автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование трехмерных стационарных дозвуковых ламинарных и турбулентных течений вязких газов и реагирующих газовых смесей в областях сложной конфигурации

На правах рукописи

Каменщиков Леонид Петрович

РГБ ОД 2 5 ^¿Я

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДОЗВУКОВЫХ ЛАМИНАРНЫХ И

ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКИХ ГАЗОВ И РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2000

Работа выполнена в Институте вычислительного, моделирования Сибирского Отделения Российской Академии Наук (г. Красноярск)

Защита состоится 15 июня 2000 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.064.54.04 по присуждению ученой степени кандидата наук в Красноярском государственном техническом университете (660074, Красноярск, ул. Киренского, 26).

Отзыв на автореферат диссертации, заверенный печатью учреждения, просим направить по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, КГТУ, Ученому секретарю диссертационного совета Б.С. Добронцу.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 15 мая 2000 г.

Ученый секретарь

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Быков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.М. Багаев

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Садовский

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Б.С. Добронец

33 о,

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Трехмерные стационарные дозвуковые течения вязкого многокомпонентного химически реагирующего газа играют очень важную роль в целом ряде областей техники и технологии. Отметим, например, течения в камерах сгорания, в проточных химических реакторах, в различных теплообменниках н газоходах, в газовых лазерах и плазмотронах, течения при вентиляции помещений, при свободной конвекции, вызванной гравитацией и т.п. Ужесточение требований к уровню выбросов экологически вредных веществ и удорожание топлива приводит к необходимости совершенствования работы высокотемпературных аппаратов. Численное моделирование физико-химических процессов, проводимое на основе полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для многокомпонентной реагирующей смеси газов, является весьма перспективным и гибким способом прогнозирования основных показателей работы аппаратов. Создание и использование соответствующих пакетов программ широкого назначения особенно актуально для российской науки, которая заметно отстает в этом от зарубежного уровня.

Целью работы являлось:

• на основе существующих моделей дозвуковых реагирующих течений модифицировать методы численного решения применительно к трехмерным областям сложной конфигурации с учетом теплообмена, турбулентности, наличия поля силы тяжести;

• разработать алгоритм и внедрить в программу аппроксимацию конвективных членов с помощью локально модифицирующихся ограниченных схем повышенного порядка на неразнесенных сетках;

• провести тестирование алгоритма и программы путем проведения серийных расчетов для областей различных конфигураций и разных режимов течения;

• реализовать простые способы построения расчетных сеток в трехмерных областях с криволинейной границей.

Научная новизна:

• методика расчета разрывных решений на основе локально модифицирующихся ограниченных схем повышенного порядка из газовой динамики распространена на класс динамически несжимаемых течений, в которых тем не менее могут существовать большие градиенты плотности, температуры, концентраций компонент и других переменных за счет интенсивного локального тепловыделения при химических реакциях;

• разработан вычислительный алгоритм и программа для моделирования трехмерных течений на базе полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса в обобщенных криволинейных координатах на неразнесенной сетке, характеризующийся новизной, в частности, при определении объемных перетоков; при задании граничных условий на выпуклых ребрах и в выпуклых вершинах, когда не определена нормаль; при выборе ближайших узлов для аппроксимации производных на искривленных в пространстве сетках;

• численно установлен ряд особенностей течения в камерах сгорания, смесителях, газоходах, что использовалось для оптимизации режимов работы и выбора наилучших конструкций.

Достоверность полученных результатов проверяется детальным сравнением результатов численных расчетов с аналитическими, экспериментальными данными и результатами других авторов. Для контроля уровня схемной вязкости проводилась проверка расчетной сетки на явление насыщения.

Практическая ценность работы обусловлена тем, что рассмотренные в ней математические модели включают разнообразные физико-химические процессы, протекающие в

многомерных областях сложной конфигурации, н поэтому разработанные методики применимы для анализа широкого класса стационарных дозвуковых течений однородного вязкого газа я химически реагирующих газовых смесей с учетом теплообмена в поле сил тяжести. В частности, выполнены прикладные работы по численному моделированию топочных камер, газоходов и горелок для дожигания вредных выбросов алюминиевых электролизеров, дисковых смесителей в химическом производстве, движению дыма в зданиях при пожаре и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на VII-й Всесоюзной конференции «Математические методы в химии», Казань, 1991 г.; на 11-ом Всероссийском семинаре по динамике пространственных и неравновесных течений жидкости и газа, Миасс, 1993 г.; на Первой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, 1994 г.; на Международной конференции по прикладной и вычислительной математике Новосибирск, 1995 г.; на Международном форуме «Тепломассообмен — ММФ-96», Минск, 1996 г.; на V-ом русско-японском симпозиуме "Computation Fluid Dynamics", Новосибирск, 1996 г.; на XIII-й Международной конференции «Химреактор-13», Новосибирск, 1996 г.; на Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996 и 1998 гг.; на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1997 г.; на Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 1998 и 1999 гг; на Третьей Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 1999 г. и на многих других.

Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 94-02-03617, Кг 9701-00770) и гранта Минобразования РФ в области фундаментального естествознания (1998-2000 гг.).

Публикации. Основные результаты работы изложены в [1-17].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, содержит 140 страниц машинописного текста, включая 125 рисунков, 8 таблиц и библиографического списка из 167 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и формулируются цели работы. Изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе приведена математическая постановка задачи и литературный обзор методов решения соответствующих уравнений. Рассматриваются течения при малых числах Маха. При этом газ ведет себя как динамически несжимаемая среда, когда плотность практически не зависит от пространственных изменений давления, однако плотность может меняться в очень широких пределах вследствие больших градиентов температуры и/или концентраций газа. Предполагается, что газ состоит из N компонент (N > 1). Решение ищется в некоторой (так называемой физической) области евклидова пространства П С R3 с кусочно-гладкой границей Г и с заданной системой декартовых координат Xj. Считаем, что в общем случае Г = Uf=I Г,-, где Г| — поверхность входа потока, Гj — неподвижные стенки, Гз — плоскости симметрия, Г«— поверхность выхода потока, Г5 — радиальные плоскости, появляющиеся при моделировании осесимметричных течений путем вырезания из П клинообразной подобласти. Предположим, что ось хз направлена вертикально вверх, а единственной массовой силой является гравитация. Уравнения, описывающие ламинарное течение вязкого реагирующего газа в поле силы

тяжести, включают уравнения сохранения массы, импульса, энергии, массы отдельных газовых компонент и уравнение состояния (список обозначений приведен в конце):

¿(pu,.) = 0, (1)

9 , \ öp , 3 Г (ди, диЛ 2 Эи, _ 1 . , „ „

= -¿4- + ¿J - - «А* - = 1,2,3, (2)

SJ^-i - Й(¿S?) + A« m - 1. ■ • •. AT -1, (3)

а а Ы^&г »кшдут\

^pu>h) = 5Д 1(4)

Л(Г)=£У»МП hm(T) = h°m + JcP,m(r)dT', cr=-£YmcT,n,

Yn = 1 - ¿ Ym, p~ где Wav = , pt = const

По повторяющимся индексам [кроме индекса т в (3)] идет суммирование от 1 до 3. Показывается, что уравнения (2) можно упростить, если ввести понятие характерной плотности ро и объединить дивергенцию скорости и слагаемое рад&,з вместе с давлением р, а из источника необходимое вычесть. Уравнение энергии (4) упрощается при Lem = Pr / Scm = 1 (последнее типично в инженерных постановках). Моделирование химических реакций представлено в диссертации на двух уровнях описания. 1) Рассматривается одна реакция между топливом и окислителем (в присутствии разбавителя) с получением продукта реакции. Известно, что в этом случае состав газовой смеси может быть определен из решения только двух уравнений вида (3), а именно уравнения для топлива и для так называемого коэффициента смеси, удовлетворяющего уравнению переноса без источника. 2) Задан произвольный набор из NT химических реакций и соответствующие кинетические константы:

N N

^ отгал ц» ^ьтглт, г= l,...,nr

m=i газ!

Ы = Wm £(Ьтг " = "

к/г = А/гТ*" ехр(-Т/г/Т), кь, = АьгТ^ ехр{-Ти/Т)

Как известно, уравнения для турбулентных течений в соответствии с подходом Рей-нольдса в основном аналогичны уравнениям для ламинарных течений за исключением того, что уравнения записываются относительно осредненных по времени величин, молекулярная вязкость г) заменяется на эффективную вязкость r\t = Г) 4- г/<, должны быть заданы эффективные числа Прандтля и Шмидта. В стационарном турбулентном течении считается, что средние величины от врекени не зависят. При осреднении источника рт приходится предполагать, что pZ ~ Указанное допущение является широко

распространенным в инженерных расчетах. Для определения турбулентной вязкости rjt использовали две модели типа к-с: так называемую стандартную (Launder, Spalding) и двухзонную (Wolfstein; Chen, Patel). Уравнения баланса для к не имеют вид (генерацию турбулентности силами плавучести не учитываем):

д(рил) a fvt dk\ _ , „ ,r.

/ Su, Su.NSu, „ fcJ

В двухзониой k-e мотеля вся расчетная область П в зависимости от безразмерного расстояния lw — pVkLfr] делится на две, возможно несвязные, зоны: П„ — пристеночная зона, в которой /«, < /*, и зона полной турбулентности íl(, где lw > I*. Здесь L — кратчайшее расстояние от данной точки в газе до стенки (в частности, до какого-либо препятствия внутри области). Число I10' — 103) подбирается на опыте. В зоне П< турбулентная вязкость находится обычным образом, как в (7), а в пристеночной зоне П«, уравнение для е вообще не решается и ijt находится по соотношению вида т?( = кС^*рл/кЬ[1 — exp(—lw/Á)}, где к = 0.42, А ~ 15 — 75. Использование двухзонной модели выглядит особенно привлекательным, когда область Í1 является «загроможденной», т.е. внутри потока имеются какие-либо препятствия, выступы, вставки-турбулизаторы и т.п. Для моделирования турбулентности в таких условиях применение традиционных для пограничных слоев «пристеночных функций» с логарифмическим профилем скорости, является не совсем обоснованным, т.к. в потоке может быть много отрывных, рециркуляционных зон, а ламинарные участки течения могут проникать далеко внутрь области.

Граничные условия. На входе потока значения всех искомых функций {iij,Ym,h,k,e} должны быть заданы. Считаем, что на выходе поток является полностью развитым:

Ц = (п-УФ) = 0, Ф6 {ц,Ут,Н,к,е}, (8)

где п — единичный вектор внешней нормали к выходной поверхности. Для однозначного определения давления положим р = const в какой-либо точке, а лучше в целом сечении, обычно для этой цели подходит выходное сечение. На плоскости симметрии, определяемой нормальным к ней вектором п, потребуем для векторов, которые в сумме дают вектор скорости и, и для скаляров Ф = следующих условий:

Sun дФ

=0, ttj. = 0, — = 0, где их = (и • n)n, up = и - (и • п)п (9)

Отметим, что плоскости симметрии не обязаны быть параллельны каким-либо координатным плоскостям Xj = const. На неподвижных стенках компоненты скорости и нормальные производные от Ym зануляются. Для энтальпии условия на стенке обычно можно свести в итоге к двум формам:

ОН дН

0^ = a(henv-h), ag[0,oo), либо ^ = (10)

При расчетах турбулентных течений по стандартной к-£ модели применяем известный метод пристеночных функций. Двухзонная к-е модель турбулентности пристеночных функций не требует, однако сетка около стенок должна быть достаточно частой. На границах типа Гд, считая, что ось симметрии совпадает с ось координат хз, задаем скорости ui и и2 с учетом центрального угла сектора ¡3, например, u¡ |р, = «i cos /? + uj sin/3 и т.п. Скорость из и скаляры от угла не зависят.

