автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц

На правах рукописи

Зверева Наталья Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЧАСТИЦ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

доцент Шварц К. Г.;

доктор технических наук,

старший научный сотрудник Вальцифер В. А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Аликин В. Н.

доктор физико- математических наук, профессор Шардаков И. Н.

Ведущая организация: Пермский государственный технический университет

Защита диссертации состоится 22 декабря 2006 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.212.189.09 в зале заседаний ученого совета Пермского государственного университета по адресу: 614600, г. Пермь, ГСП, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета. Автореферат разослан » НСЛЦ>*> 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, (, \ Лутманов С. В.

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время вычислительные эксперименты находят все более широкое применение в решении прикладных задач в области химии. Это определяется сложностью изучаемых реальных систем, появлением новых классов задач в области химической технологии и материаловедения, совершенствованием математического моделирования, разработкой новых классов моделей, методов и программных средств.

Одной из новых и перспективных областей их применения являются задачи исследования внутренней структуры дисперсных систем. Под дисперсной системой понимают системы, состоящие из множества частиц размером 10•*- 10'7 м (дисперсной фазы), распределенных в жидкой, твердой, или газообразной среде (дисперсионной среде). В настоящее время происходит активное внедрение дисперсных систем с жидкой дисперсионной средой и твердой дисперсной фазой в химическую технологию. При создании материалов различных классов (например, лакокрасочных материалов, наполненных полимеров, строительных растворов, твердых ракетных топлив) на стадии их разработки требуется проведение большого объема дорогостоящих лабораторных исследований.

В связи с этим при изучении внутренней структуры дисперсных систем на . современном уровне вызывает необходимость применения развитых методов математического моделирования, создания вычислительных моделей с использованием численных методов. Разработка математической модели, позволяющей описать комплексное поведение процесса структурообразования данных систем, и создание на ее основе вычислительной схемы методом частиц с проведением численных экспериментов является актуальной, современной и необходимой задачей. Выбор метода частиц для реализации компьютерной модели внутренней структуры дисперсных систем обосновывается высокой эффективностью, универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных исследований по сравнению с натурнвщи экспериментами и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений. При правильном использовании модели частиц в состоянии продемонстрировать явные преимущества над другими численными методами.

Работа «Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц» выполнялась на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Целью работы является разработка теоретических основ для математического моделирования процесса структурообразования дисперсных систем методом частиц, программного обеспечения, численного исследования поведения систем такого вида в зависимости от различных факторов с использованием созданной модели.

>

На защиту выносятся :

математическая модель внутренней структуры дисперсных систем;

- методика численного исследования внутренней • структуры дисперсных систем методом частиц;

- результаты исследования процесса структурообразования дисперсных систем и влияния различных факторов на поведение данных систем с использованием разработанной математической модели.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- создана математическая модель внутренней структуры дисперсных систем;

- впервые использован метод частиц для решения задачи математического моделирования процесса структурообразования систем данного типа;

- разработана методика проведения вычислительного эксперимента по изучению внутренней структуры дисперсных систем;

- впервые выполнена оценка влияния расположения элементов дисперсной фазы в дисперсионной среде на • различные свойства многофазных материалов.

Практическая ценность:

- созданы математическая модель и комплексы программ, позволяющие проводить численные исследования влияния различных факторов, имеющих место в реальных условиях, на структуру и реологическое поведение дисперсных систем;

- разработана и апробирована методика по исследованию структурообразования наполненных полимеров, на основе, которой проведены работы:

• по государственному оборонному заказу и заключены контракты на разработку твердых топлив нового поколения по линии секции прикладных проблем Президиума РАН и 13 управления МО РФ (совместно с ФГУП «НИИПМ»): тема «Ягодница (№1374, от 1.04.2004г.), тема «Гиперзвук» (№1501, от 19.03 2006г.);

• по государственному контракту № ИП-04-05 от 01.09.2004г. с департаментом промышленности и науки Пермской области «Разработка рецептур огнетушащих порошков, получение разрешительных документов на производство и применение, отработка технологии их производства»;

разработанное программное обеспечение используется при проведении научных исследований в Институте технической химии УрО РАН в лаборатории №7 (клеевых композитов) по теме «Теоретические и экспериментальные исследования формирования структуры наполненных полимерных систем», номер государственной регистрации 01. 2.00 100354.

Достоверность полученных результатов, выводов, рекомендаций работы обоснованы: теоретическими предпосылками, базирующимися на фундаментальных законах стационарного движения несжимаемой дисперсионной среды; использованием экспериментальных данных из

литературных источников, а также результатов лабораторных исследований, полученных в ИТХ УрО РАН.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- 14 Международном конгрессе по химии и технологии (Чехия, Прага, 2000г.);

- Всероссийской научно - технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2001г.);

- Всероссийской научно - технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2002г.);

- 8 Международной конференции по химии и физикохимии олигомеров «Олигомеры- 2002» (Москва - Черноголовка, 2002г.);

- 13 Международном семинаре по численным методам для неньютоновских жидкостей (Швейцария, Лозанна, 2003г.).

Публикации. Соискатель имеет 11 опубликованных работ по теме диссертации в: центральных (4 работы), международных (4 работы), местных (3 работы) изданиях, в которых отражены основные положения диссертации. Личный вклад автора состоит в участии разработки математической модели, анализе и обсуждении результатов исследования, создании методики вычислительного эксперимента и соответствующего программного обеспечения, планировании, организации и проведении всех вычислительных расчетов. Список работ приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы; изложена на 100 страницах, содержит 30 рисунков; библиографический список включает 108 наименований; 2 приложения, 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из общей характеристики работы. Здесь обсуждаются актуальность темы диссертации; формулируется цель и задачи работы, методы решения поставленных задач, использованные фактические данные; определяются наиболее важные научные положения, защищаемые соискателем; приводятся общие сведения о содержании выполненных исследований; кратко излагается основное содержание по главам.

Первая глава носит обзорный характер. Описывается краткая история появления и развития исследований структурообразования дисперсных систем. Проведен обзор работ, связанных с темой диссертации. Теоретические работы по изучению внутренней организации дисперсных систем ведут начало от работ Дж. Стокса (решение задачи прямолинейного и равномерного движения шара в вязкой жидкости), А. Эйнштейна (вывод формулы для эффективной вязкости разбавленной суспензии жестких сферических частиц в вязкой жидкости). Выполнен анализ существующих математических моделей (ячеечная модель Р. Симхи, Дж. Хаппеля, С. Кувабары). Рассматриваются методы построения моделей систем такого типа (метод отражений использовался М. Смолуховским для исследования

процесса осаждения ансамбля сфер; метод единичной модели, применялся Дж. Хаппелем). Излагаются сложившиеся у автора представления об исследуемой проблеме и перспективных направлениях исследований. Формулируется основная задача исследования.

