автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование резонансных эффектов в двумерных квантовых волноводах

на правах рукописи

ии^4Ь3040

ТРИФАНОВА Екатерина Станиславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЭФФЕКТОВ В ДВУМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДАХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

• О ч

\

Санкт-Петербург - 2008 4

003459040

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и

оптики»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Попов Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Ульянов Сергей Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Яревский Евгений Александрович

Ведущая организация:

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Защита состоится «<??» 2009 г. в /6 °° час. на заседании

диссертационного совета Д 212.229.13 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, г.Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, ауд. 41, 1-й учебный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан « /3 »

2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

Б.С. Григорьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Стремительное развитие наноэлектроники требует математического описания различных наноструктур и эффектов, происходящих в них. Одним из примеров таких структур являются квантовые волноводы. Если несколько волноводов соединены слабой связью, то в таких структурах возникают резонансные эффекты, сильно влияющие на поведшие баллистического электрона. В то же время, эти эффекты могут быть использованы для создания наноэлектрониых устройств, что дает сильный толчок к изучению подобных систем.

Целью исследования является описание транспортных свойств электрона в системе слабо связанных двумерных волноводов и разработка способов использования подобных систем в качестве одноэлектронных устройств и элементов квантового компьютера.

Объектом исследования является стационарное уравнение Шредингера для свободного электрона в двумерных полосах, связанных через малые отверстия, при граничных условиях Неймана.

Методологическая и теоретическая основа работы - исследования и разработки отечественных (A.A. Арсеньев, P.P. Гадылыпин, А.М.Ильин и др.) и зарубежных (Exner Р., Krejcirik D., Kriz J., Grimberg P., etc.) авторов по данной тематике.

Основные результаты, выносимые на защиту:

■ теорема существования резонанса (квазисобственного числа оператора Лапласа) в системе плоских волноводов, соединенных через малое отверстие, при граничных условиях Неймана;

■ два первых члена асимптотического разложения резонанса, близкого ко второму порогу непрерывного спектра;

• обоснование полученного асимптотического разложения резонанса;

■ асимптотика решения задачи рассеяния в системе связанных волноводов;

" два первых члена асимптотического разложения резонанса для системы связанных искривленных волноводов при смешанных граничных условиях Дирихле - Неймана;

■ функция Грина для двух невзаимодействующих частиц в волноводе;

■ оценка сдвига резонанса под влиянием поперечного электрического поля в системе связанных волноводов;

■ способ реализации элементной базы квантового компьютера на основе рассмотренных структур.

Научная новизна исследования - результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Обоснованность и достоверность результатов. Результаты работы не противоречат результатам, полученным для аналогичных систем другими авторами (P.Exner, P.Duclos, D.Krejcirik, J.Kriz). Результаты были представлены на международных и российских конференциях и опубликованы в ведущих научных журналах.

Практическая значимость. Полученные в работе теоретические результаты могут быть использованы при проектировании новых наноэлектронных устройств, в том числе, элементов квантового компьютера.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на ряде конференций, в том числе: The Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modeling", (St.-Petersburg, 2003); Int. seminar "Days on Diffraction", (St.-Petersburg, 2003, 2005,2006); Fourth European Congress of Mathematics, (Stockholm, 2004); QPC2005 (Dubna, 2005); Политехнический симпозиум: Молодые ученые - промышленности Северо-Западного региона, (СПб, 2005); EFMC6 КТН (Euromech Fluid Mechanics Conference 6) (Stockholm, 2006); International School "Few-Body Problem in Physics" (Dubna, 2006); ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics (St.-Petersburg, 2006); «Индустрия наносистем и материалы» (Зеленоград, 2006).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 опубликованных статьях, в том числе, 5 из Перечня ВАК («Теоретическая и математическая физика», «Physica Е», «Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО» (2), «Письма в ЭЧАЯ»), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 106 страницах машинописного текста. Содержит 7 глав, в том числе введение и заключение, 17 рисунков, список литературы, содержащий 111 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации (введение) приводятся необходимые сведения о транспортных свойствах электрона в тонких слоях, резонансной теории рассеяния, методе согласования асимптотических разложений и элементной базе квантового компьютера Также дан обзор предшествующих результатов в этой области и сформулирована основная цель и задачи диссертационной работы. Дано определение резонанса (квазисобственного числа) как полюса аналитического продолжения матрицы рассеяния в нижнюю

полуплоскость спектрального параметра к (к2 = Л).

Вторая глава посвящена системе плоских (двумерных) квантовых волноводов, связанных через малые отверстия, при граничном условии Неймана.

Рассматривается система двух плоских волноводов П шириной е{+ и <1_ (с1+ соответственно, соединенных конечным числом отверстий с

центрами в точках. (х?,0), д = 1 диаметры которых равны 2ад=2ашд (а -

малый параметр), при граничном условии Неймана. Поведение электрона в системе описывается следующей краевой задачей:

дп

= 0, (1)

ао

где ц/ - волновая функция электрона, п - нормаль к поверхности границы Ш, к - волновое число электрона.

Доказана

Теорема 1. Оператор Лапласа с граничными условиями Неймана для двумерных полос П+ связанных через малое отверстие, имеет резонанс

(квазисобственное число), близкий к нижней границе л2с!^1 ветви непрерывного спектра.

Доказательство теоремы основано на рассмотрении нижнего волновода как предела при п —> со последовательности расширяющихся ограниченных областей Ц, = Ц, \ {(х,у) е > п} (резонатор шириной и длиной 2л), Оп с£>„+], для которых ранее было доказано существование резонанса. Требуемый результат получается с помощью предельного перехода.

