автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели гладкой стенки для внутренних и внешних вязких смешанных течений

На правах рукописи

Рогов Борис Вадимович

*

МОДЕЛИ ГЛАДКОЙ СТЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ ВЯЗКИХ СМЕШАННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

*

Москва - 2003

ской Академии Наук

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор У.Г.Пирумов доктор физико-математических наук, профессор В.М.Головизнин доктор физико-математических наук, профессор Ю.Д.Шевелев

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита диссертации состоится О/СГ&^Я 2003 г. в_час._мин.

на заседании диссертационного Совета Д 002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан " к)" ии<>Н.Х 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук /' I Н.В.Змитренко

( | % ¿О ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Для успешного численного моделирования вязких течений газов важна разработка адекватных упрощенных газодинамических моделей и эффективных численных методов решения соответствующих математических задач на ЭВМ. Наиболее общей моделью течений в режиме сплошной среды является система уравнений Навье-Стокса (НС). > Эти уравнения получают либо феноменологическими методами, либо ме-

тодами кинетической теории газов, решая кинетическое уравнение Больц-мана с двумя членами разложения функции распределения в ряд по малому параметру. Для стационарных течений уравнения НС представляют собой систему квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа.

Вязкие стационарные течения при умеренных и больших числах Рей-нольдса в каналах, трубопроводах, соплах, а также около летящих со сверхзвуковой скоростью тел имеют большое практическое значение. Для их расчета создано немало хороших методов О.М.Белоцерковским,

A.П.Быркиным, Ю.П.Головачевым, В.М.Ковеней, М.Я.Ивановым, В.Л.Ковалевым, А.Н.Крайко, Б.М.Павловым, У.Г.Пирумовым, Г.С.Росляковым,

B.В.Русановым, М.Х.Стрельцом, Г.А.Тирским, А.И.Толстых, С.В.Утюж-никовым, А.С.Холодовым, Ю.Д.Шевелевым, М.Л.Шуром, Н.Н.Яненко и др. Тем не менее, практика требует большого объема расчетов. Поэтому разработка еще более быстрых методов расчета без потери точности по-прежнему актуальна. Особенно эта задача актуальна для численного моделирования течений химически реагирующих газовых смесей с большим количеством компонент и реакций. Наиболее жесткие требования к численным методам предъявляет задача расчета смешанного (до- и сверхзвукового) течения в соплах Лаваля, которые широко применяются в аэрокосмической и лазерной технике, сверхзвуковых аэродинамических трубах и ряде других технических устройств. Хорошо известно, что в этой задаче наряду с проблемой прохождения звуковой поверхности требуется определить критический расход газа через сопло.

Полные уравнения НС позволяют описывать всевозможные движения, , в частности вихревые. Однако расчеты на основе этих уравнений высоко-

скоростных внутренних и внешних течений при наличии пограничных слоев с большими градиентами величин требуют больших вычислительных ресурсов, особенно для многокомпонентных течений в областях » большой протяженности. С другой стороны, хорошие конструкторы стре-

мятся к созданию каналов, в которых крупномасштабные вихревые структуры отсутствуют, чтобы исключить значительное возрастание сопротивления. Хорошо известно, что при высокоскоростных течениях в каналах с изломом контура возникают ударные волны, а в каналах с точками разры-

- " I

Петербург/,у : ОЭ акт/£5 {

ва кривизны контура возникают локальные зоны торможения. Все это приводит к потерям импульса и другим нежелательным эффектам. Поэтому при конструировании предпочтение отдается гладким каналам с непрерывной кривизной контура.

Всё это стимулирует создание моделей внутренних и внешних вязких "

течений, удовлетворяющих требованиям практики и более простых с вы- 1

числительной точки зрения, чем модель полных уравнений НС.

Целью работы является: построение и апробация эффективных газо- „

динамических моделей применительно к расчету стационарных внутренних и внешних смешанных вязких течений в областях с гладкими твердыми стенками в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса; создание уникальных по затратам ресурсов ЭВМ эволюционных по пространству алгоритмов для реализации построенных моделей; применение разрабо- *

тайных моделей и алгоритмов для исследования ламинарных и турбулентных смешанных течений химически реагирующих газов, важных для технических приложений, в широком диапазоне определяющих параметров.

Научная новизна работы. Построена криволинейная ортогональная '

система координат, обладающая следующими свойствами. Она является геометрически адаптированной и может быть найдена до решения основной задачи расчета поля течения. Её продольные координатные линии близки к линиям тока, а преобразование к декартовой или цилиндрической системе координат может быть выражено в конечной форме (в виде квадратуры). Метрические коэффициенты (параметры Ламе, кривизны координатных линий) криволинейной системы координат выражаются явными формулами, в которые естественным образом входят геометрические характеристики канала.

С использованием этой системы координат построена иерархия упрощенных моделей для вязких стационарных течений в каналах с гладкими стенками при умеренных и больших числах Рейнольдса. Иерархия включает параболические, гиперболическую и эллиптико-гиперболичес-кие модели гладкого канала (ГК). Хорошая точность моделей ГК подтвержде- •

на путем сравнения расчетов по этим моделям с экспериментальными |

данными и результатами расчетов по полным уравнениям НС.

Предложены новые газодинамические модели - гиперболические приближения уравнений Эйлера и НС - описывающие смешанное течение в ударном слое около затупленного гладкого тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Эти модели допускают прямое применение маршевых (эволюционных по времениподобной координате) методов для интегриро- ,

вания определяющих уравнений. В сверхзвуковых областях течения уравнения указанных моделей совпадают соответственно с уравнениями Эйлера и уравнениями полного вязкого ударного слоя. В отличие от существующих неэллиптических моделей, предложенные модели позволяют с хорошей точностью оценить тепловое и силовое взаимодействие потока с

обтекаемыми затупленными телами, включая длинные тела. Адекватность моделей подтверждена хорошими совпадениями с экспериментальными данными, с расчетами уравнений Эйлера, уравнений полного вязкого ударного слоя и уравнений НС.

Разработан двухстадийный маршевый метод высокого порядка точности для расчета внутренних и внешних смешанных вязких течений в рамках неэллиптических моделей вязких течений. Построена экономичная конечно-разностная схема для решения систем дифференциальных уравнений, эволюционных по продольной координате, имеющих смешанные вторые производные и второй порядок по поперечной координате. Она является модификацией известной схемы Петухова, предназначенной для решения дифференциального уравнения, параболического по продольной координате и имеющего третий порядок по поперечной координате. На квазиравномерных сетках построенная схема имеет первый или второй порядок точности в продольном направлении и четвертый порядок точности в поперечном направлении. Предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов в трансзвуковых областях течения, который обеспечивает сохранение точности численного решения в этих областях.

Предложен ускоренный алгоритм определения "критических" значений определяющих параметров внутренних и внешних смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых, зависящих от определяющего параметра. Алгоритм показал хорошие результаты при расчетах смешанных вязких течений в соплах Лаваля и в ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела в рамках гиперболических приближений системы уравнений НС.

Для расчета внутренних смешанных течений в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК разработан эффективный маршевый метод, основанный на итерациях по полю направлений линий тока. Метод позволил решить прямую задачу для сопла Лаваля с большой продольной кривизной горла. Для получения решения с инженерной точностью (0.1%) требуется 3-4 итерации.

Разработаны ускоренные итерационно-маршевые алгоритмы высокого порядка точности для интегрирования уравнений эллиптико-гиперболи-ческих моделей вязких течений. В качестве таких моделей взяты эллипти-ко-гиперболическая модель ГК и модель полного вязкого ударного слоя. Предложенные алгоритмы основаны на новом расщеплении продольного градиента давления на "гиперболическую" и "эллиптическую" составляющие. В отличие от существующих расщеплений в данном расщеплении вклад эллиптической составляющей минимизирован. Это позволило сократить число глобальных итераций по эллиптической составляющей градиента давления до одной - двух итераций для получения решения с инженерной точностью. Значительным преимуществом алгоритма, разра-

ботанного для решения уравнений полного вязкого ударного слоя, от существующих алгоритмов является отсутствие итераций по форме ударной волны. В предложенном алгоритме форма ударной волны находится совместно с другими искомыми газодинамическими переменными при маршевом интегрировании системы уравнений. Это обеспечивает устойчивое интегрирование уравнений, например в случае обтекания сферы, до больших значений центрального угла, когда другие алгоритмы теряют свою работоспособность. В отличие от существующих маршевых алгоритмов с глобальными итерациями по эллиптической составляющей продольного градиента давления, разработанные алгоритмы для внутренних и внешних течений имеют высокую скорость сходимости на подробных разностных сетках по маршевой (времениподобной) координате.

С помощью предложенной модели гиперболического вязкого ударного слоя проведены расчеты ламинарного смешанного течения в ударном слое около затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком в широком диапазоне чисел Маха, Рейнольдса и температурного фактора. Рассчитано турбулизованное смешанное течение реагирующей смеси Н2/02 в сопле Лаваля с большой продольной кривизной горла при различном соотношении топлива и окислителя. Для этого использованы гиперболическая и эл-липтико-гиперболическая модели ГК. Проведенные расчеты подтвердили эффективность разработанных моделей и алгоритмов.

Достоверность. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и известными расчетами по полным уравнениям НС. Проведена проверка результатов расчетов на вложенных сетках.

Практическая значимость. На основе предложенных газодинамических моделей и разработанных численных методов можно проводить серийные расчеты, связанные с задачами оптимизации работы аппаратов химических производств, трубопроводов, камер сгорания, сопловых блоков двигателей, а также с задачами расчета аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, летящих со сверхзвуковой скоростью.

Данная диссертация была выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (коды проектов 94-01-01618, 97-01-00005, 00-01-00151).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995), на XIII-ой Международной школе по механике сплошных сред (Санкт-Петербург, 1996), на VII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1996), на Ш-ей Международной школе-семинаре по неравновесным процессам и их приложениям (Минск, 1996), на 1-ом Международном совещании по численному анализу и приложениям (Болгария, Руссе, 1996), на Международной конференции "DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects" (Нидерланды, Twente, 1997), на II-ой Международной школе-семинаре по современным проблемам горения и их приложе-

ниям (Минск, 1997), на Международном симпозиуме "Авиация 2000. Перспективы" (Жуковский, 1997), на УШ-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1998), на Н-ой Международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск, 1998), на П-ом совещании Американского общества аэронавтики и астронавтики по теоретической механике жидкости (США, Альбукерк, 1998), на Х-ой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Пере-славль-Залесский, 1999), на Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), на Ш-ей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000), на УШ-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на 1У-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), на объединенном семинаре ИММ РАН.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 34 статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двенадцати глав, одиннадцать из которых посвящены изложению оригинальных результатов автора, заключения, списка литературы, включающего 268 наименований и списка работ автора. Общий объём - 275 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показывается актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации, определяется цель работы, указаны научная новизна полученных в диссертации результатов.

В первой главе дан обзор литературы по упрощенным навье-стоксовым (УНС) моделям течений однородного газа. Каждая из этих моделей основана на упрощенной системе уравнений НС. В § 1.1 излагается история развития УНС моделей, перечислены наиболее широко используемые УНС модели сплошной среды для внутренних и внешних течений. В § 1.2 излагаются способы построения УНС моделей. §§ 1.3 и 1.4 посвящены описанию и краткой характеристике упрощенных моделей для вязких внутренних и внешних течений. В § 1.5 обсуждаются численные методы расчета стационарных внутренних вязких течений. В § 1.6 анализируются современные численные методы расчета вязких течений в соплах Лаваля. Основное внимание уделяется маршевым методам и проблемам, связанных с их применением к решению прямой задачи сопла Лаваля. В заключении подведен итог анализа литературы по УНС моделям и численным алгоритмам.

Вторая глава посвящена построению УНС моделей внутренних течений вязкого теплопроводного однородного газа, которые названы моделями гладкого канала (ГК).

В § 2.1 вводится специальная система криволинейных ортогональных координат (i;, r|, Q, адаптированная к форме стенки канала и его оси. В случае симметричного канала эта система связана с декартовой (х,у, z) или цилиндрической (х,у, ф) системами координат (рис. 1) следующими соотношениями:

Iz, плоский случай,

(1)

Ф, осесимметричный случай,

где контур стенки канала задается гладкой функцией у =_у„(х). Координата является продольной и отсчитывается в направлении основного течения, г) - поперечная координата, которая отсчитывается от линии симметрии канала. Здесь и далее индекс "w" приписан значениям величин на стенке.

Криволинейная координата ^ = Цх, у) находится из условия совпадения координат £ и х на линии симметрии канала у =0 и условия ортогональности координатных линий = const и ri = const, которое может быть выражено с помощью дифференциального уравнения в частных производных первого порядка

• (2)

Рис. 1. Криволинейная ортогональная система координат, адаптированная к контуру стенки канала^ = у„(х).

Интегрирование уравнения (2) при условии совпадения продольных

координат £ и х на оси канала дает неявное представление для функции ^у)

Ф(4) - Ф(х) + у2! 2, Ф(х) = \[у^х)1уМ)к. (3)

Параметры Ламе Щ, Нп, Щ ортогональной криволинейной системы координат (Ç.ti.Q имеют вид

н = yw&yw(x) 1 я УыМ н v

где v = 0 для плоского случая и v = 1 для осесимметричного случая, а х как функция Ъ, и г| находится из уравнения

Ф« + лУЛ*)/2-Ф(г;) = 0 (4)

Функцию можно найти также из решения следующей задачи

Коши на отрезке г|е [0,1]

дх _ _

а„- 1, 2/2/\> Х = Ъ при Г| = 0 (5)

Кривизны продольных Кт и поперечных Кц координатных линий адаптированной системы координат даются следующими формулами:

к=__\д\пН%_ л)С(х)

Н.

П [1 + ттУДх)]'

1 Э1пЯп _ уЦх)

Hf 3Ç yjx)

Vl + îl 2/Лх)

Для ряда геометрий канала преобразование координат (1), (3) может быть выражено в явном виде. Эти геометрии рассмотрены в § 2.1.

В § 2.2 выписывается полная система уравнений НС в адаптированной системе координат (¡;, т|, С,). В § 2.3 проводится асимптотическая оценка членов данной системы уравнений НС в невязкой области течения и в вязком пристеночном пограничном слое в случае безотрывных вязких течений. В качестве малых параметров, относительно которых проведена указанная оценка, приняты: 1) погранслойный параметр 5 = Ле,."14 и 2) геометрический параметр е = (у/и). = Ов0).. Здесь число Рейнольдса Ле,. построено по характерному поперечному размеру канала г.; индекс "*" относится к характерным значениям параметров течения; и и v - продольная и попе-

речная физические компоненты вектора скорости в адаптированной системе координат; 9 - угол между линией тока и продольной координатной линией г) = const. Малость параметра е обусловлена близостью линий тока течения в гладком канале к продольным координатным линиям адаптированной системы координат.

На основе асимптотического анализа построен ряд композитных систем уравнений, описывающих всё поле течения в канале. Эти системы уравнений получены в результате упрощения полной системы уравнений НС в адаптированной системе координат. По степени математической сложности и границам применимости упрощенные системы уравнений образуют иерархию газодинамических моделей ГК. Она включает следующие модели, перечисленные в порядке увеличения их сложности: модифицированную модель узкого канала (УК), параболическую и эллиптико-гиперболические модели ГК (I и II).

Первые две из перечисленных моделей ГК являются параболическими. Их системы уравнений имеют параболический тип и могут интегрироваться быстрыми маршевыми (эволюционными по продольной координате) методами. С этим свойством уравнений связаны вычислительные преимущества этих моделей. Описание моделей дано в § 2.4, включая постановку граничных условий. Характеристики данных моделей следующие.

Модифицированная модель УК в отличие от классической модели УК [Л]-] не содержит ограничения на степень раскрытия канала (тангенс угла наклона стенки канала к основному направлению течения) и естественным образом корректно учитывает изменение сечения канала. Конечную кривизну стенки канала Kw модель не учитывает, т.е. полагается, что « 1. Таким образом данная модель адекватно описывает вязкие течения, близкие к коническим, при любых конечных углах сужения или расширения канала. Она описывает всю область вязкого и невязкого течения единой системой уравнений. По формальной записи уравнения модифицированной модели УК совпадают с уравнениями модели УК [Л1, Л2], выведенной в декартовой или цилиндрической системе координат. Однако, в отличие от классической модели УК модифицированная модель учитывает поперечную неоднородность в распределении давления в канале.

Параболическая модель ГК является развитием модифицированной модели УК, в котором дополнительно в уравнении поперечного импульса учитывается центробежный член, соответствующий движению вдоль продольных координатных линий. При упрощении уравнений НС в вязком пограничном слое отбрасываются члены ~0(52) и сохраняются все члены ~0(5) и ~0(1), т.е. уравнения параболической модели содержат все члены второго приближения теории пограничного слоя. По отношению ко второму малому параметру 8 в невязком ядре потока учтены только главные члены ~0(1) в уравнении поперечного импульса. Параболическая модель

ГК адекватно описывает вязкие течения в каналах переменного сечения с произвольным конечным тангенсом угла наклона стенки канала к основному направлению течения tga„ ~ 1 и с не слишком большой (умеренной) * продольной кривизной контура стенки канала Ка < 0.5, когда локальные

значения кривизны линий тока незначительно отличаются от значений кривизны продольных координатных линий. Эта модель учитывает эффекты второго порядка теории пограничного слоя и, следовательно, область ее применимости по числу Re, охватывает диапазон более низких значений этого числа, чем модель УК [Л 1, Л2].

Следует отметить, что благодаря использованию адаптированной системы координат упрощенные уравнения ГК лишены существенного недостатка, присущего уравнениям УК и связанного с плохим описанием двумерного (в декартовых или цилиндрических координатах) характера распределения давления в невязком ядре потока при течениях в соплах с tga„ ~ 1. В отличие от приближения УК [Л1, Л2] и модифицированной ' модели УК в параболической модели ГК учтено влияние конечной кри-

визны стенки на поперечный градиент давления.

В § 2.5 предложены две эллиптико-гиперболические модели ГК (I и II), основанные на системах уравнений, которые имеют эллиптический тип в дозвуковых зонах течения и гиперболический тип в сверхзвуковых зонах. Эти модели адекватно описывают вязкие течения в соплах и каналах со значительной продольной кривизной стенок при умеренных и больших числах Re,. Эллиптичность систем уравнений в дозвуковых областях течения позволяет в рамках данных моделей учесть передачу акустических возмущений против потока, в том числе учесть влияние распределения давления в дозвуковой части выходного сечения канала.

Эллиптико-гиперболическая модель ГК (I) получается при упрощении полной системы уравнений НС, в которой отбрасываются все члены порядка 0(ô2) и 0(е2) и сохраняются члены ~0(5), О(е) и 0( 1 ). Система урав-» нений эллиптико-гиперболической модели ГК (II) отличается от уравне-

ний аналогичной модели ГК (I) дополнительными членами ~ 0(е"). Таким образом, уравнения модели ГК (II) включают в себя все члены уравнений Эйлера и все члены второго порядка теории пограничного слоя.

Главное отличие уравнений эллиптико-гиперболических моделей от уравнений параболической модели ГК - это дополнительные члены в уравнении поперечного импульса. С механической точки зрения это отличие означает следующее: в параболической модели ГК центробежная сила рассчитывается в приближении, что газ движется вдоль продольных координатных линий, в эллиптико-гиперболических моделях - с учётом движения газа вдоль реальных линий тока с точностью до малых эффектов порядка 0(52).

