автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель морского газопровода

Санкт-Петербургский государственный университет

на правах рукописи

П01ЮВА Елена Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МОРСКОГО ГАЗОПРОВОДА

05.13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербурюкого юсу дарственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Курбатова Галина Ибрагимовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мирошин Роман Николаевич

кандидат физико-математических наук, директор научного центра Корнинг в Санкт-Петербурге Доценко Александр Викторович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

морской технический университет

Защита диссертации состоится июня 2005 года в часов

на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой сгепени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном укииерсигете по адресу' 199034, Санк!-Петербург, Университетская наб , д.7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Л.М. Горькою СанкьПегербургского государственного университет

Автореферат разослан « » _2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор " Г И. Курбатова

ЛЛЮб'Ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Мш истральные трубопроводы

в настоящее время обеспечивают практически всю транспортировку добываемого природного газа в пределах России и в европейские страны. Возрастающие объемы перекачиваемого га'¡а, увеличение протяженности Mai истральных га юпроводов, а также перспектива транспортировки таза rio морским газопроводам от недавно открытых месторождений га ¡а па шельфе Баренцева моря гребу юг со здания адекватных математических моделей транспортировки газа.

Геометрия течения в цилиндрических трубах при осесиммеiричных граничных условиях позволяет по крайней мере упростить постановку до двумерной (в цилиндрической системе координат). На практике, в большинстве моделей транспортировки газа ограничиваю i си одномерной постановкой. Оценить погрешность такого упрощения задачи можно только в рамках более общей двумерной модели указанных процессов. К настоящему времени накоплен богатый отечественный и зарубежный опыт по расчетам магистральных газопроводов. Обзор математических моделей свидетельствует о том, что задача построения адекватной математической модели течения rascas по морским газопроводам далека от завершения, поэтому тема диссертации актуальна.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. И< •следование ра sличных вариантов двумерной математической модели транспортировки природного газа по морским газопроводам, учитывающей влияние профиля скорости, ней ю-гермичпость процессов, неидеальность, сжимаемость и мпогокомпо-нептность газа, шероховатость внутренней поверхности газопровода, рельеф трассы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе основными ме-

тодами исследования являются метды механики сплошных сред, метод!,! вычислительной математики, математического моделирования и численного эксперимента

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Исследование нолуэмпирической модели турбулентности Новожилова Павловского в широком диапазоне изменений чисел Рей-нольдса Расчет зависимости от числа Рейнольдса шпирических параметров модели.

2. Аналитическое решение задачи о расчете профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб при боныиих числах Рейпольдса и малых числах Маха.

.'! Комплекс программ п среде Мар1е, реал и дующий алгоритм численного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулентного неизотермического течения сжимаемого неидеального многокомпонентного гам по шероховатым трубам с замыкающей модифицированной моделью Кармана.

1 Анализ чувствительности математической модели к вариациям основных параметров, в частности, расхода газа, давления па входе 1! га юпровод, ре льефа трассы, шероховатости стенок и условий теплообмена вдоль трассы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ:

Результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы и перечисленные в п. 1-4 положений, выносимых на защиту, являются новыми.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Предложенная

математическая модель и комплекс программ, реализующий алгоритм численного решения уравнений модели, могут быть использованы в различных проектных организациях нефтяной и газовой промышленности па гмадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских 1а юпроводов, а также при проведении -экологической -жсперти ял.

Математическая модель транспортировки газа по донным 1а зопроно-дам, представленная в диссертации, пегла в основу расчетов транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки (губа Корабельная), а также использовалась при выполнении хоздоговорных работ по теме- "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо Киропейского газопровода и о преде пение тех и и ко- технологических параметров подводного морского газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13.11.2003).

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ. По резуль-киам диссертационной работы опубликовано 7 научных работ, в том числе тезисы доклада и аннотация работы по гранту МОЗ -2.2Д 61 (диплом АСП Ж30.1325), и одна монография (в соавторстве). Список работ приведен на с. 15.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Ос •новные pe i у тьтат ы

диссертационной работы были представлены на XXII, XXIII и XXIV конференциях факультета Прикладной математики процеесои управления "Процессы управления и устойчивость", на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого ie.ua Санкт-Петербурге кого государственного универси тета, а также на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Ди<-

еертация состот и ¡ введения, четырех г пав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 61 наименование. Работа и ?>ю-жена на 106 страницах, содержит 5 таблиц и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ содержится краткий обзор математических моделей транспортировки газа, обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, обсуждается нови ша и практическая шачимость исследований.

о

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ приводится общая постановка двумерной задачи об установившемся турбулентном течении пя ¡кой сжимаемой неидсалыюй смеси газов в цилиндрической трубе с учеюм рельефа трассы и шероховатости стенок. В начале главы I приводятся физические особенности задачи и допустимые упрощения, приня n.ie при построении математической модели. В диссертации рассма iрива-ется решение стационарной задачи. Ограничиваемся осееиммечричной постановкой задачи. Локально вводится цилиндрическая си< тема координат (г,в,г). Ось г направлена вдоль оси газопровода. Рас с ма i рива-ется область г € [0,7?*], в € [0, 27т], г € [0,L]; В* , L внешний радиус и длина газопровода.

