автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование задач обтекания сечений крыла несжимаемым потоком на основе метода Галеркина

1 Ъ 1, ,;

На правах рукописи

НУГМАНОВ ЗУФАРХУСНУТДИНОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ СЕЧЕНИЙ КРЫЛА НЕСЖИМАЕМЫМ ПОТОКОМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА

Специальности: 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях;

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Казань 199?

Работа выполнена в Казанском государственном технической университете им. А. Н.Ту попев а.

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор В.Г. Павлов

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Ф.И. Ганнев доктор физико-математических наук, профессор A.M. Елизаров доктор технических наук, старший научный сотрудник Л .А. Масдов

Ведущая организация: АОАНТКим. А.Н. Туполева

Защита диссертации состоится " 22 "СенТяВрЯ 1997 г. в /У часов на заседании диссертационного совета Д063.43.03 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева, в заде заседаний ученого совета по адресу 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, д. 10.

Автореферат разослан " 20 " ¿Jt-ОЛ Я 1997 г.

С диссертацией моято ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета им. A.II. Туполева

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физнко-мат^^чес^^^ук

Данипаев П.Г.

Диссертация посвящена дальнейшему усовершенствованию мате-[атичесхой модели и математических методов расчета при численной ре-лнзации задач обтекания сечений крыла несжимаемым потоком. Моде-ирование невязхих течений основано на теории потенциала скорости, а поденное решение интегральных и ннтегро-днфференциальных ураэ-ений • на идее Б.Г. Гадеркина. Учет влияния вязкости на харахтерисш-и профиля осуществлен в рамках модели пограничного слоя (ПС).

Актуальность темы. Различные этапы аэродинамического проехти-ования летательного аппарата (ЛА) и его поверхностей связаны о ши-оким использованием теоретических и экспериментальных исслздова-ий а аэрогидромеханнхе (механике жидкости и газа). Хотя эхопери-енталыше исследования п являются наиболее достоверными, но рост гоимосп! проведения экспериментев и снижение стоимости выполнения зсчетов создают благоприятные условия для внедрения численных етодов как основного средства аэродинамического проектирования шодета. Теоретические методы позволяют проводить параметрические хледоэания - выявить влияние числа Рейнояьдса и геометрических граметров крыла на его аэродинамические характеристики.

Целью диссертации является разработка более точного н эффектного численного метода для аэродинамического проектирования чешш крыла в несжимаемой жидкости на основе усовершенствованной этематнчесхой модели и модифицированного математического метода япенпя уравнений аэрогадромеханики.

Теоретическое значение п научная иозизна работы определяются [«дующим:

- Усовершенствован метод расчета обтехшшя профиля прогаволь->н формы потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Иетгег-1лып.1й уразнепия, к которым сводятся граничные условия, решены подом Галкрхина. Этот метод позволил снизить на порядок число ал-браячесясих уравнений по сравнению с методом механических квзд-(тур. Кроме того, путем интегрирования по частям о использованием ¡ращения пробных функций в нуль на концах интервала определения (алосъ преобразовать интегральные уравнения (ядро и правую часть), к, что просто вычисляются шггегралы, повышается эффективность н чность вычислений.

- Разработан метод построения формы профиля по распределению оросги, мало отличающемуся от распределения скорости на известном юфиле, путем модификации последнего. С помощью полиномов Якоби еснечена нужная форма кромок профиля и замкнутость его контура, итегро-дпфферснциалъное уравнение решено методом Б.Г. Гадеркина.

- Решена задача расчета аэродинамических характеристик профиш в несжимаемом потоке с учетом вязкости в приближении пограничногс слоя. Разработан метод коррекции давления, обеспечивающий зав ерше ние итерационного процесса расчета обтекания профиля вязким пото ком. Уточнена математическая модель.

- Решена задача расчета обтекания профиля в идеальной жидаосп с учетом влияния границ потока.

- Разработан метод численного моделирования обтекания крыш конечного размаха в идеальной жидкости.

Методика исследовашш. Проведенные исследования опираются h¡ следующие законы аэрогидромеханики и математические методы:

- Расчет потенциального обтекания профиля сводится к решении уравнения Лапласа. Суммарный потенциал течения ищется в виде потен цнала плоекопарзллсльпого потока и потенциала вихревого слоя. Ин тенсивноегь особенностей определяется из интегральных уравнений, ко торые решаются методом Б.Г. Галеркина.

- Использование теории потенциала для решения обратной крае вой задачи аэродинамики (ОКЗА) сводится к решению гаггегро-диффе ренциального уравнения методом Б.Г. Галеркина. Закон восстановлен!! давления в зоне торможения потока взят в виде функций, предложении Г.Ю. Степановым н Б.С. С'трэтфордом.

- Учет влияния вязкости на характеристики профиля выполнен приближении пограничного слоя с использованием методов Л.Г. Лой цянского и Г.К. Гарнера. Предложен метод коррекции давления в прс цесое вычислительной процедуры, обеспечивающий завершение итерс циогаюго процесса.

- Расчет обтекания крыла конечного размаха потоком идеально несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Лапдасса.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обесш чены соблюде!шеи в используемых математических моделях основны законов механики жидкости и газа с учетом общепринятых огранич« ний и допущегаш.

Доегговерность результатов численных расчетов контролирование путем следующих сравнений:

- Распределенные и суммарные характеристики профиля в поте* циалыюи потоке несжимаемой жидкости сравнены с данными точны решений, подученных методом конформных отображений. (Расхождеш: результатов расчета от точных решений в пределах 1 -ь 2%).

- Характеристики профиля, найденные с учетом вязкости, сравни Hi.1 с экспериментами ЦАГИ и NACA, а также с данными других авто-

ов. (Расчетные значения аэродинамических хараетерпстгск я дииейиоп 6ластI Суа{а) отличаются от экспериментальных а пределах 3-. 5%, а в

акритачесхой области наблюдается значительные расхождения - до7 : %).

- Результаты расчета обтекания крыла конечного размаха сравнены данными других авторов.

Практическая значимость. Работа выполнена в ранках совместных ШР. производимых ЮТУ им. А.Н. Туполева о им. АО АНТК А.Н. Ту-голева. Результаты этих иссяедовмпш, изложенные в иаучпо-техии-[еасих отчетах и справках, используются в научно-технических раз-1аботхах АО АНТК им. А.Н. Туполева. На основании полученных результатов написаны два учебных пособия f 11,14). Программа расчета ха-lajcrepiicnix профиля используется студентами при дипломном проектп-ювшти.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на еешшарах кафедры аэродинамики КАИ (руководить - профессор В.Г. Павлов), на Итоговых научных конференщшх Ка-аиского авиационного института, на научных семинарах СнбНИА руководитель - к.т.н. С.Т. Кашафутщшов), на III Всесоюзной научно-ехютческой конференции по прикладной аэродинамике в Киеве, на 1аучно-техничесхом совете МАИ (руководитель - академик Ю.А. Ры-шв), на семинаре в ЦАГИ (руководитель - д.т.и. Г.А. Павловец), на 1аучпых семштарах отдела краевых задач НИИММ Н.Г. Чеботарева руководитель - профессор Н.Б. Ильинский), кафедры азроыехаиики и ало вой динамике МГУ (руководитель - В.Я. Шяадов), кафедры аэродп-шмшш ВВП А Н.Е. Жуковского (руководитель - профессор М.И. Нипгг), гафедры 106 МАИ (руководаггель - профессор В.И. Шайдакоп).

Публикации. Но теме диссертации опубликованы работы [1-23], в ом числе, два учебных пособия [11,14].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, или глав, заключения, списка цитированной литературы из 237 наиме-ювагаш и приложений. Общий объем работы 309 страниц мшшшо-шеного текста. Нумерация формул и рисупков соответствует нумерации -лав диссертации.

Во введении отмечены характер, направлешгость и методология дис-«ртацяоиной работы. Здесь рассматриваются проблемы, возникающие три аэродинамическом проектироватш самолета: меггоды определения аэродинамических характеристик самолета и его частей; основные теоретические направления в вычислительной аэродтшамгпсе и пути их

реализации; обоснование применения чн дленных методов при решена задач аэродинамики самолета.

Методы теории потенциала для численных расчетов полей течет при обтекании тел произвольной формы известны и дахот хорош результаты. Однако точное или приближенное решение ннтегральш или интегро-дифференциалыплх уравнений для крыла с произвольна контуром связано вое же о рядом трудностей. К ним относятся: особенно та ядер интегральных уравнений, большое число алгебраических ура нений, обеспечение условий течешш жидкости в окрестности зада кромки, на торцах крыла и изломах.

Шаг вперед в решении уравнения для потенциала скорости в ел чае крыла с произвольным контуром был сделан с помощью так назывг мого панельного метода.

К настоящему времеш! разработано множество панельных мет дов, различающихся главным образом споообом выбора типов особе ностей, законом распределения их гаггенсивностей, способом располоя ння панелей и типом используемых граничных условий. Примерами п цельных методов первого поколения являются работы Смита, Гесса, Р берта, Саариоа, Вудворда, Морнно и др.

Большой вклад в развитое вычислительной аэродинамики внес: отечественные ученые: В .А. Баранов, D.M. Белоцерковсшш, С.М. Бел церковский, МЛ. Брутян, В.Н. Вернигора, Н.Ф. Воробьев, Ф.И. Гшше МЛ. Головкин, A.A. Дашковсхнй, АА. Зайцев, А.Г. Захаров, В.Б. Ков лев, Г. А .Колесников, В.Н.Котовский, И.КЛифанов, Г.И.МайкапаргЛ.А Маснов, А.П. Мельников, М.И. Ништ, С.Г. Нуааш, Г.А. Павловец, B.h Романов, О.П. Сидоров, Т.К. Сиразе1дннов, НД. Самознаев, Б.К. Скр] пач, Ю.Г. Степанов, АЛ. Хамзаев, JI.M. Шкадов, В.М. Шурыгии и др.