Основным результатом главы 2 является построение и обоснование асимптотического разложения резонанса, близкого к порогу я2(1+2. А именно, методом согласования асимптотических разложений получены первый и второй члены асимптотического разложения функции резонанса:

Га = ,

Iя 7,2

- к] = г, ¡гГ1 (я/о'_)+г21а'2 (а/сг_)+о(1п-2 (аЩ)

(2)

Асимптотическое разложение квазисобственной функции у/а(х) ищутся в

виде:

±Га^ачС±(х,(х\0),ка) + ..„ ?=1

(3)

где Б1 - круг радиуса I с центром в середине г'-го отверстия. Согласование в

областях: ^ОЛБ^пЗ'^, производится с помощью

выбора функций \^{х1а), \[{х!а). В итоге значения искомых коэффициентов для случая с/+ > с!_ таковы:

яп Ъ1

г2 - одно из собственных чисел матрицы М = {//, ? | :

л2п

+( I Л

8 Iх'Т

*

ч

¿V

жгп

СГ(х',хя,к) + С*(х?,хв,к)--—

Х ' К ' ¿Ли

где {х', п / й+ ^ - регулярная часть функции Грина в соответствующей точке в верхнем (+) или нижнем (-) волноводе.

Дано обоснование асимптотического разложения (2), а именно, доказана

Теорема 2. Остаточный чпен в асимптотическом разложении резонанса (2) имеет порядок о(\п~2 (а!с1_^.

Доказательство проводится для одного соединяющего отверстия (что легко обобщается на случаи конечного числа отверстий) и основано на представлениях для квазисобственной функции и резонанса как возмущений найденных

значений: Уа=Ч'а+(ра, к1=к1 + т1- ТогЛа уравнение для <ра, т]

(остаточный член) примет вид:

(Д + к1 + т1) 4>а + »'а V а = а~ а' (4)

Доказательство теоремы 2 получается с помощью оценивания левой и правой частей равенства (4).

В последнем параграфе второй главы исследованы волноводы, соединённые периодической системой отверстий. Для такой структуры оператор представлен в виде разложения (расслоения) в прямой интеграл по квазиимпульсу 0. Получены оценки резонансной зоны, которые находятся с помощью изменения квазиимпульса (#е(-л\£/2; ^¿/2), где £ - расстояние между отверстиями), из асимптотического разложения резонанса для оператора в слое. Доказана

Теорема 3. Асимптотическое разложение квазисобственного числа ка оператора в заданном слое (при фиксированном значении в) для системы периодически соединенных волноводов (отверстия расположены с периодом Ь) имеет вид.

г

С помощью численных расчетов построены и проанализированы графики вещественной и мнимой части коэффициента в разложении (5) в зависимости от расстояния Ь между отверстиями.

В третьей главе диссертации исследуется задача рассеяния плоской волны в системах волноводов, соединенных конечным числом отверстий. Пусть количество отверстий равно п, их диаметры равны 1ац = 2аюч (а - малый параметр). Для нахождения коэффициентов прохождения считается, что частота

Рис.1 Зависимость коэффициента прохождения от расстояния между отверстиями в случае двух окон. Спектральный параметр близок к резонансу, в качестве единицы длины для Ь выбрана ширина волновода Л

приходящей волны к близка к резонансной и отличие от резонанса задается отличием от г2 коэффициента с в представлении:

я ,Л

~к2 = Ту 1п-1(д/<5?_) + с1п~2 (я/с?_) + (а/с!_)У (6)

Доказана теорема, которую для краткости запишем лишь для случая

Теорема 4. Коэффициент прохождения плоской волны е ,кх в системе волноводов, связанных через п отверстий с координатами хч с граничными условиями Неймана имеет вид:

Т =

(7)

где коэффициенты а. находятся из следующей системы

ч*}

-1--г

а! т2 4

= е

-На4

где

я 71

х —

V Ч.

г \ а 71 X1 -

V Чу

С+( 0,(,х\0),к)-

V

■^я2 - к1

где - регулярная часть функции Грина в соответствующей точке

в верхнем (+) или нижнем (-) волноводе.

л

Рис. 2 Мнимая часть квазисобственного значения как функции от расстояния Ь между отверстиями

Был проведен анализ полученного коэффициента прохождения для случая одного и двух соединяющих отверстий. Для двух отверстий построен и проанализирован график коэффициента прохождения как функции расстояния между отверстиями (рис.1). Величина пиков коэффициента прохождения зависит от мнимой части соответствующего квазисобственного значения (ка), которое, в свою очередь, зависит от расстояния между отверстиями Ь. На рисунке 2 показана зависимость мнимой части квазисобственного значения от /,.

Четвертая глава посвящена исследованию системы связанных изогнутых волноводов. В такой системе возникают как связанные состояния (или резонансы), порожденные кривизной, так и резонансы, вызванные соединяющим отверстием.

Рассматривается система искривленных волноводов, связанных отверстием диаметром 2а с условиями Неймана на границах, содержащих

отверстие, и условиями Дирихле на других границах. Методом согласования асимптотических разложений доказана

Теорема 5. Асимптотическое разложение резонанса, близкого к порогу , появление которого вызвано наличием соединяющего отверстия имеет

вид

VV^J = г, In'1 (a/d.)+ r2 In-2 (a/d.) + o(ln'2 (afd.j), (8)

где у/ - собственная функция по поперечной координате в верхнем волноводе. Для коэффициента г, получены оценки:

л( ■> л г ^

яа4

~1?

