автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование газодинамических подшипников со спиральными канавками

на

правах рукописи

Зенкина Ирина Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ СО СПИРАЛЬНЫМИ КАНАВКАМИ

Специальность 05.13.18. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2004

Работа выполнена на кафедре Теоретическая механика" в Калужском филиале Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

Научный руководитель-

доктор технических наук, профессор Емельянов Александр Витальевич

Официальные оппоненты

доктор фич.-мат. наук, профессор Толоконников Лев Алексеевич доктор физ.-мат. наук, профессор Пеньков Виктор Борисович

Ведущая организация»

ФГУП ГНПП «Сплав»

2004 г. в -У часов на таселании совета Д212.271.05 при Тульском государственном

Защита состоится диссертационного университете (300600, г.Тула, прЛенина 92,9 - 101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского (хкударственного университета.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Газовые подшипники с большим успехом применяются в различных отраслях промышленности. Их важнейшие преимущества обусловлены, в первую очередь, сжимаемостью смазочного слоя, благодаря которой точность вращения оси подшипника оказывается всегда выше точности изготовления его деталей; малой вязкостью газов, позволяющей создавать прецизионные газовые подвесы с чрезвычайно малым трением; слабой зависимостью вязкости газов от температуры, благодаря чему газовые опоры одинаково хорошо работают и при очень высоких, и при низких температурах; стабильностью физико-химических свойств газов под воздействием высокой радиации, в то время как жидкие смазки в этих условиях разлагаются или густеют; экологической безопасностью.

Основной проблемой является определение параметров подшипника, при которых он обдает наилучшими характеристиками. Существующая квазилинейная теория газодинамических подшипников со спиральными канавками имеет ограниченный диапазон применимости, нелинейная теория очень сложна и прибегает к отбрасыванию различных слагаемых, расчеты на основе численных методов очень сложны и трудоемки, а их практическая ценность ограничена из-за огромных затрат времени. Поэтому разработка приближенных математических моделей газодинамических подшипников со спиральными канавками и оптимизация на их основе геометрических параметров подшипников является актуальной задачей.

Выполненная работа является частью комплекса работ по исследованию газодинамических подшипников со спиральными канавками, выполненных в КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана. Щель работы.

Разработка математических моделей газодинамических подшипников со спиральными канавками, применимых в широком диапазоне числа сжимаемости и числа Кнудсена, а также исследование и оптимизация на их основе подшипников различных типов. Задачи исследования.

1. Разработка математических моделей плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками.

2. Создание программ расчета и оптимизации трех типов спиральных газодинамических подшипников: с закрытым центром, со сходящимся потоком газа, с расходящимся потоком газа.

3. Решение задач оптимизации и систематизация полученных результатов в расчетных таблицах в безразмерном виде.

Основные положения методики исследования.

Теоретические разработки базируются на уравнениях Рейнольдса для ламинарного смазочного слоя, а также уравнении неразрывности для сжимаемой среды. Смазочный слой считается изотермическим по протяженности, вследствие чего плотность оказывается пропорциональной давлению. Граничные условия для скоростей и краевые условиязаписываются без всяких

искажений. В случае малых рабочих зазоров, соизмеримых с длиной свободного пробега молекул газа, граничные условия для скоростей записываются с учетом эффектов скольжения первого и второго порядка по методу Черчиньяни-Слезкина. Дифференциальное уравнение, определяющее закон изменения давления в смазочном слое подшипника, интегрируется методом Рунге-Кутта. Входящее в это уравнение неизвестное давление на границе активной и гладкой зон смазочного слоя находится итерационным методом [51], представляющим собой модификацию метода Ньютона. Интегралы вычисляются по формуле Симпсона. Задачи оптимизации решаются модифицированным градиентным методом [51].

Достоверность и обоснованность результатов.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы подтверждаются:

1. Совпадением частных разновидностей разработанных математических моделей при бесконечном увеличении числа спиральных канавок, при полном пренебрежении эффектом скольжения второго порядка и с частичным ослаблением скольжения первого порядка с соответствующими разновидностями квазилинейной теории [43,68].

2. Достаточно хорошим соответствием расчетов по алгоритмам разработанных математических моделей спиральных подшипников результатам численного решения исходной краевой задачи на основе метода Бубнова-Галеркина с использованием программы А.М.Шихватова (Украина).

3. Удовлетворительным согласием расчетов по алгоритмам разработанных математических моделей спиральных подшипников с экспериментальными данными Стеранки (США). Это согласие значительно лучше, чем у квазилинейной теории [43, 68], хотя эксперимент Стеранки используется без оценки его точности и не может считаться эталоном.

Автор защищает:

1. Разработанные математические модели плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, учитывающие реальную геометрию рабочих поверхностей и все наиболее существенные факторы, влияющие на характеристики подшипников.

2. Программы расчета и оптимизации трех типов спиральных газодинамических подшипников: с закрытым центром; со сходящимся потоком газа; с расходящимся потоком газа.

3. Результаты оптимизации для основных типов плоских спиральных подшипников, систематизированные в расчетных таблицах в безразмерном виде, позволяющие использовать их при оптимальном проектировании высокоскоростных прецизионных газодинамических опор скольжения вне зависимости от их габаритов, угловой скорости вращения, физических свойств рабочего газа и давления окружающей среды.

Научная новизна.

1. Процедура вывода нелинейного уравнения, определяющего закон изменения безразмерного давления в активной зоне плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, связана не с ортогональной [16,19], а с косоугольной криволинейной системой координат.

2. В отличие от двух вариантов нелинейной теории спиральных подшипников [16, 19], где квадратичные (1971 г.), а позднее кубические (1983 г.) сплайны используются для локальной аппроксимации давления так, что нелинейным полиномом аппроксимируется давление поперек спиральных канавок и перемычек, в настоящей работе нелинейные члены кубических сплайнов аппроксимируют изменение искомой функции вдоль координатных линий, совпадающих с направлением скоростей точек подвижной стенки смазочного слоя. Это позволяет провести вывод основного уравнения для активной зоны на основе только тождественных преобразований, не пренебрегая, как это приходится делать в выкладках нелинейной теории [16, 19], некоторыми нелинейными выражениями.

3. Отличительной особенностью выведенного дифференциального уравнения для безразмерного давления в активной зоне плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками является учет числа спиральных канавок - не только через местный параметр сжимаемости, что характерно для нелинейной теории [16, 19], но и через новый безразмерный параметр е, зависящий только от числа канавок и угла их наклона к скорости скольжения.

Практическая ценность работы.

1. Работа газодинамических подшипников со спиральными канавками, возникших на последнем этапе развития гидродинамической теории смазки, основана на принципиально новом и самом совершенном механизме образования избыточного давления в смазочном слое. Поэтому достигнутое уточнение математических моделей этих подшипников и их оптимальной геометрии относится к фундаментальным научным результатам.

2. Разработанные в диссертации программы расчета и оптимизации газодинамических подшипников со спиральными канавками и расчетные таблицы, в которых в безразмерном виде систематизированы результаты решения задач оптимизации, представляют собой теоретическую основу для разработки более совершенных, надежных и долговечных высокоскоростных прецизионных опор скольжения и бесконтактных уплотнений. Апробаиия работы.

Результаты работы докладывались на Российской научно-технической конференции "Социально-экономические проблемы управления производством, создание прогрессивных технологий конструкций и систем в условиях рынка" (Калуга, 1997г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Создание прогрессивных технологий, конструкций и систем и социально-экономические проблемы производства" (Калуга, 1998г.), на Юбилейной Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении" (Калуга, 1999г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении" (Калуга, 2000г.), на Российской научно-практической конференции, посвященной 180-летию со дня рождения ПЛ.Чебышева "Математика и механика в современном мире" (Калуга, 2001г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении" (Калу-

га, 2001г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении" (Калуга, 2003г.).

Публикации.

По материалам исследований опубликовано 14 работ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Содержит 262 страницы текста, 38 рисунков, 11 таблиц и библиографию из 117 наименований литературных источников.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечены основные проблемы, возникающие при исследовании газодинамических подшипников со спиральными канавками, обоснована необходимость разработки уточненных математических моделей спиральных газодинамических подшипников, сформулированы цели и задачи исследования.

Первая глава посвящена анализу предшествующих работ, имеющих отношение к теме диссертации. Рассматриваются работы, посвященные спиральным газодинамическим подшипникам (рис.1, 2) с несжимаемой и сжимаемой смазкой.

Рис.1. Спиральный газодинамический подшипник со сходящимся потоком газа

Рис.2. Спиральный газодинамический подшипник с закрытым центром

Идея использования спиральных канавок для улучшения характеристик газовых опор впервые была выдвинута, по-видимому, Гюмбелем и Эверлингом в 1925 году и получила свое развитие в работах Уиппла в 1949 году. Однако Уиппл сильно упростил реальную геометрию подшипника и использовал для аппроксимации давления линейные функции, что равносильно пренебрежению сжимаемостью смазочного слоя. Изучением спиральных подшипников занима-

лись такие ученые, как Синг, Маланоски, Воор, Пэн, Константинеску, Кастел-ли. Результатом их исследований была квазилинейная теория спиральных газодинамических подшипников, которая имеет ограниченный диапазон применимости по числу сжимаемости, допустимому числу спиральных канавок и степени понижения давления окружающей среды.

Рассматривается также разработанная в 1971 году нелинейная теория [16, 19], в которой для аппроксимации безразмерного давления применяются квадратичные сплайны

и ее уточненный вариант, в котором используются кубические сплайны

Р = Рл + \а£ + ахп + |аг72 + |

(2)

намечаются пути усовершенствования нелинейной теории.

Доказывается, что не имеет принципиального значения, что аппроксимировать сплайнами (2) — само давление или его квадрат — это не влияет на точность конечных результатов.

Во второй главе излагается разработанная математическая модель газодинамических подшипников со спиральными канавками со сходящимся потоком газа.

Рис.3. Спиральная диада канавка-перемычка активной зоны подшипника

Рис.4. Хараетерный фрагмент активной зоны подшипника

Спиральный подшипник со сходящимся потоком газа (рис.1) состоит из диад канавка-перемычка (рис.3), на одной из которой можно выделить характерный фрагмент активной зоны - четырехугольник ЛВСБ, показанный ' в увеличенном виде на рис.4. Область 1 расположена в канавке, а область 2 - на перемычке. Вводятся две локальные криволинейные системы координат: ортогональная система координату» Э

где Го и <рц - полярные координаты точки О, и косоугольная система координат

П ( У I их

2я\ р ) 2 яр

здесь п - число спиральных канавок, а p~r0/R.