В настоящее время достигнут значительный прогресс в развил чналенных методов и решению задач аэродинамики. Но учет физичесэа особенностей течешш па изломах, на концах крыла (обращение натруз* в нуль), вьтолненне постулата Чаплыгина-Жуковского на задней крош (противоречивость решения згой фундаментальной проблемы) нелъ: считать полностью реализованными.

Методы решения уравнешп! погршшчного слоя можно раздели: на два типа: дифференциальные и интегральные. В дифференциальна методах используются уравнения в частных производных, в интеграл: ных • обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые из ш тегральных соотношений.

К настоящему времени разработано множество методов и соотве ствующих программ для расчета вязких течешш.

Расчеты интегральными методами требуют меньших затрат машинного времени счета и, как правило, меньшего объема памяти ЭВМ, но необходимость задания формы профиля скорости затрудняет проверку сложных моделей турбулентности. Кроме того, в интегральных методах не учитывается изменение давления по нормали к поверхности крыла.

При зональном методе расчета вязких течений программу определения параметров пограничного слоя необходимо связать с программой вычисления скорости при потенциальном обтекании "эффективного" тола, получаемого добавлением к крылу толщины вытеснения пограничного слоя и следа. Давление на крыло определяется как давление на поверхность вытеснения. В результате этого создается итерационная процедура расчета вязко-невязкого взаимодействия.

Вычислительная аэродинамика обладает одним специфическим преимуществом перед экспериментальной: она позволяет выполнить этапы проектирования в обратном порядке, т.е. вычислять геометрические параметры по заданному распределению давления. В этом случае решается обратная краевая задача аэродинамики с заданным на искомом контуре распределением скорости. Существует множество методов для решения обратной задачи аэродинамики, и работы по их усовершенствованию будут продолжаться в будущем ввиду их большой практической важности. История развития ОКЗА насчитывает более 60 лет. Основополагающие результаты получили Ф. Вейнинг, А. Бетц, В. Манглер, JI.A. Симонов, Г.Г. Тумашев, М. Лайтхилл, В.М. Шурыгин, Л. Вудс, Г.Ю. Степанов, М.Т. Нужин, Р. Эплер, Ф. Вортман, Р. Либек и др. Среди отечественных исследователей значительное количество работ выполнено учеными ЦАГИ и Казанского университета. Основные направления приложений методов теории обратных краевых задач (ОКЗ) в механике сплошной среды разработаны Г.Г. Тумашевым, М.Т. Нужиным, Н.Б. Ильинским, О.М. Киселевым, В.В. Клоковым, Р.Б. Салимовым, A.M. Елизаровым, A.B. Поташевым, Д.В. Маклаковым и др. Методы гидродинамических особенностей идеально приспособлены для решения OK ЗА, Сюда относятся работы Г.И. Майкапара, Г.А. Павловца, Н.Д. Само-знаева, В.Н. Вернигоры и др.

Разработанные в диссертации методы решения прямых и обратных краевых задач аэродинамики послужили базой для составления пакета программ, которые используются при аэродинамическом проектировании несущих поверхностей. В итоге сформулированы следующие основные положения диссертации, которые выносятся на защиту:

I. Численный метод расчета обтекания замкнутого контура профиля потоком идеальной несжимаемой жидкости. Математически расчет

обтекания профиля потенциальный потоком несжимаемой жидкости представляет собой внешнюю краевую задачу Неймана и сводится к решению уравнения Лапласа. При этом потенциал течения ищется в виде суммы потенциалов прямолинейного потока и вихревого слоя, расположенного по поверхности профиля. Распределение скоростей определяется из решения интегральных уравнений, к которым сводятся граничные условия на контуре профиля.

Интегральные уравнения решаются методом взвешанных невязок (MBH), когда неизвестная функция ищется в виде суммы из ортогональных функций, удовлетворяющих постулату Чаплыгина-Жуковского. Коэффициенты пробного решения определяются методом коллокаций или методом Галер кипа. MBH уменьшает на порядок число алгебраически? уравнений по сравнению с прямыми методами. Применив метод Галер кина, удалось преобразовать исходные уравнения: изменить ядра и пра вую часть. Благодаря этому просто вычисляются главные значения ин тегралов, повышается эффективность и точность расчетов.

Ранее метод MBH применялся лишь для расчета обтекания средне! пинии профиля под малым углом атаки (для линеаризованных гра ничных условий) на основе решения уравнения первого рода.

На основании теоретических исследований данной работы была со ставлена программа, которая позволяет вычислить распределение давле ния по хорде профиля ср(а,х), коэффициент аэродинамической подъем ной силы CyJ^a), коэффициент момента Ст{а), координаты фокуса хр i

центр давления критическое число Маха, угол нулевой подъемно! силы а0. При этом должны быть заданы координаты профиля у = у(х); угол атаки а.

Кроме того, данный метод расчета обтекания профиля в потех; циапьном потоке несжимаемой жидкости был использован при постро« нии математической модели расчета обтекания профиля вязким потоко: и при расчете обтекания крыла конечного размаха идеальной жидкс стью.

2. Решение ОКЗА доя модификации известных профилей, обтека< мых потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Задача решена н основе метода особенностей (теории вихрей), когда граничное услов» непротекания жидкости через контур профиля взято в виде уравнени пинии тока. Путем преобразования этих уравнений получены формул для вычисления координат средней линии yj{x) и толщины профи* ^(д:). Законы распределения ус{,х) и Уу{х) ищутся в виде усеченного р да из функций Якоби, удовлетворяющих условиям замкнутости контух

[ формам кромок (закругленная или острая). Неизвестные коэффици-нты ряда определены методом Галеркина. Получена также формула для начисления угла атаки. При решении ОКЗА для профиля с учетом гсловия безотрывности обтекания закон распределения скоростей взят в шде аналитических формул, предложенных Г.Ю. Степановым и Б.С. Ттрэтфордом.

Таким образом, предлагаемый метод позволяет рассчитать коор-ушаттл профиля и угол атаки, если заданы желаемое распределение дав-(епия и число Рейнольдса. При проектировании профиля можно зада-iaib закон распределения толщины, а определять уравнение средней лиши.

Однако заметим, что в данной работе основная цель решения )КЗА состоит лишь в модификации существующих профилей, а не в фоектировании новых контуров.

3. Метод расчета обтекания профиля потоком вязкой несжимае-(ой жидкости без отрыва потока или с диффузорным отрывом погра-шчного слоя. Учет влияния вязкости основан на так называемом зо-[альном подходе, согласно которому строится итерационный процесс по >асчету потенциального течения и параметров пограничного слоя интег->альными методами (Лойцянского, Гарнера и Хэда). Потенциальное терние вокруг "эффективного" тела рассчитывается на основе, метода осо-¡енностей. Используются теоретические исследования и программа paciera обтекания исходного профиля потоком идеальной несжимаемой явдкоста. "Эффективное" тело строится путем добавления толщины выяснения £ в зоне безотрывного обтекания по нормали к контуру профиля и построения ненесущей поверхности за профилем. Форма нене-ущей поверхности за точкой отрыва определяется из решения урав-1ения линии тока. Так как метод последовательных приближений мо-[ели "вязко-невязкого" взаимодействия, вообще говоря, расходится, то »азработан принцип коррекции давления, что позволило завершить ите-»ационный процесс на основания сравнения коэффициентов подъемной ялы по итерациям с их значениями, которые определяются в процессе »асчета с использованием экспериментальных данных;

Используя данный метод, можно найта распределенные и суммарное аэродинамические характеристики профиля в широком диапазоне тлов атаки и чисел Рейнольдса (rc> Юб) при заданной геометрии фофиля.

4. Решение задачи расчета обтекания профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости с учетом влияния границ потока. Метопа, обработанные при решении прямой и обратной краевых задач аэро-

динамики для профиля в неограниченном потоке, распространены ш случаи решения этих задач с учетом влияния границ твердого экрана у свободной повфхности жидкости.

5. Постановка и решение задачи расчета обтекания крыла конечного размаха потоком идеальной несжимаемой жидкости. Используя ме тод расчета обтекания профиля, удалось выделить особенности ядер интегральных уравнений, что позволяет вычислить главные значения ин тегралов. Распределение скоростей ищется в виде полиномов из пробны? функций, удовлетворяющих постулату Чаплыгина-Жуковского и о со бенностям течения на концах крыла. Коэффициенты полиномов опреде ляются на основании метода коллокаций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Первый раздел диссертации посвящен усовершенствованию мето да расчета обтекания профиля потоком идеальной несжимаемой жид кости.

Математически расчет по тенциального обтекания профип: представляет собою внешнгак краевую задачу Неймана и сво дится к решению уравненн; Лапласа (уравнения неразрыв ности) относительно потенциал течения

д2Ф

дгФ л +-- = 0,

(1.1

Рис. 1.1. Система координат

дз? д? где ф(х, у) = Ф«о(х, >•) + Ф,(*, у) -потенциал течения; Ф<0(л,>') - потенциал невозмущен ного потока;

Ф[(х, у) - потенциал гидродинамических особенностей (вихревого слоя) Уравнение (1.1) решается при соблюдении следующих граничны условий:

1. Условия непротекания жидкости через контур Ь

<?Ф

дп

= 0;

(1.:

2. Условия на бесконечности

У„ = вгай^у)^, (1.3)

3. Условия Чаплыгина-Жуковского о конечносга скорости в зад-ей кромке профиля.