гт + Л

.ndl( к2

(9)

4(1 + ^)

Аналогичный результат получен для связанного состояния, порожденного кривизной.

Пятая глава посвящена двум моделям для двухчастичных задач. Эти задачи важны для описания двухкубитовых квантовых операций. Первая задача - получение функции Грина для двух невзаимодействующих частиц в плоском волноводе с граничными условиями Неймана.

Рассмотрим задачу более подробно. Пусть Xt =(х1,у1) и X1~{x1,y1) -координаты первой и второй частиц соответственно, 0<yx2<d, z - полная энергия системы(1тг = const > 0). Тогда функция Грина двухчастичной задачи может быть получена в виде свертки двух функций Грина для каждой частицы:

G(XbX2,X[,X'2,z) = ~\g{Xl,X'1,g)g{X2,X2,z-g)dg, 2т JL

(10)

где Ь - контур вокруг спектра соответствующего оператора (спектр лежит на неотрицательной части вещественной оси), g(Xl2,X[-,,g) - функции Грина

одного электрона в волноводе с энергией д и граничными условиями Неймана. Доказана

Теорема 6. Функция Грина для двух невзаимодействующих частиц в плоском волноводе с граничными условиями Неймана имеет вид:

суммирование ведется по всем возможным комбинациям знаков выражения

Также получен главный член асимптотического разложения функции Грина (11) при Л-»0, |д2 ~ у[а\

Вторая задача главы - изучение взаимного влияния двух заряженных часгиц в приближении среднего поля. А именно, рассматривается поведение электрона в волноводах под действием среднего поля Е, создаваемого другим электроном. Получено асимптотическое разложение соответствующего резонанса. Основной результат изложен в теореме

Теорема 7. Асимптотическое разложение квазисобственного числа близкого к порогу Л^, для системы волноводов, связанных отверстием диаметром 2а, находящихся в поперечном электрическом поле напряженностью Е имеет вид:

и внутреннее

(П)

|(я+(0) + я'(0)) + 1п2 ,

где ///, - первая собственная функция по поперечной координате.

Для оценки влияния электрического поля на сдвиг резонанса, получена асимптотика для коэффициента г, в формуле (12):

к 385 £2с/+2

Для системы в поперечном электрическом поле были проведены численные расчеты. Моделировалось прохождение через два связанных конечных волновода с условиями Дирихле на продольных границах волнового пакета. Пакет генерировался заданием периодических по времени граничных условий на левой стенке верхнего волновода. Применялся метод разностных схем. Была использована трехслойная явная разностная схема на пятиточечном шаблоне «крест». На рисунках 3 - 5 показано распределение квадрата модуля волновой функции электрона в волноводах при наличии электрического поля и при его отсутствии.

Рис. 3 Распределение квадрата модуля волновой функции электрона в системе при наличии электрического поля, направленного вверх

Рис. 4 Распределение квадрата модуля волновой функции электрона в системе без электрического поля

Шшшт^

Рис. 5 Распределение квадрата модуля волновой функции электрона в системе при наличии электрического поля, направленного вниз

В шестой главе исследуется возможность реализации квантовых вычислений на элементной базе плоских слабосвязапных наноструктур. Предлагаются две интерпретации кубита: «волноводиая» и «спиновая». В «волноводной» интерпретации два связанных волновода выступают в роли кубита, при этом его базисные состояния определяются наличием электрона в верхнем или, соответственно, в нижнем волноводе. При «спиновой» интерпретации кубит задастся с помощью выделенных состояний спина движущейся частицы.

В последней главе (заключение) подведены итоги работы и сделаны выводы.

Публикации по материалам диссертационной работы

1. Попов, И.Ю. Электрон в многослойной магнитной структуре: асимптотика резонанса [Текст] / И.Ю.Попов, Е.С. Тесовская (Трифанова)// Теоретическая и математическая физика. - 2006. - № 146 (3). - С. 429 - 442.

2. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer [Текст] /L.V. Gortinskaya [и др.]. - Письма в ЭЧАЯ. - 2007. - № 4. - №2 (138).-С. 237-243.

3. Electronic transport in the multilayers with very thin magnetic layers [Текст] /L.V. Gortinskaya [и др.]. - Physica E. - 2007. - № 36. - P. 12-16.

4. Гортинская, Л.В., Асимптотики резонансов для двумерных волноводов, соединенных малыми отверстиями, при граничном условии Неймана [Текст] / Л.В.Гортинская, И.Ю.Попов, Е.С. Тесовская (Трифанова) // Научно-технический вестник СПбГИ'ГМО (ТУ). - 2003. - № 9. - С. 22 - 28.

5. Гортинская, JI.B., Асимптотический подход в исследовании свойств слабо связанных квантовых волноводов [Текст] /Л.В.Гортинская, И.Ю.Попов, Е.С. Тесовская (Трифанова) // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. -2004.-№16.-С. 211-216.

6. Popov, I.Yu. Resonances for coupled planar waveguides: asymptotic expansions [Текст] /1. Yu. Popov, E.S.Tesovskaya (Trifanova) // Proceedings of The Fourth Int. Conf. "Tools for mathematical modeling". - St.-Petersburg, 2003 - P. 356 -358.

7. Gortinskaya, L.V. Laterally coupled waveguides with Neumann boundary condition; formal asymptotic expansions [Текст] / L.V. Gortinskaya, I. Yu. Popov, E.S. Tesovskaya (Trifanova) // Proceedings of Int. sem. "Days on Diffraction". - St.-Petersburg, 2003. - P. 52 - 59.

