автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Механический подход в математическом моделировании молекулярных структур

Р Г 5 ОД

На правах рукописи

КРИКСИН ЮРИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

МЕХАНИЧЕСКИЙ ПОДХОД В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СТРУКТУР

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена .в Институте Математического моделирования Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Н.Ю.Орлов

доктор физико-математических наук, профессор Р.П.Федоренко

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор А.Р.Хохлов

Ведущая организация: Институт прикладной механики

УрО РАН (г.Ижевск)

Защита состоится "в??" 1996 г. в _ часов

на заседании Диссертационного Совета Д 003.91.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, А-47, Миусская пл.4-а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МММ РАН. Автореферат разослан " 1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, доктор физико-математических наук

Н.В.Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИИ. В последнее время резко возрос интерес к математическому моделированию молекулярных структур на микроуровне. Он обусловлен появлением новейших технологий и приложений в биологии, оптике, микроэлектронике и других прикладных дисциплинах. Одним из интереснейших объектов исследования в этой связи являются молекулярные пленки Ленгмюра-Блоджегт (моно- и мультислои), состоящие из длинных органических макромолекул. Они применяются в качестве диэлектриков и туннельных барьеров, для изготовления фоторезистов, в устройствах интегральной оптики, в нелинейных оптических приборах и в других областях традиционной микроэлектроники. Простейшая пленка - ленгмюровский .монослой "толщиной в одну молекулу" представляет собой пример редко встречающихся в природе двумерных систем.

Большинство теоретических работ, посвященных изучению свойств ленгмюровских пленок, сводится к исследованию либо индивидуальных свойств молекул, составляющих пленку, либо различных вариантов феноменологического макроскопического подхода. Однако, наибольший интерес с точки зрения понимания процессов, протекающих в пленках, и практических приложений представляет как раз построение микроскопической теории моно-и мультислоев, а также компьютерное моделирование на основе известных принципов взаимодействия длинных органических макромолекул.

Весьма перспективным в этой связи представляется квазиклассический механический подход, в рамках которого молекулярная система получает описание как объект классической механики. Необходимость учета различного рода внешних и параметрических воздействий, которым может быть подвергнута молекулярная структура, приводит к формулировке незамкнутой механической модели. Наиболее подходящей с точки зрения автора обобщенной математической моделью таких структур является гамильтонова система с внешним воздействием.

dq дН dp дН

dt д р di д q

где \ - время, ц - вектор обобщенных координат, р - вектор обобщенных импульсов, НЦ.ц.р) - гамильтониан, ¡((.ц.р) -векторная функция, описывающая внешнее воздействие.

Уравнения классической механики являются одним из старейших объектов изучения в математике и играют исключительно важную роль во многих приложениях. Однако, гамильтоновым системам с внешним воздействием уделялось до последнего времени сравнительно мало внимания. В основном изучались уравнения движения Ньютона, к которым сводится (1) в ряде важных частных случаев. В связи с возникшими новейшими приложениями в области моделирования микроструктур возникает необходимость в интегрировании уравнений (1) на достаточно больших временных промежутках. Эта необходимость возникает при исследовании динамических режимов в математических моделях ленгмюровских монослоев, изучении статистических свойств траекторий и вычислении различных средних на траекториях (показатели Ляпунова и т.п.). Поэтому исключительно важное значение приобретают нелокальные вопросы общей и качественной теории систем вида (1) ж разработка эффективных численных алгоритмов для их решения.

Математическое моделирование любого объекта включает в себя формулировку модели в виде соответствующих уравнений, разработку алгоритмов их решения и создание пакетов прикладных программ. Вместе с тем по-прежнему остаются актуальными вопросы, традиционно относимые к области "чистой" математики, такие как исследование существования, единственности, продолжимости, ограниченности и устойчивости решений уравнений, рассматриваемые в рамках общего и качественного исследования модели. Ответы на эти вопросы весьма важны, так как они дают представление о состоятельности изучаемой модели.

При построении численных алгоритмов целесообразно учитывать свойства ■ решений, выражающиеся в присущих им законах сохранения. В связи с этим следует подчеркнуть важность соблюдения принципа консервативности для гамильтоновых систем с внешним воздействием, которые удовлетворяют соотношению баланса гамильтониана на фазовой траектории

йН дН дН

(2) тт = Т7 + а>т-)-

<11 о1 о р

В диссертации ключевыми являются как теоретические, так и прикладные вопросы математического моделирования молекулярных микроструктур.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Научная новизна работы состоит в решении теоретических вопросов, относящихся к нелокальной качественной теории гамильтоновых систем с внешним воздействием, разработке и обосновании численных алгоритмов, получении качественных и количественных результатов математического моделирования ленгмюровских монослоев на микроуровне, состоящих в раскрытии механизма перехода устойчивых состояний монослоя друг в друга и описании характерных динамических режимов.

Практическая значимость работы определяется с одной стороны разработкой основ механического подхода в математическом моделировании структур на микроуровне, а с другой стороны -предсказанием при помощи математического моделирования конкретных свойств ленгмюровских монослоев, которые при последующем экспериментальном подтверждении могут лечь в основу разработки новых приборов и устройств микроэлектроники.

. Общность предпринятого подхода позволяет распространить методику исследования не только на ленгмюровские пленки других типов, но и на иные молекулярные структуры на микроуровне.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является создание методологического подхода в моделировании молекулярных микроструктур, решение возникающих при этом вопросов нелокальной качественной теории, разработка вычислительных алгоритмов и проведение ■ вычислительных экспериментов по исследованию статических и динамических свойств ленгмюровского монослоя.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В методическом аспекте работа базируется на аппарате общей и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, механики и вычислительной математики. Формулировка математических моделей основывается на теоретических и экспериментальных положениях, принятых в оте-

чественной и зарубежной научной литературе. Обоснованность и достоверность математических моделей и результатов моделирования подтверждается сопоставлением полученных результатов с аналитическими решениями, экспериментальными данными и численными результатами других авторов и при использовании других методов. Надежность результатов подтверждена тестовыми расчетами.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА состоит в формулировке обобщенной математической модели молекулярной микроструктуры, решении вопросов общей и качественной теории, разработке и обосновании вычислительных алгоритмов, проведении компьютерного моделирования ленгмюровского монослоя.

Разработка математической модели ленгмюровского монослоя, постановка задачи и интерпретация результатов осуществлялись совместно с сотрудниками Института радиотехники и электроники РАН В.В.Кисловым и И.В.Тарановым.

Большая помощь в проведении численных расчетов при определяющем участии автора оказана сотрудником Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН В.М.Агаяном.

АППРОБАЩЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались, на семинарах Института прикладной математики им. М.В.Келдыша (1991 г.), лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова (1994 г.), кафедры математики физического факультета МГУ (1994 г.), Института математического моделирования РАН (1995, 1996 гг.). Автором сделано четыре доклада на семинаре по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (1994-1996 гг.). По результатам работы сделаны доклады на Всероссийской школе-семинаре молодых ученых (Абрау-Дюрсо, 1995 г.), на международной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" (г. Ижевск, 1996 г.)..

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 36 печатных работ: в научных журналах и научных сборниках - 22, в трудах конференций и семинаров - 3, в препринтах - II. Две статьи депонировано в ВИНИТИ. Основными из них являются рабо-

ТЫ [1-21].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и работ автора общим количеством 237 названий. Нумерация формул, определений, замечаний и утверждений осуществляется в каждой главе независимо от других глав. Объем диссертационной работы составляет 306 страниц текста, в том числе: рисунков II, таблиц 3.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор текущего состояния проблемы, сформулированы направление и цель исследований и дана краткая аннотация содержания диссертации по главам.

В главе I "Нелокальные теоремы существования и единственности" сформулированы условия продолжимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений на заданный промежуток и полученные результаты применены к гамильтоновым системам с внешним воздействием.

Глава I состоит из пяти параграфов. В §1 вводятся вспомогательные понятия и сведения, необходише для формулировки условий продолжимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной и имеющих особенности в правой части. Наличие особенностей характерно для многих прикладных задач, поэтому исследование нелокальных вопросов существования и единственности решения в этом случае представляет несомненный практический интерес.

В предлагаемом подходе доказательство утверждений о продолжимости решений систем с особенностями на заданный промежуток временной оси основано на изучении поведения некоторой ' вспомогательной функции на фазовой траектории. Эта функция задана в области определения системы и обладает ряждом специальных свойств. Для их описания вводится

Определение. Действительная функция определенная

на [а,Ь]®Ъ (7е/~а,Ь], х&Ъ, 2) - открытое множество банахова пространства.) называется равномерно выпукло непрерывной на множестве 2)'с2), если для любого с>0 существует положительное

число 6=S(e), такое что из выполнения условий [хухг]сЪ' и llxj-j^llcci, следует неравенство \w(t,x1)-w(t,x2)\<s при произвольных te[a, Ь].

Равномерно вьшуклая непрерывность является более слабым условием чем обычная равномерная непрерывность ввиду присутствия дополнительного требования [хух2]сТ'. Последнее позволяет "обходить" особенности и включать в рассмотрение более широкий класс функций по сравнению со стандартным случаем.

Для формулировки условий продолжимости решений необходим класс Сs([a,bJ®V), принадлежность к которому функции w(t,x), определяется тремя условиями:

1) w(t,x)zZ([a,b]®V)\

2) если множество

(3) 2)(с) ={х: хб®, wU,x)Zc, t£[a,b])

непусто, то функция w(t,x) равномерно выпукло непрерывна в

2)(с) ;

3) если хедХ OD - граница множества D), а последовательность txn' сходится к х при п-хя по норме 1, то при любом

t£[a,b] wit.x )-*+«>, и-ж).

Если функция w(t,x)=w(x) не зависит от t и удовлетворяет условиям 1)-3), то будем обозначать, что ш(х)еСя(Ъ).

В §2 формулируются критерии продолжимости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в Еп

dx

(4) - = Fit, х) x(t ) = x dt о о

относительно функции х-х( t)=(x1(t),...,x^[t)) времени t со значениями в М-мерном евклидовом пространстве Э£=я". Правая часть системы (2.1) FU,x) есть функция со значениями в определенная на множестве TT=(-a,+u>)®Tt (D - открытое подмножество в ЭС). Пространство 3£=£N будем иногда называть фазовым пространством (ФП). Скалярное произведение и норму в £ы традиционно обозначим как (•,■) и 11-11 соответственно.

Теорема I устанавливает критерий продолжимости решения на конечный промежуток, а теорема 2 - на бесконечный и полубесконечный временные промежутки. Приводятся примеры примене-

ния критериев для системы Лоренца й осциллятора Ван-дер-Поля.

Эти критерии основаны на анализе поведения вспомогательной функции ~ш(х) на фазовой траектории системы, что напоминает широко известный метод функций Ляпунова. В отличие от метода Ляпунова вспомогательная функция, вообще говоря, не обладает знакоопределенной производной по направлению поля скоростей, а характеризуется оценкой ограниченного роста на фазовой траектории.

Дальнейшее развитие подхода, предложенного в §2, осуществляется в §3, где формулируются достаточные условия продолжимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве на заданные промежутки.

Рассмотрим в банаховом пространстве 1 с нормой II •!! обыкновенное дифференциальное уравнение (4) относительно неизвестной функции времени хЦ) со значениями в 1, правая часть которого также принимает значения в ЗЕ я определена на прямом произведении отрезка временной оси [а,Ь], содержащего начальную точку г0, и открытого множества 7Ш, которое будем обозначать как 2) (Т>т=[а,Ь]®Ъ).

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:

1) функция т,х) непрерывна по * на [а,Ь];

2) существует числовая функция т{1,х)еС¿[а,Ь]®Ъ), такая что:

а) для любых 1е[а,Ь], х&1)(с), (см.(3)) выполняется неравенство II т, х) II £ ^(с) ;

б) для любого 1£\а,Ь] и произвольного отрезка х2]сЪ{с) справедливо условие Липшица П/Ч^л^-Л/, х2)\\ ^ р [ с) И*II; где неотрицательные функции А) монотонно не убывают при

Ле(-со, +<я).

Тогда, если непродолжимое решение х(1) задачи Коши (4) в каждой точке Ща,Ь], принадлежащей его (т.е. х(1)) области определения, удовлетворяет условию Одля некоторого действительного числа с0, то оно определено единственным образом на всем промежутке Ь].

Выполнение условий теоремы 3 на произвольном отрезке [а,Ь]Ят, где т является одним из следующих промежутков: [*о-+а>] или (-са>+а)> влечет за собой однозначную разрешимость задачи Кош (4) при ¿ег. Условия продолжимости

решений на бесконечный или полубесконечный промежуток т сформулированы в теореме 4.

Гамильтоновы системы с внешним воздействием вида (1) рассмотрены в §4. В целях наибольшей общности конфигурационное (ЭЕ^) и импульсное (ЭЕр) пространства предполагаются бесконечномерными гильбертовыми (X =ЭС =К) . Фазовое пространство Х=ЭЕ®Э£ является прямым произведением координатного и импульсного пространств и состоит из точек вида «?,р> ре£р> ■ В качестве вспомогательной функции естественным образом используется гамильтониан, поведение которого анализируется на фазовых траекториях (1). Условия продолжимости решения (1) на произвольный конечный промежуток временной оси устанавливает теорема 5.

