автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный метод расчета течений сжимаемого вязкого газа в широком диапазоне чисел Маха

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

На правах рукописи

Чирков Денис Владимирович

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ВЯЗКОГО ГАЗА В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ МАХА

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Сергей Григорьевич Черный

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Анатолий Фёдорович Воеводин

доктор технических наук

профессор Александр Дмитриевич Рычков

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва.

Защита состоится 17 июня 2004 года в 1 500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4, ауд. 417.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^ у'У^.

доктор физико-математических наук л *м * В. Н. Белых

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена численному решению системы трехмерных стационарных уравнений Навье — Сток-са сжимаемого газа. Несмотря на достигнутый за последние двадцать лет прогресс в этой области, сохраняется потребность в экономичном и универсальном численном методе, позволяющем рассчитывать течения в реальных аэрогидродинамических установках в широком диапазоне характерных параметров течения, таких как, например, число Маха потока. Такой метод, в частности, позволит изучать особенности, связанные с наличием в потоке как существенно дозвуковых зон, где сжимаемостью среды можно пренебречь, так и зон, где сжимаемость среды оказывает сильное влияние на характер течения, и поэтому необходимо использовать уравнения Навье — Стокса сжимаемого газа. Известно, что эффективность применения разностных схем при М-+ 0 падает, что выражается в ухудшении сходимости процесса установления при нахождении стационарного решения и точности получаемых решений.

Одним из наиболее перспективных способов устранения этого недостатка является в настоящее время применение предобуславливания, суть которого заключается в модификации членов с производными по времени в исходных уравнениях таким образом, чтобы собственные значения полученной системы оставались одного порядка при М<1. При этом стационарные решения исходной и модифицированной системы уравнений совпадают. Несмотря на большое число работ, посвященных изучению метода предобуславливания, до сих пор недостаточно обосновано влияние предобуславливания на точность разностных схем. Отсутствие строгого теоретического анализа поведения разностных схем в пределе при М—>0 затрудняет понимание и дальнейшее развитие метода предобуславливания.

Цель работы. Разработка численного метода расчета стационарных пространственных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа, обладающего достаточно высокой точностью разрешения основных особенностей течений, и применимого как при сверхзвуковых, так и при существенно дозвуковых скоростях потока. Аналитическое и численное исследование сходимости и точности разностных схем в пределе при М-Ю.

Научная новизна. Разработан и реализован экономичный численный метод решения стационарных трехмерных уравнений Навье — Сток-

са сжимаемого газа. Метод позволяет рассчитывать течения вязкого теплопроводного газа в диапазоне чисел Маха от 10_3 до 10. Для нахождения стационарного решения используется метод установления. Разностная схема имеет второй порядок аппроксимации на гладких решениях и реализуется в два дробных шага бегущим счетом. Для сохранения точности и сходимости схемы при М <ЗС 1 используется метод предобу-славливания Туркела.

Впервые доказано, что погрешность аппроксимации уравнений Эйлера противопотоковыми схемами, основанными на расщеплении матрицы Якоби потока по знакам ее собственных значений, при М 0 обратно пропорциональна числу Маха. В то же время погрешность аппроксимации для схем, основанных на модифицированном расщеплении матрицы Якоби, при всех М < 1 имеет тот же порядок по числу Маха, что и дифференциальные потоки.

Проведен спектральный анализ устойчивости и скорости сходимости построенного метода для уравнений Эйлера и Навье — Стокса в случае 1-го порядка аппроксимации.

Рассчитано течение воды в межлопастном канале рабочего колеса гидротурбины. Проведено сравнение с результатами расчетов этой задачи методом искусственной сжимаемости для уравнений Эйлера несжимаемой жидкости и экспериментальными данными.

Практическая ценность работы. В диссертационной работе развиты методы исследования свойств разностных схем при малых числах Маха. Получены фундаментальные результаты о точности и сходимости противопотоковых схем в пределе при М 0. Рассмотрен предложенный Е. Туркелом метод предобуславливания как один из способов устранения недостатков разностных схем при расчете течений с Результаты проведенного в работе анализа погрешности аппроксимации и скорости сходимости дают существенный вклад в теоретическое обоснование метода предобуславливания и представляют несомненный интерес при разработке новых и совершенствовании имеющихся численных алгоритмов расчета сжимаемых течений. На основании теоретического анализа предложен и обоснован экономичный численный метод решения трехмерных уравнений Навье — Стокса, применимый для расчета газодинамических течений в широком диапазоне чисел Маха: от слабосжимаемых до существенно сверхзвуковых. Созданный на основе метода комплекс программ позволяет моделировать и изучать особенности сложных стационарных пространственных течений вязкого газа

и капельной жидкости в элементах реальных аэрогидродинамических установок.

На защиту выносятся:

♦ численный метод решения уравнений Навье — Стокса, имеющий второй порядок аппроксимации и применимый для расчета стационарных течений вязкого газа в диапазоне чисел Маха М 6 (Ю-3,10);

♦ обоснование ухудшения при М->0 точности противопотоковых схем с расщеплением матрицы Якоби по знакам собственных значений;

♦ доказательство независимости от числа Маха точности предобуслов-ленных противопотоковых схем;

♦ результаты спектрального анализа скорости сходимости разработанного метода в случае решения двумерных уравнений Эйлера и Навье — Стокса;

♦ результаты исследования влияния параметра энтропийной коррекции на точность расчета коэффициента трения и теплового потока на обтекаемом теле при больших числах Рейнольдса.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах под руководством академика С. К. Годунова, чл.-корр. РАН В. М. Фомина, д.ф.-м.н. В. М. Ковени, д.ф.-м.н. А. Ф. Воеводина. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях:

1. Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (г. Новосибирск, 2001 г.);

2. Конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (г. Новосибирск, 2000, 2001, 2002 гг.);

3. Международной конференции «Вычислительные технологии и мате-магическое моделирование в науке, технике и образовании» (г. Алматы, Казахстан, 2002 г.);

4. Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Владимир, 2003 г.);

5. Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (г. Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. При выполнении совместных работ [2, 4, 5] С. Г. Черному принадлежит общая постановка задачи, идея использования неявной противопотоковой ТУО-схемы для аппроксимации уравнений Эйлера и

Навье-Стокса и обсуждение результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 136 страниц, включая 2 таблицы и 60 рисунков. Список литературы содержит 96 наименований.

Содержание работы

Во введении содержится обзор литературы по теме исследования. Численным решением уравнений Навье — Стокса сжимаемого газа занимались С. К. Годунов, Н. Н. Яненко, В. М. Ковеня, А. И. Толстых, О. М. Белоцерковский, Н. С. Кокошинская, Б. М. Павлов,

B. М. Пасконов, Г. А. Тарнавский, С. Г. Черный, Г. А. Тирский,

C. В. Утюжников, Ю. П. Головачев, А. А. Приходько, R. M. Beam, R. F. Wanning, W. R. Briley, H. McDonald, R. W. MacCormack, J. L. Thomas, R. W. Walters, H. Daiguji и многие другие. Различные способы монотонизации конечноразностных схем для расчета разрывных решений изучались в работах: В. П. Калгана, A. Harten, H. C.Yee, S. R. Chakravarthy, S. Osher, B. van Leer.

Методы предобуславливания при малых числах Маха предложены в работах: Е. Turkel, М. X. Стрельца, М. Л. Шура, Y.-H. Choi, С. L. Merkle, В. van Leer. Исследованию свойств предобусловленных алгоритмов посвящены работы Е. Turkel, A. Fiterman, В. van Leer, С. Viozat.

Приведенная в обзоре информация дает представление о современном состоянии и возможностях использующихся в настоящее время численных алгоритмов решения уравнений Навье — Стокса сжимаемого газа. Обосновывается актуальность и практическая ценность темы исследования. Формулируется цель работы, дается ее общая характеристика, и приводится краткое изложение результатов диссертации.

