автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Математические задачи теории иерархических систем

Введение ^

Глава I. Математические модели иерархических систем

§ 1.1. Виды иерархических структур и их лп моделирование ло

§ 1.2. Описание пространств управления, интересов и реакции элементов иерархической системы тт

§ 1.3. Вопросы информированности. Описание функционирования ИСУ. Согласование интересов

§ 1.4. Оптимизационные задачи в теории иерархиче- «д ских систем ^

Глава П. Двухуровневые иерархические системы с заданной реакцией нижнего уровня ^

§ 2.1. Максиминные задачи на связанных множествах в банаховых пространствах

§ 2.2. Динамические иерархические системы, описы- к ваемые дифференциальными уравнениями

§ 2.3. Динамические иерархические системы, описываемые многошаговыми уравнениями. Кратные г максимины со связанными ограничениями

§ 2.4. Методы штрафов и динамического программирования для иерархических систем с дискретным ^ временем

Глава Ш. Двухуровневые иерархические системы с заданными интересами нижнего уровня

§ 3.1. Общая постановка задачи управления ?

§ 3.2. Статический случай

§ 3.3. Программное управление верхнего уровня. а Условия оптимальности

§ 3.4. Управление в форме синтеза. Условия опти- . . мальности

Глава 1У. Многоуровневые системы и регулируемое равновесие щ

§ 4.1. Управление с прогнозом как способ замыкания системы. Системы с двойным подчинением и Щ ромбовидные структуры. Многоуровневые системы

§ 4.2. Иерархические системы в условиях внешнего воздействия. Понятие регулируемого равновесия \2Ь

§ 4.3. Исследование одной модели регулируемого равновесия

Глава У. Некоторые частные случаи и приложения теории иерархических систем 1&*

§ 5.1. Линейные иерархические системы

§ 5.2. Модель ценообразования

§ 5.3. Модель объединения ид

Развитие теории управления в последние десятилетия ознаменовалось крупными научными и практическими достижениями. Объектами ее исследования все в большей степени становятся сложные системы, в результате чего теория управления естественным образом превратилась в важнейший раздел системного анализа. При переходе к исследованию систем все более сложных классов, как правило, накопленный арсенал моделей и средств их исследования оказывается недостаточным, и это является постоянным стимулом к развитию науки. Чтобы оценить современные возможности и перспективные направления науки об управлении, необходимо обратиться к классификации, используемой в системном анализе.

Один из важнейших принципов классификации сложных систем связан с ролью человека в их функционировании. В соответствии с этим принципом системы принято разделять на технические и организационные. Под организационными понимаются такие системы, в которых принятие решений осуществляется людьми, выступающими одновременно и

1 ? в роли управляющих элементовг и в роли объектов управления. В соответствии с концепцией исследования операций имеет смысл говорить о принятии решений, если имеется несколько альтернативных решений (по крайней мере два) и цель или цели, определяющие выбор того или иного решения. Системы, в которых управление осуществляется автоматически, называются техническими. В определенных ситуациях можно считать автоматом и человека-оператора, если в рамках принятого рассмотрения допустимо предположение, что он точно выполняет предписанную ему последовательность действий.

Таким образом, хотя в технической системе может быть много управляющих элементов, их действия определяются предписанной программой и поэтому управление является полностью централизованным*. Напротив, для организационных систем принципиально присуще в той или иной степени децентрализованное управление.

Если использовать такую терминологию, то можно сказать, что наиболее крупные результаты теории управления вплоть до последнего времени были связаны почти исключительно с техническими системами. Классическая теория оптимального управления [ 1-5], математическое программирование [б-9], теория антагонистических дифференциальных игр и минимаксных задач [ю-14] предназначены для решения задач централизованного управления (возможно в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды, в том числе противодействия противника). Создание этих разделов определялось внутренней логикой развития науки, так как проистекало от классических результатов вариационного исчисления, и первоочередными потребностями практики, в первую очередь задач динамики полета самолетов или ракетных аппаратов. Успешно разрешив ряд таких задач, теория управления приобрела большой авторитет и укрепила уверенность в ее широких возможностях. Вместе с тем при столкновении с задачами управления организационными системами выявилась определенная ограниченность существующих моделей и методов, их несоответствие многим потребностям практики.

