автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Механизмы регулирования в иерархически управляемых динамических системах

На правах рукописи

Дубров Денис Владимирович

МЕХАНИЗМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ В ИЕРАРХИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Ростов-на-Дону 2006 г.

На правах рукописи

Дубров Денис Владимирович

МЕХАНИЗМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ В ИЕРАРХИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и программирования механико-математического факультета Ростовского государственного университета.

Научный руководитель1.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Угольницкий Геннадий Анатольевич

доктор технических наук, профессор

Жак Сергей Вениаминович

доктор физико-математических наук, профессор

Крапивин Владимир Фёдорович

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 28 " сентября 2006 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета К.212.208.04 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корпус 2, ЮГИНФО РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " 25 " августа 2006 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Муратова ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы. Разработка методов принятия решений для сложных (в частности, эколого-экономических) систем управления невозможна на практике без учёта интересов всех участвующих сторон. В связи с этим представляется целесообразным исследование подобных систем при помощи математических моделей, отвечающих концепции иерархически управляемых динамических систем (ИУДС)М. В данных моделях над объектом существует некоторая иерархия, состоящая из нескольких субъектов управления, у каждого из которых есть собственные цели и ограничения. Субъект самого верхнего уровня имеет возможность управлять системой лишь опосредованно через иерархию. В качестве объекта исследования представляет интерес простейшая из подобных моделей, которая предусматривает иерархию над управляемой системой, состоящую всего из двух субъектов: верхнего и нижнего уровня. Практика даёт большое число ситуаций, которые могут изучаться при помощи данной модели. К ним относятся системы вида «комитет по охране окружающей среды — предприятие —природный объект», «управление лесами—леспромхоз —лесная экосистема» и т. д.

Степень разработанности предмета исследования. Классические разделы теории игр (Оуэн и т. д.) имеют ограниченную применимость в реальных задачах принятия решений ввиду искусственности постановок рассматриваемых ими задач. В связи с этим, начиная с 70-х годов XX века, значительные усилия исследователей при разработке математических моделей управляемых систем были направлены на использование в этих целях аппарата иерархических игр. Основные результаты в; области теории игр с иерархической структурой изложены в монографиях Гермейера Ю. Б., Моисеева H.H., Петрося-на Л. А., разнообразные примеры математических моделей, построенных на основе этой теории, можно найти в работах Горелика В. А., Горелова М.А., Кононенко А. Ф., Крапивина В. Ф., Кукушкина Н.С., Моисеева H.H.

В настоящее время при исследовании различных игр, в том числе иерархических, особое внимание уделяется таким важным практическим пробле-

[1] Угольницкий Г, А. Управление экогого экономическими системами. — М.: Вузовская книга, 1999.-132 с.

мам, как выбор сторонами принципа оптимального поведения, информированность игроков об интересах партнёров, влияние субъективности и неполноты информации, поступающей игрокам, сокрытие и искажение информации . об интересах сторон, влияние порядка ходов и обмена информацией, характерного для иерархических систем. Очень важными являются также вопросы адекватности построенных игровых моделей реальным ситуациям. Особенно это актуально при переходе к динамическим постановкам задач, когда на практике стороны в любой момент времени имеют возможность изменить ранее принятое решение. Данная проблема исследуется в работах Петросяна Л. А., где вводится такое важное понятие для свойств принципов поведения игроков, как динамическая устойчивость. .

Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей диссертационной работы является разработка методов нахождения оптимального управления в моделях ИУДСМ включающих в себя, кроме собственно объекта управления, хотя бы простейшую иерархию, состоящую из двух управляющих субъектов; в различных частных случаях управляющих механизмов, которыми располагает субъект верхнего уровня (данные модели описывают некоторые из типичных случаев, встречающихся на практике). Несмотря на уже проведённые многочисленные исследования в области теории игр, посвящённые широкому кругу проблем — в первую очередь, в работах указанных выше авторов — разнообразие постановок задач, решаемых в них, далеко не исчерпывает все возможные ситуации. В связи с этим накопленные в данной области результаты представляются недостаточными для достижения поставленной цели, и решение вопроса требует дополнительных исследований.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Разработать метод поиска оптимального управления для заданного класса моделей в случае ресурсного управляющего механизма.

2. Разработать модель управления лесопользованием и получить для неё метод нахождения оптимального управляющего воздействия со стороны органа, контролирующего деятельность хозяйствующих субъектов. "

[1] См. сноску [1] на с. 3.

3. Реализовать полученные алгоритмы решения в виде программной библиотеки, пригодной для использования в задачах численного моделирования.

4. Привести заданный класс моделей в случае целевого механизма регулирования к уже изученным игровым задачам и получить метод нахождения его оптимального (в некотором разумном понимании) решения.

5. Исследовать корректность указанных постановок задач и методов решения в случае динамических моделей.

Методы исследования. В настоящей диссертационной работе в качестве теоретической и методологической основы выступают методы системного анализа, теории иерархических игр, а также методы теории оптимизации.

Научная новизна исследования. В рамках настоящей работы были впервые получены следующие результаты:

1. В случае ресурсного механизма регулирования для линейной модели удалось в явном виде найти управление, обеспечивающее устойчивое развитие системы.

2. При помощи полученного метода нахождения оптимального управления в модели общего вида было найдено решение задачи динамического двухуровневого управления лесопользованием.

