автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование реологических эффектов в процессе удара

На правахрукописи

ПОПОВА Алена Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В ПРОЦЕССЕ УДАРА

специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2004

Работа выполнена на кафедре математики и информатики технического института (филиала) в г. Нерюнгри Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова Министерства образования Российской Федерации

Научный руководитель; Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Колмогоров

доктор технических наук, профессор ЭА. Бондарев

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Дробышевич

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится «ЗО» 2004 Г. В часов на засе-

дании диссертационного совета Д 212.306.04 в Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова по адресу: г. Якутск, ул. Кула-ковского, 48.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УЖ ЯГУ.

Автореферат разослан

« 30 » \LDjSjiA

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию методами математического моделирования влияния реологических эффектов на основные характеристики удара.

Актуальность темы. Классические модели теории удара и методы линейной теории упругости не всегда адекватно описывают деформирование реальных тел. Результаты, полученные с использованием этих моделей, и методов не способны отразить происходящие при ударе необратимые потери механической энергии в реальных системах. Для описания временных эффектов связанных с рассеиванием механической энергии в процессе удара, необходимо учесть реологические свойства реальных материалов.

При уровнях напряжений и деформаций, превосходящих предел упругости материалов, когда вклад вязких и пластических деформаций материалов становится определяющим, требуется создание новых неупругих моделей теории удара. Важность применения результатов и выводов описания поведения ударных систем с рассеиванием энергии в технике и практике, определяет актуальность разработки новых моделей и методов исследования развития временных эффектов при ударе методами математического моделирования.

Цель работы: Построение математических моделей и методов исследования удара, учитывающих влияния вязкоупругих свойств материалов, при расчете коэффициента восстановления, который зависит от развития временных эффектов, и разработка методов прогнозирования поведения ударных систем с рассеиванием механической энергии в вязкоупругих средах.

Основные задачи исследований:

1. разработка математических моделей теории удара, учитывающие упругие и вязкие свойства материала;

2. расчет характеристик удара с учетом временных эффектов, связанных с вязкими свойствами сред;

3. исследование зависимости коэффициента восстановления от времени для различных моделей ударного процесса в вязкоупругих средах;

4. определение областей применимости вязкоупругих моделей при описании процесса удара.

Научная новизна работы состоит: - в разработке новых математических моделей, учитывающих вязкоуп-ругие свойства материалов, и методов прогнозирования поведения неупругих ударных систем;

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

¿та/

- в исследовании методами математического моделирования поведения вязкоупругих сред в процессе удара;

- в моделировании развития временных эффектов в процессе соударения тел с переменной массой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- использованием при построении математических моделей фундаментальных законов механики сплошных сред;

- применением апробированных вычислительных методов решения краевых задач;

- удовлетворительной согласованностью полученных результатов расчета с результатами других авторов, а также с точными решениями модельных задач.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для прогнозирования поведения систем ударного воздействия, применяемых в различных машинах и конструкциях в механике разрушения горных пород, в том числе многолетнемерзлых пород и т.д. В рамках исследуемых математических моделей возможно определение коэффициента восстановления, при которых достигается наибольшая эффективность передачи энергии на ударяемую среду. Применяемые в работе методы теоретического исследования процессов удара, позволяют получить асимптотические решения, которые дают возможность получить качественные свойства и числовые характеристики неупругого удара. На основе предложенных моделей, методов исследования и полученных результатов можно оценить диапазон нагрузки материалов, когда учет их вязких свойств, при ударном процессе, необходим.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- научном семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными» Института математики и информатики ЯГУ, г. Якутск, 2001г.

- III Региональной научно-практической конференции, г. Нерюнгри, 2004г.

- II Евразийском симпозиуме по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата «EURASTRENCOLD-2004», г. Якутск. 2004г.