Теорема 6 конкретизирует условия теоремы 5 для гамильтониана вида

(5) Н^.ц.р) = и(ид) + (Аа,Я)(р-з((,д)),(р-з((,д)),

представляющего достаточно общий случай механической системы с п степенями свободы.

В §5 предпринято более детальное изучение некоторых важных частных случаев гамильтоновых систем (1) с гамильтонианом

(5).

В п.5.1 исследуются гамильтоновы системы с внешним воздействием типа Ньютона, у которых гамильтониан не зависит от времени и имеет вид

(6) Н(д,р) = и(ч) + (Лр,р)У2,

где АН-*К - линейный самосопряженный положительно определенный оператор, такой что

А^рИ2 5 (Ар,р) £ \2Нр112, 0 < Аг< А2,

а скалярная функция u(q) (потенциал) определена на открытом множестве и удовлетворяет следующим условиям Р: Р1. и(с]) неотрицательная и непрерывно дифференцируемая по Фреше функция на <3.

Р2. Если множество 0(с) - (у: qeQ, и(д) £ с} непусто, то при любом ц£0,(с) справедливо неравенство. \\и'(ц)\\^и¿с),- а при произвольных ql,q2йQ(c), таких что отрезок прямой [q1,q2] целиком лежит в (1(с), выполняется условие Липшица \\u'(qг)--и' (q2)\\zu2(c)\\q1-q2\\, где и ¿с) - монотонно неубывающие неотрицательные функции, определенные на [0,+а>). РЗ. Если ?0€ЭС! (д<2 - граница множества (¡), то и(д)-ч-оо при \\q-qo\\+0.

Кратко поясним содержательную сторону условий Р. Условие Р1 обеспечивает достаточную гладкость потенциальной функции и(д) и исключает наличие у нее особенностей типа -оо (как, например, у гравитационного потенциала), допуская в то же время возможность существования особенностей типа +со (потенциал отталкивания). Условие Р2 гарантирует ограниченность "потенциального силового поля" и его вариаций на "регу-

лярном" множестве 0(с), отделенном от особенностей типа +<». Наконец, условие РЗ "запрещает приближаться" траектории к границам области определения потенциала, "включая" механизм отталкивания.

Таким образом, наложенные ограничения Р1-РЗ физически обоснованы.

Внешнее воздействие также подчинено ряду огра-

ничений, согласованному с поведением потенциала и^), qeQ.

. Система уравнений Гамильтона (1), соответствующая гамильтониану (€) и учитывающая внешнее воздействие Щ.ц.р) принимает вид

йр

(7) — = Ар, —= - и'01) + КиЧ,р),

а <и

где u'(q) есть производная Фреше функции и^).

Начальные условия

(8) Фй)=Ча. РОо^Ро-

определяют задачу Коши для системы (7).

Теорема 7 дает достаточные условия продолжимости решения системы (7) на произвольный конечный временной промежуток [а.Ь].

Теорема 8 содержит условия однозначной разрешимости

задачи Коши (7), (8) "в целом", т.е. при г€(-со,+га).

Наиболее интересный с точки зрения практических приложений случай отвечает продолжимости решения (7), (8) на положительную полуось ¿¡0,-,то). Сформулируем явно соответствующие ограничения ? на внешнее воздействие.

Функция ¡(¡,д,р) непрерывна по совокупности переменных, если цеО., реН и удовлетворяет неравенству

ЩиЧ,р)\\ ^ 11(\1-^\,\\Лр\\)-[1 + и(д)],

где функция монотонно не убывает по каждому из аргу-

ментов 1^0.

Для любых точек хух.^1 (х.=<г/гр.>, 1=1,2), таких что [х1,хг]сТ=Ч®Н выполняется условие Липшица

\\}(1,х1на,х2)\\ * ЦП*-д .ИпУЪхг-х^,

где Я12=эир Н(х), хе[х1,х2], а неотрицательная функция А,11е[0,+п) монотонно не убывает по каждому из аргументов при фиксированном другом.

Гз. Существует К^О, такое что если (Лр,р)^2К, то (Ар,}({^,р))£0 при всех

Поясним роль каждого из условий Р. Условие ограничивает рост нормы внешнего воздействия во времени и согласовывает его поведение с гамильтонианом. Условие Р2 является разновидностью неравенства Липшица. Наконец, условие РЗ означает, что внешнее воздействие [ при достаточно больших скоростях ведет себя как сила трения.

Теорема 9. Пусть <?0€<2 и выполнены условия Р и Р, тогда задача Коши (7), (8) имеет единственное решение на положительной полуоси [¡0,+а>).

В п.5.2 в центре внимания оказываются гамильтоновы. системы с параметрическим воздействием

щия.р) = ф.ч) + (Ар,р)/2,

где

Б

= Е к/о^с?;,

1=1

для которых также формулируются условия продолжимости решения на заданный промежуток.

В п.5.3 рассмотрены гамильтоновы системы (1) в криволинейных координатах

Н(ч,р) = и(Я) + (А(д)р,р)/2

и так же как и в п.5.2 приводятся условия продолжимости решения.

Глава 2 "Асимптотические свойства траекторий гамильтоно-вых систем с внешним воздействием" посвящена качественному исследованию асимптотических свойств гамильтониана на фазовой траектории системы (7) со многими степенями свободы. Изучение поведения полной механической энергии для незамкнутых систем тесно связано с вопросами устойчивости. В частности, разрушение какой-либо молекулярной структуры нередко оказывается сопряженным с переходом системы через пороговое значение энергии, в связи с чем вопросы качественного исследования условий ограниченности энергии заслуживают пристального внимания.

■ С другой стороны в задачах изучения динамических режимов довольно часто приходится иметь дело со статистическими1 свойствами фазовых траекторий, которые оцениваются при помощи вычисления средних значений различных функций на фазовых траекториях. В этом случае неявно исходят из посылки, что соответствующая фазовая траектория статистически устойчива. В частности, конечные значения вычисляемых средних гарантируются, если фазовая траектория системы • (7) лежит в области ' И(Е)={<д,р>: Н(ц,р)^Е} с ограниченной энергией.

Глава 2 состоит из пяти параграфов.

В §1 дана постановка задачи и сформулированы основные ограничения, которым подчиняется потенциальная энергия и{д) и внешнее воздействие {(¡,д,р). В целях большей общности изложения конфигурационное (ЭП и импульсное (ЭС ) пространства предполагаются гильбертовыми.

