автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование зондоформирующих систем с учетом краевых полей

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕРЕШОНКОВ Юрий Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗОНДОФОРМИРУЮЩИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ ПОЛЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

-2 СЕН

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

004607646

Работа выполнена на кафедре компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич (СПбГУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович (СПбГУ)

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Артамонов Станислав Александрович (ПИЯФ РАН)

Ведущая организация:

Лаборатория физики высоких энергий ОИЯИ, Московская область г. Дубна

Защита состоится « 29 » сентября 2010 г. в 14 часов на заседании Совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www. spbu. ru

Автореферат разослан Л- » У\\-Р\-А 2010 г.

доктор физико-математических наук,

профессор (СПбГУ) Курбатова Галина Ибрагимовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние годы появилось много разнообразных (по конфигурациям, энергиям, предназначению и применению) устройств для формирования и транспортировки заряженных частиц (например, протонов, ионов). Во всех подобных установках одной из важных задач является обеспечение устойчивости пучка частиц в окрестности опорной траектории для получения его основных характеристик (например, геометрических размеров, формы, распределения частиц). Подобная проблема решается с помощью специальных фокусирующих элементов, расположение которых в системе является задачей дизайнера этой системы.

Одним из востребованных классов установок являются зондоформирую-щие системы (ЗФС), например микро- и нанозонды. Подобные установки широко применяются в физике твердого тела, биологии, медицине, дефектоскопии материалов, химии, производстве радиоизотопов, радиационной обработке материалов, литографии, имплантации ионов в различные материалы, радиационной диагностике, терапии рака, электронных микроскопах, инициации ядерных реакций, неразрушающем анализе материалов, томографии, микроскопии, нано- и биотехнологических исследованиях. Задачи в указанных областях решаются в рамках проектов, среди которых можно выделить SPIRIT1 (Support of Public and Industrial Research Using Ion Beam Technology), National Association for Proton Therapy (NAPT)2. Особо следует отметить, что все проекты являются международными, так как сложность конструирования и сопровождения систем управления пучками частиц приводят к необходимости консолидации усилий.

Жесткие требования к пучку вызывают чрезвычайно высокую зависимость основных характеристик пучка от параметров установок (отклонения параметров от заданных значений на доли процента могут приводить к качественному изменению свойств ЗФС). В диссертации особое внимание уделяется важному классу задач, в котором проводится оценка влияния краевых полей в управляющих элементах на основные характеристики пучка. Краевые поля являются неотъемлемым атрибутом любого типа управляющих элементов, и существенно влияют на динамику пучка, а также на его основные характеристики. Длина интервала распределения краевых полей и их форма допускают существенное варьирование, однако проблеме влияния геометрии и топологии краевых полей на основные характеристики пучка в литературе не уделяется достаточного внимания. Это вызвано недостатком информации об экспериментальном распределении краевых полей и уникальностью установок. Существующие на данный момент математические и компьютерные модели краевых полей не обеспечивают экспериментаторов информацией, необходимой для модернизации функционирующих и дизайна новых установок, именно этой проблеме посвящена данная работа на примере ЗФС. Объектами исследования являются пучок частиц и ЗФС,

1 http://www.spirit-ion.eu

2http://www. proton-therapy.org

Л

' (

атрибутом управления выступает внешнее магнитное поле. Для оценки влияния краевых полей на основные характеристики пучка частиц в работе предлагаются математические и компьютерные модели краевых полей, позволяющие создавать дизайн (архитектуру3) ЗФС. Подобная архитектура обеспечивает заданные характеристики пучка с учетом краевых полей управляющих элементов. Используемые классы модельных функций, описывающих краевые поля, позволяют строить аналитическое решение уравнений движения пучка частиц и аппроксимировать экспериментально измеренное распределение краевых полей. Предложенные в работе подходы для моделирования и модели краевых полей могут быть применены для других задач физики пучков (например, для моделирования эволюции пучков частиц в циклических ускорителях).

Тематика диссертации соответствует приоритетному направлению развития науки, технологий и техники в Российской Федерации «Индустрия нано-систем и материалов», а также критическим технологиям «Нанотехнологии и наноматериалы».

Цель и задачи исследования. Целью исследования является создание иерархии математических и компьютерных моделей ЗФС, позволяющих оценивать влияние краевых полей на динамику и основные характеристики пучка частиц. Использование подобные моделей приводит к осуществлению синтеза систем управления пучками частиц. Поставленная цель определяет следующие задачи исследования:

- математическое моделирование краевых полей магнитных элементов;

- построение математических моделей нелинейной динамики пучков частиц с учетом краевых полей',

- оценка влияния краевых полей на характеристики пучков частиц в линейном и нелинейном приближениях-,

- создание комплекса программ, предназначенного для синтеза ЗФС с учетом краевых полей;

- апробация построенных математических моделей с учетом экспериментальных данных.

Методы исследования. Аналитический и численный аппарат теории дифференциальных уравнений, алгебраические методы Ли, матричный формализм, методы и технологии компьютерной алгебры, конечно-разностные методы в теории аппроксимации функций, методы теории управления, методы математического и компьютерного моделирования.

Научная новизна. Предложены математические модели краевых полей для исследования их влияния на основные характеристики пучка частиц. Построены математические модели нелинейной динамики пучка частиц в ЗФС с учетом краевых полей. Создан комплекс программ для моделирования ЗФС. Проведена оценка влияния краевых полей на пучок частиц на основе эффек-

Архитектурное решение — авторский замысел объекта с комплексным решением функциональных, конструктивных и экономических требований к нему.

тивной математической модели. Предложены рекомендации для улучшения параметров функционирующих установок и синтеза новых.

Практическая ценность работы. Предложенный математический аппарат обеспечивает гибкую настройку моделей ЗФС при помощи включения новых эффектов (например, эффектов собственного заряда пучка частиц) при сохранении единой идеологии моделирования. Подобная настройка осуществляется добавлением новых объектов в модель ЗФС, в частности, объектов, отвечающих различным типам магнитных линз или описывающим эффекты собственного заряда. Использование предложенных математических моделей и созданного комплекса программ позволяет оценить влияние краевых полей на основные характеристики пучка, сократить время дизайна и настройки ЗФС (в разы, например, с пяти месяцев до трех), модернизировать функционирующие и синтезировать новые установки. Это приводит к снижению стоимости проектирования (в частности, соразмерно уменьшению количества человеко-часов), изготовления и обслуживания новых установок.

Реализация и внедрение результатов работы. Опыт, полученный в рамках научной стажировки в Лаборатории взаимодействия частиц4 в Загребе позволил адаптировать семейство предложенных в диссертации математических моделей и комплекс программ с учетом требований физиков-экспериментаторов. Кроме этого, часть результатов моделирования, связанная со сменой полярностей и смещению линз от исходных положений, учету краевых полей, была внедрена в исследования, проводимые в данной лаборатории. Известно, что экспериментальная информация о краевых полях управляющих элементов всегда является не полной, однако косвенные данные о краевых полях, полученные в результате их измерений, позволили адаптировать предложенные математические модели краевых полей. В сотрудничестве с экспериментаторами из 1ЛВ1 были проведены измерения краевых полей двух типов магнитных крадрупольных линз, коэффициента сжатия пучка в продольной и поперечной плоскостях, а также основных параметров микрозонда. На основе проведенных исследований были сформулированы рекомендации дизайнерам магнитных линз по форме краевых полей и длине интервала их распределения. По полученным экспериментальным данным были предложены модели краевых полей для нескольких типов квадрупольных линз и включены в математическую модель микрозонда.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, матричного формализма, теории аппроксимации функций, теории управления и компьютерной алгебры. Комплекс программ, реализующий алгоритмы численных методов, прошел отладку и тестирование на задачах, решения которых известны. Результаты, полученные при численных расчетах, соответствуют приведенным в литературе результатам наблюдений и экспериментов. Более того, результаты вычислительных экспериментов согласуются с проведенными экспериментами в сотрудничестве с коллегами на микрозонде 1ЛВ1.

■•Laboratory for Ion Beam Interactions (LIBI), http://www.irb.hr/en/str/zef/z31abs/liis

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Европейской конференции по ускорителям заряженных частиц ЕРАС'08 (г. Генуя, Италия), 11-ой и 12-ой международных конференциях по технологиям ядерных микрозондов и их применению ICNMTA'08 (г. Дебрецен, Венгрия) и ICNMTA'10 (г. Лейпциг, Германия), 15-ом и 16-ом международных семинарах по динамике пучков и оптимизации BD0'C)8 (г. Санкт-Петербург, США) и BDO'lO (г. Санкт-Петербург), 8-ой международной конференции высокопроизводительных параллельных вычислений на кластерных системах НРС'08 (г. Казань), международной конференции по физике и управлению PhysCon'09 (г. Катания, Италия), международных конференциях аспирантов и студентов Процессы управления и устойчивость CSP'07, CSP'09 (г. Санкт-Петербург), на семинарах кафедр КММС и ТСУЭФА факультета ПМ-ПУ СПбГУ (г. Санкт-Петербург), Объединенного института ядерных исследований (Московская обл., г. Дубна), Лаборатории взаимодействия пучков частиц (г. Загреб, Хорватия).

Исследования проводились в рамках следующих проектов:

1. «Разработка метода параллельного и распределенного моделирования динамики частиц» (персональный грант поддержан фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в рамках программы «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» «У.М.Н.И.К.» в 2008 №9198 по теме №4).

2. «Создание комплекса методов, алгоритмов и программ для моделирования и оптимизации систем управления зондоформирующих систем» (Тематический план ПМ-ПУ № 9.0.111.2009).

3. «Синтез оптимальных зондоформирующих систем на основе эффективных математических методов и информационных технологий» (грант Правительства Санкт-Петербурга № 2.1/04-05/058).

4. «Ядерная физика. Физика элементарных частиц и полей. Космология. Физика ускорителей и детекторов» (совместно с физическим факультетом СПбГУ, лот НК-533П поддержан ФАО в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы).

В ходе научной стажировки в Институте Руджера Бошковича (Ruder Boskovic, г. Загреб, Хорватия) в 2009 году (победитель Всероссийского открытого конкурса на получение стипендий Президента РФ для обучения за рубежом) были подтверждены теоретические результаты исследований, а также получены новые научные результаты, вошедшие в диссертацию. Кроме этого, исследования были частично поддержаны стипендией Правительства РФ на 2009-2010 учебный год.

Личный вклад автора. Автором диссертации были предложены математические модели краевых полей и ЗФС. С использованием подобных моделей была проведена оценка влияния краевых полей на основные характеристики пучка и его динамику. Кроме этого, создан комплекс программ, помогающий синтезировать ЗФС с учетом краевых полей. Результаты вычислительных экспериментов позволили сформулировать рекомендации по

улучшению функционирующих и синтезу новых ЗФС. В частности, предложены возможные значения длин интервалов распределения краевых полей, рекомендации по выбору «низких» значений магнитных возбуждений.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 12 работ, две из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 194 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 177 наименований. Работа содержит 48 рисунков, 9 таблиц и 17 приложений иллюстрирующего характера.

Во Введении обоснована актуальность исследуемой темы, сформулированы цель, задачи и положения научной новизны исследований.

В первой главе представлены базовые понятия, методы и технологии, предназначенные для моделирования ЗФС. В частности, к ним относятся формализация ЗФС, описание процесса моделирования, физической, математической и компьютерных моделей. Кроме этого, в главе описаны предметная область, класс решаемых задач, рамки исследования, обоснованы выбор математических методов и компьютерных технологий. Основными допущениями в математической модели управляющей системы являются пренебрежение собственным полем пучка и стационарность внешних магнитных управляющих полей. Пренебрежение собственным полем пучка допустимо, так как ток пучка в рассматриваемых установках имеет порядок 1-^100 пА. Математическая модель основана на системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые управляющие поля входят в виде управляющих функций. В диссертации используется одночастичный подход для описания движения частицы пучка, для представления ансамбля частиц используется подход огибающих.

Во второй главе предложены математические модели краевых полей управляющих элементов, позволяющие, в частности, проводить оценку их (полей) влияния на основные характеристики ЗФС. Краевым полем называется часть магнитного поля, распределенного вдоль электрической оси управляющего элемента ЗФС, где поле перестает быть постоянным и появляется зависимость поля от продольной координаты. С учетом экспериментальных данных управляющее магнитное поле представимо в классе непрерывных функций, который можно записать в следующем виде:

В выражении (1) kmix — максимальное значение амплитуды управляющего поля, функции /¡„(s) и /out(s) описывают входное и выходное краевые поля соответственно, на которые накладываются условия гладкости:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

/¡п 00, se[s0,si), 1, sg[SI,S2),

/out 00.

