автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач искажения магнитных полей статики и квазистатики электромагнетизма методом поверхностных интегральных уравнений теории потенциала

На правах рукописи

ЧЕГИС Инна Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ИСКАЖЕНИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ СТАТИКИ И КВАЗИСТАТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА МЕТОДОМ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете)

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Бакушинский Анатолий Борисович

д.ф.-м.н., профессор, Ильинский Анатолий Серафимович

д.ф.-м.н., профессор, Прилепко Алексей Иванович

Ведущая организация: Математический институт РАН им. ВА. Стеклова

заседании диссертационного совета Д 212.131.03 при Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) по адресу: 119454, Москва, проспект Вернадского, д. 78

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета)

Автореферат разослан «_» 2004г.

Зашита состоится «_»

2004 года в.

часов на

Ученый секретарь Диссертационного совета К.т.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время поверхностные интегральные уравнения составили фундамент современной теории акустического и электромагнитного рассеяния (дифракции), о чем убедительно свидетельствует монография D-Колтона и R.Kpecca "Методы интегральных уравнений в теории рассеяния" \

Классические результаты решения краевых задач для уравнения Лапласа, полученные сведением их к поверхностным интегральным уравнениям 2, 3 были перенесены сначала на случай скалярного уравнения Гельмгольца 4, 5, а затем на решение внутренних и внешних краевых задач для векторного уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла. Все это составило основу современной теории электромагнитного рассеяния. Подробная библиография по этой тематике имеется в \

В данной работе рассматривается другой важный класс задач прикладного электромагнетизма, задач, касающихся искажения внешнего магнитного поля Но(х,Ь) при помещении в него проводящего тела V» В этих задачах решающую роль играют условия сопряжения электромагнитных полей на границе раздела сред, а также предположения об асимптотическом поведении решений уравнений Максвелла на бесконечности. В отличие от хорошо известных краевых задан для уравнений Максвелла (см.,например, ') этот весьма широкий класс задач прикладного магнетизма естественно назвать задачами с условиями сопряжения для уравнений Максвелла.

В настоящее время задачи этого класса решаются методом конечных элементов как существенно 3-мерные и во всём пространстве. Совместное совершенствование компьютерных технологий, алгоритмов и методов программирования позволяет расширять круг задач, поддающихся такому численному решению и в результате компьютерные расчеты магнитных полей оформились в мощную ветвь компьютерной индустрии, объединяющей коллективы научных работников и инженеров по

1 Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Москва.: Мир, 198Г, ЗП

"Ляпунов Д.М. Sur certaines questions qui se rattachent aux problème de Dirichlet. Собрание сочинений, Москва, 1954, T. 1.

эГюнтер H.M. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1953, -116 с.

4Векуа И.Н. Метагармонические функции. //Труды Тбилисского Математического ин-га. 1943,12, с. 105-174.

'Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 280 с.

с.

ЮС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

всему миру. Многочисленные международные конференции по этой тематике такие, как COMPUMAG, CEFC, ISEM и многие другие, существующие десятки лет, свидетельствуют о большой практической значимости этих задач и о постоянных поисках новых решений (см., например, 6, 7, 8).

В нашей стране многоплановое изучение свойств решений уравнений Максвелла проводилось рядом крупных учёных школы академика А.Н.Тихонова (см., например,9, 10, и, 12, 13 и др., а также 14, 15 и др.).

В конце 80-х годов появился новый Т — метод для нахождения электрического векторного потенциала в области V через интегро- дифференциальное уравнение по области V и ее границе, т.е. была сделана попытка решить задачу распределения вихревых токов как внутреннюю задачу и это обстоятельство, как отмечают сами авторы, является главным преимуществом, предлагаемого ими метода, 1б.

Таким образом, актуальной проблемой в решении задач с условиями сопряжения на границе ограниченной области V, которые решаются в настоящее время, в основном, методом конечных элементов во всём пространстве, является получение алгоритмов сведения этих задач к задачам с краевыми условиями на границе области V, а такие задачи, как известно, сводятся к поверхностным интегральным уравнениям теории потенциала.

Постановки задач.

Введем обозначения. Пусть V область в R3 и V— дополнение к V,

•Roger D., Eastham J. A formulation for low frequency eddy current solutions. //IEEE Trans, on Magnetics. 1983,19, N56, pp. 2443-2448.

7Biddlecombe C, Heighway E., Simlrin J.f Trowbndge C. Method for eddy current computations in three dimentions. //IEEE Trans, on Magnetics. 1982, 18, №2, pp. 492-497.

"Biro O., Preis K. Finite element analysis of 3-d Eddy Currents. //IEEE Trans, on Magnetics, 1990. 26, №2, pp. 418-423.

*Ильинский А.С., Кравцов В В., Свешников А.Г. Математические модели электодинамики. М.:Высшая школа, 1991, 223 с.

10Тихонов А.Н., Ильинский А.С, Свешников А.Г. Математические модели излучаюших систем. //Сб. Вычисл.методы и программирирование.Изд-во МГУ, 1980, вып.32, с. 82-108.

11 Тихонов А,Н. К математическому обоснованию электромагнитного зондирования.// ЖВМ и МФ, 1Э65.Т.5, №3,с.545-547.

|2Прилепко А.И., Орловский Д.Г Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики 3 // Дифференциальные уравнения, 1987, т.23, №8, с.1343-1353.

13Худак ЮИ. О локальной структуре одного класса решений однородной системы уравнений Максвелла. // ДАН СССР, 1985, т.282, №1, с. 61-65.

14Дякин В.В., Раевский В.Я. К исследованию системы интегродифференциальных уравнений электродинамики с постоянными параметрами сред. // ЖВМ и МФ, 2001, т.41, №9, с.1416-1421.

15Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998, 160 с.

leMiya К., Ha&hizume H. Application ofT-method to A.C.Problem based on Boundary Element Method. //IEEE Trans, on Maenetics, 1988, 24, № 1, pp. 134-137.

V\ = R3 \ V. Относительно области V предполагаем, что она односвязна и ограничена, а поверхность S — dV принадлежит классу гладкости С2

17

Будем полагать, что магнитная проницаемость в области V постоянна и равна ц, что токами смещения по сравнению с токами проводимости можно пренебречь (см., например, 18 раздел "квазистационарное электромагнитное поле") и что электрические свойства области V можно характеризовать проводимостью а. В области Vj будем считать, что магнитная проницаемость также постоянна и равна

Система уравнений Максвелла для квазистационарного поля , в случае гармонической зависимости от времени (как ) электрических и магнитных полей, может быть записана в виде:

rotJ(x) = k2H(x), rot Н(х) = J(x), к2 = iufia, х 6 V; (1)

rot Ei(x) = klHi{x), rot H\(x) = 0, = ь x 6 Vi, где J(x) = стЕ(х), x € V,— вихревой ток.

На границе S раздела сред должны быть выполнены следующие вия сопряжения электрических и магнитных полей (см., например,

fi(n,H)s = jui(n,#i)s,

(2)

усло-5):

[п,Я]5 = [п,Я1]5,

(»,.7)5 = 0,

и #г(:с) —► 0 при |х| -+ оо.

Определение 1. Задачей А назовём решение системы (1), (2) условиях(3)-(5) и (6).

Определение 1*. Задачей А * назовём решение системы (1), (2) условиях(3)-(5) и ( 6*), где условие ( 6*) означает, что:

(3)

(4)

(5)

(6) при

при

Н\(х) -> Н0 = Canst ^ 0 при |х| оо, (6*)

В работах [1,3-6] задача А распределения вихревых токов решалась при дополнительном предположении, что магнитное поле в среде V и соответствующий вихревой ток связаны условием, отражающим закон Био-Савара:

17Эти ограничения на область V и ее границу 5 будут считаться выполненными далее всюду в данной работе.

"Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Электродинамика сплошных сред (теоретическая физика Т. 8). Москва.: Наука, 1982, 620 с.

где Фо(х, у) — 1/4ятху— фундаментальное решение уравнения Лапласа.

В монографии 18 имеются формулы точного решения задачи А* для шара и внешнего поля

Стоит отметить различие в интерпретации условий на бесконечности (6) и (6*). В первом случае источники, порождающие внешнее поле Ho(x)e~i"'t расположены в конечной части пространства К3, а во втором случае тело V помещается в неограниченный соленоид.