3. В случае целевого механизма регулирования задача нахождения оптимального управления была сведена к решению иерархической игры двух лиц. Был получен приемлемый с практической точки зрения принцип оптимального поведения управляющей стороны, а также способ нахождения управления, удовлетворяющего данному критерию.

4. Был получен критерий принадлежности модели глобального целевого механизма регулирования к классу игр, для которых выбранный принцип является динамически устойчивым.

5. Для случая глобального целевого механизма регулирования было введено понятие сильной динамической устойчивости, характеризующее заданные модели как обладающие большей корректностью получаемых

решений с практической точки зрения. Был получен критерий сильной динамической устойчивости для данных моделей.

Практическая значимость исследования. Результаты, изложенные в данной работе, могут служить теоретической основой для построения экономических и административных механизмов управления сложными системами самой разнообразной природы: биологическими ресурсами, промышленными предприятиями, общественными организациями, государственными системами, и т. д., а также для анализа эффективности уже существующих механизмов управления в указанных прикладных областях. Кроме того, результаты исследования могут быть использованы как основа учебны* курсов в высших учебных заведениях по прикладной математике, теории игр, исследованию операций.

Положения, выносимые на защиту.

1. Разработан способ нахождения оптимального управления в явном виде в частном случае задачи ресурсного иерархического управления—для пошагового и глобального механизмов управления (в последнем случае— в предположении бескорыстности Ведущего).

2. В рамках данной модели сформулирована игровая постановка задачи оптимального управления лесопользованием на основе модели динамики лесного фонда и найдено её решение.

3. Разработаны программные библиотеки для решения двух предыдущих задач. Данные библиотеки пригодны для использования в численных экспериментах над моделями оптимального управления, в том числе

. для подбора их оптимальных параметров.

4. Модель целевого механизма иерархического управления сведена к одной из разновидностей игр Гермейера, таким образом, указан путь для нахождения оптимальных решений данной модели.

5. При переходе к динамической постановке задачи целевого управления (случай глобальной оптимизации) выделен класс моделей, для которых принцип наилучшего гарантированного результата обладает свойством динамической устойчивости.

6. Для задач глобального целевого иерархического управления даны определения слабой и сильной динамической устойчивости (более сильное свойство, чем динамическая устойчивость), и получен критерий сильной динамической устойчивости.

Достоверность результатов исследования подтверждена строгим математическим обоснованием, для случая механизма ресурсного управления — также результатами расчётов различных примеров, которые были получены при помощи разработанного программного обеспечения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре «Экология. Экономика. Информатика» (Дюр-со, 1998, 2000), на школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. С. С. Шаталина (Дивноморск, 2000), на семинарах кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета Ростовского государственного университета, на семинаре факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на семинаре ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано б печатных работ [1-6], в том числе 3 работы в соавторстве:

1. В [4] автору принадлежит эвристический метод построения экологически допустимого решения в двухуровневой модели ресурсного управления .

2. В [б] автору принадлежит алгоритм нахождения оптимального управления в двухуровневой задаче ресурсного регулирования.

3. В [5] автору принадлежит адаптация алгоритма нахождения оптимального управления в двухуровневой задаче ресурсного регулирования к модели управления лесопользованием.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введе-

ния, :трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 241 странице машинописного текста (201 без учёта приложений) и содержит 14 рисунков. Библиография включает 140 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации.

В первой главе рассмотрен класс изучаемых моделей в общем виде и рассмотрен ряд возможных механизмов управления/Рассмотрена концепция иерархически управляемой динамической системы, состоящей из управляемой динамической системы, и источников воздействия нижнего и верхнего уровней.

Рис. 1. Иерархически управляемая динамическая система Модель ИУДС описывается следующими уравнениями:

хг еп уге[1,т]м 21-1 ■

V) = ^ 9£ («'»V*, х') —► тах

е=о

V» (и0,«1,...,«2"*-1) еу(и) У = V« € [О, Г - 1]г

Ти-1

«=о

и= (гЛи1,. .,^-1) 6 и(х,ы)

(1.1)

(1.2)

хм = У«€[0,Т-1]г

Т = тах {Ти, Тв} "

= ' (1'3)

Щ 6 [0,Т- 1]2

где:

х'^К' — вектор состояния УДС в момент времени

у/ 6 К7"1 — вектор управляющих воздействий Ведущего на целевую функцию Ведомого в момент времени

о/ £ Нта — вектор управляющих воздействий Ведущего на ограничения Ведомого в момент времени ¿;

и* с _ агрегированный вектор управляющих воздействий Ведущего на Ведомого в момент времени т = шх + тг;'

а' £ Е" — вектор управляющих воздействий Ведомого на УДС в момент времени

€ Ег — вектор неуправляемых внешних воздействий на УДС в момент времени

Т„ еМ- период планирования Ведущего; Ти £ N — период планирования Ведомого;

V С Нт — область допустимых управлений Ведущего за весь период [0,Г„-1]х:

и(х, и>) С К" — область допустимых управлений Ведомого за весь период

[0,Т„ - 1]г:

Е'сК' — область возможных значений неконтролируемых внешних воздействий на УДС в момент времени ¿;

— общая целевая функция Ведущего за период [0,Т„ — 1]г; ]и — общая целевая функция Ведомого за период [О, Тч — 1]г; / — оператор перехода УДС из состояния в момент времени Ь в состояние в момент { + 1; .

