автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование в электротехнике и методы интегрирования дифференциальных уравнений электрических цепей

с[ 0 9 9 0

ЮРДОЯЖМ ГОС^дАРСЛУШШ УНкИИМтГГ ИМЕЙ! Н.П.ОГАРЕВА

Чершнванова Елена Анатольевна

ШДЫИРО£!АНИЕ В а/11КТГОТ^Ж1КЕ и «ШТг.ГЪ-.ЮШШ ДЙ^КРЛДОМШЛ УРАВНЕНИИ' АШСГРИЧВСКИХ

Со.13.16 - дршене.чие вычислительной технлкя, ¿агекатического моделирования и матештлчеаках «егодов в иаучншс исследованиях (лрошшлешюста.)

АВТОРЕФЕРАТ даесертаддк на соискание ученой степени кандидата физкко-иатекатаческаг наук

На драпах рукописи УДК 517.928:621.3.011.7

Сараыех ГЖ1

Работа выполнена ыг кафедре прикладной, математики ¡.'юрловского ордена Дружбы народов государственного университета имени Н.П.Огарева'

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Е.В.Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.доцент В. Ф.Тишкян

доктор физико-математических наук, профессор К.Г.Валеев

Ведущая организация: Башкирский государственный университет /пени 40-летия Октября

Защита диссертации состоится " II " октября 1992 года в " " часов на заседания специаля зированнего совета К 063.72.o4 при Ыордовскоы государственном университета по адресу: 430000, г.Саранск, ул. Большевистская, д. ба. ауд. 315 (2)

С диссертацией можно ознакомиться в научной бпбл-ютеке университета.

Автореферат разослан " о " {ХНМА<?1>Я Х'^З г.

Учений секретарь специализированного совета К Ju3.7i.04,

доцент ЯХчл/1 -'.П.Церегудин

ОНЦДЯ ХАРАКП-1РИСТИКА РАБОТЫ

„Актуальность теж*. В качественной теории дифференциальных уравнений, в теории устойчивости и теории управления важную роль играют методы функций Ляпунова. Эти методы получили существенное обобщение и развитие в трудах Е.А.Барбашина, В.й. Зубова, Н.Н.Красовского, В.М.Матросова, В.В.Румянцева, Н.Г.Четаева и других: авторов.

В математическом моделировании особым успехом пользуется прямой метод Ляпунова. Здесь наметились способы построения соответствующих функций, которые решают не только проблемы устойчивости. Поведение реоений при неограниченном возрастании независимой переменной как правило описывается при помощи Функций Ляпунова. Однико, эта метода не всегда применимы. Особенно это качается первого метода, относящегося к характеристическим показателям. В этом случае решения сравниваются с показательной функцией, которая является этапонной функцией сравнения. Если характеристический показатель равен нулю, то поведение решений однозначно не определено, и приходится прибегать к различным качественным методам, основанным на применении различных эталонных функций сравнения, относительно которых построен первый метод Ляпунова. Аналогичный подход лежит в основе метода сравнения, разработанного Е.В.Воскресенским. Этот метод более универсален: в процессе исследований эталонную функцию модно менять, тогда как в первом методе -она всегда экспоненциальная.

Математические модели электрических цепей с выпрямителями представляют собой системы дифференци&пьнкх уравнений,

правая часть которых разрывна или только непрерывна. Поэтому применение классических методов для исследования поведения решений в этом случае невозможно, гак как они требуют, по крайней мере, гладкости правых частей. В настоящее время теория дифференциальных уравнений с разрывной правой частью получила интенсивное развитие (Филиппов А.Ф. и др.). Однако, асимптотические метода для уравнений такого класса не всегда могут быть успешно применены, если следовать классическим традициям. Например, применение второго метода Ляпунова наталкивается на дополнительные трудности в связи с новыми требованиями к фукнции Ляпунова. Поэтому актуальной задачей становится применение метода сравнения к интегрированию дифференциальных уравнений электрических цепей.

_Цель £абсты_ заключается в том, чтобы получить асимптотические формулы и признаки устойчивости решений систем дифференциальных уравненнй электрических цепей по всем и по част« ¡временных, основанные на методе сравнения, и тем самым описать поведение характеристик электрической цепи (напряжение на конденсаторах, ток на участках цепи), гарантирувцее надежность работы системы за конечный, но неопределенный промежуток времени.

' Общая методика_ исследований основывается на методе сравнения, а также на методах качественной теории диЗх*еренцкальных, уравнений.

