автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование разрушения структурно-неоднородных тел

На правах рукописи $

Мещерякова Татьяна Вячеславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ СТРУКТУРНО - НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2005

200&-Ч 1905

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ СТРУКТУРНО - НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Мещерякова Татьяна Вячеславовна

ВоронежД0.05

¿№¿93

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО Воронежского государственного университета

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты

Ведушая организация:

заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Покорный Юлий Витальевич (ГОУ ВПО ВГУ )

доктор физико-математических наук Петрова Вера Евгеньевна (ГОУ ВПО ВГАСУ)

доктор физико-математических наук, профессор Чернышев Александр Данилович (ГОУ ВПО ВГТА)

кандидат физико-математических наук, Кончакова Наталья Александровна (ВВАИУ(ВИ))

ГОУ ВПО Воронежский государственный технический университет

Защита диссертации состоится «<¿3 » и№Н*Я. 2005 г. в _ часов на

заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000 г. Воронеж, проспект Революции, 19

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии.

Автореферат разослан «_»____2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

В.М. Самойлов

- национальная) БИБЛИОТЕКА) | С.Пе*ср«х

09 ЛЮ-Г

ШЫкЛ! >

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Большой интерес к анализу процессов разрушения хрупких материалов не только не ослабевает, но и усиливается, в силу широкого использования в технике высокопрочных материалов и композитов (например, высокопрочные стали, легированные стали, сплавы из алюминия и титана). Все эти материалы, с технической точки зрения, рассматриваются как хрупкие. Как показывает опыт, в композитах и высокопрочных материалах уже на этапе изготовления, а также на очень ранней стадии их эксплуатации появляются трещины. В свою очередь процесс роста трещин сопровождается образованием в их окрестности множества микротрещин, присутствие которых определяет способность материала к сопротивлению разрушению, т.е. его трепданостойкость. Математическое моделирование таких процессов в структурно неоднородных средах является актуальной задачей современной теории разрушения материалов. Основам математической теории трещин посвящены работы В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин, Н.Ф. Морозова, С.А. Назарова, A.M Линькова, Е.М. Морозова и др., зарубежных авторов В. Karihaîoo, Y.Z. Chen, D. Gross и др. Взаимодействие межфазной трещины в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами исследовано в работах J.G.Goree & W.A.Venezia, M.Isida & H.Noguchi, В Е.Петропой, X.D Wang & S.A.Meguid и др.

В данной работе разрабатывается, исследуется и обосновывается математическая модель механики разрушения для материалов, содержащих макро и микротрещины под действием механического нагружения.

Рассматриваемые в работе модели существенно расширяют класс изучавшихся ранее ситуаций:

- во-первых, исследованием макротрещин конечных размеров (во многих задачах, решаемых ранее, рассматривались полубесконечные трещины) для тел с границами;

- во-вгорых, исследованием произвольного числа произвольно расположенных микротрещин (в работах предшественников рассматривались либо одна-две микротрегдины, либо периодические расположенные системы трещин) в полубесконечном теле.

Моделирование описанных объектов приводит к системам сингулярных интегральных уравнений, исследование которых, в силу отмеченной выше спецификации, потребовало существенной модернизации стандартных методов анализа подобных задач и привлечения методов аналитического плана (метод малого параметра) и численного плана (метод механических квадратур) Конечные размеры макротрещины и присутствие границ тела, в изучаемых далее моделях, усложняют формулы регулярных ядер, в связи с этим исследование модели только аналитическими методами недостаточно. Поэтому разрабатывается численно-аналитический метод, комбинирующий оба подхода.

Целью работы является разработка и исследование математических моделей процессов разрушения в структурно-неоднородных материалах и методов численно-аналитического решения задач о взаимодействии систем трещин в полубесконечных и двухкомнонентных упругих телах для технических приложений.

В соответствии с данной целью были поставлены следующие задачи:

- построить системы сингулярных интегральных уравнений для изучаемых объектов;

- разработать методы решения полученных систем сингулярных уравнений для нахождения функций разрывов смещений на линиях трещин;

- вычислить коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещин, для определения перераспределения напряжений в малой окрестности вершины трещины;

- проверить адекватность полученных математических моделей исследуемых объектов.

Научная новизна. В работе проведено исследование новых математических моделей и проведен численно-аналитический и асимптотический анализ, превращающий эти модели в инструмент получения новых знаний об объектах и прогнозировать их свойства. А именно:

а) построена и решена система сингулярных интегральных уравнений для межфазной трещины и произвольного числа внутренних микродефектов в двухкомпонентном материале в условиях продольного сдвига;

б) метод Панасюка В.В., Саврука М.П. описания системы трещин в полуплоскости с помощью сингулярных интегральных уравнений распространен на комбинацию макротрещины с системой микротрещин в полуплоскости и дополнен углубленным анализом полученной модели. На этом пути изучен эффект «схлопывания» микротрещин и частичного закрытия макротрещины;

в) на основе системы сингулярных интегральных уравнений для полупространства в условиях продольного сдвига описана и изучена система сингулярных интегральных уравнений для макротрещины и поля микродефектов.

Математические методы. В работе использованы методы теории функций комплексной переменной, математический аппарат сингулярных интегральных уравнений, асимптотический метод (метод малого параметра) и численные методы (типа механических квадратур)

Практическая значимость Создана теоретическая основа для расчета разрушения тела, при наличии в нем макротрещин и детерминированным образом расположенных микротрещин при воздействии механических нагрузок. Разработанные теоретические положения могут служить основой для оптимизации трещиностойкости материалов посредством управления структурой, определяющей возможные закономерности возникновения и геометрию систем микротрещин.

Теоретические результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе Воронежского государственного университета на математическом факультете, факультет« прикладной математики и механики, в учебном процессе Воронежского государственного архитектурно-строительного университета при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах в НИИ математики при ВГУ (1994-1995 гг.), на семинарах в International Center for Mechanical Sciences (г.Удин, Италия 1996 г.), на V-ой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ -2004»» (Воронеж, 2004г.), на конференции ВВМШ «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения XVI» (Воронеж, 2005), на научных общегородских семинарах при Воронежском государственном университете.

Публикации. Содержание диссертации отражено в 9 работах.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, и заключения списка литературы. Объем работы: 140 страниц, 13 рисунков, 2 таблицы, список литературы из 188 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении сформулирована цель исследования, актуальность рассматриваемых вопросов, дана характеристика работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

Первая глава является вспомогательной и посвящена обчору исследований по взаимодействию систем трещин, дефектов в деформируемых твердых телах.

Во второй главе приводятся необходимые сведения из теории упругости и теории аналитических функций для моделирования и исследования подобного рода объектов.

В третьей главе обосновывается и изучается модель взаимодействия магистральной трещины с произвольно распределенными микродефектами в двухкомпонентном материале под действием продольного сдвига. Приведен метод решения и построена система сингулярных интегральных уравнений, соответствующая данной задачи. С помощью прилагаемой к тексту программы определены коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах межфазной трещины. Исследован характер влияния на коэффициенты интенсивности напряжений расположения и ориентации внутренних микротрещин.

Двухкомпонентный материал рассматривается как два изотропных упругих полупространства (I) и (II). Материалы имеют различные характеристики упругости: Ц], цц. где ц, - модуль сдвига. На линии раздела материалов Ь имеется трещина длиной 210, причем предполагается, что граница раздела идеальная, за исключением участка, где расположена межфазная трещина. Микродефекты имеют размеры /„«/о-

Для решения задачи применялся метод суперпозиции. А именно, данная задача о межфазной трещине и внутреннем дефекте раскладывается на две задачи: а) задачу для бездефектного двухсвязного материала в условиях продольного сдвига, решение которой известно (здесь мы определяем напряжение т0 и т„ возникающее на линиях трещин); б) задачу о двухкомпонентном материале с трещинами, на границах которых приложены усилия равные по величине, но противоположные по знаку, нагрузке указанной в задаче а), то есть -то и -тк.

Нас интересует решение задачи б). Для того, чтобы исследовать эту проблему, снова представим ее как суперпозицию двух задач: 1) внутренняя сингулярность в двухсвязном материале без межфазных дефектов (бездефектная граница раздела), и 2) межфазная трещина под действием

нагрузки при отсутствии сингулярности гшутри материала Из решения задачи 1) находим напряжение т* на линии раздела материалов, а задачу 2) решаем при заданной нагрузке на межфазной трещине, складывающейся из суммы -т0и -т" Результатом этой суперпозиции будет решение задачи о взаимодействии микродефектов (сингулярностей) с межфазной трещиной.