Во второй главе излагается вычислительный алгоритм. В практических задачах часто встречаются области сложной геометрии, у которых граничные поверхности не совпадают с координатными поверхностями. В результате при обработке граничных условий требуются интерполяции, приводящие к усложнению алгоритма и к локальной потери точности. Как отмечают Ковеня и Яненко, многообразие конфигураций расчетных областей приводит к необходимости использования различных систем координат, и чтобы избежать создания большого числа программ целесообразно перейти к обобщенным криволинейным координатам, согласованным с границей области.

Пусть исходная физическая область П С R3 топологически эквивалентна параллелепипеду G С R3, в котором задана другая система декартовых координат q = (91,92,93). Параллелепипед G будем называть вычислительной областью. Считаем, что имеется взаимно-однозначное отображение из вычислительной области в физическую:

x = a;(g), *€fi, q&G (И)

Если взять 90 = const и 9/3 = const, ajt/З, то отображение (11) дает систему криволинейных ^-координат в П. Не нарушая общности, считаем, что J = det(j) > 0, здесь матрица

J = [§|]. Обозначим 7,m = J(3jm, где ((3im,fam,0зт)Т — п»-й столбец в матрице (J)'1- Величина Um = PjmVj есть контравариантная скорость, a Um= fjmVj — объемный переток, нормальный к поверхности qm. Через дтп обозначим компоненты метрического тензора, он же «тензор кривизны сетки» дтп = ЦтЦп- Исходные уравнения (1)-(7) и граничные условия преобразуем к новым независимым переменным (91,93,93). Запишем полученные уравнения в виде одного уравнения для обобщенной переменной Ф €

Через Gff обозначим равномерную сетку, образованную целочисленными узлами в параллелепипеде G: Gs = {(<?ь 92,9з) : 1 < 9а < Na, qa € N, а = 1,2,3}, где Na — предварительно заданное число узлов по координате qa. Сетка Gs при отображении (11) порождает некоторую сетку в физической области, которая в общем случае будет неортогональной и неравномерной. В области G введем систему контрольных объемов (далее к.о.), представляющих собой кубы с единичным ребром, а в центре каждого такого куба лежит некоторый целочисленный узел (ijk) равномерной сетки Gn. Если (ijk) некоторый узел, то граням окружающего его к.о. присвоим следующие естественные наименовали!: ¿-грань (левая) пересекает ось 91 в точке (д1,до + 9i,i-ijfc)/2; il-грань (правая) пересекает ось gi в точке (ф,до + 9i,.+ijt)/2; аналогично вводятся F-грань (передняя);£)-грань (задняя); В-грань (нижняя); Т-грань (верхняя). Каждому к.о. в вычислительной области соответствует некоторый к.о. в физической области.

Определим так называемые векторы площадей для граней к.о. в физической области. Вектор ~i\m называется вектором площади к Af-грани к.о., если: а) для VAf 6 {£, F, В} вектор -у|а/ направлен по внутренней нормали к Af-грани; б) для VAf 6 {Я, D, Т} вектор -у|м направлен по внешней нормали к Af-грани; в) длина вектора равна площади этой Af-грани. Далее в диссертации показывается, что вектор площади к ¿-грани имеет компоненты (7n,72i,73i)k- Вектор площади 7|f к F-грани имеет компоненты (712,722,732)!^, а вектор площади -у\в к В-грани имеет компоненты (713,723, 7зз)|а-

Рассмотрим запись граничных условий в вычислительной области (в литературе этот вопрос обычно пропускается). Пусть в физической области граничное условие для переменной Ф представлено в обобщенном виде аФ + = /, где а2 + /З2 Ф 0, и

пусть для определенности рассматривается правая граница. Вектор 7л = (711,721,7э1)|д направлен по внешней нормали к правой грани к.о., поэтому единичная нормаль есть п = (^¿у, Ясно, что вектор 7л, вычисленный в основном узле сетки (а не на

грани к.о.), лежащем на правой границе даст внешнюю нормаль к этой границе. Тогда краевое условие в новых координатах примет вид аФ + Д* = /1 откуда, например, видно, что условие = 0 в физической области переходит в условие 51т ^ = 0 в вычислительной области. А если сетка ортогональная (тензор дтп диагонален), то условие сохраняет свой исходный простой вид = 0.

Далее рассматриваются разные способы локализация переменных в узлах сетки. Для численных расчетов традиционно широко используются так называемые «шахматные» (разнесенные) сетки, которые вводятся с целью ликвидации нефизичных колебаний поля давления, возникающих на неразнесенных сетках при линейной интерполяции для нахождения перетоков. Известно (работы 11Ые и СЫш, Ма^ит<1аг, Репс и др., Вабшцевич и др.), что подавить колебания можно и не разнося узлы, а повышая точность нахождения перетоков. Однако работ по применению этого подхода для трехмерных течений в сложной геометрии пока очень мало. В диссертации используем именно неразнесенные сетки, когда все переменные локализованы в одних и тех же узлах сетки. Применение неразнесенных сеток позволяет упростить программирование, уменьшить потребность в памяти для хранения метрических величин, что особенно актуально при решении трехмерных задач, более удобно для стыковки разных сеток при многосеточных и многоблочных подходах.

Решение системы уравнений основано на методе расщепления. Для решения отдельных уравнений используем метод контрольного объема. Интегрируя уравнение (12) по к.о., в центре которого находится узел (цк), получим:

-pUi<b\L + pU^\R - pv2$\f + pU2*\D - pV3i\B + pU3$\T =

В уравнение (13) входят конвективные потоки через все шесть граней к.о. Рассмотрим, для примера, поток через правую грань рС^Ф^. Задача состоит в записи Фц через значения Ф в узлах сетки. Очевидно, что хорошая дискретизация конвективных членов должна удовлетворять, как минимум, двум требованиям: (1) порядок аппроксимации должен быть не ниже 0(h2) (по крайней мере на гладких участках решения); (2) дискретизация должна быть ограниченной, т.е. при отсутствии источниковых членов значения функции во внутренних узлах должны оставаться между максимальным и минимальным значением на границе. Однако, в соответствии со знаменитой теоремой Годунова, при недостаточной гладкости схемы высокого порядка «склонны» к нарушению свойства ограниченности (возникают «паразитные осцилляции», нефизичные выбросы и т.п.), что затрудняет сходимость, а порой ведет и к расходимости. Рассмотрим два класса схем. Для определенности считаем, что Un > 0.

I. Линейное семейство «-схем van Leer'a. Значение на Д-грани можно представить в виде суммы противопоточной схемы первого порядка и некоторой добавки (временно сохраним обозначение узлов только по индексу »): ,

ФЯ = Ф; Ч- + - Ф.) + - к)(Ф,- - Ф.-i)], к €[-1,1] (14)

При фиксированном /с получаем конкретную схему не ниже второго порядка. Например, при к = 1 получаем центрально-разностную схему, при к = — 1 — противопоточную схему второго порядка, при к = 1/2 — схему QUICK и т.п. Данное семейство не обеспечивает в общем случае свойство ограниченности, но может служить основой для формирования нелинейных ограниченных схем.

II. Нелинейные схемы. Одним из способов получения ограниченных схем является метод ограничителей потока. Отметим работы Колгана, Roe, Sweby, Leonard'a и др. Значение на грани записывается в виде

где г есть отношение прилегающих градиентов: г = — Ф;)/(Ф,- — Функция-

ограничитель Ф(г) конструируется так, чтобы давать высокий порядок аппроксимации там, где это возможно, и в то же время гарантировать выполнение некоторого критерия ограниченности разностной схемы. Ряд функций-ограничителей Ф(г) можно считать классическими: MINMOD, SMART, SUPERBEE и др. Эти ограничители обеспечивают монотонное поведение переменных в областях резких градиентов, а отличаются они разными свойствами сходимости: чем круче ограничитель, тем труднее дается сходимость. Введение функции-ограничителя в семейство схем вида (14) приводит к:

Фд = Фу* + \[(1 + «)«(r.+j/2it)($i+i,t - Ф.',*) + (1 - к)*(г,--1/ад,)(Ф.7* - Ф.-iyt)] (15)

Записывая по аналогии с (15) значение Фд для Un <— 0 и объединяя оба случая, получим:

pUi$\R = pR^ijk + сг+) max(Un, 0) - рд(Ф,•+!,•* + сг~)тгх(-ия, 0), (16)

где в величины сг+ и сг~ входит «всё остальное».

Дискретизацию диффузионных потоков рассмотрим на примере потока через левую грань контрольного объема:

-ао L-* L И.) НО U m

Для аппроксимации первого слагаемого в квадратных скобках естественно взять центральную разность. Для аппроксимации второго (аналогично и третьего) слагаемого можно использовать очевидное представление для «косой» производной:

г) | = 512 L í ($y+u + ~ ф'>~1к ~ к)

(18)

В общем случае коэффициенты дц и дц могут иметь любой знак, поэтому представляется логичным при аппроксимации в (17) учитывать этот знак. В диссертации, таким образом, наряду со стандартным представлением (18) используем и следующее:

• МЦ-

i (фч+ik + - Ф ijk - Ф.-ij-u). при да It > 0 \+ Ф.-ij+ifc - "Zij-Ik - Ф.-ijtj, при ffuli, < О

Схема второго порядка (19) проиллюстрирована графически: как в зависимости от знака при да выбираются «ближние» узлы и отбрасываются «дальние».

Подставляя выражения для конвективных и диффузионных потоков в (13) и вводя коэффициент нижней релаксации а, в итоге получаем систему линейных уравнений:

** = + +(1 - «)*!;>

(20)

где введено символическое обозначение

п 6(0*=)

= аЬцк^-ик + + + + аВцк$чк-1 +

В диссертации показано, что коэффициенты в (20) удовлетворяют условиям положительности и диагонального преобладания.

Рассмотрим детальнее решение уравнений баланса импульса, когда Ф = и, и <т» = 1. Обозначим через р'"' давление с предыдущей итерации, а через и* — решение уравнений импульса при этом известном поле давления, т.е.

