автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование спиральных течений идеального газа

на правах рукописи

КРУТОВА ИРИНА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Специальность 05.13.18. — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 3 МАЙ Ш

Тюмень — 2013

005060131

Работа выполнена на кафедре высшей и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Баутин Сергей Петрович

Официальные оппоненты: Хакимзянов Гаяз Салимович,

доктор физико-математических наук, профессор, Институт вычислительных технологий, СО РАН, Новосибирск, ведущий научный сотрудник

Шабаров Александр Борисович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет», заведующий кафедрой механики многофазных систем

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО «Уральский Федеральный Университет» имени Б. Н. Ельцина

Защита диссертации состоится «05» июня 2013 в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет» по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15А, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет».

Автореферат разослан апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Е. А. Олейников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена применению математического моделирования и численных методов для описания придонных течений в восходящих закрученных потоках, имеющих спиральный характер. В основу теоретического исследования положена предложенная в книге Баутина С. П. 1 схема возникновения и устойчивого функционирования восходящего закрученного потока газа.

Исследование поддержано РФФИ, проекты 08-01-00052 и 11-01-00198.

Актуальность темы

В природе довольно часто встречается интересное явление — восходящий закрученный поток (ВЗП) воздуха. В качестве примеров таких потоков можно привести многочисленные смерчи и торнадо, регулярно наблюдаемые на юге США и в других достаточно теплых и ровных местностях. К подобным явлениям относятся и периодически возникающие тропические циклоны. В книгах Наливкина Д. В.2 и Вараксина А. Ю. и других3 приведены многочисленные примеры реальных торнадо и тропических циклонов, наблюдаемых на протяжении большого промежутка времени и приносящих многочисленные разрушения и человеческие жертвы.

Несмотря на то, что много других исследователей на протяжении десятилетий активно занимается проблемой ВЗП, к настоящему времени у них у всех отсутствует достаточно убедительная теория, объясняющая причины возникновения, функционирования и естественного исчезновения таких течений, и подтвержденная как экспериментально, так и адекватным математическим моделированием.

Объект исследования — спиральные течения идеального газа.

Предмет исследования - методы моделирования течений идеального газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

Цель диссертационной работы

1. Математическое моделирование течений газа в начальные моменты времени, вызванных заданным стоком из покоящегося в поле тяжести газа в усло-

'Баутин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. - 96 с.

2Наливкин Д. В. Ураганы, бури и смерчи. Географические особенности и геологическая деятельность. Л.: Наука, 1969,— 487 с.

з Вараксин А. Ю., Ромаш М. Э„ Копейцев В. Н. Торнадо. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 344

с.

виях действия силы Кориолиса. Математическое моделирование течений газа в условиях действия указанных сил в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости численными и аналитическими методами.

2. Численное построение трехмерных стационарных спиральных течений, описывающих движение воздуха в придонных частях торнадо и тропических циклонов.

Задачи исследования.

1. Математическое моделирование возникновения закрутки в трехмерных нестационарных течениях газа, являющейся следствием действия силы Кориолиса.

2. Построение приближенных решений системы уравнений газовой динамики, описывающих стационарные трехмерные течения идеального газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

3. Разработка программного пакета, позволяющего определять газодинамические параметры трехмерных стационарных течений газа.

4. Проведение вычислительных экспериментов с целью моделирования течений в придонных частях торнадо различных классов и тропического циклона средней интенсивности.

Методы исследования.

Для формализации и решения поставленных задач использовались современные методы аналитического и численного моделирования. В процессе исследования используется адекватная математическая модель — система уравнений газовой динамики, являющаяся квазилинейной системой уравнений с частными производными. Для этой модели ставятся конкретные начально-краевые задачи, для которых: устанавливаются факты существования и единственности решения. Приближенные решения этих задач строятся с использованием аналитических и численных методов при определении значений начальных коэффициентов сходящихся рядов. Для построения этих коэффициентов, в частности, применяются известные эффективные вычислительные алгоритмы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна результатов работы по трем областям специальности 05.13.18 сводится к следующим положениям.

Математическое моделирование • Впервые построено решение задачи о стоке газа в условиях действия сил

тяжести и Кориолиса. Численные методы

• При численном нахождении значений начальных отрезков сходящихся рядов, зависящих от трех независимых переменных, впервые проведены расчеты трехмерных стационарных спиральных течений, результаты которых соответствуют данным натурных наблюдений за торнадо различных классов и за тропическим циклоном средней интенсивности.

Комплексы программ

• Создан программный пакет, ориентированный на численное решение рассматриваемых задач с использованием результатов аналитического моделирования. Результатом работы одной части этого комплекса является определение численных значений коэффициентов ряда, в том числе с помощью численного решения системы, состоящей из 14 обыкновенных дифференциальных уравнений. Другая часть комплекса по насчитанным табличным значениям и при последующем решении своей системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений восстанавливает траектории движения отдельных частиц газа. Третья часть комплекса с использованием готового пакета Golden Software Grapher 9 позволяет в различных пространствах и в различных ракурсах визуализировать результаты расчетов. С помощью созданного программного пакета проведены массовые расчеты газодинамических течений. Программный пакет прошел государственную регистрацию.

Теоретическая значимость

Впервые в модели движения сплошной среды строго обоснованы факт возникновения в горизонтальном течении закрутки газа и направление этой закрутки под действием силы Кориолиса при наличии радиального стока. Тем самым, в частности, дано теоретическое обоснование результатов соответствующих экспериментальных исследований группы А. Ю. Вараксина, опубликованных в 2008—2012 годах в журнале «Теплофизика высоких температур»4.