- объединенном семинаре Института проблем нефти и газа СО РАН и Института физико-технических проблем Севера СО РАН, г. Якутск, 2004г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы один тезис и шесть статей, в которых отражены ее основные результаты [1-7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 98 страниц, 2 таблицы, 18 рисунков, список литературы включает 76 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи работы, а также дается краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе на примерах простых линейных математических моделей удара излагаются основные вычислительные алгоритмы, использованные в последующих главах.

С физической точки зрения ударные силы - это отклик на деформации, возникающие вблизи площадки контакта и волнообразно распространяющиеся с большей или меньшей полнотой. В классической теории удара деформации соударяющихся тел не учитываются, и проблема сводится к определению импульсов соударяющихся тел. Наиболее полно описывает напряженное состояние соударяемых тел волновая теория удара Сен-Венана. В ее основе лежат уравнения математической физики, допускающие получение точного решения задачи деформирования тел при ударе в частных случаях, например в задаче о продольном соударении двух стержней. Компромиссом между этими двумя крайними подходами служат модели, частично учитывающие деформации при ударе. Идею таких методов предложил Герц, который моделировал механизм передачи ударного воздействия с помощью упругого элемента на контакте. Метод Сирса сочетает подход Герца, учитывающего контактную деформацию соударяющихся тел, и подход Сен-Венана. В указанных моделях обычно используется представление об идеальной упругости материала. Более полный анализ распространения ударных воздействий и деформаций требует учета неупругих эффектов, в первую очередь вязкости.

Основными характеристиками процесса соударения в этих моделях являются коэффициенты восстановления скоростей передачи импульса и передачи энергии Отметим, что при соударении упругих тел с постоянной массой передача импульса, характеризуемая коэффициентом , совпадает с коэффициентом восстановления скоростей а коэффициент передачи энергии равен квадрату коэффициента восстановления.

Таким образом, для оценки энергии диссипации, рассеиваемой в виде тепла при ударе из-за наличия вязких свойств соударяющихся материалов, необходимо определить зависимость коэффициента восстановления скоростей от времени.

Вторая глава посвящена моделированию процесса удара тел с постоянной массой, учитывающие вязкоупругие свойства соударяющихся материалов.

В первом параграфе главы проанализированы основные реологические модели, применяемые для описания развития временных эффектов при ударе. Реологические свойства реальных материалов обычно исследуются в задачах деформирования сред при постоянных напряжениях и, для описания их поведения, используются модели наследственной ползучести. Значительный вклад в разработку математических основ теории наследственной ползучести внесли В. Вольтерра, Ю.Н. Работнов, А.Р. Ржаницын, М.И. Розовский и др. В линейном случае, наиболее простой вид уравнения ползучести имеют для вязкоупругих материалов. Основные математические модели теории вязкоупругости изложены в работах А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри, Р. Кристенсена, И.И. Гольдберга. Решения различных динамических задач теории вязкоупругости приведены в работах Я.Г. Пановко, Д. Бленда, В. Новацкого и др. Например, в монографии В. Новацкого освещены вопросы динамики строительных конструкций и рассмотрены задачи о свободных и вынужденных колебаниях этих конструкций под воздействием различных гармонических и апериодичных сил, а также тепловых возмущений.

Для решения задач теории линейной вязкоупругости широко используется метод интегральных преобразований, основанный на интегральных преобразованиях Лапласа или Фурье по времени и принципа вязкоупруго-го соответствия. Согласно этому принципу решение вязкоупругой задачи находится обращением выражения, полученного заменой в упругом решении упругих постоянных среды, на соответствующие интегральные или дифференциальные операторы по времени в пространстве изображений Лапласа.

Для изучения влияния вязкоупругих эффектов на основные характеристики удара можно использовать простейшие модели вязкоупругих сред, к которым относятся модели Максвелла, Фойхта, и стандартного вязкоуп-ругого тела (СВУТ). Модели Максвелла и стандартного вязкоупругого тела обладают мгновенной упругостью, поэтому они наиболее применимы при описании релаксации напряжений при ударе.