(i)

Uso) = /out (^з) = /'„ («о) = fU*l) = ЛпЫ = /Óut(s3> = О, /in(si) = /out 0*2 ) = 1,

где /'(«) = ¿/(в)/^. Использование асимптотических аналогов условий (2) позволяет ввести в рассмотрение более широкий класс модельных функций распределения:

lim /¡n(s)= lim /out(s) = 0, lim /¡„(s) = lim /out(s) = 1,

5—> + So S—+ + S 2 S-+ — Si S—2

Km /in(«) = lim /in (s) = lim /out(s) = Hm fW) =

S—> + s—> —Sx s—> — S3 s—► — S3

Используемый математический аппарат (матричный формализм, методы теории возмущений и алгебраические методы Ли) позволяет учитывать особенности краевых полей с полной (по известной карте поля5) и неполной информацией при их аппроксимации, включать их в модели ЗФС, учитывать различные параметры ЗФС и обеспечивает эффективность6 процесса моделирования. Предложенные модели краевых полей позволяют учитывать экспериментальную информацию об управляющих полях и конструировать для них сложные аппроксимирующие функции (в том числе составные). Примерный вид краевого поля представлен на рис. 1.

Особенностью предлагаемого подхода является то, что для уравнений движения частиц с подобными функциями существует аналитическое решение. Более того, предложенный набор функций удовлетворяет физическим требованиям и позволяет описывать экспериментальные данные. Численное решение уравнений движения частиц не обладает гибкостью и возможностью свободного варьирования параметров, что приводит к необходимости использовать аналитическое решение уравнений для синтеза ЗФС. В диссертации предложен метод, базирующийся на работе Т.А. Antone, A.A. AL-Maaitah7, где сформулирован подход, позволяющий строить в символьной форме решения дифференциальных уравнений вида

У+ [?(«)+ 91 (s)]!/= 0. (3)

Здесь q(s) непрерывная функция на необходимом интервале (выступает в качестве распределения электромагнитного поля вдоль оси элемента), qi(s) положительная и дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая зависит от решения уравнения

■ф + q{s)ip = 0. (4)

ад Центральная часть

Входное 1 | 1 Выходное

краевое лолу ■ 1 I \краевое поле

/» 7 1,1 \ /out

■У0 Л SC 5

Рис. 1. Схематическое представление краевого поля управляющего элемента

5Карта поля — набор экспериментальных данных, объединенных в таблицу, включающий в себя относительные значения индукции управляющего поля.

6Под эффективностью в данной работе понимается удобство варьирования форм краевых полей и интервалов их распределения, исследование ЗФС в зависимости от параметров аппроксимирующих функций краевых полей, соответствующая поддержка комплекса программ.

7Т.А. Antone and А.А. AL-Maaitah Analytical solutions to classes of linear oscillator equations with time varying frequencies. Journal of Mathematical Physics, Volume 33, Issue 10, October 1992, pp. 3330-3339.

Уравнение (3) будем называть возмущенным по отношению к (4), где gi(s) — возмущение, а уравнение (4) невозмущенным. Предложенный подход предоставляет возможность поиска классов решений возмущенного уравнения по решению невозмущенного. Это позволяет осуществить целенаправленный поиск решений, удовлетворяющих условиям гладкости и физической реализуемости краевых полей. Уравнение (3) является линейным приближением уравнения движения частиц в квадрупольных линзах. Можно выделить три достаточно представительных класса функций, а также некоторые варианты функций, для которых существует аналитическое решение (матрицант):

Ш = ф{з)е%s), /2(я) = ^(Я)СО8 ф(з), Ь(з)=ГФт-Примерами функций первого класса могут быть функции

-4 _ е2*2

(a + bs) , а2 + (asinas + bcosas) 4,1 + 2n - s2 + . . ..,

где Hn(s) — полином Эрмита степени п. Примерами второго класса могут являться следующие функции:

n2s2n-2 _ (n2 _ l)/^^ x¡2 _ cos2 QS + 3/4 tg2 as.

Наконец, к третьему классу относятся, в частности,

п - п(п - 1) tg2 as, п(3 - s2) - п(тг - l)(s - 1/s)2, (1 + 4s2 - 4n2)/(4s2) - 2Jn(s)/(sJn+1(s)), где Jn(s) — функция Бесселя порядка п. В отличие от используемых в литературе, модели, предложенные в диссертации, позволяют более гибко и точно описать распределение реального краевого поля8.

Более того, отбор предложенных в диссертации моделей осуществлялся с учетом требования существования длягних аналитического решения уравнений движения пучка частиц в линейном приближении, которое затем используется для поиска решения задачи эволюции пучка Тз об о*9 Гд ¡3 i,8 -s с учетом нелинейных эффектов. Распре-Рис. 2. Пример распределения краевого деление краевого ПОЛЯ ОДНОЙ из квадру-поля для квадрупольной линзы польных линз, расположенной в составе

микрозонда Лаборатории взаимодействия частиц г. Загреба представлено на рис.2. Подобное распределение было аппроксимировано при помощи функции (a + 6s)-4 на трех участках с разными параметрами. На рис.2 видно, что форма краевого поля не обладает симметрией относительно пунктирной линии. Другими словами, форма краевого поля до середины интервала существенно отличается от формы поля на оставшемся интервале, что необходимо учитывать при создании модельных функций распределения для экспериментальных краевых поля. Подобная форма поля приводит к необходимости использования составных аппроксимирующих функций. В работе не рассматриваются эффекты, связанные с «выпуклостью» краевых полей (их вклад в

предлагаемые в литературе модельные функции краевых полей описывают исключительно конкретные экспериментальные данные, практически не имеют возможности гибкого варьирования формы поля и длины интервала его распределения, не позволяют исследовать влияние краевого поля на основные характеристики пучка частиц.

динамику пучка частиц на порядок меньше чем влияние «плоского» краевого поля9), однако предложенные подходы и методы позволяют учитывать подобные эффекты.

В третьей главе предложены модели ЗФС с учетом нелинейных аберраций10. Подобные аберрации вызваны отклонением от заданных значений управляющих параметров, неточностями расположения управляющих элементов и наличием краевых полей. В диссертации рассматривается расширяемая иерархия моделей ЗФС от линейных к нелинейным, включающая в себя математические модели краевых полей. Построение подобной иерархии основано на принципах теории возмущения. Предложенные модели позволяют оценивать влияние краевых полей на основные характеристики пучка как в линейном, так и нелинейном приближениях (до заданного порядка точности). Использование аналитических вычислений позволяет осуществлять целенаправленный синтез ЗФС.

Существует два основных подхода к решению задач транспортировки пучков заряженных частиц: одночастичный (представление совокупности отдельно взятых траекторий) и операторный (эволюция всего пучка). Первый базируется на использовании численных методов при решении уравнений движения для каждой частицы отдельно, для функции плотности частиц или при описании пучка в терминах огибающих. В рамках операторного подхода весь пучок переводится как единое целое из одного состояния в другое, что позволяет учитывать симметрии и качественные свойства пучка, а также уменьшить временные затраты при вычислениях. Подобный подход является абстрактным, однако, при его численной реализации используются различные представления оператора (при определенных ограничениях на его свойства). В частности, оператор допускает матричное, тензорное или другие представления. При матричном представлении основными элементами являются матрицы, с ростом порядка точности их размерность увеличивается. Идеология операторного подхода заключается в отделении информации о пучке от информации о системе управления. Это позволяет существенно сократить время вычислений и записать некоторые критерии оптимальности при синтезе систем управления в терминах матричных пропагаторов, а не характеристик пучка. Подобное разделение позволяет исследовать свойства операторов эволюции вне зависимости от начальных данных. В общем виде уравнения динамики частиц (для монохроматического пучка) в окрестности опорной траектории можно записать следующим образом:

^ = F(X,s), F(0, s) = 0, Х=(х,х',у,у'), ее К «г], (5)

где F(X, s) описывает внешние управляющие поля и учитывает конфигурацию опорной траектории, X является фазовым вектором. Хорошо известно, что при определенных условиях гладкости функции F(X, s) задача Коши (5)

9Irwin J. Spin Dynamics in Storage Rings and Linear Accelerators, SLAC-PUB-6448, 1994. 41 p.

10Аберрации оптических систем — ошибки или погрешности изображения в оптической системе.

и

допускает представление в виде сходящегося ряда Тейлора для конечного значения Представление решения в подобном виде демонстрирует суть широко используемой в физике пучков теории возмущений. Уравнение и его решение в базисе Пуанкаре-Витта (Х,Х'21,... ,Х'*1) в терминах матричного формализма могут быть записаны в виде:

^ = ¿р"(а)хМ(в), Х(в) = ХУ^ыхМ (6) й к=1 к=1

где ХИ(б) — вектор, являющийся Кронекеровской степенью" фазового вектора Х(в), Х0 = Х(во) — начальный фазовый вектор, яо — начальная точка, Р1к(в) — матрицы с элементами, равными к-й производной компонент вектор-функции Е(Х(з),з). Именно в матрицах Ри(з) содержится информация о распределении поля вдоль оптической оси системы. Матрицы Ки(5|зо), к > 2, называются аберрационными матрицами к-то порядка и аккумулируют в себе влияние всех нелинейных эффектов к-то порядка. Полный оператор эволюции пучка в ЗФС (пропагатор) в базисе Пуанкаре-Витта представляется в виде бесконечномерной блочной верхнетреугольной матрицы и может быть точно представлен в виде суперпозиции частичных про-пагаторов в силу группового свойства. Для блочных матриц, входящих в пропагатор, справедливы следующие рекуррентные равенства: к

= 3>1, к> 2, (7)

3=1

где К'-'(.фо) являются вспомогательными матрицантами для построения-основных К1*^^)- Выражение (7) позволяет учитывать реальное распределение управляющего поля вдоль электрической оси системы и не зависит от способа ее разбиения на интервалы.

В третьей главе также предложен алгоритм моделирования ЗФС с учетом краевых полей, и описаны основные нелинейные аберрации (например, сферические и хроматические), оказывающие наибольшее влияние на основные характеристики пучка частиц на мишени. Матричный формализм позволяет унифицировать практически все нелинейные аберрации, единообразно их описать и дает возможность находить их аналитически. Главными достоинствами предложенного алгоритма моделирования ЗФС являются его универсальность, гибкость и полиморфизм. Каждый объект моделирования является независимым и автономным. Основными объектами являются аберрационные матрицы, которые соответствуют как управляющим элементам, так и краевым полям. Кроме этого, добавление дополнительных аберрационных матриц позволяет описать эффекты собственного заряда пучка. Подобные объекты позволяют конструировать ЗФС с учетом краевых полей как с точки зрения высокоуровневого, так и низкоуровневого моделирования, что означает унификацию и возможность применения для различных задач,

"ХМ — вектор, состоящий из мономов к-го порядка.

а также учета эффектов произвольной природы. При вариации модельной функции краевого поля для соответствующего управляющего элемента остается прежняя структура и связи с другими элементами, но изменяются аналитические или численные выражения для матричных пропагаторов. Данное свойство математической модели ЗФС позволяет «пересчитывать» результаты с другими модельными функциями, не разрушая логические связи между компонентами. Использование символьных вычислений при расчете характеристик моделируемых ЗФС предоставляет возможность варьирования параметров, что позволяет выработать рекомендации дизайнерам установок для эффективной настройки и улучшения качества систем. Предложенный алгоритм моделирования ЗФС дает возможность строить компьютерные модели на базе математических, что позволяет создавать эффективные, универсальные и гибкие комплексы программ.

В четвертой главе описан комплекс программ, который создан для моделирования ЗФС с учетом краевых полей. Подобный комплекс разработан в среде символьной алгебры Maple и на языке Java, базируется на предложенных математических моделях краевых полей и алгоритме моделирования ЗФС. Пакет Maple выбран в силу эффективного инструментария для моделирования и проведения символьных вычислений. Найденные символьные матричные представления оператора эволюции для пучка частиц (пропагаторы) используются в реализованном на языке Java комплексе программ. Выбор языка Java обусловлен его универсальностью, независимостью от клиентской платформы, возможностью использовать параллельные и распределенные вычисления и создавать web-приложения. Иерархия математических и компьютерных моделей краевых полей позволяет осуществлять выбор аппроксимирующих функций для краевых полей с учетом актуальной экспериментальной информации. Кроме этого, использование матричного формализма, описанного в третьей главе, позволяет реализовать эффективное вычисление пропагатора для полной ЗФС. Под эффективностью понимаются сокращение времени вычислений и памяти для хранения промежуточных данных при обеспечение заданной степени точности вычислений.

