автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Mатематическое моделирование теплообмена в многослойных конструкциях с обобщенным неидеальным контактом

?УБ оа

\ 3 и*

КИ1ВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1мен1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису УДК 519.6 : 536.2

Тимошенко Марина В1ктор1вна

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕШЮ0БМ1НУ У БАГАТОШАРОВИХ К0НСТРУКЦ1ЯХ 3 УЗАГАЛЬНЕНИМ НЕ1ДЕАЛЬНИМ КОНТАКТОМ

-00.10:ОС - математичне моделювання в наукових дослгджениях

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобуття наукового ступеня кандидата технхчних наук

С>у. Я и

Ки'1 в - 1900

Дисертац1ею е рукопис

Робота виконана в 1нститут1 техн!чно1 механ!ки НАН Укра5ни

Науков1 кер!вники: доктор техн!чних наук,

старший науковий сп1вроб1тник Шувалов Валентин 0лекс1йович, кандидат ф!зико-математичних наук, старший науковий сп1вроб!тник Веселовський Володимир Борисович.

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф!зико-математичних наук, професор Хрущ В1ктор Кузьмич,

кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Прохур Юр1й 31нов1йович.

Пров1дна орган1зац!я-

1нститут кЮернетики 1м.Глушкова В.М. НАН Укра'1 ни (м. Кшв).

Захист в1дбудеться 30 травня 1996 р. о 14 годин1 на зас1данн! спец1ал1зовано'1 вчено! ради Д 01.01.20 при Ки1Вському ун!верситет1 1мен1 Тараса Шевченка (252127, м. Ки1в, проспект Глушкова, 6, фа-( культет к!бернетики, аудитор1я 40).

3 дисертац1ею можна ознайомитися у науков1й б1блютец! Ки-'¡вського ун1верситету.

Автореферат роз!сланий "_/У_" кв!тня 1996 р.

Вчений секретар спец1ал1зованоЧ вчено! ради

31нько П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

•Актуздьн1сть. Стан питания. Численн! енергетичн1 1 техноло-г1чн1 пронеси та природн1 явища описують математичними моделями, побудованими на р1вняннях з частинними пох1дними парабол1чного типу, як правило, а зы1нниыи коеф1ц!ентами, часто нелШйними. Обдаст!, у яких необх!дно шукати роав'язки цих р1внянь, можуть Оутн найр1зноман1тн1шими. Моделювання багатьох практично важливих про-HeciB вимагае розв'язуЕання цих р1внянь у пкладених областях, ир складаються в окремих п1добластей.На сум!жних межах - их гид областей ставляться т1 чи 1нш1 умови спряжения, найб!льш типовими а яких е: р!вн1сть функц1й та ix перших пох1дних (умова 1деального контакту); р1вн1сть пох!дних 1 наявн1сть розриву функц1й, пропор-ц1йного пох1дн!й (загальнов!дома умова нереального контакту); ус1ляк1 поодинок?. випадки розриву пох1дних i розриву функц1й. Для ровв'язання цих вадач у тепер1шн1й час ровроблено р!зноман1тн! ме-тоди : анал!тичн1, васновая1 на застосуванн! методу ск1нченних 1н-тегральних перетворень; чисельн1, васнован! на ас1нченнор1зницево-иу, як правило, 1нтегро1нтерполяц1йнрму метода чисельно-анал1тич-я1 - метод ск!нченних племент1в. Ц1 методи, як правило, у достат-н1й Mlpi теоретично обгрунтован! 1 внаходять широке практична вас-тосування. Огнак, у деяких випадках 1снувч1 математичн1 модел! е недостатн1ыи 1 вимагають подальшого розвитку i у-агальнения. У окремих випадках сп1вв1дношення м1ж значениями шуканих функц1й та 1ч пох1дних на межах сум!кних областей можуть бути дгсить дов1льпими. М1ж сум1жними межами можуть бути зазори ск1нченно1 ширини, таким чиноы область, у як1й необх1ДИо шукати роз'вязок, може бути неод-нозв'язною.Це викликае необх!дн1сть як формулювання 1 обгрунтуван-ня б!льш загальних математичних моделей, так 1 поОудови методик 1 алгоритм!в пошуку роз'язк1в.

П1двищення ефективност1 математичного моделюеання i застосу-вання обчислювальних метод1в для досл1дження таких npoueciB, у вв'яэку з цим, е актуальним. Це досягаеться шляхом розробки уза-га'ьнених математичних моделей, i £>ективних для маиинно! реал1аацЛ алгоритм1в та стпрення ун1ф1ковалих комплекс1в програм, о1енто-ваних на розв'язання широкого класу задач (аокрема, до них можуть бути в1днесен1 задач!, що описуьться р1внянними теплопров1дност1,

Ф1льтраци, дифузП, р1вняннями Нав'е - Стокса та 1н.) Самэ цим питаниям прксвячено дисертац1йну роботу . Мета роботи : побудова узагальнено! математично! модели процессе, шо описуються р1вняннями 8 частинними пох!днями парабол1ч-ного типу для ск^адених областей, при досить дов1льних умовах спряжения розв'язк!в на межах п1добластей; розробка . ун!ф1кованих алгоритм!б 1 технологи програиування кдасу задач; створення проблемно - 0р1бНТ0ваи0Г0 "комплексу програм; розв'язання нових актуальна задач теплопередач1 у багатошарових конструкц!ях .

Наукова новизна дисертац1йно! роботи полягае в досягненн1 таких нових наукових результат^, як1 виносяться до захисту:

-сформульовано поняття узаганьненого нереального контакту (УНК) 1 з його використанням дано формулювання задач, що описуються р1вняннями парабол1чного типу у складених областях при наявнос-т1 р1аноман1тних процес1в у зазорах м!ж контактуючими поверхнями, зокрема, задач визначення нестац1онарного теплового 1 пружньона-пруженого стану багатошарових 1 рулонованих цил1ндр!в, тепломасо-обм1ну у багатошарових конструкциях при наявност1 м1ж.сум1лними шарами системи канал1в, по яких рухавться р!дина;

-у рамках чисельного 1 чисельно-анал1тичного методгв, а такоя 8 використанням Их комб1нацП, роар^блено економ1чн1 однор1дн1 ал-горитми розв'язання таких задач;

- 8Д1йснено орган!чне об'еднання сформульовано! узагальнено! математично1 модел1, розроблених алгоритм1в 1 програмного забезпе-чення, ко реал1зуе ц1 алгоритми;

-з застосуванням розроблених алгоритм!в розв'лэано актуальнД задач1 нестац1онарно! теплопередач! у пакетах пластин з не!деаль-ним тепловим контактом м1ж пластинами; задач! визначення термона-пруженого стану багатошарових цил1ндр1в!3 нестац1онарним темпера-турним полем,включаючи теплонапружений стан рулонованих цил!ндр1в, як1 утворюються при намотуванн1 штаб!в стал1 на барабан моталки та при втманн1 рулону з барабана з наступним охолодженням (нагр!ван-ням); задач1 визначення параметр!в теплообм!нних апарат!в г р1зною конструктивною реал1зац1ею схем теч1й охолоджувача.