В режиме статики хорошо известной задачей искажения внешнего поля Hq(x) при внесении в него проводящего тела V, является задача нахождения размагничивающего поля Hj(x), х € R3\S, и тесно связанная с ней задача распределения намагниченности М(х), х Е V.

Определение 2. Задачей В назовем задачу нахождения размагничивающего поля Hd{x), гармонического в областях V , V[, непрерывного вплоть до границы , и такого, что для полей

Й(х) = Но(х) + Йа(х),х£У, (8)

Н^х) == Н0(х) + Hd{x), х е Vi, (9)

выполнено условие сопряжения (3) на границе раздела сред.

Определение 3. Задачей С назовем задачу нахождения распределения намагниченности М(х), х € V, такого поля, которое компенсирует в области V внешнее поле Hq(x) с помощью оператора электромагнитостатики:

Целью настоящей работы является изучение свойств решений задач А, В, С, выявление связей этих задач с известными краевыми задачами для уравнений Максвелла и гармонических функций и получение на этом пути поверхностных интегральных уравнений для их решения.

Научная новизна заключается в следующем:

1) предложен новый метод решения задач А, В, С, который сводит их к решению поверхностных интегральных уравнений теории потенциала;

2) в рамках нового метода неизвестное электромагнитное поле не отыскивается во всем 3-х мерном пространстве, а находится плотность потенциала поля на замкнутой ограниченной поверхности с помощью решения двумерного интегрального уравнения. При таком подходе, во-первых, размерность носителей информации понижается на единицу и, во-вторых, исчезает бесконечная протяженность этих носителей. Оба указанных обстоятельства самым существенным образом позволяют упростить алгоритмы численного решения всех трех сформулированных выше задач А, В, С ;

3) для обоснования предложенного метода решения задачи. А доказана теорема (теорема 2.3.1) [5,6] о расщеплении уравнения (1) на уравнения, действующие в двух ортогональных подпространствах Вейля 19, 20'. Теорема 2.3.1 позволила с одной стороны свести задачу А к краевой задаче для системы уравнений Максвелла и с другой стороны способствовала выяснению механизма действия условий сопряжения (3), (4);

4) доказаны теоремы (теоремы 3.2.1 и 3.3.1), указывающие точные условия существования и единственности решения системы уравнений Максвелла для задачи А в пространстве функций определенной гладкости [1|;

5) построен алгоритм численного решения задач В, С, основанный на решении внутренней задачи Неймана с помощью потенциала простого слоя [2]. Для отыскания плотности потенциала простого слоя предложен алгоритм, опирающийся на теорему об однозначной разрешимости пары уравнений Фредгольма второго рода в гильбертовом пространстве £2(6), 5 = дУ, в случае, когда число Рисса задачи равно единице (теорема 5.2.1) [26];

6) Обоснование алгоритма решения задачи в случае произвольной геометрии области V потребовло введения нового понятия сопряжения гармонических полей (см. (24)) на границе раздела сред и доказательства теоремы 1.6.1 об общих спектральных свойствах трех известных интегральных операторов: оператора электромагнитостатики

интегральных операторов граничных задач Неймана

19 Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала. Избр. тр. (Матем. и теор. физ.). Москва.: Наука, 1984,510 с

мБыховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функции квад-ратичносуммируемых по данной области и операторах векторного анализа. //Тр. МИЛН СССР. М, 1960, Т. 59, с. 5-36.

(И)

V

= 2 J g{y)-l-ba{x,y)dSu, xes, (12)

и Максвелла при к = О

(Л/0с)(:г) = 2 J[n(x), rot х(с(у)Фо(х, у))] dSy, x£S (13)

[3] (см. такжестр. 72 и 74).

Теорема 1.6.1 содержит в себе в качестве частного случая известный ранее результат об общих спектральных свойствах операторов (11) и (12), полученный в работе21.

Достоверность и обоснованность результатов исследований подтверждаются:

1) надежностью применяемого в работе и апробированного ранее, в работах других авторов, математического аппарата (ортогонального разложения Вейля, спектральных свойств операторов граничных задач, классических теорем о предельных значениях потенциалов, различных свойств интегральных уравнений и др.),

21

2) результатами, полученными другими авторами , которые следуют как частный случай из теоремы 1.6.1,

3) результатами применения построенных численных алгоритмов для расчета плотности магнитного заряда (нормальной компоненты намаг-

ниченнсти), которые согласуются с известными экспериментальными

22

данными ,

4) результатами теоретического и экспериметального характера других авторов по расчетам размагничивающих факторов эллипсоидов23. Эти результаты являются частными случаями применеия предложенного в диссертации алгоритма решения задачи С для эллипсоида и поля направленного вдоль одной из осей симметрии этого эллипсоида.

Практическая значимость. Представленная работа, имея теоретический характер, посвящена математическому моделированию электромагнитных полей и обоснованию алгоритмов решения практически

21Дякин В.В., Раевский В.Я. Исследование одного уравнения электрофизики. //ЖВМ и МФ. 1990, 30, №2, с. 291-297.

22Кринчик Г.С., Чепурова Е.Е., Ш а матов У.Н., Раев В.К., Андреев А.К. Исследование распределения намагниченности в малых ферромагнитных элементах.//ФТТ, 1976, 18, № 12, с. 3581-3584. "Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976, 200 с.

важных задач А, В, С.

Изучению различных аспектов решения задач А, В, С отводится видное место на всех международных конференциях по компьютерным расчетам магнитных полей COMPUMAG, CEFC, ISEM и др.. В настоящее время задачи А,В решаются, в основном, методом конечных элементов как существенно 3-х мерные задачи во всем пространстве. Предлагаемые автором алгоритмы открывают иные возможности для математического и численного моделирования устройств, содержащих проводящие элементы, которые влияют на внешнее магнитное поле или специально его преобразуют. К таким устройствам относятся, например, магнитные линзы, всевозможные датчики, в частности датчики, обнаруживающие скрытые дефекты и т.д..

Задача С является типичным примером некорректно поставленной задачи. Известно, что приближенное решение таких задач выделилось в самостоятельную ветвь вычислительной математики после основополагающих результатов А.Н. Тихонова, В.К.Иванова, М.М. Лаврентьева. Существенное развитие методы решения некорректных задач получили в работах А.Б. Бакушинского, А. С. Ильинского, А.И. Прилепко, А.Г. Свешникова, А.Г. Яголы, и др. авторов. Задача С могла бы решаться одним из методов, разработанных в этой области вычислительной математики, однако, специфика оператора (11), использование спектральных свойств этого оператора на подпространствах Вейля позволили свести решение задачи С к решению такого же интегрального уравнения (см. (17), (18)), как и в случае задачи В и использовать, следовательно, тот же численный алгоритм.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Об общих спектральных свойствах оператора электромагнитостатики (11) и интегральных операторов граничных задаче Неймана (12) и Максвелла ( к = 0) (13) (Теорема 1.6.1).

2. О расщеплении системы уравнений Максвелла (1) для задачи А распределения вихревого тока J(x,t), принадлежащего гёльдерову пространству векторных полей

1{х) е C\V) Л C°-a(V) u rot J{x), div J(x) € C°-a(V), (14)

на уравнения, действующие в подпространствах Вейля 20 , и о представлении граничных значений ротора вихревого тока через плотности гармонических потенциалов простого и двойного слоя (Теорема 2.3.1).

3. О представлении решения системы интегральных уравнений с

гиперсингулярным ядром для плотностей гармонических потенциалов простого и двойного слоя (Теорема 2.5.1).

4. О точных формулах для граничных значений ротора вихревого тока через известный гармонический потенциал внешнего поля (Теорема 2.6.1).

5. Об интегральном представлении тока /(х) в области V через векторный потенциал вида

(15)

где у) — фундаментальное решение векторного уравнения Гельм-гольца

и а(х) — касательное векторное поле на 5 = дУ, являющееся решением интегрального уравнения внешней краевой задачи для уравнений Максвелла:

а{х) + 21[п(х),гс&га{у)Фк(х,у№Зу = 2с{х), х е 5, (16)

где с(х) известное касательное поле на 5 (Теорема 3.1.1). Отметим, что уравнение внутренней краевой задачи для уравнений Максвелла имеет вид:

а{х)-21[п{х),го1ха{у)Фк{х,у)}<13у =-2с(х), х € 5, (16*)

6. О существовании и единственности решения задачи А в гельде-ровом пространстве вектор-функций (14).