Уравнения наиболее сложной эллиптико-гиперболической модели ГК (II), описывающие течение вязкого теплопроводного однородного газа, имеют следующий вид:

— (ЯчЯ.ри)+ —(//г//.ру) = 0 5$ ал

(6)

я=

н а^ я, й] ^ ' * г

_ 2 А(ун^е ) = о, +

(7)

р и ду 1

П V

(8)

|(ЯпЯ,рИЯ) + £(Я4Я;РуЯ) + ¿[Я^ (9„ - 2^)] = О,

<7п="

Эп

ал1

Я=Й + -(М2+У2)

(9)

где р, р и Г - плотность, статическое давление и температура газа соответственно; И - удельная энтальпия; ц и X - коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности. Система уравнений (6)-(9) замыкается уравнением состояния и зависимостями энтальпии, коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

В § 2.6 описывается гиперболическая модель ГК, которая является упрощением эллиптико-гиперболической модели ГК (II). Первая модель следует из второй модели, если в ней не учитывать передачу информации об относительном поперечном распределении давления

- Р(ЬП)

Ра (£)

(Ю)

вверх по потоку через дозвуковые области. Здесь ра - давление на оси канала т| = 0, л - адаптированная к геометрии канала ортогональная система координат. Математически это отражается в приближении продольного градиента давления в уравнении продольного импульса (7) в дозвуковых областях следующим выражением:

01; 1 ,н ( '

со = гтип<1, ст

у М,

О < а < 1

(12)

1 + Су-имГ

где М^ - определенное по продольной составляющей скорости и локальное значение числа Маха, у - показатель адиабаты. Коэффициент а задан и близок к единице. Величина со как функция числа Л/= изменяется от нуля при А/= « 1 до единицы при М-. > I и ст = 1.

Таким образом, уравнение продольного импульса в гиперболической модели ГК имеет вид

уг ( ди ,, ,_ф„ др — р и— + (1 -<о)р —+ ш —

НА д^ • ^ а^.

-/{К.и-К^

Н\НЧ Эг,

у' р1> ди {/Н\Ие^) = 0

(13)

Уравнения неразрывности, поперечного импульса и энергии в этой модели совпадают с уравнениями (6), (8), (9) эллиптико-гиперболической модели ГК (II).

Изложенный в § 2.6 характеристический анализ системы уравнений гиперболической модели ГК показал, что эта система имеет смешанный гиперболо-параболический тип по продольной координате Из этого анализа также следует, что градиент давления в уравнении продольного импульса (7) эллиптико-гиперболической модели ГК можно представить в виде суммы "гиперболической" и "эллиптической" составляющих

Ф К

= (1-ш )р

+ С0

др

(1-ю) ра

др

(14)

/е

Гиперболическая составляющая (с индексом "А") градиента давления, состоящая из первых двух членов в правой части (14), отвечает за распространение акустических возмущений вниз по потоку. Эллиптическая составляющая (с индексом "е") отвечает за распространение акустических возмущений против потока через дозвуковые зоны течения (ш < I). Согласно (14) влияние локальных возмущений давления вверх по потоку мало, если поле давлений удовлетворяет неравенству

(15)

В этом случае давление в выходном сечении канала влияет на течение, если оно не запирается [ЛЗ] в трансзвуковой области, посредством интегральной характеристики - массового расхода через поперечное сечение канала. Простейшим примером такого течения является течение Пуазейля вязкой несжимаемой (М^ = 0) жидкости в трубе круглого сечения.

Численное моделирование нестационарных двух- и трехмерных течений газовых смесей с учетом большого числа химических реакций является весьма трудоёмкой задачей даже для современной вычислительной тех- * ники. В тех случаях, когда существует выделенное направление движения * (например, вдоль линий тока), оправдано применение квазиодномерных моделей, которые позволяют с приемлемой точностью рассчитать некоторые газодинамические параметры, прежде всего интегральные [JI3, J14], При таком подходе переменные по поперечному сечению канала парамет- ' ры заменяют на постоянные по всему сечению параметры посредством определенной процедуры осреднения. Удачный выбор процедуры осреднения параметров в таких моделях имеет исключительно важное значение.

В § 2.7 осреднение параметров внутренних течений предложено проводить по криволинейным сечениям канала координатными поверхностями £ = const адаптированной системы координат. Это способ осреднения был применен к нестационарным аналогам модифицированной модели УК и параболической модели ГК, получены соответствующие уравнения квази- i

одномерного приближения. Данная квазиодномерная модель выгодно отличается от других квазиодномерных моделей как точностью, так и полной описания процессов. Являясь математически одномерной, эта модель позволяет включить в рассмотрение вязкое трение о стенки канала, боковой вдув, химические реакции и другие процессы. Она корректно учитывают изменение сечения канала и кривизну его стенок.

В § 2.8 дана краткая характеристика предложенных моделей ГК с точки зрения их иерархического положения по степени математической сложности и границам применимости.

Следует подчеркнуть, что упрощенные системы уравнений ГК выводятся из полных уравнений НС, записанных в геометрически адаптированной системе координат. Свойство ортогональности этих координат позволяет адекватно моделировать процессы переноса в пристеночных пограничных слоях. Кроме того, данные криволинейные координаты нахо- ч дятся до решения основной газодинамической задачи расчета вязкого течения в каналах и соплах. Это значительно облегчает численное решение указанной задачи в рамках моделей ГК.

Третья глава посвящена описанию гиперболических моделей невязкого (§ 3.1) и вязкого (§ 3.2) течений в ударном слое около затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа.

Модель гиперболического ударного слоя (ГУС) (§ 3.1) для описания стационарного сверхзвукового обтекания гладкого затупленного тела невязким газом следует из модели, основанной на уравнениях Эйлера, если в последней модели не учитывать передачу информации об относительном поперечном распределении давления

р = —гт" (16)

вверх по потоку через дозвуковые области. Здесь т] = у/ух(х) - нормированная поперечная координата; х, у - ортогональные координаты, естественным образом связанные с поверхностью обтекаемого тела [Л5]; индекс ж приписан значениям переменных непосредственно за головной ударной волной, определяемой уравнением г| = 1. Математически это отражается в приближении продольного градиента давления в уравнении продольного импульса в дозвуковых областях следующим выражением:

др ч _ йр др

-»(1-со (17)

Г уМ2 ] ю = 1шп<1, о--—*—0<ст<1 П8)

где Мх - определенное по продольной составляющей скорости локальное значение числа Маха; коэффициент ст задан и близок к единице; функция со изменяется от нуля при Мх « 1 до единицы при Мх > 1 и о = 1. В сверхзвуковых зонах течения (со = 1) уравнения модели ГУС совпадают с уравнениями Эйлера.

Изложенный в § 3.1 характеристический анализ системы уравнений модели ГУС показал, что эта система имеет гиперболический тип по продольной координате х. Из этого анализа также следует, что градиент давления в уравнении Эйлера для продольного импульса может быть представлен в виде суммы "гиперболической" (с индексом "И") и "эллиптической" (с индексом "е") составляющих

Гиперболическая составляющая градиента давления отвечает за распространение акустических возмущений вниз по потоку, а эллиптическая составляющая - вверх по потоку через дозвуковые зоны течения (со < 1).

Модель гиперболического вязкого ударного слоя (ГВУС) (§ 3.2) для описания сверхзвукового обтекания гладкого затупленного тела вязким газом следует из модели полного вязкого ударного слоя (ГТВУС) [Л6] при том же упрощающем предположении, при котором из уравнений Эйлера следуют уравнения модели ГУС. Математически это отражается в приближении продольного градиента давления в уравнении продольного импульса модели ПВУС выражением (17). В сверхзвуковых зонах течения (со= 1) модели ГВУС и ПВУС идентичны. Уравнения модели ГВУС для

задачи обтекания плоского или осесимметричного затупленного тела под нулевым углом атаки в переменных (х, Г|) имеют вид

1 д

дн \( др ,-ФЛ Уди г\у[ др и— + - ю—+ +----—— + Кит> --

й й ск ) у^ дп УьРдц

1

г' Я, г;р 5т|

ди К „у,и

5п Я,

8у V ду Я, др „ , п

(— +--+ —1—— - Кп и' =0

дх у, Зг| у, р Эт]

дх

где

2

1 д г"ру1 дц

+ —— Л дУ

1

А.--нцм

Э»1

'ди К„уУ

| /

(20)

(21)

(22)

(23)

г = гп + у сое а, г„ = ^¡п сиЛг, Я, = 1 + К „у,

о

Л =

(к

К = Я,у-т1у>

Здесь и, у - касательная и нормальная к поверхности тела составляющие вектора скорости; у, - отход головной ударной волны от поверхности тела у = 0;г- расстояние до оси (плоскости) симметрии тела; гп и КК - контур поверхности обтекаемого тела и его кривизна; а - угол между касательной к поверхности и осью (плоскостью) симметрии тела; Н\ - коэффициент Ламе; V = 0 и 1 для плоского и осесимметричного течения соответственно. Нижний индекс и> приписан значениям величин на теле. Система уравнений (20)-(23) замыкается уравнением состояния и зависимостями удельной энтальпии А, коэффициентов вязкости ц и теплопроводности А. от температуры.

Характеристический анализ системы уравнений ГВУС, изложенный в § 3.2, показывает, что она имеет смешанный гиперболо-параболический тип по продольной координате х. Из этого анализа также следует, что про-

дольный градиент давления в уравнении продольного импульса модели ПВУС

ди 1 др V ди т>: др и— + —- +----—— + К,,ш> =

рдх у^дц у, р 5п

1

рдц

ди К„у,и Эп Я,

(24)

может быть расщеплен на "гиперболическую" и "эллиптическую" составляющие согласно формуле (19). Неизменность коэффициентов расщепления (19) для градиента давления в невязкой и вязкой областях течения говорит о том, что акустический механизм передачи возмущений против потока имеет фактически невязкую природу.

Согласно формулам (17) и (19) точность описания вязкого течения в ударном слое с помощью модели ГВУС близко к точности описания с помощью модели ПВУС, если поле давления удовлетворяет условию

(1 — со)—-(25)

Х } дх Лх К '

В заключительном § 3.3 перечисляются общие характерные свойства предложенных в §§3.1 и 3.2 моделей ГУС и ГВУС. Наиболее важными среди них являются следующие свойства. Во-первых, эти модели являются неэллиптическими в безотрывной области течения, поэтому уравнения моделей ГУС и ГВУС можно интегрировать маршевым методом от оси (плоскости) симметрии течения до области возвратного течения, прилегающей к кормовой части обтекаемого тела. Во-вторых, в данных моделях форма головной ударной волны не задается как, например, в модели тонкого вязкого ударного слоя [Л5], а находится в процессе решения наряду с другими газодинамическими переменными. В-третьих, задача расчета смешанного до- и сверхзвукового течения в ударном слое в рамках моделей ГУС и ГВУС является краевой по продольной координате в дозвуковой области течения, поскольку кривизна ударной волны на оси симметрии определяется из условия прохождения решения через трансзвуковую область течения, в которой модельные системы уравнений имеют особенность. В-четвертых, в зонах сверхзвукового течения модели ГУС и ГВУС идентичны хорошо зарекомендовавшим себя при решении задач сверхзвукового Обтекания моделям Эйлера и ПВУС.

Перечисленные свойства дают основания надеяться, что в рамках моделей ГУС и ГВУС можно будет решать весьма содержательные задачи о силовом и тепловом взаимодействии химически реагирующих газовых потоков с обтекаемыми затупленными телами.

В четвертой главе проводится сопоставление УНС моделей внутренних течений между собой и с близким классом моделей вязкого обтекания тел в соответствии с их иерархией, устанавливается их аналогия. "

В таблицах, приведенных в этой главе, модели сопоставляются 1) по системам координат, в которых они получены в результате упрощения ^

полной системы уравнений НС, 2) по удерживаемым и отброшенным членам в уравнениях НС для продольного и поперечного импульса. '

Рассмотренные УНС модели делятся на две категории. В моделях первой категории не учитывается локальная передача информации вверх по * потоку, однако в рамках этих моделей можно учесть глобальную передачу информации посредством интегральных характеристик - таких, например, как величина массового расхода газа через сопло. Соответствующие системы уравнений вязкого течения не содержат эллиптические члены уравнений Эйлера и имеют параболический или гиперболический тип. Ко второй категории относятся модели, которые учитывают влияние условий на выходной границе области течения. Системы уравнений этих моделей включают все члены уравнений Эйлера и соответственно имеют эллипти-ко-гиперболический тип. Модели первой категории, названные неэллиптическими, обсуждаются в § 4.1, а модели второй категории, названные эллиптико-гиперболическими, - в § 4.2.

В заключительном § 4.3 на основе анализа моделей, проведенного в § 4.1 и § 4.2, дается оценка моделям ГК, предложенным в данной работе.

В пятой главе изложен маршевый алгоритм численного интегрирования неэллиптической системы уравнений с трансзвуковой особенностью. Изложение ведется на примере решения прямой задачи сопла Лавапя в рамках параболической модели ГК. Отметим, что в ходе разработки маршевого алгоритма для интегрирования неэллиптических систем уравнений, описывающих смешанные до- и сверхзвуковые течения вязкого газа, были предложены несколько конечно-разностных методов [7,11,13-19]. В данной главе описан наиболее эффективный [18,19] из этих методов.

В основе указанного алгоритма лежит разностная схема высокого порядка точности для совместного решения системы дифференциальных * уравнений, которые являются эволюционными (имеют первый порядок) по продольной координате и имеют первый или второй порядок по поперечной координате. Уравнения могут содержать смешанные производные. , Разработанная схема является модификацией схемы Петухова и имеет первый или второй порядок аппроксимации по продольной координате и четвертый порядок - по поперечной координате. Данная схема и маршевый алгоритм решения конечно-разностных уравнений описаны в § 5.1.

Предложенный маршевый алгоритм расчета вязких внутренних смешанных (с до- и сверхзвуковыми областями) течений в соплах Лаваля состоит из двух этапов.

На первом этапе маршевым методом (I) (§ 5.2), основанным на полностью неявной по продольной координате схеме, рассчитывается вся дозвуковая область течения при заданном значении расхода. Повторением этих 4 расчетов с варьированием расхода определяется значение критического

расхода, соответствующее смешанному течению в сопле Лаваля. Критическое значение расхода определяется методом дихотомии (§ 5.3), который

# впервые применил Рэй [JI7] при решении прямой задачи сопла Лаваля в рамках модели УК. Используется свойство плохой обусловленности интегральных кривых системы уравнений модели ГК, рассчитанных маршевым методом (I) при околокритических значениях расхода. Плохая обусловленность является следствием трансзвуковой особенности в системе урав-

« нений параболической модели ГК: "эволюционная" матрица коэффициен-

тов при продольных градиентах искомых переменных и, Тир вырождается (её детерминант равен нулю) на звуковой линии М^ = 1. В § 5.4 путем расчетов на последовательности вложенных квазиравномерных [Л8] сеток

* исследована сходимость и точность используемой разностной схемы при разных числах Rer.

На втором этапе при найденном критическом значении расхода рассчитывается остальная часть течения, включая трансзвуковую область плохой обусловленности решений. Для этого построена и обоснована безитераци-онная регуляризация метода (I) - маршевый метод (И) (§ 5.5). Схема второго метода отличается от схемы первого тем, что продольный градиент давления в уравнении продольного импульса аппроксимируется не разностью "назад", а вычисляется на текущем маршевом слое Ъ, = const путем экстраполяции с предыдущих слоев. Такая экстраполяция является своеобразной регуляризацией: численное решение устойчиво воспроизводит расчетный режим течения. При этом "эволюционная" матрица коэффициентов в разностной системе уравнений становится хорошо обусловленной во всей расчетной области. Обоснован закон изменения продольного шага » сетки в виде арифметической прогрессии с коэффициентом, зависящим от

числа Rer.

Отметим, что уравнения параболической модели ГК, записанные в естественных зависимых переменных (компоненты скорости, давление и температура) интегрировались совместно.

В § 5.6 предложенный маршевый алгоритм тестируется путем сравнения результатов расчетов с точным решением прямой задачи сопла Лаваля в рамках одномерного приближения.

Заметим, что основные трудности (нахождение критического значения расхода и аккуратное численное прохождение звуковой линии [Л2]) решения прямой задачи сопла можно устранить добавлением в уравнения нестационарных членов и использованием для нахождения стационарного решения методов установления по реальному или фиктивному времени [Л2, ЛЗ, Л9]. Однако эти методы являются трудоёмкими, особенно при

моделировании смешанных течений с широким диапазоном изменения числа Маха от М « 1 до М > 1 [Л 10]. Проблемы решения прямой задачи можно также обойти, решая её как последовательность обратных задач [ЛЗ], однако эта методика является приближенной, а в случае вязких тече- *

ний ещё и достаточно сложной. ^

В § 5.7 показана аналогия между постановками задач расчета смешанных течений в сопле Лаваля и в ударном слое около затупленного тела. В качестве модели течения газа в ударном слое взята модель ГУС (§ 3.1), а в качестве обтекаемого тела - сфера. Демонстрируется плохая обусловленность решений системы уравнений модели ГУС, рассчитанных маршевым методом (1), в зависимости от значения кривизны головной ударной волны на оси симметрии течения. Плохая обусловленность решений имеет место «

при "околокритических" значениях данной кривизны и проявляется в окрестности звуковой линии, на которой вырождается матрица коэффициентов при продольных градиентах газодинамических переменных в системе уравнений ГУС. "Критическому" значению кривизны ударной волны со- *

ответствует смешанное до- и сверхзвуковое течение в ударном слое. Это значение может быть найдено подобно критическому значению расхода в прямой задаче сопла Лаваля (§ 5.3), используя свойство плохой обусловленности численных решений. Далее, используя маршевый метод (II), можно рассчитать всё поле смешанного течения в ударном слое.

Таким образом, аналогом параметра - массового расхода газа (),„ - в прямой задаче сопла Лаваля является параметр - кривизна ударной волны на оси симметрии К$0 - в задаче сверхзвукового обтекания затупленного тела. Бифуркационные (критические) значения этих "свободных" параметров указанных задач можно определить с любой желаемой точностью из картины ветвления интегральных кривых, рассчитанных маршевым методом (I), вблизи звуковой линии.

Важно отметить, что хотя рассмотренные в данной главе системы уравнений параболической модели ГК и модели ГУС являются неэллип- *

тическими, однако наличие в них трансзвуковой особенности сохраняет ,

возможность изучать с помощью них явление запирания стационарных смешанных течений. Сформулированные в рамках этих моделей задачи расчета запертых смешанных течений являются краевыми по продольной координате в дозвуковой области. Это выражается в том, что критические параметры течений, связанные с условиями на входной границе потока, расположенной в дозвуковой области, определяются из условия прохож- „

дения решений указанных выше уравнений через трансзвуковую особенность. Само же явление запирания потока с точки зрения механики связано с тем, что акустические возмущения давления за звуковой линией (для двумерных течений) сносятся сверхзвуковым течением [ЛЗ]. Это явление, например, в сопле Лаваля проявляется в существовании критического значения массового расхода газа через сопло, при достижении которого глад-

кая (без скачков уплотнения) часть поля течения в до-, транс- и сверхзвуковой областях сопла практически перестаёт изменяться с уменьшением величины противодавления в выходном сечении сопла [ЛЗ, Л10]. В сме-, шанных течениях явление запирания потока является одним из основных

факторов, определяющим структуру гладкой части поля течения.

Итерационный метод дихотомии, использованный для нахождения критических значений параметров смешанных течений (§ 5.3), хотя уни-» версален и надёжен, но не оптимален с точки зрения скорости сходимости

итераций. В шестой главе для определения критических параметров предлагается метод, основанный на нахождении минимума функционала, зависящего от определяющего параметра задачи, с помощью метода парабол. В качестве такого функционала взята длина интегральной кривой.

