автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование защитной иммунофизиологической реакции при пневмонии

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Г Г Ъ Ом

РУДНЕВ Сергей Геннадьевич ] 5 2-03

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩИТНОЙ ИММУНОФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРИ ПНЕВМОНИИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2000

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук A.A. РОМАНЮХА

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор М.А.ХАНИН кандидат физико-математических наук С.Г. АНДРЕЕВ

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

«XI

Защита состоится 42" jllaQ,_ 2000 г. в Ab ~ часов

на заседании специализированного совета Д 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117930, г.Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан Чо" Цо-Sl, 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук С.А. ФИНОГЕНОВ

PVI2..ZO/./ ^ О

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За последние годы существенно возросла роль математики, и в том числе математического моделирования, в анализе процессов, происходящих в иммунной системе организма, что обусловлено значительным углублением представлений о строении и функционировании иммунной системы, а также широким внедрением в иммунологию и смежные области знания количественных методов исследования.

Одной из важнейших областей современной иммунологии является инфекционная иммунология, изучающая роль иммунитета в возникновении и развитии (патогенезе) инфекционных заболеваний и возможности практического применения полученных знаний в профилактике и лечении этих болезней. Настоящая работа посвящена исследованию методами математического моделирования механизмов патогенеза инфекционных заболеваний, вызванных бактериями, а также общих принципов, регулирующих противоинфекционную защиту в зависимости от характеристик внешней среды и свойств микроорганизмов. Функционирование защитных механизмов рассмотрено на примере легочных инфекций, составляющих большинство в общей структуре инфекционных заболеваний.

Особенностью существующих математических моделей инфекционных заболеваний является то, что они в основном подробно описывают механизмы специфического иммунитета1. Но вместе с тем известно, что в противоинфекционной защите легких важную роль играют и другие защитные механизмы, и в первую очередь связанные с функционированием системы фагоцитов. Для многих инфекций фагоциты являются, по существу, единственными эффекторными клетками, уничтожающими частицы антигена. Эффективность защитного действия фагоцитов может быть в некоторых случаях существенно повышена под влиянием специфических антител.

Основным процессом, лежащим в основе инфекционной патологии, является воспаление. Несмотря на углубленную разработку различных биологических и медицинских аспектов воспалительной реакции ее сущность и значение для организма до конца не раскрыты2. Одним из наиболее выраженных проявлений воспаления при бактериальной инфекции легких является резкое увеличение объема альвеолярной жидкости

1 См., напр.: Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. - М.: Наука, 1991. - 304 с.

2 Воспаление // Под ред. В.В.Серова, B.C. Паукова. - М.: Медицина, 1995. - С. 12.

(альвеолярный отек). Опосредуя увеличение скорости доставки защитных клеток и веществ из крови в легкие, альвеолярный отек вместе с тем приводит к нарушению основной функции легких - газообмена, а также другим изменениям, способным изменить кинетику фагоцитоза. Оценка влияния этого процесса на развитие инфекции в ее разных стадиях требует количественного анализа.

Таким образом, понятие противоинфекционного иммунитета, понимаемого как комплекс защитно-приспособительных реакций организма, направленных на борьбу с инфекцией, не может быть в общем случае сведено к понятию иммунного ответа как специфической реакции на антиген. В связи с этим важной задачей является описание механизмов согласования основных иммунофизиологических процессов, что необходимо для более полного понимания условий нормального функционирования иммунной системы и механизмов развития патологии. В настоящей работе на примере одного из инфекционных патологических процессов в легких - очаговой стафилококковой пневмонии - построена математическая модель, описывающая взаимодействие фагоцитарного и иммунного ответов в процессе защиты организма с учетом влияния альвеолярного отека на развитие инфекции.

Существенным препятствием при построении математических моделей в иммунологии зачастую оказывается неполнота имеющихся клинических и экспериментальных данных. В этом случае может потребоваться разработка и применение новых методов уменьшения неопределенности в оценках параметров.

Одним из наиболее важных представлений об общих принципах организации материи явилось представление об оптимальности. Например, формулировка в первой половине XIX века известных вариационных принципов привела к развитию многих разделов теоретической физики, таких как теоретическая механика, геометрическая и волновая оптика, общая теория относительности и др. Вариационные методы являются одним из важнейших способов исследования и в других областях науки и техники. Развитие идей оптимальности применительно к анализу биологических систем стало возможным благодаря эволюционной теории Ч. Дарвина, согласно которой основным фактором эволюции живых организмов наряду с наследственностью и изменчивостью является естественный отбор, в ходе которого отбираются такие признаки, которые обеспечивают наилучшую приспособленность. Действие естественного отбора может проявляться на всех уровнях организации биоло-

гических систем, от субклеточного до межпопуляционного3. Отмечают, что основные ограничения в использовании принципа оптимальности в биологии связаны как с трудностями количественного анализа изучаемых биологических явлений, так и с проблемой обоснованного выбора самого критерия оптимальности4. В связи с этим принцип оптимальной конструкции в биологии был впервые в явном виде сформулирован лишь в середине XX века5, т. е. примерно через 100 лет после создания теории естественного отбора.

Указанные выше ограничения в полном объеме относятся и к теоретической иммунологии, где в настоящее время существуют лишь единичные работы, посвященные изучению строения и функционирования иммунной системы организма с точки зрения оптимальности6.

Инфекционные заболевания представляют собой один из ведущих факторов естественного отбора, поскольку примерно в половине случаев являются причиной преждевременной смерти людей и, кроме того, вносят значительный вклад в величину временной потери трудоспособности7. Следовательно можно предположить, что значения параметров в математических моделях противоинфекционной защиты должны не только удовлетворять требованию соответствия решений клиническим и экспериментальным данным, но и соответствовать наиболее эффективным вариантам защиты. В качестве меры приспособленности организма к воздействию инфекционных микроорганизмов недавно было предложено использовать величину суммарных затрат энергии на осуществление процессов противоинфекционной защиты8. Обосно-

3 См., напр.: Проблемы оптимального строения и функционирования биологических систем / Под ред. Д.С. Чернавского, Ю.М. Свирежева. - Математическая биология и медицина: Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ, 1978. - Т. 1. - 260 с.

4 Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. - М.: Мир, 1969 (пер. с англ.). -216 е.; Ханин М.А. и др. Экстремальные принципы в биологии и физиологии. -М.: Наука, 1978. - 256 с.

5 Rashevsky N. Mathematical biophysics. Physico-mathematical foundations of biology. - 3-d edition. - V. 2. - N.Y.: Dover, 1960. - 462 p.

6 См., напр.: Perelson A. Optimal strategies for an immune response // Lectures on Mathematics in the Life Sciences. - Providence: The American Mathematical Society, 1979. - V. 11. - P. 109-163.

7 Making a difference. - The World Health Report // WHO, Geneva, 1999; Removing obstacles to healthy development. - WHO Report on Infectious Diseases // WHO, Geneva, 1999.

8 Романюха A.A. Энергетическая цена противоинфекционной защиты организма. Эволюционный подход к анализу данных и моделированию // Тез. докл. Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ— 96). - Новосибирск, 1996. - С. 44.

вание и применение соответствующего критерия эффективности могут быть полезными не только для уточнения оценок параметров математических моделей иммунитета, но также и для моделирования иммуно-эпидемических процессов, рассматриваемых в качестве одного из важнейших объектов исследований в популяционной биологии и математической экологии на ближайшее десятилетие9.

Цели работы: 1) анализ данных, характеризующих строение и функции противобактериальных защитных механизмов легких; 2) сравнительный количественный анализ участия фагоцитарных и иммунных защитных реакций и других иммунофизиологических процессов в про-тивоинфекционной защите при пневмонии; исследование зависимости условий возникновения, скорости развития, длительности и тяжести болезни от параметров фагоцитарного и иммунного ответа; 3) количественный анализ взаимосвязей между различными характеристиками эпидемического процесса при бактериальных инфекциях и состоянием защитных систем организма; 4) изучение процессов противоинфекцион-ной защиты организма с точки зрения принципов оптимальности.

В соответствии с указанными целями были поставлены следующие задачи: 1) построение и исследование математической модели защитной иммунофизиологической реакции в легких при бактериальной пневмонии, описывающей взаимодействие двух подсистем иммунной защиты организма в ходе воспалительной реакции: неспецифического фагоцитарного ответа и специфического противобактериального гуморального иммунного ответа, с учетом влияния отека на динамику развития инфекции; 2) оценка параметров математической модели и построение обобщенной картины болезни на основе имеющихся экспериментальных и клинических данных; 3) идентификация параметров модели и анализ полученных решений; 4) исследование чувствительности модели к вариации параметров; 5) построение и сопоставление количественных оценок энергетической цены основных процессов противоинфекци-онной защиты при пневмонии; 6) исследование зависимости энергетически оптимальных значений параметров иммунной защиты организма от интенсивности внешней антигенной нагрузки и свойств микроорганизмов.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), численные методы решения жестких систем

9 Levin S.A. et al. Mathematical and computational challenges in population biology and ecosystems science // Science. - 1997. - V. 275, No. 5298. - P. 334-343.

ОДУ с запаздыванием, методы нелинейной оптимизации, методы теории химической кинетики.