Для задачи характерны малые числа Маха М = н./н* (н, -Q/(nfí¿f>) характерная скорость течения, я, характерная скорость шука. ~ 400 м/с, р плотность) и большие числа Рейнольдса Н< (Пс = 2Q/(nRfi). Q расход, ¡i коэффициент динамической вя жо-сти, R внутренний радиус газопровода).

\.д)1цп<- u.uirim мыс ( ooi ношения механики сплошных сред упрощаются в еоответс гиии с особенное гями -задачи, что приводит к следующей системе уравнений модели-

^-0, П)

Он , % <lp 1 д ,

1т Т" = P!F»-HMz) ~ Т + -тг (гт), Í2)

(Jz (¡Z г иг

<le i) и да 1 $ 0<iz

(>и --=г~-р—--(-- — (П]г) + — -. (3)

(I.Z ог иг г ог oz

'Здесь г/, , <"/- соответствующие проекции вектора ткниогш потока íeinia, е массовая плотность внутренней анергии raía, g ускорение сипы тяжести, rv(z) угол между направлением силы тяжести и осью га юировода в 2 ом сечении, ]> давление,« г ан составляющая скорости потока.

Обсуждается выбор замыкающего реологического соотношения Лмя касатепыюй составляющей т ген юра турбулентных напряжений. Основное внимание уделяется модели Новожилова Павловского:

\'2а\и' о

íTJT^l

v = n(fír), ;гп = ¡v„Uir), В<> - 2<У/(7г/?//), р = р(г),

= 0, lg

0 и Ог

a + b{kvt/v) 1/-!, (5)

1-Н

1де а и Ь параметры, их выбор определяется числом Рейнольдса, с* ~

¡/7Ы/г динамическая скорость, V коэффициент кинематической

вязкости газа, к характерный линейный ])а мер шероховатое I и. и и а1,, параметры полуэмпирической моде ми Новожилова Павловского.

Граничное ус повис (5) при к -> 0 переходи I в условие Кармана '"<и I/ -Н ~ ~00" К0Т°Р0<'' как ишесгно, является хорошим приближением для гидравлически гладких труб.

В качестве уравнения состояния выбрано уравнение Редлиха Квота

hpl ер

P " ~ (1 + (Г,)

IVU'

S H

h = Rq/M, M = 1},т,, ^ r/t = 1, î î

S - h ¡Al, с - a/M\ h = iîbR4T, /p,, « = na(Il,f'r;2 r'/p,

Ru газовая постоянная, тп,, г/, молекулярный вес и доля /-ii составляющей i»новой смеси соответственно; н количество компопеш ызовой смеси; ila = 0.12748, И/, = 0 08664 константы;

s

p, = Р, : критическое давление для ?-й компоненты смеси

I

ч

газов; '/', = YlViTn- Tlt - критическая температура для /-й компопеп-[

п>1 с меси 1 а зов Для уравнения состояния Редлиха-Квонга производная '¡р, входящая 13 уравнение (3), находится в виде

— - — Зс dp

d~z ~ C"dï ~ 2(1 ■+ адГ'/2^'

г, массовая плотность теплоемкости при постоянном объеме, Т температура галл.

ЛимиIирующей стадией теплообмена с внешней средой для mikiiiix конструкций газопровода является теплопроводность через мноюс лоп-п\ю боковую поверхность газопровода. При этом теплообмен с внешней средой можно учитывать интегрально введением в уравнение баланса внутренней энергии слагаемого u>(z) типа объемного источника (сткд). которое имеет вид

, . 2qw ßR*(r*(z)-T(z)) ^ 1 / д, \

(7)

ß коэффициент теплообмена па внешней поверхности тазопровода, г,, <5, , А, радиус газопровода с учетом толщины i го слоя обшивки, толщина и коэффициент теп юпроводности 1 го слоя обшивки cootbci ствеппо, R* внешний радиус га зопровода, Т* температура окружающей среды.

Математическая модель установившегося турбулентного точения многокомпонентною поидоаиыюго сжимаемою таза и цилиндрическом газопроводе с уравнением состояния Редлиха-Квопга и замыкающей моделью Новожилова-Пап лот кого, дополненная граничными условиями на входе, имеет вид:

д (ри)

^ = ' (8)

Он (1р 1 0 , . . ,

рч тг = —Г + + А<КОка(г), (9)

иг (к г иг

ОТ Оу Оу , 21ПГ(Т*(г)-Т) , Зс_Лр

(,Н'-°1ь + ~7?2(1 + (Ш*А) ~ + Л ' (10)

„__М___^ пп

1 \-Ьр (1 + &р)Т°я ' 1 ;

177Г2"

ди

дг

= а + Ь(ку./1у)-,/\ (13)

г-Н

2 = 0- 7, = Г„, р = ро, (Н)

и(//г), а.„(Лс), р('Г,р), Яр = 2^/(тг/?/л), 4 = Ё ^ 1п + •

Во второй главе проводится расщепление общей систем1>1 уравнений и выделяется задача о расчете профиля локального расхода для сжимаемого газа.

Для сжимаемых сред в принятой постановке и 5 уравнения неразрывности (8) следует, что произведение {(>'ч) (локальный расход) является функцией только радиальной координаты г

ри = р(г)и{г.г) - .р(г).

Это приводит к ненулевому инерционному слагаемому ри в \равнении движения (9).