Во второй главе дается теоретическое обоснование построения математической модели внутренней структуры дисперсных систем.

В первом параграфе приводятся общая характеристика, определение, классификация дисперсных систем. В работе рассматривается двухфазная дисперсная система с жидкой и газообразной дисперсионной средой и дисперсной фазой в виде частиц твердого материала сферической формы. Системы такого вида имеют сложную внутреннюю организацию, которая формируется поведением дисперсной фазы в дисперсионной среде.

Во втором параграфе дается математическое описание внутренней структуры дисперсных систем. Построение математической модели осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скорости дисперсной фазы (частиц) й = й(их,иу,иг)ц термодинамических величин дисперсионной среды: давления, плотности, вязкости. Движение дисперсионной среды рассматривается как - стационарное движение несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. Уравнение движения Навье - Стокса сводится к линейному уравнению

TjAv-grad р = 0, (1)

вместе с уравнением непрерывности

dix V =0 ,

где V - скорость дисперсионной среды в каждой точке пространства x,y,z в момент времени t, р - давление, т/ - динамическая вязкость дисперсионной среды.

Движение элементов дисперсной фазы (частиц) в дисперсионной среде рассматривается, как прямолинейное и равномерное в некоторый момент времени. Решением уравнения (1) является формула Стокса для силы сопротивления, действующей в дисперсионной среде на частицу сферической формы:

F sum =6xrijS, (2)

где Fsum - общая суммарная сила, действующая на частицу, г- радиус элемента дисперсной фазы. Перемещение элементов дисперсной фазы описывается

dX 1 -

dt ~ бжгч шт' (3)

X=X(x,y,z)~ вектор координат элементов дисперсной фазы (частицы). Вид

Fsum зависит от физического состояния дисперсионной среды и дисперсной фазы. Для исключения проникновения частиц друг в друга и описания их

совместного перемещения в случае их контакта предусматривается пересчет суммарной силы с учетом силы реакции опоры.

В третьем параграфе приводится описание метода частиц и построение на его основе вычислительной модели внутренней структуры дисперсных систем.

Метод частиц основан на дискретном описании физических явлений, которое включает использование взаимодействующих частиц. Любую классическую систему можно описать, зная положение частиц и закон их взаимодействия. Каждый элемент имеет сохраняющиеся характеристики (размер) и меняющиеся характеристики (положение, скорость). Численное моделирование дисперсных систем методом частиц предполагает, что в момент времени ¿=0 задается начальное состояние системы в некоторой ограниченной области пространства (расчетная область), где происходит эволюция конфигурации частиц. Основой вычислений является цикл по временному шагу, в котором состояние физической системы продвигается вперед по времени на шаг . Переменные характеристики изменяются в соответствии с уравнением движения (3).

Дискретизация уравнений (3) состоит в замене непрерывного времени дискретным набором временных слоев, разделенных во времени малым интервалом - временным шагом Л1. Положение частицы на каждом временном шаге рассчитывается с учетом предыдущего. Схема расчета положения частиц в модели представлена на рис.1, где q - номер временного

слоя, .У?-вектор координат частиц на каждом -Р^лия,-- суммарная сила, действующая на каждую частицу на </ слое, ' = (1,2,...,п), где и количество частиц в расчетной модели.

Конечно- разностная аппроксимация уравнения (3) имеет вид

Х?+1 = X? + Р9^ А/ (4)

бпгт)

пересчет пересчет пересчет

положения положения положения

С-1+2

Рис.!.Схемарасчета положения частиц вмодели

В четвертом параграфе обосновывается применимость метода частиц для разработанной математической модели. Проверены критерии согласованности, точности, устойчивости, эффективности для полученной аппроксимации исходных уравнений (3). Погрешность аппроксимации

порядка Ж . Из анализа устойчивости вычислительной схемы методом характеристик следует, что схема (4) абсолютна устойчива

В третьей главе представлено численное исследование внутренней структуры дисперсных систем на основе разработанной модели (4), методом частиц для различных видов дисперсной системы.

В первом параграфе численно исследуется структурообразование порошков, представляющих собой дисперсные системы с газообразной дисперсионной средой и твердой дисперсной фазой, которая состоит из частиц. Внутренняя структура порошков представляет собой упаковку равных сферических частиц. Вычислительная модель построена на основе

(4), определяется

Пт, =<;?, (5>

где б? - сила тяжести, действующая на частицу.

Вычислительные эксперименты проводились на системе, содержащей частицы сферической формы, расположенные в гексагональной структуре в расчетной ячейке. Размер расчетной ячейки Уга$ определяется в зависимости от заданной степени объемного наполнения дисперсной системы элементами дисперсной фазой

У гах (6)

где г — радиус частицы, п— количество частиц в модели, <р0— исходная степень объемного наполнения системы частицами. Для проведения вычислительного эксперимента необходима следующая информация: количество частиц, размер частиц, объемное наполнение системы, временной шаг. Выбор параметров для проведения расчетов .согласуется с параметрами реальных систем. Вычислительные эксперименты были проведены для 864 частиц. На рис.2 представлен пример расчетной ячейки

на временном слое ({. На каждом д проводится расчет координационных чисел (параметра определяющего внутреннюю структуру дисперсных систем). Под координационным числом понимается возможное число контактов одной частицы

Рис. 2.Распределение частиц я расчетной с другими. МаКСИМЭЛЬНО ВОЗМОЖНОв ячейке на ершенном сяоеЧ координационное ЧИСЛО 12.

Для демонстрации различных видов контактов в модели используется 13 цветовых оттенков. Например, если частицы не контактируют друг с другом, то они окрашены в коричневый цвет, координационное число равняется 0. Для случая, когда частица имеет один контакт, то она становится серого цвета и т. д.

В первой серии вычислительных экспериментов на основе разработанной модели (4),(5) проводились расчеты координационных чисел

для различных степеней объемного наполнения системы, определены границы изменения структурных параметров (распределение координационных чисел). Проведено сравнение результатов численных исследований с экспериментальными данными, взятыми из литературных источников. Из приведенных на рис.3 данных следует, что разработанная вычислительная модель на основе метода частиц, адекватно описывает внутреннюю структуру дисперсных систем, максимальная относительная погрешность вычислений составила 4%. В результате проведенных численных исследований получено, что уменьшение объемного наполнения системы приводит к уменьшению среднего координационного числа частиц, а также сужает распределение частиц по координационным числам.

Во второй серии вычислительных экспериментов исследуется распределение координационных чисел в зависимости от расстояния между «контактирующими частицами», для объемных наполнений системы от 0,56 -0,64. Результаты исследований представлены на рис.4, рис.5.