Граничные условия непротекания жидкости через поверхность 5 риводит к интегральным уравнениям относительно £(#): . 2 я

— ¡Ж^к^в,^=/¿0,1x1 (1.4)

¿71 0

1 2"

М--\МкМ<р)*<р=ФЛ < (1.5)

, 2п

~\^<р)кг{е,<р)<1<р^/ъ{е,а), (1.6)

де

g(0) = vjx2 + y¿, V=V¡V„, (1.7)

ф^^х-й + Жу-^ук1, (1.8)

Кг{е,<р) = \){х-г;)-х{у-Т1)}1к\ (1.9)

kM<p)^Ár2K\ 0-Ю)

R2 = (х — £)2 + (у— пУ, ^ = U-4)2+(Уо- 7)2- 0-11)

Правые части уравнений (1.4) - (1.5) могут быть записаны в форме /¡Св, а) = -у(в) eos a-t-x(¿?) sin а, (1.12)

/2( 0, а) = -2[х( é)cos or+у{ (?) sin от], (1.13)

ф, а) = [х( в) - ^]sin a-[y(6) - ^0]cos а. (1.14)

В предыдущих выражениях х0, у0 - координаты задней кромки 1рофиля; х = 0,5(1+cos в), у = в)\ х = dx¡dO, у = dy¡d0, 0< в<2п. Принятая система координат показана на рис. 1.1.

МЕТОД ГАЛЕРКИНА

Согласно методу Галеркина, пробное решение уравнений (1.4-1.6) колено представить в виде

= 0-15)

где

W2k_x{e) = b\xike, k-l,2,...,N3/2, (1.16)

л

W2k(e) = l-cosk0—f— [l-cos(fc-l)fff....+l-cos<9]. (1.17) 2/c—1

Система (1.15) является общей для всех профилей. Она правильно отображает поведение скоростей около задней кромки профиля для контуров с точкой возврата и с закруглением. Но эта система не обеспечивает точного удовлетворения постулата Чаплыгина-Жуковского для профилей с угловой точкой.

Таким образом, в случае применения метода базисных функций задача отыскания значений g{#) в заданных узлах заменяется задачей определения коэффициентов разложения Aj, зависящих от Ns. Значения коэффициентов Aj в системе (1.15) находятся из решения линейной системы алгебраических уравнений с использованием метода коллокаций или метода Галеркина.

Подставив (1.15) в (1.4), получим

1 Ns 2я

—ZAjfWjivWqddp-AM^Ri. (1.18)

о

В методе Галеркина коэффициенты Aj находят из условий ортогональности невязки к поверочным функциям т.е.

2яГ . J/s 2и "1

J AJ i(1.19)

oL M 0 J

Интегрируя выражение (1.19) по частям и учитывая, что g(o) = g( 2я) =0, получим

Z4")aJ=1iW> n = 1'2'3' (1-20)

. . 2d*

2яоо

где

¿¡(^) = 1п[(х-£)2+(>^ rif\/2, (1.22)

2ic

bi = -\fl{e,a)Wi{e)d9, (1.23)

о

/^.aJ-xi^sina-X^cosa. (1.24)

Для повышения точности определения коэффициентов (¿¡/ приметим "панельный метод" при вычислении интегралов.

Сущность этого метода заключается в том, что профиль разбивался на отдельные панели. Контур профиля и заменяются кусоч-

ю-линейными функциями. Вычислим интеграл

11п{[*( 0) - х( <рУ% +[у{е)-}{<р^}ту]{ (р)й(р. (1.25) о

Предыдущее выражение представим в виде

Я1^]\п{[х{в)-х{<р)^+[М-М¥}Н<р)с1<р. (1.26)

Значение найдется как сумма

N

= 0-27)

Л=1

где

Т} = ^(К/^) + 0,5^)]/, - ¡Уу2}, (1.28)

Л

■/,=(£+0,5А5Я )1пВ?-(Ь- 0,5Д5Я) - 2 М„ + +2я{агс1ё[([£| + 0,5 Д5„)/в] - агс1е[(|6( - 0,5Д5Я) /я]}, (1.29)

(1.30)

При Л, < £ или Л2<е формулы (1.68) и (1.69) имеют предельные

значения

У^г-Д^пДЯ,,-!), /2 = А5„2(21пД5„-1)/2. (1.31)

В расчетах было принято £= Ю-8.

Значения относительной скорости У(в) и коэффициента давления ср( д) вычисляются по формулам

с^г-у2. (1.32)

Коэффициент подъемной силы для заданного угла атаки найдется СУа = Сысо5а+СУа2$\па, (1.33)

где

2я-

Сул = ^с^МО- коэффициент подъемной силы при а = 0.

ля

Суа2 — - ^с^уйв - коэффициента подъемной силы при а = к/2.

1,0 X

Рис. 1.2. Сравнение численного метода с точным решением для профиля Жуковского;

--точное решение;

о - численное решение

С целью проверки эффективности разработанной методики был выполнены систематические расчеты обтекания различных профили для которых известны точные решения, найденные методом конфор! ных отображений.

Максимальная ошибка при вычислении коэффициента подъемно силы СУа составляет около 1%.

На рис. 1.2 - 1.3 результаты расчета по предлагаемой мегодш сравниваются с данными точных решений, полученных методом ко1 формных отображений.

На рис. 1.4 показано влияние числа Щ сохраненных членов ря; на величину Суд при постоянном шаге интегрирования, равне

Рис. 1.3. Сравнение численного метода с точным решением для двуугольника;

--точное решение;

о - численное решение

А = 2я/100(дакы сравнения Суа для профиля Жуковского). Видно, что ряд является быстр о сходящимся - при значении Ы, = 10 + 12 ошибка вычислений составляет около 2%.

Таким образом, в первой главе диссертации разработан модифицированный метод расчета обтекания профиля идеальным несжимаемым потоком.

Суть разработанного метода сводится к следующему: Интегральные уравнения (1.4 - 1.6). выражающие граничные условия безотрывного обтекания профиля, решены методом взвешанных тепязок ГМВНУ В этом подходе к решению интегральных уравнений нечестная функция раскладывается в ряд по некоторой системе пробных функций с неизвестными коэффициентами Ау Таким образом, вместо

штенсивности гидродинамических особенностей в заданных узлах оп-

3,0

?.о

1.0

тач. - 3,263 __о-_

СуапТОЧ -2,772

Суа тач ' 1,495

-Ч-\

а-.ю' "V--Ч-Ч

с*-О"

-ч-V

' 4 Г 6 7 В 3 10 н 12

Рис. 1.4. Влияние числа сохраненных членов ряда

рсделаются коэффициенты А} (методом Галеркина или методом колло-каций). Поскольку гладкие функции с большой точностью аппроксимируются с помощью сравнительно небольшого числа членов таких разложений, то для определения неизвестных коэффициентов приходится решать небольшую систему алгебраических уравнений (Д^ ¿10+12).

Кроме того, путем интегрирования по частям с использованием обращения пробных функций в нуль на концах интервала определения удалось преобразовать интегральные уравнения: изменить ядро и правую часть. Благодаря этому просто вычисляются значения интегралов кроме того, повышаются эффективность и точность расчета. Постулат Чаплыгина-Жуковского удовлетворяется путем выбора пробных функ ций, обеспечив таким образом, единственность решения.

2. ПОСТРОЕНИЕ КОНТУРА ПРОФИЛЯ ПО ЗАДАННОЙ СКОРОСТИ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Задача определения формы тела по заданным аэродинамическим характеристикам называется обратной задачей аэродинамики, а методы решения задачи называются обратными методами и имеют очень большое значение для практики аэродинамического проектирования.

Пусть задана хордовая диаграмма давления, т.е. ср{ = /{х^). На

основании ср. - /(х^) нужно найти физически реальный контур профиля и угол атаки, обеспечивающие заданное распределение давления. При этом к распределению давления (или скорости) предъявляются следующие требования:

1. Получаемая форма профиля должна быть физически реальной, т.е. контур профиля должен быть замкнутым и самонепересекающимся. Кроме того, профиль должен иметь скругленную переднюю кромку и угловую точку при задней кромке.

2. Течение жидкости должно быть безотрывным. Это условие может быть обеспечено, например, путем задания восстановления давления по Б.С. Стрэтфорду или по Г.ГО. Степанову.

Уравнение контура профиля в системе ОХУ с началом в середине хорды представим в параметрической форме

х=со¡.в, у~}[х(Щ 0йвй1 щ

где изменение параметра в от нуля (задняя кромка профиля) по 2я соответствует обходу контура против часовой стрелки. Хорда профиля равна 2 (см. рис.2.1).

Ординаты верхней и нижней поверхности контура представим в виде (система ОХУ)

уъ{в) = У/{0) + Ус{в),

(2-2)

(2.1)

Рис.2.1. К параметрическому представлению контура

где - ординаты средней линии профиля,

Ус(б>) - уравнение симметричной части профиля. Значение Уу(в) и ус(0) будем искать в виде суммы из полиномов

Якоби

= б/„. С")

п=\ И=1

Ус = Вс11аспРс„ = 71асп0сп< (2.4)

л=1 я=1

где5'/ = 1-х2, Д. ^^(И-хУО-х)^.