Граничные условия на линии раздела материалов L, имеют вид

ryz = *> = Ф): xeL w+(JC,0) = W~(X,0), |х|>/0 <p0(x)^pIw+ (jc.O)~w~fij/О,0), \х\ < l0

Аналогично для мккродефектов имеем

Xnyz = Tn'yz =r«W. xn^Ln w+(x„,0)=w"(x„,0)> \х„\>1„,

(pn{x) = M] (X„,0)-MjW~(x„,0), \x\<l„,n = 1,.., N

<pn(x) rp^(x) - функции разрыва смещений на линиях трещин Lth L„ соответственно.

Искомая функция перемещений -- гармоническая функция, следовательно она может быть представлена в виде вещественной части некоторой аналитической функции f(z) к ее производной f. (z) - F/z) Для построения решения все граничные условия задачи переписываются в терминах функции F/z) Определив эту функцию, можно найти и напряжения в двухсвязном материале и посчитать коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин.

Комплексный потенциал 1-ой задачи получен в виде

[tfFV) + F°(z),z e il, M// + Ml

В формуле (1) функция F°(z) - это решение задачи о трещине в бесконечной плоскости Мы предполагали, что трещина расположена н нижней

полуплоскости (И), что означает, что решение Р°(г) содержит константы материала (II).

Комплексный потенциал для Н-ой задачи установлен в следующем виде

п+т'й-ь*-*

(2)

Применяя метод суперпозиции для полученных комплексных потенциалов (1) и (2) находится решение задачи б).

Получена замкнутая система сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных функций производных разрывов смещений на линиях трещин, межфазной и внутренних.

¡-X 2 И! МП

-к

Ы-1к

V'* ЪМ -10 к=1-1к

Ып

, Рпк(1,х) = Яе

еш»

М1М/1

Для случая, когда 21о»2!„ получено асимптотическое решение задачи в виде ряда по малому параметру Я=Ш0. Для этого функции разрывов смещений

00 00

представляются в виде ряда по степеням Я.: ^<РорЛр, (р'п = ^Фпр^Р

р=О р-О

по степеням X раскладываются и регулярные ядра Р^ Рт Рок- Из системы сингулярных интегральных уравнений получается рекуррентная система уравнений для коэффициентов ср<р0/, ерш- до второго порядка включительно.

riCrt-ffoGrt+^ifcCi')>

Va? - решение для межфазной трещины , <роз - учитывает влияние микродефектов на межфазную макротрещипу.

Для того, чтобы изучить распределение напряжений в малой области, окружающей вершину трещины, ставится вопрос определения значения коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) на основе следующей

формулы: кш = Т lim Jk^-XVoiz) (3)

%—^il

Используя специально написанную программу, мы рассмотрели следующие две схемы расположения микродефектов.

//А /// ///А

///// '//// ////

гггггтп

ТТТТТТТх чини

✓/////// //////// о ////////

/"'/ /П /Гх

а) б)

Рис.1. Расчетные схемы расположения микротрещия.

для fif/fm^O, I Рнс.2.1

£> я г и и в и для ft//ftuJ),5 Рис.2.2

Wr/lo

дЛЯ Hl/ßll'l

Рис.2.3

На рис.2.1-2.3 изображены графики зависимости кц/т{1о)"2 от угла наклона микротрещин ак при разном расположении поля микротрещин (широкой линией обозначены графики для случая а), тонкой - обозначены графики для случая Ь) (рис.1)).

Отмечается значительное влияние угла наклона микродефектов (изменяющегося от 0° до 180°) на коэффициент интенсивности напряжения, при этом чем выше значение отношения Ц] /|1ц, тем выше значение коэффициента интенсивности напряжений.

В случае, когда ^ /цп =1, значение КИН совпадает с результатами, полученными для однородной плоскости с макротрещиной и полем микродефектов в условиях продольного сдвига.

В случае, когда поле микродефектов располагается строго над макротрещиной, значение КИН, в зависимости от угла наклона микродефектов, изменяется менее резко.

Полученные результаты полностью охватывают частные случаи, рассмотренные в работах Wang X.D., Meguid S.A. о взаимодействии макротрещины с одной и двумя микротрещинами под действие продольного сдвига.

В четвертой главе исследуется задача о взаимодействии макротрещины с произвольно расположенными микротрещинами в упругом полупространстве в условиях продольного сдвига. Получена система соответствующих сингулярных интегральных уравнений. Исследовано изменение значения КИИ макротрещины от ее ориентации относительно границы полупространства при наличии микродефектов

Имеем здесь систему N трещин продольного сдвига в упругом полупространстве, отнесенном к системе координат (х,у,т). Пусть ось антиплоской деформации направлена вдоль оси г, а ось х совпадает с границей тела Длину прямолинейных разрезов обозначим 24 (к=1,2, ...,А'). Напряженное состояние тела, вызванное разрывами смещений ¡л^х^ на N полосах \хк\ характеризуется функцией

1 N 'к , 1

™ ы\ -1к 1е1ССк - г + ^ /е - г + Ц Сравнив напряжения в плоскостях разрезов и заданную нагрузку и учтя, что граница тела свободна от нагрузки, получим систему сингулярных интегральных уравнений соответствующих этой задаче

I МЛ + £ \птпк(!,х)<Ь = лгп{х), п = 1,2,...ЛГ

е1ая ГО, пфк

0пк (/, х) = {\- 8пк )Рпк (/,*) + 8пк=\'

лп~1к 1!> п~К

/>„*('.*) = Хп=хе1а» +2°, Тк = 1еШк +2°к,

'к ~лп

Мы применяем далее метод малого параметра для преобразования полученной системы уравнений (малый параметр X равен отношению длины микродефекта к длине макротрещины). Функции разрывов смещений ищутся в

00 00 виде ^,(77)= //й07)= Т.Мги^

2=0 5=0

После разложения регулярных ядер ()ц, Qn¡, Qnt, входящих в уравнения системы, по степеням А получается рекуррентная последовательность уравнений для определения искомых коэффициентов разложения /</„, эти

/

разложения сходятся при условии

<1,

1х{Я-ик)

Для того, чтобы определить неизвестные коэффициенты регудяризируем уравнения системы методом Карлемана-Векуа. Учитывая полученные значения разрывов смещений, находим коэффициенты интенсивности напряжений в вершине макротрещины.

Построены графики зависимости А^/гУ'Д) от угла наклона микродефектов.

О &имБ»Э£ЗОЭЙ4а46&о5в«>вв70 76 в0МВ0

рис.4.1 а,=90

О 5 10 )В 30 35 30 35 40 45 50 55 60 «5 70 75 ВО «5 ВО

рис.4.2 в|-45

Па рисунках изображены графики зависимости для случаев, когда поле микродефектов расположено с правой стороны от макротрещины.

рис.4.3 а1=0

Полученных результаты позволяют сделать следующие выводы: 1. В случае, когда макротрещина перпендикулярна границе полупространства, наличие микротрещин увеличивает коэффициент

интенсивности напряжений, для двух других рассмотренных положений микродефектов и макротрещины значение КИН уменьшается.

2. Если микродефекты расположены под углом 45° относительно границы полупространства, то в случае параллельного расположения макротрещины КИН увеличивается, а в случае, когда макротрещина перпендикулярна границе полупространства значение КИН уменьшается.

3. Для случая, когда макротрещина наклонена к границе полупространства под углом 45°, наиболее "опасные" значения коэффициент интенсивности напряжений достигает при угле наклона микродефектов в 70°, а минимальное значение КИН принимает в случае наклона микродефектов под углом 30°.

В пятой главе рассматривается задача для полуплоскости, содержащей магистральную трещину и, произвольно расположенные относительно друг друга и относительно макротрещины, микродефекты. Эта задача исследуется при воздействии растягивающей нагрузки, приложенной на бесконечности. Граничные условия на линиях трещин, в этом случае, имеют вид:

<Гк~'тк я Ра(*Л М< 'А.* = 1.2,...//

Сисгема сингулярных интегральных уравнений, полученная для макротрещины и поля микродефектов, учитывает области закрытия трещины. Считается, что макротрещина имеет длину открытой зоны 2с (21022с), поэтому интегрирование для вертикальных смещений производится от -с до с. Чтобы учесть этот момент система записана отдельно для горизонтальных и вертикальных смещений

N к

- Т. \и'к (01т(Док С> *) + С, = ^ , |д | < /0

_с 1-х ЛГ

к=0-1к 1п и> (,) N 1к

I пА1а,+ £ 1{и'ктс(Япк((,х)-8пк(1,х))Л-

- и'к + Зпк{1,х))}Л = лг^п, |х|</„, « = 1,2,..Л

и' К) М 'к -¡П '~Х *=<Н

+ и,к(1)Ы({{„к0%х) + Япк(1,х))}Ж = 7ггуХп, \х\<1„, п -1,2,...А/

Для решения полученной системы сингулярных интегральных уравнений используется метод малого параметра. Малый параметр Л=1/1о, Раскладываем по степеням Я ядра

и входящие в уравнения системы. Величины ии ^(соответственно горизонтальные и вертикальные разрывы перемещений) представляются в виде ряда по малому параметру X

и'к(т)=Ъ* И'*, (Г), и'к(т)=£А!и'1а(т), к = 0,10,.. Л. О $=0

Все разложения справедливы при выполнении неравенства, 1

1о(г~ч)

обеспечивающего сходимость получаемых разложений.

