автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование волновых явлений в разреженных двухфазных средах

л

На правах рукописи КОРОБЧИНСКИЙ АЛЕКСАНДР ВАЛЕРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В РАЗРЕЖЕННЫХ ДВУХФАЗНЫХ СРЕДАХ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в начных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 1997

Работа выполнены на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Султанаев Я.Т. доктор физико-математических наук, профессор Ахатов И.Ш.

доктор технических наук, профессор Якупов Р.Г.

доктор физико-математических наук, профессор Лубышев Ф.В.

Уфимский государственны нефтяной технический университет

Защита состоится " ИЯЛ11р& 1997 года в /л. час. на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по адресу : 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " 1997 года.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим высылать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкина Н.Д.

Научные руководители :

Официальные оппоненты :

Ведущая организация :

Ученый секретарь диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкин Н.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Задача о поведении смеси двух веществ при различных воздействиях на нее уже длительное время привлекает к себе внимание. Это связано с большим количеством разного рода эффектов, возникающих в таких смесях, которые с одной стороны находят применение в нефтяной, химической, металлургической и других отраслях промышленности, а с другой стороны недостаточно исследованы теоретически. К таким эффектам относятся,например, локализация частиц в колеблющихся средах, в частности в акустической волне, явления, связанные с фильтрацией жидкости или газа через слой частиц, при установлении режима псевдоожижения. Особо стоит отметить широкое применение вибрационных методов для интенсификации каталитических процессов, разделение или перемешивание смесей веществ различной природы, изменение; реологических свойств полимеров, а также в задачах по очистке; запыленных газов и жидкостей, обогащению руд полезных ископаемых и т.п.

Изучению динамики частиц дисперсной фазы при. воздействии вибрации посвящено значительное число исследований. Наиболее полное отражение эти вопросы получили в работах Р.Ф.Ганиева1 и его сотрудников. Между тем, все выполненные к настоящему времени исследования использовали приближение, при котором частицы рассматривались абсолютно твердыми и за пределами внимания остался учет сжимаемости дисперсной фазы. Однако, например, для эмульсий, в которых дисперсная и дисперсионная фазы представляют собой жидкости, оказывается невозможным пренебрежение сжимаемостью одной из компонент системы.

Проблема устойчивости границы оседающего (или всплывающего) слоя частиц, взвешенных в жидкости или газе, под действием силы тяжести в настоящее время не исследована, хотя может найти применение, к примеру, в процессах с применением псевдоожжи-жения зернистых материалов, в вопросах естесственного оседания облака частиц и пр.

Цель работы. Исследование влияния сжимаемости на характер

1Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Б. Динамика частиц при воздействии вибрации. — Киев:Наукова Думка, 1975 - 168 с.

группирования частиц при воздействии вибрации. Получение формул скорости дрейфа и точек скопления для твердых, упругих и вяз-коупругих частиц под действием вибрации. Исследование устойчивости границы двухфазной смеси. Решение задачи о неустойчивости Рэлея-Тэйлора, обобщенной на случай дисперсной среды.

Общая методика исследований. Смесь рассматривается как двухфазная среда, в которой отсутствуют фазовые переходы, процессы дробления, слипания и образования новых дисперсных частиц. Мы также пренебрегаем непосредственным взаимодействием и столкновениями между частицами. Динамика такой смеси описывается системой уравнений, состоящей из уравнения сохранения числа частиц, уравнений неразрывности и движения фаз, уравнения состояния и некоторых дополнительных соотношений. В силу нелинейности системы получение аналитического решения затруднено, поэтому

исследуются первые члены разложения решения по малому параметру-

При получении определяющих уравнений в главе 1 оказывается достаточным использование первых двух приближений и соотношений, при которых это справедливо. В главе 2 задача рассматривается в линейном приближении.

Основной предпосылкой при теоретическом исследовании вибрационных воздействий на дисперсные системы является разделение происходящих движений в системе на "медленные" и "быстрые". Наибольший интерес представляют именно "медленные" движения, ответственные за эффекты дрейфа частиц в акустическом поле и их группирование. Кроме того, рассматриваются смеси с малым объемным содержанием дисперсной фазы (разреженность двухфазной смеси), в силу чего удается разделить движение среды на течение чистой жидкости и движение частиц в колеблющейся несущей фазе.

В главе 2 ограничения на объемное содержание частиц не делается. Неустойчивость определяется из экспоненциального роста амплитуды колебаний линейного приближения решения на границе исследуемой двухфазной смеси.