В главе 1 строится базовый численный алгоритм CoNS3D. За основу берутся уравнения Навье — Стокса сжимаемого газа, записанные в консервативной форме

(1)

где Система (1) замыкается уравнением состоя-

ния политропного газа и формулой Саттерленда или степенной зависимостью коэффициента вязкости от температуры. Построение разностной

схемы ведется в рамках идеологии метода конечных объемов, для чего система (1) представляется в виде интегральных законов сохранения

<Й

I <3(17 +

= | н^у;

V

(2)

I Я-ЙЗ

V вV

где сйэ — вектор внешней нормали к элементу поверхности ЗУ объема V, равный по модулю площади элемента 3? — матрица, составленная из столбцов векторов потоков:

Для системы (2) строится двухслойная неявная разностная схема, которая затем линеаризуется по Ньютону, причем в неявном операторе оставляются только члены, соответствующие первому порядку аппроксимации конвективных членов и повторным производным вязких членов. Неявный оператор приближенно факторизуется на два оператора, один из которых содержит операторы сдвига на узел назад по всем пространственным направлениям, а другой — операторы сдвига на узел вперед ^^ факторизация):

Здесь ф = (р,и,«,и>,Т)т. Матрицы 6 и Ст±1/2 размерности 5 х 5 содержат якобианы конвективных и вязких потоков, — операторы сдвига на узел вперед или назад по направлению т.

ннэ^ =

т=и,к 1

/т+1/2

Для вычисления конвективных разностных потоков применяет-

ся противопотоковая 1\С-схема Чакравати — Ошера второго порядка аппроксимации с ограничителем Ван-Лира. При этом используется расщепление матрицы Якоби А вектора потока по знакам ее собственных значений:

Здесь V = uSx+vSv+wSz•, и,и,го — компоненты скорости; с - скорость звука; Б = (Зх,Зу,Бх)т+1/2 — вектор нормали к грани т+1/2, равный по модулю площади этой грани и направленный в сторону увеличения индекса т; Я, Ь — матрицы правых и левых собственных векторов матрицы А.

Для предотвращения появления нефизических решений, таких как скачки разрежения, в (4) вместо (А+—А~) используется гр(А), где чр -функция энтропийной коррекции Хартена:

Энтропийная коррекция вносит в схему искусственную вязкость, которая проявляется при наличии резких изменений в решении (на разрывах, в окрестности тонких пограничных слоев). В разделе 2.2 показано, что для правильного вычисления коэффициента трения и и теплового потока при больших числах Рейнольдса, необходимо отключать энтропийную коррекцию при вычислении потоков в нормальном к поверхности тела направлении.

В выражении (4) W содержит антидиффузионные члены с введенными в них функциями-ограничителями, обеспечивающие второй порядок аппроксимации по пространству:

^ш-и/г = |(Ит+3/2 ■ ¿„+3/2 ~ В-т-1/2 ' 0"т-1/2)- (7)

Здесь компоненты векторов ст,~+3/2 и 1/2 вычисляются через псевдохарактеристические переменные с исполь-

XV "Ь XI/

зованием функции-ограничителя Ван-Лира ф(х,у) =-!—-. В работе

х + у

проанализированы некоторые распространенные ТУО-схемы и показано, что схема Чакраварти - Ошера с ограничителем Ван-Лира наилучшим образом сочетает в себе точность расчета разрывных решений и высокую скорость сходимости к стационарному решению.

Для аппроксимации вязких разностных потокЁ^^тльзуют-ся центральные разности.

В разделе 1.5 подробно описана реализация граничных условий на твердых стенках и на удаленной границе.

В главе 2 проведено тестирование метода CoNS3D на ряде задач двумерного и трехмерного ламинарного обтекания тел вязким газом. На примере задачи плоского обтекания кругового цилиндра при М«, = 6 и Не«, = 10е исследовано влияние параметра е энтропийной коррекции Хартена на точность расчета характеристик пограничного слоя при больших числах Рейнольдса. Показано, что для достоверного расчета ко-эффициентатрения с/ и теплового потока qw на теле, необходимо брать е=0 при вычислении потоков в нормальном к поверхности тела направлении. Далее рассмотрены двумерная задача о взаимодействии косого скачка уплотнения с пограничным слоем, пространственная задача о гиперзвуковом течении в угле сжатия (рис. 1) и обтекание затупленного конуса под углом атаки (рис. 2). Во всех задачах проведено сравнение с экспериментальными данными и данными расчетов других авторов. Особое внимание уделено точности воспроизведения теплового потока и коэффициента трения на поверхности тела, а также точности расчета точек отрыва и присоединения пограничного слоя. Показано, что результаты расчетов с хорошей точностью совпадают с экспериментальными данными. При расчете сверхзвуковых течений предложенный метод по точности моделирования указанных выше особенностей течения не уступает известным алгоритмам CFL3D1 и LAURA2 (см. рис. 1 и 2).

'Vatsa V.N., Thomas J.L., Wed an B.W. Navier — Stokes computations of a prolate spheroid at angle of attack // J. of Aircraft. 1989. Vol. 26, Ji*. 11. P. 986-993.

sGnoffo P. A. Upwind-Biased, Point-Implidt Relaxation Strategies for Viscous Compressible Perfect-Gas Flows. NASA TP-2953, Feb. 1990.

Эшир. данные (Клэри) Раочатм:

■O.S

10*1 ■ --1 a I PI ■—■—I—.—.-1—I—.—..

10 W «/«. Рис. 2. Тепловой поток на

поверхности затупленного конуса.

00 0 5 1.0 1.5 . xjXr

Рис. 1. Коэффициент давления для угла сжатия 0=24°.

В разделе 2.6 приведены результаты расчета вязкого (Яе = 40) обтекания кругового цилиндра при числах Маха набегающего потока Мто=0.1 и-Моо = 0.01. Показано, что при Моо < 0.1 замедляется сходимость и снижается точность метода CoNS3D.

Глава 3 посвящена исследованию метода предобуславливания Тур-кела и распространению базового численного алгоритма на случай расчета течений с М<^1. Предобусловленная система уравнений имеет вид:

где S — энтропия. Коэффициент предобуславливания /? = О(М). В разделе 3.3 найдены собственные значения матрицы РА:

и вид матриц таких что

Модифицированный алгоритм CoNS3D-P отличается от базового: 1) модификацией при М<1 члена с производной по времени, согласно (8), 2) следующим расщеплением матрицы Якоби А на положительную и отрицательную компоненты в (4) и (7) при М<1:

А=А++А~, А±=Р-1ЙБ±Ь.

(10)

Раздел 3.4 посвящен исследованию погрешности аппроксимации про-тивопотоковых схем с расщеплением (5) и (10) в пределе при М 0. Рассматривается система уравнений с дифференциальным оператором С, соответствующим стационарной части уравнений Эйлера,

_ ЗЕЮ) дГЮ) „

(И)

и произвольная схема установления для нахождения решения (11), в которой для аппроксимации используется противопотоко-вая схема 1-го порядка с расщеплением матрицы Якоби (5) или (10). При

установлении сеточная функция Q/, удовлетворяет разностной схеме:

£hQh = ЛХЕ + AVF = 0, (12)

где

AaE = p-'(PA)+Q<

hx

AvF = p-1(PB)+Qj"Qi"1

fly

■у

Если Р = I, то (12) — противопотоковая схема с расщеплением (5); если Р — матрица Туркела (9), то (12) — противопотоковая схема с расщеплением (10). Погрешность аппроксимации оператора £ (11) разностным оператором £ь (12) на произвольной гладкой функции (3(х,у) =

Фх — главный член погрешности аппроксимации. Предполагается, что величины в пробной функции Р при М 1 имеют следующие порядки по числу Маха:

Такие порядки имеют компоненты точного решения системы (11) при М 1 в случае, если давление обезразмеривается на p*U+. Предполагается также, что |м|, |и| > £ > 0, причем е не зависит оМ, а коэффициент предобуславливания в матрице Туркела Р равен fHl = fcM2, где k = const. Доказывается следующее утверждение.