В пятой главе представлены результаты серий вычислительных экспериментов с использованием созданного комплекса программ. В главе формализована схема проведения вычислительных экспериментов, которые проводились с использованием реальных данных. Результаты вычислительных экспериментов были проанализированы, сгруппированы, и из них выбрано семейство оптимальных вариантов ЗФС. В данной работе под оптимальным вариантом ЗФС понимается набор параметров синтезируемых систем, которые могут быть реализуемы физически и удовлетворяют ряду требований. Выбор необходимого варианта, отвечающего заданным требованиям, предоставляется «заказчику», который должен учесть стоимость и возможность его реализации. Другими словами, предлагается семейство вариантов управляющих параметров, из которых заказчик может выбрать более подходящие варианты, руководствуясь своими потребностями и возможностями. Подобный подход более адекватен физической реальности. Например, в за-

кI

2,5

2,0 ■

1,5 -

1,0

Исходная нагрузочная кривая

Рабочие точки ДЛЯ ВЫСОКИХ! и низких • магнитных возбуждений

0,5 ■

висимости от потребностей и финансовых возможностей можно выбирать более дешевый для реализации вариант, либо выбрать более устойчивый к изменению управляющих параметров режим в силу имеющихся ограничений в их установке. В работе были рассмотрены микрозонды, расположенные в ряде научных центров (в частности, в городах Загреб и Краков).

«Краковский» нанозонд. Для нанозонда из Кракова (на базе «русского квадруплета») с использованием предложенного в работе алгоритма моделирования ЗФС и нагрузочных кривых12 было исследовано влияние краевых полей управляющих элементов на основные характеристики пучка. Вариации формы и длины интервала распределения некоторых моделей краевых полей существенно влияют на вид нагрузочных кривых.

При постоянной эффективной длине управляющих элементов (Le[[), с увеличением длины интервала распределения краевого поля были получены нагрузочные кривые. С учетом экспериментальных данных в открытой печати в качестве одной из моделей для краевых полей была выбрана синусоидальная модель, предполагалось, что краевые поля симметричные относительно центра каждого управляющего элемента. Подобная модель удовлетворяет условиям гладкости и «выхода на нуль», позволяет гибко варьировать длину интервала распределения краевого поля и описывает предполагаемый профиль поля на всем участке. В качестве демонстрации на рис. 3 представлены нагрузочные кривые, полученные при аппроксимации краевых полей кусочно-постоянными функциями в случае сохранения геометрической длины линз (при сохранении Leц нагрузочные кривые начинают существенно расходиться только при ki > 1,5). Длины интервалов управляющего элемента с постоянным полем на рис.3: Ьц = 31/32Z/eff (штрих-пунктирная линия), Lq = 15/16Le[[ (пунктирная линия), L0 = 7/8Lef[, (точечная линия) Lq = 3/4Leff (сплошная линия) и Lq = 1/2Le[f (пунктирная линия), исходная кривая соответствует отсутствию краевых полей в модели. Параметры ki,ki являются магнитными возбуждениями первой, третьей и второй, четвертой линз соответственно. С увеличением длины интервала распределения краевого поля правая часть нагрузочных кривых сдвигается вправо по оси Для нанозонда из Кракова построены графики коэффициентов сжатия в линейном и нелинейном приближениях, найдены «рабочие» точки для различных длин интервалов распределения краевых полей (от «прямоугольной» модели до «колокола») при сохранении равенства значений коэффициента сжатия пучка на мишени для продольной и поперечной плоскостей в линейном приближении. Вычислительные эксперименты показали, что наибольший вклад в геометрические размеры пучка вносят сферические

12Нагрузочная кривая — кривая, точки на которой удовлетворяют условию равенства безразмерных уменьшений пучка частиц в обеих поперечных плоскостях {х, s} и (j/,«}.

о 0,5 1,0 к

Рис. 3. Примеры нагрузочных кривых при изменении длины интервала распределения краевого поля

аберрации. Были предложены режимы работы с «высокими» (0,8-1,0) и «низкими» (0,4-0,6) значениями магнитных возбуждений квадрупольных линз. В работе также были получены характеристики чувствительности и устойчивости всех рассматриваемых режимов работы. Переход от линейных к нелинейным моделям ЗФС приводит к качественному изменению влияния краевых полей на характеристики пучка частиц, поэтому многие параметры необходимо определять заново. Другими словами, при синтезе подобных систем с критическими характеристиками требуется использовать нелинейные модели вместо линейных. В частности, для низких магнитных возбуждений при наличии краевых полей переход к нелинейной модели позволяет сохранить и даже увеличить коэффициент сжатия пучка. Для высоких магнитных возбуждений аналогичное увеличение коэффициента сжатия допустимо только при небольших длинах интервала распределения краевых полей. При уменьшении длины центральной части управляющих элементов (области с постоянным полем) качество фокусировки ухудшается на порядок и более. Таким образом, вместо недостижимой на практике «прямоугольной» модели поля и обеспечения заданных характеристик пучка, эффективнее, дешевле и физически более обоснованно изготавливать магнитные линзы с заданными формами и длинами интервалов распределения краевых полей. Также в диссертации предложены рабочие точки, позволяющие улучшить качество ЗФС с учетом нелинейных аберраций, оценены области пучка на мишени, которые содержат 80-90% частиц.

Микрозонд из 1ЛВ1. Для микрозонда из ЫВ1 были измерены профили двух типов краевых полей, что позволило получить реальные экспериментальные данные, аппроксимировать их специальными функциями и найти аналитические решения уравнений движения. Полученные экспериментальные данные для коэффициентов сжатия пучка и данные вычислительных экспериментов указали на их несогласованность, поэтому было предложено последовательно настроить фокус каждой линзы на мишень. В результате чего было установлено отклонение в соосности некоторых линз, которое было устранено. В работе приведена оценка влияния реальных краевых полей на характеристики пучка в линейном и нелинейном приближениях, предложены рекомендации по улучшению характеристик ЗФС. К ним относятся: смена полярностей магнитных квадрупольных линз, изменение расстояний между линзами, вариация силы тока в обмотках линз.

Микрозонд состоит из пяти квадрупольных линз, причем первый дуплет значительно отдален от триплета, а также магнитные линзы в нем находятся на достаточно большом расстоянии (около 1 м). Линзы в триплете практически не допускают сдвигов, а линзы первого дуплета могут быть сближены или отдалены друг от друга. Кроме этого, первый дуплет может быть сдвинут как единое целое к источнику или к триплету. В силу этого в работе оценивалось влияние сдвигов линз в первом дуплете на основные характеристики пучка частиц. В настоящее время микрозонд в 1ЛВ1 работает фактически

как триплет (РРООР)13, несмотря на то, что он содержит пять квадруполь-ных линз. Вычислительные эксперименты в рамках «прямоугольной» модели краевых полей позволили выделить два класса режимов работы подобной конфигурации с «низкими» (0,6 и ниже) и «высокими» (более 1,3) магнитными возбуждениями для второго дуплета линз. Предлагается работать с «низкими» магнитными возбуждениями не только для второго дуплета, но и для остальных квадрупольных линз. Вычислительные эксперименты показали, что аберрации третьего порядка кардинально ухудшают значения фокусировки пучка при значениях магнитных возбуждений магнитных линз более 1. С использованием комплекса программ было показано, что режим работы РОРОР (т. е. квинтуплет) обладает большим количеством рабочих режимов с «низкими» магнитными возбуждениями. Поэтому рекомендуется использовать именно подобный режим.

Одним из требований к микрозонду из ЫВ1 является увеличение его светимости14 (в данной работе под светимостью понимается количество частиц, пропускаемых ЗФС без потерь и попадающих на мишень). С этой целью синтезировались возможные режимы работы с учетом возможности смещения первого дуплета к источнику и к мишени. В результате вычислительных экспериментов показано, что увеличение режимов работы с большими значениями коэффициента сжатия пучка (например, 100) происходит при сближении линз в первом дуплете и сдвиге его к триплету. Для увеличения светимости необходимо сдвигать первый дуплет к источнику.

Результаты вычислительных экспериментов с измеренными данными краевых полей существенно отличаются от результатов в рамках «прямоугольной» модели полей. С учетом экспериментальных данных краевых полей пучок на мишени практически невозможно создать круглым, однако эллиптический пучок с достаточно большой интенсивностью устраивает экспериментаторов из ЫВ1 для проведения их исследований.

В Заключении по результатам исследования сделаны краткие выводы, предложены основные направления развития работы и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Математические модели краевых полей управляющих элементов зон-доформирующих систем (ЗФС).

2. Математические модели ЗФС с учетом нелинейных аберраций.

3. Комплекс программ для моделирования зондоформирующих систем с учетом краевых полей.

4. Рекомендации по улучшению характеристик функционирующих ЗФС и синтезу новых на основе результатов вычислительных экспериментов.

|3Р означает фокусировку магнитной линзы в продольной плоскости [х, з}, О — в поперечной {у.«}-

|4Светимость ускорителя — характеристика эффективности системы «ускоритель + мишень», показывающая сколько актов взаимодействия в секунду происходит между частицами пучка и мишени при единичном сечении этого взаимодействия.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Andrianov S.N., Edamenko N.S., Tereshonkov Yu.V. Some problems of nanoprobe modeling // Intern. Journal on Modern Physics A / Ed. by D. Ovsyannikov, M. Berz, P. Snopok. St.Petersburg, USA: Academic, 2009, P. 799-815.

2. Терешонков Ю.В. Математическое моделирование краевых полей в системах управления пучками частиц // Вестник СПбГУ, серия 10 (прикладная математика), вып. 1, 2010. - С. 80-94.

Публикации в других изданиях

3. Терешонков Ю.В. Влияние краевых полей на характеристики пучка частиц // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й научной конференции аспирантов и студентов / Под. Ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова, СПб.: Изд-во. С.Петерб. ун-та, 2007. С. 200-205.

4. Andrianov S., Chernyshev A., Edamenko N., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Linear Approximation) // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference, Genoa, Italy, 2008. - P. 2969-2971.

5. Andrianov S., Edamenko N., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Nonlinear Approximation) // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference. Genoa, Italy, 2008. - P. 2972-2974.

6. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Load Curves Distortion Induced by Fringe Field Effects in the Ion Nanoprobe // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference, Genoa, Italy, 2008. - P. 1514-1516.

7. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Comparative Analysis of Different Kinds of Effects in the Nanoprobe // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference, Genoa, Italy, 2008. - P. 3065-3067.

8. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Some Problems of Optimal Nanoprobe Design // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. - P. 89.

9. Tereshonkov Yu. Nanoprobe Modeling With Critical Characteristics // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. - P. 92.

10. Андрианов C.H., Терешонков Ю.В. Параллельное и распределенное моделирование динамики частиц // Высокопроизв. параллельные выч. на кластерных системах: Труды 8-й межд. конф. / Под ред. Б.Н. Четверушкина, В.П Гергеля, В .А. Райхлина. - Казань.: Изд-во КГТУ, 2008. С. 285-290.

11. Терешонков Ю.В. Синтез оптимального управления пучков частиц с учетом краевых полей в управляющих элементах // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й межд. научной конф. асп. и студ. / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 192-197.

12. Tereshonkov Yu. Mathematical Modeling of Fringe Fields in Beam Line Control Systems // Proc. of 4th PhysCon, Catania, Italy, 2009. http://lib.physcon.ru/download/p2008.pdf, 6 p.

Подписано к печати 24.06.10. Формат 60 >84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4850. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-40-43,428-69-19

Введение.

Глава 1. Постановка и формализация задачи.

1.1 Формализация зондоформирующих систем.

1.2 Физическая модель ЗФС.

1.3 Построение математической модели.

1.4 Выбор информационных технологий.

Физика пучков частиц — это быстро развивающаяся область современной физики, в которой рассматриваются вопросы формирования, транспортировки, фокусировки, отклонения и сепарации пучков частиц, создаваемых ускорителями. Основная задача физики пучков частиц — формирование систем управления электромагнитными полями, обеспечивающими эволюцию пучка частиц с заданными характеристиками. Сложность динамики пучка (ансамбль частиц, содержащий около 1012 ч-1016 частиц) и неполнота информации об управляющих полях требуют предварительного математического и компьютерного моделирования систем управления на всех этапах, начиная от проектирования и конструирования, заканчивая оптимизацией в процессе эксплуатации (см., например, [4, 43, 44]). Математическая модель — необходимая часть до создания комплекса программ, который позволяет проводить тестирование и исследование конструируемых реальных систем. Проверка адекватности и эффективности программного обеспечения осуществляется на известных системах, и оно может быть использовано для моделирования новых установок.

Применение устройств для формирования и транспортировки частиц. Пучки частиц как инструмент в физических исследованиях начали применяться с середины 20-го века. В последние годы появилось много разнообразных (по конфигурациям, энергиям, предназначению и применению) устройств для формирования и транспортировки заряженных частиц (например, протонов, ионов). Чрезвычайно расширилась классификация систем управления пучками частиц по энергиям: низкие (до 1 МэВ1 см., например, [80]), средние (до 500 МэВ, реже до 1 ГэВ), высокие (от 1 ГеВ), сверхвысокие (от 1 ТеВ). Требования к подобным установкам во многом

Один электронвольт равен энергии, которая необходима для переноса электрона в электростатическом поле между точками с разницей потенциалов в 1 В.