Научная новизна. В главе 1 предложена методика, позволяющая определить скорость дрейфа и устойчивые точки скопления твердых, упругих и вязкоупругих частиц под действием вибрации,

передаваемой через несущую жидкость или газ. Стоит отметить, что для случая твердых частиц удалось избавится от достаточно жесткого требования Л2 ~ е, которое использовалась в известных работах Р.Ф.Ганиева и Р.И.Нигматулина2, заменив его на условие г/К <<С 1 , где к является функцией параметров фаз и частоты вибрационного воздействия, е - характерное значение возмущения на границе несущей среды. Применяемая методика позволила проанализировать случай упругих и вязкоупругих частиц, поведение которых при вибрационном воздействии до этого не исследовалось.

В главе 2 проанализировано движение слоя частиц в некоторой несущей фазе (жидкости или газе). Получен способ, позволяющий выявить появление на границе этого слоя неустойчивости, аналогичной неустойчивости Рэлея-Тейлора для границы раздела тяжелой жидкости, находящейся над легкой.

Большинство приведенных в работе результатов получены с помощью пакета МАРЬЕ V.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (под руководством профессора Я.Т.Султанаева), на семинаре кафедры механики сплошных сред БашГУ (под руководством профессора И.Ш.Ахатова), на семинаре кафедры математического моделирования БашГУ (под руководством профессора С.И.Спивака), на XX школе-семинаре по проблемам сплошных сред в системах добычи, транспорта и переработки нефти и газа (под руководством академика АН Республики Азербайджан А.Х.Мирзаджанзаде, Уфа, 1997), на республиканской научной конференции студентов и аспирантов по физике и математики (Уфа, 1997)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и приложения. Нумерация формул сплошная, двухиндексная, содержащая указание на главу и порядковый номер внутри главы. Диссертация изложена на 9У страницах.

2Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1.—М.:Наука, 1987г.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сформулированы основные результаты работы, обзор литературы.

1. Первая глава посвящена изучению динамики твердых, упругих и вязкоупругих частиц под действием вибрации.

Рассматривается движение частиц при установившемся вибрационном воздействии с частотой О, , передаваемом через несущую жидкость или газ.

При составлении уравнений движения в названной двуфазной среде принимаем следующие допущения :

1. фазовые переходы отсутствуют;

2. частицы считаем сферическими, одинакового (пусть даже переменного) радиуса;

3. размеры частиц значительно меньше расстояния между соседними частицами, а последний гораздо меньше расстояния, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики течения;

4. отсутствуют процессы дробления, слипания и образования новых дисперсных частиц;

5. пренебрегаем непосредственным взаимодействием и столкновениями между частицами.

При этих допущениях движение частиц в несущей сжимаемой фазе в одномерном случае описывается следующей системой :

уравнение сохранения числа частиц

уравнения неразрывности фаз

уравнения движения фаз

divi , „ ,

=+ + Pl9; (4)

d2v2 дР

Р2-^ =-а2—+ F12 + p2g; (5)

дополнительные соотношения

Pi = aipj; р2 = а2р%\ (6)

4

Qi+a2 = l; a2 =-тгД3п; (7)

уравнение состояния дисперсионной (несущей) фазы

Р=Р0 + с?о(Р? - Р?о)- (8)

Кроме этого, в случае твердых частиц :

Рг = Рг о — const, R = До = const. (9)

В случае упругих частиц из закона сохранения массы частицы следует, что т2 = 4/ЗтгЯ3^ = m2 = 4/37гЛоР20> откуда следует :

R=Ro\m. (10)

V Рг

При определении р° рассмотрим прежде всего случай просто упругих частиц, когда изменение давления в частице вследствии изменения давления несущей среды происходит мгновенно и не порождает внутренних колебаний. Давление внутри частицы в этом случае определяется формулой Р—Р0 = (%о(.Р2~Рго)- Учитывая предположение мгновенного изменения давления внутри частиц, из (8) следует

Р^о + Ф(Р?-Р?о)- (11)

с20

Другой рассматриваемый случай - это дисперсная среда с вязко-упругими частицами, когда изменение радиуса частицы вледствии изменения давления несущей среды происходит не мгновенно, как в предыдущем случае, а с некоторой задержкой. При этом изменение плотности частицы под воздействием внешнего давления определяется формулой

Р - Р0 = ci0

откуда из (8) следует уравнение на р° :

(Р°2 ~ Р°2о) +

+ = + (12)

Здесь и далее первой фазой считаем несущую, которую для определенности будем называть жидкостью, а второй - фазу частиц, р°г0 - невозмущенное значение плотности г-й фазы, - истинная плотность г-й фазы, сю,С20 - скорость звука в соответствующей фазе, Ро - давление несущей фазы при р\ — р%, рг - приведенные плотности (масса г-й фалы в единице объема смеси) а и, - скорости фаз, Рц ~ функции межфазного взаимодействия, аг - объемная концентрация г-й фазы, п - концентрация частиц в единице объема смеси, Я - радиус частиц, Р - давление, 0г ~ характерное время релаксации, д - ускорение свободного падения,

