого крыла.

Численные методы нередко эксплуатируются на пределе их возможностей. Очень важным становится выявление сферы применимости метода, установление строгих ограничений на параметры расчетных схем, оценка скорости сходимости приближенных решений. Достаточно обоснованными в этом отношении являются метод дискретных вихрей, - исследования Лифанова И. К., Тимофеева И.Я., Сарена В.Э., Поляхова H.H. и комплексный метол граничных элементов (Громадка II Т., Лей Ч.). В диссертационной работе для конкретных классов задач, решаемых панельным методом, получены результаты в виде теорем об аппроксимации интегрального оператора, об ограниченности норм обратного дискретного оператора и о сходимости приближенных решений к точному Устанавливается скорость сходимости и доказывается положительная определенность матрицы аэродинамического влияния

Новой является постановка и метод решения совместных задач электроаэродинамического расчета. В доступной автору литературе аналогичные ре-

5

зультаты отсутствуют.

Вопросы однозначной разрешимости краевых задач для системы уравнений плоскою и осесимметричного пограничного слоя рассматривались Олейник O.A., Введенской Н.Д., Хуснутдиновой Н.В. В работах автора диссертации эти результаты обобщены на многокомпонентный пограничный слой с общей матрицей диффузии.

В первой главе приведены теоретические основы метода граничных элементов в прямых и обратных задачах рассеяния электромагнитных волн на импедансных поверхностях.

Рассматривается задача дифракции плоской Е- поляризованной волны на замкнутой цилиндрической поверхности Направление падения волны перпендикулярно ее образующей -оси 07. (рис. 1). Для ненулевой компоненты электромагнитного поля и = Ег(х,у) (и-Н2 при Н- поляризации) выполняется уравнение Гельм-гольца:

Рис.1

Ъ'ч

д2и

к -2п!Л,

(1)

^ + —^ + к2и-0, дх2 ду2

с граничным условием Леонтовича

[n,E\\s = -W[n,[n,H]}\s- (2)

Импеданс W, являющийся комплекснозначной функцией дуговой координаты, описывает явления, возникающие при взаимодействии электромагнитного поля с поверхностью тела. Порядок точности граничного условия не уменьшится, если в правой части заменить // на Н0 ~ решение задачи дифракции на идеально проводящей поверхности (при fV=0). С учетом этого соображения получим граничные условия в модифицированном виде:

W ди0

ди

ikW0 дп

.kW

-1-ип = О

Wn 0

О

для Е-поляризации, (3.1) для Н- поляризации, (3.2)

дп гг„

через ип обозначено решение при 1У=0.

Для рассеянного поля и требуем выполнения асимптотического условия излучения на бесконечности

ди*

дя

lim ¡R

iku'

0.

(4)

В § 1.2 с применением формул Грина и фундаментального решения уравнения Гельмгольца %(М, Р)= (к гМР), производится переход к граничным интегральным уравнениям.

В § 1.3 приведены постановки обратных задач рассеяния электромагнитных волн при фиксированной геометрии поверхности.

Пусть известна форма поверхности 5. Требуется найти распределение поверхностного импеданса IV, обеспечивающее приближение с достаточной точностью к заданной в конечном наборе точек диаграмме рассеяния е3(<р), = /,...,т} ■ Критерий приближения к заданной диаграмме рассеяния понимается в смысле минимизации среднеквадратического отклонения:

т

J = Y)e(<Pi)-e3{<Pii ->гшп, (5)

е(<р) = (и(х,у)-и,)Ле-'к*, Я = ^х2 + у2 ->оо, у/ х = ^ е(<р)- диаграмма рассеяния поверхности 5, г/у - поле падающей волны.

Обратная задача приводится к эквивалентной системе интегральных уравнений относительно двух неизвестных функций IV и ■

2 л £ к1¥0 дп дпР

+ -- е3(М), Мв5„, (6)

¿я £ дп

ЩМ) ди0(М) = _]_ г (ди(Р)

Ли ~>ТТ ^ Я*, ^ ' '

2Ис\У0 дп 2л * V дп

О

щр) дип(Р) д8(м,Р) ¿кИ/п дп дпр

+ иДА/), А/<=5, (7)

здесь п = ¡Ке',кК. Соответствующая система интегральных уравнений получается и для Н-поляризации.

Дается постановка обратной задачи восстановления поверхностного импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала Технически получение данных наблюдения существенно упрощается, если измеряется не полная комплекснозначная величина рассеянного поля, а только его модуль В эгом случае в уравнении (6) появляется знак модуля, и оно становится нелинейным. В процессе решения восстанавливается и фазовая функция отраженной волны.

Аналогичные постановки имеют место, когда используются данные измерений рассеянного поля в близ/спей зоне, (расстояние до рассеивателя

7

сравнимо с размером объекта и длиной волны, то есть Я ~ а, /? ~ Л ). Предлагаемый метод решения локационных задач, рассмотренный в предыдущих параграфах, базируется на строгих формулах интегрального представления электромагнитного поля в произвольной точке пространства. Следовательно, он полностью применим в случае использования данных локации, полученных в ближнем поле.

Используемые при выводе основных интегральных уравнений формулы Грина являются справедливыми для многосвязных областей. Поэтому рассматриваемый метод позволяет получать решение обратных задач дифракции электромагнитных волн на системах цилиндрических импедансных рассеива-телей, обеспечивая полный учет взаимовлияний и переотражений падающего тюля на всех компонентах системы.

В § 1.4 приводятся постановки обратных задач восстановления формы импедансного рассеивателя. Пусть в результате измерений (при //-поляризации) получена информация о рассеянном поле И3(<р), /ре {(р,,1 = 1,...,т}, для объекта, поверхность 5 которого имеет участки неизвестной формы Я1.

Контур поперечного сечения Я может быть неизвестен полностью: 57 = 5, или частично: 5' сг 5. Считаем, что поверхность Я описывается параметрически с помощью своего радиус - вектора г (у), см. рис. 2. Область изменения углов предполагается дискретной, таким образом, вариация искомого контура допускается в конечном наборе опорных сечений Ц/ е = / ,---,"},

Рис.2 г е к = 1,...,п).

Рассматривается обратная задача в следующей постановке.

Найти функцию г ( ц/), обеспечивающую приближение с достаточной точностью к заданной диаграмме рассеяния И3((р), (р е \ср1,г = ],...,т) в смысле минимума среднеквадратичного отклонения

12

mm. /•(у/)

(8)

Экстремальное условие (8) дополняется уравнением Гельмгольца (1), граничным условием (3.2) и условием (4). Эта задача сводится к следующей системе интегральных уравнений для функций г (у/) и и (функция импеданса IV здесь считается известной) :

I ( | «Л)-*"-"

5(г(И) " S(r(</,))

дпг

= h,(M),

•dSP) = MeSn,

1

2

dSP

= м;(М), MeS.

Полученная система интегральных уравнений является существенно нелинейной, так как область интегрирования зависит от искомой функции.

В теории синтеза сложных антенных систем возникают смешанные задачи построения рассеивателей, поверхности которых имеют в общем случае участки четырех типов : I - с известным (заданным) распределением импеданса W, и с известной геометрией S,; II - с неизвестным импедансом Wn и с известной геометрией 5, ; III - с известным импедансом W, и с неизвестной геометрией Sm ; IV - с неизвестным распределением импеданса WIV и с неизвестной геометрией S/v. Требуется определить функции W„, WIV, и контуры участков Sm, S,v, обеспечивающие минимум функционала среднеквадратического отклонения диаграммы рассеяния от заданной :

Предполагаем, что поверхность 5= 5/и 57/и 5///и описывается параметрически с помощью радиус - вектора г ( у) . Вариация искомой части контура допускается в конечном наборе опорных сечений (// е {(//,, /=/,...,«}, соответствующих участкам ■*>»/ и 5,1 . Осуществляется переход к эквивалентной системе интегральных уравнений для определения функций \Уц , IV,у, гш ( цг), г,у ( у/), и ^и/дп • В частности, уравнение в дальней зоне имеет вид:

Рассмотренные выше постановки обратных задач подразумевали использование бистатической локации, когда источник излучения расположен в одной точке, а приемник перемещается относительного объекта. Дана постановка обратной задачи моностатической локации, когда источник и приемник аппаратно объединены, то есть, измеряется только поле обратного рассеяния.

Формулируются обратные задачи восстановления геометрии поверхности 3(г(ц/)) при Е - и Н - поляризациях в случае измеренных характеристик рассеяния в ближнем поле, при неизвестной фазовой функции измеренного сигнала, для неодносвязной поверхности 5.

В работе рассматриваются математические модели резонансного диапазона, когда поперечные размеры объекта сравнимы с длиной волны. Применение линеаризованных граничных условий (3 1-2) оправдано для поверхностей с достаточно большими радиусами кривизны по отношеншо к длине волны

( J+ i + i + i ) +дЛ

2п s, Sii S/ц {гIii((//)) S/y {г¡у (i//)j kWn дп (Ъг дп

-е3Щ), MeS„.

J ) ÖS

Во второй главе рассматривается численное решение обратных задач рассеяния методом граничных элементов.

В § 2 1 для решения прямой задачи дифракции на импедансных поверхностях применяется известный метод саморегуляризацич, в основе которого лежит использование специфики ядер полученных интегральных уравнений. Общая схема решения интегральных уравнений прямой задачи такова. Контур 5, являющийся направляющей кривой цилиндрической поверхности, аппроксимируется ломаной линией, состоящей из N панелей (отрезков ) pj, 7 = /,.. , N. Строго в середине каждой панели помещается точка коллокации (контрольная точка) г^ , _/'-/, ., N. Искомая функция плотности заменяется ступенчатой функцией р^, значение которой р^ в пределах каждой

N

из панелей р^ считается постоянным. Таким образом, р = ^¡Гр" % ¡(О' где

X} (/) - характеристическая функция у й панели. Известные функции, определенные на контуре, так же заменяются своими сеточными аналогами. Приближенные значения для интегралов от цилиндрических функций и их производных находятся по формуле прямоугольников с динамическим выбором количества узлов. В результате проведенной дискретизации интегральное уравнение, записанное в точках коллокации, принимает вид комплекснознач-ной системы линейных алгебраических уравнений

которая при указанном способе выбора точек коллокации имеет матрицу Д обладающую свойством диагонального преобладания. Решая эту систему комплекснозначным методом Гаусса с выбором главного элемента, находим коэффициенты ры. Результаты тестовых расчетов при Е-поляризации для

Рис. 3

идеально проводящего кругового цилиндра (кКп =8) приведены на рис. 3. Сплошной линией показана диаграмма рассеяния, полученная настоящим методом, а пунктиром -

Рис. 4

5

данные В.О. Кобака с использованием метода разложения в ряды. Второй пример описывает рассеяние плоской Я-поляризованной волны на импеданс-ном клине, сопряженном с окружностью. На хорде поперечного сечения клина укладывается 3 длин волн. Графики на рис. 4 показывают зависимость нормированного прямого и обратного отражения от свойств импедансного покрытия поверхности. Результаты расчета по предлагаемому методу показаны сплошной линией, а крестиками - расчет М. Д. Андреасена.

В § 2.2 изла! ается метод граничных элементов в применении к решению обратных задач синтеза и диагностики поверхностного импеданса. Введем следующие обозначения для операторов прямой задачи:

лаю=1-ам)+±- 1с(Р)д^'Р)скг,

2 2к £ дпр

ва м)=\арым,рус!8Р.

2п

о

Тогда интегральное уравнение, записанное в точках контура при Н-

к

поляризации примет вид Аи--Ви0\У -ип где м; - падающая волна. В

результате, обращая оператор прямой задачи, получаем представление для и

и = А~' — Ви01¥ + А 'и, ■ Vо

Так как А~'и, -и0 ( где функция и0 - решение прямой задачи в случае идеально проводящей поверхности, при IV = 0 ), то

" Иг "

"О

Подставляя это соотношение в интегральное уравнение для точек, в которых измерялось рассеянное поле, приходим к интегрооператорному уравнению*

Т5Г =

2я1¥01 дпР

- Ь3{М) + щс18р Ме8к {9)

2л £ дпр

Благодаря использованию модифицированного граничного условия (3), оно является линейным. Дискретизация осуществляется аналогично параграфу 2.1. В большинстве случаев контур рассеивателя состоит из некоторых характерных участков (сегментов), о свойствах поверхности которых имеется априорная информация. Предположим, что К - число таких сегментов дъ, на которых будет отыскиваться распределение поверхностного импеданса. Каждый сегмент при расчете может быть разбит на несколько панелей рр поэтому К < N . В качестве дискретного аналога IV,, искомой функции IV выберем

элемент из класса линейных комбинаций ограниченного числа 2К базисных функций Хк :

2К

^ = ИакХк •

При нечетном значении индекса к = 2]-1 базисная функция Ху является характеристической функцией соответствующего сегмента ц, _ }=1,...,К и дает единичную вещественную часть покрытия этого сегмента. В случае четного индекса базисная функция Х2/ ~ ¡Х2/-1 <

дает характеристическую

функцию мнимой части импедансного покрытия у - го сегмента. Дискретизация интегрооператорного уравнения (9) приводит к системе линейных ком-плекснозначных алгебраических уравнений:

С а

Матрица С является, в общем случае, прямоугольной: С= {Су , ¡-1,...,т, ¡-1, ., 2К). Ее коэффициенты С,, включают в себя матричные аппроксимации операторов прямой задачи А и В, которые выражаются через значения цилиндрических функций Бесселя и Неймана нулевого и первого порядка. Данная система уравнений получена в процессе численного решения интегрооператорного уравнения первого рода. Ее решение является, вообще говоря, некорректно поставленной задачей. Для устранения этой проблемы запишем необходимое условие минимальности квадрата невязки:

3 = (Са-Ь){Са-Ь), — =0, к = 1,...,2К. дак

(С'С + С'С)а = С'Ь + С'Ь . В левую часть соотношения вводится регуляризующее слагаемое А.Н. Тихонова нулевого порядка. В результате, приходим к системе линейных алгебраических уравнений :

(аЕ + С*С + С*С)а = С'Ь + С{Ь, (10)

где а - параметр регуляризации. Решая систему (10), получаем линейный оператор К, позволяющий по заданному рассеянному полю И,(<р) восстановить поверхностный импеданс (V при фиксированной геометрии поверхности 5:

IV. =я =Г(И3)= С„'Ь0, (11)

где С¡¡' - матрица, обратная к Сп = аЕ + С'С+ С'С .

Алгоритм решения рассмотренного класса обратных задач тестировался на задаче синтеза импедансного покрытия для кругового цилиндра с радиусом Я0 = Я 1(2п) Требовалось получить диаграмму рассеянного поля, близкую к диаграмме эллиптического идеапьнопроводящего цилиндра с полуосями Яп / 3 и /?„ . Сплошной линией на рис. 5 показана диаграмма рассеяния для эллиптического, а пунктиром - для кругового цилиндра. Крестики соответствуют рассеянию на круговом цилиндре с синтезированным реактивным им-

12

педансом, а кружки - с произвольным комплексным импедансом.