7. О представлении размагничивающего поля х е В? \ 5, (задача В) в виде градиента гармонического потенциала простого слоя с плотностью удовлетворяющей интегральному уравнению

¥>(х) + (ВД(х) = 2Э(х), д(х) = 1/47г(Яо(х),п(х)), х е 5 (17)

где оператор определен в (12), а ортогональна единице на

поверхности 5 (теорема 4.2.1).

8. О представлении поля намагниченности Л/(х) (задача С) в области К в виде градиента потенциала простого слоя с плотностью tpi(ж), удовлетворяющей интегральному уравнению

где ортогональна единице на поверхности S и свободный член

уравнения (18) является решением уравнения (17) (Теорема 4.3.1).

9. Алгоритм численного решения уравнения (17) в подпространстве функций ортогональных единице на поверхности 5 (теорема 5.3.1).

Апробация и публикации. По тематике данной работы было сделано в общей сложности более 50 докладов.

Результаты диссертации регулярно докладывались на семинаре по вычислительным методам математической физики под руководством проф. А.Г. Свешникова, проф. А.С. Ильинского (физический факультет МГУ);

ряд докладов был сделан на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. В.П. Михайлова и др. (Математический институт РАН им. В.А.Стеклова),

на семинаре под руководством проф. А.И. Прилепко (механико- математический факультет МГУ),

на семинаре под руководством акад. РАН, проф. В.А. Ильина, чл.-корр. РАН, проф. А.В. Бицадзе, акад.РАН, проф. Е.И. Моисеева, проф. А.А.Дезина (ВМК МГУ) (мой последний доклад на этом семинаре был сделан в марте 2003 года),

на семинаре под руководством проф.А.Б.Бакушинского, проф.А.В.Тихо-нравова, проф. А.Г. Яголы (Научно-исследовательский Вычислительный Центр МГУ) и др., а также на международных конференциях:

на VII Международной конференции COMPUMAG по компьютерным расчетам электромагнитных полей (Токио, Япония, 1989 г.),

на III Международном TEAM Workshop (Сорренто, Италия, 1991 г.), on I Japan-CIS Joint Seminar on Electromagnetomechanics in Structures (Токио, Япония, 1992 г.),

на IV Международном симпозиуме ISEM по нелинейным явлениям в электромагнитных полях (Нагойя, Япония, 1992 г.),

on X International Symposium on Theoretical Electrical Engineering (Magdeburg, Germany, 1999),

на Международной конференции посвященной, 100-летию со дня рождения акад. М.А Лаврентьева (Киев, 2000г.),

on International Petrovskii Centenery Conference (Moscow, 2001), First SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our Changing World" (Berlin, Germany, 2001),

на V International Congress on Mathematicical Modeling VTCMM (Dubna, Russia, 2002),

on 3 Japanese-Mediterranean Workshop on Applied Electromagnetic Engineering ... (Athens, Greece, 2003) и др..

Результаты диссертационной работы докладывались регулярно, начиная с 1982 г., на конференциях, проводимых в рамках Воронежских зимних (весенних) математических школ, организованных проф. С.Г. Крейном и проводимых в настоящее время проф. Ю.В. Покорным.

Основное содержание диссертации изложено в 30 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Роль соавторов заключалась в разработке программ для компьютерных расчетов, получении численных результатов, а также в постановке и проведении экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 86 наименований. Полный объем диссертации 174 страницы.

Содержание работы.

Глава 1 содержит изложение ряда результатов, положенных в основу решения задач, сформулированных выше.

В пункте 1.1 изложена теорема Вейля о разложении гильбертова пространства L-i{V), вектор-функций интегрируемых с квадратом по области V С R3, в ортогональную сумму трех подпространств19,20:

c2{v)=u(v)(BO(v)®g(v),

U(V) — подпространство градиентов гармонических в области V функций, М[х) 6 U(V), если

М(х) = Vu{x), и(х) е Hl(V), Аи{х) =0, х 6 V; (19) 0(V) — подпространство соленоидалъных полей, М(х) 6 0(V), если

div М{ х) =0,i6^u (М{ х), п{х)) = 0, i65 = 8V, ' (19*) G(V) — подпространство безвихревых полей, М(х) € 9{V), если:

М{х) = Чч{х), и(х) е Hl{V), (19*;)

и Н^{У) — соболевское пространство обобщенных функций IV^fV).

В пункте 1.2 сформулирована теорема о спектральных свойствах оператора (11) на подпространствах Вейля (19—19**). Для этого оператора в 24,25было доказано, что KerL = C?(V), G(V) — собственное подпространство оператора (11), отвечающее собственному значению 1, а подпространство U(V) инвариантно относительно оператора (11).

В пункте 1.3 этой главы приведено известное для гладких вектор-функцийЛ'/(а;) G С1 (К) С\С{У)тождествоГелъмгольца:

Это тождество для вектор-функций из пространства порождает

тождество, связывающее оператор (11), действующий из Сг{У) в £г(У)| с оператором Ь{М) вида:

L(M) = lr0tl[M(y),Vy±-

dVy,

(20)

действующим также из Сч(У) в Сг{У)- Тождество Гельмгольца, написанное выше для гладких функций, может быть переписано в виде:

для элементов пространства- Ci{V) (см.,например, 26) Тождество (21) многократно используется в данной работе. В частности, в пункте 1.4 оно используется для доказательства следующего утверждения об интегральном представлении элементов из подпространства Вейля U(V).

Утверждение1.4.1Пусть Vtx(x)— элемент подпространства Вейля U{V) (19) и Vu(x) 6 Я1(У), тогда имеет место интегральное представление:

24 Friedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation .III. //SUM J.Math.Analys 1981, 12, №4, pp. 536- 540.

25Дякин В.В., Лебедев Ю.Г., Раевский В.Я. Исследование магнитостатической модели в теории ЦМД. //Физ.металлов и металловедение, 1983,56,№2, с. 246-248.

2eFYiedman M.J. .Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation!. //SIAM J.Appl.Math. 1980, 39, № 1, pp. 14-20.

где

Утверждение 1.4.1, точнее его следствие, является исходным в доказательстве основной теоремы этой главы, теоремы 1.6.1, об общих спектральных свойствах оператора (11) и операторов граничных задач Неймана (12) и Максвелла ( к =0) (13) на подпространстве Щ(У) (19) [3].

Отметим, что утверждение 1.4.1 является известным для гладких вектор-функций (', стр. 172).

Теорема 1.6.1 возникла при попытке обобщения решения задачи А* (см. стр.4) для шара 18, на произвольную геометрию области V. При этом возникла необходимость исследовать вопрос о существовании и свойствах пар гармонических полей в областях V и VI, связанных условиями сопряжения на границе 5.

Определение 4. Пара гармонических полей Уи(х) € С1(У) П С°,а{У) (см. 17) и Т7т(х) е СП С(у1) (У«1(а;) -)• 0 , |х| оо) связана условиями сопряжения на границе 5 ограниченной односвязной области если при некотором имеют место

равенства:

Теорема 1.6.1 формулирует необходимое условие существования таких полей.

Теорема 1.6.1. Пусть для гармонического поля У«(х) 6 С^У) (~1 С°'а(У), (см. ") существует, связанное с ним условиями сопряжения (24), гармоническое поле Уи^х) € С1^) П С(У1), убывающее на бесконечности.

Тогда

а) является собственной функцией операторов Ь (22) и опе-

ратора £ (23),

Ь(V«) = 1/2(1 + /г)Уи(ж), Ь(Уи) = 1/2(1 - ц)Чи(х), х € V,

б) граничные значения поля V_u(a;))

д(х) = (п, У_и(х)) и с{х) = [п, У_«(х)], х е 5, (25) являются собственными функциями операторов К'0 (12) и А/о (13).

К {я) = цд(х), Мо(с) = /*с(®), I е 5, (26)

в) общее значение р. в (26) связанно с параметром а в (24) равенством

1+а

р. =

а — 1'

(27)

при этом а определяется элементом Чи(х), х 6 V, следующим обра-

зом

а = —

/ V2S(x) dVx v_

fV2u(x)dVx' И

где

Vu(x) = I(Vw) = V J(n, У-и)уФ0(х,у) dSy, x б Д3 \ 5.

