автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных растворов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСТВОРОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЩЕРИЦА Ольга Владимировна

Москва-2005

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на кафедре вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Мажорова Ольга Семеновна

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Белогорохов Александр Иванович

кандидат физико-математических наук Алыпин Александр Борисович

Ведущая организация - Физико-технический институт

им. А.Ф.Йоффе РАН

Защита состоится "_"_ 2005г. в_час. на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус.

Автореферат разослан "_"_2005г.

Ученый секретарь, диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.М.Говоров

¿гш

¿2/ ММ

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов кристаллизации многокомпонентных растворов. В работе предложены методы численного решения задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Изучаемый класс задач отличается от классической задачи Стефана тем, что температура фазового перехода зависит от состава жидкой и твердой фаз. Рассмотрены одномерная и двумерная модели процесса жидкофазовой эпитаксии (ЖФЭ), широко используемого в промышленности способа получения полупроводниковых соединений. В расчетах использовались реальные фазовые диаграммы и температурные режимы выращивания. В рамках одномерной самосогласованной модели проведено параметрическое исследование ЖФЭ тройных соединений, целью которого является изучение влияния диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Получены результаты, имеющие практическое значение. В рамках двумерной модели рассмотрен процесс кристаллизации четверных соединений.

Актуальность работы

Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных систем находится в центре внимания исследователей. В значительной степени работы в этой области стимулируются проблемами, возникающими в технологии получения новых полупроводниковых материалов. Высокие требования, предъявляемые современным приборостроением к свойствам и качеству используемых полупроводниковых структур и материалов, могут быть удовлетворены лишь на основе детального изучения физических процессов, происходящих при их получении, и тщательной отработки самого технологического процесса. Определяющую роль в формировании свойств получаемых материалов играют фазовые превращения и процессы тепломассопереноса, формирующие условия на границе раздела фаз. Натурные эксперименты в этой области сложны и трудоёмки, требуют больших энергетических затрат, в них используются дорогостоящие, зачастую ядовшые.материалы, а длительность одного эксперимента может достигат этому

использование методов математического моделирования в исследовании и оптимизации технологических режимов и установок, для анализа результатов физических экспериментов является неотъемлемым этапом на пути создания способов получения материалов с заданными свойствами.

Однако, до настоящего времени математическое моделирование в задачах технологии ограничивается в основном рассмотрением процессов кристаллизации в чистых веществах или бинарных растворах-расплавах. Вместе с тем, тепломассоперенос и фазовые превращения в трех и четы-рехкомпонентных системах лежат в основе многих промышленных способов получения объемных монокристаллов и полупроводниковых структур и представляют значительный теоретический и практический интерес.

Диссертационная работа посвящена численному исследованию процессов кристаллизации в многокомпонентных системах. В качестве примера, иллюстрирующего область применения полученных результатов, рассматривается один из наиболее распространенных способов получения получения монокристаллических структур метод жидкофазовой эпи-таксии (ЖФЭ), который представляет собой кристаллизацию из раствора-расплава на подложке определенной кристаллографической ориентации. В простейшем случае насыщенный при начальной температуре раствор кристаллизующихся компонентов приводится в контакт с подложкой, и вся система охлаждается по заданному закону. С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной, и растворенные в ней вещества осаждаются на границе расплав - подложка в виде монокристаллического слоя. В ходе всего процесса на границе раздела фаз имеет место квазиравновесие, т.е. концентрация растворенных компонентов у фронта кристаллизации в любой момент времени близка к равновесным при данной температуре значениям.

В настоящий время накоплен значительный опыт в математическом моделировании ЖФЭ. Средствами вычисленного эксперимента проводится исследование процессов тепло- и массопереяоса в растворе, играющих определяющую роль в формировании условий кристаллизации. В последнее время, в связи с ростом и усилением требований, предъявляемых к качеству выросшего кристалла, возникла необходимость иссле-

дования и более тонких физических явлений, протекающих в системе ЖФЭ, таких, например, как фазовые превращения в многокомпонентных системах, температура фазового перехода которых зависит от состава жидкой и твердой фаз, диффузия в твердой фазе и другие. Численное исследование этих процессов возможно лишь при использовании специальных алгоритмов, ориентированных на решение конкретного класса задач. Таким образом, проблемы конструирования надежных и эффективных численных методов и их применения для решения задач полупроводниковой технологии по-прежнему актуальны.

Цель и задачи работы

Работа посвящена математическому моделированию процессов кристаллизации в многокомпонентной системе. Целью работы является:

• построение и исследование методов численного решения термо-диф-фузионной задачи Стефана;

• построение алгоритма численного исследования процессов конвективного массопереноса при кристаллизации четверных соединений;

• изучение с помощью разработанных алгоритмов процесса ЖФЭ тройных и четверных соединений. В рамках одномерной самосогласованной модели проведение исследования влияния диффузии в твердой фазе на ход процесса кристаллизации, изучение взаимодействия жидкой и твердой фаз на фронте кристаллизации.