Экономика включает в себя как организационные, так и технические системы. Однако, начиная с некоторого уровня, составляющие экономики уже обязательно являются организационными системами. В настоящее время, по-видимому, самым высоким уровнем управления, на котором в принципе допустимо ограничиться рассмотрением технических систем, может быть отдельное предприятие, если оно будет\ полностью автоматизировано. Ныне действующие автоматизированные к Не следует путать децентрализацию и распараллеливание процессов обработки информации. системы управления (АСУ) в этом плане не меняют положения, так как в них также предусмотрено принятие решений человеком.

На современном этапе важнейшие задачи экономики связаны с управлением на высоком уровне, начиная с координации деятельности предприятий. По-видимому, именно здесь заложены основные резервы повышения эффективности общественного производства. Центральной задачей является совершенствование хозяйственного механизма страны и в качестве его составляющих экономических механизмов управления для различных производственных организмов. Поэтому разработка теории управления для организационных систем является крайне важной для практики. В то же время этого требуют и интересы дальнейшего развития науки. Все это стимулировало развитие целого ряда новых направлений исследований (например, [15-26 ] ).

В большинстве существующих организационных систем возможности и права элементов по принятию решений связаны с их положением в системе и, в частности, определенным образом регламентированы другими элементами. Такие системы называются иерархическими системами с частичной децентрализацией управления. Права и правила взаимодействия элементов системы определяются ее иерархической структурой. Предоставление определенной самостоятельности элементам системы неизбежно сопровождается проявлением в их действиях собственных интересов.

I Таким образом, иерархической системой управления (ИСУ) назы- ^ вается совокупность взаимосвязанных элементов, обладающих опреде- ! ленными возможностями по обработке и передаче информации и определенными правами принятия решений в соответствии с заданной структурой, а также собственными целями (интересами), определяющими выбор этих решений.

В социалистической экономике все организационные системы относятся к классу иерархических систем. Полностью децентрализованные системы, в которых в рамках принятого рассмотрения элементы можно считать абсолютно независимыми в вопросах принятия решений, могут существовать в капиталистической экономике, да и то идеализированной (примером такой идеализации являются модели коллективного равновесия). Поэтому ограничивая дальнейшее рассмотрение иерархическими системами, мы можем считать, что существенно не. сузили практически важный класс организационных систем.

Основной причиной децентрализации управления и возникновения иерархической структуры является невозможность или неэффективность сосредоточения всех процессов сбора и обработки информации и принятия решений в сложной системе в рамках одного органа (элемента). Процесс усложнения и роста приводит к делению системы на подсистемы, появлению новых управляющих элементов, возникновению и перестройки связей между ними. Существует и другого рода процесс образования иерархических систем, связанный с добровольным или вынужденным объединением ранее независимых элементов с целью достижения большей общей эффективности функционирования и установлением между ними определенного порядка взаимодействия. И в том, и в другом случае образование иерархической системы связано с решением реальных задач и позволяет преодолеть некоторые существующие трудности. Однако при этом возникают новые проблемы, связанные с несовпадением интересов (целей) элементов системы, наличием неопределенных факторов и различной информированностью о них управляющих элементов, намеренным искажением информации в системе, сложностью нахождения эффективных механизмов, заменяющих принцип централизованного управления и• т.д. Отдельно выделим необходимость определения самого понятия оптимальности для иерархической системы.