8. Гортинская, JI.B. Плоские волноводы, связанные через малые отверстия: резонансные эффекты [Текст] / JI.B. Гортинская, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская (Трифанова) // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: межвузовский сборник научных трудов. - Саранск, 2004. - С. 135-145.

9. Gortinskaya, L.V. Spectral asymptotics for layered magnetic structures [Текст] / L.V. Gortinskaya, I. Yu. Popov, E.S. Tesovskaya (Trifanova) // Proceedings of Int. sem. "Days on Diffraction". - St.-Petersburg, 2005. - P. 116 -123.

10. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System [Текст] / M.I.Gavrilov [и др.] - Proceedings of the "ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics". - St.-Petersburg, 2006. - P. 327 - 329.

11. Many particles problems for quantum layers [Текст] / L.V.Gortinskaya [и др.] - Proceedings of Int. sem. "Days on Diffraction". - St.-Petersburg, 2006. - P. 218 -225.

12. Тесовская (Трифанова), E.C. Спектральные свойства электрона в периодически соединенных волноводах [Текст] / Е.С.Тесовская (Трифанова) // Научно-Технический вестник СП6ГУИТМО.-2006. - Кг 26. - С. 77 - 80.

13. Левин, С.Б. Функция Грина двухчастичной задачи в волноводе [Текст] / С.Б. Левин, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская(Трифанова) // Научно-Технический вестник СПбГУИТМО. - 2006. - № 31. - С. 3-6.

14. Возможная реализация операций в элементах квантового компьютера на квантовых волноводах [Текст] / М.А. Гаврилов [и др.] - Научно-технический вестник СПбГУИТМО. - 2006. - № 30. - С. 71 - 75.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 объем I п.л. Тираж 100 экз.

Глава 1 Введение.

§ 1 Транспортные свойства электрона в наноструктурах.

§ 2 Теория рассеяния.

§ 3 Метод согласования асимптотических разложений.

§ 4 Элементная база квантового компьютера.

§ 5 Формулировка задачи и предшествующие результаты.

§ 6 Структура работы.

Глава 2 Плоские волноводы, связанные через отверстия: асимптотики резонанса.

§ 1 Теорема о существовании резонанса.

§ 2 Асимптотические разложения резонанса для случая конечного количества соединяющих отверстий.

§ 3 Обоснование асимптотических разложений.

§ 4 Периодическая система соединяющих отверстий.

Глава 3 Задача рассеяния в системе плоских связанных волноводов.

§1 Общий случай: п соединительных отверстий.

§ 2 Частные случаи.

Глава 4 Криволинейные волноводы.

§ 1 Влияние отверстия на связанное состояние, вызванное кривизной.

§ 2 Смещение резонанса, вызванного отверстием связи, при искривлении волновода.

Глава 5 Модели для двухчастичных задач.

§ 1 Функция Грина для двух частиц в волноводе.

§ 2 Связанные волноводы в поперечном электрическом поле.

Глава 6 Применение полученных результатов к моделированию элементов квантового компьютера.

§ 1 Возможные интерпретации кубитов.

§ 2 Операции,при «волноводной» интерпретации кубита.

§ 3 Операции при «спиновой» интерпретации кубита.

Актуальность работы. Стремительное развитие наноэлектроники требует математического описания различных наноструктур и эффектов, происходящих в них. Одним из примеров таких структур являются квантовые волноводы. Если несколько волноводов соединены слабой связью, то в таких структурах возникают резонансные эффекты, сильно влияющие на поведение баллистического электрона. В то же время, эти эффекты могут быть использованы для создания наноэлектронных устройств, что дает сильный толчок к изучению подобных систем.

Основные результаты, выносимые на защиту: теорема существования резонанса (квазисобственного числа оператора Лапласа) в системе плоских волноводов, соединенных через малое отверстие, при граничных условиях Неймана; два первых члена асимптотического разложения резонанса, близкого ко второму порогу непрерывного спектра; обоснование полученного асимптотического разложения резонанса; решение задачи рассеяния в системе связанных волноводов; два первых члена асимптотического разложения резонанса для системы связанных искривленных волноводов при смешанных граничных условиях Дирихле - Неймана; функция Грина для двух невзаимодействующих частиц в волноводе; оценка сдвига резонанса под влиянием поперечного электрического поля в системе связанных волноводов; способ реализации квантовых вычислений на базе рассматриваемых структур.

Обоснованность и достоверность результатов. Результаты работы не противоречат результатам, полученным для аналогичных систем другими авторами (P.Exner, P.DucIos, D.Krejcirik, J.Kriz). Результаты были представлены на международных и российских конференциях и опубликованы в ведущих научных журналах.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на ряде конференций, в том числе: The Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modeling", (St.-Petersburg, 2003); Int. seminar "Days on Diffraction", (St.-Petersburg, 2003, 2005, 2006); Fourth European Congress of Mathematics, (Stockholm, 2004); QPC2005 (Dubna, 2005); EFMC6 KTH (Euromech Fluid Mechanics Conference 6) (Stockholm, 2006); Политехнический симпозиум: Молодые ученые - промышленности СевероЗападного региона, (СПб, 2005); International School "Few-Body Problem in Physics" (Dubna, 2006); ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics (St.-Petersburg, 2006); «Индустрия наносистем и материалы» (Зеленоград, 2006).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено^ в 7 опубликованных статьях из Перечня ВАК [31, 58, 103, 84, 87, 89, 97], и 7 статьях в других изданиях [29, 30, 43, 47, 69, 88, 108].