Научная новизна и практическая значимость работы

Научная новизна и практическая значимость работы определяются

• предложенным методом численного исследования диффузионной модели процесса кристаллизации, учитывающей диффузию в жидкой и твердой фазах, движение фронта кристаллизации и зависимость температуры фазового перехода от составов жидкой и твердой фаз;

• предложенным матричным алгоритмом решения двумерной задачи кристаллизации четверных соединений;

• результатами параметрических исследований основных промышленных способов получения эпитаксиальных слоев; в том числе данными, позволяющими без дополнительных расчетов определять состав нового эпитаксиального слоя; анализом поведения системы при стремлении к равновесию; исследованием влияния диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и были представлены на следующих конференциях:

- International workshop on multiphase and complex Flow Simulation for Industry,Cargese, Corsé, France (2003);.

- 9-th International conference Mathematical modelling and analysis. Jur-mala, Latvia, (2004)

- Международная конференция «Проблемы численного анализа и прикладной математики». Львов, Украина (2004).

- 2-ой международный научный семинар. Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах. Москва, Россия (2005).

- 4-th International cjnference on computational heart and mass transfer. París-Cachan, France (2005).

Доклады сделанные на данных конференциях, опубликованы в виде тезисов. Список всех публикаций приведен в конце автореферата.

Результаты работы также докладывались и обсуждались на заседании кафедры Вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова и на семинарах Института прикладной математики им М.В.Келдыша РАН под руководством член-корреспондента РАН Ю.П.Попова

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц, включая 52 рисунка

и списка литературы из 88 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится общая характеристика рассматриваемого класса задач, обзор литературы, посвященной численным методам, используемым в этой области; обоснована актуальность работы, сформулированы дели и задачи работы, кратко изложено содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена построению и исследованию методов численного решения задач кристаллизации многокомпонентных растворов. В данной главе рассматривается одномерная самосогласованная модель квазиравновесного процесса кристаллизации. Основу модели составляют уравнения диффузии для концентрации компонент в жидкой и твердой фазах. На границе раствор-кристалл выполняются условия баланса массы и фазовая диаграмма системы. Учет диффузии в твердой фазе позволяет исследовать рост и растворение монокристаллического слоя.

Предложен новый чисто неявный алгоритм решения одномерной нестационарной задачи кристаллизации многокомпонентных растворов. Учет движения фронта кристаллизации осуществляется с помощью замены переменных типа Ландау, в результате которой граница раздела фаз остается неподвижной на протяжения всего процесса. Разностная аппроксимация строится в новой системе координат на неподвижной сетке с помощью интегро-интерполяционного метода. В отличие от традиционно используемых подходов, коэффициенты уравнений, связанные с преобразованием системы координат и определяемые скоростью движения границы фазового перехода, берутся с верхнего временного слоя. Дифференциальная задача аппроксимируется с помощью консервативной, чисто неявной схемы. Соответствующая система нелинейных сеточных уравпспий решается методом Ньютона относительно вектора неизвестных, компонентами которого являются все искомые концентрации в жидкой и твердой фазе и скорость движения фронта кристаллизации.

По сравнению с известными ранее методами, построенный алгоритм обладает большим запасом устойчивости (является практически безусловно устойчивым) и гарантирует получение надежных результатов для ши-

рокого класса задач о фазовых переходах. К достоинству метода надо отнести отсутствие необходимости согласования начальных составов жидкой и твердой фаз на фронте кристаллизации. Совместное определение полей концентраций и нового положения границы раздела фаз решает ключевую проблему выбора начальных данных, существующую при последовательном вычислении распределения состава и положения фронта кристаллизации.

На лримере моделирования процесса жидкофазовой эпитаксии трех-компонентных соединений проводится сравнение предложенного алгоритма с методом, в котором преобразование сетки осуществляется по значениям искомых функций с нижнего временного слоя. В частности показано, что последовательное определение распределения состава в системе и нового положения фронта кристаллизации может приводить к физически неверным результатам.

Предложенный численный метод решения задач о фазовом переходе в многокомпонентных системах строится на примере ЖФЭ тройных соединений, однако алгоритм легко обобщается на случай кристаллизаг ции растворов с произвольным числом растворенных компонент, а также позволяет учесть выделение или поглощения тепла на границе раздела фаз.

Во второй главе проводится числснпое исследования диффузионных режимов ЖФЭ. Одной из основных проблем, возникающих при выращивании эпитаксиальных слоев, является однородность распределения толщины и состава слоя по площади подложки. В большинстве случаев конвективное движение отрицательно влияет на качество эпитаксиальных пленок. Конвекция в растворе приводит к образованию волнистого макрорельефа на поверхности слоя, к неоднородному распределению состава в плоскостях параллельных плоскости подложки и т.д.