5

Утверждение а), таким образом, формулирует необходимое условие на элемент Vu(x) € W(V) (19), при котором существует гармоническое поле Vui(x),x е Vj, связанное с Vu(a;) условиями сопряжения (24), утв. б) формулирует общие спектральные свойства трех операторов (11), (12), (13), а утв. в) существенно в решении задачи А", т.к. дает возможность знать точную константу в соотношении между нормальной и касательной составляющей поля Hi{x) = Hq{x) +0Vui(x), х G Vi, при подстановке его в условия сопряжения (3),(4).

Для шара Va и Но = const, поле Vui(x) может быть записано (см. 18, стр. 287) в виде:

V«i(ar) = jV (н0, V^ , )х\> а, г = (х] + х\ + х23)1/2 или

13

= Н0)-Нй), х 6 V, = {|х| > а}, п(х) = г(х)/г,

откуда следует, что на поверхности шара Уа, при а = 1, имеем:

(п, У+«,(х)) = (п, Но), [п, У+«1(х)] = -1/2[п, Я0].

и что в условии сопряжения (24) а = —1/2.

Теорема о существовании бесконечной последовательности пар гармонических полей, связанных условиями (24), теорема 1.8.1, доказывается как следствие известной теоремы (см.21, стр. 293) о том, что оператор электромагнитостатики (11) на подпространстве Вейля (19) является сдвигом компактного самосопряженного оператора и леммы 1.7.1 о гладкости собственных функций этого оператора.

Лемма 1.7.1 На поверхности S, границе области V, (см.17) собственные функции оператора (12), при собственных значениях Ик Ф 0, принадлежат пространству Гельдера С°'°(5), а собственные функции VгtJfc(г)J0 оператора L (11) на подпространстве ЩУ) (19) для собственных значений А* ф 1/2 представимы потенциалами двойного слоя

с плотностями фь(х) 6 С1,а(5).

Теорема 1.8.1.27 областях V и Уу существуетбесконечноемножес-тво пар гармонических полей Ум*(х) 6 СХ(У) П С0,а(У') и Vи*(х) 6 С1 (VI) ПОД), к = 1,2,..., связанных условиями сопряжения (24).

В главах 2 и 3 излагаются основные результаты автора, относящиеся к решению задачи А (см. стр. 4) распределения вихревых токов. Доказан ряд теорем, опирающихся на теорему 2.3.1 о расщеплении системы (1) на два уравнения, действующих в ортогональных подпространствах Вейля в 0{У) (19*) и и(У) (19). Этот результат, как уже было отмечено выше, лежит в основе предлагаемого алгоритма для решения задачи А.

Определение 5. Решение задачи А (см.Опр.1, стр.4) ./(х), назовем вихревым током, если У{х) € 'Т2.0,а(У)(14) и магнитное поле Н(х) в системе (1) связано с соответствующим током условием (7) (закон Био-Савара).

Теорема 2.ЪЛ. Пусть ¿7о(х)— известный гармонический потенциал поля Щ{х). Если в области V существует вихревой ток У{х), то на поверхности S существуют две скалярные функции ^(х) € С°'а(5)

и Ф(х) € С1,а(5), являющиеся плотностями гармонических потенциалов простого слоя и(х) и двойного слоя у(х) соответственно, которые определяют значения ротора вихревого тока на поверхности 5

и выделяют гармонические составляющие в первом уравнении системы (1), расщепляя это уравнение на два уравнения, действующих в подпространствах Вейля Щ(У) (19) и О(у) (19*):

Vu(x) - Vv(x) = k2VU0(x), х б V

(29)

(30)

Д J(x) + k2J(x) = 0, к2 = uj/mt, х 6 V

Теорема 2.3.1. была сформулирована в [5] и доказана в [6]. Заметим, что при подстановке (7) во второе уравнение системы (1) получаем

равество, означающее, что вихревой ток является собственным элементом оператора (20). При подстановке (7) в первое уравнение системы (1), получаем, что

Если взять ротор от обеих частей равенства (31), то получим уравнение (30). Это уравнение можно рассматривать как проекцию первого уравнения системы (1) на подпространство Вейля О(У).

Выделение гармонической составляющей в уравнении (31) производится следующим образом. Сначала потенциал простого слоя и(х) с плотностью (х) определяем как решение внутренней задачи Неймана в области У так, что на поверхности 5 выполнено условие

затем определим новое векторное поле в области У, полагая

Это поле, как и J[x)„ принадлежит подпространству Вейля O(V) (19*) и для него справедлива следующая лемма.

Лемма 2.3.1. Для касательного на поверхности S векторного поля х(аг) (32) существует скалярная функция ф(х) (Е Cl-"(S) такая, что

Функция i>(x), как доказывается, является при этом плотностью потенциала двойного слоя в (29).

Уравнение (29) используется для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2.4.1. Плотности потенциала простого слоя и(х), функция tp е С°,0(5), и двойного слоя v[x), функция ф(х) 6 C1,a(s), связанные уравнением (29) в области V, удовлетворяют следующей системе интегральных уравнений на поверхности S

2= ((/ + К'й)<р - ТЩх). (33)

Система интегральных уравнений (33) была получена в [5, 6] и записана как система с гиперсингулярным интегральным членом (см. [6], стр. 1052), порожденным неограниченным оператором (Tip) . Было доказано, что (Tip)(x) может быть представлено в виде (см.[6], стр. 1053, (5.10))

С таким интегральным оператором возникает интегральное уравнение, когда решение задачи Неймана находят в виде потенциала двойного

27

слоя .

Решение системы (33), которое строится в пункте 2.5, основано на явном виде оператора Т~1.

Оператор Т-1 определен на пространстве гармонических функций в области V, таких что G С°'а(5). Оператор Т~х отображает C°,a(S)

в и имеет представление

27Ковалев Б.Д., Лифанов И.К., Михайлов А.А. и др. Численный метод расчета летательного аппарата с телесным фюзеляжем.// ЖВМ и МФ., 1989,29, J6 4. с. 589-597.

(см.1, стр. 101,102), где операторы 5— оператор простого слоя, а К^ был определен в (12).

Система интегральных уравнений для плотностей потенциалов (33) имеет ядро, включающее любую гармоническую в области У функцию и(х), которую можно представить двояко как потенциалом простого слоя и(х) с плотностью (р{х), так и потенциалом двойного слоя ь(х) с плотностью ф{х). Такая функция Щх) порождает пару функций (^(х), ф{х)), которые являются решением однородной системы (33).

Лемма о функциях, допускающих двоякое представление, предшествует основной теореме пункта 2.5.

Лемма 2.5.1. Пусть гармоническая функция 1/(х), х£У, удовлетворяет условию

Тогда она допускает в области У двоякое представление потенциалом простого слоя и{х) с плотностью ф(х) и потенциалом двойного слояь[х) с плотностью ф(х) и(х) — и(х) = Цх), х £ V,при этом

Из леммы 2.5.1 и представления оператора Т~1 (34) следует теорема о множестве решений системы (33).

Теорема 2.5.1 Плотности потенциалов <р(х) и ф(х), решения системы (33) (и уравнения (29)) при краевом условии (32), определяются однозначно функцией д{х) = (гсЛ1,п) 6 С°,а(5) и функцией к211о(х) следующим образом:

где <рд(х), фа{х), фо--соответствующие плотности потенциалов

простого и двойного слоя для гармонических функций ыр(х) с условием (32) и к2ио(х), удовлетворяющих лемме 2.5.1. Основной теоремой данной главы является теорема 2.6.1 о точных формулах для граничных значений ротора вихревого тока.

Теорема 2.6.1. Пусть в области У выполнены все условия теоремы 2.3.1, и известно, что в среде Ц = Д3 \ V электрическая проводимость о\ = 0, магнитные проницаемости средУ и VI различны, -ф- [л, и магнитное поле Н\(х) в среде У\, удовлетворяющее условиям излучения на

бесконечности, связано с магнитным полем Н(х), X € V, (7), условиями сопряжения (3),(4)-

Тогда предельные значения rot J(x) на поверхности S определяются функцией Uq(x) из (29) и магнитными проницаемостями сред V и Vi следующим образом:

[rot J, n] = (Л - l)[Gradipo, n], A = (38)

Hi - M

где <£>о(я) и ipo{x) являются плотностями потенциалов простого слоя щ(х) и двойного слоя г>о(аО и таких, что

Утверждение теоремы (38) делает известной в данной задаче касательную компоненту магнитного поля на поверхности S. В краевой задаче (внутренней и внешней) для уравнений Максвелла известным касательным полем с[х), входящим в уравнения (16), (16*), является касательная компонента электрического поля

Поскольку электрическое поле Ё(х) и магнитное поле Н(х) входят "симметричным" образом в систему уравнений Максвелла, то ясно, что для решения задачи распределения вихревого тока могут быть использованы те же интегральные уравнения (16), (16*) для плотности векторного потенциала, что и в известной краевой задаче для уравнений Максвелла .

