автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии

На правах рукописи

Киреев Сергей Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ СТАТИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск 2005

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор П.А.Вельмисов

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор H.H. Ковальногов

доктор физико-математических наук, профессор B.JI. Леонтьев

Ведущая организация:

Казанский государственный технологический университет

Защита состоится 1 июня 2005г. в 12.30 на заседании диссертационного совета Д.212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан "э<У' a^r/jß 2005

г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

В .Р.Крашенинников

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке математических моделей, и созданию на их основе математических методов исследования устойчивости упругих элементов конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком газа (жидкости).

Актуальность темы. При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств различною назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важной проблемой является обеспечение надежности их функционирования и увеличение сроков службы. Подобные проблемы присущи многим отраслям техники. В частности, такого рода задачи ставятся в авиаракетостроении, турбо-компрессоростроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем и т.д.

Существенное значение при расчете конструкций, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к ее потере. Примерами статической потери аэроупругой устойчивости, которая может привести к разрушению конструкции, являются дивергенция (закручивание) крыла самолета, статическое выпучивание пластин и оболочек при обтекании потоком, дивергенция трубопровода, и т.д. В качестве примеров потери динамической устойчивости можно указать: флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов; колебания проводов, дымовых труб, висячих мостов, трубопроводов и т.д.

В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости можно поставить так: при каких значениях параметров (внешних и внугренних) система может совершать скачкообразный переход из одного состояния равновесия в другое (явление бифуркации). В качестве таких основных параметров в статических задачах аэрогидроупругости выступают скорость потока, прочностные характеристики, приложенные усилия и т.д.. В случае возникновения указанных явлений происходит переход парам критические

значения, при этом меняется качественная картина решений уравнений, которые описывают деформацию упругих тел. В окрестности точки бифуркации возможны несколько решений, и, тем самым, несколько положений равновесия обтекаемого тела.

Устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Исследованиями в этом направлении в последние десятилетия занимались Алгазин С.Д., Белоцерковский С.M, Бисплингхофф Р.Л., Болотин В.В., Воль-мир A.C., Горшков А.Г., Григолюк Э.И., Доуэлл Е.Х., Ильгамов М.А., Ильюшин A.A., Кийко И.А., Дж. Майлс, Мовчан А А., Новичков Ю.Н., Пановко Я.Г., Фын Я.Ц., Халфман Р.Л., Эшли X. и др.

В работах Казакевича М.И., Милославского А.И., Мовчана A.A., Свет-лицкого В.А., Томпсона Дж. М.Т., Феодосьева В.И., Челомея C.B., и др. исследуется устойчивость трубопроводов.

Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и численными методами в работах Абботта Ж.П., Агкинсона К Е., Бола Е , Вайнберга M. М., Вебера X., Демулина М.Ж., Зейдела Р., Кеенера Ж.П., Келлера Х.Б., Крандалла М.Г., Кубичека М., Лангфорда В.Ф., Лошнова Б.В., Марека М., Марсдена Ж. , Плаута Р.Х., Рабиновича П.Х., Редиена Г.В., Сидорова H.A., Стакгольда И., Треногина В.А. , Холмеса П., Чена М. и др.

Рассматриваемые в диссертации задачи являются нелинейными, что увеличивает сложность их решения.

Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов

(полых стержней) с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение соответствующих нелинейных математических моделей упругих элементов конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.

2. Разработка методик аналитического решения нелинейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, соответствующих построенным моделям, и проведения на их основе исследования статической неустойчивости упругих элементов.

3. Разработка численного метода исследования статической неустойчивости пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, и трубопровода, по которому протекает жидкость.

4. Разработка методик аналитического исследования динамической устойчивости упругих элементов указанных конструкций.

Методы исследования базируются на теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, асимптотических методах, моделях механики сплошных сред, численных методах, методах математического моделирования. В частности, были использованы метод Ляпунова-Шмидта, метод Галеркина и метод Рунге-Кутта.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается адекватностью построенных моделей классическим представлениям в механике сплошных сред, строгостью математической постановки задач и выкладок при получении аналитических решений, согласованием аналитических результатов с результатами численного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. Построены нелинейные математические модели упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов (полых стержней) с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них, для различных типов закрепления этих элементов и с учетом взаимодействия с нелинейным упругим основанием.

2. Разработаны методики аналитического решения нелинейных краевых задач аэрогидроу пру гости с различными типами граничных условий для пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей в нем жидкостью.

3. Разработан численный метод и соответствующие компьютерные программы исследования статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей по нему жидкостью.

4. Проведена классификация закреплений упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с точки зрения их устойчивости.

5. Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости упругого элемента конструкции (в виде пластины) с учетом взаимодействия со сверхзвуковым потоком газа.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований. Полученные в работе результаты углубляют представление о механических процессах взаимодействия деформируемых тел с газожидкостными средами и имеют практическое значение для развития методов расчета аэроупругих конструкций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных, республиканских и межвузовских конференциях и школах: Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1997,2003); научно-практическая конференция "Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике" (Ульяновск, 1997); Воронежская математическая школа "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж, 1998); восьмая, девятая, одиннадцатая, тринадцатая

межвузовские конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 1999, 2001, 2003); международная научно-техническая конференция "Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели" (Ульяновск, 1998); международная конференция "Численные и аналитические методы расчета конструкций" (Самара, 1998); XXIV, XXVII Summer School "Applications of Mathematics in Engineering" (Bulgaria, Sozopol, 1998, 2001); международная конференция "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации" (Ульяновск, 1999); IV, VI международные конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2000, 2004); международные конференции "Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике" (Ульяновск, 2001, 2002, 2003, 2004); Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XIV" (Воронеж, 2003); ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1997 - 2004).

Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках проекта "Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (грант РФФИ N 98-01-03286, 1999-2000 гг.), в рамках НИР "Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (заказ-наряд Федерального агенства по образованию, 2004 г.), а также в рамках госбюджетной НИР "Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике, естествознании".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 46 печатных работ (29 статей и 17 тезисов докладов).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (209 наименований) и девяти приложений, и содержит 152 страницы (без учета приложений).

Содержание работы

В первой главе исследуются нелинейные задачи о дивергенции пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа как с классическими однородными граничными условиями, так и с линейной и нелинейной упругой связью на концах, с учетом аэродинамической нагрузки, определяемой из асимптотических уравнений газовой динамики, как в первом, так и во втором приближениях. Примерами упругих элементов в виде пластины являются: панель крыла, элемент закрылка, элемент предкрылка (рис.1). Крыловой профиль вместе с предкрылком и закрылком можно моделировать пластиной с переменными изгиб-ной жесткостью и удельной массой.

П - элемент предкрылка 3 - элемент закрылка V - скорость потока

— з

Рис. 1.