1 эВ = 1.602176487(40)Ю-19 Дж. определяются конфигурацией (топологией) установки и спецификой решаемых задач. По конфигурации установки можно разделить на две большие группы. К первой относятся системы с прямолинейной осью (линейные ускорители), ко второй с криволинейной, например, циклические ускорители (мезонные фабрики, накопительные кольца, коллайдеры, синхротроны, циклотроны). Во всех подобных установках одной из важных задач является обеспечение устойчивости пучка частиц в окрестности опорной траектории для получения его основных характеристик (например, геометрических размеров, формы, распределения частиц). Подобная проблема решается с помощью специальных фокусирующих элементов, расположение которых в системе является задачей дизайнера этой системы. Последовательность расположения управляющих элементов (lattice design) — отдельная задача, для которой существуют определенные наработки.

Область применения устройств для формирования и транспортировки пучков частиц постоянно расширяется. Наряду с классическими областями применения, такими как, физика твердого тела, биология, медицина, дефектоскопия материалов [30, 33, 47], химия, они используются в производстве радиоизотопов, радиационной обработке материалов, литографии, имплантации ионов в различные материалы [176], стерилизации пищевых продуктов, радиационной диагностике, терапии рака [175], введении радиационных дефектов в кристаллы (в частности, в полупроводники), имитации радиационных эффектов в космосе, электронно-лучевых трубках, электронных микроскопах, масс-спектрометрах, микроволновых технологиях, электронно-лучевых технологиях (сварка, резка, плавка), ионных микро- и нанозондах, инициации ядерных реакций [177]. Задачи в указанных областях применения решаются при помощи различных установок, например, линейных ускорителей, накопительных колец, коллайде-ров, циклических ускорителей в рамках крупных ускорительных проектов. Среди подобных проектов можно выделить, Большой Андронный Коллайдер [167], коллайдер на базе нуклотрона ОИЯИ [163] NICA [177], исследовательский проект с использованием технологий ионных пучков SPIRIT (Support of Public and Industrial Research Using Ion Beam Technology) [176], ассоциацию no протонной терапии рака National Association for Proton Therapy (NAPT) [175]. Особо следует отметить, что все проекты являются международными, т. к. сложность конструирования и сопровождения систем управления пучками частиц приводят к необходимости консолидации усилий. Это обстоятельство объясняет большое количество международных конференций по ускорителям.

Конференции и семинары по ускорительной физике. Следует отметить, что по применению ускорителей проводятся регулярные конференции с количеством участников более тысячи человек. Например, конференция по применению ускорителей в исследованиях и промышленности (International Conference on the Application of Accelerators in Research and Industry [149]), конференция по анализу при помощи ионных пучков (Ion Beam Analysis [156]), конференции по ускорителям в целом Particle Accelerator Conference (РАС) и ее аналоги в Европе и Азии ЕРАС и АРАС соответственно [159]. Кроме этого, интернет сайт [159] содержит информацию и труды следующих крупных конференций по физике пучков: Linear Accelerator Conference (LINAC), The International Conference on Accelerator and Large Experimental Physics Control Systems (ICALEPCS) [157], Free Electron Laser Conference (FEL), The International Conference on Cyclotrons and Their Applications (Cyclotrons) и другие. Ежегодно проводится несколько десятков крупных конференций, семинаров и научных школ по использованию, моделированию, конструированию различных типов ускорителей от микро- и нанозондов до больших циклических ускорителей и коллайдеров [150]. Кроме этого, проводятся десятки конференций с количеством участников около ста и более, например, конференция по технологиям микрозондов и их применению International

Conference on Nuclear Microprobe Technology and Applications (ICNMTA) [162], Charged Particle Optics Conference (CPO), Physics and Control (PhysCon), International Conference On Calorimetry In High Energy Physics (CALOR), European Radioactive Ion Beam Conference (EURORIB). Следует также упомянуть многочисленные семинары, направленные на обсуждение и представление результатов в специальных областях физики пучков, например, International Workshop Beam Dynamics and Optimization [145], Workshop on Beam Diagnostics and Instrumentation for Particle Accelerators (DIPAC), International Linear Collider Workshop (ILC), NEA Workshop on Shielding of Accelerators, Targets and Irradiation Facilities (SATIF), Topical Seminar on Innovative Particle and Radiation Detectors (IPRD), International Microbeam Workshop, International Workshop on Plasma Electronics and New Acceleration Methods, International Workshop On Critical Point And Onset Of Deconfinement (CPOD), ICFA Advanced Beam Dynamics Workshop on High-Intensity, High-Brightness Hadron Beams (HB).

Оптика пучков частиц. Среди направлений развития физики пучков частиц одним из базовых и наиболее перспективных является оптика пучков средних и высоких энергий. Электростатические поля (до нескольких сотен КеВ) могут обеспечивать только работу с пучком при низких энергиях (например, электронный микроскоп). Фокусировка и транспортировка пучков при высоких энергиях, а также пучков тяжелых ионов обычно производится только магнитными полями.

Особенностью оптики пучков высоких энергий является то, что для управления пучками частиц требуются сильные фокусирующие и отклоняющие поля (см., например, [40, 51]). Все установки, работающие в диапазоне средних и высоких энергий, объединяет необходимость синтеза систем управления пучками частиц, которые обеспечивают заданную эволюцию пучка с учетом следующих факторов: аберраций, искажений выбранной формы внешних (управляющих) полей, эффектов краевых полей, собственного заряда, возможности возникновения хаотического движения частиц. Задачи фокусировки и транспортировки — неотъемлемая часть всех ускорительных систем, однако в разных типах установок могут быть определенные целевые величины. Например, в ионно-оптических системах (ИОС) таковыми являются форма и размеры пучка, в циклических ускорителях — устойчивость и увеличение динамической апертуры пучка.

Ионная оптика (ИО) изучает законы распространения пучков заряженных частиц в магнитных и электрических полях, оптические свойства ионных пучков, вопросы их фокусировки, отклонения, управления, применения и формирования. Успешное применение ионных пучков микронных размеров в самых разнообразных областях науки, техники и- промышленного производства объясняется интенсивностью развития этой области ИО. В настоящее время наибольший интерес вызывает получение пучков субмикронных размеров.

В состав любой ИОС входят различные элементы, которые с помощью электрических и магнитных полей управляют движением пучков частиц. Подобные элементы являются сложными и дорогостоящими, конструирование, изготовление и расстановка которых сопровождается рядом неустранимых ошибок. Жесткие требования к пучку вызывают чрезвычайно высокую зависимость основных характеристик пучка от параметров установок (отклонения параметров от заданных значений на доли процента могут приводить к качественному изменению свойств ИОС). Подобные требования появились в последние двадцать лет и постоянно ужесточаются. Выделяют целый класс систем, в которых требования к качеству изготовления и установки управляющих элементов чрезвычайно высоки, они носят название «высокопрецизионных»:

Определение 1. Высокопрецизионные ИОС — установки, которые в силу конструктивных особенностей, чрезвычайно чувствительны к изменению параметров.

Подобные установки весьма востребованы, сложны и дороги, что приводит к необходимости тщательного предварительного анализа влияния возможных конфигураций управляющих систем и неустранимых искажений в их технологических характеристиках. Подобный анализ необходимо проводить на основе математического моделирования, базирующегося на современном эффективном математическом аппарате, и компьютерного, которое базируется на современных информационных технологиях. Математическое моделирование позволяет строить многократно используемые, перенастраеваемые и дополняемые модели. Комплексы программ, разработанные на базе подобных моделей предоставляют удобный пользовательский интерфейс для настройки параметров.

При проектировании ИОС управления.пучками частиц высоких энергий существенную роль играет экономические соображения. Например, чтобы транспортировать большое количество частиц необходимо увеличивать апертуру линз, однако это приводит к удорожанию установки. Кроме этого, высокая стоимость устройств, которые обеспечивают сильные магнитные поля больших объемов, приводит к необходимости-тщательной оптимизации аксептанса системы при расчете и проектировании установок.

Для фокусировки пучков заряженных частиц средней и высокой энергий с помощью магнитных линз могут быть использованы поля различной конфигурации. В сверхпроводящих установках используются соответствующие соленоиды, а в «теплых» системах наиболее применяемыми являются магнитные квадрупольные линзы. Последнее обстоятельство вызвано тем, что технология конструирования квадрупольных линз с заранее заданными полями хорошо отработана, и квадрупольное поле обеспечивает сильную поперечную фокусировку.

Частицы средней и высокой энергии обладают большой магнитной жесткостью (мерой сопротивления попыткам отклонения частиц) Врд = р0с, где ро — импульс, с — скорость света, р — радиус кривизны траектории, q — заряд частицы. Чтобы сфокусировать или отклонить пучок подобных частиц, необходимы либо большие амплитуды управляющих полей, либо достаточно протяженная система.

Методы анализа при помощи пучков частиц. За последние тридцать лет существенно возросло использование пучков заряженных частиц для элементарного анализа веществ. Наиболее распространенными методами анализа являются следующие (см., например, [171]): PIXE[173] (Proton Induced X-ray Emission), PIGE (Particle Induced Gamma-ray Emission), RBS (Rutherford Backscattering Spectrometry), RBS (Return Beam Saticon), ERDA (Elastic Recoil Detection Analysis), NRA (Nuclear reaction analysis), STIM (Scanning Transmission Ion Microscopy), IBIC (Ion Beam Induced Charge), SEI (Secondary Electron Imaging), IL (Ionoluminescence), CCM (Channelling Contrast Microscopy). Из указанных методов наибольшее распространение и развитие получил PIXE на протонах или тяжелых ионах. Преимущество ионных пучков в качестве разнообразной аналитической информации, которая может быть получена при их помощи, а также в высокой чувствительности механизмов их использования. Подробная информация о методах исследований приведена в Приложении А. 1 на основе данных проекта [176].

Ионный микрозонд. Формирующий высокопрецизионный ионный микрозонд (в последние годы нанозонд) сравнительно новое и быстро развивающееся направление в ИО. Для применения методов неразрушающего анализа необходимо использовать устройства (микро- и нанозонды), которые создают пучки микронных и наноразмеров. Сфокусированные пучки частиц энергии в несколько МэВ могут давать на мишени размер пятна в несколько микрон, т. е. ядерный или ионный микрозонд становится обычным инструментом в исследовательских лабораториях во всем мире (см., например, [35, 85, 94, 98, 135]). Благодаря новой информации, которая обеспечивается ионным микрозондом и которая не может быть получена другими способами, к ним проявляется значительный интерес в различных областях науки и производства. Подробная схема применения микрозондов приведена в Приложении А. 1.

Первый ионный микрозонд был создан в Харуэлле (Harwell) в Великобритании в лаборатории Д. Кунсона в 1969 [92]. Именно установка этого первого микрозонда положила начало новым методам микроанализа ионными пучками. В настоящее время существует около 50 ядерных микро- и нанозондов, которые действуют или будут завершены в ближайшее время [161]. Размер пятна на мишени, которое достигается ими от нескольких нанометров до нескольких микрон. Подробную информацию о центрах можно найти в Приложении А. 3.

В качестве объектива микро- или нанозонда можно использовать различные комбинации магнитных квадрупольных линз. Наиболее распространенными являются дублеты, триплеты и квадруплеты. В первом микрозонде в Харуэлле в качестве объектива использовался квадруплет вращения, так называемый «русский квадруплет» [20], так как фокусирующие свойства первого порядка (линейное приближение) этого антисимметричного квадруплета были впервые изучены в Ленинградской группе ученых Физико-технического института [20, 24]. Микрозонд фокусировал протонные пучки энергией 3 МэВ до размера на мишени 4 ц (микрометра). Подобный успешный результат решено было выбрать и другими группами, занимающимися ионными микрозондами. Квадруплет вращения используется в качестве объектива, например, в исследовательских центрах в Мельбурне, Намуре, Манчестере, Сёрее. В Мельбурнском центре минимальные размеры пятна на мишени составляют несколько нанометров. История развития и параметры микрозондов приведены в работе [112]. Из кратких характеристик видно, что для фокусировки ионных пучков до микроразмеров на мишени можно использовать ИОС из разного числа линз с разной геометрией.

Данная диссертация посвящена моделированию зондоформирующих систем (ЗФС), которые являются высокопрецезионными, однако основные принципы моделирования и математические методы являются общими для различных типов систем формирования и транспортировки частиц. Несмотря на существование около 50 подобных установок в мире, в Российской Федерации, к сожалению, они отсутствуют.

Краевые поля управляющих элементов. Существует много работ, посвященных влиянию искажений (аберраций) различной природы (в том числе неустранимых) на характеристики пучка, например, [83, 100, 101, 109, 110, 139; 140], однако, систематического и общего изложения не существует. Одной» из важных причин, которые вызывают искажение эволюции пучка по сравнению с эволюцией в идеализированной системе, является наличие краевых полей магнитных элементов, которые являются неотъемлемым атрибутов любого типа управляющих магнитных элементов.

