автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель нестационарного неизотермического течения газа по морским газопроводам

Санкт-Петербургский государственный университет

4851ооэ

на правах рукописи

Груничева Екатерина Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ПО МОРСКИМ ГАЗОПРОВОДАМ

05.13.18 —математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С анкт-Петербург 2011

1

4 ИЮП 2011

4851539

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Курбатова Галина Ибрагимовна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Матвеев Сергей Константинович (СПбГУ)

доктор технических наук,

заслуженный деятель науки РФ, профессор Усков Владимир Николаевич, (БГТУ "Военмех" им. Д.Ф.Устинова)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный морской

технический университет

Защита диссертации состоится 28 сентября 2011 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт -Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., д.7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан "... "............2011 года.

И. О. ученого секретаря доктор физико-математических наук

диссертационого совета профессор (СПбГУ)

Д-212.232.50

Веремей Евгений Игоревич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Возрастающие объемы транспортируемого газа, необходимость использования сверхвысоких давлений, достигающих 25 МПа, и прокладка морских газопроводов в северных морях потребовали проведения дополнительных исследований по созданию адекватных математических моделей течения газовой смеси в трубопроводах. Наличие многочисленных коммерческих пакетов, таких, например, как Fluent, ANSYS, Star-CD не дает оснований считать задачу полностью решенной. Дело в том, что математические модели и численные алгоритмы, используемые в этих пакетах, не универсальны, установление границ их применимости для сложных многофакторных задач транспортировки газа по морским газопроводам является предметом самостоятельного исследования. Достаточно сказать, что разработанные в последние годы в ОАО "Газпром" документы по проектированию морских трубопроводов предусматривают необходимость их доработки с учетом специфики задачи в каждом конкретном случае. В исследуемых задачах необходим учет протяженности подводного участка газопровода без промежуточных подстанций, сверхвысоких давлений газа на входе, сложного состава газовой смеси, низкой температуры окружающей воды в северных морях, обуславливающей возможность оледенения газопровода, конструктивных особенностей многослойной стенки газопровода и условий его прокладки.

Решение проблемы надежности и безопасности эксплуатации морских газопроводов невозможно без создания адекватной математической модели процессов транспортировки газа по морским газопроводам, поэтому тема диссертации является актуальной.

В цикле работ, проведенных в Санкт - Петербургском государственном университете на кафедре физической механики (мат.-мех. факультет) и кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела (факультет ПМ-ПУ) была создана математическая модель установившегося безударного неизотермического течения вязкой нсидеальной химически инертной многокомпонентной газовой смеси по морским трубопроводам круглого сечения с абсолютно жесткими стенками, имеющими многослойные покрытия.

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ является обобщение этой математической модели на нестационарные процессы транспортировки газа по морским газопроводам и выбор эффективных вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать длительные нестационарные процессы за обозримое время.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе использованы методы математического моделирования, методы механики сплошных сред, газовой динамики, термодинамики, конечно-разностные методы численного решения систем уравнений в частных производных, методы компьютерного моделирования.

ДОСТОВЕРНОСТЬ И ОБОСНОВАННОСТЬ результатов обеспечена корректным применением методов математического моделирования, газовой динамики, численных разностных методов и методов компьютерного моделирования. Созданный комплекс программ прошел проверку на тестовых задачах.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Математическая модель нестационарного неизотермического безударного течения смеси газов по морскому газопроводу, учитывающая термодинамические и конструктивные особенности задачи (математическая модель I).

2. Вычислительные алгоритмы решения изотермического варианта математической модели I и комплекс программ на языке С + +, реализующий эти алгоритмы.

3. Дивергентная и недивергентная формы математической модели I и эффективный алгоритм численного решения общей системы уравнений математической модели I.

4. Комплекс программ на языке С++, реализующий решение общей системы уравнений математической модели I. Решение нестационарных задач о выходе газопровода на новый режим работы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ: результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы и перечисленные в п. 1-4 положений, выносимых па защиту, являются новыми.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ состоит в разработанном комплексе программ, позволяющем решать нестационарные задачи транспортировки газовой смеси по морским газопроводам. Решение этих задач дает возможность исследовать влияние функционирования морского газопровода на экологическую ситуацию в акватории; позволяет выбрать оптимальную конструкцию газопровода и допустимые режимы транспортировки газа на стадии технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ имеют математические модели I—IV, предложенные в диссертации. Они позволяют в изотермических (модель II) и пеизотермических (модели I, III, IV) задачах о транспортировке газа по морским газопроводам максимально точно учесть термодинамику потока при сверхвысоких давлениях. Также теоретический интерес представляет проведенное в диссертации сравнение дивергентной (III) и недивергентной (IV) моделей транспортировки газа.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, две из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов. Список работ по теме диссертации приведен на с. 16.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на международном конгрессе "Нелинейный динамический аггализ-2007", на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике (2008 г.), на международной конференции "Шестые Окуневские чтения", обсуждались на XXXVIII и XL международных научных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", на международной научной конференции по механике "V Поляховские чтения", на семинаре "Компьютерные методы в механике сплошных сред", на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела и кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета, а также на кафедре высшей математики Санкт>Петербургского государственного горного университета.

Работа отмечена стипендией Президента Российской Федерации и стипендией правительства Санкт-Петербурга.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 123 страницы текста, 27 рисунков, 4 таблицы, список литературы включает 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, приведено краткое содержание глав 1-4. Сформулированы научная новизна и практическое значение результатов, полученных в диссертации. Введены общие для всей работы обозначения.

В первой главе приведен краткий обзор существующих математических моделей транспортировки газа по трубопроводам. Отмечается, что все известные модели получены при тех или иных упрощающих допущениях, как-то: одномерность, стационарность, изотермич-ность, несжимаемость, пренебрежение силами инерции и т.п. Обсуждается целесообразность и допустимость использования универсальных коммерческих пакетов, таких, как Fluent, ANSYS, Star-CD и лицензионных программ (типа PipeSim) для проектирования морских трубопроводов. Обсуждается классическая модель О. Ф, Васильева, Э. А. Бондарева, А. Ф. Воеводина и М. А. Каниболотского (далее ВБВК), наиболее содержательная одномерная нестационарная неизотермическая модель транспортировки неидеального сжимаемого газа по трубам. Приводится обзор некоторых современных работ, основанных на этой математической модели. Спецификой морских газопроводов являются сверхвысокие давления, которые требуют дополнительного исследования термодинамики потока. В первой главе приводятся выводы из многочисленных работ, посвященных проблемам выбора уравнения состояния смеси газов при сверхвысоких давлениях. В этих работах отмечается. что более точного описания можно добиться, если использовать не уравнение состояния вида р = pZRT с коэффициентом сжимаемости Z = Z(p, Т), а уравнение состояния, в котором давление, температура и плотность связаны непосредственно, как это имеет место в уравнениях Соаве, Пенга-Робинсона, Бенедикта-Уэбба-Рубина и Редлиха-Квонга. В главе 1 предложена одномерная математическая модель нестационарного неизотермического турбулентного течения вязкой неидеальной смеси газов по морским газопроводам постоянного сечения, максимально

точно описывающая термодинамику потока и учитывающая геометрические и теплофизичоские параметры конструкции газопровода и характеристики многокомпонентной смеси газа.