Рассмотрена обратная задача снижения видимости (устранение пика обратного рассеяния) для эллиптического цилиндра с соотношением полуосей агшп / атах = ^ I атт п ■ На рис. 6 штриховой кривой представлена исходная диаграмма рассеяния плоской //-поляризованной волны на идеально проводящем цилиндре, полученная диаграмма показана сплошной кривой, штрихпунктирная кривая - данные Петрова Б.М. и Юханова Ю.В. Отметим, что в работе этих авторов нелинейность постановки обратной задачи приводила к необходимости применения громоздких градиентных методов для минимизации функционала невязки ./ в форме (5).

Рис. 5 Рис. 6

В § 2.4 для обратной задачи рассеяния на круговом цилиндре найдены явные выражения для собственных значений оператора дискретной задачи и сформулированы условия, при которых матрицы системы линейных уравнений вырождается. Дискретизация интегрооператорного уравнения приводит к системе комплекснозначных линейных алгебраических уравнений

А'Ра =Гл,

где А - является циркулянтной (частный случай теплицевых матриц), ее элементы с индексами i , j, имеющие одинаковое значение разности

(i-j)moAN, равны друг другу. Это свойство матрицы А гарантирует наличие у нее т собственных значений :

Д; = c0+c,z/ +с2г] +... + cm_lz"'-1, j = /,...,/и .

Здесь zj — один из т комплекснозначных корней уравнения z'" — 1 , то

есть, , / = V— /, / = /,...,»», а сп,с,,...,ст , - элементы

строки матрицы А Пусть т - чешое , а разбиение на панели имеет симметричный вид, тогда, взяв г = -1 , приходим к соотношению

Л»/2+1 ~ СП ~С1 + С2 ~-" + Ст-2 ~Cm-t

Следовательно, для установления вырождения матрицы системы необходимо проверить конечное и не зависящее напрямую от N количество условий :

т

л, = 0, j = 1,...,т .

В § 2.5 получены функциональные соотношения подобия в обратных задачах рассеяния. Анализ уравнений вида (6,7) при разных поляризациях показывает, что вычислительные алгоритмы должны быть разработаны для системы интегральных уравнений вида:

Uvg(M,Р)-w-giA*,P))dSP =tj(M), MeSR, PeS, 2л £ on

W - 4- py- w= t2(M), M,P eS,

2 2л ' дп

где, в зависимости от поляризации, фигурируют следующие функции или комплексы функций:

ди ,

v =

Е- Е - поляр.,

дп

ikWu

Щн И - поляр.,

W =

WE ди0Е

Jk--Е - поляр.,

ikW0 дп

Н - поляр.,

е1 Е-поляр., ^ ju/E Е-поляр.,

[й, Н - поляр., 2 \ии1 Н -поляр.

В результате приходим к интефооператорному уравнению для функции V

2 л / дп г

s

= t,(M) + ^-\u0If^dSP, MeSR ,PeS.

7fr J Ни

2л * дп

Пусть решена обратная задача для Я-поляризации, то есть, найдены функгии

к ды 1

УУИ , ион = А~'и1Н , и„ = —А''Ви0Н1Гн +ион , = -в 'и,, . Тогда

И/1) дп I

для получения решения при £-поляризации можно использовать формулы пересчета: = Г, и„. дп IV,, дп

Реализация полученных функциональных соотношений подобия подтверждается результатами вычислительного эксперимента.

В § 2 6 обсуждается численный метод восстановления поверхностного импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала Построен итера-

14

ционный процесс, для которого в качестве начального приближения выбирается фазовая функция электромагнитного поля рассеянного на идеальнопро-водящем объекте. Дискретный аналог интегрооператорного уравнения позволяет записать модельную систему нелинейных комплекснозначных уравнений, и построить для нее пример неединственного решения. Однозначная разрешимость данной задачи обеспечивается с помощью привлечения некоторой априорной информации о решении. Это может быть, в частности, информация о знаке реальной (либо мнимой) части рассеянного поля. Такая информация является более доступной, нежели точные значения фазы в(М).

§ 2.7 посвящен численному решению обратной задачи восстановления формы импедансного рассеивателя. В диссертации разработан новый метод искусственного «погружения». Предлагаемый подход к решению исходной обратной задачи базируется на использовании аналогичного построенному в параграфе 2.2 оператора У, определенного соотношением :

относительно вектора г , где IVи - исходный, заранее известный импеданс объекта, форму которого мы восстанавливаем. Заметим, что решение (2.7.4) с нулевой правой частью (IV=0 ) соответствует задаче восстановления формы идеальнопроводящего рассеивателя. Проблемы, связанные с регуляризацией, решаются в рамках линейной вспомогательной задачи.

Следовательно, предлагаемый метод решения состоит в искусственном "погружении" рассматриваемой задачи в более общую, когда искомым (помимо формы поверхности) является и ее поверхностный импеданс на варьируемых участках контура. Полученный новый вид функционала невязки

позволяет существенно повысить скорость сходимости вычислительных алгоритмов.

Нелинейное операторное уравнение (12) может быть решено методом Ньютона. Пусть имеется некоторое начальное приближение г„ . После дискретизации с помощью конечных разностей вычисляется матрица производных

1У = Г{И3,г).

Это позволяет перейти к нелинейному операторному уравнению

(12)

вместо традиционного

гк = гк_,-(ОГГ'Шк_,, к = 1,2,3,... , где А\Ук_, = У{И3,гк_,)-1Гп. С использованием разложения в ряд Тейлора в точке гк_2 доказывается оценка:

ШП1

Таким образом, в предположении свойств гладкости и ограниченности норм матриц 1)2У и (1)У)~', выбранное в достаточно малой окрестности точного

решения начальное приближение гарантирует сходимость вектора к нулю со скоростью выше геометрической профессии. Аналогичные оценки и выводы следуют и для последовательности {Лг^ }, в силу чего последовательность векторов { } сходится с той же скоростью к решению уравнения (12).

Результаты расчетов методом «погружения» в обратных задачах с неизвестной геометрией приведены в § 2 8. Чтобы оценить эффективность предложенного выше метода искусственного «погружения», были проведены расчеты по определению величины невязки д .

Рис. 7 Рис. 8

Анализ графиков показывает, что поверхность функционала (рис. 7) обладает существенно более выраженной экстремальной точкой, чем поверхность д2 (рис. 8). Данная особенность обеспечивает более высокую скорость сходимости вычислительных алгоритмов отыскания экстремума в случае невязки при использовании методов типа градиентных и покоординатного спуска.

Были проведены расчетные исследования распознавания изменения геометрии, полученного путем перемещения тела. Данная задача имеет аналогию с задачей диагностики близкорасположенных объектов зондирования. Измененная индикатриса получена за счет сдвига оси кругового цилиндра радиуса Яп = Я 1(2я) на величину О ЗЯ„. Рассеянное поле фиксировалось на расстоянии Я = 100 /?„ ог оси объекта. Рис. 9 иллюстрирует сходимость вычислительного процесса на итерациях (NI - номер итерации).

Представляет большой интерес решение задачи восстановления формы

поверхности для системы тел. Рассматривалась обратная задача рассеяния

-1-1-1-1-

о 180° Ч' ------

Рис.9 Рис.10

плоской Е - поляризованной электромагнитной волны на системе из двух эллиптических цилиндров с соотношением полуосей 3 2 Расстояние между осями цилиндров d = 0.73Я . Заданные значения поля были взяты в т= 12 точках Начальное приближение выбиралось в виде двух круговых цилиндров. Диаграммы модуля отраженного поля показаны на рис. 10 сплошной линией для эллиптических цилиндров и пунктиром - для круговых. На рисунке 11 представлены зависимости величины невязки от номера итерации при различных значениях параметра регуляризации вспомогательной задачи. Из графиков видно, что предложенный алгоритм обладает достаточно высокой скоростью сходимости. Следует отметить, что "загрубления" решения г(ц/), которое может быть вызвано относительно большими значениями a, не происходит, так как на точном решении исходной задачи A IV--0.

—- а.0« — а s ООО!

я,

Рис. 1 1

На рис. 12 приведены данные расчета по восстановлению формы поверхности системы из двух призм квадратного сечения для случая Н — поляризованной волны. Вычис-

Рис. 12

лительные эксперименты показали, что для получения решения задачи с точностью 0 5% достаточно/5-ти итераций метода Ньютона. С помощью разработанной методики была решена также задача С13Ч-лиагностики о локали-

зации нарушения целостности металлической оболочки.

В третьей главе рассмотрены общие положения и теоретические основы метода граничных элементов (панельного метода) в аэродинамических расчетах. Определение сил и моментов, действующих на летательный аппарат, а также поля скоростей течения является одной из актуальных проблем аэродинамики. Панельный метод является признанным инструментом для оценки влияния тех или иных элементов компоновки, приращений параметров и производных основных аэродинамических характеристик на линейном этапе их протекания.

Рассматривается пространственное обтекание потоком идеального газа сложной аэродинамической конфигурации, которая может включать в себя фюзеляжеобразные, несущие и управляющие элементы. Поток считается установившимся, потенциальным (безвихревым). Делается предположение о малости возмущений. В этом случае теория потенциала дает возможность учесть влияние углов атаки и толщины элементов летательных аппаратов, деформации и крутки срединной поверхности крыла, интерференционное влияние всех элементов компоновки друг на друга. Учитывается влияние сжимаемости, описываются сверхзвуковые течения.

Возмущенное течение имеет потенциал <р(х,у,г), удовлетворяющий уравнению

дх ду 02

М - число Маха. На границе тела 5 ставится условие непротекания :

дп

Для несущих поверхностей, кроме этого, ставится условие Жуковского - Чаплыгина в точке схода. На бесконечности значения градиента возмущенного потенциала убывают до нуля. Дифференцирование потенциала в каждой точке поля течения определяет вектор скорости и . С использованием линеаризованного интеграла Бернулли вычисляется распределение давления в каждой точке обтекаемой поверхности, что позволяет описать силовое воздействие обтекающего потока на летательный аппарат.

Следствием граничного условия является интегральное уравнение

дпр £ г(5,/») дпр £ М 'дп,

*2

Для сложной аэродинамической компоновки интеграл по ее поверхности заменяется суммированием. Поверхность разбивается на участки, которые аппроксимируются плоскими трапециевидными панелями (см. рис. 13). Полученная система линейных алгебраических уравнений

АХ = В, 18

имеет достаточно высокий порядок (от 300 и выше) и решается с помощью блочно-итерационного метода.

Рис. 13

В § 3.2 предложен метод регуляризации численного алгоритма в случае сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразного тела. При проведении расчетных исследований сверхзвукового обтекания корпусов панельным методом была обнаружена неустойчивость счета, проявляющаяся в значительном изменении результатов расчета при малой вариации разбиения поверхности тела на панели. Вудворд Ф. и Лэндрам Э. для устранения этого явления ввели новые аэродинамические особенности «сверхзвуковые триплеты». В диссертации предложен и апробирован в численном эксперименте метод регуляризации, основанный на ^-сужении коноида Маха от передней кромки панели. Он позволяет перейти к системе уравнений с хорошо обусловленной матрицей и устранить явление неустойчивости счета. Эти утверждения удается доказать строго для главной части матрицы. Результаты расчетов обтекания цилиндрического тела под углом атаки показаны на рисунках: 14.а - до регуляризации и 14.6 - после регуляризации.

£

0,2

-а,.г

1 -

V

\ £

1 /

Рис. 14.а Рис. 14.6

В § 3.3 доказана сходимость панельного метода в случае сверхзвуковою обтекания конуса. Потенциал возмущенной скорости удовлетворяет вне тела волновому уравнению

2 д2<р д2<р д2

Р дх2 ду2

р2 = М2 - /, Вг2

условию непротекания (14) на его поверхности (за исключением участка донного среза) и равен нулю вне головного конуса Маха. Краевая задача в этом случае имеет точное решение:

= r2=y2+z2,

Pr

pr r

Используя интегралы по панелям от распределенных особенностей, вычисленные явно,

U, = k(aF - mG), к = -£! 4л,

V, ^ k{C2Gсоъв, +{F-amp2G)sin (9,), W, =k(C~2Gsine, ~{F-amp2G)cos6>,),

удается совершить предельный переход и установить скорость сходимости:

\u-uN 1 +

Vr-^N)2+(WN)2 <C,/N.

В § 3.4 доказаны теоремы о сходимости двумерного панельного метода при малых скоростях обтекания. В терминах (р - потенциала возмущенной скорости в этом случае приходим к внешней задаче Неймана для уравнения Лапласа. При дискретизации для плотности потенциала а получаем:

а. I " Лг. -£)п. -

2 2я,„

>*J

. - N ~Ы

или

аы = {а, , /"= )1= — , из которой определяются неизвестные коэффициенты а¡.

Предположим, что контур Ь обладает следующим свойством: для всех выполняется соотношение :

< Н < , где /?т - минимальный радиус

кривизны контура. Заметим, в частности, что для окружности

Н = 1 = 2яЯтИ.

С использованием представления для коэффициентов матрицы системы ли-

И2 при / = у,

"Ри ' * -А

I,

нейных уравнений AN : доказываются следующие теоремы.

Теорема I (об аппроксимации). Для любой функции сгеС' имеет место неравенство:

шах

ISjSN

<C2N~'.

к % - {- ¿К

Теорема II (об устойчивости). Матрица равномерно по N положительно определена и обратима, то есть:

- 2 N

при любом и € R , здесь |м| = У^м,

Замечание. Найденное значение константы в оценке внедиагональных членов является предельным для выполнения свойства положительной определенности, о чем свидетельствует построенный в работе контрпример.

Из теорем / и П стандартным путем следует сходимость приближенных решений crN к точному <т (скорость сходимости первого порядка):

lim max <7,-cr(rA = 0.

Isjsrf 1 1 '

Теорема III. В любой области, не содержащей окрестности контура L, приближенное решение (pN и его градиент Vq>N сходятся при N <ю, соответственно, к точному решению

IV<pN (ij- Vp(i)| + \<pN 9{х)\ < C3N~', Сходимость <pN к (р также имеет место и в точках контура L

Четвертая глава посвящена численному решению обратных и вариационных задач аэродинамического расчета. В § 4.1 рассмотрены задачи нахождения оптимальной деформации срединной поверхности тонкого крыла с острыми кромками, обеспечивающей минимизацию индуктивно-волнового сопротивления крыла при сверхзвуковых скоростях на основе рассматриваемого панельного метода. Это позволяет исследовать крылья практически произвольной формы в плане, не обязательно лежащие в одной плоскости, имеющие угол поперечного V.