Решение рекуррентной системы уравнений осуществляется с помощью регуляризации методом Карлемана - Векуа.

Отдельно рассматривается случай, когда макротрещина перпендикулярна границе полуплоскости. Нагрузка, действующая на бесконечности параллельно границе полуплоскости, представлена в виде суперпозиции нагрузок, действующих на поверхностях разрезов (трещин):

1-е"2'"-), и

<1,

Для дайной задачи применяется численный метод механических квадратур. Написана программа для решения полученной системы уравнений, с помощью которой получены следующие результаты:

1. Найден коэффициент интенсивности напряжений для макротрещины в зависимости от положения микродефектов относительно последней, а именно, в зависимости от их координат и угла наклона, из чего сделаны следующие выводы:

1) если микродефект находится впереди макротрещины, то коэффициент интенсивности напряжений последней возрастает по отношению к своему значению в однородном материале. Наиболее опасен в плане разрушения угол наклона для микродефекта ак=0.

2) если микродефект расположен вверху или внизу макротрещины, то КИН последней уменьшается по сравнению с КИН для однородной полуплоскости с трещиной.

Л (-2.25,0) (-2.25, 0) (-2.25, 0) (-1,0.25) (-1,0.25)

а\ Н л/4 тс/2 л/4 к/4 л/6

КИН, 1,217 1,1216 1,1220 1,1214 1,1214

2, При исследовании коэффициента интенсивности напряжения микродефекта получены следующие результаты:

1) если микродефект находится строго вверху или внизу макрогрещины и располагается под углом л/4 к растягивающей нагрузке, то его коэффициент интенсивности напряжений меньше нуля, а это значит, что микродефект закрыт;

2) если микродефект находится строго вверху или внизу макротрещины и располагается под углом л/4 (или -л/4) к растягивающей нагрузке, но на расстоянии от макротрещины большем чем /¡/2, то его коэффициент интенсивности напряжений имеет значение больше нуля, то есть микродефект открыт;

а°1г=я/4

А (-1,0.25) (-1.1,0.25) (-2.25,0) (-1,1) (-1.1,-1)

КИН, -1,1194 -1,1192 -1,1203 1,1209 1,207

Для сравнения отметим, что для однородной полуплоскости с одним микродефектом, расположенным под углом я/4 (или -л/4) к растягивающей нагрузке в любом месте этой полуплоскости, коэффициент интенсивности напряжений равен нулю, что означает контакт берегов разреза.

Основные результаты диссертационной работы

1. Разработана математическая модель развития трещин в двухсвязном материале в условиях продольного сдвига

- Построен комплексный потенциал задачи продольного сдвига для внутренних дефектов/сингулярностей в двухкомпонентном материале с бездефектной границей раздела.

- Получена система сингулярных интегральных уравнений задачи для системы внутренних дефектов и при наличии межфазной трещины.

- Для случая, когда внутренние дефекты являются микротрещинами, имеющими одинаковый размер (например, равный размеру структурного элемента материала) получено решение в виде ряда по малому параметру X, равному отношению длины микротрещины к длине межфазной трещины.

- Получены аналитические, асимптотические формулы в виде рядов по малому параметру А, для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах межфазной трещины.

- Асимптотические формулы для КИН межфазной трещины легли в основу компьютерной программы, которая использована для моделирования влияния расположения систем микротрещин и их ориентации на эффективное сопротивление материала распространению межфазной трещины.

- Описаны области расположения микротрещин, которые под действием приложенной нагрузки могут инициировать распространение межфазной

трещины и области, которые вызывают эффект «экранирования», а значит торможения межфазной трещины.

2 Для упругого полупространства под действием продольного сдвига, содержащего макротрещину и микротрещины:

- получена система сингулярных интегральных уравнений

- получены аналитические формулы для функции разрывов смещений и для коэффициентов интенсивности напряжений; а также найдено численное решение задачи с помощью метода механических квадратур;

~ исследовано влияние на КИН положения и ориентации микротрещин при разных расположениях макротрещины относительно границы поверхности при помощи компьютерной программы., написанной в СКМ Mathematica 4.

3. Для макротрещины и микродефектов в полуплоскости под действием растягивающей нагрузки:

- построена система сингулярных интегральных уравнений с учетом возможного контакта берегов трещин;

- с помощью численно-аналигического метода решения получены значения функции смещения перемещений и КИН в вершинах трещин для случая, когда макротрещина перпендикулярна границе тела;

- исследовано влияние геометрии микродефектов на КИН в вершинах трещин

4. Адекватность построенных моделей подтверждена соответствием полученных результатов известным в литературе точным и приближенным численным решениям частных случаев относительно рассматриваемых в диссертации задач.

Публикации по материалам диссертации

1. Petrova V. Fracture of a semi-infinite médium, containing a macrocrack and microcracks / V. Petrova, V.Tamuzs, T. Mescheryakova II ECF11 Mechanisms and Mechar>ic3 of Damage and Failure. - 1996. - P. 283-288.

2 Petrova V. Contact problems of a main crack interacting with small inclusions in a half-plane / V. Petrova, V. Tamuzs, T. Mescheryakova // XXXI Polish Solid

Mechanics Conference SolMec'96 : Book of Abstr. / Mierkin.: Olztynek. -Olztynek, 1996. - P.197-198.

3. Мещерякова T.B. Межфазная трещина продольного сдвига в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами / Т.В. Мещерякова, В.Е. Петрова // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. науч. тр. / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2004. - С. 363-366.

4. Мещерякова Т.В. Влияние внутренних дефектов на прочность поверхности раздела двухкомпонентного материала / Т.В. Мещерякова, В.Е. Петрова // Авиакосмические технологии «АКТ-2004» // сб. науч. тр. / Воронеж.гос.технич. университет. - Воронеж, 2004. - С.260-266.

5. Мещерякова Т.В. Взаимодействие макро и микро трещин в упругом полупространстве / Т.В. Мещерякова ; Воронеж гос. ун-т. - Воронеж, 2005. -14 с.-Деп. В ВИНИТИ 14.01.05, N31.

6. Мещерякова Т.В. Математическая модель структурно-неоднородного материала при растяжении / Т.В. Мещерякова // Современные методы теории краевых задач : Понтрягинские чтения -XVI : тез. докл. - Воронеж, 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005. - С. 107.

7. Мещерякова Т.В. Влияние границы полупространства и внутренних дефектов на распространение макротрещины в условиях продольного сдвига / Т.В. Мещерякова II Современные методы теории краевых задач Понтрягинские чтения -XVI: тез. докл. - Воронеж, 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005.-С. 185.

8. Мещерякова Т.В. Прочность и трещиностойкость границы раздела двухкомпонентного материала при наличии внутренних дефектов / Т.В. Мещерякова, В.Е. Петрова // Наука - производству. - 2005. - № 3. - С.20-23.

9. Мещерякова Т.В. Математическая модель разрушения упругого тела, содержащего трещины, под действием растягивающей нагрузки полупространстве / Т.В. Мещерякова ; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2005. -19 с. Деп. В ВИНИТИ 03 05.05, N 332.

Отпечатано с ютового макета в типографии ООО «ИРВА» г. Воронеж, Ленинский проспект, 6/2 Тираж! 00 экэ Закат №35424

05-121

РНБ Русский фонд

2006-4 6905

Введение.

Глава 1. Обзор исследований, посвященных взаимодействию трещин в хрупких материалах.

1.1 Системы трещин.

1.2 Взаимодействие макротрещины с микродефектами.

Глава 2. Некоторые необходимые сведения теории упругости и теории аналитических функций для создания математических моделей материалов с трещинами.

2.1 Основные соотношения плоской задачи теории упругости.

2.2 Основные соотношения теории упругости при продольном сдвиге.

Глава 3. Межфазная трещина продольного сдвига в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Межфазная трещина в условиях продольного сдвига.

3.3 Внутренние дефекты в двухкомпонентном материале.