Научная новизна. Построена математическая модель, описывающая механизмы согласования и развития реакций различных подсистем иммунитета в ходе противоинфекционной защиты при пневмонии. Впервые в рамках математической модели инфекционного заболевания в явном виде введена переменная, характеризующая величину отека рассматриваемого участка повреждения и исследовано влияние этого процесса на динамику взаимодействия фагоцитарных клеток и патогена. Предложена параметризация констант скоростей фагоцитоза для учета влияния изменения вследствие отека структуры области, в которой происходят взаимодействия клеток, на динамику фагоцитоза на разных фазах бактериальной инфекции. Показано, что альвеолярный отек в ходе воспалительной реакции при бактериальной инфекции легких влияет на динамику инфекционного процесса не только в результате изменения концентрации фагоцитов и бактерий в легких (эффект разведения), но и вследствие изменения размерности пространства взаимодействующих факторов, что при некоторых условиях может приводить к увеличению констант скоростей фагоцитоза в фазе выраженного отека. В работе применен новый подход к оценке параметров иммунофизиологических процессов, который основывается на предположении о том, что решение модели должно не только приближать имеющиеся клинические и экспериментальные данные, но и соответствовать наиболее экономичным вариантам защиты. Использованный критерий эффективности является одним из наиболее общих вариантов применения эволюционной теории в отношении строения иммунной системы организма, а построенные на его основе оценки параметров для известной средней частоты заболеваемости пневмонией в популяции интерпретируются как соответствующие "норме здоровья" и сопоставлены с результатами идентификации параметров по данным наблюдений.

Теоретическая и практическая значимость. Построенные математические модели и использованные методы их исследования могут быть применены: 1) для изучения влияния различных характеристик микроорганизмов (количество и распространенность во внешней среде, вирулентность и др.) и макроорганизмов (состояние иммунной защиты) на течение эпидемического процесса в целом; 2) при моделировании процессов адаптации иммунной системы, а также взаимной адаптации иммунной системы и патогенов в условиях изменения внешней среды.

Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докла-

дывались на научном семинаре Института вычислительной математики РАН (1999г.), на международных конференциях аспирантов и студентов "Ленинские горы-95" и "Ломоносов-96" (Москва, МГУ, 1995 г., 1996 г.), II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996 г.), VI Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Новосибирск, 1996 г.). По теме работы были приняты и опубликованы тезисы докладов на И, III и IV европейских конференциях по прикладной математике в области теоретической биологии и медицины (Лион, Франция, 1993 г.; Гейдельберг, Германия, 1996 г.; Амстердам, Нидерланды, 1999 г.), 5-й международной конференции по математической динамике популяций (Закопане, Польша, 1998 г.), IX Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Москва, 1999 г.). Список публикаций по теме диссертации включает 8 наименований и приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы; содержит 127 страниц машинописного текста, 15 рисунков, 15 таблиц. Список литературы включает 286 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит общую характеристику работы. Приведено обоснование актуальности темы, сформулированы цели и задачи исследования. Указаны области возможного применения результатов работы.

Обзор литературы содержит краткое описание существующих работ и методов математического моделирования различных процессов, лежащих в основе противоинфекционной защиты организма и иммунного ответа.

Первая глава "Математическое моделирование ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких (реакция системы фагоцитов)" посвящена построению и исследованию математической модели ранней фазы воспалительной реакции в легких, вызванной бактериями S. aureus. Под ранней фазой понимается совокупность процессов воспалительной реакции, происходящих до значительной наработки специфических антител в ходе рассматриваемой инфекции (известно, что специфический иммунный ответ против S. aureus является, в основном, гуморальным). В зависимости от типа иммунного ответа может проходить от 3-4 дней до 1-2 недель от начала болезни, прежде чем произойдет значительное увеличение количества специфических антител. Вместе с тем известно, что в случае многих бактериальных инфекций, например,

вызываемых условно-патогенными микроорганизмами, главную роль в очистке легких играют неспецифические защитные реакции, и в первую очередь реакция системы фагоцитов. При этом в процессах фагоцитарной защиты участвует не только резидентная система (альвеолярных макрофагов, постоянно присутствующих в легких), контролирующая антигенную целостность легких в условиях нормы, но и индуцируемая компонента (нейтрофилы), играющая ключевую роль на высоте воспаления.

Инфекции, вызываемые условно-патогенными микроорганизмами, характеризуются тем, что в условиях нормального функционирования противоинфекционных защитных механизмов болезнь не возникает даже при постоянном поступлении этих микроорганизмов в нижние отделы легких. Установлено, что основными факторами, способствующими развитию S. aureus пневмонии, являются следующие: дефицит комплемента, антител, Т-лимфоцитов, нейтропения, нарушение хемотаксиса, вирусные инфекции, воздействие вредных поллютантов, токсинов, алкоголизм, курение и др. Главным механизмом уничтожения грамположи-тельных бактерий, попавших в организм, является фагоцитоз. Следовательно, для возникновения пневмонии необходимо, чтобы указанные выше факторы приводили в конечном итоге к нарушениям в системе фагоцитов.

Для обоснования структуры уравнений математической модели и уточнения оценок параметров представлены экспериментальные и клинические данные, характеризующие структурно-функциональную организацию и противоинфекционные защитные механизмы легких человека. Математическая модель представляет собой задачу Коши для системы 5 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, характеризующих динамику следующих величин: концентрации бактерий K=K(t), альвеолярных макрофагов Ма=Ма{1), нейтро-филов NA=Nji{t) и разрушенных клеток m=m(t) в объеме жидкости V=V(t) тех сегментов легких, в которых развивается пневмония. Система уравнений модели имеет следующий вид:

<%f = f3K-g{t)(l1gl+l2g2)MAK-(l1hl+l2h3)NAK-4H--$ (1)

^ = 7К + <*м(МХ - МА) - cig(t)(ligi + Ьдз)МлК - % • fy- (2)

= хКМА + aN(N'A - Na) - c2(/,/i: + hh2)NAK - ^ • ty (3)

d™=<rK + am(rn'-rn)-W.m (4)

^ = -У)К + ау(У*-V) (5)

Известно, что большинство пневмоний у взрослых людей возникает на фоне респираторных вирусных инфекций. Уменьшение скорости фагоцитоза бактерий альвеолярными макрофагами по сравнению с нормальной, приводящее к развитию пневмонии (например, при вирусной инфекции), учитывается в модели в виде эмпирической функции д(1) (уравнения (1) и (2)). На основании количественных данных о динамике фагоцитоза при вирусной инфекции сделано предположение, что эта функция имеет следующий вид: д{1) = 1 — (1 — а^1) • е~где а\ -максимальная кратность снижения скорости фагоцитоза при вирусной инфекции, а параметр й2 характеризует темп восстановления защитной функции макрофагов.

Последние слагаемые в правой части (1)-(4) описывают поправку в изменение концентраций клеток в легких, вносимую изменением объема жидкости в участке повреждения, и представляют собой форму выражения закона сохранения масс.

С использованием клинических и экспериментальных данных построены оценки границ допустимых значений параметров модели. Представляет интерес изучение влияния альвеолярного отека на динамику фагоцитоза бактерий в альвеолах (2-е и 3-е слагаемые в уравнении (1), 3-е слагаемые в уравнениях (2) и (3)). Это влияние происходит не только благодаря изменению концентраций бактерий и фагоцитов вследствие отека, но и в результате изменения размерности пространства взаимодействующих факторов при их переходе с внутренней поверхности альвеол в объем жидкости альвеолярного отека. Так, например, зависимость константы скорости фагоцитоза бактерий альвеолярными макрофагами (АМ) от величины отека У(1.) задана в виде (/1511 +/2*72)1 где 91 и 92 ~ константы скоростей фагоцитоза на поверхности альвеолы (в отсутствие отека) и в объеме альвеолы (при наличии отека), соответственно, а функции 1\ и ¿2 характеризуют долю клеток в участке повреждения органа-мишени, принимающих участие в поверхностных и объемных взаимодействиях, соответственно. Предполагаем, что ¿1 = V"*/V, ¡2 = 1 — ¿х. Оценки величин д\ и дг получены при общем предположении о том, что интенсивность фагоцитоза определяется временем, необходимым для встречи фагоцита и бактерии, которое существенно больше времени, необходимого для поглощения микроорганизмов.

Оценка величины д\ может быть получена с использованием следую-

щего неравенства: g™iom < 9l < greeted ^ где велИчина gfirected определяется из предположения о направленной миграции AM к бактерии, прикрепившейся к поверхности альвеолы, a g™"dom - Из предположения о случайном характере движения AM по поверхности альвеолы (диффузия). Имеем: gfrected = зпа/тгДМд, где s - скорость движения фагоцита по поверхности альвеолы, R - радиус альвеолы, пд - число AM на альвеолу в норме, М*А - нормальная концентрация AM. Подставляя значения s=10 мкм/мин, Д=125 мкм, па=12, Мд=4-107 кл/мл, получаем оценку:

gdirected_l hlQ~5 (кл/мл^суТ-1.