* Метод минимальной длины оказался существенно быстрее метода дихотомии. Он иллюстрируется на примерах расчетов вязких смешанных течений в сопле Лаваля и в ударном слое в рамках гиперболических моделей.

В § 6.1 изложена проблема нахождения критических параметров смешанных течений.

Постановки задач расчета смешанных течений в сопле Лаваля и в ударном слое около затупленного тела соответственно в рамках гиперболической модели ГК (§ 2.6) и модели ГВУС (§ 3.2) даны в § 6.2.

Бифуркация численных решений определяющих уравнений, связанная с их трансзвуковой особенностью, исследована в § 6.3. Эти решения рассчитаны путем перехода с маршевого метода (I) на маршевый метод (II) (гл. 5) вблизи звуковой линии (для двумерных течений), т.е. получены с помощью регуляризации полностью неявной маршевой схемы в трансзвуковой области течения.

Ветвление интегральных кривых в трансзвуковой области течения показано на рис. 2. На рис. 2а представлены результаты расчетов ламинарного течения воздуха с Яег = 104 в коническом сопле с углами полураствора конусов а! = а,2 = 30° (см. рис. 1) и безразмерной кривизной контура горла ' в виде дуги окружности К„ - 1. Кривизна контура горла отнесена к обрат-

ной величине радиуса минимального сечения сопла. Число Яег определено по параметрам торможения и минимальному радиусу сопла. В качестве 1 поля интегральных кривых уравнений гиперболической модели ГК рас-

смотрена зависимость осевого градиента давления др^Ь, от продольной координаты и определяющего параметра - безразмерного массового расхода газа через сопло 0,„ - в окрестности его бифуркационного (критиче-

• ского) значения. Каждой интегральной кривой соответствует некоторое заданное значение параметра. Абсциссе ^ = 0 на рис. 2а соответствует минимальное сечение сопла. На рис. 26 представлены результаты расчетов ламинарного течения в ударном слое около сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком воздуха с числом Маха Мю = 5 и числом Рейнольдса Яе„ = 103. Безразмерная температура поверхности сферы Т„ = 0.2. Температура

отнесена к V,'/c?, где Кт - скорость набегающего потока, ср - удельная теплоёмкость при постоянном давлении. В качестве поля интегральных кривых уравнений модели ГВУС рассмотрена зависимость градиента давления за ударной волной dpjd\ от продольной координаты 0 и определяющего параметра - безразмерной кривизны ударной волны на оси симметрии Kso - в окрестности его бифуркационного значения. Здесь £ = 1 - cos 6, где 9 - центральный угол, отсчитываемый от оси симметрии течения.

-0.2

Рис. 2. Ветвление решений в трансзвуковой 0-6 области течения: (а) сопло Лаваля, (б) ударный слой. Сплошная кривая показывает искомое предельное решение.

В § 6.4 сформулирован принцип минимальной длины: бифуркационному значению определяющего параметра соответствует интегральная кривая минимальной длины.

Зависимость функционала Р - длины интегральной кривой - от определяющего параметра представлена на рис. 3, где Рпш, - минимальное значение Р. Длины интегральных кривых рассчитывались по фиксированной области, включающей область их ветвления (рис. 2). Искомые значения параметров, найденные методом парабол, отмечены точками на рис. 3.

0.012

0.008 -

0.004

0.5036 0.5038 0.504 0.5042 О

Рис. 3.

Зависимость

. функционала Р/Рт,„ - 1 от определяющего параметра: (а) сопло Лаваля, (б) ударный слой.

0.704 0.706

В § 6.5 проводится тестирование метода минимальной длины путем сравнения результатов расчетов с точным решением уравнений одномерного приближения в теории сопла Лаваля.

В заключительном § 6.6 дается оценка эффективности методики расчета смешанных течений, основанной на использовании маршевой схемы * интегрирования стационарных УНС уравнений в сочетании с методом минимальной длины. Этот метод требует втрое меньше итераций, чем метод дихотомии для нахождения четырёх значащих цифр критических значений параметров (расход газа через сопло и кривизна ударной волны). Если же сравнивать предложенную методику с методикой расчета стационарных смешанных течений, основанной на принципе установления по времени, то она требует примерно на два порядка меньше итераций.

Седьмая глава посвящена анализу бифуркации конечно-разностных •>

решений систем дифференциальных уравнений с трансзвуковой особенностью, описывающих стационарные смешанные течения в соплах Лаваля заданной геометрической формы. Разработан численный метод анализа этой бифуркации. Предложена регуляризация маршевого метода интегри- *

рования системы дифференциальных уравнений в окрестности трансзвуковой особенности.

В § 7.1 рассмотрен методический вопрос о соответствии между разностными и точными решениями систем дифференциальных уравнений с трансзвуковой особенностью. Данный вопрос рассмотрен на примере уравнений одномерной теории сопла Лаваля, точные аналитические решения которых известны (см., например, [ЛЗ, Л4]). Поведение интегральных кривых данной системы уравнений изучается в зависимости от определяющего параметра - массового расхода газа через сопло. Ветвление разностных решений в окрестности трансзвуковой особенности исследовано с помощью разработанного численного метода. Показано, что интервал околокритических значений массового расхода газа через сопло, при которых имеет место бифуркация численных решений, стягивается в точку при уменьшении шага разностной сетки. Бифуркация точных решений диффе- ■

ренциальных уравнений в особой, звуковой точке имеет место только при (

критическом, максимальном значении расхода. Таким образом, при конечном шаге сетки количество разветвляющихся численных решений на- ' много больше, чем количество разветвляющихся точных решений. *

В § 7.2 исследуется ветвление численных решений двумерной гиперболической модели вязкого течения в сопле Лаваля. Для последовательности сгущающихся в продольном направлении разностных сеток рассчита- ( ны две последовательности значений массового расхода газа через сопло. Первая последовательность состоит из максимальных значений расхода, для которых решение можно продлить за звуковую линию, а вторая - из значений расхода, рассчитанных на основе принципа минимальной длины. Показано, что разность между этими последовательностями значений рас-

хода убывает при уменьшении шага разностной сетки в соответствии со вторым порядком аппроксимации разностной схемы.

В § 7.3 предложена регуляризация задачи нахождения критического значения расхода в случае подробных по продольной координате разностных сеток.

§ 7.4 посвящен сравнению поведения разностных решений, получаемых в рамках одномерной модели невязкого течения в сопле и двумерной гиперболической модели вязкого течения. Обсуждается качественная близость в поведении численных решений уравнений этих моделей в окрестности трансзвуковой особенности. Исходя из этой близости и соответствия между численными и аналитическими решениями уравнений одномерной модели (§ 7.1), делается вывод о том, что отобранное на основе принципа минимальной длины численное решение дифференциальных уравнений гиперболической модели соответствует точному решению, описывающему смешанное течение в сопле.

В восьмой главе излагается ускоренный метод глобальных итераций, применимый для расчета внутренних течений вязкого газа, для которых передача возмущений вверх по потоку существенна, в широком диапазоне изменения числа Маха. Эффективность метода иллюстрируется на решении прямой задачи сопла Лаваля в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК (I).

В § 8.1 формулируется постановка прямой задачи сопла Лаваля. Приведены уравнения эллиптико-гиперболической модели ГК, в которых поперечная скорость заменена на новую зависимую переменную - = у/и. Выпишем здесь лишь преобразованное уравнение поперечного импульса

Как сказано выше, система уравнений эллиптико-гиперболической модели является эволюционной по продольной координате £ и имеет эллиптический тип в дозвуковых областях и гиперболический тип в сверхзвуковых областях течения. Характеристический анализ системы уравнений показывает, что эллиптические свойства (наличие комплексных собственных значений) этой системы связаны со следующими "эволюционными" производными: Ьр!Ъ\ в уравнении продольного импульса (7) и д\.§0/3!; в уравнении (26).

В § 8.2 предлагается итерационно-маршевый алгоритм интегрирования указанной системы уравнений. Решение находится глобальными итерациями по производным ф/3£ и с^в/Э^, ответственным за передачу информации против потока через дозвуковые области. Каждая из итераций состоит из двух шагов.

(26)

/

На первом шаге берутся направления линий тока, задаваемые полем и для них рассчитывается значение критического расхода газа и поля продольной скорости, температуры и давления. Для этого интегрируется параболическая система уравнений движения (7), (26) и энергии (9). Используется маршевый алгоритм, изложенный в гл. 5.

На втором шаге уточняются направления линий тока. Для этого система уравнений (6), (7), (9), (26) регуляризуется по Виньерону [Л11] и затем интегрируется маршевым методом (I) (гл. 5). Регуляризация заключается в замене продольного градиента давления в уравнении (7) выражением

в котором {др/д^% аппроксимируется конечной разностью "назад", (др/д^)е рассчитывается по полю давления, определенному на первом шаге, а весовая функция со определяется по формуле (12). В результате система уравнений становится гиперболической в дозвуковых областях и может интегрироваться маршевым методом. Передача информации против потока эффективно учитывалась путем аппроксимации с^б/Э!; перед первым шагом и (др/д%)е перед вторым шагом алгоритма соответствующими направленными конечными разностями, а также путем последующего функционального сглаживания [Л 12] разностных аналогов этих производных вдоль продольных координатных линий.

Результаты расчета вязкого течения в сопле Лаваля, подтверждающие эффективность алгоритма, представлены в § 8.3. Для получения решения с инженерной точностью (0.1%) требуется 3-4 глобальные итерации.

Существующие итерационно-маршевые методы расчета вязких смешанных течений в соплах Лаваля с обширными дозвуковыми областями [Л 13, Л14] основаны на расщеплении (27) для продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющие. Количество глобальных итераций по эллиптической составляющей градиента давления, требуемое условиями сходимости, в этих методах близко к количеству интервалов разностной сетки по продольной координате. Для типичных расчетов течений в соплах с длинами в десятки калибров (калибр - радиус минимального сечения сопла) требуются сотни разностных интервалов. Поэтому при практическом использовании численных методов [Л 13, Л14] требуются специальные ускоряющие процедуры типа многосеточного метода, которые значительно усложняют алгоритм расчета. На расчет рассматриваемых течений неявными методами установления требуются несколько сотен временных итераций (см., например, [Л 10, Л15]).

Ускорение сходимости глобальных итераций в предложенном методе достигается за счет организации глобальных итераций по полю направлений линий тока, характеризуемой тангенсом угла между линиями тока

(27)

вязкого течения и продольными координатными линиями адаптированной системы координат, в дополнение к итерациям по эллиптической составляющей градиента давления. Важным является то, что в данной системе координат отклонение линий тока от продольных координатных линий мало.

В девятой главе описывается ускоренный метод глобальных итераций, пригодный для расчета вязких газовых потоков в широком диапазоне изменения числа Маха. В основе ускорения сходимости глобальных итераций лежит специальное расщепление продольного градиента давления вдоль доминирующего направления потока. Метод излагается на примере интегрирования упрощенных уравнений НС эллиптико-гиперболического типа, описывающих внутренние и внешние вязкие течения. В качестве иллюстраций эффективности данного метода рассмотрена прямая задача сопла Лаваля со значительной продольной кривизной контура стенок и задача сверхзвукового обтекания затупленного тела.

В § 9.1 предложено расщепление продольного градиента давления на "гиперболическую" и "эллиптическую" составляющие

др

( j \

Jh

( .

Я,.

Я

Р = -Г-, (28)

Рт

где рт = р{т|т) - распределение давления вдоль какой-либо выбранной продольной координатной линии ц = ti„ = const; весовая функция о определяется формулой (12). Предполагается, что продольные координатные линии близки к линиям тока. Формула (28) является обобщением разложений (14) и (19) для продольного градиента давления. Из формулы (28) следует, что второй член в правой части расщепления (27), в свою очередь, может быть разложен на гиперболическую и эллиптическую составляющие.

Отметим важное отличие в расщеплениях (27) и (28) продольного градиента давления: в (27) гиперболическая часть градиента давления пренебрежимо мала для течений с низкими числами Маха (М^2 « 1), а в (28) гиперболическая часть является главной составляющей градиента давления для этих течений. В свете сказанного, трехчленное расщепление (28) можно рассматривать как более детальное по сравнению с (27) разложение градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющие.

Согласно (28) в дозвуковых областях течения (to < 1) "эллиптическая" составляющая продольного градиента давления мала, если

д In р d\npm

-— <к-i-2-. (291

dl К)

Последнее неравенство означает, что в этом случае поле давления может быть локально (в окрестности поперечной координатной линии \ = const)

факторизовано, т.е. представлено в виде произведения одномерных распределений

Р = РЛ%ШЦ). (30)

В § 9.2 излагается ускоренный метод глобальных итераций. Суть метода заключается в решении упрощенных уравнений НС эллиптико-гиперболического типа глобальными итерациями по "эллиптической" составляющей продольного градиента давления в дозвуковых областях течения. На каждой итерации соответствующая система конечно-разностных уравнений регуляризуется с помощью расщепления (28) и затем интегрируется эволюционным (маршевым) по продольной координате методом. Регуляризация состоит в том, что в уравнении продольного импульса градиент давления вычисляется по формуле (28), в которой производные с индексом "А" аппроксимируются разностями "назад", а производная с индексом "е" - разностью "вперед". Тем самым учитывается передача акустических возмущений против потока через дозвуковые зоны течения посредством "эллиптической" составляющей градиента давления. В результате такой регуляризации тип системы уравнений становится гиперболо-параболическим, а маршевая процедура её интегрирования - устойчивой. Ускорение сходимости глобальных итераций в предложенном методе достигается тем, что в расщеплении (28) вклад эллиптической составляющей в продольный градиент давления минимизирован по сравнению с расщеплением (27). Кроме того, эллиптическая составляющая продольного градиента давления в формуле (28) невелика при подходящем выборе системы координат (4, л)-

В § 9.3 эффективность предложенного метода демонстрируется на примере расчета до- и сверхзвукового смешанного течения воздуха с у = 1.4, числом Прандтля Рг = 0.71 и Яег = 106 в коническом сопле с углами полураствора конусов <Х| = а2 = 30° (см. рис. 1) и безразмерной кривизной горла К„ = 1. Представлены результаты расчетов в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК (II) для случая тепловой изоляции стенок сопла и для случая охлаждаемых стенок.

Скорость сходимости глобальных итераций по полю функции р показана на рис. 4, где приводятся её распределения на стенке р„ для гиперболического приближения (гиперболической модели ГК), первой и второй итераций. Результаты расчетов для последующих итераций графически совпадают с результатами второй итерации для всех характеристик течения. Абсциссе х = 0 на графиках соответствует минимальное сечение сопла. Видно, что уже гиперболическое приближение близко к точному решению уравнений эллиптико-гиперболической модели ГК, несмотря на то, что р„ вблизи горла сопла падает в три раза.

0.8

0.4

Рис. 4. Сходимость итераций для распределений относительного давления р на стенке. Цифры указывают номер глобальной итерации, 0 - гиперболическое приближение.

0 2 X

Сходимость коэффициента вязкого трения на стенке су- вдоль стенки сопла показана на рис. 5. Видно, что уже первая глобальная итерация даёт распределение с/, близкое к точному распределению.

2.0

1.6

1.2 п е

Рис. 5. Сходимость итераций для распределения коэффициента трения С/ вдоль стенки.

0.4

0.0

-3 -2 -1 0 1 2 х 3

Для расчета характеристик течения с инженерной точностью (0.1 %) достаточно двух глобальных итераций. Число итераций для данного алго-

ритма и алгоритма, описанного в предыдущей главе, близко друг к другу, если в качестве начального решения для второго алгоритма взять гиперболическое приближение. В то же время, первый алгоритм проще, чем второй, поскольку в нём итерации проводятся только по др 1д%, а не по паре функций v/u, dp/dt, как во втором алгоритме.

В § 9.4 эффективность метода демонстрируется на примерах расчета сверхзвукового обтекания сферы совершенным газом в рамках эллиптико-гиперболических систем уравнений Эйлера и модели ПВУС. На рис. 6 и 7 представлены некоторые результаты расчета обтекания сферы невязким газом с у =1.4, а на рис. 8 - вязким газом с у = 1.4, ц ~ Т°5, Рг = 0.7.

Формы ударной волны и звуковые линии, рассчитанные в данной работе и эталонные [JI16], показаны на рис. 6. Абсцисса на этом рисунке - координата вдоль оси течения, ордината - расстояние от этой оси. Расчеты [Л 16] выполнены методом установления. Видно, что уже первая глобальная итерация даёт решение с точностью, достаточной для инженерной практики.

Сходимость глобальных итераций по полю функции р иллюстрируется на рис. 7, где приводятся поперечные распределения этой функции для гиперболического приближения уравнений Эйлера (модель ГУС) и первой глобальной итерации вместе с прецизионными данными [Л 16]. Результаты расчетов для второй и последующих глобальных итераций графически совпадают с результатами первой итерации для всех характеристик течения. Из данного рисунка видно, что уже гиперболическое приближение даёт решение, близкое к точному, а первая итерация совпадает с ним.

На рис. 8 показаны распределения относительного теплового потока qjq*о вдоль поверхности сферы для гиперболического приближения и первой глобальной итерации вместе с данными [Л 17], полученными в результате расчета методом установления с точностью 1%. Видно, что уже гиперболическое приближение (модель ГВУС) даёт решение, близкое к данным [Л 17], а первая итерация совпадает с ними. Отметим, что расчет методом установления требует » 100 итераций [Л17].

В предложенном алгоритме расчета ударного слоя около затупленного тела глобальные итерации проводятся только по градиенту д р в отличие от алгоритмов [Л5, Л12, Л18], где итерации проводятся как по градиенту dpld!;, так и по форме головной ударной волны.

Предлагаемый алгоритм требует в 4-5 раз меньше глобальных итераций по эллиптическим членам, чем алгоритмы [Л5, Л12, Л18]. При этом предполагается, что относительные численные погрешности давления, его продольного градиента, отхода и наклона головной ударной волны меньше, чем 1 %. При увеличении точности расчетов путем уменьшения шага по маршевой координате соотношение между количеством глобальных итераций в методах [Л5, Л12, Л18] и предложенном алгоритме значитель-

Но возрастает. Это обусловлено не только более быстрой передачей информации вверх по потоку за одну итерацию в последнем методе по сравнению с методами [Л5, Л12, Л18], но и сильной зависимостью параметра релаксации формы ударной волны от продольного шага сетки в алгоритмах [Л5, Л12, Л18].

Рис. 6. Формы ударной волны и звуковой линии около сферы: (а) Мт = 1.5, (б) Мх = 3.0. Штриховые линии - гиперболическое приближение, сплошная линия - первая глобальная итерация, точки - данные [Л 16].

2 г з

!

Рис. 7. Распределения р поперек ударного слоя при М. = 3. Штриховые линии - гиперболическое приближение, сплошные - первая глобальная итерация, точки - данные [Л 16]. Кривые 1 - 7 соответствуют значениям центрального угла 0, равным 0, 15, 30, 45, 60, 75 и 90 градусов.

Чу, ^ УиЮ

Рис. 8. Распределения теплового потока вдоль поверхности сферы для М„о=7.5, Яем=103, Г„=0.24. Штриховая кривая - гиперболическое приближение; сплошная - первая глобальная итерация; точки - результаты расчета [Л 17] методом установления.

о бо е о

В § 9.5 на основе результатов проведенных расчетов формулируются приведенные ниже выводы об акустическом механизме передачи возмущений против доминирующего направления потока.