При достаточно большом числе канавок характерный фрагмент представляет собой малую, почти дифференциальную область активной зоны. Давление в разных точках характерного фрагмента не может существенно отклоняться от давления в точке О, т.к. производные давления на протяженности смазочного слоя ограничены по величине. В то же время характерный фрагмент (рис.4) представляет собой часть диацы (рис.3), отрезанную от нее по всей ширине по линиям г] = const - Это значит, что лишь вдоль координаты £ можно считать производную давления постоянной, и нет никаких оснований полагать постоянной производную давления по координате tj. По этой причине квадраты безразмерного давления в первой Г^ и второй П2 областях характерного фрагмента аппроксимируются двумерными сплайнами - линейными по переменной f и кубическими по переменной

П, = П +

ч*

+ ахт] + агт] +а3т]

П2 = П + + Ь1П + Ь2т]2 + btf)

(5)

Здесь П - квадрат безразмерного доминирующего давления Р, зависящего только от одной переменной р.

где ра - атмосферное давление, а р- давление в точке О.

Сплайны (5) содержат восемь подлежащих определению коэффициентов а„ Ь„ являющихся функциями координаты р, которые можно найти, используя подобие характерных фрагментов активной зоны (рис.4) и условие неразрывности давления.

Давления по обе стороны от границы раздела областей 1 и 2 должны быть равны при любых значениях переменной ^

П,(7 = 0)=П2(7 = 0) (7)

Отсюда и из соотношений (5) находим первое уравнение, связывающее коэффициенты сплайнов

а0 = Ь0. (8)

Если совместить конгруэнтные отрезки границ BFA и CED, то давления во всех точках должны совпадать, иначе говоря, должно соблюдаться равенство

rii(f,>7 = -*)=n2(£,»7=ar). (9)

На основании этого и соотношений (5), (8) следует

abi +a2b2+ a3b3 + *а, - кгаг + лг3а3 =0. (10)

Точки А и С принадлежат не только данному характерному фрагменту, но и соседним, которые между собой подобны. Это значит, что квадрат безразмерного давления в точках А и В отличается на величину

£1

dp

(РЛ-РЛ

(11)

что позволяет получить следующее уравнение

.dP

аЬ0+аЬх +агЬг +а*Ь} +ка0+щ -кгаг +кга} = 4P-j~ptgt//. (12)

Для получения остальных пяти уравнений, связывающих коэффициенты сплайнов, найдем сначала выражения для локального массового расхода газа:

координатной по-

dQx - в направлении оси % через участок rd9 — R{p + x)d9 верхности х ~ const И dQs — в направлении оси 9 через участок dr - Rdx координатной поверхности 3 = const.

(13)

здесь Ь - отношение плотности газа к давлению при температуре смазочного слоя, 1 - номер области.

Локальный массовый расход dQг в направлении нормали х (рис.4) к границе канавки с выступом в силу неразрывности смазочного слоя связан с расходами dQx и dQз соотношением

<^Qx=dQx+dQs (14)

и для областей 1 и 2 после выражения производных квадрата безразмерного давления через координаты косоугольной системы координат записывается соответственно

Условия неразрывности локальных массовых расходов газа на границах 77 = 0,77 = -*" Г]=а (рис.4) выражаются равенствами

¿2,.(<Г,7 = 0)=^2(£,77 = 0), dQx2(£,rj=a)=dQIM,Tj=-4 (16) Продифференцировав сплайны (5) из соотношений (16) с учетом (15), получим еще два уравнения:

а0eos1 i// + a¡ ~/3[b0cos2щ +b,)= 4ЛуугРргsin2у/,

где относительная глубина спиральных канавок у и вспомогательный параметр Р выражаются равенствами

(17)

r = \-v = ——. р = у3. h + c

К плоской системе координат добавим метрическую координату отсчитываемую по нормали к смазочному слою. В получившейся системе координат запишем уравнения Рейнольдса

= 1 ар

и{р +х)д9 и д:- ' д:

RdX dz-

О

(19)

и уравнение неразрывности

д г , 1. Э

(20)

Здесь К- лроекции скорости на оси Х> - динамический коэф-

фициент вязкости.

Граничные условия для скоростей применительно к области 1 выглядят следующим образом

V = 0, Ks=0, V, = 0 при г = -с,

(21)

Ух= 0, Уэ=о)К{р + х\ ^ = 0 при г =

Уравнения (19) интегрируются с учетом граничных условий (21) и получаются выражения для скоростей, с учетом которых интегрируется уравнение (20) по переменной г в пределах от : = -с до : = Аи после введения в рассмотрение числа сжимаемости Л и безразмерного параметра V

А =

6цсоВ2

v = -

1 f 9 1 . ' pah- h + c

записывается полученное уравнение для двух рассматриваемых областей

(22)

(23)

После перехода от операторов дифференцирования по <9 к операторам V и учета выражений (5) получаются еще три уравнения, связывающие коэффициенты сплайнов

аг=6а{ -м0, Ьг=хЬ\~еЪа, 3(\ +кв)а3=2ва2, (24)

где

яА - , я ,

(25)

Ас=—р sin ц/, Е =—sin 2у/, ^ = At -е, ff = Asv -е.

пР

2 п

Полученные восемь уравнений (8), (10), (12), (17), (24) с восемью неизвестными коэффициентами сплайнов образуют систему, в которой содержится также неизвестное давление Р и его производная dPjdp, поэтому необходимо найти еще одно уравнение, связывающее эти переменные с расходом газа.

Полный радиальный расход газа Q через сечение активной зоны поверхностью г = const при стационарном режиме работы не зависит от радиальной координаты г и связан с расходами Qx\ и Qxi через поверхность !• = 0, пересекающую соответственно область 1 и область 2 зависимостью

Q=r{Qxx + Qx 2) (26)

После вычисления Qx1 и Qx2 на основании соотношений (13), выражение (26) приводится к виду

к{а0 -каг +кга^)+Ра{ъа + Ь1 +аЬг (27)

где номинальный зазор ha, относительное осевое смещение £ безразмерный зазор и и безразмерный расход Q* вычисляются по формулам

А«-1+С, е-^е*.

Ло 12//

(28)

Совместное решение уравнений (8), (10), (12), (17), (24) и (28) приводит к дифференциальному уравнению

йР_

4Р

=-ф,0>,р)-ф 2(р,р)- в',

(29)

где для нахождения коэффициентов Ф1 и Ф2 необходимо после задания угла атаки у/, нормированной глубины канавок уо» их относительной ширины к, относительного осевого смещения ¿¡, нормированного числа сжимаемости Л0=6Цй)Я}/, числа спиральных канавок п выполнить следующие операции

Выводы по второй главе

1. Выведено дифференциальное уравнение (29), определяющее закон изменения безразмерного давления в активной зоне плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками.

2. В отличие от нелинейной теории [16, 19] процедура вывода уравнения (29) связана не с ортогональной, а с косоугольной криволинейной системой координат, что позволяет сохранить тождественность преобразований, сложность которых вызвана использованием кубических сплайнов (5) для локальной аппроксимации давления. Это позволяет провести вывод уравнения (29) на основе только тождественных преобразований, не пренебрегая некоторыми нелинейными выражениями, как это делается в выкладках нелинейной теории.

3. Отличительной особенностью выведенного уравнения является учет числа спиральных канавок не только через местный параметр сжимаемости Ас, как это имеет место в нелинейной теории [16, 19], но и через новый безразмерный параметр е, зависящий только от числа канавок и угла их наклона к скорости скольжения.

В третьей главе рассматриваются частные случаи основного уравнения (29) и разрабатываются алгоритмы для вычисления интегральных характери-, стик плоских спиральных подпятников различных типов.

Уравнение для гладкой зоны получается двумя способами: при стремлении к нулю глубины канавок и их ширины. В том и другом случае оно принимает вид

Доказывается, что при неограниченном увеличении числа спиральных канавок уравнение (29) полностью совпадает с уравнением квазилинейной теории, таким образом, квазилинейная теория спирального подшипника представляет собой частный случай разработанных математических моделей при бесконечно большом числе спиральных канавок.

Таким образом, безразмерное давление в активной и гладкой зонах спирального подшипника со сходящимся потоком газа подчиняется уравнениям

ар

ар

2 _

аР 2иъРрг (31)

Первое уравнение (31) интегрируется численно методом Рунге-Кутта в пределах от р -1 до р - рх при краевом условии

РХ=Р0 при р = 1, (32)

а второе - в пределах от р = ргло р = рх при условии

Рг = Р0 при р = рг. (33)

Оба решения должны совпадать на общей границе активной и пассивной зон, т.е. должно выполняться условие

Р2{Р=Р1)=Р,(Р=Р1)=Р12- (34)

Это совпадение возможно только при единственном значении безразмерного расхода Q*, входящего в уравнения (31), таким образом, для нахождения безразмерного расхода необходимо провести итерационный процесс.

Безразмерная подъемная сила и безразмерная жесткость находятся по формулам

(35)

а истинные их значения связаны с безразмерными следующими соотношениями

_яВгр„

-К

(36)

Для нахождения главного момента сил вязкого трения на диаде канавка-перемычка выделяется узкая полоска смазочного слоя, расположенная вдоль линии r = const и имеющая ширину dr (рис.5). Проекции сил вязкого трения, приложенных к этой площадке ds, в области канавки и перемычки на ось S определяются выражениями

dR3l=-R

Рис 5. К вычислению сил вязкого трения, приложенных к вращающейся детали подпятника

(37)

Соотношения (5) позволяют выражения (37) к виду

привести

(38)

Умножив И (Шаг на г — Ир , найдем моменты этих сил dmx и dmz относительно оси подшипника. Момент с/Л/, сил сопротивления, приложенных к кольцевому фрагменту гладкой детали шириной </г = Кс1р, относительно оси подшипника, определяется выражением

Г 7=0 п=а |]

... Г .,.. гл. Г, (39)

¿л/, = nl J dmt{r})+ \ЛтЩ\ 4-7—«г IJ

Главный момент Л/, сил вязкого трения, приложенных к гладкой детали со стороны смазочного слоя активной зоны относительно оси подшипника, есть интеграл от с/Л/,, вычисленный в пределах от р = ДО р = \. Выражение для безразмерного момента сопротивления Л/,* активной зоны принимает вид

(40)

где в\,вг - функции, зависящие ортР— <№Ю>р/Щ=^гр о в а н н ы й параметр сжимаемости.

Безразмерный момент сопротивления гладкой зоны М может быть получен из общего выражения момента сопротивления активной зоны как предельный случай при стремлении к нулю нормированной глубины канавок или их относительной ширины к. Безразмерный момент сопротивления Л/*

смазочного слоя вычисляется как сумма безразмерных моментов сопротивле-

(41)

Истинный момент сопротивления М вычисляется по формуле

М = я!11раЬйМ\ (42)

В спиральном подпятнике с закрытым центром (рис.2) радиальный расход газа равен нулю, поэтому уравнения для безразмерного давления в активной и гладкой зонах примут вид

Из второго уравнения (43) следует, что Р2 = const = Р{р =Р\)- Первое уравнение должно интегрироваться численно методом Рунге-Кутта в пределах от р — 1 до р = Р\ при краевом условии

/>=/>„ при р = 1, (44)

где Р0 — безразмерное давление окружающей среды.