Таким чином, сформульовано п1дх1д, що дозволяв об'еднати у межах одного класу задач!, як! зг1цно з математичною постановкою та методологию 1х розв'язання розглядалися ран1ш як р!зн1. Перел1чен! наукоы результати отримано автором особисто.

Практична ц1нн1сть роботи полягае:

1.У можливост1 стандартного розв'язання класу задач, як1 оии-суются р1вняннями парабол1чного типу у складених (багатошарових) областях, включаючи задач1 тепломасообм1ну у багатошарових конст-рукц1ях з УНК, що у подалыюму знижуе витрати на розробку методо-лсг1чного 1 програмного забеапечення задач даного класу.

2. У эастосуванн1 деяких елемент1в запропонованого п1дходу при розробц1 1нших метод1в, а саме: формулювання умов на сум1жних межах (стиках) шар1в; апроксимац1я граничних умов зг1дно а неявней схемою; однор1дний алгоритм типу прогонки для систем алгебра!чних р1внянь з розр1дженими матрицями; комб1нац!я однор1дного скхнчен-нор1зницевого алгоритму а алгоритмами чисельно-анал1тичного методу.

3. У могишвост1 використання одержаних результат!в для оц!нки температурного с^ану багатошарових елемент1в конструкц1й л!тальних апарат1в, енергетичних установок, теплообм!нник1в, рулонованих ци-л1ндр1в (наприклад, в галуз1 виробництва сталевих штаб1в).

4. У валропонован1й технологи розробки програмного вабеапэ-' чення для розв'язання класу задач з УНК 1 у створеному за допоио-гов ц1е! технологи програмному забезпеченн!.

РекомендацЛ, одержан! внасл1док проведених у робот1 чиселъ-иих експеримрнт1в, було використано на етап1 проектування 1 экспериментального опрацювання систем теплового захису об'ект1в ракет-но-косм!чно1 техн1ки, що дало моклив1сть скорочення енергетичних витрат 1 п!двищення 1х техн1чного р1вня.

Методи досл!джень. При виконанн! роботи використовувалися принципи формулювання початково-крайових задач для р1внянь парабо-л1чного типу, метод ск1нченних 1нтегральних перетворень, ск1нчен-нор1зницевФЛ та чисельно-аналгтичний методи, загальн! положения ыетодологП створення проблемно-ср1ентованних комшкжс1в програм та проведения чисельного експерименту.

Дисертац1н виконувалась в 1нститут1 тыхн1чно1 механ1кн (1ТМ) у рамках держбюджетних та госп"огов1риих тем.

В зв'язку з тим, шр робота лае два напрямки - гюзробка 8а-галъно! методологЧ форму лювання та розв'язання задач в У17 та використання ц1е1 методологП для отримання розв'нзк1в нових згтач теплопропередач1 в багатошарових конструкц1ях, Вченсю радою 1ГМ було призначено двох наукових к»'р!вник1ь.

Репультати роботи впроваджено у проектних орган1эац!ях ( КБ "Швденне" - Дн1пропетровськ, КБ "Енергомаш" - Москва) v вигляд! методик 1 результат1в роарахунк1в температурних пол!в елемент!в багатошарових конструкций 1 нагр!ву р1дин у трубопроводах при вплибов1 високоенталп^йних поток1в газу.

0бгрунтован1сть 1 достов!рн1сть результат!в п1дтверджуються Коректн1стю математичних формулювань, теоретичним обгрунтуванням постановки вадач1 у випадку посИйних коеф!ц1ент1в, теоретичним та експериментальним обгрунтуванням алгоритму чисельного розв'язання иел1н!йних задач, практичним п1дтверджённям працездатност1 алго-ритм1в при розв'язанн1 конкретних задач та пор1внянням результат1в розв'язання окремих задач з л!тературними анал1тичними,чисельними та експериментальними даними.

Дпробац1я роботи. За результатами дисертацП зроблено допов!-д1: на друг1й м1жв1домч!й нарад1 "Прикладна аеродинам!ка л1тальних апарат1в" (Дн1пропетровськ, 1983), на трет1й Всесоюзн1й науко-во-техн1чн1й конференцП "Сучасн! проблеми двигун1в та енергетич-них установок л1тальних аларат)т" (Москва, 1986); на Всесоюзн1й конференцП молодих вчених (Дн1пропетровськ, 1988); на 9 м1ждер-жавн!й науково-техн1чн1й конференцП "Фотометрiя та 11 метролог1ч-не эабевпечення" (Москва, 1992); иь м!ждержавн1й конференцП "Теп-ломасообм1н 1 г1дродинам1ка в турбулентних теч!ях" (Алушта, 1992); на ы1жнародн1й конференцП "НетрадшЦйн1 та лазерн1 технологи" (Москва, 1992), на м1*державн1й конференцП "Обробка р1дких сере-довшц електромагн1тними полями" (Алуштг 1992); на наукових сем1на-рах в1дд1лу механ1ки 1он1зованих середовищ ITM HAH Украйни (Дн1п» ропетровськ, 1982-1995).

Публ1кацП. За темою дисертацП опубл!ковано 15 роб1т. Осо-бистий внесок пошукувачки в цих працях м1ститься в формулюванн1 елемент1в математичних моделей, в розробц1 алгоритм1в та програм-ного забезпечення, в отриманн1 чисель них результата.

Структура 1 обсяг роботи.Дисертад1йна робота складаеться 8 вступу, чотирьох глав, висновку, б1бл1ограф11 та двох додатк!в. Обсяг дисертацП складае 226 стор1нок, включаючи 14 таблиць 1 44 малюнкк та список цитовано! л!тератури. Основний зм1ст роботи вик-ладено на 146 стор1нках.