При малых числах Маха плияиис инерционных сил мало, это позволяет воспользоваться процедурой решения, предложенной Б.В.Филипповым для подобных задач Нелинейное спасаемое ри^р в уравнении движения (9) заменяется своим средним по сечению га зо-провода значением, причем осреднение проводится по заранее неизвестному профилю скорости, который рассчитывается в ходе решения задачи. Операция осреднения, обозначенная символом (), определена равенеч вом

К

(/)= ^ 11(г)г<1г. о

(15)

В этом случае ди

ри

дг

д и \

»"Ж/

=

(к

= т* (ш)

о

Полу эмпирические модели турбулентности Прапдьля, Кармана, Прапдшя Никурадзе, Новожилова Павловского при малых числах Маха обобщаются в диссертции на сжимаемые среды.

Касательное напряжение т в моделях Прандгля Пикурадзе, Кармана, Новожилова Павловского можно представить в виде произведсния дв\ х функций, одна и з которых зависит только от г , а другая только от г.

В классической модели Кармана это приводит к соотношению (;г -параметр модели Кармана, = 0.4)

1

Т - -р

Мг)

(1г

(1<р(г)

<1г

^УЛ^МГ)), (17)

в модели Новожилова Павловскою к соси ношению

= (18) р р

Таким образом для касательного напряжения приходим к соотношению

т = Р{г)ФЫг)). (19)

1 аеп (1у{г) с1р(г) (12<р{г) 2«

р (1г (1г / с/г'2

Уравнение движения (9) е учетом (]6), (19) преобразуется к уравнению с ра зделяющимися переменными

/4) [К1<ь

Ш-

рдсояа(г) +

ф 1х

\ - 1А.

) г (1г

{гф(ф))) = -С. (20)

П(н ыновка задачи расчег<1 функции имеет вид:

1 <1

<1г

{ХФШ - -С

(21)

при (оответствующих граничных условиях для 'р(г) и </?'(?•). Для модели Новожилова Павловского постановка задачи записывается следующим образом.

1 (I ^ (1(р г <1г <1г

г1<р 2 л

Лг / с/г2

= -с,

С положительная консзапта, которая, как можно показать, вы ражаелся через ко)ффициепт сопротивления Л по фо])му/1е С = А (,'

—^ , А = А(Ие,/г) экспериментальный закон сопротивления, к относительная шероховатость (к = ) к,, эквивалентная шероховатость.

Получено аналитическое решение задачи о расчете профиля локального расхода для модели Новожилова-Павловского для гидравлически I ладких поверхностей:

(¿>(г, п) - <р0

2п - 1 п + 1

^ /С, 2

(1.г, (22)

г г/П бе зразмерная координата, <ро среднее -значение локального расхода на входе в газопровод Безразмерная величина Су является функцией параметра п и выражается но формуле

1

С,(т|) =

2"

2т» - 1

2 п

(2П + 2)

.7

(м+1)

п + 1 / V 271 - 1

|де ,/(;;)) можно представит!, через Бета функцию

71 параметр модели Новожилова Павловского.

В диссертации завершено началое авторами полузмпирической модели (18) исследование зависимое гей п и а1,, ог числа Не . Результаты исследования представлены в таблице.

Бе 4 ■ 10:< 2.3 • 10"' 1.1 • 10* 1.1 • 10н 2 • 10« 3.2 • 10«

и. 0.665 0.695 0.710 0.762 0.785 0.785

0 410 0.471 0.534 0.626 0.642 0.661

Для шероховатых поверхностей профиль скорости рассчитывается по модели Новожилова Павловского с граничными условиями (5), которые содержат параметры а и Ь Выбор >тих параметров д 1Я всего диапазона чисел Я с и к {к = ^, к = к,,) достаточно громоздкий

При больших числах Яг параметр п модели Новожилова Павловского стремится к единице1 и модель Новожилова Павловскою переходит в модель Кармана. Для модели Кармана В Л. Павловским предложена модификация граничного условия па первую производную скорости, позволяющая учесть шероховаюсть: — —/•

Здесь / безразмерная функция, содержащая учет шероховатости. В зоне квадратичного сопротивления функция / в результате обработки экспериментальных кривых находится в виде:

/ = (-)0!Ш, (25)

к

в области переходного режима в виде:

/ - [И 7,4 - (-)»+ (-)0 Ч8л, (26)

л К К

,/.., =__18_

12 п+и'КстДУ*'

Постановка .задачи о ра< чете профиля локального ¡>асхода по модифицированной модели Кармана имеет вид

с/уз е/ср

с/г (1г / е/г2

I -П п _

и' (1г\ г=я- 'яфУй' ~ 1 .28/?г'7Г2 '

Аналитическое решение задачи о расчете профиля локальною рас-\<> и< с жимаемого 1а за для шероховатых 1руб по модифицированной моде 1и Кармана получено в виде:

¥>(г, Ке, /г) - 2.5^^1(6111 - (1 - >/£)], (27)

1.25

6=1 + —, (28)

/ бе фа ¡мерная функция, определенная (26). В диссертации представлены результаты сравнительного анализа профилей локального расхода, рассчитанных по моделям Новожи юва Павловско! о и Прандтля Никурадзе, а также по модифицированной модели Кармана.