Коэффициенты индуктивно-волнового сопротивления Сг , подъемной

силы Су и продольного момента т2 имеют следующее представление-

k=lj=t k- lj = I

где аЦщ - местный угол атаки в центре панели, у^ - интенсивность вихревого слоя в центре панели, связанная с интенсивностями на передней и задней кромках панелей соотношением: учк} = + ук+/] )/2, - площадь панели,

отнесенная к характерной площади. В наиболее типичном случае сверхзвуковой задней кромки (рис. 15) интенсивность вихревого слоя у связана с местными углами атаки в контрольных точках ар]Ц через матрицу коэффициентов

аэродинамического влияния (нормальных компонент скоростей) А :

п+1 т __

Е ЪА™Гк,, = <Хр,я , р,=1,п + 1,

п

\

Я - .

Поэтому, обращая матрицу А, получим: п+1 т / ^

Р!~1Я~1

Р1Ч

к. = 1,п + 1, / = 1,т. Рис. 15

Пусть нагрузка, распределенная по поверхности крыла, является комбинацией некоторого конечного набора базисных функций. Будем строить приближенное решение в виде полинома от двух переменных:

у = о, + а 2 х + а3г + а4х2 + а5 хг + а6г2 +

8

+ а7х2г+анхг2 = ]Га,/;(х,2).

1 =/

Тогда Гк,; к, = 1,п + 1, ) = Т,т, па=8.

1=1

т.

Благодаря записанным соотношениям функционалы Сх , Су , гут быть выражены через д^ . В результате приходим к оптимизационной задаче на па - мерном пространстве наборов коэффициентов а = (дг,,...,^ ):

СХа (¿)-> тт , СУа (а)= С°уа, т?а (а) = ,

которая представляет собой задачу квадратичного программирования с линейными ограничениями в виде равенств. Применяя для отыскания экстремума метод множителей Лагранжа, приравняем нулю частные производные

22

функционала ь(а,м,,М2) = с\„ («)+ М/{<~'Уа (а) -С°Уа )+р2[т,а (а) -т"а ) по переменным Это приводит к системе линейных алгебраических

уравнений порядка па+2. После решения полученной системы деформационные функции (эпюры) сечений находятся по следующим формулам:

= ' kl=hn, j = 1,т ,

i=i

углы крутки сечений: tg<Pj - ^ (- Л ), максимальные прогибы сечений: f.=sign- max | у Лхк )|.

1<к,йи J '

В результате вычислительных экспериментов найдены оптимальные деформации крыльев прямоугольной, треугольной и сложной формы в плане. Оптимизация крыла сложной формы в плане (рис. 16) показала, что наиболее сильно деформируется центральная часть крыла, в отличие от консольной части, при этом уменьшение сопротивления может достигать 8Х « 15%. Получено качественное согласование с результатами Прохорова Е.М. (кружки на рис. 16), полученными прямой минимизацией функционала индуктивно-волнового сопротивления с ограничениями на масштабы деформаций. Проведен расчет оптимальной деформации крыла, имеющего угол поперечного V.

0.9 /

Рис. 16

В § 4.2 предложен метод определения оптимальной крутки крыла в дозвуковом диапазоне скоростей Неоднозначность решения в этом случае, в классе произвольных деформаций, связана с тем, что необходимое условие

оптимальности, не накладывая ограничений на параметры вдоль хорды крыла, содержит лишь ограничение на закон циркуляции вихревого слоя вдоль размаха (для крыла с плоской базовой поверхностью это эллиптический закон). В рамках рассматриваемого панельного метода коэффициенты индуктивного сопротивления СХ1 и подъемной силы Су имеют следующие представление:

п т т л ™ _

щ - местный угол атаки панели (при отсутствии исходной деформации он

обусловлен только круткой колонок, на которые разбивается крыло (рк] = ф" , (см. рис. 17).

Однократная сумма в выражении для См представляет собой подсасывающую силу, найденную по интенсивностям вихревого слоя в малой окрестности передней кромки крыла.

С целью получения решения конструктивно простого при практической реализации и, в то же время, удовлетворяющего физическим предпосылкам линейной теории, введем в рассмотрение более р | ^ узкий класс вариаций. Пусть план крыла

разбит на т0 отсеков (например, в точках излома его кромок, см. рис. 17, где т0 = 3). Независимо варьируемыми считаются т/ — т0 +1 круток <1х>„...,(р границ отсеков Л,В,, А}В2, А3В},...,Ат1Вт1 , крутки же колонок

панелей ср" внутри отсеков являются линейными функциями этих параметров С помощью матрицы связи Р можно записать:

5 = 1

Подстановка этих соотношений приводит к окончательной формулировке вариационной задачи:

Эта задача состоит в минимизации квадратичного функционала при линейном ограничении в виде равенства. Таким образом, используя метод множителей Лагранжа, для определения оптимальной крутки границ отсеков крыла получаем систему из т, + 1 линейных алгебраических уравнений.

При минимизации индуктивного сопротивления крыла в присутствии

фюзеляжа во втором из соотношений (15) возникает нелинейность. Выход состоит в построении итерационного процесса, при котором на каждом шаге

решается задача с условием: С*?\Ф,,...,Фт )=С" -Сгде С?"" бе-

Уа I ''и /(Г

рется с предыдущего шага.

Предложенный метод тестировался на крыльях с различным удлинением и стреловидностью. Минимизация Сх, при заданном продольном моменте т2 проведена для системы крыло - оперение (рис. 18). Найденная оптимальная крутка (по отношению к углу установки а"" = 1.5позволяет на 4% уменьшить индуктивное сопротивление системы при сохранении параметров С„ =0.1, т, =0. Применение изложенного подхода позволяет получить

Уа а

уменьшение потерь на балансировку с помощью горизонтального оперения, хотя само крыло близко к оптимальному.

._, - --- '— "

0 0 5

- крыло * г о __изояир кръыо

О 0.5 ?

Рис.18

Минимизация индуктивного сопротивления крыла в присутствии фюзеляжа проводилось для прямоугольного крыла А = 5 в компоновке с телом вращения по среднепланной схеме (см. рис. 19). Определение оптимальной

Рис. 19

крутки производилось при коэффициенте подъемной силы Су -0.311, который исходная компоновка имеет при угле установки крыла

Для сверхлегкого самолета тандемной схемы А-8 (см. рис. 20) с применением предложенного метода найдена оптимальная крутка несущей системы, позволяющая при расчетах по данной модели на 0.5 повысить аэродинамическое качество компоновки. На рис. 21 приведены поляры и графики зависимости аэродинамического качества К(Су ) с учетом вклада сил трения. Кривые с кружками соответствуют оптимизированным характеристикам.

/

/

0,4

Рис. 20

Рис.21

В § 4.4 с помощью решения обратной задачи панельным методом реализован расчет срединной поверхности адаптивного крыла, обеспечивающей плавное натекание потока на переднюю кромку. Основная система уравнений

п т ___

панельного метода: ^ ^ ^к^Ук] ~ ~а + ^рд » р = 1,п, = 1,т, ДОПОЛНЯ-

^/у^

ется соотношениями У[ -0, } = 1,т . Для обеспечения нулевой нагрузки

на передней кромке вводятся 8Ч, ц — углы отклонения панелей, прилегающих к передней кромке. Проведен анализ постановки условия фиксированного Сг , моделирования плавного отгиба носка, использования «осред-

ненных» условий безударности, наличия исходной деформации крыла. Вычислительные эксперименты, проведенные для различных классов крыльев, показали, что при полной реализации безударности входа в рамках модели потенциального обтекания тонкого крыла происходит существенное снижение сопротивление. При наличии фюзеляжа данная задача решается итерационным способом.

Решение совместной задачи о проектировании аэродинамического профиля с заданными характеристиками электромагнитного рассеяния приведено в § 4.5 Методом граничных элементов решается задача построения контура тонкого аэродинамического профиля, обладающего как свойством безударного (плавного) обтекания носовой части, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния. Эти задачи не могут решаться по отдельности, так как

26

связаны между собой через неизвестную форму поверхности.

Решается уравнение Гельмгольца: + —+ к2и= 0 вне 5,

дх2 ду2

ди п „

с фаничным условием : — = 0 на 5,

дп

д2Ф д2Ф

и уравнение Лапласа -— +-= 0 вне Я,

дх2 ду2

дФ

с фаничным условием непротекания: -—— = - Vтп на 5.

дп

Обратная задача восстановления неизвестного участка поверхности профиля Бу с 5 рассматривается в следующей постановке. Найти набор значений гп 1 = 1,1., параметрически задающих искомый участок поверхности обеспечивающих: а) приближение с достаточной точностью к заданной диафамме рассеяния; б) безударность обтекания профиля набегающим потоком (плавное обтекание носовой части).

Для численного решения электродинамической части задачи используется описанный в парафафе 2.7 метод искусственного «пофужения»:

= лдм) г дл^)ио(18р, МеБи. 2л , дпр

Аэродинамическая задача решается панельным методом Таким образом,

ш

Ранее был построен оператор У, для которого IV = У(И1,г). Нафузка в носке профиля выражается через местные углы атаки, а следовательно, через г : У/ =(?(/-). Обозначая Z= { У,С }, X = { IV, у/ }, можем записать равенство X = . Приходим к нелинейному операторному уравнению

г(г) = о.

Решая это уравнение методом Ньютона, получаем форму носовой части профиля, имеющего на крейсерском режиме плавное обтекание передней кромки и обладающего, кроме того, близкой к заданной диаграммой рассеяния.

Расчеты были проведены для симметричного чечевицеобразного профиля под углом атаки (рис. 22.а). В результате решения обратной задачи был получен искомый контур профиля (рис 22.6). На рис. 23, 24 показаны,

27

соответственно, диаграммы рассеяния для исходного профиля и полученного в результате расчета.

а)

б)

Рис. 22

Рис. 24

Рис. 23

В Приложении сформулированы и приведены доказательства теорем о существовании на некотором промежутке и о единственности решений краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного плоскопараллельного и осесимметричного пограничного слоя с общей матрицей диффузии. В случае осесимметричного обтекания постановка задачи имеет вид:

р(«Л1Г ¡ = 1,т, 80шТ, (т,п)е(0,т,)х(0,со).

р(иит + VII,, )=~рт+ {/Ш„ )п, (риг\ + (руг)п = О,

рс (и ТГ+\'Т„)--

+ ирт + ри„ ,

т и = 0, п - 0: и = у = 0, 5 = 5у(г), г(0) = 0, г'(о)=1, п со: Нш(и,5) = СС/(гХ . Рт = -Р^т =

= 0, / = /,от.

Здесь Г, п - координаты, направленные соответственно вдоль и по нормали к поверхности обтекаемого тела; г{г) - местный радиус тела; и, V, Т, р, р,р,С'г - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости, температура, давление, плотность, вязкость и теплоемкость смеси; - массовая кон-

центрация ;'-й компоненты; с] - теплофизические коэффициенты;

£> = \(1у(х,Б), (с/оу = рс 12а),(1ц = - 1,т,] = 0,т) |

- положительно определенная, не обязательно диагональная или симметричная, матрица диффузии.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые сводятся к следующему.

1. Предложен новый метод численного решения обратных задач определения поверхностных свойств цилиндрических импедансных рассеивателей в различных постановках, включающий переход к линейному ишегрооператор-ному уравнению, допускающему эффективную дискретизацию и регуляризацию.

2. Получены функциональные соотношения подобия математических моделей обратных задач восстановления импеданса при Е- и //-поляризациях. В случае кругового цилиндра найдены явные выражения для собственных значений оператора дискретной задачи и получены условия вырождения матрицы системы.

3. Для задачи восстановления формы импедансной поверхности разработан и математически обоснован метод искусственного «погружения». Новый вид функционала невязки позволяет существенно повысить скорость сходимости численного алгоритма. В предположении гладкости решения доказана сходимость приближенных решений со скоростью выше геометрической профессии.

4. С использованием созданного пакета прикладных программ получено численное решение важных научно-технических задач: синтез импедансного рассеивателя при условии усиления (уменьшения) отражательной способности, распознавание (восстановление) формы системы поверхностей, диа1Н0-стика целостности цилиндрических оболочек.

5. Разработаны методы решения обратных и оптимизационных задач на базе панельного метода расчета трехмерного обтекания сложной аэродинамической компоновки. В сверхзвуковом диапазоне определяется оптимальная деформация тонкого крыла сложной формы в плане с поперечным V. Для компоновок крыло +- фюзеляж и крыло + оперение, при дозвуковых скоростях находится оптимальный закон крутки крыла с толстым профилем. Предложен численный алгоритм реализации концепции адаптивности для тонкого крыла

6. Вычислительные эксперименты, проведенные на основе созданного пакета программ для различных классов крыльев и их комбинаций с оперением и фюзеляжем, а также последующее решение прямых задач показали эффективность предложенных методов оптимизации крыла в рамках модели потенциального обтекания.

7. Предложен способ регуляризации панельного метода, позволяющий перейти к системе уравнений с хорошо обусловленной матрицей и устранить явление неустойчивости счета, которое возникает при исследовании сверхзву-

кового обтекания фюзеляжеобразных тел. В случае сверхзвукового обтекания кругового конуса доказана сходимость панельного метода Установлен первый порядок скорости сходимости.

8. Для задачи двумерного обтекания профиля при ограничении на кривизну контура доказаны теоремы об аппроксимации интегрального оператора, об устойчивости и о сходимости приближенного решения панельного метода к точному. Установлена скорость сходимости. Доказано свойство положительной определенноеги матрицы аэродинамического влияния.

9. Построена математическая модель и предложен численный метод решения совместной задачи электро- аэродинамического расчета. Выполнено численное моделирование синтеза контура аэродинамического профиля, обладающего как свойством плавного обтекания носовой части, так и заданным уровнем электрома! нитного рассеяния.

10. Доказаны теоремы о существовании и единственности решений краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного пограничного слоя с общей матрицей диффузии в случае плоскопараплелыюго и осесиммет-ричного обтекания.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Соппа М.С. О существовании многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы диффузии. - В сб.: Динамика сплошной среды - Новосибирск, 1978.- Вып. 35,- С. 99-121.

2. Соппа M С Краевые задачи для уравнений многокомпонентного noipa-ничною слоя с общей матрицей диффузии. - В сб.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1978.- Вып. 37,- С. 113-123.

3 Соппа М.С О корректности краевой задачи для уравнений осесимметрич-ного многокомпонентною пограничного слоя // Доклады Академии наук, 1981,- Т. 259,-№3,-С. 567-569.

4. Соппа М.С О сходимости двумерного панельного метода. В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1984. - Вып. 65.- С. 123-133.

5 Соппа М.С Расчет параметров сверхзвукового потока около корпусов панельным методом Вудворда. - В сб.: Вопросы аэродинамики и динамики полета летательных аппаратов,- Москва: ЦНТИ "Волна", 1985.- С. 7-10.

6. Соппа M С , Силантьев В.А О повышении устойчивости расчета сверхзвуковою обтекания корпусов панельным методом Вудворда. - В сб : Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск, 1985.- Т. 16.-№4,- С. 121-128.