= ^ [е ; ++^ч,,]+-

где отдельно выделен источник, содержащий давление

•£.%(?) = 7.1 р\ь ~ 7.1р|д + - Ъ1Р\В + 7.з?|в - 7йр|г

Зная для л — 1,2,3, сразу получаем значения объемных перетоков в центрах к.о. Решающее значение для успеха применения неразнесенной сетки имеет способ интерполяции величин -д на границы к.о. для получения, к примеру, на ¿-грани перетока В диссертации используем следующее выражение:

Чь = ^ [£ + ^ + + (1 - о)и\% (21)

где, например, аРь = 2/(1/аР,д; + 1/аР;_1д), т.е. аРь — среднее гармоническое аР^к и аналогично находятся другие составляющие в (21), кроме источника с давлением, которой вычисляется на ¿-грани непосредственно по значениям в прилегающих узлах:

Далее, из условия выполнения уравнения неразрывности выводится разностное уравнение Пуассона для поправок давления У и соответствующие граничные условия. Последние требуется задать для любых границ (вход потока, стенки, плоскости симметрии и т.п.), что не совсем очевидно сделать в преобразованных координатах. Решив уравнение Пуассона, согласно способу принятому в 51МР ЬЕ-подобных алгоритмах, находим поправки для объемных перетоков, например, = — р!^), затем определяем и

скорректированные объемные перетоки = + а также новое поле давления

р("+1) = р(") Потом определяются поправки декартовых скоростей в центрах контрольных объемов

Наконец, находим исправленные декартовы скорости ' = u*ij(: + которые теперь уже, вообще говор*, не удовлетворяют уравнениям импульса, т.к. изменились объемные перетоки и процесс необходимо повторить сначала.

В третьей главе приведены дополнительные детали численного алгоритма, а также некоторые способы построения расчетных сеток в трехмерных областях сложной конфигурации. Рассмотрены, в частности, особенности решения уравнения баланса компонент (3). Эти уравнения решаются в целом по общей схеме: в уравнении (12) следует, очевидно, положить Ф = Ym, «7» = SCt,m, 5» = Jpm-Трудность, однако, в том, что химический источник обычно значительно превосходит по абсолютной величине члены конвекции и диффузии, что провоцирует резкие изменения Ут на одной итерации; в то же время резкие изменения нежелательны, т.к. К* по физическому смыслу всегда должна оставаться ограниченной О < Ym < 1. Преодолеть эту трудность позволяет метод расщепления по физическим процессам с выделением, в данном случае, двух дробных шагов. На первом шаге решаются уравнения конвекции-диффузии (3) с отключенным источником. На втором шаге учитываются химические реакции для всех компонент одновременно путем решения в каждом контрольном объеме системы обыкновенных дифференциальных уравнений

£(рг«,)=рт (22)

Поскольку исходная задача — стационарная, то интервал интегрирования (0,приходится оценивать по времени пребывания газа в каждом к.о.:

t,jk = minfmini^.ijO.t*}. WjJt = ¿1Рт,цк\, rn = 1,2,3,

где Urnjjk — объемный переток вдоль оси qm, t' — эмпирическая константа, а начальные условия для (22) очевидны. Для интегрирования жесткой системы уравнений химической кинетики (22) использовалась программа, предложенная Б.А. Новиковым.

Далее в диссертации детально записана конечно-разностная реализация граничных условий 1-го, П-го и Ш-го рода для уравнения энергии и вычисление температуры. В данной главе, кроме того, затронуты некоторые аспекты расчета течений в «загроможденных» областях. Приводится классификация сеточных узлов. Из общего числа узлов выделим так называемые рабочие узлы, которые расположены как строго внутри вычислительного параллелепипеда, так и на его гранях, но не на ребрах и не в углах. Узлы, не являющиеся рабочими, назовем вспомогательными. В рабочих узлах записываются и решаются конечно-разностные уравнения, вспомогательные узлы служат в основном (но не только) для упрощения нумерации, а значения функций во вспомогательных узлах получаются интерполяцией из ближайших узлов. Узлы разбиваются также на ряд категорий, что позволяет более быстро и удобно формировать конечно-разностные уравнения в каждом конкретном узле. Разбиение на категории производим приписыванием узлу ijk целого числа п»у* (признака). Свой отдельный признак получают узлы, расположенные на входе потока, на выходе потока, на плоскостях симметрии, на стенках и внутри каких-либо препятствий в потоке. Для узлов, расположенных на ребрах, приписываем признак из диапазона от 11 до 34, в зависимости от того какими именно стенками образовано данное ребро. Узлы в вершинах (препятствия) получают признак от 35 до 50. Далее рассматриваются особенности задания граничных условий при наличии в потоке выпуклых ребер и вершин. При наличии препятствий в потоке расчетные узлы могут оказаться: а) внутри препятствия; б) на его гладкой поверхности; в) на ребрах; г) в вершинах препятствия. Ребра и вершины могут быть как выпуклыми, так и вогнутыми. В случае (а)

формирование разностного уравнения, как правило, очевидно; в случае (6) формирование проводится типовым образом как для обычной стенки. В диссертации рассмотрено формирование конечно-разностных уравнений для случаев (в) и (г) более детально. Этот момент в литературе обычно не затрагивается.

Следующий параграф посвящен решению систем линейных уравнений. Применялся явный метод Булеева для уравнений с семидиагональной матрицей. Приводятся соответствующие расчетные формулы, аналогичные тем, что даны в монографии В.П. Ильина (1995 г.), но с детальной записью уравнений, отвечающих граничным условиям исходной задачи. Приводится также результат одного численного эксперимента. В табл. 1 представлена величина Err (сумма максимальных нормированных поправок) на 150-й глобальной итерации при решении уравнений Навье-Стокса в наклонном канале квадратного сечения на сетке 9 х 9 х 13 для ряда значений параметра в, входящего в метод Булеева. Видно, что для данного примера в интервале (0.75-0.85) имеется критическое значение в0, такое, что с ростом в в интервале (О-ва) скорость сходимости увеличивается, а при в > вц наступает расходимость. Эти результаты хорошо соответствуют численным экспериментам в работе Ильина и Косицыной при решении уравнения Лапласа в квадрате.

Таблица 1. Поправка Err на 150-й итерации для разных в

в 0.0 0.1 0.2 0.7 0.725 0.740 0.745 0.750 >0.85

Err б.30е-5 б.Не-5 5.97е-5 3.86е-5 3.68«-5 2.26е-5 1.79е-5 1.83е-7 оо

В заключение описания алгоритма, дана сводка последовательности вычислений: 1) построение сетки, задание исходных данных; 2) задание поля давления р("'; 3) последовательное решение трех уравнений импульса и получение предварительных скоростей и*; 4) нахождение предварительных перетоков i/Д между к.о.; 5) определение поправок давления; 6) определение поправок для перетоков и поправок для скоростей; 7) коррекция давления; 8) коррекция перетоков и скоростей; 9) решение уравнений для h,k,e и модификация Т, t]e, р\ 10) решение уравнений для Ym при рт — 0; 11) решение в каждом узле системы уравнений химической кинетики; 12) если сходимость не достигнута, то возврат к шагу 2.

Оставшуюся часть главы занимают некоторые вопросы построения расчетных сеток. Формально построение сетки сводится к конкретному заданию взаимно-однозначного отображения из вычислительной области в физическую вида (11). Известны и основные требования, которым должна удовлетворять сетка: близость к ортогональной; близость к равномерной, т.е. гладкость; возможность регулярной нумерации узлов, адаптированность к границам расчетной области и т.п. В диссертации использовали три способа формирования расчетных сеток: с помощью алгебраических уравнений (с возможностью, например, расположения узлов по геометрической прогрессии), путем решения эллиптических уравнений Лапласа относительно искомых координат и на базе минимизации некоторых функционалов. Построение сеток с помощью 2-D уравнений Лапласа хорошо известно (Годунов, Прокопов, Сидоров, Лисейкии и др.). Уравнения для 3-D случая (Thompson и др.) известны меньше, поэтому приведем здесь тот вариант, который использовался в диссертации. Решалась (для упрощения) задача Дирихле в вычислительном параллелепипеде для системы

Идея подхода на базе минимизации состоит в том, что задаются два функционала, определенных в узлах сетки и задающих меры ортогональности Ortijk и гладкости сетки

соответственно. Целевая функция (следуя Седпоп and Dulikravicb), которую требуется минимизировать, получается суммированием по всем узлам, или по заданному подмножеству, с некоторым весом а :

*3,ijк) = + (1 - <*)5m,it], 0 < а < 1

t i к

Приводятся соответствующие примеры. В диссертации также предложен комбинированный метод, сочетающий быстроту решения уравнений Лапласа с лучшей «управляемостью» распределением узлов в методе минимизации.

В четвертой главе приведены примеры численного моделирования 2-D и 3-D течений для ряда тестовых и прикладных задач. Сначала рассмотрим ламинарные изотермические течения, затем добавим турбулентность, теплообмен с гравитаций и химию. Применялась в основном схема QUICK как с ограничителем потока, так и без него.

1. Течение Пуазейля в трубе. Как известно, скорость w стационарного ламинарного полностью развитого течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе круглого сечения радиуса R выражается формулой Пуазейля w(r) = — ¿jjf (Я2 — г1). На рис. 1 представлено распределение продольной скорости ш от радиуса трубы. Сравнение численного решения

-i i i i i i i i ijjj.1 (точки) с формулой Пуазейля, Re = 46. Т.к. течение осесим-

"IIIII метричное, то для численных расчетов по трехмерной модели

------ч---- достаточно вырезать из трубы область, образующую в сече-

• --------- нии два или более секторов с некоторым центральным углом

---------\ - а. В данном случае было два сектора с центральным углом

----------^ а = 22.5° в каждом, а сетка составляла 31 х 3 х 46 узлов.

Строго говоря, сетка в поперечном сечении образует не сек-Рис. 1 тор, а четырехугольник, однако сторона образующая «ось»

трубы очень мала. Пример расчета течения в трубе на полностью трехмерной сетке приведен ниже (рис. 20-21).

2. Круговое течение в квадрате. Решаются 2-D уравнения Навье-Стокса с постоянной плотностью и вязкостью в квадрате 0 < x¡, x-¡ < 1, ва границе ставятся условия: U]|r = —X], Uj|r = Xj Точное решение задачи (по Sheu и Lee) имеет вид: Ui(xi, Xj) = —xj, U](xi,x2) = xi, p{xi,xj) = j(xJ + xj). На рис. 2-7 показаны результаты численного

ИИ

Рис. 2. Поле скоростей Рис. 3. Изолиния Рис. 4. Изолинии 111 Рис. 5. Изолинии и2 давлена«

решения данной задачи для Яе = 680 ва равномерной сетке 31x31x3. Изолинии компонент скорости (рис. 4-5) практически не отличаются от прямых линий, которые и представляют

л

V

Ч

N

\

\

Ряс. в. Компонента U2 в сечении квадрата х% = О

точное решение. Хорошее качество численного решения видно и на ряс. 6-7, где приводится сравнение компоненты скорости Uj и давления с точным решением в сечения квадрата xj = 0. Точки — расчет, сплошная линия — точное решение.