В третьей главе приводится замкнутая постановка задачи расчет 1П101Н0СТИ р(г), температуры Т(г), давления р{г) и скорости и [г. г) газа Уравнения модели (9)-(10) осредняются по (счению гато-ировода с учетом найденною в главе 2 вида профиля Iр(г).

-к\ <1р (1р к2

- - = — - Ь рдсо.ча{г) (29

рг пг аг р

н

2 [ 1, \ ! ь Сгг» г 1-ил

= <р(г)г<1г, = <7=^ — (30)

о

и — I

(1Т С}к2 [ рС} (1р . ( 1 \ 1 рЯ Зс <1р

= Т + Т Тг+рпП {-Л'1'") + 2(ГТадг^ ^' (31)

Т1 _ },РТ____СР1

1 1-6р (1 + 6р)Т>/*'

р\.-и = Аь = То. (33)

Дня модифицированной модели Кармана величина кi (30) рассчитывается аналитически

Система \ равнений математической модели (29) (33) приводи и я к безразмерному виду, выделяются безразмерные комплексы задачи.

Таким образом, уравнения модели (8) (14) после расщепления и с \ челом найденного решения задачи о профиле локального расхода преобразуются к замкнутой системе обыкновенных нелинейных ингсчро дифференциальных уравнений.

Безразмерпые переменные и функции вводятся по формулам

- г . р - Т р f, Г*

- = 7- • Р = — - Т = —-, р = Г = —- .

I Pa Jo Ро I о

L() характерная длина; р(), Tft плотность и температура iata па входе; ро давление па входе, рассчитываемое по уравнению со< гоя-

11ИЯ.

В безразмерном виде (крышечки опущены для облегчения записи) система уравнений модели приводи кя к следующей форме

dp 2 (1Р '3

у - = m i Р ~г + m-iP - itt'ip cos a(z), (.И)

az az

'IT 1 . P 'IP , /Г», X Г.,,,

— = ггц —r + nir, — — + m6mio(i (г) -7) + az /г az

1 _ dp +7'17 (1+S*p)f& d~z •

(35)

PT P2

p = tn" r^v " "" (1 + 6-Р)Т& ' (Я6)

г = 0 : Т = 1. (37)

Безразмерные комплексы пц т-шю задачи выражаются через параметры и характерные значения функций но формулам

popo L0k¿ Lupfe]

i»i = — ; rn-z = —— ; m-j = —--; д = др(]:

кi к i к,

Loh Pn ¿ttLo

711 л = ■ 2 T ; Юг> = --F"; r"e = 7î-Г ; (38)

№<"Лп P(\c,,To Qr„A

3rA) hp nT„ r/jg Л/ЯГ

«'7 = -ГлТ • =- ; m<> =-Глг; r"H)~

2c „Т^2 № poT, J/2 1 + fin* A

Система нелинейных обыкновенных интегро дифференциальных уравнений (34) (36) разрешается относительно прои ¡водных ^ , ^г и решается численно методом 1'унге-Кутты четвертого порядка точности. По найденным значениям плотности p(z) и величины ip(r) находится скорость u(r,z) - ~|ту. Алгоритм расчета характеристик установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой неидеальной смеси газов в шероховатых газопроводах с учетом рельефа трассы оформлен 1з виде1 комплекса программ в среде Maple Комплекс cociom и з:

1 про! раммы расчета в<чч)вого расхода по заданному объемному расходу;

2. программы расчета параметров уравнения состояния Редлиха-Квонга для многокомпонентной химически инертной смеси газов,

3. программы сплайн-аппроксимации данных заказчик;! по рельефу трассы;

4 программы вычисления интегралов, входящих в расчет профилей локального расхода, через специальные функции;

•г). программы расчета профилей локального расхода гю "замыкающей модели Новожилова-Павловского и модифицированной модели Кармана;

6. программы, реализующей численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.

В конце третьей главы представлен пример численного расчета модельного варианта транспортировки природного (аза по морскому га зо-проводу.

В Четвертой главе исследуется чуведвите н.ность математиче с кой модели главы 3 к вариациям основных параметров: расхода, дан-лени я на входе, условий внешнего теплообмена, шероховатости стенок,

рельефа гракы Представлены резу мьта гы расчета эталонного иариан ia, а также расчеты харакюриетик течения при вариациях основных параметров. IV ¡униат ы исследований предъявлены в виде графиков В расчетах использован созданный комплекс программ в среде Maple.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы выводы но результатам исследований:

1. Анализ замыкающих моделей Прандтля Никурадче, Новожилова Павловскою и Кармана позволяет сделать вывод о близости профилей локально! о расхода, рассчитанных по >тим моделям при больших числах Рейнольде а.

2 Использование1 модифицированной модели Кармана позволяем упростить расчет профиля локального расхода в области развиюй шероховатости.

3. Наличие двумерной модели транспортировки газа и прелраммы расчета по пей позволяет оценить погрешность использования одномер пого варианта модели.

4 Анализ влияния рельефа грассы на основные характеристики нотка позволил сделать важный для практики вывод по выбору оти-мального ])ельеч1)а Т1>ассы.

5. Анализ чувствительности модели к шероховатости стенок подтвердил предположение о существенном влиянии шероховатости па характеристики потока.