Постановка задачи. В настоящей работе будут рассматриваться наноструктуры, представляющие собой параллельно расположенные квантовые волноводы для баллистических электронов (электронов, длина свободного пробега которых превышает характерные размеры структуры), связанные в определенных местах между собой через отверстия в границе разделения.

Физически это тонкие пленки очень чистого полупроводникового или металлического материала. Характерные физические свойства подобных структур - это их маленький размер, обычно от нескольких десятков до сотен нанометров, высокая чистота, то есть содержание примесей настолько мало, что длина свободного пробега электрона во много раз превышает поперечные размеры, то есть имеет порядок нескольких микрометров или даже больше, и кристаллическая структура.

Поведение электрона в подобной системе описывается уравнением Шредингера с влиянием атомов границы, внешних полей и примесей полупроводника [67, 36, 109, 38]. Однако, приняв наши предположения, можно ввести приближение баллистического электрона, движение которого описываете я следующим уравнением: —Л у/ + Уу/, (1.5.1)

2т где I// - волновая функция электрона, V - потенциал внешнего поля.

Выбором системы единиц уравнение (1.5.1) преобразуется к виду: + (1.5.2)

В случае, когда внешнее поле не зависит от времени, волновая функция представима в виде произведения двух функции, зависящих от времени Т(¿) и от пространственной координаты (р(г)\ = Т^)(р(г). В таком виде задача решении уравнения (1.5.2) сводится к спектральной задаче для стационарного уравнения Шредингера:

Д + (£-Ю)<? = 0, (1.5.3) где Е - энергия электрона.

Толщина разделительного слоя обычно намного меньше проводящего слоя и в рамках рассматриваемой математической модели она может считаться нулевой. Однако используемый для его изготовления материал оказывает решающее влияние на граничные условия для уравнения (1.5.1).

В полупроводниковых структурах наиболее естественно ставить граничное условие Дирихле (обнуление волновой функции электрона). Данный тип граничных условий наиболее хорошо исследован.

В случае же металлических структур с магнитными и немагнитными слоями ситуация усложняется. Экспериментальные исследования [14, 59,

33] таких систем показывают, что, в зависимости от ширины разделяющего немагнитного слоя, существует ферромагнитное и антиферромагнитное упорядочение соседних магнитных слоев (см. §1 данной главы). Случай ферромагнитного упорядочения ведет к задаче Дирихле для электрона в квантовой яме немагнитного слоя (математически она эквивалентна задаче в случае с полупроводниковыми границами). Антиферромагнитное упорядочение с наличием незанятых соответствующих уровней в граничном слое ведет к задаче о двух волноводах, ширина каждого из которых равна ширине немагнитного слоя, с граничным условием Неймана (обнуление производной волновой функции) на разделяющей линии.

В данной работе исследуются резонансные эффекты в системе двух плоских волноводов с граничными условиями Неймана, связанных через малые отверстия. Задача сводится к решению уравнения Гельмгольца с граничными условиями Неймана: а /2 п ди

Аи + к и — О, — 0, (1.5.4) ш дп где и — волновая функция электрона, п — нормаль к поверхности границы дО., к - волновое число электрона.

Некоторые результаты в аналогичной задаче уже были получены для граничных условий Дирихле. А именно, вариационные оценки для связанных состояний (не для резонансов), близких к нижней границе непрерывного спектра, были найдены в [21, 22, 23, 15]. Асимптотические оценки связанных состояний, близких к нижней границе непрерывного спектра, получена в [56, 55, 54, 25, 26, 102]. Некоторые оценки для резонансов (случай Дирихле) найдены в [42]. Вариационные оценки связанных состояний для смешанных условий Дирихле-Неймана есть в [19]. Для граничных условий Неймана результатов получено не было.

В работе [51] было предложено устройство квантового переключателя на основе связанных волноводов.

Если рассматривать тонкие магнитные слои, то там условия Дирихле и Неймана накладываются на волновые функции электронов с разными направлениями спинов. В случае краевого условия Неймана резонансные эффекты значительно сильнее, чем при условии Дирихле (см. следствие из теоремы 2.2.1). Для резонатора Гельмгольца в работах [86, 85] было приведено доказательство существования резонанса, элементы которого использовались в данной работе.

Целью работы является описание транспортных свойств электрона в системе слабо связанных двумерных волноводов и разработка способов использования подобных систем в качестве одноэлектронных устройств и элементов квантового компьютера.

Для этого в работе решены следующие задачи:

1. доказательство существования резонанса в системе плоских волноводов, соединенных через малое отверстие, при граничных условиях Неймана;

2. построение асимптотического разложения резонанса, близкого ко второму порогу непрерывного спектра, нахождение нескольких первых членов асимптотического разложения;

3. оценка невязки и обоснование полученного асимптотического разложения;

4. решение задачи рассеяния в системе связанных волноводов;

5. нахождение резонанса для системы связанных искривленных волноводов;

6. нахождение двухчастичной функции Грина в волноводе;

7. оценка влияния поперечного электрического поля на положение резонанса в системе связанных волноводов;

8. проведение численных расчетов для исследования характеристик рассматриваемых систем;

9. исследование возможности реализации квантовых вычислений на базе изученных структур.

§ 6 Структура работы

Диссертация изложена на 106 страницах машинописного текста. Содержит 7 глав, в том числе введение и заключение, 17 рисунков, список литературы, содержащий 111 наименований.