Математическая модель I уравнение неразрывности

dt dz ' [>

уравнение движения

д(ри) д , 9 . Хри2 . .

01 + -%п+Р9<™<*(*), (2)

уравнение Коулбрука- Уайта

4 = -2+

у/Х \7>4 Rev/ЛУ '

d 2Qo «з л Г)2

= К = irRipxux,

уравнение баланса полной энергии

9{ре) +i(pu(e + z))= t) — Т) + pug cos a(z), (3)

dt dzy\pJJ R2W'

e = e + u2/2, (4)

... 1 + pARm ™ i f dj \ W = —-, A=) — In 1 + ^- , (5)

j-1

,J,q i

гз-1 = Л +

Ч=1

калорическое уравнение

е = е(Т,р), (6)

уравнение состояния Редлиха-Квонга

ЬрТ___ср2

-ёр {1+6р)Т№ ^

/ /

h = Rg/M, M = ^гцгщ, = 1, (8)

¿=1 ¿=i

5 = Ь/М, с = a/M2, b = ÇlbRgTc/pc, a = Çla{RgfT^/Pc.

В системе уравнений (1) - (8) приняты следующие обозначения: м, р,р,Т - скорость, плотность, давление и температура газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времени t и координаты z, направленной вдоль оси трубопровода; е, е - массовые плотности внутренней и полной энергии соответственно; R - внутренннй радиус трубопровода; Aj, dj - коэффициент теплопроводности и толщина j-ro слоя обшивки (они могут быть функциями z, т.е. на разных участках конструкция обшивки может быть различной); то - количество слоев обшивки трубы; Rm - внешний радиус газопровода; ¡3 - коэффициент теплопередачи на внешней поверхности газопровода; g - ускорение силы тяжести; a(z) - Угол между направлением силы тяжести и осью трубопровода в z-м сечении; Л - коэффициент гидравлического сопротивления (в общем случае он может параметрически зависеть от z и t через зависимость динамического коэффициента вязкости газа цо = (j>q (z, t) ); Qo - массовый расход; их - характерная скорость потока; рх - характерная плотность; Re - характерное число Рейнольдса; к8 - коэффициент эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости внутренней поверхности газопровода; к - относительная шероховатость; Г* - температура окружающей воды, может быть функцией от z и t; h, с, ô - размерные постоянные, входящие в уравнение состояния Редлиха-Квонга; Rg - универсальная газовая постоянная; то,, rji - молекулярный вес и доля г-й составляющей газовой смеси соответственно; / - количество компонент газовой смеси; 0,а,0ь - параметры, определяемые для заданного химического состава газовой смеси по значениям критических температуры Тс и давления рс. Система уравнений (1) - (8) дополняется начальными и граничными условиями, соответствующими исследуемой нестационарной задаче. В главе 3 представлен вывод зависимости внутренней энергии е от температуры Т и плотности р потока (6) для реальной газовой смеси при уравнении состояния Редлиха-Квонга (7).

Модель I записана в терминах внутренней энергии е и коэффициента теплоемкости су, а не энтальпии и коэффициента теплоемкости ср, и содержит учет конструктивных особенностей газопровода, в этом и в

уравнении состояния ее отличие от классической модели ВБВК. Математическая модель I является обобщением на нестационарные процессы математической модели, подробно исследованной в книге "Модели морских газопроводов". В заключении главы 1 обсуждается проблема выбора эффективного алгоритма численного решения системы уравнений математической модели I, являющейся достаточно сложной нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных.

Вторая глава посвящена построению вычислительных алгоритмов решения системы уравнений математической модели II, являющейся изотермическим вариантом математической модели I для горизонтальной трассы. В безразмерном виде в терминах удельного расхода у (у = ру), плотности р и давления р, эта модель имеет вид

Математическая модель II уравнение неразрывности

МИ> и

уравнение движения

ду д (у2 \ у2 ...

уравнение состояния Редлиха-Квонга

Приведены выражения безразмерных комплексов тп^, т2, гп%, тпд, <5* через физические параметры задачи и характерные величины. Начальными данными в этой задаче служат параметры установившегося режима. В главе 2 получено аналитическое решение установившегося варианта модели II. Далее рассмотрен вопрос о задании граничных условий и сформулирована нестационарная задача, представляющая практический интерес, которая решена в диссертации в изотермической и неизотермической (главы 3 и 4) постановках.

В главе 2 представлены три вычислительных алгоритма решения системы уравнений математической модели И.

Первый алгоритм основан на чисто неявной разностной схеме с использованием для решения системы разностных уравнений матричной прогонки. Выписаны расчетные формулы первого алгоритма и выводы по выбору допустимых величин шага по координате Д и шага по времени т.

Второй алгоритм основан на расщеплении системы уравнений модели II по физическим процессам. Алгоритм базируется на работах академика Н. Н. Яненко и его учеников, анализ и обоснование этого метода для решения задач газовой динамики содержится также в книгах А. А. Самарского и Ю. II. Попова. Алгоритм расчета состоит из двух этапов. На первом этапе для промежуточного слоя по времени п + 1/2 решается система уравнений (5)-(7) без конвективного слагаемого в уравнении движения. Используется линеаризация (с последующим итерационным процессом) и решение разностных уравнений первого этапа сводится к скалярной прогонке. На втором этапе рассчитываются искомые значения плотности, расхода и давления на (п+1) временном слое по найден-

п+1/2 п+1/2

ным массивам рк , ук на первом этапе из разностного аналога системы уравнений (5)-(6), не содержащих правых частей и производной от давления. Разностные уравнения второго этапа решаются явно. Вводится итерационный процесс перерасчета обоих этапов, позволяющий учесть неточность, связанную со "сносом" давления в первом этапе на гг-ый временной слой. Приведен пример расчета задачи о выходе на периодический режим работы газопровода, проведенного по второму алгоритму.

Третий алгоритм численного решения системы уравнений модели II основан на одной из модификаций известной схемы Лакса-Вендроффа. В этом алгоритме, состоящем из двух этапов, расчет на каждом из них осуществляется явно. Если уравнения (5), (6) модели II представить в виде

то формулы расчета первого этапа можно записать следующим образом:

0.5т + Д

а формулы расчета второго этапа — в виде

«1+1 fn (~<п+1/2 ^п+1/2

, K-TLf 4_к — 1/ г. _ /-чП

+ Д - Чк

Схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени во внутренних точках расчетной области.

По всем трем алгоритмам в среде Maple были отлажены программы расчета нестационарных задач изотермической транспортировки газа по морским газопроводам. Затем эти программы были переведены на язык С+ + и создан соответствующий программный комплекс.

Вопросы обоснования устойчивости используемых разностных схем выходят за рамки диссертационной работы. Как известно, доказательство устойчивости разностного решения нелинейных уравнений газовой динамики сопряжено с большими трудностями и до настоящего времени общие результаты отсутствуют. Для оценки найденных численных решений в диссертации использовались качественные соображения, основанные на требовании выполнения закона сохранения массы и закона баланса импульса в исследуемых процессах. Кроме того, полученные результаты сравнивались в ряде частных случаев с решением аналогичных задач.

В каждом из трех алгоритмов проверялась так называемая практическая сходимость и в результате численного эксперимента находились максимально допустимые для рассматриваемой задачи шаги по пространству и времени. В заключении второй главы на основе сравнения расчетов по представленным трем алгоритмам решения системы уравнений математической модели II сделан вывод о преимуществе третьего алгоритма, основанного на модифицированной схеме Лакса-Вендроффа.