Во втором параграфе на основе дискретной модели удара решается задача определения коэффициента восстановления при соударении тел из вязкоупругого материала. Решение задачи в упругой подстановке дает для скорости волны в упругой среде

В этом случае, для вязкоупругой модели Максвелла применяя интегральное преобразование Лапласа по времени, получено выражение для скорости в изображениях в виде:

(1)

коэффициент жесткости.

Применяя обратное интегральное преобразование выражению (2), получено решение задачи для вязкоупругого тела:

(3)

7.

Решение (3) справедливо при выполнении условия т0 <~, где 7]

период прохождения упругой волны по длине стержня I, когда не учитывается влияние отраженной волны. Заметим, что при Г« т„, т.е. для значений времени t намного меньше времени релаксации г0, вязкоупругая среда Максвелла реагирует на удар как упругая среда с модулем упругости Е0.

Рис 1 Зависимость коэффициента восстановления для вязкоупругой среды Максвелла от времени удара I' и релаксации т'

Введя безразмерные величины времени удара /

о л > V т

V т

и времени ре-

лаксации I =2Тц^—, найдено выражение для зависимости коэффициента восстановления от времени /"для вязкоупругой среды Максвелла в виде:

(4)

Зависимость коэффициента восстановления от безразмерных времен удара и релаксации можно проследить на рис. 1. Как видно из графика при /* = О получается Л = 1, что соответствует упругому решению дискретной модели удара. На рис.2 приведены кривые зависимости коэффициента восстановления от безразмерного времени, полученные при заданных значениях времени релаксации. Кривая 1 соответствует упругому решению дискретной модели, а кривые 2-5 - вязкоуиругому решению при различных значениях времени релаксации

ы

Ьг ------ 3 4

N \ \ ..3 т-

\ \

N \

Рис.2. График зависимости коэффициента восстановления дискретной модели удара 1-упругое решение; 2-5 — вязкоупругиерешения для модели Максвелла при х' =0,3; 0,5; 0,8; 0,99соответственно.

В третьем параграфе в рамках вязкоупругой модели удара Герца найдено выражение для коэффициента восстановления.

Коэффициент пропорциональности зависит от кривизны поверхностей тел в точке контакта и упругих свойств материала:

которому для вязкоупругих сред соответствует временной оператор, имеющий вид в трансформантах Лапласа:

оператор - аналогов коэффициента Пуассона и модуля Юнга соударяемых тел. Для вязкоупругой модели Максвелла, выражение для коэффициента восстановления имеет вид:

При / 0 это дает предельное значение для Л! я

В четвертом параграфе для полубесконечного стержня, выполненного из вязкоупругого материала Максвелла, найдено решение телеграфного уравнения

с начальными и граничными условиями

(8)

(9)

Применяя интегральное преобразование Лапласа к уравнению (8) и граничным условиям, с учетом начальных условий, найдено решение в трансформантах Лапласа

Переходя от изображения к оригиналу и введя безразмерное время г"=— и безразмерную координату £ = —, получено решение волнового

уравнения для вязкоупругого тела Максвелла:

(

<?(£,/') = -Уцращ

г'2 ?

(И)

При малых значениях /' (г* ->■ 0), с учетом того, что /0(0)->1, получим упругое решение сг'(£,г') = -К0ря •[/(/' -£),

2.5 5 7.5 10 * Рис.3. Зависимость отношения напряжений от безразмерного времени /' при фиксированных координатах: 1)^=0.01; 2) £ =2; 3) % = /'.

Отношение напряжений в вязкоупругом и упругом стержнях при одних и тех же значениях г' и £ задано выражением:

(12)

(4), т.е.