Впервые поставлена и исследована начально-краевая задача, решение которой моделирует трехмерные стационарные течения, имеющие место в придонных частях ВЗП в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

1 Вараксин А. Ю., Ромаш М. Э., Копейцев В. Н., Таекин С. И. О возможности физического моделирования воздушных смерчей в лабораторных условиях // Теплофизика высоких температур. - 2008. - Т. 46. - № 6. - С. 957-960;

Вараксин А. Ю., Ромаш М. Э., Копейцев В. Н., Горбачев М. А. Метод воздействия на свободные нестационарные воздушные вихри // Теплофизика высоких температур. - 2012. - Т. 50. - № 4. - С. 533-537.

Практическая значимость работы состоит в том, что численно полученные решения моделируют сложные течения воздуха, имеющие место в реальных торнадо и тропических циклонах, и дают числовые характеристики газодинамических параметров этих течений.

Достоверность результатов обеспечивается использованием адекватной природным течениям математической модели — системы уравнений газовой динамики — и применением классических математических методов для построения решений и исследования их свойств:

1) установление фактов о существовании и единственности решений соответствующих начально-краевых задач;

2) представление решения в виде сходящихся рядов и использование начальных отрезков рядов для построения приближенных решений;

3) использование надежных и эффективных численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов численного моделирования подтверждается успешным тестированием программного инструментария, а также удовлетворительными результатами сопоставления с расчетами других авторов 5 и с результатами натурных наблюдений за природными торнадо и тропическим циклоном.

На защиту выносятся результаты, соответствующие пунктам паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт 2: Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

1. Для системы уравнений газовой динамики обосновано существование и единственность решения конкретной характеристической задачи Коши стандартного вида. Начальный отрезок ряда, решающего эту задачу, приближенно моделирует трехмерное нестационарное течение газа при наличии радиального стока в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. Для моделирования течений с радиальным стоком аналитическими и численными методами исследованы свойства первых коэффициентов бесконечных сходящихся рядов и установлены факты возникновения закрутки и ее направления в исследуемом течении газа.

¡¡Баутин С. П., Обухов А. Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. -Новосибирск: Наука, 2012. — 152 с.

3. Численными методами приближенно построены трехмерные стационарные течения идеального газа в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

Пункт 6: Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.

4. На основе данных натурных наблюдений за природными торнадо шести различных классов и за циклоном средней интенсивности с использованием конкретных вычислительных алгоритмов смоделированы течения газа в придонных частях всех перечисленных природных восходящих закрученных потоков. Основные газодинамические характеристики построенных течений совпадают с данными натурных наблюдений.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция «X Забабахинские научные чтения» (Снежинск, РФЯЦ - ВНИИТФ, 2010);

Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010);

Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко (Новосибирск, 2011); X Всероссийский съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);

Международная конференция «XI Забабахинские научные чтения» (Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012); А также:

Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2011 (Снежинск, 2011); Всероссийская школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» (Институт проблем механики РАН, Москва, 2010); 42-я Всероссийская молодежная школа — конференция (Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011);

Международная (43-я Всероссийская) молодежная школа — конференция (Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012); Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики - 2012» с международным участием, посвященной памяти С. Н. Черникова, И. Ф. Верещагина, Л. И. Волковысского

(ПГНИУ, Пермь, 2012).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, из них 7 в соавторстве, в том числе работы [1, 2] в изданиях по перечню ВАК. В работах [6] и [7] приведены подробные выкладки доказательств теорем, опубликованных в работах [1] и [2] соответственно. Работа [3], изданная Pleiades Publishing, является переводом статьи [2].

В работах [1—7] Баутину С. П. принадлежит постановка задачи, а доказательства теорем проведены Круговой И. Ю. В работе [1] Баутину П. С., Беловой Е. И., Замыслову В. Е., Мезенцеву А. В., Обухову А. Г. принадлежат результаты моделирования природных восходящих закрученных потоков, не включенные в данную работу.

Результаты работ [8, 9] получены единолично Крутовой И. Ю.

Также опубликованы 11 тезисов в трудах различных конференций [10-20].

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Текст диссертации содержит 105 страниц печатного текста, 75 рисунков, 14 таблиц. Список использованной литературы включает 58 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбора темы диссертационной работы, охарактеризованы объект и предмет исследования, определены цель и задачи исследования. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава диссертации состоит из 3 параграфов.

В §1 для полноты изложения приведены ранее полученные другими авторами результаты. В том числе описана предложенная в книге Баутина С. П.6 схема возникновения и устойчивого функционирования восходящих закрученных потоков. Кроме того, приведены известные факты о природе силы Кориолиса, ее проявлениях и вид системы уравнений газовой динамики (СУ-ГД) в условиях действия силы тяжести и силы Кориолиса в безразмерных пе-паутин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. — Новосибирск: Наука, 2008. — 96 с.

ременных:

ct + ucr + |{cv + wc2 + ^ 2 (ur + % + ^ + w^ = 0,

2

ut + uuT + Yu4> - T" + wuz + car = av -bw cos <p,

vt + uvr + ^- + + wv2 + j^ZTfjrcv = ~au + bw sin f, wt + uwT + ¿ты? + wwz + ccz = bu cos tp - bv sin ip - g.

v

Здесь: t - время; x,y, z - декартовы независимые переменные и в плоскости переменных х, у введена полярная система координат (г, <р); с = - скорость звука газа; j — const > 1 - показатель политропы газа в уравнении состояния р = р1 /7, где р и р — давление и плотность газа, в расчетах полагалась 7 = 1.4; и, v, w радиальная, окружная и вертикальная

составляющие вектора скорости газа соответственно; а = 20. sin ф\ b = 2ficosi/'; Q = |fl| — модуль угловой скорости вращения Земли; ф — широта точки О на поверхности Земли, в которой находится начало координатной плоскости хОу, вращающейся вместе с Землей и касающейся поверхности Земли в точке О (рис. I); д = const > 0 - постоянное ускорение свободного падения. В §2 рассматривается СУГД(1). Для нее ставится специальная характеристическая задача Коши, решение которой описывает плавный радиальный сток первоначально покоящегося в поле тяжести газа внутрь вертикального цилиндра заданного ненулевого радиуса. Пусть при t = 0 вне цилиндра г = г0 (рис. 2) находится покоящийся в в поле газ с параметрами:

S

Рис. 1

cq(z) = ^с200 - (7 - 1 )gz; и = 0; v = 0; w = 0. (2)

Рис.2

С момента времени t — 0 на поверхности цилиндра г = начинается заданный радиальный сток газа внутрь цилиндра, то есть ставится условие

u{t,r,<p,z)\r=ra = u°(t), u°{t)\t=0 = 0, [u°(t)]'|t=o =«♦ = const < 0. (3)

На поверхности C+ -характеристики

C+: r = r0 + r1(i,z), (4)

где ri(i, z) определяется из решения следующей задачи:

rit = co{z)^l + r{z- ri(iIz)|t=0 = 0I (5)

ставятся условия (2).