Математическая модель описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением для деформации Цх) упругого элемента

ГЫ>{А) +Мм>" + ап' +/(к)-вп')(*>')2<к = 0, х е(0,-0, (1)

о

а = а0р0Г2/^М2 -1, М = У/а, !> = £/, в = ЕР 121{\-ц2) и совокупностью граничных условий в точках х = Ь{Ь = 0, Ь = ()

с0У^(Ь) = 8Ы(Ь)), (2)

Предполагав!ся, что функции А и / имеют вид

ё(у')= £ск(*')1к-], А(*)= , /и= Iа1к_Ук-1. (3)

к=1 к=\ Ы

Здесь О - изгибная жесткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) усилие; У,р0,а, М - скорость газа, плотность, скорость звука, число Маха, соот-

ветствующие невозмущенному однородному потоку; а] (у = 1 + °о) - коэффициенты, характеризующие жесткость основания; интегральный член учитывает нелинейное воздействие продольного усилия; ом' - член, учитывающий аэродинамическое воздействие; а0 - 1(«„ = 2) соответствует одностороннему (двустороннему) обтеканию пластины; Е - модуль упругости; ¡л - коэффициент Пуассона; ,Р - площадь поперечного сечения; 3 - момент инерции сечения;/(и>) - нелинейная реакция основания. Все коэффициенты, входящие в уравнение и граничные условия, постоянные. Часть коэффициентов в (2), (3) может равняться нулю; в зависимости от значений этих коэффициентов граничные условия могут быть или линейными, или нелинейными. Совокупность граничных условий вида (2), выражающих связь между перерезывающей силой и перемещением или между изгибающим моментом и углом поворота, должна выполняться на каждом из концов 6 = 0, Ь = £. Изгибающий момент М и перерезывающая сила Q в сечении х имеют вид М = Шм>"(х), Q = КЬ>п{х).

1. Проведена классификация линейных граничных условий вида (2), при которых возможна или невозможна бифуркация решений уравнения (1).

Среди классических однородных условий бифуркация возможна в четырех случаях закрепления концов, представленных в таблице 1, где "ж." - жесткое защемление (^ = 0, ™' = 0), "ш." - шарнирное закрепление (н> = 0, н>* = 0), "с.з." - скользящая заделка (м>' = 0, н'"-0), "с." - свободный конец О" = 0, м>т = 0). Знаком "+" отмечены случаи, для которых бифуркация возможна.

Таблица 1.

Правый конец

а ж. ш. с.э. с.

а

X ж. - - - -

ш. - - - -

я $ с.э. + + - -

с. + + - -

Для этих типов закрепления получены асимптотики решений и построены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба

пластины от скорости набегающего потока (шах V)).

[0,1]

При решении задач использовалась процедура сведения решения функционального уравнения к эквивалентному уравнению в конечномерном пространстве - уравнению разветвления, предложенная А.М.Ляпуновым и Э.Шмидтом. Она основана на введении вспомогательных параметров, таких, что становится возможным применение теоремы о неявных операторах в основном уравнении, то есть становится возможным построение решения уравнения в виде функции от малых значений спектральных и вспомогательных параметров.

Например, для закрепления "скользящая заделка - жесткое защемление" с N = 0, я, =0 в уравнении (1), асимптотика решения имеет вид

w{x) = ±\-^—-Q){x) + o{Js),sign s = -sign{Lu -LJ0),s = ~--s\ (4) V ^зо

где e - малый параметр. Коэффициенты L\ j , L30 определяются выражениями

i a £6 1 1 -) 1

Lu =-\a>'(x)ri{x)dx, Z30 =—-—\тг{x)rj(x)dx +-\co (x)dx\o)"{x)ri(x)dx,

о D о D oo

где a{x) и t](x) - собственные функции прямой и сопряженной задач:

S SX

а{х) = -2^3sin(^-7г13)е2 + e~sx + 2е2 smfe-я/б), y = sS/2,

Ф) =

1/2-л/Зе2 sin(/)

е 2 cos{jx)-ea/2 +

Тз/2-е2%т(/)

sin(^c).

Критические скорости потока, при которых возникает бифуркация, определяются из соотношения 53 =аР / £>, при этом собственные значения 5 находятся из уравнения: е~ь'2 -2соз(л/3«/2-л-/з)=0. Наиболее важным в практических задачах является наименьшее отличное от нуля значение скорости и, тем самым, значение х (в данном примере я, »3.017).

На рис.2 представлены бифуркационные диаграммы, соответствующие решению (4), при фиксированных коэффициентах изгибной жесткости

Ц <£)0 <£>2 . Левая диаграмма соответствует Л>,,Л],V/1; средняя -правая - 02, , \у2 (Л, <Л,- критические собственные значения). На рис.3 представлены формы прогиба пластины, где ф(х) соответствует положительному решению {ф{х) = \\>(х)), <//(х) - отрицательному {ц/{х) = -и*(х)), для значений £)„, Л0.

460 Ж 47П 475

и-1(,468 5268384904) = 0

9738(542271) = 0 007023085 чг1(506 2842140925) - 0 021228691 АО

иЮ(474 6672884065) -0 ш0("478 9758642871) = 0 005354128 «0(506 2842140925) • 0 020736448

«2(477 9249257566) = 0 «-2(47? 9758642871) » 0.002830133 ^2(506 2842140925) = 0 020232233

-4 10 ' "

-8 10 -00012 -0.0016 Ф(х) -0 002

- -0 0024

-00028 -0 0032 -0С03Й -0 004

485 490 495 500 505 510

Рис.2

г = 001

0004 00036 00032 0 0028 0 0024 Ч/(х) 0 002 - 0 0016

0 0012 8 10.Т

4 10 *

ф(0) - -0 0037859402 К1)-0

Рис.3

Ч<СГ) - 0 0037859402 Ч»0) - 0

Графики построены при /г = 0.005 (толщина элемента), £ = 7-10 , // = 0.31 (алюминий), ¿ = 1, а = 330, /?0 = 1.2 (воздух), <9 = 35-105, а0=2, аг =1, 19.04-103, Ц, =19.05-103, Л3 = 19.06• 103 (значения параметров указаны в

системе СИ).

Для других типов закрепления асимптотические решения строятся аналогичным образом. Они имеют вид (4), но с другими собственными функциями й)(х), г](х) и другими собственными значениями X = Бифуркационные диаграммы для них подобны диаграммам, изображенным на рис.2.

Среди граничных условий с линейной упругой связью на концах

£Л/(1) =-с,*и>'(1), Ым/"(\) = с1\м>(}) (5)

бифуркация возможна в 32 случаях. Для некоторых из них также построены асимптотические решения вида (4) и бифуркационные диаграммы, аналогичные диаграммам, представленным на рис.2. Для остальных условий построение соответствующих асимптотических решений и бифуркационных диаграмм принципиальных трудностей не вызывает.

Методика построения асимптотических решений допускает зависимость коэффициентов агк_{ от х.

2. Рассмотрены задачи с нелинейным упругим закреплением концов. В качестве примера рассмотрены условия

м>"(0) = ск'\0), ^''(О^-ЛАО), 41) = 0, = соответствующие упругому закреплению конца х = 0 (момент пропорционален кубу угла поворота, а перерезывающая сила пропорциональна кубу прогиба) и жесткому защемлению конца х = 1 (о 0, ^ > 0 - коэффициенты жесткости связи, отнесенные к О). Для полученных асимптотических решений также построены бифуркационные диаграммы, аналогичные диаграммам на рис.2.