3. Течение в 2-D наклонной каверне. Рассматривается течение в каверне, имеющей форму ромба. Течение порождается движущейся с постоянной скоростью ит верхней стенкой. Боковые стенки отклонены на 60" от вертикали. Дани ах задача рассматривалась многими авторами (Peric, Davidson, Oosterlee), получившими разными методами практически одинаковое решение, которое и примем в качестве образца для сравнения. Число Ее = utW/u, где W - длина стороны ромба. Использовали две сетки 51 х 3 х 51 (рис. 8) и 101 х 3 х 101. Шаги сеток уменьшаются от середины по мере приближения к стенкам по геометрической прогрессия с коэффициентом к 0.95, т.е. сетки являются неравномерными и сильно неортогональными, что предъявляет высокие требования к численному методу. На рис. 9 показано поле направлений вектора скорости (без учета величины скорости) для Re = 100. На рис. 10 показано распределение горизонтальной компоненты скорости и вдоль линии АВ, соединяющей середины верхней и нижней сторон ромба, а на рис. 11 — распределение вертикальной компоненты вектора скорости to вдаль горизонтальной линии CD, соединяющей середины боковых сторон. Сравнение наших расчетов с решением той же задачи в [18] я [19] (в последней была сетка 257 х 257) показывает достаточно хорошее качество решения на средней по числу узлов сетке. Аналогичные расчеты для Re == 1000 представлены на рис. 12 и 13.

А i-

-i-

л ч ■h

Рис. 7. Давление р в сечении квадрат та i2 — О

Рис. 8. Расчетная сетка 51 х 51

Ряс. 9. Направления вектора скорости

/

/

/

/

/

/

/

(

Рис. 10. Профиль «-компоненты вдоль ленив АВ. Яе = 100. Сетка 51 х 51. • — данные [18], ■ — данные [19]

/ \

У \

\ 1, 1

- \ /

)

Рис. 11. Профкль W-

кошюневты вдоль лннни CD. Re — 100. Сетка 51 X 51. • — данные [18]

4. Течение в полярной каверне. Рассматривается течение в 2-Б полярной каверне с движущейся внутренней стенкой. Этот пример является стандартным тестом для

И !1?

р

*

Рис. 12. Профиль «-компоненты вдоль линии АВ. Ее = 1000. • — данные [18], ■ — данные [19]

£

И

Рис. 13. Профиль «»-компоненты вдоль линии СО. Ее = 1000. • — данные [18]

программ, написанных в криволинейных координатах. Сетка 71 х 71 х 3. Длина внутренней дуги равна длине радиальных отрезков, а центральный угол (при продолжении сторон) есть один радиан. Внутренняя дуга вращается по часовой стрелке со скоростью 1 рад/с. Яе = 350. На рис. 14 показана картина направлений течения. Расположение центральной «точки покоя» и длины отрывных зон в углах полностью соответствуют, например, рисунку в [20]. На рис. 15 приведено сравнение радиальной и азимутальной компонент скоростей (вдоль горизонтального радиуса) с экспериментами из работы [21]. Для удобства сравнения знак у обеих скоростей изменен на противоположный, а рис. 14 для заполнения площади повернут на 90е против часовой стрелке. Видно достаточно хорошее согласие результатов.

\

\

\

V

N

ч у

N /

у

Рис. 14. Направления вектора скорости Рис. 15. Радиальная и и азимутальная V скорострелки одинаковой длины) сти, Ее = 350, в = 0; • и ш — эксперимент [21]

5. Течение в 3-Б канале с уступом. Ламинарное течение в двумерном канале с обращенным назад уступом является классической тестовой задачей, которая хорошо изучена как экспериментально, так и численно. В последние годы появляется все больше работ, где изучается течение и в трехмерном канале с уступом. Схема расчетной области,

взятая из [22], показана на рис. 16, где принято = 40 (и более, до 72), Ь2 = 2, Н = 2, = 1, /12 = 4. Для расчетов использовалась сетка 58 х 17 х 29, причем в наших расчетах, в отличие от [22], задняя стенка (на рис. 16) считалась плоскостью симметрии, поэтому ширина области была сокращена вдвое, т.е. принято Л2 = 2. Типичная

?

Рис. 16. Схема 3-Б канала с уступом

картина поля скоростей в плоскости симметрии } = 17 показана на рас. 17. На рис. 18 представлено распределение и-компонента скорости и давления за уступом при 11е ~ 500 вдоль продольной оси канала и в узлах ближайших к нижней стенке. Основной интерес для сравнения и трудность для вычисления представляет длина зоны рециркуляции, образующейся за уступом. На рис. 19 представлена зависимость длины зоны рециркуляции от числа 11е. Получено хорошее согласие результатов с экспериментом и расчетами в [22]. Из рис. 19 также видно, что применение двумерной модели дает приемлемый результат только для Ие < 400, а при более высоких числах Ле двумерная модель существенно занижает длину отрывной зоны. Этот факт замечен как в [22], так и в диссертации.

Рис. 17. Поле скоростей в плоскости симметрии j = 17, Re = 800

Рис. 18. Распределение u-кошюнента скорое- Рис. 19. Длина отрывной зоны от числа Re: тв и давленая р вдоль продольной оса канала 1 - расчеты диссертанта, 2 - данные [22], • -вблизи нижней стенки: j = 17, к = 2 эксперимент Armaly et al, 3 - 2-D модели

6. Течение в трубе со стенозом. Течение в трубе с плавным заужевием также является известным тестом. Типичный вид поля скоростей показан на рис. 20. Длина зоны обратного тока ври Ые = 50 и 100 на достаточно частой сетке совпадет с данным Уоип£ и Теги (1973) с точностью 1-3 %. На рис. 21 дан вид сетки в поперечном сечении.

Рис. 20. Поле скоростей, сечение через ось трубы О" = Ю)> сетка 19 х 19 х 41, Яе = 50

Рис. 21. Вид сетки в сечении /г = XI

7. Течение в трубе с плавным изгибом на 90е. Ламинарные и турбулентные течения в трубе с плавным изгибом на 90° изучались экспериментально и численно во многих работах и тоже служат хорошим тестом. Течение является существенно трехмерным, т.к. на основной поток вдоль трубы накладывается вторичное поперечное течение, возникающее за счет центробежных сил в месте изгиба. Для расчетов использовалась сетка 29 х 29 х 49 при Ие = 500. На рис. 22 показано поле скоростей в плоскости симметрии У = 15). Данные по сравнению с экспериментом приведены в [11].

8. Турбулентное течение в области с 3-Ю уступом. Расчетная область аналогична изображенной на рис. 16, но с другими размерами: ¿1 = 500, 12 = 40, Я = 60, /и = 20, А2 = 10. Яе и 45000 (по высоте уступа). Сетка 79 х 9 х 59. Применялась двухэонная к-с модель турбулентности. Поле скоростей изображено на рис. 23. Согласно экспериментам (Л. К!т ап<1 е1 а!., 1978) длина отрывной зоны равна 7 х Лх, причем погрешность эксперимента составляла ±1хЛ]. В наших расчетах длина отрывной зоны составила 7.4 х />1, т.е. лежит в пределах ошибки эксперимента.

9. Свободная конвекция в 2-Ю кавернах. Расчетная область представляет собой параллелограмм. Введем обозначения: IV — длина горизонтальных стенок, на которых ставятся условия адиабатич-ности, Н — длина боковых стенок, /3 — угол отклонения боковых стенок от вертикали, Тд — температура левой стенки, Тс — температура правой стенки (Гц > Тс), С — коэффициент объемного расширения. Критериями, которые описывают свободную конвекцию в каверне, являются число Рэлея Иа, Прандтля Рг и отношение сторон А: Ил = | рг = А = В расчетах было принято (в размерных единицах) IV = 1 м, А = 1, Рг = 0.71, Тс = 63 °С,

Тн = 66.85 *С, С = 0.00367 К-1, 11а и 10®. Газовая среда — двух компонентная (0.768 N5 + 0.232 О2, т.е. воздух). Размерность сетки 41 X 3 х 41. На рис. 24-27 показаны результаты расчетов свободной конвекции в параллелограмме для трех углов /3 = 0, ±60°. Получен-Рис. 23. Яе а ные нами картины изотерм сравниваются с аналогичными данными 45000 из работы [23], где 2-Т) уравнения свободной конвекции в прибли-

жении Буссинеска записываются в переменных вихрь-функция тока, а для решения используется метод конечных (треугольных) элементов. Получено хорошее совпадение результатов.

Рис. 22. Поле скоростей, сечение 3 = 15

» и.т

• К.1

г и.я I к.«

с «а 4

1 ил

2 и.«

» и.«

• н1

т (£.(

• и.1 к "и.т ^ и.1 I и.« 1 ал

Рис. 24. Рис. 25.

Направле- Изотермы, ния вектора /3 = 0° скорости

Рис. 26. Изотермы, /3 = 60" Рис. 27. Изотермы, /? = -60«

10. Турбулентное горение пропана в З-О канале с препятствием .

На вход канала (рис. 28) подается пропано-воздушная смесь, коэффициент расхода воз-

духа 1.6, температура 20"С, газ пятикомпонентный: С3Н8, Oj, COj, HjO, N2. Предполагается, что пропан горит по схеме СзН8+5С>2 3COa+4HjO, внутри канала имеется вставка-стабилизатор пламени. Сетка 59 х 21 х 19. Применялась схема QUICK с ограничителем потока типа SMART: Ф(г) = max(0.0,min(2r,0.75 + 0.25r,2). Как видно из рис. 33 в районе вставки происходит сгорание пропана в очень узкой зоне, температура при этом столь же резко растет и составляет на выходе порядка 1500"С.

Рис. 28. 3-D канал со вставкой-стабилизатором

Рис. 29. Картина течения в районе вставка

I w / / / / < / / / / / tti-t

ни §

I t I

\ \ \ \ \ч\|

-mfj

нт

\ \ \ * ¡W\4\ \ V

\ М 1 II///

! / / //, I / / //Ш\

Рис. 30. Картина течения в поперечной сечении, х = 0, задняя стеика вставки

iytti *

III II' .

> t//#'/<

Рис. 31. Сечение х = 15 mm ниже по течения от вставки

— - —

\

-

-

Рис. 32. Распределение продольной скорости Рис. 33. Массовая доля пропана вдоль оси (нижняя линия) и давления (верхняя) вдоль оси канала

11. Примеры численного моделирования работы реальных промышленных аппаратов. Кроме продемонстрированных выше возможностей разработанной численной методики на модельных примерах, в диссертации привадятся также примеры численного исследования трех практических задач.

(1). Рассматривается смеситель типа «диск-кольцо-диск», который располагается в цилиндрическом канале, подводящем реагенты в неподвижный слой катализатора. Для исследования работы смесителя была взята модель вязкого двухкомпонентного газа с учетом турбулентности (Яе яз 3000). Один компонент был основной, а другой (с очень малым расходом) играл роль метки. Перед входом в смеситель компоненты строго разнесены, а степень перемешанности после смесителя оценивается по характеру изолиний концентрации газа-метки. Численно обнаружено наличие более десяти вихревых структур, которые и способствуют перемешиванию. Для сравнения выдаются концентрации и при отсутствии смесителя.

(2). Проводилось исследование течения реагирующего газа в специальном газоходе (так называемом псдколокольном пространстве электролизера), который служит для сбора и отвода анодных газов. Геометрически расчетная область является торообразной. Т.к. тор топологически не эквивалентен параллелепипеду, то проводился мысленный вертикальный разрез, отображение в вычислительный параллелепипед с последующей сшивкой решений на торцах. Приведены поля скоростей, температур, концентраций.