При подходящем выборе системы координат акустический механизм описывается в уравнениях продольным градиентом давления. Из расщепления (28) этого градиента следует, что передачу влияния давления вверх по потоку можно разделить на'два механизма. Первый механизм реализуется посредством передачи информации с помощью интегральных характеристик течения таких, как величина массового расхода газа через сопло. В стационарных потоках такая передача осуществляется глобально через всё поле течения. Второй механизм связан с отклонением реального поля давления от "факторизованного" поля (30) и описывается третьим слагаемым в правой части расщепления (28). Расчеты течений со значительным искривлением линий тока показывают, что этот механизм является пространственно локальным: уже первая глобальная итерация по "эллиптической" составляющей градиента давления даёт близкое к точному решение модельных эллиптико-гиперболических систем уравнений.

В десятой главе показаны фактические границы применимости моделей ГК путем сравнения результатов расчетов по этим моделям 1) с экспериментальными данными в § 10.1, 2) с расчетами по полным уравнениям НС в § 10.2 и 3) между собой в § 10.3. Некоторые из этих сравнений'показаны на рис. 9-Г4.

На рис. 9 и 10 представлены результаты расчетов зависимостей расхода Q и импульса сопла в- пустоте Я, нормированных на их идеальные значения Q,,/ и R,d, от числа Рейнольдса Re0. Идеальные значения определялись по известным-соотношениям [ЛЗ], а число Рейнольдса Re0 - по параметрам торможения и минимальному радиусу сопла [Л19]. Расчеты проведены для конического сопла'с углами полураствора конусов - си = 30°, а.2 = 15°, безразмерной кривизной горла Kw = 0.1 и геометрической степенью расширения F = 100 в рамках гиперболической модели ГК с учетом эффекта скольжения газа у стенки сопла при Re0 < 104. Стенки сопла - теплоизолированные, температура торможения рабочего газа (воздуха) - комнатная (Та » 300 К). Результаты расчетов согласуются с экспериментальными данными [Л 19, Л20] в пределах их разброса.

На рис. 11 дано сравнение расчетных и экспериментальных значений давления р„ на стенке конического сопла, отнесенного к давлению торможения ро. Геометрические параметры сопла следующие: безразмерная кривизна горла К„ = 1, углы полураствора конусов oii = 26°, ot2 = 12.5° (см. рис. 1). Температура торможения рабочего газа (воздуха) - комнатная (7о » 300 К). Характернйе число Rer = 106. Стенки сопла - теплоизолированные. Расчеты выполнены на основе гиперболической модели ГК и хорошо согласуются с экспериментальными данными [Л21].

Точность моделей ГК иллюстрируется на рис. 12 сравнением расчетных и экспериментальных изолиний числа Маха в невязкой области горла сопла со значительной кривизной стенок. Показаны расчеты течения воз-

33 ; ¡IAA i

I С.Петербург 1

ОЭ №0 вкт

i

духа при Яег = 106 в коническом сопле с углами полураствора конусов (Х| = а2 = 30°, и кривизной горла К„ = 1. Видно хорошее согласие результатов расчетов по эллиптико-гиперболической модели ГК с экспериментальными данными.

Рис. 9. Зависимость коэффициента расхода сопла Q/Qld от числа Рей-нольдса Re0. Сплошная кривая - результаты расчетов по гиперболической модели ГК, точки -экспериментальные данные [Л 19].

Рис. 10. Зависимость коэффициента импульса сопла от числа Рей-нольдса Re0. Сплошная кривая - результаты расчетов по гиперболической модели ГК, точки -экспериментальные данные: • [Л 19], + [Л20].

104 Re„ 105

Р^о

Рис. 11. Распределение давления вдоль стенки сопла при кривизне горла К„ = 1: кривая - расчет по гиперболической модели ГК, точки - эксперимент [Л21].

Рис. 12. Изолинии числа Маха при кривизне горла сопла К„ = 1 и Ее, = 106. Сплошные кривые - расчет по эллиптико-гипер-болической модели ГК, штриховые кривые - по гиперболической модели ГК; точки - эксперимент [Л22]; цифры - значения числа М.

Сравнение некоторых характеристик вязкого течения в осесимметрич-ном сопле Лаваля, рассчитанных по моделям ГК и на основе полных уравнений НС, представлено на рис. 13 и 14. Решение уравнений НС получено в [Л23] методом установления. Контур сопла состоит из цилиндрического

входного участка, сужающегося и расширяющегося конусов с углами полураствора а| = 30° и с*2 = 20°. Входной участок и конические участки последовательно сопряжены друг с другом дугами окружности с безразмерной кривизной, равной 1. Число Рейнольдса Яе равно 1000 и определяется по параметрам потока во входном сечении сопла и радиусу его минимального сечения.

На рис. 13 показано распределение числа Маха вдоль оси сопла, а на рис. 14 - распределение в выходном сечении сопла температуры Т, нормированной на её значение Та т на оси во входном сечении. Цилиндрические координаты хну отнесены к радиусу минимального сечения сопла, которое расположено при х = 0. Из рис. 13 и 14 видно, что решения, получаемые на основе моделей ГК и полных уравнений НС, близки друг к другу.

Проведенные в данной главе сравнения, в частности, показали, что точность эллиптико-гиперболической модели ГК близка к точности полных уравнений НС при описании безотрывных вязких внутренних течений с числами Яег > 20. Гиперболическая модель ГК адекватно воспроизводит распределения газодинамических параметров в каналах с не очень большими значениями кривизны стенок К«, < 1. При больших значениях кривизны (вплоть до К», = 2) с помощью этой модели можно рассчитать с инженерной точностью (0.1 %) такую важную интегральную характеристику сопла как удельный импульс.

2.5

-»- л- гг

Рис. 13. Распределение числа Маха М„ вдоль оси сопла. Яе = 1000. Сплошные кривые - расчет по эллиптико-гиперболической модели ГК, штриховые кривые - по гиперболической модели ГК, точки - по полным урав-

нениям НС [Л23].

О

-3 -2 -1

0

1 X 2

0.9

т

0.8

0.5

0.7

0.6

Рис. 14. Распределение температуры Т/Та.т в сечении х = 2. Яе = 1000. Сплошные кривые - расчет по эллиптико-гипер-болической модели ГК, штриховые кривые - по гиперболической модели ГК, точки - по полным уравнениям НС [Л23].

0.4

0

0.5

1

1.5 у 2

В одиннадцатой главе показана фактическая точность описанных в гл. 3 моделей ГУС и ГВУС.

В § 11.1 результаты расчетов по модели ГУС, уравнения которой представляют собой гиперболическое приближение уравнений Эйлера, сравниваются с результатами расчетов на основе уравнений Эйлера и с экспериментальными данными. Некоторые из этих сравнений представлены на рис. 15 и 16.

На рис. 15 показано давление рт нормированное на его значение р^ в критической точке, вдоль поверхности сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком воздуха с числом М® = 3. Форма головной ударной волны и положение звуковой линии около сферы показаны на рис. 16. Результаты расчетов по модели ГУС хорошо согласуются как с данными расчетов уравнений Эйлера [Л 16], выполненные методом установления, так и с экспериментальными данными [Л24].

В § 11.2 результаты расчетов по модели ГВУС сравниваются с расчетами по различным газодинамическим моделям, включая модель ПВУС, близкую по точности к модели НС при Re„ ä 102 [Л 18], а также с экспериментальными данными. Одно из этих сравнений представлено на рис. 17, где показаны рассчитанные по различным моделям распределения относительного давления pjp^ вдоль поверхности сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком воздуха. По оси абсцисс отложены значения центрального угла 9, отсчитываемого от оси симметрии течения. Видно, что указанные распределения близки для моделей ГВУС и ПВУС, а погрешность неэллиптической модели [Л25] значительна при 9 > 45°.

0.5

Рис. 15. Распределение давления р„/р„о по поверхности сферы при М«, = 3. Штриховая линия - модель ГУС, точки -экспериментальные данные [Л 24].

ей

Рис. 16. Формы ударной волны и звуковой линии около сферы: Мм = 3.0. Штриховые линии - модель ГУС; точки: • -данные расчета [Л 16], О -экспериментальные данные [Л 24].

Сравнения, проведенные в §§ 11.1, 11.2, показали, что построенные для решения задач сверхзвукового обтекания затупленных тел идеальным и вязким газом модели ГУС и ГВУС по точности предсказания аэродинамических характеристик, таких как давление, сопротивление, тепловой поток, близки соответственно к моделям, основанных на уравнениях Эйлера и НС, при Мо > 3 и Яе«, > 102. Модели ГУС и ГВУС позволяют проводить

расчёты сверхзвукового обтекания тонких затупленных тел с длинами до сотен калибров.

Ри/^иО

0.5 -

Рис. 17. Распределения давления рп/р„о вдоль поверхности сферы для Му=10, 11е,=10"\ 7"„=0.2: 1 - расчёты по модели ГВУС; 2 - по модели ПВУС [Л 17]; 3 - по уравнениям Эйлера [Л 16]; 4 -по модели [Л25].

В § 11.3 рассмотрена важная для практики задача возможного снижения аэродинамического сопротивления тела с помощью поддержания температуры его поверхности на заданном уровне на примере вязкого обтекания сферы сверхзвуковым потоком воздуха. Предполагается, что температура Т,, набегающего потока фиксирована (300 К), а его скорость V, и давление рт а также температура поверхности Г„ являются параметрами задачи.

На рис. 18 представлены результаты расчетов суммарного сопротивления давления и трения сферического сегмента с углом полураствора 0 = 120° для различных значений температуры поверхности тела 7"„ и числа Но в широком диапазоне числа Яе„. Вклад в сопротивление донной области сферы мал и здесь не учитывается. Из рис. 18 видно, что при малых и умеренных числах Рейнольдса охлаждение поверхности сферы приводит к снижению её сопротивления. При этом эффект снижения сопротивления существенно зависит от величины числа Маха: с уменьшением М„ эффект возрастает. Анализ показывает, что данный эффект при значениях числа Рейнольдса, когда ударный слой около тела является полностью вязким, связан с поджатием ударного слоя при его охлаждении.

Двенадцатая глава посвящена применению моделей ГК к расчету вязких течений химически реагирующих газов.

Со

1.6

1.2

Рис. 18. Зависимости коэффициента полного сопротивления Со сферы от числа Рейнольдса для Т,= 300 К: кривые I, II - М,=3 и М»=10; кривые 1-3 -7^=300, 1000 и 2000 К.

103 ю5 (^е*

В § 12.1 дано описание моделей ГК для расчета осредненных характеристик турбулентного течения химически реагирующей смеси совершенных газов. Исследован математический тип системы уравнений гиперболической модели ГК.

В § 12.2 описана используемая в расчетах модель турбулентности. Физико-химические свойства смеси продуктов горения топлива Н2/О2 даны в § 12.3. Они включают термодинамические и кинетические свойства, коэффициенты молекулярного переноса компонентов смеси.

Вычислительные возможности моделей ГК и разработанных численных методов демонстрируются в § 12.4 на расчете турбулентного течения продуктов сгорания в типичном осесимметричном сопле перспективного кислородно-водородного жидкостного ракетного двигателя, контур которого взят из работы [Л 15]. При проведении расчетов этот контур был сглажен в областях разрыва его кривизны. Для улучшения точности расчетов использовалась разностная сетка, сгущающаяся к минимальному сечению сопла в продольном направлении и к стенке сопла в поперечном направлении. В результате проведенных расчетов исследовано влияние степени химической неравновесности и состава продуктов сгорания на основные характеристики сопла, в том числе тепловой поток на стенки сопла, его удельный импульс в пустоте. В частности, показано, что удельный импульс сопла в пустоте имеет максимум при коэффициенте избытка окислителя аок * 0.8 (рис. 19). Потери удельного импульса, связанные с химической неравновесностью течения, убывают с обогащением топливной композиции горючим - водородом. Эти потери составляют 0.6 % при

(*„к = 0.8, радиусе минимального сечения сопла г. = 20 мм и геометрической степени расширения сопла = 33.6, что весьма значительно с точки зрения потери полезной нагрузки, которую может вывести на орбиту летательный аппарат. С увеличением степени расширения сопла потери тяги сопла, связанные с химической неравновесностью, возрастают.

42

4.16 -

4.12

4.08 -

Рис." 19. Зависимость удельного импульса в пустоте /, от коэффициента избытка окислителя аок при г. = 20 мм и = 33.6; точки - неравновесное течение, крестики -равновесное течение.

о.б 0.7 о.8 о.э 1 аок

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построены газодинамические модели гладкой стенки для внутренних и внешних бесструктурных течений вязкого газа, не уступающие по точности навье-стоксовой модели, но существенно более простые. Это ряд моделей гладкого канала и модель гиперболического вязкого ударного слоя. Вычислительным преимуществом этих моделей является эволюционный по продольной координате характер определяющих уравнений. Расчеты с использованием построенных моделей хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2. Разработана серия высокоэффективных маршевых алгоритмов для реализации указанных моделей, в том числе: а) предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов системы уравнений, который обеспечивает маршевое прохождение трансзвуковых областей течения, б) разработан быстрый алгоритм определения критических параметров смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых. Для ускорения сходимости итерационно-маршевых алгоритмов при расчете вязких течений с сильным влиянием акустических

возмущений вверх по потоку предложено оригинальное расщепление продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую.

Алгоритмы позволяют проводить расчеты с гарантированной математической точностью (от 4-х до 7-и верных знаков). Они апробированы на решениях прямой задачи сопла Лаваля и на расчетах смешанного течения в вязком ударном слое около затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком.

3. С помощью указанных моделей и алгоритмов решены актуальные задачи, например, а) выбор оптимального соотношения горючего Н2 и окислителя 02, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла ракетного двигателя, работающего на данном топливе, б) возможное уменьшение сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения химически реагирующих смесей газов в гладких искривленных каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1994. Т.6. №12. С.38-56.

2. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения вязких течений в гладких каналах переменного сечения // Доклады Академии Наук. 1995. т.345. №5. С.615-618.

3. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения для течений вязких газов в изогнутых плоских каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1995. Т.7. №11. С.39-54.

4. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в гладких каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1996. Т.8. №7. С.3-10.

5. Rogov В.V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation of Viscous Flows through Laval Nozzle // VII International Conference on Methods of Aerophysical Research. (ICMAR 96). Sept. 3-7, 1996, Novosibirsk, Proceedings. Part 1. 1996. P.180-185.

6. Rogov B.V., Sokolova I.A. A New Hydrodynamic Model for Internal Chemical-Reacting Viscous Flows. // Nonequilibrium processes and their applications. Ill International school-seminar. Contributed papers. Minsk.: Belurus Academy of Science. 1996. P. 114-117.

7. Rogov B.V., Sokolova I.A. Computational Model for Internal Chemical-Reacting Flow Through Curved Channels/ Lecture Notes in Computer Science. V.1196, Springer-Verlag, 1997. Numerical Analysis and its

Applications, First Int. Workshop, WNAA'96, Rousse, Bulgaria, June 2427, 1996, Proceedings. // Eds: L.Vulkov, J.Wasniewski, P.Ya., P.406-413.

В. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в химическом проточном реакторе // В еб.: Труды XIII международной школы по механике сплошных сред. С.-Петербург: Санкт-Петерб. Университет, 1996, С. 121-127.

9. Rogov В. V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation for Turbulent Flow Through Nozzles. // DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects.: University Twente. Faculteit der toegepaste wiskunde. 1997. Memorandum No. 1394. P.72-77.

10. Rogov B.V., Sokolova I.A. Computation Model For Burning Turbulized Flow Through Curved Wall Channel // Modern Problems of Combustion and Its Applications. Proc. of the II International school-seminar. Minsk. Belarusia, Sept. 4-7. 1997. P. 163-168.

11. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Высокоточный метод расчета вязких течений в сопле Лаваля // Математическое моделирование. 1997. Т.9. №7. С.81-92.

12. Рогов Б.В., Соколова И.А. Об асимптотической точности приближения гладкого канала при описании вязких течений // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 2. С.190-194.

13. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Турбулизованные течения химически реагирующих газов в сопле Лаваля // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 3. С. 339-342.

14. Rogov B.V., Sokolova I.A. Numerical Model for Turbulent Burning Gas Flows Through Nozzles/ in Aviation-2000. Prospects. International Symposium Proceedings, Zhukovsky, Russia, August 19-24, 1997. p.771-779.

15. Rogov B.V., Sokolova I.A. Efficient simplified model for internal viscous flows // AIAA Paper. 1998. № 98-2493. 9 pp.

16. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Метод решения прямой задачи сопла Лаваля для турбулизованных течений химически реагирующих газов // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 1. С. 51-62.

17. Rogov В.V., Sokolova I.A. Turbulent chemical reacting gases flows through curved smooth wall channels // In: Proc. ICMAR 98. Novosibirsk. Russia. June 29 - July 3. 1998. Part 1. P. 179-184.

18. Rogov B.V., Sokolova I.A. Fast numerical method for calculating flows through a Laval nozzle // In: Proc. 2nd Int. Conf. Finite - Difference Methods (CFDM 98), Minsk, Belarus, July 5 - 9, 1998. Vol. 3. P. 47-52.

19. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Двухстадийный маршевый расчет вязких течений через сопло Лаваля // Мат. моделирование. 1999. Т.Н. №7. С. 95-117.

20. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод расчета вязких течений в соплах с большой кривизной контура // Тез. докл. X межд. конф. по вычислит, мех. и совр. прикл. прогр. средствам. Пе-реславль-Залесский, 7-12 июня 1999 г. -М.: МГИУ, 1999, С.60-62.

21. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод описания бесструктурных вязких внутренних течений. // Современные проблемы механики." Тез. докл. юбилейной конф., посвященной 40-летию Института механики МГУ, Москва, 22-26 ноября 1999 г. - М.: Изд-воМГУ, 1999, С.104-105.

22. Rogov B.V., Sokolova I.A. Turbulent Combustion Flow Through Cross Section Channel // Proceedings of 5-th ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference March 15-19, 1999. San Diego, California. 1999, AJTE 99-6132, 9p.

23. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Решение прямой задачи сопла итерациями по направлениям линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т. 370. № 1. С. 46-49.

24. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод расчета вязких течений со значительным искривлением линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т.374. №2. С. 190-193.

25. Rogov B.V., Sokolova I.A. Numerical model for subsonic and supersonic viscous flow with strong curvature of streamlines // In: Proc. ICMAR 2000. Novosibirsk, Russia, 9-16 July, 2000. Part 3. P. 112-117.

26. Рогов Б.В., Соколова И.А. Упрощенные уравнения Навье-Стокса для внутренних смешанных течений и численный метод их решения // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С. 61-70.

27. Рогов Б.В., Соколова И.А. Маршевый расчет ударной волны при невязком сверхзвуковом обтекании затупленных тел // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 5. С. 110-118.

28. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическая модель вязких смешанных течений // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 378. № 5. С. 628632.

29. Альшина Е.А., Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. О точности квазиодномерной модели гладкого канала // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 10. С. 120-124.

30.- Рогов Б.В. Метод минимальной длины для течений с трансзвуковой бифуркацией // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381. № 1. С. 23-26.

31. Рогов Б.В.,- Соколова И.А. Обзор моделей вязких внутренних течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1. С. 41 -72.

.32. Рогов Б.В. Метод минимальной длины для нахождения критических параметров смешанных течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1.С. 87-96.

33. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса для вязких смешанных течений // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3. С.30-49.

34. Rogov B.V., Tirskiy G. A. The Accelerated Method of Global Iterations for Solving the External and Internal Problems of Aerohydrodynamics // Proc. 4th Europ. Symp. Aerothermodynamics for Space Applications, 15-18 Oct. 2001, Capua, Italy, ESA SP-487, March 2002, P.537-544.

Цитированная литература

Jll. Williams J.C. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels// AIAA J. 1963. V.l. №1. P.186-195.

Л2. Лапин Ю.В., Стрелец M.X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.368 с.