В отношении потенциала u(q) наряду с ограничеиями Р будем предполагать выполненным следующее дополнительное условие,-

Р4. Область значений потенциальной функции u(q) включает в себя полупрямую [Е0,ч-а>), в точках которой определены функции

<р(Е) = sup \\ и' (q)\\~l, ф(Е) = sup [\\u'(q)\\~2Lip(u'(q))], u(q)*E u(q)zE

где

Lip(u'(q)) = lim sup [ llq' II"1-\\u'(q+q' )-u'(q)\\], e^O 0<\\q'\\£c

такие что

lim <p(E) = lim ф(Е) = 0. Е-Н- со £->+сл

Условие Р4 гарантирует неограниченность потенциальной функции u(q) вместе со своим градиентом, причем, последний не может оставаться конечным, когда u(q)^+со. Одновременно условие Р4 накладывает ограничение на вариацию градиента с тем, чтобы изменение рельефа поверхности в близких точках координатного пространства не было "слишком резким".

Далее условия Р вместе с только что сформулированным условием Р4 будем называть расширенными условиями Р.

Несколько более жесткие требования чем F наложим на внешнее воздействие f(t,q,p).

Пусть вместо неравенства в Fl при t^tQ, qsQ, реН справедливо неравенство

Uf(i,q,pJH s Г0((Лр,рУ2),

где FQ(r) r^û. - неотрицательная монотонно неубывающая непрерывная справа функция; а вместо условия выполняется более жесткая его модификация, а именно.- существует К^О, такое что если (Ар,р)^2К, то справедливо неравенство

(Kt.q.p).Ap) — -Г.

где г - некоторая положительная постоянная.

Только что сформулированную версию условий Р будем называть в дальнейшем строгими условиями Р.

В §2 доказываются вспомогательные утверждения (леммы 1-3) о поведении фазовых траекторий в различных областях фазового пространства, необходимые для формулировки основного результата.

В §3 установлен основной результат главы 2, касающийся поведения положительных фазовых полутраекторий в рамках ограничений §1, а именно: любая положительная полутраектория находится в множестве "ограниченных энергий" вида {<д,р>: Н(д,р)£Н(Н0)} , где Н0=Н(д0,р0)=Н(<1((0),р((0)), причем, в течение промежутка времени она входит в множество

Ю( Е )={ <д, р>: Н(щ,р)*Е},- где Е не зависит от выбора начальной точки <ц0,р0>, и остается там в дальнейшем. Длина указанного промежутка Аг? оценивается сверху величиной, зависящей только от начального значения гамильтониана Н0 и Е. (теорема I).

По сравнению с известным автору случаем системы уравнений типа Ньютона с одной степенью свободы теорема I обобщает результат Т.Иосидзавы (1955) на системы уравнений движения со многими степенями свободы. Это обобщение становится возможным благодаря дополнительному требованию ф(Е)-*0, £->+«> в условии Р4. Обобщение не является тривиальным, так как по сравнению со случаем одной степени свободы, в котором скорость -параллельна градиенту потенциала «О), в системах со многими степенями свободы скорость может составлять произвольный угол с направлением градиента и'(ц), в частности, быть ему ортогональной.

Свойство притяжения положительной полутраектории (7) к множеству ЩЕ) является С°-грубым, т.е. любая система вида .(4), достаточно точно аппроксимирующая (7) в равномерной норме, будет обладать свойством притяжения полутраекторий при ¿-н-оо к некоторой окрестности ЩЕ). Следовательно, разностная схема с "хорошей" аппроксимацией обеспечивает притяжение приближенного решения к указанной окрестности.

В §4 рассматривается асимптотическое поведение фазовых траекторий "в целом". Установлена связь продолжимости решения

в прошлое с ограниченностью гамильтониана (теорема 2). Изучаются некоторые свойства а- и «-предельных точек (теорема 3).

Утверждение теоремы 2 состоит в том, что непродолжимое решение задачи Коши (6),(7) х(1)=<д(0,р(1)> с левой границей 1 своей области определения (в частности допускается значение 7=-°°). удовлетворяет одному из двух условий:

(а) +«>, ¿-»7, или

(б) 7 = -со, ис^о.рГО) - Е> < I < +а>,

где Е то же самое число, что и упомянутое выше при характеристике результата §3.

Для конечномерных систем (6), обладающих свойством сжатия фазового объема, это означает, что почти все решения удовлетворяют условию (а), так как множество начальных условий /=*0, <?=<70, р=р0. которым соответствует условие (б), имеет лебегову меру нуль.

Определение. Точка х*=<д*,р*> называется а-предельной (ш-предельной) некоторого решения (6) р(0>< опре-

деленного при ге(-<М07 (<€/"* -ни)),- если существует последовательность (I -*+«>, а), такая что

- /Пх О, п и.

Теорема 3 устанавливает области расположения а- и ш-предельных точек. Всякая и-предельная точка р^>

удовлетворяет неравенству Щд^р^Е*, где Е* - точная нижняя грань чисел Е, упоминаемых при описании результата теоремы 2. а-предельная точка либо удовлетворяет неравенству Щча,ра)-, либо - условию qae■дQ., где дЯ - граница области

определения Я потенциальной функции и(у).

§5 посвящен анализу расширенных ограничений Р, наложенных на потенциальную энергию. Приведены примеры их выполнения в ряде частных случаев. Сформулированы достаточные условия, при которых некоторые системы многих частиц им удовлетворяют (теоремы 4-5).

В главе 3 "Консервативные разностные схемы для гамильто-новых систем с внешним воздействием" рассмотрены вопросы построения численных методов для решения гамильтоновых систем с

внешним воздействием на основе принципа консервативности, понимаемого в смысле выполнения дискретного аналога соотношения баланса гамильтониана (2). Глава 3 состоит из восьми параграфов .

В §1 дана характеристика проблем, возникающих при построении разностных схем, ориентированных на решение систем уравнений движения. Уравнения движения обладают присущими им законами сохранения (см.(2)), которые должны быть учтены в соответствующих алгоритмах. Если об этом не позаботиться заранее, то могут возникнуть дополнительные возмущения, представляющие собой внешние воздействия разностной природа. Эти возмущения носят паразитический характер и способны, как это видно на примере схемы Эйлера, сделать непригодным соответствующий алгоритм для интегрирования уравнений движения на достаточно больших временных промежутках. Приводятся конкретные разностные схемы, удовлетворяющие принципу консервативности.

В §2 предлагаются некоторые способы построения консервативных разностных схем такие как метод аппроксимации траектории, метод разностного градиента и др. Сформулировано определение консервативной разностной схемы для гамильтоновых систем (1).