К0.35

а

0.3 0.25 0,2 0,15 0,1 0.05 0

1, 2 - результаты расчета и эксперимента соответственно для объемного наполнения 0.56; 3, 4- результаты расчета и эксперимента соответственно для объемного наполнения 0,63; Л- координационное число, К- относительная доля числа контактов частиц

012145678» 10 11 12 ц

Рис.3.Сравнение расчетных и экспериментальных данных

0,12

0,02 0.М 0,М 0,08 0,1

А

Рис.4.Распределение контактов частиц в зависимости от расстояния между ними для различных объемных наполнений системы 1- 0,64; 2-0,62; 3 - 0,60; 4 - 0,56; А'Л - относительная доля числа контактов частиц, к — отношение расстояния между частицами к диаметру частицы

Рис.5.Распределение контактов частиц в зависимости от координационных чисел частиц, соответствующих расстоянию между частицами, которое указано на рис.4, объемное наполнение изменяется в диапазоне(0,56 — 0,64) 1 - 0,64; 2 - 0,63; 3 - 0,60; 4 - 0.57; 5 - 0,56, К1— относительная доля числа парных контактов частиц, Л'- координационное число

В результате проведенных исследований было выяснено, что для всех объемных наполнений зависимость распределения контактирующих частиц от расстояния между ними имеет два максимума (рис.4). Уменьшение объемного наполнения приводит к смещению максимумов в область большего расстояния между частицами. Первый максимум соответствует реальным контактам между частицами в статистической упаковке. Только эти контакты обеспечивают общую структуру порошка и его механические свойства при малых деформациях. Второй максимум соответствует близко расположенным частицам.

На рис.5 представлены распределения по координационным числам, имеющие наибольшее значение при установленном расстоянии, при котором происходит фиксирование контакта. При каждом расстоянии существует преобладание какого-либо вида контакта. В начальный момент времени проведения вычислительного эксперимента частицы в системе в основном не контактируют, далее в процессе структурирования наблюдается увеличение числа частиц, имеющих большее значение координационных чисел. Анализ зависимости показывает ее бимодальное распределение. При этом кривые накладываются друг на друга. Максимальные значения числа парных контактов соответствует координационным числам 3 и 8-10.

Во втором параграфе представлено исследование структуры порошка в процессе его уплотнения. Известно, что порошки подвержены к уплотнению. Внутренняя структура порошка и соответственно координационные числа частиц зависят от воздействий, которым был подвержен порошок. Наиболее эффективным воздействием, приводящим к изменению структуры порошка, является уплотнение. Исследования были проведены в два этапа: первый этап включал в себя проведение лабораторного эксперимента, второй этап -численные исследования. Объектом изучения выбран порошок алюминия. Экспериментальные исследования проводились ; следующим образом. Различные навески порошка алюминия загружались в цилиндр и уплотнялись плунжером. Результаты экспериментальных исследований представлены на рис.6. Установлено, что при увеличении нагрузки до величины ЮМПа происходит уплотнение порошка с 0,56 до 0,64 объемного наполнения, которое является характерной точкой для статистической упаковки' частиц, предельным объемным наполнением пространства, реализующееся для статистической упаковки равных сфер. При дальнейшем уплотнении порошка с усилием более чем 10 МПа происходит деформирование пластичных частиц алюминия, на что указывает и большее случайное отклонение экспериментальных кривых друг от друга. В этой связи, представлял интерес провести численное исследование изменения внутренней структуры порошка в процессе ее уплотнения. Для решения данной проблемы были проведены численные исследования внутренней структуры порошка в процессе уплотнения на основе (4), (5).

В результате проведения вычислительного эксперимента были получены различные уплотненные системы частиц, для объемных наполнений системы 0,56 — 0,64. Результаты численных исследований представлены на рис.7. В процессе проведения вычислительного эксперимента по уплотнению статистических структур наблюдается увеличение координационного числа частиц, соответствующего максимальной доли контактирующих частиц. Также было выяснено, что максимально возможное координационное число 12 соответствует объемному заполнению 0,64. Таким образом, объемное заполнение 0,64 является максимально возможным для статистической упаковки частиц, соответствует максимально возможному координационному числу 12.

ф

0,8 0,7

о,ы 0,6

» 10 11 12 N

Р.МПа

Рис.6.Распределение объемного наполнения Рис.7.Распределение доли числа контактов частиц для

порошка <р при нагрузке Р; 1, 2. 3, 4 — различных объемных наполнений: 1 — 0,64; 2 — 0,62; 3 — 0,6;

результаты эксперимента с различными 4 — 0,58; 5—0,56; К—доля числа контактов частиц; навесками порошка ,, '

N— координационное число

В третьем параграфе рассмотрено исследование внутренней структуры суспензий. Суспензии являются одним из видов дисперсных систем, представляют собой взвеси порошков в жидкости. В параграфе приведена методика проведения вычислительного эксперимента

Внутренняя структура суспензии формируется за счет специфического поведения дисперсной фазы в жидкости. В качестве объекта исследования была выбрана суспензия технического углерода (сажи) в олигомерной среде. Данный выбор обусловлен относительной легкостью экспериментальной регистрации процессов структурообразования электропроводных частиц в диэлектрическом связующем. Расчеты проводились на основе численной

модели (4), суммарная сила определяется как равнодействующая сил

+ 6?

(7)

Рч

ЬГ:

• сила, учитывающая броуновское движение частиц дисперсной фазы в

дисперсионной среде; - сила, учитывающая Ван-дер-Ваальсовые взаимодействия частиц между собой и средой; <??- сила тяжести.

Первоначально был изучен процесс структурообразования саженаполненной олигомерной системы. Численное исследование данного процесса основано на следующем положении. Суспензия становится электропроводной при выполнении условия, что координационное число частиц сажи в суспензии станет не менее 2. Координационное число 2 характеризует структуру суспензии, в которой каждая частица сажи является элементом непрерывной цепи частиц, пронизывающей весь объем суспензии. Пример расчетной ячейки представлен на рис.8. Размер расчетной ячейки, методика подсчета координационных чисел определяются аналогично проводимым расчетам при исследовании порошков. Первоначально частицы располагаются случайным образом в расчетной ячейке. Для проверки адекватности разработанной . численной модели проводились экспериментальные исследования. Результаты численных расчетов и экспериментальных исследований представлены на рис.9.

Во второй серии вычислительных экспериментов изучен процесс структурообразования при различных температурах. Результаты приведены на рис.10. Были получены распределения координационных чисел при температуре системы 80°С, 60°С, 40°С. Было выяснено, что при увеличении температуры происходит ускорение процесса структурообразования частиц, снижается вязкость дисперсионной среды и, следовательно, уменьшается сила гидродинамического сопротивления, действующая на частицы.