Значения Д и у92 задаются в зависимости от вида кромок симметричной части профиля.

При решении обратной задачи, т.е. для построения контура при , заданном значении ср = /(х), коэффициенты и асл определяются из

решения интегро-дифференциального уравнения, выражающего условие совпадения контура с одной из линий тока.

При этом профиль должен удовлетворять двум условиям:

1. Контур профиля должен быть замкнутым, т.е.

у(0) = у(2я) = 0. (2.5)

2. Профиль не должен быть самопересекающимся, т.е.

>>С(0)>О. (2.6)

Из выражения (2.3-2.4) видно, что значения ординат профиля при х = ±1 равны нулю. Таким образом, условие замкнутости контура (2.5) выполняется точно. Кроме того, при х = -1, ^(-1) = со, а при х = +1 имеет конечное значение. Это говорит о том, что передняя кромка закруглена, а задняя кромка профиля имеет угловую точку.

Координаты искомого профиля определяются из уравнения (1.6).

Имеем

У = -тМ^У^ + ^р, (2.7)

где

В формуле для В^ через л0 = 1 и = О обозначены координаты задней кромки профиля.

Значения относительной скорости при известном коэффициенте давления для несжимаемой среды найдется из формулы

гЫ^-с^Ы, ' (2.8)

где с?а(д>) - заданное значение коэффициента давления для несжимаемой жидкости.

Координаты верхней и нижней поверхностей контура профиля определяются из уравнений*

У9 = Уо+(х-х0)^а-

1

4ягсоз<

Т?с1<р,

(2.9)

1 2,*_ (дЛ ,_

Уа = Уо+(х-Хо)Ъ<*-7-2-5 (2.10)

4^гсо8а' ти

где

% =[*» -¿Ы]2ф.(б)- чЫ]*, =[хя(0)-£<р)]2 +[уМ- гк<р)Ь <2п.

Складывая и вычитая выражения (2.9) и (2.10), будем иметь

1

2гг

8 яооъа

.Ко

Ус = -

I

втгсовсг

2я

-¡у{9) 1п

К IX

(2.11)

(2.12)

На основании (2.3-2.4) и (2.11-2.12) коэффициенты а^ и асп определим методом Галеркина

о

(2.13)

(2.14)

-де » означает номер приближения.

' Аналогичные преобразования для тонких профилей были выполнены ".И. Майкапаром.

Интегралы (2.13) и (2.14) имеют логарифмическую особенность при <р-0и резкие экстремумы при <р-2п- в дня тонких профилей и для профилей с. острыми задними кромками. Поэтому выражения (2.11) и (2.12) по переменной <р были вычислены аналитически на панелях, как и в прямом методе.

При решении обратной задачи может быть задан закон распределения толщины ус, тогда на основании (2.11) определяется уравнение средней пинии профиля.

Если же известен jy(x), то по формуле (2.12) подсчитывается распределение толщины профиля.

Таким образом, данный метод позволяет вычислять у{ и ус или же только yj или уе при известных значениях ус или yf.

Угол атаки, соответствующий заданному распределению давления и проектируемому профилю, заранее неизвестен. Значение а определяется методом последовательных приближений.

Для вычисления угла атаки запишем выражение (2.7) для частного случая, когда Q- вр = п.

Будем иметь

yp = y0 + (xp-x0)tga+J(>p/4mMsa, (2.15)

2(i_ _

где J0p = jv{q>)\n[]$/Riyf+ tfd<p.

о

Из формулы (2.15) следует

а = ¿sign(y0 - Ур\ + arcsin[/0,/4 jeRqJ , (2.16)

где ^ор = у(*о ~ *рГ + (уо ~ УрТ > fr=arccos[fa -

Ср \

/ У /

/ /' // // \\ \ Л

1 I 1 vv N

¡1 О, 5

1

Законы распределения скоростей, обеспечивающие безотрывность обтекания, рекомендованы в работах Г.Ю.Степанова, Б.С. Стрэтфорда и др. Согласно этом методам, распределение давления берется таким, чтобы обеспечить постоянное значение формпараметра пограничного слоя. Согласно методу Б.С. Стрэтфорда, сила трения в области восстановления давления берется равным нулю.

На основании работ Г.Ю. Степанова распределение скоростей в зоне восстановления давления взято в виде

= (2.17)

где

При 5 = 0 значение скорости = Следовательно, величины максимальной скорости и скорости в точке 5 = 0 связаны соотношением

^ах^^^+О,?^/^-^)/'2 (2.18)

У (у О

Рис.2.3. Контур профиля- - Стрэтфорд Б.С, (а=3,96°);

----Степанов Г.Ю. (а=3,3°)

На рис.2.2 и 2.3 приведены результаты решения обратой задачи с использованием условий безотрывности Г.Ю. Степанова и Б.С. Стрэтфорда.

Таким образом, в работе на основе теории особенностей разработан универсальный метод для модификации профиля в потоке несжимаемой жидкости.

3. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В данной работе решена задача расчета обтекания профиля вязкой несжимаемой жидкостью' без отрыва или с диффузорным отрывом пограничного слоя. Математически для учета влияния вязкости строится

"эффективное" полугсло путем добавления толщины вытеснения <5* в зоне безотрывного обтекания по нормали к контуру профиля и построения ненесущей поверхности за профилем (рис.3.1.). Далее рассчитывается

Б _ ь

Рис.3.1. К построению "эффективного" полутела обтекание полученного полутела потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости методом вихревого слоя. Известно, что давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к поверхности профиля и равняется давлению на внешней границе слоя. Следовательно, скорость на поверхности полутела по нормали к контуру должна совпадать со скоростью на внешней границе слоя. А действительное распределение давления на профиле должно совпадать с распределением давления на поверхности полутела.

Параметры смешанного пограничного слоя рассчитываются интегральными методами.

Далее строится итерационный процесс по расчету потенциального течения и параметров пограничного слоя.

Расчет потенциального обтекания.

КонтурыЬ.ЦнЬ} (рис.3.1) представим параметрически

х = 0,5(1 + со8 0),;р=.ф:(0)]1 (3.1)

Ф) = ¿(я)+х( (.') + ¿у!4хг + у\

,__(3.2)

*2=4+ 0,5^(1+003вг\ уг = 3> (3-3)

0<,в£2я, Ой <7252я. Условие непротека!гия жидкости через поверхность X, запишется

—| 0, -—(3.4)

Применение метода Галеркина к (3.4) дает

Ъ

/ = 1,2,.....(3.5)

.М

1 2лг

где ^ШвШвЩ

О

2* о

Правая часть выражения (3.5) имеет вид

& = 8г{вЩв)<10, (3.6)

о

1 2*

где Я2{в) = -Г\81{<р2)к1{е,<р1)<1<р2, о

щ{в)=сЩг{{о)[с1в,

К2(0,ъ) =1п

Значения gl(<p) и

и-^ + и-^)2]-

взяты в виде 2

Построение застойной зоны. Координаты поверхности за точкой отрыва находятся из интегро-дифференциального уравнения ,Лх2>},2) = сот^ мет°Д°м последовательных приближений. Для верхней поверхности имеем

4^сова!

Ра 2тс 1Я

(3.8)

Зная коэффициенты Aj (следовательно, #{#)), можно подсчитать значения скоростей на внешней границе пограничного слоя по формуле

где V, =^/Ко - относительная скорость на внешней границе погршшч-Ъ

ного слоя, ¿(б) = - приведенная скорость.

М _

Найденные значения Уе служат граничными условиями на внешней границе пограничного слоя.

В работе используются интегральные методы расчета характеристик ламинарного и турбулентного пограничных слоев.

Ламинарный пограничный слой. Расчет параметров ламинарного пограничного слоя выполняется на основании однопараметрического метода Кочина-Лойцянского.

Отрыв ламинарный. Отрыв ламинарного пограничного слоя возникает при выполнении любого из следующих неравенств, эквивалентных в силу наличия связей между параметрами су, Н12, Нзг и формпара-

метром/:

1) 7/|2>4,03; 2) Нп <1,5161;

(3.10)

3)/<-0,0681; 4)9=0.

Точка перехода. Для определения положения точки ламинарно-турбулентного перехода используется эмпирический критерий, предложенный Р. Эйплером. Переход имеет место, если

> ехр(18,4Я32 - 21,74 - 0,30г), где г - степень шероховатости (1</-£3); в случае гладкой поверхности г = 0.

Турбулентный пограничный слой. Существующие методы расчет: турбулентного пограничного слоя в значительной мере отличаются пс степени их сложности и точности.

В данной работе при выборе метода расчета параметров турбу ленпюго пограничного слоя преимущество отдавалось методам, позво ляющим достаточно точно определять толщину вытеснения и положени точки отрыва при умеренном объеме вычислений. К таким методам от носится большинство интегральных методов и, в частности, методы Гар нера и Хэда.

В методе Гарнера известное интегральное соотношение Карман дополняется дифференциальным уравнением для формпараметра Н12

(3.11)

йх V, ¿х

¿Ми

иг

е

1 (IV,

.(3.12)

К

Для определения поверхностного трения принят степенной закон Фолкнера

РУ*

= 0,0065/Ке^. (3.13)

Турбулентный отрыв. В интегральных методах принято, что отрыв возникает тогда, когда Н12 > 1,8 + 2,6. Установление точного значения формпарамегра, при котором возникает отрыв, не представляется возможным. Но в силу быстрого возрастания //^ вблизи точки отрыва выбор характерного значения формпарамегра Нп из диапазона 1,8+2,6 слабо влияет на точку отрыва.