3. Рассмотрена задача об изгибных формах пластины-полосы с учетом аэродинамической нагрузки во втором приближении, описываемых нелинейным интегро-дифференциальным уравнением

ЫА) +см/-длг)м/2ск-Р0хМ7 о

Г .л, „Л

2

1)

А02

и/ -т/

+ 1о2к_УкА=0, (б)

ы

а = адр0У2 /Р, Р = -1 ,М = У/а, й = Е/ и граничными условиями (2). Здесь Ри - давление, соответствующее однородному потоку; х - отношение теплоемкостей (% - с р /су);

Для поиска решений задачи (6), (2), ответвляющихся от нулевого, применяется метод Ляпунова-Шмидта. В качестве примера укажем два члена разложения решения задачи с граничными условиями "свободный конец - жесткая заделка"

ь20

^20

^11 21 /2 Ио

I

ад3.

гЗ ¿"20

о£3

/ (

1 'г 1

1П 120 - Л2 Iе0' (х)г/(х)<£с - Я, {¿у(х)й/(х)/7(х)й&:,...

о оо

л, =рам2ет, к2 =я,(4р2 -м4(х+т*РА),

со{х) = 24Ъът{у + я1?>У12 +е'5Х ~2е$хПът{ух + я1б), у = 3/2, |/(х) = е" + (1/2 + л/Зе3*/2 ипО^""'2 соз(^)+ (л/3/2 - е31'2^^)^'2 зш(^). Собственные значения Х = зъ определяются из соотношения: е~ъп + 2соэ(л/35'/2)= 0; (г,у == 0н-3) - некоторые постоянные, которые выражаются через интегралы от ш{х) и ^(х).

4. Для уравнений (1), (6) приведены примеры построения решений на основе метода Галеркина.

Предложен также способ построения точных решений краевых задач для уравнения

г ,

(Дх Ю" + М/ + аи/ + а, (х)н' - вм" |и>'2Л = 0.

о

Он основан на методике, предлагаемой для построения решений класса интег-ро-дифференциальных уравнений вида

Цм>) + 8(м>)-0

8„

сЬс,..., JMn(w)í&

е.

= о,

(7)

где и>(х) - искомая функция; 1(м>) - однородный дифференциальный оператор;

Мк (и»), 5(ч>) - произвольные интефо-дифференциальные операторы (порядок не превосходит порядка ¿(ю)).; С - некоторая алгебраическая функция, зависящая от п переменных; £к,9к - постоянные.

Указаны методики построения асимптотики решений уравнения ГЫ>(4) + ш' + а2„_1 (х)»>2"-' = 0, п = 2,3,4...

Г .

и уравнения (1) с /{м>) = ■

к=\ '

5. Рассмотрена уточненная модель задачи о дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа, описываемая уравнением

3 '

^ £Ы>(4) + ст>' ~-Оп(4)п'2 --ЗШ"3 + а^ - вм'\ч>'2ск = 0. 2 о

Модель учитывает кубические члены, характеризующие упругие свойства пластины. Для закрепления "свободный конец - жесткая заделка" проведен сравнительный анализ решений, полученных методом Ляпунова-Шмидта, для случая с нелинейными членами, содержащими Б, и без них. На основе уравнения

М\Ь + а*(м/ + Ум>') + ум + Рм + Ь{м>) = О исследуется динамика пластины.

6. Исследуется задача о динамических и статических деформациях прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Прогиб пластины определяется из уравнения

Ш + + У-и>х) + уи> + + [в{рхх + ^(н'хс +™уу)\хх +

+ + )] + + у/*<) - (т}йх)х - (Лм>у ) +

Х" 2 9 *? 2 М] +у,— о

+ (а^ + + (л^ + + /(х,уАУ1>,*)

Уо , 5 Уо

[о Ото.

в котором М, р, р, £>, V, у, ц/", ц, Л^, Ы^ не зависят от у; цк, Ук -

+ 2м>

*у

ч Уо д Уо

Мо I I + ^о — \ \™хч> с1х(1у

0 0 ОТ о о

постоянные; а. =a!V \ точка соответствует дифференцированию по t.

Решение задачи основано на представлении прогиба w в виде к

w = Z w„ (х, t)g„ (у). С помощью построения функционала получены условия

Я=1

динамической устойчивости пластины, в том числе определены типы закреплений краев пластины х = const. Условия накладывают ограничения на параметры пластины и скорость потока. В частности, область устойчивости (на рис.4 заштрихована) на плоскости (V,NX) ограничена

неравенством Nx<a-bV (a>0, ¿>0).

Рис.4.

Во второй главе исследуются нелинейные задачи о дивергенции трубопровода (с протекающей по нему жидкостью) как с классическими однородными граничными условиями, так и с линейными и нелинейными упругими закреплениями концов. На рис.5 представлен пример упругих элементов в виде трубопровода.

А В

N.

Л в

Рис.5.

Математическая модель описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением для деформации Цх) упругого элемента

I

Dw(4) + Nw" + f(w) - 9w"\{w'fdx = 0, о

D = EJ, N = N0 + mJJ2, f(w)=ia2k.lwu'X

it *=i

и совокупностью граничных условий (2). В (8) £>- изгибная жесткость трубопровода; Л\,>0 - сжимающее (<У(| < 0 - растягивающее) усилие; т. - удельная масса жидкости; V - скорость движения жидкости. Все коэффициенты, входящие в уравнение, постоянные.

Методика исследования бифуркации трубопровода аналогична той, что использована в задачах о дивергенции пластины.

1. Проведена классификация линейных граничных условий вида (2), при которых возможна или невозможна бифуркация решений уравнения (8).

Среди классических однородных условий бифуркация возможна для типов закреплений, представленных в таблице 2

Таблица 2.

Правый конец

1 о ж. ш. с.э. с.

М ж. + + + +

« Я о ш. + + + +

с.э. + + - -

¿5 с. + + - -

Для некоторых из них построены асимптотики решений уравнения (8) и бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба трубопровода от скорости потока жидкости, аналогичные диаграммам для пластины (рис. 2).

Среди граничных условий с линейной упругой связью на концах £Л/(0) = с, 4(0), £ЛЛ0) + Л%'(0) = 40), ЕЬ>\\) = -с\ч>'{\), Е/м>'"(1) + = ¿>(1) (9)

бифуркация возможна в 72 случаях. Для некоторых из них также построены асимптотические решения и бифуркационные диаграммы. Классификация проведена и для случая, когда в (9) N = 0.

Для остальных условий, при которых возможна бифуркация, построение соответствующих асимптотических решений и бифуркационных диаграмм принципиальных трудностей не вызывает.

2. Рассмотрена задача с нелинейным упругим закреплением концов. Для

примера выбраны условия

и>'(0) = 0, *"(0) = -<Л»>3(0), м<1) = 0, м>п(1) = -ск'\\), соответствующих упругой скользящей заделке на конце х = 0 и упругому шарниру на конце х = \ (с>О, с/>0 - коэффициенты жесткости связей, отнесенные к й). Для полученных асимптотических решений также построены бифуркационные диаграммы.

3. Для уравнения (8) приведены примеры построения решений на основе метода Галеркина. Проведено сравнение прогибов трубопровода, полученных численным методом, методом Ляпунова-Шмидта и методом Галеркина.

Предложена методика построения точных решений уравнения

/

(Д*К)" + + а, (х)м> - \м>,2(к = 0.

о

Указаны методики построения асимптотики решений уравнения Оп™ + Мы"+ а2п_\(х)п2"-* =0, « = 2,3,4...