Формула для оценки g[andom получена по аналогии с известной оценкой констант скоростей взаимодействия частиц на поверхности сферы10, и может быть записана в следующем виде:

random

где /л - коэффициент случайной подвижности макрофага (зависит от концентрации хемоаттрактантов), г - радиус макрофага. Подставляя известные по экспериментальным данным оценки /х=(1—20)-10—8 см2/с, г=10-12 мкм, имеем: аГ»пЛ,т=9,2-10-в-1,9-10-в (кл/мл) ^сут"1.

Оценку величины можно получить на основе теории жестких соударений применительно к диффузии клеток в растворителе с низкой молекулярной массой11:

3 ц ггь

где г - радиус макрофага, гь - радиус бактерии, т] - динамическая вязкость среды, Т - температура, к - постоянная Больцмана. Зная величины гь=0,4-0,5 мкм, Т=310 К, Т7=5-Ю—4 Па-с (вязкость воды при Т=310 К), имеем: д2=1,ЫО_5-1,9-10~5 (кл/мл)-1сут-1. Для сравнения, оценка данной величины по экспериментальным данным in vitro12 дает значение </2=2,0-10""5 (кл/мл)-1сут-1, которое хорошо согласуется с построенной теоретической оценкой.

10Berg Н.С., Purcell Е.М. Physics of chemoreception // Biophys. J. - 1977. - V. 20, No. 2. - P. 193-219; Gandolfl A. et al. Association rates of diffusion-controlled reactions in two dimensions // Acta Appl. Math. - 1985. - V. 4, No. 2-3. - P. 139-155; Lauffenburger D.A. Mathematical analysis of the macrophage response to bacterial challenge in the lung // Mononuclear Phagocytes. - 1985. - P. 351-356.

11Эмануэль H.M., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетихи. - М.: Высшая школа, 1984.- 464 с.

12Leigh P.C.J., van Furth П., van Zwet T.L. In vitro determination of phagocytosis and intracellular killing by PMN and mononuclear phagocytes // Handbook of Exp. Immunol. I DM. Weir (ed.) - V. 2, Chapt. 46. - Oxford: Blackwell, 1986.

Отсюда видно, что значение диффузионной константы скорости взаимодействия клеток в объеме жидкости отека как минимум в 10 раз превосходит соответствующую оценку константы скорости взаимодействия на поверхности альвеол. Однако с учетом возможности направленной миграции AM суммарные оценки констант скоростей фагоцитоза становятся сравнимыми по порядку величины.

Аналогичный вид имеют формулы для оценки величин hi и Лг. В связи с отсутствием необходимого количества данных наблюдений при проведении расчетов будем пока считать, что дх—дг^ h\=h^.

Доказаны теоремы глобального существования и единственности, а также неотрицательности решений системы уравнений (1)-(5) при условии положительности параметров и неотрицательности начальных условий. Построено количественное описание динамики развития рассматриваемых процессов в терминах переменных модели (обобщенная картина). Математическая модель описывает ведущие процессы первой фазы пневмонии и способна воспроизводить динамику рассматриваемых величин до момента развертывания специфического иммунного ответа совпадающего, как правило, с разгаром пневмонии.

Проведена идентификация части параметров по данным обобщенной картины. Полученные в результате идентификации значения параметров рассмотрены в качестве начального приближения в задаче идентификации параметров математической модели более общего процесса: защитной воспалительной реакции при пневмонии (эта задача решена в гл. 2). Проведен анализ чувствительности модели к вариации некоторых параметров.

Во второй главе "Математическое моделирование защитной воспалительной реакции при пневмонии (иммунофизиологические процессы)" построена и исследована математическая модель защитной воспалительной реакции при пневмонии, которая представляет собой объединение двух моделей: математической модели ранней фазы воспалительной реакции в легких (построена в гл. 1) и математической модели гуморального противобактериального иммунного ответа при пневмонии13. Представлен обзор клинических и экспериментальных данных, характеризующих участие специфического иммунного ответа в процессах про-тивоинфекционной защиты при S.aureus пневмонии.

13Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. - М.: Наука, 1991. - С. 262-269; Karpov A.V., Romanyukha A.A. Mathematical modeling of destructive pneumonia // Lecture Notes of the ICB Seminars. - Warsaw, 1992. - P. 50-68.

Переменными в математической модели являются следующие величины, зависящие от времени: K~K(t) - концентрация бактерий в объеме жидкости V=V(t) тех сегментов легких, в которых развивается пневмония; Ма=Ма(Ь) - концентрация альвеолярных макрофагов в V(i); NA=NA{t) - концентрация нейтрофилов в V(t); Мк~Мк{£) - концентрация антигенпрезентирующих клеток (макрофагов, дендритических клеток и др.) в лимфатических узлах легких (ЛУ); Нв=Нп(1) -концентрация специфических Т-клеток-помощников гуморального иммунного ответа в ЛУ; B=B{t) - концентрация специфических В-лимфоцитов в ЛУ; P=P(i) - концентрация плазматических клеток, синтезирующих специфические антитела (в ЛУ); F=F(t) - концентрация специфических антител в крови; m—m{t) - концентрация разрушенных клеток в объеме V(t).

Математическая модель защитной воспалительной реакции при пневмонии записана в виде следующей системы 10 обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием:

ML = ßK_ ff(t)+ hg2 jМаК _ (iihl + hfl2jNakF, _ . К

^ = уК + ам(МХ - Мл) - cl3(t) (ll9l + hg^)MAK - ^ ■ ^

^ = XKMA + aN(NX - Na) - c2 (lihi + lahj) XAK-fr - % ■ ^A (10)

= S(Vmax-V)K+av(V ~V) (11)

^ = (M£ax - MK)imkK - амкМк (12)

(8) (9)

-ЬрМкНвВ+ан{Н'в-Нв){Щ

^ = Ьн \рнМк{Ь-тн)Нв{Ь-тн)-МкНв

= | pBMK{t - тB)HB{t - rB)B(t - тв) - МкНвВJ + afl(B* - В) (14)

^ = bpPppMK{t - TP)HB(t - Tp)B{t— TP) + aP(P* - P) (15)

^ = ppP + aF(F*-F) (16)

Úrn=aK + am{m'-m)-^.^ (17)

Начальные условия соответствуют заражению здорового организма: К{0) = Ко, МА(0) = mx, na(0) = nx, f(0) = v, Мк{0) = 0,

-14-

Нв{0) = tf¿, 5(0) = В*, Р(0) = Р*, F(0) = F', т(0) = т*; MK(t)HB(t) = 0 Vt € l-тн, 0);

Mi<{t)HB(t)B(t) = 0 Vte[-r,0), г = тах(гв,тр). (18)

Также как и в гл. 1 предполагаем, что вирусная инфекция и/или другие факторы, приводящие к развитию бактериальной инфекции, не влияют на значения переменных модели в нулевой момент времени, а описываются конкретным видом зависимости g(t). Предполагаем, что влияние иммунного ответа на течение бактериальной инфекции в легких определяется увеличением скорости фагоцитоза бактерий нейтрофилами в результате увеличения концентрации специфических антител. Запаздывания в уравнениях (13)—(15) связаны с длительностью цикла делений и/или дифференцировки клеток соответствующих типов.

Показано, что решение задачи (8)—(18) существует и единственно, а также неотрицательно и ограничено на любом конечном интервале времени при условии достаточной гладкости функции g(i), а также положительности параметров и неотрицательности начальных условий.

С использованием клинических и экспериментальных данных построена обобщенная картина пневмонии, представляющая собой количественное описание динамики переменных системы уравнений (8)—(17) (табл. 1). Построены оценки границ допустимых значений параметров модели. Проведено уточнение значений параметров модели по данным обобщенной картины (идентификация параметров). В качестве величи-

Таблица 1

Обобщенная картина динамики защитной воспалительной реакции при пневмонии

Переменная Размерность Норма Момент времени от начала пневмонии (сут)

0 4 10 12 15 30

К кл/мл <103 103 - 1,9-Ю7 - - -

МА кл/мл 4-Ю7 4-Ю7 - 1,6-106 - 1,8-Ю7 4,9-Ю7

Na кл/мл 1,5-106 1,5-10® - 1,6-107 - 8,5-Ю7 1,8-Ю7

V мл 9 9 - 180 - 18 9

мк кл/мл 2104 2-104 2-Ю4 106 - - -

Нв кл/мл 5-104 5-Ю4 5-Ю4 - 5-105 - -

В кл/мл 5-105 5-Ю5 5-Ю5 - 2-10е - -

Р кл/мл 5-104 5-Ю4 5-104 - 5-10е - -

F мол./мл 61013 6-Ю13 6-Ю13 - - - 3-Ю14

т кл/мл 2,5-Ю6 2,5-106 - 5,6-Ю6 - 5,5-107 2,6-107

ны, характеризующей отклонения решений системы уравнений модели от данных обобщенной картины, использован следующий функционал:

F(a) = Ç (l°g10 x'(tj,a) - log10x'exp(tj))2 , (19)

где a - вектор идентифицируемых параметров модели; x'{tj,a) - значение г-й компоненты решения системы уравнений модели в момент времени tj\ x'exp(tj) - значение соответствующих данных обобщенной картины. В связи со значительными изменениями значений величин зависимых переменных системы уравнений (8)—(17) (в пределах нескольких порядков) важным свойством рассмотренного функционала невязки является одинаковая чувствительность к относительным отклонениям аргументов. Для решения задачи минимизации функционала F на множестве допустимых значений параметров а (рассматриваются ограничения вида 0<а,'<а(''<6,'<оо) использованы метод многогранника и квазиньютоновский метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, реализо-