3MICT РОБОТИ.

У вступ! иадано коротку характеристику задач, шр ровглядають-ся, 1 метод1в !х розв'язання, зокрема ск!нченнор1зницевого методу, методу ск1нченних елемент!в, методу Р-функц1й i р!зних аиав1тичних метод1в. ЕЛдзначено роботи, у яких початково-кранов 8адач1 для р!внянь иарабол!чного типу з розривними коеф1ц1ентами 1 в умовами розриву функц!й чи íx пох!дних на межах сум1жних областей сфор-цульовано на клас1 узагальнених функц!й 1з застосуванням 1нтег-ро-1нтерполяц!йного методу 1х розв'язання.

У перш1й глав! сформульовано математичну модель та еалропоно-вано алгоритми розв'язання в!дпов1дних задач за допомогоя ск!нчен-нор!зницевого методу.

Р!вняння парабол1чного типу записано у досить загальн1й фор-ы1: враховано ножлив!сть конвективного переносу, наявн1сть об'ем-них джерел i.т.д. На зовн!шн!й поверхн! облает! розв'яз1су формулю-ються граничн1 умови загального вигляду, як1 охошшоть ус! в1дом1 види граничних умов.

при Г-Г1 1 Г-Гкм. Zo< Z <Zl.; Z - Zo 1 Z - Zl . П <• Г<Г k+1.

Особливу увагу прид1лено форыулюванню умов на сум!жних по-верхнях шар1в. Сформульовано умови узагальнеиого не!деа ьного контакту (УНК), як! записало у вигляд!

ат ат

+ ait —— + aJZ—— -дг dz

(») <») дТ bi.4 + b 2.5 — дг

3-1.k , (1)

(2)

í.i- т j■ i,2 - rT-ч j. i ♦ Rj-qj-i,« (3)

4i. 1 - Qj-l. 2 - "i-

1нде|хи 1 та 2 в!дносяться дс параметра на нидн!й та верхн1й по

верхнях в!дпов!дних шар1в, qj - потоки тепла айо речовини, як! пропорции! пох1дним шуканих функц1й.

Ц1 умови доэволяють враховувати джерела i стоки на сум!жних межах Шдобластей, ир веде до розриву поток!в, причому цей розрив может Сути досить г->в1льним. Внасл1док рочриву поток1в на сум1жних поверхнях розрив функц1й записуеться у симетричному э!дпосно пото-к'в виг ляд i в двома коеф!ц!Бнтами пропорц!йност1 (у терм1нолог11 вадач теплопров!дност1 -коеф1ц1ентами терм!чного опору). Складовою частиною поияття УНК е наявн1сть пом!ж шарами конструкцИ зазору ск!нченно! ширини, у якому в1дбуваиться процеси, як1 визначають параметри УНК - коеф1ц1енти Rj", Rj+ та uj. Зокрема, в вадачах теплопров1дност1 теплопередача через ц1 зазори може вд!йснюватись за допомогою теплонос1я або визначатися р!вними ф!зико-х1м1чними процесами - випаровуванням ,х1м!чними реакц1яш та 1к.Аналог1чн1 процеси можуть мати м!сце 1 в вадачах ф!льтрац11 або дифузП. У цьому paai не е необх!дним виконання вагальноприйнято! умови, ер зона контактування - неск1нченно тонка i вироджуеться в площину чи л1н1ю. Тобто передача потоков через сум!нн1 поверхн1 може бути досить дов!льною, що енаходитъ формальне в1добракення у задежност1 парамотр1в УНК в1д процес!в, як1 в1дбуваються у зазорах пом1ж шарами.

Способи визначення параметр1в УНК у загальному випадку е ок-ремими задачами i не стосуються сут! основних сформульованих у робот! положень. 0крем1 1люстрац!1 цього наведено у наступних розд!-лах роботи.

Формулюючи для кожного конкретного випадку алгиритми або виг рази для вивначеиня коеф1ц!ент1в диференц1альних р!внянь 1 г^анич-них умов та параметр1в узагальненого нереального контакту, можна розглядати великий клас задг ч у рамках единого методолог1чного П1дходу.

Задач!, шр описуються системою диференц!альних р!внянь (1), умовами (3) на межах контактуючих шарiв 1 граничними умовами (2), назвемо задачами 8 узагадьненим не!деальним контактом - задачами а УНК.

Використання ун1ф!ковано1 форми запису для математично! постановки задач в УНК дозволяв в1докремити математичн! та алгорит-м1чн1 питания розв'язання задач в1д визначення, у залежност1 в1д конкретно! задач!, коеф!ц!ент1в р!внянь, граничних умов 1 умов

УНК. На п1дстав! сформульованих загальних положень та в1дпов!дно до предметного напрямку роботи г ц1й глав1 гформулъовано клас задач про теплообм1н у багатошарових конструкц!ях 8 УНК.

Для обгрунтування постановки задач з УНК розглянуто задач1 теплопров!дност1 з постишими коеф1вдвнтами 1 побудовано IX анал!-тичн1 розв'язки. На тдстав! цих розв'язк!в сформул^овано ниаку тверджень.

Стац1онарна задача.

Лема. Значения функщй Т,.?. та TJ,l на межах У того шару пов'язан! сп!вв1дношеннями вигляду

Ь,.1 Т:Л + Ь3,2 — 1) - Ь,.э .

5.)

Використовуючи до лему 1 граничн1 умови на ьирхн1и ыеж1, сфор-мульовано теорему.

Теорема . Розв'язок стад!онарно'1 задач1 про теплопередачу у багатошаров1й пластинц! (цил1ндр1,сфер1) а узагальненим не1деаль-ниы контактом 1снуе 1 е единим при умовЬ

Ь1-Ь5 - Ьг-Ь4 - Ьг ь4Д + ^ + С— 1 * 0.

Розв'язок нестац1онарно'1 задач1 отримуетьсл за допомогою методу ск1нченних 1нтегральних перетворень з використанням способу шШпшення зб1гання рядхв.

Записано анал1тичний розв'язок для смуги товщиною Й при граничите умовах другого роду.