и уравнения (8) с /(уу)= ' •

*=1

4. Рассмотрена уточненная модель задачи для трубопровода, в котором протекает жидкость, описываемая уравнением

£Ы>(4) + Щч:" + /яУV-91)иЛ/к»"-ЗОм"3 -0 2

-~ти2м>"м>'2+а3м>3-вп"1к'2с1х = 0. (10)

2 о

Модель учитывает кубические члены, характеризующие упругие свойства трубопровода и воздействие потока жидкости.

Для шарнирного закрепления обоих концов трубопровода получены асим-тотики решений уравнения (10) методом Галеркина и методом Ляпунова-Шмидта с учетом различных вариантов присутствия в уравнении (10) нелинейных членов, содержащих О и т1/2 . Проведен сравнительный анализ решений, полученных методом Ляпунова-Шмидта, методом Галеркина и численным методом.

В третьей главе предла! ается численный метод решения задач о дивергенции пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Численная реализация заключается в сведении краевой задачи к начальной задаче Коши. Нелинейность разрешается с помощью Ньютоновского процесса. Сложность задачи Коши состоит в присутствии интегрального слагаемого, что делает невозможным прямое применение метода Рунге-Кутта. Поэтому строится специальный итерационный процесс. Программы, реализующие численный метод, написаны на языке Delphi 7.

В качестве примеров проведены расчеты для следующих 1ипов граничных условий: "скользящая заделка - жесткое защемление", "шарнирное закрепление - жесткое защемление", "шарнирное закрепление - шарнирное закрепление", "свободный конец - упругая связь (w"(0) = 0, w"(0) = 0, Dwm{\) = cw(l), Dw'(l) = -cw'(l)T.

Построены бифуркационные диаграммы и формы прогиба пластины (трубопровода), проведен сравнительный анализ решений, полученных методом Ляпунова-Шмидта и численным методом.

В приложении представлен вывод уравнения колебаний пластины в сверхзвуковом потоке с учетом ародинамического воздействия в первом приближении; дан вывод уравнения, описывающего статические деформации упругой пластины в сверхзвуковом потоке с учетом ародинамического воздействия в первом и втором приближениях; обсуждается вопрос о выборе знаков в граничных условиях, соответствующих упругим связям; дана общая схема метода Ляпунова-Шмидта и диаграммы Ньютона; приведена программа, реализующая численный метод; даны примеры расчетов.

Основные результаты работы

1. Построены нелинейные математические модели упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов с учетом воздействия потока жидкости, протекающе-

го внутри них, для различных типов закрепления этих элементов, с учетом нелинейного продольного усилия и взаимодействия с нелинейным упругим основанием.

2. Разработаны методики аналитического решения нелинейных краевых задач аэрогидроупругости с различными типами граничных условий для пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей в нем жидкостью.

3. На основе построения функционала разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости упругого элемента конструкции (в виде пластины) в сверхзвуковом потоке газа и получены условия устойчивости.

4. Разработан численный метод и соответствующие компьютерные программы исследования дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей по нему жидкостью.

5. Проведена классификация закреплений пластины (обтекаемой сверхзвуковым потоком газа) и трубопровода (при протекании в нем жидкости) с точки зрения их устойчивости.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Киреев C.B. Статическая неустойчивость пластины в потоке rasa/Modelling and Investigation of System Stability: thesis of Reports of International Conference. -Kiev, 1997.-P. 68.

2. Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Механика и процессы управления: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 1998. - С. 27 - 34.

3. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О статической неустойчивости трубопровода// Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчета конструкций". - Самара, 1998. - С. 244 - 249.

4. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А .О. Асимптотика решений задачи об обтекании пластины сверхзвуковым потоком газа//Труды восьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -

19

Самара, 1998.-С. 18-21.

5. Вельмисов ПЛ., Киреев С.В, Кузнецов А.О. О бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа//Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети и модели: Труды международной научно-технической конференции. - Том 4: Математические и физические модели технических объектов. - Ульяновск: УлГТУ, 1998.-С. 26-29.

6. Вельмисов П.А, Кирссв C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений одного класса нелинейных краевых задач аэроупругости//Современные проблемы механики и прикладной математики: труды Воронежской школы. - Воронеж, 1998.-С. 70.

7. Киреев C.B. Статическая неустойчивость трубопровода//Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации: труды межд. конф. - Том 3: Математические методы и модели. - Ульяновск: УлГТУ, 1999. - С. 31 - 34.

8. Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений одного класса нелинейных краевых задач аэрогидроупругости//Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации: труды межд. конф. - Том 3: Математические методы и модели. - Ульяновск: УлГТУ, 1999. - С. 28 - 31.

9. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода/Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации: труды межд. конф. - Том 3: Математические методы и модели. -Ульяновск: УлГТУ, 1999. - С. 34-37.

10. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа//Журнал "Вестник УлГТУ", №1. - 1999. С. 44 - 51.

11. Вельмисов П. А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Деп. в ВИНИТИ от 01.04.1999, №1778 - В99. - 58 с.

12. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О стагической неустойчивости трубопровода/^. в ВИНИТИ от 17.12.1999, №3870 - В99. - 82 с.

13. Velmisov P.A., Kireev S.V., Kuznetsov А.О. Stability and Bifurcation of a Plate in a Supersonic Gas FIow//Applications of Mathematics in Engineering- Bulgaria:

Heron Press, Sofia, 1999. - P. 4] - 46.

14. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода// Математическое моделирование и краевые задачи: труды 9 межвузовской конференции. - Самара, 1999,- 4.2. - С. 14 - 18.

15. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотическое исследование нелинейных краевых задач аэрогидроупругости//Журнал "Математическое моделирование", №3.-2000.-Том 12.-С. 13.

16. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины-полосы в потоке газа//Математическое моделирование и краевые задачи: труды одиннадцатой межвузовской конференции. - Самара, 2001. - Ч.З. -С. 20-22.

17. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотическое решение задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике (КЛИН): труды межд. конф. - Том 4: Математические методы и модели в прикладных задачах. - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С. 24 - 26.

18. Velmisov PA., Kircev S.V. Asymptotical solution of problem about plate stability in supersonic gas flow//Applications of Mathematics in Engineering. -Bulgaria: Heron Press, Sofia, 2002. - P. 188 - 196.

19. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Применение теории ветвления к решению задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа//Труды межд. конф. КЛИН-2002 - Том 5: Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 11 -13.

20. Киреев C.B. Математическое моделирование в задаче о статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Труды межд. конф. КЛИН-2002 - Том 5: Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. - Ульяновск: УлГТУ,2002,- С. 14- 18.

21. Киреев C.B. Асимптотика решений одного класса нелинейных задач устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//"Понтрягинские чтения -XIV" Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы тео-

рии краевых задач". - Воронеж, 2003. - С. 64 - 65.

22. Киреев C.B. Асимптотика решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений/Математическое моделирование и краевые задачи: труды 13-ой межвузовской конференции. - Самара, 2003. - С. 81 - 83.

23. Киреев C.B. Бифуркация решений нелинейных задач устойчивости пластины-полосы в сверхзвуковом потоке ra3a//Modeiling and Investigation of System Stability: thesis of Reports of International Conferen. - Kiev, 2003. - P. 318.

24. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О некоторых нелинейных математических моделях в аороупругости//Труды межд. конф. КЛИН-2003 - Том 5: Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. - Ульяновск: УлГТУ, 2003.-С. 12-16.

