автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Меделирование течений химически реагирующих газовых смесей в каналах переменного сечения

Институт Математического Моделирования Российской Академии Наук

РГО од

На правах рукописи

— Р ГРЧ '"Ч""

1и' ' УДК 519.6222

Альшина Елена Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ В КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ.

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-1998

Работа выполнена в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова и Институте Математического Моделирования РАН.

доктор физико-математических наук, профессор, член корр. РАН НЛ. Калиткин, доктор физико-математических наук ИА. Соколова

доктор физико-математических наук, профессор

П.П. Валосевич

кандидат физико-математических наук Б.И. Рогов Институт Проблем Механики РАН

Защита диссертации состоится "_"_1998 года

в__часов на заседании Диссертационного Совета К003.91.01 при

Институте Математического Моделирования РАН по адресу 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан "_"_1998 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

В.И. Похилко

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Работа посвящена моделированию нестационарных течений химически реагирующих смесей в гладких каналах переменного сечения. Задачи такого рода возникают при проектировании аппаратов химических производств, камер сгорания, трубопроводов и других различных промышленных установок. Численное решение их в двух- или трехмерной постановке с большим числом химических реакций является весьма сложной задачей даже для современной вычислительной техники. Таким образом, построение упрощенных, но достаточно точных моделей и экономичных методов расчёта таких течений имеет большое прикладное значение.

Целью работы является, во-первых, построение экономичного метода расчёта течений химически реагирующих смесей в каналах переменного сечения на основе квазиодномерной модели и жесткого метода прямых. Во-вторых, обоснование его точности с помощью тестирования на специально построенных точных решениях и на сгущающихся сетках.

Состояние »опроса. Моделированию внутренних течений газа посвящена обширная литература.

В связи со сложностью решения полной системы уравнений Навьс-Стокса для внутренних течений многокомпонентных смесей возникает необходимость построения приближенных моделей, основанных на тех или иных допущениях, отражающих специфические особенности конкретных процессов. Обзор таких моделей содержится, например, н монографиях Ю.В.Лапина и М.Х. Стрельца "Внутренние течения

газовых смесей" (1989 г.), У.Г. Пирумова и Г.С. Рослякова "Течения газа в соплах" (1978 г.), а также Г.Н.Абрамовича "Прикладная газовая динамика" (1978 г.).

Особый класс составляют модели внутренних течений, в которых есть преобладающее направление движения, причём процессы в поперечном к нему направлении являются несущественными. К таким моделям относятся приближение пограничного слоя, когда влияние вязких эффектов проявляется лишь в тонком слое, а в остальной области течение рассматривается как невязкое.

Параболизовацные модели основаны на отбрасывании всех вторых производных по продольной координате. Такой подход даёт возможность использования маршевых методов, однако отброшенные слагаемые в уравнениях Навье-Стокса имеют различный порядок малости, Приближение узкого канала справедливо для тех случаев, когда продольный размер канала существенно больше поперечного и локальное значение тангенса угла раствора невелико (не более 10°).

Б.В.Роговым и И.А.Соколовой в 1994 году было предложено приближение гладкого канала. Эта модель основана на введении криволинейной ортогональной системы координат, специальным образом адаптированной к форме канала и упрощении системы уравнений Навье-Стокса именно в такой системе координат. Такая модель не содержит ограничения на величину тангенса угла раствора канала. Двумерные численные расчеты показали, что модель гладкого качаю дает лучшие результаты, чем модель узкого канала, и близка по точности к нолноГ системе уравнений Назье-Стокса.

Малость поперечной составляющей скорости позволяет пронеси

осреднение по площади сечения криволинейной системы координат 2

адаптированной к форме канала. Полученные уравнения составляют квазиодномерную модель внутренних вязких течений. Несмотря на то, что указанная модель является одномерной, она позволяет естественным образом учесть сложную геометрию канала и множество физико-химических эффектов (боковой вдув, теплообмен, трение со стенкой, химические реакции).

Применяя .расщепление по процессам, можно достичь второго порядка точности по времени только с использованием итерационного уравнивания, но такой процесс трудоёмок и не всегда сходится. H.H. Калиткиным было предложено совместное решение систем уравнений Навье-Стокса и химической кинетики с использованием специального жёсткого метода прямых.