■ х° = (5°, ¿21 • • •»¿р) — известное начальное состояние УДС; Г2 С К.р — желаемая для Ведущего область состояний УДС в каждый момент времени I 6 [1,!Г„]ц.

Для полного описания игровой ситуации, к указанным выше соотношениям необходимо добавить описание регламента игры, которое и будет определять возможные механизмы управления.

Во второй главе изучен класс моделей, в которых Ведущий имеет возможность воздействовать только на ограничения Ведомого, но не на его целевую функцию. Для него найдено решение а аналитическом виде при определённых ограничениях на условия задачи:

1. Ведомым решается задача линейной оптимизации на множестве его управляющих воздействий на УДС.

2. Ведущий имеет возможность влиять на правую часть линейных ограничений Ведомого.

3. Ведущий либо является бескорыстным, либо решает задачу оптимизации на множестве его управляющих воздействий на Ведомого на текущем шаге:

—* паах

^ 2.1

4. Состояние УДС на последующем шаге линейно зависит от управляющего воздействия Ведомого.

5. Множество допустимых состояний УДС представляет собой линейный многогранник.

Рассмотрен также вариант постановки задачи, в котором Ведущий является бескорыстным, а Ведомый стремится к максимизации своей целевой функции на некотором отрезке по времени.

Далее рассмотрено применение полученного алгоритма нахождения решения задачи для случая модели иерархического управления лесопользованием, сформулированной в рамках концепции ресурсного механизма управления!

В конце главы приводится описание программной реализации в виде библиотеки на языке программирования С++ алгоритмов решения задачи пошагового ресурсного управления в общем виде, а также её частного случая —

задачи ресурсного управления лесопользованием. Рассмотрена структура библиотеки, основные алгоритмы, тестовые программы, использующие библиотеку для решения задач. В завершении рассмотрено несколько примеров задач вместе с результатами расчётов. Показано, что библиотека может быть использована в задачах численного моделирования. При этом, благодаря её преимуществам по сравнению с традиционными переборными алгоритмами поиска оптимального решения в иерархических системах управления, её применение может привести к существенному выигрышу в быстродействии и точности вычислений.

В третьей главе рассмотрен класс ИУДС, использующих целевой механизм иерархического управления. Рассматривается игра Г с двумя участниками, в качестве которых выступают Ведущий и Ведомый:

' и eUo

< Jv{u, v) шах ( Ju(u, v) —> шах

I и e и

со следующим регламентом.:-

1. Ведущему (точно) известны критерий оптимальности, целевая функция и ограничения Ведомого (3.2), а также его критерий оптимальности.

2. Цель Ведущего — удержание управления Ведомого в заданном множестве Uft с помощью выбора управления V, кроме того, из всех возможных управлений Ведущий выбирает наилучшее для себя в смысле своего критерия Jv(u,v) (в соответствии с принципом наилучшего гарантированного результата).

3. Ведущий делает свой ход первым. Его ход состоит в сообщении Ведомому стратегии ф = iр(и), из пространства Ф = {Vy3: U —► V}.

4. Ведомый, зная ход Ведущего ф, делает свой ход, исходя из собственного критерия оптимальности и ограничений (3.2) при v = <р(и). При

(3.1) (3-2)

этом Ведомый, возможно, находит максимум своей целевой функции с некоторой фиксированной точностью 5 > 0, величина которой известна Ведущему.

5. Ведущий, зная выбор Ведомого и, выбирает управление V = <р(и), т. е. в его поведении отсутствуют элементы блефа.

Кроме этого, на действия Ведущего накладываются ограничения на минимальную разность между выигрышами Ведомого на множествах допустимых и недопустимых управлений:

Ущ е Щф) эир (и, (£(«)) + 7 (3.5)

иеи\ип

где 7 > 0 — фиксированный параметр игры.

Указывается способ, при помощи которого возможно сведения данной игры к игре Га (Гермейер).

Доказывается следующая лемма:

Лемма 3.1: Пусть множество стратегий Ведомого I/ произвольным образом разбито на два непустых непересекающихся подмножества и1 и и2 (Уи С 11, Щ П 112 = {/1 и С/г = и), и найдутся е-оптимальные траектории в игре Г: (йьгч) и (62, С'г). такие, что щ € Сх, и щ 6 Щ. Пусть фх и ф2 — г-оптимальные гарантирующие стратегии Ведущего в игре Г, порождающие траектории (¿¿1, г^) и (йг, 02) соответственно. В этом случае стратегия Ведущего ф, заданная по правилу

У>(г»)=< (3.14)

[УгМ, « € и2

также является £-оптимальной гарантирующей стратегией в игре Г. □

Следствие 3.1: Для любой игры Г, имеющей решение, найдётся её е-оптимальная гарантирующая стратегия ф, которая порождает все её е-оптимальные траектории. □

Далее рассматривается вариант постановки задачи, при котором участники игры стремятся к максимизации своих целевых функций на промежутке от 0 до Т — 1, выбирая свои управления в момент t = 0.