В заключительном пункте 2.7 делается проверка формул (38) на основе формул Стреттона-Чу, записанных для гармонического поля Hi(x), . Получено, что на поверхности 5 предельные значения изнутри двух градиентов, градиента потенциала простого слоя щ(х) с плотностью и градиента потенциала двойного слоя с плотностью вычисляемым по формулам (38), совпадают.

В этом же пункте доказана лемма проверочного характера.

Лемма 2.7.1.Пусть нормальная и касательная компоненты rotJ(x) на S вычисляются по формулам (38), тогда магнитное поле Н(х) имеет в области V представление (7).

Теорема 2.6.1, содержащая точные формулы для граничных значений ротора вихревого тока, является ключевой для дальнейшего исследования задачи распределения вихревого тока, для вывода интегрального представления, для доказательства теорем существования и единственности. Эта теорема позволяет изучать задачу А как новую краевую задачу с краевым условием (38), накладываемым на касательные компоненты магнитного поля, вместо хорошо известного краевого условия, накладываемого на касательные компоненты электрического поля во внутренней (внешней) краевой задаче для уравнений Максвелла.

Этот факт позволяет использовать богатый теоретический материал, накопленный в теории электромагнитного рассеяния, для доказательства теорем, упомянутых выше.

В главе 3 доказаны основные теоремы, касающиеся решения задачи А. Доказаны две теоремы об интегральных представлениях вихревого тока (теорема 3.1.1 и теорема 3.4.1), а также теоремы существования и единственности.

Теорема 3.1.1. Если вихревой ток J(x) <Е Т1(У), то для него справедливо следующее представление

Т(х\ _ / rotAx(x) + А2(х), х € V; V ' \0, xGVl

(39)

где с?2 — плотность векторного потенциала ¿4г(ж) вычисляется по формуле (38), а плотность потенциала А\{х) является решением интегрального уравнения (16) со свободным членом 2с(х), где

с(х) = [Л2(х),п(х)].

(40)

Теорема 3.2.1 (существования). Пусть II,о(х) —известныйгармо-нический потенциал поля .Но{х) в области V (см. 17), плотность -АгО^) в (39) находится по формуле

аг(х) = (А — \){Grad^o(x),n(x)], х € S, щ ф ¡х, А =

А»1

Mi -/»

где функция "фо[х) определена в теореме 2.6.1, а плотность а>(х) является решением интегрального уравнения (16) со свободным членом, вычисляемым по формуле (40).

При выполнении этих условий вектор-функция rot j4j(x) + Аъ(х), х £ V, (39) является функцией класса гладкости (Ц), удовлетворяет сис-

теме (1), условиям (3)-(6), т.е. является искомым вихревым током (см. опр. 5).

Прежде, чем сформулировать теорему единственности напомним, что формулы (38) выведены в предположении, что магнитные проницаемости в среде У и Уу различны ц\ ф д. Параметр А, входящий в формулы (38) зависит от отношения магнитных проницаемостей. Обозначим

Очевидно, что

Удобно снабдить дополнительным индексом и векторные потенциалы Л,>(х), их плотности а,,„(х), ¿ = 1,2и вихревой ток 1„{х), если известно, что отношение магнитных проницаемостей сред равно

Ясно, что А(оо) = 0 и в силу (38) имеем

^2,00 (а?) = -\Сгав.'фо{х),п{х)\

и

Плотность векторного потенциала связана с интег-

ральным уравнением (16), свободный член в котором, функция с(х), находится по формуле (40). В силу этого из (41) следует, что

Из представления (39) вихревого тока 1„{х) и формул (41), (42) следует, что

Теорема единственности может быть теперь сформулирована следующим образом.

Теорема 3.3.1. Если выполнены все условия теоремы 2.6.1, то вихревой ток 1„{х) единственный и вычисляется по формуле (43).

Второе интегральное представление для вихревого тока даётся следующей теоремой.

Теорема 3.4.1. Вихревой ток в области V может быть представлен по формуле

в виде суммы векторного потенциала Л(х) с плотностью а(х), которая является решением интегрального уравнения (16) внутренней краевой задачи для уравнений Максвелла со свободным членом с^х) = (1 /к2)с{х), где с{х) вычисляется по формуле (38), и градиента потенциала простого слоя с плотностью Пгиа{х) 6 С°'а(5), котораяяв-ляется решением интегрального уравнения внутренней задачи Неймана для скалярного уравнения Гелъмгольца (спараметром к2 = шцсг, 1т к >

((/ + К')(Шуа{х))) (х) = -2к2(А{х),п), х € 5, к2 = ш^а, 1т к > О,

Четыре теоремы, доказанные в этой главе, органически вплетаются в ткань классической теории электромагнитного рассеяния; как это следует из многочисленных ссылок на теоремы из монографии1 и из самой структуры доказательства этих теорем.

Результаты этой главы дополняют теорию электромагнитного рассеяния еще одной практически важной задачей электромагнетизма, задачей А, с условиями сопряжения.

Все теоремы этой главы являются следствиями точных формул, содержащихся в теореме 2.6.1, для граничных значений ротора вихревого тока.

Интегральное представление (39) вихревого тока подобно представлению гармонической функции формулой Грина (вне области У оба представления тождественно равны нулю). Такое представление удобно для исследования свойств вихревого тока. На основе представления (39) доказаны теорема существования вихревого тока в пространстве гладкости И0'а(У) (теорема 3.2.1) и теорема единственности (теорема 3.3.1).

Для численного решения задачи А более удобным, по-видимому, является второе интегральное представление (44). Оно требует выполнения следующих вычислительных процедур: а) решения уравнения со свободным членом б) решения интегрального уравнения для

плотности потенциала простого слоя в представлении решения внутренней задачи Неймана скалярного уравнения Гельмгольца.

В главе 4 рассматриваются задачи магнитостатики, задачи В,С, задача нахождения размагничивающего поля Н,[(х), х 6 Я3 \ 5 и задача распределения намагниченности М(х),х (= V (см.опр. 2,3 стр.4). Доказано, что обе эти задачи могут быть сведены к решению поверхностного интегрального уравнения для плотности гармонического потенциала простого слоя в решении внутренней задачи Неймана (17),(18)(теоремы 4.2.1 и 4.3.1) [7],[11].

Теорема 4.2.1. Пусть граница области V С R3 является поверхностью Ляпунов а S S С1,а, а > 0 и выполнены следующие условия: 1) внешнее магнитное поле Но(х) является гармоническим в области V и непрерывным в V, Hq(x) 6 U(V) C\C(V).

2) существует непрерывное в V решение системы (10), поле М(х) <Е

с{П

Тогда имеют место следующие утверждения:

a) поле М(х) является гармоническим полем в области V,

М(х) ег/(К)ПС(У); (45)

b) потенциал поля

w(x) = Аж j{М, УуФ0(х,у)) dVy,

представим потенциалом простого слоя и(х) с плотностью <р(х)

w{x) = J ц}(х)~— = 4тг У </з(х)Фо(х, у) dSy = 4-7ru(x), (46)

c) плотность потенциала простого слоя <р(х) в (46) допускает двоякое представление. Она является нормальной компонентой намагниченности

и решением уравнения (17).

Теорема 4.3.1. Пусть выполнены все предпосылки теоремы 4.2.1. Тогда существует гармонический потенциал простого слоя щ(х) с плотностью такой, что для любой точки области V

и плотность ^(х) является решением интегрального уравнения (18). Уравнение (17), выведенное из условия компенсации (10) внешнего и размагничивающего поля в образце, может быть получено, как предельный случай при ц —У оо, из уравнения для плотности потенциала простого слоя, решающего задачу сопряжения полей (8),(9):

/д 1 _

<Р^дтГ~ а:5у = п)(х), хеБ,

(48)

где ц\ — магнитная проницаемость внешней среды VI (см., например, 28). Новым в утверждениях теорем 4.2.1, 4.3.1 является установление аналитической связи между полями #о(х) и М(х), х € V, которая в интегральной форме отражена в системе (10), но дополнена тем, что решение уравнения (48) при больших ц представляет нормальную компоненту распределения намагниченности (47). Именно это равенство позволяет найти следующим шагом распределение намагниченности М{х) внутри области V в результате повторного решения уравнения типа (17), а более точно уравнения (18), при условии,.что дх{х) - >р(х) = (М,п), х& 5.