Все эти вопросы не рассматривались в рамках классической теории^ управления и потребовали для своего решения развития новой теории. В результате была создана информационная теория иерархических систем, основы которой заложили член-корр. АН СССР Н.Н.Моисеев и проф. Ю.Б.Гермейер [15,27-29]. К важнейшим принципам этой теории относятся:

1) описание пространств управлений и критериев эффективности или реакции элементов системы, отражающее определенную децентрализацию принятия решений;

2) задание фиксированного порядка принятия решений в соответствии с приоритетами различных уровней;

3) расширение понятия управления, включающее в себя не только выбор собственно управляющих параметров, но и вида передаваемой информации;

4) положение о нерефлексности (незамкнутости) иерархических организационных систем;

5) необходимость введения определенных предположений о поведении элементов для замыкания системы.

Существуют и другие подходы к анализу иерархических систем, среди которых можно выделить теорию активных систем [30-32] и теорию декомпозиции на основе принципа строгой подчиненности £зз].

Следует подчеркнуть, что информационная теория иерархических систем не является чисто математической дисциплиной. Важное место в ней занимают методологические вопросы, вопросы моделирования, прикладные аспекты. Поэтому работы в этой области характеризуются большим разнообразием. В рамках информационной теории иерархических систем развилось несколько самостоятельных научных направлений, в качестве которых можно выделить: задачи управления и методы оптимизации, анализ информационных структур или метауправление, структурный синтез, прикладные задачи. Для каждого из этих направлений характерны свои центральные содержательные и математические вопросы, но постепенно стало ясно, что имеется круг оптимизационных задач, общих для всех направлений. Поэтому появилась потребность в создании единых математических основ оптимизации для информациощод,.теории иерархических систем, включающих вопросы формализации и классификации оптшлизационных задач и разработки методов их анализа и решения. Целью настоящей работы, развивающей первое из перечисленных научных направлений, разработкой которого автор начала заниматься в конце шестидесятых - начале семидесятых годов [34-ЗбJ, является одновременно построение в указанном смысле общего для всех направлении математического аппарата. V !,/<! щ

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Первая глава посвящена вопросам математического моделирования с позиций информационной теории иерархических систем. Выделяются наиболее типичные виды иерархических структур и им ставятся в соответствие математические модели, описывающие их функционирование. Анализ проводится с точки зрения элемента верхнего уровня (центра). Излагаются два основных способа замыкания организационных систем. Один основан на задании реакции элементов каждого уровня на управление вышестоящего уровня. Другой связан с заданием критериев эффективности (интересов) и принципов поведения всех элементов. Рассматриваются вопросы согласования интересов, информированности, описания функционирования иерархических систем. На основе этого предварительного неформального анализа ставятся математические задачи и выделяются классы задач теории иерархических систем, которые рассматриваются в последующих главах.

Глава П посвящена исследованию математических задач оптимизации для двухуровневых иерархических систем с заданной реакцией нижнего уровня. В общем виде эти задачи представляют собой макси-минные задачи на связанных множествах (со связанными ограничениями) . В § I рассматриваются такие задачи в произвольных банаховых пространствах. Получен ряд результатов об асимптотической аппроксимации их классическими максиминными и экстремальными задачами.

Эти результаты используются и конкретизируются для случая конечномерных пространств (статические системы) и функциональных пространств (динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями), а также обобщаются на кратные максимины (динамические системы, описываемые многошаговыми уравнениями).

В главе Ш исследуются оптимизационные задачи для двухуровневых систем с заданными интересами нижнего уровня, обладающие определенной спецификой. В общем случае эти задачи не представимы в виде кратных максиминов в исходных пространствах. Тем не менее для них удалось обобщить метод динамического программирования и получить необходимые, а в ряде случаев и достаточные условия оптимальности.

Результаты работы могут служить основой для построения экономических механизмов управления организационными системами, подтверждением чего является описанный вше механизм управления объединением, нашедший применение на практике.

I, 2

3,

4,

5, 6

7, 8 9

10

II

12

13

14

15

- S91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как показывает исследование, задачи анализа иерархических систем не укладываются в рамки обычной теории оптимизации, так как в условиях взаимодействия элементов системы усложняется само понятие оптимальности. Для постановки задачи оптимального управления в иерархической системе необходимо, во-первых, расширить функции управления центра, включив в них не только выбор вида управляющего воздействия, но и передачу нижнему уровню определенной информации, и, во-вторых, принять некоторую совокупность предположений о принципах поведения элементов нижнего уровня.