7 Соппа M С. О сходимости панельного метода в случае сверхзвукового обтекания конуса - В межвуз. сб,: Аэродинамика летательных аппаратов и их систем.- Куйбышев, 1987- С. 35-40.

8 Лнпатникова Т П., Силантьев В.А , Соппа М.С. Об оптимизации несущих систем на дозвуковых скоростях с применением панельного метода Вудворда - Веб Моделирование в механике,-Новосибирск, 1989,-Т. 3 (20).-

№ l.-C. 107-115.

9. Соппа M.C. Численное решение задачи проектирования адаптивного крыла. - В сб. тез. докл. 8-й Международной школы-семинара по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики,- Красноярск, 1992,- С. 29.

10. Соппа М.С., Ершова Е.Е. Численное решение обратной задачи рассеяния на импедансных телах при Е- и Н-поляризации // Автометрия, 1997- № 2.- С. 56-60. (Опубликована за рубежом: Soppa M.S., Ershova Е Е. Numerical Solution of Inverse Scattering Problem on Impedance Bodies for E- and H-polarizations // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing,

1997.- No. 2,- P. 51-55, Allerton Press, Inc.)

11.Соппа M.C. Об устойчивости численного решения обратной задачи рассеяния на импедансном цилиндре // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.- Москва, 1997,-Т. 5,-№ 1.-С. 115-119.

12. Соппа М.С. Численное решение задачи восстановления формы импеданс-ной поверхности. - В сб. трудов Международной НТК «Научные основы высоких технологий».-Новосибирск, 1997.- Часть 2.-С. 90-91

13.Соппа М.С Восстановление формы электромагнитного рассеивателя // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.- Москва, 1997.- Г 5.- № 4.- С 102-105.

14. Соппа М.С. Численное решение задачи восстановления формы импеданс -ной поверхности // Автометрия, 1998,- № 1. - С. 47-49. (Опубликована за рубежом: Soppa M.S. Numerical Solution of the Problem of Reconstructing the Shape of Impedance Surface // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 1998.-No. 1.- P. 43-45, Allerton Press, Inc.)

15.Conna M.C. Совместное решение обратной задачи аэродинамического и электродинамического расчета.- В сб.: Труды НГАСУ- Новосибирск,

1998.-Вып. 1.-С. 116-118.

16. Соппа М.С. Обратная задача восстановления фазы волны, рассеянной на импедансной поверхности // Proceedings of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization Methods and Their Applications".- Irkutsk, 1998 - P. 173-175.

17. Soppa M.S. Reconstruction Problem of Adapted Airfoil with Given Electromagnetic Scattering // International Conference on the Methods of Aerophysi-cal Research: Proceedings, Pt. 2.- Novosibirsk, 1998,- P. 203-205.

18. Soppa M.S. Shape Reconstruction Problem of Impedance Surface for Multifre-quency Radio-Location // Abstracts The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS'99, June 22-25 - Novosibirsk,

1999.- P. 562.

19. Соппа M.C Численное решение задачи восстановления формы для системы импедансных поверхностей // Известия вузов. Радиофизика, 1999- Т 42 - № 5.- С. 452-458. (Опубликована за рубежом: Soppa M.S. Numerical Solution of the Problem of Shape Recovery for a System of Impedance Surfaces // Radiophysics and Quantum Electronics, 1999,- Vol. 42,- No. 5,- P. 401-407, Kluver Academic/ Plenum Publishers.)

20 Соппа М.С. Применение метода граничных элементов в прямых и обратных задачах электро- и аэродинамики. - Препринт № 1-2001 НИИ дискретной математики и информатики, (Международная кафедра ЮНЕСКО НГУ и СО РАН ).- Новосибирск, 2001,- 28 с.

21 Лаврентьев М. М., Жаринов С. Ю., Зеркаль С. М, Соппа М С. Вычислительная диагностика поверхностных характеристик протяженных цилиндрических объектов методами активной локации // Сибирский журнал индустриальной математики, 2002 - Т. V,- № 1(9).- С. 105-113. (Опубликована за рубежом: Lavrentiev М.М., Zgarinov S.J., Zercal S.M. Soppa M.S. Computer Diagnostics of Surface Characteristics of Extended Cylindrical Objects by the Active Location Technique // Journal of Inverse Ill-posed Problems, 2003,-Vol. 11,-No. 6.-P. 1-11, VSP.)

22 Зеркаль C.M., Соппа М.С Локационные задачи теории распространения волн (дифракция и фокусировка).- Монография. / Под ред. акад. М. М. Лаврентьева. - Новосибирск: НГУ, 2003.- 110 с.

23. Соппа М.С. Численное решение обратных задач диагностики целостности металлических конструкций. // Известия вузов. Строительство, 2003.- № 10,- С. 137-140.

24. Соппа М.С Неединственность численного решения обратной задачи рассеяния радиоволн на импедансных цилиндрических телах. - В сб. тез. докл. VIH конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи».- Москва: МГУ, МАКСПресс, 2003.- С. 56.

25. Соппа М.С. Метод граничных элементов в вариационных и обратных задачах аэро- и электродинамики. - Монография. / Под ред. акад. В. Н. Монахова.- Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2004 - 152 с.

26. Соппа М С. Компьютерная система обработки данных в задачах радиолокационного распознавания и диагностики формы импедансной поверхности // Вычислительные технологии (совместный выпуск Вестник КазНУ им. Аль-Фараби), 2004,- Т. 9 - Часть IV,- С. 53-58.

27. Соппа М С. Использование соотношений двойственности для Е- и Н-поляризаций в обратных задачах рассеяния на импедансных поверхностях // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004,- Т. VII.- № 2 (18).- С. 111-116.

28. Соппа М.С. Задача о проектировании аэродинамического профиля с заданными характеристиками электромагнитного рассеяния // Доклады Академии наук, 2005.-Т. 401,- №3,- С. 345 - 348. (Опубликована за рубежом' Soppa М S. Problem of Designing an Aerodynamic Profile with Assigned Characteristics of Electromagnetic Scattering // Doklady Physics, 2005 -Vol. 50.-No. 3.- P. 161-164. )

29. Соппа M С. Восстановление формы импедансного рассеивателя в случае E-поляризованной электромагнитной волны // Сибирский журнал индустриальной математики, 2005.- Т VIII.- №2,- С. 152-158.

Ответственный за выпуск М.С. Соппа

Подписано в печать 14.06.2005.

Формат 60x84 1/16 д.л. Бумага типографская. Ризография. Объём 2 п.л. Тираж 120 экз. Заказ № í¥S

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) 630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ

»14536

РНБ Русский фонд

20ЩИ: 8183

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Теоретические основы метода граничных элементов в прямых и обратных задачах дифракции на импедансных цилиндрических телах.

§1.1. Постановка прямой задачи рассеяния электромагнитных волн импедансной поверхностью.

1.1.1. Дифракция Е-поляризованной волны.

1.1.2. Дифракция Н-поляризованной волны.

1.1.3. Вывод импедансных граничных условий

1.1.4. Модифицированное граничное условие.

§ 1.2. Переход к интегральным уравнениям.

§ 1.3. Постановка обратных задач рассеяния электромагнитных волн при фиксированной геометрии поверхности.

• 1.3.1. Задача определения поверхностного импеданса.

Е-поляризация.

1.3.2. Случай Н-поляризации

1.3.3. Восстановление поверхностного импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала

1.3.4. Задача определения импеданса при измерении характеристик в ближнем поле.

1.3.5. Восстановление импеданса на системе ф цилиндрических тел

§ 1.4. Постановка обратных задач восстановления формы ф импедансного рассеивателя.

1.4.1. Локация Е-поляризованной волной.

1.4.2. Случай Н-поляризации.

1.4.3. Смешанная обратная задача дифракции электромагнитных волн

1.4.4. Обратная задача моностатической локации

1.4.5. Другие постановки обратных задач дифракции электромагнитных волн. Теоремы корректности [54]

§ 1.5. Выводы.

Глава 2. Численное решение обратных задач дифракции методом граничных элементов.

Ф §2.1. Решение прямой задачи дифракции на импедансных поверхностях.

2.1.1. Расчет рассеяния Е- и Н-поляризованных волн на цилиндрической поверхности.

§ 2.2. Метод граничных элементов в задачах синтеза и диагностики поверхностного импеданса. Н-поляризация.

2.2.1. Результаты вычислительного эксперимента.

§ 2.3. Случай Е-поляризации в задачах синтеза и диагностики поверхностного импеданса.

§ 2.4. Вырождение матрицы при численном решении обратной задачи рассеяния на круговом цилиндре.

§ 2.5. Функциональные соотношения подобия в обратных задачах рассеяния при Е- и ^-поляризации.

2.5.1. Результаты вычислительного эксперимента.

§ 2.6. Численный метод восстановления поверхностного импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала.

2.6.1. Нарушение единственности в обратных задачах синтеза поверхностного импеданса.

§ 2.7. Обратная задача восстановления формы импедансного рассеивателя.

2.7.1. Метод искусственного «погружения» в задачах

9 восстановления формы

2.7.2. Оценка скорости сходимости метода «погружения». ф 2.7.3. Проблема выбора начального приближения.

2.7.4. Учет исходного распределения поверхностного импеданса.

2.7.5. Восстановление формы в случае Е-поляризации.

§ 2.8. Результаты расчетов методом «погружения» в обратных задачах с неизвестной геометрией

2.8.1. Результаты расчетов при Н-поляризации.

2.8.2. Использование данных измерений в ближнем поле.

§ 2.9. Обратные задачи диагностики целостности цилиндрических оболочек.

§2.10. Выводы.

Глава 3. Метод граничных элементов (панельный метод) в аэродинамических расчетах.

§ 3.1. Общие положения и теоретические основы панельного метода

3.1.1. Реализация панельного метода в случае задачи о сверхзвуковом обтекании фюзеляжеобразного тела.

§ 3.2. Устойчивость численного алгоритма в случае сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразного тела.

3.2.1. Анализ неустойчивости счета.

3.2.2. Обусловленность матрицы аэродинамического влияния

3.2.3. Алгоритм регуляризации.

3.2.4. Результаты расчетов.

§ 3.3. Сходимость панельного метода в случае сверхзвукового обтекания конуса.

§ 3.4. Сходимость двумерного панельного метода при малых скоростях обтекания.

3.4.1. Вспомогательные свойства задачи.

3.4.2. Аппроксимация интегрального оператора.

3.4.3. Устойчивость.

3.4.4. Сходимость.

§ 3.5. Выводы.

Глава 4. Численное решение обратных и вариационных задач аэродинамического расчета.

§ 4.1. Оптимизация формы срединной поверхности крыла при сверхзвуковых скоростях.

4.1.1. Решение вариационной задачи.

4.1.2. Результаты вычислительного эксперимента.

§ 4.2. Определение оптимальной крутки крыла в дозвуковом диапазоне скоростей.

4.2.1. Вспомогательная вариационная задача.

4.2.2. Вариационная задача в классе кусочно-линейных круток.

4.2.3. Метод решения оптимальной задачи.

4.2.4. Оптимизация крыла в присутствии фюзеляжа.

4.2.5. Оптимизация различных классов крыльев.

4.2.6. Вариационная задача при заданном mza.

4.2.7. Оптимизация на основе решения обратной задачи.

4.2.8. Результаты вычислительных экспериментов

§ 4.3. Оптимизация крутки крыла сверхлегкого самолета тандемной схемы.

4.3.1. Учет влияния вязкости.

4.3.2. Вычисление поляры самолета.

4.3.3. Результаты расчетов.

§ 4.4. Задача об адаптивном крыле.

4.4.1. Адаптивное крыло в компоновке с фюзеляжем.

4.4.2. Практическая реализация вычислительного процесса.

4.4.3. Результаты расчетов.

§ 4.5. Совместное решение задачи о проектировании аэродинамического профиля с заданными характеристиками электромагнитного рассеяния

4.5.1. Метод совместного решения задачи.

4.5.2. Результаты вычислительного эксперимента.

§ 4.6. Выводы.

Важной и активно развивающейся областью современной математики и механики является математическое моделирование физических процессов электро- и аэродинамики. В последнее время достигнут значительный прогресс в разработке расчетно-теоретических методов, основанных на переходе от исходных краевых задач к интегральным уравнениям, см., например, работы Васильева Е.Н. [24], Дмитриева В.И., Захарова Е.В., Пименова Ю.В. [46-48, 75 ], Колтона Д., Кресса Р. [91, 214], Миттры Р. [119], и др. - в электродинамике и Белоцерковского С.М., Ништа М.И. [9], Маслова JI.A. [117], Павловца Г.А. [28], Вудворда Ф.А. [233, 234], Морино Л. [223], Маскью В. [221, 222] и др. - в аэродинамике.

При решении полученных интегральных уравнений успешно применяется метод граничных элементов, развитый в работах Бреббии К., Уокера С. [16, 17, 217], Громадки II Т., Лея Ч. [42, 219], Бенерджи П., Баттерфилда Р. [И]. Метод граничных элементов имеет ряд важных преимуществ. Он, в принципе, пригоден для тел произвольной формы и позволяет сводить задачу в бесконечной области к постановке на ограниченном многообразии, притом на единицу меньшей размерности. Интегральное представление решения позволяет автоматически удовлетворить условиям на бесконечности. Существенным является и то, что после решения интегрального уравнения значения переменных, описывающие решение, могут быть вычислены в любой точке области, а решение полностью непрерывно всюду в области. Эти особенности присущи только методу граничных элементов и выделяют его среди возможных альтернатив.

Расчетные методы позволяют в рамках своей применимости получать качественные и количественные оценки важнейших параметров исследуемых явлений, что является неотъемлемой частью подавляющего большинства систем автоматизированного проектирования новейших образцов современной техники. Поэтому несомненной является актуальность проводимых исследований.

Обратным задачам теории рассеяния электромагнитных волн посвящены работы Маркова Г.Т., Чаплина А.Ф., Терешина О.Н., Кондратьева А.С.

115, 192, 205], Ерохина ГЛ., Кочержевского В.Г. [58-60], Чечкина А.В. [206], Юханова Ю.В., Петрова Б.М., Климова А.В. [133-135,210,211], Си-вова А.Н., Чуприна А.Д., Шатрова А.Д. [150]. Применяемые в этих работах подходы и методы основывались, как правило, либо на использовании точных и асимптотических решений, либо включали прямые методы минимизации невязки типа градиентного или покоординатного спуска, что в условиях высокой овражности целевой функции приводит к неустойчивости решения и весьма громоздким вычислительным процедурам. Кроме того, возникает непростая проблема подбора начального приближения. В диссертации благодаря применению модифицированного граничного условия, имеющего тот же порядок асимптотической точности, что и обычно используемое условие Леонтовича, впервые в задаче восстановления импеданса получено линейное интегрооператорное уравнение, которое решается методом граничных элементов, включающим в себя дискретизацию, регуляризацию и переход к СЛАУ. К преимуществам подхода относятся: линейность уравнения, отсутствие проблемы выбора начального приближения, получение решения за конечное число шагов и возможность построения решения в классах активных, реактивных и произвольных комплекснозначных распределений импеданса, а также наличие функциональных соотношений подобия между решениями обратных задач при Е- и Н - поляризациях. Полученное линейное интегрооператорное уравнение является важным вспомогательным этапом в решении нелинейных задач с неизвестной фазовой функцией и задач восстановления формы импедансного рассеивателя предложенным автором методом искусственного «погружения».