В заключительном пункте главы 4 обсуждается соответствие известных экспериментальных данных о распределении намагниченности в ферромагнитном образце, отраженных в таких понятиях как кривая намагничивания (см. 29 Т.З, стр.242), размагничивающий фактор (см.29 Т.4,стр.242 ), с теми результатами, которые можно извлечь из решения задач В, С на основе уравнений (17), (18).

Известно, что ферромагнитным материалам свойственна высокая магнитная проницаемость высокая магнитная восприимчивость к "от нескольких десятков до многих тысяч единиц" (ц = 1 + к) (см.29 Т.2 стр.649). Именно при этом условии компенсация внешнего гармонического поля и размагничивающего поля . имеет место в области V и является следствием уравнений Максвелла 25; при этом условии уравнение (48), дающее решение задачи сопряжения (3) гармонических полей (8),(9), переходит в уравнение (17), а решением уравнения (17) является плотность магнитного заряда:

Экспериментальные результаты, касающиеся кривых намагничивания ферромагнитных образов различной длины и формы представлены

28Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики (часть вторая). Л.-М. ГТТИ, 1937, 998 с.

2*Физическая энциклопедия М.: Большая Российская энциклопедия, 1992.

н

Рис. 1: Кривые намагничивания ферромагнитных образцов различной длины и формы: 1-тороид, 2-длинный тонкий образец, 3-короткий толстый образец, Ярпам— внутреннее размагничивающее поле зависящее от формы образца.

на рисунке 1 (рис.1 взят из 30 стр.444). Кривые отражают зависимость модуля вектора намагниченности ,М(х) в точке х образца VJ, i = 1,2,3 при линейном изменении внешнего поля аНо(х), 0 < а < оо , при

Все графики кривых намагничивания выходят на горизонтальную прямую |Л?(х)| = Мао, константа М^ означает намагниченность насыщения ферромагнетика, заполняющего области Vj,i — 1,2,3. Первая кривая соответствует тороиду, в нём отсутствует размагничивающее поле и кривая эта называется кривой намагничивания материала, именно эти кривые указываются, как правило, в справочной литературе. Кривые 2 и 3 называются кривыми намагничивания тела, они отражают влияние геометрии образца на распределение намагниченности в теле, изменяя угол наклона кривой намагничивания и значение внешнего поля, при котором намагниченность в данной точке образца достигает состояния насыщения.

Если расчет намагниченности М[х) в областях V,, i — 2,3 под действием внешнего поля произвести на основе результатов применения теорем 4.2.1, 4.3.1, то для каждой точки х € Vlt i = 2,3 можно было бы получить два линейных (наклонных) участка кривых намагничивания, соединяя начало координат с точками Л<(|Яо(г)|, |М*(х)|), i = 2,3. Зависимость между аМ,(х) и аНо(х) остается линейной, пока намагниченность не достигает уровня насыщения т.е. пока а < а{, г = 2,3, где

'"Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983, 928 с.

При значениях параметра а > ai, г = 1,2,3 г-ая кривая намагничивания становится параллельной горизонтальной оси.

В целом совместное решение уравнений (17), (18) позволяет в каждой точке х области Vустановить соответствие между вектором внешнего поля Hq(x) и М(х),х 6 V, иметь возможность вычислить величину тензора N размагничивающего фактора (2,,Т.4, стр. 242)

Н0(х) = NM(x), xev.

Результаты расчёта соответствия между .Щ[х) и М(х),х е V, для осесимметричной магнитной системы "линза-катушка" приведены в Приложении 1 к работе, а их графическое изображене дано на Рис.4, (пояснения к рисунку будут даны позже).

Тензор N становится скаляром для области простейшей геометрии, для шара или эллипсоида. Известно, что в случае, когда На(х) = Но направлен вдоль одной из осей симметрии эллипсоида, вектор намагниченности М(х) параллелен Hq. Имеются таблицы размагничивающих факторов произвольных эллипсоидов23. Для эллипсоидов вращения известны аналитические выражения для вычисления размагничивающих факторов, в частности для сфероида имеет место

формула:

Все известные частные случаи значений (скалярных) размагничиваю -щих факторов эллипсоидов непосредствено следуют из решения уравнения (17). Так, если подставить в интегральный оператор уравнения (17) решение уравнения и вычислить его

значение на этом элементе, то получится, что является собственной функцией оператора (12), а собственное значение таково, что величина размагничивающего фактора сфероида вычисляется по формуле (*). Аналогичным образом доказывается, что размагничивающий фактор сферы равен 1/3.

Таблицы значений размагничивающих факторов 23, графики31, экспериментально найденные значения размагничивающих факторов круглых стержней ** имеют хорошее количественное совпадение с резуль-

31Osborn J.A. Demagnetizing factors ofthe general ellipsoid. //Phys. Rev.,1945, 67, Л5 12, p. 351.

32Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма. М: МИР, 1983, 302 с.

татами, полученными на основе решений интегрального уравнения (17) [8].

Таким образом, использование поверхностных интегральных уравнений (17), (18) позволяет распространить ранее известные результаты решений задач В, С для областей V специальной формы в однородных внешних полях на случай областей произвольной геометрии в неоднородных внешних полях.

В 5 главе разработан алгоритм корректного счета уравнения (17) и приведены результаты компьютерных расчетов решения задач В, С на основе этого алгоритма.

Уравнение (17) для плотности гармонического потенциала простого слоя в решении внутренней задачи Неймана является, конечно, хорошо известным. Однако, в банке стандартных программ, который располагает многими вариантами решения этой задачи, нет программы, представляющей её решение в виде потенциала простого слоя. Именно такое представление необходимо при решении задач магнитостатики В, когда потенциал поля рассеяния Нц[х) действует не только в области V, но и

Интегральный оператор в уравнении (17) имеет одномерное ядро (см.33, стр.422). В этом случае теория Фредгольма формулирует условие разрешимости задачи в некотором подпространстве, но условие однозначной разрешимости в том же подпространстве остается неизвестным. Отсутствие таких условий однозначной разрешимости для уравнения (17) затрудняет переход к приближающей конечномерной системе линейных уравнений.

Для пары сопряженных операторных уравнений 2-ого рода в гильбертовом пространстве 71— с вполне непрерывным оператором К, действующим из

доказана следующая теорема.

Теорема 5.2.1. Уравнение (49) с заданным на "К вполне непрерывным операторомК изН вИ, имеет единственное решение в подпространстве И(1 — К), если матрица Т с элементами

является невырожденной, здесь е\,...,вк базис в подпространстве

^Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 511 с.

Утверждение теоремы об однозначной разрешимости в подпространстве 72.(7 — К) приобретает наиболее законченный вид, если привлечь результаты Ф. Рисса 34, P. Кресса.35

Теорема Рисса утверждает, что существует единственное неотрицательное число г, (число Рисса оператора К), такое, что расширяющаяся последовательность подпространств нулей операторов (I — К)п, п = 0,1,2,... и сужающаяся последовательность подпространств значений этих операторов стабилизируется через конечное число шагов, так что

Теорема Кресса 35 в приложении • к гильбертову пространству Н утверждает, что число Рисса оператора К равно единице тогда и только тогда, когда матрица Т является невырожденной.

Теорема 5.2.1. может быть при этом сформулирована следующим образом.

Теорема 5.2.1*. Уравнение (49) с заданным на Ц вполненепрерывным, оператором К из Tí в Н с числом Рисса г = 1 однозначно разрешимо в подпространствеИ(1 — К).

Таким образом, подобно тому, как утверждение об однозначной разрешимости уравнения (49) при г = 0 имеет место во всем пространстве это утверждение справедливо в подпространстве

Для оператора К — —K¡¡ (12) число Рисса г = 1, так как известно, что плотность потенциала Робена <£я(х) (см. 33, стр. 422) — базисный элемент подпространства и удовлетворяет условию

У о.

т.е. не ортогонален на поверхности S элементу <р"(х) =. 1 —

базисному элементу подпространства

В силу теоремы 5.2.1 уравнение (17) для плотности потенциала простого слоя в решении внутренней задачи Неймана однозначно разреши-

34 Рисе Ф. О линейных функциональных уравнениях. //Успехи мат. наук, 1936, вып.1, с. 175—199.