Шсля п1дставляння одержаного розв'явку у р!иняння УНК (з урз-хуваням сп1вв1дношень Т3.1 (0та Т^.г - Т^-1 (б.х) для ви-значення теплових поток1в через меж1 шар1в отримуимо систему 1нтег-тегральних ргьнянь Вольтерра другого роду типу згортки.

- ФПх) + | ( С10 1 - (С^ - с!3-1 1 - С^-^,-!, I

г °

" ( п Г ЬгиИ-т)

♦ ^ ((-!>%] е + <11 "

г / Ьп,а-т) Ьп) -1 а-х).

(11)6 ♦ С1, -1© j 01 ♦

♦ С-и'мДе ^^л й) .

х

Ы](11 1 |> ( Л

де 4>1 (х) - - + --а^-ц - ^ № -

К, •'о*' '

X X

О о .

(Тм- То,-!). .

2а^2 /Я п аа ч2

ф -- , Ьп^ -I - ! , а -коеф!ц!ент твмпературо-

* 6;) )

пров1дност1, Т0, - розв'язок друго! крайово! вадач! для неоднор1д-ного р1вняння теплопров1дност1 при заданих початкових даних 1 нульових теплових потоках на м пах шар!в.

Доведено р1вном!рве зб1гання ряд1в, що входять у ва

умовою, що ш, (т) - об»ежен1 функцП.

В ц1й систем1 1нтегральних р!внянь роариви теплових поток1в впливають аналог1чно членам типу джерел у р1внявн1 теплопров!днос-т1, не 8м1нюючи, в пор1внянн1 з задачами з ввичайним терм1чииы опором, загально! структури 1нтегральних р1внянь та 1х математич-них властивостей. Н1яких додаткових . роблем 81 вб1жн1стю ряд!в 1 розв'язанням системи 1нтегральних р1внянь не виникав, черев те цр в1дпов1дн1 1нтегральн1 р1вняння в!др!вняються т1льки в1льними членами та функц!ональн1 властивост! цих член!в (неперервн!сть,дифе-ренц!йовн1сть 1 т.д.) зб1гаютьоя. На п1дстав1 иього сформульовано теорему.

Теорема. Коли функцП (х). що визначають розрив теплових поток1в, обмежен1, та + 0, то розв'язання нестаЩо-

нарно! вадач1 8 увагальненим не1деадьним контактом вводиться до розв'язування задач! в терм1чним опором при и^(х)-0 ! ^

Для нел1н!йних задач з УНК розроблено ун1ф!кован1 алгоритми, заснован1 на ск1нченнор1зницев1й апроксимацП 1 чиселъно-анантичному метод!.

Ск!нченнор1зницевий алгоритм.У кожн!й п!добласт! впровадлу-еться ск!нченнор!зницевий с!тког<:й шаблон, га якому диференц1аяьн1 р!вняння зам!нюються ск1нченнор1зницевими. Ц1 р!вняння ззлисуються у вигляд1 системи р1внянь а трьохд1агонадьними матрицами

А! Т1+1 + В1 Т, + С1 Т1-1 - 0!. (4)

Коеф1ц1енти цих матриць виражаються через коеф1ц1енти дифе-ренц!альних р1внянь, записаних в ун1ф1ковансму виг ляд! (1); 1 зало-аать в!д застосовано! ск!нченнор!зницево! схеми. Таким чином, конкретний анал!тичний аапис р1внянь ! вастосована гч!нченнор!вни-цева дискротизац!я в!дбиваються т!льки на визначенн1 коеф!ц1ент1в трьохд!агонально1 матриц! 1 не впливають на наступну побудову алгоритму 1 прографи. Цим досягаеться висока ун1ф1кац1я останн1х.

Для апроксимацП сп!вв!дношень УНК на продовженн! в!дпоп1д-них иар!в вводятъся ф!ктивн1 вузли. Значения функц1й в цих ф!ктив-них вузлах виключаеться за допоиогою ск!нченнор!вницево1 апрокси-цацП дпференц!аЕьних р!внянь (4). Внасл!док цього отримано систему а двох р!внянь в1дносно Т1-1,Г»+1. Т-1. Т+1

А! Т1+1 + в7 т7 + с! Т1-1 - о!, (б)

а! :1+1 + в! т[ » с| Т1-1 - о! ,

де Г4.Т+! -температури сум!лсних поверхонь .ар1в. В окремсэд/ випадку Т_1-Т+1 Щ два р!вняння взодяться до одного. Таким яе чином апроксимуються граничн1 умови.

Для обгрунтування алгоритму показано, що похибки апроксимацП умов УНК 1 граничних умов мають другий порядок мализни.якщо такин порядок апроксимацП мають диференц1аяьн! р!вняння.3алропононана апроксимац1я умов УНК 1 граничил* умов з використанням неявно! схеми для диференШальних р1внянь е абсолютно ст!йкою в1дносно по-чаткових даних.

Таким чином, задача йбоди1*ся до системи ск1нчг-шор1зн;аддам р1внянь (4)-(б)..,л система р!внянь мае матри15о.в1дм!ину в Г,; трьох-д1агонально!, 1 тому для II розв'язання не можна безпосередньо ви-ксристати /алгоритм прогонки. У робот! аапропоноьано модиф1кац1ю цього алгоритму,у в1дпов1дност1 8 яком система р!внянь розбиваяться

ся на дв1 системи, одна з яких мае трьохд1агональну матрищо. 3 не! методом прогонки визначаються значения температури у 1нутр1шн1х вузл&х, на межах област1 та на одн1й з контактуючих поверхонь. 1н-ша система р1внянь дозволяе пот1м визначити температуру на друг!й |«знтактуич1й поверг. ¡1 за допомогога ск1нче"них сп!вв!дношень.

Сформульований алгоритм протестовало при чисельному розв'язу-конкретних задач з класу задач теплопров1дност1. Зокрема, розглянуто задачу про охолодження пакету N пластин при нереальному тепловому контакт1 м1ж ними. Отримано результати, як1 ^струить залежн1сть часу охолоджування центру пластин в1д к1лькост! ша-р1в та в!д стискуючих зусиль, як1 у свою чергу визначають р1вень терм1чного опору (розглянуто до 9 иар1в). Ц1 результати надано у критер1альному вигляд! 1 можуть сам! по со<31 використовуватись для практичних оц1нок.