Вопросы обоснования постановок обратных задач дифракции электромагнитных волн и их численного решения методом граничных интегральных уравнений рассматривались в работах Еремина Ю.А., Свешникова А.Г. [5257], Колтона Д., Кресса Р. [91, 214], Рамма А.Г. [144, 145, 224], где использовался аппарат теории аналитических функций и предполагалось, что диаграмма рассеяния является аналитической функцией быстрого роста. В случае, когда диаграмма рассеяния задана в конечном наборе точек, такие результаты отсутствуют. В работах автора получено доказательство сходимости приближенных решений для дискретных аналогов соответствующих нелинейных операторных уравнений.

В качестве базового для аэродинамических расчетов в диссертации используется одна из разновидностей метода граничных элементов - панельный метод. Он развивался в работах Хесса Д.Л., Смита А.М.О. [218], Вудворда Ф.А. [233, 234], Морино Л. [223], Маскью В. [221, 222], Жилина ЮЛ., Захарова А.Г., Назарова Б.В. [73, 74], Скоморохова С.И., Теперина Л.Л. [151152], Любимова А.Н., Сорокина Ю.С. [112] и др. Сравнительная простота программирования, полный учет формы современных летательных аппаратов и возможность создания единых программ для расчета обтекания как при сверхзвуковых, так и при дозвуковых скоростях обусловили его эффективное применение на этапе предварительного проектирования аэродинамических компоновок. Программа панельного метода имеется в каждом авиационном КБ. Естественно, что существуют программы для моделирования гораздо более сложных явлений: отрывы на больших углах атаки, местные трансзвуковые зоны, вязкое обтекание и т. д. Однако, эти программы сложно применять для серийных параметрических расчетов на предварительном этапе, когда из нескольких разнородных и достаточно сложных компоновок конструктор должен выбрать одну. Поэтому программы типа метода дискретных вихрей и панельные методы по-прежнему являются признанным эффективным инструментом для оценки влияния тех или иных элементов компоновки, приращений параметров и производных основных аэродинамических характеристик на линейном этапе их протекания.

Оптимизацией формы срединной поверхности крыла в сверхзвуковом диапазоне скоростей занимались Булыгина Е.В. [18], Глушков Н.Н., Тимо-нин А.С. [40], Бондаренко А.Б. [14], Коробейников Н.П. [94], Прохоров Е.М. [138-140], Прошина Т.Д. [141], Бос Г.Д. [216] и др. В основном, эти работы основывались на представлении потенциала по Красилыциковой Е.А., рамки применимости которого ограничены крыльями с плоской базовой поверхностью. В ряде работ задача минимизации индуктивно- волнового сопротивления с ограничениями на масштабы деформаций сводилась к задаче нелинейного программирования, решаемой громоздкими вычислительными методами. В диссертации предложен метод решения применимый для крыльев с поперечным V, при этом задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений.

При дозвуковых скоростях в работах Белоцерковского С.М., Скрипача Б.К. [10], Глушкова Н.Н., Теперина ЛЛ. [39], Жигулева В.Н., Кроткова Д.П.,

Шкадова JI.M. [72], Панченкова А.Н. [130-131], Прысева Б.Ф. [142] при построении оптимальной деформации тонкого крыла использовались подходы, связанные с обеспечением эллиптического распределения циркуляции по размаху и плавного, безотрывного обтекания передней кромки крыла. Однако данный подход неприменим, если базовая поверхность крыла неплоская, для компоновки с фюзеляжем или в случае наличия у крыла заранее заданной профилировки. Автором разработан метод определения оптимальной крутки толстого крыла, применимый в рассмотренных ситуациях, а также метод реализации концепции адаптивного тонкого крыла.

Численные методы нередко эксплуатируются на пределе их возможностей. Неизбежно возникают случаи проявления нерегулярности результатов вычислений. В этой ситуации очень важным становится выявление сферы применимости метода, установление строгих ограничений на параметры расчетных схем, оценка скорости сходимости приближенных решений. Достаточно обоснованными в этом отношении являются метод дискретных вихрей,- исследования Лифанова И.К. [109, 110], Тимофеева И.Я. [193], Сарена В.Э. [148], Поляхова Н.Н., Шестерниной З.Н. [137] и комплексный метод граничных элементов (Громадка II Т., Лей Ч. [42]). В диссертационной работе для конкретных классов задач, решаемых панельным методом, предлагаются результаты в виде теорем об аппроксимации интегрального оператора, об ограниченности норм обратного дискретного оператора и о сходимости приближенных решений к точному. Доказано свойство положительной определенности матрицы аэродинамического влияния.

Новой является постановка и метод решения совместных задач электро- аэродинамического расчета. В доступной автору литературе аналогичные результаты отсутствуют.

Вопросы однозначной разрешимости краевых задач для системы уравнений плоского и осесимметричного пограничного слоя рассматривались Олейник О.А. [126, 127], Введенской Н.Д. [26], Хуснутдиновой Н.В. [201204]. В работах автора диссертации эти результаты обобщены на многокомпонентный пограничный слой с общей матрицей диффузии.

Цели и задачи исследования

Разработка на единой основе методов и алгоритмов решения прямых, обратных и вариационных задач электро- и аэродинамики. Математическое обоснование вычислительных алгоритмов для конкретных классов задач. Проведение вычислительного эксперимента и математическое моделирование рассматриваемых физических явлений.

Методика исследований

Проведенные исследования опираются на численные методы механики сплошной среды, методы теории аппроксимации интегральных операторов, устойчивости и сходимости приближенных решений, методы функционального анализа и теории регуляризации некорректных задач.

Научная новизна заключается в том, что :

-в постановках обратных задач использовано модифицированное граничное условие, что позволило получить линейное интегрооператорное уравнение в задаче восстановления поверхностного импеданса,

-построены функциональные соотношения подобия в обратных задачах при Е- и //-поляризациях,

-разработан, обоснован и применен метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы тела, основанный на новом виде функционала невязки,

-результатами проведенных вычислительных экспериментов показана эффективность предложенных методов решения задач минимизации сопротивления несущих элементов сложных пространственных конфигураций при до- и сверхзвуковых скоростях полета,

-для конкретных классов обратных и прямых задач электро- и аэродинамики получено математическое обоснование вычислительных алгоритмов метода граничных элементов,

-исследована корректность краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного плоскопараллельного и осесимметричного пограничного слоя с общей матрицей диффузии,

-дана постановка и получено численное решение совместной обратной задачи по определению геометрии аэродинамического контура, обладающего как свойством безударного обтекания, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния.

Достоверность научных положений обоснована:

-применением дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих изучаемые физические явления,

-использованием математического аппарата теории аэродинамического и электродинамического расчета, теории методов вычислений,

-проведением многочисленных вычислительных экспериментов, сопоставлением с данными, полученными другими авторами,

-строгими математическими доказательствами по обоснованию алгоритмов, полученными для конкретных классов задач.

Практическая ценность проведенных исследований.

Разработаны и исследованы методы и алгоритмы решения прикладных задач, возникающих при проектировании объектов, обладающих близкими к заданным аэродинамическими и радиоотражательными характеристиками.

Созданный пакет прикладных программ позволяет определять деформацию и крутку срединной поверхности крыла летательного аппарата из условия минимизации потерь на сопротивление в различных диапазонах скоростей полета.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в научно-исследовательских институтах и конструкторских бюро при проектировании и создании новых образцов авиационной техники, систем электромагнитного зондирования, вычислительной диагностики и неразрушаю-щего контроля. По материалам исследований получен акт о внедрении из СибНИА им. С.А. Чаплыгина. Научные положения и выводы работы используются в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов.

Основные научные положения, защищаемые в работе.

1. Метод численного решения обратных задач восстановления поверхностного импеданса, включающий переход к линейному интегроопера-торному уравнению, допускающему эффективную дискретизацию и регуляризацию.

2. Функциональные соотношения подобия, устанавливающие связь между решениями обратных задач при Е- и //-поляризациях.

3. Метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы импедансного рассеивателя и новый вид функционала невязки.

4. Методы определения оптимальной деформации и крутки несущей поверхности на до- и сверхзвуковых скоростях для сложных аэродинамических компоновок летательных аппаратов.

5. Доказательства аппроксимации, устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов метода граничных элементов для конкретных классов задач аэро- и электродинамического расчета.

6. Доказательство корректности краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного пограничного слоя с общей матрицей диффузии в случае плоскопараллельного и осесимметричного обтекания.

7. Пакет программ, позволяющий проводить математическое моделирование в обратных и вариационных задачах электродинамики и аэродинамики, включая задачи в совместной постановке.

8. Результаты вычислительных экспериментов по численному исследованию обратных и вариационных задач, а также результаты решения важных научно-технических задач.

Апробация результатов исследований.

Основные положения диссертации докладывались на конференциях: V Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Омск, 1983; IV Всесоюзная школа по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 1986; П-я отраслевая научно-техническая конференция по автоматизации проектирования летательных аппаратов, Москва, ЦАГИ, 1987; VII Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул, 1989; VIII Международная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Красноярск, 1992; Всероссийская научная конференция «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач», Екатеринбург, 1995, 1998; V Международная НТК «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ», Москва, Сергиев Посад, 1995; X и XI Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 1995, 1998 ; II, III и IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1996, 1998, 2000; Международная НТК "Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1997; Международная НТК «Научные основы высоких технологий», Новосибирск, 1997; Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 1997; International Conference on Methods of Aerophysics Research , Novosibirsk, 1998; The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS' 99, Novosibirsk, 1999; VIII НТК «Обратные и некорректно поставленные задачи», Москва, МГУ, 2003; Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (CIT - 2004)», Алма-Ата, 2004, а также на семинарах: Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. академик В.Н. Монахов, чл,-корр. П.И. Плотников), «Математика в приложениях» Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. академик С.К. Годунов), Института вычислительных технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин, профессор В.М. Ковеня), НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Г.А. Тирский) и других организаций.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 49 работ, в их числе - 2 монографии : [78]- «Локационные задачи теории распространения волн (дифракция и фокусировка)» / под ред. акад. М.М. Лаврентьева. - Новосибирск: НГУ, 2003,- 110 с., соавтор Зеркаль С.М., [184]-«Метод граничных элементов в вариационных и обратных задачах аэро- и электродинамики» / под ред. акад. В.Н. Монахова. - Новосибирск, НГАСУ (Сибстрин), 2004,- 152 с.

Доля соавторов в совместных работах одинакова. В монографию [78] результаты диссертанта вошли как независимая часть.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 235 наименований. Общий объем работы 296 стр.

В первой главе даны постановки основных обратных задач дифракции радиоволн, когда данные измерений рассеянного поля известны в конечном наборе точек дальней или ближней зоны. Проведен переход к интегральным уравнениям с использованием модифицированного граничного условия имеющего тот же порядок асимптотической точности, что и обычно используемое условие Леонтовича. Использование модифицированного граничного условия позволило впервые свести исходную обратную задачу к системе линейных интегральных уравнений. Рассмотрены следующие обратные задачи: - восстановление распределения поверхностного импеданса при известной форме поверхности; - нелинейная задача восстановления формы импе-дансного рассеивателя; - смешанные обратные задачи. А также вышеуказанные задачи: - при неизвестной фазе измеренного сигнала; - при моностатической и бистатической локации; - при рассеянии на системе тел, с использованием данных локации в дальней и ближней зоне.

Результаты главы опубликованы в работах [61, 62, 65, 70, 78, 168, 172, 173, 176, 180,228, 230].

Во второй главе система интегральных уравнений задачи восстановления импеданса сведена к линейному интегрооператорному уравнению, которое решается методом граничных элементов, включающим в себя дискретизацию, регуляризацию и переход к СЛАУ. Проведены расчетные сопоставления с другими авторами. При специальных ограничениях на геометрические параметры получены явные выражения для собственных значений оператора дискретной задачи. Найдены условия на расчетную схему при которых возникает вырождение матрицы электродинамического влияния в обратной задаче восстановления импеданса. Построены функциональные соотношения подобия между решениями обратных задач восстановления импеданса при Е - и Н - поляризациях. Это позволяет, решив обратную задачу при одной поляризации, сразу, с помощью функциональных замен получить решение для другой поляризации. Для численного решения задачи восстановления неизвестной формы рассеивателя предложен метод искусственного «погружения», основанный на переходе к более общей ситуации, когда искомым помимо формы поверхности является и ее поверхностный импеданс. Новый вид функционала невязки позволяет существенно повысить скорость сходимости численного алгоритма. Доказана сходимость приближенных решений со скоростью выше геометрической прогрессии. Дан прием построения начального приближения. Указана возможность учета первоначального известного распределения импеданса. Эффективность предложенных методов подтверждена вычислительными экспериментами. Проведено численное моделирование при решении практически важных задач: синтез импедансного рассеивателя при условии усиления (уменьшения) отражательной способности, распознавание (восстановление) формы системы поверхностей, диагностика целостности цилиндрических оболочек. Результаты главы опубликованы в работах [63, 64, 78, 103, 169, 170, 171, 174, 175, 177,179, 182, 183,184,185, 186, 189, 226, 229].

В третьей главе дается постановка задачи обтекания сложной пространственной конфигурации установившимся потенциальным потоком в различных диапазонах скоростей. Призодится алгоритм реализации панельного метода, схема вычисления скоростей и давлений на поверхности тела. Предложен и апробирован в численном эксперименте метод регуляризации, позволяющий перейти к системе уравнений с хорошо обусловленной матрицей и устранить явление неустойчивости счета, которое возникает при исследовании сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразных тел. В случае сверхзвукового обтекания кругового конуса доказана сходимость приближенного решения панельного метода к точному. При этом имеет место сходимость как вблизи обтекаемой поверхности, так и в поле вне конуса. Для задачи двумерного обтекания профиля несжимаемой жидкостью при ограничении на кривизну контура доказаны теоремы об аппроксимации интегрального оператора, об ограниченности норм обратного дискретного оператора и о сходимости приближенных решений к точному. Установлена скорость сходимости. Доказано свойство положительной определенности матрицы аэродинамического влияния. Результаты главы опубликованы в работах [84, 160, 161, 162, 163, 164,165,181, 184].