3.4. Взаимодействие межфазной трещины с микродефектами.

3.5 Решение системы сингулярных интегральных уравнений.

3.6 Вычисление коэффициента интенсивности напряжений в вершине макротрещины и анализ полученных результатов.

Глава 4. Задача продольного сдвига для полупространства с макротрещиной и полем микродефектов.

4.1 Интегральные уравнения для системы трещин.

4.2 Применение метода малого параметра к решению системы сингулярных интегральных уравнений.

4.3 Решение рекуррентной системы уравнений.

4.4 Численное решение, с помощью метода механических квадратур.

4.5 Анализ полученных результатов.

Глава 5. Математическая модель разрушения упругого тела, содержащего трещины, под действием растягивающей нагрузки.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Сингулярные интегральные уравнения задачи теории упругости.

5.3 Системы сингулярных интегральных уравнений для микротрещины и поля микродефектов с учетом области закрытия трещины.

5.4 Разложение систем сингулярных интегральных уравнений методом малого параметра.

5.5 Решение рекуррентной системы уравнений.

5.6 Взаимодействие магистральной трещины, перпендикулярной границе полуплоскости, с микродефектами.

5.7 Метод механических квадратур.

5.8 Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин.

5.9 Анализ полученных результатов.

Актуальность темы. Большой интерес к анализу процессов разрушения хрупких материалов не только не ослабевает, но и усиливается, в силу широкого использования в технике высокопрочных материалов и композитов (например, высокопрочные стали, легированные стали, сплавы из алюминия и титана). Все эти материалы, с технической точки зрения, рассматриваются как хрупкие. Как показывает опыт, в композитах и высокопрочных материалах уже на этапе изготовления, а также на очень ранней стадии их эксплуатации появляются трещины. В свою очередь процесс роста трещин сопровождается образованием в их окрестности множества микротрещин, присутствие которых определяет способность материала к сопротивлению разрушению, т.е. его трещиностойкость. Математическое моделирование таких процессов в структурно неоднородных средах является актуальной задачей современной теории разрушения материалов. Основам математической теории трещин посвящены работы В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин, Н.Ф. Морозова, С.А. Назарова, A.M. Линькова, Е.М. Морозова и др., зарубежных авторов В. Karihaloo, Y.Z. Chen, D. Gross и др. Взаимодействие межфазной трещины в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами исследовано в работах J.G.Goree & W.A.Venezia, M.Isida & H.Noguchi, В.Е.Петровой, X.D.Wang & S.A.Meguid и др.

В данной работе разрабатывается, исследуется и обосновывается математическая модель механики разрушения для материалов, содержащих макро и микротрещины под действием механического нагружения.

Рассматриваемые в работе модели существенно расширяют класс изучавшихся ранее ситуаций:

- во-первых, исследованием макротрещин конечных размеров (во многих задачах, решаемых ранее, рассматривались полубесконечные трещины) для тел с границами; во-вторых, исследованием произвольного числа произвольно расположенных микротрещин (в работах предшественников рассматривались либо одна-две микротрещины, либо периодические расположенные системы трещин) в телах с границами.

Моделирование описанных объектов приводит к системам сингулярных интегральных уравнений исследование которых, в силу отмеченной выше спецификации, потребовало существенной модернизации стандартных методов анализа подобных задач и привлечения методов аналитического плана (метод малого параметра) и численного плана (метод механических квадратур). Конечные размеры макротрещины и присутствие границ тела, в изучаемых далее моделях, усложняют формулы регулярных ядер, в связи с этим исследование модели только аналитическими методами недостаточно. Поэтому разрабатывается численно-аналитический метод, комбинирующий оба подхода.

Целью работы является разработка и исследование математических моделей процессов разрушения в структурно-неоднородных материалах и методов численно-аналитического решения задач о взаимодействии систем трещин в полубесконечных и двухкомпонентных упругих телах для технических приложений.

В соответствии с данной целью были поставлены следующие задачи:

- построить системы сингулярных интегральных уравнений для изучаемых объектов;

- разработать методы решения полученных систем сингулярных уравнений для нахождения функций разрывов смещений на линиях трещин;

- вычислить коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещин, для определения перераспределения напряжений в малой окрестности вершины трещины;

- проверить адекватность полученных математических моделей исследуемых объектов.

Научная новизна. В работе проведено исследование новых математических моделей и проведен численно-аналитический и асимптотический анализ, превращающий эти модели в инструмент получения новых знаний об объектах и прогнозировать их свойства. А именно: а) построена и решена система сингулярных интегральных уравнений для межфазной трещины и произвольного числа внутренних микродефектов в двухкомпонентном материале в условиях продольного сдвига; б) метод Панасюка В.В., Саврука М.П., описания системы трещин в полуплоскости с помощью сингулярных интегральных уравнений, распространен на комбинацию макротрещины с системой микротрещин в полуплоскости и дополнен углубленным анализом полученной модели. На этом пути изучен эффект «схлопывания» микротрещин и частичного закрытия макротрещины; в) на основе системы сингулярных интегральных уравнений для полупространства в условиях продольного сдвига описана и изучена система сингулярных интегральных уравнений для макротрещины и поля микродефектов.

Математические методы. В работе использованы методы теории функций комплексной переменной, математический аппарат сингулярных интегральных уравнений, асимптотический метод (метод малого параметра) и численные методы (типа механических квадратур).

Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики разрушения и теории упругости, строгости математических методов и приемов, соответствии полученных результатов с известными в литературе точными и приближенными численными решениями частных случаев рассматриваемых в диссертации задач.

Практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения тела, при наличии в нем макротрещин и детерминированным образом расположенных микротрещин при воздействии механических нагрузок. Разработанные теоретические положения могут служить основой для оптимизации трещиностойкости материалов посредством управления структурой, определяющей возможные закономерности возникновения и геометрию систем микротрещин.

Теоретические результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе Воронежского государственного университета на математическом факультете, факультете прикладной математики и механики, в учебном процессе Воронежского государственного архитектурно-строительного университета при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах в НИИ математики при ВГУ (1994-1995 гг.), на семинарах в International Center for Mechanical Sciences (г.Удин, Италия 1996 г.), на V-ой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ -2004»» (Воронеж, 2004г.), на конференции ВВМШ «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения XVI» (Воронеж, 2005), на научных общегородских семинарах при Воронежском государственном университете.

Публикации. Содержание диссертации отражено в 9 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы: 140 страниц, 13 рисунков, 2 таблицы, список литературы из 188 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель развития трещин в двухсвязном материале в условиях продольного сдвига (двухсвязный материал состоит из двух материалов, которые соединены вдоль прямолинейной поверхности раздела и имеют разные упругие свойства).

- Построен комплексный потенциал задачи продольного сдвига для внутренних дефектов/сингулярностей в двухкомпонентном материале с бездефектной границей раздела. Он выражен через комплексный потенциал для того же дефекта в бесконечном, однородном материале.

Получена система сингулярных интегральных уравнений задачи для системы внутренних дефектов и при наличии межфазной трещины.

- Для случая, когда внутренние дефекты являются микротрещинами, имеющими одинаковый размер (например, равный размеру структурного элемента материала) получено решение в виде ряда по малому параметру Я, равному отношению длины микротрещины к длине межфазной трещины.

- Получены аналитические, асимптотические формулы в виде рядов по малому параметру Я для коэффициентов интенсивности напря жжений (КИН) в вершинах межфазной трещины.

- Асимптотические формулы для КИН межфазной трещины легли в основу компьютерной программы, которая использована для моделирования влияния расположения систем микротрещин и их ориентации на эффективное сопротивление материала распространению межфазной трещины.

- Описаны области расположения микротрещин, которые под действием приложенной нагрузки могут инициировать распространение межфазной трещины и области, которые вызывают эффект «экранирования», а значит торможения межфазной трещины.

3. Для макротрещины и микродефектов в полуплоскости под действием растягивающей нагрузки:

- построена система сингулярных интегральных уравнений с учетом возможного контакта берегов трещин.

- с помощью численно-аналитического метода решения получены значения функции смещения перемещений и КИН в вершинах трещин для случая, когда макротрещина перпендикулярна границе тела;

- исследовано влияние геометрии микродефектов на КИН в вершинах трещин.

4. Адекватность построенных моделей подтверждена соответствием полученных результатов известным в литературе точным и приближенным численным решениям частных случаев относительно рассматриваемых в диссертации задач.

1. Андреев, А. В. Расчет предельного равновесия краевых криволинейных трещин в упругой полуплоскости с учетом асимптотики напряжений Текст. / А. В. Андреев // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 2003. - N 6. -С. 82-96

2. Антипов, Ю.А. Трещина на линии раздела сред при наличии сухого трения Текст. / Ю.А Антипов // Прикладная математика и механика. -1995. Т.59, вып. 2. С. 290-306.