Расчеты характеристик турбулентного пограничного слоя методами Гарнера и Хэда для профилей В-12, В-16 по заданному экспериментальному распределению давления показали, что такой подход при определении положения точки отрыва применим только в случае позднего днффузорного отрыва вблизи задней кромки профиля. При наличии боле? разшего днффузорного отрыва на профиле не происходит быстрого возрастания /712 при подходе к точке отрыва, что делает определение положения точки отрыва по характерному значению Нп весьма затруднительным.

С целью определения положения точки отрыва в этом случае были проведены многочисленные расчеты обтекания разных профилей в потоке вязкой жидкости. Оказалось, что в таких случаях положение точки отрыза может быть найдено по положению локального максимума функции Н1г{х). Определенные таким путем координаты точек отрыва хорошо согласуются с их экспериментальными значениями.

Неопределенность решения задачи обтекания профиля вязким потоком объясняется тем, что форма эффективного полутела, обтекание которого рассчитывается невязким потоком, меняется по итерациям и зависит от числа Рейнольдса.

Следовательно, чтобы обеспечить единственность решения необходимо фиксировать форму этой поверхности, задав значение у(х) при каком-либо х или коэффициента подъемной силы Суд. В данной работе

процесс итераций (изменение формы полутела) завершается при достижении истинного значения С„ .

Уа

Введем коэффициент пропорциональности ку, определяемый из выражения

где / - ВДСЛо итераций, Су[ и С^1- значения коэффициентов по итерациям; Суа~ истинное значение коэффициента подъемной силы.

Коэффициент давления, соответствующий СУд. находится так

= " (3.15)

Далее, по полученному значению ср(х) подсчитывают^ параметры пограничного слоя и аэродинамические характеристики профиля.

Таким образом, для обеспечения единственности решения необходимо знать истинное значение С,в = С ¿а), которое определяется в процессе расчета.

Рис.3.2.

1,5-

1,0

0,5

/

Re = 6,2Ч0Ь --расчёты 0 - эксперимент

|

Сха-Рис.3.3.

0.1

На рис.3.2 и 3.3 приведены результаты расчета суммарных и рас-

Z^íT ХарШСГерИСгаК ТФИЛЯ GA(W)-1. который является модификация, шестизначного профиля NACA 653-018. На этих же графиках

нанесены эксперименты NASA. Видно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных.

Разработан приближенный метод расчета обтекания профиля с учетом вязкости. В работе использован зональный подход, когда расчет ведется в приближении пограничного слоя. Потенциальное течение вокруг эффективного тела моделируется с помощью вихревого слоя, а интегральные уравнения, к которым сводятся граничные условия, численно решены методом Галсргаша. А параметры пограничного слоя рассчитываются по .методу Лойцянского и Гарнера. Расчет взаимного влияния параметров погранч-шо1 о слоя на потенциальное течение вокруг "эффективного" тела замыкается в итерационный процесс.

В данной работе впервые осуществляется коррекция давления на основании сравнения коэффициентов аэродинамической подъемной силы по итерациям с их значениями, которые определяются из эксперимента и расчетным путем. Таким образом достигается единственность решаемой задачи.

-6,2 ЧО6 -расчёты

\

\ Л'Ю'

\

\

в\ \ ° у* ,

0.5 i с-

1/ А

Рис.3.4.

4. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦ ПОТОКА НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЯ

При движении крыла около экрана (из-за близости земли) или под свободной поверхностью жидкости (из-за близости границ водной поверхности) изменяются физические условия обтекания крыла. Расчет обтекания профиля с механизацией или с учетом границ потока производится на основе метода расчета обтекания изолированного профиля.

4.1. Влияние экрана на аэрод инамические характеристики профиля

Приближение к экрану (земле, палубе корабля) приводит к изменению картины обтекания и аэродинамических характеристик крыла. Как показывают теоретические и экспериментальные исследования, в присутствии экрана подъемная сила в результате торможения потока уменьшается, а благодаря скосу потока вверх (увеличение местных углов атаки) увеличивается.

Пусть произвольный профиль под некоторым углом атаки обтекается плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости вблизи плоской твердой границы. При решении этой задачи, кроме граничного условия на профиле, необходимо выполнить условие непротекания на плоской поверхности. Это условие имеет вид

Vn+Vy2 = Vy(x,y)\L}=0. (4.1)

С учетом (4.1) расчет обтекания профиля вблизи плоской границы эквивалентен задаче обтекания двух профилей Ц и Lq (рис.4.1).

Течение вокруг системы двух профилей моделируется путем наложения потенциального плоскопараллельного потока на возмущенное поле от вихрей у(<р), непрерывным образом, размещенных на Ц и Lj.

Уравнение контура профиля Ц в связанной системе координат х C\XlYi представим параметрически

X, =0.5(1+cos в);

г , м <4-2)

Координаты контура L^ в системе OlXlYl выражаются через координаты ¿j следующим -образом:

Рис. 4.1. К моделированию обтекания профиля вблизи экрана

x,, = XjCOs2flr+i^sin2ir+2(A + sina)sin<r, Я1 = Х\ smla- }>i cos 2а - 2(ft + sin a) cos а.

(4.3)

Потенциал скорости в случае обтекания двух профилей (рис.4.1) определяется из выражения

ф(*1» Л) = Ko(*cos«+ joiner) -

имеет

Гршшчное условие Неймана имеет вид

дп

Условие непротекания жидкости через Ц запишется

. In

-\áMe,p)d<p^fx{e), (4.6)

2*о

где

u-^+u-*)2

ЛС% <р)=■= Ху sinа-у{cosа.

о и

При решении уравнения (4.6) имеем

. 2*2<г 0 0

2 я-

Ц = j/MwMda (4.9)

о

Интегрируя предыдущие выражения по частям (по переменной 9) и учитыва, что = W^ln) = О, получим Шя

Ъ = ~Г í í!fete <рЩ<?)ЩШ<р0в; (4.10) Ая оо

In

^ = (4.11)

гае Ш <р) = - $+(Л - *а)2]Ди - £„)2+(л - '/и)2]-

Вычисления предыдущих интегралов были даны ранее при расчете обтекания изолированного профиля. Результаты расчета обтекания профиля с учетом границ потока приведены на рис.4.2 и 4.3.

Ср -а -I

■ о

.: i

*Q О

_а

У о

-CU

Рис.4.2. Влияние экрана на с; = /(х) при а=8° --h =00;

• : Л =0,1

— (.4

А у у

ом

ot*

Рис.4.3. Влияние экрана на СЛ - f{a)

--h =оо;

о - Л= 0,1

о

о о

о О

4.2. Влияние свободной поверхности жидкости на аэродинамические характеристики профиля

Предположим, что профиль крыла ¿( обтекается плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости вблизи свободной границы Xj. В этом случае необходимо соблюсти граничное условие непротекания на контуре Ц и постоянство давления (/?„) на свободной поверхности L2 (рис.4.4).

Выражение для функции тока ц{х,у) имеет вид

(4.12)

h

где dSp = ij(d€p)2 +{dt}vY', dS = pt)2+(dtj)2.

Контур профиля L^ является линией тока течения, где ip(x,y) = const. Взяв постоянную, равную величине vK^.^o) Е точке задней кромки с координатами из формулы (4.12) получим

Рнс.4.4. Профиль крыла вблизи свободной поверхности

где

/ъ{ё) = -0,5[.p2cosa+0,5(l- cos 0) sin а].

Поскольку ¿2 является линией тока, то форму свободной поверхности можно определить из условия = const. Определив константу как значение у(хр,ур) в точке с координатами л:^, у^, будем иметь

V V -1 fîn (ХУ-$>)2АуР-%У

Ур~Ур° ЪгJ 7-V 1-V'~

-Uv-ln h-j^-jtdS. (4-14)

4.3. Проектирование профиля вблизи свободной поверхности

Обратная задача для профиля вблизи свободной границы отличается от задачи в неограниченном потоке необходимостью учета влияния свободной поверхности.

Решая уравнение (4.13) относительно >>(#), будем иметь

2*со ваУ

где *0 = сова, >»0 = 0.

Здесь результаты, полученные в первой главе, распространены на более сложные случаи - расчеты обтекания профиля вблизи земли и около свободной поверхности жидкости. В этом случае тоже применен метод Галеркина для решения интегральных уравнений и дал ряд преимуществ по сравнению с прямыми методами. К этим преимуществам можно отнести:

- уменьшение числа алгебраических уравнений, их которых определяются коэффициенты пробных решений;

- повышение точности расчетов за счет преобразования уравнений;

- возможность расчета обтекания произвольного профиля, включая профилей, имеющих острые передние и задние кромки.

5. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Математически задача потенциального обтекания крыла, ограни ченного гладкой, в смысле Ляпунова, замкнутой односвязной поверх ностъю Я представляет собой внешнюю краевую задачу Неймана и фор мулируегся так: найти функцию Ф(х,у,г) (потенциал течения), удовлетворяющую уравнению Лапласа АФ = 0 в области течения П* и гранич

дФ

ному условию непротекания —— = 0 на поверхности 5. Решение тако!

дп

задачи единственно, если задана скоросп, невозмуенного потока на бес конечности У„ = и величина циркуляции Г вокруг контура.

В силу линейности уравнения Лапласа гармоническую функции ф(х,у,2) ищут в виде суммы потенциала невозмущешюго поток;

Ф«>(x,y,z) и потенциала гидродинамических особенностей Ф{(х,у,г) (источников, вихрей, диполей), размещенных на контуре, серединой поверхности или вне контура. Граничное условие нспротекания жидкости через поверхность крыла сводится к интегро-дифференциальным уравнениям относительно неизвестных особенностей. Распределения скоростей и давлений на контуре определяются по найденным значениям гидродинамических особенностей.