ЛЗ. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.

Л4. Степанов Г.Ю., Гогиш Л.В. Квазиодномерная газодинамика сопел ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1973. 168 с.

Л5. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. М.: Наука. Физматлит, 1996. 376 с.

Л6. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock layer equations // AIAA Journal. 1970. V.8. No.5. P.843-851.

Л7. Rae W.J. Some numerical results on viscous low-density nozzle flows in the slender-channel approximation // AIAA J. 1971. V.9. №5. P.811-820.

Л8. Калиткин H.H., Кузнецов H.O., Панченко С.Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области И ДАН. 2000. Т. 374. № 5. С.598-601.

Л9. Киреев В.И., Войновский А.С. Численное моделирование газодинамических течений. М.: Изд-во МАИ, 1991. 254 с.

Л10. Егоров Ю.Э., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Применение метода масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязких газов и газовых смесей в соплах Лаваля // Мат. моделир. 1990. Т.2. № 10. С.3-12.

Л11. Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.C. Calculation of supersonic viscous flow over delta wings with sharp subsonic leading edges // AIAA Paper. 1978. №78-1137.

Л12. Ковалев В.Л., Крупное А.А., Тирский Г.А. Решение уравнений вязкого ударного слоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления и форме ударной волны. // Докл. РАН. 1994. Т.338. №3. С.333-336.

Л13. Kaushik S., Rubin S.G. Pressure based flux-split solutions for incompressible and compressible internal flows // Computers and Fluids. 1998. V.27. № 1. P.71-94.

JIM. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование до- и сверхзвуковых течений газа с использованием итерационно-маршевого метода // Веста. СпбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3. С. 111-115.

Л15. Киселев A.C., Стернин Л.Е. Компактная разностная схема со скалярными прогонками для интегрирования уравнений газовой динамики. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39, №1. С.154-162.

Л16. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около затупленных тел. В 2-х т. М.: Наука, 1970.

Л17. Бородин А.И., Иванов В.А., Пейгин C.B. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя// ЖВМ и МФ. 1996. Т.36. №8. С.158-168.

Л18. Васильевский СЛ., Тирский Г.А., Утюжников C.B. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя. // ЖВМ и МФ. 1987. Т.27. №5. С.741-750.

Л19. Левин В.Я., Нигодюк В.Е., Пирумов У.Г., Фирсов О.И., Шустов С.А. Исследование течений в соплах Лаваля при низких числах Рейнольд-са // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1980. №3. С.90-97.

Л20. Бутенко В.А., Рылов Ю.П., Чиков В.П. Экспериментальное исследование характеристик малоразмерных сопл // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1976. № 6. С. 137-140.

Л21. Идиятулина Ф.Л., Лаврухин Г.Н., Михайлов Б.Н. и др. Расчетные и экспериментальные исследования влияния радиуса кривизны контура в области критического сечения на характеристики сверхзвуковых сопл // Уч. зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11. № 4. С. 159-164.

Л22. Dutton J.C., Addy A.L. Transonic flow in the throat region of axisymmet-ric nozzles//AIAA J. 1981. V. 19. № 6. P.801-804.

Л23. Кузнецова Л.В., Павлов Б.М. Применение уравнений Навье-Стокса к исследованию течения вязкого газа в сопле Лаваля // Вычисл. методы и программир. М.: Изд-во МГУ. 1979. № 30. С. 120-130.

Л24. Белоцерковский О.М., Булекбаев А., Голомазов М.М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М.: ВЦ АН СССР, 1967.400с.

Л25. Бородин А.И., Пейгин C.B. Пространственное обтекание затупленных тел в рамках модели параболизованного вязкого ударного слоя // Мат. моделирование. 1993. Т. 5. № 1. С.16-25.

МОДЕЛИ ГЛАДКОЙ СТЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ ВЯЗКИХ СМЕШАННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 22.05.2003г. Формат 60x84/16

Печать офсетная Усл. печ.л.2,75

Тираж 100 экз. Заказ № 37 Бесплатно

ОИВТ РАН. 125412, Москва, ул. Ижорская, д.13/19

р 1186 О

ВВЕДЕНИЕ.

1. Состояние проблемы (6). 2. Цель работы (11). 3. Научная новизна (11). 4. Практическая значимость (13). 5. Апробация работы (13). 6. Публикации (14). 7. Структура и объём работы (14).

ГЛАВА 1. УПРОЩЕННЫЕ НАВЬЕ-СТОКСОВЫ (УНС) МОДЕЛИ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ.

§ 1. Введение.

§2. Способы построения УНС моделей.

1. Выбор системы координат (17). 2. Выбор зависимых переменных (19).

3. Уравнения Навье-Стокса (НС) (20). 4. Малые параметры и оценка членов уравнений НС (21). 5. Подходы к упрощению уравнений НС (26).

§ 3. Модели вязких внутренних течений.

1. Приближение узкого канала (УК) (28). 2. Модифицированные модели УК (29). 3. Параболизованные модели (30).

§ 4. Модели вязких внешних течений.

1. Приближение тонкого вязкого ударного слоя (35). 2. Модели вязкого ударного слоя (37). 3. Модель параболизованного вязкого ударного слоя (39).

4. Параболизованные уравнения НС (40). 5. Модель искривленной пристеночной струи (41).

§ 5. Численные методы расчета стационарных внутренних вязких течений. 43 1. Методы установления (43). 2. Безитерационно-маршевые методы (44). 3. Итерационно-маршевые методы (45).

§ 6. Проблемы расчета смешанных внутренних вязких течений маршевыми методами.

1. Сравнительные характеристики численных методов (47). 2. Неэллиптические модели течений через сопло Лаваля (47). 3. Эллиптико-гиперболические модели внутренних вязких течений (51).

§ 7. Заключение.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ГЛАДКОГО КАНАЛА (ГК).

§ 1. Адаптированная система криволинейных координат.

1. Каналы с прямолинейной осью (55) 2. Каналы с изогнутой средней линией (58).

§2. Полная система уравнений НС в адаптированной системе координат.

§ 3. Асимптотическая точность упрощенных моделей гладкого канала.

1. Невязкая область течения (65). 2. Вязкий пограничный слой (66). 3. Иерархия упрощенных уравнений ГК (68).

§ 4. Параболические модели

1. Модифицированная модель УК (69). 2. Параболическая модель ГК (70). 3. Граничные условия (72).

§ 5. Эллиптико-гиперболические модели

1. Эллиптико-гиперболическая модель ГК (I) (73). 2. Эллиптико-гиперболи-ческая модель ГК (II) (74). 3. Граничные условия (76).

§ 6. Гиперболическая модель

1. Система уравнений (77). 2. Граничные условия (81).

§ 7. Квазиодномерная модель

1. Способ осреднения (82). 2. Модель без учета кривизны линий тока (83). 3. Модель с учётом кривизны линий тока (84).

§ 8. Иерархия моделей ГК.

ГЛАВА 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УДАРНОГО СЛОЯ.

§ 1. Модель гиперболического ударного слоя (ГУС).

§ 2. Модель гиперболического вязкого ударного слоя (ГВУС).

1. Состояние проблемы. Наиболее общей математической моделью течений в режиме сплошной среды является полная система уравнений Навье-Стокса (НС). Эта система уравнений позволяет исследовать структуру сложных течений с характерными зонами сильного вязко-невязкого взаимодействия, отрывами, рециркуляцией и пр. Уравнения НС получают либо феноменологическими методами, либо методами кинетической теории газов, решая кинетическое уравнение Больцмана с двумя членами разложения функции распределения в ряд по малому параметру - характерному числу Кнудсена. Для стационарных течений с умеренными и большими числами Рейнольдса уравнения НС представляют собой систему квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в дозвуковых и гиперболического типа в сверхзвуковых областях течений.

Для численного решения стационарных полных уравнений НС обычно используются итерационные методы. К ним относятся методы установления по времени, методы глобальных итераций. Первые из этих методов в настоящее время являются наиболее распространенными.

В методах, основанных на принципе установления по физическому или некоторому фиктивному времени, стационарное решение находится как предельное решение нестационарной задачи. На расчеты простого газодинамического стационарного течения методом установления с помощью известных неявных схем затрачивается несколько сотен временных итераций: см., например, [Cline, 1976], [Борисов, Ковеня, 1976], [Кузнецова, Павлов, 1979], [Асланов и др., 1981], [Белоцерковский и др., 1982], [Савельев, Толстых, 1987], [Стрелец, Шур, 1988], [Егоров и др., 1990], [Shuen et al., 1992], [Савельев, 1998], [Киселев, Стернин, 1999]. При больших числах Рейнольдса Re и большой протяженности области интегрирования потребности в ресурсах ЭВМ при численном решении уравнений НС значительно возрастают. Несмотря на прогресс в области вычислительной техники, расчеты течений на основе полных уравнений НС являются достаточно трудоемкими, особенно для течений химически реагирующих многокомпонентных газов. Например, трехмерные вязкие течения через сопло с 11 компонентами рассчитываются на компьютере типа CRAY сутками. Поэтому для проведения серийных расчетов прикладных задач, особенно в случае расчета внутренних вязких течений с учетом реальных физико-химических процессов, методы установления по физическому или некоторому эффективному времени из-за трудоемкости мало пригодны и не перспективны [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Ситуация аналогична при численных расчетах задач внешнего обтекания [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993].

Методы глобальных итераций первоначально были разработаны для решения упрощенных уравнений НС [Anderson et al., 1984], [Васильевский и др., 1987], [Быркин, Толстых, 1988], [Каратаев, Котеров, 1990], [Марков, 1992], [Ковалев и др., 1994], [Головачев, 1996], [Tannehill et al., 1997]. В последнее десятилетие эти методы были успешно развиты для решения полных уравнений НС [Bentson, Vradis, 1987], [TenPas, Pletcher, 1987], [TenPas, Pletcher, 1991], [Vradis et al., 1992], [TenPas, Hancock, 1992], [Srinivasan, Rubin, 1992], [Архангельская, Скурин, 1994], [Скурин, 1998]. Методы глобальных итераций существенно экономичнее методов установления по используемой памяти ЭВМ и быстродействию. Однако они также требуют значительных затрат процессорного времени.

В то же время, в случае безотрывных вязких течений необходимость использования полных уравнений НС возникает только при малых числах Рейнольдса [Anderson et al., 1984], [Tannehill et al., 1997]. Во многих практически важных случаях, описание поля течения с достаточной точностью возможно в рамках упрощенных математических моделей, требующих существенно меньших вычислительных затрат. Например, большой класс течений с сильным вязко-невязким взаимодействием при умеренных и больших Re может быть адекватно описан такими моделями в системах координат, адаптированных к границам области течения [Tannehill et al., 1997]. В частности, слабо отрывные течения и течения с умеренной протяженностью возвратно-циркуляционных течений с приемлемой точностью могут моделироваться в рамках упрощенных навье-стоксовых моделей [Degani, Steger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Na-politano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991]. Поэтому для успешного численного моделирования вязких течений газов важна разработка адекватных упрощенных газодинамических моделей и эффективных численных методов решения соответствующих математических задач на ЭВМ.

Как правило, движения в сложных технических устройствах - трехмерные. Однако на начальной стадии моделирования процессов в таких устройствах целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений механического и физического характера. Наличие иерархии упрощенных газодинамических моделей позволяет наиболее рационально провести оценку важности различных механических и физико-химических процессов на практически важные характеристики течения, оценить взаимовлияние процессов. Это особенно важно при проектировании различных аппаратов и устройств в технике, решении задач, связанных с оптимизацией режимов работы этих устройств.

Упрощенные модели НС строятся для класса течений, у которых имеется возможность выделить основное направление течения [Лапин, Стрелец, 1989], [Ковеня и др., 1990], [Толстых, 1990], [Головачев, 1996]. В дальнейшем будем называть его продольным направлением. Вдоль этого направления можно пренебречь молекулярно-диффузионной составляющей переноса массы, импульса и энергии. К такому классу течений относятся течения с умеренными и большими Re. В значительной степени этот класс течений определяется геометрией: для большинства внутренних течений поток ограничен стенкой, и геометрия стенок определяет выделенное направление. Примером являются высокоскоростные вязкие течения в соплах ракетных двигателей, в каналах и трубопроводах химических производств, и т.п.

При упрощении ("параболизации") уравнений Навье-Стокса основным малым параметром является величина 8 = Re"/2. Упрощенные уравнения в разных моделях содержат члены различного порядка малости относительно параметра 5. Однако их отличительной особенностью является отсутствие во всех случаях вторых производных от неизвестных функций вдоль маршевой координаты, отсчитываемой в продольном (преимущественном) направлении движения газа. Вследствие этого появляется возможность нахождения решений стационарных задач маршевыми методами, эволюционными по продольной координате, что особенно важно при расчете течений многокомпонентных реагирующих газов.

Всюду далее под упрощенными навье-стоксовыми (УНС) моделями будут пониматься модели, основанные на упрощенных композитных уравнениях НС [Davis, Rubin, 1980], [Тирский, Утюжников, 1993], которые описывают всю область течения. Модель пограничного слоя (ПС), основанная на двух системах уравнений - уравнениях Эйлера и Прандтля, в диссертации рассматриваться не будет. Для расчета течений смесей газов со значительным вязко-невязким взаимодействием и большим количеством физико-химических процессов эта модель не эффективна.

Таким образом, УНС модели течений в отличие от полной модели НС не учитывают диффузионный механизм передачи информации вверх по потоку, который несуществен для потоков с умеренными и большими Re. Однако УНС модели позволяют описать остальные механизмы передачи информации против потока: акустический механизм, реализуемый посредством продольного градиента давления, и конвективный механизм, связанный с возвратными течениями. Для безотрывных течений конвективный механизм отсутствует, а в случае умеренных и больших Re акустический механизм доминирует над диффузионным. Как показали расчеты вязких течений в каналах с обширными областями рециркуляции [TenPas, Pletcher, 1991], [Srinivasan, Rubin, 1992] акустический механизм является доминирующим механизмом передачи информации против потока и в этом случае. Из сказанного следует, что УНС модели течений позволяют адекватно описывать большой и практически важный класс течений при умеренных и больших Re, включая течения с отрывом и рециркуляцией [Degani, Ste-ger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Napolitano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991].

По способу учета передачи информации о структуре течения против потока и математическому типу определяющих дифференциальных уравнений существующие УНС модели для стационарных вязких течений можно разделить на неэллиптические (полностью параболизованные) модели [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997] и частично параболизованные модели [Tannehill et al., 1997]. Первый класс УНС моделей описывается параболическими, гиперболическими или гиперболо-параболическими, т.е. неэллиптическими системами уравнений. Далее эти модели будем называть неэллиптическими. Второй класс моделей описывается системой дифференциальных уравнений смешанного типа: эллиптического в дозвуковых областях, гиперболического в сверхзвуковых областях и параболического в трансзвуковых областях течения. Далее эти модели будем называть эллиптико-гиперболическими.

С помощью неэллиптических моделей адекватно можно описать либо сверхзвуковые течения, либо дозвуковые течения с малым искривлением линий тока и с приемлемой точностью - дозвуковые течения с умеренным искривлением. В указанных течениях передача информации вверх по потоку либо не существенна, либо осуществляется главным образом посредством интегральных характеристик течения. Типичным примером существенно дозвукового течения, которое может быть описано с помощью неэллиптической модели, служит течение Гагена-Пуазейля несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах [Седов, 1973]. Рассматриваемое течение описывается параболической системой уравнений узкого канала (УК) [Лапин, Стрелец, 1989]. В этом течении информация о давлении в выходном сечении трубы мгновенно передается вверх по потоку с помощью интегральной характеристики - массового расхода жидкости через трубу.

Эллиптико-гиперболические модели позволяют адекватно описать вязкие течения с обширными дозвуковыми зонами и большим искривлением линий тока. Как уже сказано, эти модели пригодны не только для описания безотрывных течений при больших и умеренных числах Рейнольдса, но и для описания течений с отрывом потока от твердых стенок и наличием областей возвратных течений.

Неэллиптические модели являются наиболее эффективными с вычислительной точки зрения, поскольку могут быть реализованы с помощью безитерационных (одно-проходовых) маршевых процедур [Anderson et al., 1984], [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997].

Для интегрирования более сложных эллиптико-гиперболических моделей необходимо использовать итерационно-маршевые методы, часто называемые в литературе методами глобальных итераций [Тирский, Утюжников, 1993]. На текущей глобальной итерации фиксируются эллиптические члены уравнений, ответственные за передачу информации вверх по потоку, и осуществляется маршевый проход всей расчетной области вниз по течению. Затем эти эллиптические члены уточняются, и итерационный процесс продолжается до достижения условий сходимости. Привлекательность метода глобальных итераций во многом связана с его алгоритмической простотой. В обычном методе глобальных итераций информация о структуре течения передается против потока через дозвуковые области на один разностный интервал за каждую глобальную итерацию [TenPas, Pletcher, 1991], [Tannehill et al., 1997], [Kaushik , Rubin, 1998].

Как было подчеркнуто выше, основным механизмом передачи возмущений вверх по потоку является акустический механизм, связанный с продольным градиентом давления. Вследствие этого общая скорость сходимости итерационного процесса лимитируется скоростью сходимости глобальных итераций по эллиптической части продольного градиента давления [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. Поэтому в последнее десятилетие усилия ученых по совершенствованию метода глобальных итераций были направлены на поиск методик ускорения акустической передачи информации вверх по потоку в процессе глобальных итераций. Для ускорения сходимости глобальных итераций были предложены две основные методики. Первая основана на уточнении поля давления после каждой простой глобальной итерации путем решения специального уравнения для давления (или его поправки) [Barnett, Davis, 1986], [Каратаев, Котеров, 1990], [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. В двух последних цитируемых работах это уравнение - упрощенное (параболизованное) уравнение Пуассона для поправки к давлению, которая находится в результате интегрирования уравнения вверх по потоку. В основе второй методики лежит многосеточный метод [Himansu, Rubin, 1988]. Однако обе методики существенно усложняют алгоритм глобальных итераций.

Точность описания вязких течений существенно зависит от выбора системы координат, в которой проводится упрощение полных уравнений НС [Черный, 1982]. От этого выбора также зависит и сложность численной реализации.

Для задач внешнего сверхзвукового обтекания затупленных тел удачной системой координат для построения упрощенных моделей является система естественных ортогональных координат, связанная с контуром обтекаемого тела. В этой системе координат была получена иерархия упрощенных газодинамических моделей, обзор которых дан в [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993], [Головачев, 1996], [Тир-ский, 1997]. Наиболее широко используемыми газодинамическими моделями для задач сверхзвукового обтекания затупленных тел являются: модели тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) [Cheng, 1963], полного вязкого ударного слоя (ПВУС) [Davis, Flugge-Lotz, 1964], [Davis, 1970], вязкого ударного слоя (ВУС) [Головачев, Попов, 1972], модели параболизованных уравнений НС [Толстых, 1966]. Модель ТВУС принадлежит к классу неэллиптических моделей, остальные вышеперечисленные модели - к классу эллиптико-гиперболических моделей. Данная иерархия моделей позволила оценить влияние геометрических и газодинамических параметров на структуру потока и основные характеристики обтекания [Тирский, Утюжников, 1989], [Щербак, 1990]. Наиболее эффективной с точки зрения вычислительных затрат является модель ТВУС, которая основана на параболической системе уравнений. Эта модель успешно использовалась для расчета теплообмена и сопротивления затупленных тел с учетом разнообразных физико-химических процессов, протекающих в ударном слое [Гершбейн и др. 1985], [Ковалев, Крупнов, 1989], [Тирский и др., 1990], [Гусев и др., 1996], [Егоров, Никольский, 1996].