Таблица 2

Значения параметров, полученные в результате идентификации

Параметр Размерность Значение Параметр Размерность Значение

/3 1/сут 2,7 1МК мл/(кл-сут) 3,710-®

31 мл/(кл-сут) 1,36-Ю-7 аМК 1/сут 3,0

92 мл/(кл-сут) 1,36-10~7 Мгпат кл/мл 106

hi мл/(кл-сут) 2,7-Ю-8 Ън мл/(кл-сут) 7,9-Ю-7

h2 мл/(кл-сут) 2,7-Ю-8 РН безразм. 2

il безразм. 5 Ьр мл2/(кл2-сут) 1,7-Ю-14

а2 1/сут 0,1 ац 1/сут 3-Ю-2

7 1/сут 1,96-Ю-4 нь кл/мл 5-Ю4

X мл/(кл-сут) 7,57-Ю-7 Ь? мл2/(кл2-сут) 2-Ю-12

«M 1/сут 3-ю-2 PB безразм. 16

адг 1/сут 0,32 «в 1/сут ю-1

<*v 1/сут 0,48 В* кл/мл 5-Ю5

«m 1/сут 0,2 Ь? мл2/(кл2-сут) 4-Ю-11

Cl безразм. ю-2 рр безразм. 3

C2 безразм. 2-Ю-2 аР 1/сут 0,4

MA кл/мл 4-Ю7 Р* кл/мл 5-Ю4

n'a кл/мл 1,5-10® PF 1/сут 106

m* кл/мл 2,5-Ю6 aF 1/сут 4,3-Ю-2

V мл 9,0 F' мол./мл 6-Ю13

углах мл 3,0-Ю2 ТН сут 0,4

s мл/(кл-сут) 3,22-Ю-7 ТВ сут 3

a 1/сут 0,71 тр сут 3

ванные в программном комплексе MINUIT14. При этом решения модельной системы ОДУ с запаздываниями получены на основе линейных многошаговых методов, реализованных в комплексе DIFSUBDEL15. В результате идентификации части параметров получен набор значений параметров, рассматриваемый в качестве соответствующего норме реакции при данном заболевании (табл.2). Этому набору соответствует значение ^=0,36. Решение задачи (8)—(18), соответствующее уточненным значениям параметров, показано на рис. 1.

Рис. 1. Решение системы уравнений (8)—(17) с н. у. (18), соответствующее уточненным значениям параметров (табл.2). По осям абсцисс отложено время от начала болезни (сут), по осям ординат — десятичный логарифм значения соответствующей переменной. Данные из табл. 1 показаны в виде (+)

Рассмотрим следующие величины: Ктах = max{ií(t) : t > 0} - характеристика тяжести инфекционного заболевания; Ä",„/ect = inf{üf(0) : Bíi > 0 : К (ti) > 0} - минимальная доза заражения, вызывающая инфекцию (инфекционная доза); АТтах = min{¿ > 0 : K(t) — Ктах] -характеристика темпа развития заболевания; AT¿„/ect = min{í > 0 : K(t)V(t) < 1} - общая длительность инфекции. На рис. 2 представлены графики зависимости функционалов Ктах, ATmaI и ДT¿„/ect от тех параметров, относительная вариация которых наиболее сильно влияет на изменение их значений. По осям абсцисс указано отношение величины соответствующего параметра к базовому значению (табл.2). Из рис. 2 видно, что на увеличение тяжести пневмонии относительно значения,

James F., Roos M. MINUIT - a system for function minimization and analysis of the parameter errors and correlations // Comp. Phys. Comm. - 1975. - V. 10. - P. 343-367.

15Бочаров Г.А., Романюха A.A. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Алгоритм и программа. - Препринт / ОВМ АН СССР. - М., 1986. - No. 117. - 40 с.

Рис. 2. Анализ зависимости функционалов Купах* АХтап А7\*п/ес(1 характеризующих тяжесть, скорость развития и длительность бактериальной инфекции легких, от некоторых параметров задачи (8)-(18)

соответствующего решению задачи идентификации параметров, влияет лишь несколько параметров: /?, /12, Х1 и .Р*, причем изменение некоторых из них вызывает одновременно резкое увеличение скорости развития пневмонии. Уменьшение константы скорости отека 5 приводит к уменьшению тяжести пневмонии (Ктах), этот результат соответствует известному в медицине тезису о том, что увеличение экссудации - процесс патологический, и является, наряду с активированными клетками воспаления, одним из главных механизмов патогенеза многих болезней

легких16. Рассмотренные функционалы оказались мало чувствительны к вариации параметров специфического иммунного ответа за исключением параметра характеризующего общий уровень предшествующей иммунизации.

Рис. 3. Зависимость функционалов /Гш/ес 1 и Ктах от параметров а] и/3

На рис. 3 слева представлен график зависимости величины инфекционной дозы Кгп/есь от параметров ах (уровня иммунокомпрометирован-ности организма) и /3 (вирулентности бактерий). Видно, что при увеличении ах происходит резкое снижение величины от значений 105-106, соответствующих высокой начальной дозе бактерий, до значений, соответствующих полной потере устойчивости организма к заражению, когда к развитию болезни приводит любая ненулевая начальная доза бактерий. Для сравнения на рис. 3 справа показана зависимость функционала Ктах от ах и /3 при начальных значениях концентрации бактерий равных соответствующим значениям Кт]еС1(ах,(3).

Ограниченность знаний и неполнота данных об относительном и абсолютном вкладах различных механизмов контроля бактериальных инфекций и, в частности, в процесс выздоровления (теоретически можно выздороветь без иммунного ответа) ставят задачу верификации параметров модели с более общих позиций. Примером такого подхода является предположение об энергетической оптимальности строения проти-воинфекционной защиты организма. Ограниченность применения этого подхода связана с тем, что в естественных условиях организм взаимодействует с разнообразными инфекционными агентами - вирусами,

16Механизмы воспаления бронхов и легких и противовоспалительная терапия // Под ред. Г.Б.Федосеева. - С-Пб.: Нордмед-Издат, 1998. - С. 308.

бактериями, простейшими и др., и оптимизироваться должна противо-инфекционная защита в целом, а не против отдельных видов патогенов. Однако рассматриваемый патоген очень распространен, и можно ожидать, что организация защиты против него близка к оптимальной.

Третья глава "Принципы оптимальности в процессах противоин-

фекционной защиты организма" посвящена изучению иммунной системы с точки зрения предположения об оптимальности ее строения. Несмотря на то, что количество клеток иммунной системы человека не превышает 1,5% от общего числа клеток в организме, эффективность ее функционирования является важнейшим фактором, определяющим способность организма к выживанию. Гибель в результате инфекционных и других заболеваний, в патогенезе которых существенную роль играет состояние иммунной системы, была и остается одной из главных причин смертности людей во всех возрастных категориях. Для сопоставления эффективности противоинфекционных защитных реакций в качестве меры приспособленности организма оценивалась величина суммарной энергии Е, затрачиваемой и теряемой в ходе противоинфекционной защиты. Существующие данные показывают, что эти затраты и потери включают энергию, используемую на синтез и жизнедеятельность инфекционных патогенов в легких, расходы на образование новых и поддержание функционирования уже имеющихся клеток, осуществляющих противоинфекционную защиту, расходы на регенерацию поврежденных клеток органа-мишени и уменьшение отека, а также снижение поступления энергии в результате общей потери приспособленности организма в ходе инфекционного патологического процесса. Функционирование противоинфекционной защиты рассматривается на основе построенной в гл. 2 математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии. Имеем:

Е = Еъ + Я? + Е\ + Епт + Е'т + ЕТ + Е}ц + Еци (20)

где Еь - количество энергии, расходуемой на метаболизм бактерий; Е" -энергия, затрачиваемая на синтез компонент неспецифической противоинфекционной защиты (альвеолярных макрофагов и нейтрофилов); Е'а -энергия, затрачиваемая на синтез компонент специфической противоинфекционной защиты (антигенпрезентирующих клеток, специфических Т- и В-лимфоцитов, а также плазматических клеток в ЛУ легких и антител); Е^ - энергия, затрачиваемая на поддержание неспецифической противоинфекционной защиты легких; Е- энергия, затрачиваемая на поддержание специфической противоинфекционной защиты легких;

Ег - расходы энергии на регенерацию клеток, поврежденных в ходе инфекции; Е}ц - энергия, затрачиваемая на фильтрацию жидкости альвеолярного отека при воспалении; Е]ц - энергетическая цена снижения приспособленности, вызванного инфекционным заболеванием.