ш

■■КЗ

Рис. 8.Пример распределения частиц в расчетной ячейке

К 70

10 12 14 1в 18

кривые

саженаполненной

Рис. 1 (¡.Зависимость содержания структурированных

процесса

. частиц от времени эволюции модели, при

*ппне>.иипя п 'Г

температуре 1 — 8&С;2 — <50°С,- 3 —4(РС; К— доля контактирующих частиц, 1 — время

Рис.9.Кинетические структурообразования

олигомерной системы; 1 — результат численных исследований: 2 — результат экспериментальных исследований; К — доля частиц, имеющих координационное число большее или равное 2, I—время

Одновременно с возрастанием температуры ' увеличивается броуновское движение частиц, что также способствует ускорению структурообразования системы.

В четвертом параграфе приводится численное исследование динамической вязкости суспензии. Данный параметр определяется способностью системы рассеивать энергию при ее течении. При этом рассеивание энергии происходит как в объеме дисперсионной среды, так и на поверхности частиц суспензии. Повышение вязкости суспензии при •увеличении концентрации дисперсной фазы связано с образованием в суспензии агломератов частиц.

Вычислительная модель построена на развитии модели (4),(7) с дополнением численного расчета вязкости суспензии. Вычисления основаны на учете диссипации энергии при образовании временных агломератов частиц. Реологические свойства суспензии определяются суммарной диссипацией энергии на различных структурных элементах системы.

Расчет вязкости агломерированной суспензии производится с использованием уравнения Эйнштейна дополненного членом, учитывающим диссипацию энергии в дисперсионной среде за счет агломерации частиц

г11 = К1ч0(1 + 2,5<р) (8)

где т]I — вязкость агломерированной суспензии, К*" коэффициент агломерации, — вязкость дисперсионной среды; <р - объемное наполнение, д - номер временного слоя.

Рис.1 ¡.Зависимость вязкости суспензии от объемного наполнения:1 —расчет по предложенной модели, 2— экспериментальные литературные данные, 3 расчет по уравнению Эйнштейна; t]a — среднее

значение Т] * у (р — объемное наполнение

Kl=(bW9+ W)/W , (9)

W— диссипация энергии в единицу времени и в единице объема в

неагломерированной суспензии; Aff'7- суммарная дополнительная диссипация энергии на всех агломерированных частицах системы на каждом временном слое q

AtV = ¿AW',9 (Ю)

/=i

AW У- определяется силой гидравлического сопротивления F)4 =6к-ц0-т-«/,

Щ— скорость частицы, п - количество частиц в модели. На рис. 11 приведены результаты численного расчета, полученные на основе использования разработанной модели, а также данные экспериментальных исследований из литературных источников и вычислений по уравнению Эйнштейна. Было выяснено, что предложенный метод учета диссипации энергии обеспечивает необходимый учет взаимодействия частиц и оценку его вклада в формирование реологических свойств суспензии. .

В пятом параграфе проведено численное исследование внутренней структуры полифракционных дисперсных систем. Реальные материалы представляют полифракционные дисперсные компоненты, т. е. элементы дисперсной фазы (частицы) могут бьггь различного размера. На основе развития модели (4), (7) создана модель, позволяющая проводить численное исследование полифракционных дисперсных систем. В качестве объекта

моделирования были выбраны суспензии. Численные расчеты проводились для двухфракционной смесей, состоящих из двух видов частиц, различающихся по отношению диаметров: 1,7/1; 1,5/1; 1,3/1 и 1/1. Частицы аналогично, как и в предыдущих моделях располагались случайным образом

в расчетной области. Размер расчетной ячейки определяется

у 4п п

* ras ~ _ »

3<р ^ <Pj

h'j

где п- общее количество частиц в модели; <р— общее объемное наполнение частиц;«^ -объемное наполнение частиц каждого размера; к — количество фракций, rj- размер частицы. Пример распределения частиц приведен на

рис.12. Методика определения контактирующих частиц (координационного числа) остается такой же, как и в предыдущих задачах. На основе разработанной модели проведены численные исследования зависимости содержания частиц крупной фракции <РкгиР от координационного числа частиц N для различных соотношений размеров частиц. Результаты расчетов представлены на рис.13. Получена зависимость: с увеличением разности в размерах частиц возрастает доля крупных частиц, которые имеют большие координационные числа частиц, чем в системах с одинаковыми размерами частиц. Увеличение суммарного координационного числа частиц системы приводит к увеличению прочности материалов, полученных на основе полифракционных дисперсных компонентов. Например, общеизвестно, что прочность бетона существенно выше, чем раствора, из которого он сделан, а принципиальное отличие бетона от цемента - это наличие в его составе крупной фракции дисперсного компонента, например гравия. Полученные результаты, также объясняют увеличение электропроводности суспензии на основе сажи при введении в ее состав дополнительно крупнодисперсного графита.

О 1 2 3 4 5 • 7 < 9 10 1112 N

Рис.12.Примеррасчетной ячейки Рис. 13.Зависимость содержание частиц крупной фракции <ркпгр , от

координационного числа частиц Л'1 соотношения размеров частиц крупной фракции к размеру частиц мелкой фракции: 1 — 1/1; 2- 1,3/1; 3-1.5/1; 4-1,7/1 - • "

В заключении сформулированы основные результаты исследований.

1. Создана математическая модель внутренней структуры дисперсных систем на основе базовых принципов и понятий материаловедения, механики. Модель позволяет проведение комплексного описания структуры данных систем с учетом всего многообразия ее структурных элементов.

2. На основе разработанной математической модели создана методика численного исследования дисперсных систем методом частиц.

3. С применением данной методики получены новые результаты численных исследований:

процесса структурообразования порошков: определены границы изменения структурных параметров (распределения координационных чисел), изучено влияние расстояния между частицами, показано существование бимодального распределения зависимости числа парных контактов от расстояния между частицами;

механизма уплотнения порошков: установлено, что предельное объемное наполнение порошка 0,64 соответствует упаковке, когда более чем 40% частиц имеет координационное число 12;

формирования пространственных структур суспензий и влияния технологических параметров (вязкости, температуры) на реологическое поведение систем такого типа;

влияния взаимодействия частиц на диссипацию энергии при течении композиции;

процесса структурообразования полифракционных дисперсных систем.

Работоспособность математической модели внутренней структуры дисперсных систем доказана проведением лабораторных исследований в Институте технической химии УрО РАН.

В приложении 1 приводится схема проведения вычислительного процесса.

В приложении 2 представлены результаты численного исследования внутренней структуры порошков.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Zvereva, N.A. Statistical packing of equal sphere / V.A.Valtsifer, N.A. Zvereva // Advanced Powder Technology. - 1999. - Vol.10, №4. -P. 399-403.

2. Зверева, H.A. Компьютерное моделирование суспензий / B.A. Вальцифер, H.A. Зверева, Ю.С. Клячкин // Химическая физика и мезоскапия. - 1999. - Т.1, №1. - С. 73- 84.