Однородность распределения состава по толщине слоя обеспечивают режимы выращивания, при которых перенос растворенных компонентов к фронту кристаллизации осуществляется преимущественно механизмом диффузии. С точки зрения качества получаемых материалов, такие режимы наиболее предпочтительны и их исследование представляет значительный интерес. Анализ распределения состава в направлении роста

предполагает изучение влияния диффузии в твердой фазе. В большинстве работ, посвященных численному исследованию конвективного мас-сопереноса в растворе, диффузия в твердой фазе не учитывается. Такой подход является вполне оправданным, так как этот процесс не оказывает существенное влияние на движение расплава. Однако, диффузия в твердой фазе играет важную роль в формировании профиля концентрации, особенно вблизи гетерограницы. Кроме того, учёт диффузии в твердой фазе позволяет построить самосогласованную математическую модель процесса, описывающую как рост монокристаллического слоя, так и его растворение.

В данной главе в рамках одномерной диффузионной модели численно исследуются процессы роста и растворения соединений А^1 В{1ХСУ1. Модель учитывает диффузию в жидкой и твердой фазе и движение фронта кристаллизации. Целью моделирования является изучение влияния диффузионного массопереноса на формирование состава гетероструктуры. Для проведения расчетов используется описанный в первой главе чисто неявный численный метод. Он позволяет провести детальное исследование ЖФЭ в нестационарном диффузионном приближении с учетом зависимости коэффициентов диффузии от состава, реальной фазовой диаграммы и температурных режимов. Полученные данные сопоставляются с результатами исследований М.Смолла и Р.Геза, проведенными для соединений А^В^С* и США\_ХВ^.

В работе рассмотрены основные промышленные способы получения ЭС:

• изотермический рост;

• рост в условиях принудительного охлаждения;

• рост с предварительным подрастворением подложки.

Исследуется влияние различных технологических параметров на ход процесса кристаллизации и свойства выращенного ЭС. Варьируются состав подложки, толщина жидкой фазы, скорость охлаждения системы, начальное переохлаждение и перегрев раствора, коэффициенты диффузии в твердой и жидкой фазах.

В реальных процессах выращивания эпитаксиальных слоев подложка, как правило, приводится в контакт с неравновесным ей раствором. В результате, при стремлении системы к равновесию, может происходить как рост ЭС, так и растворение подложки. Поэтому такой процесс кристаллизации очень сложно контролировать. Для различных коэффициентов диффузии в твердой фазе, начального пересыщения или недосы-щения раствора получены оценки скорости движения фронта кристаллизации на ранней стадии процесса, дающие возможность предсказать поведение системы. Продемонстрировано, что из недосыщенного раствора может начаться рост ЭС, и наоборот: при пересыщенной жидкой фазе может происходить растворение подложки. Аналогичное поведение системы наблюдается в исследованиях М.Смолла и Р.Геза для соединения

а1"в1яс* и С1»А\_Ж-

На основе анализа изотермических режимов выращивания получены соотношения, позволяющие без проведения дополнительных расчетов, зная лишь состав кристалла, который необходимо получить, подобрать начальный состав раствора и температурные условия, при которых вырастет ЭС требуемого состава. Кроме того, данные соотношения позволяют с хорошей точностью определять составы жидкой и твердой фазы на фронте кристаллизации при установлении квазиравновесия, когда подложка приводится в контакт с неравновесным ей раствором.

Третья глава посвящена разработке матричного алгоритма численного исследования конвективного массопереноса при получении четверных соединений. Задача рассматривается в двумерном приближении. Изменения размеров области за счет движения фронта кристаллизации и диффузия в твердой фазе не учитывается. Основу математической модели составляют уравнения концентрационной конвекции в приближении Буссинеска. В качестве модельного материала выбрано соединение Сйх^пуЯ51_х_уГе, представляющее значительный практический интерес.

Задача решается с помощью процедуры расщепления по физическим процессам: сначала вычисляется поле скоростей, а затем определяется распределение концентраций в системе. В данной главе основное внимание уделяется решению концентрационной задачи. Хорошо известно, что

в рассматриваемом классе задач численная реализация грапичных условий определяет устойчивость алгоритма. Были опробованы всевозможные схемы, в которых распределение растворенных компонент определяется последовательно или две из них вычисляются совместно, а затем третья досчитывается. Однако все эти алгоритмы оказались неустойчивыми в рассматриваемом диапазоне технологических параметров.

Надежный метод удалось построить лишь на основе совместного вычисления распределения концентраций в системе. Но это сопряжено со значительными трудностями, поскольку на каждом шаге по времени приходится решать систему уравнений относительно вектора, компонентами которого являются сеточные значения концентраций всех растворенных компонентов, и свойства соответствующего разностного оператора неизвестно. Это препятствует применению итерационных алгоритмов, требующих для своей реализации априорной информации о спектре. Использование прямых методов решения также малоэффективно, поскольку требует больших затрат машинного времени. Попытки обобщить алгоритмы, применяемые для решения аналогичных задач в случае двух- и трехкомпонентных систем не дали удовлетворительных результатов. Поэтому была разработана новая вычислительная процедура для решения концентрационной задачи.