Известно, что в процессе нормальной жизнедеятельности организм добывает и расходует энергию со скоростью приблизительно равной 2-ТУ«200 Вт, где IV - величина основного обмена17. Развитие пневмонии приводит к нарушению гомсостаза и, следовательно, баланса притоков и расходов энергии, что можно интерпретировать как снижение приспособленности. Предположим, что величина Е^ прямо пропорциональна тяжести пневмонии, а величина тяжести в свою очередь определяется количеством патогена в легких (т. е. величиной К(Ь)У{£)). Тогда выражение для Ещ запишем следующим образом:

т

е,ц = /3101 * (21)

о

где Рю - удельная скорость потеря энергии вследствие снижения приспособленности. Остальные слагаемые в правой части выражения (20) вычисляются непосредственно из уравнений (8)-(17) на основе балансов соответствующих величин переменных.

Рассмотрим величины расходов энергии на постоянную (т.е. при отсутствии инфекции) и индуцированную неспецифическую и специфическую противоинфекционную защиту легких (Е" и Е'с, а также Е" и Е', соответственно). Тогда величину Е можно также вычислить следующим образом:

Е = ЕЬ + Епс+ Е'с + Е? + Е' +ЕГ+ Е}ц + ЕЩ. (22)

Построены оценки удельных затрат энергии в рассматриваемых процессах противоинфекционной защиты. Результаты расчетов значений составляющих величины Е на отрезке времени [0;100сут] представлены на рис. 4. Считаем, что момент времени 4=0 совпадает с началом инфекции. По оси абсцисс указаны обозначения компонент суммарной энергетической цены противоинфекционной защиты, десятичные логарифмы значений которых отложены по оси ординат. При этом в качестве значений набора параметров математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии использовались значения, полученные в результате идентификации (табл.2).

17Иванов К.П. Основы энергетики организма: теоретические и практические аспекты. Т. I. - Л.: Наука, 1990. - 308 с.

Прочие процессы

Рис. 4. Энергетическая цена основных процессов противоинфекционной

зашиты легких

На основе анализа рис.4 отметим следующее: 1) основная часть энергетической цены пневмонии средней тяжести (до 90%) приходится на потери энергии вследствие снижения приспособленности, и составляет согласно полученной оценке около половины энергии среднесуточного нормального метаболизма; 2) в структуре иммунной и фагоцитарной защиты легких наибольшее количество энергии затрачивается на поддержание жизнедеятельности фагоцитов, и составляет примерно 8% от величины Е на интервале 100 сут; 3) расходы энергии на постоянную (в отсутствие инфекции) фагоцитарную и иммунную защиту легких сравнительно высоки и сопоставимы по величине; 4) среди рассмотренных механизмов защиты легких наименьшие расходы энергии связаны со специфическим противобактериальным иммунным ответом; 5) расходы на регенерацию клеток паренхимы легких и удаление жидкости из альвеол невысоки и сопоставимы с расходами на индуцируемую специфическую защиту; 6) низкий уровень энергии, потребляемой в ходе инфекции бактериями.

Данные об интенсивности расходов энергии на противоинфекцион-ную защиту дополняет рис. 5, на котором изображена диаграмма максимальных мощностей компонент суммарного расхода энергии при пневмонии. По аналогии с использованными обозначениями составляющих величины Е эти максимальные мощности обозначены как ТУ с соответствующими индексами. Максимальное значение ординаты соответствует величине основного метаболизма (100 Вт). По оси абсцисс указаны обозначения величин, десятичные логарифмы значений которых отложены по оси ординат. Из рис. 5 следует, что: 1) в структуре скоростей расходов и потерь энергии в ходе противоинфекционной защиты при

II11111И Прочие процессы

Рис. 5. Оценка величин максимальных мощностей расхода энергии в основных процессах противоинфекционной защиты легких

пневмонии максимальная скорость потери энергии вследствие снижения приспособленности занимает лидирующее положение; 2) среди процессов иммунной и фагоцитарной защиты наиболее высокие мгновенные скорости расхода энергии связаны' с поддержанием жизнедеятельности фагоцитирующих клеток на фазе выраженной индукции клеточной неспецифической защиты; 3) отношение максимальных скоростей расхода энергии на индуцируемую и постоянную неспецифическую защиту составляет примерно 3:1; максимальная кратность отношения интен-сивностей расходов энергии на неспецифическую клеточную защиту в поврежденном и нормальном сегментах легких при пневмонии составляет 30 раз; 4) максимальная скорость расхода энергии на удаление жидкости из альвеол при пневмонии (в период разгара) составляет менее 0,01% энергии основного обмена и примерно равна максимальной скорости расходов энергии на регенерацию легких; эти величины сопоставимы с максимальной мощностью индукции специфической защиты.

В целом, рис. 5 более точно по сравнению с рис. 4 описывает соотношения между отдельными компонентами расходов и потерь энергии на противоинфекционную защиту в острую фазу болезни, а рис.4 характеризует указанные соотношения "в среднем", на длительном отрезке времени, охватывающем как острый период болезни, так и восстановительный период до нормализации значений концентраций основных факторов иммунной защиты по свойствам решений задачи (8)-(18).

В табл. 3 представлены значения основных величин, характеризующих энергетику противоинфекционной защиты легких.

Вычислим энергетическую цену Е* противоинфекционной защиты "в целом", как при наличии, так и при отсутствии инфекции. Зада-

Таблица 3

Энергетика основных процессов противоинфекционной защиты легких

Величина Значение, [Дж] Величина Значение, [Дж] Величина Значение, [Вт] Величина Значение [Вт]

Еь 1,2 Efil 2,2-Ю3 m 8,3-Ю-6 Щи 4,5-Ю"3

Ег 3,8-103 В fit 9,4-10® Wr 6,4-Ю-3 Wfi, 65

ЕЧ 1,3-Ю4 Е2 6,2-105 w? 3,6-10"2 w? 7,2-Ю-2

Е'. 1,7-10* Щ 3,9-105 w; 2,1-10~2 W' 4,6-Ю"2

7,9-105 ЕР 1,8-10* wz 0,27 wp 0,21

Bin 2,3-Ю5 Et 3,0-103 3,1-Ю-2 w? 6,0-Ю-3

дим фиксированный отрезок времени [О, Т*], на котором будем рассматривать функционирование противоинфекционной защиты. В качестве длительности одной инфекции возьмем интервал длины Т <Т*.

Рассмотрим процесс взаимодействия организма с одним видом микроорганизмов с постоянными характеристиками. Предположим, что инфекции повторные, а в момент очередного заражения, происходящего с постоянной частотой и, все величины параметров защитных систем (за исключением параметра 01) соответствуют фиксированной норме. Пусть а - вектор параметров системы уравнений математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии. Предположим, что Т* не зависит от и. Тогда величину Е* можно представить в следующем виде:

Е* = Е* (а, и) = иТ' Е(а) + (1 - иТ)Т^{а), (23)

где первое слагаемое справа обозначает расходы энергии на взаимодействие с патогеном, а второе слагаемое - расходы энергии на поддержание иммунитета в отсутствие инфекции. Е(а) - энергетическая цена противоинфекционной защиты в случае единичной инфекции (вычисляется по формулам (20) или (22)); иТ* - общее число инфекций за время Т*. Величина У?{а) есть скорость расхода энергии на противоинфекци-онную защиту в норме и может быть вычислена по формуле:

ТЩа) = (Е? + Е'с)/Т. (24)

Представим а в следующем виде: а=(а',а"), где а' & А' - вектор тех параметров системы уравнений модели, которые явным образом входят в компоненты энергетической цены иммунной защиты; а" - остальные компоненты вектора а. Пусть А' С - замкнутое ограниченное подмножество неотрицательного ортанта в М1,, V - размерность векто-

ра а'. Рассмотрим следующую задачу: при каждом фиксированном V определить значения а! такие, что выполняется следующее равенство:

Е'{и)= тш Е*(а,и). (25)

Рассмотрим частный случай поставленной задачи, зафиксировав все компоненты вектора а' кроме (этот параметр выбран на основе результатов анализа чувствительности математической модели пневмонии).

Рис. в. Вид оптимальных траекторий К(Ь) для некоторых и

На рис. 6 показана динамика концентрации микроорганизмов в легких, соответствующая оптимальным значениям М*А при различных V. Видно, что при низких значениях V энергетически выгодным оказывается такое состояние системы противоинфекционной защиты, которое в случае заражения приводит к острой форме бактериальной инфекции с выздоровлением; для высоких значений V оптимальное значение соответствует субклинической форме инфекции. Частота 1,5-10-4сут-1 является пороговой, при которой сосуществует 2 решения задачи оптимизации, соответствующих острой и субклинической форме болезни.

Рис. 7. Зависимость режимов оптимальной защиты организма от параметров. Область I соответствует субклинической, II - острой форме болезни

На рис. 7 изображена зависимость режимов оптимальной защиты организма (популяционная норма) от параметров вирулентности /3 и частоты заражения и. По разные стороны от графика пороговой частоты инфицирования 57(/3) типы оптимальных решений различны: область

I соответствует субклинической форме инфекции в ответ на заражение;

II - острой форме болезни с выздоровлением. Интервал между двумя пунктирными линиями соответствует средней частоте заболеваемости пневмонией.