У друПй глав! для розв'язання задач переносу з УНК запропо-новано застосувалня чисельно-анал1тичного методу, що заснований на деяких 1деях методу ск!нченних елемент1в, а також методу степене-вих ряд1в. Чисельно-анал1тичниР метод дае можлиЫсть будувати еко-ном!чн1 1 прост1 для машинной реал1зац11 алгоритми та отримувати розв'язки з необх1дною точн1стю. При формулюванн1 цих алгоритм!в розрахункова область розбивавться <<а смуги, як!, зокрема, можуть еб!гатися з ф1зичними смугами конструкцП. На межах смуг формулю-ються айо умови безперервност! функц!! та П пох!дно!, айо умови УНК. В межах смуги розв'язок зображаеться у вигляд! пол!ном1е в1д-носно геометрично! 8м1нно1. Коеф1ц1ент" цих пол!ном1в е функц1ями часу ! !ншо'1 зм1нно!. Отримано систему N-1 р!внянь меншо! вим1рг ност1 з N+1 нев1домими функц!ями-коеф1ц1ентами пол!ном1в. ДЦя от-римання р!внянь, яких невистачае, використовуються граничн! умови та умови УНК або умови безпере^вност1 на межах смуг. Виходячи з цих умов, отримано систему алгебра!чних ргвнянь з розр1дженою п'я-тид!агональною матрицею. 3 використанням Ще1 системи р!внянь доведено леку про те, шо у ксший смуз! пом!ж додатковими членами 1снуе л!н1йна залежн!сть вигляду А^-Т^+г + В4'Т4ы+1 - 3 ура-хуванням цього будуеться вар1ант методу прогонки для розв'язання отримано1 системи алгебра!чних р1внянь. Формулюеться алгоритм розв'язання вадач1 при будь-як1й к!лькост! смуг та досить загаль-них умовах на 1х межах. Для обгрунтування методу показано, що при використанн! пол!ном!в 2-ого стененя з похибкою б2 (б -ширина ему-

ги) роврахунксш сШвврноиення чисельно-анал1тичного методу вводиться до сп1вв1дн0шень ск!нче нор!зницевого методу, тоОто похкбка цього методу е бг. При зб1льшенн! степеня пол1ном1в похибка змен-шуеться. Внасл!док чисельних експеримеит1в про!люстровано зб!ж-н1сть методу, як при зб!лъшеши степеня пол!ном!в (без введения промЮТих смуг), так I при зб!лъшенн1 кШкост! смуг.

У ра<ках цього методу розв'язано одновим!рн! та двовюЛрн! задач!. Зокрема, доопджено еплив терм1чного опору на охолодкення багатсшарово! пластини ск1нченно'1 ширини (показано, цо при зб!ль-пенн! терм!чних опор 1 в npou.ec охолодження пластики ск1нченно! ширини переходить у процес охолодзхення пластини неск1нченно! ширини - перехр в1д двовголрно! задач! до одновим!рно!). За допомог-ч) комп1ляц11 чисельно-аналНичного та ск1нченнор1аницево'го метод1в сформульовано алгоритм розв'язання спряжено! ^здач! теплообм!ну у багатошаровому пакет! пластин, роэдРених смугами прот!каючо! р!ди-ни, та показано шляхи застосуг-шня прходу для розв'язання двови-м1рних р!внянь Иав'е-Стокоа.

Трети главу присвяче'но йюстрацП використання поняття УНК. Розглянуто дв! групи практично важлизих задач. Перша трупа пов'я-зана а визначенням температурного та пружньо - здеформованого стану багатошарових та рулонованих цил!ндр!в з нещ!льним приляг'чням контактуючих поверхонь,. а друга - з теплообм!нсм у бага.оиарових конструкц1ях, коли в прошарках пом1л поверхнями шар!в рухаиться р!дини. 'На приоад! цих зад л з одного боку обговорюыъся особли-вост!, як! спричиияють необх!дн!сть використання г^няття узагаль-неного нереального контакту, та питания визначення параметр!в УНК, а з Другого боку розглянуто загальн! питания побудови алгорит !в розв'язання задач з УНК.

Особлив!стю першо! групи задач е те, що тепловий стан цил!нд-Р1В при наявност! терм!чних опор!в, що залежать в!д тиску, су,уе-вим "ином е пов'язаним з пружньо •• здеформоЕаним станом. 3 1ншого ■ боку, пружньо-здеформс^аний стан через механ!зм терм1чних напру-жень б пов'язаним о температурит полем. 1ншою особлив!спо ц!е! групи задач е не1деальн1сть механичного контакту, по викликана на-явн!стп м!кронер1вностей на поверхнях цил!ндра. Внасл1док' змш.ання цих м!кронер!вностей рад!альн1 перем1щення на поверхнях шар1в заз-нають розри-у.. •

3 урахувапням цих особлквостей сформульовано алгоритм розв'я-

эання нестац1оыарних задач, васнований на 1деях методу розщеплення по ф1зичних процесах: на першому часовому п1вкроц! визнач- »ться температурне поле та терм!чн4 опори при заданому розпод1л1 тиску, на другому п1вкроц1 - пружньо-здеформований стан цил!ндр!в при заданому температурному пол!.

Розв'язано задачу про нагр!вання 14-шарового цил!ндра ! проведено досл!дження впливу терм1чних опор1в, не!деальност1 механхч-ного контакту (змийання нер1вностей) на межах' шар1в на ем1шовання з часом температурного 1 ппужньо-вдеформованного стону цил!ндра та на тривал!сть процесу нагргвання.

■ Роа'язано також задачу про визначення температурного поля, м1жзв1йного тиску та тиску на барабан моталки нё1зотерм1чного ру-лонованого цил!ндра, отриманого нам; туваиням сталевих штаб!в на барабан моталки прокатног-1 стана. На приклад1 рулону а 100 авПв, як1 намотуються при р1зних натягах,показано вплив терм!чних опор1в. 1 вминання м1кронер1вностей поверхн1 штаби на характер зм!шовання е часом температурного поля та пружньо-здеформованного стану рулону.

Особлив!стю друго! групи рздач, розглянутих в ц!й глав1, е те, шо 1х розв'язок шукаеться у неоднозв'язн!й област1, коли м1ж межами п1дЬбластей 1снують прсларки ск!нченно! ширини.