3. Бакиров, В. Ф. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины на границе соединения материалов Текст. / В. Ф. Бакиров, Р.В. Гольдштейн //Прикл. мат. и мех. 2004. - Т.68, N 1. - С. 170-179.

4. Бардзокас, Д.Я. Интегральные уравнения теории упругости для многосвязной области с включениями Текст. / Д.Я. Бардзокас, В.З. Партон, П.С. Теокарис // Прикл. матем. и мех. 1989. - Т. 53, № 3. -С. 485 - 495.

5. Бережницкий, Л.Т. Взаимодействии жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле Текст. / Л.Т. Бережницкий, В.В. Панасюк, Н.Г. Стащук. — Киев : Наук, думка, 1983. 288 с.

6. Ванин, Г.А. Локальные разрушения в волокнистых средах Текст. / Г.А. Ванин // Механика композитных материалов. 1982. - № 4. - С. 618-625.

7. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи Текст. / Н.П. Векуа. М. : Физматлит : Наука, 1970. -379 с.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи Текст. / Ф.Д. Гахов. 3-е изд. - М. : Физматлит : Наука, 1977. - 639 с.

9. Гольдштейн, Р. В. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами Текст. / Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер // Механика твердого тела. 2001. - N1. - С. 94-112.

10. Грилицький, М. Д. Зведення задач1 про взаемодш трщин у защемленому niBnpocTopi до крайових штегральних р1внянь Текст. / М. Д. Грилицький, I. П. Лаушник, О. М. Станкевич // Oi3.-xiM. мех. матер. -2003.-Т. 39,N 1.-С. 71-76.

11. Даль, Ю. М. О развитии приповерхностных трещин Текст. / Ю. М. Даль, Ю. Г. Пронина // Вопр. мех. и процессов упр. 2003. - N 19. -С. 172-178.

12. Дундурс, Я. Обзор и перспективы исследования межфазной трещины Текст. / Я. Дундурс, М. Комниноу // Механика композит, материалов. -1979.-№3.-С. 387-396.

13. Каландия, А.И. Математические методы двумерной упругости Текст. / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973.-304 с.

14. Каминский, А.А., Кипнис JI.A., Колмакова В.А. О модели Дагдейла для трещины на границе раздела различных сред Текст. / Каминский, А.А., Кипнис JI.A., Колмакова В.А. // Прикладная механика. 1999.- Т.35, № 1.- С.63-68.

15. Кирилюк, B.C. О напряженном состоянии упругой среды с эллиптической трещиной и двумя эллипсоидальными полостями Текст. / В. С. Кирилюк // Прикл. мех. 2003. - Т.39, N 7. - С. 94-105

16. Колосов, Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости Текст. /Г.В. Колосов. Юрьев : Типография К.Маттисена, 1909. - 188 с.

17. Колосов, Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной переменной к теории упругости Текст. / Г.В. Колосов. JI. : М.: ОНТИ, 1935. - 224 с.

18. Корнейчук, JI.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов Текст. / JI.A. Корнейчук. М. : Физматгиз : Наука, 1964. - 274 с.

19. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов Текст. / В.И. Крылов. М.: Физматгиз : Наука, 1967.- 500 с.

20. Линьков, A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости Текст. / A.M. Линьков. М. : СПб. : Наука, 1999. -382 с.

21. Лобода, В.В. Определение зон предразрушения у края трещины между двумя упругими ортотропными телами Текст. / В.В. Лобода, А. Е. Шевелева // Прикл. мех. 2003. - Т. 39, N 5, С. 76-82.

22. Математическое моделирование Текст. / В. А. Садовничий [ и др] ; под общ. ред. А.Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1993.-372 с.

23. Меткалф, А. Композиционные материалы. Поверхности раздела в металлических композитах Текст. / А. Меткалф. Том.1. — М. : Мир, 1978.-238 с.

24. Мещерякова, Т.В. Взаимодействие макро и микро трещин в упругом полупространстве Текст. / Т.В. Мещерякова ; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 2005. 14 с. Деп. В ВИНИТИ 14.01.05, N 31.

25. Мещерякова, Т.В. Прочность и трещиностойкость границы раздела двухкомпонентного материала при наличии внутренних дефектов Текст. / Т.В. Мещерякова, В.Е. Петрова // Наука — производству.2005.-№3.-С. 20-23.

26. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники Текст. / С.Г. Михлин. М.: JI.: Гостехиздат,1949. - 380 с.

27. Морозов, Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения Текст. / Е.М. Морозов, М.В. Зернин. М. : Машиностроение, 1999. -544 с.

28. Морозов, Н.Ф. Математические вопросы теории трещин Текст. / Н.Ф. Морозов. М.: Наука, 1984. - 256 с.

29. Мураками, Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений Текст. : справ, пособие : в 2 т :[пер. с англ] / Ю. Мураками ; под общ. ред. Р.В. Гольдштейна, Н.А. Махутова. -М.: Мир, 1990. 1013 с.-2 т.

30. Мусхелишвили, Н.И. Основные граничные задачи теории упругости, для плоскости с прямолинейными разрезами Текст. / Н.И. Мусхелишвили // Сообщения АН Груз. ССР. 1942. - Т. 3, № 2. - С. 103 - 110.

31. Мусхелишвили, Н.И Сингулярные интегральные уравнения Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Физматгиз, 1962. - 511 с.

32. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1966. - 707 с.

33. Назаров, С.А. Введение в асимптотические методы Текст. / С.А. Назаров.- Л.: Изд. ЛГУ, 1983. 117 с.

34. Назаров, С.А. Коэффициенты интенсивности напряжений для параллельных сближенных трещин в плоской области Текст. / С.А. Назаров, О.Р. Полякова //Прикл. матем. и мех. 1990. -Т. 54, № 1. -С. 132-141.

35. Назаров, С.А. Разрушение узкой перемычки между трещинами, лежащими в одной плоскости Текст. / С.А. Назаров, О.Р. Полякова // Прикл. матем. и мех. 1991. - Т.55, № 1.- С. 165-173.

36. Панасюк, В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов Текст. / В.В. Панасюк. Киев : Наук, думка, 1991. - 411 с.

37. Панасюк, В.В. Основы механики разрушения материалов Текст. : справ, пособие: в 4 т. / В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партон ; под. общ. ред. В.В. Панасюка- Киев : Наук, думка, 1988. Т.1 : Механика разрушения и прочность материалов.- 486 с.

38. Панасюк, В.В. Определение предельных напряжений при растяжении пластины с двумя неравными трещинами Текст. / В.В. Панасюк, Б.Л. Лозовой // Теория пластин и оболочек.- 1962. С. 204-208.

39. Панасюк, В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках Текст. / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. Киев : Наук. Думка, 1976.- 445 с.

40. Партон В.З. Интегральные уравнения теории упругости Текст. / В.З. Партон, П.И. Перлин М.: Наука, 1977. - 312 с.

41. Попов, Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений Текст. / Г.Я. Попов. М.: Наука, 1982.-344 с.

42. Прусов, И.А. Напряженное состояние в неоднородной плоскости с разрезами Текст. / И.А. Прусов // Прикладная механика. 1966. - Т. 2, Вып. 6. - С.11-18.

43. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 743 с.

44. Ромалис, Н.Б. Разрушение структурно неоднородных тел Текст. / Н.Б. Ромалис, В.П. Тамуж. - Рига : Зинатне, 1989. - 224 с.

45. Ромалис, Н.Б. Распространение макротрещины в поле микродефектов Текст. / Н.Б. Ромалис, В.П. Тамуж // Механика композит, материалов. -1984.-№ 1.-С. 42-51.

46. Савин, Г.Н. Решение задачи об отколе поверхностей контактирующих тел методами механики разрушения Текст. / Г.Н. Савин // Физ.-хим. Механика материалов. 1984. - Т.20, №5. - С. 109-112.

47. Савин, Г.Н. Распределение напряжений около отверстий Текст. / Г.Н. Савин. Киев : Наук, думка, 1968. - 888 с.

48. Саврук, М.П. Механика разрушения и прочность материалов Текст. : справ, пособие: и 4 т / М. П. Саврук ; под. ред. В.В. Панасюка. — Киев : Наук, думка, 1988. Т.2. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами - 618с.

49. Саврук, М. П., Осечко А. М. Поздовжнш зсув безмежного тша i3 системою ламаних тр1щин Текст. / М. П. Саврук, А. М. Осечко // Ф1з.-xim. мех. матер. 2003. - Т. 39, N 5. - С. 49-58

50. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами Текст. / М.П. Саврук. Киев : Наук, думка, 1981. - 324 с.