й _ д_ д_ сЧ дЬ гдх

Переход к безразмерным переменным везде, где об этом говорится в текущей главе, будем осуществлять следующей заменой переменных :

и = —; V = —; т = Ш;

„о . „о

_ Pi _ Pi . - Р2

Р ~ /7° ~~ п° ' Р ~

FIO Р10 Р10

Обезразмериваются также и остальные величины :

р —у Рр°0с?о; Сю

х —> —х; R —> RRo;

Г = 9

Ciofi '

где i?o ~ невозмущенный радиус частицы.

В дальнейшем рассматривается случай малой объемной и массовой концетрации фазы частиц в смеси, т.е. ai 1, pi 1, плотность смеси р я р\ « р\. Вместе с этим мы пренебрегаем воздействием дисперсной фазы на несущую, » силу чего движение второй можно определить как течение чистой жидкости, удовлетворяющее уравнениям

dpi dpivi _ Q dt дх

diVi, дР (13)

P = P0~c210(p4-Pio)

Дальнейшие рассуждения проведем на модельном примере движения в плоской стоячей волне. Для определенности будем считать, что смесь помещена в вертикально расположенную трубу длины L (безразмерной) с жесткими стенками и крышкой. Дно представляет собой мембрану, с помощью которой можно задавать малые колебания давления при х = 0. Краевые условия в этом случае будут иметь вид :

P\X=Q = Po + eAPsinr,

или в безразмерных величинах : <=L = 0,

P|x=o=-o^+eAPsinT,

Pl0c10

соответственно

р\х=0 = 1 + eAPsinr.

После перехода к безразмерным величинам, получаем решение системы (13) вида :

и = еи1+е2иг + ... (14)

р = ер1+£2р2 + ... (15)

После этого рассматривается движение частиц в колеблющейся фазе жидкости.

В межфазном взаимодействии учитываем только силы Стокса и присоединенных масс.

Вместо уравнения (5) для удобства используется уравнение, полученное из (4) и (5) исключением переменной Р, имеющее в безразмерных величинах вид :

¿и _ 3р [ ди ди \ 9р.

Л ~ 2р' + р \ д:? + ид^) + ЩЕ2ар{{0(2р> + р)

+ -

+ Щ&Пр»0(2р> + р)Ы ") + 3р (Ж дЯ\ 2{р' - р)

Я(2 р' + р)

для упругих и вязкоупругих частиц и

/ал вя\ . . 2{Р' - Р).

(16)

^ _ З/3, (ди , ЭгЛ , / _ , 2(р' - р).

Л _ 2р' + р + + 2р'+р3 и ;

для твердых частиц, ц - динамическая вязкость среды.

Решение (17) для твердых частиц и (16) для упругих и вязкоупругих частиц ищем в виде V = ег^ -г е2У2- В работе показана методика, позволяющад найти решение такого типа, а также выделить из него скорость дрейфа. Отметим, что для случаев твердых, упругих и вязкоупругих частиц методика не одинакова. Из скорости дрейфа, а также дополнительных соображений физического характера, указываются точки скопления частиц и условия их устойчивости. В силу громоздкости вычислений представляется довольно сложным проделать все вычисления вручную. В приложении приведены тексты программы для пакета аналитических вычислений МАРЬЕ V, позволяющие находить скорость дрейфа частиц всех трех типов при заданном движении жидкости вида (14),(15). В работе проводится анализ влияния сжимаемости дисперсной фазы на динамику группирования частиц.

2. Во второй главе рассматривается математическая модель естественного оседания облака частиц под действием силы тяжести. В представленной двухфазной среде несущая представляет собой жидкость или газ, дисперсная - частицы сферической формы (твердые, жидкие или газообразные), причем обе фазы считаем несжимаемыми. Для определенности будем называть дисперсионную фазу - жидкостью, дисперсную фазу - частицами.

Введем следующие обозначения :

c*i, «2 - объемные содержания жидкости и частиц соответственно; ai + а2 = 1;

р2 - истинные плотности жидкости и частиц; р\ — const, = const;

pi, р2 - приведенные плотности жидкости и частиц, р\ — aiр\, р2 = а2р%;

р - плотность смеси, р = aip'l + а2р2 = Pi + р2\

Р - давление в жидкости;

/11 - динамическая вязкость жидкости;

R - радиус частиц.