Безразмерные интегральные характеристики для этого подшипника определяются выражениями

(45)

Рассматривается спиральный газодинамический подпятник с расходящимся потоком газа (рис.6). Производится пересмотр главы 2 применительно к этой модели, в результате чего получается уравнение для доминирующего безразмерного давления в активной зоне

dP

«Ф¡(р,Р)-ФгМ- Q'. dp

(46)

Здесь, в отличие от уравнения (29) перед функцией Ф1 стоит знак плюс, а не минус.

Если ввести переключатель

ния активной M*. и пассивной М*2 зон.

-1, если активная зона нагнетает смазку от внешней границы к оси подшипника, к = ^ + 1, если активная зона вызывает (47) поток смазки от внутренней границы подшипника к его внешней границе, и внести его в качестве множителя в формулы для вычисления е и Ф1, то получается единое уравнение для активной зоны плоских вентилируемых газодинамических подпятников со спиральными канавками

(48)

Рис б Газодинамический подшипник с расходящимся потоком газа

Но краевые условия для уравнения (48) теперь выглядят иначе. Уравнение (48) должно интегрироваться в пределах от при условии (49).

Р^Ро при ,р = р2. (49)

Одновременно должно интегрироваться уравнение для гладкой зоны, которое имеет такой же вид, что и для подпятника со сходящимся потоком газа, в пределах от р — 1 ДО р = р^> при краевом условии

Рг=Р0 при р = 1. (50)

Безразмерный расход Q находится итерационным методом, основанном на сведении к нулю невязки \Рх(р = Р2{р = р^. Безразмерная подъемная сила и безразмерный момент сопротивления вычисляются по формулам

(51)

Была проведена оценка точности разработанной математической модели на основе численного решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина по программе, разработанной А.М.Шихватовым (Украина) и уточненной диссертантом. Вычисление безразмерной подъемной силы Ж* для подшипника со сходящимся потоком газа проводилось для трех вариантов разбиения косоугольных координат, каждый из которых представлен в виде гдеЛГ- число разбиений по ширине канавки и перемычки, М1 и М2 - число разбиений радиальной координаты в гладкой и в профилированной зонах соответственно.

Ло Рг п Р\ V Уо к сетка Г-102 Погрешность

(6 + 6)х(10 + 20) 0,3495 -16,8%

5 0,8 6 0,855 17°1 Г 0,762 0,636 (9 + 9)х(15 + 30) 0,3730 -11,2%

(12 + 12)х(20 + 40) 0,3847 -8,4%

Для оценки точности расчетов была применена процедура интерполяционной экстраполяции. Экстраполированное значение Е, вычисленное по данным приведенной таблицы, оказалось равным 0,004201. Путем расчетов на более густых сетках было доказано, что применение процедуры интерполяционной экстраполяции позволяет существенно сократить время расчетов и одновременно повысить их точность.

На рис.7 представлены результаты расчетов безразмерной подъемной силы Е* в зависимости от нормированного параметра сжимаемости Ло для плоского газодинамического подшипника со сходящимся потоком газа при следующих параметрах:

Сплошные кривые (—) получены на основе разработанной математической модели, а штриховые (-) - данные численного решения исходной краевой задачи на основе метода Бубнова-Галеркина по программе, разработанной А.М.Шихватовым и уточненной, диссертантом путем применения процедуры интерполяционной экстраполяции.

Как видно, соответствие между сплошными и штриховыми кривыми /•" (Л0) при и = 24 и 12 можно признать достаточно хорошим во всем диапазоне значений параметра (этот диапазон вдвое шире достигнутого до сих пор на практике [68]). По мере уменьшения числа спиральных канавок погрешность разработанной математической модели возрастает, достигая при п = 6 И Л0 = 500 максимального значения в 23%. Однако при параметрах рх = 0,65;^/ = 12°1уи = 0,796;*" = 0,598, которые найдены в результате решения задачи оптимизации (по максимуму Ж*)

Рис.7. Зависимость безразмерной подъемной силы Е ОТ нормированного параметра сжимаемости Ло дл подшипника со сходящимся потоком газа

при на основе разработанной математической мо-

дели, максимальная погрешность разработанной теории не превышает 1,8%. Выводы по третьей главе:.

1. Доказано, что выведенное во второй главе дифференциальное уравнение для активной зоны плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками в своих предельных случаях, соответствующих как бесконечно мелким, так и бесконечно узким канавкам, точно соответствует дифференциальному уравнению для непрофилированной зоны.

2. Установлено, что основное уравнение квазилинейной теории спиральных подшипников [43] представляет собой частную разновидность выведенного во второй главе уравнения при бесконечно большом числе канавок.

3. Разработаны математические модели всех разновидностей плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками: с закрытым центром, со сходящимся потоком газа, с расходящимся потоком газа. Эти модели включают в себя выведенное во второй главе нелинейное дифференциальное уравнение для давления в активной зоне, которое решается численно методом Рунге-Кутга, а также алгоритмы вычисления всех интегральных характеристик смазочного слоя: подъемной силы, жесткости, момента сопротивления и расхода газа.

4. Точность разработанных математических моделей подтверждена путем сравнения с результатами, полученными на основе численного решения исходной краевой задачи методом Бубнова-Галер кина.

5. Преимущества разработанных математических моделей по сравнению с расчетами на основе прямых численных методов заключаются в том, что при близких по точности конечных результатах, программы расчетов радикально упрощаются, время расчетов сокращается более чем на три порядка и снимаются практически все ограничения на диапазон допустимых значений входных параметров, при которых вычислительный процесс устойчив и быстро сходится.

6. Единственное ограничение в применении разработанных математических моделей состоит в том, чтобы число спиральных канавок, их глубина ширина и угол закрученности не выбирались произвольно, а подбирались так, чтобы силовые характеристики подшипника не падали слишком сильно. Разработанные математические модели позволяют выбирать все эти параметры наилучшим образом путем решения задач оптимизации.

В четвертой главе разработанные математические модели распространяются на случай, когда необходимо учитывать эффекты скольжения. Граничные условия для скоростей (21) следует рассматривать теперь лишь как скорости стенок смазочного слоя, а скорости частиц газа на границах с этими стенками должны быть теперь заменены по методу Черчиньяни-Слезкина

(52)

а к

дг

2 & /

« аг1д2У9

2 5:2

при г = Л

(52)

Здесь а1 =1,1466 и а2 = а, + 2/лог, = 1,7018 - коэффициенты скольжения первого и второго порядка, / - средняя длина свободного пробега молекул газа.

Уравнение для безразмерного давления в активной зоне приводится к виДУ (48), однако коэффициенты, входящие в него, являются, помимо прочего, еще и функциями нормированного числа Кнудсена т. Разработаны алгоритмы вычисления интегральных характеристик спиральных подшипников различных типов.

Было проведено сравнение результатов, полученных на основе разработанных математических моделей, с экспериментальными данными. Существует только один достоверный эксперимент по газодинамическим подпятникам, выполненный в США Стеранкой. В статье Синга и Маланоски [68], где воспроизведены экспериментальные кривые Стеранки, имеется ссылка на научно-технический отчет об испытаниях серийного гироскопа марки "16 РЮЛ". В этом гироскопе применены плоские спиральные подшипники, работающие при зазоре 0,84 микрометра.

На рис.8 штриховыми линиями (- - -) представлены экспериментальные кривые Стеранки. Они воспроизведены по данным статьи Синга и Маланоски [68] и изображают зависимость безразмерного давления Р1 от параметра Ло на внутренней границе плоского спирального подшипника при рг =0,679 (расход

смазки через подшипник равен нулю). Сплошные линии (—) на этих графиках - данные, полученные в результате численного решения уравнения (48) при Q' = 0 методом Рунге-Кутта при краевом условии Рх = I при р -1. Интегриро-

вание проводилось до границы р1 = 0,679 с шагом Н = (1-0,679)/100 т.е. профилированная зона разбивалась на 100 частей. Как видно, соответствие между разработанной теорией и экспериментом можно считать вполне удовлетворительным, если принять во внимание, что эксперимент проведен на серийном гироскопе. Штрихпунктирными линиями (- • -) представлены данные теории Синга-Маланоски [68], представляющей модификацию квазилинейной теории за счет учета эффекта скольжения первого порядка по методу Максвелла-Бургдорфера. Как видно, расхождения этой теории с экспериментом примерно вдвое больше, чем у разработанной теории. Еще сильнее завышены данные, полученные на основе квазилинейной теории, не учитывающей эффекты скольжения [43] - они представлены на графиках пунктирными линиями (• • •)• Заметим, что штрихпунктирные (--) и пунктирные (• • •) графики на рис.8 воспроизведены из статьи [68], однако было проверено, что они могут быть получены по алгоритмам разработанной теории, если принять п = 106 (бесконечное число канавок), 0^=1, = 0 -для штрихпунктирных линий п = й|=0,62 = 0 -

для пунктирных линий.

Таким образом, разработанные математические модели содержат в себе теории Синга-Маланоски [68] и Маланоски-Пэна [43] в виде предельных случаев при бесконечно большом числе канавок и при частичном или полном неучете эффектов скольжения. Необходимо заметить, что эксперимент Стеранки проведен для подшипников с большим числом спиральных канавок (24). Если бы канавок было меньше, экспериментальные кривые (и данные разработанной теории) опустились бы ниже, в то время как две верхние кривые остались бы на том же месте. Это значит, что преимущества разработанной теории по точности по сравнению с теориями [68] и [43] у реальных подшипников еще заметнее, чем это представлено на рис.8. Выводы по четвертой главе:

1. Математические модели плоских спиральных подшипников, разработанные в главах 2 - 3 , уточнены и расширены за счет учета эффектов скольжения первого и второго порядков по методу Черчиньяни-Слезкина.

2. Выяснено, что теории Синга-Маланоски [68] и Маланоски-Пэна [43] представляют собой частные разновидности разработанных математических моделей, соответствующие случаям бесконечно большого числа канавок и частичного, либо полного неучета эффектов скольжения.

3. Расчеты, проведенные по алгоритмам разработанных математических моделей спиральных подшипников, согласуются с экспериментальными данными Стеранки (США) значительно лучше, чем соответствующие результаты, полученные на основе других теорий [43,68].

Пятая глава посвящена исследованию и оптимизации плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками на основе разработанных математических моделей.