Консервативная разностная схема строится на прямоугольной сетке. Для решения нелинейной системы сеточных уравнений используется метод Ньютона. Соответствующая линеаризованная система решается с помощью специальной матричной процедуры, сочетающей в себе элементы "а - /3" алгоритма и метода переменных направлений. Разработанный метод надежно решает задачу со сложными граничными условиями. На примере модельной задачи проведено сравнение скорости сходимости разработанного алгоритма с "а — /3" алгоритмом, методом переменных направлений и методом Зейделя. В расчетах реальной задачи построенный алгоритм демонстрирует быструю сходимость в широком диапазоне технологических параметров. Метод Ньютона сходится за 1-2 итерации, алгоритм для решения линеаризованной системы - за 1-3.

Разработанная вычислительная процедура использовалась для численного исследования ЖФЭ соединений СА^Яд^^^п^Те. В расчетах

использовалась линейная фазовая диаграмма, построенная на основе имеющихся экспериментальных данных. Моделировался эпитаксиальный рост на горизонтальную подложку, расположенную на дпе ростовой камеры. Анализ полученных данных продемонстрировал эффективность и надежность вычислительной процедуры. В работе рассматривалась система с одной горизонтальной подложкой, но предложенный алгоритм легко обобщается на случай более сложной конфигурации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен новый метод численного исследования одномерной самосогласованной модели процесса кристаллизации многокомпонентного раствора, учитывающей зависимость температуры фазового перехода от состава жидкой и твердой фаз, диффузию в твердой и жидкой фазах и движение фронта кристаллизации. Алгоритм основан на чисто неявной схеме и совместном решении соответствующей системы сеточных уравнений. Построенный метод является практически безусловно устойчивым и гарантирует получение надежных результатов в широком диапазоне параметров, представляющих практический интерес.

2. С помощью предложенного алгоритма проведено параметрическое исследование основных промышленных способов получения эпитак-сиальных слоев. Выявлено определяющее влияние диффузии в твердой фазе на динамику процесса установления квазиравновесия в системе и формирование переходной зоны на границе подложка - ЭС. На основе анализа результатов моделирования'выведены формулы, позволяющие без проведения дополнительных расчетов, определять важнейшую характеристику - состав эпитаксиального слоя. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

3. Предложен новый матричный метод численного исследования процесса конвективного массопереноса при получении четверных полупроводниковых соединений методом ЖФЭ. Построенный метод основан на совместном вычислении распределения полей концентра-

ций в системе. Впервые проведены расчеты эпитаксиального выращивания четверных соединений Cd^Hgi^^Zn^Te из раствора Cd — Hg — Zn—Te. Полученные результаты подтверждаются экспериментальными данными.

Публикации автора по теме диссертации

1. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Метод численного решения задач кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N18, 2002, 42 стр.

2. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Диффузионные модели кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N24, 2003, 42 стр.

3. Kolmychkov V.V., Mazhorova O.S., Popov Yu.P., Shcheritsa O.V., Bontoux P., Ganaoui M.E1. From ID to 3D computer simulation of phase transition processes for crystal growth techniques. Proceedings of International Workshop on Multiphase and complex Flow Simulation for Industry. 2003. p. 186-187

4. Mazhorova O.S., Popov Yu.P., Shcheritsa O.V. Implicit numerical algorithm for solution of phase transition problems in multi-component alloys. 9-th International conference Mathematical modelling and analysis. Book of abstracts. Latvia. 2004. p. 17

5. Мажорова O.C., Попов Ю.П., Щерица О.В. Чистонеявный метод решения задач о фазовом переходе. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N29, 2004, 42 стр.

6. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Алгоритм расчета задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Дифференциальные уравнения. 2004, No. 7. стр. 1051-1160.

7. O.S.Mazhorova, Yu.P.Popov, O.V.Shcheritsa. Implicit Numerical Algorithm for the Solution of Phase Transition Problems in Multi-Component Alloys. J. Mathematical Modelling and Analysis. 2004. №9 Vol.4, p. 253 - 266.

8. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Неявные методы численного решения задач кристаллизации многокомпонентных растворов. Международная конференция «Проблемы численного анализа и прикладной математики». Львов. 2004. стр. 39 - 40.

9. Mazhorova O.S., Popov Yu.P., Shcheritsa O.V. Self-consistent diffusion model of phase transition processes in multi-component alloys. Progress in computational heat and mass transfer. 2005. Vol.2 p. 1094-1098.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 12.10.2005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ л 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 641. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

РНБ Русский фонд

2006-4 22461

Введение

1 Алгоритмы численного исследования фазовых переходов в многокомпонентных системах

1.1 Математическая модель.

1.1.1 Основные уравнения.

1.1.2 Условия на фронте кристаллизации.

1.1.3 Начальные данные.

1.2 Алгоритм решения.

1.2.1 Замена переменных

1.2.2 Разностная задача.

1.2.3 Метод решения сеточных уравнений.