Задачи химической кинетики относятся к жёстким системам, что обуславливает особые требования к численным методам. Наиболее полный обзор методов решения жёстких систем содержится в монографии Е. Hairer, S. Norsett, J. Wanner (1990). Построению различных схем такого типа посвящены работы С.С. Артемьева, В.В. Бобкова, Г.В. Демидова, А.Ю. Захарова, H.H. Калиткина, Е.А. Новикова, 5.В. Павлова, П.Д. Ширкова, а также зарубежных авторов Ch. F. Curtiss, 3. Dahlquist, К. Dekker, C.W. Gear, К. Gustafsson, J. О. Hirschfelder, P.J. van der Houwen, P. Kaps, R. Rentrop, J.G. Verwer и других.

Одним из наиболее популярных сейчас является метод, предложенный Розенброком в 1963 году и обобщенный Ваннером. выбирая число стадий и коэффициенты этой схемы можно получить ребуемые свойстпа разностного метода.

Практическая ценность. Разработанный экономичный метод расчёта нестационарных течений реагирующих смесей в каналах переменного сечения может быть применен при проектировании топливных кот.¡о», сопел и камер сгорания, аппаратов химических производств, трубопроводов, проточных частей паровых турбин для ТЭЦ, парогенераторов морских судов, систем теплоотводов ядерных энергетических установок.

Апробация работы. Результаты докладывались на Всероссийской научной конференции "Физико-химические проблемы сжигания углеводородных топлив" (Москва 1998) и международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск 1998).

Основные результаты опубликованы в работах [1]-[4].

Структура диссертации. Работа состоит из введения и четырех глав, три из которых посвящены изложению оригинальных результатов автора. Диссертация содержит страниц текста. Список цитируемой

литературы включает работ.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность, научная и практическая значимость моделирования нестационарных течений химически реагирующих смесей в каналах переменного сечения. Выделен круг-вопросов, определенный темой диссертации, дан обзор литературы. Кратко изложены основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор основных идей, положенных в основу экономичного метода расчета безвихревых нестационарных течений химически реагирующих смесей в каналах переменного сечения.

§ 1.1 посвящен приближению гладкого канала и квазиодномерной модели, разработанным Б.Н. Роговым и И.А. Соколовой. Пусть форма канала задана функцией в цилиндрической системе координат

{х,у,ф). Возможно ввести криволинейную ортогональную систему координат (4.1,<;), адаптированную к геометрии канала, следующим образом:

= G(x,y), 1]=у/у„(х), ? = Ф где G(x,y) - решение уравнения

yl(x)5G_ldG^Q

.>',(*) 8х у ду '

Линии £ = const и 11 = const показаны на рис. 1.

Система уравнений Навье-Стокса, записанная п новых координатах, упрощается наиболее корректно. Отбрасываются все слагаемые 0( к с'), 11ИМСНЫ1ШЙ порядок оставшихся членов есть «с Система уравнений, преобразованная таким образом, образует модель гло<)ь.ог<* хчшич.

Упрощенная системе уравнений содержит в явном виде кривизну стенки канала и допускает большие (до 45°) углы раствора канала.

Х,т

Рис, I Hinimiinil криишшнейной ортогональной спскмы коордтмг, адш | шровниной к I »ометрии канала.

Линии r| = const адаптированной системы координат близки к линиям тока, поэтому поперечная составляющая скорости потока мала по сравнению с продольной. Тогда легко можно провести осреднение по площади сечения поверхности $ = cotut в системе координат, адаптированной к геометрии канала. Такая осредненная система уравнений гладкого канала и составляет квазиодштерную модель течения вязких газов. Она состоит из уравнений неразрывности, импульса и энергии.

ат/йМ^.О;

* tH

1 ft &L <% , //„ , 1

W/^AT,*-2^.(4 (2)

ф . д(р) 8(Su)

et д\

где

Я *уМУ:(Х) J.______ я „ ,......>'»(*) ,// п.

1 ТЛ-лУЧ«)' 1 Vn-лУЧ*) * ()

•коэффициенты Ламе идпптнрпилннпй емпемы координпт,

(4)

о :

• площадь поверхности поперечного сечения i,-const в криволинейных координатах,

• усредненная кривизна координатной линии л = const,

'VK)V(,+0-5,nK и

• усредненный геометрический параметр, у - показатель адиабаты, с<0-коэффнциент трения о стенку, ц- коэффициент вязкости, индекс "и*" эбозначает значение параметров на стенке.

Эта модель является математически одномерной, но по физической точности для безвихревых течений она практически не уступает иумеркой. Она явно учитывает треннс о стенку и центробежные силы.

обусловленные кривизной стенки. Она может быть обобщена на случай искривленной оси канала, а также позволяет учесть боковой вдув, теплообмен со стенками, химические реакции и множество других процессов. При этом в уравнения добавляются соответствующие слагаемые.