25. Киреев C.B. Асимптотика решений статических задач о неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Труды межд. конф. КЛИН-2003 - Том 5: Математические методы и модели в прикладных задачах. - Ульяновск: УлГТУ, 2003.-С. 67- 69.

26. П.А.Вельмисов, C.B.Киреев. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа//Журнал "Труды Средневолжского математического общества", №1. - 2004.-Том 6.-С.166 - 170.

27. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа//Журнал "Вестник УлГТУ", №3. -2004. - С. 28-31.

28. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод исследования статической неустойчивости трубопровода//Механика и процессы управления: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ. - 2004. - С. 4 -10.

29. С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа//Механика и процессы управления: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ. - 2004. - С. 30 - 36.

30. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости трубопровода//Прикладная математика и механика: сборник науч. трудов. - Ульяновск: УлГТУ. - 2004. - С. 140 - 145.

Киреев Сергей Владимирович

Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии

Автореферат

Подписано в печать 25.04.05. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,08. Тираж 100 экз. Заказа

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

№-8 40 7

РНБ Русский фонд

2006-4 5688

Введение.

Глава 1. Задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Классификация граничных условий.

§3. Задача об изгибных формах пластины-полосы с классическими однородными условиями.

§4. Изгибные формы пластины-полосы с линейной упругой связью на концах.

§5. Изгибные формы пластины-полосы с нелинейным упругим закреплением концов.

§6. Изгибные формы пластины-полосы с учетом аэродинамической нагрузки во втором приближении.

§7. Исследование дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа методом Галеркина. Точные решения.

§8. Уточненные модели задачи об исследовании устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа.

§9. Динамическая устойчивость упругого элемента конструкции в сверхзвуковом потоке газа.

Глава 2. Задачи о статической неустойчивости трубопровода.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Классификация граничных условий.

§3. Задача об изгибных формах трубопровода с классическими однородными условиями.

§4. Изгибные формы трубопровода с линейной упругой связью на концах.

§5. Изгибные формы трубопровода с нелинейным упругим закреплением концов.

§6. Исследование дивергенции трубопровода методом Галеркина

Точные решения.

§7. Уточненная модель задачи об исследовании дивергенции трубопровода.

Глава 3. Численный метод решения задач о дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей жидкостью.

§ 1. Задача о дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа с классическими однородными граничными условиями.

§2. Дивергенция пластины в сверхзвуковом потоке газа с упругим закреплением концов.

§3. Задача о статической неустойчивости трубопровода с классическими однородными граничными условиями.

§4. Статическая неустойчивость трубопровода с упругим закреплением концов.

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств различного назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важной проблемой является обеспечение надежности их функционирования и увеличение сроков службы. Подобные проблемы присущи многим отраслям техники. В частности, такого рода задачи ставятся в авиаракетостроении, тур-бо-компрессоростроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем и т.д.

Существенное значение при расчете конструкций, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к ее потере. Примерами статической потери аэроупругой устойчивости являются дивергенция (закручивание) крыла самолета, статическое выпучивание пластин и оболочек при обтекании потоком, дивергенция трубопровода, что может привести к разрушению конструкции. В качестве примеров потери динамической устойчивости можно указать: флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов; колебания проводов, дымовых труб, висячих мостов, трубопроводов и т.д.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

Диссертация посвящена разработке математических моделей упругих элементов конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей статической и динамической устойчивости этих элементов.

В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости ставится так: при каких статических изменениях параметров системы (внешних параметров воздействующих на систему извне, и внутренних - присущих самой системе) система может совершать скачкообразный переход из одного состояния равновесия в другое (явление бифуркации). В качестве таких основных параметров в статических задачах аэрогидроупругости выступают опять же скорость потока, прочностные характеристики, сжимающие усилия. В случае реализации указанных явлений происходит переход параметров через некоторые критические значения, при этом меняется качественная картина решений. В окрестности точки бифуркации возможны несколько решений, и тем самым, несколько положений равновесия обтекаемого тела.

Характерной особенностью большей части задач аэрогидроупругости, значительно осложняющей их решение, является то, что силовое воздействие потока на обтекаемое деформируемое тело нельзя найти заранее, до решения задачи об определении деформаций тела. Поэтому существенным моментом в теории аэрогидроупругости является учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и давлений потока (т.е. учет взаимодействия аэрогидродинамических сил, сил упругости, сил инерции и т.д.). Однако в некоторых случаях это удается сделать, используя основные законы теоретической механики и оценивая воздействие газа (жидкости) на тело интегрально (без детального исследования аэрогидродинамического течения).

Успешное решение задач аэрогидроупругости связано с гармоничным взаимодействием различных наук: аэрогидромеханики, механики твердого деформируемого тела, теории оболочек и пластин, вычислительной математики, и требует применения знаний широкого круга областей механики и математики, что вносит дополнительные трудности в исследования соответствующих задач.

Устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, проведенных в последние десятилетия. Исследования в этом направлении представлены в работах Белоцерковского С.М., Скрипача Б.К., Табачникова В.Г. [13], Галиева Ш.У. [63], Григолюка А.Г. [68], Григолюка Э.Г., Горшкова А.Г. [70], Болотина В.В. [21], Вольмира А.С. [58-61], Григолюка

Э.И., Лампера Р.Е., Шандарова Л.Г. [69], Новичкова Ю.Н. [127], Бисплингхоф-фа Р.Л., Эшли X., Халфмана Р.Л. [19], Фына Я.Ц. [160,161], Фершинга Г.[158], Ильюшина А.А., Кийко И.А. [79,80], Алгазина С.Д., Кийко И.А. [2,3], Мовчана А.А. [116-119], Дж. Майлса [113], Пановко Я.Г., Губанова [129], Кийко И.А. [85], Ильгамова М.А. [76,77] и др.

В работах Зефирова В.Н., Колесова В.В., Милославского А.И. [75], Свет-лицкого В.А. [135-137], Челомея С.В. [163,164], Феодосьева В.И. [156], Казакевича М.И. [81,82], Мовчана А.А. [116-119], Нгуена В.Л. [124], Томпсона Дж. М.Т. [154], Милославского А.И. [115] и др. исследуется динамика трубопроводов.

Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и численными методами в работах Абботта Ж.П. [168], Аткинсона К.Е. [169], Бола Е. [170], Крандалла М.Г., Рабиновича П.Х. [175], Демулина М.Ж., Чена М. [176], Холмеса П., Марсдена Ж. [182], Кеенера Ж.П., Келлера Х.Б. [183], Кубичека М., Марека М. [168], Ланг-форда В.Ф. [188], Плаута Р.Х. [195], Редиена Г.В. [196], Зейдела Р. [198], Стак-гольда И. [199], Вебера X. [206,207], Вайнберга М. М., Треногина В.А. [24,25], Логинова Б.В., Треногина В.А., Вельмисова П.А. [189], Сидорова Н.А. [139,140], Сидорова Н.А., Треногина В.А. [141,142], Логинова Б.В. [109], Логинова Б.В., Сидорова Н.А. [111], Логинова Б.В., Кожевниковой О.В. [110], Вельмисова П.А., Логинова Б.В. [51-53], и др.

Рассматриваемые в работе задачи являются нелинейными, что увеличивает сложность их решения.

Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов (полых стержней) с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение соответствующих нелинейных математических моделей упругих элементов конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.

2. Разработка методик решения нелинейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, соответствующих построенным моделям с различными граничными условиями, и проведения на их основе исследования устойчивости упругих элементов.

3. Разработка численного метода исследования статической неустойчивости пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, и трубопровода, по которому протекает жидкость.

4. Разработка методик аналитического исследования динамической устойчивости упругих элементов указанных конструкций.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и девяти приложений.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Построены нелинейные математические модели упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них, для различных типов закрепления этих элементов, с учетом нелинейного продольного усилия и взаимодействия с нелинейным упругим основанием.

2. Разработаны методики аналитического решения нелинейных краевых задач аэрогидроупругости с различными типами граничных условий для пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей в нем жидкостью.

3. На основе построения функционала разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости упругого элемента конструкции (в виде пластины) в сверхзвуковом потоке газа и получены условия устойчивости.

4. Разработан численный метод и соответствующие компьютерные программы исследования дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей по нему жидкостью.

5. Проведена классификация закреплений пластины (обтекаемой сверхзвуковым потоком газа) и трубопровода (при протекании в нем жидкости) с точки зрения их устойчивости. I

Заключение

1. Азизова А.А., Кузнецов А.О., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований при расчетах форм изгиба стержней.//Краевые задачи для дифференциальных уравнений смешанных типов. Ташкент: Фан, 1991. - С. 43-49.

2. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера. // MTT, 1999. N1. - С. 170-176.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно-аналитические исследование флаттера пластины произвольной формы в плане.//ПММ, 1997.- T.61. Вып.1. -С. 171-174.

4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М: Машиностроение. 1978.-311с.

5. Альбер Я. И. Непрерывные процессы ньютоновского типа. Дифференц. уравнения, 1971, № 11, С. 1931 - 1945.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.:Наука., 1968. - 559с.

7. Барштейн М.Ф., Бородачев Н.М., Блюмина J1.X. и др. (под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича) Динамический расчет сооружений на специальные воздействия (справочник проектировщика). М: Стройиздат, 1981. -215с.

8. Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1973. - Т. 1. 632 с.

9. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В.

10. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. - 384с.

11. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

12. Белоцерковский С.М., Котовский С.М., Ништ М.И. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -232с.

13. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.- М.:Наука, 1978.- 352с.

14. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа.- М.: Наука, 1971.- 768с.

15. Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений. ЖВМ и МФ, 1965, 4, № 6, С. 927 931.

16. Бельтюков Б. А., Верлань А. Ф. Интегральных нелинейных уравнений способы решения. В кн.: Энцикл. кибернетики, 1975, т. 1, с. 380 - 383.

17. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. - 607с.

18. Бесараб П. Н. К анализу точности методов типа Рунге Кутта. - Киев, 1973. - 33 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т кибернетики; № 73 - 27).

19. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977.-488с.

20. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфман Р.Л. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958.- 860с.

21. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1974. -503с.

22. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.-339с.

23. Болотин В.В. О применении вариационного метода Галеркина к задачам флаттера упругих панелей // Известия ВУЗов "Машиностроение" N12, 1959, с.25-32.

24. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наукова думка, 1975. - 190с.

25. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 524с.

26. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Качественные и количественные методы современного нелинейного анализа. — М.: Наука, 1979. — 632 с.

27. Вельмисов П.А., Киреев С.В. Статическая неустойчивость пластины в потоке газа// Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции. — Ульяновск: УлГТУ, 1997. 4.2. - С. 12 - 14.

28. Вельмисов П.А, Киреев С.В., Кузнецов А.О. Асимптотика решений одного класса нелинейных краевых задач аэроупругости.//Современные проблемы механики и прикладной математики: Тез. докл. Воронежской школы. — Воронеж, 1998.-С. 70.

29. Вельмисов П.А., Киреев С.В., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об обтекании пластины сверхзвуковым потоком газа// Труды восьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара, 1998.-С. 18-21.

30. Вельмисов П.А., Киреев С.В. О статической неустойчивости трубопрово-да//Численные и аналитические методы расчета конструкций: Труды международной конференции. — Самара, 1998. С. 244 - 249.

31. Вельмисов П.А., Киреев С.В., Кузнецов А.О. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа// Журнал "Вестник УлГТУ", №1,1999. Ульяновск: УлГТУ, 1999.-С. 44-51.

32. Вельмисов П.А., Киреев С.В., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа// Деп. в ВИНИТИ от 01.04.1999, № 1778 В99. - 58 с.

33. Вельмисов П.А., Киреев С.В. О статической неустойчивости трубопровода// Деп. в ВИНИТИ от 17.12.1999, №3870 В99. - 82 с.

34. Вельмисов П.А., Киреев С.В. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода//Математическое моделирование и краевые задачи: Труды девятой межвузовской конференции. — Самара, 1999 4.2. — С. 14 - 18.

35. Вельмисов П.А., Киреев С.В., Кузнецов А.О. О статической неустойчиво-^ сти трубопровода// Тез. докл. XXXIII научно-технической конференции. Ульяновск: УлГТУ, 1999. - Ч.З. - С. 20 - 21.

36. Вельмисов П.А., Киреев С.В. О бифуркации трубопровода// Тез. докл. XXXIII научно-технической конф. — Ульяновск: УлГТУ, 1999. Ч.З. - С. 20.

37. Вельмисов П.А., Киреев С.В. Асимптотическое исследование нелинейных краевых задач аэрогидроупругости// Журнал "Математическое моделирование", №3/2000.-С. 13.

38. Вельмисов П.А., Киреев С.В. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины-полосы в потоке газа// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды одиннадцатой межвузовской конференции. Самара, 2001. -Ч.З.-С. 20-22.

39. Вельмисов П.А., Киреев С.В. Асимптотика решений нелинейных задач об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа// Вузовская наука в современных условиях: Тезисы докладов XXXV научно-технической конференции.

40. Ульяновск: УлГТУ, 2001.-Ч.З. С. 18.

41. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа// Журнал "Труды

42. Средне волжского математического общества", №1/2004. С. 166-170.

43. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод исследования статической неустойчивости трубопровода// Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 4 - 10.

44. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости трубопровода// Прикладная математика и механика : Сборник научных трудов. — Ульяновск: УлГТУ, 2004. С. 140 — 145.

45. Вельмисов П.А., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований в некоторых двухточечных граничных задачах, описывающих формы изгиба стержня.// Мат. моделирование., 1995. т.7., N5. - с. 37-38.

46. Вельмисов П.А., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупругости. //Дифф. ур-ия и их приложения: материалы межд. конф. Саранск, 1995. - С. 120-125.

47. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчиво-I сти трубопровода.//Приложения на математиката в техниката: сб.доклади и научни съобщения. XXI национальна школа. Болгария, Варна: Софийский тех-нич.ун-т, 1985. С. 299-304.

48. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с 1 программами для ЭВМ : Справ. пособ.-Киев:Наук.думка, 1978. 292 с.

49. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 15. - С.69-148.

50. Вибрации в технике.//Справочник в 6 томах- М.: Машиностроение, 1978.- Т. 1. (под ред. Болотина В.В.) 352с.

51. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука, 1972.- 432 с.

52. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости.- М.:Наука, 1976.-415с.

53. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупруго-стч.- М.:Наука, 1979.- 320с.

54. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем.- М.: Физматгиз, 1963.- 880с.

55. Гавурин М. К., Белых В. М. Некоторые приемы численного интегрирова-1 ния обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы вычислений,1971, вып. 7, с. 3-15.

56. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем.- Киев: Наукова Думка, 1981.- 276 с.

57. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Гос. изд-во физ-мат лит., 1963.- 640 с.

58. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мз.гкого крыла с потоком несжимаемой жидкости.- Авиационная техника, 1998.- N1.- С.

59. Горбунов А. Д. Разностные методы для нелинейных задач.-В кн.: Вопро-I сы оптимизации вычислений. Киев : О-во «Знание» УССР, 1977, с. 3 20.

60. Горбунов А. Д., Шахов Ю. А. О приближенном решении задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений с наперед заданным числом верных знаков. -ЖВМ и МФ, 1963, 3,№ 2,с. 239-257; 1964, 4, №3,с. 426-433.

61. Григолюк А.Г. (ред.) Аэрогидроупругость /Пер.с англ.М.:ИЛ, 1961.- 101с.

62. Григолюк А.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Лтоги науки. Механика. М.:ВИНИТИ, 1965. - Т.2.- С.34-90.

63. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л.: Судостроение, 1976,- 200с.1 71. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359с.

64. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, 1997. - 272с.

65. Гурьянов В. М. Оценка погрешности метода Рунге — Кутта. В кн.: Вычислительные методы и программирование для ЭВМ «Урал-2», «Урал-4». Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1966, с. 5 51.

66. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М:Физматиздат, 1960.-580с.J

67. Зефиров B.H., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода. //MTT,1985.-N1.-C.179-188.

68. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука, 1991.- 195 с.

69. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969.-180с.

70. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверх-1 звуковых скоростей.// ПММ, 1956. Т.20. - Вып.6.-С.733-755.

71. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблемы панельного флатера.// МТТ, 1995.- N6.- С. 138-142.

72. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа.//Вестник Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 1994. N4. -С.40-44.

73. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. М.: Недра, 1977. - 200с.

74. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240с.1 83. Кармишин А.В., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость конструкций.- М. Машиностроение, 1982.- 240с.

75. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолете. М.: Оборонгиз, 1942.-56с.

76. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью.// ПММ, 1999. Т.63. - Вып.2. -С.З 17-325.

77. Киреев С.В. Статическая неустойчивость пластины в потоке газа// Modelling and Investigation of System Stability: Thesis of Reports of International Confer1 ence. Kiev, 1997. - P. 68.

78. Киреев C.B., Кузнецов A.O. Асимптотика решений задачи об обтекании пластины-полосы сверхзвуковым потоком газа//Тезисы докладов XXXII научно-технической конф. Ульяновск: УлГТУ, 1998. - 4.2. - С. 30 - 32.

79. Киреев С.В. Асимптотика решений задачи сверхзвукового обтекания пла-1 стины//Тезисы докладов XXXII научно-технической конф. Ульяновск: Ул1. ГТУ, 1998.-4.2.-С. 32-34.

80. Киреев С.В. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа// Механика и процессы управления: Сборник науч1 ных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 1998. - С. 27 - 34.

81. Киреев С.В. Статическая неустойчивость трубопровода//Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации:Труды межд. конф-Том ЗгМатемат. методы и модели. Ульяновск:УлГТУ, 1999.- С. 31 -34.

82. Киреев С.В. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопрово-^ да//Тезисы докл. XXXIII научно-технической конференции. Ульяновск: УлГТУ, 1999.-Ч.З.-С. 19-20.

83. Киреев С.В. Ветвление решений нелинейных задач устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа// Вузовская наука в современных условиях: Тезисы докладов XXXVI научно-технической конференции. Ульяновск: УлГТУ, 2002.-Ч.З.-С. 11-12.

84. С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в 1 сверхзвуковом потоке газа// Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 30 - 36.

85. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М: МГУ, 1986. -224с.

86. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М: Высшая школа, 1987. -256с.

87. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.- 503 с.

88. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М: Мир, 1972. -274с.I

89. Красилыцикова Е.А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. -223с.

90. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка, 1979. -184с.

91. Кузнецов А.О. Модификация метода Ньютона// Вопросы вычислительной и прикладной математики. Вып.74., т. 19. с. 113-120.

92. Кузнецов А.О. Численное моделирование одномерного случая ветвления. //Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент: Фан., 1988. - с. 123-127.

93. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1977.-407с.

94. Логинов Б.В., Сидоров Н.А. Общий метод построения уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и некоторые способы его исследования// Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент: Фан, 1985.- с. 113-145.

95. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.- 840 с.

96. Майлс Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М: физ.-мат.лит., 1963. -272с.

97. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М: Наука, 1976. -319с.

98. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него. Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81.-21с.

99. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе. // ПММ, 1956. -Т.20.-Вып.2.- С.211-222.

100. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.21.-N2.- С.231-243.

101. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.21.-N5.- С.700-706.

102. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости.// ПММ, 1965. Вып, 4. -С.760-762.

103. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.1. М:Наука, 1981.-400с.

104. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М: физ.-мат. лит., 1995. -736с.

105. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. -М.: Мир, 1982.-294с.

106. Найфэ А. Методы возмущений. М: Мир, 1976. -455с.

107. Нгуен B.JI. О динамической устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. Вестн. моек, ун-та, сер.1. Мат. Мех., 1993. - N3. - С.3-9.

108. Немыцкий В. В. Об одном методе разыскания всех решений нелинейных операторных уравнений. ДАН СССР, 1960, 131, № 4, с. 796 - 747.

109. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М. : Наука, 1974. - 223 с.

110. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. -М.гВИНИТИ, 1978.- Т.П.- С.67-122.

111. Пановко Я.Г. основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. - 316с.

112. Под ред. Коренева Б.Г., Рабиновича И.М. Справочник по динамике сооружений. М: Стройиздат, 1972. -511с.

113. Под ред. В.А.Треногина, А.Ф.Филиппова. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. — М.: Физматлит, 2003. 464с.

114. Под ред. В.А.Треногина и В.А.Юдовича. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. — М.: Мир, 1974. 254с.1134. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука,1988.-712 с.

115. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха. М.: Машиностроение, 1982. -280с.

116. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.1. Статика. М.: Высшая школа, 1987.-319с.

117. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987.-304с.

118. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. M.-JL: гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950. -443с.

119. Сидоров Н.А. Об оптимальном выборе начальных приближений. //Мат. заметки. 1976. - т. 20, №2. -С. 273-278.

120. Сидоров Н.А. О регуляризации одного проекционного метода решения j нелинейных уравнений в окрестности точки бифуркации.//Межвузовский сборник "Дифференциальные и интегральные уравнения". Иркутск, 1978. - Вып. 5. -С. 126-130.

121. Сидоров Н.А., Треногин В.А. Регуляризация вычисления вещественных решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления.//ДАН СССР. -1976. т. 228, №5. - С. 1049-1052.

122. Сидоров Н.А., Треногин В.А. О регуляризации по Тихонову задачи о точках бифуркации операторов.//Сиб. мат. журн.- 1976.-т.17,№2.- с. 402-413.