1.2.4 Результаты тестовых расчетов. Сравнение с полунеявным алгоритмом.

2 Моделирование диффузионных режимов выращивания эпитаксиальных слоев.

2.1 Изотермический рост

2.2 Рост с предварительным подрастворением подложки. CdTe подложка.

2.3 Влияние диффузии в твердой фазе на динамику процесса ЖФЭ

2.4 Рост из недосыщенного раствора. CdxHgi-xTe подложка.

3 Математическое моделирование ЖФЭ четверных соединений в двумерном приближении.

3.1 Математическая модель.

3.1.1 Дифференциальная задача.

3.1.2 Граничные условия на фронте кристаллизации

3.1.3 Начальные данные.

3.2 Разностная задача.

3.2.1 Модельный пример.

3.2.2 Решение концентрационной задачи.

3.2.3 Решение системы сеточных уравнений. Метод Ньютона

3.2.4 Решение линеаризованной задачи

3.2.5 Примеры тестовых расчетов

3.3 Результаты расчетов.

Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных систем находится в центре внимания исследователей. В значительной степени работы в этой области стимулируются проблемами, возникающими в технологии получения новых полупроводниковых материалов. Высокие требования, предъявляемые современным приборостроением к свойствам и качеству используемых полупроводниковых структур и материалов, могут быть удовлетворены лишь на основе детального изучения физических процессов, происходящих при их получении, и тщательной отработки самого технологического процесса. Определяющую роль в формировании свойств получаемых материалов играют фазовые превращения и процессы тепломассопереноса, формирующие условия на границе раздела фаз. Натурные эксперименты в этой области сложны и трудоёмки, требуют больших энергетических затрат, в них используются дорогостоящие, зачастую ядовитые материалы, а длительность одного эксперимента может достигать нескольких недель. Поэтому использование методов математического моделирования в исследовании и оптимизации технологических режимов и установок, для анализа результатов физических экспериментов является неотъемлемым этапом на пути создания способов получения материалов с заданными свойствами.

Однако, до настоящего времени математическое моделирование в задачах технологии ограничивается в основном рассмотрением процессов кристаллизации в чистых веществах или бинарных растворах-расплавах. Вместе с тем, тепломассоперенос и фазовые превращения в трех и четы-рехкомпонентных системах лежат в основе многих промышленных способов получения объемных монокристаллов и полупроводниковых структур и представляют значительный теоретический и практический интерес.

Данная работа посвящена численному исследованию процессов кристаллизации в многокомпонентных системах. В качестве примера, иллюстрирующего область применения полученных результатов, рассматривается один из наиболее распространенных способов получения монокристаллических структур - метод жидкофазовой эпитаксии (ЖФЭ), который представляет собой кристаллизацию из раствора-расплава на подложке определенной кристаллографической ориентации. В простейшем случае насыщенный при начальной температуре раствор кристаллизующихся компонентов приводится в контакт с подложкой, и вся система охлаждается по заданному закону. С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной, и растворенные в ней вещества осаждаются на границе расплав - подложка в виде монокристаллического слоя [1]. В ходе всего процесса на границе раздела фаз имеет место квазиравновесие, т.е. концентрация растворенных компонентов у фронта кристаллизации в любой момент времени близка к равновесному при данной температуре значениям. Перенос растворенного вещества к поверхности раздела фаз осуществляется механизмом диффузии и конвекции [2]. Пересыщение в объёме может создаваться различными способами: с помощью принудительного охлаждения системы подложка -расплав, предварительного охлаждения, то есть до контакта с подложкой, охлаждения жидкой фазы ниже температуры насыщения, подпитки раствора - расплава за счёт растворения подложки, изотермического смешивания равновесных растворов и т.д. [1-3]. Наиболее часто в технологии эпитаксиального выращивания полупроводниковых материалов из жидкой фазы применяется способ, при котором температура системы расплав - кристалл изменяется по заданному закону. Этот вариант ЖФЭ сравнительно прост в техническом отношении, обладает достаточной гибкостью, дает возможность выращивать многослойные эпитакси-альные структуры с контролируемыми параметрами каждого из слоев [1, стр. 36].

В некоторых технологических режимах подложка помещается в ненасыщенный при температуре контакта расплав. Вся система выдерживается некоторое время при постоянной температуре, а затем начинается процесс охлаждения. В этом случае росту эпитаксиального слоя (ЭС) предшествует процесс растворения подложки, благодаря которому происходит обогащение раствора - расплава кристаллизующимся веществом.

Общая характеристика рассматриваемого класса задач. Моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных систем приводит к рассмотрению нелинейных задач, численное исследование которых сопряжено со значительными трудностями и требует разработки новых эффективных алгоритмов или модификации известных методов. В полной мере это относится к задачам полупроводниковой технологии, в которых необходимо проводить многопараметрические исследования, связанные с анализом результатов большого числа расчётов и сопоставлением их с данными натурных экспериментов. С точки зрения практического применения результатов математического моделирования, методы должны быть ориентированы на использование сравнительно маломощных вычислительных средств, непосредственно имеющихся в распоряжении специалистов - технологов, и обеспечивать получение надёжных результатов при разумных затратах машинного времени на расчёт каждого варианта. Для того чтобы удовлетворить этим требованиям, математические модели и методы их численного исследования необходимо конструировать с учётом конкретных свойств изучаемых процессов и явлений.