3. Zvereva, N.A. Internai structure of a powder during of its compacting / V.A. Valtsifer, N.A. Zvereva H 14 International Congress of Chemical and Process Engineering CHISA. - Praha (Czech Republic), 2000. - P. 63.

4. Зверева, H.A. Экспериментальное исследование и компьютерное моделирование пространственной структуры порошка в процессе его прессования / Н.А. Зверева, В.А, Вальцифер // Аэрокосмическая техника и высокие технологии: Материалы Всероссийской научно-технической конференции 12 - 14 апреля 2001г.-Пермь: ПГТУ, 2001.-С. 116.

5. Зверева, H.A. Расчет вязкости суспензии методом частиц /

B.А. Вальцифер, H.A. Зверева // Аэрокосмическая техника и высокие технологии: Материалы Всероссийской научно-технической конференции 10-12 апреля 2002г.- Пермь: ПГТУ, 2002. - С. 59.

6. Зверева, H.A. Компьютерное моделирование структуры дисперсных систем методом частиц / H.A. Зверева, В.А. Вальцифер // Инженерно — физический журнал. - 2002. - Т. 75, №2. - С. 42- 47.

7. Зверева, Н. А. Исследование реологического поведения олигомерных систем методом компьютерного моделирования / В.А. Вальцифер, H.A. Зверева // Олигомеры: Материалы Восьмой международной конференции по химии и физикохимии олигомеров 2002г. — Москва: РАН, 2002. — С. 28.

8. Zvereva, N.A. Computer simulation and experimental investigation of the rheological behaviour of nanoparticles in suspension / V.A. Valtsifer, N.A. Zvereva //13 international workshop on numerical methods for non-newtonian flows. Lausanne — Switzerland, 2003. — P. 36.

9. Зверева, H.A. Компьютерное моделирование реологического поведения суспензии / В.А. Вальцифер, H.A. Зверева // Математическое моделирование. - 2004. -Т.16, №3. - С. 57- 62.

10. Зверева, H.A. Численное исследование структуры многофракционных систем / H.A. Зверева, В.А. Вальцифер, К.Г. Шварц // Вестник Пермского университета. Математика. Механика, Информатика. — 2005. — Вып.2. —

C. 38-42.

11. Зверева, H.A. Компьютерное моделирование внутренней структуры полифракционных дисперсных систем / В.А. Вальцифер, H.A. Зверева, К.Г. Шварц, И.В. Новикова // Математическое моделирование. — 2006. - Т.18, №2.-С. 113-119.

Подписано в печать 20.11.2006. Формат 60x84 1/16.Бум.офс. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 5~0 ¿>~ Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр «Информатика» 614990, Пермь, ул. Букирева, 15.

введение з

глава 1. анализ возможности применения 9 математического моделирования для исследования внутренней структуры дисперсных систем

глава 2. теоретические основы построения 30 математической модели внутренней структуры дисперсных систем

2. 1. Общая характеристика дисперсных систем

2. 2. Математические основы описания внутренней структуры 32 дисперсных систем

2.3. Построение численной модели внутренней структуры дисперсных систем методом частиц

2. 4. Критерии аппроксимации

глава 3. численное исследование внутренней 46 структуры дисперсных систем

3.1. Численное исследование статистической упаковки равных 46 сферических частиц

3. 2. Численное исследование внутренней структуры порошка в процессе его уплотнения

3.3. Численное исследование внутренней структуры суспензий

3. 4. Численное исследование реологического поведения суспензий

3. 5. Численное исследование внутренней структуры полифракционных дисперсных систем заключение

Актуальность работы. В настоящее время вычислительные эксперименты находят все более широкое применение в решении прикладных задач в области химии. Это определяется сложностью изучаемых реальных систем, появлением новых классов задач в области химии и материаловедения, совершенствованием математического моделирования, разработкой новых классов моделей, методов и программных средств.

Одной из новых и перспективных областей их применения являются задачи исследования внутренней структуры дисперсных систем. Под дисперсной системой понимают системы, состоящие из множества частиц

А 1 размером м (дисперсной фазы), распределенных в жидкой, твердой, или газообразной среде (дисперсионной среде) [1]. На современном этапе проходит активное внедрение дисперсных систем с жидкой дисперсионной средой и твердой дисперсной фазой в химическую технологию. При создании материалов различных классов (например, лакокрасочных материалов, наполненных полимеров, строительных растворов, твердых ракетных топлив) на стадии их разработки требуется проведение большого объема дорогостоящих лабораторных исследований.

В связи с этим при изучении внутренней структуры дисперсных систем на современном уровне вызывает необходимость применения развитых методов математического моделирования, создания вычислительных моделей с использованием численных методов. Разработка математической модели, позволяющей описать комплексное поведение процесса структурообразования данных систем, и создание на ее основе вычислительной схемы методом частиц с проведением численных экспериментов является актуальной, современной и необходимой задачей. Выбор метода частиц для реализации компьютерной модели обосновывается высокой эффективностью, универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных исследований по сравнению с натурными экспериментами и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений. При правильном использовании модели частиц в состоянии продемонстрировать явные преимущества над другими численными методами.

Работа «Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц» выполнялась на кафедре Прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Целью работы является разработка теоретических основ для математического моделирования процесса структурообразования дисперсных систем методом частиц, программного обеспечения, численного исследования поведения систем такого вида в зависимости от различных факторов с использованием метода частиц. На защиту выносятся :

1. Математическая модель внутренней структуры дисперсных систем.

2. Методика численного исследования внутренней структуры дисперсных систем методом частиц.

3. Результаты исследования процесса структурообразования дисперсных систем и влияния различных факторов на поведение данных систем с использованием разработанной математической модели.

Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций диссертации обоснованы: теоретическими предпосылками, базирующимися на фундаментальных законах стационарного движения несжимаемой дисперсионной среды; использованием экспериментальных данных из литературных источников, а также результатов лабораторных исследований, полученных в Институте технической химии УрО РАН лаборатории №7.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Создана математическая модель внутренней структуры дисперсных систем.

2. Впервые использован метод частиц для решения задачи математического моделирования процесса структурообразования систем данного типа.

3. Разработана методшса проведения вычислительного эксперимента по изучению внутренней структуры дисперсных систем.

4. Впервые выполнена оценка влияния расположения элементов дисперсной фазы в дисперсионной среде на различные свойства многофазных материалов.

Практическая ценность:

1. Созданы математическая модель и комплексы программ, позволяющие проводить численные исследования влияния различных факторов, имеющих место в реальных условиях, на структуру и реологическое поведение дисперсных систем.