Исследовалась зависимость безразмерной жесткости л:* для плоского подшипника со сходящимся потоком газа от нормированного параметра сжимаемости Ло при различных значениях числа Кнудсена т, безразмерного давления окружающей среды и различных геометрических параметрах подшип-

ника, а также зависимость от Ро для различного числа канавок п. Все расчеты проведены по алгоритмам разработанных математических моделей и представлены в виде 8 графиков. У реальных подшипников кривые /к*(Л0) расположены всегда ниже соответствующих графиков, построенных по данным квазилинейной теории [43, 68]. Этот эффект усиливается, когда уменьшается глубина канавок, падает давление окружающей среды или возрастает угол атаки Ц/. Ярко выраженная зависимость силовых характеристик спиральных опор от числа канавок, давления окружающей среды и числа Кнудсена свидетельствуют о том, что алгоритмы квазилинейной теории [43, 68] не годятся для решения задач оптимизации. Эти задачи, представляющие наиболее ценный в прикладном отношении результат теории, должны решаться на основе более полных математических моделей, учитывающих все перечисленные факторы. Разработанные в диссертации математические модели спиральных подшипников отвечают этим обязательным требованиям.

На рис.9 верхняя кривая ЛГ*(Л0) соответствует непрерывному набору оптимальных подшипников, когда оптимизация осуществляется на основе квазилинейной теории [43] (Ро**!; £=0; /я=0; и=12; Рг=0,5). Эти данные получены по разработанным алгоритмам, когда число канавок п принималось равным 106 поскольку в этом предельном случае разработанные математические модели дают те же результаты, что и алгоритмы работ [43, 68].

Как видно, квазилинейная теория предсказывает спиральным подпятникам высокую жесткость. Когда же вычисленные таким образом "оптимальные" значения параметров р\, у/, уо и к (зависящие от Ло) были введены в программу

расчетов по методу Бубнова-Галеркина, то значения К оказались намного ниже (кривая 4). Разница между кривыми 3 и 4 на рис.9 наглядно демонстрирует погрешность квазилинейной теории.

Когда этот же подшипник был оптимизирован на основе разработанных математических моделей, график предстал в виде кривой 1. Она проходит ниже кривой 3, но значительно выше кривой 4. На рис.9 штриховая линия 2 построена по расчетам на основе метода Бубнова-Галеркина при тех же значениях р\, у/, уо и к, соответствующих кривой 1. Близость кривых 2 и 1 свидетельству-

Рис.9. Зависимость безразмерной жесткости ет не только о достоверности раз-К* от нормированного параметра сжимаемо- работанных математических модести Л для подшипника со сходящимся лей, но и о точности решения за-потоком газа

дач оптимизации, основанных на этих моделях.

Была проведена оптимизация спиральных газодинамических подшипников с закрытым центром по трем параметрам уь, к), со сходящимся потоком газа по четырем параметрам (ри (С, Уо, к) И С расходящимся потоком газа по четырем и по пяти параметрам по максимуму безразмерной подъемной силы Б* и максимуму безразмерной жесткости К*. Решение задач оптимизации проводилось на основе модифицированного градиентного метода [51]. Расчеты проводились в широком диапазоне числа сжимаемости, при различном числе канавок и числе Кнудсена. Результаты оптимизации систематизированы в расчетных таблицах в безразмерном виде и представлены в приложении 1.

Была произведена оценка погрешности оптимизации плоских подшипников различных типов на основе нелинейной теории [68] по сравнению с расчетами, выполненными на основе разработанных математических моделей. Нелинейная теория [19, 68], в основу которой положены квадратичные сплайны (1), приводит к заниженным силовым характеристикам, меньшим значениям оптимального угла атаки к более глубоким и более узким канавкам. Так, для подшипника со сходящимся потоком газа максимальная погрешность составляет 19,9% (л = 12, Л0 = 250, ¿>2 = 0,75), а минимальная - 1,8% (л = 24, Л0 = 10,

рг = 0,25). Погрешность вычисления F* и оптимальных значений у/, И 1С уменьшается при увеличении числа канавок п, уменьшении нормированного параметра сжимаемости и расширении активной зоны уменьшается). Выводы по пятой главе'

1. На основе разработанных математических моделей плоских спиральных подшипников созданы программы расчета и оптимизации, и проведена оптимизация трех типов газодинамических опор: с закрытым центром, со сходящимся и с расходящимся потоками газа. Оптимизация проведена по максимуму подъемной силы, а также жесткости. Число оптимизируемых параметров в разных задачах меняется от трех до пяти.

2. Дана оценка погрешностей квазилинейной [43] и нелинейной [19,4] теорий при решении на их основе задач оптимизации.

3. Результаты оптимизации систематизированы в расчетных таблицах, использование которых облегчает задачу проектирования прецизионных газодинамических опор для приборостроения. Они могут быть использованы также при разработке высокоэффективных бесконтактных уплотнений.

Основные выводы

1. Разработаны математические модели плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, учитывающие реальную геометрию рабочих поверхностей и все наиболее существенные факторы, влияющие на характеристики подшипников.

2. Созданы программы расчета и оптимизации трех типов спиральных газодинамических подшипников: с закрытым центром; со сходящимся потоком газа; с расходящимся потоком газа.

3. Решены задачи оптимизации для основных типов плоских спиральных подшипников. Результаты оптимизации систематизированы в расчетных таблицах в безразмерном виде, что облегчает их использование при оптимальном проектировании высокоскоростных прецизионных газодинамических опор скольжения вне зависимости от их габаритов, угловой скорости вращения, физических свойств рабочего газа и давления окружающей среды.

Извлечения из списка литературы для ссылок в автореферате:

16.Емельянов А.В., Емельянов Л.А. Нелинейная теория прецизионных ради-ально-осевых подшипников с газовой смазкой и анизотропной геометрией. // Известия АН СССР МЖГ. 1983. №6. С. 116-124. 19.Емельянов А.В., Емельянова Л.С. Теория газового подшипника со спиральными канавками, учитывающая эффекты скольжения и местной сжимаемости. // Известия АН СССР. МЖГ. 1971. №5. С. 84-93. 43.Маланоски, Пэн. Статические и динамические характеристики упорного подшипника со спиральными канавками. // Теоретические основы инженерных расчетов. 1965. №3. С. 13-26. 51.Пинегин СВ., Емельянов А.В., Табачников Ю.Б. Газодинамические подпятники со спиральными канавками. М.: Наука. 1977.108 с. 68.Синг, Маланоски. Влияние средней длины свободного пробега молекул на характеристики упорных подшипников со спиральными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 77-87.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

1. Цыганова (Зенкина) И.А., Макеев ДА., Шерейкин А.Л. Решение краевой задачи о ступенчатом ползуне, плавающем на тонком слое вязкого газа над быстро движущейся плоскостью. // Российская НТК "Социально-экономические проблемы управления производством, создание прогрессивных технологий конструкций и систем в условиях рынка". — Калуга, 1997. — С.137.

2. Деркач М.И., Цыганова (Зенкина) И.А., Шалашников А.С. Конечно-разностный метод в краевых задачах газовой смазки. // Всероссийская НТК "Создание прогрессивных технологий, конструкций и систем и социально-экономические проблемы производства". - Калуга, 1998. - С.98.

3. Емельянов И.А., Цыганова (Зенкина) И.А. Оценка диссипативной мощности бинарных газодинамических подшипников и вязкостных уплотнений. // Всероссийская НТК "Создание прогрессивных технологий конструкций и сис-

тем и социально-экономические проблемы производства". - Калуга, 1998. -С.95.

4. Деркач М.И., Емельянов А.В., Цыганова (Зенкина) И.А. Основы теории анизотропных пористых подвесов, питающихся сжатым газом. // Труды МГТУ "Математическое моделирование сложных технических систем". - 1998. -№572. - С.35-42.

5. Зенкина И.А., Андреев М.В. Численный анализ газодинамического радиального подшипника. // Юбилейная Всероссийская НТК "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении". - Калуга, 1999.-С.54.

6. Емельянов Л.А., Зенкина И.А. Математическая модель сферического ради-ально-осевого газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Юбилейная Всероссийская НТК "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении". - Калуга, 1999. - С.52.

7. Емельянов А.В., Емельянов Л.А., Зенкина И.А. Алгоритмы вычисления интегральных характеристик газодинамических подшипников сферической формы со спиральными канавками. // Труды МГТУ "Математическое моделирование сложных технических систем". - 1999. - №576 - С.11-18.

8. Зенкина И.А. Нелинейная теория плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Всероссийская НТК "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении". - Калуга, 2000. -С.38.

9. Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А. Уточненная математическая модель парциального газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Труды МГТУ "Математическое моделирование сложных технических систем". - 2000. - №578 - С.58-67.

10.Зенкина И.А., Пипко А.Д. Численное решение краевой задачи для прецизионного цилиндрического подшипника, питающегося сжатым газом. // Российская НПК, посвященная 180-летию со дня рождения ПЛ.Чебышева "Математика и механика в современном мире". - Калуга, 2001. - С.243-252.

11 .Зенкина И.А. Нахождение главного момента сил вязкого трения, развивающихся в смазочном слое газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Труды МГТУ "Методы исследования и проектирования сложных технических систем". - 2001. -№581 - С.31-39.

12.3енкина И.А. Алгоритм вычисления момента сил вязкого трения газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Всероссийская НТК "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении". - Москва, 2001. - С. 44-46.

13.Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А., Шихватов A.M. Математическое моделирование и оптимизация газодинамических подшипников со спиральными канавками. - Калуга: Издательский дом "Эйдос", 2003. - 219 с.

14.Зенкина И.А. Решение задач оптимизации в газовой смазке модифицированным градиентным методом. // Всероссийская НТК "Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении". — Калуга, 2003. - С.373-374.

^ - 9 0 43

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97 . Подписано в печать 6.05.2004. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ 3 3 3

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151.

Основные обозначения и параметры.

Введение.

Глава 1. Состояние работ по исследованию газодинамических подшипников и бесконтактных уплотнений со спиральными канавками.

1.1. Краткая история развития опор скольжения со спиральными канавками.

1.2. Структура квазилинейной теории спиральных газодинамических подшипников.

1.3. Краткий анализ работ по нелинейной теории спиральных газодинамических подшипников

Выводы по первой главе.

Глава 2. Вывод дифференциального уравнения, определяющего закон изменения давления в активной зоне плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками.

2.1. Две криволинейные системы координат.

2.2. Связь операторов дифференцирования по х и & с операторами дифференцирования по £ и rj.

2.3. Локальная аппроксимация квадрата безразмерного давления в двух областях характерного фрагмента активной зоны . 44 ■ 2.4. Интегрирование уравнений Рейнольдса в локальной системе координату, 3.

2.5. Локальные массовые расходы газа в характерном фрагменте активной зоны.

2.6. Нахождение уравнений, связывающих коэффициенты сплайнов (2.18).

2.7. Вывод уравнения, связывающего производную dP/dp с безразмерным расходом Q* подшипника.

2.8. Решение системы уравнений (2.53).