В работе предложен ряд схем управления для различных классов иерархических систем. Все они основаны на широко интерпретируемом принципе гарантированного результата центра в условиях неопределенности, связанной с самостоятельными действиями подсистем и внешним воздействием на систему. Область неопределенности действий нижнего уровня может быть существенно ограничена за счет использования априорной информации о подсистемах. Такая информация может задаваться либо непосредственно в виде реакции нижнего уровня на управление центра, либо путем описания критериев эффективности, пространств управлений и принципов поведения подсистем. В обоих случаях возникают новые классы математических оптимизационных задач, представляющих собой максимины на связанных множествах в различных пространствах. Постановке и исследованию таких задач посвящена работа. При этом получены следующие основные результаты.

1. Разработка общих принципов построения моделей оптимизации для иерархических систем управления, сводящих их к ограниченному числу классов математических задач.

2. Обобщение метода штрафных функций на максиминные задачи на связанных множествах в произвольных банаховых пространствах и кратные максимины.

3. Асимптотическая аппроксимация и необходимые условия оптимальности для максиминных задач со связанными дифференциальными ограничениями.

4. Развитие методов динамического программирования на задачи управления в иерархических системах и получение на их основе необходимых и достаточных условий оптимальности.

5. Введение нового понятия конуса индуцируемых допустимых направлений и получение с его помощью необходимых условий оптимальности для статических задач теории иерархических систем.

6. Введение понятий коэффициента согласуемости интересов верхнего и нижнего уровня, согласуемости, сильной согласуемости и идеальной согласуемости интересов элементов системы; доказательство идеальной согласуемости интересов участников объединения.

7. Введение понятия регулируемого равновесия и доказательство того, что при некоторых условиях регулируемое равновесие является более выгодным для всех элементов иерархической системы, чем обычное равновесие, и что для него справедливы свойства сильной и идеальной согласуемости интересов.

1. Пугачев B.C. Основы автоматического управления. М.: Наука, 1968.

2. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука,1975. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975.л

4. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

5. Эрроу К.Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному инелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962.

6. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука,1970.

7. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

8. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

9. Демьянов B.Q., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

10. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1977.

11. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

12. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. М.: Сов.радио, 1976.

13. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

14. Воробьев H.H. Математическая теория игр. Л.: Знание, 1963.

15. Поспелов Д.А. Игры и автоматы. М.: Энергия, 1966.

16. Аганбегян А.Г., Багриновский К.А., Гранберг А.Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Мысль, 1972.21. шедоренко Н.П. (ред.). Система моделей оптимального планирования. М.: Наука, 1975.

17. Петров A.A. Математические модели прогнозирования народного хозяйства. М.: Знание, 1974.

18. Евтушенко Ю.Г., Краснощеков П.С., Моисеев H.H. Имитационные системы. Экономика и организация промышленного производства, 1973, № б, с.39-45.

19. Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Теория управления и экономические системы. Автоматика и телемеханика, 1974, № 5, с.117-132, № б, с.69-89.

20. Иванилов Ю.П., Лотов A.B. Математические модели в экономике. -М.: Наука, 1979.

21. Павловский Ю.Н. Групповые свойства, агрегирование и организационные структуры управляемых динамических систем. М.:1. ВЦ АН СССР, 1975.

22. Гермейер Ю.Б., Моисеев H.H. О некоторых задачах теории иерархических систем. В сб.: Проблемы прикладной математики и механики. - М.: Наука, 1971, с.30-43.

23. Моисеев H.H. Иерархические структуры и теория игр. Изв. АН СССР. Технич. киберн., 1973, № б, c.I-II.

24. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.- m

25. Емельянов C.B., Бурков B.H. Управление активными системами. -В сб.: Активные системы. М.: Институт проблем управления, 1973, с.3-39.

26. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. -М.: Наука, 1977.

27. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.