Применим теорию вихревой поверхности к задаче обтекания произвольного крыла конечного размаха, установленного под некоторым углом атаки а. Поверхность крыла покрывается непрерывным вихревым слоем у, а след моделируется с помощью плоской вихревой пелены, лежащей в плоскости OXZ (рис.5.1).

Поверхность крыла представим параметрически х = х(0,ё), у- у( 9,S), z = -£/2cosS,

(5.1)

7= Ж<Р, у/), £=-£/2costff, О<0<2л, OS<p<2ff, О О

Введем два единичных вектора \ и ~т2, лежащие в касательной плоскости в точке с текущими координатами Вектор \ лежит в

шоскости const и является касательной к контуру профиля, а вектор г2 является касательной к линии <р= const на поверхности крыла.

Рис. 5.1. Вихревая схема крыла

(5.2)

где

Ё1 д<р

dtl

yz=const

ду

д<р т/ =

const

const

. <r=

. p=const

н

ду/

const

Используя теорию вихревой поверхности, суммарный потенциал течения математически можно представить

ф(%, у,г) = Ф0(х, у) + Фг(х, у, г) + Ф2(х, у, г), (5.3)

где Ф0(х, у) - потенциал невозмущенного потока, Фг(х,у,г) - потенциал вихревой поверхности на Я, Ф- потенциал свободной вихревой пелены за крылом £ •

Поле скоростей в этом случае определяется по формуле Био-Са-

вара

AtcR1

(5.4)

'-г.+Я^* Я!

5 чяк 2

где У^ - скорость невозмущенного потока, у - вектор плотности вихревой поверхности на 5,

- вектор плотности вихревой пелены на 2, Я. = (х-£)Т + {у-Т])У- радиус вектор, проведенный из точки Р(£ в точку

Вектор вихревой плотности у можно представить в виде суммы

у=у2*1 + ПЪ- (5-5)

Если учесть предыдущее выражение, то вектор полной скорости потенциального течения вокруг крыла найдется как

V = К«,cosaJ+K,sinaj+jj +

(5.6]

4яК

ггГа[гд кЛ] гг[уд . 4лЛ3 4яК3 аТ"

где ац - угол атаки корневого профиля.

Граничное условие непротекания жидкости через поверхности крыла имеет вид

<5.7

где И° - вектор нормали к поверхности 5 в точке (х,у,г). Если учесть (5.6) то условие непротекания (5.7) можно представить

¿//(/А + у2К2)Ж+Ц у^К/1 И = (5.8)

где

[\ хЩ-Г [ГхЛ]-п

Л

Введем следующие обозначения

С2{?+#)+(?}]-

К>

(5.9)

(5.10)

(5.11)

<?з = ГхС/К>-

(5.12)

Если учесть выражения (5.10) - (5.12), то граничное условие (5.8)

иогхно присеста к виду

| Г2 тс

4 л

. о о

00

(5.13)

Кх =

к2 =

-Еа(х'? + у'т/+2'С)+Ес(ут/ + , (5.14)

: , (5-15)

-ЕУ^+ЕДУК2. (5.16) Уравнение (5.13) решается при выполнении следующих условий:

1. Постулата Чаплыпша-Жуковского о сходе потока с задней

кромки профиля, т.е.

С\(0,г) = Ох{2л,г)=0. (5.17)

2. При симметричном обтекании крыла должно быть

Сх{в,2) = Ох{в,-2), (5.18)

02{е,2) = -02{в-2). (5.19)

3. Циркуляция скорости на концах крыла должна обращаться в нуль, т.е.

Г(±г/2) = 0. (5.20)

4. Имеет место условие соленоидальности вихревой поверхности у

(5.21)

Отсутствие дивергенции у для крыльев большого удлинения при малом изменении координат записывается в виде

= (5.22)

д8 дв

5. Величина скорости У2 должна обращаться в нуль при 2 = 0, причем это обращение в нуль должно быть определенного порядка.

6. Выполняется условие коллинеарности вектора V и вектора у-у на поверхности Е (условные равенства давлений с обеих сторон поверхности 2)

[г*н] -о.

(5.23)

Приближенные значения Gj(0,¿>) будем искать в виде суммы с неизвестными коэффициентами А^.

(5-24)

Wj{é\ и U„(s) • базисные функции удовлетворяющие краевым условиям. Функции имеют вид

= sin»*?, v=l,%...,N3/2, (5.25)

= 1_cos v-l)0f....+l-cos5|], (5.26)

1^(^ = 008(2/1^1)« /х=1,2,.....W„/2, (5.27)

= (5.28)

Вторую искомую функцию G2{e,¿) представим в виде суммы

G2M = G2lM + G22{9,S), (5.29)

]' 2

>=2

где

Подставляя значения Gj, G2, G3 в уравнение (5.13), на основаюн метода холлокаций получим

№

На рис.5.2. приведены результаты расчета сечения крыла, изобра-кенного на рис.5.3.

о, 4

! и \ V

> 1 о 1

■ о>а

I-

5.2. Сравнение теоретических методов ^—■

расчета распределения давления —

«с

хх -ПавловецГ.А.; оо - Рягузов Е.А.; г>, ,, _ _

оо- Романов В.М. Рис.5.3. Рассчитываемые грылья с профилем

Жуковского (Я = 5, с = 0,16)

2

г

Разработан метод расчета обтекания крыла конечного размаха в идеальной несжимаемой жидкости.

Метод базисных функций позволяет на порядок уменьшить число алгебраических уравнений, чем прямые методы решения интегро-аифференциальных уравнений.

Таким образом, в дагагой диссертации решены задачи обтекания :ечений хфыла несжимаемым потоком на основе метода Б.Г. Галеркина. Показано, что метод Б.Г. Галеркина позволяет справиться со многими грудносткми, которые возникают при решешш задач теории крыла.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ:

1. Разработан эффективный численный метод расчета обтекани произвольного профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкое ти. Результаты расчета сравниваются с данными точных решений полу ченных методом конформных отображений. Расхождения между резуль татами численного и точного методов составляет не более 1+2%. Рас смотрен вопрос о сходимости метода. Универсальность и высокая сте пень точности метода достигнута за счет усовершенствования матемаст ческой модели и математического метода решения интегральных уразш ний - выбора ортогональных пробных функций и применения модифн цированного метода Галеркина.

2. Решена задача модификации контура профиля по хордовой ди аграмме скорости в идеальной жидкости. Получены уравнения для опр« деления координат средней пинии, полутолщины профиля и угла атак* Коэффициенты пробного решения определяются методом Галеркин; Безотрывность обтекания в зоне с положительным градиентом дав лени обеспечивается путем задания законов распределения скоростей, реке мендованных Г.Ю. Степановым и Б.С. Стрэтфордом. Приведены прим< ры расчета (точность расчета - в пределах 1+2%).

3. Разработан метод расчета аэродинамических харакгеристи профиля при обтекании его потоком вязкой несжимаемой жидкосп Учет влияния вязкости на характеристики профиля осуществлен в приб лижении пограничного слоя. Уточнена математическая модель "вязке невязкого" взаимодействия. Впервые разработан метод коррекции да! ления, обеспечивающей завершение итерационного процесса. Расчегны значения распределенных и суммарных характеристик известных прсф лей сравниваются с данными экспериментов ЦАГИ, NACA и с результ; там и расчета других авторов (расхождения между результатами числе! ного расчета и экспериментов в пределах 5+7%).

4. Решены прямые и обратные краевые задачи аэродинамики ди профиля с учетом границ потока. Здесь используется методы, разрабс тайные для расчета профиля в неограниченном потоке.

5. Усовершенствован математический метод расчета обтекани крыла конечного размаха идеальной жидкостью за счет выбора ортоп нальных пробных функций и за счет преобразования интегральны уравнений. Уменьшено количество решаемых алгебраических уравнени относительно коэффициентов пробного решения.

Разработанные в диссертации методы реализованы в виде при! ладных программ, которые используются в научно-технических разр; ботках АО АНТК им. А.Н. Туполева и в учебном процессе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1угмннов З.Х. Вихревая теория крыла конечного размаха II III Все-огозная научно-техттчесзсал конференция по прикладной аэроди-[амихе. Тезисы докладов. -Киев. -1973. -С.124.

Н[угманов З.Х. Экспериментальное исследование влияния продоль-юй струи воздуха на аэродинамические характеристики крыла II 1зв. вузов. Авиац. техники. -1974. -Вып.1. -С.122-123. Эугманов 3-Х. Решеиие шггегрального уравнения вихревого мето-Хас помощью рядов Фурье I! Изв. вузов. Авиац. техника. -1974. --С.80-85.

Нугманов З.Х. Вихревой метод расчета профиля любой формы // г!зв. вузов. Авиац. техника. -1975. -№ 2. -С. 78-83. Нугманов 3-Х. Решение сингулярного интегрального уравнения для произвольного профиля И Изв. вузов. Авиац. техника. -1976. 2. -74-78.

Нугманов 3-Х. Аппроксимация поверхности крыла ортогональными полиномами. Вопросы проектирования летательных аппаратов. • Межвузовский сборшпс // Казань: КАИ. -1977. -Вып. I. -С. 24-29. Нугманов З.Х. Метод расчета скорости на поверхности произвольного крыла в идеальной жидкости II Изв. вузов. Авиац. техника. -1979. -№ 4. -С. 35-40.