Утверждение 1. С учетом принятых предположений главный член погрешности аппроксимации в случае использования расщепления (5)

(13)

Более того, с помощью вспомогательной леммы устанавливается, что и вся погрешность аппроксимации Фрг схемы с расщеплением (10) имеет порядок (15) по совокупности к и М.

Таким образом, из (14) автоматически следует, что погрешность аппроксимации схемы с традиционным расщеплением (5) при фиксированном Л в уравнениях импульса пропорциональна 1/М, в то время как погрешность аппроксимации схемы с расщеплением (10) имеет «равномерный» по М порядок аппроксимации, согласованный с асимптотикой по М аппроксимируемого дифференциального оператора £:

:=(0(1),0(1), 0(1), о (^у.

В разделе 3.5 обосновываются преимущества использования при в качестве зависимых переменных вектора Q = (p3,u,v,wtT)Tt ГДе Рд = Р~ РО, Ра = Const = Рхар.

В разделе 3.7 методом Фурье проведен анализ устойчивости и скорости сходимости построенного метода в случае 1-го порядка аппроксимации. В предположении, что коэффициенты в разностной схеме постоянны («заморожены»), а решение имеет вид элементарной гармоники

схемы CoNS3D и CoNS3D-P без члена W (7) представляются в виде

Qn+1 == GQn, (17)

где G — матрица перехода со слоя п на слой n+1. Показателем устойчивости и скорости сходимости является максимальное по модулю собственное значение А матрицы G. Исследуется распределение |A(G)|mas в области [0,тг] X [0,7г] для уравнений Эйлера (рис. 3) и Навье — Стокса (рис. 4). Показано, что предобуславливание ускоряет сходимость численного метода установления для решения стационарных уравнений Эйлера и Навье — Стокса при это ускорение существенное на сетках с hx/hv ~ 0(1) и слабое на сетках с большим отношением шагов hx/hv.

Глава 4 посвящена тестированию алгоритма CoNS3D на задачах с М<§С1. Рассчитаны невязкое и вязкое (Re=40) обтекание кругового цилиндра при числах Маха Мто = 0.1, 0.01, 0.001 (рис. 5, 6), а также вязкое течение капельной жидкости в изогнутом на 90° канале квадратного сечения (рис. 7).

——■ *х»сt —_ exact

Рис. 5. Невязкое обтекание кругового цилиндра при Моо = 0.1, 0.01, 0.001. Коэффициент давления Ср на поверхности цилиндра: (а) — СоГОЗБ, (б) — СоКБЗБ-Р.

л

Рис. 6. История сходимости СоКБЗБ и Со^ЗИ-Р алгоритма на задаче невязкого обтекания кругового цилиндра.

Проведено сравнение с данными экспериментов, полученных для воды, а также с точными решениями и данными расчетов других авторов, найденных в рамках уравнений Эйлера и Навье — Стокса несжимаемой жидкости. Для алгоритма CoNS3D-P продемонстрировано сохранение точности (см. рис. 5 и 7а) и скорости сходимости (рис. 6 и 76) при М->0, подтверждающее выводы аналитического анализа схем. Возможность расчета течений в широком диапазоне чисел Маха продемонстрирована на примере задачи о течении в сильно сужающемся сопле Лаваля, где число Маха на входе Мт = 0.011, а на выходе Mout = 2.6. Алгоритм CoNS3D дает искаженные изолинии числа Маха в окрестности входа в сопло, в то время как предобусловленный метод CoNS3D-P не обладает этим недостатком.

л

Рис. 7. Течение в изогнутом на 90° канале. а) — распределение продольной составляющей скорости в сечении в = 90° при г = 0.25, б) — история сходимости базового и предобусловленного алгоритма. 1 — экспериментальные данные (Humphrey et al.); 2 — расчет в рамках уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости (Rogers — Kwak); 3- CoNS3D, M=0.1; 4- CoNS3D-P, M=0.1; 5- CoNS3D-P, M=0.01.

В разделе 4.5 метод CoNS3D-P применен для моделирования течения воды в рабочем колесе радиально-осевой гидротурбины РО 928а (СКВ «Гидротурбомаш», ЛМЗ, г. Санкт-Петербург). Рассчитывался один межлопастной канал в предположении, что во всех межлопастных каналах течение циклически повторяется. Расчеты проводились в системе координат, связанной с вращающимся рабочим колесом, в рамках модели невязкого политропного газа при характерных числах Ма-

ха потока М = 0.1 и М = 0.01. На входной границе фиксировалось распределение вектора скорости и безразмерное значение температуры Т=T(pout,p=l) = 1/(7(7 — 1)Mq). На выходе фиксировалось безразмерное давление p0ut = 1Д7М0). Характерное число Маха Мо задавалось априори.

Проведено сравнение результатов расчетов с данными расчетов этой задачи в рамках пакета CADRUN, использующего метод искусственной сжимаемости для решения уравнений Эйлера и Навье — Стокса несжимаемой жидкости3, а также с экспериментальными данными (рис. 8). Сходство интегральных (момент лопасти и осевая сила) и локальных характеристик потока, полученных программами CoNS3D-P и CADRUN позволяет сделать вывод о возможности использования предложенного метода для моделирования течений капельной жидкости в элементах проточного тракта реальных гидротурбин.

Рис. 8. Осевая сг и окружная с„ компоненты скорости за рабочим колесом гидротурбины РО 928а.

В приложении приведен вид матрицы Якоби А конвективного потока, матриц левых и правых ее собственных векторов, а также вид якобианов перехода от консервативных переменных Q = (p,pu,pv,pw,e)T к вектору примитивных переменных Q = (pg,u,v,w,T)'r.

Основные результаты работы:

1. Разработан экономичный численный метод расчета стационарных пространственных течений вязкого газа на структурированных

3Гряэин Ю.А., Черный С.Г., Шаров C.B. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости // Вычислительные технологии. 1995. Т. 4, ЛШ. С. 180-203.

сетках, применимый в диапазоне характерных чисел Маха потока 10~3 < М < 10. При М < 1 точность и скорость сходимости метода практически не зависят от числа Маха. Результаты расчетов тестовых задач позволяют сделать вывод о том, что метод обладает достаточно высокой точностью разрешения характерных особенностей сжимаемых течений, таких как ударные волны, тонкие пограничные слои, явления отрыва и присоединения потока.

2. Исследовано влияние параметра е энтропийной коррекции Харте-на на точность расчета характеристик пограничного слоя при больших числах Рейнольдса. Показано, что для достоверного определения коэффициента трения и теплового потока на поверхности тела, необходимо брать при вычислении разностных потоков в нормальном к поверхности направлении.

3. Доказано, что при М-*0 погрешность аппроксимации противопо-токовых схем с расщеплением матрицы Якоби по знакам ее собственных значений в уравнениях импульса обратно пропорциональна числу Маха. Этот результат полностью объясняет ухудшение точности традиционных противопотоковых схем при В то же время расщепление матрицы Якоби по знакам собственных значений системы, предобусловленной матрицей Туркела, приводит к схеме, погрешность аппроксимации которой зависит от М так же, как и аппроксимируемые дифференциальные потоки.

4. Спектральным методом Фурье для двумерных уравнений Эйлера и Навье — Стокса исследована устойчивость и скорость сходимости предложенной схемы в случае 1-го порядка аппроксимации. Показано, что предобуславливание позволяет устранить зависимость скорости сходимости метода установления от числа Маха.