28. Фаткин Ю.М. Оптимальное управление в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями иерархической структуры. Автоматика и телемеханика, 1973, № 10, с.169-178.

29. Горелик В.А. Принцип гарантированного результата в неантагонистических играх двух лиц с обменом информацией. М.: МГУ, 1969; в сб.: Исследование операций. - М.: ВЦ АН СССР, 1971, вып.2, с.102-108.

30. Горелик В.А. Игры с близкими интересами. Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 1971, № 5, с.1166-1179.

31. Горелик В.А. Приближенное нахождение максимина с ограничениями, связывающими переменные. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, № 2, с.510-517.

32. Горелик В.А. Иерархические оптимизационно-координирующие системы. Кибернетика, 1978, № I, с.87-94.

33. Горелик В.А. Динамические модели долгосрочного регионального планирования. Кибернетика, 1977, № 4, с.125-129.

34. Горелик В.А. Динамические системы с иерархической структурой управления. Кибернетика, 1978, № 3, с.106-109. \

35. Горелик В.А. Метод штрафных функций в задаче определения мак-симина с ограничениями любого типа. Тезисы докладов У1 Всесоюзной конференции по экстремальным задачам, Таллин, 1973,

36. Горелик В.А., Федоров В.В. Метод внешней точки в задаче определения кратного максимина с ограничениями. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, № 3, с.599-607.

37. Горелик В.А., Федоров В.В. Метод внутренней точки в задаче определения кратного максимина с ограничениями. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 197Е^с. 883-894.

38. Горелик В.А. Игры двух лиц с запрещенными ситуациями. Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции по теории игр, Одесса, 1974,с.90-91.45. &огсйк У.А. РетгМу УП^косС Ни, Шушнш

39. Горелик В.А., Федоров В.В. Об одном подходе к решению минимаксных задач оптимального управления. Изв. АН СССР, Технич. киберн., 1976, № I, с.45-54.

40. Горелик В.А., Штильман М.С. Игровой подход к выбору структуры функционирования двухуровневой системы в условиях неопределенности. Изв. АН СССР. Технич.киберн., 1977, № 5, с.24-30.

41. Горелик В.А., Штильман М.С. Об одном классе двухуровневых моделей регулирования экономико-экологических процессов. -Экономика и матем.методы, 1977, № 6, с.1251-1263.

42. Горелик В.А. Динамические иерархические системы. Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции по исследованию операций, Горький, 1978, с.195-196.

43. Горелик В.А. Иерархические системы с ромбовидной структурой. -Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции по исследованию операций, Горький, 1978, с.193-194.с.96-97.1. Т*У>- täC

44. Горелик В.А., Ерешко Ф.И., Кононенко А.Ф., Моисеев H.H. Информационная теория иерархических систем. Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции по исследованию операций, Горький, 1978, с.17-18.

45. Васин Ю.Н., Горелик В.А. Принцип минимакса в задаче выбора проводов воздушных линий. Изв. АН СССР. Технич.киберн., 1975, № 2, с.54-61.

46. Горелик В.А. О согласованности интересов в иерархических системах. В кн.: Труды У Всесоюзного совещания по управлению большими системами. - Алма-Ата: КазПТИ, 1978, с.93-94.

47. Гвоздев В.А., Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Математическое моделирование экономических взаимоотношений в межхозяйственных объединениях. Вестн. с.-х. науки, 1980, № 6, с.31-39.

48. Гвоздев В.А., Горелик В.А., Кононенко А.ш. Принципы планирования и управления в районных аграрно-промышленных объединениях. Вестн. с.-х. науки, 1981, № 8, с.127-136.

49. Гвоздев В.А., Горелик В.А., Кононенко А.Ш. Экономические взаимоотношения в агропромышленных объединениях. Вестн. с.-х. науки, 1981, № 5, с.1-7.

50. Гвоздев В.А., Горелик В.А., Горячко Н.И., Кононенко А.Ф.0 построении экономических механизмов управления в РАЛО. -Вестн. с.-х. науки, 1982, № 9, с.12-21.