Третья глава посвящена численному решению системы уравнений математической модели I в полной постановке, т.е. без упрощающего предположения об изотермичности процессов. Система приведена к безразмерному виду и записана в терминах безразмерных плотности р, расхода у = pv, давления р и внутренней энергии £ (математическая модель III). Следуя книге "Модели морских газопроводов" проведен термодинамический анализ, в результате которого найдено явное выражение для внутренней энергии £, как функции плотности и температуры,

которое в размерной форме для уравнения состояния Редлиха-Квонга с точностью до аддитивной постоянной имеет вид

£ = C"T-32W-6H1+6P)-

Это равенство представляет собой уравнение третьей степени относительно у/Т. Выражения для корней этого кубического уравнения позволяют представить температуру как явную функцию плотности и внутренней энергии: Т = Т{е,р).

Наряду с математической моделью III, записанной в дивергентной форме, в третьей главе рассмотрена математическая модель IV, теоретически полностью эквивалентная модели III. В модели IV вместо уравнения баланса полной энергии используется уравнение баланса внутренней энергии, которое с учетом найденного выше выражения для внутренней энергии е = е(р,Т), может быть записано в терминах температуры в безразмерной форме следующим образом:

Преимущество математической модели IV в том, что она записана в терминах р, р, Т, у, т.е. величин непосредственно измеряемых и представляющих практический интерес. Однако, как показали численные расчеты по математическим моделям III и IV, для численного решения предпочтительнее математическая модель III. Дело в том, что уравнение баланса внутренней энергии не может быть записано в дивергентной форме, что ухудшает свойства численных алгоритмов, созданных на базе модели IV, приводя в ряде случаев к осцилляциям нефизического характера. В диссертационной работе стационарный вариант {щ = 0) математической модели IV использовался для расчета установившегося режима, параметры которого служат начальными данными при решении рассмотренных нестационарных задач. Для установившихся течений математическая модель IV может быть записана в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений и одного алгебраического следующим образом:

+

+тпв(Т*-Т) +

(19)

dp =_/2 +/1/3/T_

dz l-/i/p-/i/4/x-/i/5/r '

¿Г= (/4+/5)(/2+/i/3/T)

< dz 73 I-/1/P-/1/4/T-/1/5/T' (**)

p = /p>

2 = 0: po = const, Tu = const.

В правые части уравнений системы (**) входят безразмерные функции /1 /5, /Т) /р, зависящие от безразмерных комплексов mi 4- тою задачи и от искомых безразмерных функций p[z) и T(z). Их выражения приведены в главе 3. Методом Рунге-Кутта по системе уравнений (**) рассчитывались массивы плотности, температуры и давления и затем по ним рассчитывался массив значений внутренней энергии. Таким образом определялись начальные данные для системы уравнений модели III.

Выли построены два вычислительных алгоритма решения нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных модели III. По простоте реализации и скорости счета преимуществом (как и для изотермических задач) обладал алгоритм, основанный на модификации схемы Лакса-Вендроффа. В третьей главе приведены расчетные формулы обоих этапов этого алгоритма для системы уравнений модели III.

В четвертой главе представлено решение двух нестационарных задач о выходе газопровода на новый режим работы.

В первой задаче исследуется выход работы газопровода на периодический режим при заданном периодическом изменении расхода yi(t) по закону yi(t) = l + asin(ujt) на выходе из газопровода и при неизменных температуре Т0 и давлении ро на входе. На рис. 1 показано заданное поведение расхода газа на выходе из газопровода (кривая из крестиков) и соответствующее поведение расхода газа на входе в газопровод (кривая из точек), рассчитанное для задачи 1 по модели III в течении первых 20 часов реального времени.

-I--расход на выходе

о _ расход на входе

Рис.1

Во второй задаче исследуется выход работы газопровода на новый установившийся режим при изменении расхода уь(^) на выходе из газопровода по закону, представленному на рис. 2а. На рис. 2Ь показано рассчитанное по модели III поведение температуры T/,(i) газа на выходе из газопровода в течении первых 8 часов реального времени.

Обе задачи хорошо известны, они представляют практический интерес, их решение по различным математическим моделям неоднократно обсуждалось. В диссертации решение этих задач получено с помощью созданного комплекса программ (на языке С + +), основанного на численном решении уравнений математической модели III, подробно рассмотренной в главе 3. Данные о конструкции газопровода и параметрах режима были предоставлены ОАО "Гипроспецгаз". В этих задачах прак-

Рис. 2

тический интерес представляет определение времени выхода на новый режим работы и расчет изменений давления плотности и

температуры Ть{Ь) на выходе при заданном законе изменения расхода Уь(Р) и неизменных температуре Го и давлении ро на входе. Приведенные в главе 4 рисунки иллюстрируют полученные решения этих задач. Следует отметить, что созданный комплекс программ по решению нестационарных задач транспортировки газа по морским газопроводам позволяет перейти в дальнейшем к решению нестационарной задачи об оледенении морского газопровода в северных морях, поскольку эффективность построенных вычислительных алгоритмов дает возможность рассчитывать длительные нестационарные процессы. Достаточно сказать, что в рассмотренных примерах расчет нескольких суток работы газопровода занимал несколько минут компьютерного времени.

Таким образом, цель диссертационной работы достигнута, а именно, создана математическая модель нестационарного неизотермического течения вязкой неидеалыюй смеси газов при сверхвысоких давлениях по морским газопроводам и построен эффективный вычислительный алгоритм, позволяющий рассчитать длительные нестационарные процессы в морских газопроводах за обозримое время.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Математическая модель нестационарного неизотермического течения смеси газов по морским газопроводам // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 42-49.

2. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Нестационарное неизотермическое течение смеси газов по морским газопроводам // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. №4. С. 141-153.

3. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Об одной нестационарной модели течения газа по морским газопроводам // "Нелинейный динамический анализ- 2007": Тезисы докладов международного конгресса. Санкт-Петербург. 2007 г.,- СПб. С. 73.

4. Груничева Е.В., Курбатова Г. И. Анализ эффективности вычислительных алгоритмов решения одной задачи газовой динамики // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов. - СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та, 2007. С. 147-151.

5. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Об одной нестационарной задаче расчета морского газопровода // Труды Междунар. конференции "Шестые Окуневские чтения". 2008 г., Санкт-Петербург/ под ред. Г. Т. Алдошина и др. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2008. Т. 1. С. 93-96.

6. Груничева Е. В., Курбатова Г. И., Попова Е. А , Свиридович В. И. Об одной нестационарной модели течения газа по морским газопроводам // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике: Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 2008 г.,- СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2008,- 144 с.

7. Груничева Е.В., Курбатова Г.М., Попова Е.А. Решение одной пеизотермической задачи о нестационарном течении газа по морским газопроводам // Тезисы докладов V международной конференции по механике "Поляховские чтения". 2009. С. 116.

8. Груничева Е.В. Расчет выхода газопровода на установившийся режим работы в изотермических условиях // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. - СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 146-149.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 23.06.11 с орпгпнал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 80 экз., Заказ №1096. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

1. Актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Структура и объем работы

4. Практическая значимость.

5. Теоретическая значимость

6. Положения, выносимые на защиту.

Обозначения.