Однако модель ТВУС имеет довольно ограниченную область применимости, связанную с предположением о тонкости ударного слоя. Тем самым эта модель не пригодна для расчета течения далеко вниз по потоку при обтекании длинных затупленных тел или при не больших числах Маха [Тирский, Утюжников, 1993]. В работе [Бородин, Пейгин, 1993] была сделана попытка улучшить модель ТВУС, при этом сохранив её вычислительные достоинства, связанные с неэллиптическим характером модели. Однако новая модель, названная авторами моделью параболизованного вязкого ударного слоя, так же как и модель ТВУС не пригодна для расчета сверхзвукового обтекания длинных затупленных тел. В случае обтекания сферы эта модель позволила довести расчеты лишь до 80° по центральному углу 0, отсчитываемому от оси симметрии течения. Рассчитанные на её основе значения давления вдоль поверхности сферы уже при 0 > 45° отличаются от значений, рассчитанных по модели полного вязкого ударного слоя или по полным уравнениям НС, больше, чем на 15%. Поэтому модель [Бородин, Пей-гин, 1993] не позволяет с приемлемой точностью оценить сопротивление летящих со сверхзвуковой скоростью затупленных тел.

Для внутренних вязких течений иерархия моделей, подобная иерархии для задачи сверхзвукового обтекания, построена лишь для простейших систем координат (декартовой или цилиндрической). Это модели узкого канала (УК) [Williams, 1963], модели вязкого слоя (ВС) [Войнович, Фурсенко, 1983, 1984], модели параболизованных уравнений НС [Kreskovsky, Shamroth, 1978], [Мучная, 1981, 1982]. Наиболее экономичной является модель УК [Williams, 1963], которая подобно модели ТВУС основана на параболической системе уравнений. Однако, если для описания внутренних течений используются декартовы или цилиндрические координаты, то это накладывает ограничение на применимость упрощенных моделей. В частности, модель УК, выведенная в декартовой или цилиндрической системе координат, применима для углов наклона стенок канала к оси, не превышающих 10° [Егоров и др., 1991]. В обобщенных криволинейных координатах, адаптированных к геометрии канала, такой иерархии не построено. Имеется ряд упрощенных моделей, выведенных в различных криволинейных ортогональных [Anderson, 1980], [Каратаев, Котеров, 1990] и не ортогональных [Быркин, Толстых, 1988], [Толстых, 1990] системах координат. Анализ областей применимости этих моделей в литературе отсутствует. Обзор и оценка точности существующих упрощенных моделей внутренних вязких течений, а также близкий к ним класс моделей внешних вязких течений приведен в Главе 1 диссертации.

Очень важен для технических приложений класс смешанных (с переходом через звуковую скорость) течений газа. Примерами являются течение газа в сопле Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978, 1990] и течение в ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела [Головачев, 1996]. Системы стационарных уравнений Эйлера и упрощенных уравнений Навье-Стокса, описывающие рассматриваемый класс течений, при переходе от дозвуковых к сверхзвуковым областям течения меняют свой математический тип от эллиптического к гиперболическому. При этом переходе, т.е. вблизи звуковой поверхности эволюционная матрица коэффициентов при продольных градиентах газодинамических переменных становится плохо обусловленной. В этом нетрудно убедиться на примере системы уравнений одномерной теории сопла Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978], [Лойцянский, 1978]. Аналитическому исследованию трансзвуковой особенности в смешанных течениях идеального (невязкого) газа посвящены, например, монографии [Рыжов, 1965], [Коул, Кук, 1989], [Ларькин, 1991], [Шифрин, 2001].

Наличие трансзвуковой особенности в системах определяющих уравнений приводит к таким существенным трудностям при решении, например, прямой задачи сопла Лаваля, как нахождение неизвестного критического расхода и "прохождение" трансзвуковой особенности при численном интегрировании уравнений маршевыми методами [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Аналогичные проблемы возникают при решении задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел [Белоцерковский и др., 1967]. Алгоритм определения величины критического расхода при решении прямой задачи сопла Лаваля в рамках неэллиптической модели УК был предложен в работе

Rae, 1971]. Он основан на методе стрельбы, реализуемом путем многократных маршевых проходов от входного к минимальному сечению сопла при различных значениях расхода, и анализа картины ветвления интегральных кривых в трансзвуковой области течения, в сочетании с методом дихотомии. После того, как найдено значение критического расхода и рассчитана дозвуковая часть течения, необходимо численно пройти трансзвуковую область, где, как сказано выше, система уравнений имеет особенность. Для этого было предложено несколько вариантов искусственных приемов, заключающихся в применении различных способов экстраполяции давления из дозвуковой области в сверхзвуковую [Rae, 1971], [Ветлутцкий, Мучная, 1977], [Левин и др., 1980]. Однако эти приемы осложняют алгоритм и приводят к существенному ухудшению точности расчета в трансзвуковой области течения, т.е. в окрестности минимального сечения сопла [Лапин и др., 1985].

Использование метода установления для решения прямой задачи сопла Лаваля [Иванов, Крайко, 1969], [Киреев и др., 1970], [Иванов и др., 1972], [Манина и др., 1983] устраняет вышеуказанные трудности, связанные с применением маршевых методов расчета. В то же время затраты ресурсов ЭВМ резко возрастают.

2. Цель работы. При разработке упрощенных моделей вязких течений для инженерных приложений следует иметь в виду, что конструкторы стремятся к созданию каналов, в которых крупномасштабные вихревые структуры отсутствуют, чтобы исключить значительное возрастание сопротивления. Хорошо известно, что при высокоскоростных течениях в каналах с изломом контура возникают ударные волны, а в каналах с точками разрыва кривизны контура возникают локальные зоны торможения. Все это приводит к потерям импульса и другим нежелательным эффектам. Поэтому при конструировании предпочтение отдается гладким каналам с непрерывной кривизной контура.

Целью работы является: построение и апробация эффективных газодинамических моделей применительно к расчету стационарных внутренних и внешних смешанных вязких течений в областях с гладкими твердыми стенками в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса; создание уникальных по затратам ресурсов ЭВМ эволюционных по пространству алгоритмов для реализации построенных моделей; применение разработанных моделей и алгоритмов для исследования ламинарных и турбулентных смешанных течений химически реагирующих газов, важных для технических приложений, в широком диапазоне определяющих параметров.

3. Научная новизна. Построена криволинейная ортогональная система координат, обладающая следующими свойствами. Она является геометрически адаптированной и может быть найдена до решения основной задачи расчета поля течения. Её продольные координатные линии близки к линиям тока, а преобразование к декартовой или цилиндрической системе координат может быть выражено в конечной форме (в виде квадратуры). Метрические коэффициенты (параметры Ламе, кривизны координатных линий) криволинейной системы координат выражаются явными формулами, в которые естественным образом входят геометрические характеристики канала.

С использованием этой системы координат построена иерархия упрощенных моделей для вязких стационарных течений в каналах с гладкими стенками при умеренных и больших Re. Иерархия включает параболические, гиперболическую и эллипти-ко-гиперболические модели гладкого канала (ГК). Хорошая точность моделей ГК подтверждена путем сравнения расчетов по этим моделям с экспериментальными данными и результатами расчетов по полным уравнениям Навье-Стокса.

Предложены новые газодинамические модели - гиперболические приближения уравнений Эйлера и Навье-Стокса - описывающие смешанное течение в ударном слое около затупленного гладкого тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Эти модели допускают прямое применение маршевых методов для интегрирования их определяющих уравнений. В сверхзвуковых областях течения уравнения указанных моделей совпадают соответственно с уравнениями Эйлера и уравнениями полного вязкого ударного слоя. В отличие от существующих неэллиптических моделей предложенные модели позволяют с хорошей точностью оценить тепловое и силовое взаимодействие потока с обтекаемыми затупленными телами, включая длинные тела. Адекватность моделей подтверждена хорошими совпадениями с экспериментальными данными, с расчетами уравнений Эйлера, уравнений полного вязкого ударного слоя и уравнений Навье Стокса.

Разработан двухстадийный маршевый метод высокого порядка точности для расчета внутренних и внешних смешанных вязких течений в рамках неэллиптических моделей вязких течений. Построена экономичная конечно-разностная схема для решения систем дифференциальных уравнений, эволюционных по продольной координате, имеющих смешанные вторые производные и второй порядок по поперечной координате. Она является модификацией известной схемы Петухова, предназначенной для решения дифференциального уравнения, параболического по продольной координате и имеющего третий порядок точности по поперечной координате. На квазиравномерных сетках построенная схема имеет первый или второй порядок точности в продольном направлении и четвертый порядок точности в поперечном направлении. Предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов в трансзвуковых областях течения, который обеспечивает сохранение точности численного решения в этих областях.

Предложен ускоренный алгоритм определения критических параметров внутренних и внешних смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых, соответствующих различным значениям определяющего параметра. Алгоритм показал хорошие результаты при расчетах смешанных вязких течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела в рамках гиперболических приближений системы уравнений НС.

Для расчета внутренних смешанных течений в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК разработан эффективный маршевый метод, основанный на итерациях по полю направлений линий тока. Метод позволил решить прямую задачу для сопла Лаваля с большой продольной кривизной горла. Для получения решения с инженерной точностью (0.1%) требуется 3-4 итерации.

Разработаны ускоренные итерационно-маршевые алгоритмы высокого порядка точности для интегрирования уравнений эллиптико-гиперболических моделей вязких течений. В качестве таких моделей взяты эллиптико-гиперболическая модель гладкого канала для внутренних вязких течений и модель полного вязкого ударного слоя. Предложенные алгоритмы основаны на новом расщеплении продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую. В отличие от существующих расщеплений продольного градиента давления, в данном расщеплении вклад эллиптической составляющей минимизирован. Это позволило сократить число глобальных итераций по эллиптической составляющей градиента давления до одной - двух итераций для получения решения с инженерной точностью. Значительным преимуществом алгоритма, разработанного для решения уравнений полного вязкого ударного слоя, от существующих алгоритмов является отсутствие итераций по форме ударной волны. В предложенном алгоритме форма ударной волны находится совместно с другими искомыми газодинамическими переменными при маршевом интегрировании системы уравнений. Это обеспечивает устойчивое интегрирование уравнений, например, в случае обтекания сферы, до больших значений центрального угла, когда другие алгоритмы теряют свою работоспособность. В отличие от существующих маршевых алгоритмов с глобальными итерациями по эллиптической составляющей продольного градиента давления, разработанные алгоритмы для внутренних и внешних течений имеют высокую скорость сходимости и на подробных разностных сетках по маршевой координате.

С помощью предложенной модели гиперболического вязкого ударного слоя проведены расчеты ламинарного смешанного течения в ударном слое около затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком в широком диапазоне чисел Маха и Рей-нольдса. Рассчитано турбулизованное смешанное течение реагирующей смеси Н2/О2 в сопле Лаваля с большой продольной кривизной горла при различном соотношении топлива и окислителя. Для этого использована эллиптико-гиперболическая модель ГК. Проведенные расчеты подтвердили эффективность разработанных моделей и алгоритмов.

4. Практическая значимость. На основе разработанных моделей вязких течений можно проводить серийные расчеты, связанные с задачами оптимизации работы аппаратов химических производств, трубопроводов, камер сгорания, сопловых блоков двигателей и других технических устройств.

Высокая экономичность разработанных численных методов интегрирования уравнений моделей ГК и ПВУС позволяет на их основе проводить широкое численное моделирование вязких внутренних и внешних течений реагирующих газовых смесей с учетом детальной химической кинетики.

Решена актуальная задача, связанная с выбором оптимального соотношения горючего Н2 и окислителя О2, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла перспективного ракетного двигателя, работающего на данном топливе. Рассмотрена задача о возможном уменьшении сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.

5. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995), на ХШ-ой Международной школе по механике сплошных сред (Санкт-Петербург, 1996), на VII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1996), на Ш-ей Международной школе-семинаре по неравновесным процессам и их приложениям (Минск, 1996), на 1-ом Международном совещании по численному анализу и приложениям (Болгария, Руссе, 1996), на Международной конференции "DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects" (Нидерланды, Twente, 1997), на II-ой Международной школе-семинаре по современным проблемам горения и их приложениям (Минск, 1997), на Международном симпозиуме "Авиация 2000. Перспективы" (Жуковский, 1997), на VIII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1998), на 11-ой Международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск, 1998), на II-ом совещании Американского общества аэронавтики и астронавтики по теоретической механике жидкости (США, Альбукерк, 1998), на Х-ой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Переславль-Залесский, 1999), на Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), на Ш-ей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000), на VIII-OM Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на IV-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), на объединенном семинаре ИММ РАН.

6. Публикации. По теме диссертации опубликованы 36 статей и трудов конференций, приведенные в списке авторских работ.

7. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двенадцати глав, одиннадцать из которых посвящены изложению оригинальных результатов автора, и заключения; она содержит 275 страниц, включая 16 таблиц и 146 рисунков. Главы состоят из параграфов и пунктов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) Построены газодинамические модели гладкой стенки для внутренних и внешних бесструктурных течений вязкого газа, не уступающие по точности навье-стоксовой модели, но существенно более простые. Это ряд моделей гладкого канала и модель гиперболического вязкого ударного слоя. Вычислительным преимуществом этих моделей является эволюционный по продольной координате характер определяющих уравнений. Расчеты с использованием построенных моделей хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2) Разработана серия высокоэффективных маршевых алгоритмов для реализации указанных моделей, в том числе-, а) предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов системы уравнений, который обеспечивает маршевое прохождение трансзвуковых областей течения, б) разработан быстрый алгоритм определения критических параметров смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых. Для ускорения сходимости итерационно-маршевых алгоритмов при расчете вязких течений с сильным влиянием акустических возмущений вверх по потоку предложено оригинальное расщепление продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую.

Алгоритмы позволяют проводить расчеты с гарантированной математической точностью (от 4-х до 7-и верных знаков). Они апробированы на решениях прямой задачи сопла Лаваля и на расчетах смешанного течения в вязком ударном слое около затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком.

3) С помощью указанных моделей и алгоритмов решены актуальные задачи: а) о выборе оптимального соотношения горючего Нг и окислителя Ог, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла ракетного двигателя, работающего на данном топливе, б) о возможном уменьшении сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1. Изд. 5-е. М.: Наука.

2. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 600 с.

3. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей. М.:

4. Машиностроение, 1989. 463 с.

5. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамическиеи теплофизические свойства продуктов сгорания. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1971. 267 с.

6. Алихашкин Я.И., Фаворский А.П., Чушкин П.И. О расчете течения в плоскомсопле Лаваля IIЖВМ и МФ. 1963. Т.З. №6< С.1130-1134.

7. Алынина Е.А., Калиткин Н.Н., Соколова И.А. Квазиодномерная модель вязкоготечения реагирующих газов в каналах переменного сечения // Докл. IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, 2001. С. 13-21.

8. Андриатис А.В., Соколова И.А. Водород. Транспортные и термодинамическиесвойства // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. № 1. С.60-107.

9. Андриатис А.В., Соколова И.А. Кислород. Транспортные и термодинамическиесвойства // Математическое моделирование. 1994. Т. 6. № 10. С.88-128.

10. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Расчет внутреннего течения с отрывом методом глобальных итераций // Вестн. СпбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 2. С. 78-83.

11. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итерацийпо давлению для решения уравнений Навье-Стокса. // Вестн. СпбГУ. Сер.1. 1994. Вып.З (№15). С.70-74

12. Асланов Т.Д., Быркин А.П., Щенников В.В. Численный расчет внутренних течений вязкого газа с использованием уравнений Навье-Стокса // Уч. зап. ЦА-ГИ, 1981, т. 12, № 3, с.44-54

13. Астров В., Левин Л., Павлов Е., Христианович С.А. О расчете сопла Лаваля //

14. ПММ. 1943. Т. 7. №1. С.3-24

15. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итерацийпо давлению для решения уравнений Навье-Стокса. // Вестн. С.-Петербург, унта. Сер.1, 1994. Вып.З (№15) с.70-74.

16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 624 с.

17. Безменов В.Я., Быркин А.П., Горенбух П.И., Сабельников В.А., Тимофеева Т.А.,

18. Толстых А.И. Исследование течения газа в гиперзвуковых соплах при больших числах Рейнольдса на основе упрощенных уравнений Навье-Стокса // Уч. зап. ЦАГИ. 1989. Т.20. №4. С.53-61.

19. Башкин В.А., Дудин Г.Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Наука. Физматлит, 2000. 288 с.

20. Белоцерковский О.М. (ред.). Численное исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука, 1974. 397 с.

21. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.1. М.: Наука, 1984. 519 с.

22. Белоцерковский О.М., Булекбаев А., Голомазов М.М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М,: ВЦ АН СССР, 1967. 400с.

23. Белоцерковский О.М., Быркин А.П., Мазуров А.П., Толстых А.И. Разностныйметод повышенной точности для расчета течений вязкого газа // Ж. вьгчасл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. № 6. С.1480-1490.

24. Борисов А.В., Ковеня В.М. Применение неявной разностной схемы для расчетавнутренних течений вязкого газа. // Числ. методы мех. сплош. среды. 1976. Т.7. №4. С.36-47.

25. Бородин А.И. Численное решение пространственного многокомпонентного вязкого ударного слоя методом глобальных итераций // Теплофиз. высок, температур. 2001. Т.39. № 4. С.599-608.

26. Бородин А.И., Пейгин С.В. Пространственное обтекание затупленных тел врамках модели параболизованного вязкого ударного слоя // Мат. моделирование. 1993(a). Т. 5. № 1. С. 16-25.

27. Бородин А.И., Пейгин С.В. Модель параболизованного вязкого ударного слоядля исследования пространственного гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа// Теплофиз. высок, температур. 1993(6). Т. 31. № 6. С.925-933.

28. Бородин А.И., Пейгин С.В. Исследование пространственных течений вязкогогаза в рамках параболических моделей течения // Теплофиз. высок, температур. 1996. Т. 34. №3. С. 429-435.

29. Бородин А.И., Иванов В.А., Пейгин С.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя// Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1996(a). Т.36. №8. С.158-168.

30. Бородин А.И., Казаков В.Ю., Пейгин С.В. Моделирование многокомпонентныххимически неравновесных течений в рамках модели параболизованного пространственного вязкого ударного слоя // Мат. моделирование. 1996(6). Т. 8. № 10. С.3-14.

31. Браиловская И.Ю. Разностная схема для численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Доклады АН СССР. 1965. Т. 160. №5.

32. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986.544 с.

33. Брушлинский К.В., Горшенин К.П., Сыцько Ю.И. Математические модели стационарных МГД-течений в каналах плазменных ускорителей // Мат. моделирование. 1991. Т. 3. № 10. С.3-19.

34. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах // В сб.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С.88-163.

35. Бутенко В.А., Рылов Ю.П., Чиков В.П. Экспериментальное исследование характеристик малоразмерных сопл // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1976. №6. С. 137-140.

36. Быркин А.П. Об автомодельных течениях вязкого газа в канале при наличии теплообмена // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. № 5. С.48-52.

37. Быркин А.П., Толстых А.И. Компактные схемы третьего и четвертого порядковв задачах о внутренних течениях вязкого и невязкого газов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №8. С.1234-1251.

38. Ван-Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении сприменением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком // Исследование гиперзвуковых течений. М.: Мир, 1964. С.35-58.

39. Васильевский С.А., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Численный метод решенияуравнений вязкого ударного слоя. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27. №5. С.741-750.

40. Ветлутцкий В.Н., Мучная М.И. Расчет вязкого течения в гиперзвуковом сопле //

41. Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1977. №4. С.29-35.

42. Войнович П.А. Маршевый метод расчета течений вязкого газа в каналах // Ж.вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т.24. №6. С.944-947.