Внасл1док того, щр уздовж цих прошарк1в прот1кають р!дини,. теплопередача м1ж.шарами зд1йснюеться за допомогою теплонос1я. Те-ч11 р!дин (теплоносПв) описуються в кваз1одновим!рному наближен-н1. Виходячи в того, щр коеф!ц!енти теплообм1ну щ м1ж прот!каючою р!диною та ст1нками каналу (шарами конструкцП) в!дом1, формулю-.»ться сп!вв1дношення для визначення параметр!в УНК - (Гь их

«л - «Г(Т»Г " Т,) - «*4+(ТИ1+ - Т,),

Ъ -(—-'I , ^ -(—) . ¿-1,к-1;

4 а ■ а Ч

На п!дстав1 розроблених у першому розд1л! алгоритм!в сфор-

мудьисацо алгоритм роав'язання тако! вадач1 при дов1льному роата-¡цувинн1 каноне, р1зних напрямках т^ч1й р!зних р!дин, причому ок-рен! шари конструкцП, нк1 роз«!ляються р1динами, сам1 можуть бути ( »гатошаровими, 8 не1д^ъними контактами 1ншо! природи м!ж шара-ил.

3 м<."г<.*) побудови формап)зованого алгоритму, незалежного в!д

KiJtbKocTl канал!в i схем теч1й теплоносПву впроваджуеться матри-ця, за допомогою яко! формал1ровано умови на стиках. Кожний рядок ц!в! матриц! м!ст чь !нформац!ю про параметри теч!1 теплонос!я у в!дпов!дному канал!.. 3 використанням цього формулюеться невалежний в1д схем теч1й алгоритм розрахунку температурного стану р1дин та конструкц!!. Спочатку зд1йснметься розрахунок температурних пол1в ¡геэалежних р!дин, дпя яких Kf-0 (Kf-пар^метр в!дпов)дний кШкост! tcaHaniB конструкц!!, через як! лрсйшла р1дина). При цьсму задаемся эначення витрати ! температури р!дини на вход! у в!дпов!дний канал. IIoTiM розраховуеться температурке поле р!дин для Kf-1, Kt-2 ! т.д. При цьому витраад вт!каючо! р!дини дор!внюе витрат! з про-тилежним знапм. uieï р!дини у канал!, в якого Бона вит!кае.Також у в!дпов!дн!сть приводяться температури на вход! у даний канал.! на виход! з попереднього каналу (Твх - ТВих)• Прг г >будов1 структури алгоритму це досягаеться орган!зац!ею двох циклiв - зовШшнього. по' загальн1й к1лькост! каналiв та внутр1шнього - по к1лвкост1 спаау-чених канал!в. >3 метою !люстращ! можливостей сформульованих алго-ритм!в розглянуто задачу про нагр!вання (охо*_дження) р!диа в конструкцИ, що складаеться з шести шар!в, як! розд!лен! п'ятьма каналами з прот1каючими pifliraaMH.

Розглянуто чотири схеми, у кожн!й а яких s два канали э "га-рячими" р!динами, що прот1кають незалежно одна в!д одно-ï Три !н-сих канали сполучаються м!ж собою, 1 по них прот!кае,.наче по вм!-йовйку, одна "холодна" р!дина. Ц! схеми в1др!зняютьс . напрямками теч!й нагр1заючих р1дин ! ^заемним розташуванням канал1в, по яких прот!кають р!дини, що нагр!ваються та охолоджуються.

Отримано rpa$i4Hi залежност! зм!ни в б1гом часу темпераг р р!дин на виходi з конструкцП, а також розпод!л температур р!дин уздовж канал!з в р!зн! моменти часу. Виявлено деяк1 особливост! процес!в нагр!вання ! охолодження р!дин. Зокрема, в!дм1чено не,',.>--нотонний характер зм!ни температури "гарячо!" р!дини з б!гом часу.

Наведено пор1внянк' процес!в нагр!вання р1дини у цих чотирьох схемах з найб!льш простою схемою - т?.пл0обм!нником, я кий мае два канали з "холодною" i "гарячою" р!дкками у прjthtr41 1 прямотеч11 з однаковим сп!вв!дношення)» витрат "холодно!" ! "гарячо!"•р1д| : у вс1х п'яти схемах. На ц!й подстав! обираеться найб1льш ефективна схема.

У четвертЧй глав! викладаються елементи технологП математич-

ного моделювання на ПЕОМ процес1в переносу, опис яких вводиться до сформульованого класу задач з УНК. 0сновн1 положения ще! технологи зводяться до наступного:

- формулювання математично! модел! для класу задач 1 форма? 1-зований 11 залис - в!докремлення математичнчх особливостей задач1 в1д И ф!зично\ сут1;

- розробка ун!ф1кованих алгоритм1в чисельно! реал1зац11 математично! модел!;

- модульний анал1з мятематично! постановки та алгоритм!в- ви-лучення базисних 1 функц1ональних модул1в;

- ун1ф!кац!я структури даних ! м!жмодульних !нтерфейс1в окре-мих п1дпрограм.

Результата модульного анал!зу воображено на схем! комплексу програм, що наводиться. Е дно, що, виносячи питания визначення параметр! в УНК в окрем1 модул!, маемо комплекс програм для розв'я-вання усього класу задач, в тому числ1 1 задач, для яких поки ще не визначено параметри УНК. По м1р! визначення природи УНК комплекс програм иоже доподнюватись модулями, в яких розраховуютьсн параметри УНК. Завдяки ун!ф1к"Ц1 структури даних та м1жмодульних 1нтерфейс1в це не потребуе будь-яких зм!н в 1нших модулях та структури програыи в ц1лоь.у.

В закдюченн! наведено основн1 результати та висновки по робо-

т1.

У додатку 1 розглянуто деяк! нел!н!йн1 задач!, що пов'язан! з потребами ракетно-"осм!чно1 техн1ки. Наводиться пор!вняння здобу-тих результат!в з !снуючими експериментальними даними.

Додаток 2_м!стить в соб1 коп!! документ!в, як1 п1дтверджують

практичне використання розроблених моделей, алгоритм!в та програм; ного аабезпечення. .