Глава 1. Математическая модель нестационарного неизотермического турбулентного течения вязкой неидеальной газовой смеси по морским газопроводам

1. Обзор математических моделей транспортировки газа по трубопроводам

2. Общая постановка задачи

Глава 2. Математическая модель нестационарного изотермического турбулентного течения вязкой неидеальной газовой смеси по морским газопроводам

1. Одномерная модель нестационарного изотермического турбулентного течения вязкой неидеальной газовой смеси

2. Граничные и начальные условия.

3. Алгоритмы численного решения уравнений модели II

4. Вывод

Глава 3. Численное решение математической модели нестационарного неизотермического турбулентного течения вязкой неидеальной газовой смеси по морским газопроводам

1. Математическая модель нестационарного неизотермического турбулентного течения вязкой неидеальной газовой смеси

2. Выбор калорического уравнения

3. Граничные и начальные условия.

4. Недивергентная форма записи математической модели нестационарного неизотермического течения смеси газов по морским газопроводам

5. Алгоритм численного решения уравнений модели III.

6. Вывод

Глава 4. Две задачи о выходе газопровода на новый режим работы

1. Первая задача. Выход газопровода на заданный периодический режим работы

2. Вторая задача. Выход газопровода на новый установившийся режим работы

Технико-экономическое обоснование проектирования морских газопроводов, обеспечение надежности и безопасности (в том числе и экологической) эксплуатации морских газопроводов невозможно без создания адекватной математической модели процессов транспортировки газа, учитывающей все реалии проекта. В большинстве подобных задач важен учет следующих особенностей, отличающих транспортировку газа по морским газопроводам от транспортировки газа по магистральным газопроводам, проходящим по суше.

• Большая протяженность подводного участка газопровода, работающего без промежуточных подстанций.

• Сверхвысокие давления, достигающие 25 МПа.

• Наличие уклонов донной поверхности.

• Низкие температуры окружающей среды в северных морях, приводящие к возможности оледенения газопровода и части прилегающего к нему донного грунта.

Диссертационная работа продолжает исследования по построению математической модели транспортировки газа по морским газопроводам, начатые в работах [1-3]. В цикле этих работ, проведенных на кафедре физической механики и кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела Санкт-Петербургского государственного 5 университета была создана математическая модель установившегося безударного неизотермического течения вязкой неидеальной химически инертной многокомпонентной смеси газа по морским трубопроводам круглого сечения с абсолютно жесткими стенками, имеющими многослойное покрытие. Исследования диссертации базируются на этой математической модели. Построено ее обобщение на случай медленно меняющихся нестационарных процессов в газопроводах. К типичным нестационарным задачам, представляющим практический интерес, относятся следующие:

• колебания газопотребления (суточные, сезонные и др.);

• перевод системы на новый установившийся режим работы;

• процессы пуска и перекрытия газопроводов;

• обнаружение мест несанкционированного отбора газа;

• оледенение подводной части газопровода в северных морях;

• аварийные ситуации, сопровождающиеся разрывом линейной части' газопровода.

Оперативное управление работой газопровода сводится к управлению неустановившимися процессами. В диссертации, как отмечалось выше, исследуются медленно меняющиеся процессы.

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ является создание математической модели нестационарного неизотермического течения 6 вязкой неидеальной газовой смеси по морским газопроводам при сверхвысоких давлениях и выбор эффективных вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать длительные нестационарные процессы в морском газопроводе за обозримое время. Остановимся коротко на содержании диссертации.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ приведен краткий обзор существующих математических моделей транспортировки газа по трубопроводам. Отмечается, что все известные модели получены при тех или иных упрощающих допущениях, как-то: одномерность, стационарность, изотермичность, несжимаемость, пренебрежение силами инерции и т.п. Обсуждается целесообразность и допустимость использования универсальных коммерческих пакетов, таких, как Fluent, ANS YS, Star-CD и лицензионных программ (типа PipeSim) для проектирования морских трубопроводов. Со ссылкой на нормативные документы ОАО "Газпром" особо подчеркивается, что для каждой конкретной задачи требуется доработка документов по расчету и проектированию морских газопроводов с учетом специфики задачи. Обсуждается классическая модель О. Ф. Васильева, Э. А. Бондарева, А. Ф. Воеводина и М. А. Каниболотского [4] (далее ВБВК), наиболее содержательная одномерная нестационарная неизотермическая модель транспортировки неидеального сжимаемого газа по трубам. Приводится обзор некоторых современных работ, основанных на этой математической модели. Спецификой морских газопроводов 7 являются, как отмечалось, сверхвысокие давления, которые требуют дополнительного исследования термодинамики потока. В первой главе приводятся выводы из многочисленных работ, посвященных проблемам выбора уравнения состояния смеси газов при сверхвысоких давлениях. В этих работах отмечается, что более точного описания можно добится, если использовать не уравнение состояния вида р = pZRT с коэффициентом сжимаемости Z = 2(р,Т), а уравнение состояния, в котором давление, температура и плотность связаны непосредственно, как это имеет место в уравнениях Соаве, Пенга-Робинсона, Бенедикта-Уэбба-Рубина и Редлиха-Квонга. В главе 1 предложена одномерная математическая модель нестационарного неизотермического турбулентного течения вязкой неидеальной смеси газов по морским газопроводам постоянного сечения, учитывающая геометрические и теплофизические параметры конструкции газопровода и характеристики многокомпонентной смеси газа. Она имеет следующий вид:

Математическая модель I уравнение неразрывности а) уравнение движения д(ри) <9/2 N \pu\u\ , . . . дЬ + Тг {Р +Р) = ~ 4Д + 99 С°8 а(2°' (2) 8 уравнение Коулбрука- Уайта

1 ( к 2,51 \

2<5о т-,2

Ке = ——, я = —, д0 = тгл

7ТКЦо К уравнение баланса полной энергии эГ + £ (е + Й) = л1к(т*(2,4) - т) + (3) е = г + и2/2, (4) шЛ+^У (5)

3~ 1 т я + дта = д + У^,

7=1 калорическое уравнение е = е(Г,р), (6) уравнение состояния Редлиха-Квонга ^ ср2 р (1 + адг!/2' ^ / г=1 г=1

5 = Ь/М, с = а/М2, Ъ = ПьЯ9Тс/рс, а = Па(11д)2Т?>5/Рс.

Список используемых обозначений приведен в конце введения. В математической модели I использовано уравнение состояния Редлиха-Квонга (7) и содержится модель учета конструктивных особенностей газопровода, в этом ее основное отличие от классической модели ВБВК. Математическая модель I является обобщением на нестационарные процессы математической модели, подробно исследованной в книге "Модели морских газопроводов" [3]. В заключении главы 1 обсуждается проблема выбора эффективного алгоритма численного решения системы уравнений математической модели I, являющейся достаточно сложной нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена построению вычислительных алгоритмов системы уравнений математической модели II, являющейся изотермическим вариантом математической модели I для горизонтальной трассы. В безразмерном виде в терминах расхода у (у = ри и и>0), плотности р и давления р, эта модель имеет вид

Математическая модель II уравнение неразрывности др ду уравнение движения ду д (у2 \ у2 . . а+аД7 + т1гУ="т27' (10) уравнение состояния Редлиха-Квонга

Там же выписаны выражения безразмерных комплексов тх, 777,2, т8, гад, <5* через физические параметры задачи и характерные величины.