5. С использованием модели политропного газа рассчитано невязкое течение воды в рабочем колесе радиально-осевой гидротурбины. Сравнительный анализ с результатами расчетов в рамках модели несжимаемой жидкости и имеющимися экспериментальными данными показал, что разработанный метод близок по точности и сравним по затратам вычислительных ресурсов с методами искусственной сжимаемости для решения уравнений Эйлера и Навье — Стокса несжимаемой жидкости, и, следовательно, может использоваться для расчета течений капельной жидкости.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Чирков Д. В. Моделирование гипозвуковых течений с использованием предобусловленных уравнений Эйлера и Навье — Стокса // Труды международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», г. Усть-Каменогорск, Казахстан, 11-14 сентября 2003 г. Часть 3. С. 262271.

2. Чирков Д. В., Черный С. Г. Неявный метод численного моделирования пространственных течений вязкого газа // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, №1. С. 66-83.

3. Чирков Д. В. Применение метода предобуславливания для расчета пространственных течений жидкости и газа при малых числах Маха // Тезисы докладов ХП международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Владимир, 30 июня - 5 июля, 2003. - М.: Изд-во МАИ, 2003. Т. 2. С. 656-658.

4. Чирков Д. В., Черный С. Г. Верификация метода численного моделирования пространственных течений вязкого газа // Труды международной конференции «Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании», г. Алма-ты, Казахстан, 18 - 20 сентября 2002 г. Часть 4. С. 281-289.

5. Чирков Д.В., Черный С.Г. Сравнение точности и сходимости некоторых ТУО-схем // Вычисл. технологии. 1999. Т. 5, №5. С. 87-108.

Чирков Денис Владимирович

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ВЯЗКОГО ГАЗА В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ МАХА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 7.05.2004 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16 Тираж 100 экз. Заказ № 400

Отпечатано в ЗАО РИЦ «Прайс-курьер», 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6. тел. 34-22-02.

»122 2t

Введение

1 Базовый численный метод

1.1 Основные уравнения и предположения.

1.1.1 Уравнения Навье — Стокса.

1.1.2 Обезразмеривание уравнений

1.2 Метод конечных объемов.

1.3 Вычисление разностных потоков.

1.3.1 Вычисление конвективных разностных потоков. ф 1.3.2 Вычисление вязких разностных потоков.

1.4 Реализация алгоритма

1.4.1 Линеаризация.

1.4.2 Ьи-факторизация.

1.4.3 Локальный выбор шага по времени.

1.5 Реализация краевых условий.

1.5.1 Входная и выходная границы 1.5.2 Твердая стенка для уравнений Навье — Стокса.

1.5.3 Твердая стенка для уравнений Эйлера.

1.5.4 Удаленная граница.

2 Результаты расчетов тестовых задач

2.1 Сеточные нормы С и Ь?

2.2 Сверхзвуковое обтекание кругового цилиндра.

2.3 Взаимодействие ударной волны с погранслоем на пластине.

2.4 Течение в угле сжатия.

2.5 Затупленный конус.

2.6 Обтекание цилиндра.

2.7 Обсуждение и выводы.

3 Предобуславливание при малых числах Маха

3.1 Поведение разностных схем при М-* 0.

3.2 Обзор работ и методология предобуславливания 3.3 Матрица предобуславливания Туркела.

3.3.1 Разложение матрицы РА.

3.3.2 Преобразованные выражения для компонент вектора а.

3.3.3 Выбор параметра предобуславливания ¡3.

3.4 Исследование аппроксимации при М —>• 0.

3.5 О выборе вектора зависимых переменных.

3.6 Модификация базового алгоритма: Со^ЗБ-Р.

3.7 Спектральный анализ устойчивости и скорости сходимости неявной схемы Роу при

3.7.1 Матрица М неявного оператора.

3.7.2 Матрица К явного оператора.

3.7.3 Результаты исследования скорости сходимости.

4 Результаты расчетов течений сМ<

4.1 Невязкое обтекание кругового цилиндра.

4.2 Вязкое обтекание цилиндра.

4.3 Невязкое течение в сильно сужающемся сопле.105 '

4.4 Вязкое течение в изогнутом канале квадратного сечения.

4.5 Течение в рабочем колесе гидротурбины.

4.6 Обсуждение результатов расчетов.

Математическое моделирование течений жидкости и газа играет ключевую роль при конструировании перспективных летательных аппаратов, энергетических установок и транспортных средств. Для обеспечения повышенных требований к эффективности работы этих объектов и установок необходимо уже на стадии проектирования иметь достоверную количественную информацию о протекающих в них процессах. Задачи конструирования и оптимизации авиационных двигателей, вентиляторов, паровых и газовых турбин требуют проведения серийных расчетов течений в сложных трехмерных областях, с учетом эффектов сжимаемости, вязкости и теплопроводности среды. Подобные течения описываются полной системой уравнений Навье — Стокса сжимаемого вязкого газа [1]. Рост производительности вычислительной техники за последние 20 лет привел к появлению большого количества методов численного интегрирования этих уравнений [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Для численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа с успехом использовались также методы, предложенные в более ранних работах [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18].

Однако, известно [19], что методы решения уравнений сжимаемого газа, хорошо работающие при умеренно дозвуковых и сверхзвуковых скоростях потока, оказываются неэффективными, и даже непригодными для расчета течений с числами Маха ниже 0.1 -т- 0.3. Это проявляется в выражается в ухудшении сходимости процесса установления [20, 21, 22] и ухудшении точности получаемых при М 1 стационарных решений [23].

Замедление сходимости метода установления обычно объясняется возрастающей при М 0 жесткостью исходных уравнений динамики сжимаемого газа, определяемой как отношение максимального и минимального собственного значения матриц Якоби векторов конвективных потоков, т. е. отношением максимальной и минимальной скорости распространения возмущений. Для системы уравнений Эйлера с собственными значениями {и, и, и + с, и — с} имеем:

Мшод М + С М-^0 ^

А|пип |«|

Таким образом, особенность при М —>• 0 проявляется уже на дифференциальном уровне.

В то же время большинство интересных с практической точки зрения аэродинамических течений происходит в режимах с М < 0.3. Аэродинамика автомобилей, локомотивов, обтекание летательных аппаратов на взлете и посадке, движение воздуха в вентиляционных системах и котельных установках являются типичными примерами задач с малым характерным числом Маха потока. Как правило, численное моделирование подобных течений проводится в рамках уравнений Эйлера и Навье-Стокса движения несжимаемой жидкости с использованием методов, специально разработанных для этого класса уравнений, см., например, [24]. Действительно, при адиабатическом (без внешних источников тепла) движении газа с характерным числом Маха М < 0.1 относительные вариации плотности в потоке, согласно уравнению Бернулли, составляют [25] « ^М2 < 0.005, р 2 " и модель несжимаемой среды оказывается в этом случае достаточно точным приближением. Однако, существует широкий класс задач, связанных с проблемой малого числа Маха, где необходимо использовать уравнения движения сжимаемого газа. Подобные течения можно разделить на два класса: высокоскоростные течения с обширными подобластями низких скоростей, и низкоскоростные течения с большими изменениями плотности и температуры.

Примерами высокоскоростных течений с низкоскоростными подобластями могут служить внешние течения с обширными зонами торможения потока или внутренние течения в сильно сужающихся диффузорах с существенно дозвуковой скоростью на входе. Как правило, если подобласти с М «С 1 малы, то они не оказывают существенного влияния на сходимость методов установления, но если размеры подобластей с М «С 1 сравнимы с размерами всей расчетной области, то их влияние начинает доминировать. Например, при обтекании аэродинамического профиля область малых скоростей в окрестности точки торможения обычно невелика и не сказывается на сходимости численного метода. В то же время, существенно дозвуковая область на входе в сильно сужающееся сопло оказывает решающее влияние на процесс сходимости алгоритма [22].