§ 1.2 посвящен изложению численного метода, использованного в работе. Вместо традиционного расщепления по процессам, системы уравнений газовой динамики и химической кинетики решались совместно, что позволило достичь второго порядка точности по времени без использования итерационных процессов.

Система уравнений химической кинетики жесткая и требует специальных методов решения. В работе использован жесткий метод прямых, при котором пространственные производные заменяются их разностными аппроксимациями. Получается система обыкновенных дифференциальных уравнений = большой размерности.

Вектор неизвестных / составляется из значений всех величин (скорость, плотность, давление, химические концентрации) во всех пространственных узлах. Она решалась с помощью схемы Розенброка-Ваннера, в которой формулы перехода на следующий временной слой имеют следующий вид

ы

(я-ту, бг/д/)к, = //+*£«,*,] + хдк/д/£ УА> '=

( ч >1 / /.|

• Здесь Е - единичная матрица, аг/3/ - матрица Якоби системы, л - число стадий, аи,7а, 6, - коэффициенты. Была выбрана двухстадийная Ы-

устойчивая схема точности o(tj), предложенная H.H. Калиткиным. Коэффициенты этой схемы равны

6,= 0. = 1» -Та -1 + 2Л a2i = а = -3 1/г,

Во второй главе дана постановка задачи и описаны два частных случая прямого и конического каналов, когда формулы перехода в криволинейную систему координат (1)-(5) могут быть выписаны в явном виде.

§2.1 содержит постановку задачи. В нее входит система уравнений вязкой газодинамики, дополненная уравнениями для концентраций химических компонент в квазиоднсмерной постановке:

et с*

6 dt et,' \ я,

си'р , v

r-H&itifap- 2nyw(x)),

t dt " dt, " d%

, - л/рр «хр(-с//г[п».-' - ЛЦТ)" «р{-с;/г)П"."'

здесь V;,, х'у- стехиометрические коэффициенты, а!7,В)г,С/г- константы скоростей прямой и обратной реакции, дг тепловые эффекты реакций.

В качестве граничных условий выбраны давление на входе и выходе, температура и состав смеси на входе. Это соответствует дозвуковым течениям с противодавлением, характерным для . топок и химических

реакторов (для сверхзвуковых сопел ракетных двигателей нужна другая постановка). Уравнение состояния для простоты взято /> ~ ЛТр/М, где Л/ - молярная масса смеси.

Для удобства расчетов переменные были обеэразмерены (отнесены к их значениям на входе).

В §2,2 иосфоено точное решение для стационарных течений в конических каналах >>„(*) ~ а* + Ь с учетом трения о стенку. Это решение имеет вид

(«и.о - • (6)

где

Л - 4«/у(2я + Р), В1 = Лусо1 ^ ц)ф1Ь + О" ~ *■').

>9 ел2 а1 — , (о =

+ а7 -1)/аЧ1 + аг.

Это точное решение служит для тестирования численных методов.

В § 2.3 исследованы условия, при которых существует стационарное дозвуковое течение для сужающегося и расширяющегося конических каналов. Условия эти связывают между собой перепад давления, коэффициент трения и геометрические характеристики канала. Они . служат для обоснования корректности постановки задачи. При несоблюдении этих условий правое граничное условие не может удовлетворяться, и течение переходит в сверхзвуковое.

Третья глава посвящена нестационарному расчету газодинамических течений в канале произвольной формы.

Нел» в некоторой точке х* стенка канала имеет горизонтальную касательную, т.е. X (.*')=* О, то формулы (1)45) перехода в криволинейную ортогональную систему координат, пдаптироианнут к геометрии канплп, требуют пмнолнення ряда предельных переходов. Раскрытие неопределенностей выполнено в § 3.1.

И § 3,2 обоснован выбор лагрпижслой системы координат для данных аидмч. При численном решении уравнений газовой динамики Применяются как эйлеровы, тик и лшранжеиы коорлинпгм. Эйлеровы координаты удобны, для описания граничных условий, однако эйлсрои пространственный интервал не связан с фиксированной массой вещества, поэтому а химических реакциях, вообще шпоря, перестает выполняться баланс. Кроме того, конвективные члены затрудняют написание устойчивой рятпостной схемы точности с^А'), Поэтому были приняты лш ранжсш.1 массовые переменные. Для канала переменного сечения были получены формулы перехода п лшранжеву систему координат

Й СЧ, ' От < * От

Далее описан способ реализации условий втекания-вытекания в лагрянжевых неременных на входе н выходе т канала.