10

Начальными данными в этой задаче служат параметры установившегося режима. В главе 2 получено аналитическое решение установившегося варианта модели II. Далее рассмотрен вопрос о задании граничных условий и сформулирована нестационарная задача, представляющая практический интерес, которая решена в диссертации в изотермической и неизотермической (главы 3 и 4) постановках.

В главе 2 представлены три вычислительных алгоритма решения системы уравнений математической модели II.

Первый алгоритм основан на чисто неявной разностной схеме с использованием для решения системы разностных уравнений векторной прогонки. Выписаны расчетные формулы первого алгоритма и выводы по выбору допустимых величин шага по координате А и шага по времени т.

Второй алгоритм основан на расщеплении системы уравнений модели II по физическим процессам. Алгоритм базируется на работах академика Н. Н. Янепко и его учеников [5], анализ и обоснование этого метода для решения задач газовой динамики содержится также в книгах А. А. Самарского и Ю. П. Попова, например, [6]. Алгоритм расчета состоит из двух этапов. На первом этапе для промежуточного слоя по времени п + 1/2 решается система уравнений (9)-(10) без конвективного слагаемого в уравнении движения. Используется линеаризация (с последующим итерационным процессом) и решение разностных уравнений первого этапа сводится к скалярной прогонке.

11

На втором этапе рассчитываются искомые значения плотности, расхода и давления на (n + 1) временном слое из решения системы уравнений (9)—(10) без слагаемого с давлением в уравнении движения. Массивы п+1/2 7И-1/2 „ тэ

Рк ' Ук найдены на первом этапе. Вводится итерационный процесс пересчета обоих этапов, позволяющий учесть погрешность, связанную со "сносом" давления в первом этапе на предыдущий (n-ый) временной слой. Приведен пример расчета задачи о выходе на периодический режим работы газопровода, проведенного по второму алгоритму.

Третий алгоритм численного решения системы уравнений модели II основан на одной из модификаций известной схемы Лакса-Вендроффа. Алгоритм состоит из двух этапов, расчет на каждом из них осуществляется явно. Схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени во внутренних точках расчетной области.

По всем трем алгоритмам в среде Maple были отлажены программы расчета нестационарных задач изотермической транспортировки газа по морским газопроводам.

Вопросы обоснования устойчивости используемых разностных схем выходят за рамки диссертационной работы. Как известно [6], доказательство устойчивости разностного решения нелинейных уравнений газовой динамики сопряжено с большими трудностями и до настоящего времени общие результаты отсутствуют. Для оценки найденных численных решений в диссертации использовались качественные соображения, основанные на требовании выполнения

12 закона сохранения массы и закона баланса импульса в исследуемых процессах.

В каждом из трех алгоритмов проверялась так называемая "практическая" сходимость и в результате численного эксперимента находились максимально допустимые для рассматриваемой задачи шаги по пространству и времени. В заключении второй главы на основе сравнения расчетов по представленным трем алгоритмам решения системы уравнений математической модели II сделан вывод о преимуществе третьего алгоритма, основанного на модифицированной схеме Лакса-Вендроффа.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена численному решению системы уравнений математической модели I в полной постановке. Система приведена к безразмерному виду и записана в терминах безразмерных плотности р, расхода у = ри, давления р и внутренней энергии е (математическая модель III). Следуя книге "Модели морских газопроводов" [3], проведен термодинамический анализ, в результате которого найдено явное выражение (71 стр. главы 3) для внутренней энергии е как функции плотности и температуры, которое в размерной форме для уравнения состояния Редлиха-Квонга имеет вид здесь скудельный коэффициент теплоемкости газовой смеси при постоянном объеме в состоянии идеального газа. Это равенство

13 представляет собой уравнение третьей степени относительно у/Т. В результате решения находятся корни этого уравнения, что позволяет выразить температуру как явную функцию плотности и внутренней энергии Т = Т(е, р).

Наряду с математической моделью III, записанной в дивергентной форме, в третьей главе рассматривается математическая модель IV. В модели IV вместо уравнения баланса полной энергии используется уравнение баланса внутренней энергии. С учетом найденного выше выражения для внутренней энергии е = е(р,Т), уравнение баланса внутренней энергии в размерном виде может быть записано следующим образом: (дрТ дуТ\ ( 3 а (у\

Т' У){-дГ + ^Г)=-{Р + 2(1 + SP)VT) Tz Ы +

Преимущество математической модели IV в том, что она записана в терминах температуры Т. Если в ней использовано уравнение внутренней энергии в виде (12), она полностью эквивалентна математической модели III. Если принять cv(T,V) ^ cVcp, то математическая модель IV будет менее точной, чем математичекая модель III.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ представлено решение двух нестационарных задач о выходе газопровода на новый режим работы.

В первой задаче исследуется выход работы газопровода на

14 периодический режим при заданном периодическом изменении расхода по закону yi(t) = 1 + asin{uit) на выходе из газопровода и при неизменных температуре То и давлении ро на входе.

Во второй задаче исследуется выход работы газопровода на новый установившийся режим при соответствующем изменении расхода уь(Ь) на выходе из газопровода.

Обе задачи хорошо известны, они представляют практический интерес, их решение по различным математическим моделям неоднократно обсуждалось во многих работах, например [4, 7, 8]. В диссертации решение этих задач получено с помощью созданного комплекса программ на языке С++, основанного на численном решении уравнений математической модели III, подробно рассмотренной в главе 3. Данные о конструкции газопровода и основных параметрах режима были предоставлены ОАО "Гипроспецгаз". В этих задачах практический интерес представляет определение времени выхода на новый режим работы и расчет изменений давления pi(t), плотности pb(t) и температуры Ti(t) на выходе из газопровода при заданном законе изменения расхода у biß) и неизменных температуре Т0 и давлении ро на входе. Приведенные в главе 4 рисунки иллюстрируют полученные решения этих задач. Следует отметить, что созданный комплекс программ дает возможность перехода к решению нестационарной задачи об оледенении морского газопровода в северных морях, поскольку эффективность построенных вычислительных алгоритмов позволяет

15 рассчитывать длительные нестационарные процессы. Достаточно сказать, что в рассмотренных примерах расчет нескольких суток работы газопровода занимал всего несколько минут компьютерного времени.

Таким образом, цель диссертационной работы достигнута, а именно, создана математическая модель нестационарного неизотермического течения вязкой неидеальной смеси газов при сверхвысоких давлениях по морским газопроводам и построен эффективный вычислительный алгоритм, позволяющий рассчитать длительные нестационарные процессы в морских газопроводах за обозримое время.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы выводы по результатам диссертации.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ состоит в разработанном комплексе программ, позволяющем решать нестационарные задачи транспортировки газовой смеси по морским газопроводам. Решение этих задач дает возможностьь исследовать влияние функционирования морского газопровода на экологическую ситуацию в акватории; позволяет выбрать оптимальную конструкцию газопровода и допустимые режимы транспортировки газа на стадии технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ имеют математические модели I—IV, предложенные в диссертации. Они позволяют в изотермических (модель II) и неизотермических (модели I, III, IV) задачах о

16 транспортировке газа по морским газопроводам максимально точно учесть термодинамику потока при сверхвысоких давлениях. Также теоретический интерес представляет проведенное в диссертации сравнение дивергентной (III) и недивергентной (IV) моделей транспортировки газа.