123. Смирнов А.И. Аэроупругость. М.: МАИ, 1971. - 184с.j 144. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.:

124. Машиностроение, 1980. 231с.

125. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука., 1964. 437с.

126. Тимошенко С.П., Юнг. Инженерная механика. — М.:Машгиз, 1960. 507с.

127. Тимошенко С.П. и др. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985.-472с.

128. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.-635с.J

129. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций.// Избранные работы под ред. Э.И.Григолюка. М.: Наука, 1975. - 704с.

130. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-807с.

131. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -735с.

132. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М: Мир, 1985.-254с.

133. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва:Наука, 1980. - 496с.j 156. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Инж. сб. Изд-во АН СССР, 1951. - Т. 10. - С. 169-170.

134. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 591 с.

135. Фершинг Г. Основы аэроупругости.- М.: Машиностроение, 1984.- 600с.

136. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Н^ука, 1981.-т.З.-480с.

137. Фын Я.Ц. О двумерном флаттере панели.// Механика: сб. переводов.-М.:ИЛ, 1959.- N1. С.75-106.1161. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.- М.: Физматгиз, 1959.- 490с.

138. Д. Хеджпет Флаттер прямоугольных свободно опертых панелей при больших сверхзвуковых скоростях // Механика 2*48 , 1958, С. 103-125.

139. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости.// МТТ, 1984. N5. -С.170-174.j 164. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем.// Докл. АН СССР, 1980.- Т.252. N2.- С.307-310.

140. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭВМ. -Киев : Наук, думка, 1963 1966. - Ч. 1. 1963. 194 е.; Ч. 2. 1966. 244 с.

141. Шейнин И.С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости. JI: Энергия, 1967. -314с.

142. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990. - 320с.

143. Abbott, J. P.: An efficient algorithm for the determination of certain bifurcation I points, J. Сотр. Appl. Maths. 4 (1978), 19-27.

144. Atkinson, К. E.: The numerical solution of a bifurcation problem, SI AM J. Numer. Anal. 14 (1977), 584-599.

145. Bohl, E.: On the bifurcation diagram of discrete analogues of ordinary bifurcation problems. Math. Meth. Appl. Sci. 1 (1979), 566-571.

146. Bolotin, V V, Grishko, A. A., Kounadis, A. N., and Gantes, C. J., 1998a, "Non-lirear panel flutter in remote postcritical domains", International Journal of NonLinear Mechanics 33, 753-764.

147. Bolotin, V V, Grishko, A. A., Kounadis, A. N., Gantes, Ch., and Roberts, J. В., I 1998b, "Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic system", Nonlinear Dynamics 15, 63-81.

148. Bolotin, V V, Petrovsky, A. V, and Grishko, A. A., 1996, "Secondary bifurcation and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence domain", Journal of Sound and Vibration 191, 431 -451.

149. Bolotin, V V and Zhinzher, N. I., 1969, "Effect of damping on stability of elastic systems subjected to nonconservative forces", International Journal of Solids and Structures 5, 956-989.

150. Crandall, M. G., Rabinowitz, P. H.: Bifurcation, perturbation of simple eigen-I values and linearized stability, Arch. Rational Mech. Anal. 52(1973),161-180

151. Demoulin, У.-М. J., Chen, Y. M.: An iteration method of solving nonlinear eigenvalue problems, SI AM J. Numer. Anal. 28 (1975), 588-595.

152. Dowell E.H. Panel flutter: a review of the aerolastic stability of plates and shells.// AIAA Journal, 1970.- V.8. N3. -P.385-399.

153. Dowell E.H. Flutter infinitely long plates and shells. Part. I: Plate. Part. II: Cy-I lindrical shell. //AIAA Journal, 1966.V.4.-N8.-P.1370-1377; N9. P.1510-1518.

154. Dowell, E. H., 1966, "Nonlinear oscillations of a fluttering plate," AIM Journal 4, 1267-1275; 1967, 5, 1856-1862.

155. Dowell, E. H., 1982, "Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system", Journal of Sound and Vibration 85, 330344.

156. Holmes P., Marsden J. Bifurcation to Divergence and Flutter in Flow-induced Oscillations: an infinite deminsional analysis.// J. Automatica, 1978. Vol. 14. -P.367-384.

157. Keener, J. P., Keller, H. В.: Perturbed bifurcation theory, Arch. Rational Mech. Anal. 50 (1974), 159-175.

158. A.N. Kounadis, C.J. Gantes, V.V. Bolotin An improved energy criterion for dynamic bucking of imperfection sensitive non conservative systems. // International Journal of Solids and Structures 38, 2001, P.7487-7500.

159. Kubicek, M., Marek, M. : Evaluation of limit and bifurcation points for algebraic equations and nonlinear boundary value problems, Appl. Maths. Сотр. 5 (1979), 253-264.

160. Langford, W. F.: Numerical solution of bifurcation problems for ordinary differential equations, Numer. Math. 28 (1977), 171-190.

161. Loginov B.V., Trenogin V.A., Velmisov P.A. Bifurcation and Stability in Some Problems of Continua Mechanics.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.241-244.

162. Mei, C., 1977, "A finite element approach for nonlinear panel flutter," AIAA I Journal IS, 1107-1110.

163. Morino, L., 1969, "A perturbation method for treating nonlinear panel flutter problem", AIAA Journal 7,405-411.

164. Nayfeh A. H., 1994, Method of Normal Forms, Wiley, New York.

165. Nayfeh A. H. and Mook, D. Т., 1979, Nonlinear Oscillations, Wiley, New York.

166. Reddien, G. H.: Newton's method and higher order singularities, Computer Math. Appl. 5 (1979), 79-86.

167. Sander, G., Bon, C., and Geraldin, M., 1977, "Finite element analysis of supersonic panel flutter", International Journalfor Numerical Methods in Engineering I, 379-394.

168. Seydel, R.: Numerical computation of branch points in nonlinear equations, 1 Numer. Math. 33 (1979), 339-352.

169. Stakgold, I.: Branching of solutions of nonlinear equations, SIAM Review 13 (1971), 289-332.

170. Velmisov P.A., Kireev S.V. Asymptotical solution of problem about plate stability in supersonic gas flow.// Applications of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXVII Summer School. Sozopol, Bulgaria: Heron Press, Sofia, 2002.-P. 188- 196.

171. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua me-^ chanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

172. Virgin, L. N. and Dowell, E. H., 1992, "Nonlinear aeroelasticity and chaos," in Computational Nonlinear Mechanics in Aerospace Engineering, S.~N. Atluri, ed., pp. 531-546, AIAA, Washington, DC.

173. Weber, H.: Numerische Behandlung von Verzweigungsproblemen bei gewoh-nlichen Differentialgleichungen. Numer. Math. 32 (1979; 17-29.

174. Weber H. Efficient computation of stable bifurcating branches of non linear eigenvalue problems. Computing., 1984. - Vol.32, No.2. - P632-640.

175. П.А.Вельмисов, С.В.Киреев. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа. // Журнал "Вестник УлГТУ", №3/2004.-С. 28-31.

176. П.А.Вельмисов. Математическое моделирование в задачах устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии: Дисс-ция на соискание ученой степенид-ра физ.-мат. наук. М., 2000. - 330 с.