При этом, когда г' = £ = — получаем соотношение = ехр яг

перед фронтом упругой волны, при /" напряжения равны нулю, а за

фронтом - возникают сжимающиеся напряжения, которые убывают со временем по экспоненциальному закону, что определяется влиянием вяз-коупругих свойств материала (рис.3). На этом рисунке, кроме изменения отношения напряжений в упругом и вязкоупругом стержне во времени в двух различных точках стержня (кривые 1 и 2), помещена кривая изменения этой величины на скачке (кривая 3). Эта кривая является минорантой по отношению к относительным напряжениям в сечениях стержня, распо-

ложенных на некотором расстоянии от точки приложения нагрузки. Кривые же 1 и 2 начинаются при =0.1 И =2 соответственно, т.е. до этих значений времени напряжения в соответствующих сечениях равны нулю, затем возрастают скачкообразно, после чего затухают из-за вязкоупругой релаксации. Указанные особенности поведения относительных напряжений хорошо иллюстрируются рис.4, где наглядно прослеживается взаимосвязь их динамики с пространственным распределением. Например, при малых значениях относительные напряжения со временем убывают, а при больших значениях они растут.

Рис.4. Зависимость отношения напряжений в вязкоупругом и упругом полубесконечном стержне от безразмерных времени и координаты.

в трансформантах по Лапласу имеет вид

Для напряжений в вязкоупругом и упругом стержне для переменных

2т,

-ф'1-ь2(2(п+1)+{)2 Ц- -ъ{г{п+\)-4)\

(15)

где Ь ---безразмерный параметр, характеризующий отношение времени

аг '

распространения упругих волн к времени релаксации вязкоупругого материала.

0.08 0.07 0.06 0.05

/ Г" 1 —

}

10 14 18 22 26 г

Рис.5. Зависимость относительных напряжений у^' от при 4=0,7и Ь = 2.

Результаты вычислений приведены на рис.5. В отличие от полубесконечного стержня, при общей тенденции к затуханию напряжений со временем имеются интервалы, на которых у, в какое-то время растет, после чего уменьшается скачком.

В третьей главе предлагается метод расчета основных характеристик ударной системы, основанный на теории движения тел переменной массы. Рассмотрена ударная система, состоящая из двух тел с массами ,

расположенных в поле силы тяжести на расстоянии Н друг от друга. При этом размерами тел пренебрегаем по сравнению с расстоянием между ними. В начальный момент времени первое тело имеет скорость 1)0, а второе находится в покое. Процесс соударения разбиваем на две фазы, в течение первой из которых происходит сближение и деформация тел, в результате чего относительная скорость центра масс уменьшается до нуля. Вслед за этим начинается вторая фаза: тела, восстанавливая свои формы, начинают отделяться друг от друга. При этом масса второго тела в течение первой

фазы меняется от величины т2 до величины щ + т2, а в течение второй -от т, + т2 до /И]. Если изменение массы каждого из тел является непрерывной и дифференцируемой функцией от времени m(t) то движение тел описывается уравнением Мещерского. Учитывая, что для данной системы выполнена гипотеза Ньютона, из этого уравнения имеем:

где и1 - относительная скорость присоединения частиц, и2 - относительная скорость отделения частиц, V! - скорость тел в конце первой фазы процесса соударения, Уи - скорость первого тела в конце всего процесса соударения, - скорость второго тела в конце второй фазы, X - коэффициент восстановления.

что согласуется с результатами классической теории удара.

Отличие результатов, полученных для тел переменной массы от результатов классической теории удара, можно проиллюстрировать с помощью отношения конечных скоростей второго тела:

(т1+т2)]л'"1 +тг

m[In

щ__ (m +1) ln(/w +1)

1 '

гл1п(т42 + — ) m

(17)

v<*>-,

где у^ ^ - скорость, подсчитанная по классической теории.

Численные расчеты показывают, что относительная погрешность вычисления скоростей при т г 0,6 не превышает 14%, при т>1 -11%, а при т>10-

6% (рис.6).

/

о

m

Рис. 6. График сравнения скоростей v21 v^j' ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация является научно-квалифицированной работой, в которой содержится решение задачи математического моделирования реологических эффектов в процессе удара. Основные результаты и выводы заключаются в следующем.

1. На основе анализа упругих моделей теории удара разработаны математические модели, учитывающие вязкие свойства материала. Учет вязкоуп-ругих свойств материалов дает возможность прогнозировать изменение основных характеристик ударного процесса от времени.