2.9. Вывод дифференциального уравнения, определяющего закон изменения безразмерного давления в активной зоне плоского подшипника.

2.10. Последовательность выполнения операций при программировании функций Ф1 и Ф2.

Выводы по второй главе.

Глава 3. Частные случаи основного уравнения и интегральные характеристики плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками.

3.1. Вывод уравнения для гладкой зоны как предельный случай уравнения (2.89) при стремлении глубины канавок к нулю

3.2. Вывод уравнения для гладкой зоны как предельный случай уравнения (2.89) при стремлении ширины канавок к нулю

3.3. Предельный вид уравнения (2.89) при неограниченном увеличении числа спиральных канавок.

3.4. Нахождение главного момента сил вязкого трения, приложенных к вращающейся детали подшипника со стороны смазочного слоя активной зоны, относительно оси подшипника.

3.5. Нахождение главного момента сил вязкого трения в области гладкой зоны спирального подпятника.

3.6. Алгоритмы вычисления интегральных характеристик спиральных газодинамических подпятников с закрытым центром

3.7. Алгоритмы вычисления интегральных характеристик спиральных газодинамических подпятников со сходящимся потоком газа.

3.8. Изменения, которые необходимо внести в алгоритмы расчетов при нахождении интегральных характеристик подпятников с расходящимся потоком газа.

3.9. Единый алгоритм составления дифференциального уравнения для активной зоны плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками.

3.10. Интегральные характеристики подпятника с расходящимся потоком газа.

3.11. Оценка точности разработанной математической модели на основе численного решения исходной краевой задачи.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. Распространение разработанных математических моделей на случай, когда необходимо учитывать эффекты скольжения.

4.1. Пересмотр граничных условий для скоростей на границах с твердыми стенками и новые выражения для скоростей в смазочном слое.

4.2. Преобразование уравнений (2.31) с учетом эффектов скольжения.

4.3. Преобразование локальных массовых расходов газа.

4.4. Пересмотр параграфа 2.6. и видоизменения в уравнениях, связывающих коэффициенты сплайнов (2.18).

4.5. Пересмотр параграфа 2.7. и новый вид уравнений (2.62)

4.6. Решение системы уравнений (4.33).

4.7. Алгоритм составления дифференциального уравнения для активной зоны плоских газодинамических подпятников в широком диапазоне значений числа

Кнудсена.

4.8. Сравнение результатов, полученных на основе разработанных математических моделей, с экспериментальными данными.

4.9. Вид дифференциального уравнения для гладкой зоны плоских газодинамических подшипников.

4.10. Нахождение момента сопротивления спиральных газодинамических подпятников с учетом эффектов скольжения.

4.11. Интегральные характеристики плоских газодинамических подшипников различного типа.

Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Исследование и оптимизация плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками на основе разработанных математических моделей.

5.1. Исследование плоских спиральных подшипников на основе разработанных математических моделей.

5.2. Оптимизация подпятников с закрытым центром на основе разработанных математических моделей.

5.3. Оптимизация подшипников со сходящимся потоком газа на основе разработанных математических моделей.

5.4. Оптимизация подшипников со расходящимся потоком газа на основе разработанных математических моделей.

Выводы по пятой главе.

Математическое моделирование в гидродинамической смазке началось в конце XIX века с основополагающих работ русского ученого Н.П.Петрова [49]. С тех пор наука о подшипниках скольжения стала развиваться настолько быстро, что за последние сто с небольшим лет решение проблемы совершенствования опор скольжения продвинулось вперед неизмеримо больше, чем за предыдущие пять с половиной тысячелетий, на протяжении которых эта проблема оставалась актуальной (колесо, неотъемлемым конструктивным элементом которого является подшипник, было известно уже в середине 4-го тысячелетия до нашей эры).

Высокий уровень отечественных работ в области гидродинамической теории смазки в значительной мере определяется фундаментальными исследованиями Н.Е.Жуковского, М.В.Коровчинского, Я.М.Котляра, С.В.Пинегина, С.И.Сергеева, Н.А.Слёзкина, С.А.Чаплыгина, С.А.Шейнберга.

Подшипники с газовой смазкой представляют собой последний и самый высокий этап развития науки об опорах скольжения. Однако это вовсе не означает, что газовые подшипники призваны заменить опоры скольжения, использующие в качестве смазки капельную жидкость, и опоры качения. Напротив, сегодня уже никто не сомневается в том, что и опоры качения, и подшипники жидкостного трения, и газовые опоры имеют разные области применения, отвечающие их уникальным свойствам. Они не столько конкурируют между собой, сколько дополняют друг друга, обеспечивая решение практически любых задач современной техники.

В то же время совершенно очевидно, что подшипники с газовой смазкой обладают рядом исключительных свойств, благодаря которым они незаменимы в ряде высокотехнологичных изделий передовой техники [12, 42, 47, 48, 50, 52, 55, 74, 89, 103, 104, 113, 114]. Эти уникальные свойства определяются, во-первых, низкой вязкостью газов, что позволяет увеличить скорость вращения ротора до сотен тысяч оборотов в минуту; во-вторых, по сравнению с техническими маслами, вязкость газов не так сильно зависит о температуры, что позволяет газовым опорам стабильно работать как при высоких, так и при низких температурах окружающей среды; в-третьих, сжимаемость смазочного слоя существенно повышает прецизионность газовых опор, в-четвертых, химическая и структурная стабильность газов обеспечивает газовым подшипникам надежную работу в полях высокой радиации, где технические масла разлагаются, густеют и перестают выполнять свои функции; наконец, газовые опоры долговечны и экологически чисты, поскольку в процессе работы детали подшипника разделены слоем газа и не подвержены абразивному и усталостному износу.

Газодинамические подшипники работают, захватывая смазку прямо из окружающей среды и затем сжимая ее в рабочем зазоре за счет относительной скорости вращения деталей и благодаря специальному профилю, выполненному на одной из двух стенок смазочного слоя. Подшипники со спиральными канавками или просто спиральные подшипники - самый распространенный и наилучший тип газодинамических опор, обладающий наилучшими силовыми характеристиками и целым рядом других преимуществ, обеспечивших им успешное применение не только в качестве надежных высокоскоростных опор скольжения [12, 48, 50, 51, 55], но еще и как высокоэффективных бесконтактных уплотнений [50, 74, 86].

Основным конструктивным элементом любого спирального подшипника является активная зона, образованная двумя близко расположенными твердыми поверхностями, на одной из которых выполнены спиральные микроканавки. Толщина смазочного слоя в таких подшипниках обычно не превосходит 10 микрометров, а глубина спиральных канавок в 2 -2,5 раза превышает толщину смазочного слоя. В гироскопии же рабочий зазор у подшипников составляет около одного микрометра при глубине канавок 2-3 микрометра [12, 48, 52, 55, 97]. Подшипники этого типа могут работать только при одном направлении относительного вращения рабочих деталей, когда спиральные канавки нагнетают газ от открытых границ в глубь смазочного слоя.

Диссертация посвящена развитию теории плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, которые широко применяются в качестве осевых (торцовых) опор скольжения [48, 52, 57, 58, 68], и в то же время являются основным элементом бесконтактных уплотнений [50].

Из пяти глав диссертации первая является обзорной. В ней кратко излагается состояние работ в области спиральных подшипников, а также формулируются цели и задачи дальнейших исследований.

Остальные главы посвящены разработке уточненных математических моделей спиральных газодинамических подшипников и решению задач оптимизации параметров, определяющих их геометрию.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

1. Разработка математических моделей плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками.

2. Создание программ расчета и оптимизации трех типов спиральных газодинамических подшипников: с закрытым центром, со сходящимся потоком газа, с расходящимся потоком газа.

3. Решение задач оптимизации и систематизация полученных результатов в расчетных таблицах в безразмерном виде.

1. СОСТОЯНИЕ РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ И БЕСКОНТАКТНЫХ УПЛОТНЕНИЙ СО СПИРАЛЬНЫМИ КАНАВКАМИ

Газовая смазка представляет собой более высокий этап развития гидродинамической смазки. В то же время физические принципы, лежащие в основе работы традиционных опор скольжения, смазываемых капельными жидкостями, и газовых подшипников в своей основе настолько родственны, что любая конструкция, успешно работающая на несжимаемой смазке, всегда способна в такой же мере выполнять свою роль, когда в качестве смазки используется воздух или иной газ. При этом предполагается, что рабочие зазоры и все масштабы профилей по глубине у газовых опор должны быть уменьшены, чтобы компенсировать переход на смазку с существенно более низкой вязкостью. Таким образом, процесс развития газовых подшипников неразрывно связан со всей историей гидродинамической смазки, начинающейся с середины 4 тысячелетия до новой эры, когда появилось колесо с осью.

В этой истории можно выделить два поворотных пункта. Первый связан с работами нашего соотечественника Николая Павловича Петрова [49], положившего начало математическому моделированию в задачах гидродинамической смазки. Второй этап знаменуется появлением подшипников со спиральными канавками (рис. 1.1, 1.2), принцип действия которых коренным образом отличается от "эффекта гидродинамического клина" [69, 22], лежащего в основе всех ранее известных физических моделей опор скольжения.

1. Основные результаты диссертационной работы

1.1. Разработаны математические модели плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, учитывающие реальную геометрию рабочих поверхностей и все наиболее существенные факторы, влияющие на характеристики подшипников.

1.2. Созданы программы расчета и оптимизации трех типов спиральных газодинамических подшипников: с закрытым центром; со сходящимся потоком газа; с расходящимся потоком газа.

1.3. Решены задачи оптимизации для основных типов плоских спиральных подшипников. Результаты оптимизации систематизированы в расчетных таблицах в безразмерном виде, что облегчает их использование при оптимальном проектировании высокоскоростных прецизионных газодинамических опор скольжения вне зависимости от их габаритов, угловой скорости вращения, физических свойств рабочего газа и давления окружающей среды.

2. Основные элементы новизны теоретических разработок и результатов их реализации

2.1. Процедура вывода нелинейного уравнения, определяющего закон изменения безразмерного давления в активной зоне плоских газодинамических подшипников со спиральными канавками, связана не с ортогональной [16, 19], а с косоугольной криволинейной системой координат.

2.2. В отличие от двух вариантов нелинейной теории спиральных подшипников [16, 19], где квадратичные (1971 г.), а позднее кубические (1983 г.) сплайны используются для локальной аппроксимации давления так, что нелинейным полиномом аппроксимируется давление поперек спиральных канавок и перемычек, в настоящей работе нелинейные члены кубических сплайнов аппроксимируют изменение искомой функции вдоль координатных линий, совпадающих с направлением скоростей точек подвижной стенки смазочного слоя. Это позволяет провести вывод основного уравнения для активной зоны на основе только тождественных преобразований, не пренебрегая, как это приходится делать в выкладках нелинейной теории [16, 19], некоторыми нелинейными выражениями.