51. Горелик В.А. Динамические иерархические системы с дискретным временем. Кибернетика, 1982, № 6, с. IZ2-I25,

52. Горелик Б.А. Максиминные задачи на связанных множествах в банаховых пространствах Кибернетика,

53. Горелик В.А. Теория игр и исследование операций (учебное пособие). М.: Изд-воМИНХ и ГП, 1978.

54. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982.

55. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М»: Мир, 1973.

56. Молодцов Д.А. 0 решении одного класса неантагонистических игр.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, № 6, с.1451-1456.

57. Молодцов Д.А. Регуляризация множества точек Парето. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, № 3, с.597-602.

58. Береснев В.В. Необходимые условия экстремума в выпуклой задаче максимина на связанных множествах. Кибернетика, 1972, № 2, с.87-91.

59. Демьянов В.Ф. 0 задаче минимакса при связанных ограничениях. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, № 3, с.799-804.

60. Демьянов В.ш. Минимакс: дифференцируемость по направлениям. -Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1974.

61. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

62. Гермейер Ю.Б. Приближенное сведение задачи определения максимина к задаче определения максимума. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, № 3, с.730-731.

63. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. -М.: Мир, 1972.

64. Еремин И.И. 0 методе "штрафов" в выпуклом программировании. -Кибернетика, 1967, № 4, с.53-63.73. /?. СЫ ЗЛедЛ РыМу ТигкЖс&ъ ^съ Сс>^Лга1пес1 ЯрЬгуигсЛеггь.-^.Х^, К3, р.319-342.-т

65. А У. Оп a, Mettí Ccmj^Ün^ J¡Ucj\ifU.<L ¿n,

66. Oph^t Gn;tzc6. SI A Ai Cathcejmv.

67. Федоров В.В. О методе штрафных функций в задаче определения максимина. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, № 2,с.321-333.

68. Cea Ж. Оптимизация. М.: Мир, 1973.

69. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.

70. Молодцов Д.А., Федоров В.В. Аппроксимация игр двух лиц с передачей информации. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, № б, с.1469-1484.

71. Современное состояние исследования операций. / Под ред. Н.Н.Моисеева. М.: Наука, 1979.

72. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

73. Аваков Е.Р. Об условиях аппроксимации максиминных задач со связанными множествами. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, № 3, с.603-613.

74. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. -М.: МГУ, 1977.

75. Кононенко А.Ф. 0 многошаговых конфликтах с обменом информацией. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, № 4, с.922-931.

76. Данильченко Т.Н., Мосевич К.К. Многошаговые игры двух лиц с фиксированной последовательностью ходов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, № 4, с.1047-1052.

77. Гермейер Ю.Б. Об играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов. ДАН, 1971, т.198, № 5, с.1001-1004.

78. Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотрудничества. М.: Знание, 1973.-т

79. Кононенко А.Ф. Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, № 5, c.II6I-II7Q.

80. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975,89. ¿¿ьгсимг^ Atv Я ddckile^JL CUpecti oftt'lcd^ И, Xnvztto-U^b«. . £ OpЫт , 7f*#bj

81. QfjJkcb^ №3, ys6J f>. G13>'GZG. "

82. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. -М.: Наука, 1973.

83. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.

84. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. Кибернетика, 1965, № I, с.45-56, № 2, с.85-89.

85. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975.

86. Гермейер Ю.Б., Ватель И.А. Игры с иерархическим вектором интересов. Изв. АН СССР. Технич. киберн., 1974, № 3. с.54-69.

87. Копне И. CI PxttiCtuf Wane. (Mo^liim gtZ Scfe^1. BiАп&хп- ¡/^en^IIAS AJ

88. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

89. Багриновский К.А. Основы согласования плановых решений. М.: Наука, 1977.

90. Волконский В.А. Принципы оптимального планирования. М.: Экономика, 1973.

91. Методика проектирования экономического механизма управления для районного аграрного объединения. М.: ВНТИЦентр ГКНТ СССР, 1983.