51. Самарский, А. А. Математическое моделирование Текст. / А. А. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд. - М. : Физматлит, 2002. - 320 с.

52. Соколкин, Ю.В. Механика деформирования и разрушения структурно -неоднородных тел Текст. / Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов. М. : Наука, 1984.-115 с.

53. Сулим, Г.Т. Упругое равновесие полуплоскости с системой линейных включений Текст. / Г.Т. Сулим // Прикл. Мех. 1983.- Т. 19, № 2.- С. 96100.

54. Тамуж, В.П. Микромеханика разрушения полимерных материалов Текст. / В.П. Тамуж, B.C. Куксенко. Рига : Зинатне, 1978. - 294 с.

55. Тамуж, В.П. Магистральная трещина в поле микродефектов в условиях поперечного сдвига Текст. / В.П. Тамуж, В.Е. Петрова // Физ. хим. механика материалов. - 1993. - № 3. - С. 147-157.

56. Тамуж, В.П. О взаимодействии микротрещины с микродефектами Текст. / В.П. Тамуж, В.Е. Петрова // Прикладная механика. 2002. - Т. 38, № Ю.-С. 3-26.

57. Толоконников, JI.А. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики Текст. / JI.A. Толоконников, В.Б. Пеньков. Тула : ТВАИУ, 1998.-378 с. 70.Черепанов, Г.П. Механика разрушения композиционных материалов

58. Текст. / Г.П. Черепанов. М. : Физматлит : Наука, 1983. - 296 с. 71.Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения Текст] / Г.П. Черепанов. - М.: Физматлит : Наука, 1974. - 640 с.

59. Aliabadi, М.Н. Static and Dynamic Fracture Mechanics Текст. / M.H. Aliabadi, C.A. Brebbia, V.Z. Parton. Southampton : Computational Mechanics Publications, 1994. - 376 p.

60. Aliabadi, M.H. Numerical Fracture Mechanics Текст. / M.H. Aliabadi, D.P. Rooke. Southampton : Computational Mechanics Publications, 1991. - 2801. P

61. Aimonov, I.V. An interface crack in an inhomogeneous stress field Текст. / I.V. Simonov // Int.J. Fracture. 1990. - V.46. - P.223-235.

62. Atkinson, C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics Текст. / С. Atkinson // Int. J. Fracture. 1977. -V.13. -P.807- 820.

63. Berger, J.R. Boundary integral equations formulations for interface crack in anisotropic materials Текст. / J.R. Berger, V.K. Tewary // Comput. Mech. -1997.-V.20, N 3.-P.261-266.

64. Binienda, W.K. Stress intensity factors for fully interacting cracks in a multicrack solid Текст. / W.K. Binienda // J. Offshore Mech. Artie. Eng. -1994.-V. 116, N2. -P. 56-63.

65. Boniface, V. Re-examination of crack opening model on interface fracture Текст. / V. Boniface, K.R.Y. Simha // Eng. Fracture Mech. 1999. - V.64.-P.677-691.

66. Bueckner, H.F. A novel principle for the calculation of stress intensity factors Текст. / H.F. Bueckner // ZAMM. 1970. - V. 50. - P. 529 - 545.

67. Bueckner, H.F. Weight function and fundamental fields for the penny -shaped and the half- plane crack in three space Текст./ H.F. Bueckner // Int. J. Solids Struct. - 1987. - V. 23. - P. 57-93.

68. Chang, C-Y. The mixed-mode fracture analysis of multiple embedded cracks in a semi-infinite plane by an analytical alternating method Текст. / Chih-Yi Chang, Ma Chien-Ching // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol.- 2002.- V.124.N4.- P.446-456

69. Chen, Y.H. Macrocrack microcrack interaction in piezoelectric material. Part I : Basic formulation and J - analysis Текст. / Y.H. Chen, J. - J. Han // Trans. ASME J. Appl. Mech. - 1999. - V. 66, N. 2. - P. 514 - 521.

70. Chen, Y.H. Macrocrack microcrack interaction in piezoelectric material. Part II: Numerical results and discussions Текст./ Y.H. Chen, J. - J. Han // Trans. ASME J. Appl. Mech. - 1999. - V. 66, N. 2. - P. 522 - 527.

71. Chen, Y.H. Investigation of macro microcrack interaction problems in anisotropic elastic solids. Part I : General solution to the problem and application of the J - integral Текст. / Y.H. Chen, Hong Zuo // Int. J. Fracture. - 1998. -V.91.- P.61-82.

72. Chen, Y.Z. A Fredholm integral equation for multiple crack problems in an infinite plate Текст. / Y.Z. Chen // Eng. Fract. Mech. 1984. - V. 20. - P. 767 -775.

73. Chen, Y.Z. A survey of new integral equations in plane elasticity crack problem Текст. / Y.Z. Chen // Eng. Fract. Mech. 1995. - V. 51, N 1. - P. 97- 134.

74. Chen, Y.Z. Fredholm integral equation for the multiple circular arc crack prblem in plane elasticity Текст./ Y.Z. Chen, N. Hasebe // Arch. Appl. Mech.- 1997. V. 67, N 6. -P. 433-446.

75. Chen, Y.Z. Solutions of multiple crack problems of elastic half-plane Текст. / Chen, Y.Z. // Trans. ASME J.Appl.Mech. 1985. - V. 52, N 4.- P. 979-981.

76. Cherepanov, G.P. Fracture: A Topical Encyclopedia of Current Knowledge Текст. / G.P. Cherepanov. -Melbourne : Krieger Publishing Company, 1998.-456 p.

77. Choi, S.T. Elastic singularity interacting with various types interfaces Текст. / S.T. Choi, Y.Y. Earmme // Trans.ASME J. Appl. Mech. 2003. - V.70. -P.446-448.

78. Choi, S.T. Elastic study on singularities interacting with interfaces using alternating technique: Part I: Anisotripic trimaterial Текст. / S.T. Choi, Y.Y. Earmme // Int.J. Solids Structures. 2002. - V.39. - P.943-957.

79. Choi, S.T. On the unified approach to anisotropic and isotropic elasticity forsingularity, interface and crack in dissimilar media Текст. / S.T. Choi, H. Shin, Y.Y. Earmme // Int.J. Solids Structures. 2003. - V.40. - P. 1411-1431.

80. Comninou, M. An overview of interface crack Текст. / M. Comninou // Eng. Fract. Mech. 1990. - V.37. - P.197-208.

81. Comninou, M. Effect of friction on the interface crack loaded in shear Текст. / Maria Comninou, J. Dundurs // J. Elasticity .-1980. V. 10. - P. 203-212.

82. Comninou, M. The interface crack Текст. / M. Comninou // Trans. ASME Ser: E J. Appl. Mech. 1977. - V.44. - P. 631-636.

83. Comninou, M. The interface crack in a combined tension compression andshear field Текст. / Maria Comninou, D. Schmueser // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1979. - V.46. - P. 345-348.

84. Comninou, M. The interface crack in a shear field Текст. / Maria Comninou // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1978. - V.45. - P. 287-290.

85. Comninou, M. The interface crack with friction in the contact zone Текст. /

86. Maria Comninou // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1977.- V.44. -P. 780-781.

87. England, A.A crack between dissimilar media Текст. / A. England // Trans. ASME. Ser : E. J. Appl. Mech. 1965. - V.32. - P. 400-402.

88. Erdogan, F. Stress distribution between dissimilar materials with cracks Текст. / F. Erdogan // Trans. ASME. Ser : E J. Appl. Mech. 1965. - V.32. -P. 403-410.

89. Evans, A.G. On the formation of a crack tip microcrack zone Текст. /

90. A.G. Evans // Scripta Metalurgica. 1976. - V. 10, N 1. - P. 93 - 97.

91. Fett, T. Stress Intensity Factors and Weight Functions Текст. / Т. Fett, D. Munz. Southampton : Computational Mechanics Publications, 1997. -408 p.

92. Gao, C.F. An easy method for calculating the energy release rate of cracked piezoelectric media Текст. / C.F. Gao, M.Z. Wang // Mech. Res. Commun. 1999. - V. 26, N 4. - P. 337-343.

93. Gao, C.F. Periodical cracks in piezoelectric media Текст. / C.F. Gao,

94. M.Z. Wang // Mech. Res. Commun. 1999. - V. 26, N 4. - P. 427 - 432.

95. Gautesen, A.K. The interface crack in a tension field Текст. / A.K. Gautesen, J. Dundurs // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1987.- V.54, P. 93-98.