2.3. Отличительной особенностью выведенного дифференциального уравнения для безразмерного давления в активной зоне плоского газодинамического подшипника со спиральными канавками является учет числа спиральных канавок не только через местный параметр сжимаемости, что характерно для нелинейной теории [16, 19], но и через новый безразмерный параметр б, зависящий только от числа канавок и угла их наклона к скорости скольжения.

3. Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы

3.1. Теоретические разработки базируются на уравнениях Рейнольдса для ламинарного смазочного слоя, а также уравнении неразрывности для сжимаемой среды. Смазочный слой считается изотермическим по протяженности, вследствие чего плотность оказывается пропорциональной давлению. Граничные условия для скоростей и краевые условия для давлений записываются без всяких искажений. В случае малых рабочих зазоров, соизмеримых с длиной свободного пробега молекул газа, граничные условия для скоростей записываются с учетом эффектов скольжения первого и второго порядка по методу Черчиньяни-Слезкина. Дифференциальное уравнение, определяющее закон изменения, давления в смазочном слое подшипника, интегрируется методом Рунге-Кутта. Входящее в это уравнение неизвестное давление на границе активной и гладкой зон смазочного слоя находится итерационным методом [51], представляющем собой модификацию метода

Ньютона. Интегралы вычисляются по формуле Симпсона. Задачи оптимизации решаются модифицированным градиентным методом [51]. 3.2. Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы подтверждаются: а) Совпадением частных разновидностей разработанных математических моделей при бесконечном увеличении числа спиральных канавок, при полном пренебрежении эффектом скольжения второго порядка и с частичным ослаблением скольжения первого порядка с соответствующими разновидностями квазилинейной теории [43, 68]. б) Достаточно хорошим соответствием расчетов по алгоритмам разработанных математических моделей спиральных подшипников результатам численного решения исходной краевой задачи на основе метода Бубнова-Галеркина с использованием программы А.М.Шихватова. в) Удовлетворительным согласием расчетов по алгоритмам разработанных математических моделей спиральных подшипников с экспериментальными данными Стеранки (США). Это согласие значительно лучше, чем у квазилинейной теории [43, 68], хотя эксперимент Стеранки используется без оценки его точности и не может считаться эталоном.

4. Научная и практическая полезность результатов диссертационной работы

4.1. Работа газодинамических подшипников со спиральными канавками, возникших на последнем этапе развития гидродинамической теории смазки, основана на принципиально новом и самом совершенном механизме образования избыточного давления в смазочном слое. Поэтому достигнутое уточнение математических моделей этих подшипников и их оптимальной геометрии относится к фундаментальным научным результатам.

4.2. Разработанные в диссертации программы расчета и оптимизации газодинамических подшипников со спиральными канавками и расчетные таблицы, в которых в безразмерном виде систематизированы результаты решения задач оптимизации, представляют собой теоретическую основу для разработки более совершенных, надежных и долговечных высокоскоростных прецизионных опор скольжения и бесконтактных уплотнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бартом. Экспериментальное исследование турбулентного течения в зазоре подшипника со спиральными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1968. №2. С. 158-166.

2. Батлер. Получение канавок в гидродинамических подшипниках методом ионного фрезерования. // Проблемы трения и смазки. 1975. №2. С. 209-211.

3. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи: М.: Мир. 1968. 183 с.

4. Бургвиц А.Г., Емельянов А.В. Определение несущей способности упорного газового подшипника со спиральными канавками произвольного поперечного профиля. //Машиноведение. 1967. №4. С. 108-116.

5. Бутсма. Сферические и конические подшипники со спиральными канавками. Часть I. Теория. Часть II. Несущая способность и устойчивость. // Проблемы трения и смазки. 1975. №2. С. 103-117.

6. Воор, Чау. Характеристики газовых радиальных подшипников с шевронными канавками. // Теоретические основы инженерных расчетов. М.: Мир. 1965. № 3. С. 37-49.

7. Гарджюло. Об оценке инерционных эффектов в газодинамических радиальных подшипниках. // Проблемы трения и смазки. 1976. №1. С. 202204.8 .Голубее А. И. Торцевые уплотнения вращающихся валов. М.: Машиностроение, 1974, 212 с.

8. Гупта, Коулмен, Пэн. Краевая поправка на окружающую среду к теории узких канавок, учитывающей локальную несжимаемость. // Проблемы трения и смазки. 1974. №2. С. 96-103.

9. Гэльвин, Моркрофт, Паттерсон. Разработка технологических процессов очистки и граничного смазывания газовых подшипников гироскопов иисследование поверхностных явлений. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 217-231.

10. ХХ.Дадаев С.Г. Разработка теоретических основ и методов расчета динамических характеристик профилированных спиральными канавками газодинамических опор. Автореферат докторской диссертации. Челябинск. ЮУрГу, 2002. 35 с.

11. Денхард, Пэн. Применение подшипников с газовой смазкой в приборах. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 75-87.

12. ХЪ.Деркач М.И., Емельянов А.В., Цыганова (Зенкина) И.А. Основы теории анизотропных пористых подвесов, питающихся сжатым газом. // Труды МГТУ. №572. 1998. С. 35-42.

13. Емельянов А.В., Емельянов Л.А., Цыганова (Зенкина) И.А. Алгоритмы вычисления интегральных характеристик газодинамических подшипников сферической формы со спиральными канавками. // Труды МГТУ. №576. 1999. С. 11-18.

14. Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А. Уточненная математическая модель парциального газодинамического подшипника со спиральными канавками. // Труды МГТУ. №5. 2000. С.

15. Емельянов А.В., Емельянов JI.A. Нелинейная теория прецизионных радиально-осевых подшипников с газовой смазкой и анизотропной геометрией. // Известия АН СССР МЖГ. 1983. №6. С. 116-124.

16. Емельянов А.В., Емельянова JJ.C. Теория газового подшипника со спиральными канавками, учитывающая эффекты скольжения и местной сжимаемости. // Известия АН СССР. МЖГ. 1971. №5. С. 84-93.

17. Емельянов А.В., Емельянова Л.С. Оптимальные параметры и сравнительные характеристики упорных газовых подшипников со спиральными канавками различного поперечного профиля. // Газовая смазка подшипников. М.: ИМАШ. 1968. С. 189-199.

18. Емельянов А.В., Степанчук В.И. Нелинейные эффекты в газодинамических подпятниках со спиральными канавками. // Машиноведение. 1983. №4. С. 91100.

19. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ. 1954. 486 с.

20. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

21. Каннингем, Флеминг, Андерсон. Экспериментальное исследование устойчивости радиальных газовых подшипников с шевронными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 58-66.

22. Каннингем, Флеминг, Андерсон. Экспериментальное определение несущей способности и потерь мощности в радиальных газовых подшипниках с шевронными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1971. №3. С. 103-109.

23. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962, 708 с.

24. Кастелли, Пирвикс. Обзор численных методов решения задач газового подшипника. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 129-148.

25. Китинг, Пэн. Исследование опоры ротора гироскопа, состоящей из двух симметрично расположенных полусферических газовых подшипников. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 101-110.

26. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: изд-воИЛ. 1953. 459 с.

27. Константинеску В.Н. Газовая смазка. М.: Машиностроение. 1968. 718 с.

28. Константинеску. О влиянии инерционных сил в турбулентных и ламинарных самогенерирующихся пленках. // Проблемы трения и смазки. 1970. №3. С. 101-111.

29. Константинеску, Галетузе. О возможностях повышения точности расчета инерционных сил в ламинарных и турбулентных пленках. // Проблемы трения и смазки. 1974. №1. С. 76-88.

30. Константинеску, Кастелли. О влиянии локальной сжимаемости смазки в подшипниках со спиральными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 88-96.

31. Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.: Машгиз. 1959. 403 с.

32. Котляр Я.М. Об аппроксимации уравнений Рейнольдса. Док. АН СССР. Т. 130. 1960. №1. С. 41-44.

33. Котляр Я.М. Решение задач теории газовой смазки методом эквивалентного уравнения. / Газовая смазка подшипников. М.: ИМАШ. 1968. С. 267-272.

34. Коулмен, Снайдер. Линеаризация уравнения Рейнольдса для последующего численного решения. // Проблемы трения и смазки. 1969. №3. С. 147-148.

35. Купер. Оценка возможностей теоретического определения характеристик газового подшипника. // Техническая механика. 1961. №2. С. 73-79.

36. Линч, Стеранка. Оценка качества газовых подшипников в процессе испытаний на поворотном столе при помощи варметра. // Проблемы трения и смазки. 1970. №3. С. 137-145.

37. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1973. 848 с.

38. Лучин Г.А., Пемти Ю.В., Снопов А.И. Газовые опоры турбомашин. М.: Машиностроение. 1989. 240 с.

39. Максимов В.А., Хадиев М.Б., Хисалиев И.Г., Галиев P.M. Бесконтактные уплотнения роторов центробежных и винтовых компрессоров. Казань.: ФЭН, 1998. 292 с.

40. Маланоски, Пэн. Статические и динамические характеристики упорного подшипника со спиральными канавками. // Теоретические основы инженерных расчетов. 1965. №3. С. 13-26.

41. Машиностроение. Энциклопедия. Том IV-V. М.: Машиностроение. 1995. 863 с.

42. Мурата, Миякэ, Кавабата. Точный двумерный анализ упорного подшипника со спиральными канавками. Часть I. Часть П. // Проблемы трения и смазки. 1979. №4. С. 34-48.

43. Никитин А.К. и др. Гидродинамическая теория смазки и расчет подшипников скольжения, работающих в стационарном режиме. М.: Наука. 1981.316 с.

44. Опоры скольжения с газовой смазкой/ Под ред. С.А.Шейнберга. М.: Машиностроение. 1979. 336 с.

45. Паттерсон. Обзор достижений в разработке гироскопов с газовыми подшипниками в Великобритании. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 87-100.

46. Петров Н.Н. Гидродинамическая теория смазки. М.: изд-во АН СССР. 1948. 552 с.

47. Пешти Ю.В. Газовая смазка. М.: изд. МГТУ. 1993. 381 с.

48. Пинегин С.В., Емельянов А.В., Табачников Ю.Б. Газодинамические подпятники со спиральными канавками. М.: Наука. 1977. 108 с.

49. Пинегин С.В., Коровчинский М.В., Жедь В.П. Международный симпозиум по газовой смазке 11-27 июня 1968 г. М.: ВИНИТИ. 1969. 132 с.

50. Пинегин С.В., Поспелов Г.А., Пешти Ю.В. Опоры с газовой смазкой в турбомашинах ограниченной мощности. М.: Наука. 1977. 150 с.

51. Пинегин С.В., Орлов А.В., Табачников Ю.Б. Прецизионные опоры качения и опоры с газовой смазкой. М.: Машиностроение. 1984. 216 с.