G. Анализ чувствительности модели к вариации давления на входе подтвердил предпочтительное i г» маке имально допустимого давления па входе.

На защиту выносятся результаты, полученные автором и перечисленные на стр. 4.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Макаров MB.. Попова ЕЛ. Обобщение модели Новожилова Павловскою для сжимаемых сред при малых числах Маха В сб. "Нелинейные проблемы механики и фи зики'' СПб.: Вып 5. 2002, С 59 64.

2 Курбатова Г И . Попова ЕЛ Условия формирования постяпиой температуры в дойных трубопроводах// В сб "Нелинейные проблемы механики и физики'' СПб • Вып. б, 2002, С. 45 48

3. Попова Е.А. Замыкающие полу >мпирические модели Новожи лона-Павловского и Прандт ля-Никурадзе// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики'" СПб.: Выи. 7, 2003, С. 88 94.

4. Попова Е.А. Магема\ическое моделирование процесса трат порти] юн к и гам по подводным га юпроводам// Восьмая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Аннотации работ по грандам Саикт- Петербургского конкурса 2003 года для студентов, аспирантов и молодых специалистов. СПб. 2003, С. 23.

5. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Попова Е.А., Филиппов В.Б. О замыкающих уравнениях в моделях установившихся турбулентных течений в I рубах// Вес шик СПбГУ, Сор. 1, Вып.4, 2003, С. 76 88.

6. Курбатова Г.И., Попова Е.А. Об одном аналитическом решении задачи о расчете профи ля скорости турбулентного течения сжимаемого газа 1з трубах// XX Всероссийская школа-семинар. Анапи-шчеекис ме■ оды и оптимизация процессов в механике жидкости и газа: Тезисы докладов Новосибирск, 2004, С. 47.

7. Курбатова Г.И., Попова Е А. Анализ чувствительноеIи математической модели транспортировки газа по морским газопроводам к вариациям параметров// Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Казань: Казанское математическое общество, Том. 27, 2004, С. 155 160.

Подписано в печать 05 05 05 Формат 60x84/16. Бумага офсетная Печать офсетная Усл. печ л 0,93 Тираж 100 экз Заказ № 48

Типография Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр., 41.

»

I i

I

г

I

i

V

! I

»10169

РНБ Русский фонд

2006А

6117

1. Обзор математических моделей транспортировки газа по протяженным трубопроводам.б

2. Цель работы.

3. Положения, выносимые на защиту.

4. Структура работы.

Обозначения.

Глава 1. Математическая модель установившегося турбулентного течения сжимаемого неидеального газа по морским газопроводам

1.1. Общая модель.

1.2. Замыкающие уравнения.

1.3. Полуэмпирические модели турбулентности для течений несжимаемых жидкостей в трубах.

1.4. Математическая модель А.

Глава2. Аналитическое решение задачи о расчете профиля скорости в широком диапазоне изменений числа Рейнольдса

2.1. Выделение задачи о расчете профиля локального расхода из основной задачи расчета характеристик потока

2.2. Постановка и решение задачи расчета профиля скорости для несжимаемой жидкости по модели Новожилова-Павловского во всем диапазоне изменений эмпирических параметров модели

2.3. Связь профиля скорости в модели Новожилова-Павловского со степенным профилем скорости

2.4. Расчет зависимости эмпирических параметров п, аеп модели Н-П от числа 11е

2.5. Сравнительный анализ профилей скоростей, рассчитанных но модели Новожилова-Павловского и по модели Прандтля-Никурадзе для гидравлически гладких труб.

2.6. Аналитическое решение задачи расчета при малых числах Маха профиля локального расхода сжимаемого газа для гидравлически гладких труб по модели Н-П

2.7. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых труб при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха.

2.8. Сравнительный анализ профилей локального расхода, рассчитанных по модели Новожилова-Павловского и модифицированной модели Кармана для сжимаемых сред в гидравлически гладких трубах.

Глава 3. Численное решение задачи расчета распределений давления, плотности, температуры и скорости потока газа в морском газопроводе.

3.1. Осреднение уравнения баланса внутренней энергии.

3.2. Безразмерная форма уравнений модели.

3.3. Алгоритм численного решения уравнений модели.

Глава 4. Анализ чувствительности математической модели транспортировки газа по морским газопроводам к вариациям параметров.

4.1. Выбор эталонного варианта и расчет характеристик потока для эталонного варианта.

4.2. Анализ чувствительности математической модели к вариациям параметров

4.3. Чувствительность математической модели к изменению расхода газа

4.4. Чувствительность математической модели к изменению давления на входе

4.5. Чувствительность математической модели к изменению условий теплообмена с окружающей средой

4.6. Чувствительность математической модели к изменению шероховатости стенок

4.7. Чувствительность математической модели к изменению рельефа трассы.

ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТИРОВКИ ГАЗА ПО ПРОТЯЖЕННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ

Магистральные трубопроводы в настоящее время обеспечивают практически всю транспортировку добываемого природного газа в пределах России и в европейские страны. Возрастающие объемы перекачиваемого газа, увеличение протяженности магистральных газопроводов, а также перспектива транспортировки газа по морским газопроводам от недавно открытых месторождений газа на шельфе Баренцева моря требуют создания более точных, чем существующие, математических моделей транспортировки газа. К настоящему времени накоплен богатый отечественный и зарубежный опыт по расчетам магистральных газопроводов [2, 3, 4, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 44].