2. Предложена методика расчета характеристик удара с учетом вязкоуп-ругих свойств материалов.

3. Исследована зависимость коэффициента восстановления от времени для вязкоупругой среды. Показано, что развитие временных эффектов в ударных процессах зависит от значений времени релаксации материалов.

4. Определены пределы применимости различных вязкоупругих моделей при описании процесса удара в реальных материалах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дегтярева A.M. Современное состояние вопроса и анализ работ по ударному разрушению горных пород / В кн. Научно-практический семинар «Молодежь - производству»: тезисы докладов. Нерюнгри, 1997, -с.ЗЗ.

2. Попова A.M. Общая теория ударных систем по классической схеме / В кн. Юбилейный сборник научных трудов, посвященный 5-летию филиала г. Нерюнгри, 1998. С. 232-233.

3. Софронов СТ., Попова А.М. Об одном методе моделирования // Математические заметки ЯГУ, 1999. Т.6. №2. С. 135-141.

4. Попова А.М. О передаче импульса при ударе через промежуточное тело в машинах ударного действия / В кн. Проблемы освоения и перспективы развития Южно-Якутского региона: Сборник научных трудов. Не-рюнгри, 2001. С. 117-119.

5. Попова A.M. Модель соударения трех тел с переменными массами // Наука и образование. Якутск, 2002, №4, С. 59-61.

6. Попова A.M. Соударение вязкоупругих тел на основе модели Сен-Венана. / В кн. Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной научной конференции. Хабаровск, 2003. -Т.1. С. 300-307.

7. Петров Е.Е., Колмогоров А.В., Попова A.M. Дискретная модель вязко-упругого удара / В кн. Труды II евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата: Часть V. Теплофизика и тепломассоперенос в материалах и конструкциях на Севере. - Якутск: ЯФ ГУ «Изд-во СО РАН» 2004. С. 96-101.

Подписано в печать 30.11.2004. Формат 60х 84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,56. Тираж 100 экз. Заказ Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

«246-47

Введение.

1. Линейные модели упругого удара.

1.1 Классическая модель удара.

1.2. Дискретная модель удара.

1.3. Модель Герца.

1.5. Волновая модель удара Сен-Венана.

2. Вязкоупругие модели соударения тел.

2.1. Математические модели наследственной ползучести.

2.2. Дискретная модель удара тел из вязкоупругого материала.

2.3. Модель Герца для вязкоупругих тел.

2.4. Одномерные волны в вязкоупругом стержне Максвелла.

3. Математическая модель ударной системы тел переменной массы.

3.1. Некоторые вопросы динамики тел переменной массы.

3.2. Модель соударения двух тел переменной массы.

3.3. Сравнение с классической теорией удара.

3.4. Модель соударения трех тел.

Актуальность. Классические модели теории удара и методы линейной теории упругости не всегда адекватно описывают деформирование реальных тел. Результаты, полученные с использованием этих моделей и методов, не способны отразить происходящие при ударе необратимые потери механической энергии в реальных системах. Для описания временных эффектов связанных с рассеиванием механической энергии в процессе удара, необходимо учесть реологические свойства материалов.

При уровнях напряжений и деформаций, превосходящих предел упругости материалов, когда вклад вязких и пластических деформаций соударяющихся тел становится определяющим, требуется создание новых неупругих моделей теории удара. Важность применения результатов и выводов описания поведения ударных систем с рассеиванием энергии в технике и практике, определяет актуальность разработки новых моделей и методов исследования развития временных эффектов при ударе методами математического моделирования.

Целью работы является построение математических моделей и методов исследования удара, учитывающих влияния вязкоупругих свойств материалов, при расчете коэффициента восстановления, который зависит от развития временных эффектов, и разработка методов прогнозирования поведения ударных систем с рассеиванием механической энергии в вязкоупругих средах.