Большие изменения плотности и температуры могут возникать даже в однородной среде с низкими скоростями потока вследствие сильного объемного или поверхностного подвода тепла извне. При этом во всей области М <С 1, но использование модели несжимаемой жидкости неправомерно, так как р ф const. Учет изменения температуры в уравнениях движения особенно важен, если рассматриваются задачи горения или течения многокомпонентных химически-реагирующих газовых смесей

19]. Переход к предельной при М—>0 форме уравнений Навье — Стокса для гипо-звуковых неизотермических течений вязкого газа [26, 19] позволяет частично устранить трудности, возникающие при расчете этих течений в рамках полной системы уравнений Навье — Стокса.

Наиболее распространенным способом устранения вычислительных трудностей при М —> 0 является в настоящее время применение предобуславливания (preconditioning) исходных уравнений движения, направленное на выравнивание порядков собственных значений матрицы Якоби вектора потока при всех М < 1 [27, 20, 28, 29, 22, 30]. На дифференциальном уровне предобуславливание модифицирует члены с производной по времени в уравнениях движения. Таким образом при установлении решение модифицированной системы совпадает с решением исходной системы уравнений движения. Изначально предобуславливание рассматривалось лишь как простой способ устранения жесткости исходной системы и ускорения таким образом сходимости метода установления, не затрагивающий аппроксимацию производных по пространственным направлениям [20, 22]. В работе [29] впервые предложено модифицировать способ аппроксимации производных конвективных членов предобуслов-ленных уравнений. Оказалось, что такой подход позволяет восстановить точность расчета существенно дозвуковых течений [34]. Однако, несмотря на большое число работ [22, 32, 35, 36, 37, 34, 38], посвященных изучению метода предобуславливания, до сих пор не дано строгого обоснования ни этому явлению, ни ухудшению точности исходных, непредобусловленных схем при М->1. Таким образом проблема аналитического исследования точности алгоритмов до сих пор остается белым пятном в теории предобуславливания. Отсутствие теоретического обоснования ухудшения точности традиционных алгоритмов даже при достижении сходимости, а также отсутствие эффективной методики исследования аппроксимации затрудняет понимание метода предобуславливания и препятствует дальнейшему развитию этого подхода.

В настоящее время для расчетов невязких и вязких течений при М —> 0 наибольшую популярность приобрели методы предобуславливания Чоя-Мёркла [22] и Туркела [28]. В работе [39] предобуславливание Чоя-Мёркла применено для построения неявного метода расчета химически реагирующих газовых смесей, в работе [40] этот же подход использован в неявном методе расчета турбулентных реагирующих течений вплоть до М = 0.001. Необходимо отметить, что специфика матрицы предобуславливания Чоя-Мёркла ограничивает область ее применимости центральнораз-ностными схемами, которые достаточно хорошо работают при М < 1. При расчетах же сверхзвуковых течений предпочтительнее использовать направленную аппроксимацию. Достоинство предобуславливающей матрицы Туркела состоит в том, что она позволяет выписать в явном виде разложение РА = КОЙ-1, и поэтому легко может быть интегрирована в противопотоковые схемы типа Роу согласно методике [29].

Повышение порядка аппроксимации предобусловленных схем с направленными разностями до второго и третьего ведется [41] с использованием «-схемы Ван-Лира [42], или ее монотонизированного аналога — МИЯСЬ-схемы [43]. В этих методах аппроксимация потоков через грани ячейки .7 + 1/2 строится путем решения линеаризованной задачи о распаде разрыва не для состояний ^ и С^+ь как в случае первого схемы порядка, а для «реконструированных» состояний С^ и С^д, которые находятся с помощью интерполяции высокого порядка, на смещенном шаблоне. Например, для схемы второго порядка аппроксимации

Яь = с*; + (ОУ - СЬ-1)/2, <Эя = <3,+! - (<3,42 - 0ж)/2.

Применение метода предобуславливания к противопотоковым схемам типа Чакра-варти-Ошера [44] до сих пор не изучено.

Как правило, тестирование предобусловленных разностных схем проводится на простых двумерных задачах обтекания цилиндра или аэродинамического профиля под углом атаки. Результаты расчетов существенно трехмерных течений с помощью предобусловленных конечно-разностных алгоритмов в литературе не встречаются.

Современные методы численного решения уравнений газовой динамики можно разделить на несколько классов по типу аппроксимации уравнений (методы конечных элементов МКЭ, методы конечных объемов МКО, методы конечных разностей МКР), по типу используемых сеток (структурированные — неструктурированные) по способу перехода на новый слой по времени (явные — неявные), по способу аппроксимации конвективных членов (противопотоковые и центральноразностные), способу подавления нефизических осцилляций на разрывах (варианты ТУБ и ЕМО-схем, внесение искусственной вязкости) и т. д.

Что касается стационарных уравнений Навье—Стокса, то для их интегрирования на однопроцессорных ЭВМ наиболее приспособлены неявные методы конечных объемов или конечных разностей, на структурированных или неструктурированных сетках. Методы конечных элементов требуют больших затрат оперативной памяти и времени счета, и поэтому применяются в основном на параллельных ЭВМ [10]. Явные схемы имеют ограничение на шаг по времени, которые становятся особенно существенны при расчете вязких течений на подробных сетках. В последнее время, с появлением многопроцессорных вычислительных комплексов, явные многостадийные методы приобретают большую популярность из-за их легкого распараллеливания. Неявные схемы благодаря использованию больших шагов по времени сходятся за меньшее число итераций, и, несмотря на более сложную реализацию, в целом оказываются более экономичными нежели явные схемы. Поэтому, если отвлечься от проблемы распараллеливания алгоритма, неявные разностные схемы выглядят наиболее привлекательно для решения стационарных задач методом установления.

Для дискретизации уравнений Эйлера и Навье—Стокса широкое распространение получили Схемы с направленными разностями (upwind) [2, 4, 3, 45, 47]. Ранее для аппроксимации конвективных членов широко использовалось расщепление по физическим процессам («расщепление по давлению») [48, 2, 49]:

В работах [4, 3, 45, 47] в качестве базовой схемы для аппроксимации производных конвективных членов берется схема Роу [50], где расщепление матрицы Яко-би A = 0F/5Q на положительную и отрицательную составляющую производится по знакам ее собственных значений: А = А+ + А~, где А* = RD±R~1, R — матрица правых собственных векторов, a D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы А. Такой способ аппроксимации вытекает из схемы С. К. Годунова [51], в которой находится точное решение одномерной задачи о распаде разрыва для системы dQ/dt+A(dF/dx) =0, А = const. Как показано в главах 3 и 4 диссертационной работы, такой способ расщепления не пригоден при расчете течений с М<1. Центральноразностные схемы также применяются для аппроксимации конвективной части уравнений, см. например [22], однако они оказываются более диссипативными при расчете сверхзвуковых течений [3].

Наличие ударных волн является характерной особенностью сжимаемых течений при сверхзвуковых скоростях. Поэтому при расчете невязких и вязких с большими числами Рейнольдса сжимаемых течений методами повышенного порядка аппроксимации использование монотонизации играет решающую роль. Все перечисленные выше методы решения уравнений Навье — Стокса используют устранения нефизических осцилляций в окрестности разрывов различные варианты TVD-сглаживания, впервые предложенного в работе В. П. Калгана [52]. При этом для противопоточ-ных схем существуют различные способы конструирования потока через грань ячейки. Наряду со способом, использующимся в схемах типа Хартена—Йи [53, 54, 55] и Чакрварти—Ошера [44], где монотонизации подлежат характеристические переменные или сами потоки [56, 9], очень популярным является MUSCL-подход [43]. Здесь разностный поток Fj+i/2 через грань j + 1/2 ячейки вычисляется по схеме Роу первого порядка аппроксимации, но через вектора переменных Qi, и Qr слева и справа от грани .7 + 1 /2, «реконструированные» по значениям из соседних ячеек с использованием монотонизированной противопоточной интерполяции высокого порядка [43]. Различные варианты МиЭСЬ-схем применены в [6,3,4,45,46]. Формальный порядок аппроксимации конвективных членов на гладких решениях в методах [56, 9] — второй, в [3, 4] — второй или третий. Алгоритм Дайгуджи [45, 46] обладает четвертым или даже пятым порядком аппроксимации по пространству.