Остановимся кратко на используемых математических моделях. Все они базируются на системе уравнений сохранения массы, баланса импульса и энергии в сплошных средах, дополненной реологической моделью связи тензора напряжений с дифференциалом скорости и двумя термодинамическими уравнениями: уравнением состояния газа и калорическим уравнением связи внутренней энергии (или энтальпии) с температурой и давлением в газе. В общем случае названная система уравнений не только чрезвычайно сложна, но и принципиально не завершена, поскольку отсутствует теория турбулентности. В магистральных трубопроводах всегда реализуется турбулентный режим течения, поэтому одной из важных и до сих пор нерешенных проблем является создание модели турбулентности для нестационарного течения сжимаемого газа.

Полуэмпирические модели турбулентности для установившегося течения несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах построены еще в 30-х годах 20-го столетия. "Классическими"в этой области являются работы Прандтля, Кармана, Тейлора, Никурадзе и многих других авторов. Обзор этих работ содержится, например, в монографии Новожилова и Павловского [7]. Геометрия течения в цилиндрических трубах при осесимметричных граничных условиях позволяет но крайней мере упростить постановку до двумерной (в цилиндрической системе координат). На практике, в большинстве моделей транспортировки газа ограничиваются одномерной постановкой, в которой зависимость характеристик потока от радиальной координаты учитывается с помощью введения интегральных эффективных коэффициентов - коэффициента гидравлического сопротивления Л и суммарного коэффициента теплопередачи а [4, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 37, 45, 46]. Оценить погрешность такого упрощения задачи можно только в рамках более общей двумерной модели указанных процессов [2, 14, 22, 48, 49].

В связи с необычайной востребованностью математических моделей течения газа по трубопроводам, этими задачами занимались и занимаются большие коллективы ученых в разных странах. Созданы коммерческие программно-математические комплексы типа "¿"¿аг — СИ" и т.п. Однако доступ к ним ограничен и ограничена информация о математических моделях, лежащих в основе той или иной коммерческой программы. Например, в книгах научной группы под руководством Селезнева

В.Е. [45, 46] рекламируются два программно-математических комплекса "CorNet" и "Amadeus", созданные на базе одномерной нестационарной модели транспортировки газа, предложенной еще в 1978 году в книге Васильева О.Ф., Бондарева Э.А., Воеводина А.Ф. и Каниболот-ского М.А.: "Неизотермическое течение газа в трубах"[4]. Однако если в книге Васильева О.Ф. подробно обсуждается выбор термодинамических замыкающих уравнений модели (а от правильности этого выбора в значительной мере зависит адекватность модели), то в работах Селезнева В.Е. [45, 46], кроме формальной записи р = р(р,Т), е = е(р,Т) ничего не приводится.

Серия интересных работ, например [21], В.И. Зубова, В.М. Кривцова, В.Н. Котерова, A.B. Шипилина, также базируется на одномерной нестационарной модели книги [4], но и здесь не уточняются р = р(р,Т), е = е(Р,Т).

Основной проблемой при использовании этой модели транспортировки газа для описаиия процессов, сопровождающихся резким изменением во времени характеристик потока (аварийные ситуации, быстрое заполнение трубопровода и т.п.), была и остается проблема правомерности использования зависимости Л = A(Rе,&), найденной в стационарных течениях для несжимаемых жидкостей, в нестационарных режимах течения сжимаемого газа. Некоторые основания (теоретические и экспериментальные) использования этой зависимости Л = A(Re,fc) для плавно изменяющихся во времени течений сжимаемого газа при малых числах Маха в литературе приводятся, например в [22, 33].

В установившихся режимах считается справедливым и для сжимаемых сред пользоваться законом сопротивления трубы Л = Л(Н,е, к) при малых числах Маха. Экспериментальный закон сопротивления Л = А(11е, к) хорошо изучен [20, 23, 25, 29, 30, 33] и для него найдены аналитические зависимости во всем диапазоне изменений числа Рейнольдса Ие и коэффициента относительной шероховатости к [7, 29].

Приведенный обзор математических моделей свидетельствует о том, что задача построения адекватной математической модели течения газов по морским газопроводам далека от завершения, поэтому тема диссертации актуальна. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследование математической модели транспортировки природного газа по морским газопроводам, учитывающей влияние профиля скорости, неизотермичность процессов, неидеальность, сжимаемость и много-комнонентность газа, шероховатость внутренней поверхности газопровода, рельеф трассы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. Исследование модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменений чисел Рейнольдса. Расчет зависимости от числа Рейнольдса эмпирических параметров модели.

2. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха.

3. Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм численного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулентного неизотермического течения сжимаемого неидсального многокомпонентного газа.

4. Анализ чувствительности математической модели к изменению расхода газа, шероховатости стенок, рельефа трассы, условий теплообмена и давления на входе.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Предложенная математическая модель и комплекс программ, реализующих процедуру численного решения модели, могут быть использованы в различных проектных организациях нефтяной и газовой промышленности на стадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов.

Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам, представленная в диссертации, была использована при расчете транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки (губа Корабельная), а также при выполнении хоздоговорных работ по теме: "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Евроиейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13.11.2003).

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Исследование модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. Расчет зависимости от числа Рей-польдса эмпирических параметров модели.

2. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб постоянного диаметра при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха.

3. Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм численного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулентного неизотермического течения сжимаемого неидеальиого многокомпонентного газа.

4. Анализ чувствительности математической модели к вариациям основных параметров, в частности, расхода газа, давления на входе, рельефа трассы, шероховатости стенок.

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит: 106 страниц текста, 34 рисунка, 5 таблиц и список литературы, включающий 61 наименование.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследование замыкающих моделей Прандтля-Никурадзе, Новожилова-Павловского и Кармана позволяет сделать вывод о близости профилей скорости (и, соответственно, профилей локального расхода), рассчитанных по этим моделям, в исследуемом диапазоне чисел Рейнольдса при малых числах Маха.

2. Использование модифицированной модели Кармана позволило упростить расчет профиля локального расхода в области развитой шероховатости.

3. Наличие двумерной модели и программы расчета по ней позволяет оценить погрешность упрощенного одномерного описания процессов.

4. Анализ чувствительности к вариациям рельефа трассы показал, что трассы, у которых длительный пологий спуск от уровня моря сочетается с более коротким - крутым подъемом оказались гидравлически выгоднее, чем аналогичные но длине, но у которых резкий спуск от уровня моря и пологий, более длинный, чем спуск, подъем.

5. Анализ чувствительности модели к вариации условий теплообмена показал, что эти условия оказывают существенное влияние на характеристики потока. В частности, при большом превышении температурой газа температуры окружающей среды теплообмен с внешней средой превалирует над остыванием за счет газодинамических эффектов.

6. Анализ чувствительности модели к изменению давления на входе позволяет сделать вывод об оптимальности максимально возможного давления.

Созданные по рассматриваемой математической модели программы использовались при выполнении хоздоговорных работ с ОАО "ГИПРО-СПЕЦГАЗ"для расчета транспортировки углеводородного сырья но проектируемым трассам в Баренцевом и Балтийском морях. В этих расчетах учитывался рельеф трассы и изменения вдоль трассы внешних параметров Т*, ¡3 и параметров стенки Аг-. Кроме того, в рамках квазипараметрического подхода учитывалось изменение вязкости /и(р, Т) и теплоемкости Су(р,Т). Это привело к усложнению программы расчета, но не внесло принципиальных изменений в модель и алгоритм решения.

Математическая модель транспортировки газа по морским газопроводам создавалась па протяжении ряда лет группой ученых факультета ПМ-ПУ и мат-мех факультета. На защиту выносятся результаты, полученные автором.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Исследование модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. Расчет зависимости от числа Рей-нольдса эмпирических параметров модели.

2. Аналитическое решение задачи расчета профиля скорости сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб постоянного диаметра при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха.

3. Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм численного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулентного пеизотермического течения сжимаемого неидеального многокомпонентного газа.

4. Анализ чувствительности математической модели к вариациям основных параметров, в частности, расхода газа, давления на входе, рельефа трассы, шероховатости стенок.

1. Маслов В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука. 1987, 409 с.

2. Дерцакян А.К., Курбатова Г.И., Неизвестное Я.Б., Филиппов Б.В. Некоторые научно-технические проблемы освоения шельфа арктич-ских морей России// Труды XIII сессии междунар. школы по моделям механики сплошных сред. — СПб: 1996, С.99-109.

3. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука, 1989, 368 с.

4. Васильев О.Ф., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Неизотермическое течение газа в трубах. — Новосибирск С.О.: Наука, 1978, 128 с.

5. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1974, 304 с.

6. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В. Основы моделирования движущихся сплошных сред. Термодинамика. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997,77 с.

7. Новожилов В.В., Павловский В.А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. — СПб.: Изд-во СПб ГМТУ, 1998, 484 с.

8. Глушко Г.С., Крюков И.А. Коэффициенты турбулентного переноса с учетом пульсаций плотности// М.Ж.Г. N 1, 2001, С.46-55.

9. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Кинематика сплошных сред. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999, 215 с.

10. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Элементы тензорного исчисления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998, 233 с.

11. Турбулентность, принципы и применения. Под ред. У.Фроста, Т.Моулдена. М.: Мир, 1980, 536 с.

12. У.Джонс. Модели турбулентных течений с переменной плотностью и горением// В кн. "Методы расчета турбулентных течений". — М.: Мир, 1984, С.349-371.

13. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. — Л.: Химия, 1982, 532 с.

14. Скробач A.B., Филиппов Б.В. Турбулентное стационарное движение газа в трубопроводе круглого сечения// Вестник СПбГУ, Сер.1, 1996, вып.З, N15. С.89-95.

15. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. — М.: Наука, 1989, 342 с.

16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970, 904 с.

17. Павловский В.А. Расчет установившихся турбулентных течений вблизи шероховатых поверхностей в свете обобщенной теории Кармана// Вопросы судостроения: Сер. Проектирование судов, 1985, выи. 42. С. 132- 140.

18. Курбатова Г.И., Макаров М.В. Об одном интеграле системы уравнений, моделирующей турбулентное течение вязкого сжимаемого газа/ / Процессы управления и устойчивость. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998, С.157-163.

19. Агапкип В.М., Борисов С.Н., Кривошеий Б. J1. Справочное руководство по расчетам трубопроводов. М.: Недра, 1987, 191 с.