Нугманов З.Х. Математическое опиоаиие поверхности произвольного крыла. Вопросы проектировмшя летательных аппаратов -Межвузовский сб. // Казань: КАИ. -1979. -Выи. 2. -С. 49-53. Нугманов З.Х., Латыпова Э.И., Левширбапов С.Р., Овчинников В.А. Метод расчета обтекания произвольного профиля при наличии отрыва потока II Изв. вузов. Авиац. техника. -1992. -С. 33-37. I. Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Прнбтссепный метод расчета обтекания профиля крыла о учетом вязхосщ II Изв. вузов. Авиац. техника. -1989. -№ 4. -С. 81-83.

. Нугманов З.Х., Овчинников В .А. Численный метод расчета обте-кашхя профиля вязким несжимаемым потохом // Казань: Казан. Гос. Техн. Униа. -1993. -140 с. t. Нугманов 3-Х., Овчинников В.А. Особенности решения интегрального уравнения теории крыла методом Галеркина // Изв. вузов. Авиац. техника. -1997. -№ 2. -С. 47-50. >. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г. Аэродинамическое проектирование профиля о учетом условия безотрьшности II Изв. вузов. Авиац. техника. -1985. 3. -С. 47-50.

14. Нугманов З.Х., Овчинников В .А., Павлов В.Г., Романов В.? Численные методы расчета обгеэсшпш профиля идеальным несж маемым потоком: Учебное пособие. -Казань: КАИ. -1986. -64 с.

15. Нугманов З.Х., Овчшшнков В.А., Павлов В.Г. Расчет отрывно обтекания профиля потоком несжимаемой лкидкост.-Аэрод намнка летательных аппаратов и их систем // Куйбышез: КуАИ 1987. -С. 18-25.

16. Нугманов З.Х., Овчишшков В.А., Павлов В.Г. Расчет обтекай профиля потоком вк;1кон несжимаемой жидкости // Изв. вузе Авиац. техника. -1987. 1.-С. 112-113.

17. Нугманов З.Х., Овчишшков В.А., Романов В.М. Расчет обтекал] произвольного профиля с механизацией. -Вопросы проектирован] летательных аппаратов II Казань: КАИ. -1982.-С.59-65.

18. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Романов В.М. Методы расчет обгекешня телесного крьша конечного размаха идеальной н&схс маемой жидкостью II Вопросы авиационной науки и техник Новосибирск: СнбНИА. -1988. -Вып.З. -С.10-13.

19. Нугманов З.Х., Романов В.М. Улучшение точности решения и тегральных уравнений при о предающим скорости на поверхност профиля. -Устойчивость и управление II Казань: КАИ. -1977, С. 61-68.

20. Нугманов З.Х., Романов В.М. О решении интегральных уравн ннйпрн расчете обтекания произвольного профили методом ви ревого слоя / КАИ. -Казань. -1978. -15 с. Рукопись дел. в ЦНТ "Волна". Д03684.

21. Нугманов З.Х., Романов В.М. Численный метод расчета обтек ния произвольного профиля II Всесоюзная конференция по устои чивости движения, колебания механических систем и азродин, мике. МАИ.-1978.-С. 67-68.

22. Нугманов 3.X., Романов В.М. О решении задачи обтехат крыла конечного размахаУ/Иэв. вузов. Авнац. техника. -1988.-№ I. С.108-109.

23. Нугманов З.Х., Павлов В.Г., Ш&рафеев М.Г. Проектирован* профиля по заданному распределению давления II Гидрогаз» динамика летательных аппаратов и их систем. Куйбышев: КуАР -1984. -С. 8-15.



у ~ з ид кум ВАК. Росс и и

{родовое от" //* && I

ц шрё&сущл ученую степень ДОКТОРА

,-4|ачальник упр^вле^ия ВАК Щс^жя . / %__________

I /1. л. /

и /,/ / /

■"Г I "<. £ . 1 / Ь У

к/

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени А.Н.ТУПОЛЕВА

На правах рукописи

Нугманов Зуфар Хуснутдинович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ СЕЧЕНИЙ КРЫЛА НЕСЖИМАЕМЫМ ПОТОКОМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА

Специальности: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях;

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора технических наук

Казань - 1997

ВВЕДЕНИЕ

Постоянное усовершенствование летательных аппаратов (ДА), рост их стоимости, времени разработок и внедрения достижений науки в практику инженерных расчетов в авиации и ракетостроении привели к необходимости широкого использования новых' средств разработки -систем машинного проектирования [8,25,84,137,159,173,175]. Применение вычислительной техники на различных стадиях процесса проектирования позволяет значительно сократить трудоемкость этого процесса, организован» комплексную оптимизацию ряда параметров, увеличить число рассматриваемых решений и тем самым сократить расходы на стадии проектирования [175].

В наши дни рекомендации о рациональном облике самолета могут быть сделаны только на основе комплексных проработок с участием проектировщиков различных специальностей. Трудоемкость этих процессов значительно возросла за последние годы, а время, когда конструктор мог считать себя создателем самолета нового типа, почти миновала [159]. Поскольку комплексная программа должна включать значительное число блоков ("Аэродинамика", "Прочность", "Аэроупругость", "Экономика" и т.д.), то целесообразна модульная структура программы, при которой отдельные блоки (модули) разрабатываются специалистами в данной области. При этом процесс проектирования самолета оказывается возможным лишь в условиях тесного взаимодействия различных дисциплин (рис. В.1 [213]). В частности, блок "Аэродинамика" предназначен для расчета суммарных аэродинамических характеристик с учетом эффективности органов управления для выполнения условий балансировки на всех режимах полета самолета..

Рис. В.!. Взаимодействие различных дисциплин при проектировании самолета

Кроме того, необходимо знать распределенные нагрузки по отдельным элементам самолета, которые требуются для расчета прочности и упругих деформаций конструкции самолета. При этом важно применять накопленную информацию по экспериментальными исследованиям самолета - прототипа и сочетать эту информацию с данными, полученными существующими расчетными методами [175].

Определению аэродинамических характеристик самолета, и его частей уделялось много внимания, начиная с зарождения авиации: существует много статей и книг, в которых собраны полученные результаты. Но методология аэродинамического проектирования самолета находится в развитии и еще далека от завершенного состояния [84, с.9].

На этапе начального проектирования самолета используются более простые, приближенные методы, Самолет рассматривают как совокупность отдельных частей: крыла, фюзеляжа, оперения, гондол двигателей и т.д. Определяют силы и моменты, действующие на каждую из них. При этом используют результаты* аналитических, численных и экспериментальных исследований. Силы и моменты, действующие на самолет:, .находят как суммы соответствующих сил и моментов, действующих на каждую из его частей, с учетом их взаимного влияния [8, с,96].

При аэродинамическом проектировании самолета и его частей применяют как прямой, так и обратный методы формирования конфигурации летательного аппарата,

При прямом методе задаются геометрией крыла, фюзеляжа,...., самолета, а их аэродинамические характеристики рассчитываются теоретическими методами (аналитическими и численными - способами) или получают экспериментальным путем, Изменяя принятую первоначально на основе статистических данных геометрию частей самолета, и их взаимное расположение, исследования повторяют до получения аэродинамических характеристик самолета, соответствующих заданным техническим условиям (рис, В.2)

Выбор геометрии крыла, фюзеляжа,

самолета.

Определение

аэродинамических характеристик

Сравнение характеристик

технич. условиями

Рис. В.2. Схема проектирования самолета прямым методом

Обратный метод аэродинамического проектирования самодета требует задания распределения давления или скорости, которое обеспе-

чит желаемые характеристики крыла (самолета), причем решение обратной задачи аэродинамики может быть построено с ограничениями на геометрические и аэродинамические характеристики самолета ([173], с. 230), Схема решения обратной краевой задачи аэродинамики показана на рис. В.З.

Рис. В.З. Численная схема аэродинамическою проектирования самолета обратным методом

Среди аэродинамических характеристик самолета имеется один

параметр, точная оценка которого особенно важна - это аэродинамическое качество (К = Суа/СХп - отношение подъемной силы к сопротивлению). Чем выше качество, тем большей дальности полета можно достичь при заданном относительном запасе топлива. Например, пятикратное увеличение расходов на аэродинамические исследования является выгодным, если это приводит к увеличению аэродинамического качества, на 1%[8,с.8].

Аэродинамические характеристики самолета и его частей могут быть найдены аналитически, численно или опытным путем. По-видимо-

му, до конца XX века основным методом исследования аэродинамики останется экспериментальный, поскольку только в процессе эксперимента можно получить эталонные данные и, что особенно важно, выявить новые аэродинамические явления [8], В настоящее время все возрастающее значение приобретает численное решение уравнений, описывающих математические модели обтекания самолета и его частей. Эта область аэродинамики развивается очень бурно. Полагают, что к 2000 году можно будет рассчитывать обтекание полных конфигураций самолета как при установившемся движении, так и при маневрировании [8].