43. Войнович П.А., Головачев Ю.П., Фурсенко А.А. Маршевый метод расчета смешанных течений вязкого газа // В сб.: Числ. методы динам, вяз. жидкости. Новосибирск. 1983. С.90-95.

44. Войнович П.А., Фурсенко А.А. Расчет струйных и внутренних течений вязкогогаза. Препринт № 860. Л.: ФТИ АН СССР, 1983. 23 с.

45. Войнович П.А., Фурсенко А.А. Метод глобальных итераций для расчета смешанных течений вязкого газа // Дифференц. ур-ния. 1984. Т.20. №7. С.1151-1156.

46. Волков В.А., Гидаспов В.Ю., Козелько А.Н., Пирумов У.Г. Маршевый полисеточный алгоритм расчета сверхзвуковых стационарных течений газа на естественно адаптированных сетках // Мат. моделирование. 1996. Т.8. №6. с.121-127.

47. Ганьжа Д.Х., Тирский Г.А., Утюжников С.В., Фридлендер М.О. О влиянии эффектов второго приближения теории пограничного слоя при гиперзвуковом обтекании притуплённых конусов большого удлинения // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. № 4. С. 129-134.

48. Гершбейн Э.А., Пейгин С.В., Тирский Г.А. Сверхзвуковое обтекание тел прималых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.19. С.3-85.

49. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Численный метод решенияпараболизованных уравнений Навье-Стокса в задачах сверхзвукового обтекания тел //Докл. АН СССР. 1990. Т.315. № 6. С.1322-1325.

50. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Метод решения параболизованныхуравнений Навье-Стокса с использованием глобальных итераций // Мат. моделирование. 1990. Т. 2. № 8. С.31-41.

51. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударномслое. М.: Наука. Физматлит, 1996. 376 с.

52. Головачев Ю.П., Попов Ф.Д. Расчет сверхзвукового обтекания затупленных телвязким газом при больших числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 5. С.1292-1303.

53. Головачев Ю.П., Кузьмин A.M., Попов Ф.Д. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 4. С. 1021-1028.

54. Головачев Ю.П., Тимофеев Е.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом с помощью метода глобальных итераций. Физ.-техн. ин-т АН СССР. Препр. 1988. № 1254.

55. Головачев Ю.П., Фурсенко А.А. Маршевый метод расчета течений вязкого газа

56. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21, № 6. С.1592-1596.

57. Громов В.Г. Применение трехслойной разностной схемы для решения уравнений пограничного слоя // Изв. АН СССР. Сер. механ. и машиностр. 1963. № 5. С.124-133.

58. Громов В.Г., Сахаров В.И., Фатеева Е.И. Численное исследование гиперзвукового обтекания затупленных тел вязким химически реагирующим газом // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1999. № 5. С. 177-186.

59. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: в 4-х т., 3-е изд. М.: Наука, 19781982.

60. Гусев В.Н., Егоров И.В., Провоторов В.П. Моделирование неравновеснойтеплопередачи в окрестности плоскости симметрии трехмерного тела // Уч. зап. ЦАГИ. 1996. Т.27. №3/4. С.67-74.

61. Денисенко О.В. Метод расчета сверхзвуковых сопл при сильном влиянии вязкости // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13. №4. С.71-80.

62. Денисенко О.В., Провоторов В.П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. 1985. Вып. 2269. С.111-127.

63. Дэвис P.JL, Ни Р.-Х., Боули У.У. Расчёт сжимаемых ламинарных течений с помощью маршевых (по времени) одно- и двухшаговых схем и многосеточного метода // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 8. С.84-94.

64. Диксон-Льюис Г. Численное моделирование горения в потоке с учётом процессов переноса // В кн.: Химия горения. Под ред. У.Гардинера мл., Глава 2. М.: Мир, 1988.

65. Егоров И.В., Иванов Д.В. Применение полностью неявных монотонных схемдля моделирования плоских внутренних течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №12. С.91-107.

66. Егоров И.В., Иванов Д.В. Моделирование химически неравновесного течениягаза в канале переменного сечения // Мат. моделир. 1997. Т.9. № 11. С.85-100.

67. Егоров Ю.Э., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Границы применимости параболическихмоделей для численного исследования течений в соплах Лаваля. 1. Приближение узкого канала. Препринт Гос. ин-та прикладной химии. Л., 1991, №4. 65 с.

68. Жлуктов С.В., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Термодинамически неравновесный вязкий ударный слой около длинных притуплённых конусов // ПММ. 1994. Т.58. № 3. С.119-130.

69. Зайков Л.А., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Расчет стационарных турбулентных течений химически реагирующих газовых смесей в каналах при произвольных числах Маха// Теплофиз. высок, температур. 1994. Т. 32. № 6. С. 850-862.

70. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах Н Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. № 5. С.77-83.

71. Иванов М.Я., Крайко А.Н., Михайлов Н.В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений И Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. №2. С.441-463.

72. Идиятулина Ф.Л., Лаврухин Г.Н., Михайлов Б.Н. и др. Расчетные и экспериментальные исследования влияния радиуса кривизны контура в области критического сечения на характеристики сверхзвуковых сопл // Уч. зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11. №4. С. 159-164.

73. Казаков А.В., Коган М.Н., Курячий А.П. О влиянии локального нагрева поверхности на трение в турбулентном пограничном слое на пластине // Теплофиз. высок, температур. 1995. Т. 33. № 6. С.888-894.

74. Казаков А.В., Коган М.Н., Курячий А.П. Влияние на трение локального подводатепла в турбулентный пограничный слой // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1997. №1. С.48-56.

75. Казаков В.Ю., Пейгин С.В. Численное моделирование двумерных неравновесных сверхзвуковых течений в рамках модели вязкого ударного слоя // Теплофиз. высок, температур. 1998. Т.36. № 5. С.776-784.

76. Казаков В.Ю. Пространственные термохимически неравновесные течения вязкого газа около затупленных тел // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. №6. С. 169-179.

77. Казаков В.Ю., Пейгин С.В., Тимченко С.В. Оптимизация по интегральномутепловлму потоку траектории входа в атмосферу Земли затупленного тела // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 4. С. 112-123.

78. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

79. Калиткин Н.Н., Кузнецов Н.О., Панченко C.JI. Метод квазиравномерных сеток вбесконечной области // ДАН. 2000. Т. 374. № 5. С.598-601.

80. Каратаев С.Г., Котеров В.Н. Численный метод расчета сверхзвуковых теченийвязкого газа//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. №4. С.586-600.

81. Карякин В.Е., Попов Ф.Д. Расчет пространственного обтекания затупленных телсверхзвуковым потоком вязкого и теплопроводного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т.17. №6. С.1545-1555.

82. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.

83. Изд. 2-е. М.: Мир, 2001. 575 с.

84. Кибель И.А. /Ред. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. 1963. 728с.

85. Киреев В.И., Войновский А.С. Численное моделирование газодинамических течений. М.: Изд-во МАИ, 1991. 254 с.

86. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б. О трансзвуковом течении газа в осесимметричныхсоплах Лаваля // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1970. № 6. С.55-58.

87. Киселев А.С., Стернин Л.Е. Компактная разностная схема со скалярными прогонками для интегрирования уравнений газовой динамики. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39, №1. С.154-162.

88. Ковалев В.И., Лущик В.Г., Сизова В.И., Якубенко А.Е. Трехпараметрическаямодель турбулентности: численное исследование пограничного слоя в сопле с завесным охлаждением. // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. №1. С.48-57.

89. Ковалев В.Л., Крупное А.А. Многокомпонентный химически реагирующийтурбулентный вязкий ударный слой у каталитической поверхности // Изв. СССР. Механ. жидк. и газа. 1989. № 2. С.144-149.

90. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский Г.А. Решение уравнений вязкого ударногослоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления и форме ударной волны. //Докл. РАН. 1994(a). Т.338. №3. С.333-336.

91. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский Г.'А. Метод глобальных итерацийрешения задач сверхзвукового обтекания затупленных тел идеальным газом // ДАН. 1994(6). Т.339. №3. С.342-345.

92. Ковеня В.М., Черный С.Г. Решение упрощенных уравнений вязкого газа маршевым методом // Численные методы механики сплошной среды. 1979. Т. 10. № 1. С.71-87.

93. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.

94. Новосибирск: Наука, 1981. 301 с.

95. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления взадачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1990. 247 с.

96. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с.

97. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: Изд-во МГУ, 1980. 247 с.

98. Копченов В.И., Ласкин И.Н. Об одной конечно-разностной схеме для численного решения параболизованных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №2. С. 126-137,

99. Коул Дж., Кук JI. Трансзвуковая аэродинамика. М.: Мир, 1989. 360 с.

100. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х т./ Подред. И.А.Кибеля. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2. 728 с.

101. Кузнецова Л. В., Павлов Б.М. Применение уравнений Навье-Стокса к исследованию течения вязкого газа в сопле Лаваля // Вычисл. методы и программир. М.: Изд-во МГУ. 1979. № 30. С. 120-130.

102. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросычисленного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.608 с.

103. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.:1. Наука, 1986. 736 с.

104. Лапин Ю.В., Нехамкина О.А., Поспелов В.А,, Стрелец М.Х., Шур М.Л. Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовя смесей // Итоги науки и техн. Сер. Механ. жидкости и газа. Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1985, С.86-185.

105. Лапин Ю.В., Поспелов В.А. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине // Теплофиз. высок, температур. 1995. Т. 33. № 3. С.422-429.

106. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука. 1989.368 с.

107. ЮЗ.Ларькин Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газодинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1991. 145с.

108. Ласкин И.Н. Использование метода глобальных итераций для расчета сверх- и гиперзвуковых течений с эффектами вязко-невязкого взаимодействия в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса // Аэромеханика и газовая динамика. 2001. № 1. С.48:52.

109. Левин В.Я., Нигодюк В.Е., Пирумов У.Г., Фирсов О.И., Шустов С.А. Исследование течений в соплах Лаваля при низких числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1980. №3. С.90-97.

110. Лапин Ю.В., Нехамкина О.А., Поспелов В.А. и др. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.19. С.86-185.

111. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

112. Ларькин Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газодинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 145 с.

113. Липчинский Е.А., Утюжников С.В., Тирский Г.А. Эффекты второго приближения теории пограничного слоя при пространственном обтекании тел большого удлинения под малыми углами атаки // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1995. № 2. С.57-64.

114. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. Наука: 1978. 736 с.

115. ПЗ.Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Сравнительный анализ моделей турбулентности для расчета пристенного пограничного слоя // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1998. № 1. С.44-58.

116. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около затупленных тел. В 2-х т. М.: Наука, 1970.

117. Мазуров А.П. Численный расчет течения вязкого газа в плоском сопле ГПВРД // Уч. зап. ЦАГИ. 1993. Т.24. №3. С.63-75.

118. Мальков В.М., Соловьёв А.В. Об одном методе численного интегрирования параболизованных уравнений Навье-Стокса, использованных для расчёта течений в соплах ГДЛ // Сб.: Газодинамика проточной части ГДЛ. Новосибирск: Изд-во ИТПМ, 1987, С.3-19.

119. Манина М.П., Поспелов В.А., Ходжиев С. Решение прямой задачи сопла Лаваля в приближении "узкого канала" методом установления // В сб.: Гидроаэродинамика. Л., 1983, с.26-30.

120. Маркачев Ю.Е. Итерационные алгоритмы расчета стационарного течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении "узкого канала" // Труды ЦАГИ. 1979. Вып. 2024. С.3-16.

121. Марков А.А. Численное моделирование трехмерных вязких потоков маршевым методом с глобальными итерациями давления // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. №5. С.132-147.

122. Медведев А.Е., Фомин В.М. Анализ движения вязкого реагирующего газа в узком канале // Теплофизика и аэромеханика. 1995. Т.2. №4. С.323-332.

123. Мелешко С.В., Черный С.Г. Исследование вязких сжимаемых течений на основе параболизованных уравнений Навье-Стокса. Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР. Препр. 1985. № 32. 47 с.

124. Михайлов В.В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. №1. С.69-72.

125. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле // В сб.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С.3-87.

126. Мучная М.И. Использование упрощенных уравнений Навье-Стокса для расчета для расчета вязкого течения в гиперзвуковом сопле. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. Препр. 1981. № 17. 22 с.

127. Мучная М.И. Расчет течения в профилированных гиперзвуковых соплах с помощью упрощенных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды. 1982. Т. 13. №5. С.145-148.

128. Мучная М.И. Исследование течений в гиперзвуковых соплах в рамках упрощенных уравнений Навье-Стокса // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. №6. С.20-26.

129. Мучная М.И. Численное исследование течения газа в гиперзвуковых соплах при высоких числах Рейнольдса // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1999. №1. С.161-164.

130. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

131. Паламарчук И.И., Тирский Г.А., Утюжников С.В., Фридлендер М.О. Исследование турбулентного гиперзвукового обтекания длинных затупленных конусов // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1993. №6. С.123-128.

132. Пейгин С.В., Тирский Г.А. Трехмерные задачи сверх- и гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа // Итого науки и техники. ВИНИТИ. Сер. механ. жидкости и газа. 1988. Т. 22. С.62-177.

133. Пейгин С.В. Неравновесные течения воздуха в пространственном параболизо-ванном вязком ударном слое с учетом колебательной релаксации // Мат. моделирование. 2000. Т. 12. № 10. С.61-76.

134. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. // Сб. "Численные методы решения диффер. и интегр. ур-ний и квадратурные формулы". М.: Изд-во АН СССР. 1964. С.304-325.

135. Петухов И.В. Об одной схеме разностной аппроксимации для численного решения уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т.6. №6. С.1019-1028.

136. Пирумов У.Г. Расчет течения в сопле-Лаваля // Изв. АН СССР. 1967. № 5. С. 1022.

137. Пирумов У.Г. Исследование течения в до- и трансзвуковой областях сопла Лаваля // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1970. № 1. С.53-63.

138. Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. М.: Машиностроение, 1988. 238 с.

139. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. М.: МГУ. 1978. 351 с.

140. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.

141. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 с.

142. НО.Подсыпанина Н.А., Шифрин Э.Г., Шулаков М.А. О возможности безотрывноготечения в сопле с сильно изогнутыми стенками // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1980. №5.

143. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод интегрирования систем уравнений Навье-Стокса для газа// Вестн.С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1. № 1.С.87-92.

144. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

145. Рыжов О.С. О газовых течениях в соплах Лаваля. // ПММ. 1958. т. 22. № 3.

146. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.: ВЦ АН СССР, 1965. 238 с.

147. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 222 с.

148. Савельев А.Д. Неявный метод расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 3. С.520-531.

149. Савельев А.Д., Толстых А.И. Алгоритмы расчета течений вязкого газа, основанные на компактных аппроксимациях третьего порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 11. С. 1709-1724.

150. Седов Л.И., Михайлова М.П., Черный Г.Г. О влиянии вязкости и теплопроводности на течение газа за сильно искривленной ударной волной // Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1953. № 3. С.95-100.

151. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2-е изд., 1973.

152. Сковородко П.А., Яковенко В.А. Численное исследование течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении узкого канала. // Изв. СО РАН. Сибирский физико-технический журнал. 1992. №1. С.17-23.

153. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа // Сиб. журн. вычислит, математики. СО РАН. Новосибирск. 1998. № 2. С.171-181.

154. Степанов Г.Ю., Гогиш Л.В. Квазиодномерная газодинамика сопел ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1973. 168 с.

155. Стрелец М.Х., Шур М.Л. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 2. С.254-266.

156. Сыч В.М. Расчет искривленной пристеночной турбулентной струи // Уч. зап. ЦАГИ. Т.16. 1985. №3. С.58-68.

157. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука, 1987. 256 с.

158. Тирский Г.А. К теории гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричных затупленных тел вязким потоком газа при наличии вдува // Труды Института механики МГУ. 1975. № 39. С.5-38.

159. Тирский Г.А. Континуальные модели в задачах гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом // ПММ. 1997. Т.61. № 6. С.903-930.

160. Тирский Г.А., Жлуктов С.В. Влияние колебательно-диссоциационного взаимодействия на теплопередачу и сопротивление при гиперзвуковом обтекании тел // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1990. № 3. С.141-151.

161. Тирский Г.А., Утюжников С.В. Сравнение моделей тонкого и полного вязкого ударного слоя в задаче сверхзвукового обтекания притуплённых конусов вязким газом // ПММ. 1989. Т.53. № 6. С.963-969.

162. Тирский Г.А., Утюжников С.В. Современные газодинамические модели внешних и внутренних задач сверх- и гиперзвуковой аэродинамики // Моделирование в механике. 1993. Т.7. №2. С.5-28.

163. Тирский Г.А., Щелин B.C., Щербак В.Г. Влияние неопределенности химической кинетики на конвективный теплообмен // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1990. №6. С.146-151.

164. Толстых А.И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. 1966. Т.6. №1. С.113-120.

165. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. 230 с.

166. Утюжников С.В., Ямалеев Н.К. Пространственное сверхзвуковое турбулентное обтекание тел под малыми углами атаки // Теплофиз. высок, температур. 1996. Т. 34. №4. С.567-572.

167. Фалькович С.В. К теории сопла Лаваля // ПММ. 1946. Т.10. № 4.

168. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

169. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. №5. С.387-422.

170. Хиршель Э., Кордулла В. Сдвиговое течение сжимаемой жидкости. Численный расчет пограничного слоя. М.: Мир, 1987.248 с.

171. Христианович С.А. Приближенное интегрирование уравнений сверхзвукового течения газа//ПММ. 1947. Т.П. №2. С.215-222.

172. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981. 484 с.

173. Чекмарев С.Ф., Сковородко П.А. Маршевый метод расчета двумерных сверхзвуковых течений вязкого газа в естественных координатах. Препринт Ин-та теплофизики СО АН СССР. Новосибирск, 1981. 28 с.

174. Черный С.Г. О выборе системы координат для численного решения упрощенных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды (Новосибирск). 1982. Т. 13. № 1. С.132-146.

175. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959.

176. Некоторые применения метода сеток в газовой динамике". М.: Изд-во МГУ. 1971. Вып. 1. С.196-210.

177. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М. Наука. 1977. 224с.

178. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М.: Наука, 1986.367 с.

179. Шифрин Э.Г. О единственности "в целом" решения прямой задачи сопла Лаваля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т.18. № 2. С.509-512.

180. Шифрин Э.Г. Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 320 с.

181. Щербак В.Г. Сравнение различных газодинамических приближений при численном моделировании гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Теплофизика высоких температур. 1990. Т. 28. № 6. С. 1164-1170.

182. Alshina Е.А., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective method for computing two-dimension burning flows. // Proc. of 5th International Conference on Technologies and Combustion for a Clean Environment. Lisbon-Portugal, 12-15 July, 1999. V.2. P.903-909.

183. Alshina E.A., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective Method and Model for Simulating Burning Flows // CD-ROM 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10-14,2000.

184. Alshina E.A., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective Method for Estimating Pollutants Concentrations in Burning Flows // First SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our Changing World", Berlin, 2001, P.79.

185. Anderson D.A., Tannehill J.C. and Pletcher R.H. Computational Fluids Mechanics and Heat Transfer. New York: Hemisphere, 1984. Имеется перевод: Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: в 2-хт. М.: Мир, 1990.

186. Anderson O.L. Calculation of internal viscous flows in axisymmetric ducts at moderate to high Reynolds numbers // Computers and Fluids. 1980. V.8. P.391-441.

187. Anderson O.L., Davis R.T., Hankins G.B., Edwards D.E. Solution of viscous internal flow on curvilinear- grid generated by the Schwarz-Christoffer transformation // Numerical Grid Generation. Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company, 1982.