96. Gautsen, A.K. An interface crack under combined loading Текст. / A.K. Gautsen, J. Dundurs // Trans. ASME. Ser : E J. Appl. Mech. 1988. - V.55. -P. 580-586.

97. Goldstein, R.V. Modeling of bonding at an interface crack Текст. / R.V. Goldstein, M. Perelmuter // Int. J. Fracture. 1999. - V.99. - P. 53-79.

98. Gong, S.X. General solution to the problem of microcracks near the tip ofa main crack Текст. / S.X. Gong, H. Horii // J.Mech. Phys. Solids. 1989. -V. 37. - P. 27-46.

99. Goree, J.G. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material-II Текст. / J.G. Goree, W.A. Venezia // Int. J. Eng. Sci. 1977. - V. 15. - P. 1927.

100. Graham, G.A.C. Stress intensity factors for two offset parallel circularcracks Part I: Infinite elastic solid Текст. / G.A.C. Graham, Q. Lan // Theor. Appl. Fracture Mech. - 1994. - V. 20, N 3. - P. 207 - 225.

101. Graham, G.A.C. Stress intensity factors for two offset parallel circular cracks. Part II: Semi infinite solid Текст. / G.A.C. Graham, Q. Lan // Theor. Appl. Fracture Mech. - 1994. - V. 20, N 3. - P. 227-237.

102. Graham, G.A.C. Stress intensity factors for two offset parallel circular cracks. Part III: Elastic layer Текст./ G.A.C. Graham, Q. Lan // Theor. Appl.• Fracture Mech. -1994. V. 20, N 3. - P. 239-248.

103. Gross, D. Stress intensity factors of system of cracks Текст. / D. Gross // Ing. Arch. 1982. - V.51. - P.301-310.

104. Han, X. Interaction among interface, multiple cracks and dislocation Текст. / X. Han, F. Ellyin, Z. Xia // International Journal of Solids and Structures. -2002. V.39. - P.1575-1590.

105. Herrmann, K. P. Fracture mechanical assessment of interface cracks with contact zones in piezoelectric bimaterials under thermoelectromechanical loadings II: Electrically impermeable interface cracks Текст. / K.P.

106. Herrmann, V. V. Loboda // International Journal of Solids and Structures. —2003. V.40, N 16.-P. 4219-4237

107. Herrmann, К. P. On interface crack models with contact zones situated in an anisotropic bimaterial Текст. / K.P. Herrmann, V. V. Loboda // Archive of Applied Mechanics. 1999. - V.69. - P. 317-335.

108. Higashida, Y. Stress fields araund a crack lying parallel to a free surface Текст. / Y. Higashida, K. Kamada // Int. J. Fracture. 1982.- V.19, N 1.-P. 39-52.

109. Horii, H. Elastic fields of interacting inhomogenities Текст. / H. Horii, S. Nemat Nasser// Int. J. Solids Struct. - 1985. -V. 21. - P. 731 -745.

110. Huang, X. Interaction of penny shaped cracks with a half - plane crack Текст. / X. Huang, B.L. Karihaloo // Int. J. Solids Struct. - 1993. - V. 30, N5.-P. 2117-2139.

111. Jia, L. Debonding of the interface as 'crack arrestor' Текст. / Li Jia.// Int. J. Fracture. 2000. - V.105. - P.57-79.

112. Kachanov, M. Three dimensional problems of strongly interacting arbitrarily located penny - shaped cracks Текст. / M. Kachanov, J. Laures // Int. J. Fracture. -1989.-V.41.-P.289-313.

113. Kachanov, M. Elastic solids with many cracks and related problems Текст. / M. Kachanov // Advances in Applied Mechanics. Academic Press. -1994.-V.30.-P. 259-445.

114. Karihaloo, B.L. Fracture of solids containing arrays of cracks Текст. / B.L. Karihaloo // Eng. Fract. Mech. 1979. - V. 12. - P. 49-77.

115. Karihaloo, B.L. Three dimensional elastic crack tip interactions with shear transformation strains Текст. / B.L. Karihaloo, X. Huang // Int. J. Solids Struct. - 1989. - V. 25. - P. 591-607.

116. Kharun, I. V. A problem of thermoelasticity for a set of interface cracks with contact zones between dissimilar anisotropic materials Текст. / I. V. Kharun, V.V. Loboda // Mechanics of Materials. 2004. - July.- V.36,1.7.- P. 585-600.

117. Kharun, I. V. A thermoelastic problem for interface cracks with contact zones Текст. /1. V. Kharun, V.V. Loboda // International Journal of Solids and Structures. 2004. - January. - V.41,1.1. - P. 159-175.

118. Lam, K.Y. Multiple crack interaction and its effect on stress intensity factor Текст. / K.Y. Lam, S.P. Phua // Eng. Fract. Mech. 1991. - V. 40. - P. 585 - 595.

119. Lam, K.Y. Interaction between microcracks and a main crack in a semi -infinit medium Текст. / K.Y. Lam, Wen Cao, Tao Zhuang // Eng. Fract. Mech. 1993. - V. 44. - P. 581-602.

120. Li, Y. P. A modified Kachanov method for analysis of solids with multiple cracks Текст. / Y. P. Li, L.G.Tham, Y.H. WangII Eng. Fract. Mech. 2003. -V.70, N9-P. 1115-1129

121. Loboda, V.V. The quasi-invariant in the theory of interface cracks Текст. / V.V. Loboda // Eng. Fracture Mech. 1993. - V.44. - P. 573-580.

122. Maz'ya, V.C. On the coefficients in the asymptotic form of the solution of elliptic boundary value problems in domains with conical points Текст. / V.C. Maz'ya, B.A. Plamenevskii // Math. Arch. - 1977. - V. 76. - P. 29-41.

123. Mi Y. Three Dimentional Analysis of Crack Growth Текст. / Y. Mi. — Southampton : Computational Mechanics Publication, 1996. 204 p.

124. Mishnaevsky Jr, L.L. Damage and Fracture of Heterogeneous Materials Текст. / L.L. Mishnaevsky Jr. Rotterdam : A.A.Balkema Publishers, 1998. -230 p.

125. Mishuris, G. Interface crack and nonideal interface concept (Mode III) Текст. / G. Mishuris // Int. J. Fracture. 2001. - V. 107. - P. 279-296.

126. Mishuris, G. Stress singularity at a crack tip for various intermediate zones in bimaterial structures (Mode III) Текст. / G. Mishuris // International Journal of Solids and Structures. 1999. - V. 36. - P.999-1015.

127. Moussa Walied, A. Investigating the interaction behavior between two arbitrarily oriented surface cracks using multilevel substructuring Текст. / A.

128. Moussa Walied // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 2002. - V.124, N 4. - P. 440-445.

129. Movchan, A.B. Mathematical Modeling of Solids with Non Regular Boundaries Текст. / A.B. Movchan, N.V. Movchan. - CRC Press Publishing Company, 1995.-305 p.

130. Mogilevskaya, S. The universal algorithm based on complex hypersingular integral equation to solve plane elasticity problems Текст. / S. Mogilevskaya // Computational Mechanics. 1996. - V. 18. - P. 127-138.

131. Narendran, V.M. Elastostatic interaction of multiple arbitrarily shaped cracks in plane inhomogeneous regions Текст. / V.M. Narendran, M.P. Cleary // Eng. Fract. Mech. 1984. -V. 19, N3.- P. 481-506.

132. Nisitani H. Computational and Experimental Fracture Mechanics Текст. / H. Nisitani. Southampton : Computational Mechanics Publications, 1994. -448 p.

133. Petrova, V. A survey of macro-microcrack interaction problems Текст. / V. Petrova, V. Tamuzs, N. Romalis // Appl.Mech.Rev. 2000. - V.53. - N 5. -P. 117-146.

134. Petrova, V. Fracture of a semi-infinite medium, containing a macrocrack and microcracks Текст. / V. Petrova, V.Tamuzs, T. Mescheryakova // ECF11 Mechanisms and Mechanics of Damage and Failure : Proc.llth ECF EMAS LTD UK. 1996. - p. 283-288.

135. Petrova, V. Thermal crack for a bimaterial with an interface crack Текст. / V. Petrova, K. Herrmann // Proc. Int. Conf. New Challenges in Mesomech. Denmark, 2002. - Aug. - P. 591-597.

136. Petrova, V. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects subjected to a heat source Текст. / V. Petrova,

137. К. Herrmann // International Journal of Fracture. 2004. - V. 128. -P. 49-63.

138. Rice, J. Elastic fracture mechanics concept for interfacial cracks Текст. / J. Rice //J. Appl. Mech. 1988. - V.55. - P. 98-103.