1. A., Dmitrieva L. A., Kuperin Yu. A., Sartan V. V. Solvable model of spin-dependent transport through a finite array of quantum dots// J. Phys. A: Math. Gen. 38. 2005. p. 4825.

2. Baranger H.U.: Multiprobe electron waveguides: Filtering and bend resistances, //Phys.Rev. B42 (1990), 11479-11495.

3. Barenco A. et al., Elementary Gates For Quantum. Computation // Phys. Rev. 1995. V. A 52, p. 3457-3467.

4. Barnas J., Bruynseraede Y.Correlation between quantum-size effects in the giant magnetoresistance and interlayer coupling in magnetic multilayers//Europhys. Lett. 32. 1995. p.167.

5. Beenakker C.W.J, and Van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures, in Solid State Physics // Advances in Research and Applications, edited by H. Ehrenreich and D. Turnbull, Vol. 44 (Academic Press, San Diego) 1991, p. 1-228.

6. Berkowitz A. E., Takano K. Exchange Anisotropy — A Review// J. Magn. Magn. Mater. 200 552. 1999. p. 552-570.

7. Berman G. P., Borgonovi F., Tsifrinovich V.I. Quantum Measurement of a Single Spin using Magnetic Resonance Force Microscopy // Superlattices and Microstructures V. 34. 2003. p. 509-511.

8. Bertoni A., Bordone P., Brunetti R., Jacoboni C., Reggioni S. Quantum logic gates based on coherent electron transport in quantum wires // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. N 25. p. 5912-5915.

9. Bertoni A., Reggiani S. Quantum Computation and Proposal for Solid-state Quantum Gates // Proc. of the 32nd European Solid-State Device Research Conference, 2002. p. 297-298.

10. Bishop J.D., Licini J.C., Dolan G.J.: Lithium quench-condensed microstructures and the Aharonov-Bohm effect,// Appl.Phys.Lett. 46 (1985), p. 1000-1002.

11. Borisov P., Exner P., and Gadilshin R., Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip //J. Math. Phys. 43. 2002. p. 6265-6278.

12. Boyer M., Brassard G., Hoyer P. & Tapp A. Tight bound on quantum searching // Fortsch. Phys. 1998. V. 46, p. 493-50.

13. Bruno P. Theory of interlayer magnetic coupling // Phys. Rev. B 52 (1), 1995, p. 411-439.

14. Bulla W., Gesztesy F., Renger W. and Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proc. Am. Math. Soc. 125, 1997, p. 14871495.

15. Cirac J. I., Zoller P., Kimble H. J. and Mabuchi H. Quantum state transfer and entanglement distribution among distant nodes of a quantum network// Phys. Rev. Lett. V. 78. 1997. p. 3221.

16. Datta S., Bandyopadhyay S.: Aharonov-Bohm effect in semiconductor microstructures,// Phys.Rev.Lett. 58 (1987), 717-720.

17. Datta S., Melloch M.R., Bandyopadhyay S.: Novel interference effect between parallel quantum wells, //Phys.Rev.Lett. V. 55. 1985. p. 23442347.

18. Dittrich J. and Kriz J. Bound states in straight quantum waveguides with combined boundary conditions // J. Math. Phys. 43, 2002, p. 3892-3915.

19. Duclos P. and Exner P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions // Rev. Math. Phys. 7, 1995, p.' 73-102.

20. Exner P. and Vugalter S. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window // Ann. Inst. Henri Poincare. 65 (1), 1996, p. 109-123.

21. Exner P. and Vugalter S. Bound state asymptotic estimates for windowcoupled Dirichlet strips and layers // J. Phys. A: Math. Gen. 30, 1997, p. 7863-7878.

22. Exner P. Laterally coupled quantum waveguides // Contemporary Mathematics, V 217, 1998, p.69-82.

23. Exner P., Seba P.: A new type of quantum interference transistors, //Phys.Lett. A129 (1988), 477-480.

24. Frolov S.V., Popov I.Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides // J. Math. Phys. 41 (7), 2000, p. 4391-4405.

25. Frolov S.V., Popov I.Yu. Three laterally coupled quantum waveguides; breaking of symmetry and resonance asymptotics // J. Phys. A: Math. Gen. 36, 2003, p. 1655-1670.

26. Gershenfeld N. A. and Chuang I. L. Bulk spinresonance quantum computation, //Science 275 350 356, 1997.

27. Goldstein Ch.: Scattering theoiy in waveguides, in Scattering Theory in Mathematical Physics, D.Reidel, Dordrecht 1974; pp. 35 51.

28. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya (Trifanova) E.S. Laterally coupled waveguides with Neumann boundary condition: formal asymptotic expansions //Int. sem. "Days on Diffraction", SPb, June 24-27, 2003, Proc., p.52-59.

29. Gortinskaya L.V., Kurasov A.E., Malina N.A., Popov I.Yu., Tesovskaya (Trifanova) E.S., Levin S.B. Many particles problems for quantum layers //Int. sem. "Days on Diffraction", SPb, May 30-June 02, 2006, Proc., pp.218-225.

30. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya(Trifanova) E.S., UzdinV.M. Electronic transport in the multilayers with very thin magnetic layers// Physica E 36 (2007), pp. 12-16.

31. Grover Lov. K. Quantum Computers Can Search Arbitrarily Large Databases by a Single Query // Phys. Rev. Lett. V. 79, p. 4709-4712

32. Grunberg P. Layered magnetic structures: facts, figures, future. //Journal of Physics: Condensed Matter, Vol. 13, August 2001, p. 7691 7706.