Показано, что задача (1)—(3) с данными на характеристике (4) является характеристической задачей Коши стандартного вида, у которой существует единственное аналитическое решение в виде ряда

к=О

(6)

С=о

где

" £ = ro + n(t,z)-г;

С = г - г0; <р' = <р-,

Х = г.

Первые коэффициенты этого ряда имеют вид

vi = 0; wi

(гик

=o)wi; ci = ^yjl + (пг|^=о)2щ-

V2 = (¿М {к+^К+[а+ь Mi=o) sin v]'Ul};

w2 = _2Mfo)co(X)c2_ 1 .

где

(7- 1) (ritli=o) Mi=o) Ли = - 0"iiil?=o) (rbli=o) + (ruli=o) [l + (nule=o)2] и

(7)

(8) (9)

?+

+4(x)y/l + Ы,=о)2Щ+со(х) ^ + Ы^о) Vx+c0(x) (ri;k=o)

/L + Ы^о)2

+

+ (n*ilf=o) co(x)\/l + (ruli=o)2 «1 +

^ (rb|i=o) [l + (nz|f=o)2] - bu 1 cos

а коэффициент wi является решением следующего дифференциального уравнения (вид Еи и Fn здесь не приводится ввиду их громоздкости):

u\q - (ru|i=0) Uix + Епи\ + Fnu 1 = 0, (10)

при начальном условии

"1|(=0= /2 Г ^ ■ (И)

V соо - (7 - 1)РХ

Анализ первых коэффициентов (2), (7)-( 11) ряда (6) показал, что при начале радиального стока сразу возникает окружное движение газа, закрученное в Северном полушарии в положительном направлении и в отрицательном — для случая Южного полушария. Установленные факты являются математическим обоснованием результатов соответствующих экспериментов 7 в части возникновения закрутки газа и ее направления.

В §3 моделируются трехмерные стационарные течения идеального полит-ропного газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса. Для системы уравнений газовой динамики (1) поставлена следующая начально-краевая задача:

' c(t,r,<p,z)|г=0 = co(t,r,tp), u(t,r,ip,z)\z=0 = u0(t,r,(p), ^^

v(t,r,tp, z)\z=o = vo(t>r> v)> . w(t,r,ip,z)|z=0 = 0,

u(t,r,<f,z)\r=Tin = u°(t,<p,z)-, ^^

v(t,r,<p,z)\T=rin=v°(t,<p,z)i rin = const > 0, с условиями согласования

Г wo(i,r,¥>)|r=ri„ = u°(t,ip,z)\z=0, \ v0(t,r,ip)\r=rin =v°{t,ip,z)|г=0.

Решение задачи (1), (12), (13) описывает течение газа в окрестности непроницаемой плоскости z=0, когда через поверхность вертикального цилиндра заданного ненулевого радиуса г = rin осуществляется заданный приток газа.

Показано, что данная задача является характеристической задачей Коши стандартного вида и поэтому при условии аналитичности входных данных у нее существует единственное аналитическое решение. Далее рассматривается ' Вараксин А.Ю., Ромаш М.Э., Копейцев В.Н. Торнадо. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 344 с.

стационарное решение задачи (1), (12), (13). Для моделирования трехмерного стационарного придонного течения таких природных вихрей, как торнадо и тропические циклоны, используется начальный отрезок ряда

г*

' к\'

U(r,tp,z) = ; U*(r,<¿>) =

к=О

dzk

(15)

z=0

задающего аналитическое решение задачи (1), (12), (13). Для нулевых коэффициентов ряда (15) выписана система обыкновенных дифференциальных уравнений:

" а2(г1-г*У

. __ÍX-1) со — 2

со-

«0 +

4P" »■(«о - со)

(16)

«о

,2 , «2(rl. -И) с0+ Х.2

г(«о - Со)

и v0(r) в явном виде

1/0 (г) =

а(г?п

ñ

2 г

(17)

что позволило при построении последующих коэффициентов ряда (15) применить разделение переменных:

ci(r,ip) = сю(г) +cii(r)cosí/7 + ci2(r)sin<p, (18)

«i(г,<р) - Щ0(г)+un(r) cos tp+ щ2(г) sin tp, (19)

п(г,р) = vw(r) +wii(r) cose/? + vu(r) sintp, (20)

w1(r,V) = 0, (21)

c2(r, <p) = C20(r) + C2i(r) eos tp + c22(r) sin tp + C23(r) eos 2tp + C24(r) sin2tp, (22) u2(r,tp) = U2o{r)+U2i(r) eos ip+U22{r) sm(p+u23(r) cos2(p+U2i{r)s\Tí2ip, (23) v2{r, tp) = v20(r) + v2i(r) eos tp + v22(r) sin tp + V23(r) cos 2tp + v24(r) sin 2tp, (24) w2(r, tp) = W20(r) + W21 (r) cos tp + w22(r) sintp + w2з(г) eos 2tp + w24(r) sin 2tp.