.Гамильтониан НЦ,ц,р) и внешнее воздействие Ц1,я,р) в (1) считаются достаточно гладкими функциями в своей области определения. Описание требований гладкости на формальном уровне с учетом особенностей гамильтониана основано на использовании понятий фазового пространства X = ШН = Н2, состоящего из точек х=<ц,р>, д.реЯ с нормой

1Ы1Х = (1\ф2 + ПрИ2;1/2, в котором линейные операции вводятся обычным образом

а1Х1+а2Х2 = <<Х^1+0С2Ь' агР1+а2Р2>' ■Х1Г=<^1'Р1>' ,=/"2'

и расширенного фазового пространства 2 = (-со,+оо)®Я®Н =

=С-га,+оо)®1 С точками 2=<1, <!),р»---<1,х>1 /€(-со,+со), И нормой

П2112 = а2 + II?!!2 + \\р\ 12//2,

линейные операции в котором вводятся по аналогии с пространством ЭС:

"iWz = <аЛ+а2Х2' aiil+a2JC2>' 4=<iVXi>' Ы-2'

Определение. Двуслойная разностная схема для системы уравнений (?) вида

Л Л

qT = Щг.г), рх = р(г,г),

где

/Ч Л Л Л

. z = <t,<q,p», z - <t ,<q,p>>,

Л А

назьшается консервативной, если ее решение <q,p> удовлетворяет тождеству

Л Л

нт = K(z,z) + &(z,z),

в котором первое слагаемое ц обращается в нуль, если гамильтониан Н не зависит явно от t, а второе слагаемое <5 равно нулю, когда в (1) f=0.

Из только что сформулированного определения следует, что при условиях

дН

— = 0, f = О д t

значение гамильтониана // сохраняется на всех временных слоях.

Рассмотрим некоторые подхода, которые можно использовать для получения консервативных разностных схем.

1) Метод аппроксимации траектории. Пусть вектор-функция времени x(t)=<q(t),p(t)> со значениями в фазовом пространстве Ъ=Пг является решением системы (1). Подставив q(t) и p(t) в (1) и проинтегрировав полученные тождества в пределах от t до t+т, будем иметь равенства

1 дН

qx = J d\--(ti-hT,q(t-/-Az),p(t+Az)),

О дР

1 ан

рх = 3 0К-(--

0 З7 (7+Лт,?(7+Ат),р(/+Ат)/)

Последние соотношения лежат в основе метода аппроксимации траектории, в котором неизвестные функции q(t+hл), р(7+Ат) заменяются некоторыми своими аппроксимациями - непрерывными кривыми в Я - <р(Л) и ^(А.) соответственно, такими что

НО)^, <Р(1)=ч. ЦО)=р, Ф(1)=р, 1 дН

Г ¿А-С— <р'(\}+д-Ч)\ =0,

0 дд (Шт,<р(Л),1!1(\))

1 а//

; (&•(—.Г(Л)+Р-Р)\ =0.

0 ар с^Ат, <р(\),1р(\))

После указанной замены, приходим к разностной схеме вида

дН дН

(8) Ч = —' Рх = - +

о р д ц

Черта над символом функции обозначает ее среднее значение на отрезке кривой <^+Ат, 0СА)> в расширенном фазовом пространстве Н, а именно:

_ _ г

/г = И(г.г) = X Н(Мт,<р(\),ф(\)),

где

Л Л Л Л

2 = Р», 2 = р».

Схема удовлетворяет разностному тождеству

а// -ан

о / ор

внешне напоминающему и являющегося его дискретным аналогом. Первое слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю, если гамильтониан // явно не зависит от времени, а второе слагаемое обращается в нуль при ¡=0. Тем самым, схема (8) является консервативной в соответствии с определением.

Множество аппроксимаций <tp(\),\l)ß)> заведомо непусто. Простейшим примером служит линейная аппроксимация

<р(Л) = q -+ \(q - q), lp(\) = p + Afp - p).

В случае использования линейной аппроксимации для построения схемы (8) будем называть наш метод методом спрямления траектории.

2) Метод разностного градиента. Правые части уравнений (1) содержат градиенты гамильтониана dH/dq и дН/др по координатной и импульсной переменным соответственно. Свойство консервативности можно обеспечить, если при построении разностной схемы воспользоваться специальными разностными аналогами градиента (разностными градиентами)^

Будем говорить, что Vqtf(f;<7,q;p) является разностным градиентом по координатам, если

8И Л

II~(t,q,p) - V H(t;q,q;p)\\ = 0(\\q-q\\), д q

Аналогичным образом вводится разностный градиент по импульсам, который удовлетворяет соотношениям

д!1 Л' Л II —У.ц.р) - V ЩиЧ;р,р)\\ = 0(\\р-р\1), ар у

(Ч9Н(иЧ;р,р),р-р) = НО.ч.р) - НО.д.р).

Разностная схема, построенная на основе метода разностного градиента, имеет вид

Чт = ЧрН(1,Ч;р,р).

рт = - + ЧЪч.рЗ.'я.р).

где V есть некоторая аппроксимация внешнего воздействия

Ниже приводится соответствующий дискретный, аналог балансового соотношения (2)

Нт = т-х[Н(!,д,р) - НО,д,р)] +

+ ОXI, ,ЛЧ.р) ,ЧрН(1.д; р,р)).

В §3 изучается аппроксимация консервативных разностных схем. Показано, что схема, построенная по методу спрямления траектории (частный случай метода аппроксимации траектории), имеет аппроксимацию второго порядка.

§4 посвящен проблеме разрешимости консервативных разностных схем. Эта проблема актуальна в связи с их нелинейностью. Получены оценки шага по времени и радиуса окрестности выбора начального приближения для метода простых итераций в рамках принятых ограничений на гамильтониан и внешнее воздействие (теорема I). Методика получения таких оценок является общеизвестной.

В §5 проведено исследование условий сходимости метода Ньютона-Канторовича для консервативных разностных схем. В условиях принятых ограничений на гамильтониан и внешнее воздействие получены оценки для шага по времени и окрестности текущей точки фазового пространства, в которой можно выбирать начальное приближение, гарантирующие сходимость метода Ньютона-Канторовича к решению консервативной разностной схемы с квадратичной скоростью (теорема 2). Эти оценки основаны на известных приемах и по существу адаптируют общие теоремы о сходимости метода к рассматриваемому случаю гамильтоновой системы с внешним воздействием.

В §6 изучаются асимптотические свойства разностных реше-.ний на достаточно больших временах. В качестве базовой модели выбрана гамильтонова система с внешним воздействием и линейными связями (7), удовлетворяющая ограничениям Р1-Р4 и строгим условиям Г, рассмотренным выше. Необходимость такого исследования обусловлена интересом к статистическим свойствам траектории. Эти свойства изучаются при помощи вычисления средних значений различных функционалов на решении. Естественным требованием к численному алгоритму является сохранение

основных статистических свойств точного решения, однако теоретическое исследование этого вопроса встречает серьезные затруднения. Имеющиеся результаты относятся к достаточно узкому кругу частных случаев, за пределами которого остается много практически интересных систем.