52. Подшипники с газовой смазкой/Под ред. Грессема КС. и Пауэлла Дж. У. М.: Мир. 1966.424 с.

53. ПрандтлъЛ. Гидроаэромеханика. М.: ИЛ. С. 1949. 520 с.

54. Проблемы развития газовой смазки. Доклады на Всесоюзном координационном совещании. ч.1. М.: Наука. 1972. 300 с.

55. Проблемы развития газовой смазки. Доклады на Всесоюзном координационном совещании. ч.2. М.: Наука. 1972. 285 с.

56. Редди, Чу. О решении стационарных задач теории сжимаемой смазки методом конечных элементов. // Проблемы трения и смазки. 1970. №3. С. 124-132.

57. Роу. Исследование методов повышения износостойкости керамических материалов для газовых подшипников. // Проблемы треция и смазки. 1968. №4. С. 192-205.

58. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

59. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. 656 с.

60. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976. 350 с.

61. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнении. М.: Наука. 1978. 592 с.

62. Сергеев С.И. Демпфирование механических колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 408 с.

63. Сергеев С. И. Динамика криогенных турбомашин с подшипниками скольжения. М.: Машиностроение. 1973. 304 с.

64. Серени, Кастелли. Численное решение уравнения Рейнольдса с граничными условиями проскальзывания при высоких значениях параметра подшипника. // Проблемы трения и смазки. 1979. №1 С. 66-68.

65. Синг, Маланосш. Влияние средней длины свободного пробега молекул на характеристики упорных подшипников со спиральными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 77-87.

66. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат. 1955. 520 с.

67. Слезкин Н.А. Лекции по гидромеханике. М.: Изд. МГУ. 1984. 225 с.

68. Слезкин Н.А. Уравнения Рейнольдса для течения газовой смазки с учетом скольжения первого и второго порядка. // Вестник Московского университета. Математика, механика. 1981. №6. С. 95-99.

69. Смоллей. Статические и динамические характеристики газового радиально-упорного подшипника со спиральными канавками при движении шипа в осевом направлении. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 114-123.

70. Смоллей. Теория узких канавок для газовых подшипников со спиральными канавками. Разработка и применение обобщенного метода численного решения. // Проблемы трения и смазки. 1972. №1. С. 83-90.

71. Стром, Людвиг, Аллен, Джонсон. Торцевые уплотнения со спиральными канавками; сравнение с обычными торцевыми контактными уплотнениями, работающими в жидком натрии при температуре 200-540°С. // Проблемы трения и смазки. 1968. №2. С. 167-184.

72. Табачников Ю.Б. Плоские аэростатические опоры металлорежущих станков и приборов. М.: НИИМАШ. 1973. 76 с.

73. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.: Л.: ГТТИ. 1951.420 с.

74. Тиней Н., Константинеску В., Ника А., Бице О. Подшипники скольжения. Расчет, проектирование, смазка. Бухарест. Изд-во Румынской Академии наук, 1964. 457 с.

75. Уилдмен. О поведении плоских упорных подшипников с канавками, работающих на сжимаемой смазке. // Проблемы трения и смазки. 1968. №4. С. 237-243.

76. Уочмен, Маланоски, Воор. Тепловые деформации упорных газодинамических подшипников со спиральными канавками. // Проблемы трения и смазки. 1971. №1. С. 101-111.

77. Фужер. Состояние работ в области расчета самогенерирующихся подшипников с газовой смазкой. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1. С. 1-19.

78. Хейерман. Эрозия поверхности как причина отказов газовых подшипников. Н Проблемы трения и смазки. 1974. №2. С. 1-5.

79. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука. 1972. 400 с.

80. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир. 1975. 534 с.

81. Ченг, Пэн. Анализ устойчивости простых самогенерирующих цилиндрических радиальных газовых подшипников конечной длины методом Галеркина. // Теоретические основы инженерных расчетов. 1965. №1. С. 225234.

82. Ченг, Чоу, Кастелли. Рабочие характеристики высокоскоростных бесконтактных газовых уплотнений, профилированных спиральными канавками и скрытой ступенью Рэлея. // Проблемы трения и смазки. 1969. №1.С. 67-76.

83. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. 1978. 495 с.

84. Чжоу, Воор. Радиальный подшипник со спиральными канавками, работающий в турбулентном режиме. // Проблемы трения и смазки. 1970. №2. С. 171-184.

85. Шейнберг С.А., Жедъ В.П., Шишеев М.Д. Опоры скольжения с газовой смазкой. М.: Машиностроение. 1969. 336 с.

86. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука. 1965. 217 с.

87. Шихватов A.M. Устойчивость газодинамических упорных подшипников со спиральными канавками. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. Ч. С. 47-54.

88. Beardmore G. "Ion-machining" a technique for cutting pumping grooves in gas bearings components. I I Gas Bearing Symposium. University of Southampton. 1971. vol. 1. 14 p.

89. Burgdotfer A. The influence of the molecular mean free path on the performance of hydrodynamic gas lubricated bearings. // Trans. ASME. ser. D.J. Basic Engineering. 1959. vol. 80. 4. P. 94-100.

90. Design of Gas Bearings. // Mechanical Technology Incorporated. N.Y. 1969. vols. 1 and 2.

91. Elrod H.G. Improved narrow-groove theory for air bearings. // Gas Bearing Symposium. Columbia University. July 1976. 22 p.

92. Fleming D.P., Hamrock B.I. Optimization of self-acting herringbone journal bearings for maximum stability. // Gas Bearing Symposium. University of Southampton. March 1974. 12 p.

93. Ford G.W.K., Harris D.M., Pantall D. Principles and Applications of Hydrodynamic-Typs Gas Bearings. 11 Proceedings of The Institution of Mechanical Engineers, vol. 171. l2. 1957. P. 93.

94. Hamrock B.I., Fleming D.P. Optimization of self-acting herringbone grooved journal bearings for maximum radial load capacity. // Gas Bearing Symposium. University of Southampton. 1971. vol. 1. 17 p.

95. James D.D., Potter A.F. Numerical analysis of the gas-lubricated spiral-groove thrust bearing compressor. // J. of Lubrication Technology. Oct. 1967. P. 439-444.

96. Kaneko R., Mitsuya Y., Oguchi S. High speed magnetic storage drums with grooved hydrodynamic gas bearings. // Gas Bearing Symposium. University of Southampton. March 1974. 19 p.

97. Malanoski S.B. Gas-lubricated spiral-grooved spherical bearing. // Technical Report, MTI-64TR4, Contract Nobs 78136 (FBM), MIT-IL, Sub-contract 465, Mechanical Technology Incorporated. Latham. N.Y.

98. Malanoski S.B. Experimenta on an ultrastable gas journal bearing. // Journal of Lubrication Technology. October 1567. vol. 89. 4. P. 433-438.

99. Muyderman E.A. Analysis and design of spiral-groove bearings. // Journal of Lubrication Technology. July 1567. vol. 88. :3. P. 291-306.

100. Patterson A.J. Gas lubrication applied to gyros, instrument practice. April 1962.

101. Raimondi A.A. A numerical solution for the gas-lubricated full journal bearing of finite length. // Trans. ASME. 1961. vol.4. P. 131-155.

102. Rothe H.C. Air bearings for guidance component of ballistic missiles and their production aspects. // First Int. Symposium on Gas-Lubricated Bearings. Washington, D.C. October 1959. P. 346-360.

103. Steranka P. Theoretical-experimental correlation in the 16 PIGA gas spin bearings. // M.I.T. Instrumentation Laboratory Rept. E-2132. 1967.

104. Vohr J.H., Pan C.H.T. Design data: gas-lubricated spin-axis bearings for gyroscopes. / MTI Report 1 MTI-68TR29.

105. Vohr J.H., Pan C.H.T. On the spiral-grooved, self-acting gas bearing. / M.T.I. Rept. 1 63TR52, prepared under Contract1 NB-3730(00). Task NR 061-131. Office of Naval Research, January 1964.

106. Whipple R. T.P. Herringbone pattern thrust bearings. / AERE. T/M 29. 1949.

107. Whipple R,T.P. Theory of spiral grooved thrust bearing with liquid or gas lubricant. / Atomic Energy Research Establishment, Harwell, Berkshire. 1951. T/R 622.

108. Whipple R.T.P. The inclined groove bearing. / AERE Rept. T/R 622 (Revised), United Kingdom Atomic Energy Authority Res. Group, Atomic Energy Establishment, Harwell, Berkshire, 1958.

109. Whitley S. Review of research of gas bearings in the United Kingdom Atomic Energy Authority. First Int. Symposium on Gas-Lubricated Bearings. Washington, D.C. October 1959. 41 p.

110. Whitley S., Williams L.J. The gas-lubricated spiral-groove thrust bearing. / United Kingdom Atomic Energy Authority I.G. Rept. 28 (RD/CA); Industrial Group Headquarters, War-rington, Lancashire, England. 1959. P. 1-32.

111. Wildmann M. Grooved plate gas-lubricated thrust bearings with special reference to the spiral groove bearing. I IASMN-ASLE International Lubrication Conference, Washington, D.C. 1964. Paper 1 64-Lub. 25.

112. Yemelyanov A.V., Yemelyanov I.A. Physical models, theory and fundamental improvement to self-acting spiral-grooved gas bearings and visco-seals. // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part J. 1999. V. 213. !4. P. 263-273.