Основные задачи исследований:

1. разработка математических моделей теории удара, учитывающие упругие и вязкие свойства материала;

2. расчет характеристик удара с учетом временных эффектов, связанных с вязкими свойствами сред;

3. исследование зависимости коэффициента восстановления от времени для различных моделей ударного процесса в вязкоупругих средах;

4. определение границ применимости вязкоупругих моделей при описании процесса удара.

5. разработка математической модели, основанной на применении уравнения Мещерского.

Методы исследования:

При выполнении работы использовались методы математического моделирования, элементы теории упругости, математический аппарат анализа и дифференциального исчисления; программирование и вычислительный эксперимент.

Научная новизна работы состоит:

- в разработке новых математических моделей, учитывающих вязкоупругие свойства материалов, и методов прогнозирования поведения неупругих ударных систем;

- в исследовании методами математического моделирования поведения вязкоупругих сред в процессе удара;

- в моделировании процесса соударения тел с переменной массой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- использованием при построении математических моделей фундаментальных законов механики сплошных сред;

- применением апробированных вычислительных методов решения краевых задач;

- удовлетворительной согласованностью полученных результатов расчета с результатами других авторов, а также с точными решениями модельных задач.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для прогнозирования поведения систем ударного воздействия, применяемых в различных машинах и конструкциях в механике разрушения горных пород, в том числе многолетнемерзлых пород и т.д. В рамках исследуемых математических моделей возможно определение коэффициента восстановления, при которых достигается наибольшая эффективность передачи энергии на ударяемую среду. Применяемые в работе методы теоретического исследования процессов удара, позволяют получить асимптотические решения, которые дают возможность получить качественные свойства и числовые характеристики неупругого удара. На основе предложенных моделей, методов исследования и полученных результатов можно оценить диапазон нагрузки материалов, когда учет их вязких свойств, при ударном процессе, необходим.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научном семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными» Института математики и информатики ЯГУ, г. Якутск, 2001г.

III Региональной научно-практической конференции, г. Нерюнгри, 2004г.

II Евразийском симпозиуме по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата «EURASTRENCOLD-2004», г. Якутск. 2004г. объединенном семинаре Института проблем нефти и газа СО РАН и Института физико-технических проблем Севера СО РАН, г. Якутск, 2004г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы один тезис и шесть статей, в которых отражены ее основные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 98 страниц, 2 таблицы, 18 рисунков, список литературы включает 76 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для учета реальных характеристик соударяющихся тел в диссертации предложены математические модели, основанные на использовании реологических моделей, известных в теории вязкоупругости, и на модели Мещерского, которая позволяет учесть изменение их массы. Основные результаты и выводы заключаются в следующем.

1. Показано, что учет вязкоупругих свойств материалов соударяющихся тел дает возможность прогнозировать изменение основных характеристик ударного процесса от времени.

2. На основе решения соответствующих динамических задач вязкоупругости предложены методики расчета диссипации энергии и зависимости этого параметра от времени.

3. Исследованы зависимости коэффициента восстановления при ударе от времени и показано, что она в основном определяется временами релаксации материалов соударяющихся тел и их геометрией.

4. В терминах входных параметров исследованных моделей удара определены границы, в которых результаты, полученные в рамках вязкоупругих и упругих моделей, отличаются не существенно.

5. Показано, что учет изменения массы соударяющихся тел в практически интересных случаях (т>1) существенен лишь при небольших величинах отношения их масс.

1. Fairhurst C. Wave mechanics of percussive drilling. Mine and Quarry, 1961, №3, p.122-133; №4 p.169-178.

2. Hustrulid W.A. Fraihurst C.A. A theoretical and experimental study of the percussive drilling of rock. Intern. J. Rock. Mech. And Mining Sei. 1972, №9, p.335-356.

3. Lundberg B. Some basic problems in percussive rock destruction. Geteborg, 1971.

4. Алабужев П.М. Стахановский Б.Н. Шпигельбурд И.Я. Введение в теорию удара. Новосибирск: НЭТИ, 1970, 158с.

5. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчет ударных систем. М.: Наука, 1969. 201 С.