33. Harwitt A., Harris J.S.: Observation of Stark shifts in quantum well intersubband transition, //Appl.Phys.Lett. 50 (1987), 685 587.

34. Ionicioiu R., Amaratunga G., Udrea F. Quantum Computation with Ballistic Electrons // Int. J. Mod. Phys. 2001. V. B 15, p. 125-130.

35. Iotti Rita C., Ciancio Emanuele, Rossi Fausto, Quantum transport theory for semiconductor nanostructures : A density-matrix formulation// Phys. Rev. B 72, 2005. p. 125347.

36. Kazansky A.K., Uzdin V.M.Thermodynamic properties of itinerant electrons in magnetic superlattices : magnetic coupling and magnetoresistance// J. Magn. Magn. Mater. 138. 1994. p. 287.

37. Kirilenko A.A., Rudj L.A., Shestopalov V.P.: Wave scattering on a waveguide bend, //Sov. J. Radiotechnics and Electronics 19 (1974), 687 -696.

38. KitaevA.Yu. Fault-tolerant quantum computation by anyons //Annals Phys. 303. 2003. p. 2-30.

39. Kouwenhoven L. Quantum Adiabatic Electron Transport in Ballistic Conductors// Physics of low-dimensional semiconductor structures. Plenum Press, New York. 1993.

40. Krejcirik D., Kriz J. On the spectrum of curved quantum waveguides// J.Phys. A 37. 2004, 20, p. 5449 5466.

41. Kunze Ch., Leaky and mutually coupled quantum wires // Phys. Rev. B 48, 1993, p. 14338-14346.

42. L.V. Gortinskaya, I. Yu. Popov, E.S. Tesovskaya (Trifanova) "Spectral asymptotics for layered magnetic structures", Int. sem. "Days on Diffraction", SPb, June 28-July 01, 2005, Proc., p.l 16-123.

43. Laflamme R., Knill E., Zurek W., Catasti P. and Mariappan S. NMR GHZ //Phil.Trans.Roy.Soc.Lond. A356 (1998) p. 1941-1948.

44. Likharev K. K. Single-Electron Devices and Their Applications // Proc. IEEE. April 1999. vol. 87, p. 606-632.

45. Loss D., DiVincenzo D. P. Quantum computation with quantum dots // Phys. Rev. 1998. V. A57(l), p. 120-129.

46. Marigliano Ramaglia V., Cataudella V., De Filippis G., Perroni C. A., Ventriglia F. Electron Double Refraction in Hybrid Systems with Rashba Spin-Orbit Coupling // E-print: 2002, cond-mat/0203569, 16 p.

47. Nogues J., Schuller I. Exchange Bias IIJ. Magn. Magn. Mater. 192, 203. 1999.

48. Pavlov B.S. Dilation theory and spectral analysis of nonselfadjoint differential operators// Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 115, 1980.

49. Pavlov B.S., Popov I.Yu., Frolov S.V. Quantum switch based on coupled waveguides // Eur. Phys. J. B, 21, 2001, p. 283-287.

50. Pellizzari T., Gardiner S. A., Cirac J. I. and Zoller P. Decoherence, continuous observation, and quantum computing: A cavity QED model// Phys. Rev. Lett. 75, 3788-3791, 1995.

51. Popescu A. E., lonicioiu R. All-Electrical Quantum Computation with Mobile Spin Qubits // Phys. Rev. V. B 69, 2004. p. 245422-245432.

52. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states and bands for laterally coupled waveguides and layers // J. Math. Phys. 43 (1), 2002, p. 215-234.

53. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states and bands for waveguides coupled through small windows // Appl. Math. Lett. 14, 2001, p. 109-113.

54. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states for laterally coupled waveguidesRep. Math. Phys. 43 (3), 1999, p. 427-437.

55. Popov I.Yu. Asymptotics of resonances and bound states for laterally-coupled curved quantum waveguides //Elsevier, Phys.Lett. A, V. 269, 2000.

56. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya (Trifanova) E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в ЭЧАЯ, 2007. т.4, №2(138), стр.237243.

57. Potter C.D., Shad R., Belien P., Verbanck G., Moshalkov V.V., Bruynseraede Y., M.Schafer, Schafer R. and Grunberg P. Two-monolayer-periodicity oscillations in the magnetoresistance of Fe/Cr/Fe trilayers // Phys. Rev. В 49 (22), 1994, p. 16055-16057.

58. Recher P., Sukhorukov E.V., Loss D. Quantum Dot as Spin Filter and Spin Memory // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85, p. 1962-1965.

59. Saaki H.: Advanced in microfabrication and microstructure physics, in Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology, //Physical Society of Japan, Tokyo 1984; p. 94-110.

60. Schulman L.J. and Vazirani U. Scalable NMR quantum computation //Proc. 3 l'st ACM STOC (Symp. Theory of Computing), 1999. p. 322-329.

61. Shor P.W. Fault-tolerant quantum computation //FOCS'37, 1996. P. 56 -65. (electronic version: LANL e-print quant-ph/9605011, http://xxx.lanl.gov)

62. Sols F., Macucci F., Ravaioli U., Hess K.: On the possibility of transistor action based on quantum interference phenomena, //Appl.Phys.Lett. 54, 1989, p. 350-352.

63. Steane A. M. The ion trap quantum information processor, //Appl.Phys. В 64, 1997, p. 623-642.

64. Taddei F., Sanvito S., Lambetr C. J. Material-specific spin filtering in ferromagnet/superconductor ballistic nanojunctions // E-print: 2000, condmat/0012352, 4 p.