Характерной особенностью рассматриваемого класса задач является наличие в них нескольких временных масштабов, связанных с определяющими условия кристаллизации физическими процессами. Масштабы if1 времени, обусловленные диссипативными процессами: tv = —, tsD = is 2 iftlD = - вязкостью, диффузией в твердой и жидкой фазах (I/, Ls - характерные линейные масштабы задачи, обусловленные наличием жидкой и твердой фаз, и, Ds и D1 - соответственно коэффициенты кинематической вязкости, диффузии компонентов в твердой фазе и растворе) отличаются между собой на несколько порядков. Ещё один масштаб времени (ttec) в этих задачах определяется технологическими режимами, которые должны, например, обеспечить необходимую толщину эпитак-сиального слоя или максимальный объём монокристалла. Длительность процесса ttec непосредственно связана со скоростью выращивания кри

Is сталлов vPh ttec = —j гДе Is ~ толщина ЭС или длина кристалла.

Vph

При моделировании нестационарных процессов ttec задаёт отрезок времени, на котором необходимо находить решение задачи. Обычно он на порядок и более превосходит время вязкой диссипации и в несколько раз больше диффузионных времён.

Трудности численного исследования процессов кристаллизации в первую очередь связаны с широким диапазоном изменения временных масштабов, присутствующих в задаче. Используемые алгоритмы должны обеспечивать необходимую точность расчёта быстрых процессов и, вместе с тем, не требовать слишком больших затрат машинного времени на расчёт всей задачи в целом. Важно, чтобы выбор шага по времени определялся спецификой физических процессов, протекающих в системе, а не диктовался внутренними свойствами вычислительной процедуры.

Моделирование процессов кристаллизации приводит к решению задач типа Стефана. Поэтому еще одной особенностью рассматриваемого класса задач является наличие подвижных межфазных границ. В отличие от классической задачи Стефана, в которой температура на границе раздела фаз постоянна, в задачах кристаллизации многокомпонентных растворов температура фазового перехода зависит от составов твердой и жидкой фаз [4-7]. На границе жидкое-твердое температура и концентрации должны удовлетворять балансным соотношениям, вытекающим из законов сохранения энергии и массы, и фазовой диаграмме системы: довольно сложным, как правило, нелинейным соотношениям, связывающим равновесные концентрации всех компонентов и температуру. Это создает две проблемы: численная реализация условий, которые возникают при математическом описании равновесного процесса кристаллизации [8, т.1, стр.388], и выбор начальных данных, в случае когда в начальный момент времени жидкая фаза и кристалл не находятся в квазиравновесии.

О методах численного решения термодиффузионных задач Стефана. Методы численного решения задач типа Стефана развиваются преимущественно в двух направлениях. Первое составляют алгоритмы сквозного счёта, в которых граница фазового перехода явно не выделяется [8-12]; второе - методы, в явном виде отслеживающие положение фронта кристаллизации [5,6,13-18].

Алгоритмы сквозного счета оказались эффективными при математическом моделировании многомерных задач, в которых основное внимание уделяется исследованию процессов теплопереноса и точное положение границы раздела фаз не играет существенной роли [10-12]. Идея этих методов состоит в отказе от непосредственного поиска неизвестной фазовой границы и замене его процедурой сглаживания функции теплоемкости. Введение подобной процедуры позволяет получить обобщенное решение задачи Стефана с помощью экономичного алгоритма сквозного счета [9]. Однако эти методы весьма чувствительны к выбору параметра сглаживания, определить значение которого априори затруднительно. К тому же алгоритмы сквозного счета обладают сравнительно низкой точностью определения положения фронта кристаллизации. Использование процедуры сглаживания функции теплоемкости исключает возможность моделирования процессов переохлаждения и перегрева жидкой фазы. В указанных случаях такой подход может привести к ошибкам в определении температурного поля и скорости движения фронта кристаллизации.

Среди методов, в явном виде отслеживающих положение границы раздела фаз, можно выделить класс алгоритмов [5,6,13-16], использующих подвижные разностные сетки, адаптирующиеся к изменению формы расчётной области. Дифференциальные уравнения аппроксимируются на перестраивающихся в процессе решения задачи сетках [13]. У.Мюррей и Ф.Ландис предложили использовать сетки с постоянным числом узлов, но изменяющимся шагом по пространству [15,16]. Разностная сетка строится так, чтобы фронт кристаллизации совпадал с узлом сетки. На каждом шаге по времени после определения распределения температуры и нового положения фронта кристаллизации пересчитываются координаты узлов сетки, а решение, полученное на предыдущем шаге по времени, интерполируется на новую сетку [5,6].