_Науз£ная_новизна__ полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

1) получено асимптотическое описание для характеристик электрической цепи;

2) установлены условия, при которых изменение характе-

_ о -

рястик устойчиво при постояггэ „-.-^гтзуг^х возцуг;ктях;

3) предложен численный метод, прл паж?» которого ;гот::о вычислить характеристики цепи на .табсм кожютэ из Со, с любой наперед заданной точностью.

_П£актичес]!ая ценность^ Полученные в диссертсцяашсЯ работе результаты могут быть использованы при проектяросетип конкретных сяогыых электрических цепей.

_Адробащ1я_р_чбога и публикации^ Основные результаты диссертации докладавалисъ и обсуждались на заседаниях сетатра по дифференциальным уравнениям Мордовского государственного университета, на Огарзвских чтениях (1023-1990 года), на сснг.нарах кафедра г-гтеслительной математики Е*якнрексго государстсегаюго университета таени 40-летия Октября (1290 г.), на слияи&рэ профессора Валеева К.Г. (1990 г.).

_П^блика2ин. Основное содержание диссертации отрагяно в работах автора [1-4] .

Объем и ст]эукт^ра £аботы^ Диссертация изложена на -/73 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, списка литературы из 101 наименования и приложений.

СОдеРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается ектуальност|> те;.гы, сформулирована цель работы и основные положения, выносикые на защиту, приведено краткое содержание диссертации, дан обзор литературы по теме.

В первом параграфе первой главы рассматривается математическая модель электрической цепи, содержащей выпрямители.

Получены уравнения

где У*со?оп.(1„си...,¿п), , п>0 у £ удовлетворяет условиям Каратеодори на множестве 35= Го,+о°>*

(2)

Уравнение (I) описывает изменение токов в цепи, а (2)-изменение напряжений на конденсаторах.

В параграфе 1.2. разрабатывается новый асимптотический метод интегрирования дифференциального уравнения, правая часть которого удовлетворяет условиям теоремы Каратеодори. В основе метода находятся результаты Е.В.Воскресенского. Исследуемое уравнение имеет вид

(3) .

где вактор-функция ^ по второй переменной может иметь разрывы первого рода. Тем не менее, для этого уравнения выполняются все условия теоремы существования Каратеодори в классе абсолютно-непрерывных вектор-функций.

В качестве уравнения сравнения рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение

(4)

где А[-1) ~ (п.хл.) _ матрица, непрерывная при

Г

>6 йЛ

Цусть множества {4, — , л} > ^ М, М0, М0

"7 " _

связаны соотношениями СМ см. СУ. Для компонент вектор-функция i справедливы оценки

j,,--., e Ma , - функции типа Каратео-

дори на множестве Г+/*•), Jlj, Z^J ¿

¿ Л,-/*, , ¿=i7f- при почтя всех i * E%+~>\

фундаментальную матрицу УШ * (ЧцЮ), ¿,j*'f'n' будем считать номерованной в точке ta е ьЪ,****) г » >

r1(t)~(¡fJi<»)'.

Пусть непрерывные функции ju¿ :&,+<*')-*'R-lf удовлетворяют неравенствам

Ai¿(i)>mctx lUaim, %ÁÍ> ¿i**—, ¿ е N" * ■ если Ио~0 мЮ^О',

и при любой С > е>'

f~yjK(*)tJ¡ V, cm(V)ctt je tí.«**'

V « ^ (5)

occjfU^-) ^

прИ

< xfB?,í 7 ' (7)

при + ieMoJeN, =

В = /V^Aío •

Теорема I.2.Í. Если решение Z(¿:i0>2a) уравнения

- о -

ус N ""

определены при Есех> 7; > Т, гс £ , £ ,

то кагдое репзние уравнения (3) ¿С (t ¡ ¿о. определено на множестве С То, •

Теорема 1.2.2. Пусть при условиях теоремы 1.2.1 все резения 2.(Ь- ¿о, 20 ), ± ¿0 е , уравнения

СОЪ кем о

./ ¿Г М • (5)

ограничена. Тогда для каждого рев»ния уравнения (3) Ъ,ХВ)> Г., Хае &е

зс^ЫьМ^ 0(т1(п) (10)

при í -*■ +*х> и любом и Мо.

Функции являются эталонными функция:.!*.! сравнения.

Причем сравнение ведется покомпонентно. Более того, сравниваются лиаь те компоненты решений, которые нас интересуют. 3 дальнейшем задача ставится так: какими асимптотическими формулами связаны репеник уравнений (3) и (4). Эти реиекия |!огут иметь различные начальные данные. Эта задача решается следующей теоремой.

Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия (5)-17) и

»

условия теореш 1.2.2. Тогда уравнения (3) и (4)- покомпонентно асимптотичесгл эквивалентна по Брауеру относительно функций ¿еМ0.

В параграфе 1.3. все эти результаты применены для

радения задач устойчивости по части компонент.

Теорема 1.3.1. Если выполняются условия теоремы 3,

а условия (5)-(7) имеют место равномерно относительно 0<С£С0 , к, К>0, ¥г£ Ме ,

то, если уравнение) (4) асимптотически устойчиво по части переменных ЛГ^} ¿с- Мс , то тривиальное репгниэ уравнения (3) обладает этим свойство«.

Приведены примеры, иллюстрируюе справедливость теоремы 1.3.1.

Ноше теореот об устойчивости при постоянно действуй?« возмущениях получены в параграфе 1.4 (теоремы 1.4.1-1.-4.4). Сформулируем одну из них.

_Теодема_1.4.4. Пусть = , М» = ^

йхй-т&ш, '

«гт

условия (5) -(7) етподнеяы относительно множества г10,

/,•••, /а^О 6 Я для всех je Ы^Мс, г ■

Тогда, если состояние равновесия уравнения

где ■ ■, , разномерно устойчиво,

а соответствующая (3) система однородных дифференциальных уравнений равномерно устойчива по части переманных *

Х-1 , то тривиальное решение .уравнения (3) устойчн-

во по части переменных , , при постоянно действу-

ющих возмущениях в уравнениях с номерами из А/4

В разделе 1.5 исследуются ааимптотичеекие свойства решений дифференциально-функциональных урапнензй, которые в качестве базового пространства имеют подмножества множества Й) = То & К- .В качестве уравнения срав-

нения мочено использовать обыкновенной дифференциальное уравнение, если на правую часть дифференциально-функционального урав-

нения наложить ряд ограничений. Доказана теорема об асимптотической эквивалентности решений ди$ференционально~функционального уравнения и уравнения сравнения.

Результаты этого параграфа могут быть использованы при исследовании математических моделей электрических цепей, представляющих собой уравнения с запаздывающим аргументом, которые являются частным случаем дифференциально-функциональных уравнений.

Вторая глава посвящень вопросам асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений электрических цепей. На основе законов Ома и Кирхгофа для электрических цепей с К диодами, К конденсаторами, активным сопротивлением и источником напряжения получены системы дифференциальных уравнений, разрешенные относительно токов или напряжений. Соединение элементов цепи имеет простейший вид, т:к. в большинстве случаев путем объединения элементов электрической цепи можно получить цепь простейшей структуры. В этой главе функция напряжения Ы- зависит не только от времени t , но и от отдельных токов или напря-кений на конденсаторах, т.е. контролируемые величины ставятся в зависимость от функции и--

В параграфе 2.1 на основании результатов, полученных в разделах 1.2. и 1.3 исследуются асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений токов в электрических цепях (К=2) вида

г,*/' б*?/*-

Правые части уравнений (II) являются разрывшая по аргумеятвм

В качестве уравнений сравнения выбраны еледувдие:

¿¡±¿2* л. ¿¿г (Иг_ ¿г.: _

" ь 4 <4 (12)

~ г?4«

Сиотеаа уравнений (12) представляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициента^, решения которой найдены обычным методом. На основании теоремы 1.2.3 формулируется и доказывается теорема 2.2.1, выполнение условий которой обеспечивает покомпонентную асимптотическую эквивалентность по Брауеру относительно функций сравнения специального вида уравнений (И) и (12). В результате доказательства теоремы получены асимптотические формулы, устанавливающие зависимость между решениями уравнений (II) и (12) при t . Эти резуль-

таты являются важными для проектировщиков электрических ? *-

цепей, так как позволяют судить о состоянии элементов в цепи не только в течений конечных интервалов времени, но и пря неограниченном увеличении времени t .

В 2.2 проводится анализ поведения токов при возникновении возмущений на отдельных участках цепи. Рассматривается случаи, когда I) возмущения возникают на всех участках цепи, 2) возмущаются лиль отдельные участки. С использованием теорем параграфа 1.4 получены теорему об устойчивости тривиального регешш уравнений (II) при постоянно действующих возмущениях.

Если в некоторый момент на части участков цепи возникают возмущгния, то токи на других участках существенно не из-игнятся, если напряжение источника И/будет подобрано таким образом, что уравнение (II) и (12) будут асимптотически зквива-яеитшки. Все это позволяет осуществлять регулирование токов в цепи при действии внешних возмущений.