Ю'-г,

р= 5,4

ß=2J

ß=\

и 111-1-1—I i I м ц-1-1—I I II 111-

1СГ4 10"3 10"J

Рис. 8. Графики зависимостей E*(y) при различных ß

На рис. 8 представлены графики зависимости оптимальной цены противоинфекционной защиты Е*{и) для различных значений вирулентности ß, характеризующие возможности оптимального регулирования иммунной защиты на широком диапазоне эпидемически значимых параметров. Видно, что при низком значении вирулентности микроорганизмов (/3=1 сут-1) значение Е* меняется незначительно (не более чем на 10%) при изменении v в 200 раз (от 5-Ю-5 до Ю-2 сут-1); при средних и высоких значениях вирулентности (/9=2,7 и /3=5,4 сут-1) амплитуда изменения значений величины Е* увеличивается и составляет 35% и 93%, соответственно. Пунктирная линия изображает зависимость Е*(v) для значения Мд, являющегося при /3=5,4сут-1 оптимальным для 1/=1,5-10-4сут-1.

Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы: 1) энергетическая цена заболевания или режима противоинфекционной защиты в целом является биологически значимой характеристикой набора величин параметров математической модели пневмонии и позволяет обосновать норму строения и функционирования иммунной системы при заданных условиях внешней среды; 2) в зависимости от вирулентности микроорганизмов и частоты инфицирования минимальный расход энергии на противоинфекционную защиту достигается при двух прин-

ципиалыю разных режимах протекания инфекции: острой, клинически выраженной форме болезни, которая характерна для более вирулентных и редких инфекций и субклинической, более продолжительной и с незначительным повреждением организма форме болезни, характерной для менее вирулентных и частых инфекций.

Далее в гл. 3 обсуждаются подходы к решению задачи (25) определения оптимальных параметров иммунной защиты организма в общем случае и показана область возможных применений ее результатов.

Заключение содержит основные результаты диссертации, а также список публикаций по теме исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена математическая модель защитной воспалительной реакции при бактериальной пневмонии. Процессы возникновения пневмонии рассматриваются как следствие нарушений функционирования резидентной защитной системы (системы альвеолярных макрофагов), а течение и исход болезни - как результат восстановления функции альвеолярных макрофагов и согласованных реакций системы фагоцитов и специфического иммунного ответа с учетом отека.

2. Исследованы зависимости условий возникновения, скорости развития, длительности и тяжести моделируемой болезни от величин параметров, что дало возможность выделить наиболее важные процессы, определяющие динамику инфекции.

3. Построены и сопоставлены количественные оценки энергетической цены основных процессов противоинфекционной защиты организма при пневмонии. Показано, что энергетическая цена пневмонии определяется главным образом величиной снижения приспособленности, вызванного общими нарушениями баланса притоков и расходов энергии, а также расходами энергии на иммунную защиту.

4. На основе энергетического критерия функционирования защитных систем организма удалось перейти от моделирования болезни к моделированию всей противоинфекционной защиты как при болезни, так и в ее отсутствие. С использованием указанного критерия оптимальности сформулирована задача оценки параметров иммунной защиты организма. Предполагается, что искомые значения параметров можно интерпретировать как адаптированную норму состояния защитных систем к заданной антигенной нагрузке. Предложены варианты применения рассмотренного метода к исследованию взаимосвязей между различными

характеристиками инфекционного (на уровне отдельного организма) и эпидемического процессов.

5. Рассмотрен частный случай задачи адаптации, для которого исследованы зависимости типов оптимальных решений модели от интенсивности внешней антигенной нагрузки и вирулентности микроорганизмов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Rudnev S.G., Romanyukha A.A. Mathematical modelling of immune-inflammatory reaction in acute pneumonia // J. Biol. Systems. - 1995. -V. 3, No. 2. - P. 429-439.

2. Руднев С.Г., Романюха А.А. Математическое моделирование пневмонии. Анализ данных и идентификация параметров // Сборник резюме. VI Национальный конгресс по болезням органов дыхания. Новосибирск, 1996 / Пульмонология, 1996. - С. 250.

3. Руднев С.Г. Исследование математической модели защитной им-муно-фагоцитарной реакции человека при пневмонии. Численные эксперименты // Тезисы докладов. Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96). Новосибирск, 1996. -С. 46.

4. Romanyukha A.A., Rudnev S.G. Energy cost of host defense against infection. Data analysis and simulation. Evolutionary approach // Book of abstracts. 3-rd ECMBM. Heidelberg, Germany, 1996.

5. Rudnev S.G., Romanyukha A.A. Mathematical modelling of immune-inflammatory reaction in lungs. Parametrization of the rate constants of bacterial phagocytosis // Book of abstracts. MPD-5. Zakopane, Poland, 1998.

6. Руднев С.Г., Романюха A.A. Математическое моделирование им-муновоспалительной реакции в легких // Сборник резюме. IX Национальный конгресс по болезням органов дыхания. Москва, 1999 / Пульмонология, 1999. - С. 198.

7. Руднев С.Г., Романюха А.А. Математическое моделирование пневмонии. Анализ данных. Идентификация параметров // Матем. моделирование (предст. к публикации).

8. Романюха А.А., Руднев С.Г. О применении одного вариационного принципа в задачах исследования противоинфекционного иммунитета на примере математической модели пневмонии // Матем. моделирование (предст. к публикации).

ВВЕДЕНИЕ

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАННЕЙ ФАЗЫ ЗАЩИТНОЙ ВОСПАЛИТЕЛЬНОЙ РЕАКЦИИ В ЛЕГКИХ (РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ ФАГОЦИТОВ).

1.1. Строение легких человека. Структура противобактериальных защитных механизмов легких

1.2. Построение уравнений математической модели ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких.

1.3. Обобщенная картина динамики ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких

1.4. Оценка параметров

1.5. Существование, единственность и неотрицательность решений

1.6. Идентификация параметров

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩИТНОЙ ВОСПАЛИТЕЛЬНОЙ РЕАКЦИИ ПРИ ПНЕВМОНИИ (ИММУНОФИЗИОЛО-ГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ)

2.1. О роли и механизмах противобактериального иммунного ответа при пневмонии. Клинические и экспериментальные факты

2.2. Построение уравнений математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии

2.3. Идентификация параметров

2.4. Анализ чувствительности модели к вариации параметров.

Глава 3. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ПРОЦЕССАХ ПРОТИ-ВОИНФЕКЦИОННОЙ ЗАЩИТЫ ОРГАНИЗМА

3.1. Энергетическая цена противоинфекционной защиты легких

3.2. Моделирование адаптации противоинфекционной защиты организма под действием антигенной нагрузки. "Энергетический" подход

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. За последние годы существенно возросла роль математики, и в том числе математического моделирования, в анализе процессов, происходящих в иммунной системе организма, что обусловлено значительным углублением представлений о строении и функционировании иммунной системы, а также широким внедрением в иммунологию и смежные области знания количественных методов исследования.

Одной из важнейших областей современной иммунологии является инфекционная иммунология, изучающая роль иммунитета в возникновении и развитии (патогенезе) инфекционных заболеваний и возможности практического применения полученных знаний в профилактике и лечении этих болезней (Покровский, Рубцов, 1993). Настоящая работа посвящена исследованию методами математического моделирования механизмов патогенеза инфекционных заболеваний, вызванных бактериями, а также общих принципов, регулирующих противоинфекционную защиту организма в зависимости от характеристик внешней среды и свойств микроорганизмов. Функционирование защитных механизмов рассмотрено на примере легочных инфекций, составляющих большинство в общей структуре инфекционных заболеваний.

Инфекция представляет собой биологическое явление антагонистического взаимодействия патогенных микроорганизмов с макроорганизмом. Основным содержанием этого понятия является инфекционный процесс как комплекс реакций, направленных на восстановление нарушенного равновесия с окружающей средой. Результатом инфекционного процесса может явиться инфекционная болезнь.

Выделяют две основные подсистемы иммунной защиты макроорганизма от инфекционных агентов (Ройт, 1991): приобретенного специфического и врожденного неспецифического иммунитета. Вопрос о сравнительной оценке роли этих систем в ходе различных инфекций ставился еще со времен И. Мечникова и П. Эрлиха, и приобретал новое содержание в процессе совершенствования иммунологических знаний. К настоящему времени сформулированы основные принципы строения и базовых механизмов процессов, происходящих в этих системах.

Система приобретенного специфического иммунитета человека состоит, в основном, из лимфоцитов и макрофагов, которые организованы в различные тканевые и органные структуры (костный мозг, тимус, лимфатические узлы, селезенка, а также лимфоидная ткань, ассоциированная со слизистыми оболочками); кроме того, незначительная часть этих клеток циркулирует в крови. К основным достижениям в изучении специфического иммунитета относятся: клонально-селекционная теория (Burnet, 1959), в которой установлены принципы клонального строения и реагирования популяций лимфоцитов на антиген, формулировка Т- и В-клеточной парадигм специфического иммунитета, открытие и изучение явления иммунологической толерантности, а также механизмов иммунологического распознавания, идентификация различных субпопуляций лимфоцитов и выяснение их функций, определение роли продуктов генов главного комплекса гистосовместимости в активации Т-лимфоцитов и взаимодействиях клеток, выяснение роли различных цитокинов в клеточных регуляциях при иммунном ответе, изучение структуры и функций молекул иммуноглобулинов, и др. Кроме того, важным вкладом в изучение клеточных регуляций в иммунной системе является теория иммунной сети (Jerne, 1974).