х* <=п У4е[о,г]г

Г-1

^«¿(и'У) -+тах

4=0

_ (и0,и1,...,«1'-1) 6 Г г-1

...../-')е£/

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Помимо исходной игры, вводится также понятие игры Г(и, <й,т):

где:

'я'еп Víe[r1г]z

Г-1

Х^р'КУ) -* тах

«=г

.» 6 Ш)

Г-1

-»ЩИ

г-т

и е Щ(и)

(3.21)

(3.22)

иъ(и) = {иеи\иь = ь? Щ € [0,т - 1]и} ^(г>) = {и е VIV* = V* е [о, г - 1]и}

ф&(®) = и - ^(б)}

Определение. Игра Г называется динамически устойчивой (ДУ), если для любого г е [1,Т— 1]к любая её е-оптимальная траектория (и, С) также является е-оптимальной для игры Г(и, V, т) (возможно, игра Г(м, V, т) имеет другие гллр/гтлпим МА аяла&-1/ммву-о лгттимаяьичии п . Г* \

Для дальнейшего изучения вводятся следующие ограничения на дейг ствия сторон:

1. Если в игре Г сторонами была выбрана траектория (и,и), и в игре Г(и,и,г) Ведомый выбрал снова управление й, то Ведущий (в игре Г(й, V, т)) не имеет права выбирать в ответ никакого другого управления, кроме v.

2. Если Ведущий в игре Г(м, ii,r + 1) выбирает стратегию так, что гарантированный результат Ведомого увеличивается по сравнению с его результатом в игре Т{и, v,r) не более, чем на величину 25, то Ведомый продолжает придерживаться своей прежней стратегии, выбранной в момент т. Это обстоятельство должен учитывать Ведущий при выборе своей стратегии, если он по каким-либо причинам желает вынудить Ведомого сделать ход, отличный от сделанного в прошлом.

3. Аналогично, Ведущий в игре Г(и, €, т + 1) выбирает стратегию ф, которая не порождает е-оптимальной траектории, игры Г(гГ, v,t), только в том случае, если максимальный гарантированный результат, получаемый им от применения новой стратегии, больше результата, получаемого от предыдущей е-оптимальной траектории, как минимум на величину Is.

Доказывается следующая лемма:

Лемма 3.2: Любая s-оптимальная траектория (u, v) игры Г также является е-оптимальной траекторией для игры Г(ы, б, т) для заданного т тогда и только тогда, когда найдётся такая стратегия Ведущего фе, что стратегия Ведомого й будет принадлежать множеству 5-оптимальных реакций Ведомого на стратегию фЕ в игре Г(и, v, г). a

на основе которой доказывается

Утверждение 3.2 (критерий ДУ): Игра Г является динамически устойчивой тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

Для любого г £ [1,Г- 1]N, для любой траектории (u, v) — оптимальной в игре Г, найдётся стратегия фн '■ Такая, что для неё выполняются следующие условия:

- sup Ju (и, фнЫ)) + S + y< Ju(u, v) ■

вир Л (и, <рнЬА) -28 ^ 1и(и, V)

и есдалоь

□

Далее рассматривается следующее (более сильное) свойство игры Г:

Определение. Игра Г называется сильно динамически устойчивой (СДУ), если для любого т £ [1, Т— 1 для любой её е-оптимальной траектории (и, ь) найдётся порождающая её е-оптимальная гарантирующая стратегия Ведущего ф, такая, что для любой стратегии Ведомого и произвольная е-оптимальная траектория (йт, ьт) игры Г(и, <р(и), т) также является е-оптимальной траекторией для игры Г. ф

Утверждение 3.3: Из свойства сильной динамической устойчивости следует свойство динамической устойчивости. • □

Утверждение 3.4 (критерий СДУ): Игра Г является сильно динамически устойчивой тогда и только тогда, когда для любой е-траектории в Г найдётся стратегия Ведущего ф, которая порождает эту траекторию (то есть, ф — е-оптимальная гарантирующая стратегия Ведущего в игре Г, причём <р(й) — у), и такая, что ф — (ф°, ф1,..., фт~1), где

Vt€[0,T-llz .....и1) (=сошй(и*+1,и*+г,...,ит-1))

либо (в другой записи):

<р{и)= ^(ц0, «»,... ,««),.■

• >

(3.48)

а

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Для модели ресурсного механизма иерархического управления разработан способ нахождения решения игровой задачи в явном виде при определённых ограничениях на модель (линейность оптимизационной

задачи Ведомого, линейность ограничений УДС и т. д., подробнее см. на с. 10). Данный метод заключается в сведении задачи двухуровневой оптимизации к более простой задаче оптимизации исключением (в некотором смысле) из её описания субъекта нижнего уровня. Полученный результат распространён на случай динамической задачи оптимизации (в случаях как пошаговой, так и глобальной оптимизации).

2. Разработан способ нахождения оптимального управления в задаче двухуровневого ресурсного управления лесопользованием. Для этого задача была сведена к более общей задаче ресурсного механизма управления и был адаптирован метод её решения, упомянутый выше.

3. Полученные методы решения задачи пошагового ресурсного управления, и задачи ресурсного управления лесопользованием реализованы в виде численных методов в программой библиотеке.

4. Получен способ нахождения оптимального управления в задаче двухуровневого целевого иерархического управления. Для этого задача была сведена к одной из разновидностей игр Гермейера с учётом дополнительного требования к поведению Ведущего (3.5). Данное требование пришлось ввести из-за того, что получение решения в данной задаче при помощи игры Гермейера «в чистом виде» неизбежно приводит к решению, при котором Ведущий стремится изъять у Ведомого бйльшую часть его прибыли.