(25)

Далее в параграфе приведены системы обыкновенных дифференциальных уравнений и начальные данные для них, при решении которых однозначно определяются un (г), щ2(г), г>п(г), Vi2(r), «20(г), U2i(r), и22{г), и2з(г), ии(г), v2Q(г), V21 (г), v22(г), V23(г), v2i(г). При этом и10(г) = г>ю(г) = 0, а коэффициенты Сю (г), СП (г), С\2 (г), с2о(г), c2l(r), С22(г), С23 (г), С24(г), W20(r), w2\(г), w22(г), W23(г), W24(г) однозначно определяются с помощью коэффициентов u2(r, tp), V2(r, tp) .

Вторая глава диссертации состоит из двух параграфов 4 и 5.

В §4 описано получение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых необходимо для построения последующих коэффициентов ряда (15):

Fu20 U20 r = —; Щ (26)

Fu21 t — —; Щ (27)

Fu 22 U22r —-; «0 (28)

FU23 U23r = —; U0 (29)

Fu24 U24r = —; Щ (30)

Fv20 V20r =-; Щ (31)

Fv 21 ^2ir = —; «0 (32)

FV22 V22T = —; Щ (33)

FV23 V23 r =-; Щ (34)

Fv 24 «24 г = —; Щ (35)

где из-за громоздкости явный вид правых частей СОДУ (26)—(35) здесь не приводится. После решения этой СОДУ определяются коэффициенты в представлениях (18)—(25).

В §5 описано восстановление значений газодинамических параметров в физическом пространстве по результатам рассчетов задач Коши для СОДУ, приведенной в §4. Значения газодинамических характеристик восстанавливаются численно с использованием начальных отрезков сходящихся рядов:

c(r, ip, z) = с0 (г) + [сю (г) + сц (г) cos <р + си (г) sin ip] z+ (7 — 1) 1

+---—r-r[bux(r) cos (p + bvi(r) cos ip—

1 co(r)

2 z2

-7-tt(cioW +cu(r) eosip + cu(r) sin<¿>)2]—; (36)

(7-1) ¿

u(r,tp,z) = U0 (r) + [wil(r) COS(/5 + Ml2(r) sinyj]íí+

+[w2o(r) + и21 (г) eos tp + U22(r) sin tp + u23(r) eos 2tp + uu{r) sin 2tp]—\ (37) v(r,ip,z) = v0(r) + [un(r)cos<p + Ui2(r) sinyj]z+

z2

+[г>2о(г) + l»2l(r) eos tp + V2i(r) sincp + 1)23(r) cos2<¿> + i>24(r) sin2<¿j] —; (38)

u>(r,4>,z) = w2(r,tp)—-,

(39)

Поэтому полученные зависимости передают искомое трехмерное стационарное течение приближенно. Восстановление траекторий движения отдельных частиц газа, которые в рассматриваемом стационарном случае есть просто линии тока, осуществляется при решении следующей задачи:

йг

Зг --

~3г

Щ + U\Z + u24j-VQ + Vi z + t)2?r

: z2!'

Uq + Щ Z + U2Y\

Z |r=rj„ = Zo,

„ Иг=гм = m-

(40)

Третья глава диссертации состоит из трех параграфов 6, 7, 8. В этой главе приведены результаты численных расчетов и с их использованием проведен анализ газодинамических характеристик построенных течений.

Шкала Фудзиты

Класс торнадо Скорость ветра, м/с Ширина следа, м Средняя длина пути, км Среднее время жизни, мин

F0 19-32 5-15 1.9 2.4

F1 33-50 16-50 4.2 5.2

F2 51-70 51 - 160 8.7 10.8

F3 71-92 161 - 508 16.1 20.0

F4 93-116 547 - 1448 43.8 54.4

F5 117- 142 1609 - 4989 57.1 71.0

Решения соответствующих задач найдены при таких значениях входных параметров, которые соответствуют данным натурных наблюдений за различными

классами торнадо и одного тропического циклона, среднего по своим характеристикам.

В §6 приведена шкала Фудзиты некоторых итоговых данных наблюдений для шести классов торнадо: ^0, ^2, ^3, ^4, - охватывающих все встречающиеся на Земле торнадо различной интенсивности.

Обсуждается возможность использования шкалы Фудзиты для постановки начальных условий при решении соответствующих задач Коши для СОДУ из §4. Также в §6 приведены основные результаты расчетов течений для различных классов торнадо. Эти результаты оформлены в виде графического и табличного материала с соответствующими пояснениями.

Рис.4

Результаты массовых расчетов течений для всех указанных классов торнадо приведены в приложении.

На рис. 3, 4 приведены проекции одной конкретной траектории линии тока на плоскости хОу, гО<р, гОг соответственно. На рис. 5—8 при я = 0.001 представлены поверхности газодинамических распределений над плоскостью декартовых координат хОу.

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Общие выводы по расчетам течений торнадо класса F3 следующие.

Поток газа является трехмерным, в том числе с ростом 0 начинает принципиально зависеть от ip: при г —>■ го + 0 изменение газодинамических параметров при разных значениях tp проявляется сильнее, но тем не менее эти изменения в размерных значениях не очень велики, то есть при г ->• г0 + 0 при изменении ip наблюдается небольшая «рябь» в потоке.

Из анализа представленного графического материала следует, что на рассматриваемых высотах z между z = 0nz = z° — 0.001 (размерное значение z° = 0.001 для торнадо класса F3 равно 16 м) газодинамические параметры меняются незначительно при переходе на разные лучи ip — const. Но при приближении к цилиндру стока, то есть при г0 < г < 0,1, каждый из газодинамических параметров претерпевает существенные для себя изменения:

1) значения с убывают при г —> го + 0, следовательно при г —го + 0 убывают значения плотности и давления газа. Однако абсолютные изменения этих величин малы — во втором, третьем знаке после десятичной точки;

2) v окружная компонента вектора скорости газа при г —> гд + 0 растет от значений 0.03 до 0.25, что соответствует размерным значениям скорости 1 м/с и 80 м/с соответственно. Положительные значения v говорят о том, что закрутка газа происходит в положительном направлении;

3) значение и радиальной составляющей вектора скорости газа при г — го + 0 отрицательно (газ течет к цилиндру стока) и основные изменения также происходят на отрезке г0 < г < 0,1 от значения 0.001 до 0.1, что соответствует размерным значениям 3 м/с и 33 м/с соответственно.