Определение 2. Краевое поле — часть магнитного поля, распределенного вдоль электрической оси управляющего элемента ИОС, где поле перестает быть постоянным и появляется зависимость поля от продольной координаты.

В работах [39, 75, 87, 118] рассматриваются некоторые модели краевых полей (например, функция Enge [87]) управляющих элементов и вызванные ими аберрации, однако подробного исследования вариации формы и длины интервала распределения краевых полей не проводится. Обзор литературы по краевым полям, в частности, [39; 100, 101, 99', 116, 118]? показывает, что краевые поля могут оказывать значительное влияние на характеристики пучка частиц. С учетом высоких требований к высокопрецезионным установкам, например, максимальная светимость, заданная форма, размеры, распределение частиц и других необходимо учитывать влияние краевых полей. Именно этим вопросам и посвящена данная диссертация.

Математическое моделирование. Физика динамики пучков в ИО существенным образом зависит от большого числа параметров различного происхождения (силовые, геометрические и т.д.), что приводит к усложнению исследования эволюции пучка. Математическая модель дает возможность исследовать влияние отдельных атрибутов на характеристики пучка и выявить зависимость результатов от некоторых конкретных параметров. Физические эксперименты существенно дороже компьютерных и не позволяют исследовать влияние отдельных эффектов на характеристики пучка. Математическое и компьютерное моделирование позволяют исследовать проектируемые ИОС в зависимости от разных параметров и в соответствии с результатами оптимизировать подобные системы.

В физике пучков общепринят подход, основанный на использовании теории возмущений (переход от простых линейных моделей к нелинейным). Линейная модель является базовой, в ней рассматриваются только диполи, квадрупольные линзы и соленоиды, потому что другие управляющие элементы не имеют линейной составляющей в разложении поля. Последовательное включение нелинейных эффектов различных порядков позволяет исследовать их влияние на эволюцию пучка с целью изучения и коррекции.

Динамика пучка в квадрупольных линзах. Исследованием ИОС занимались и занимаются многие исследователи, как теоретики, так и экспериментаторы. На практике для систем транспортировки частиц пучков экспериментаторы часто ограничиваются линейным приближением, однако при проектировании и создании высокопрецизионных ИОС линейной теории не достаточно. Становится актуальный вопрос исследования влияния аберраций и возможностях их компенсации (коррекции). Большинство теоретических работ посвящены аналитическим методам решения уравнений движения заряженных частиц. Для квадрупольных линз, как магнитных, так и электростатических (см., например, [123]), были проведены теоретические исследования для одной линзы и групп линз (дублеты, триплеты, квадруплеты, квинтуплеты, октуплеты и т.п.) в приближениях до третьего порядка [24, 63, 92]. В работах [109;- 114, 139] были получены аналитические выражения для коэффициентов геометрических аберраций третьего порядка для одной линзы и некоторых систем из двух, трех и четырех квадрупольных линз с прямоугольной и «колоколообразной» моделями аппроксимации осевого распределения краевого поля.

Следует упомянуть следующих авторов фундаментальных работ, посвященные динамике частиц в магнитных полях, созданных квадрупольных линзах: Явор С.Я. [63], Матышев A.A. [40], Силадьи М. [49]; К. Steffen [60], D.N. Jamieson, G. Grime, F. Watt, C.G Ryan, G.J.F. Legge [99, 100; 101]; P.'W: Hawkes [93], G.E. Lee-Whiting [109, 108, 110], № Matsuda, H. Wollnik [114], G.R. Moloney [116, 117, 118], DiL. Smith [124]. Эти работы носят концептуальный характер, в частности, аппарат, развитый в этих работах позволяет исследовать динамику частиц. Однако, современные требования к ускорительным установкам-ужесточились, необходимы последовательное моделирование для перехода к, автоматическому проектированию систем, модернизация математических методов, включение новых подходов для разработки комплекса программ. Тщательное математическое моделирование и соответствующая компьютерная реализация— необходимые атрибуты перед конструированием ускорительных систем. Современная математика позволяет производить аналитические вычисления в символьном виде, но окончательный результат можно получить в рамках численного моделирования на компьютере.

Эксперименты по наблюдению характеристик пучка сложны, дороги и трудоемки, не дают полной информации, но их надо проводить и включать результаты в физическую модель. Теоретическое изучение связано с решением чрезвычайно сложных математических задач, поэтому вычислительный эксперимент становится важным средством решения задач ИО. Обязательный этап исследований — настройка теоретических математических и компьютерных моделей с учетом специально проведенных физических испытаний.

Подходы к решению задач транспортировки частиц. Существует два основных подхода к решению задач транспортировки пучков заряженных частиц: одночастичный (представление совокупности отдельно взятых траекторий) и операторный (эволюция всего пучка). Первый базируется на использовании численных методов при решении уравнений движения для каждой частицы отдельно, для функции плотности частиц или при описании пучка в терминах огибающих. В рамках операторного подхода весь пучок переводится как единое целое из одного состояния в другое, что позволяет учитывать симметрии и качественные свойства пучка, а также уменьшить временные затраты при вычислениях. Подобный подход является абстрактным, однако, при численной реализации используются различные представления оператора (при определенных ограничениях на его свойства). В частности, оператор допускает матричное (см., например, [4]), тензорное (см., например, [79, 83]) или другие представления. При матричном представлении основными элементами являются матрицы, с ростом порядка точности их размерность увеличивается. Выбор представления определяется возможностью построения подходящего базиса, спецификой задачи и удобством вычислений. Идеология операторного подхода заключается в отделении информации о пучке от информации о системе управления. Это позволяет существенно сократить время вычислений и записать некоторые критерии оптимальности при синтезе систем управления в терминах матричных пропагаторов, а не характеристик пучка. Подобное разделение позволяет исследовать свойства операторов эволюции вне зависимости от начальных данных.

Комплексы программ. Для моделирования систем управления пучками частиц на основе вышеупомянутых подходов созданы различные программные продукты. Комплексы программ разделяются тоже на два типа: программы, использующие траекторный метод анализа оптических свойств пучка и программы, основанные на коллективном(операторном) подходе. Из примеров первой группы известны OXRAY в Оксфорде, она используется и в Мельбурне, кроме этого к первой группе относятся RAYTRACE, TURTLE и другие. Ко второй группе относится, например, TRANSPORT, она позволяет вычислять параметры системы транспортировки в линейном приближении. Кроме нее, существуют также MAD [168], COSY, MaryLie, TRACEIO, TRACE 3D, IONBEAM и другие. В настоящее время эталонной является программа MAD. Приведенные программы предназначены, в частности, для расчета элементов матриц перехода оптических систем из квадрупольных линз. Почти все комплексы программ, которые сейчас существуют, учитывают нелинейные аберрации не выше третьего порядка. Подробную информацию о различных программных продуктам можно найти в Приложении Е. 1.

Микро- и нанозонды. Сложность современных ускорителей ведет к необходимости тщательного исследования всех основных динамических характеристик магнитных модулей ускорителя, так как от их качества зависит продуктивность оптической системы.

Схема применения и цели использования микро- и нанозондов в различных областях приведена в Приложении А.1. Необходимость увеличения точности и расширения возможности использования ведет к ужесточению требований к экспериментальным установкам. С учетом последних тенденций появляются дополнительные требования к ИОС, например, формирование пучков частиц с заданными распределением и формой. Подробнее требования к микро- и нанозондам представлены в Приложении А. 2.

Микро- и нанозонды разрабатываются для решения конкретных задач и не являются универсальными. Подобные установки можно использовать в смежных областях, частично перенастраивать, однако создать всестороннюю систему не представляется возможным. Это связано с различными задачами, для которых используются установки, а также с требованиями к установкам, вытекающими из этих задач. Для некоторых целей необходимо иметь минимальную апертуру, для других необходимо, ее увеличивать, для ряда задач необходима максимально возможная фокусировка, для других большой ток пучка. В силу этого, можно констатировать, что универсальную установку создать практически не возможно (либо она будет не достаточно хорошего качества, либо слишком дорогая), что подтверждается данными из описания существующих на данный момент установок [161]. Имеющиеся микро- и нанозонды направлены на решения конкретных задач или классов задач, они изначально создавались для- их решения и не предназначались для чего-то другого.

Информация о научным центрам микро- и нанозондов, а также их краткая характеристика представлены в Приложении А. 3. В последние годы возрастает интерес к установкам с критическими характеристиками, что соответствует общемировой тенденции к интенсификация во всех областях знаний. В частности, не увеличивая апертуру установки можно увеличить ее светимость, получить те же характеристики на выходе, однако для этого необходимо увеличивать магнитные поля, повышать точность расстановки управляющих элементов, уменьшать паразитные наводки, корректировать аберрации и т. д. Повышение требований к установкам ведет к их усложнению, удорожанию, увеличению времени настройки и т. п.

Текущие задачи и области использования микро- и нанозондов не покрывают всего возможного интереса и потребности в установках. В мире недостаточное количество работающих установок, в то время как потребность в них постоянно увеличивается.

Матричный формализм. В последние годы требования к ускорительной технике и характеристикам пучков частиц значительно ужесточились, что вызвано появлением новых задач. Для того, чтобы обеспечить необходимые требования, а также использовать наиболее общие алгоритмы моделирования данная работа базируется на использовании матричного формализма для алгебраических методов Ли (см., например, [4, 79, 83]). Использование матричного формализма позволяет рассматривать различные системы единообразно, без принципиальной зависимости от качественных и количественных характеристик. Матричный формализм [4] является эффективным математическим аппаратом, предоставляющий большую гибкость, масштабируемость, являющийся более удобным для представления и вычислений по сравнению с полиномиальным подходом [83]. С помощью подобного формализма можно описать практически все качественные характеристики ИОС. Более того, оператор эволюции позволяет исследовать базовые характеристики пучка вне зависимости от его начального состояния, например, уменьшение размеров пучка. Для этой цели необходимо наложить ограничения на оператор эволюции. С учетом начальных данных о пучке можно решать краевую задачу, результаты исследований можно дополнить физически значимыми характеристиками. Подобный подход рассматривается на примере систем фокусировки и транспортировки частиц с критическими характеристиками. Для подобных установок получен ряд практических результатов (см., например, [4, 67, 68, 69, 70, 129]), однако, основные принципы могут быть применены к другим системам в силу того, что используется модульный принцип (можно легко заменить один «стандартный» математический объект другим), и все требования могут быть выражены в физически значимых характеристиках.

Исследование влияние краевых полей в высокопрецезионных установках является необходимым для достижения максимальной эффективности системы, например, это позволяет сократить время и финансовые средства на создание, настройку и модернизацию установок, выбрать оптимальные режимы работы и улучшить результирующие параметры пучка на мишени.

Краевые поля могут быть измерены с достаточной степенью точности с использованием, например, тесламетра вдоль «электрической оси» магнитного управляющего элемента. Экспериментаторы могут частично менять конфигурацию поля, приспосабливая его под конкретные задачи. К сожалению, нельзя сконструировать магнитные линзы с любым заданным полем, в частности, «прямоугольным», однако изменение формы поля и длины интервала его распределения допустимо при помощи модификации формы обмоток и полюсов. Кроме этого, в магнитных элементах необходимо учитывать «выпуклость» поля и кривизну второго порядка.

Физика пучков допускает иерархический принцип, т. е. моделировать краевые поля можно начиная с самых простых (линейных) моделей. При влете частицы в область краевого поля (области нарастания и убывания поля) на нее действуют дополнительные силы, величина которых существенно зависит от его формы и размеров области. Например, при малых размерах области краевого поля со стороны электромагнитного поля на частицы действует силы (с механической точки зрения это аналогично «удару»), вызывающие изменение структуры пучка. Модели подобные «прямоугольной», обладая простотой, не являются физически реализуемыми и корректными. Математическое моделирование позволяет учитывать эффекты «вхождения» и «выхода» частицы из поля. Необходимо изучать все факторы, влияющие на поперечные характеристики пучка в микро- и нанозондах. Краевые поля являются неустранимыми и часто оказывают существенное влияние на динамику пучка и его характеристики (см., например, [39, 75, 88, 91, 116, 117, 118, 129]). За счет вариативности геометрии краевых полей можно как компенсировать, так и использовать это влияние.

К сожалению, за исключением небольшого количества работ как по «коротким» (например, микро- и нанозондам), так и по «длинным» системам (например, коллайдеры, циклические ускорители) влиянию краевого поля уделяется не достаточное внимание. В «коротких» обычно оно вообще не учитывается, однако даже в подобных системах краевые поля могут вносить кардинальные изменения в расчетные параметры установок. Исследования краевых полей продолжаются, на данный момент нет единого алгоритма для их моделирования. Все представленные в работах методы и подходы касаются некоторых конкретных задач. Наиболее известными работами являются работы A.J. Dragt, например, [133] и М. Berz, например, [75]. Они описывают краевое поле при помощи функции Enge [87].