Для системы (7) необходимым условием "разумного" поведения приближенного решения является свойство притяжения полутраектории к множеству Ъ(Е)={<д,р>: Н(д,р)^Е} при Таким свойством обладают разностные решения, достаточно точно аппроксимирующие решение (7) в силу С°-грубости свойства притяжения для точных траекторий (7). Однако, в общем случае, допускающем неустойчивое поведение истинных траекторий (наличие положительных показателей Ляпунова), из-за экспоненциального разбегания близких траекторий оценка шага по времени для разностной схемы, основанная на близости приближения к точной кривой и обеспечивающая свойство притяжения, оказывается неоправданно жесткой.

В связи с этим представляет интерес разработка разностных схем, решения которых притягивались бы к множеству "ограниченных энергий" ЩЕ) вследствие "внутренних" свойств схемы, не связанных непосредственно с аппроксимацией точного решения. Поэтому содержание §6 можно рассматривать как дискретную версию результатов §2-3 главы 2.

В п.6.1 построена соответствующая консервативная разностная схема по методу спрямления траектории с некоторым отличием в члене, аппроксимирующем внешнее воздействие. Сформулирована теорема 3 о разрешимости разностной схемы.

В п.6.2 доказаны вспомогательные утверждения о поведении разностной последовательности в различных областях фазового пространства- (леммы 3-5).

В п.6.3 сформулирован и доказан основной результат о финальной ограниченности гамильтониана в будущем на разностной последовательности (теорема 4) - дискретный аналог теоремы I §3 главы 2. Члены разностной последовательности спустя конечное время, оцениваемое сверху величиной, зависящей только от начального значения гамильтониана и некоторых вспомогательных параметров, оказываются "втянутыми" в множестве "ограниченных энергий" (<д,р>: Н(д,р)$Е}. При этом верхняя

оценка шага по времени совпадает с сответствующей. оценкой п.6.1, определяющей условия однозначной разрешимости разностной схемы. В совокупности с результатами §5 это означает, что верхняя оценка шага по времени может быть назначена априорно исходя из начального значения гамильтониана. Если шаг интегрирования удовлетворяет данной оценке, а функции и(д) и í(t,q,p) достаточно гладкие, то можно искать решение разностной схемы методом Ньютона-Канторовича или методом простых итераций, не проверяя условий на шаг на каждом временном слое.

В §7 рассматриваются вопросы сходимости разностных решений схемы §6 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) и оценки погрешности на основе известных приемов. Формально сходимость разностного решения к точному имеет место на любом конечном промежутке временной оси, где определено точное решение. Оценка точности по шагу интегрирования совпадает с порядком аппроксимации.

В §8 приведены сравнительный анализ некоторых разностных схем (явные методы Рунге-Кутты, схема, сохраняющая фазовый объем, консервативная схема) для линейной гамильтоновой системы с затуханием и результаты численных расчетов по этим схемам для маятниковой системы с затуханием. Консервативная схема демонстрирует определенные преимущества перед остальными двумя алгоритмами. В отсутствии затухания она сохраняет полную энергию и с высокой точностью сохраняет фазовый объем. Явные методы Рунге-Кутты, напротив, оказываются непригодными для расчета фазовых траекторий на достаточно больших временных промежутках, так как приводят к качественно неверным результатам. Схема, сохраняющая фазовый объем, в целом верно описывает движение, однако, на грубой сетке демонстрирует ■ осцилляции гамильтониана.

В главе 4 "Математическое моделирование молекулярных пленок Ленгмюра-Блоджетт на основе механических представлений" строится и изучается математическая модель ленгмюровско-го монослоя Х-типа. Глава состоит из восьми параграфов.

В §1' описывается упрощенный механизм взаимодействия длинных органических макромолекул между собой и их взаимодействия с подложкой. Макромолекула в этом описании представляет

собой длинный жесткий стержень ("хвост"), к одному из концов которого "присоединена" полярная "голова", в то время как другой ее конец "прикреплен" к поверхности твердой фазы, именуемой подложкой. Взаимодействие макромолекул между собой складывается из диполь-дипольного взаимодействия полярных "голов" и ван-дер-ваальсовского взаимодействия "хвостов", такого что их бесконечно малые элементы действуют друг на друга с силами, определяемыми потенциалом Леннарда-Джонса <хг~12-|3г"6. Взаимодействие неполярных концов макромолекулы с подложкой также описывается потенциалом Леннарда-Джонса

~ -9 я -3 -О г .

В §2 на основе представлений §1 о межмолекулярных взаимодействиях формулируется механическая модель ленгмюровского монослоя, учитывающая три поступательные степени свободы макромолекулы, приводятся соотношение для гамильтониана и соответствующая ему система уравнений движения с внешним воздействием. Каждая макромолекула считается жестко ориентированной в направлении нормали к подложке. Для удобства дальнейшего рассмотрения уравнения модели преобразованы к безразмерному виду.

Динамика монослоя из N молекул, взаимодействующего с плоской гармонической волной бесконечно большой длины, с учетом сделанных упрощений может быть описана в виде следующей системы уравнений Ньютона в безразмерных переменных 2

д. е. ёв, д . .

-1 +7—1 + -{4и2Ь-2ие1(Ьг^ + I [аи р(г -г -,г Л +

* гЧ Лс 1 1 3

си а

■+ сиЬЗ(гГгуГ1 31)]} = 1-сов(Ш), 1=1_____N.

где I - безразмерное время, ь^х^у^г^ - безразмерный радиус-вектор "головы" 1-й макромолекулы. Декартова система отсчета ОХУ'1 выбрана таким образом, что плоскость ОХУ параллельна плоскости подложки и расположенна на расстоянии / от нее в сторону "голов" (/ - безразмерная длина макромолекулы), ось 02 направлена вдоль нормали к подложке также в сторону "голов",

u*\z) = - (ехр(г2) - 1), или —-[(¡ч-г)'^ - 3(1+г)'ъ + 2], 2 54

dip, , / 2 о 2w 2 2ч-5/2 Ы v(z,r) = (Г -2z )(r +Z )

1 z + 1

u^iz.r.l) = S rfzj J* - 2[r2+(zi-z2)2]~3}.

О z

Безразмерные параметры, модели а, с, / выражаются через характеристики макромолекулы. Типичные значения безразмерных параметров составляют

а=0.6, Ь=2.0, с=9.1, 1=4.2,

а характерный пространственно-временной масштаб соответствует 10~э+10~10м, ЛГп-/0~12с.