4) w вертикальная составляющая вектора скорости газа с ростом z и при г —» го + 0 мало по абсолютной величине, но меняет знак. Это говорит о том, что частицы газа при движении кг = г0 меняют направление своего движения «вверх-вниз», но непосредственно в окрестности цилиндра стока движутся вниз.

В §7 приведены данные статистической обработки показателей интенсив-

ности тропических циклонов и в первую очередь по скоростям движения в них воздушных масс - по скорости ветра. Сделаны некоторые общие выводы об отдельных особенностях функционирования тропических циклонов.

Рис. 10

Также в §7 приведены основные результаты расчетов подобных течений. Эти результаты оформлены в виде графического и табличного материала с соответствующими пояснениями. Результаты массовых расчетов течений для тропического циклона средней интенсивности приведены в приложении.

На рис. 9, 10 приведены проекции одной конкретной траектории линии тока на плоскости хОу, тО<р, гОг соответственно. На рис. 11 —14 при л = 0.001 представлены поверхности газодинамических распределений над плоскостью декартовых координат хОу.

Общие выводы по расчетам течений среднего по своим характеристикам тропического циклона следующие.

Поведение траекторий г = г(г) в зависимости от ¡р в отличии от траектории торнадо имеет существенно больше локальных экстремумов (3-4), а с учетом значений при г = го количество локальных максимумов достигает 5.

Перепад значений между локальным максимумом и локальным минимумом для каждого значения у> практически постоянно. Самые большие значе-

ния при <р = О и <р — 7г, а все остальные значения меньше.

Так же, как и у торнадо ГЗ, при изменении ¡р наблюдается разное поведение частицы при уменьшении г. В районе кр — 7г/3;27г/3 при уменьшении г высота от плоскости г = 0 сначала уменьшается, затем растет. А при ср = 47г/3; 5-тг/З высота сначала растет, а потом убывает.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Перепады высот на траектории порядка 1 м: так называемая «рябь» начинает наблюдаться уже при достаточно больших значениях г = 0.2 — 0.4 безразмерных единиц, то есть на расстояниях 15—30 км от центра циклона (от центра «глаза» циклона).

Проявление «ряби» в потоке также фиксируется тем, что при высоте я = 0.001 поведение кривой </? = ср(г) (одна из составляющих пространственной траектории поршня) при г -г> 0 с г — 0.2 - 0.4 меняет характер выпуклости несколько раз (5—6). Однако в проекции траектории на плоскость хОу «рябь» визуально практически не фиксируется. Поскольку максимум </? = (р(г) при всех (/? имеет значение порядка 12 радиан, а для циклона порядка 27 радиан, то закрутка потока (количество витков спирали) у циклона существенно больше.

При увеличении высоты уже с г = 1 начинает проявляться немонотонность в поведении функций и и ад, а функция с практически не меняется. Также не меняется максимальное значение V, которое достигается при г = у(г0) . Несмотря на разные знаки и при г 0, и на стоке всегда отрицательно. Также с ростом высоты го принимает значения разных знаков, что говорит о более сложном поведении трехмерного потока при переходе от среднемас-штабного восходящего закрученного потока (торнадо классов Р0-РЗ) к крупномасштабным восходящим закрученным потокам (торнадо класса Р5, тропический циклон).

Поведение газодинамических параметров и, V и м с увеличением л начинает принципиально зависеть от г и от <р. Изменяется поведение графиков этих газодинамических параметров в зависимости от г и от (р, причем при г начиная с г = 1 при уменьшении значений г. Однако эти изменения значений газодинамических параметров на характере поведения линий тока практически не сказывается: зависимость — <р(г) при разных значениях г меняет характер выпуклости; ю — го (г) меняет знаки, имеет локальные экстремумы, но абсолютные перепады высот незначительные (5-6 м). А на проекции ли-

ний тока на плоскость переменных хОу изменения витков спирали визуально не фиксируются.

В §8 дается анализ результатов проведенных расчетов как для различных классов торнадо так и для циклона средней интенсивности. Благодаря этому сделаны выводы о свойствах трехмерных стационарных спиральных течениях, моделирующих движение воздуха в придонных частях разрушительных атмосферных вихрей.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложениях приведены результаты массовых расчетов для всех шести классов торнадо и для тропического циклона средней интенсивности.

Основные результаты работы

1. Обосновано существование и единственность решения конкретной характеристической задачи Коши стандартного вида. Данное решение моделирует трехмерное нестационарное течение газа при наличии радиального стока в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

2. На основании исследования свойств первых коэффициентов бесконечных рядов, моделирующих течения с радиальным стоком, установлены факт возникновения закрутки и ее направление в исследуемом течении газа.

3. Численными методами приближенно построены трехмерные стационарные течения идеального газа в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

4. Получены результаты массовых расчетов, которые приближенно моделируют течения газа в придонных частях природных торнадо различных классов, а также тропического циклона средней интенсивности.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в изданиях из списка ВАК

1. Баутин С. П., Баутин П. С., Белова Е. Д., Замыслов В. Е., Крутова И. Ю., Мезенцев А. В., Обухов А. Г. Математическое моделирование природных восходящих закрученных потоков типа торнадо // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 384-385.

2. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Закрутка газа при плавном стоке в условиях действия сил тяжести и Кориолиса // Теплофизика высоких температур. 2012. Т. 50, №3. С. 473-475.

Статьи в других изданиях

3. Bautin S. P., Krutova I. Yu. Twisting of Smooth Gas Flow under the Action of Gravity and Coriolis Forces // High Temperature, ISSN 0018-151X, Pleiades Publishing, Ltd.2012. Vol. 50, No. 3. Pp. 444-446.

4. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Об одном численно-аналитическом моделировании течений газа при учете действия силы Кориолиса // Краевые задачи и математическое моделирование [Текст]: тематич. сб. науч. ст.: в 3 т. Т. 1.

/ НФИ ГОУ ВПО «КемГУ»; под общ. ред. В. О. Каледина - Новокузнецк, 2010. С. 36-42.

5. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке в переменных г, 1 как характеристическая задача Коши стандартного вида // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2011. № 1 (9). С. 4—13

6. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке газа в переменных 1, г, ¡р,г при учете сил тяжести и Кориолиса // Проблемы прикладной математики, механики и информатики: сб. науч. тр. / под общ. ред. С. Л. Дерябина, д-ра физ.-мат. наук. - Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2011. - Вып. 95 (178)/ 6м.-С. 16-43.

7. Крутова И. Ю. Задача о движении газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2012. № 1 (13). - Екатеринбург, Изд-во УрГУПС, 2012, С. 14-22.

8. Крутова И. Ю. Трехмерное стационарное движение газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. № 3(15), 2012 год. - Екатеринбург, Изд-во УрГУПС, 2012, С. 16-23.

Тезисы в трудах конференций

9. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Первушина Н. А. Об одном численно-аналитическом методе решения начально-краевых задач для эволюционных систем уравнений с частными производными // Забабахинские научные чтения: сб. материалов X Междунар. конф. 15-19 марта 2010. - Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2010. - С. 276-277.

10. Баутин С. П., Крутова И. Ю„ Рощупкин А. В. Закрутка газа силой Кориолиса // Международной конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева: тезисы докладов. 23-27 августа 2010 г. — Новосибирск, 2010. — С. 75.

11. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Первушина Н. А. Решения начально-краевых задач для эволюционных уравнений с частными производными методом, близким к методу Бубнова-Галеркина // XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К. И. Бабенко: тезисы докладов. —Дюрсо, 15—20 сентября 2010. —С. 10—11.

12. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Численно-аналитическое исследование значений газодинамических характеристик, изменяемых в придонной части восходящего закрученного потока // Всероссийская школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил». Сб. тезисов докладов. Москва, 30 ноября - 2 декабря 2010 г. - С. 21-22.

13. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке при наличии силы Кориолиса // Современные проблемы математики. Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции. 30 января — 6 февраля 2011 г. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011. — С. 90-92.

14. Баутин С. П., Замыслов В. Е., Крутова И. Ю. Математическое моделирование вихрей типа торнадо // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2011: Сб. тезисов докладов. Снежинск, 1—5 февраля 2011 г.— С. 21.

15. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Аналитическое исследование течений газа, закрученных действием силы Кориолиса // Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко: тезисы докладов. 30 мая-4 июня 2011г., Новосибирск, Академгородок, 2011.-С. 120.

16. Крутова И. Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке// Современные проблемы математики. Тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, 29 января — 5 февраля 2012 г. — Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. — С. 372— 374.

17. Баутин С. П., Белова Е. Д., Крутова И. Ю., Обухов А. Г. Математическое моделирование разрушительных природных восходящих закрученных потоков // Забабахинские научные чтения: сб. тезисов XI Международной конференции. 16-20 апреля 2012.- Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012.-С. 283-284.

18. Крутова И. Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке// XIX Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К. И. Бабенко: Тезисы докладов. Дюрсо, 15-20 сентября 2012. - С. 57-59.

19. Крутова И. Ю. Математическое моделирование спиральных течений идеального газа //Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2012» с международным участием, посвященная памяти С. Н. Черникова, И. Ф. Верещагина, Л. И. Волковысского: тезисы докладов. - Пермь: ПГНИУ, 30 октября - 1 ноября 2012. - С. 98-98.

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

Крутова И. Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619314. Моделирование трехмерного стационарного потока идеального газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса, 16.10.2012.

КРУТОВА ИРИНА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Подписано к печати 19.04.2013 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16 Объем усл. печ. л. 1,5 Тираж 120 экз.___Заказ 63_

Издательство УрГУПС, 620034, г. Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66

Уральский государственный университет путей сообщения

04201357874

на правах рукописи

КРУТОВА ИРИНА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Специальность 05.13.18. — математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Баутин С.П.

Екатеринбург — 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................ 3

Глава I. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА............................. 11

§ 1. Система уравнений газовой динамики в условиях

действия сил тяжести и Кориолиса............................................................................................11

§ 2. Задача о плавном стоке в переменных t, г, (р, z...................... 18

§ 3. Трехмерный стационарный поток газа в условиях

действия сил тяжести и Кориолиса.............................................. 43

Глав а II. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА................... 47

§ 4. Получение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

для коэффициентов, задающих трехмерное стационарное течение.... 47 § 5. Восстановления течения в физическом пространстве

по результатам расчетов системы обыкновенных дифференциальных уравнений..................................................................................61

Г л а в а III. АНАЛИЗ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЧИСЛЕННО ПОСТРОЕННЫХТЕЧЕНИЙ................................................................64

§ 6. Расчеты течений для различных классов торнадо....................................64

§ 7. Расчеты течения для тропического циклона....................................83

§ 8. Общие выводы о свойствах трехмерных

стационарных спиральных течениях..........................................92

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................................................................................95

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................................96

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ КРУТОВОЙ И.Ю..............................101

ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................................105

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена применению математического моделирования и численных методов для описания придонных течений восходящих закрученных потоков, имеющих спиральный характер. В основу теоретического исследования положена предложенная в книге [ 1 ] схема возникновенния и устойчивого функционирования восходящего закрученного потока (ВЗП) газа.

Исследование поддержано РФФИ, проекты 08-01-00052 и 11-01-00198.