(3). Численно исследовались горелки для дожигания окиси углерода в алюминиевом производстве. Проведена большая серия численных экспериментов с изменением режимных и конструктивных параметров горелочных устройств. На основе базовой — щелевой горелки варьировали расход и температуру газа, расход и температуру воздуха, площадь сечения отверстий для подвсда воздуха, диаметр и длину горелочного устройства. На основе анализа результатов полноты дожигания СО и смолистых веществ определено оптимальное значение коэффициента расхода воздуха, рекомендованы наилучшие конструкции. По последним двум пунктам (2) и (3) имеются публикации совместно с сотрудниками СибВТИ [4-10].

В Приложении диссертации продемонстрирован пример моделирование движения дыма при пожаре в высотном (20 этажей) здании [13].

Основные результаты и выводы

• В рамках существующих моделей стационарных дозвуковых реагирующих течений и на базе трактовки связи скоростей и давления известной как БШРЬЕ-процедура разработала методика решения полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса применительно к трехмерным областям сложной конфигурации с учетом теплообмена, турбулентности, наличия поля силы тяжести.

• Методика характеризуется записью уравнений в обобщенных криволинейных координатах с использованием неразнесенной, неортогональной, вообще говоря, сетки, на которой все переменные локализуются в одних и тех же узлах.

• Реализован алгоритм с ограниченными локально модифицирующимися схемами вычисления конвективных потоков, дающими высокий (2-й или 3-й) порядок аппроксимации на гладких участках с понижением порядка, но с сохранением устойчивости, в области больших градиентов.

• Выполнен большой цикл сравнительных тестовых расчетов для случая изотермических ламинарных и турбулентных течений в канонических каналах и в более сложных областях. Сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными и расчетами других авторов показали хорошие совпадения.

• Рассматриваемая модель свободной конвекции является более общей, чем обычно используемое приближение Буссинеска. Представлен ряд примеров моделирования естественной и смешанной конвекции, в том числе, в неортогональных областях.

• Проведены расчеты для случая неизотермического течения в 3-Б канале при наличии в нем препятствия-стабилизатора и химических реакций в турбулентном потоке (на примере горения пропана).

• Реализована методика моделирования трехмерных реагирующих течений для случая, когда область может быть "загроможденной" (на базе двухзонной к-е модели турбулентности).

• Разработаны три способа формирования трехмерных расчетных сеток: с помощью алгебраических уравнений, на базе уравнений Лапласа и методом минимизации функционалов мер ортогональности и гладкости.

• Задачи меньшей размерности (2-D и 1-D) в том числе осесимметричные течения

можно моделировать по данной 3-D методике при надлежащем выборе сетки и граничных

условий.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Л.П. Каменщиков, В.И. Быков, В.И. Головачев. Численное моделирование турбулентных течений газовых смесей с учетом химических реакций н излучения. Математические методы а химии, (ММХ-7), с. 19-20,1991.

[2] Л.П. Каменщиков, И.В. Машанова, Л.М. Костина. К расчету течения двумерного турбулентного потока при наличии газовыцеляющих угольных частиц. Сибирский физико-технический журнал, 1*6 5, с. 134-138,1991.

[3] Л.П. Камевщиков, В.И. Головнчев, А.Ы. Курбаналиев. Численное моделирование турбулентных реагирующих течений излучающего газа с учетом образования экологически вредных примесей. Труды П-го Межд. форума по тепло- и массообмену (ММФ-92), том 9, ч. 1, с. 103-106,1992.

[4] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, А.М. Ковалевский, В.И. Быков. Математическое моделирование аэродинамики я макрокннетики в трехмерных областях. Тез. докл. Второй Всерос. конф. по математическим проблемам экологии, с. 118-119,1994.

[5] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков, А.М. Ковалевский. Численное моделирование реагирующих турбулентных течений в трехмерных областях сложной конфигурации. Химическая промышленность, Ms 1, с. 43-47,1995.

[6] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков, А.М. Ковалевский. Расчет установок для утилизации вредных выбросов на основе трехмерных математических моделей. Утилизация компонентов ракетного топлива. Материалы Второй Всерос. научно-техн. конф., Красноярск, 1934, с. 101-105,1994.

[7] А.А. Дектерев, Л.П. Каменщиков, А.М. Ковалевский. AeroChem: программа для расчета трехмерных турбулентных реагирующих течений излучающего газа дрн наличии распыленных частиц. Труды Первой Российской национальной конф. по теплообмену, 21-25 нояб. 1994 в., т. 9, Радиационный и сложный теплообмен, с. 86-90. Иэд-во МЭИ, Москва, 1994.

[8] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, А.М. Ковалевский, В.И. Быков. Математическое моделирование аэродинамики н макрокннетаки в трехмерных областях. Сб. научн. тр. *Выч технологии.», том 4, M 12, с. 163-166,1995.

[9] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков, А.М. Ковалевский. Задачк аэродинамике реагирующих течений в трехмерных областях сложной конфигурации. Тез. докл. XII Межд. конф. сХимреактор-18», Новосибирск, 18-21 июня 199S, с. 16-20, 1996.

[10] Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков. Трехмерные реагирующие течения в облает»: реальной геометрии: численное моделирование. Труды Ш-го Межд. форума по тепло- i массообмену (ММФ-96), том IX, ч. 2, с. 210-216,1996.

[11] L.P. Kamenshchikov, А.А. Dekterev. Numerical modelling of turbulent réactivé flows using 3-1 body-fitted coordinates. Flow Modeling and Turbulence Measurementt VI. Proc. of the Int. Conj held in Tailahassee, USA, 8-10 Sept 1996, p. 451-456, 1996.

[12] Л.П. Каменщиков, A.A. Дектерев. Моделирование смешанной конвекции н теплообмена областях сложной геометрии. Тез. докл. Первого Всеросс. сем. «Моделирование неравно веских систем - 98», Красноярск, 16-18 окт. 1998, с. 79. КГТУ, Красноярск, 1998.

[13] Л.П. Каменщиков, В.И. Быков, С.П. Амельчугов. Численное моделирование распространи ния дыма в зданиях повышенной этажности. Труды Второй Росс. нац. конф. по теплоо1 мену, 26-30 окт. 1998 г., т. 3, Свободная конвекция. Тепломассообмен при хим. превращ с. 80-83. Изд-во МЭИ, Москва, 1998.

[14] L.P. Kamenshchikov, A.A. Dekterev. A numerical study of natural and mixed convection heat transfer in non-rectangular geometries. XVI Межд. Школа-семинар почисл. мет. мех. вязкой жидкости, Новосибирск, 13-18 сект. 1998. http://www.ict.nsk.su/compJech/tesises/mech/kamenshikov.html.

[15] Л.П. Каменщиков. Построение трехмерных расчетных сеток в сложных областях и примеры их использования в аэродинамике. Тез. докл. Межд. конф. «Мат. модели и методы их исследованияр, Красноярск, 25-30 авг. 1997, с. 96. КГУ, Красноярск, 1997.

[16] L.P. Kamenshchikov. Comparison of some schemes for numerical solution of viscous flows in 3 - D curvilinear domains on non-staggered grids. Тез. докл. Межд. конф. «Мат. модели и методы их исследования», Красноярск, 18-24 авг• 1999, с. 228-229. КГУ, Красноярск, 1999.

[17] Л.П. Каменщиков. Численное моделирование турбулентных реагирующих течений в трехмерных областях с криволинейными границами. Тез. докл. Второго Всеросс. сем. «Моделирование неравновесных систем - 99», Красноярск, 22-24 окт. 1999, с. 54-55. ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999.

Цитируемая литература

[18] L. Davidson. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 22: 265-281,1996.

[19] C.W. Oosterlee, H. Ritzdorf. Int. J. /or Numer. Methods in Fluids, 23: 347-366, 1996.

[20] M. Rosenfeld, D. Kwak, M. Vinokur. J. of Comput Physics, 94: 102-137, 1991.

[21] L. Fuchs, N. Tillmark. Int. J. for Numer. Methods in Ftuids, 5: 311-329, 1985.

[22] C.W. Oosterlee. J. of Comput Physics, 130: 41-53,1997.

[23] D. Naylor, P.H. Oosthuizen. Int. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow, 4: 553-559,1994. Обозначения

cp,m ~ удельная теплоемкость m-го компонента газа; Ср - удельная теплоемкость смеси; g - ускорение свободного падения; А - удельная энтальпия смеси газов; hm - удельная энтальпия тпЧ-о компонента газа; h°n - удельная энтальпия образования m-го компонента газа; к - кинетическая энергия турбулентности; Le - число Льюиса; N - число газовых компонент; р - давление динамическое; рт - давление термодинамическое; рт - источник m-го компонента за счет химических реакций; Sc - число Шмидта; 1Z - универсальная газовая постоянная; Рг - число Прандтля; Т - температура газа; и- вектор скорости газа, о — (и1,«2,из); Um- объемный переток, нормальный к поверхности qm; Wra - молярная масса m-го компонента; Ym - массовая доля т-го компонента; ¿¡ц- символ Кронекера; tj- коэффициент динамической вязкости; е- скорость диссипации кинетической энергии турбулентности; tоТ - скорость г-й химической реакции; р - плотность газовой смеси;

Трехмерные стационарные дозвуковые течения вязкого многокомпонентного химически реагирующего газа играют исключительно важную роль в целом ряде областей техники и технологии. Отметим, например, течения в камерах сгорания, в проточных химических реакторах, в различных теплообменниках и газоходах, в газовых лазерах и плазмотронах, течения при вентиляции помещений, при свободной конвекции, вызванной гравитацией и т.п. Ужесточение требований к уровню выбросов экологически вредных веществ и удорожание топлива приводит к необходимости совершенствования работы высокотемпературных аппаратов. Численное моделирование физико-химических процессов, проводимое на основе полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для многокомпонентной реагирующей смеси газов, является весьма перспективным и гибким способом прогнозирования основных показателей работы аппаратов, включая их экологичность. В практических задачах расчетная область часто ограничивается достаточно сложной поверхностью, что делает трудным использование традиционных регулярных сеток. Создание и использование соответствующих пакетов программ широкого назначения особенно актуально для российской науки, которая заметно отстает в этом от зарубежного уровня.

Основные задачи диссертации: 1) на основе существующих моделей дозвуковых реагирующих течений модифицировать методы численного решения применительно к трехмерным областям сложной конфигурации с учетом теплообмена, турбулентности, наличия поля силы тяжести; 2) разработать алгоритм и внедрить в программу аппроксимацию конвективных членов с помощью локально модифицирующихся ограниченных схем повышенного порядка на неразнесенных сетках; 3) провести тестирование алгоритма и программы путем выполнения серийных расчетов для областей различных конфигураций и разных режимов течения; 4) реализовать простые способы построения расчетных сеток в трехмерных областях с криволинейной границей.