6. Александров Е.В., Флавицкий Ю.Ф., Хомяков К.С. Определение импульсов напряжения при продольном соударении упругих стержней произвольной геометрической формы. М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1965. 40 С.

7. Алимов О.Д., Дворников Л.Т., Шапошников И.Д. Амортизация волнового импульса с помощью упругого элемента малой длины. Тр. ФПИ. Фрунзе, 1969, вып. 38, с. 82-91.

8. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Метод расчета ударных систем с элементами различной конфигурации. Фрунзе: Илим, 1981. 72 С.

9. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. Фрунзе: Илим, 1978. 196 С.

10. Андреев В.Д. Расчет передачи энергии ударного импульса через инструмент в породу. — В кн.: Горный породоразрушающий инструмент. Киев: Техника, 1969, с. 71-79.

11. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Об одном классе ядер ползучести стареющих материалов. About one class of creep nucleuses of growing old materials. //AH УССР. Прикладная механика. -1982. №4. С. 14-21.

12. Барон Л.И., Веселов Г.М., Коняшин Ю.Г. Экспериментальные исследования процессов разрушения горных пород ударом.- М., 1962.- 219 с.

13. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. Уч.для студ.вузов/ М.: Высшая школа, 1980.

14. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965. - 200 с.

15. Блитштейн Ю.М., Мешков С.И., Чебан В.Г., Чигарев А.Н. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев, «Штиинца», 1977, 206 с.

16. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986. 360 с.

17. Больцман Л. Избранные труды. М., 1984

18. Буравлев И.М., Игумнов Л.А. Распространение волн в телах и средах с памятью // Матер. IX конф. по прочности и пластичности / М.: Профсервис. 1996. Т. 3.

19. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференци-альных уравнений -М.: Наука, 1982. 304 с. (22)

20. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980.-303 с.

21. Галицын А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976. -282 с.

22. Гилман Дж. Динамика дислокаций и поведение материалов при ударном воздействии. Механика, сб. переводов, 1970, №2, С. 96-124.

23. Глушак Б.Д., Новиков С.А., Рузанов А.И., Садырин А.И. Разрушение деформируемых сред при импульсных нагрузках / Н.Новгород: Изд-во Ни-жегород. ун-та, 1992. 193 с.

24. Глушко В.Т., Долинина Н.Н., Розовский М.Н. Устойчивость горных выработок. / Математическое описание. Киев: Наукова думка, 1973. - 206 с.

25. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1978.

26. Гольдберг И.И. Механическое поведение полимерных материалов. / Математическое описание. -М.: Химия, 1970. 190 с.

27. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965, 448 с.

28. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963, 1100 с.

29. Громов В.Г. О математическом содержании принципа Вольтерра в граничной задаче вязкоупругости. // Прикл. Мат. И мех. 1971, т. 35, №5. С. 869878.

30. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы М.: Наука, 1977, 228 с.

31. Дворников Л.Т., Тагаев Б.Т. К вопросу о влиянии бойков ударных механизмов на эффективность разрушения горных пород. Фрунзе: Илим, 1981, №6, С. 16-21.

32. Дегтярева A.M. Современное состояние вопроса и анализ работ по ударному разрушению горных пород. // Научно-практический семинар «Молодежь производству»: тезисы докладов. Нерюнгри, 1997, - с.ЗЗ.

33. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. - 288 с.

34. Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник / Под общ. ред. С.А. Шестерикова. -М.: Машиностроение, 1983. 101 с.

35. Иванов А.П. Задача об ударе твердых тел. Соросовский образовательный журнал, том 7,№5,2001, с. 122-127.

36. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.В. расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах. Механика композитных материалов. №3. 1990. с. 48-56

37. Иванов К.И. Влияние формы ударника на коэффициент передачи энергии удара в породу. — В кн.: Горный породоразрушающий инструмент. Киев: Техника, 1970, с. 166-169.

38. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

39. Иродов И.Е. Основные законы механики: учеб. пособие для вузов. — 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1997 - 240 с.