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1. Розроблено методолог!» розв'язання широкого класу задач, ни Описуиться р!вняннями з частинними пох1дними парабол!чного типу у багатошарових областях при диси-гь дов!льних умовах на- межах Щдобластей -дозьоляеться рсзрив як функц1й, так 1 поток!в (зокре-ца. тепла або речовини), як1 пропорщйн! пох1дним шуканих функц!й. Ця методолог!? об'сднуе в один клаС задач!, що розглядалися ран!ш

СТРУКТУРА КОМПЛЕКСУ ПРОГРАН

КЕРУКНА ПРОГРЛМА

цикл за ,асом

т

о

3 р

э

X.

конвектиэ-. ПИЯ топ-лсобМ1н:

Т6Ч1Я

У труб!, зовн1шне оОт1 кання та 1пше

рипром!

нюн.

ТЕПЛОПЕРЕДАЧА У MATEPIA.1I КОНСТР"КЦ1Т

РОЗВ'ЯЗОК РТВНЯКЬ ТЕШЮПРСВ1ДН0СТТ

цгас зз г

ГнйГ нехан!зни

к о о Ф.

Вк к=

1-6

яоеф1 щ еяти г.у.

цикл за тарами

коеф1 щ ента ^_

ривняпь . р1

розрахунок парзмотрив

Р1ДИНИ_

розрзхунок

ПруЖН.-ЗД0-

формоваяого _стану_

Гнш мехзн! зми

кЬоф1ш енти У я к_

кооф1ц!ента трьохд1 агспаль-__но! матриц!

тинець цик. ¿а шарами

ПРОГОНКА

К1пець циклу 33 2

I ОбРОбКА РЕЗУЛЫ'АИВ

'шнець циклу за часом

пружпьо-здафор-мованиа стан конструкцП

телловиа стан

1 нш1 умови • парзметри зовнш

пього серэд.та г

i нтерполлш ч таблиць

анал1 тичн1 залэжносп вхд Т тз г

окрем! злторитми

>1впутр1Г'е вютлшшя теп ----

ÙЙ~1 [Тншо

запис резулъх для I граф! ю в_

розрахунок дода\.:опих • параметр! в

як задач! р1эних класав. Складов1 елементи ц!е! методологи так!:

а) формулювання загально! математично! модель що включи понятая узагальненого не!деаль;.ого контакту,

0) розробка ун!ф!кованих алгоритмов реал1зац11 сформульовано! математично! модел1;

в) формулювання загальних положень створення комплексов програм для чисельно! реаШзад!! на ПЕОМ розроблених алгоритм^.

Таким чином, досягнуто орган1чне об'еднання загально! математично! модел1, алгоритм!в 1 структури 1х програмно! реал!зац!1 на ПЕОМ.

2. На прикладах задач з пост1йниыи коеф1ц!ентами надано структуру розв'яаку 1 доведено низку тверджень щодо обгрунтування математично! модел! з УНК.

3. Сформульовано та ^грунтовано (теоретично або експеримен-тально) алгоритми чисельно! реалгзацП вапропоновано! математично! модел! у загальному нел1н!йному випадку та створено ун1ф!кований комплекс програм, що реал1зуе ц! алгоритми.

4. Показано шляхи, застосування розроблених методолог 1'1 та комплексу програм до розв'язан я р1зноман1тних задач, у тому числ1 й тих, що не розглядались у робот1, тобто одержано розв'язок широкого класу задач.

5. Ефективн!сть та реал!зовн1сть сформульованих положень та алгоритм1в 1дтверджено результатами досл1джень основних особливостей нестацЮнарно! теплопередач! у багатошарових констр''кц!ях.

5.1. Внасл!доч параметричних розрахунк1в досл1джено особли-ьост1 впливу терм!чного опору на охолодження багатошарових пластин

■ (одновик!рна та дво*им1рна задач1).

5.2. Про!люстровано взаемовплив теплових 1 пружньо-дефорыа-ц1йних процес1в при нагр1ванн1 багатошарового цил!ндра з не!деаль-ним тепловим 1 механ1чним контактом м!ж шарами.

5.3. 3 урахуванням не1деальност! теплового ! механ1чного кон-такт!в м1ж зв1ями визначено характерн1 особливост1 зм!нювання темг ратурного та пружньо-здеформованого стан1в рулонованих ци-л1и-р!в (до Г 1 ввПв) при охолоджуванн! на барабан1 моталки 1 п1сля вннтт» а барабана. Зокрема покаьлно, що зростання тем!.-/ охолодження (коыфт!ента теплоь!ддач1 на зовн1шн1й поверхн! рулона) '^де до вб1льшення макс.^альних нружн!х напруженнь у зв!ях рулону 1 тиску ..а барабан моталки. Пю обставину необх!дяо ураховуеати при

орган!зацП технолог1чних процес1в обрсбки продукцП прокатного вирсбництва та 1н.

5.4. На прик ац1 пластинчастого теплообм!нника (ш!сть шар1в конструкцП, розд1лених п'ятьма каналами, по ягах прот!кають р1-дини) з'ясовано основн1 особ..ивост! перех!дних теплових процес!в при рхзних схемах теч!й холодних 1 гарячих р!дин (розглянуто чоти-ри схеми). На конкретному приклад! наведено, що пои певн!й схем! течП складний п'ятиканальний теплообм1нник може бути б1льш ефек-тивним, н!д простий двоканальний при одном-/ й тому ж сп!вв!дношен-н! витрат гарячо'1 !■ холодно! р!дин.

5.5. Про!люстрованс вплив нестацЮнарност! витрат теплонос!я 1 його температуря на вход! та нэстац!онарност! зовн1шньо! тепло-во1 дП на температурний стан трубопроводу, оповитого багатошаро-вою тешю!золяц!ею.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ ДИСЕРТАДII ВИКЛАДЕНО У РОБОТАХ'

1. Тимошенко М.В. Алгоритм расчета вязкой неияшаемой жидкости в плоском канале // Динамика гидромеханических систем летательных аппаратов. - К.: Наук, думка, 1982. - С.119-124.

2. Тимошенко М.В. Численно-аналитический метод решения двумерных уравнений Навье .- Стокса // Прикладные вопросы аэр динамики летательных аппаратов. -К.: Наук, думка, 1984. - С.95;-100.

3. Веселовский В.Б., .Тимошенко М.В. Температур1 ле поля элементов конструкций при воздействии высокоэнтальпийных потоков газа //Прикладные задачи гидродинамики .1 тепломассообмена з энергетических установках. -К.: Наук, думка. 1989. - С.108-112.