17

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Математическая модель I нестационарного неизотермического безударного течения смеси газов по морскому газопроводу, учитывающая термодинамические и конструктивные особенности задачи.

2. Вычислительные алгоритмы решения изотермического варианта математической модели I и комплекс программ, реализующий эти алгоритмы.

3. Дивергентная и недивергентная формы математической модели I и эффективный алгоритм численного решения общей системы уравнений математической модели I.

4. Комплекс программ на языке С++, реализующий решение общей системы уравнений математической модели I и решение нестационарных задач о выходе газопровода на новый режим работы.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Приведем используемые в диссертации обозначения.

• е - массовая плотность внутренней энергии [Дж/кг];

• е - массовая плотность полной энергии [Дж/кг];

18

• Т - температура газа [К];

• Т* - температура окружающей среды [К];

• То - температура газа на входе [К];

• М - молекулярный вес [кг/кмоль];

• II - внутренний радиус газопровода [м];

• Ят - внешний радиус газопровода [м];

• р - плотность газа [кг/м3];

• Ро - плотность газа на входе [кг/м3];

• и ъ-я - составляющая скорости потока [м/с];

• р - давление [Па];

• Ро - давление на входе [Па];

• к - безразмерная относительная шероховатость;

• щ - скорость потока на входе [м/с];

• их - характерная скорость потока [м/с];

• - характерное время [с];

• рх ~ характерное давление [Па];

19 рх - характерная плотность [кг/м3]; Тх - характерная температура [К]; Яе - число Рейнольдса (безразмерное); (Зо - массовый расход газа [кг/с];

Су - удельная теплоемкость при постоянном объеме [Дж/(кг К)]; ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении [Дж/(кг К)]; Ь - длина газопровода [м]; Ь0 - характерная длина газопровода [м];

Л - безразмерный коэффициент гидравлического сопротивления;

Ь - размерная постоянная, входящяя в уравнение состояния Редлиха-Квонга [м2/(с2 К)]; с - размерная постоянная, входящяя в уравнение состояния Редлиха-Квонга [м5К1/2/(кг с2)];

5 - размерная постоянная, входящяя в уравнение состояния Редлиха-Квонга [м3/кг];

Xj - коэффициент теплопроводности ]-го слоя обшивки газопровода [Вт/(м К)]; dj - толщина ^го слоя обшивки газопровода [м];

• ш - количество слоев обшивки газопровода (безразмерное);

• ¡3 - коэффициент теплопередачи на внешней поверхности газопровода [Вт/(м2 К)];

• д - ускорение силы тяжести [м/с2];

• а - угол между направлением силы тяжести и осью трубопровода в г-м сечении;

• //о - характерная динамичекая вязкость газа [(Н с)/м2];

• к3 - коэффициент эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости внутренней поверхности газопровода [м];

• Яд - универсальная газовая постоянная [ДжДкмоль К)];

• Мг - молекулярный вес ьй составляющей газовой смеси [кг/кмоль];

• г]1 - безразмерная доля ьй составляющей газовой смеси;

• - количество компонент газовой смеси (безразмерное);

• Шг - безразмерные комплексы задачи.

21

6. Вывод

Для обеих моделей III, IV были построенны алгоритмы численного решения, основанные на модификации схемы Лакса - Вендроффа. Они были оформленны в виде комплекса программ, отлаженного в среде Maple и переведенного на язык С++. Все численные результаты были получены с использованием созданного комплекса программ. Перенесение комплекса программ на язык С++ позволило сосчитать длительные во времени процессы, например, расчет 3 суток работы газопровода занял 4 минуты компьютерного времени. Численные результаты подтвердили,что предпочтительнее использовать математическую модель III, чем математическую модель IV. Рассмотренный вычислительный алгоритм решения системы уравнений модели III использован для расчета выхода работы газопровода на периодический и новый установившийся режимы при заданных изменениях расхода на выходе из газопровода.

85

Глава 4

Две задачи о выходе газопровода на новый режим работы

Рассмотрим две представляющие практический интерес нестационарные задачи о выходе газопровода на новый режим работы: 1) на периодический режим работы при периодическом изменении расхода на выходе из газопровода и 2) выход на новый установившийся режим работы при соответствующем изменении расхода на выходе из газопровода. Обе задачи решаются с использованием математической модели III нестационарного неизотермического течения пеидеальной газовой смеси, описанной в главе 3. Начальными данными в задачах 1, 2 служат параметры установившегося режима: плотность po(z), внутренняя энергия £o(z) и расход уо = const; давление po(z) и скорость щ(г) определяются по po(z), £o(z) и уо однозначно. Обе' задачи относятся к классу нестационарных задач, который обсуждался в главе 2 (стр. 44). Установившийся режим рассчитывается по стационарному варианту математической модели IV, как это было показано в главе 3 (стр. 81), массив £q(z) по найденным массивам po(z) и Tq(z) рассчитывается по формуле (12) страницы 72. Решение получено методом Рунге - Кутта и включено в комплекс программ общего решения системы уравнений модели III. В этих задачах на входе в газопровод температура (соответственно, внутренняя энергия) и плотность считаются неизменными, а на выходе из газопровода задается закон изменения удельного расхода газа. Для численного решения

86 системы уравнений математической модели III главы 3 использовалась модифицированная схема Лакса-Вендроффа, подробно рассмотренная также в главе 3.

Был проведен расчет реальных задач с использованием данных, предоставленных ОАО "ГИПРОСПЕЦГАЗ". В диссертации в качестве иллюстрации этих расчетов приведены модельные примеры, для которых выбраны следующие параметры режимов транспортировки газа и конструкции газопровода:

• горизонтальная трасса;

• длинна трассы Ь = 200 км;

• внутренний радиус трубы Л = 0.5 м;

• смесь состоит из 7 газов, среди которых наибольший удельный вес приходится на метан;

• параметры в уравнении состояния Редлиха-Квонга для этой смеси газов были найдены по книге [37] и составили следующие значения: с=12297.58 мъК1/2/(кт с2);

5=0.001833 м3/кг;

1=502.9 м2/(с2 К);

• эквивалентная шероховатость внутренних стеиок трубы ке = Ю-5 м;

87

• коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности газопровода /3 =10 Вт/(м2 К) (в общем случае ¡3 = /3(г))]

• теплоемкость при постоянном объеме была принята равной сь =2000 Дж/(кг К);

• температура окружающей воды принята равной Т* — 275.15 К;

• Величина А для характерных значений толщин и теплофизических параметров многослойной стенки газопровода рассчитывалась по формуле (4) главы 1 и составила величину 0.10971335 (м К)/Вт;

• характерную динамическую вязкость газовой смеси можно принять равной ¡1 = 10~5 (Н с)/м2;

• число Рейнольдса (Яе = -^щ) при заданных <5, Я, ¡л составило Яе =

0.5092958178 • 108 ;

• коэффициент гидравлического сопротивления, рассчитанный по уравнению Коулбрука-Уайта (модель I главы 1), составил величину А = 0.00829776;

1. Первая задача. Выход газопровода на заданный периодический режим работы

Рассмотрим задачу о выходе газопровода на периодический режим работы при периодическом изменении расхода на выходе из газопровода. Основная цель расчета состояла в определении изменения во времени

88 расхода газа на входе в газопровод (т.е. расчет зависимости y0(t)) и в определении изменений давления Pb(t), плотности рь{^) и температуры Ti{t) на выходе из газопровода при заданном законе изменения во времени расхода на выходе из газопровода при постоянных плотности ро и температуре Tq на входе.