В четвертой главе для сверхзвукового обтекания предложен метод оптимизации срединной поверхности крыла, обеспечивающий минимальное

Сх при фиксированных Cv и т7 . В результате вычислительных экса У а а периментов найдены оптимальные деформации крыльев с дозвуковыми и сверхзвуковыми кромками, а также сложной формы в плане и крыла с поперечным V. Последующим решением прямых задач подтверждены значения возможных в рамках данной модели расчетных выигрышей в снижении сопротивления. Предложен и апробирован метод нахождения оптимального закона крутки крыла при малых дозвуковых скоростях полета, который может применяться для крыльев с поперечным V, имеющих некоторую исходную профилировку, для систем крыльев и комбинации крыло + фюзеляж. Проведено расчетное определение оптимальной крутки для различных несущих конфигураций. Для сверхлегкого самолета тандемной схемы А-8 найдена оптимальная крутка несущей системы, позволяющая повысить аэродинамическое качество компоновки. Построены поляры с учетом вклада сил трения. На основе решения обратной задачи панельным методом реализован расчет срединной поверхности адаптивного крыла, обеспечивающей плавное нате-кание потока на переднюю кромку. Вычислительные эксперименты, проведенные для различных классов крыльев, показали, что при полной реализации безударности входа в рамках модели потенциального обтекания тонкого крыла имеет место существенное снижение сопротивление. Дана постановка и приведен алгоритм численного решения совместной задачи синтеза контура аэродинамического профиля, обладающего как свойством безударного обтекания носовой части, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния. Проведен вычислительный эксперимент по определению искомой деформации носка симметричного профиля. Результаты главы опубликованы в работах [108, 146, 163, 166, 167, 178, 181, 184, 187, 188, 227, 231].

В Приложении дается постановка краевых задач теории теплового многокомпонентного пограничного слоя с полной матрицей диффузии для плоскопараллельных и осесимметричных течений. Получены гельдеровские и интегральные оценки решений и доказаны теоремы об обднозначной разрешимости рассматриваемых задач. Результаты опубликованы в работах [156, 157, 158, 159].

§ 4.6. Выводы

1. В сверхзвуковом диапазоне скоростей предложен метод оптимизации срединной поверхности крыла, обеспечивающий минимальное при фиксированных и т2 . Благодаря наличию матричной связи между нагрузками и местными углами атаки экстремальная задача сводится к СЛАУ. Был отвергнут подход, основанный на независимом варьировании углов наклонов каждой панели, так как он может давать нерегулярные решения. К практической реализации принят подход, связанный с построением решения по заданной в полиномиальном классе распределенной нагрузке.

2. В результате вычислительных экспериментов найдены оптимальные деформации крыльев с дозвуковыми и сверхзвуковыми кромками. Последующим решением прямых задач подтверждено, что в рамках данной модели возможно снижение сопротивления дх до 30 % . Оптимизация крыла сложной формы в плане показала, что наиболее сильно деформируется центральная часть крыла, в отличие от консольной части, при этом 8Х «15%.

Получено качественное согласование с результатами [140]. Проведен расчет оптимальной деформации крыла с поперечным V.

3. Предложен и апробирован метод нахождения оптимального закона крутки по размаху крыла при малых дозвуковых скоростях полета. Экстремальная задача сведена к СЛАУ. Крутка находится в физически оправданном классе кусочно - линейных функций. Метод может применяться для крыльев с поперечным V, имеющих некоторую исходную профилировку, для систем крыльев и комбинации крыло + фюзеляж.

4. Проведено расчетное определение оптимальной крутки для различных классов крыльев. В случае крыла Я = 10 снижение сопротивления составило Sxi « 13%, что лишь на 2% меньше теоретически возможного. Оптимальная крутка крыла на большей части размаха имеет другой знак по сравнению с круткой обычного крыла. Проведена оптимизация крыла обратной стреловидности и с поперечным V. Оптимальная крутка составного крыла позволяет устранить излом графика r{z) в месте разрыва кромки и получить заметное снижение Sxi ~11% . Для системы крыло + оперение оптимизация при фиксированных Су и , приводит к снижению потерь на балансировку: Sxi ~ 4% .

5. Проведена минимизация Cxi крыла в присутствии фюзеляжа. Установлено, что в связи с понижением скосов на крыле вблизи фюзеляжа, возрастают приращения углов круток бортовых сечений. Построен быстро сходящийся итерационный процесс, в котором вклад фюзеляжа в подъемную силу берется с предыдущего шага.

6. Для сверхлегкого самолета тандемной схемы А-8 найдена оптимальная крутка несущей системы, позволяющая при расчетах по данной модели на 0.5 повысить аэродинамическое качество компоновки. Построены поляры с учетом вклада сил трения, проведено сопоставление данных прямого расчета исходной компоновки с экспериментом.

7. На основе решения обратной задачи панельным методом реализован расчет срединной поверхности адаптивного крыла, обеспечивающей плавное натекание потока на переднюю кромку. При наличии фюзеляжа данная задача решается итерационным способом. Проведен анализ постановки условия фиксированного Су , моделирования плавного отгиба носка, использования осредненных» условий безударности, наличия исходной деформации крыла. Вычислительные эксперименты, проведенные для различных классов крыльев, показали, что при реализации безударности входа в рамках модели потенциального обтекания тонкого крыла сопротивление существенно снижается.

8. Дана постановка и приведен алгоритм численного решения совместной задачи синтеза контура аэродинамического профиля, обладающего как свойством безударного обтекания носовой части, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния. Получены оценки скорости сходимости итерационного метода решения. Проведен вычислительный эксперимент по определению деформации носка симметричного профиля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены и обоснованы методы численного решения прямых, обратных и вариационных задач электро- и аэродинамики. Объединяющей идеей работы стал метод граничных элементов. Остановимся кратко на основных результатах, полученных в работе.

1. Рассмотрены постановки основных обратных задач дифракции электромагнитных волн на замкнутых импедансных цилиндрических поверхностях: - восстановление распределения поверхностного импеданса при известной форме поверхности; - восстановление формы импедансного рассеивателя; - смешанные обратные задачи. Рассмотрены случаи моностатической и бистатической локации, рассеяния на системе тел, при неизвестной фазе измеренного сигнала.

2. Задача восстановления импеданса с помощью использования модифицированного граничного условия сведена к линейному интегрооператор-ному уравнению, которое решается методом граничных элементов, включающим в себя дискретизацию, регуляризацию и переход к СЛАУ. При специальных ограничениях на геометрические параметры получены условия вырождения матрицы системы при численном решении обратной задачи восстановления импеданса. Найдены явные выражения для собственных значений оператора дискретной задачи.

3. Получены функциональные соотношения подобия между решениями обратных задач восстановления импеданса при Е- и Н - поляризациях, которые дополняют интегрооператорные уравнения и позволяют, решив обратную задачу при одной поляризации, с помощью функциональных замен получить решение для другой поляризации. Кроме того, возникает возможность дополнительного анализа, тестирования и проверки полученных решений, пользуясь алгоритмом двойственной задачи.

4. Для численного решения задачи восстановления неизвестной формы рассеивателя предложен метод искусственного «погружения», основанный на переходе к более общей ситуации, когда искомым помимо формы поверхности является и ее поверхностный импеданс. Новый вид функционала невязки позволяет существенно повысить скорость сходимости численного алгоритма. В предположении гладкости решения доказана сходимость приближенных решений со скоростью выше геометрической прогрессии. Дан прием построения начального приближения. Указана возможность учета первоначального известного распределения импеданса.

5. Эффективность предложенных методов решения обратных задач электромагнитного рассеяния подтверждена вычислительными экспериментами. С использованием созданного пакета прикладных программ проведено численное моделирование при решении практически важных задач: синтез импедансного рассеивателя при условии усиления (уменьшения) отражательной способности, распознавание (восстановление) формы импедансной поверхности и систем поверхностей, диагностика целостности цилиндрических оболочек.

6. Для панельного метода решения задачи обтекания сложной пространственной конфигурации предложен метод регуляризации, приводящий к системе уравнений с хорошо обусловленной матрицей и устраняющий неустойчивость счета, возникающую при исследовании сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразных тел. В случае сверхзвукового обтекания кругового конуса доказана сходимость приближенного решения панельного метода к точному в поле течения и на поверхности. Установлен первый порядок скорости сходимости.

7. Для задачи дозвукового двумерного обтекания профиля при ограничении на кривизну контура доказаны теоремы об аппроксимации интегрального оператора, об устойчивости (равномерной ограниченности норм обратного дискретного оператора) и о сходимости приближенных решений к точному. Установлена скорость сходимости. Доказано свойство положительной определенности матрицы аэродинамического влияния.

8. В сверхзвуковом диапазоне скоростей предложен метод оптимизации срединной поверхности крыла, обеспечивающий минимальное Сх при фиксированных Су и . В результате вычислительных экспериментов найдены оптимальные деформации крыльев с дозвуковыми и сверхзвуковыми кромками, а также сложной формы в плане и крыла с поперечным V.

9. Предложен и апробирован метод нахождения оптимального закона крутки крыла при малых дозвуковых скоростях полета. Экстремальная задача сведена к СЛАУ. Крутка находится в физически оправданном классе кусочно - линейных функций. Расчеты показали, что метод может применяться для крыльев с поперечным V, имеющих некоторую исходную профилировку, для систем крыльев и комбинации крыло + фюзеляж. Для системы крыло + горизонтальное оперение найдена оптимальная крутка при фиксированных Су и т, в результате применения которой снизились потери на балансировку. Для сверхлегкого самолета тандемной схемы А-8 найдена оптимальная крутка несущей системы, позволяющая повысить аэродинамическое качество компоновки. Построены поляры с учетом вклада сил трения.

10. На основе решения обратной задачи панельным методом реализован расчет срединной поверхности адаптивного крыла, обеспечивающей плавное натекание потока на переднюю кромку. При наличии фюзеляжа данная задача решается итерационным способом. Вычислительные эксперименты, проведенные для различных классов крыльев, подтвердили, что реализация безударности входа в рамках модели потенциального обтекания тонкого крыла приводит к существенному снижению сопротивления.

11. Дана постановка и разработан алгоритм численного решения совместной задачи синтеза контура аэродинамического профиля, обладающего как свойством безударного обтекания носовой части, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния. Получены оценки скорости сходимости итерационного метода решения. На основе созданного пакета программ проведен вычислительный эксперимент по определению искомой деформации носка симметричного профиля.

12. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного пограничного слоя с общей матрицей диффузии в случае плоскопараллельного и осесимметрич-ного обтекания.

1. Андреасен М.Д. Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным импедансом // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике, 1965.- № 8.- Т. 53,- С. 938-944.

2. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Применение метода граничных элементов и параметрических полиномов в задачах оптимизации крыловых профилей // ПМТФ, 1997,- Т. 38,- № 2,- С. 73-79.

3. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Методы проектирования и оптимизации крыловых профилей в дозвуковом потоке // Теплофизика и аэромеханика, 1999.- Т. 6,- № 4,- С. 429-444.

4. Афанасьев К.Е., Самойлова Т.П. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами // Вычислительные технологии, 1995,- Вып. 7,- № 11,- С. 19-37.

5. Афанасьев К.Е., Коротков Г.Г., Долаев P.P. Разработка пакета прикладных программ «AKORD» для решения задач со свободными границами //Вычислительные технологии, 2000,- Вып. 5,- № 1,- С. 19-37.

6. Батраков Д.О., Звягинцев А.А. Интегральные характеристики полей, рассеянных импедансными объектами // Вестник Харьковского университета, 1988. -№ 318,- С. 34-37.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975,- 632 с.

8. Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д., Троицкий В.И. Метод последовательных приближений в некорректно поставленных задачах теории синтеза антенн// Доклады АН СССР, 1969,- Т. 187,-№.5.

9. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев несжимаемой жидкостью. М.: Наука, 1978,- 351 с.

10. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях,- М.: Наука, 1975. 424 с.11 .Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984,- 494 с.

11. Болсуновский А.Л., Глушков Н.Н., Щенникова О.Л. Приближенный метод расчета максимальной подъемной силы крыловых профилей при малых скоростях // Труды ЦАГИ, 1986,- Вып. 2313,- С. 3-14.

12. Бондаренко А.Б. Оптимальная форма срединной поверхности крыла со сверхзвуковой передней кромкой, обеспечивающая минимум сопротивления при заданных подъемной силе и продольном моменте // Ученые записки ЦАГИ, 1982,- Т. 13,- № 3,- С. 118-124.

13. Бочкарев A.M., Долгов М.Н. Радиолокация малозаметных летательных аппаратов // Зарубежная радиоэлектроника, 1989,-№2,- С. 3-17.

14. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987,- 524 с.

15. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике,- М.: Мир, 1982,- 248 с.

16. Булыгина Е.В. К задаче нахождения поверхности сверхзвукового крыла с заданным распределением аэродинамической нагрузки по оси и размаху. В сб. Аэродинамика крыльев летательных аппаратов,- М.: Машиностроение, 1975,- № 3,- С. 91-101.

17. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач,- Новосибирск: Наука, 1988,- 183 с.

18. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во МГУ 1993,152 с.

19. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численный метод решения коэффициентной обратной задачи. В кн.: Методы математического моделирования и вычислительной диагностики.- М.: Изд-во МГУ, 1990,- С. 35-45.

20. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции - М.: Наука, 1982.

21. Вайнштейн JI.A., Электромагнитные волны. М.: Советское радио, 1988.

22. Васильев Е.Н. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений.- В кн.: Сборник научных статей по прикладной электродинамике,-М.: Высшая школа, 1977,-Вып. 1,- С. 94-128.

23. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач,- М.: Наука, 1981.

24. Введенская Н.Д. О решении уравнений пограничного слоя в окрестности критической точки // ЖВМ и МФ, 1967,- Т. 7,- № 4,- С. 924-929.

25. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы,- Справочное пособие. Киев.: Наукова думка, 1986,- 544 с.

26. Вернигора В.Н., Ираклионов B.C., Павловец Г.А. Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих конфигураций крыло фюзеляж // Труды ЦАГИ, 1976,-Вып. 1803,-С. 1-23.

27. Воеводина С.Н. Решение систем с клеточно-теплицевыми матрицами. -В кн.: Вычислительная математика и программирование,- М.: Изд-во МГУ, 1980,- Вып. 24,- С. 324-339.

28. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Доклады АН СССР, 1974,-Т. 216,-№ 6. С. 1209-1211.

29. Воронин В.В., Цецохо В.А., Численное решение интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации. // ЖВМ и МФ, 1981,- Т. 21,- № 1,- С. 40-53.

30. Воробьев Н.Ф. Аэродинамика несущей поверхности в установившемся потоке,- Новосибирск: Наука, 1985,- 237 с.

31. Воскобойников Ю.Е., Преображенский .Н.Г. Разрешающая способность и синтез одного класса алгоритмов вычислительной томографии // Электронное моделирование, 1986,- № 6. С. 24-30.