Интегрировзниз ди^еренциальнюс уравнений для напряжений на конденсаторах рассматривается в разделе 2.3. Здесь получены дифференциальные уравнения, разреаенные относительно падения напряжения на ^нденсаторе, вида

<13)

Правая часть этих уравнений только непрерывна.

Уравнения

>

сш

- 13-

выбираем в качестве урашенЕ? ерапнения.

В данном параграфе анализируется г,с:^гптоткка решений уравнений (13) в двух случаях:

1) напряжение источника представляет собой затухгггглЯ колебательный процесс, то есть , ' -*■ ■*•-"«»;

2) напряжение источника лишь ограниченная функция.

В первом случае получена теорека, обеспечивасцая ггокомпо-нентнуго асимптотическую эквивалентность по Брауеру относительно функций {1)'1 (¿ = 1,2) при реиений

систем уравнений (13) и (14) (теорема 2.3.1).

Для компонент Х< и Хг решений уравнений (13) получены асимптотические формулы

ЬИ--*.,*.)* ье** + 0(1) при

- к,¿-¿Ъ+А'^)е*1* + * (15)

Полненные результаты позволяют осуществить регулирование поведением напряжений на конденсаторах за счет подбора напряжения источника 14>(Ь>Х,гхг') так, чтобы выполнялась условия теоремы 3.

Во втором случае получены оценки для решений уравнений (13), удовлетворяющих начальным условиям {{о)~0,

Дгся этого использовался оператор специального вида и при выполнении ряда ограничений показывалось, что для него справедливы условия принципа Шаудера о неподвижной точке. Эти ограничения накладываются ка внутреннюю структуру электрической цепи, тем самым даются рекомендаций по выбору элементов цепи, обеспечивающих заранее заданный режим функционирования.

При этом падение напряжения на конденсаторах не будет

превосходить, а может быть и строго меньше, максимального значения величины напряжения источника. В заключение параграфа показана возможность получения асимптотических сгормул для компонент и Д?2 уравнений С13 ^ в случае 2) применением теоремы 1.2.3. В этих соотношениях присутствуют коэффициенты, которые зависят от внутреннего строения цепи, но явных соотношений между параметрами цепи они не задают.

Таким образом, в главе 2 проведено качественное исследование решений дифференциальных уравнений электрических цепей.

В главе 3 рассмотрен численный метод решения задачи Коши, при помощи которого можно с любой наперед заданной точностью вычислить решения'дифференциальных уравнений на любом компакте из [о, +») . Это обеспечивает возможность регулирования процессов в цепи на конечном наперед заданном промежутке времени. Ид,ея метода базируется на теории асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений. В параграфе 3.1 показана возможность применения этого метода к решению задачи Коши для дифференциальных уравнений с функциями типа Каратеодори в правой части.

В параграф 3,2 для уравнений (II) при конкретном выборе функции напряжения источника получены расчетные формулы метода, а также выявлены услович сходимости итерационного процесса в зависимости от интервала, на котором решается задача Коши.

Аналогичные результаты получены и для уравнений (13) в параграфе 3.3.

Для уравнений (11} и £13) с использованием данного численного метода составлены программы на языке Фортран- 4. Результаты численного эксперимента приведены в Приложении.

- 15 -

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО Т&Ж ЯЩЕРТАЦИИ

I. Воскресенский К.В., Черноиванова Е.А. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений электрических цепей'1 //Труды семинара по дийчгеренциальным уравнениям Мордовского государственного университета. Деп. в ВИНИТИ

2. Воскресенский К.В., Черноиванова К.А. Асимптотические свойства решений гиМеренциальных уравнений электрических цепе/ '/Уетовя сравненной методы Ляпунова. Саранск, 1990. С. 106 - ПО.

3. Черноивансна К.А. Численно» интегрирование Д!"*-'ссенииаг.ь-Н1;х уса вне ни Г' плектрнческлх иепеГ //Груда семинаса по ди? "еренциальнъгм усарнениям Мордорского госудагу-твенного

• чигл-рситета. Деп. в ВКЖГИ ~В90, 0Ь.09.90.

С. 74-79.

4. Черноиванова '¿.А. Численг-ое интегрирование Еи-^еоен-^альнчх уравнений п разрывно:* прлвог1 часты //Ыетопы грапг^н:«.; л методы Ляпунова. Сара^е.ч, 1990, С 19 - 22.

Р кШ-В907 6.09.90; с. 12-52.