20. Зубов В.И., Котеров В.Н., Кривцов В.М., Шитшлин A.B. Нестационарные газодинамические процессы в газопроводе на подводном переходе через Черное море// Математическое моделирование, 2001, Т.13, N4, С.58-70.

21. Грачев В.В., Щербаков С.Г., Яковлев Е.И. Динамика трубопроводных систем. — М.: Наука, 1987, 439 с.

22. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. — Л.: ЛГУ, 1970, 375 с.

23. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 Т. — М.: Наука, 1983, Т.2.

24. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975, 296 с.

25. Темпель Ф.Г. Механика газовых потоков в трубах. Л.: Недра, 1972, 213 с.

26. Кривошеим Б.JI. Теплофизические расчеты газопроводов. М.: Недра, 1983, 273 с.

27. Кривошсин Б.Л., Радченко В.П., Бобровский С.А. и др. Некоторые математические модели нестационарного течения газа в магистральных трубопроводах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974, N 6, С.112-120.

28. Алътшулъ А.Д. Гидравлические сопротивления. М.: Недра, 1970, 216 с.

29. Шлихтипг Г. Теория пограничного слоя. М.: Недра, 1974, 711 с.

30. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983, 512 с.

31. Способы прокладки и эксплуатации трубопроводов в условиях вечной мерзлоты. М.: ВНИИОЭНГ, 1975, 111 с.

32. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979, 408 с.

33. Telbany M., Reynolds A.D. Turbulence in a plane channel flows// Jour. Fluid. Mech., 1981. Vol.lll. P.283-318.

34. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах// Проблемы турбулентности. M.-JI.: ОНТИ СССР, 1936. С.132-154.

35. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972, 708 с.

36. Справочник по проектированию магистральных трубопроводов// Под ред. А.К.Деркацяна. J1. 1977, 519 с.

37. Гиргидов А.Д. Техническая механика жидкости и газа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 395 с.

38. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Наука, I960, 464 с.

39. Pomma И.К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. JL: Судостроение, 1967, 180 с.

40. Николаевский В.Н. Пространственное осреднение и теория турбулентности// Вихри и волны: Сб. статей. М.: Мир, 1984, С.266-335.

41. Слеттперн Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. М.: Энергия, 1978, 448 с.

42. Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А., Метпляева Э.А. Обратные задачи стационарного неизотермического течения газа в трубах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1977, N 1, С.143-145.

43. Сухарев М.Г., Карасевич A.M. Технологический расчет и обеспечение надежности газо- и нефтепроводов. М.: Изд-во РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2000, 272 с.

44. Селезнев В.Е., Алешин В.В., Клишин Г.С. Методы и технологии численного моделирования газопроводных систем. М.: УРСС, 2002, 448 с.

45. Селезнев В.Е., Клишин P.C., Алешин В.В., Прялов С.Н., Киселев В.В., Бойченко А.Л., Мотлохов В.В. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа. М.: УРСС, 2003, 223 с.

46. Курбатова Г.И., В.А. Павловский, E.D. Пастухова О расчете турбулентных течений в шероховатых трубах с равномерно- зернистой и технической шероховатостями// Сб. Физическая механика. СПб, вып. 8, 2004, С.146-161.

47. Скробач A.B., Филиппов Б.В. Модель Прандтля-Никурадзе для неизотермического турбулентного движения неидеального газа в круглой трубе// Сб. Физическая механика. СПб, выи. 7, 1998, С.9-21.

48. Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Профиль скорости турбулентного течения сжимаемого газа в шероховатых трубах// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики—СПб.: вып. 4, 2001, С.73-84.

49. Курбатова Г.И., Макаров М.В., Филиппов В.Б. Анализ тепловых режимов течения газа в донных трубопроводах// Вестник СПбГУ, Сер. 1, вып. 2, 2002, С.61-67.

50. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Неизотсрмическое турбулентное течение сжимаемого газа// Математическое моделирование, 2003, Т.15, N 3, С.92-108.

51. Филиппов В.Б. Модель морского газопровода с учетом оледенения// Вестник СПбГУ, Cep.l, N 1, 2004, С.103-111.

52. Филиппов В.Б. Расчет транспортировки газа по морскому газопроводу с учетом оледенения// Сб. Физическая механика. СПб, вып. 8, 2004, С.45-62.1. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА1. ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

53. Макаров М.В., Попова Е.А. Обобщение модели Новожилова-Павловекого для сжимаемых сред при малых числах Маха// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики" — СПб.: выи. 5, 2002, С.59-64.

54. Курбатова Г.И., Попова Е.А. Условия формирования постоянной температуры в донных трубопроводах// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики" — СПб.: вып. 6, 2002, С.45-48.

55. Попова Е.А. Замыкающие полуэмиирические модели Новожилова-Павловского и Прандтля-Никурадзе// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики" — СПб.: вып. 7, 2003, С.88-94.

56. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Попова Е.А., Филиппов В.Б. О замыкающих уравнениях в моделях установившихся турбулентных течений в трубах// Вестник СПбГУ, Сер. 1, вып.4, 2003, С.76-88.

57. Курбатова Г.И., Попова Е.А., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б., Филиппов К.Б. Модели морских газопроводов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005, 157 с.