В работе [69] предпринята попытка сопоставить основные противопотоковые и центрально-разностные ТУБ-схемы Хартена — Йи [59, 54, 55] и Чакравати — Ошера [44] с точки зрения их точности и скорости сходимости к стационарному решению. На основании проведенных в этой работе численных экспериментов сделан вывод, что при расчете разрывных решений наилучшим образом сочетает в себе точность и скорость сходимости ТУБ-схема Чакравати — Ошера второго порядка с «гладкой» функцией-ограничителем Ван-Лира [57].

Для предотвращения нефизических решений (например, скачков разрежения) в окрестности точек расчетной области, где какие-либо собственные значения матрицы Якоби А становятся нулевыми, в большинстве работ [56, 58, 6, 47] в схему вводится энтропийная коррекция Хартена [59]. Она состоит в ограничении снизу А* при расщеплении матрицы Якоби на положительную и отрицательную составляющую. Как показывали проведенные в данной работе расчеты, ненулевая величина параметра энтропийной коррекции существенным образом ухудшает точность расчета пограничного слоя при больших числах Рейнольдса. На основании этого выработана рекомендация использовать различные значения параметра энтропийной коррекции е при вычислении разностных потоков в касательных и нормальном к поверхности тела направлениях.

Одна из альтернатив ТУБ-схемам при расчете течений, содержащих разрывы, — использование ЕМО-схем, как например в [60]. ЕМО-схемы позволяют более точно разрешать ударные волны и контактные разрывы в решении, но требуют существенно больших затрат машинного времени, чем рассмотренные выше схемы с ТУБ-сглаживанием.

Все перечисленные выше алгоритмы, за исключением конечно-разностных алгоритмов [6,46], построены на идеологии метода конечных объемов, что автоматически гарантирует их консервативность. Однако, использование метода конечных объемов, имеющего формальный порядок аппроксимации выше второго, на криволинейных сетках не оправдано. Действительно, аппроксимация геометрических коэффициентов, таких, как нормали и объемы ячеек, как правило, имеет порядок не выше второго, что автоматически ограничивает точность конечнообъемных методов вторым порядком.

Неявные методы решения пространственных задач можно дифференцировать также по способу обращения стабилизирующего оператора. Метод попеременных направлений (А01), использованный в работах [3, 56], сводится к последовательности векторных прогонок по каждому из пространственных направлений. К недостатку метода попеременных направлений следует отнести его условную устойчивость в трехмерном случае. В работах [45, 46, 47] использованы варианты метода Ы1-факторизации неявного оператора, В [4] используется релаксация Гаусса — Зейделя. В работе [61] на примере задачи плоского обтекания головной части затупленного тела сверхзвуковым потоком проведено сравнение различных методов факторизации для неявных схем и показано, что ЬИ-факторизация обеспечивает наиболее оптимальную скорость сходимости.

В работах [46, 47, 6, 4, 9] использованы в качестве зависимых консервативные переменные С} = (р, ри, ру, рш, е)т. Такой выбор оказывается удобен при решении уравнений Эйлера. Однако, в случае решения уравнений Навье-Стокса более плодотворным является использование примитивных переменных, например ф = (р, и, V, ги, Т)т [49,22,30]. Во-первых, такой подход позволяет наиболее полно учесть якобианы вязких членов в неявном операторе, что увеличивает запас устойчивости метода. Во-вторых, вектор примитивных переменных легко допускает переход к относительному давлению рд = р—ро при малых числах Маха, что позволяет устранить ошибки машинного округления при аппроксимации градиента давления [49, 39].

Актуальной проблемой при разработке численных методов решения уравнений Навье — Стокса является верификация метода, в частности сравнение с экспериментальными данными. Особенно это относится к трехмерным программам. Возникает потребность собрать банк достоверных экспериментальных данных и результатов численных расчетов задач вязкого ламинарного обтекания тел простой формы, для которых, с одной стороны, легко строится сетка, а с другой стороны проявляются основные особенности вязких сжимаемых течений. К этим особенностям можно отнести ударные волны, тонкие пограничные слои, отрыв и присоединение потока, зоны возвратного течения.

В последнее время одним из основных инструментов проектирования турбинных установок является численное моделирование. При моделировании течения воды в элементах проточного тракта гидротурбин для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса несжимаемой жидкости зачастую используется метод искусственной сжимаемости [62, 63]. При этом для аппроксимации уравнений в основном применяются схемы с направленными разностями с расщеплением матрицы Якоби по знакам ее собственных значений, как, например, в [64, 65]. Численные эксперименты показывают, что точность подобных схем существенным образом зависит от параметра псевдосжимаемости рпс, который, как правило, берется постоянным для всей расчетной области. С точки зрения сходимости и точности расчета основного потока оптимальное значение параметра предобуславливания Д,с = А^г^р, где ^р — характерная скорость потока, а К = 5 — 10. Однако в случае, когда расчетная область содержит обширные подобласти стагнации потока, где |у| <С М^р, точность метода в этих подобластях падает. Поэтому до сих пор актуальной остается проблема исследования точности алгоритмов типа [64, 65], основанных на методе искусственной сжимаемости. Один из подходов, позволяющий оценить точность подобных алгоритмов расчета течений капельной жидкости состоит в сравнении полученных с их помощью решений с результатами расчетов, проведенных в рамках модели сжимаемой жидкости при М<§С1.

Таким образом, сохраняется потребность в экономичном и универсальном численном методе, позволяющем рассчитывать движения сжимаемого вязкого газа в реальных аэрогидродинамических установках в широком диапазоне характерного числа Маха потока. Идея создания подобного алгоритма состоит в построении эффективного метода решения уравнений Навье—Стокса при умеренных и больших числах Маха, и дальнейшем распространении области его применимости на течения сМ<1 при помощи методики предобуславливания.

Диссертационная работа посвящена:

1) Разработке эффективного численного метода решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа, обладающего высокой точностью разрешения основных особенностей газодинамических течений, таких как ударные волны, тонкие пограничные слои, явления отрыва и присоединения потока, а также имеющего абсолютную устойчивость и приемлемую сходимость. Этот алгоритм берется в качестве базового и в дальнейшем распространяется на случай расчета течений с малыми числами Маха.

2) Построению и исследованию алгоритма предобуславливания, который позволит существенно улучшить сходимость метода установления при М< 1 и обеспечит сохранение точности базового алгоритма при малых числах Маха.

3) Созданию комплекса программ для моделирования течений вязкого газа, основанного на разработанном численном алгоритме.

4) Приложению комплекса к ряду задач, связанных с проектированием рабочих колес турбомашин.

Настоящая работа продолжает цикл работ [64, 66, 67, 68], посвященных моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости, и распространяет предложенные в них удачные идеи на случай расчета сжимаемых течений.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты работы:

1. В диссертации разработан экономичный численный метод расчета стационарных ламинарных пространственных течений вязкого идеального газа применимый в диапазоне чисел Маха 10~3 < М < 15. При М < 1 точность и скорость сходимости метода не зависят от числа Маха. Разностная схема имеет второй порядок аппроксимации на гладких решениях. Результаты расчетов тестовых задач позволяют сделать вывод о том, что метод обладает высокой точностью разрешения характерных особенностей сжимаемых и несжимаемых течений.

2. Исследовано влияние параметра энтропийной коррекции Хартена на точность расчета градиентных характеристик на поверхности тела. Показано, что при больших числах Рейнольдса для достоверного определения с/ и необходимо брать е = 0 в нормальном к поверхности тела направлении.