Математический аппарат. В диссертации особое внимание уделяется как построению гибкого и эффективного математического аппарата, так и расширяемого программного комплекса, который базируется на передовых достижениях инженерии программного обеспечения (ПО) и вычислительной техники. Например, для расчетов с учетом собственного заряда пучка необходимо использовать эффективные численные методы и алгоритмы с привлечением параллельных и распределенных вычислительных ресурсов.

Несмотря на большое количество различных программ для численных вычислений, существует потребность как в более проработанных математических моделях, так и в более гибких программных продуктах (многие из существующих продуктов коммерческие, что не позволяет производить их модификацию и пополнение, или не обладают необходимыми функциональными возможностями). Как показывает опыт общения с коллегами (в частности, на конференциях ICNMTA'08, ЕРАС'08, НРС'08, PhysCon'09, в лаборатории взаимодействия частиц в Загребе) многие установки подобного типа моделируются на базе линеализованных моделей и их настройка («доводка») осуществляется на уже введенной в эксплуатацию установке. Ранее данный подход был оправдан для широкого класса задач, однако при переходе от милли- к микро- и наноразмерам этот подход не позволяет выявить все особенности сложной системы управления с целью определения режимов с оптимальными характеристиками. В данном случае под понятием оптимальности рассматривается не глобальное оптимальное решение по всем требованиям к установке, а набор параметров, который возможно реализовать имеющимися средствами без больших финансовых затрат с получением приемлемых для экспериментаторов характеристик. В настоящее время конструирование подобных установок выходит на мелкосерийный уровень.

Подход, основанный на матричном формализме, выбран в силу его гибкости и универсальности, а также с целью предоставить экспериментаторам свободу выбора оптимальных режимов работы для готовых систем или конструкторам и изготовителям для новых систем.

Актуальность работы. Использование ЗФС чрезвычайно актуально для задач неразрушающего анализа материалов, томографии, микроскопии, имплантации материалов, нано- и биотехнологических исследования, а также многих других (см. Приложение А. 1).

Среди широкого спектра направлений физики пучков в последние годы особое внимание уделяется корпускулярной (или адронной) терапии (Particle Therapy) в силу большой потребности. На данный момент андрон-ная терапия (с использованием протонов, антипротонов, ионов углерода и др.) является самым лучшим методом лечения раковых заболеваний (см., например, [102]). Корпускулярная терапия, подобно другим видам радиотерапии, воздействует пучком сфокусированных ионов заданной энергии на облучаемую опухоль. При этом частицы повреждают ДНК клеток, вызывая в конечном случае их гибель. Массовая гибель именно раковых клеток вызвана, прежде всего, из-за высокого темпа деления подобных клеток. Это во многом определяется их меньшей способностью к восстановлению поврежденной ДНК. Необходимо отметить, что практически вся радиационная доза выделяется в ткани на последних миллиметрах пробега частиц (этот пик называется Брегговским пиком). Пространственное местоположение Брегговского пика зависит от энергии, до которой были разогнаны частицы в ускорителе, эта энергия в большинстве случаев должна находиться в диапазоне от 70 до 300 МэВ. Следовательно, появляется возможность облучать область разрушения клеток протонным пучком не только по фронту, но и по глубине. Таким образом, для широкой области применения подобных систем (в том числе для адронной терапии) актуальным является оптимальный синтез высокопрецизионных систем. Критическими параметрами, в частности, являются точное позиционирование пучка, его форма, распределение частиц в нем и его размеры.

В диссертации особое внимание уделяется важному классу задач, в котором проводится оценка влияния краевых полей в управляющих элементах на основные характеристики пучка. Краевые поля являются неотъемлемым атрибутом любого типа управляющих элементов, и существенно влияют на динамику пучка, а также на его основные характеристики. Длина интервала распределения краевых полей и их форма допускают существенное варьирование, однако проблеме влияния геометрии и топологии краевых полей на основные характеристики пучка в литературе не уделяется достаточного внимания. Это вызвано недостатком информации об экспериментальном распределении краевых полей и уникальностью установок. Существующие на данный момент математические и компьютерные модели краевых полей не обеспечивают экспериментаторов информацией, необходимой для модернизации действующих и дизайна новых установок, именно этой проблеме посвящена данная работа на примере ЗФС. Объектами исследования являются пучок частиц и ЗФС, управляющим является внешнее магнитное поле. Для оценки влияния краевых полей на основные характеристики пучка частиц в работе предлагаются их математические и компьютерные модели, позволяющие создавать дизайн (архитектуру2) ЗФС. Подобная архитектура обеспечивает заданные характе

2Архитектурное решение — авторский замысел объекта с комплексным решением функциональных, конструктивных и экономических требований к нему. ристики пучка с учетом краевых полей управляющих элементов. Используемые классы модельных функций, описывающих краевые поля, позволяют строить аналитическое решение уравнений движения пучка частиц и аппроксимировать экспериментально измеренное распределение краевых полей. Предложенные в работе подходы для моделирования и модели краевых полей могут быть применены для других задач физики пучков (например, для моделирования эволюции пучков частиц в циклических ускорителях).

Тематика диссертации соответствует приоритетному направлению развития науки, технологий и техники в Российской Федерации «Индустрия наносистем и материалов», а также критическим технологиям «Нанотехно-логии и наноматериалы».

В соответствии со сказанным выше, можно сформулировать следующую цель исследования:

Создание иерархии математических и компьютерных моделей ЗФС, позволяющих оценивать влияние краевых полей на динамику и основные характеристики пучка частиц.

Поставленная цель приводит к осуществлению синтеза систем управления пучками частиц и определяют следующие задачи исследования:

- математическое моделирование краевых полей магнитных элементов;

- построение математических моделей нелинейной динамики пучков частиц с учетом краевых полей',

- оценка влияния краевых полей на характеристики пучков частиц в линейном и нелинейном приближениях;

- создание комплекса программ, предназначенного для синтеза ЗФС с учетом краевых полей;

- апробация построенных математических моделей с учетом экспериментальных данных.

Методы исследования: Аналитический и численный аппарат теории дифференциальных уравнений, алгебраические методы Ли, матричный формализм, методы и технологии компьютерной алгебры, конечно-разностные методы в теории аппроксимации функций, методы теории управления, методы математического и компьютерного моделирования.

Научная новизна. Предложены математические модели краевых полей для исследования их влияния на основные характеристики пучка частиц. Построены математические модели нелинейной динамики пучка частиц в ЗФС с учетом краевых полей. Создан комплекс программ для моделирования ЗФС. Проведена оценка влияния краевых полей на пучок частиц на основе эффективной математической модели. Предложены рекомендации для улучшения параметров функционирующих установок и синтеза новых.

Практическая ценность работы. Предложенный математический аппарат обеспечивает гибкую настройку моделей ЗФС при помощи включения новых эффектов (например, эффектов собственного заряда пучка частиц) при сохранении единой идеологии моделирования. Подобная настройка осуществляется добавлением новых объектов в модель ЗФС, в частности, объектов, отвечающих различным типам магнитных линз или описывающим эффекты собственного заряда. Использование предложенных математических моделей и созданного комплекса программ позволяет оценить влияние краевых полей на основные характеристики пучка, сократить время дизайна и настройки ЗФС (в разы, например, с пяти месяцев до трех), модернизировать функционирующие и синтезировать новые установки. Это приводит к снижению стоимости проектирования (в частности, соразмерно уменьшению количества человеко-часов), изготовления и обслуживания новых установок.

Реализация и внедрение результатов работы. Опыт, полученный в рамках научной стажировки в Лаборатории взаимодействия частиц3 в За

3Laboratory for Ion Beam Interactions (LIBI), http://www.irb.hr/en/str/zef/z31abs/liis гребе позволил адаптировать семейство математических моделей и комплекс программ с учетом требований физиков-экспериментаторов. Кроме этого, часть результатов моделирования, связанная со сменой полярностей и смещению линз от исходных положений, учету краевых полей, была внедрена в исследования, проводимые в данной Лаборатории. Известно, что экспериментальная информация о краевых полях управляющих элементов всегда является не полной, однако косвенные данные о краевых полях, полученные в результате их измерений, позволили адаптировать предложенные математические модели краевых полей. В частности, в сотрудничестве с экспериментаторами из ЫВ1 были проведены измерения краевых полей двух типов магнитных крадрупольных линз, коэффициента сжатия пучка в продольной и поперечной плоскостях, а также основных параметров микрозонда. На основе проведенных исследований были сформулированы рекомендации дизайнерам магнитных линз по форме краевых полей и длине интервала их распределения. В частности, удалось обнаружить и устранить отклонение в соосности квадрупольных линз, что улучшило работу микрозонда.

Предложенные математические и компьютерные модели позволяют учитывать большее количество различных эффектов, сократить время настройки ЗФС. Результаты работы могут быть использованы с целью модернизации функционирующих и создания дизайна новых, более эффективных ЗФС.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, матричного формализма, теории аппроксимации функций, теории управления и компьютерной алгебры. Комплекс программ, реализующий алгоритмы численных методов, прошел отладку и тестирование на задачах, решения которых известны. Результаты, полученные при численных расчетах, соответствуют приведенным в литературе результатам наблюдений и экспериментов. Более того, результаты вычислительных экспериментов согласуются с проведенными экспериментами в сотрудничестве с коллегами на микрозонде из ЫВ1.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Европейской конференции по ускорителям заряженных частиц ЕРАС'08 (г. Генуя, Италия), 11-ой и 12-ой международных конференциях по технологиям ядерных микрозондов и их применению К^МТА'08 (г. Дебрецен, Венгрия) и ЮКМТА'Ю (г. Лейпциг, Германия), 15-ом и 16-ом международных семинарах по динамике пучков и оптимизации В00'08 (г. Санкт-Петербург, США) и ВБО'Ю (г. Санкт-Петербург), 8-ой международной конференции высокопроизводительных параллельных вычислений на кластерных системах НРС'08 (г. Казань), международной конференции по физике и управлению РИузСоп'ОЭ (г. Катания, Италия), международных конференциях аспирантов и студентов Процессы управления и устойчивость СБРШ, СЭР'ОЭ (г. Санкт-Петербург), на семинарах кафедр КММС и ТСУЭФА факультета ПМ-ПУ СПбГУ (г. Санкт-Петербург), Объединенного института ядерных исследований (Московская область, г. Дубна), Лаборатории взаимодействия пучков частиц (г. Загреб, Хорватия).

Поскольку задачи, рассматриваемые в диссертации, являются ресурсоемкими, возникал вопрос о решении проблемы распараллеливания и распределения вычислительных процессов. Предложенные концепции, представленные в [7], были предложены в виде проекта №9198 по теме №4 «Разработка метода параллельного и распределенного моделирования динамики частиц» (персональный грант поддержан фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере [153] в рамках программы «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» «У.М.Н.И.К.» в 2008). Первая часть проекта, состоящая из четырех этапов, была успешно завершена в течение одного года в соответствии с календарным планом в 2009-2010. В рамках проекта были подготовлены три квартальных и заключительный отчеты, которые были приняты фондом без замечаний. В данный момент подписывается договор еще на один год.

В рамках Тематического плана ПМ-ПУ по проекту «Создание комплекса методов, алгоритмов и программ для моделирования и оптимизации систем управления зондоформирующих систем» (№ 9.0.111.2009) проводились научные исследования (этап 1), результаты которых опубликованы и представлены на конференциях в 2009-2010 годах. Исследования были посвящены последовательному математическому моделированию краевых полей и стратегии формирования ЗФС.

В ходе научной стажировки в Институте Руджера Бошковича (Ruder Boskovic, г. Загреб, Хорватия) в 2009 году (победитель Всероссийского открытого конкурса на получение стипендий Президента Российской Федерации для обучения за рубежом студентов и аспирантов) были подтверждены теоретические результаты исследований, а также получены новые научные результаты, которые вошли в диссертацию.

В рамках гранта правительства Санкт-Петербурга по проекту «Синтез оптимальных зондоформирующих систем на основе эффективных математических методов и информационных технологий» (№ 2.1/04-05/058) был подготовлен отчет, результаты научной деятельности опубликованы на конференциях в 2009. Кроме этого, работа частично поддержана стипендией Правительства РФ на 2009-2010 учебный год.

Совместно с физическим факультетом СПбГУ был выигран грант по проекту «Ядерная физика. Физика элементарных частиц и полей. Космология. Физика ускорителей и детекторов» (лот НК-533П поддержан ФАО в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы). Результаты исследований по данному проекту будут представлены на международных конференциях и опубликованы в 2010-2012 годах в ведущих научных журналах.

Личный вклад автора. Автором диссертации были предложены математические модели краевых полей и ЗФС. С использованием подобных моделей была проведена оценка влияния краевых полей на основные характеристики пучка и его динамику. Кроме этого, создан комплекс программ, помогающий синтезировать ЗФС с учетом краевых полей. Результаты вычислительных экспериментов позволили сформулировать рекомендации по улучшению функционирующих и синтезу новых ЗФС. В частности, предложены возможные значения длин интервалов распределения краевых полей, рекомендации по выбору «низких» значений магнитных возбуждений.