В §§3-4 изучаются стационарные структуры (состояния) в ленгмюровском монослое, понимаемые как не зависящие от времени устойчивые решения уравнений движения, в которых отсутствует • внешнее воздействие (f=0). Основным состоянием монослоя является "ровная поверхность"-. Однако, при определенных значениях параметров модели основное состояние теряет устойчивость и в результате фазового перехода возникают новые устойчивые состояния - поперечно смятые поверхности (ripple surface), существенно изменяющие физические свойства монослоя.

В §3 рассмотрены стационарные структуры на гексагональной решетке

x(iviz) = e-fij + г 2cos(Tr/3),

y(ivi2) = ei2sin(к/3).

Проекции на подложку неполярных концов макромолекул предполагаются фиксированными в соответствующих узлах решетки.

Среди всего многообразия стационарных структур выделяется' класс пространственно периодических структур. Простейшие структуры такого типа имеют период 3 по ir i2 и поперечные

смещения

1 1 2и

(9) г(1г12) = ^г0+г^гг)^2г0-гГг2)сов

1 2п

Уз 3

где значения г0, г1, г2 определяются в результате подстановки (9) в соответствующие уравнения движения монослоя в случае, когда {=0.

Сначала изучается упрощенная модель с диполь-дапольным взаимодействием (п.3.3.1), а затем полная модель, включающая все типы взаимодействий §1 (п.3.3.2). В рамках используемых модельных представлений установлено, что при возникновении поперечно смятых поверхностей определяющую роль играют величина дипольного момента макромолекулы и степень поверхностного сжатия монослоя. При переходе каждой из них через критическое значение происходит бифуркация потери устойчивости "ровной поверхности", в результате которой рождается так называемая гофрировка - новое более энергетически выгодное состояние монослоя.

В §4 изучаются стационарные структуры с учетом всех трех поступательных степеней свободы макромолекулы. Рассматривается бесконечная плоская подложка, на которой "плавают" макромолекулы, ориентированные вдоль нормали "головой" в одну сторону от плоскости подложки. Для того, чтобы можно было ограничиться конечным числом уравнений, применяется принцип периодического продолжения Борна-Кармана, состоящий в том, что плоскость подложки разбивается на ячейки периодичности (ромб с острьм углом к/3), внутри каждой из которых находится конечное число макромолекул, причем их расположение и скорости в системе отсчета, связанной с ромбом одни и те же для каждой ячейки.

В результате вычислительного эксперимента установлено, что в разреженном монослое с достаточно малой поверхностной концентрацией макромолекул образуются кластерные структуры с гексагональной упорядоченностью макромолекул внутри них. Более плотные монослои демонстрируют гексагональное расположе-

ние макромолекул. При увеличении поверхностной концентрации, а также с ростом дипольного момента возникают поперечно смятые поверхности.

§5 носит технический характер и содержит методические особенности вычисления потенциальной энергии и сил межмолекулярного взаимодействия. В основе алгоритма расчета диполь-дипольного взаимодействия лежит метод Эвальда, состоящий в ускорении сходимости рядов, возникающих при учете диполь-дипольного взаимодействия макромолекул, располагающихся в различных ячейках периодичности. Расчет ван-дер-ваальсовского взаимодействия осуществляется при помощи нахождения элементарных первообразных соответствующих интегралов с использованием рекуррентных соотношений. Вычисление потенциальной энергии и сил взаимодействия макромолекул с подложкой не составляет затруднений.

В §6 на примере упрощенной модели с диполь-дипольным взаимодействием на гексагональной решетке изучаются линейные собственные колебания ленгмюровского монослоя в окрестности устойчивого состояния равновесия. В п.6.1 описана постановка задачи, в п.6.2 найдено аналитическое решение задачи о собственных колебаниях, а в п.6.3 приведены результаты расчетов. Проведенные исследования собственных колебаний монослоя позволяют заключить, что их характер существенным образом определяется типом устойчивого стационарного состояния, в котором находится монослой при данных значениях параметров модели.

Бесконечный монослой в состоянии с ровной равновесной поверхностью характеризуется непрерывным спектром собственных частот гармонических колебаний и соответствующим ему набором длин волн.

С другой стороны, если монослой "сморщивается", образуя ' поперечно смятую поверхность, то элементарное собственное колебание каждой молекулы уже не является чисто гармоническим (по пространственным переменным), на представляет собой суперпозицию нескольких гармонических волн. В случае простейшей структуры (9) с пространственным периодом 3x3 собственное колебание каждой молекулы в отдельности складывается из трех пространственных мод. Мгновенный пространственный профиль этих колебаний представляет собой наложение трех гармоничес-

ких волн. Это обстоятельство может лечь в основу косвенных методов диагностики ленгмюровских пленок.

В §7 описано численное моделирование нелинейной динамики ленгмюровского монослоя при внешнем и параметрическом воздействии. В целях снижения вычислительной трудоемкости использована упрощенная квазиодномерная пространственно периодическая модель на гексагональной решетке с диполь-дипольным взаимодействием (п.7.1). В п.7.2 изучена динамика монослоя при внешнем гармоническом воздействии и затухании. В п.7.3 исследуется динамика при параметрическом воздействии (гармоническом изменении дипольного момента во времени) и затухании.

В результате моделирования выявлены два характерных режима колебаний макромолекул. Первый режим (регулярный) описывает устойчивый предельный цикл. Второй режим (хаотический) характеризуется положительным значением старшего показателя Ляпунова и нерегулярным поведением фазовой траектории. "Включение" того или иного режима зависит от конкретных значений параметров модели и внешнего (параметрического) воздействия. Разнообразие динамических свойств монослоя в совокупности с пониманием механизма-, запускающего тот или иной динамический режим, может лечь в основу разработки новых устройств обработки и защиты информации.

§8 содержит заключительные замечания по поводу математического моделирования ЛБ-пленок. В нем кратко характеризуются не вошедшие в главу 4 результаты по моделированию монослоя с учетом вращательных степеней свободы, а также по распространению волновых пакетов и их рассеянию на препятствиях. Намечены перспективы дальнейших исследований.

В заключении приведены основные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Сформулирована обобщенная математическая модель молекулярных микроструктур в виде системы уравнений Гамильтона с внешним воздействием.

2. Предложен новый критерий продолжимости решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На его осно-

ве сформулированы достаточные условия существования нелокальных решений задачи Коши для гамильтоновых систем с внешним воздействием на конечном временном промежутке, на полуоси и на всей временной оси.

3. Проведено качественное исследование гамильтоновых систем с внешним воздействием на предмет финальной ограниченности гамильтониана в будущем. Для систем специального вида со многими степенями свободы, близких к уравнениям движения Ньютона, найдены достаточные условия вхождения положительной полутраектории в "множество ограниченных энергий" и дальнейшего ее пребывания там. Получены соответствующие временные оценки. Показано, что это свойство положительных полутраекторий является С°-грубым. Проанализировано возможное поведение траекторий в обратном направлении времени.