3. Исследована аппроксимация противопотоковых разностных схем при М —> 0. Впервые доказано, что погрешность аппроксимации противопотоковой схемы Роу обратно пропорциональна числу Маха при М 1. Вместе с тем, предобу-словленная матрицей Туркела схема Роу имеет погрешность аппроксимации, не зависящую от М<^1.

4. Спектральным методом для двумерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса исследована устойчивость и скорость сходимости предложенной схемы в случае первого порядка аппроксимации. Показано, что предобуславливание позволяет устранить зависимость скорости сходимости метода установления от числа Маха.

5. Предложенный метод реализован в виде программного комплекса, предназначенного для расчета течений газа и капельной жидкости в рамках уравнений Эйлера или Навье — Стокса с уравнением состояния псшитропного газа. Комплекс может использоваться для совместного расчета течения в сложных областях, разбитых на несколько подобластей, в каждой из которых строится своя конечно-объемная сетка.

6. С использованием модели политропного газа рассчитано невязкое течение воды в рабочем колесе радиально-осевой гидротурбины. Проведен сравнительный анализ с результатами расчетов в рамках модели несжимаемой жидкости и имеющимися экспериментальными данными. Проанализировано влияние параметра предобуславливания на картину течения в области торможения потока в межлопастном канале.

7. В диссертационной работе развиты методы исследования свойств разностных схем при малых числах Маха, позволившие получить фундаментальные результаты о точности и сходимости противопотоковых схем при М —> 0.

Заключение

1. Лойцянский J1. Г. Механика жидкости и газа. - М: Наука, 1978. - 736 с.

2. Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Черный С. Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990. - 247 с.

3. Vatsa V. N., Thomas J. L., Wedan В. W. Navier — Stokes computations of a prolate spheroid at angle of attack // J. of Aircraft. 1989. - Vol. 26, №. 11. - P. 986-993.

4. Thomas J. L., Walters R.W. Upwind relaxation algorithms for the Navier — Stokes equations // AIAA J. 1987. - Vol. 25, Ж 4. - P. 527-534.

5. Головачев Ю. П. Численное моделирование течений вязкого газа на основе уравнений Навье-Стокса // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1987. - С. 56-78.

6. Егоров И. В., Зайцев О. JI. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье — Стокса методом сквозного счета // ЖВМ и МФ. -1991. Т. 31. - С. 286-299.

7. Беляев Н. М., Приходько А. А. Численные методы решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа. Днепропетровск: ДГУ, 1986. - 140 с.

8. Утюжников С. В. Численное решение полных уравнений вязкого ударного слоя в задаче гиперзвукового обтекания притуплённых тел // Числ. методы механики сплошной среды. 1986. - Т. 17, №6. - С. 125-131.

9. Gnoffo P. A. Upwind-Biased, Point-Implicit Relaxation Strategies for Viscous Compressible Perfect-Gas Flows. NASA TP-2953, Feb. 1990.

10. Численное исследование современных задач газовой динамики / Под редакцией О. М. Белоцерковского. М.: Наука, 1974.

11. Толстых А. И. Об одном методе численного решения уравнений Навье — Сток-са сжимаемого газа // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. - Т. 3, №6. - С. 78-87.

12. Кокошинская Н. С., Павлов Б. М., Пасконов В. М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: МГУ, 1980. - 248 с.

13. Тирский Г. А. Гиперзвуковое обтекание тел вязким теплопроводным химически реагирующим газом в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Механика и научно-технический прогресс. 1987. - Т. 2. - С. 261-281.

14. Beam R., Warming R. F. An implicit factored scheme for compressible Navier — Stokes equations // AIAA J. 1978. - Vol. 16, Ж 4. - P. 393-402.

15. Briley W.R., McDonald H. Solution of the multidimensional Navier — Stokes equations by a generalised implicit method // J. of Сотр. Physics. 1977. - Vol. 24, №4. - P. 372-397.

16. MacCormack R.W. A numerical method for solving the equations of compressible viscous flows // AIAA J. 1982. - Vol. 20, Ж 9. - P. 1275-1281.

17. Лапин Ю. В., Нехамкина О. А., Поспелов В. А. и др. Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовых смесей / Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механ. жидкости и газа. 1985. Т. 19. -С. 8&-185.

18. Чой Д., Меркл Ч. Л. Применение метода установления для расчета низкоскоростных течений // Аэрокосмическая техника. 1986. - №7. - С. 29-37.

19. Merkle C.L., Choi Y.-H. Computation of Low-Speed Compressible Flows with Time Marching Procedures //J. for Numer. Methods in Engineering. 1988. - Vol. 25. - P. 293-311.

20. Choi Y.-H., Merkle C. L. The application of preconditioning in viscous flows // J. of Сотр. Physics. 1993. - Vol. 105. - P. 207-223.

21. Volpe G. Performance of compressible flow codes at low Mach number // AIAA J. 1993. - Vol. 31. - P. 49-56.

22. Сарманаев С. Р., Десятков Б. М., Бородулин А. И., Ярыгин А. А. Описание пакета прикладных программ для моделирования микроклимата внутри помещений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т. 6, №4(16). - С. 94-109.

23. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. - 712 с.

24. Никулин Д. А., Потехин Г. С., Стрелец М. X. Приближенная система уравнений для описания нестационарной концентрационной естественной конвекции в бинарных газовых смесях // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1980.- Т. 38, №3. С. 528-537.

25. Briley W. R., McDonald H., Shamroth S. J. A low Mach number Euler formulation and application to time-iterative LBI schemes // AIAA J. 1983. Vol. 21, №10. - P. 1467-1469.

26. Weiss J. M., Smith W.A. Preconditioning Applied to Variable and Constant Density Flows // AIAA J. 1995. - Vol 33, №11. - P. 2050-2057.

27. Weiss J. M., Maruszewski J. P., Smith W. A. Imlicit Solution of Preconditioned Navier-Stokes Equations Using Algebraic Multigrid // AIAA J. 1999. - Vol 37, №1.- P. 29-36.

28. Turkel E., Fiterman A., van Leer B. Preconditioning and the limit to the incompressible flow equations. ICASE Report 93-42. 1993.33. viozat C. Implicit Upwind Schemes for Low Mach Number Compressible Flows. INMA Report RR-3084, January 1997.

29. Guillard H., Viozat C. On the behaviour of the upwind schemes in the low Mach number limit // Computers & fluids. 1999. - Vol. 28, №1. - P. 63-86.

30. Darmofal D.L., Shmid P.J. The importance of eigenvectors for local preconditioning of the Euler equations // J. of Сотр. Physics. 1996. - Vol. 127. -P. 346-362.

31. Pierce N.A., Giles M.B. Preconditioned Multigrid Methods for Compressible Flow Calculations on Stretched Meshes // J. of Comp. Physics. 1997. - Vol. 136. -P. 427-445.

32. Darmofal D.L., van Leer B. Local preconditioning: Manipulating Mother Nature to fool Father Time. Computing the Future II: Computational Fluid Dynamics and Transonic Flow. Editors: D. Caughey and M. Hafez. John Wiley & Sons. 1998.

33. Darmofal D.L., Moinier P, Giles M.B. Eigenmode Analysis of Boundary Conditions for the One-Dimensional Preconditioned Euler Equations // J. of Comp. Physics. 2000. - Vol. 160. - P. 369-384.

34. Shuen J.-S., Chen K.-H., Choi Y. A Coupled Implicit Method for Chemical Non-equlibrium Flows at All Speeds // J. of Comp. Physics. 1993. - Vol. 106. - P. 306-318.

35. Stoll P., Gerlinger P., BrCggeman D. Implicit Preconditioning Method for Turbulent Reacting Flows // Proceedings of the 4th ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. 1998. - P. 205-212.

36. Anderson W. K., Thomas J. L., van Leer B. Comparison of Finite Volume Flux Vector Splittings for the Euler Equations // AIAA J. 1986. - Vol 24, №9. - P. 1453-1460.