В качестве первого примера выбрано изменении безразмерного расхода у на выходе из газопровода по закону

Vb(t) = 1 + asin(u)t), (1) где о, — 0.1, и) = 0.436332 при неизменных безразмерных плотности (ро = 1) и температуре (То = 1) на левом конце. При этом законе максимальное отклонение расхода от начального составляет 10%; период изменения расхода равен 8 часам реального времени. Граничными условиями на входе выбраны плотность ро = 145.6 кг/м3 и температура То = 276.15 К, что соответствует одному из реальных участков морского газопровода. Давление ро на входе при выбранных температуре и плотности рассчитывается по уравнению состояния Редлиха-Квонга и равняется 15 МПа. В рассмотренном примере характерная скорость потока равнялась 3.5 м/с. Расход QQ в начальный момент времени равен 400 кг/с.

Для решения этой нестационарной задачи использовалась программа, основанная на модифицированной схеме Лакса - Вендроффа, о которой шла речь в главе 3. Расчет длительных процессов в среде Maple, как известно, наталкивается на определенные трудности. В

89

Рис.1. Заданное поведение расхода газа на выходе из газопровода в течение первых 8 часов реального времени в задаче 1 (пример 1). связи с этим весь комплекс программ был перенесен на объектно-ориентированный язык С++. В результате численного анализа были выбраны максимально допустимый шаг по времени т при найденном допустимом шаге по координате А, обеспечивающим "практическую" сходимость вычислительной схемы. В размерном виде этот шаг по времени составил 1.8 с при шаге но пространству 1 км. На рис. 1 показано заданное по закону (1) поведение расхода газа уь{1) на выходе из газопровода в течение первых 8 часов реального времени. На рис. 2, 3, 4, 5, 6 показано рассчитанное поведение расхода уо(Ь) на входе в газопровод и давления рьтемпературы Тх,(£), плотности рь{^) и скорости на выходе из газопровода соответственно в течение этого же промежутка времени. На рис. 7 показано заданное поведение расхода газа уь{Ъ) на выходе из газопровода и рассчитаное изменение размерного расхода газа уо(£) на входе в газопровод для первых 20 часов реального времени.

Критерием установления периодического режима течения служило одновременное выполнение неравенств = <

FP = FT = y(t) 1

-P(t-

1 vif) 1

Л*) -T(t- -и) m ее2, ее3

2) при ее! = 0.00001, ее? = 0.00002, еез = 0.00004, ¿^-значение периода изменения расхода по закону (1), равное 8 часам реального времени. Время выхода на новый установившийся режим существенно зависит (в том числе) от принятой точности ее\, еег, еез.

Заключение

В диссертации построена математическая модель нестационарного неизотермического течения многокомпонентной химически инертной неидеальной смеси газов по морским газопроводам (модель I). Работа продолжает исследования, начатые в книге [3] для подобных задач для устойчивых режимов.

Для изотермического варианта математической модели I рассмотрены три вычислительных алгоритма численного решения, создан соответствующий программный комплекс решения нестационарных задач о транспортировке газа в изотермическом случае.

Наряду с дивергентной формой математической модели I рассмотрена альтернативная постановка задачи с уравнением баланса внутренней энергии (модель IV). Методом Рунге-Кутта найдено решение установившегося варианта модели IV для решения нестационнарных задач по модеям III и IV. Проведен анализ термодинамических процессов и получено как выражение внутренней энрегии в зависимости от плотности и температуры газовой смеси для уравнения состояния Редлиха-Квонга, так и выражение для температуры, как функции от внутренней энергии и плотности, необходимое для замыкания системы уравнений модели I.

Проведенные численные расчеты по разным вычислительным алгоритмам позволили сделать вывод о преимуществе вычислительного алгоритма, основанного на модифицированной схеме Лакса-Вендроффа,

112 при численном решения системы уравнений модели I как в изотермическом, так и в неизотермическом вариантах.

В среде Maple написаны программы расчета нестационарных изотермических процессов транспортировки газовой смеси по морским газопроводам. На языке С Н—Ь создан комплекс программ расчета нестационарных неизотермических процессов транспортировки. Решены две важные для практики задачи о выходе газопровода на новый режим работы.

В создании математической модели I и комплекса программ расчета по системе уравнений модели I участвовали профессор Г. И. Курбатова и доцент Е. А. Попова.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Об одной нестационарной модели течения газа по морским газопроводам // "Нелинейный динамический анализ- 2007": Тезисы докладов международного конгресса. Санкт-Петербург. 2007 г., - СПб. С. 73.

2. Груничева Е.В., Курбатова Г.И. Анализ эффективности вычислительных алгоритмов решения одной задачи газовой динамики // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов. - СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та, 2007. С. 147-151.

3. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Об одной нестационарной задаче расчета морского газопровода // Труды Междунар. конференции "Шестые Окуневские чтения". 2008 г., Санкт-Петербург/ под ред. Г. Т. Алдошина и др. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2008. Т. 1. С. 93-96.

113

4. Груничева Е. В., Курбатова Г. И., Попова Е. А , Свиридович В. И. Об одной нестационарной модели течения газа по морским газопроводам // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике: Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 2008 г.,- СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2008.- 144 с.

5. Груничева Е.В., Курбатова Г. И., Попова Е.А. Решение одной неизотермической задачи о нестационарном течении газа по морским газопроводам // Тезисы докладов V международной конференции по механике "Поляховские чтения". 2009. С. 116.

6. Груничева Е.В. Расчет выхода газопровода на установившийся режим работы в изотермических условиях // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. - СПб.: Из дат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 146-149.

7. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Математическая модель нестационарного неизотермического течения смеси газов по морским газопроводам // Вестн. С.-Петсрб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 42-49.

8. Груничева Е.В., Курбатова Г. И., Попова Е.А. Нестационарное неизотермическое течение смеси газов по морским газопроводам // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. №4. С. 141-153.

114

1. Курбатова Г. И., Филиппов Б. В., Филиппов В. Б. Неизотермическое турбулентное течение сжимаемого газа / / Математическое моделирование. 2003. Т.15.№3. С. 92-108.

2. Дерцакяи А.К., Курбатова Г.И., Неизвестное Я.В., Филиппов Б. В. Некоторые научно-технические проблемы освоения шельфа арктических морей России / / Труды XIII сессии Между нар. школы по моделям механики сплошных сред. СПб. 1996. С. 99-109.

3. Курбатова Г.И., Попова Е.А., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б., Филиппов К.Б. Модели морских газопроводов // СПб: С.-Петерб. гос. ун-т. 2005. 156 с.

4. Васильев О.Ф., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Неизотермическое течение газа в трубах // Новосибирск С.О.: Наука. 1978. 128 с.

5. Ковеня В.М., Яненко Н.Н Методы расщепления в задачах газовой динамики // Новосибирск: Наука. 1981. 263 с.

6. Самарский А. А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. // М.:Едиториал УРСС. 2004. 424 с.

7. Andrzej J. Osiadacz, Maciej Chaczykowski Comparison of isothermal and non-isothermal pipeline gas flow models // Chemical Engineering Journal. 2001. T.81. P. 41-51.