В § 3.3 для тестирования численного метода были проведены расчеты нестационарного течения в канале конической формы с? * 0.1, Ь * 0.1, у » 1.6, начальная скорость « = 0.3, длина канала /«1. За время /<*(> численное решение практически выходит на стационарный режим, Серия расчетом на сгущающихся сетках показа/га, что это стационарное решение сходшеи к точному тестовому решению (6), Скорость сходимости оси. с(т' во

и

внутренних точках и о(т' + л) на границах. Результаты этих расчетов показаны на рис. 2.

Кроме того, § 3.3 содержит результаты расчетов нестационарного течения в сопле, форма которого показана на рис, I. Кривизна стенки такого канала достигает 1.5. Углы раствора на входе и выходе равны соответственно 19° и 31°.

Distance

Рис. 2 Отклонение численных решений от точного (жирная линии) для различного числа узлов сетки (N/,-5, 10,20,40,80).

В заключительной четвертой главе приведен расчет горения водорода в сопле. Учтено 9 компонент, 23 прямых и 19 обратных реакций. Расчеты проводились для сопла, изображенного на рис. 1, для двух различных значений входной температуры Т^од =500 К и Твход =1000 К. Перепад давления Рюод =4 атм, Ршход =1 атм. На рис, 3,4 показаны графики зависимости концентраций главных компонент смсси от расстояния при различных значениях входной температуры. При Твхо0 -1000 К скорость реакции достаточно велика и весь водород сгорает в сужающейся части сопла.

X, m

1'нс. 3 Изменение процентных концентраций основных компонент смеси с расстоянием при входной темпера type 7',,=500 К.

100 so 80 70 60 50 40 30 20 |

4 >

°L

. ,, .«•«•HI

V>

H, n,o

9 »t MIWIWH

15 1 0 -0 5 00 05

10 15 20

X. m

25 30 35 40 45

I'nc. I I liMtiicime ltponcHini.ix млшешршшй kiwmijx компонент смеси с р;нч. ижиисм при hxo.ihoh icMiiepimpc lOhOK.

Рис. 5 Изменение давления с расстоянием.

Х,т

Рис. 6 Изменение скорости потока с расстоянием.

На рис. 5,6 показаны зависимости давления и скорости потока от расстояния при Твход =500 К в сравнении с аналогичными зависимостями для чисто газодинамических задач с теми же параметрами. Для перепада давления Рех01) =4 атм, Реыхт! =1 атм. в сопле такой формы не существует

стационарного дозвукового течения в отсутствие химической реакции. За горлышком сопла образуется область пониженного давления (сплошная линия на рис. 5), что приводит к возникновению возвратного течения (рис. 6) и "развалу" счета. При Гв№1) =500 К реакция достаточно медленная и горение продолжается и после прохождения горлышка сопла. В эту область смещается также максимум энерговыделения, что позволяет избежать возникновения области пониженного давления и добиться выхода на стационарный режим горения.

В заключение нужно отметить, что этот нестационарный расчет течения химически реагирующих смесей требует достаточно скромных ресурсов вычислительной техники и был проведен на IBM PC 486.

Основные результаты, выносимые на защиту,

1. Построены точные решения для стационарных газодинамических квазиодномерных течений в прямом канале и канале конической формы с учетом трения о стенку. Эти точные решения использованы для тестирования численного метода.

2. Для канала переменного сечения указан способ введения лагранжевых массовых церемонных и сформулированы условия втекания - вытекания в них.

3. На основе квазиодномерной модели при помощи жесткого метода прямых построен экономичным метод расчета дозвуковых нестационарных течений химически реагирующих смесей в каналах переменного сечения.

4. Проведены численные расчеты как чисто газодинамических течений, так и горения водорода в сопле, показывающие эффективность разработанного метода.

Публикации.

1. Алыиина Е.А. О квазиодномерной задаче внутренних вязких течений // Матем. Моделирование, 1997, т.9, №12, с.57-63.

2. Алыиина Е.А, Калиткин H.H., Соколова И.А. Квазиодномерный расчет нестационарных течений в дозвуковом сопле // Матем. Моделирование, 1998, т.10, №5, с. 109-118.

3. Алыиина Е.А., Калиткин H.H., Соколова И.А. Экономичный метод расчета горения в соплах // Тезисы Всероссийской конференции "Физико-химические проблемы сжигания углеводородных топлив", Москва, 1998 год.

4. Alshina Е.А., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Quasi-One-Dimensional Method for Calculating Two-Dimensional Flows // Тезисы международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и практика", Минск, 1998 год.