В другом классе методов в расчётах используются неподвижные разностные сетки [19]. Для этого в исходной задаче осуществляется замена переменных. Она выбирается так, чтобы в новых координатах границы расчётной области были фиксированы и совпадали с координатными линиями. При этом в уравнениях появляются дополнительные члены переноса, связанные с заменой переменных. Дифференциальная задача записывается в новой системе координат и после этого проводится её дискретизация. Таким образом весь алгоритм численного решения строится на фиксированной сетке [13,17,18,20].

Достаточно распространенный способ выбора новой системы координат - это преобразование Ландау [4,16,21], которое для каждой из фаз вводит новые пространственные переменные, например, в случае одномерной задачи области, занимаемые каждой из фаз, можно отобразить в отрезок [0,1]. Иной подход к выбору новой системы координат осуществляется в методе миграции изотерм [17,18], в котором зависимая и независимая координата меняются местами. В результате одна из пространственных переменных становится функцией температуры и остальных координат, и вся задача решается относительно нее. Но такие алгоритмы не обобщаются на случай, когда температура на границы раздела фаз непостоянна.

Все эти методы достаточно точно отслеживают положение границы раздела фаз, но остается проблема аппроксимации граничных условий типа Стефана. Для построения точных разностных схем используются аналитические решения, верные только вблизи фронта кристаллизации [22]. Поэтому методами разделения переменных или средствами комплексного анализа проводят дополнительные исследования задачи [23].

Еще один подход к решению задач с подвижной границей - это использование динамически адаптирующихся сеток [24-29], в котором проблема построения расчетной сетки формулируется на дифференциальном уровне. При этом в дифференциальной задаче часть уравнений описывает физические процессы процессы, а другая - поведение узлов сетки. В основу метода положена процедура перехода к произвольной нестационарной системе координат. Преобразование координат осуществляется автоматически с помощью искомого решения, что позволяет производить размещение узлов сетки в зависимости от особенностей решения: больших градиентов или фазовых границ. Сгущение узлов в областях сильного изменения решения в методе динамической адаптации осуществляется с помощью функции преобразования, которая, вообще говоря, зависит от нескольких производных численного решения. Проблемы, связанные, с подвижными границами, снимаются посредством перехода к произвольной нестационарной системе координат, в которой узлы сетки и границы оказываются неподвижными. В этом отношение метод подобен лагранжевым. Однако имеет принципиальное отличие. В лагранжевых методах нестационарной системе координат навязывается гидродинамическая скорость движения, что не всегда удобно в задачах с подвижной границей. В методе динамической адаптации скорость движения системы координат заранее не указывается, а зависит от искомого решения и определяется в ходе решения задачи. Однако методы динамической адаптации в настоящее время не разработаны достаточно подробно. В частности, при решении ряда конкретных задач нет информации об исследовании области устойчивости для различных функции преобразования, применяемых для адаптации. При этом выбор функции преобразования не всегда является очевидным.

У.Мюррей и Ф.Ландис предложили алгоритм, использующий неподвижные сетки без преобразования системы координат, вместо этого на границе раздела фаз вводятся сосредоточенные параметры [15,30]. При таком подходе фронт кристаллизации не обязан совпадать с узлом сетки. Сосредоточенные параметры - это две фиктивные температуры, которые вычисляются в результате экстраполяции распределения температура из жидкой и твердой фазы на границу раздела. По значениям этих параметров и температуры в узлах сетки ближайших к фронту кристаллизации строится аппроксимация условий Стефана, из которых в дальнейшем определяется новое положение границы. Но этот алгоритм не обобщается на случай, когда помимо температуры необходимо определять распределение состава в системе.

Методы, в явном виде отслеживающие движение фронта кристаллизации, близки по своему смыслу. Как правило, при их численной реализации положение границы раздела фаз и распределение искомых функций в системе на каждом временном слое осуществляется последовательно. Алгоритмы такого типа содержат элемент "явности": система уравнений, описывающая процесс, либо решается на сетке, построенной по распределению искомых функций с предыдущего слоя по времени, либо содержит коэффициенты, связанные с заменой переменных, которые также вычислены по значениям функций с нижнего слоя. Ограниченность такого подхода ясна [8] и становится особенно существенной при моделировании фазового перехода в реальных многокомпонентных системах, когда положение фронта кристаллизации не определяется распределением одной лишь температуры, как в классической задаче Стефана, а зависит от температуры и концентрации всех компонент, связанных на границе раздела фаз диаграммой состояний и балансными соотношениями [31-34].