4. Веселовский В.Б., Тимошенко М.В. Прогнозирование тепловых режимов трубопроводов, покрытых теплоизоляцией при воздействии высокоэнтальпийных потоков газа // Надежность технических сист-ч1.<-К.: Наук, думка, 1991. - С. 114-120.

5. Веселовский В.Г., Тимошенко М.В. Исследование тепловой защиты стенск каналов высокотемпературных энергетических устройств // Дикачика гидросистем энергетических установок ле1. ¿тельных аппаратов. -К.: Наук, думка, 1а91. - С.145-148.

6. Веселовский В.Б., Тимошенко М.В. Численное моделирование процессов гидродинамики и теплообмена в трубопроводах энергоустановок // Динамика гидросистем энергетических установок летательных

— ïCî -

аппаратов. -К.: Наук, думка, 1991. - С.138-145.

7. Веселовский В.В., Тимошенко М.В. Температурные поля raso-водов сложной конфигурации // Техническая механика. -К.: Наук, думка, 1993. - Вып.1. С.1177121.

8. Веселовский В.В., Трусков И.В, Алымов В.Д, Ляшенко В.И., Тимошенко М.В., Швачич C.B. О применении вихревых структур в процессах теплообмена // Moscow, Science-Whily, Сб."International conference on advanced and Laser technologies' : Book: of summaries. Part 1", 1992.- P.63-65.

9. Veselovsky V.B., Belay A.F., Lyashenko V.l., Timoshenko M.V.. Shvachich S.V. Mathematical simulation of concentrated energy fluxes interaction with structural members // Moscow, Science - Whily, Сб. "International conference on advanced and Laser technologies : Book of suirmaries. p^rt 2 ", 1992. - P.46-48.

10. Шмукин A.A., Веселовский В.Б., Лазученков H.M. Исследование нестационарного теплообмена при изменяющемся расходе жидкости //Москва: МАЙ, Сб. "Тезисы докладов 3-й Всесоюзной научно - технической конференции "Современные проблема двигателей и энергетических установок летательных аппаратов"", 1986.

11. Веселовский В.Б., Тимошенко М.В., Белая А.Ф., Ляшенко В.И. Нестационарный теплообмен при течении теплоносителя с переменным расходом в трубопроводах сложной конфигурации // Тепломассообмен и гидродинами a jb турбулентных течениях : Тезисы докладов межгосударственной конференции. -К.: Наук, думка, 1992. - С.138-139.

12. Трусков В Л., Веселовский В.Б., Тимошенко М.В., Ляшенко В.И. Теплообмен при критическом состоянии воды внутри обогреваемой •трубы // Тепломассообмен и гидродинамика в турбулентных течениях : Тезисы докладов межгосударственной конференции. -К.: Наук, думка, 1992.- С.142-143.

13. Веселовский В.Б., Трусков И.В, Алымов Б.Д, Ляшэнко В.И., Тимошенко М.В. Исследование генерации и взаимодействия плазменных тороидальных структур // Обработка жидких сред электромагнитными поля "и : Тезисы докладов межгосударственной конференции. -К.: Наук. думка, i9f"î. -С. 140-149.

14. Веселовский В.Б.. Белая АЛ., -Тимошенко М.В., Ляшен.-о В.И. Математическое моделирование влияния полей различной физической гчироды на температурные ..оля трубопроводов энергоустановок // Обработка /..¡дких сред электромагнитными полями : Тезисы докладов

межгосударственной конференции. -К.: Наук, думка, 1992. - С.63-64.

1Б. Веселовсккй В.Б., Тругков И.В., Алымов К.Д., Ляшенко В..4., Белая А.Ф., Тимопнко М.В. Исследование характеристик элетродуго-вого излучателя // Фотометрия и ее метрологическое обеспечение : Тезисы докладов 9-ой научно - -ехнической конференции. -М.: ВНИЙО-Ш, 1992. - С.БЗ.

ABSTRACT

Timoshenko M.Vi A mathematical simulation of heat transfer in multi-layer structure with a generalized non-ideal contakt. Manuscript. Thesij for the degree candidate of Technical Sciences of speciality code 05.13.02 - "A mathematical simulation in science investigetions". Kiev University named by Tarrs Ghevchenko. Kiev, 1996.

The generalized non-Ideal contakt conception (GNC) is suggested. The general mathematical problems statement is given on the base of parabolic equatidns in combined domains taking account' of various processes between contakt surface. Numerical solution algorithms are suggested with using of difference and numerical-analytical methods, and its combinations. Several conclusions are formulated on ground of GNC problems formulation arid 'eveloped algorithms. Problem-oriented program complex Is created. Several nonstationary problems are Investigated for which t ie numerical solution is obtained. Anon4 them are: comptutatlon of heat and elastically-stressed state of multilayer and rolling cylinders, heat transfer in multilayer structure with system of channels in which fluids move. ■

АННОТАЦИЯ

Тимошенко M.B. Mrтематическое моделирование теплообмена в многослойных конструкциях с обобщенным неидеальным контактом. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени Kai дидата технических наук по специальности 05.13.02 - математическое моделигова-ние в научных исследованиях. Киевский университет имени Тараса Шевченко. Киев, 1996.

Сформулировано понятие обобщенного неидеального контакта

(ОНК), и о его использованием дана общая формулировка вадач,описываемых уравнениями.параболического типа в составных областях, при наличии различных процессов ¡^ зазоре между контактирующими поверхностями. Предложены алгоритмы решения задач с ОНК с помощью конечно-разностного и численно-аналитического методов,а также их комбинации. 6 обоснование формулировки задачи с ОНК и разработанных алгоритмов доказан ряд утверждений. Сформулирована технология программирования класса аадач с ОНК. Создан проблемно-ориентированный комплекс программ. Решен ряд вадач нестационарной теплопередачи в многослойных конструкциях с ОНК, в частности, задачи определения нестационарного теплового и упруго - напряженного состояния многослойных и рулонированных цилиндров, тепломассообмена в многослойных конструкциях при наличии системы каналов с движущимися жидкостями. .

■ КЛЮЧ0В1 СЛОВА Узагальнений не1деальний контакт, р1вняння парабол1чного типу, ск1нченнор1зницевий та чисельно-анал1тичний алгоритми, проб-лемно-ор!ентований комплекс програм, нестац!онарна теплопередача, багатошаров! конструкцП.

Тип. СЪГУдаь. 941-100.