Актуальность темы. В природе довольно часто встречается интересное явление — ВЗП воздуха. В качестве примеров таких потоков можно привести многочисленные смерчи и торнадо, регулярно наблюдаемые на юге США и в других, достаточно теплых и ровных местностях. К подобным явлениям относятся и периодически возникающие тропические циклоны. В книгах На-ливкина Д.В. [2, 3] и Вараксина А.Ю. [35—42, 58] приведены многочисленные примеры реальных торнадо и тропических циклонов, наблюдавшихся на протяжении большого промежутка времени и приносивших многочисленные разрушения и человеческие жертвы.

Несмотря на то, что большое число исследователей на протяжении десятилетий активно занимается проблемой ВЗП (см., например, [4—33]), к настоящему времени у упомянутых авторов отсутствует достаточно убедительная теория, объясняющая причины возникновения, функционирования и естественного исчезновения таких течений и подтвержденная как экспериментально, так и адекватным математическим моделированием.

Методы исследования. В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели — нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными — системы уравнений газовой динамики (СУГД) в условия действия силы тяжести и силы Кориоли-са(СК).

Для указанной СУГД поставлены две конкретные начально-краевые задачи. Решение первой описывает движение газа, вызванное заданным стоком. Это решение представляется в виде сходящегося ряда и проводится анализ первых коэффициентов рядов, что позволяет с использованием конечного отрезка ряда качественно смоделировать движение газа в начальные моменты времени. Решение второй задачи описывает трехмерное стационарное движение газа в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. Показано, что при определенных условиях решение этой задачи существует в виде аналитических функций.

Кроме это в диссертации используются численные методы построения решений СУГД, описывающие трехмерные стационарные спиральные течения.

Для этого используется начальный отрезок ряда, задающий это аналитическое решение. Коэффициенты начального отрезка ряда численно строятся при решении соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В виде графиков представлены распределения газодинамических параметров исследуемых течений. В виде таблицы приведены некоторые числовые показатели, являющиеся итоговым анализом общих характеристик рассматриваемых течений газа.

Целями работы являются:

1. Математическое моделирование течений газа в начальные моменты времени, вызванных заданным стоком из покоящегося в поле тяжести газа в условиях действия силы Кориолиса. Математическое моделирование течений газа в условиях действия указанных сил в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости численными и аналитическими методами.

2. Численное построение трехмерных стационарных спиральных течений, описывающих движение воздуха в придонных частях торнадо и тропических циклонов.

Научная новизна работы заключается в следующем: Математическое моделирование:

• впервые построено решение задачи о стоке газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса;

Численные методы:

• при численном нахождении значений начальных отрезков сходящихся рядов, зависящих от трех независимых переменных, впервые проведены расчеты трехмерных стационарных спиральных течений, результаты которых соответствуют данным натурных наблюдений за торнадо различных классов и за тропическим циклоном средней интенсивности;

Комплексы программ:

• создан программный пакет, ориентированный на численное решение рассматриваемых задач с использованием результатов аналитического моделирования. Результатами работы одной части этого комплекса являются определение численных значений коэффициентов ряда, в том числе с помощью численного решения системы, состоящей из 14 обыкновенных дифференциальных уравнений. Другая часть комплекса по насчитанным табличным значениям и при последующем решении своей системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений восстанавливает траектории движения отдельных частиц газа. Третья часть комплекса с использованием готового пакета Golden Software Grapher 9 позволяет в различных

пространствах и в различных ракурсах визуализировать результаты расчетов. С помощью созданного программного пакета проведены массовые расчеты газодинамических течений. Программный пакет прошел государственную регистрацию.

Теоретическая ценность работы состоит в следующем. Впервые в модели движения сплошной среды строго обоснованы факт возникновения в горизонтальном течении закрутки газа и направление этой закрутки под действием силы Кориолиса при наличии радиального стока. Тем самым, в частности, дано теоретическое обоснование результатов соответствующих экспериментальных исследований группы А.Ю. Вараксина, опубликованных в 2008-2012 годах в журнале "Теплофизика высоких температур"[35— 42, 58].

Впервые поставлена и исследована начально-краевая задача, решения которой моделируют трехмерные стационарные течения, имеющие место в придонных частях ВЗП в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

Практическая ценность работы состоит в том, что численно построенные решения моделируют сложные течения воздуха, имеющие место в реальных торнадо и тропических циклонах, и дают числовые характеристики газодинамических параметров этих течений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на:

Международной конференции "X Забабахинские научные чтения"; Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 2010;

Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике"; посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева, Новосибирск, 2010;

Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика"; посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, Новосибирск,2011; X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011;

Международной конференции "XI Забабахинские научные чтения"; Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012; А также на:

Научной сессии НИЯУ МИФИ - 2011, Снежинск, 2011; Всероссийской школе молодых ученых "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил"; Институт проблем механики РАН, Москва, 2010; 42-й Всероссийской молодежной школе - конференции, Екатеринбург: Ин-

статут математики и механики УрО РАН, 2011;

Международной (43-й Всероссийской) молодежной школе - конференции, Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012; Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы механики, математики, информатики - 2012"с международным участием, посвященной памяти С.Н. Черникова, И.Ф. Верещагина, Л.И. Волковысского, ПГ-НИУ, Пермь, 2012.

Публикации.

По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, из них 7 в соавторстве, в том числе работы [1, 2] в изданиях по перечню ВАК. В работах [6] и [7] приведены подробные выкладки доказательств теорем, опубликованных в работах [1] и [2] соответственно. Работа [3], изданная Pleiades Publishing, является переводом статьи [2]. Также опубликованы 11 тезисов в трудах различных конференций [10-20].

Статьи в изданиях из списка ВАК

1. Баутин С.П., Баутин П.С., Белова Е.Д., Замыслов В.Е., Крутова И.Ю., Мезенцев A.B., Обухов А.Г. Математическое моделирование природных восходящих закрученных потоков типа торнадо // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 384-385.

2. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Закрутка газа при плавном стоке в условиях действия сил тяжести и Кориолиса // Теплофизика высоких температур, 2012 год, том 50, №3. С. 473-475.