5. Выделен класс задач глобального целевого иерархического управления, для которых принцип наилучшего гарантированного результата обладает свойством динамической устойчивости и получен критерий принадлежности задачи данному классу.

6. Для динамической модели целевого механизма управления также даны определения таких свойств, как слабая и сильная динамическая устойчивость, и получен критерий для сильной динамической устойчивости. Условия полученной теоремы позволяют сделать вывод о свойствах тех задач, для которых практически применим метод сведения глобальной оптимизации к игре Гермейера: для любой оптимальной траектории

стратегия Ведущего должна зависеть от действий Ведомого только на текущем шаге, а также от его поведения в прошлом.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертационной работы изложено в

следующих публикациях:

[1] Дубров Д. В. Применение динамических иерархических игр в эколого-экономическом моделировании // Тезисы докладов XXIII международной школы-семинара им. С. С. Шаталина «Системное моделирование социально-экономических процессов» (г, Дивноморск, 13 - 17 июня 2000 г.). - Воронеж: Изд-ео ВГУ, 2000. - С. 187-188.

[2] Дубров Д. В. Применение динамических иерархических игр в эколого-зкономическом моделировании // Тезисы докладов XXVIII школы-семинара «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» (г. Новороссийск, 11 - 16 сентября 2000 г.). — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000,- С. 75-76.

[3] Дубров Д. В. Динамические модели управления устойчивым развитием эколого-экономических систем // Тезисы докладов XXIX школы-семинара «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» (г. Новороссийск, 10 - 15 сентября 2001 г.).— Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001.- С. 178-179.

[4] Дубров Д. В., Угольницкий Г. А. Адаптивный метод иерархического управления эколого-экономических систем // Тезисы докладов XXVI школы-семинара «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» (г. Новороссийск, 14 - 19 сентября 1998 г.). — Ростов-на-Дону: Изд-во Фирма «Ирбис», 1998.— С. 51.

[5] Дубров Д. В., Угольницкий Г. А. Двухуровневая модель управления лесопользованием // Проблемы окружающей среды и природных ресурсов,— 2001.— № 6. — С. 83-98.

[6] Угольницкий Г. А., Демяненко Я. М., Дубров Д. 8. Методы иерархической оптимизации в задачах лесопользования // Компьютерное моделирование. Экология. / Под ред. Г. А. Угольницкого.— М.: Вузовская книга, 2000. - С. 79-89.

Введение

1 Модели иерархически управляемых динамических систем

1.1 Задачи, описываемые при помощи иерархически управляемых динамических систем.

1.2 Виды классификации иерархических игр.

2 Ресурсный механизм регулирования (линейный случай)

2.1 Пошаговый механизм регулирования.

2.2 Глобальный механизм регулирования.

2.3 Применение ресурсного механизма в задаче лесопользования

2.4 Программная реализация поиска оптимального управления лесопользованием.

3 Целевой механизм регулирования

3.1 Статическая постановка задачи.

3.2 Модель глобальной оптимизации. Свойство динамической устойчивости.

3.3 Свойство сильной динамической устойчивости.

Объект исследования и актуальность темы. Разработка методов принятия решений для сложных (в частности, эколого-экономических) систем управления невозможна на практике без учёта интересов всех участвующих сторон. В связи с этим представляется целесообразным исследование подобных систем при помощи математических моделей, отвечающих концепции иерархически управляемых динамических систем (ИУДС) [68]. В данных моделях над объектом существует некоторая иерархия, состоящая из нескольких субъектов управления, у каждого из которых есть собственные цели и ограничения. Субъект самого верхнего уровня имеет возможность управлять системой лишь опосредованно через иерархию. В качестве объекта исследования представляет интерес простейшая из подобных моделей, которая предусматривает иерархию над управляемой системой, состоящую всего из двух субъектов: верхнего и нижнего уровня. Практика даёт большое число ситуаций, которые могут изучаться при помощи данной модели. К ним относятся системы вида «комитет но охране окружающей среды — предприятие — природный объект», «управление лесами--леспромхоз — лесная экосистема» и т. д.

Степень разработанности предмета исследования. Классические разделы теории игр [55, и т. д.] имеют ограниченную применимость в реальных задачах принятия решений ввиду искусственности постановок рассматриваемых ими задач. В связи с этим, начиная с 70-х годов XX века, значительные усилия исследователей при разработке математических моделей управляемых систем были направлены на использование в этих целях аппарата иерархических игр. Основные результаты в области теории игр с иерархической структурой изложены в монографиях Гермейера Ю. Б., Моисеева Н. Н., Петросяна JI. А. [7,46,65], разнообразные примеры математических моделей, построенных на основе этой теории, можно найти в работах Горелика В. А., Горелова М. А., Коионенко А. Ф., Крапивина В. Ф., Кукушкина Н.С., Моисеева Н.Н. [10,11,33-35,37,47].

В настоящее время при исследовании различных игр, в том числе иерархических, особое внимание уделяется таким важным практическим проблемам, как выбор сторонами принципа оптимального поведения, информированность игроков об интересах партнёров, влияние субъективности и неполноты информации, поступающей игрокам, сокрытие и искажение информации об интересах сторон, влияние порядка ходов и обмена информацией, характерного для иерархических систем. Очень важными являются также вопросы адекватности построенных игровых моделей реальным ситуациям. Особенно это актуально при переходе к динамическим постановкам задач, когда на практике стороны в любой момент времени имеют возможность изменить ранее принятое решение. Данная проблема исследуется в работах Петросяна Л. А. [61], где вводится такое важное понятие для свойств принципов поведения игроков, как динамическая устойчивость.

Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей диссертационной работы является разработка методов нахождения оптимального управления в моделях ИУДС [68], включающих в себя, кроме собственно объекта управления, хотя бы простейшую иерархию, состоящую из двух управляющих субъектов; в различных частных случаях управляющих механизмов, которыми располагает субъект верхнего уровня (данные модели описывают некоторые из типичных случаев, встречающихся на практике). Несмотря на уже проведённые многочисленные исследования в области теории игр, посвящённые широкому кругу проблем —в первую очередь, в работах указанных выше авторов — разнообразие постановок задач, решаемых в них, далеко не исчерпывает все возможные ситуации. В связи с этим накопленные в данной области результаты представляются недостаточными для достижения поставленной цели, и решение вопроса требует дополнительных исследований.

В соответствии с целыо исследования были поставлены следующие задачи:

1. Разработать метод поиска оптимального управления для заданного класса моделей в случае ресурсного управляющего механизма.

2. Разработать модель управления лесопользованием и получить для неё метод нахождения оптимального управляющего воздействия со стороны органа, контролирующего деятельность хозяйствующих субъектов.

3. Реализовать полученные алгоритмы решения в виде программной библиотеки, пригодной для использования в задачах численного моделирования.

4. Привести заданный класс моделей в случае целевого механизма регулирования к уже изученным игровым задачам и получить метод нахождения его оптимального (в некотором разумном понимании) решения.

5. Исследовать корректность указанных постановок задач и методов решения в случае динамических моделей.

Методы исследования. В настоящей диссертационной работе в качестве теоретической и методологической основы выступают методы системного анализа, теории иерархических игр, а также методы теории оптимизации.

Научная новизна исследования. В рамках настоящей работы были впервые получены следующие результаты:

1. В случае ресурсного механизма регулирования для линейной модели удалось в явном виде найти управление, обеспечивающее устойчивое развитие системы.

2. При помощи полученного метода нахождения оптимального управления в модели общего вида было найдено решение задачи динамического двухуровневого управления лесопользованием.

3. В случае целевого механизма регулирования задача нахождения оптимального управления была сведена к решению иерархической игры двух лиц. Был получен приемлемый с практической точки зрения принцип оптимального поведения управляющей стороны, а также способ нахождения управления, удовлетворяющего данному критерию.

4. Был получен критерий принадлежности модели глобального целевого механизма регулирования к классу игр, для которых выбранный принцип является динамически устойчивым.

5. Для случая глобального целевого механизма регулирования было введено понятие сильной динамической устойчивости, характеризующее заданные модели как обладающие большей корректностью получаемых решений с практической точки зрения. Был получен критерий сильной динамической устойчивости для данных моделей.

Практическая значимость исследования. Результаты, изложенные в данной работе, могут служить теоретической основой для построения экономических и административных механизмов управления сложными системами самой разнообразной природы: биологическими ресурсами, промышленными предприятиями, общественными организациями, государственными системами, и т. д., а также для анализа эффективности уже существующих механизмов управления в указанных прикладных областях. Кроме того, результаты исследования могут быть использованы как основа учебных курсов в высших учебных заведениях по прикладной математике, теории игр, исследованию операций.

Положения, выносимые на защиту.

1. Разработан способ нахождения оптимального управления в явном виде в частном случае задачи ресурсного иерархического управления — для пошагового и глобального механизмов управления (в последнем случае —в предположении бескорыстности Ведущего).

2. В рамках данной модели сформулирована игровая постановка задачи оптимального управления лесопользованием на основе модели динамики лесного фонда и найдено её решение.

3. Разработаны программные библиотеки для решения двух предыдущих задач. Данные библиотеки пригодны для использования в численных экспериментах над моделями оптимального управления, в том числе для подбора их оптимальных параметров.

4. Модель целевого механизма иерархического управления сведена к одной из разновидностей игр Гермейера, таким образом, указан путь для нахождения оптимальных решений данной модели.

5. При переходе к динамической постановке задачи целевого управления (случай глобальной оптимизации) выделен класс моделей, для которых принцип наилучшего гарантированного результата обладает свойством динамической устойчивости.

6. Для задач глобального целевого иерархического управления даны определения слабой и сильной динамической устойчивости (более сильное свойство, чем динамическая устойчивость), и получен критерий сильной динамической устойчивости.

Достоверность результатов исследования подтверждена строгим математическим обоснованием, для случая механизма ресурсного управления—также результатами расчётов различных примеров, которые были получены при помощи разработанного программного обеспечения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре «Экология. Экономика. Информатика» (Дюрсо, 1998, 2000), на школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. С. С. Шаталина (Дивноморск, 2000), на семинарах кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета Ростовского государственного университета, на семинаре факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на семинаре ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано б печатных работ [17-21,69], в том числе 3 работы в соавторстве:

1. В [20] автору принадлежит эвристический метод построения экологически допустимого решения в двухуровневой модели ресурсного управления.

2. В [69] автору принадлежит алгоритм нахождения оптимального управления в двухуровневой задаче ресурсного регулирования.