Научная новизна: 1) методика расчета разрывных решений на основе локально модифицирующихся ограниченных схем повышенного порядка из газовой динамики распространена на класс динамически несжимаемых течений, в которых тем не менее могут существовать большие градиенты плотности, температуры, концентраций компонент и других переменных за счет интенсивного локального тепловыделения при химических реакциях; 2) разработан вычислительный алгоритм и программа для моделирования трехмерных течений на базе полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса в обобщенных криволинейных координатах на неразнесен-ной сетке, характеризующийся новизной, в частности, при определении объемных перетоков; при задании граничных условий на выпуклых ребрах и в выпуклых вершинах, когда не определена нормаль; при выборе ближайших узлов для аппроксимации производных на искривленных в пространстве сетках; 3) численно установлен ряд особенностей течения в камерах сгорания, смесителях, газоходах, что использовалось для оптимизации режимов работы и выбора наилучших конструкций.

Адекватность математической модели и достоверность полученных результатов проверялись сравнением проведенных численных расчетов с экспериментальными, численными и аналитическими данными других авторов. Тестовые задачи выбирались, по возможности, взаимосвязанные и с возрастающей сложностью, отражающие характерные особенности течений в областях сложной геометрии. Кроме того, в целях контроля уровня схемной диффузии проводилась проверка расчетной сетки на явление насыщения.

Практическая значимость работы обусловлена тем, что рассмотренные в ней математические модели включают разнообразные физико-химические процессы, протекающие в областях сложной конфигурации и поэтому разработанные методики применимы для анализа широкого класса стационарных дозвуковых течений однородного вязкого газа и химически реагирующих газовых смесей с учетом теплообмена в поле сил тяжести. В частности, выполнены прикладные работы по численному моделированию топочных камер, газоходов и горелок для дожигания вредных выбросов алюминиевых электролизеров, дисковых смесителей в химическом производстве, движению дыма в зданиях при пожаре и др.

Основные результаты работы изложены в [42-61] и докладывались: на VIII-m Всесоюзном совещании-семинаре по механике реагирующих сред, Кемерово, 1990 г.; на VII-й Всесоюзной конференции «Математические методы в химии», Казань, 1991 г.; на II-ом Всероссийском семинаре по динамике пространственных и неравновесных течений жидкости и газа, Миасс, 1993 г.; на Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, июнь 1994 г.; на Первой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, 1994 г.; на XIV-й Школе-семинаре численным методам механики вязкой жидкости, Новосибирск, сентябрь 1994 г.; на Международной конференции по прикладной и вычислительной математике Новосибирск, 1995 г.; на Межрегиональной конференции «Проблемы информатизации региона», Красноярск, ноябрь 1995 г.; на Международном форуме «Тепломассообмен — ММФ-96», Минск, 1996 г.; на Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред», Новосибирск, май 1996 г.; на V-ом русско-японском симпозиуме "Computation Fluid Dynamics", Новосибирск, 1996 г.; на XIII-й Международной конференции «Химреактор-13», Новосибирск, 1996 г.; на Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996 и 1998 гг.; на Всероссийской научно-технической конференции «Использование методов математического моделирования в котельной технике», Красноярск, сентябрь 1996 г.; на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1997 г.; на Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 1998 и 1999 гг; на Третьей Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 1999 г. и на других.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений.

Заключение

1. В рамках существующих моделей стационарных дозвуковых реагирующих течений и на базе трактовки связи скоростей и давления известной как SIMPLE-процедура разработана методика решения полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса применительно к трехмерным областям сложной конфигурации с учетом теплообмена, турбулентности, наличия поля силы тяжести.

2. Методика характеризуется записью уравнений в обобщенных криволинейных координатах с использованием неразнесенной, неортогональной, вообще говоря, сетки, на которой все переменные локализуются в одних и тех же узлах.

3. Реализован алгоритм с ограниченными локально модифицирующимися схемами вычисления конвективных потоков, дающими высокий (2-й или 3-й) порядок аппроксимации на гладких участках с понижением порядка, но с сохранением устойчивости, в области больших градиентов.

4. Выполнен большой цикл сравнительных тестовых расчетов для случая изотермических ламинарных и турбулентных течений в канонических каналах и в более сложных областях. Сравнения результатов моделирования с аналитическими, экспериментальными данными и численными расчетами других авторов показали хорошие совпадения.

5. Численно реализована модель свободной конвекции, которая является более общей, чем обычно используемое приближение Буссинеска. Представлен ряд примеров моделирования свободной и смешанной конвекции, в том числе, в неортогональных областях.

6. Проведено численное моделирование работы ряда промышленных аппаратов, в которых имеют место трехмерные турбулентные течения реагирующих газов (подколокольное пространство электролизера и набор горелок для дожигания окиси углерода), численно установлен ряд особенностей сложного трехмерного течения, что использовалось для оптимизации режимов работы и выбора наилучших конструкций.

134

7. Реализована методика моделирования трехмерных реагирующих течений для случая, когда область может быть «загроможденной» с учетом турбулентности на основе двухзонной к-е модели.

8. Разработаны три способа формирования трехмерных расчетных сеток: с помощью алгебраических уравнений, на базе уравнений Лапласа и методом минимизации функционалов мер ортогональности и гладкости.

9. Задачи меньшей размерности (2-D и 1-D) в том числе осесимме-тричные течения можно моделировать по данной 3-D методике при надлежащем выборе сетки и граничных условий.

10. На основе предложенных алгоритмов создан комплекс программ для численного моделирования трехмерных стационарных дозвуковых ламинарных и турбулентных течений вязких газов и реагирующих газовых смесей в областях сложной конфигурации.

1. Т. Карман. Основные уравнения аэротермохимии. Вопросы горения ракетных топлив. ИЛ, Москва, 1959. — 349 с.

2. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертис, Р. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей. ИЛ, Москва, 1961. — 674 с.

3. Л. Лиз. Конвективный теплообмен при наличии подвода вещества и химических реакций. Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций, С. 13-69. ИЛ, Москва, 1962.

4. Y.D. Ramshow, Y.A.Trapp. Numerical technique for low-speed homogeneous two-phase with sharp interface. J. of Comput. Physics, 21, 438-453, 1978.

5. P.J. O'Rourke, F.V. Bracco. Two-scaling transformation for the numerical computation of multidimensional unsteady laminar flames. J. of Comput. Physics, 33, 185-203, 1979.

6. Д.А. Никулин, M.X. Стрелец. Расчет нестационарной смешанной конвекции бинарных газовых смесей при наличии значительных изменений плотности. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1, 55-62, 1984.

7. М.Х. Стрелец. О численном моделировании существенно дозвуковых течений газов и газовых смесей при наличии значительных изменений плотности. Сб. Динамика неоднородных и сжимаемых сред, С. 67-79. ЛГУ, Ленинград, 1984.

8. Yasuyoshi Horibata. Numerical simulation of a low-Mach-number flow with a large temperature variation. Comput. & Fluids, 21, №2, 185-200, 1992.

9. Cliin-Hsien Li, Roland Glowinski. Modelling and numerical simulation of low Mach number compressible flows. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 23, №2, 77-103, 1996.

10. Lars-Erik Eriksson. A preconditional Navier-Stokes solver for low Mach number flows. In Desideri et al. 196], p. 199-205.

11. Ю.В. Лапин, M.X. Стрелец. Внутренние течения газовых смесей. Наука, Москва, 1989. — 368 с.

12. Турбулентные течения реагирующих газов. Под ред. П.А. Либби, Ф.А. Вилъямса. Мир, Москва, 1983. — 328 с.

13. Химия горения. Под ред. У. Гардинера, мл. Мир, Москва, 1988. — 464 с.

14. Ю.А. Журавлев, Л.П. Каменщиков, И.Я. Дашинич. Теплообмен в трехмерных излучающих системах при наличии анизотропно рассеивающей среды. Инж.-физ. журнал, 51, №5, 861-862, 1986.

15. Л.П. Каменщиков, В.Н. Верзаков. К определению выгорания пылеугольного факела при расчетах теплообмена зональным методом. Моделирование тепло физических процессов, С. 59-65, Красноярск, 1989. КГУ.

16. Л.С. Каретто. Математическое моделирование образования загрязняющих веществ. Образование и разложение загрязняющих веществ в пламени, С. 84-137. Машиностроение, Москва, 1981.

17. Я.Б. Зельдович. К теории горения неперемешанных газов. ЖТФ, 19, №10, 1199-1210, 1948.

18. W.A. Gray, J.K. Killiam, R. Miiller. Heat Transfer from Flames. Elec Science, London, 1976.

19. L. Kadinski. Multigrid solver for fluid flow coupled with mass transport and grey-body surface radiation. In Desideri et al. 196], p. 600-604.

20. J.W. Buddenberg, C.R. Wilke. Calculation of gas mixture viscosities. Industrial and Engineering Chem, 41, 1345-1350, 1949.

21. C.R. Wilke. A viscosity equation for gas mixture. J. Chem. Phys., 18, 517-522, 1950.

22. Справочник по теплопроводности жидкостей и газов. Н.Б. Варгафтик, Л.П. Филиппов, А.А. Тармазинов и др. Энергоатомиздат, Москва, 1990. — 352 с.

23. Е.А. Mason, S.C. Saxena. Approximate formula for the thermal conductivity of gas mixtures. Phys. Fluids, 1, 361-369, 1958.

24. Ф.А. Вильяме. Теория горения. Наука, Москва, 1971. — 616 с.

25. Н.Б. Варгафтик. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. Наука, Москва, 1972. — 720 с.

26. Н.Н. Пилюгин, Г.А. Тирский. Динамика ионизованного излучающего газа. МГУ, Москва, 1989. — 312 с.

27. A. Ern, V. Giovangigli. Multicomponent Transport Algorithms, volume 24 of Lecture Notes in Physics, New Series Monographs. Springer-Verlag, Heidelberg, 1994.

28. A. Ern, V. Giovangigli. Fast and accurate multicomponent transport property evaluation. J. Computational Phys., 120, 105-116, 1995.

29. L. Douglas Smoot, David T. Pratt, editors. Pulverized-Coal Combustion and Gasification. Plenum Press, 1979.

30. S. Gordon, B. McBride. Computer program for calculation of complex chemical equilibrium combustion. NASA, SP-273, 1971.

31. Д.Б. Сполдинг. Горение и массообмен. Машиностроение, Москва, 1985. — 240 с.

32. А.Н. Горбань, В.И. Быков, Г.С. Яблонский. Очерки о химической релаксации. Наука, Новосибирск, 1986. — 320 с.

33. Ю.М. Жоров. Термодинамика химических процессов. Химия, Москва, 1985. — 464 с.

34. Rowland S. Benson. Advanced Engineering Thermodynamics. Pergamon Press Ltd., 2 edition, 1977.

35. O.M. Белоцерковский, А.С. Монин, А.В. Бабаков, др. Этюды о турбулентности. Наука, Москва, 1994. — 291 с.

36. В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, JI.A. Чудов. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. Наука, Москва, 1984. — 288 с.

37. Ю.Д. Шевелев. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. Наука, Москва, 1986. — 368 с.

38. А.Ф. Курбацкий. Моделирование нелокального турбулентного переноса импульса и тепла. Наука, Новосибирск, 1988. — 240 с.

39. Турбулентность. Под ред. П. Брэдшоу. Машиностроение, Москва, 1980. — 343 с.