Статьи в других изданиях

3. Bautin S.P., Krutova I.Yu. Twisting of Smooth Gas Flow under the Action of Gravity and Coriolis Forces// High Temperature, ISSN 0018-151X, Pleiades Publishing, Ltd.2012, Vol. 50, No. 3, pp. 444-446.

4. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Об одном численно-аналитическом моделировании течений газа при учете действия силы Кориолиса. // Краевые задачи и математическое моделирование [Текст]: тематич. Сб. науч. Ст.: в 3 т. Т. 1. / НФИ ГОУ ВПО "КемГУ"; под общ. Ред. В.О. Каледина,- Новокузнецк, 2010. С. 36-42.

5. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Первушина H.A. Об одном численно-аналитическом методе решения начально-краевых задач для эволюционных систем уравнений с частными производными. // Проблемы прикладной математики, механики и информатики: сб. научн. трудов // Под общей ред. С.Л. Дерябина, д-ра физ.-мат. наук. - Екатеринбург: УрГУПС, 2010. Вып. 84 (167)/ 4м. С. 52-69.

6. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Задача о плавном стоке в переменных г, t как характеристическая задача Коши стандартного вида. // Научный журнал

"Вестник Уральского государственного университета путей сообщения"№ 1 (9), 2011 год; Екатеринбург, издательство УрГУПС 2011. С. 4-13

7. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Задача о плавном стоке газа в переменных t, г, ip, z при учете сил тяжести и Кориолиса. // Проблемы прикладной математики, механики и информатики: сб. научн. трудов // Под общей ред. C.JI. Дерябина, д-ра физ.-мат. наук. - Екатеринбург: Изд-во Ур-ГУПС, 2011. -Вып. 95 (178)/6м. С. 16-43.

8. Крутова И.Ю. Задача о движении газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, № 1 (13), 2012 год; Екатеринбург, издательство УрГУПС 2012. С. 14-22.

9. Крутова И.Ю. Трехмерное стационарное движение газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, № 3 (15), 2012 год; Екатеринбург, издательство УрГУПС, 2012,.С. 16-23.

Тезисы в трудах конференций

10. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Первушина H.A. Об одном численно-аналитическом методе решения начально-краевых задач для эволюционных систем уравнений с частными производными. // Забабахинские научные чтения: сборник материалов X Международной конференции 15-19 марта 2010.-Снежинск: Издательство РФЯЦ-ВНИИТФ, 2010. С. 276-277.

11. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Рощупкин A.B. Закрутка газа силой Кориолиса. // Международной конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева: 23-27 августа 2010г., тезисы докладов, Новосибирск, 2010. С. 75-75.

12. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Первушина H.A. Решения начально-краевых задач для эволюционных уравнений с частными производными методом, близким к методу Бубнова-Галеркина. // XVIII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики посвященная памяти К.И. Бабенко: тезисы докладов, Дюрсо, 15-20 сентября 2010. С. 10-11.

13. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Численно-аналитическое исследование значений газодинамических характеристик, изменяемых в придонной части восходящего закрученного потока. // Всероссийская школа молодых ученых "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил Москва, 30 ноября - 2 декабря 2010 г.; сборник тезисов докладов. С. 21-22.

14. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Задача о плавном стоке при наличии силы Кориолиса. // Современные проблемы математики. Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы - конференции, 30 января - 6 февраля 2011 г, Ека-

теринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011. С. 90-92.

15. Баутин С.П., Замыслов В.Е., Крутова И.Ю. Математическое моделирование вихрей типа торнадо. // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2011, Сне-жинск, 1-5 февраля 2011 г.; сборник тезисов докладов. С. 21-21.

16. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Аналитическое исследование течений газа, закрученных действием силы Кориолиса. // Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко; 30 мая-4 июня 2011г., тезисы докладов, Новосибирск, Академгородок, 2011. С.120-120.

17. Крутова И.Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке. // Современные проблемы математики. Тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы - конференции, 29 января - 5 февраля 2012 г. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 372-374.

18. Баутин С.П., Белова Е.Д., Крутова И.Ю., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных природных восходящих закрученных потоков. // Забабахинские научные чтения: сборник тезисов XI Международная конференция 16-20 апреля 2012.- Снежинск: Издательство РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. С. 283-284.

19.Крутова И.Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке. // XIX Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики посвященная памяти К.И. Бабенко: тезисы докладов, Дюрсо, 15-20 сентября 2012. С. 5759.

20.Крутова И.Ю. Математическое моделирование спиральных течений идеального газа. //Всероссийская научно-практическая конференция "Актуальные проблемы механики, математики, информатики - 2012"с международным участием, посвященная памяти С.Н. Черникова, И.Ф. Верещагина, Л.И. Волко-высского: тезисы докладов, ПГНИУ, Пермь, 30 октября - 1 ноября 2012. С. 98-98.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Текст диссертации содержит 105 страниц печатного текста, 75 рисунков, 14 таблиц. Список использованной литературы включает 58 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор современного состояния исследуемой проблемы и краткое изложение основных результатов работы.

Первая глава диссертации состоит из 3 параграфов.

В §1 для полноты изложения приведены ранее полученные другими авторами результаты. В том числе описана предложенная в работе [1] схема возникновения и устойчивого функционирования восходящих закрученных потоков. Кроме этого приведены известные факты о природе силы Кориолиса, ее проявлениях и виде СУГД в условиях действия силы тяжести и силы Кориолиса.

В §2 рассматривается система уравнений газовой динамики для идеального политропного газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса. Для этой системы ставится специальная характеристическая задача Коши, решение которой описывает плавный сток первоначально покоящегося в поле тяжести газа внутрь вертикального цилиндра заданного ненулевого радиуса. Доказано, что при условии аналитичности входных данных поставленная задача в некоторой окрестности рассматриваемой точки имеет единственное аналитическое решение, представимое в виде сход