40. Каган-Розенцвейг JI.M. О решении задач линейной теории ползучести. About the decision of problems of the linear creep theory. //Исследования no механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. сб. -Л.:ЛИСИ, 1985. -С.107-112.

41. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Влияние реологических свойств на закономерности разрушения вязкого квазиупругого тела. Influence of rheologi-cal properties on law of viscous elastic body failure. //АН УССР. Прикладная механика. -1985. №7. C.92-98.

42. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

43. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел: Удар. Киев: Наук. Думка, 1976, 320с.

44. Коняшин Ю.Г. Расчетные зависимости для определения эффективности разрушения горных пород ударом. В кн.:Взрывное дело, 62123. М.: Недра, 1969, С.44-67.

45. Кристенсен P. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 338 с.

46. Крюков Г.М., Горбонос Я.Г. Увеличение прочности горных пород при их динамическом нагружении. — В кн.: Взрывное дело, 78/36. М.: Недра, 1978, с. 25-29.

47. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные фунцкии в задачах механики -Киев: Наукова думка, 1974. — 192 с.

48. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд. МГУ, 1982. - 151 с.

49. Мержиевский Л.А. Метод расчета течений вязкоупругой среды. // В кн. Динамика твердого тела: Сборник научных трудов, Новосибирск, 1980. -№45. С.141-151.

50. Мержиевский Л.А., Тягельский А.В метод расщепления для решения задач динамического деформирования вязкоупругой среды. // В кн. Динамика упруго пластических систем: Сборник научных трудов, Новосибирск, 1986. №75. С.90-99.

51. Никонова И.П., Покровский Г.Н., Сериенинов Б.Н. Влияние формы импульса на период удара в системе боек-штанга-среда. В кн.: Передача удара и машина ударного действия. Новосибирск, 1976, С.20-30.

52. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госсройиздат, 1963. - 376 с.

53. Павлова Н.И., Шренер Л.А. Разрушение горных пород при динамическом нагружении. М.:Недра, 1964, 160с.

54. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977, 220с.

55. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1981.-344 с.

56. Попова A.M. Модель соударения трех тел с переменными массами.// Наука и образование. Якутск, 2002, №4, С. 59-61.

57. Попова A.M. О передаче импульса при ударе через промежуточное тело в машинах ударного действия. // Проблемы освоения и перспективы развития Южно-Якутского региона: Сборник научных трудов. Нерюнгри, 2001. С. 117-119.

58. Попова A.M. Общая теория ударных систем по классической схеме. // Юбилейный сборник научных трудов, посвященный 5-летию филиала г.Нерюнгри, 1998. С. 232-233.

59. Попова A.M. Соударение вязкоупругих тел на основе модели Сен-Венана. // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной научной конференции. Хабаровск, 2003. -Т.1. С. 300-307.

60. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. -752 с.

61. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.-284 с.

62. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М. 1968.

63. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. М.: Наука, 1983, Физматгиз, 288 с.

64. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сред. // итоги науки / Упругость и пластичность. 1965. М.: Изд. ВИНИТИ, 1967. - С. 118-250.

65. Савельев Б.А. Физико-химическая механика мерзлых пород. М.: Недра, 1989.-211 с.

66. Самарский А.А., Курдюмов С.П., Галактионов В.А. Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. 312 с.

67. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. 320 с.

68. Соколинский В.Б. Машины ударного разрушения. М.: Машиностроение, 1982.184 С.

69. Софронов С.Т., Попова A.M. Об одном методе моделирования. Математические заметки ЯГУ. г.Якутск, 1999. С.135-141.

70. Угодчиков А.Г. Об уравнениях динамики деформируемого твердого тела // ДАН СССР. 1991. Т. 317, №4.

71. Шелковников И.Г. Исследование удара в процессах бурения. М.: Недра, 1977, 106с.

72. Штаерман И.Я. Контактные задачи теории упругости. M.-JL: Изд-во тех-нико-теоретич. лит-ры, 1949.