2. Разработана и апробирована методика по исследованию структурообразования наполненных полимеров, на основе, которой проведены работы:

-по государственному оборонному заказу и заключены контракты на разработку твердых топлив нового поколения по линии секции прикладных проблем Президиума РАН и 13 управления МО РФ совместно с ФГУП «НИИПМ» : тема «Ягодница» (№1372, от 1.04 2004 г.), тема «Гиперзвук» (№ 1501, от 19. 03 2006г.);

- по государственному контракту № ИП-04-05 от 01.09.04 с департаментом промышленности и науки Пермской области «Разработка рецептур огнетушащих порошков, получение разрешительных документов на производство и применение, отработка технологии их производства».

3. Разработанное программное обеспечение используется при проведении научных исследований в Институте технической химии УрО РАН в лаборатории №7 (клеевых композитов) по теме «Теоретические и экспериментальные исследования формирования структуры наполненных полимерных систем», номер государственной регистрации 01. 2.00 100354.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийских и Международных конференциях и конгрессах: 14 Международном конгрессе по химии и технологии (Чехия, Прага, 2000 г.); Всероссийской научно- технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2001г.); Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2002.); 8 Международной конференции по химии и физикохимии олигомеров «Олигомеры- 2002» (Москва-Черноголовка, 2002г.); 13 Международном семинаре по численным методам для неньютоновских жидкостей (Швейцария, Лозанна, 2003г.).

Публикации. Результаты исследований автора изложены в 11 работах, опубликованных в центральных (4 работы), международных (4 работы), местных (3 работы) изданиях. В опубликованных работах автор диссертации принимал участие в постанове задачи, обсуждении результатов, проводил основные расчеты и эксперименты.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, список литературы, приложений. Диссертация изложена на 100 страницах, включает 30 рисунков, 1 таблица, 2 приложения, библиографический список состоит из 108 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создана математическая модель дисперсных систем на основе базовых принципов и понятий материаловедения, механики. Разработанная модель позволяет проведение комплексного описания структуры данных систем с учетом всего многообразия ее структурных элементов.

2. Проведено обоснование использования метода частиц для численного исследования структур такого типа.

3. С помощью разработанной вычислительной модели проведено численное исследование: механизма уплотнения порошков при сжатии; полученные результаты впервые позволили определить границы изменения структурных параметров (распределения координационных чисел); на основе компьютерной модели изучено влияние расстояния между частицами в статистических упаковках порошка; показано существование бимодального распределения в зависимости числа парных контактов от расстояния между частицами; численно исследовано влияние уплотнения порошка на его внутреннюю структуру, получена зависимость между плотностью упаковки частиц порошка и распределением частиц по координационным числам; установлено, что предельное объемное наполнение порошка, равное 64 объемных процента, соответствует упаковке , когда более чем 40 % частиц имеет координационное число 12;

- формирования пространственных структур частиц в олигомерных композициях; проведенные численные эксперименты позволили определить влияния дисперсности сажи, а также вязкости олигомера и температуры исследуемого процесса на реологическое поведение наполненной композиции в целом, например, увеличение температуры приводит к ускорению процесса структурообразования частиц;

- влияния взаимодействия частиц на диссипацию энергии при течении композиции;

- процесса структурообразования полифракционных дисперсных систем.

1. Льюис, У. Химия коллоидных и аморфных веществ / У. Льюис, Л. Скуайрс, Дж. Брутон. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948. - 535 с.

2. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 630 с.

3. Slichter, С. S. Theoretical investigation of the motion of ground waters / C. S. Slicter // U.S. Geological Survey, 19th Ann. Rep. 1899. - Part. 2. -P. 301-384.

4. Blake, F. C. Flow of floods through porous materials / F. C. Blake // Trans. Amer. Inst. Chem. Engrs. 1922. - Vol. 14. -P. 415.

5. Stokes, G. On the aberration of light / G. Stokes // Mathematical and Physical papers, Cambrige. 1880. - Vol. 1. - P. 134.

6. Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Гостехиздат, 1952. 788 с.

7. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. -М. : Гостехиздат, 1947. 758 с.

8. Lorentz, Н. A. A general theorem concerning the motion of a viscous fluid / H. A. Lorentz //Abhandl. Theoret. Phys. 1906. - Vol.1. -P. 23.

9. Smoluchowski, M. Cultigkeitgrenzen des zweiten Haupt zatzes der Warmetheorie, Vortrage uber die kinetishe theoril der Materie und der Electricitat / M. Smoluchowski // 5th Internh. Congr. Math. Lepzig und Berlin, 1912. -Vol. 2.-P. 192.

10. Cunninghman E. Lecons sur les fluides visquex / E. Cunninghman // Proc. Roy. Soc. London, 1910. - P. 357.

11. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media / Z. Hashin //Appl. Mech. Rev. 1964. -Vol. 17. -P.l.

12. Кузнецов В. И. Диалектика развития химии / В. И. Кузнецов. М. : Наука, 1973.-328 с.

13. Einstein, A. On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular kinetic theory of heat / A. Einstein // Ann. Phys.- 1905.-Vol. 17.-P. 549.

14. Einstein, A. A new determination of molecular dimensions / A. Einstein // Ann. Phys. 1906. - Vol. 19. - P. 289.

15. Кузнцов, В. В. Физическая и коллоидная химия / В. В. Кузнецов. -М. : Высшая школа, 1968. 390 с.

16. Taylor, G. I. The viscosity of fluid contain small drops of another fluid / G. I. Taylor//Proc. Roy. Soc. 1932. - Vol. A138. -P. 41.

17. Brenner, H. On the Stokes resistance of multiparticle systems in a liner shear field / H. Brenner, M. E. 0' Neill // Chemistry Engineering Science. 1972. -Vol. 27.-P. 1421.

18. Richardson, J. F. Aerodynamic capture of particles / J. F. Richardson, W. N. Zaki // Chem. Eng. Sci. 1954. - Vol. 3. - P. 128- 134.

19. Brinkman, H. C. Flow properties of disperse systems / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. 1947. - Vol. Al. - P. 27.

20. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973.-785 с.

21. Бэтчелор, Дж. Теория однородной турбулентности / Дж. Бэтчелор. -М. : Изд. ин. лит., 1955.-198 с.

22. Batchelor, G. К. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction / G. K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - Vol.74, pt. 1. -P. 1-29.

23. Batchelor, G. K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles of spherical particles to order с / G. К. Batchelor, J. T. Green // Journal of Fluid Mechanics 1972. Vol. 56. - P. 401.

24. Cooley, M. D. On the slow rotation of sphere about a diameter parallel to a nearly plane wall / M. D. Cooley, M. E. O' Neill // J. Inst. Math. And Appl. -1968.-Vol. 4.-P. 163.

25. Cooley, M.D. On the slow motion generated in viscous fluid by the approach of a sphere to a plane wall or stationary sphere / M.D. Cooley, M. E. 0' Neill // Mathematics. 1969. - Vol.16. - P. 37.