139. Rice, J.R. Plane problems of cracks in dissimilar media Текст. / J.R. Rice, G. Sih //Trans. ASME. Ser : E J. Appl. Mech. 1965. - V.32. - P. 418-423.

140. Rose, L.R.F. Effective fracture toughness of microcracked materials Текст. / L.R.F. Rose // J. Amer. Ceram. Soc. 1986. - V. 69. - P. 212 -214.

141. Rose, L.R.F. Microcrack interaction with a main crack Текст. / L.R.F. Rose // Int. J. Fracture. 1986. - V. 31. -P. 233-242.

142. Rubinstein, A.A. Macro microdefect interaction Текст. / A.A. Rubinstein// Trans. ASME J. Appl. Mechanics. - 1986. -V. 53. - P. 505510.

143. Rubinstein, A.A. Macrocrack interaction with semi infinite microcrack array Текст. / A.A. Rubinstein // Int. J. Fracture. - 1985. - V. 27. -P. 113-119.

144. Salganik, R.L. Subcritical crack growth in weak interface under mixed mode in two dimention Текст. / R.L. Salganik, V.A. Gotlib // Theor. and Applied Fracture Mech. 2001. - V.36. - P. 233-243.

145. Sih, G.C. Handbook on Stress Intensity Factors Текст. / G.C. Sih. -Bethlehem : Lehigh Univ., Bethlehem, PA, 1973. 430 p.

146. Simonov, I.V. When does an adhesively bonded interfacial weak zone becom the nucleus of a crack? Текст. / I.V. Simonov, B.L. Karihaloo // Int. J. Solids and Structures. 2000. - V.37. - P. 7055-7069.

147. Suo, Z. Fracture mechanics for piezoelectric ceramics Текст. / Z. Suo, C.-M. Kuo, D.M. Barnett // J. Mech. Phys. Solids. 1992. - V. 40. - P.739-765.

148. Suo, Z. Mechanics of Interface Fracture Текст. / Z. Suo. Cambridge, Massachusetts : PhD Thesis, Harvard University, 1989. - 103 p.

149. Suo, Z. Singularities interacting with interfaces and cracks Текст. / Z. Suo // Int. J. Solids Structures. 1989. - V. 25. - P. 1133-1142.

150. Suo, Z. Singularities, interfaces and cracks in dissimilar anisotropic media Текст. / Z. Suo // Proc. R. Soc.Lond. 1990. - V. 427. - P. 331-358.• 163. Tada, H. The Stress Analysis of Cracks. Handbook Текст. / H. Tada, P.C.

151. Paris, G.R. Irvin. Paris : Paris Production. Inc., : St. Lous; MO, 1973. -289 p.

152. Tamuzs, V. Plane problem of macro microcrack interaction with taking account of crack closure Текст. / V. Tamuzs, V. Petrova, N. Romalis // Eng. Fract. Mech. - 1996. - V. 55, N 6. - P. 957-967.

153. Tamuzs, V. Thermal fracture of macrocrack with closure as influenced by microcracks Текст. / V. Tamuzs, V. Petrova, N. Romalis // Theor. Appl. Fracture Mech. 1994. - V. 21. - P. 207-218.

154. Tamuzs, V. Fracture of Solids with Microdefects Текст. / V. Tamuzs, V. Petrova, N. Romalis. New-York; USA : Nova Science Publishers : Inc. New-York, 2000. - 247 p.

155. Theotokoglou, E.E. An integral equation solution for cracked halfplanes bonded together and containing debondings along their interface Текст. / E.E. Theotokoglou, G.Tsamasphyros // Int. J. Fracture. 1992. - V.55. - P. 116.

156. Tian, W.-Y. Arbitrarily oriented crack near interface in piezoelectricbimaterials Текст. / W.-Y. Tian, K.T. Chau // Int. J. Solids and Struct.- 2003. V.40, N 8. - P. 1943-1958.

157. Tian, W.-Y. A semi- infinite interface crack interacting with subinterface matrix cracks in dissimilar anisotropic materials Текст. / W.-Y. Tian, Y.H. Chen // Int. J. Solids and Struct. 2000. - V.37, N 51.- P. 7717-7730.

158. Tian, W.-Y. Interaction between an interface crack and subinterface microcracks in metal/ piezoelectric bimaterials Текст. / W.-Y. Tian, Y.H. Chen // Int. J. Solids and Struct. -2000. V.37, N 52. - P. 7743-7757.

159. Tsamasphyros, G. An iterative integral equation formulation for the macrocrack array of microcracks interaction problem Текст. / G. Tsamasphyros, D.A. Eftaxiopoulos // Archiv Appl. Mech. - 1996. - V. 66. - P. 434 - 446.

160. Tsamasphyros, G., Theocaris P.S. Integral equation solution for half planes bonded together or in contact and containing internal cracks or holes Текст. / G. Tsamasphyros, P.S. Theocaris // Ingnieur Archiv. 1983. - V.53. P.225-241.

161. Wang, J. Benchmark results for the problem of interaction between a crack and a circular inclusion Текст. / J. Wang, S.G. Mogilevskaya, S. L. Crouch // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. - V.70, N 4. - P. 619-621.

162. Wang, X.D. On the general treatment of interacting cracks near an interfacial crack Текст. / X.D. Wang, S.A. Meguid // International Journal Engineering Scientific. 1996. - V.34, № 12. - P. 1397-1408.

163. Wang, X.D. The interaction between an interfacial crack and a microcrack under antiplane loading Текст. / X.D. Wang, S.A. Meguid // International Journal of Fracture. 1996. - V.76. - P. 263-278.

164. Wang, Y.-S. On the mechanical modeling of functionally graded interfacial zone with a Griffith crack: anti-plane deformation Текст. / Y.-S. Wang, G.-Y. Huang, D. Dross // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. - V.70. - P. 676-680.

165. Wen, P.H. Dynamic Fracture Mechanics: Displacement Discontinuity Methods Текст. / P.H. Wen. Southampton : Computational Mechanics Publications, 1996. - 204 p.

166. Williams, M.L. The stresses around a fault or cracks in dissimilar media Текст. / M.L. Williams // Bull. Seismol. Sos. Am. 1959. - V. 49. - P. 199204.

167. Willmore, T.J. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack Текст. / T.J. Willmore // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1949. - V. 2, N 1. - P. 53 - 64.

168. Wu, X.-F. Screw dislocation interacting with interfacial and interface cracks in piezoelectric bimaterials Текст. / X.-F. Wu, S. Cohn, Y.A. Dzenis // International Journal of Engineering Science. 2003. - V.41. - P. 667-682.

169. Wu, X.-F. Closed-form solution for a mode-Ill interfacial edge crackbetween two bonded dissimilar elastic strips Текст. / X.-F. Wu, Y.A. Dzenis // Mechanics Research Communications. 2002. - V. 29. - P. 407-412.

170. Wu, X.-F. Closed-form solutionfor a mode-Ill interfacial edge cracks between two bonded dissimilar piezoelectric strips Текст. / X.-F. Wu, Y.A. Dzenis // Mechanics Research Communications. 2002. - V.30. - P. 520-531.

171. Wu, X.-F. Screw dislocation interacting with twin interfacial edge Текст. / X.-F. Wu, Y.A. Dzenis T.-Y. Fan // Mechanics Research Communications. -2003.-V.30.-P. 547-555.

172. Xiao, Z.M. Stress intensity factors of two internal elliptical cracks in 3Dsolid Текст. / Z.M. Xiao, M.K. Lim, K.W. Liew // Eng. Fract. Mech. 1995. - V. 50, N 4. - P. 432-442.

173. Xiao Z.M. Determination of stress field in an elastic solid weaken by parallel penny shaped crack Текст. / Z.M. Xiao, M.K. Lim, K.W. Liew // Acta Mech. - 1996. -V. 14, N 1. - P. 83-94.

174. Xiao Z.M. Stress intensity factors for two coplanar penny shaped cracks under uniaxial tension Текст. / Z.M. Xiao, M.K. Lim, K.W. Liew // Int. J.

175. Eng. Sci. 1994. -V. 32, N 2. - P. 303-311.

176. Xiao, Q. Z. Approximate Green's functions for singular and higher order terms of an edge crack in a finite plate Текст. / Q. Z. Xiao, B. L. Karihaloo // Eng. Fract. Mech. 2002. - V.69, N 8. - P.959-981.

177. Xiao, Z.M. Deformation and stress intensities of an interfacial craze with nonlinear fibrils Текст. / Z.M. Xiao, J.Y. Guo // Int. J. Nonlinear Sci. and

178. Numer. Simul. 2000. - V. 1, N 4. - P. 267-274.