37. Chakravarthy S. R., Osher S. A New Class of High Resolution TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. AIAA Paper 85-0363, 1985.

38. Yamomoto S., Daiguji H. Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations // Computers &: Fluids. 1993. -Vol. 22. - P. 259-270.

39. Yuan X., Daiguji H. A specially combined lower-upper factored implicit scheme for three-dimensional compressible Navier — Stokes equations // Computers &: Fluids. 2001. - Vol. 30. - P. 339-363.

40. Wang J., Widhopf G. An Efficient Finite Volume TVD Scheme for Steady State Solution of the 3-D Compressible Euler/Navier-Stokes equations. AIAA paper 901523. June 1990.

41. Ковеня В. M., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

42. Стрелец М. X., Шур М. J1. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха // ЖВМ и МФ. 1988. - Т. 28. - С. 254-266.

43. Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Comput. Physics. 1981. - Vol. 43. - P. 337-372.

44. Численные методы решения многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др.; под ред. С. К. Годунова М: Наука, 1976. - 400 с.

45. Кол ГА н В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. - Т. 3, №6. - С. 68-77.

46. Yee Н. С., Warming R. F. and Harten A. Implicit Total Variation Diminishing (TVD) Schemes for Steady-State Calculations // J. Comput. Physics. 1985. - Vol 57. - P. 327-360.

47. Yee H. C. Construction of Explicit and Implicit Symmtric TVD Schemes and Their Applications // J. Comput. Physics. 1987. Vol. 68. - P. 151-179.

48. Moon Y. J., Yee H. C. Numerical Simulation by TVD Schemes of Complex Shock Reflections From Airfoils at High Angle of Attack. AIAA Paper 87-0350. Jan. 1987.

49. Greene F. A. Application of the multigrid solution technique to hypersonic entry vehicles // J. of Spacecraft and Rockets. 1994. - Vol. 31, No. 5. - P. 744-750.

50. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. of Сотр. Physics. 1983. - Vol. 49. - P. 357-393.

51. Ершов С. В. Квазимонотонная ENO схема повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Мат. моделирование. 1994. - Т. 6, №11. - С. 58-64

52. Lorenzo М., Vigevano L., Zaccanti М. Factorized Imlicit Upwind Methods Applied to Inviscid Flows at Hight Mach Number // AIAA J. 2000. - Vol 38, №10, - P. 1846-1852.

53. Владимирова H. H., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, 1966. С. 186-192.

54. Chorin A. J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. of Сотр. Physics. 1967. - Vol. 2. - P. 12-26.

55. Грязин Ю. А., Черный С. Г., Шаров С. В., Шашкин П. А. Об одном методе численного расчета решения трехмерных задач динамики несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1997. - Т. 353, №4. - С. 478-483.

56. Rogers S.E., Kwak D., Kiris С. Steady and Unsteady Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations // AIAA J. 1991. - Vol. 29, №4. - P. 603-610.

57. Грязин Ю.А., Черный С. Г., Шаров С. В. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости // Вычислительные технологии. 1995. - Т. 4, №13. - С. 180-203.

58. Грязин Ю.А., Черный С. Г., Шаров С. В. Об использовании методов типа попеременно-треугольных решения неявных разностных схем для трехмерных уравнений динамики несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. -1995. Т. 4, №13. - С. 306-320.

59. Черный С. Г., Шашкин П. А., Грязин Ю.А. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе к — е-моделей // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 4, №2. - С. 74-94.

60. Чирков Д.В., Черный С.Г. Сравнение точности и сходимости некоторых TVD-схем // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 5, №5. - С. 87-108.

61. Чирков Д. В., Черный С. Г. Неявный метод численного моделирования пространственных течений вязкого газа // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, т. - С. 66-83.

62. Чакравати С. Р., Жем К.-Й. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. 1987. - №11. - С. 22-35.

63. Грязин Ю. А. Применение противопотоковых схем для численного моделирования задач гидродинамики на основе метода искусственной сжимаемости. Диссканд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1996. 145 с.

64. Rizzi A. W., Eriksson L.-E. Computation of inviscid incompressible flow with rotation // J. Fluid. Mech. 1985. - Vol. 153. - P. 275-312.

65. Антонцев С. H., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 320 с.

66. Thomas J. L., Salas M. D. Fax field boundary conditions for transonic lifting solutions to the Euler equations // AIAA J. 1986. - Vol. 24, Ж 7. - P. 1074-1080.

67. Hakkinen R. J., Greber I., Trilling L., Abarbanel S.S. The Interaction of an Oblique Shock Wave with a Laminar Boundary Layer. NASA Memo 2-18-59W, March 1959.

68. Holden M. S., Moselle J. R. Theoretical and Experimental Studies of the Shock Wave-Boundary Layer Interaction on Compression Surfaces in Hypersonic Flow.

69. ARL 70-0002, Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson AFB, OH, Jan. 1970.

70. Rizzetta D.P., mach K. D. Comparative Numerical Study of Hypersonic Compression Ramp Flows. AIAA Paper 89-1877, June 1989.

71. Rudy D.H., Thomas J.L., Kumar A., Gnoffo P. A., Chakravarthy S.R. Computation of laminar hypersonic compression-corner flows // AIAA J. 1991. -Vol. 29, No. 7. - P. 1108-1113.

72. Cleary J. W. Effects of Angle of Attack and Bluntness on Laminar Heating-Rate Distributions of a 15° Cone at a Mach Number of 10.6. NASA TN D-5450, Oct. 1969.

73. Квак Д., Чэнг Дж.Л.К., Шенкс С. П., Чакраварти С. Р. Метод решения уравнений Навье — Стокса для трехмерных течений несжимаемой жидкости с использованием простейших переменных // Аэрокосм, техника. 1987. - №2. -С. 144-153.

74. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М: Мир, 1986. - 184 с.

75. Klainerman S., Majda A. Compressible and incompressible fluids // Comm. Pure Appl. Math. 1982. - Vol. 35. - P. 629-651.

76. Lions P.-L., Masmoudi N. Incompressible limit for a viscous compressible fluid // J. Math. Pures Appl. 1998. - Vol. 77. - P. 585-627.

77. Desjardins В., Grenier E., Lions P.-L., Masmoudi N. Incompressible limit for solutions of the isentropic Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions // J. Math. Pures Appl. 1999. - Vol. 78. - P. 461-471.

78. Hoff D. The Zero-Mach Limit of Compressible Flows // Commun. Math. Phys. -1998. Vol. 192, №3. - P. 542-554.

79. Яненко H. H., Ковеня В. M. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 232, №6. - С. 12731276.

80. Unrau, D., and Zingg, D.W. Viscous Airfoil Computations Using Local Preconditioning. AIAA Paper 97-2027, June 1997.

81. Lee D. Local Preconditioning of the Euler and Navier-Stokes Equations. PhD thesis. University of Michigan. 1996.

82. Eriksson L.-E. A Preconditioned Navier-Stokes Solver for Low Mach Number Flows // Proceedings of the Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. 1996. P. 199-205.

83. Kleb W. L., Wood W. A., van Leer B. Efficient Multi-Stage Time Marching for Viscous Flows via Local Preconditioning. AIAA Paper 99-3267. June 1999.

84. Abgrall R. An extension of Roe's upwind scheme to algebraic equilibrium real gas models // Computers & fluids. 1991. - Vol. 19. - P. 171-182.

85. Humphrey J. A. C., Taylor А.М.К., Whitelaw J.H. Laminar Flow in a Square Duct of Strong Curvature // J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83, pt. 2. - P. 509-527.

86. Материалы по исследованию кинематики потока в проточном тракте модельной гидромашины РО 928 (ГЭС Балимела)/ СКВ «Гидротурбомаш», JIM3. Санкт-Петербург, 1998. (неопубликовано)