3. В [21] автору принадлежит адаптация алгоритма нахождения оптимального управления в двухуровневой задаче ресурсного регулирования к модели управления лесопользованием.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 241 странице машинописного текста (201 без учёта приложений) и содержит 14 рисунков. Библиография включает 140 наименований.

Заключение

В рамках диссертационной работы было впервые проведено теоретическое исследование различных видов механизмов управления устойчивым развитием в моделях иерархически управляемых эколого-экономических систем. Рассматривались случаи управления контролирующего органа при помощи воздействия на целевую функцию хозяйствующего субъекта (целевой механизм регулирования, политика штрафов и поощрений), и на его ограничения (ресурсный механизм, политика ограничений и целевых дотаций). Дополнительно, в каждом из этих случаев рассматривались как пошаговый, так и глобальный механизм управления.

Для модели ресурсного механизма иерархического управления разработан способ нахождения решения игровой задачи в явном виде при следующих ограничениях на модель:

1. Ведомым решается линейная задача оптимизации на множестве его управляющих воздействий на УДС.

2. Ведущий имеет возможность влиять на правую часть линейных ограничений Ведомого.

3. Ведущий либо является бескорыстным, либо решает задачу оптимизации на множестве его управляющих воздействий на Ведомого на текущем шаге:

J^u*, vl) —> max vl evl

4. Состояние УДС на последующем шаге линейно зависит от управляющего воздействия Ведомого.

5. Множество допустимых состояний УДС представляет собой линейный многогранник.

Полученный результат распространён на случай динамической задачи оптимизации (как пошаговой, так и глобальной, в последнем случае в предположении того, что Ведущий является бескорыстным).

В рамках данной модели была сформулирована игровая постановка задачи оптимального управления лесопользованием на основе модели динамики лесного фонда [27] и найдено ее решение.

Для численного решения задачи ресурсного управления, а также для задачи оптимального управления лесопользованием были разработаны программные библиотеки. Данные библиотеки пригодны для использования в численных экспериментах над моделями, в том числе для подбора их оптимальных параметров.

Модель целевого механизма иерархического управления была сведена к одной из разновидностей игр Гермейера [7], таким образом, указан путь для нахождения оптимальных решений данной модели.

При переходе к динамической постановке задачи целевого управления (случай глобальной оптимизации) был выделен класс моделей, для которых принцип наилучшего гарантированного результата обладает свойством динамической устойчивости [61].

Для динамической модели целевого механизма управления также даны определения таких важных свойств, как слабая и сильная динамическая устойчивость, и получен критерий для сильной динамической устойчивости. Условия полученной теоремы позволяют сделать вывод о свойствах тех задач, для которых практически применим метод сведения глобальной оптимизации к игре Гермейера: для любой оптимальной траектории стратегия Ведущего должна зависеть от действий Ведомого только на текущем шаге, а также от его поведения в прошлом. tp(u)

V),V>V. и1),.,^0, и\.,и%.

1. Абакумов А. И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. — Владивосток: Дальнаука, 1993. — 129 с.

2. Агиева М. Т., Малъсагов М. X., Угольницкий Г. А. Моделирование иерархической структуры управления образованием.— Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2003. 208 с.

3. Бондарева 0. Н. О теоретико-игровых моделях в экономике,— Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1974. — 40 с.

4. Буч Г., Рамбо Дж., Джекобсон A. UML. Руководство пользователя: Пер. с англ. М.: ДМК Пресс, 2003. - 432 с.

5. Вателъ И. А., Моисеев Н. Н. О моделировании хозяйственных механизмов // Экономика и математические методы. — 1977. — Т. XIII, № 1.-С. 16-30.

6. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей: Пер. с англ. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 418 с.

7. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1976. 328 с.

8. Гермейер Ю. Б., Моисеев Н. Н. О некоторых задачах теории иерархических ситем // Проблемы прикладной математики и механики. — М.: Наука, 1971. С. 30-43.

9. Голъштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном программировании. — М.: Советское радио, 1966.— 524 с.

10. Горелик В. А., Горелов М. А., Копоненко А. Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. — М.: Радио и связь, 1991. — 288 с.

11. И. Горелик В. А., Кононенко А. Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. — М.: Радио и связь, 1982,- 144 с.

12. Горелик В. А., Луценко Т. П., Рулев Г. В. О некоторых классах оптимизационных и игровых задач распределения ресурсов с негладкими критериями. М.: ВЦ АН СССР, 1988.- 46 с.

13. Горстко А. БДемяненко Я. М. Имитационная модель динамики лесной экосистмы под влиянием антропогенных нагрузок // Модели и дискретные структуры.— Элиста: Изд-во Калмыцкого гос. ун-та, 1996.-С. 45-54.

14. Горстко А. Б., Домбровский Ю. А., Сурков Ф. А. Модели управления эколого-экономическими системами. — М.: Наука, 1984,— 120 с.

15. Горстко А. Б., Уголъницкий Г. А. Введение в прикладной системный анализ. — Ростов-на-Дону: АО «Книга», 1996. — 136 с.

16. Джефферс До/с. Введение в системный анализ: применение в экологии: Пер. с англ. / Перевод Д. О. Логофета / Под ред. Ю. М. Свире-жева.- М.: Мир, 1981.- 256 с.

17. Ермолов А. П., Меньшиков С. И. Централизованное и децентрализованное управление каскадом водохранилищ // Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом / Под ред. Г. Н. Константинова. — Новосибирск: Наука, 1987. — С. 91 109.

18. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. Изд. 2-е, переработ, и доп. — М.: Наука, 1967. — 460 с.

19. Иванилов Ю., Лотов А. В. Математические модели в экономике.—• М.: Наука, 1979.- 305 с.

20. Израэль Ю. А. Допустимая антропогенная нагрузка на окружающую среду // Всесторонний анализ окружающей природной среды. Л.:• Гидрометсоиздат, 1976. — С. 12-19.

21. Имитационное моделирование многофункционального использования горных лесов Северного Кавказа / И. П. Коваль, Г. К. Солнцев, И. А. Битюков и др. // Лесоведение. — 1990. — № 1. — С. 3-12.

22. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 216 с.

23. Клейменов А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. — Екатеринбург: Наука. Урал, отд-ние, 1993. — 185 с.

24. Коваль И. П., Битюков И. А. Экологические функции горных лесов Северного Кавказа. — М.: ВНИИЦ лесресурс, 2000. — 480 с.

25. Крапивин В. Ф. Теоретико-игровые методы синтеза сложных систем в конфликтных ситуациях. — М.: Сов. радио, 1972.— 192 с.

26. Крапивин В. Ф. О теории живучести сложных систем. — М.: Наука, 1978.- 247 с.

27. Крапивин В. Ф., Свиреэ/сев Ю. М., Тарко А. М. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов. — М.: Наука, 1982. — 272 с.

28. Кузютип Д. В. Динамически устойчивые принципы управления в природных системах // Моделирование природных систем и задачи оптимального управления.— Новосибирск: ВО «Наука», 1993.— С. 78-80.

29. Кукушкин Н. С. Аналитические модели оптимизации стратегии управления гидроэлектростанциями. — М.: ВЦ АН СССР, 1986. — 32 с.

30. Кукушкин Н. С. Существование устойчивых исходов в конфликтных ситуациях с групповой структурой целевых функций. — М.: ВЦ АН СССР, 1989. 40 с.

31. Кущшкин Н. С., Меньшикова О. Р., Меньшиков И. С. Конфликты и компромиссы. — М.: Знание, 1986.— 30 с.

32. Кукушкин Н. СМорозов В. В. Теория неантагонистических игр. — М.: Изд-во МГУ, 1984. 104 с.

33. Липский В. Комбинаторика для программистов: Пер. с польск. — М.: Мир, 1988.-200 с.

34. Лотов А. В. Введение в математическое моделирование экономических систем. — М.: Наука, 1984.— 392 с.

35. Мазалов В. В. Игровые моменты остановки / Под ред. JI. А. Петро-сяна. — Новосибирск: Наука. Сиб. от-ние, 1987. — 186 с.

36. Мазалов В. ВВинпиченко С. В. Моменты остановки и управляемые случайные блуждания / Под ред. Л. А. Петросяна. — Новосибирск: Наука. Сиб. от-ние, 1992. 103 с.

37. Моделирование влияния хозяйственной деятельности на состояние горных лесов Северного Кавказа / А. Б. Горстко, М. В. Медалье,

38. Г. А. Уголышцкий и др. // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем.— JL: Гидрометеоиздат, 1987.— Т. 10.— С. 199-213.

39. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. 528 с.

40. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981.-488 с.

41. Моисеев Н. Н. Человек, среда, общество: Проблемы формализованного описания. — М.: Наука, 1982.— 240 с.

42. Моисеев Н. Н. Модели экологии и эволюции.— М.: Знание, 1983. — 64 с.

43. Моисеев Н. Н., Александров В. ВТарко А. М. Человек и биосфера: Опыт системного анализа и эксперименты с моделями. — М.: Наука, 1985.- 271 с.

44. Молчанов А. А. Воздействие антропогенных факторов на лес. — М.: Наука, 1978. 135 с.

45. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 200 с.

46. Мухтаров У. М. Динамическая упрвляемая система со сложной структурой // Тезисы докладов научной конференции «Математические модели сложных систем и междисциплинарные исследования». — М.: Изд.-во ВЦ РАН, 2002. С. 21.

47. Олеиев Н. Н., Петров А. А., Поспелов И. Г. Регулирование экологических последствий экономического роста // Математическое моделирование. 1998. - Т. 10, № 8. - С. 17-32.

48. Оуэн Г. Теория игр: Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 232 с.

49. Петросян Л. А. Принципы оптимальности в многошаговых играх // Соросовский образовательный журнал. — 1996. — № 10. — С. 120-125.

50. Петросян Л. А., Данилов Н. Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1985. — 276 с.

51. Петросян Л. А., Захаров В. В. Введение в математическую экологию. — JL: Изд-во Лен. ун-та, 1986. — 224 с.

52. Петросян Л. А., Захаров В. В. Математические модели в экологии. — СПб.: Изд. СПбГУ, 1996.- 253 с.

53. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Сёмина Е. А. Теория игр.— М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — 304 с.

54. Петросян Л. А., Кузьмина Т. И. Бескоалиционные дифференциальные игры. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. — 148 с.

55. Петросян Л. А., Кузютин Д. В. Игры в развёрнутой форме: оптимальность и устойчивость. СПб.: Изд. СПбГУ, 2000. 290 с.

56. Петросян Л. А., Ширяев В. Д. Иерархические игры. — Саранск: Издво Мордов. ун-та, 1986. — 92 с.