Все три подхода аэродинамики (аналитический и численный методы расчета, эксперимент) тесно связаны, взаимно дополняют и обого-щают друг друга. Так, достоверность результатов численного метода расчета обтекания сечений крыла (профиля) потенциальным потоком несжимаемой жидкости можно оценить лишь путем сравнения их с данными точных решений, полученных, например, методом конформных отображений. Правильность расчета обтекания тел с учетом вязкости и сжимаемости может быть проведена лишь с помощью физического эксперимента. Но стоимость экспериментальных исследований быстро растет, прежде всего, из-за удорожания обслуживания, из-за роста стоимости электроэнергии, а также из-за все возрастающих затрат времени, связанных с необходимостью приспосабливать имеющиеся экспериментальные установки и стенды для испытания новых моделей. Кроме того, результаты, полученные в аэродинамических трубах на моделях самолета, необходимо перенести на натурный объект. Вместе с тем наблюдается стремительное снижением стоимости проведения расчетов, обусловленное появлением более мощных ЭВМ, обеспечивающих высокую скорость, а также более эффективных методов расчета. Отмеченные тенденции роста стоимости проведения экспериментов и снижения стоимости выполнения расчетов создают чрезвычайно благоприятные предпосылки

для внедрения вычислительной аэродинамики как основного средства, аэродинамического проектирования [25,84, ] 75],

При численном решении уравнений, моделирующих обтекание ДА и его частей с учетом вязкости, большинство методов основывается на так называемом зональном подходе. Согласно этому методу, область течения разбивается на две зоны: зону невязкого течения, в которой влияние вязкости не учитывается, и зону вязкого течения, обычно включающую тонкий пограничный слой у стенки и след за телом, в которых вязкость играет важную роль [43,156,189,190,203,213].

В общем случае может оказаться целесообразным получение численных решений уравнений Навье-Стокса для всей области течения, вместо локального решения этих уравнений при зональном подходе. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса. дан, например, в работах [18,84,186,216,221,237].

При практическом применении зонального подхода возникает вопрос о выборе математических моделей для описания зон невязкого и вязкого течений, иначе говоря, о выборе уравнений движения, а также вопрос о способе стыковки локальных решений для этих зон.

Наиболее эффективным методом получения решения для невязких несжимаемых течений, описываемых уравнением Лапласа, является метод наложения потенциальных потоков, В силу линейности уравнения Лапласа суммарный потенциал скорости представляют как сумму потенциалов невозмущенного потока и гидродинамических особенностей; источников, диполей и вихрей. Особенности располагают на поверхности тела или внутри него, а также в вихревом следе, Такие распределенные особенности автоматически удовлетворяют уравнению Лапласа и граничным условиям на бесконечности. Задача сводится к удовлетворению граничных условий на поверхности тела и в следе, Метод наложения потенциальных потоков является общим методом, позволяющим решать задачи о потенциальном обтекании жидкостью любого числа тел, Гйдро-

динамические особенности в идеальной жидкости, вообще говоря, являются фиктивными, они служат лишь средством деформации прямолинейного поступательного потока.

В общем случае доказано [152], что искомую гармоническую функцию, регулярную вне поверхности 5, можно искать как. сумму потенциалов простого и двойного слоев, расположенных на 5'. Если решается внешняя краевая задача Неймана, то возмущенный потенциал скорости может быть представлен в виде потенциала двойного слоя. Бели далее учесть эквивалентность потенциалов двойного слоя и вихревой поверхности [90], то при решении задачи Неймана достаточно пользоваться методом вихревого слоя, теория которого достаточно хорошо разработана. Для получения распределения скоростей необходимо знать лишь значения частных производных от потенциала, скорости по касательному направлению к поверхности тела..

■и Л X

Источники - стоки (простой слой) моделируют лишь обтекание профиля без циркуляции. Для создания подъемной силы необходимо ввести дополнительные особенности - диполи (двойной слой) или вихревой слой.

Интенсивности гидродинамических особенностей определяются из интегральных уравнений, выражающих граничное условие на поверхности обтекаемого тела (нормальная составляющая суммарной скорости равна нулю). А полное уравнение потенциала с учетом сжимаемости решается методом' поля [173], В настоящее время хорошо известны и широко описаны различные модификации численных подходов к расчету потенциальных течений, основанных на размещении внутри обтекаемого тела или на его поверхности гидродинамических особенностей (диполей, источников, вихрей). Идеи этих подходов не новы. Однако в домашинную эпоху расчет обтекания тел сложной формы наталкивался на. значительные трудности, связанные, в основном, с численной реализацией получающихся интегральных уравнений. В настоящее время в связи

с увеличением мощностей ЭВМ и развитием методик эффективного решения больших систем алгебраических уравнений интерес к таким численным подходам значительно возрос [39,45,59,65,157,173].

Методы теории потенциала для численных расчетов полей течения при обтекании тел произвольной формы известны и дают хорошие результаты, (см., например, [39,59,173]. Однако точное или приближенное решение интегральных или интегро-дифференциальных уравнений для крыла с произвольным контуром связано все же с рядом трудностей. К ним относятся; особенности ядер интегральных уравнений, большое число алгебраических уравнений, обеспечение условий течения жидкости в окрестности задней кромки, на торцах крыла и изломах.

Шаг вперед в решении уравнения для потенциала в случае крыла с произвольным контуром был сделан с помощью так называемого панельного метода [39,59,141,173,213,214].

Сущность панельного метода состоит в том, что вместо непрерывного распределения особенностей по поверхности тепа задаются интенсивности их распределения на отдельных панелях. Затем решается интегральное уравнение на своей панели.

К настоящему времени разработано множество панельных методов, различающихся главным образом способом выбора типов особенностей, законом распределения их интенсивностей, способом расположения панелей и типом используемых граничных условий. Примерами панельных методов первого поколения являются работы Смита [223,224], Гесса [187], Роберта и Саариса [219,220], Вудворда [231,233], Морино [214] и др.

Используя теорию потенциала, большой вклад в развитие вычислительной аэродинамики внесли отечественные ученые: В.А. Баринов [9], С.М. Белоцерковский [10-19], М.А. Брутян [22-23], В.Н. Вернигора [26], Н.Ф. Воробьев [27-30], Ф.И. Ганиев [21,36,37], МА. Головкин [41], A.A. Дашковский [45], A.A. Зайцев [62-63], А.Г. Захаров

[64-66], В.Е. Ковалев [77], Г.А. Колесников [12,78], В.Н. Котовский [13, 79], И.К. Лифанов [14], Л.А. Маслов [93-98], А.П. Мельников [99], М.И. Ништ [15-17], Г.А. Павловец [130-134], В.М. Романов [138,139], Н.Д. Са-мознаев [142], Б.К. Скрипач [18-19], Ю.Г. Степанов [156], А.Д. Хамзаев [169-170], Л.М. Шкадов [175], В.М. Шурыгин [179] и др.

В существующих методах особое внимание обращается на техни- )

ку вычислений и на использование машин. А учет физических особен- |

/

ностей течений на изломах (корневое сечение), на концах крыла (обра- | щение нагрузки в нуль), выполнение постулата Чаплыгина-Жуковского {

I

на задней кромке (противоречивость решения этой фундаментальной ; проблемы) нельзя считать полностью решенными [84, с. 172; 176; 190]. I

Методы решения уравнений пограничного слоя можно разделить на два типа: дифференциальные и интегральные. В дифференциальных методах используются уравнения в частных производных, в интегральных - обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые из интегральных соотношений.

К настоящему времени разработано множество методов и соответствующих программ для расчета вязких течений [55,56,90,167,176,178,185 идр].

Расчеты интегральными методами требуют меньших затрат машинного времени счета и, как правило, меньшего памяти ЭВМ, но необходимость задания формы профиля скорости затрудняет проверку сложных моделей турбулентности. Кроме того, в интегральных методах не учитывается изменение давления по нормали к поверхности крыла.

При зональном подходе программу определения параметров пограничного слоя необходимо связать с программой вычисления скорости при потенциальном обтекании "эффективного" тела, получаемого добавлением толщины вытеснения пограничного слоя и следа к крылу. Давление на крыло определяется как давление на поверхность вытес-

нения, В результате- этого создается итерационная процедура расчета вязко-невязкого взаимодействия,

Существующие метода дают результаты, близкие к экспериментальным. В этой части также имеются нерешенные проблемы. Например, не определен аналог условия Чаплыгина-Жуковского в вязких течениях. В работе [84, с. 1.78] отмечается, что было бы весьма целесообразно обратить особое внимание на эту фундаментальную проблему вместо разработки еще одного панельного или релаксационного метода.

Существуют два основных способа расчета обтекания тела, использующие модель вязко-невязкого взаимодействия:

1. Прямая итерационная процедура (рис, 1,4);

2. Обратная итерационная процедура (рис. В,5).

В прямой итерационной процедуре сначала рассчитывается невязкое обтекание заданного тела. Затем, используя найденное распределение скоростей, определяют параметры пограничного слоя. Далее, используя толщину вытеснения § (х), корректируют граничное условие и

повторяют расчет потенциального оотекания ''Эффективного'1 полу тела (рис, В.4).

Процесс продолжается до тех пор, пока отличие давлений на двух последовательных расчетах не станет достаточно малым.

Геометрия

обтекаемого "Чу. j

тела (полутела)

Расчет невяжого течения \jg

Ж,

Г Толщина ! Расчет

L.rtrr:.,.. погр. слоя

вытеснения. Г""-

! .. _J (прям, задача)

Рис. В .4. Процедура расчета вязко-невязкого взаимодействия (прямой итерационный процесс)

В обратной итерационной процедуре расчет пограничного слоя производится' для того, чтобы определить распределение, скорости на, поверхности тела ие, соответствующее заданному распределению толщины

Мп) тг

вытеснения о 4 -, Кроме того, решается прямая задача невязкого течения (с учетом толщины вытеснения & ■ ') и определяется распределение ско-•тей 11е. Далее производится корректировка толщины вытеснения по

{М = ¿Р> + А(й.-и) + в±(1Г-и),

схеме (рис, В.5)

йх

где II -