4. На основе принципа консервативности предложены вычислительные алгоритмы для гамильтоновых систем с внешним воздействием. 'Соответствующие разностные схемы удовлетворяют дискретным аналогам соотношения баланса гамильтониана на фазовой траектории и являются нелинейными. Изучены вопросы их разрешимости аппроксимации и сходимости. Получены оценки для шага интегрирования, обеспечивающие сходимость метода простых итераций и метода Ньютона-Канторовича к решению разностной схемы в рамках принятых ограничений на гамильтониан и внешнее воздействие.

5. Для систем специального вида (см. п.З) построена качественная нелокальная теория поведения разностных решений на достаточно больших промежутках времени. Доказан дискретный аналог теоремы о вхождении разностной последовательности в "множество ограниченных энергий" и ее дальнейшем там пребывании. Этот результат является "внутренним" свойством консервативной схемы, непосредственно не связанным с точностью аппроксимации исходной непрерывной задачи, и является необходимым условием воспроизведения разностной последовательностью основных статистических свойств истинной траектории. В связи с этим мажорантная оценка шага по времени, гарантирующая притяжение разностной последовательности к "множеству ограниченных энергий", определяется не степенью близости разностного решения к точному, а условиями однозначной разрешимости кон-

сервативной схемы в некоторой окрестности текущей точки фазового пространтства.

6. Сформулирована механическая модель ленгмюровского монослоя, как частный случай гамильтоновой системы с внешним воздействием. Проведено исследование простейших стационарных структур и механизма их перехода друг в друга. Показано, что найденные стационарные структуры реализуют локальный минимум совокупной потенциальной энергии монослоя. Решена задача о малых линейных колебаниях в окрестности устойчивого состояния равновесия. В результате численных расчетов найдены соответствующие дисперсионные зависимости.

7. Проведено численное исследование динамических свойств монослоя при параметрическом'.и внешнем гармонических воздействиях, в результате которых выявлено два характерных динамических режима: а) регулярный режим, соответствующий некоторому устойчивому предельному циклу; 0) хаотический режим, характеризуемый положительным значением старшего показателя Ляпунова.

Разработанный в диссертации механический подход допускает распространение на другие молекулярные системы. Результаты исследований могут быть использованы в устройствах обработки информации (нейронные сети, элементы памяти с характерным пространственным размером 10"9-10"1Ом).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛЖАНЩ

1. Криксин Ю.А. Динамические системы с внешним воздействием// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1992.- Т.32,N 3.-С.417-433.

2. Криксин Ю.А. Консервативная'разностная схема для системы уравнений Гамильтона с внешним воздействием// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1993.- Т.ЗЗ,К 2.- С.206-218.

3. Криксин Ю.А. Об ограниченности энергии некоторых нелинейных динамических систем с внешним воздействием// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1993.- Т.ЗЗ.И 9.- С.1277-1293.

4. Криксин Ю.А. 0 нелокальных решениях задач нелинейной

динамики// Ж. вычисл. матем. и- матем. физ.- 1993.-Т.ЗЗ.И 12.- С.1826-1843.

5. Криксин Ю.А. О нелокальных свойствах решений разностных уравнений Гамильтона с внешним воздействием// Жур. вычисл. матем. и матем. физ.- 1995.- Т.35,И 5.- С.718-727.

6. Криксин Ю.А. К теории гамильтоновых систем с внешним воздействием// Докл. АН России.- 1995,- Т.344.М 2.-С.172-174.

7. Криксин Ю.А. О решениях разностных уравнений Гамильтона с внешним воздействием// Ред. Жур. вычисл. матем. и матем. физ.- 1995.- Деп. в ВИНИТИ 30.06.1995.-N 1955-В95.- 34 С.

8. Криксин Ю.А. О построении консервативных разностных схем для задач классической механики// Ред. Жур. вычисл. матем. и матем. физ.- 1995,- Деп. в ВИНИТИ 30.06.1995.-N 1956-В95.- 25 с.

9. Криксин Ю.А. О решении системы уравнений движения с внешним воздействием/ Доклад на сем. МГУ по кач. теории обыкн. диф. уравнений, 2 декабря 1994 г.// Диф. уравнения - 1995.- Т.31^ 8.

10. Криксин Ю.А. О сходимости метода Ньютона к решению консервативной разностной схемы для задачи классической

. механики// Жур. вычисл." матем. и матем. физ.- 1995.-Т.35,И 12.- С.1819-1830.

11. Агаян В.М., Кислов В.В., Криксин Ю.А. Численное моделирование стационарных структур в ленгмюровских монослоях// Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН ССОР.- М.: 1989.- N 145.- 30 с.

12. Агаян В.М., Кислов В.В., Криксин Ю.А. Численное моделирование стационарных структур в ленгмюровском монослое// Матем. моделирование.- 1990.- Т.2,И 5.- С.18-27.

13. Агаян В.М., Кислов В.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Рассеяние линейных акустических волн в ЛБ пленках на неод-нородностях// Матем. моделирование.- 1992.- Т.4.И 2.-С.3-14.

14. Кислов В.В., Криксин Ю.А. Динамические свойства молекулярных пленок Ленгмюра-Блоджетт// Матем. моделирование.-1990.- Т.2^ 4.- С.39-53.

15. КисловВ.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Собственные колебания пленок Ленгмора-Блоджетт с учетом ориентационных степеней свободы// Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдьша АН СССР.- М.: 1990.- N 101.- 18 с.

16. КисловВ.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Математическая модель стационарных структур в ленгмюровских монослоях// Матем. моделирование.- 1992.- T.4.N 5.- С.36-52.

17. КисловВ.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Микрокластерные структуры в ленгмюровском монослое// Радиотехника и электроника.- 1993.- T.38.N 3.- С.539-552.

18. Кислов В.В.Криксин Ю.А., Таранов И.В. Динамика ленгмю-ровского монослоя// Радиотехника и электроника.- 1993.-T.38.N 2.- С.307-314.

19. Кислов В.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Линейные акустические волны в пленках Ленгмюра-Блоджетг// Радиотехника И электроника,- 1995.-Т.40,N 4.- С.540-548.

20. КисловВ.В., Криксин Ю.А., Таранов И.В. Стационарные структуры в ленгмюровском монослое макромолекул с ориен-тационными степенями свобода// Радиотехника и электроника.- 1996.-Т.41,N 2.- С.241-247.

21. Kislov V.V., Kriksin Yu.A., Taranov I.V.. Mathematical models of surface monolayers of organic molecules// Mathematical methods in contemporary chemistry.- Amsterdam: Gordon and Breach Sc. Pub., 1996.- P.413-441.