35 Kress R. Ein Iterationsverfahren fur eine Klasse von Funktionalgleichungen zweiter Art. //J. Reine and Angew. Math., 1969, Bd, 238, pp. 207-216.

мо в подпространстве функций ортогональных единице на поверхности 5 = дУ, т.е. для любой д(х), удовлетворяющей условию

/

д(х) dS = 0.

(50)

Алгоритм получения конечномерной приближающей системы, сохраняющей в себе свойства интегральной модели, опирается на теорему 5.3.1.

Интегральное уравнения (17) является частным случаем уравнения (49), в котором вполне непрерывный оператор К<р имеет вид

(51)

Свободный член уравнения (17) будем далее обозначать д(х) и записывать это интегральное уравнения в виде

Теорема 5.3.1. Интегральному уравнению (52), однозначно разрешимому в подпространстве функций, удовлетворяющихусловиям (50), можно сопоставить систему п линейных уравнений в F

однозначно разрешимую в подпространстве, ортогональном вектору е — (1.....1), имеющую число Рисса г. = 1 и rang А = (n — 1). Компоненты векторов ф, д £ Л" в уравнении(53) связаны с функциями ^(х), д(х) в уравнении (52) следующими соотношениями:

Система (53), однозначно разрешимая в подпространстве ортогональном вектору е — (1,...,1), является, таким образом, полным конечномерным аналогом интегрального уравнения (52), однозначно разрешимого в подпространстве функций ортогональных единице на поверхности

Компьютерная реализация алгоритма основана на вычислении элементов матрицы А по формулам

с последующей процедурой поправки вычисленных элементов (см.36), с помощью системы равенств

которые должны выполняться с любой доступной компьютеру точностью.

Аналог теоремы 5.3.1 для решения задачи Дирихле на плоскости имеется в работе (см.37)

Компьютерные расчеты полей различных магнитных систем на базе алгоритма решения интегральных уравнений (17), (18) производились нами систематически начиная с 1980 г. вплоть до настоящего времени [8, 11, 12-30].

В 801 годах работы производились в сотрудничестве с Институтом Электронных Управляющих Машин (ИНЭУМ), который в то время имел хорошую экспериментальную базу и занимался разработкой запоминающих устройств на цилиндрических магнитных доменах (ЦМД) (отдел под руководством проф. В.К. Раева). Именно в этот отдел, я была приглашена, как математик (в рамках хоздоговорной работы), разобраться в причинах нестабильной работы программы, написанной для решения системы интегральных уравнений (10). Результатом этой деятельности явились упомянутые выше работы и последующая разработка алгоритма численного решения уравнения (17), которая была отражена в [2] и ряде работ прикладного и теоретического характера по расчету различных магнитных систем, производимых группой сотрудников под моим руководством [8-30].

Из этого цикла работ в главу 5 были включены результаты работы [8], доложенной в сентябре 1989 г. в Токио на Международной конференции по расчетам магнитных полей COMPUMAG-89 и работы [11], включенной, как пленарный доклад, в 4th International Workshop on Electric and Magnetic Fields, May, 1998, Marseille (France).

38Тихонов А.Н. О нормальных решениях приближенных систем линсных алгебраических уравнений. //ДАН СССР, 1980, 258, №3, с. 549-554.

37 Власов В.К., Бакушинский А.Б. Метод потенциалов и численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.// ЖВМ и МФ, 1963.T.3, №3,с.574-580.

Рис. 2: Распределение нормальной компоненты намагниченности в полях 30(1) и 18(2).

В [8] решалась задача В для тонкой прямоугольной пластины, помещенной в однородное поле Щ, направленное вдоль длинной оси симметрии пластины. Были рассмотрены случаи различной напряженности поля: 1)Я0 = 9ое, 2)Я0 = 18 ое, 3)Я0 = 30 ое .

Размеры пластины и значения внешнего поля (случаи 2) и 3)) были взяты из экспериментальной работы 22, в которой путем магнитооптических исследований (с помощью эффекта Керра) были измерены значения нормальной компоненты намагниченности, величины на длинной оси симметрии пластины (см.Рис.2)

На рис. 3, взятом из [8], изображены некоторые графики результатов компьютерных расчетов решения уравнения (17), функции ip(x) = (М,п). Центр симметрии пластины помещен в начало координат и на рисунке изображена 1/8 часть поверхности в 1-ом октанте.

Значения функции <р(х) отложены вдоль нормалей п(х) к поверхности пластины.

Для внешнего поля 1)Яо = 9ое, на рисунке изображены три графика плотности магнитного заряда (М,п) в трёх координатных плоскостях, кривые 7ц, 7x2, 713-

Для значений внешнего поля 2) Но = 18 ое, 3)Яо = 30 ое на рисунке изображены ещё два графика плотности магнитного заряда в плоскости у = 0: кривые 721 и 731.

Для значений внешнего поля задача распре-

деления намагниченности в пластине перестаёт быть линейной. В центре пластины имеется область насыщения, в которой намагниченность направлена вдоль приложенного поля и величина

Центральная часть пластины входит в состояние насыщения уже в случае 2)Яо = 18 ое. По мере возрастания внешнего поля область на-

10 I

6}

Рис. 3: Распределение нормальной компоненты намагниченности на поверхности прямоугольной пластины..

сыщения расширяется,. а в области "свободного" гармонического распределения намагниченности возрастает плотность магнитного заряда <р(х) = (М, п) и положение точки максимума функции <р[х) сдвигается к краю пластины. Те же свойства поведения величины (М,п) видны на экспериментальных кривых на рис.2.

Стоит отметить, что компьютерные расчеты этой работы выполнялись тогда, в 1988 году, на машине БЭСМ-6 и занимали несколько часов машинного времени.

В качестве второго примера нами взяты результаты работы [11], в которой на основе решения уравнений (17), (18) решались задачи В, С для осесимметричных магнитных систем, состоящих из линзы (часть профиля её, области V в полуплоскости г > 0, и границы её дУ = Г, видна на рис.4) и токовых катушек с числом Ампер-витков N = 103—106, характеризующих интенсивность внешнего поля,

0 — 3. Расчеты производились на IBC РС-486 и занимали считанные секунды.

В Приложении 2 (таблица 1) представленной работы приведены компьютерные расчеты компонент вектора намагниченности и его модуля, а на рис. 4 в Приложении 1 дана графическая картина этих расчетов в виде линий уровня модуля вектора намагниченности

Рис. 4: Распределение намагниченности М(х) в ферромагнитной линзе. Линии уровня функции М(х) = Са, а = 10*, fc = 0 — 3 для числа витков катушки N = 105о.

некоторых точках этих линий указаны направления векторов намагниченности так, что длина их отвечает значению линии уровня. На сторонах линзы (кривая Г) указаны значения плотности <р(ж) = (М,п), рассчитанной на основе решения уравнения (17).

На рис. 4 хорошо прослеживается взаимосвязь решений уравнений (17) и (18). Вдоль линии уровня происходит разворот вектора намагниченности, вычисленного по формуле (46*) так, что при подходе к границе нормальная компонента этого вектора приближается к значению функции <р(х) = (М,п), решению уравнения (17).

Отмеченная взаимосвязь решений уравнений (17) и (18) относится, естественно, к случаю линейной задачи распределения намагниченности, когда имеется линейная зависимость между внешним полем и полем намагниченности, т.е. когда полю аНц(х) отвечает поле аМ(х) в любой точке области V. Как это уже было отмечено выше (см. стр.24), задача распределения намагниченности остается линейной, пока в области V |Л?(х)| < Мы, х € V, где М^ - намагниченность насыщения данного ферромагнитного материала (см.Рис.1).

Полезность произведенных расчетов не исчерпывается решением линейной задачи распределения намагниченности. Эти расчеты позволяют по известным значениям параметров а и М«, рассчитать границу областей насыщения граница эта проходит (в первом приближении) вдоль

соответствующей линии уровня (см. рис. 4). Итеративная процедура получения решения задачи С в нелинейном случае описана в [11].

Заключение.

В диссертации на основе выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать, как новое направление в решении класса задач для уравнений Максвелла с условиями сопряжения на границе раздела сред.

Основные результаты работы полученные лично автором.