Система координат имеет виц :

У

0 X

В введенной таким образом системе координат, щ = (111,1)1), у2 = (и2,ь2) - векторы и координаты скоростей жидкости и частиц.

Дополнительным индексом "О" снизу будут обозначаться параметры невозмущенного состояния смеси.

В данной главе из внешних сил учитываются только силы тяжести, Архимеда, вязкого трения (ио Стоксу).

Далее в главе (из методических соображений) исследуется падение одиночной частицы в неподвижной жидкости. Как известно, при

наличии силы трения, пропорциональной скорости, движение будет равномерное и устойчивое относительно начальных возмущений.

После этого рассматривается смесь частиц с жидкостью, движение которой описавается теми же уравнениями, что и в предыдущей главе. Только теперь жидкость не покоится, а движется с некоторй скоростью через слой частиц.

Для этой системы выписывается стационарное решение. Таким образом, слой частиц, оседает (или всплывает) в жидкости с некоторой постоянной скоростью. Отметим, что при оседании слоя частиц наблюдается также слабое возвратное движение жидкости.

Дальнейшее исследование аналогично случаю, когда слой более тяжелой жидкости находится над слоем более легкой. Как известно, если не учитывать силы поверхностного натяжения, то любое возмущение границы раздела жидкостей влечет "проваливание" тяжелой жидкости вниз (классическая неустойчивость Рэлея-Тейлора).

В нашем случае рассматривается граница раздела нашей двухфазной смеси и жидкости. На границе смеси стыкуются исходя из законов сохранения энергии и импульса.

Рассматривая возмущение стационарного решения в линейном приближении, мы получаем так называемое дисперсионное соотношение. Суть его соотоит в некотором уравнении (в нашем случае - линейное, третьей степени), связывающее параметры возмущения границы и амплитуды колебаний.

Полученное в работе дисперсионное соотношение имеет вид :

ш3а10р° [р°а2о + р^аю + р\] + ш2 [-{р1)2а2оЬ0к+

+К (аюр? + р\ + а2оР°) + *окрЧ(% (1 + 2а10 - (а10)2)] + +ш [-(р°)2а20^(заю + + аюагоР1Р°дк] + +а20р%дк2 (р? - р°2) + Кдкат - Рх) = О,

где К = 9{М\/(2К2), к = 2тт/\, где Л - длина волны, входящей в возмущение контактной границы фазы частиц, и присутствует в выражении для амплитуды колебаний на границе в виде ехр(-гы<). Следовательно, наличие среди корней (18) корня с отрицательной мнимой частью влечет ее (амплитуды) экспоненциальное возрастание.

Анализ полученного дисперсионного соотношения позволяет определить диапазон длин волн, наличие которых в начальном возмущении приводит к неустойчивости границы раздела двухфазной среды и жидкости.

В конце главы приводится численный анализ дисперсионного соотношения для частиц с плотностью 3000 кг/м3, взвешенных в воздухе и воде. Отметим, что для предложенных смесей характерна длинноволновая неустойчивость. Это вполне согласуется с теоретическими соображениями о том, что в линейном приближении не должно быть коротковолновой неустойчивости, так как она, как правило, является следствием нелинейных эффектов.

3. В приложении приведены тексты программ для пакета аналитических вычислений МАРЬЕ V для вычисления скорости дрейфа твердых, упругих и вязкоупругих частиц при заданном движении жидкости. Также приведены программы, вычисляющие характеристические многочлены, необходимые в главе 2.

В заключении автор выражг.ет глубокую благодарность профессору Я.Т. Султанаеву, профессору И.Ш. Ахатову, доценту С.Ф. Ур-манчееву за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ.

1. Ахатов И.Ш., Коробчинский A.B., Султанаев Я.Т., Урманче-ев С.Ф. К задаче о движении частиц под действием вибрации. Вестник Башкирского университета, 3, 1996 г., стр. 5-8.

2. Коробчинский A.B., Урманчеев С.Ф. О влиянии сжимаемости дисперсной фазы на динамику группирования частиц в задачах вибротехнологии. Башкирский химический журнал, т.4, 1997 г., стр. 63-71.

3. Коробчинский A.B. К задаче о движении вязкоупругих частиц под действием вибрации. Вестник Башкирского университета, 1, 1997 г.

4. Коробчинский A.B. Динамика частиц под действием вибрации. XX школа-семинар по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, транспорта и переработки нефти и газа (Тезисы докладов)., 1997 г., стр. 29-30.

5. Коробчинский A.B. Математическое моделирование миграции частиц в аэровзвесях. Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике (Тезисы докладов). 1997 г., стр. 84-85.