188. Back L.H., Massier P.F., Gier H.L. Comparison of measured and predicted flows through conical supersonic nozzles, with emphasis on the transonic region // AIAA J. 1965. V. 3. № 9. P.1606-1614.

189. Barnett M., Davis R.T. Calculation of supersonic flows with strong viscous-inviscid interaction // AIAA Journal. 1986. V.24. № 12. P. 1949-1955.

190. Baulch D.L., Cobos C.J., Cox R.A. et al. Evaluated kinetic data for combustion modeling // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1992. V. 21. № 3. P.411-733.

191. Bentson J., Vradis G. A two-stage pressure correction technique for the incompressible Navier-Stokes equations // AIAA Paper. 1987. № 87-0545.

192. Bhutta B.A., Lewis C.H. Recent improvements in the nonequilibrium VSL scheme for hypersonic blunt-body flows // AIAA Paper. 1991. № 91-0469.

193. Blottner F.G. Numerical solution of slender channel laminar flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1977. V.l 1. P.319-339.

194. Boynton F.P., Thomson A. Numerical computation of steady, supersonic, two-dimensional gas flow in natural coordinates //.J. Сотр. Phys. 1969. V.3. № 3. P.379-398.

195. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts // J. Сотр. Phys. 1974. V.14. №1. P.8-28.

196. Briley W.R., McDonald H. Three-dimensional viscous flows with large secondary velocity // Journal of Fluid Mechanics. 1984. V.144. P.47-77.

197. Cebeci Т., Smith A.M.O. Analysis of Turbulent Boundary Layer. New York: Academic, 1974. 404 p.

198. Cebeci Т., Bradshaw P. Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer. New York: Springer-Verlag, 1984.

199. Cheng H.K. The blunt-body problem in hypersonic flow at low Reynolds number // IAS Paper. 1963. № 63-92. 100р.

200. Chien J.Y. Prediction of channel boundary-layer flows with a low-Reynolds-number turbulence model // AIAA Journal. 1982. V.20. № 1. P.33-38.

201. Chilukuri R., Pletcher R.H. Numerical solutions to the partially parabolized Navier-Stokes equations for developing flow in a channel // Numerical Heat Transfer. 1980. V.3. № 2. P. 169-188.

202. Choi D.H., Kang D.J. Calculation of separation bubbles using a partially parabolized Navier-Stokes procedure // AIAA Journal. 1991. V.29. № 8. P. 1266-1272.

203. Choi Y.H., Merkle C.L. The application of preconditioning in viscous flows // J. Comput. Phys. 1993. V.105. № 2. P,207-223.

204. Cline M.C. Computation of two-dimensional , viscous nozzle flow. AIAA Journal. 1976. V.14. N3. P.295-296./ Пер. Клайн M.C. Расчет двумерных вязких течений в соплах // Ракета, техн. и космонавтика. 1976. Т.14. №3 С.9-11.

205. Coirier W.J. Efficient real gas upwinded Navier-Stokes computations of high speed flows // AIAA Journal. 1991. V. 29. No. 8. P. 1223-1231.

206. Cuffel R.F., Back L.H., Massier P.F. Transonic flowfield in a supersonic nozzle with small throat radius of curvature // AIAA J. 1969. V. 7. № 7. P. 1364-1666.

207. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock layer equations // AIAA Journal. 1970. V.8. No.5. P.843-851.

208. Davis R.T., Barnett M., Rakich J.V. The calculation of supersonic viscous flows using the parabolized Navier-Stokes equations // Computers and Fluids. 1986. V.14. № 3. P. 197-224.

209. Davis R.L., Carter J.E. Analysis of airfoil transitional separation bubbles // AIAA Paper. 1984. №84-1613.

210. Davis R.T., Flugge-Lotz I. Second-order boundary layer effects in hypersonic flow past axisymmetric blunt bodies // J. Fluid Mech. 1964. V.20. Pt.4. P.593-623.

211. Davis R.T., Rubin S.G. Non-Navier Stokes viscous flow computations // Computers and Fluids. 1980. V.8. №1. P.101-131.

212. Davis R.T., Werle M.J., Wornom S.F. A consistent formulation of compressible boundary-layer theory with second-order curvature and displacement effects // AIAA Journal. 1970. V.8. № 9. P.1701-1703.

213. Degani D., Steger J.L. Comparison between Navier-Stokes and thin-layer computations for separated supersonic flow // AIAA Journal. 1983. V.21. № 11. P.1604-1606.

214. Dutton J.C., Addy A.L. Transonic flow in the throat region of axisymmetric nozzles// AIAA Journal. 1981. V.19. № 6. P.801-804.

215. Ebrahimi H.B., Gilbertson M. Two and three dimensional parabolized Navier-Stokes code for scramjet combustor, nozzle, and film cooling analysis // AIAA Paper. 1992. №92-0391. 10 pp.

216. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 356 p.

217. Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics, Vols. 1 and 2, Springer-Verlag, Berlin, 1988. Имеется перевод: Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2-х т. М.: Мир, 1991.

218. Gao Zhi. Simplified Navier-Stokes Equations (SNSE) // Scienta Sinica. Ser. A. 1988. V.31. №3. P.322-339.

219. Ghia K.N., Sokhey J.S. Laminar incompressible viscous flow in curved ducts of rectangular cross sections. // Journal of Fluids Engineering. 1977.V.99. P.640-648.

220. Gordon R., Davis R.T. Improved method for solving the viscous shock layer equations // AIAA Journal. 1992. V.30. № 7. P. 1770-1779.

221. Gupta R.N., Lee K.P., Zoby E.V., Moss J.N., Thompson R.A. Hypersonic viscous shock-layer solutions over long slender bodies Part I: High Reynolds number flows // J. Spacecraft Rockets. 1990. V. 27. № 2. P. 175-184.

222. Gupta R.N., Lee K.P., Zoby E.V. Enhancements to Viscous-Shock-Layer Technique // AIAA Paper. 1992. № 92-2897.

223. Hamala P., Khosla P., Morgan P., Rubin S. Streamline based grid adaption for Euler and Navier-Stokes: direct and inverse design applications // Computers and Fluids. 1997. V.26. №4. P.339-357.

224. Helliwell W.S., Dickinson R.P., Lubard S.C. Viscous flow over arbitrary geometries at high angle of attack // AIAA Journal. 1981. V. 19. № 2. P. 191-197.

225. Hickman R.S., Giedt W.H. Heat transfer to a hemisphere-cylinder at low Reynolds numbers // AIAA Journal. 1963. V.l. № 3. P.665-672.

226. Himansu A., Rubin S.G. Multigrid acceleration of a relaxation procedure for the reduced Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1988. V. 26. № 9. P.1044-1051.

227. Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. Vols. 1-2. New York: Wiley & Sons, 1988.

228. Karki K.C., Patankar S.V. Pressure based calculation procedure for viscous flows at all speeds in arbitrary configurations // AIAA Journal. 1989. V.27. № 9. P. 11671174.

229. Kaushik S., Rubin S.G. Incompressible Navier-Stokes solutions with a new primitive variable solver // Computers and Fluids. 1995,- V. 24. № 1. P.27-40.

230. Kaushik S., Rubin S.G. Pressure based flux-split solutions for incompressible and compressible internal flows // Computers and Fluids. 1998. V.27. № 1. P.71-94.

231. Khosla P.K., Lai H.T. Global relaxation procedure for compressible solutions of the steady-state Euler equations // Computers and Fluids. 1987. V.l5. № 2. P.215-229.

232. Kim M.D., Thareja R.R., Lewis C.H. Three-dimensional viscous flow-field computations in a streamline coordinate system // J. Spacecraft and Rockets. 1982. V. 19. № 1. P.41-46.

233. Kobayashi M.H., Pereira I.C.F. Characteristic-base pressure correction at all speeds. // AIAA Journal. 1996. V.34. №2. P.272-280.'

234. Kreskovsky J.P., Shamroth S.J. An implicit marching method for the two-dimensional reduced Navier-Stokes equations at arbitrary Mach number // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1978. V.13. № 3. P.307-334.

235. Lawrence S.L., Tannehill J.C., Chaussee D.S. Upwind algorithm for the parabolized Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1989. V. 27. № 9. P.l 175-1183.

236. Lin T.C., Rubin S.G. A two layer model for three-dimensional viscous and inviscid flow calculations // AIAA Paper. 1975. № 75-853.

237. Liu X., Pletcher R.H. A coupled marching procedure for the partially parabolized Navier-Stokes equations // Numerical Heat Transfer. 1986. V.10. P.539-556.

238. Marinov N.M., Westbrook C.K., Pitz W.J. Detailed and global chemical kinetics model for hydrogen// in: Transport Phenomena in Combustion (S.H. Chan, Ed.). Washington D.C.: Taylor & Francis, 1995, vol.2, pp.118-129.

239. Mason E.A., Saxena S.C. Approximate formula for the conductivity of gas mixtures // Phys. Fluids. 1958. V. 1. № 5. P.361-369.

240. Miles R., Brown G., Lempert W. et al. Radiative driven hypersonic wind tunnel // AIAA Paper. 1994. № 94-2472. 16 p.

241. Miller J.H., Tannehill J.C., Lawrence S.L. Parabolized Navier-Stokes algorithm for supersonic flows with upstream influences // AIAA Journal. 2000. V.38. № 10. P.1837-1845.

242. Miller J.H., Tannehill J.C., Lawrence S.L., Edwards T.A. Parabolized Navier-Stokes code for hypersonic flows in thermo-chemical equilibrium or nonequilibrium // Computers and Fluids. 1998. V.27. №2. P. 199-215.

243. Mitra N.K., Fiebig M. Determination of stagnation chamber temperature in high-enthalpy nozzle flows // AIAA Journal. 1976. V.14. № 3. P.406-408.

244. Napolitano M. High Re separated flow solutions using the Navier-Stokes and approximate equations // AIAA Journal. 1987. V.25. №2. P.260-265.

245. Napolitano M., Cinnella P. A numerical study of planar and axially-symmetric sudden expansion flows // Computers and Fluids. 1989. V.17. № 1. P. 185-193.

246. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass, and momentum transfer in three-dimensional parabolic flow // Intern. Journal of Heat and Mass Transfer. 1972. V.15. № 10. P.1787-1806.

247. Prabhu D.K., Tannehill J.C., Marvin J.G. A new PNS code for three-dimensional chemically reacting flows // AIAA Paper. 1987. 87-1472. 19 p.

248. Rae W.J. Some numerical results on viscous low-density nozzle flows in the slender-channel approximation//AIAA Journal. 1971. V.9. №5. P.811-820.

249. Ramakrishnan S.V., Rubin S.G. Time-consistent pressure relaxation procedure for compressible reduced Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1987. V.25. № 7. P.905-913.

250. Roberts D.W., Forester C.K. Parabolic procedure for flows in ducts with arbitrary cross sections //AIAA Journal. 1979. V.17. №1. P.33-40.

251. Rosenbaum D., Rubin S.G. Global pressure relaxation for laminar two-dimensional internal flow // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1990. V. 10. № 7. P.827-848.

252. Rubin S.G. RNS/Euler pressure relaxation and flux vector splitting // Computers and Fluids. 1988. V. 16. № 4. P.485-490.

253. Rubin S.G., Himansu A. Convergence properties of high Reynolds number separated flow calculations // International Journal of Numerical Methods in Fluids. 1989. V. 9. № 11. P.1395-1411.

254. Rubin S.G., Reddy D.R. Analysis of global pressure relaxation for flows with strong interaction and separation // Computers and Fluids. 1983. V.l 1. № 4. P.281-306.

255. Rubin S.G., Tannehill J.C. Parabolized/reduced Navier-Stokes computational tech-niquies. // Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. V. 24. P. 117-144.

256. Sesterhenn J., Muller В., Thomann H. Flux-vector splitting for compressible low Mach number flow // Computers and Fluids. 1993. V.22. № 4/5. P.441-451.

257. Shuen J.S., Chen K.H., Choi Y. A time-accurate algorithm for chemical non-equilibrium viscous flows at all speeds // AIAA Paper. 1992. № 92-3639. 14 p.

258. Srinivasan K., Rubin S.G. Segmented multigrid domain decomposition procedure for incompressible viscous flow/ International Journal of Numerical Methods in Fluids. 1992. V.15. P.1333-1335.

259. Tannehill J.C., Anderson D.A., Pletcher R.H. Computational Fluids Mechanics and Heat Transfer, 2nd ed., Washington DC: Taylor&Francis, Hemisphere, 1997.

260. TenPas P.W., Hancock P.D. Numerical simulation of laminar flow and heat transfer in channels with symmetric and asymmetric sudden expansions. // In: ASME Topics in Heat Transfer. 1992. Vol. 1, HTD-vol. 206-1. ASME, New York.

261. TenPas P.W., Pletcher R.H. Solution of the Navier-Stokes equations for subsonic flows using a coupled space-marching method // AIAA Paper. 1987. № 87-1173.

262. TenPas P.W., Pletcher R.H. Coupled space-marching method for the Navier-Stokes equations for subsonic flows. //AIAA Journal. 1991. V.29. №2. P.219-226.

263. Tirskii G.A., Utyuzhnikov S.V., Yamaleev N.K. Efficient numerical method for simulation of supersonic viscous flow past a blunted body at a small angle of attack // Computers and Fluids. 1994. V.23. №.1. P.103-114.

264. Veldman A.E.P. Matched asymptotic expansions and the numerical treatment of vis-cous-inviscid interaction // Journal of Engineering Mathematics. 2001. V.39. P. 189206.

265. Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.C. Calculation of supersonic viscous flow over delta wings with sharp subsonic leading edges // AIAA Paper. 1978. № 781137.

266. Vradis G., Zalak V., Bentson J. Simultaneous variable solutions of the incompressible steady Navier-Stokes equations in general curvilinear coordinate systems // J. Fluids Eng. 1992. V.l 14, P.299-305.

267. Williams J.C. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels // AIAA Journal. 1963. V.l. №1. P. 186-195.

268. Wilke C.R. A viscosity equation for gas mixtures // J. Chem. Phys. 1950(a). V. 18. №4. P.517-522.

269. Wilke C.R. Diffusional properties of multicomponent gases // Chem. Eng. Progr. 1950(b). V.46. № 2. P.95-104.

270. Yamaleev N.K., Ballmann J. Iterative space-marching method for compressible sub-, trans-, and supersonic flows // AIAA Journal. 2000. V.38. № 2. P.225-233.список1. АВТОРСКИХ РАБОТ

271. А1. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения химически реагирующих смесей газов в гладких искривленных каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1994. Т.6. №-12. С.38-56.

272. А2. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения вязких течений в гладких каналах переменного сечения // Доклады Академии Наук. 1995. т.345. №5. С.615-618.

273. A3. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения для течений вязких газов в изогнутых плоских каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1995. Т.7. №11. С.39-54.

274. А4. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в гладких каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1996. Т.8. №7. С.3-10.

275. А5. Rogov B.V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation of Viscous Flows through Laval Nozzle // VII International Conference on Methods of Aerophysical Research. (ICMAR 96). Sept. 3-7, 1996, Novosibirsk, Proceedings. Part 1. 1996. P.180-185.

276. A8. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в химическом проточном реакторе // В сб.: Труды XIII международной школы по механике сплошных сред. С.-Петербург: Санкт-Петерб. Университет, 1996, С. 121-127.

277. А9. Rogov B.V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation for Turbulent Flow Through Nozzles. // DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects.: University Twente. Faculteit der toegepaste wiskunde. 1997. Memorandum No. 1394. P.72-77.

278. A10. Rogov B.V., Sokolova I.A. Computation Model For Burning Turbulized Flow Through Curved Wall Channel // Modern Problems of Combustion and Its Applications. Proc. of the II International school-seminar. Minsk. Belarusia, Sept. 4-7. 1997. P.163-168.

279. All. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Высокоточный метод расчета вязких течений в сопле Лаваля // Математическое моделирование. 1997. Т.9. №7. С.81-92.

280. А12. Рогов Б.В., Соколова И.А. Об асимптотической точности приближения гладкого канала при описании вязких течений // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 2. С. 190-194.

281. А13. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Турбулизованные течения химически реагирующих газов в сопле Лаваля // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 3. С. 339-342.

282. А14. Rogov В.V., Sokolova I.A. Numerical Model for Turbulent Burning Gas Flows Through Nozzles/ in Aviation-2000. Prospects. International Symposium Proceedings, Zhukovsky, Russia, August 19-24,1997. p.771-779.

283. A15. Rogov B.V., Sokolova I.A. Efficient simplified model for internal viscous flows // AIAA Paper. 1998. № 98-2493. 9 pp.

284. А16. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Метод решения прямой задачи сопла Лаваля для турбулизованных течений химически реагирующих газов // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 1. С. 51-62.

285. А17. Rogov В.V., Sokolova I.A. Turbulent chemical reacting gases flows through curved smooth wall channels // In: Proc. ICMAR 98. Novosibirsk. Russia. June 29 July 3. 1998. Part l.P. 179-184.

286. A18. Rogov B.V., Sokolova I.A. Fast numerical method for calculating flows through a Laval nozzle // In: Proc. 2nd Int. Conf. Finite Difference Methods (CFDM 98), Minsk, Belarus, July 5 - 9, 1998. Vol. 3. P. 47-52.

287. A19. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Двухстадийный маршевый расчет вязких течений через сопло Лаваля // Мат. моделирование. 1999. T.l 1. № 7. С. 95-117.

288. А22. Rogov B.V., Sokolova I.A. Turbulent Combustion Flow Through Cross Section Channel // Proceedings of 5-th ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference March 15-19, 1999. Can Diego, California. 1999, AJTE 99-6132, 9p.

289. A23. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Решение прямой задачи сопла итерациями по направлениям линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т. 370. № 1. С. 46-49.

290. А24. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод расчета вязких течений со значительным искривлением линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т.374. №2. С. 190-193.

291. А25. Rogov B.V., Sokolova I.A. Numerical model for subsonic and supersonic viscous flow with strong curvature of streamlines // In: Proc. ICMAR 2000. Novosibirsk, Russia, 916 July, 2000. Part 3. P. 112-117.

292. A26. Рогов Б.В., Соколова И.А. Упрощенные уравнения Навье-Стокса для внутренних смешанных течений и численный метод их решения // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С. 61-70.

293. А27. Рогов Б.В., Соколова И.А. Маршевый расчет ударной волны при невязком сверхзвуковом обтекании затупленных тел // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №5. С. 110-118.

294. А28. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическая модель вязких смешанных течений // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 378. № 5. С. 628-632.

295. А29. Mokhov A.V., Nefedov А.Р., Rogov B.V., Levinsky H.B., Sinel'shchikov V.A., Usa-chev A.D., Zobnin A.V. CO Behaviour in Laminar Boundary Layer of Combustion Product Flow // Combustion and Flame. 1999. V. 119. №1/2. P.161-173.

296. A30. Алыпина E.A., Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. О точности квазиодномерной модели гладкого канала // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 10. С. 120-124.

297. A31. Рогов Б.В. Метод минимальной длины для течений с трансзвуковой бифуркацией //Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381. № 1. С. 23-26.

298. А32. Рогов Б.В., Соколова И.А. Обзор моделей вязких внутренних течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1. С. 41-72.

299. АЗЗ. Рогов Б.В. Метод минимальной длины для нахождения критических параметров смешанных течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1. С. 87-96.

300. А34. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса для вязких смешанных течений // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3. С.30-49.

301. А35. Benilov M.S., Pozdeev Р.А., Rogov B.V., SinePshchikov V.A. Nonequilibrium boundary layer of potassium-seeded combustion products // Combustion and Flame. 1994. Vol. 98. № 4. P.313-325.