32. Вудворд Ф.А., Лэндрам Э.Дж. Сверхзвуковой триплет новая аэродинамическая особенность направленного действия // Ракетная техника и космонавтика, 1980,-Т. 18,- № 4,-С. 12-17.

33. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. / Перев. с англ. под ред. Э.Л. Бурштейна,- М.: Мир, 1977,- 485 с.

34. Галишникова Г.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. -М.: МГУ, 1987.-188 с.

35. Гиршфельдер Дж, Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкости,- М.; Иностр. Литер., 1961.

36. Глушков Н.Н., Теперин Л.Л. Численный расчет оптимальной срединной поверхности крыла при дозвуковых скоростях // Труды ЦАГИ, 1977,-Вып. 1842,- С. 54-60.

37. Глушков Н.Н., Тимонин А.С. Применение градиентного метода к минимизации сопротивления тонких крыльев в сверхзвуковом потоке // Ученые записки ЦАГИ, 1983,- Т. 14,- № 4,- С. 110-113.

38. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

39. Дворак А.В., Попов В.М. Построение численного решения краевых задач для уравнения Гельмгольца // Электромагнитные волны и электронные системы, 1999,- Т. 4,- № 4.

40. Джураев Т.Д. К математической теории пограничного слоя для стационарного течения сжимаемого газа,- В сб.: Краевые задачи для уравнений с частными производными,- Ташкент : Издательство «Фан», 1970.-С. 18.

41. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987,- 167 с.

42. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В кн.: Вычислительные методы и программирование,- М.: Изд-во МГУ, 1968,- Вып. X,- С. 49-54.

43. Дмитриев В.И., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Методы расчета электромагнитных полей в задачах дифракции на идеально проводящих поверхностях. - В кн.: Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 1968,- Вып. XX. - С. 106-125.

44. Дмитриева И.В. Метод численного исследования диаграммы рассеяния поля системой импедансных цилиндров. В кн.: Прямые и обратные задачи математической физики. - М.: Изд-во МГУ, 1991.- С. 168-180.

45. Дэннис Д., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений,- М.: Мир, 1988,- 440 с.

46. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Физматлит, 1994.- 436 с.

47. Еремин Ю.А. К проблеме существования невидимого рассеивателя в теории дифракции // Дифференциальные уравнения, 1988,- Т. 24,- № 4,- С. 684-687.

48. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников // ЖВМ и МФ, 1995,- Т. 35,-№6,-С. 918.

49. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Задачи распознавания и синтеза в теории дифракции // ЖВМ и МФ , 1992,- Т. 32,- №. 10,- С. 1594-1607.

50. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в электромагнитных задачах дифракции .- М.: Изд-во МГУ, 1992.

51. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. О существовании эквивалентных рас-сеивателей в обратных задачах теории дифракции // Доклады АН СССР, 1987,- Т. 297,- № 5,- С. 1095-1099.

52. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Обоснование метода неортогональных рядов и исследование некоторых обратных задач дифракции // ЖВМ и МФ , 1983. Т. 23,- № 3,- С. 734-742.

53. Ерохин Г.А., Кочержевский В.Г. Решение обратной задачи теории дифракции методом синтеза импедансных граничных условий // Радиотехника и электроника, 1974,- Т. 19,- № 1,- С. 30-37.

54. Ерохин Г.А. О предельно достижимом соотношении между поглощаемой и рассеянной мощностями. // Радиотехника и электроника, 1983.Т. 28,-№7,-С. 1268-1274.

55. Посад. / В сб. Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ,- М., 1995.-Вып. 3(11).-С. 57.

56. Ершова Е.Е., Соппа М.С. Численное решение обратной задачи дифракции радиоволн на импедансных телах В сб. тез. докл. Всероссийск. научн. конф. «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач».- Екатеринбург, 1995,- С. 64-65.

57. Ершова Е.Е., Соппа М.С. Численное решение обратной задачи дифракции Е и Н -поляризованной волны на импедансном цилиндре. В сб. тез. докл. II Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96).- Новосибирск, 1996,- С. 300-301.

58. Ершова Е.Е., Соппа М.С. Численное решение обратной задачи рассеяния на импедансных телах. // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ,-Москва, 1995,- Т. 3,- № 4.- С. 41-45.

59. Жаринов С.Ю. Метод вычислительной диагностики поверхностных электромагнитных характеристик протяженных цилиндрических объектов // Препринт № 57 НИИ дискретной математики и информатики.-Новосибирск, 2001,- 16 с.

60. Жаринов С.Ю. Методы неразрушающего контроля состояния протяженных металлических конструкций // Вопросы устойчивого и бескризисного развития. Новосибирск, 2002,- Т. 5,- № 2,- С.39-43.

61. Жаринов С.Ю. Обратные задачи рассеяния электромагнитных волн на импедансных телах с использованием амплитудных характеристик измеренного поля. Препринт № 30-99. -Международная кафедра ЮНЕСКО и СО РАН,- Новосибирск, 1999. - 18 с.

62. Жаринов С.Ю., Соппа М.С. Специальная граничная задача синтеза импеданса в нелинейной локационной постановке. В сб. тез. докл. НТК МАК-2000,- Барнаул, 2000,- С. 50-52.

63. Жигулев В.Н., Кротков Д.П., Шкадов JI.M. Некоторые современные проблемы оптимального аэродинамического проектирования // Труды ЦАГИ, 1977,-Вып. 1842,- С. 3-10.

64. Захаров А.Г., Назаров Б.В. Применение панельного метода для расчета аэродинамических характеристик самолета и его элементов при до-и сверхзвуковых скоростях // Труды ЦАГИ, 1978,- Вып. 1942,- С. 16-32.

65. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982,- 184 с.

66. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978,- 208 с.

67. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.- 224 с.

68. Ильинский А.С., Некрасов Л.М. Численный метод решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрическом цилиндре и его обоснование // ЖВМиМФ, 1995,-Т. 35,-№ 1.-С. 53-65.

69. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983.

70. Исайкин А.В., Ярыгин А.П. Дифракция плоской волны на на цилиндре с импедансной неоднородной поверхностью. // Радиотехника и электроника, 1982,- Т. 27,- № 3,- С. 604-605.

71. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-741 с.

72. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962,- 425 с.

73. Кеванишвили Г.Ш., Сикмашвили З.И., Цагарейшвили О.П. К теории дифракции электромагнитных волн на двух цилиндрах // Известия вузов. Радиофизика, 1978,- Т. 21,- № 1,- С. 91-99.

74. Кинг Д. Создание эффективного программного обеспечения. М.: Мир, 1991.

75. КобакВ.О. Радиолокационные отражатели. М.: Сов. радио, 1975.

76. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа,- М.: Наука, 1972,- 496 с.

77. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. -М.: Мир, 1987.

78. Кондратьев В. Лучший самолет «Аэропракта» // Крылья Родины, 1986.-№4,-С. 33-35.

79. Конев В.Т. Восстановление формы препятствия по данным рассеяния. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения,- Новосибирск, 1982,- С. 224-225.

80. Коробейников Н.П. Оптимальные неплоские крылья в сверхзвуковом потоке. В сб.: Чаплыгинские чтения. - ЦНТИ «Волна», 1983,- С. 3483.

81. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики,- М.: Наука, 1979,- 448 с.

82. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Г. Механика многофазных сред. В кн.: Итоги науки и техники, серия Гидромеханика, 1972,-Т. 6,- С. 93.

83. Краус В. Панельные методы в аэродинамике. В кн. Численные методы в динамике жидкости / Под ред. О.М. Белоцерковского. -М.: Мир, 1981.-С. 243-305.

84. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987,- 326 с.

85. Кружков С.Н. Линейные и нелинейные параболические системы на плоскости//Доклады АН СССР, 1969,- Т. 181.- № 3,- С. 510.

86. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Труды Московского математического общества, 1967,- Т. 16.

87. Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах. М.: Наука, 1975.

88. Кюркчан А.Г. Об обратной задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца // Доклады АН СССР, 1984.- Т. 275,- № 1. С. 48-51.

89. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1980.

90. Ладнова Л.А. О решении уравнений неравновесного ламинарного пограничного слоя многополосным интегральным методом // Ученые записки ЛГУ, 1977,- № 393.

91. Ладыженская О.А., Солонников А.В., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967,- 736 с.

92. Леонтович М.А. Приближенные граничные условия для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел,- В сб.: Исследования по распространению радиоволн,- АН СССР, 1948,- С. 5.

93. Липатникова Т.П., Силантьев В.А., Соппа М.С. Об оптимизации несущих систем на дозвуковых скоростях с применением панельного метода Вудворда. - В сб. Моделирование в механике,- Новосибирск, 1989.-Т. 3(20).-№1,- С. 107-115.

94. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей // ПММ, 1979,- Т. 43,-Вып. 1,- С. 184-188.

95. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши // Доклады АН СССР, 1978,- Т. 239,- № 2,- С. 265-268.

96. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973,848 с.

97. Любимов А.Н., Сорокин Ю.С. Метод расчета обтекания летательного аппарата дозвуковым потоком идеального газа // Ученые записки ЦАГИ, 1985,- Т. 16,- № 4,- С. 8-16.

98. НЗ.Майзельс Е.Н., Торгованов В.А. Измерение характеристик рассеяния радиолокационных целей,-М.: Советское радио, 1972. -232 с.

99. Маленко В.В., Набатов Л.Н. Экспериментальные исследования аэродинамических характеристик СЛА А-8 в аэродинамической трубе Т-101 ЦАГИ. НТО ЦАГИ № 5152, 1987.

100. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн,- М.: Радио и связь, 1983.

101. Метод граничных интегральных уравнений: Сб. статей. / Под ред. Т. Круза, Ф. Риццо. Новое в зарубежной науке и технике. Механика. -М.: Мир, 1978,- Вып. 15,- 209 с.

102. Маслов Л.А., Тимербулатов A.M. Расчет давлений на поверхности произвольной комбинации фюзеляжа с несущим крылом при дозвуковых малых скоростях // Труды ЦАГИ, 1979. Вып. 2005,- С. 21-32.

103. Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных электромагнитных волн // Известия вузов. Радиофизика, 1961,- Т. 4.- № 5,- С. 795-830.

104. Миттра Р. Обратная задача рассеяния и дистанционное зондирование.- В кн.: Вычислительные методы в электродинамике,- М.: Мир, 1977.

105. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970,- 420 с.

106. Монахов В.Н. Нелинейные диффузионные процессы // Сибирский математический журнал, 2003.- Т. 44,- № 5,- С. 1082-1097.

107. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МГУ, 1992.

108. Нефедов В.И., Черепин В.Т., Физические методы исследования поверхностей твердых тел.- М.: Наука, 1986,- 296 с.

109. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Наука, 1978.

110. Нильсен Д. Аэродинамика управляемых снарядов. М.: Оборонгиз, 1962,- 431 с.

111. Олейник О.А. О системе уравнений пограничного слоя // ЖВМ и МФ, 1963,- Т. 3,- № з. С. 489-507.

112. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя,- М.: Наука, 1997.

113. Павельев А.Г. Аналитический метод решения обратных задач и регуляризация // Электромагнитные волны и электронные системы, 1998,- Т. 3.- № 3.

114. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев : Нау-кова думка, 1984,- 344 с.

115. Панченков А.Н., Борисюк М.Н. Некоторые результаты численного исследования экстремальных задач квадрупольной теории. В кн.: Асимптотические методы в механике,- Иркутск, 1981,- С. 3857.

116. Панченков А.Н. Теория оптимальной несущей поверхности. Новосибирск: Наука, 1983,-256 с.

117. Петров А.В. О задаче взаимопроникающего движения совершенных газов в пограничном слое,- В сб.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1983,- Вып. 63,-С. 142-146.

118. Петров Б.М., Юханов Ю.В. Обратная задача рассеяния для импе-дансного цилиндра произвольного сечения // Известия вузов. Радиоэлектроника, 1980,- Т. XXIII.- №. 9. С. 78-81.

119. Петров Б.М., Юханов Ю.В. Синтез двумерного реактивного рефлектора // Известия вузов. Радиоэлектроника, 1980,- Т. XXIII. № 9. - С. 59-63.

120. Петров Б. М., Шарварко В. Г. Результаты численного решения обратной задачи дифракции для импедансного цилиндра // Известия вузов. Радиоэлектроника, 1979.- Т. 22.- № 1,- С. 27.

121. Пискунов Н.С. Интегрирование уравнений теории пограничного слоя // Известия АН СССР, серия Математика, 1943,- № 7,- С. 35-46.

122. Поляхов Н.Н., Шестернина З.Н. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей // Вестник ЛГУ, 1979,- Вып. 2,- № 7,- С. 75-81.

123. Прохоров Е.М. Оптимизация несущей поверхности крыльев сложной геометрии при сверхзвуковых скоростях полета // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа, 1985,- № 6,- С.154-160.

124. Прохоров Е.М. Изопериметрическая оптимизация поверхности крыльев простых форм в плане с учетом толщины,- В сб.: Задачи аэродинамики тел пространственной конфигурации,- Новосибирск, ИТ иПМ, 1982.-С. 104-119.

125. Прохоров Е.М. Изопериметрическая оптимизация несущей поверхности крыльев сложной формы в плане,- Препринт № 4-84, Новосибирск, ИТ и ПМ, 1984,- 40 с.

126. Прошина Т.Д. Расчет поверхности крыла минимального сопротивления с безударной передней кромкой // Ученые записки ЦАГИ, 1972,-Т. 3,- № 6,- С. 112-118.

127. Прысев Б.Ф. Расчет аэродинамических характеристик неплоского крыла с механизацией и его срединной поверхности под заданную нагрузку при дозвуковых скоростях // Труды ЦАГИ, 1984,- Вып. 2237,- С. 3-12.

128. Радиолокационные характеристики летательных аппаратов. / Под ред. Л.Т. Тучкова. -М.: Радио и связь, 1985.

129. Рамм А.Г. Восстановление формы отражающего тела по амплитуде рассеяния // Радиофизика, 1970. Т. 13. - С. 727-732.

130. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния / Под ред. В.Г. Романова. М.: Мир, 1994. - 496 с.

131. Ровных А.В., Соппа М.С. Расчет отрывного обтекания высоконесущих крыловых профилей. В сб.: Вопросы авиационной науки и техники ( Вып. 3). Аэродинамика летательных аппаратов и их частей,-Новосибирск, 1988,- С. 14-16.

132. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики / Под ред. М.М. Лаврентьева. Новосибирск, 1984. -201 с.

133. Сарен В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей // Сибирский математический журнал, 1978.- Т. XIX,- № 2. С. 35-41.

134. Свешников А.Г., Ильинский А.С., Еремин Ю.А., Чивилев А.В. Некоторые аспекты исследования задачи восстановления формы идеального рассеивателя. В кн. Вычислительная математика и программирование,- М: Изд-во МГУ, 1982,- Вып. 36,- С. 126-134.