40. P.R. Spalart. Strategies for turbulence modelling and simulatons. In W. Rodi, D. Laurence, editors, Engineering Turbulence Modelling and Experiments 4, Р- 3-17, 1999.

41. Л.П. Каменщиков, В.И. Быков, В.И. Головичев. Численное моделирование турбулентных течений газовых смесей с учетом химических реакций и излучения. Математические методы в химии, (ММХ-7), С. 19-20, 1991.

42. Л.П. Каменщиков, И.В. Машанова, Л.М. Костина. К расчету течения двумерного турбулентного потока при наличии газовыделяющих угольных частиц. Сибирский физико-технический журнал, 5, 134-138, 1991.

43. Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, A.M. Ковалевский, В.И. Быков. Математическое моделирование аэродинамики и макрокинетики в трехмерных областях. Тез. докл. Второй Всероссийской конф. по математическим проблемам экологии, С. 118-119, 1994.

44. Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, A.M. Ковалевский, В.И. Быков. Математическое моделирование аэродинамики и макрокинетики в трехмерных областях. Вычислительные технологии, т. №12, С. 163-166, 1995.

45. Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков. Трехмерные реагирующие течения в областях реальной геометрии: численное моделирование. Труды Ш-го Международного форума по тепло- и массообмену (ММФ-96), том IX, часть 2, С. 210-216, 1996.

46. L.P. Kamenshchikov, A.A. Dekterev. Numerical modelling of turbulent reactive flows using 3-D body-fitted coordinates. Flow Modeling and Turbulence Measurements VI. Proc. of the Int. Conf. held in Tallahassee, USA, 8-10 Sept 1996, p. 451-456, 1996.

47. Л.П. Каменщиков, А.А. Дектерев, В.И. Быков, A.M. Ковалевский. Численное моделирование реагирующих турбулентных течений в трехмерных областях сложной конфигурации. Химическая промышленность, 1, 43-47, 1995.

48. Л.П. Каменщиков. Построение трехмерных расчетных сеток в сложных областях и примеры их использования в аэродинамике. Тез. докл. Межд. конф. "Мат. модели и методы их исследования", Красноярск, 25-30 авг. 1997, page 96. КГУ, Красноярск,1997.

49. L.P. Kamenshchikov, V.I. Bykov, S.P. Amel'chugov. Numerical modeling of distribution of a smoke in increased storey buildings. Vlaimir Molkov, editor, Proc. of the Second Int.

50. Seminar "Fire and Explosion of Substances and Venting of Deflagratins", p. 650-659. All-Russian Researh Institute for Fire Protection, Moscow, 1998.

51. Методы расчета турбулентных течений. По ред. В. Колльмана. Мир, Москва, 1984. — 464 с.

52. A.С. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика: В 2-х томах: Т. 1. Наука, Москва, 1965. — 639 с.

53. B.Е. Launder, D.B. Spalding. Mathematical Models of Turbulence. Academic Press, London, New York, 1972.

54. В.З. Компаниец, А.А. Овсянников, JI.С. Полак. Химические реакции в турбулентных потоках газа и плазмы. Наука, Москва, 1979. — 240 с.

55. Ю.В. Лапин. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. Наука, Москва, 1982. — 312 с.

56. A.В. Колесниченко, М.Я. Маров. Турбулентность многокомпонентных сред. Наука, Москва, 1998. — 336 с.

57. И.О. Хинце. Турбулентность. Физматгиз, Москва, 1963. — 680 с.

58. B.Е. Launder, D.B. Spalding. The numerical computation of turbulent flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3, №1, 269-289, 1974.

59. V. Yakhot, S.A. Orszag. Renormalization group analysis of turbulence. 1. basic theory. J. of Scientific Computing, 1, 3-57, 1986.

60. Y.S. Chen, S.W.Kim. Computation of turbulent flows using an extended k-e turbulence closure model. Preprint № CR-179204, NASA, 1987.

61. Y.S. Chen. Viscous flow computations using a second-order upwind differencing scheme. AIAA Paper, №88-0417, 1988.

62. M. Wolftein. The velocity and temperature distribution of one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient. Int. J. Heat Mass Transfer, 12, 301318, 1969.

63. Т. Bo, H. Iacovides, B.E. Launder. Convective discretization schemes for the turbulence transport equations in flow predictions through sharp U-bends. Internat. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow, 5, 33-48, 1995.

64. S. Sampath, V. Ganesan. Numerical predictions of 3-D reacting flows. FUEL, 66, 421430, 1987.

65. И.А. Белов, С.А. Исаев, В.А. Коробков. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Судостроение, Ленинград, 1989. — 256 с.

66. Ramon Codina, Orlando Soto. A finite element implementation of the k-e model and an algebraic stress model for turbulent steady incompressible flows. In Desideri et al. 196., p. 71-84.

67. B.M. Белолипецкий, В.Ю. Костюк, Ю.И. Шокин. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Наука, Новосибирск, 1991. — 176 с.

68. C.С. Кутателадзе. Основы теории теплообмена. Атомиздат, Москва, 1979. — 416 с.

69. И.А. Белов, Н.А. Кудрявцев. Теплопередача и сопротивление пакетов труб. Энергоатомиздат, Ленинград, 1987. — 223 с.

70. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. Наука, Москва, 1969. — 744 с.

71. С.С. Кутателадзе. Пристенная турбулентность. Наука, Новосибирск, 1973. — 228 с.

72. А.Дж. Рейнольде. Турбулентные течения в инженерных приложениях. Энергия, Москва, 1979. — 408 с.

73. Ж. Конт-Белло. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками. Мир, Москва, 1968.

74. X. Wen, D.B. Ingham. A numerical method for accelerating the rate of convergence of the SIMPLE-like algorithm for flow through a thin filter. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 19, 889-903, 1994.

75. Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. Наука, Москва, 1987. — 840 с. Т. Себиси, П. Брэдшоу. Конвективный теплообмен. Мир, Москва, 1987. — 592 с.

76. C.L. Jayatilleke. The influence of Prandtl number and surface roughness on the resistance of the laminar sub-layer to momentum and heat transfer. Progress in Heat and Mass Transfer, 1, 193-329, 1969.

77. A.D. Gosman, F.J.K. Iderian. On the program for two-dimensional turbulent flows. Preprint №SW 7, Inperial College, London, 1976.

78. J.Y. Murthy, S. Mathur. Periodic flow and heat transfer using unstructured meshes. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 25, №6, 659-677, 1997.

79. Thor Gjesdal, Magni Elen Hope Lossius. Comparison of pressure correction smoothers for multigrid solution of incompressible flow. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 25, 393-405, 1997.

80. O.M. Белоцерковский. Численное моделирование в механике сплошных сред. Физ-матлит, Москва, 1994. — 448 с.

81. М. Zijlema, A. Segal, P. Wesseling. Finite volume computation of incompressible turbulent flows in general co-ordinates on staggered grids. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 20, 621-640, 1995.

82. Panos Tamamidis, Guoqing Zhang, Dennis N. Assanis. Comparison of pressure-based and artificial compressibility methods for solving 3-D steady incompressible viscous flows. J. of Comput. Physics, 124, №1, 1-13, 1996.

83. Tony W.H. Sheu, Shi-Min Lee. A segregated solution algirithm for incompressible flows in general co-ordinates. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 22, 515-548, 1996.

84. D. Drikakis, O.P. Iliev, D.P. Vassileva. An nonlinear multigrid method for the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. J. of Comput. Physics, 146, 301-321, 1998.

85. C.R. Maliska, G.D. Raitliby. A method for computing three dimensional flows using non-orthogonal boundary-fitted co-ordinates. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 4, 519-537, 1984.

86. В.И. Пинчуков. Численные методы аэрогидромеханики высоких порядков аппроксимации. НГУ, Новосибирск, 1997. — 148 с.

87. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 2. Мир, Москва, 1991. — 552 с.

88. F. Bertagnolio, О. Daube. Three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations on non-orthogonal staggered grids using the velocity-vorticity formulation. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 28, 917-943, 1998.

89. Н.Н. Владимирова, Б.Г. Кузнецов, Н.Н. Яненко. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. Некоторые вопросы прикл. и вычисл. математики, С. 186-192. ВЦ СО РАН, Новосибирск, 1966.

90. A.J. Chorin. A numerical method for solving incompressible viscos flow problem. J. of Comput. Physics, 2, 12-26, 1967.

91. A.E. Кузнецов, M.X. Стрелец, M.JI. Шур. Расчет стационарных трехмерных течений вязких газов и химически реагирующих газовых смесей. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 31, №2, 300-316, 1991.

92. Ю.А. Грязин, С.Г. Черный, С.В. Шаров. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости. Вычислительные технологии, т. 4, №13, С. 180-203, 1995.

93. S.V. Patankar, D.B. Spalding. A calculating procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. Int. J. Heat and Mass Transfer, 15, 1787— 1799, 1972.

94. C.B. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Энергоатомиздат, Москва, 1984. — 152 с.

95. J.P. Van Doormaal, G.D. Raithby. Enhancement of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows. Numerical Heat Transfer, 7, №2, 147-163, 1984.

96. Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, P. Плетчер. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах: Т. 2. Мир, Москва, 1990. — 392 с.

97. R.I. Issa. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operator-slitting. J. of Comput. Physics, 62, 40-65, 1985.

98. P.B. Бенодекар, А.Дж. Годдард, А.Д. Госман. Численный расчет турбулентного обтекания выступов на плоскости. Аэрокосмическая техника, 2, 125-134, 1986.

99. П.Дж. Роуч. Вычислительная гидродинамика. Мир, Москва, 1980. — 616 с.

100. В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Наука, Новосибирск, 1981. — 304 с.

101. F.H. Harlow, A.A. Amsden. Numerical calculation of almost incompressible flow. J. of Comput. Physics, 3, 80-93, 1968.

102. У. Ривард, Т. Батлер, О. Фармер. Нестационарные турбулентные течения химически реагирующих газовых смесей. Численное решение задач гидромеханики, С. 184-193. Мир, Москва, 1977.

103. П.Н. Вабищевич, А.Н. Павлов, А.Г. Чурбанов. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках. Математическое моделирование, 9, №4, 85-114, 1997.

104. Wei Shyy, Tlii С. Vu. On the adoption of velocity variable and grid system for fluid flow computation in curvilinear coordinates. J. Computational Phys., 92, №1, 82-105, 1991.

105. B.H. Hjertager. Computer simulation of turbulent reactive gas dynamics. Modeling, Identification and Control, 5, №4, 211-236, 1985.

106. T. Ikohagi, B.R. Shin, H. Daiguji. Application of an implicit time-marching scheme to a three-dimensional incompressible flow problem in curvilinear coordinate systems. Comput. & Fluids, 21, №2, 163-175, 1992.

107. Moshe Rosenfeld, Dochan Kwak, Marcel Vinokur. A fractional step solution method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations in generalized coordinate systems. J. Computational Phys., 94, №1, 102-137, 1991.

108. Peter J. O'Rourke. The KIVA computer program for multidimensional chemically reactive fluid flows with fuel sprays. Lect. Notes Phys., 241, 74-89, 1985.