1.Класс задач электромагнетизма, именуемых как задачи А, В, С, сведён к решению поверхностных интегральных уравнений теории потенциала. Благодаря предложенному методу неизвестное электромагнитное поле не отыскивается во всём 3-х мерном пространстве, а находится плотность потенциала поля на замкнутой ограниченной поверхности, что позволяет существенно упростить исследование и численное решение подобных задач.

2. Известная схема решения краевых задач путём сведения их к поверхностным интегральным уравнениям теории потенциала расширена для исследования и решения задач с условиями сопряжения.

3. Для сведения задачи А к краевой задаче доказана основополагающая для данного круга вопросов теорема о расщеплении уравнения Максвелла на два уравнения: одно в подпространстве Вейля О(У) (векторное уравнение Гельмгольца для тока), другое в подпространстве ЩУ) (уравнение, представляющее градиент известного гармонического поля в виде разности градиентов потенциалов простого и двойного слоя, и утверждения той же теоремы, что граничные значения ротора вихревого тока выражаются через плотности этих потенциалов.

4. Получены точные формулы для нормальной и касательных составляющих ротора вихревого тока через известный по условиям задачи потенциал внешнего поля.

5. В области У получены для вихревого тока два интегральных представления. Первое представление использует решение интегрального уравнения внешней краевой задачи Максвелла, а второе требует решения интегрального уравнения внутренней краевой задачи Максвелла и решения внутренней задачи Неймана для скалярного уравнения Гельмгольца с помощью потенциала простого слоя. Наличие двух представлений тока крайне важно при численной реализации алгоритма решения.

6. На основании интегрального представления вихревого тока дока-

заны теоремы существования и единственности решения задачи А.

7. Задачи статики, задачи В, С, сведены к решению поверхностного интегрального уравнения для плотности гармонического потенциала простого слоя для внутренней задачи Неймана.

8. Предложен алгоритм для отыскания плотности потенциала простого слоя, опирающийся на теорему об однозначной разрешимости пары уравнений Фредгольма второго рода в гильбертовом пространстве

Список публикаций по теме диссертации.

1. Чегис И.А Задача распределения вихревых токов. Теоремы существования, единственности, алгоритм решения.//ЖВМ и МФ, 1994, 34, № 7, с. 1053-1066.

2. Чегис ИА Алгоритм численного решения интегрального уравнения для плотности потенциала простого слоя. //ЖВМ и МФ, 1989, 29, № 12, с. 1904-1907.

3. Чегис И.А. Оператор электромагнитостатики. Общие спектральные свойства. Приложение к задаче распределения вихревых токов. //ЖВМ и МФ, 1998, 38, № 12, с. 2043-2054.

4. Chegis LA. Connections between the eddy current problem and the scattering theory for electromagnetic waves. //Proc. of the First Japan-CIS Joint Seminar on Electromagnetomechanics in Structures, Tokyo, Japan, 1992, pp. 1-4.

5. Chegis LA. Integral equations for the simple and double layer potentials densities in eddy current distribution problem. //Proc. TEAM Workshop, Sorrento, Italy, July, 1991, pp. 261-264.

6. Чегис И.А Решение задачи распределения вихревых токов. //ЖВМ и МФ, 1992, 32, № 7, с. 1046-1056.

7. Чегис И.А. Нахождение потенциала, связанного с решением системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода. //ЖВМ и МФ, 1982, 22, J» 3, с. 739-742.

8. Chegis I.A., Slavin О.А., Speranski O.A., Andreev A.K. The methodology for calculation of magnetization on the surface of rectangular ferromagnetic plate within limits of a continual model. //Proc. COMPUMAG Conf., Tokyo, 1989, pp. 45-18.

9. Chegis I.A., Slavin O.A., Andreev A.K. Asymptotic stray field presentation near the boundary of the magnetized body. //Proc. ISEM Conf., Nagoya, 1992, pp. 215.

10. Chegis I.A., Slavin O.A., Andrccv A.K. Asymptotic stray field presentation near the boundary of the magnetized body. //In: Nonlinear phenomena in electromagnetic fields. Proc. of ISEM Conf., Nagoya, 1992, Tokyo: ELSEVIER, 1992, pp. 537-540.

11. Chegis I. A., Slavin O.A. Linear and nonlinear magnitization problems in ferromagnetic. Proc. 4th Intern. Workshop, Marseille, May, 1998, pp. 5863.

12. Чегис И.А. К решению одной системы уравнений Фредгольма 1-ого рода методом теории потенциала. //Труды ИНЭУМ, 1980, 82, с. 123-128.

13. Чегис И.А., Андреева Л.П., Андреев А.К., Сперанский О.А. К методике расчета взаимодействий в пермаллоевых схемах продвижения. //Труды ИНЭУМ, 1981, 88, с. 71-78.

14. Chegis I.A., Speranski O.A. To the method of computation of permalloy propagating elements. //Proc. XXIX МММ Conf., Pitsburg, 1983, pp. 215.

15. Чегис И.А., Славин О.А., Сперанский О.А. Интегральное уравнение для плотности магнитного заряда и размагничивающий фактор для осесимметрических областей. //Тезисы докладов YIII Всесоюзного объединенного семинара."Элементы и устройства на ЦМД и ВБЛ", 1987, Симферополь.

16. Чегис И.А. Влияние параметров полюсного наконечника на поле рассеяния магнитной системы. //Труды X Всесоюзного семинара по проблеме ЦМД/ВБЛ, 1991, Симферополь.

17. Чегис И.А. Интегральные уравнения в задаче распределения вихревых токов, связь с теорией рассеяния электро- магнитных волн. //Труды симпозиума по спектральным и эволюционным задачам, КРОМШ-2, 1991, Симферополь.

18. Чегис И.А Теорема существования и единственности решения задачи распределения вихревых токов в классе гладких функций. //Тезисы докладов конференции "Понтрягинские чтения IV", 1993, Воронеж, с. 199.

19. Чегис И.А. Теорема о точном решении системы интегральных уравнений в задаче о вихревых токах. //Тезисы докладов конференции "Современные проблемы механики и матем. физики", 1994, Воронеж, с. 106.

20. Chegis LA. The Existence Theorem and the Numerical Solution Scheme in Eddy Current Problem. //Тезисы докладов конференции. "ВЗМШ", 1995, Воронеж, с. 244.

21. Чегис И.А. Теорема о собственных функциях интегральных опе-

раторов граничных задач Неймана и Максвелла (к=0) с общим собственным значением. Связь с задачей распределения вихревых токов. //Тезисы докладов конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы", 1997, Воронеж, с. 167.

22. Чегис И А, Славин О А Оператор электромагнитосатики. //Тезисы докладов Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", 1998, Дубна, с. 218.

23. Чегис И.А. Спектральные свойства оператора электромагнитостатики. Связь с решением системы уравнений Максвелла. //Тезисы докладов Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", 1998, Москва, с. 179.

24. Чегис ИА Спектральные свойства оператора электромагнитостатики. Связь с решением задач распределения вихревых токов и распределением намагниченности. //Труды Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования",Т. 2, 1998, Москва, с. 188-194.

25 Chegis I.A., Slavin О.А. Matching condition and surface integral in magnetisation problems for ferromagnetic. Exampls of computing algorithms //Proc. ISTET 99, Magdeburg, September 1999. P. 315-319.

26. Чегис И.А. Однозначная разрешимость интегрального уравнения и компьютерный алгоритм в решении внутренней задачи Неймана//ЖВМ и МФ 2001. Т. 41.N.10 с.1557-1565.

27. Chegis I.A. Integral equation of the potential theory and computer algorithm for a inner Neumann problem //Book of Abst. VICMM, DUBNA, September 2002 p. 146.

28. Chegis I.A. Computer Algorithm for a Simple-Layer Potential Density in Solving of the Neumann Internal РгоЫет//Труды Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы матем.образования", Москва,ФИЗМАТЛИТ,2003 с.116-119.

29. Chegis I.A. Integral equation of the potential theory for distortion problems of magnetic fields// Труды Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", Москва, ФИЗМАТЛИТ,2003 с. 119121.

30. Chegis I.A. Integral equation of the potential theory for distortion problems of magnetic fields //Proc. JAPMED'03, Athens, May, p. 101102.

Подписано в печать 03.06.2004. Формат 60x84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л.2,09 Усл. кр.-отт. 8,37. Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 100 экз. С 424

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)" 119454, Москва, пр. Вернадского, 78

94-14114