135. Сивов А.Н., Чуприн А.Д., Шатров А.Д. Об одном методе решения обратных задач рассеяния в электродинамике // Радиотехника и электроника, 1996,- Т.41.-№ 1. С. 35.

136. Скоморохов С.И., Теперин Л.Л. Применение панельного метода для расчета распределенных аэродинамических характеристик компоновки крыло с пилоном при малых скоростях // Ученые записки ЦАГИ, 1982,- Т. XII,- № 3,- С. 131-135.

137. Скоморохов С.И., Теперин Л.Л. Выбор срединной поверхности пилонов и углов установки мотогондол под крылом дозвукового самолета // Ученые записки ЦАГИ, 1985,- Т. XV,- № 1,- С. 122-125.

138. Смагин С.И., Цецохо В.А. Задача дифракции на телах с неоднородными включениями // ЖВМ и МФ , 1991. Т. 31,- № 5,- С. 718-734.

139. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: ГИФМЛ, 1958,- Т. IV,- 812 с.

140. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Труды МИАН, 1965,-Вып. 83,-С. 1-112.

141. Соппа М.С. О существовании многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы диффузии. В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1978,- Вып. 35,- С. 99-121.

142. Соппа М.С. О единственности многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы диффузии. В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1978,- Вып. 36,- С. 120-129.

143. Соппа М.С. Краевые задачи для уравнений многокомпонентного пограничного слоя с общей матрицей диффузии. В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1978,- Вып. 37,- С. 113-123.

144. Соппа М.С. О корректности краевой задачи для уравнений осесим-метричного многокомпонентного пограничного слоя // Доклады АН СССР, 1981,- Т. 259,- №. 3,- С. 567-569.

145. Соппа М.С. О сходимости двумерного панельного метода. В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1984. Вып. 65.- С. 123133.

146. Соппа М.С. Расчет параметров сверхзвукового потока около корпусов панельным методом Вудворда. В сб.: Вопросы аэродинамики и динамики полета летательных аппаратов,- М.: ЦНТИ "Волна", 1985,-С. 7-10.

147. Соппа М.С., Силантьев В.А. О повышении устойчивости расчета сверхзвукового обтекания корпусов панельным методом Вудворда. -В сб.: Численные методы механики сплошной среды,- Новосибирск, 1985,- Т. 16,- №.4,- С. 121-128.

148. Соппа М.С. О сходимости панельного метода в случае сверхзвукового обтекания конуса. В межвуз. сб.: Аэродинамика летательных аппаратов и их систем,- Куйбышев, 1987,- С. 35-40.

149. Соппа М.С. О сходимости панельного метода. В сб.: Вопросы авиационной науки и техники ( Вып. 3). Аэродинамика летательных аппаратов и их частей,- Новосибирск, 1988,- С. 1-13.

150. Соппа М.С., Силантьев В.А. Вариационные задачи теории несущей поверхности. В сб. тез. докл. 7-й Всесоюзной школы - семинара по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики,-Барнаул, 1989,- С. 60-61.

151. Соппа М.С. Численное решение задачи проектирования адаптивного крыла. В сб. тез. докл. 8-й Международной школы-семинара по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики.-Красноярск, 1992,- С. 29.

152. Соппа М.С., Ершова Е.Е. Численное решение обратной задачи рассеяния на импедансных телах при Е- и Н-поляризации // Автометрия, 1997,-№2,- С. 56-60.

153. Соппа М.С. Об устойчивости численного решения обратной задачи рассеяния на импедансном цилиндре // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ,-Москва, 1997,-Т. 5,- № 1.-С. 115-119.

154. Соппа М.С. Распознавание формы электромагнитного рассеивателя с импедансными свойствами. В сб. тез. докл. Международной НТК «Математические модели и методы их исследования»,- Красноярск, 1997.- С. 170.

155. Соппа М.С. Численное решение задачи восстановления формы импе-дансной поверхности. В сб. трудов Международной НТК Научные основы высоких технологий,- Новосибирск, 1997,- Часть 2,- С. 90-91.

156. Соппа М.С. Восстановление формы электромагнитного рассеивателя // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.- Москва, 1997,- Т. 5,- № 4,-С. 102-105.

157. Соппа М.С. Численное решение задачи синтеза системы импедансных поверхностей. В сб. тез. докл. Сибирской школы-семинара

158. Математические проблемы механики сплошных сред»,- Новосибирск, 1997,- С. 131.

159. Соппа М.С. Численное решение задачи восстановления формы импе-дансной поверхности // Автометрия , 1998,- № 1. С. 47-49.

160. Соппа М.С. Обратная задача восстановления формы для системы импедансных поверхностей. В сб. тез. докл. Всероссийской научной конференции «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач»,- Екатеринбург, 1998,- С. 243.

161. Соппа М.С. Обратная задача восстановления фазы волны, рассеянной на импедансной поверхности. Proceedings of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization Methods and Their Applications".- Irkutsk,1998,-P. 173-175.

162. Соппа М.С. Восстановление поверхностного импеданса по амплитудной диаграмме рассеяния. В сб. тез. докл. НТК "Обратные и некорректно поставленные задачи",- Москва: МГУ, 1998,- С. 74.

163. Соппа М.С. Совместное решение обратной задачи аэродинамического и электродинамического расчета. В сб.: Труды НГАСУ,- Новосибирск, 1998. - Вып. 1.-С. 116-118.

164. Соппа М.С. Численное решение задачи восстановления формы для системы импедансных поверхностей // Известия вузов. Радиофизика,1999. Т.42,- №5,- С. 452-458.

165. Соппа М.С. Численное решение смешанных обратных задач рассеяния на импедансных поверхностях. В сб. тез. докл. IV-ro Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике (INPRIM - 2000).- Новосибирск, 2000,- Часть 1,- С. 110-111.

166. Соппа М.С. Применение метода граничных элементов в прямых и обратных задачах электро- и аэродинамики. Препринт № 1-2001 НИИ дискретной математики и информатики, (Международная кафедра ЮНЕСКО НГУ и СО РАН ).- Новосибирск, 2001,- 28 с.

167. Соппа М.С. Численное решение обратных задач диагностики целостности металлических конструкций // Известия вузов. Строительство, 2003.- № 10,- С. 137-140.

168. Соппа М.С. Неединственность численного решения обратной задачи рассеяния радиоволн на импедансных цилиндрических телах. В сб. тез. докл. VIII конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи»,- Москва: МГУ, МАКСПресс, 2003,- С. 56.

169. Соппа М.С. Метод граничных элементов в вариационных и обратных задачах аэро- и электродинамики. Монография. / Под ред. акад. В. Н.Монахова.- Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2004,- 152 с.

170. Соппа М.С. Компьютерная система обработки данных в задачах радиолокационного распознавания и диагностики формы импедансной поверхности // Вычислительные технологии (совместный выпуск Вестник КазНУ им. Аль-Фараби), 2004,- Т. 9,- Часть IV,- С. 53-58.

171. Соппа М.С. Использование соотношений двойственности для Е- и Н-поляризаций в обратных задачах рассеяния на импедансных поверхностях // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004,- Т. VII.- № 2 (18).- С. 111-116.

172. Соппа М.С. Задача о проектировании аэродинамического профиля с заданными характеристиками электромагнитного рассеяния // Доклады Академии наук, 2005,-Т. 401,- №3,- С. 345-348.

173. Соппа М.С. Задача о повышении аэродинамического качества самолета тандемной схемы. Веб.: Труды НГАСУ (Сибстрин).-Новосибирск, 2005. - Т. 8,- № 1 (31).- С. 76-83.

174. Соппа М.С. Восстановление формы импедансного рассеивателя в случае Е-поляризованной электромагнитной волны // Сибирский журнал индустриальной математики, 2005,- Т. VIII.- № 2,- С. 152-158.

175. Суслов О.Н., Тирский Г.А., ГЦенников В.В. Описание химически равновесных течений многокомпонентных смесей в рамках уравнений Навье Стокса и Прандтля // ПМТФ, 1971,- № 1,- С. 73-89.

176. Теория оптимальных аэродинамических форм. / Под редакцией Мие-ле А. М.: Мир, 1969.- 507 с.

177. Терешин О.Н., Седов В.М., Чаплин А.Ф. Синтез антенн на замедляющих структурах,- М.: Радио и связь, 1980.

178. Тимофеев И .Я. Сходимость метода дискретных вихрей решения линейных задач теории крыла // Ученые записки ЦАГИ, 1979. Т. 11. -№ 1. - С. 18-25.

179. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1986.-288 с.

180. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987,- 232 с.

181. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.- 230с.

182. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-736 с.

183. Фелсен JI., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. / Под ред. МЛ. Левина,- М.: Мир, 1978. 458 с.

184. Форсайт Д., Макольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980,- 278 с.

185. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. / Пер. с нем. /Под ред. Г.Д.Малюжинца. -М.: Мир, 1964. 428 с.

186. Хуснутдинова Н.В. Качественные свойства отрывных течений в пограничном слое Прандтля // Сибирский математический журнал, 2001,- Т. 42,- № 6,- С. 1431-1442.

187. Хуснутдинова Н.В. Об однозначной разрешимости краевых задач для уравнений стационарного теплового пограничного слоя в неоднородной сжимаемости жидкости. В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1975,-Вып. 21.- С. 99-177.

188. Хуснутдинова Н.В. Температурный пограничный слой при осесимет-рическом течении газа. . В сб.: Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1972,- Вып. 12,- С. 147-156.

189. Хуснутдинова Н.В. Тепловой пограничный слой на пластине // Доклады АН СССР, 1985,- Т. 285,- №. 3,- С. 605-608.

190. Чаплин А.Ф., Кондратьев А.С. Синтез кругового импедансного цилиндра по полю в дальней зоне // Радиотехника и электроника, 1977,- Т. 22,-№3,-С. 505-511.

191. Чечкин А.В. Метод оптимальных диаграмм для решения задач синтеза антенн // Радиотехника и электроника, 1971.-Т. 16. № 2.

192. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

193. Штагер Е.А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. М.: Радио и связь, 1986,- 184с.

194. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

195. Юханов Ю.В. Анализ и синтез импедансной плоскости // Радиотехника и электроника, 2000,- Т. 45,- № 4,- С. 404-409.

196. Юханов Ю.В., Климов А.В. Обратная задача для анизотропного импедансного цилиндра // Известия вузов. Радиоэлектроника, 1989.- Т. 32,-№ 11.- С. 86-89.

197. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. -344 с.

198. Abbott М.В. Computational Hydraulics: Elements of the Theory of Free Surface Flow.- Pitman, London, 1979.

199. Angell T.S., Colton D., Kress R. Far Field Patterns and Inverse Scattering for Imperfectly Conducting Obstacles // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1989,- Vol. 106,- P. 553-569.

200. Angell T.S., Kleinman R.E., Roach G.F. An Iverse Transmission Problem for the Helmholtz Equation // Inverse Probl., 1987,- Vol. 3,- P. 149-180.

201. Bos H. J. The Lifting Wing with Minimum Drag in Supersonic Flow. -Delft Univ. of Tech. : Dep. of Aerospace Engineering. 1977 Rep. LR -234,- 57 p.

202. Brebbia C.A. The Boundary Element Method for Engineers.- Pentech Press, London.- 1978.

203. Hess J.L., Smith A.M.O. Clculation of Potentional Flow about Arbitrary Bodies // Progress in Aeronautical science, 1967,- Vol. 8,- P. 1-138.

204. Hromadka II T.Y. Computer Integration and the CYBEM in Engineering Design// Engineering Analysis, 1986,- Vol. З.-No. l.-P. 9-15.

205. Lavrentiev M.M., Zgarinov S.J., Zercal S.M. Soppa M.S. Computer Diagnostics of Surface Characteristics of Extended Cylindrical Objects by the Active Location Technique. // Journal of Inverse Ill-posed Problems, 2003. Vol. 11,-No. 6.-P. 1-11, VSP.

206. Maskew B. Prediction of Subsonic Aerodynamic Characteristics: a Case for Low-order Panel Methods // J. Aircraft, 1982,- Vol. 19. No. 2. - P. 157-163.

207. Maskew В., Woodward J. Simmetrical Singularity Model for Lifting Potential Flow Analysis // J. Aircraft, 1976,- Vol.13. No. 9. - P. 733734.

208. Morino L., Kuo S.S. Subsonic Potentional Aerodynamics for Complex Configurations: A General Theory // AIAA J., 1974. Vol. 12. - No. 2. -P. 191-197.

209. Ramm A.G. Scattering by Obstacles.- Reidel, Dordrecht, 1986.

210. Row R.V. // Journal Appl. Phys., 1955 .- Vol. 26,- P. 667.

211. Soppa M.S. Numerical Solution of the Problem of Reconstructing the Shape of Impedance Surface // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 1998,- No.l.- P. 43-45, Allerton Press, Inc.

212. Soppa M.S. Reconstruction Problem of Adapted Airfoil with Given Electromagnetic Scattering // International Conf. on the Methods of Aero-phys. Research: Proc. Pt. 2. Novosbirsk, 1998,- P. 203-205.

213. Soppa M.S. Shape Reconstruction Problem of Impedance Surface for Multifrequency Radio-Location // Abstracts The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS'99, June 22-25,- Novosibirsk, 1999,-P. 562.

214. Soppa M.S. Numerical Solution of the Problem of Shape Recovery for a System of Impedance Surfaces // Radiophysics and Quantum Electronics, 1999,- Vol. 42, No. 5,- P. 401-407, ICluver Academic/ Plenum Publishers.

215. Soppa M.S., Ershova E.E. Numerical Solution of Inverse Scattering Problem on Impedance Bodies for E- and H-polarizations // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 1997,-No. 2,-P. 51-55, Aller-ton Press, Inc.

216. Soppa M.S. Problem of Designing an Aerodynamic Profile with Assigned Characteristics of Electromagnetic Scattering // Doklady Physics, 2005,-Vol. 50.-No. 3. P. 161-164.

217. Weyl H. On the Differential Equatins of the Simplest Boudary layer Problems // Annals of Math., 1942,- Ser. 2,- Vol. 43,- No. 2,- P. 381-407.

218. Woodward F.A. An improved Method for the Aerodynamic Analysis of Winq-Body-Tail Confiqurations in Subsonic and Supersonic Flow. Part 1, 2 // NASA CR 1228, May, 1973.

219. Woodward F.A. Analysis and Design of Wing-Body Combinations at Subsonic and Supersonic Speeds // J. Aircraft, 1968,- Vol. 5,- No. 6, P. 528534.

220. Wrobel L., Brebbia C.A. Boundary Elements for Fluid Flow // Advances in Water Resources Journal, 1979.- Vol. 2,- No. 2.г

221. Федеральное государственное унитарное предприятие «Сибирским научно-исследовательский институт авиации имени С.А.Чаплыгина»

222. ФГУП «СибНИА им. С.А.Чаплыгина»гитут авиации С.А.Чаплыгина1. УТВЕРЖДАЮ1. Директор ФГУП