Публикации по теме работы. По материалам диссертации опубликованы 12 работ, две из которых (см. [55, 68]) в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналах. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 194 страницах машинописного текста с учетом приложений и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 177 наименований. Работа содержит 48 рисунков, 9 таблиц и 17 приложений иллюстрирующего характера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Краткие выводы по работе

В диссертации предложены математические и компьютерные модели кра-! 1 евых полей управляющих элементов, которые позволяет не только аппроксимировать краевые поля, но и находить аналитические решения уравнений движения для управляющих полей.

С учетом математических и компьютерных моделей краевых полей предложены принципы включения подобных моделей в расчетные схемы при моделировании ЗФС. Математический аппарат, который описывает практически все объекты ЗФС базируется на матричном формализме для алгебраических методов Ли. В диссертации используются методы и технологии компьютерной алгебры, конечно-разностные методы для поиска производных функций (описывающие краевые поля) и методы теории управления. Предложенный алгоритм моделирования ЗФС позволяет описывать структуру установки для формирования и транспортировки частиц общего вида, а не только подобных систем. Универсальность алгоритма позволяет, в частности, учитывать раздельное и совокупное влияние эффектов различной природы, в том числе неустранимых.

На основе предложенных моделей ЗФС с учетом краевых полей была построена архитектура комплекса программ и создан сам комплекс программ. Матричный формализм позволяет естественным образом распараллеливать вычисления, т. к. в его основе используются матричные методы. Такие образом, разработанный комплекс программ может быть адаптирован к высокопроизводительным вычислительным системам (кластерным системам, ОШО-сетях) для решения задач и давать практически линейный выигрыш скорости вычислений с ростом количества процессоров или ядер. С использованием комплекса программ были проведены серии вычислительных экспериментов по синтезу ЗФС! Результаты экспериментов позволили дать рекомендации по улучшению характеристик ряда подобных систем с учетом краевых полей. Рекомендации касаются как структуры и расположения управляющих элементов установок, так и модификации управляющих элементов для конструирования заданного распределения их краевых полей. С учетом предложенных рекомендаций можно сэкономить финансовые и временные ресурсы на проектирование, создание, настройку и оптимизацию ЗФС.

Перспективы развития

С использованием предложенных подходов, моделей и идеологии можно продолжать исследования по следующим направлениям:

1. Увеличение порядка аберраций различного происхождения.

2. Учет собственного пространственного заряда пучка на основные характеристики ЗФС.

3. Подбор формы моделей для краевых полей с целью их адаптации к данным реальных систем и учет «выпуклости» краевых полей.

4. Синтез ЗФС, обеспечивающих заданные форму и распределения!пучка.

5. Применение алгоритмов моделирования к другим классам систем формирования и транспортировки с учетом краевых полей.

Предложенные в диссертации модели ЗФС с учетом краевых полей могут быть естественным образом дополнены по указанным направлениям без кардинальных изменений в идеологии. В частности, увеличение порядка аберраций может быть ограничено вычислительными возможностями компьютеров, однако алгоритмы позволяют вычислять аберрации до необходимого порядка. Учет собственного заряда может быть естественным образом добавлен в модель ЗФС, при этом все математические методы и принципы сохраняются. В подобном случае необходимо увеличивать количество вычислений по рекуррентным формулам (например, с использованием метода предиктор-корректор).

Для более подробного учета влияния краевых полей в предложенный алгоритм моделирования можно добавлять новые модели, чтобы более точно адаптировать их к экспериментальным данным, выявить новые закономерности, сравнить с существующими. Построение компьютерных моделей и комплексов программ позволяют осуществлять подобную процедуру более эффективно. Предложенные алгоритмы и созданные комплексы программ могут использоваться в других задачах физики пучков средних и высоких энергий.

Описание пучка частиц с помощью различных способов также допускается в предложенных моделях ЗФС. С учетом* известного начального распределения частиц в1 пучке можно получать заданное распределение пучка на выходе системы с большой степенью точности.

Учет дополнительных эффектов позволит моделировать и создавать более качественные системы и отработать технологию, которая* может применяться в других задачах физики пучков средних и высоких энергий. В частности, на базе предложенных алгоритмов и моделей- можно моделировать циклические ускорители (с учетом* многооборотности эволюции частиц), оценивать влияние краевых полей на такие коллективные эффекты, как появление гало и детерминированного хаоса: Одной из важнейших задач в физике циклических ускорителей является максимизация динамической апертуры пучка.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели краевых полей управляющих элементов зон-доформирующих систем.

2. Математические модели ЗФС с учетом нелинейных аберраций.

3. Комплекс программ для моделирования зондоформирующих систем с учетом краевых полей.

4. Рекомендации по улучшению характеристик функционирующих ЗФС и синтезу новых на основе результатов вычислительных экспериментов.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа над диссертацией началась в 2007 году, когда я готовил диплом. Я благодарен многим исследователям за их вдохновение и мудрость.

Я также благодарен своим коллегам, друзьям и преподавателям с факультета ПМ-ПУ СПбГУ. Мне хотелось бы поблагодарить всех, кто принимал участие в обзоре данной диссертации: это, в частности, Кривовичев Герасим Владимирович, Пименов Виталий Юрьевич, Юдин Иван Павлович.

Хочу особо поблагодарить членов экспертной комиссии за их ценные замечания: это Курбатова Галина Ибрагимовна, Овсянников Дмитрий Александрович и Свистунов Юрий Александрович.

Я глубоко признателен:

- моим родителям за их преданность, заботу и любовь;

- моему брату Андрею за его вдохновение, интерес, проницательность, мудрость, поддержку, помощь в подготовке текста, а также очень ценные советы и замечания;

- моему научному руководителю — Андрианову Сергею Николаевичу за «обратную связь», поддержку, рекомендации, компетентность, великолепные советы, мастерство, стремление к высокому качеству, интерес, высокоуровневое видение целей и задач, неоценимую помощь в редактировании и подготовке текста, презентации, проверке и усовершенствовании материала;

- моих родственникам, друзьям и коллегам за поддержку и рекомендации.

Я хочу поблагодарить организатора международной конференции ICNMTA'08 Istvän Raj'ta за блестящую организацию, а также интересные беседы.

Я благодарен Вараюнь Марине Ивановне за неоценимую помощь в подготовке документов к защите.

Я признателен коллегам из Лаборатории взаимодействия частиц г. Загреба за их ценные советы, рекомендации, беседы, демонстрацию экспериментов на микрозонде, отзывчивость, помощь организационных вопросах: это Milko Jaksic, Tonci Tadic, Iva Bogdanovic Radovic, Stjepko Fazinic, Zdravko Siketic, Natko Skukan, Mladen Bogovac, Zeljko Pastuovic, Andrija Gajski, Zeljko Perisa, Marko Karlusic, Ivana Zamboni Micanovic, Iva Bozicevic, Damir Spanja, Viadan Desnica. Особо хочу поблагодарить Тончи Тадича (Tonci Tadic), который оказан неоценимую помощь как в организации научной, стажировки, так и в непосредственном получении информации о работе микрозонда.

Наконец, я еще раз хочу сказать спасибо Андрианову Сергею Николаевичу, благодаря которому я принимал участие в интересных исследованиях и проектах, за его познавательные рассказы, отличные человеческие качества и помощь в подготовке диссертации на всех этапах.

1. Аграчев A.A., Гамкрелидзе Р.В. Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление // Мат. сборник. 1978. Т. 107. №4(12). С. 467-532.

2. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М., ФИЗМАТЛИТ, 2004.

3. Андрианов С.Н. Метод погружения в пространство фазовых моментов. // Управление в динамических системах. Вып. 2. Депонир. в ВИНИТИ, № 2916-816. Л., 1981. С. 98-103.

4. Андрианов С.Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. Санкт-Петербургский Университет, 2004.

5. Андрианов С.Н. Параллельные и распределенные вычисления в физике пучков. Вторая Международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления РАСО 2004», Москва, С. 87-100.

6. Андрианов С.Н., Дымников А.Д., Осетинский-Г.М. Система формирования протонных пучков микронных-размеров. Препринт ОИЯИ №Р-9-12873. Дубна, 1978. 15-с. Приборы и техника эксперимента. 1982! Т. 1. С. 39-42.

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003'.

10. И. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. М., 1970.

11. Брукс Ф. Мифический человеко-месяц. Символ-Плюс, 2006.

12. Вересова И.П. Влияние рассеянных краевых полей на динамику пучка в циклических ускорителях, Материалы международной конференции BDO-2001, Саратов, 2001.

13. Вересова И.П. Динамика пучков в циклических ускорителях с учетом краевых полей // труды межд. конф. BDO, Санкт-Петербург, 2002. С. 367-373.

14. Галочкина М.Ф. Аналитический и численный методы исследования динамики пучков заряженных частиц: Дис. канд. физ.-мат. наук. Л. 1993. 130 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. ФИЗМАТЛИТ, 2004.

16. Глазер В. Основы электронной оптики. Гостехиздат, М., 1957.

17. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 175 с.

18. Дымников А.Д. Матричные и рекурсивные методы в теории управления движением заряженными частицами. Дубна, ОИЯИ, Б-1-10427, 1977.

19. Дымников А.Д., Явор С.Я. // ЖТФ. 1963. Т. 33. Вып. 7. С. 851-858.

20. Дымников А.Д., Фишкова Т.Я., Явор С.Я. Сферическая аберрация комбинированной квадрупольной линзы с прямоугольным распределением поля // ДАН СССР. 1965. Т. 162, №6. С. 1265-1268.

21. Дымников А.Д., Фишкова Т.Я., Явор С.Я. Сферическая аберрация комбинированной квадрупольной линзы с колоколообразным распределением поля // ЖТФ. 1965. Т. 35, №6. С. 1068-1076.

22. Дымников А.Д., Фишкова Т.Я., Явор С.Я. Зависимость коэффициентов сферической аберрации квадрупольных линз от положения предмета (прямоугольная модель) // Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1966. Т. 30, №5. С. 739-741.

23. Дымников А.Д., Фишкова Т.Я., Явор С.Я. // ЖТФ. 1965. Т. 35. №3. С. 431.

24. Залгаллер В.А. Теория огибающих. М., Наука, 1975.

25. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М., 1989.

26. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. JI.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980,- 288 с.

27. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. М., Высшая школа, 1991.

28. Капчинский И.М. Динамика частиц в нелинейных резонансных ускорителях. М., АТОМИЗДАТ, 1966.

29. Карташев В.П., Котов В.И. Методы формирования пучков частиц на ускорителях высоких энергий. М„ ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1989.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972.

31. Комогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.

32. Коломенский A.A. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. Московский университет, 1980.

33. Коломенский A.A., Лебедев А.Н. Теория циклических ускорителей. М., 1962.

34. Лагутин А.Е. Программа создания ионного микрозонда для ядерного микроанализа на базе электростатического ускорителя. // Сборник докладов ФТТ-2005, С. 504506.

35. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М., 1984.

36. Лебедь С.А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда. // ЖТФ, 2002. Т. 72, Вып. 1. С. 92-95.

37. Макконнелл С. Совершенный код. Мастер класс. СПб.: Питер, 2007.

38. Мартиросян Ю.Л. Исследование эффектов краевых магнитных полей в накопительных кольцах. Журнал технической физики 2003, том 73, выпуск 10.

39. Матышев A.A. Изотраекторная корпускулярная оптика. СПб., Наука, 2000. 375 с.

40. Мешков И.Н. Транспортировка пучков заряженных частиц. Новосибирск, Наука, 1991.

41. Ноутон П., Шилдт Г. Java2. Наиболее полное руководство. BHV Санкт - Петербург, 2001.

42. Овсянников Д.А. Математические методы оптимизации динамики пучков. Ленинградский университет, 1986. 91 с.

43. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб. Издательство С.-Петербургского университета, 1998. - 276 с.

44. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. Москва, 1963.

45. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974.

46. Рошаль A.C. Моделирование заряженных пучков. М., 1979.

47. Самарский A.A. Введение в численные методы. Лань, 2005.

48. Силадьи М. Электронная и ионная оптика. М., 1990.

49. Страуструп Б. Язык программирования С++, М., 1991.

50. Стэррок П. Статическая и динамическая электронная оптика. Теория фокусировки в линзах, отклоняющих устройствах и ускорителях / Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1958. С. 288.

51. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Едиториал УРСС, 2001.

52. Терешонков Ю.В. Математическое моделирование краевых полей в системах управления пучками частиц // Вестник СПбГУ, серия 10 (прикладная математика), вып. 1, 2010. С. 80-94.

53. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 5. Электричество и магнетизм. Едиториал УРСС, 2004.

54. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 6. Электродинамика. Едиториал УРСС, 2004.

55. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том 3. ФИЗМАТЛИТ, 1966.

56. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / пер. с англ. И.Н. Быховской и Б.Т. Вавилова; Под. ред. М.Л. Быховского М.: Мир, 1975. 534 с.

57. Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии, М., Мир, 1969. 223 с.

58. Эккель Б. Философия Java. 3-е издание, Питер, 2003.

59. Юдин И.П., Волошина И.Г., Перепелкин Е.Е., Российская Н.С. Вычислительный эксперимент для получения распределения поля спектрометрического магнита в проекте «НИС» // Письма в ЭЧАЯ, 2007, т. 4, №4(140), С. 614-627.

60. Явор С.Я. Фокусировка заряженных частиц квадрупольными линзами, М., Атомиз-дат, 1968. 263 с.

61. Abramowitz М., Stegun. I.A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, ISBN 978-0-48661272-0, 1972.

62. Andrianov S.N. Role of Parallel and Distributed Computing in Beam Physics. Nuclear Instruments and Methods. Ser. A. Vol. 519, 2004, P. 37-41.

63. Andrianov S., Edamenko N. Modeling of fringe fields effects in transport and focusing systems. EPAC, 2006.

64. Andrianov S., Chernyshev A., Edamenko N., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Linear Approximation) // Proc. of 11th EPAC, Genoa, Italy, 2008. P. 2969-2971.

65. Andrianov S.N., Edamenko N.S., Tereshonkov Yu.V. Some problems of nanoprobe modeling // International Journal of Modern Physics A / Ed. by D. Ovsyannikov, M. Berz, P. Snopok. St.Petersburg, USA: Academic, 2009, P. 799-815.

66. Andrianov S., Edamenko N., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Nonlinear Approximation) // Proc. of Ilth EPAC, Genoa, Italy, 2008. P.* 29722974.

67. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Comparative Analysis of Different Kinds of Effects in the Nanoprobe // Proc. of 11th EPAC, Genoa, Italy, 2008. P. 3065-3067.

68. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Some Problems of Optimal Nanoprobe Design // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. P: 89.

69. Antone T.A., AL-Maaitah A.A. Analytical solutions to classes of linear oscillator equations with time varying frequencies. Journal of Mathematical Physics, Volume 33, Issue 10, October 1992, pp. 3330-3339.

70. Banford A.P. The transport of charged particle beams. London, Spon, 1966, 229lp.

71. Beck K. Extreme Programming Explained. Addison-Wesley, 2000.

72. Berz M., Erdelyi В., Makino K. Fringe field effects in small rings of large acceptance // Phys. Rew. St-Accelerators and Beams 2000. Vol. 3. N 124001. P. 1-11.

73. Brazhnik V., Lebed S., Kwiatek W., Stachura Z., Cholewa M., Jamieson D., Legge G. Numerical optimization of a short version of proton microprobe focusing system in the Institute of Nuclear Physics in Cracow. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 104-108.

74. Breese M.B.H., Jamieson D.N. A detailed account of the correction of parasitic sextupole fields in a magnetic quadrupole lens. NIM B, Vol. 83, 1993, P. 394-406.

75. Breese M.B.H., Jamieson D.N., Doyle B.L. The use of solenoid lenses in a two-stage nuclear microprobe probe-forming system. NIM B, Vol. 188, 2002, P. 261-266.

76. Brown K.L., Belbeoch R., Bounin P., First- and second-order magnetic optics matrix equations for the midplane of uniform-field wedge magnets. Rev. Sci. Instrum. Vol. 35, 1964. P. 481-485.

77. Cookson J.A. The production and use of a nuclear microprobe of ions at MeV energies. NIM B, Vol. 165, 1979, P. 477-508.

78. Datzmann G., Dollinger G., Hinderer G., Korner H.-J., A superconducting multipole lens for focusing high energy ions. NIM B, Vol. 158, 1999, P. 74-80.

79. Davies W.G. The theory of the measurement of magnetic multipole fields with rotating coil magnetometers. NIM in Physics Research, A311, 1992.

80. Dragt A.J Lectures on Nonlinear Orbit Dynamics // Physics of High Energy Particle Accelerators. AIP Conf. Proc. N.-Y., 1982. N 87. P. 147-313.

81. Dragt A.J., Finn J.M. Lie Series and Invariant Functions for Analytic Symplectic Maps // J. Math. Phys. 1976. Vol. 17. P. 2215-2227.

82. Dymnikov A.D., Garcia G. High-frequency focusing system for nuclear microprobes. NIM B, Vol. 158, P. 85-89.

83. Eckel B. Thinking in C++. 2nd Edition, Volume 1, Prentice-Hall, 2000.

84. Enge H.A. Effect of Extended Fringing Fields on Ion-Focusing Properties of Deflecting Magnets. Review of Scientific Instruments, Vol. 35, 1963, P. 278-287.

85. Fyvie R.D., Lobb D.E. An analysis of short rotating coil measurements in the fringe field of a quadrupole magnet. NIM, Vol. 114, Issue 3, 1974, P. 609-614.

86. Gillespie G.H., Hill B.W., Jameson R. A New Tools for Accelerator System Modelling and Analysis // Proc. Int. LINAC Conf., Tsukuba, 1994. Vol. 1 Tsukuba (Japan), 1994. P. 110-112.

87. Godlove T.F., Bendel W.L. Simplified Wedge Magnet Design Including Fringe Effects. Review of Scientific Instruments, Vol. 36, 1965, P. 909-914.

88. Grime G.W., Watt F. Beam Optics of Quadrupole Probe-forming Systems, Adam Hilger Ltd, Bristol, 1984.

89. Hawkes P.W. Quadrupole Electron Lens Design, N.-Y. and London, Academic Press, 1970.

90. Hinderer G., Dollinger G., Datzmann G., Korner H.J. Design of the new superconducting microprobe system in Munich. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 51-56.

91. Jaksic M., Kukec L., Valkovic V. The Zagreb nuclear microprobe facility. NIM B, Vol. 77, 1993, P. 49-51.

92. Jamieson D.N. New generation nuclear microprobe systems. NIM B, Vol. 181, 2001, P. 1-11.

93. Jamieson D.N., Grime G.W., Watt F. The new Oxford scanning proton microprobe analytical facility. NIM B, Vol. 40-41, 1989, P. 669-674.

94. Jamieson D.N., Legge G.J.F. Aberrations of single magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 29, Issue 3, 1987, P. 544-556.

95. Jamieson D.N., Ryan C.G., Sie S.H. Measurement of the aberrations of an electrostatic quadrupole probe forming lens system. NIM B, Vol. 54, 1991, P. 33-37.

96. Kats M.M., Onosovsky K.K. Calculation of Planar Systems for Proton Beam Transportation to the Patient, Proc. of BDO-97, Dubna. P. 85-92.

97. Khomenko V., Lebed S., Mordik S. A new magnetic scanning system for proton microprobe. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 86-89.

98. Kurz S., Russenschuck S., Siegel N. Accurate calculation of fringe fields in the lhc main dipoles, LHC Project Report 357, CERN, 16th International Conference on Magnetic Technology, 1999.

99. Lawson J.D. in: A. Septier (Ed.), Applied Charged Particle Optics, vol. C. Academic Press, New York and London, 1983, p. 13 (Suppl. 13C to Adv. Electron. Electron. Phys.).

100. Lebed S., Stachura Z., Cholewa M., Legge G.J.F., Lekki J., Maranda S., Potempa A., Sarnecki C., Szklarz Z., Styczen J., Sulkio-Cleff B. The new Cracow scanning nuclear microprobe. NIM B, Vol. 181, 2001; P. 95-98.

101. Lebed S., Ponomarev A. Field reconstruction technique for testing magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 90-96.

102. Lee-Whiting G.E. Measurement of quadrupole lens parameters. NIM, Vol. 82, P. 157— 161.

103. Lee-Whiting G.E. Third-order aberrations of a magnetic quadrupole lens. NIM, Vol. 83, Issue 2, 1970, P. 232-244.

104. Lee-Whiting G.E. Comparison of calculated third-order aberrations of a magnetic quadrupole lens. NIM, Vol. 99, Issue 3, P. 609-610.

105. Legge G.J.F. The limits of spatial resolution in PIXE. NIM B, Vol. 22, 1987, P. 115-120.

106. Legge G.J.F. A history of ion microbeams. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 9-19.

107. Makino K., Erdelyi B., Berz M. Magnet fringe fields, nonlinear effects, and® compensation in large acceptance rings // Proc. of Particle Accelerator Conference, Chicago, 2001. P. 451-455.

108. Matsuda H., Wollnik H. Third order transfer matrices for the fringing field of magnetic and electrostatic quadrupole lenses. NIM, Vol. 103, Issue 1, P. 117-124.

109. Moloney G.R., Jamieson D.N., Legge G.J.F. Measurement, analysis and modification of the fifth-order fringe field components of magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 54, 1991, P. 24-27.

110. Moloney G.R., Jamieson D.N., Legge G.J.F. Design modifications to reduce duodecapole components in the fringe field region of magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 77, 1993, P. 35-38.

111. Moloney G.R., Jamieson D.N., Legge G.J.F. Analysis of the fringe field region of magnetic quadrupole lenses: field measurements and ion optical calculations. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 97-103.

112. Regensreif E. Phase Acceptance of Quadrupole Doublets: Analytical Approach. Preprint CERN 68-28. Geneva, 1968.

113. Regensreif E. Phase Acceptance of Quadrupole Triplets in Term of Matrix Elements. Preprint CERN 70-22. Geneva, 1970.

114. Ryan C.G., Jamieson D.N. A high performance quadrupole quintuplet lens system for the CSIRO-GEMOC nuclear microprobe. NIM B, Vol. 158, 1999, P. 97-106.

115. Sanz-Serna J.M. Runge-Kutta schemes for Hamiltonian systems. BIT Comp. Sei. Numerical Math. Vol. 28. 1988. P. 877-883.

116. Sie S.H., Ryan C.G. An electrostatic «Russian» quadruplet microprobe lens. NIM B, Vol. 15, 1986, P. 664-668.

117. Smith D.L. Focusing properties of electric and magnetic quadrupole lenses NIM, Vol. 79, Issue 1, 1970, P. 144-164.

118. Stephan A., Meijer J., Hofert M., Bukow H.H., Rolfs C. A superconducting solenoid as probe forming lens for microprobe applications. NIM B, Vol. 89, 1994, P. 420-423.

119. Stephan A., Meijer J., Bukow H.H., Rolfs C. Operation of the new microprobe at Bochum. NIM B, Vol. 104, 1995, P. 31-35.

120. Stephan A., Meijer J., Adamczewski J., Rocken H., Loffelmacher D., Bukow H.H., Rolfs C. Investigation of the resolution affecting parameters of a nuclear microprobe using a solenoid lens. NIM B, Vol. 113, 1996, P. 387-390.

121. Tadic T., Javsc M. Heavy ion microbeam vacuum requirements. NIM B, Vol. 267, 2009, P. 2028-2031.

122. Tereshonkov Yu., Andrianov S. Load Curves Distortion Induced by Fringe Fields Effects in the Ion Nanoprobe // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference, Italy, Genova, 2008, P. 1514-1516.

123. Tereshonkov Yu. Nanoprobe Modeling With Critical Characteristics // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. P. 92.

124. Tereshonkov Yu. Mathematical Modeling of Fringe Fields in Beam Line Control Systems // Proc. of 4th PhysCon, Catania, Italy, 2009. http://lib.physcon.ru/download/p2008.pdf, 6 p.

125. Venturini M., Abell D., Dragt A. Map Computation from Magnetic Field Data and Application to the LHC High-Gradient Quadrupoles // Proc. of the 5th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. 1998. P. 184-188.

126. Watt F. The nuclear microprobe: a unique instrument. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 1-8.

127. Watt F., Rajta I., Kan J.A., Bettiol A.A., Osipowicz T. Proton beam micromachined resolution standards for nuclear microprobes, NIM B, Vol. 190, 2002, P. 306-311.

128. Wollnik H. Second order transfer matrices of real magnetic and electrostatic sector fields. NIM B, Vol. 52, 1967, P. 250-272.

129. Wollnik H. Optics of Charged Particles, Academic Press, Inc., San Diego, 1987. 292 p.

130. Wollnik H., Yavor M.I. Nonlinear effects in fine focus applications with quadrupole multiplets and solenoids. NIM B, Vol. 158, 1999, P. 113-118.

131. Ximen Jiye Theory of beam optics in electron optical systems possessing third order aberrations. // Optik, 1987, vol. 76, №1, P. 32-37.

132. Yavor S.Ya., Dymnikov A.D., Ovsyannikov L.P., Achromatic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 26, 1964, P. 13-17.

133. Zimmermann F. Tune Shift with Amplitude Induced by Quadrupole Fringe Fields, CERN Report CERN-SL-2000-009 AP and CERN-NUFACT-NOTE 18, 2000.