109. Y.S. Chen. A numerical method for three-dimensional incompressible flows using nonortwogonal body-fitted coordinate systems. AIAA Paper, № 86-1654, 1986.

110. C.M. Rhie, W.L. Chow. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation. AIAA J., 21, №11, 1525-1532, 1983.

111. M. Peric, R. Kessler, G. Scheuerer. Comparison of finite-volume numerical methods with staggered and colocated grids. Computers & Fluids, 16, №4, 389-403, 1988.

112. S. Majumdar. Role of underrelaxation in momentum interpolation for calculation of flow with nonstaggered grids. Numerical Heat Transfer, 13, 125-132, 1988.

113. G.B. Deng, J. Piquet, P. Queutey, M. Visonneau. A new fully coupled solution of the Navier-Stokes equations. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 19, 605-639, 1994.

114. П.Н. Вабищевич, А.Н. Павлов, А.Г. Чурбанов. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках. Математическое моделирование, 8, №7, 81-108, 1996.

115. Н.Н. Яненко. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Наука, Новосибирск, 1967. — 197 с.

116. B.JI. Загускин. Численные методы решения плохо обусловленных задач. РГУ, Ростов-на-Дону, 1976. — 192 с.

117. Г.И. Марчук. Методы расщепления. Наука, Москва, 1988. — 264 с.

118. C.W. Oosterlee, F.J. Gaspar, Т. Eashio, R. Wienands. Multigrid line smoothers for higher order upwind discretizations of convection-dominant problems. J. of Comput. Physics, 145, 274-307, 1998.

119. C.K. Годунов. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., 3, №47, 271-306, 1959.

120. В. van Leer. Upwind difference methods for aerodynamic problems governed by the Euler equations. In B. Enquist, et al., editors, Large Scale Computations in Fluid Mechanics, volume 22, p. 327-336. Amer. Math. Soc., Provience, 1985.

121. B.P. Leonard. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 19, 59-98, 1979.

122. В.П. Колган. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ, 3, №6, 68-77, 1972.

123. P.L. Roe. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. J. of Comput. Physics, 43, 357-372, 1981.

124. P.L. Roe. A survey of upwind differencing techniques. CFD Lectures Series 1989-04, von Karman Ins. for Fluid Dyn., Rhode-Saint-Genese, Belgium, 1989.

125. P.K. Sweby. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SIAM J. Numer. Anal, 21, №7, 995-1011, 1984.

126. B.P. Leonard. Simple high-accuracy resolution program for convective modelling of discontinuties. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 8, 1291-1318, 1988.

127. B.P. Leonard, Simin Mokhtari. ULTRA-SHARP solution of the Smith-Hutton problem. Internat. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow, 2, 407-427, 1992.

128. B.P. Leonard, J.E. DrummoncL Why you should not use 'hybrid', 'power-law' or related exponential schemes for convective modelling — there are much better altermatives. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 20, 421-442, 1995.

129. Ami Harten. On a class if high resolution total variation stable finite-difference schemes. SIAM J. Numer. Anal, 21, №1, 1-23, 1984.

130. S.R. Chakravarthy, S. Osher. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws. AIAA Paper 85-0363, p. 1-11, 1985.

131. А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. Наука, Москва, 1971. — 552 с.

132. S.P. Spekreijse. Multigrid solution of the steady Euler equations. Preprint №SWI Tract 46, CWI, Amsterdam, 1988.

133. N.P. Waterson, H. Deconinck. A unified approach to the design and application of bounded higher-order convection schemes. In Taylor and Durbetaki 195], p. 203-215.

134. И.В. Егоров, Д.В. Иванов. Моделирование химически неравновесного течения газа в канале переменного сечения. Математическое моделирование, 9, №11, 85-100, 1997.

135. К.С. Karki, S.V. Patankar. Pressure based calculation procedure for viscous flows at all speeds in arbitrary configurations. AIAA J., 27, №9, 1167-1174, 1989.

136. В.И. Головичев. Учет химической кинетики и турбулентности в задачах неравновесной газовой динамики. Процессы турбулентного переноса в реагирующих системах, С. 18-37. ИТМО АН БССР, Минск, 1985.

137. J.B. Vos. Calculating turbulent reacting flows using finite chemical kinetics. AIAA J., 25, №10, 1365-1372, 1987.

138. E.A. Новиков. Явные методы для жестких систем. Наука, Новосибирск, 1997. — 195 с.

139. Н.И. Булеев. Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии. Матем. сб., 6, №3, 338-340, 1960.

140. В.П. Ильин. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. Физмат лит, Москва, 1995. — 288 с.

141. В.П. Ильин, JI.K. Косицына. О скорости сходимости итераций явного метода Булеева. Препринт №755, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1987.

142. Н.И. Булеев. Пространственная модель турбулентного обмена. Наука, Москва, 1989. — 344 с.

143. В.Д. Лисейкин. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 36, №1, 3-41, 1996.

144. А.Ф. Сидоров, Т.И. Шабашова. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областях. Числен, мет. мех. сплошной среды, 12, №5, 106— 123, 1981.

145. Joe F. Thompson. Grid generation techniques in computational fluid dynamics. AIAA J., 22, №11, 1505-1523, 1984.

146. А.Ф. Сидоров, О.В. Ушакова. Об одном алгоритме построения оптимальных адаптирующихся сеток. Числен, мет. мех. сплошной среды, 16, №5, 101-115, 1985.

147. Patrick Knupp, Stanly Stainberg. Fundamentals of Grid Generation. CRC Press, 1994.

148. Численное решение многомерных задач газовой динамики. С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. Наука, Москва, 1976. —400 с.

149. А.Ф. Сидоров. Об одном алгоритме расчета криволинейных сеток, близких к равномерным. Числен, мет. мех. сплошной среды, 8, №4, 149-156, 1977.

150. Manoj Т. Nair, Т.К. Sengupta. An accurate method for orthogonal grid generation in two dimensions. In Taylor and Durbetaki 195], p. 1197-1208.

151. Т.Н. Шабашова. О построении оптимальных криволинейных координатных сеток в трехмерных областях. Числен, мет. мех. сплошной среды, 17, №1, 144-155, 1986.

152. С.А. Иваненко, Г.П. Прокопов. Методы построения адаптивно-гармонических сеток. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 37, №6, 643-662, 1997.

153. Richard Carcaillet, Stephen R. Kennon, George S. Dulikravich. Optimization of three-dimensional computational grids. J. of Aircraft, 35, №5, 415-421, 1986.

154. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Мир, Москва, 1974. — 376 с.

155. Джеймс Ортега, Вернер Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Мир, Москва, 1975. — 560 с.

156. М. Peric. Analysis of pressure-velocity coupling on nonorthogonal grids. Numerical Heat Transfer B, 17, 63-82, 1990.

157. Lars Davidson. A pressure correction method for unstuctured meshes with arbitrary control volumes. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 22, 265-281, 1996.

158. C.W. Oosterlee, H. Ritzdorf. Flux difference splittng for three-dimensional steady incompressible Navier-Stokes equations in curvilinear co-ordinates. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 23, 347-366, 1996.

159. L. Fuchs, N. Tillmark. Numerical and experimental study of driven flow in a polar cavity. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 5, 311-329, 1985.

160. Liang Cheng, Steven Armfield. A simplified marker and cell method for unsteady flows on non-staggered grids. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 21, 15-34, 1995.

161. J. Kim, P. Moiii. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations. J. of Comput. Physics, 59, 308-262, 1985.

162. I.E. Barton. A numerical study of flow over a confined backward-facing step. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 21, №8, 635-665, 1995.

163. I.E. Barton. The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 25, №6, 633-644, 1997.

164. R.T. Williams, A.J. Baker. Numerical simulations of laminar flow over a 3-d backward-facing step. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 24, №11, 1159-1183, 1997.

165. C.W. Oosterlee. A GMRES-based plane smoother in multigrid to solve 3-D anisotropic fluid flow problems. J. of Comput. Physics, 130, 41-53, 1997.

166. G.De Stefano, F.M. Demaro, G. Riccardi. Analysis of 3-D backward-facing step incompressible flows via a local average-based numerical procedure. Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 28, 1073-1091, 1998.

167. B.F. Armaly, F. Durst, J.C.F. Pereira, B. Shonung. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow. J. Fluid Mech., 127, 473-496, 1983.

168. D.F. Young, F.Y. Tsai. Flow characteristics in models of arterial stenoses — I. Steady flow. J. Biomech., 6, 395-410, 1973.

169. M.M. Enayet, M.M. Gibson, A.M. Taylor, M. Yianneskis. Laser-Doppler measurements of laminar and turbulent flow in a pipe bend. Int. J. Heat and Fluid Flow, 3, №4, 213-224, 1982.

170. J. Kim, et al. Investigation of separation and reattachment of a turbulent shere layer: flow over a backward facing step. Preprint №RMP 37, Stanford University, California, 1978.

171. R.A. Almbauer. A new finite volume discretisation for solving the Navier-Stokes equations. In Taylor and Durbetaki 195], p. 286-295.

172. Б. Гебхарт, И. Джалурия, P. Махаджан, Б. Саммакия. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен. В 2-х книгах, кн 1. Мир, Москва, 1991. — 678 с.

173. Справочник по теплообменникам. В 2-х томах: Т. 1/ Пер. с англ., под ред. B.C. Петухова и В.К. Шикова. Энергоатомиздат, Москва, 1987. — 560 с.

174. Ф. Крейт, У. Блэк. Основы теплопередачи. Мир, Москва, 1983. — 512 с.149

175. D. Naylor, P.H. Oostliuizen. A numerical study of free convective heat transfer in a parallelogram-shaped enclosure. Internat. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow, 4, 553559, 1994.

176. S. Duplanantier, P. Bruel, B. Deshaies, et al. First Europen Combustion Workshop, Feb 5-10, 1995 in Aussois. Universite de Poitiers, France, 1995.

177. Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либрович, Г.М. Михвеладзе. Математическая теория горения и взрыва. Наука, Москва, 1980. — 478 с.

178. Е.С. Щетинков. Физика горения газов. Наука, Москва, 1965. — 739 с.

179. Основы практической теории горения. Под ред. В.В. Померанцева. Энергоатомиз-дат, Ленинград, 1986. — 312 с.

180. A.M. Гришин. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. Наука, Новосибирск, 1992. — 408 с.

181. Отчет о НИР «Разработка методики моделирования горелочных устройств алюминиевого электролизера и совершенствование их конструкций». Рук. НИР Ю.И. Сто-рожев. Исп. Л.П. Каменщиков и др. КИЦМ, № МП-922-50, Красноярск, 1993.

182. С. Taylor, P. Durbetaki, editors. Numarical Methods in Laminar Turbulent Flow. Proceedings of the Ninth International Conference held in Atlanta, 10th-14th July 1995, Swansea, U.K., 1995. Pineridge Press.

183. J.-A. Desideri, C. Hirsch, et al., editors. Computational Fluid Dynamics-96, Proceedings of the Third ECCOMAS Conference held in Paris, France, 9-13 September 1996. John Wiley k sons, 1996.