8. Maciej Chaczykowski Sensitivity of pipeline gas flow model to the selection of the equation of state // Chemical Engineering Research and Design.1152009. Т.87. Р. 1596-1603.

9. Лурье М.В., Пятакова O.A. Особенности теплового расчета магистральных газопроводов с учетом инверсии эффекта Джоуля -Томпсона // Газовая промышленность. 2010. №2. С. 16-19.

10. Лурье М.В., Пятакова O.A.Тепловые режимы газопровода, транспортирующего газ при температурах ниже температуры окружающей среды // Газовая промышленность. 2008. №3. С. 8082.

11. Пятакова O.A. О точности расчета режимов работы газопровода в неизотермических условиях // Транспорт и подземное хранение газа. 2007. №4. С. 5-9.

12. Селезнев В.Е., Алешин В.В. , Прялов С.Н. Основы численного моделирования магистральных трубопроводов // Под ред. В.Е. Селезнева. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: МАКС Пресс. 2009. 436 с.

13. Селезнев В.Е., Клишин Г.С., Алешин В.В., Прялов С.Н., Киселев В.В., Войченко А.Л., Мотлохов В.В. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа. // М.: УРСС. 2003. 223 с.

14. Цыбульник В.П., Рубель В. В. Комплекс моделирования и оптимизации газотранспортных систем "Астра"// Газовая промышленность. 2006. №1. С. 27-29.

15. Грачев В. В., Щербаков С. Г., Яковлев Е.И. Динамика трубопроводных систем. // М.: Наука. 1987. 439 с.116

16. Чариый И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. //U.: Недра, 1975. 296 с.

17. Воеводин А.Ф., Никифоровская B.C. Численный метод определения места утечки жидкости или газа в трубопроводе // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. XII. №1. С. 25-30.

18. П'янило Ярослав Исследование нестационарного движения газа в трубопроводе с учетом градиента плотности и расхода массы // Зб1рник "Ф1зико-математичне моделювання та шформащйш технологи". 2008. т. С. 139-148.

19. П'янило Ярослав, Притупа Мирослав, Притупа Назар Математическая модели неустановившегося движения газа в объектах газотранспортных систем // Зб1рник "Ф1зико-математичне моделювання та шформащйш технологи". 2006. №4. С. 69-77.

20. Алиев А. Р. Приближенные решения уравнений неизотермического течения газа в газопроводе // Вестник Ассоциации буровых подрядчиков. 2006. №1. С. 32-33.

21. Панферов В. И., Февралев A.A. Численное моделирование переходных процессов в газопроводах. // Вестник ЮУрГУ. Серия: Строительство и архитектура. 2008. №25. С. 40-44.

22. Рождественский В.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. // М.: Наука. 1978. 687 с.117

23. Годунов C.K., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). // М.:Наука. 1977. с.

24. Самарский А. А. Теория разностных схем. // М.:Наука. 1983. 616с.

25. Пирумов У.Г., Росляков Г. С. Численные методы газовой динамики. // М.: Высш. шк. , 1987. 232 с.

26. Зубов В.И., Котеров В.Н., Кривцов В.М., Шипилин A.B. Нестационарные газодинамические процессы в газопроводе на подводном переходе через Черное море // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №4. С. 58-70.

27. Агапкин В.М., Борисов С.Н., Кривошеий B.JI. Справочное руководство по расчетам трубопроводов. // М.:Недра. 1987. 191 с.

28. Казак К.А., Казак A.C. Моделирование нестационарных режимов газопроводов с граничными условиями по давлению и температуре в начале участке и массовому расходу на конце // Системы управления и информационные технологии. 2007. №3 (29). С. 8-10.

29. Кривошеий Б.Л., Радченко В.П., Бобровский С.А. и др. Некоторые математические модели нестационарного течения газа в магистр ал ьныхх трубопроводах / / Известия АН СССР. Серия: Энергетика и Траспорт. 1974. №6. С. 112-120.

30. Богомолов С.В.,Гаврилюк К.В., Мухин С.И. Течение газа в трубопроводах при наличии стока // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. Ml. С. 82-92.118

31. Селезнев В.Е., Войченко A.A. , Прялов С.Н. Оперативное обнаружение разрывов магистральных газопроводов // Математическое моделирование. 2006. Т.18.№2. С. 101-112.

32. Курбатова Г.И., Попова Е.А. Проблемы учета профиля скорости в расчетах турбулентных течений в трубах // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 2. С. 18-28.

33. Мансуров М.Н., Черний В. П. Современные методы проектирования и расчета морских трубопроводов // Наука и техника в газовой промышленности. 2005. №4. С. 50-57.

34. Chaczykowski Maciej Transient flow in natural gas pipeline The effect of pipeline thermal model // Applied Mathematical Modelling. 2010. T.34. №4. P. 1051-1067.119

35. Рид Р., Праусниц Дою., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. //Л.: Химия. 1982. 532 с.

36. Modisette J.L.Equations of State Tutorial // Proceedings of the PSIG-The 32nd Annual Meeting. Savannach. 2000. №8. P. 1-21.

37. Казак К. А., Казак A.C. Разработка метода расчета неустановившихся режимов транспорта газа по участку трубопровода при возникновении утечки //Системы управления и информационные технологии. 2007. №2.2 (28). С. 237-240.

38. Abbaspour М., Chapman K.S. Nonisothermal transient flow in natural gas pipeline // Journal of Applied Mechanics. 2008. T.75. №3. P. 031018/1 -031018/18.

39. Яненко H.H., Шокии Ю.И., Компаниец Л. А. и др. Классификация разностных схем газовой динамики методом дифференциального приближения // Новосибирск С.О. СО Институт теоретической и прикладной механики. 1982. С. 19-82.

40. Рынков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах // Новосибирск С.О.: Наука. 1988. 222 с.

41. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. // М.: МФТИ. 1989. 526 с.

42. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач //М: Мир. 1972. 418 с.

43. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Реализация метода расщепления по физическим процессам для численного решения трехмерных задач120конвекции // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14. №1. С. 21-33.

44. Воеводин А.Ф., Есипович Л.Я., Кочан В.Р. Разностный метод расчета нестационарного одномерного течения газа // Журнал выч. матем. и мат. физики. 1976. Т. 16. №4. С. 1006-1016.

45. Колдоба А.А., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Двухслойные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т.27. №5. С.779-783.

46. Волков К.Н. Разработка и реализация алгоритмов численного решения задач механики жидкости и газа // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т.8. №2. С. 40- 56.

47. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика от тепловых двигателей до диссипативных структур: Пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого //М.: Изд-во "Мир". 2002. 461 с.

48. David Hullender, Robert Woods, Yi-Wei Huang Single Phase Compressible Steady Flow in Pipes // Journal of Fluids Engineering. 2010. Volume 132. Issue 1. pp. 014502 (4 pages).

49. Gato L.M.C., Henriques J.G.C. Dynamic behaviour of high-pressure natural-gas flow in pipelines // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2005. T.26. №5. P. 817-825.

50. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Решение одной неизотермической задачи о нестационарном течении газа по морским газопроводам // Тезисы докладов V международной конференции по механике "Поляховские чтения". 2009. С. 116.122

51. Груничева Е.В., Курбатова Г.И., Попова Е.А. Нестационарное неизотермическое течение смеси газов по морским газопроводам // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. №4. С. 141-153.123