В системе врожденного неспецифического иммунитета, активность факторов которого не зависит от предварительного контакта с антигеном, также выделяют гуморальные и клеточные компоненты. К гуморальным факторам относятся различные вещества, содержащиеся в крови и слизистых оболочках (лизоцим, лактоферрин, интерферон и др.), которые обеспечивают невосприимчивость организма к инфекциям. Неспецифический клеточный иммунитет образуют клетки, обладающие в отсутствие специфических антител способностью к фагоцитозу (тканевые макрофаги и их предшественники моноциты, а также нейтрофилы) и внеклеточному уничтожению инфекционных агентов (эозинофилы, NK-клетки).

Особое место в процессах противоинфекционой защиты организма занимают фагоциты. Будучи ключевым компонентом индуктивной и эффекторной фаз приобретенного иммунитета, они в то же время являются и основным фактором неспецифической защитной реакции. Участие фагоцитов в воспалении признается в настоящее время ведущим механизмом повреждения, восстановительных процессов и межклеточных взаимодействий (Маянский, Пикуза, 1993). Известно, что эффективность защитного действия фагоцитов может в некоторых случаях быть существенно повышена под влиянием антител (Ройт, 1991). Для многих инфекций фагоциты являются, по существу, единственными эффекторными клетками, уничтожающими частицы антигена. 5

Основным процессом, лежащим в основе инфекционной патологии, является воспаление. Несмотря на углубленную разработку различных аспектов воспалительной реакции, ее сущность и значение для организма до конца не раскрыты (Серов, Пауков, 1995). Одним из наиболее выраженных проявлений воспаления при бактериальной инфекции легких является резкое увеличение объема альвеолярной жидкости (альвеолярный отек). Обеспечивая увеличение скорости доставки защитных клеток и веществ из крови в легкие, альвеолярный отек вместе с тем приводит к нарушению основной функции легких - газообмена, а также другим изменениям, способным изменить кинетику фагоцитоза. Оценка влияния отека на развитие инфекции в ее разных стадиях требует количественного анализа.

Таким образом, понятие иммунитета, понимаемого как комплекс защитных реакций организма, не может быть сведено к понятию иммунного ответа как специфической реакции на антиген. Вместе с тем, особенностью существующих математических моделей инфекционных заболеваний является то, что они в основном подробно описывают лишь механизмы специфического иммунитета (см., напр.: Марчук, 1991). В связи с этим важной задачей является описание механизмов согласования основных иммунофизиологических процессов, что необходимо для более полного понимания условий нормального функционирования иммунной системы и механизмов развития патологии. В настоящей работе на примере одного из инфекционных патологических процессов в легких - очаговой стафилококковой пневмонии - построена математическая модель, описывающая взаимодействие фагоцитарного и иммунного ответов в процессе защиты организма с учетом влияния альвеолярного отека на развитие инфекции.

Современное состояние иммунологии характеризуется отсутствием (за исключением способов оценки гуморального иммунитета) стандартизованных методов оценки состояния и роли различных механизмов и процессов иммунной системы: фагоцитоза, системы комплемента, клеточного иммунитета и иммунорегуляции (Петров и др., 1994). В связи с этим важной задачей является необходимость усвоения значительного и постоянно растущего количества разнородных клинических и экспериментальных данных и представления их в компактном виде с целью выявления простых и информативных критериев состояния защитных систем, необходимых как для оценки резервов гомеостаза и прогноза развития инфекций, так и для исследования возможностей по управлению состоянием здоровья и течением конкретных заболеваний. Удобным средством решения перечисленных задач может явиться построение математических моделей с целью проведения сравнительного 6 количественного анализа участия и определения наиболее критичных (в том или ином отношении) компонент иммунитета в процессах противоинфекционной защиты.

Существенным препятствием при построении математических моделей в иммунологии часто является неполнота имеющихся клинических и экспериментальных данных. В этом случае может потребоваться разработка и применение новых методов уменьшения неопределенности в оценках параметров.

Одним из краеугольных представлений об общих принципах организации материи, определивших пути развития современного естествознания, явилось представление об оптимальности. Вариационные методы являются одним из важнейших способов исследования в различных областях науки и техники. Развитие идей оптимальности в биологии стало возможным благодаря эволюционной теории Ч. Дарвина, согласно которой основным фактором эволюции живых организмов наряду с наследственностью и изменчивостью является естественный отбор, в ходе которого отбираются такие признаки, которые обеспечивают наилучшую приспособленность.

Действие естественного отбора может проявляться на всех уровнях организации биологических систем, от субклеточного до межпопуляционного (см., напр: Чернавский, Сви-режев, 1978). Отмечают, что основные ограничения в использовании принципа оптимальности в биологии связаны как с трудностями количественного анализа изучаемых биологических явлений, так и с проблемой обоснованного выбора критерия оптимальности (Розен, 1969; Ханин и др., 1978). В связи с этим принцип оптимальной конструкции в биологии был впервые в явном виде сформулирован лишь в середине XX века (Rashevsky, 1960), т.е. примерно через 100 лет после создания теории естественного отбора.

Инфекционные заболевания представляют собой один из ведущих факторов естественного отбора, поскольку примерно в половине случаев являются причиной преждевременной смерти людей и, кроме того, вносят значительный вклад в величину временной потери трудоспособности (WHO, World Health Report, 1999; WHO Report on Infectious Diseases, 1999). Следовательно можно предположить, что значения параметров в математических моделях противоинфекционной защиты должны не только удовлетворять требованию соответствия решений клиническим и экспериментальным данным, но и соответствовать наиболее экономичным вариантам защиты. В качестве меры приспособленности организма к воздействию инфекционных микроорганизмов недавно было предложено использовать величину суммарных затрат энергии на осуществление процессов противоинфекционной защиты (Романюха, 1996). Обоснование и применение соответствующего критерия эффек7 тивности могут быть полезными не только для уточнения оценок параметров математических моделей иммунитета, но и для моделирования иммуно-эпидемических процессов, рассматриваемых в качестве одного из важнейших объектов исследований в популяцион-ной биологии и математической экологии на ближайшее десятилетие (Levin et al., 1997).

ЦЕЛИ РАБОТЫ: 1) анализ данных, характеризующих строение и функции противо-бактериальных защитных механизмов легких; 2) сравнительный количественный анализ участия фагоцитарных и иммунных защитных реакций и других иммунофизиологичес-ких процессов в противоинфекционной защите при пневмонии; исследование зависимости условий возникновения, скорости развития, длительности и тяжести болезни от параметров фагоцитарного и иммунного ответа; 3) количественный анализ взаимосвязей между различными характеристиками эпидемического процесса при бактериальных инфекциях и состоянием защитных систем организма; 4) изучение процессов противоинфекционной защиты организма с точки зрения принципов оптимальности.

В соответствии с указанными целями были поставлены следующие ЗАДАЧИ: 1) построение и исследование математической модели защитной иммунофизиологической реакции в легких при бактериальной пневмонии, описывающей взаимодействие двух подсистем иммунной защиты организма в ходе воспалительной реакции: неспецифического фагоцитарного ответа и специфического противобактериального гуморального иммунного ответа, с учетом влияния отека на динамику развития инфекции; 2) оценка параметров математической модели и построение обобщенной картины болезни на основе имеющихся экспериментальных и клинических данных; 3) идентификация параметров модели и анализ полученных решений; 4) исследование чувствительности модели к вариации параметров; 5) построение и сопоставление количественных оценок энергетической цены основных процессов противоинфекционной защиты; 6) исследование зависимости энергетически оптимальных значений параметров иммунной защиты организма от интенсивности внешней антигенной нагрузки и свойств микроорганизмов.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Для решения поставленных задач использованы качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), численные методы решения жестких систем ОДУ с запаздыванием, методы нелинейной оптимизации, методы теории химической кинетики.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Построена математическая модель, позволяющая провести количественный анализ роли реакций различных подсистем иммунитета в ходе противоинфекционной защиты. Впервые в рамках математической модели инфекционного заболева8 ния в явном виде введена переменная, характеризующая величину отека рассматриваемого участка повреждения и исследовано влияние этого процесса на динамику взаимодействия фагоцитарных клеток и патогена. В связи с этим впервые предложена параметризация констант скоростей фагоцитоза для учета влияния изменения вследствие отека структуры области, в которой происходят взаимодействия клеток, на динамику фагоцитоза на разных фазах бактериальной инфекции. Показано, что альвеолярный отек в ходе воспалительной реакции при бактериальной инфекции легких влияет на динамику инфекционного процесса не только в результате изменения концентрации фагоцитов и бактерий в легких (эффект разведения), но и вследствие изменения размерности пространства взаимодействующих факторов, что при некоторых условиях может приводить к увеличению констант скоростей фагоцитоза в фазе выраженного отека. В работе применен новый подход к оценке параметров иммунофизиологических процессов, который основывается на предположении о том, что решение модели должно не только приближать имеющиеся клинические и экспериментальные данные, но и соответствовать наиболее экономичным вариантам защиты. Использованный критерий эффективности является одним из наиболее общих вариантов применения эволюционной теории в отношении строения иммунной системы организма, а построенные на его основе оценки параметров для известной средней частоты заболеваемости пневмонией в популяции интерпретируются как соответствующие "норме здоровья" и сопоставлены с результатами идентификации параметров по данным наблюдений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Построенные математические модели и использованные методы их исследования могут быть применены: 1) для изучения влияния различных характеристик микроорганизмов (количество и распространенность во внешней среде, вирулентность и др.) и макроорганизмов (состояние иммунной защиты) на течение эпидемического процесса в целом; 2) при моделировании процессов адаптации иммунной системы, а также взаимной адаптации иммунной системы и патогенов в условиях изменения внешней среды.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты настоящей работы докладывались на научном семинаре Института вычислительной математики РАН (1999г.), на международных конференциях аспирантов и студентов "Ленинские горы-95" и "Ломоносов-96" (Москва, МГУ, 1995г., 1996г.), II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996г.), VI Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Новосибирск, 1996г.). По теме работы были приняты и опубликованы тезисы докладов на II, III и IV европейских конференциях по прикладной математике в облас9 ти теоретической биологии и медицины (Лион, Франция, 1993 г.; Гейдельберг, Германия, 1996 г.; Амстердам, Нидерланды, 1999г.), 5-й международной конференции по математической динамике популяций (Закопане, Польша, 1998г.), IX Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Москва, 1999г.). Список публикаций по теме диссертации включает 8 наименований и приведен в конце текста диссертации.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы; содержит 127 страниц машинописного текста, 15 рисунков, 15 таблиц. Список литературы включает 286 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Построена математическая модель защитной воспалительной реакции при бактериальной пневмонии. Процессы возникновения пневмонии рассматриваются как следствие нарушений функционирования резидентной защитной системы (системы альвеолярных макрофагов), а течение и исход болезни - как результат восстановления функции альвеолярных макрофагов и согласованных реакций системы фагоцитов и специфического иммунного ответа с учетом отека.