113. Giimbel I.L., Everling E. Reinburg und Schmierung im Mashinenbau. Berlin, Germany, Kraun Verlag. 1925.1. ПРИЛОЖЕНИИЕ 1

114. Таблицы оптимальных параметров и безразмерных интегральных характеристик газодинамических подшипников со спиральными канавками

115. Программы расчета и оптимизации плоских газодинамических подшипников со спиральными канавкамиprogram Project 1; uses Forms,

116. Unitl in 'Unitl .pas' {Forml}; {$R *.res} begin Application.Initialize; Application.CreateForm(TForml, Forml); Application.Run; end.unit Unitl;interfaceuses

117. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,1. Buttons, ExtCtrls;const1. Q=0; {расход газа}

118. Public declarations } end; var

119. Forml: TForml; n:integer; myf:text; implementation {$R *.DFM}

120. Fl:=2*k*LL*c*v*v*L2*(x2-ka*x4+ka*ka*x6)*r/w;

121. F2:=2*b/(u*u*u*w*r*P); F3:=F1-F2*Q; F:=F3;end;

122. Вычисление подъемной силы }function TForml .FS(cO,psi,ka,rl ,z,LL0,mm,P0:extended; n:integer):extended; var p:mas; j'.integer; h,r,fl: extended; begindav(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,n,p); h:=(l-rl)/M; r:=l; F1:=0; j:=l; while j<=(M-l) do begin

123. M0:=LL0/3»PM+l.*rl*rl*rl*rl/4/(u*P[M+l]+2*aal*mm); M1:=0; h:=(l-rl)/M; r:=l; j:=l; while j<=(M-l) do begin

124. Ml:=Ml+psi0(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r,Pj.,n)*r*r*r+ 4*psi0(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-h,P[j+l],n)*(r-h)*(r-h)*(r-h)+ psi0(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-2*h,P[j+2],n)*(r-2*h)*(r-2*h)*(r-2*h); r:=r-2*h;j:=j+2; end;

125. Ml:=Ml*h/3*LL0/3/u; M12:=M0+M1; M2:=0; r:=l; j:=l; while j<=(M-l) do begin

126. M2:=M2+Q2(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r,Pj.,n)*r*r*r+4*Q2(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-h,Pj+l.,n)*(r-h)*(r-h)*(r-h)+

127. Q2(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-2*h,Pj+2.,n)*(r-2*h)*(r-2*h)*(r-2*h);r.=r-2*h;j:=j+2;end;

128. M2:=M2*h/3*ka*c/2*LL0/u*c*v*sin(psi)/cos(psi); M3:=0; j:=l; r:=l; while j<=M-l dobegin4*Ql(c0,psiMrl,z,U0,mm,P0,r-h,Pj+l.^)*F(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-h,P[j+l],n)*(r-h)*(r-h)+

129. Ql(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-2*h,Pj+2.,n)*F(c0,psi,ka,rl,z,110,mm,P0,r-2*h,P[j+2],n)*(r-2*h)*(r-2*h); r:=r-2*h; j:=j+2; end;

130. M3 :=M3 *h/3 *ka *c/2 *u/2/v*sin(psi)/cos(psi);1. MR:=MO+M 1+M2+M3;end;

131. Программа для расчета давления в смазочном слое и интегральных характеристик спирального газодинамического подшипника со сходящимся потоком газаprogram Project 1; uses Forms,

132. Unitl in 'Unitl.pas1 {Forml}; {$R *.res} begin Application. Initialize; Application. CreateForm(TForm 1, Form 1); Application.Run; end.unit Unitl;interfaceuses

133. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

134. Buttons, ExtCtrls, ActnList;const

135. Public declarations } end; var

136. Forml: TForml; n: integer; myf,myfl:text; implementation {$R *.DFM}

137. Правая часть уравнения для активной зоны } function

138. Вычисление подъемной силы}fimction TForml.FS(c0,psi,ka,rl,r2,z,LL0,mm,P0:extended; n:integer):extended; var pl,p2:mas; jjj: integer;

139. Fl:=Fl+Plj.*r+4*Pl[j+l]*(r-h)+Pl[j+2]*(r-2*h); r:=r-2*h;j:=j+2; end;1. Fl:=h/3*2*F1;dav22(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,P0,n,p2); h:=(rl-r2)/m; r:=r2; F2:=0; j:=l; while j<=(M-l) do begin

140. F2 :=F2+P2j . *r+4 *P2 [j+1 ] *(r+h)+P2 [j+2] *(r+2 *h); r:=r+2*h; j:=j+2; end;

141. M0:=M0+(P2j.*r*r*r)/(u*P2[j]+2*aal*mm)+4*(P2j+l.*(r+h)*(r+h)*(r+h))/(u*P2[j+l]+2*aal*mm)+

142. P2j+2.*(r+2*h)*(r+2*h)*(r+2*h))/(u*P2[j+2]+2*aal*mm);r:=r+2*h;j:=j+2; end;

143. M0:=M0*h/3*LL0/3; M1:=0; h:=(l-rl)/M; r:=l; j:=l; while j<=(M-l) do begin

144. Ml :=Ml+psiO(cO,psi,ka,rl ,r2,z,110,mm,P0,r,Pl j.,n)*r*r*r+4*psi0(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,P0,r-h,Plj+l.,n)*(r-h),,t(r-h)*(r-h)+р8Ю(с0,р8А,ка,г1,г2,гД10,тт,Р0,г-2*Ь,Р1|.+2],п)*(г-2*Ь)*(г-2*Ь)*(г-2*Ь);r:=r-2*h; j:=j+2;end;

145. Ml:=Ml*h/3*LL0/3/u; M2:=0; r~l; j:=l; while j<=(M-l) do begin

146. M2 :=M2+Q2(cO,psi,ka,r 1 ,r2,z,110,mm,P0,r,Pl j.,n)*r*r*r+4*Q2(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,P0,r-h,Plj+l.,n)*(r-h)*(r-h)*(r-h)+

147. Q2(c0,psiM,rl,r2,z410,mm,P0,r-2*h,Plj+2.,n)*(r-2*h)*(r-2*h)*(r-2*h);r:=r-2*h; j:=j+2;end;

148. M2:=M2*h/3*ka*c/2*LL0/u*c*v*sin(psi)/cos(psi); M3:=0; j:=l; r:=l; while j<=M-l do begin

149. M3 :=M3+Q1 (cO,psi,ka,rl ,r2,z,110,mm,P0,r,P 1 j.,n)*F 11 (c0,psi,ka,rl ,r2,z,110,mm,P0,r ,Pl[j],Pl[M+l],n)*r*r+4*Ql(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,P0,r-h,Plj+l.,n)*Fl l(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,P0,r-h,Pl[j+l],Pl[M+l],n)*(r-h)*(r-h)+

150. Q1 (cO,psi,ka,rl ,r2,z,U0,mm,P0,r-2*h,Pl j+2.,n)*Fl l(c0,psi,ka,rl ,r2,z,U0,mm,P0,r-2*h,Pl [j+2],Pl [M+l],n)*(r-2*h)*(r-2*h); r:=r-2*h; j:=j+2; end;

151. M3:=M3*h/3*ka*c/2*u/2/v*sm(psi)/cos(psi);1. MR:=M0+M1 +M2+M3;end;

152. F0:=F1; c00:=c;p00:=p;k00:=k; r00:=r;while flag dobegin

153. F0:=F1; c00:=c;p00:=p;k00:=k; r00:=r;while flag dobegin

154. Unitl in TJnitl.pas' {Forml}; {$R *.res} begin Application.Initialize; Application.CreateForm(TForml, Forml); Application.Run; end.unit Unitl;interfaceuses

155. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

156. Buttons, ExtCtrls, ActnList;const

157. Public declarations } end; var

158. Forml: TForml; n:integer; myf,myfl :text; implementation$R *.DFM}

159. Fl:=Fl+Plj.*r+4*Pl[j+l]*(r+h)+Pl[j+2]*(r+2*h); r:=r+2*h; j:=j+2; end;1. Fl:=h/3*2*F1;dav22(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,n,p2); h:=(l-rl)/M; r:=l; F2:=0; j:=l; while j<=(M-l) do begin

160. F2:=F2+P2j.*r+4*P2[j+l]*(r-h)+P2[j+2]*(r-2*h); r:=r-2*h; j:=j+2; end;

161. M0:=M0+(P2j.*r*r*r)/(u*P2[j]+2*aal*mm)+ 4*(P2[j+l]*(r-h)*(r-h)*(r-h))/(u*P2[j+l]+2*aal*mm)+ (P2[j+2]*(r-2*h)*(r-2*h)*(r-2*h))/(u*P2[j+2]+2*aal *mm); r:=r-2*h; j:=j+2; end;1. M0:=M0*h/3*LL0/3;

162. Ml:=0; h:=(rl-r2)/M; r:=r2; j:=l;while j<=(M-l) dobegin

163. Ml :=Ml+psi0(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,r,Pl j.,n)*r*r*r+4*psi0(c0,psi,ka,rl,r2,z,U0,mm,r+h,Pl|j+l.,n)*(r+h)*(r+h)*(r+h)+psi0(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,r+2*h,Plj+2.,n)*(r+2*h)*(r+2*h)*(r+2*h);r:=r+2*h;j:=j+2; end;

164. Ml:=Ml*h/3*LL0/3/u; M2:=0; r:=r2; j:=l; while j<=(M-l) do begin

165. M2:=M2+Q2(c0,psi,ka,rl,r2,z,110,mm,r,Plj.,n)*r*r*r+4*Q2(c0,psi,ka,rl,r2,zJ10>mm,r+h>Plj+l.,n)*(r+h)*(r+h)*(r+h)+

166. Q2(c0,psi5ka,rl,r2,z,110,mm,r+2*h,Plj+2.,n)*(r+2*h)*(r+2*h)*(r+2*h);r:=r+2*h;j:=j+2;end;

167. M2:=M2*h/3 *ka*c/2*LL0/u*c*v*sin(psi)/cos(psi); M3:=0; j:=l; r:=r2; while j<=M-l do begin

168. M3:=M3+Ql(c0,psiMrl,r2,zJ10,mm,r,PlIJ.,n)*Fll(c0,psiMrl,r2,z,110,mm,r,Plj], Pl[M+l],n)*r*r+4 *Q 1 (cO ,psi,ka,r 1 ,r2,z,110,mm,r+h,P 1 j+1 .,n)*F 11 (cO,psi,ka,r 1 ,r2,z,I10,mm,r+h,Pl [j+ 1],P1 [M+l ],n)*(r+h)*(r-t-h)+

169. Ql(c0,psi,ka,rl,r2,zJ10,mm,r+2*h,PlD+2.,n)*Fll(c0,psiMrl,r2,z,110,mm,r+2*h,Plt j+2],PlM+l],n)*(r+2*h)*(r+2*h); r:=r+2*h; j:=j+2; end;

170. M3 :=M3 *h/3 *ka*c/2 *u/2/v*sin(psi)/cos(psi);1. MR-M0+M1+M2+M3;end;

171. Оптимизация по подъемной силе по 5 параметрам } procedure TForml.Optl(z,LL0,mm:extended; n:integer;var optc,optp,optk,optrl,optr2:extended); const ne=7;e:arrayl.ne. of extended =(0.1,0.03,0.01,0.003,0.001,0.0003,0.0001);var

172. F0:=F1; c00:=c; p00:=p; k00:=k; rl00:=rl; r200:=r2;while flag dobegin

173. F0:=F1; c00:=c;p00:=p;k00:=k; r00:=r;while flag dobegin

174. Оптимизация no 5 параметрам по жесткости} procedure TForml .OptlGest(z,LLO,mm:extended; n:integer;var optc,optp,optk,optr 1 ,optr2 extended); const ne=7;e:arrayl.ne. of extended =(0.1,0.03,0.01,0.003,0.001,0.0003,0.0001);var

175. F0:=F1; c00:=c; p00:=p; k00:=k; rl00:=rl; r200:=r2;while flag dobegin

176. F0:=F1; c00:=c; p00:=p; k00:=k; rl00:=rl; г200:=г2;flag:=true;endelse flag:=false;end; end;procedure TForml.SpeedButton2Click(Sender: TObject);begin1. Files;end;end.end.