65. Takagaki Y. and Ploog K. Ballistic electron transmission in coupled parallel waveguides // Phys. Rev. B 49 (3), 1994, p. 1782-1788.

66. Temkin H., Dolan G.J., Panish M.B.: Low-temperature photoluminescence from InGaAs/InP quantum wires and boxes, //Appl.Phys.Lett. 50, 1989. p.' 2081-2084.

67. Tesovskaya(Trifanova) E.S., Popov I.Yu. Resonances for coupled planar waveguides: asymptotic expansions // The Fourth Int. Conf. "Tools for mathematical modeling", St.-Petersburg, June 23-28, 2003, Proc., p.356-358.

68. Timp G.et al.: Propagation around a bend in a multichannel electron waveguide, //Phys.Rev.Lett. 60 (1988), 2081-2084.

69. Turchette Q. A., Hood C. J., Lange W., Mabushi H. and Kimble H. J. Measurement of conditional phase shifts for quantum logic// Phys. Rev. Lett. 75,4710-4713, 1995.

70. Umbach C.P. el al.: Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops,// Phys.Rev.Lett. 56 (1986), 386-389.

71. Uzdin V.M., Yartseva N.S. Quantum wells in trilayers: dependence of the properties on the thickness of magnetic and nonmagnetic layers.// J. Magn. Magn. Mat. 156, 1996, p. 193-194.

72. Uzdin V.M., Yartseva N.S., Quantum well mechanism for giant magnetoresistance in trilayer// J. Magn. Magn. Mater. 165 (1997) 370.

73. Vandersypen L. M. K.Vandersypen, C.Y.Yannoni, M.H. Sherwood and I. L. Chuang. Realization of effective pure states for bulk quantum computation //Phys.Rev.Lett. 83 (1999) 3085.

74. Webb R.A. et.al.: The Aharonov-Bohm effect in normal metal -nonensemble averaged quantum transport,// Physica A 140 (1986), 175182.

75. Адамян В.М., Аров В.З. Унитарные соединения полуунитарных операторов//Мат. Исслед. 1 (1966), вып.2, 3 -64.

76. Арсеньев А.А., Резонансное рассеяние в квантовых волноводах// Матем. сб. 2003. Т. 194. № 1. С. 3-22.

77. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М., 1971. 544 с.

78. Брейн Н.Г. де. Асимптотические методы в анализе. Перев. с англ.-М.: ИЛ., 1961. 244 с.

79. В азов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

80. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность, Москва-Ижевск. РХД, 2002. 352 с.

81. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1971. 512 с.

82. Гаврилов М.А., Гортинская Л.В., Пестов А.А., Попов И.Ю., Тесовская Е.С. (Трифанова) «Возможная реализация операций в элементах квантового компьютера на квантовых волноводах», Научно-технический вестник СПбГУИТМО, выпуск 30(224), 2006, стр.71-75.

83. Гадылыпин P.P. О системах акустических резонаторов в квазистационарном режиме // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58 N3, с.104-112.

84. Гадылыпин P.P. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца // УМН. 1997. Т. 52 N 1, с.3-76.

85. Гортинская Л.В., Тесовская (Трифанова) Е.С., Попов И.Ю. «Асимптотический подход в исследовании свойств слабо связанных квантовых волноводов», Научно-технический вестник СПбГУИТМО, выпуск 16, 2004, с.211-216;

86. Гортинская Л.В., Тесовская (Трифанова) Е.С., Попов И.Ю. «Асимптотический подход в исследовании свойств слабо связанныхквантовых волноводов», Научно-технический вестник СПбГУИТМО, выпуск 16, 2004, с.211-216;

87. Гортинская Л.В., Тесовская(Трифанова) Е.С., Попов И.Ю.* «Асимптотики резонансов для двумерных волноводов, соединенных малыми отверстиями, при граничном условии Неймана», Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ), выпуск 9, 2003, стр. 22-28;

88. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше.// Мат.сб., 1971, т.84, №4, с. 607-629

89. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, 1108 с.

90. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320 с.

91. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., 1989. 334 с.

92. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления. М.:МЦНМО, ЧеРо, 1999. 192 с.

93. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. Пер. с англ. М.:1971.

94. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М., 1966. 516 с.

95. Левин С.Б., Попов И.Ю., Тесовская(Трифанова) Е.С. "Функция Грина двухчастичной задачи в волноводе", Научно-Технический вестник ИТМО, 2006, № 31, с. 3 6.

96. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. — М.: Сов. Радио, 1980, с. 128.

97. Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука. 1985. 400 с.

98. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974. 324 с.

99. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М., 1978. 376 с.

100. Попов И.Ю. Волноводы, связанные через отверстия: асимптотика собственного значения // Письма в ЖТФ, 1999, т. 25, N 3, с. 57-59.

101. Попов И.Ю., Тесовская Е.С. (Трифанова) «Электрон в многослойной магнитной структуре: асимптотика резонанса». Теоретическая и математическая физика, 2006. V. 146 (3), р. 429 442.

102. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир. 1977. 357 с.

103. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. УРСС. 2005. 384 с.

104. Самарский A.A., Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. 416 с.

105. Стин А. Квантовые вычисления. Москва-Ижевск, 2000. 100 с.

106. Тесовская(Трифанова)Е.С. «Спектральные свойства электрона в периодически соединенных волноводах», сборник трудов «Третьей конференции молодых ученых», март, 2006.

107. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1972. 736 с.

108. Федорюк М.В. Метод перевала. М. 1977. 368 с.