2. Исследованы зависимости условий возникновения, скорости развития, длительности и тяжести моделируемой болезни от величин параметров, что дало возможность выделить наиболее важные процессы, определяющие динамику инфекции.

3. Построены и сопоставлены количественные оценки энергетической цены основных процессов противоинфекционной защиты организма при пневмонии. Показано, что энергетическая цена пневмонии определяется главным образом величиной снижения приспособленности, вызванного общими нарушениями баланса притоков и расходов энергии, а также расходами энергии на иммунную защиту.

4. На основе энергетического критерия функционирования защитных систем организма удалось перейти от моделирования болезни к моделированию всей противоинфекционной защиты как при болезни, так и в ее отсутствие. С использованием указанного критерия оптимальности сформулирована задача оценки параметров иммунной защиты организма. Предполагается, что искомые значения параметров можно интерпретировать как адаптированную норму состояния защитных систем к заданной антигенной нагрузке. Предложены варианты применения рассмотренного метода к исследованию взаимосвязей между различными характеристиками инфекционного (на уровне отдельного организма) и эпидемического процессов.

5. Рассмотрен частный случай задачи адаптации, для которого исследованы зависимости типов оптимальных решений модели от интенсивности внешней антигенной нагрузки и вирулентности микроорганизмов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Rudnev S.G., Romanyukha A.A. Mathematical modelling of immune-inflammatory reaction in acute pneumonia //J. Biol. Systems. - 1995. - V. 3, No. 2. - P. 429-439.

2. Руднев С.Г., Романюха А.А. Математическое моделирование пневмонии. Анализ данных и идентификация параметров // Сборник резюме. VI Национальный конгресс по болезням органов дыхания. Новосибирск, 1996 / Пульмонология, 1996. - С. 250.

3. Руднев С.Г. Исследование математической модели защитной иммуно-фагоцитарной реакции человека при пневмонии. Численные эксперименты // Тезисы докладов. Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 96). Новосибирск, 1996. - С. 46.

4. Romanyukha A.A., Rudnev S.G. Energy cost of host defense against infection. Data analysis and simulation. Evolutionary approach // Book of abstracts. 3-rd ECMBM. Heidelberg, Germany, 1996.

5. Rudnev S.G., Romanyukha A.A. Mathematical modelling of immune-inflammatory reaction in lungs. Parametrization of the rate constants of bacterial phagocytosis // Book of abstracts. MPD-5. Zakopane, Poland, 1998.

6. Руднев С.Г., Романюха А.А. Математическое моделирование иммуновоспалитель-ной реакции в легких // Сборник резюме. IX Национальный конгресс по болезням органов дыхания. Москва, 1999 / Пульмонология, 1999. - С. 198.

7. Руднев С.Г., Романюха А.А. Математическое моделирование пневмонии. Анализ данных. Идентификация параметров // Матем. моделирование (предст. к публикации).

8. Романюха А.А., Руднев С.Г. О применении одного вариационного принципа в задачах исследования противоинфекционного иммунитета на примере математической модели пневмонии // Матем. моделирование (предст. к публикации).

В заключение выражаю признательность моему научному руководителю д.ф.-м.н. А. А. Романюхе за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Выражаю также свою благодарность д.ф.-м.н. Г.А.Бочарову, к.ф.-м.н. А.В.Карпову, к.ф.-м.н. А.Ю.Матвееву, к.ф.-м.н. И.А.Сидорову за предоставленное программное обеспечение и высказанные замечания, а также всем принявшим участие в критическом обсуждении работы и способствовавшим ее появлению.

1. А м о с о в А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительныеметоды для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

2. Андреева Е. А., Колмановский В. В., Ш а й х е т Л. Е. Управлениесистемами с последействием. М.: Наука, 1992. - 336 с.

3. Бабичев А. П., Бабушкина Н. А., Братковский А. М., Бродов

4. М. Е. и д р. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С.Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

5. Б а з ы к и н А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.:1. Наука, 1985. 184 с.

6. Балантер Б. И., X а н и н М. А., Чернавский Д. С. Введение вматематическое моделирование патологических процессов. М.: Медицина, 1980. -264 с.

7. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. - 632 с.

8. Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической инженерии. Т. I, II. М.: Мир,1989 (пер. с англ.).

9. Белоусов Ю. Б., Моисеев В. С., Лепахин В. К. Клиническаяфармакология и фармакотерапия. М.: Универсум, 1993. - 400 с.

10. Б е л ы х Л. Н. Анализ математических моделей в иммунологии. М.: Наука, 1988.192 с.

11. Беляновская Т. И., Красноступ Н. А. Показатели местного иммунитетау больных острой пневмонией // Врачебное дело. 1987. - N0. 6. - С. 45-47.

12. Б е р б е н ц о в а Э. П. Пособие по пульмонологии. Иммунология, клиника, диагностика и лечение воспалительных вирусных, бактериальных заболеваний верхних дыхательных путей, бронхов, легких. М.: Успехи физических наук, 1998. - 624 с.

13. Б о б к о в А. Г. Морфология дыхательной системы // Болезни органов дыхания. Т. I

14. Под ред. Н.В. Путова. М.: Медицина, 1989. - С. 9-32.

15. Б о й д У. Основы иммунологии. М.: Мир, 1969 (пер. с англ.). - 648 с.

16. Бородин Ю. И., Григорьев В. Н., Летягин А. Ю. и д р. Функциональнаяморфология иммунной системы. Новосибирск: Наука, 1987. - 240 с.

17. Б о ч а р о в Г. А. Математическое моделирование вирусных и бактериальныхинфекций: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. Москва, 1995. - 32 с.

18. Бочаров Г. А., Романюха А. А. Численное решение дифференциальныхуравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Алгоритм и программа. Препринт / ОВМ АН СССР. - М., 1986 а. - No. 117. - 40 с.

19. Б о ч а р о в Г. А., Романюха А. А. Численное решение дифференциальныхуравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Аппроксимация, сходимость и устойчивость. Препринт / ОВМ АН СССР. - М., 19866. - No. 116. - 52 с.

20. Булдаев А. С., Погожев И. Б. Оптимизация иммунного процесса покритерию минимума индекса тяжести заболевания. Препринт / ВЦ С О АН СССР. -Новосибирск, 1986. - No. 604. - 27 с.

21. Бухарин О. В., Литвин В.Ю. Патогенные бактерии в природных экосистемах.

22. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. 276 с.

23. В е й б е л ь Э. Р. Морфология легких человека. М.: Медицина, 1970 (пер. с англ.).176 с.

24. В л о д а в е ц В. В. Индикация бактериальных и вирусных аэрозолей и выживаемостьмикроорганизмов в воздушной среде: Автореф. дисс. . докт. мед. наук. Москва, 1967. - 23 с.

25. В л о д а в е ц В. В. Основы аэробиологии. М.: Медицина, 1972. - 152 с.

26. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука,1976 (пер. с фр.). 288 с.

27. В о р о б ь е в А. А., Медуницын Н. В. Клеточная теория иммунитета

28. И.И. Мечникова и концепция антиинфекционной резистентности // Журн. микро-биол. эпидемиол. иммунобиол. 1995. - No. 3. - С. 36-42.

29. Воронина Л. М. Неспецифический воспалительный процесс в легких. Морфологические изменения и микрофлора: Автореф. дисс. . канд. мед. наук. Москва, 1990. - 19 с.

30. Г аб а с ов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов.1. М.: Наука, 1971. 508 с.27,28.