26. Davis, M.N. The slow translation and rotation of two unequal spheres in a viscous fluid / M.N. Davis // Chemistry Engineering Science. 1969. - Vol. 24. -P. 1769.

27. Goldman, A. J. The slow motion of two identical arbitrarily oriented spheres through a viscous fluid / A. J. Goldman, R.G. Cox, H. Brenner // Chemistry Engineering Science. 1966. - Vol. 21. - P. 1151.

28. Stimson, M. The motion of two spheres in a viscous fluid / M. Stimson, G. B. Jeffery // Proc. Roy. Soc. 1926. - Vol. A111. - P. 110.

29. Goldman A. J., Cox R. G., Brenner H. Slow viscous motion of a spheres parallel to a plane wall Coutte flow. II. Couette flow / A. J. Goldman, R.G. Cox, H. Brenner // Chemistry Engineering Science. 1967. - Vol. 22, - P.653.

30. Goren, S.L. The normal force exerted by creepin on a small sphere touching a plane / S.L. Goren // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 41. - P.9.

31. Lin, C. Slow motion of two spheres in a shear field / C. Lin, K. 0. Lee // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 43. - P. 35.

32. Wakiya, S. Particle motions in shear flow of a doublet of two spheres in contact / S. Wakiya, C. L. Darabaner, S. G Mason // J.Phys. Soc. Japan. — 1971. — Vol. 31.-P. 1581.

33. Wakiya, S. Particle motions in sheared suspensions / S. Wakiya, C. L. Darabaner, S. G Mason // Rheology Acta. 1967. - Vol. 6. - |P. 261.

34. Einstein, A. The theory of Brownian movement / A. Einstein // New York: Dover. 1956. -P. 4-32.

35. Batchelor, G. K. The stress system in a suspension of force- free particles / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 41. - P. 545.

36. Batchelor, G. K. Sedimentation in a dilute suspension of spheres / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1972. - Vol.52. - P. 245.

37. Batchelor, G. K. The effect of Brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1977. -Vol. 83.-P. 97-117.

38. Cox, R. G. The rheologhy of a suspension of particles in a Newtonian fluid / R. G. Cox, H. Brenner// Chem. Engng.Sci. 1971. - Vol. 26. - P. 65.

39. Keller, J. B. Extremum principles for slow viscous flows with applications to suspensions / J. B. Keller, I. A. Rubenfeld, J. E. Molyneux // J. Fluid. Mech. -1967.-Vol. 30.-P. 97.

40. Lin, C.J. Slow motion of two spheres in a shear field / C.J. Lin, K.J. Lee, N. F. Sather// Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 43. -P. 35.

41. Krieger, I. M. Rheology of monodisperse lattices /1. M. Krieger // Advanced Colloid Interface Science. -1972. Vol. 2. - P. 111.

42. Leal, L. G. Theoretical studies of a suspensions of rigid particles affected by Brownian couples / L. G. Leal, E. J. Hinch // Rheology Acta. 1973. - Vol. 12. -P. 127.

43. Rutgers, R. Relative viscosity of suspension of rigid spheres in Newtonian liquids / R. Rutgers // Rheology Acta. 1962. - Vol. 2. - P. 202.

44. Rutgers, R. Relative viscosity and concentration / R. Rutgers // Rheology Acta.- 1962.-Vol. 2.-P. 305.

45. Walpole, I. J. The elastic behaviour of a suspension of spherical particles / I. J. Walpole // Mechanics und Applied Mathematics. 1971. - Vol. 25. -P. 153.

46. Ouchiyama, N. Predicting the densest packing of ternary and Quaternary Mixtures of solid particles / N. Ouchiyama // Industry Engineering Chemistry Research. 1989. - Vol. 28. - P. 1530-1536.

47. Kremesec, V. J. The apparent stress deformation behavior of dilute suspension of spheres in a power model fluid / V. J. Kremesec, J. S. Slattery // Transaction Society Rheology. 1977. - Vol. 21. - P. 47- 52.

48. Шмаков, Ю. И. Реологическое поведение разбавленных суспензий жестких сферических частиц со степенной дисперсионной средой / Ю. И. Шмаков, JI. М. Шмакова // Механика жидкостей и газа. 1980. - С. 77- 83.

49. Шмаков, Ю. И. Вязкость разбавленной суспензии жестких сферических частиц в неньютоновской жидкости / Ю. И. Шмаков, JI. М. Шмакова // ЖПМТФ. -1977. -№5. -С.81-85.

50. Frankel, N. A. On the viscosity of concentrated suspension of solid spheres / N. A. Frankel, A. Acrios // Chemistry Engineering Science. 1967. - Vol. 22. -P. 847-853.

51. Tanaka, H., White J. L. A cell model theory of the shear viscosity of concentrated suspension of interactiny spheres in a nonnewtonian fluid / H. Tanaka, J. L.White // Non-Went Fluid Mechanics. 1980. - № 7. -P. 333-343.

52. Иванов, В. А. Расчет сдвиговой вязкости концентрированной суспензии жестких сферических частиц в неньютоновской жидкости. / В. А. Иванов // Механика композиционных материалов. 1984. - №5. - С. 940- 943.

53. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии / Д. А. Фрибрихсберг. М. : Химия, 1979. - 170 с.

54. Зимон, А. Д. Адгезия пыли и порошков / А. Д. Зимон. М. : Химия, 1976.-431 с.

55. Фукс, Г. И. Исследование влияния состава граничных слоев на коагуляционные и фрикционные взаимодействия и улучшения смазочных материалов / Г. И. Фукс // ДАН СССР. 1963. - Т. 153, №2. - С. 398.

56. Яхнин, Е. Д. К вопросу о структурообразовании в дисперсных системах / Е. Д. Яхнин, А. Б. Таубман // ДАН СССР. 1964. - Т. 155, №1. - С. 179-182.

57. Яхнин, Е. Д. О связи прочности дисперсной структуры с силами взаимодействия между ее элементами / Е. Д. Яхнин // ДАН СССР. 1968. -Т.178, №1. -С.152-155.

58. Kuhn, L. Т. Power -law creep of powder bonded by isolated contacts / L. T. Kuhn, R. M. // Int. J. Mech. Sci. -1992. Vol. 34. - P. 563-573.

59. Scott Blair, G. W. The classification of the rheological properties of industrial materials in the light of power -law relations between stress, strain and time / G. W. ScottBlair, J. Caffyn//J. Sci. Inst. 1941.-Vol. 19.-P.88-93.

60. Guth, E. Theory of Filler Reinforcement / E. Guth //1. Appl. Phys. 1945. -Vol. 16.-P. 20-24.

61. Rumpf, H. Zur theorie der zugfestigkeit von agglomeraten bei kraftubertrgung an kontaktpunkten / H. Rumpf// Chem. Ing. Tech. 1970. - Vol. 42. - P. 538540.

62. Takaaki, Nagao. A study of the statics of granular materials / Nagao Takaaki // Japan Soc. Mech. Engrs. 1978. - Vol. 21. - P. 1077- 1084.

63. Зонтаг, Г. Коагуляция и устойчивость дисперсных систем / Г. Зонтаг, К. Штренге. Л : Химия, 1973. - 151 с.

64. Глазман, Ю. М., Фукс Г. Н. Факторы агрегативной устойчивости коллоидных дисперсий / Ю. М. Глазман, Г. Н. Фукс // Успехи коллоидной химии.- 1973.-С. 140- 158.

65. Евстратова, К. И. Физическая и коллоидная химия / К. И. Евстратова. -М.: Высшая школа, 1990. 488 с.

66. Simha, R. Calculation viscosity of concentrating suspensions / R. Simha II Kolloid. Z. 1936. - Vol. 76. - P. 16.

67. Красильников, К. Г. Физико- химия собственных деформаций цементного камня / К. Г. Красильников, Л. В. Никитина, Н. Н. Скоблинская. -М.: Стройиздат, 1980. 255 с.

68. Красильников, К. Г. О собственных деформациях пористых тел / К. Г. Красильников, А. М. Подвальный, А. Е. Сегалов // Коллоидный журнал. 1974. - Т. XXXVI, №2. - С. 266- 271.

69. Леонов, А.И. Реология полимеров. Теория тиксотропии / А.И. Леонов, Г.В. Виноградов // ДАН СССР. 1964. - Т. 155, №2. - С.406- 409.

70. Ахметов Б. В. Физическая и коллоидная химия / Б. В. Ахметов, Ю. П. Новиченко, В. И. Чапурин- Л. : Химия, 1986. 320 с.

71. Синельников, Н. Н. Анализ плотных упаковок бикомпонентной системы дисков на плоскости / Н. Н. Синельников, М. А. Мазо // Коллоидный журнал. 1995. - Т. 57, №6. - С.853-856.

72. Ayer, J. E. Compaction of spherical shapes / J. E. Ayer, F. E. Soopet // Am. Ceram. Soc. 1965. - Vol. 48. - P. 180- 183.

73. Sohn, H. Y. The effect particle Size Distribution on Packing Density / H. Y. Sohn // J.Chem. Eng. -1968. Vol. 46. -P. 162-167.

74. Karlsoon, K. Pacing of Irregular Particles / K. Karlsoon, L. Spring // J. Mater. Sci. -1970. Vol. 5. - P.340- 344.

75. Dodds, J. A. The porosity and contact point in multicomponent random sphere packing Calculated by simple statistical Geometric Model / J. A. Dodds // J. Colled Interface Sci. 1980. - Vol. 77. -P. 317-327.

76. German, R. M. Particle Packing Characteristics / R. M. German // Metal Powder Industries. Federation Princeton NJ. 1989. - Vol. 1. - P. 4.

77. Standish, N. Optimization of coal Grind for maximum Bulk Density / N. Standish, A. B. Yu, R. P. Zou // Powder Tech. 1991. -Vol. 68. - P. 175-186.

78. Stewart, I. Has the Sphere Packing Problem Been Solved / I. Stewart // New Sci. 1992. - May. -C. 16.

79. Meakin, P. Application of experimental and numerical models to the Physics of Multiparticle Systems / P. Meakin, A. T Skjeltop // Adv. Phys. 1993. -Vol. 42,- P. 127.

80. Вальцифер, В. А. Анализ микродеформаций в композите с дисперсными компонентами / В. А. Вальцифер, В. А. Аликин, А. С. Ермилов // Механика композитных материалов. 1987. - №5 . - С. 24.

81. Вальцифер, В. А. Стабилизация крупно дисперсных частиц в вязкой среде / В. А. Вальцифер, В. А. Аликин, Ю. Г. Целищев, Т. Е. Стенанова // Химическая промышленность. 1991. -№ 4. - С. 54- 55.

82. Hartree, D. R. Some Calculations of Transients in an Electronic Valve / D. R. Hartree // Appl. Sci. Res. 1950. - Vol. Bl. - P. 379-390.

83. Buneman, O. Dissipation of Currents in Ionised Media / O. Buneman // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. - P. 503- 517.

84. Buneman, O. Time- Reversible Difference Procedures / O. Buneman // J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 1. - P. 517 -537.

85. Buneman, 0. The Advance from 2D Electrostatic to 3D Electromagnetic Particle Simulation / 0. Buneman // Comput. Phys. Commun. 1976. - Vol. 12 -P. 21-31.

86. Buneman, 0. Analytic Inversion of the Five- Point Poisson Operator / 0. Buneman // J. Comput. Phys. 1971. - Vol. 8. - P. 500- 505.

87. Ландау, JI. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Гостехиздат, 1958. - 620 с.

88. Ландау, Л. Д. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Гостехиздат, 1953. 567 с.

89. Дзялошинский, И. Е. Общая теория ван- дер- ваальсовых сил / И. Е. Дзялошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский // Успехи физических наук. 1961. - Т. LXXIII, вып. 3. - С. 381- 422.

90. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. -М. : Мир, 1987. 638 с.

91. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

92. Smith, N. О. Pacing of Homogeneus spheres / N. О. Smith, P. D. Foote // Physical Rewie. 1929. - Vol. 34. - P. 1271- 1274.

93. Bernal, J. D. Pacing of spheres / J. D. Bernal, J. Mason // Nature. 1960. -December 10. - P. 42-43.

94. Шендрик, E. H. Структуры и свойства композитов на основе дисперсных систем / Е. Н. Шендрик, В. А Вальцифер, Ю. С. Клячкин // Сб. УроРАН. 1991,- С. 74- 80.

95. Клячкин, Ю. С. Исследование дисперсных систем / Ю. С. Клячкин, В. А. Вальцифер, Б. А. Погорелов, Е. Н. Шендрик // Каучук и резина. -1993.-№ 2.-С. 33-34.

96. Вальцифер, В. А. Моделирование коллоидных систем / В. А. Вальцифер, Б. А. Погорелов // Коллоидный журнал. 1995. - Т. 57, №6,- С. 909-911.

97. Vand, V. Fluidization and fluidparticle systems / V. Vand // J. of Physical and Colloidal Chemestry. 1948. - Vol. 52, № 2. - P. 277- 299.

98. Firth, В. A. Flow properties of disperse / B. A. Firth // J. of Colloid and Interface Science. 1976. - Vol. 57, № 2. - P. 266- 275.

99. Бибик, E. E. Реология дисперсных систем / E. E Бибик // Вестник ЛГУ. -1981,- С. 172.

100. Fedars, R. F. Rheology of agglomeration in colloidal systems / R. F. Fedars // J. of Cooloid and interface Science. 1974. - Vol. 46, №3. - P. 545- 547.