При моделирования процессов кристаллизации многокомпонентных соединений, помимо проблем определения точного положения фронта кристаллизации, возникают еще трудности связанные с численной реализацией условий на границе раздела фаз. Обычно используются алгоритмы, в которых аппроксимация граничных условий позволяет на каждом временном слое решать уравнения переноса тепла и/или массы для каждого из компонентов последовательно, что достигается за счёт введения в аппроксимацию граничных условий элемента явности. На границе значение первой из искомых функций на новом временном слое выражается через значения с предыдущего слоя остальных функций, входящих в соответствующее граничное условие. Затем оставшиеся уравнения решаются последовательно с использованием в граничных условиях значений функций, уже найденных на текущем слое (процедура типа Зейделя). Эти методы экономичны и просты в реализации, однако, обеспечивая получение правильных результатов в одном диапазоне параметров (начальные данные, фазовая диаграмма, термодинамические константы и т.д.), в другом - они оказываются неустойчивыми или дают правдоподобные, но неверные результаты [32,33]. Проблема состоит в том, как зная фазовую диаграмму и термодинамические свойства системы, выбрать способ численной реализации граничных условий, обеспечивающий устойчивость вычислительной процедуры в рассматриваемом диапазоне изменения параметров. В работе [31] исследовался процесс кристаллизации тройных соединений, было продемонстрировано существование областей изменения параметров задачи, в которых алгоритмы последовательного определения искомых функций неустойчивы. Эти области определяются термодинамическими свойствами системы и ее фазовой диаграммой.

С численной реализацией условий на границе раздела фаз тесно связана проблема задания начальных данных, которая неоднократно отмечалась многими исследователями [4,5,35-42]. Исходный раствор может быть не равновесен твердой фазе, и во многих алгоритмах на фронте кристаллизации составы твердой и жидкой фаз приходится согласовывать между собой в соответствии с фазовой диаграммой системы и балансными соотношениями. При этом исследования М.Смолла и Р.Геза показали, что ошибка в вычислении температуры на несколько десятых градуса может привести к физически неверным результатам: в системе вместо растворения начнется рост и наоборот [40]. Таким образом для многих алгоритмов надежность получаемых результатов зависит от умения задавать начальные данные. Зачастую в качестве начального приближения используются аналитические решения, которые верны только на ранних стадиях процесса и были получены в более простой геометрии.

В работах [43-45] предложен метод решения одномерной задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Совместное определение полей концентраций и нового положения фронта кристаллизации позволяет построить практически безусловно устойчивый алгоритм, гарантирующий получение надежных результатов в широком диапазоне параметров при естественном выборе начальных данных.

О математическом моделировании процессов выращивания многокомпонентных структур методом ЖФЭ. В настоящий момент накоплен значительный опыт в численном исследовании ЖФЭ. В работах [46-48] проведено численное исследование гидродинамических процессов, происходящих в жидкой фазе при выращивании тройных соединений из раствора - расплава. В основе математической модели лежат уравнения конвективной диффузии в приближении Буссинеска. Изучено влияние различных параметров технологического процесса на динамику роста, геометрические параметры и состав эпитаксиальных слоёв, однородность распределения состава по площади монокристалла; рассмотрен важный с практической точки зрения вопрос о подрастворении подложки на начальных стадиях процесса, указаны технологические режимы, обеспечивающие получение материалов с заданными свойствами. В частности, были определены условия, при которых перенос растворенных в расплаве компонентов к фронту кристаллизации осуществляется в режимах близких к диффузионным. В этом случае толщина ЭС и распределение его состава однородны по площади подложки, что важно для дальнейшего использования полученного полупроводникового материала.

Моделированию конвективного массопереноса в процессе ЖФЭ по-свящён цикл работ [37,49-55], где вычислительный эксперимент последовательно применяется для анализа условий роста двойных и тройных полупроводниковых соединений. В частности, рассматриваются системы с двумя подложками, то есть с двумя фронтами кристаллизации, исследовалось влияние конвекции на скорость движения каждой из границ раздела фаз [54]. Задача решается методом конечных разностей и конечных элементов; подробно обсуждаются трудности, связанные с численной реализацией условий на границе раздела фаз.

Двумерная модель, учитывающая не только конвективный массопе-ренос в растворе, но и диффузию в твердой фазе, была рассмотрена в работах [35,36,56-58], где исследуется рост и растворение монокристаллического слоя. Уравнения в твердой и жидкой фазах решаются отдельно, при этом используются сетки с разными шагами по пространству в каждой из фаз. Применение метода конечных элементов позволяет достаточно точно отслеживать положение фронта кристаллизации. Но проблема задания начальных данных, а также трудности, возникающие при решении уравнений на границе раздела фаз, существенно ограничивают область исследования.

М.Смолл и Р.Гез провели исследование динамики роста и растворения монокристаллического слоя в рамках одномерной диффузионной модели [38-42]. Основная цель - изучение поведения системы при ее стремлении к равновесию на начальных стадиях процесса. Метод исследования сочетает построение аналитических решений с расчетами по методу конечных разностей. Были рассмотрены изотермические режимы выращивания и режимы с охлаждением [41]. Проведен анализ влияния диффузии в твердой фазе на динамику процесса кристаллизации соединений

Al"BUCv и Ci»AXJ%.

В работе [59] в одномерном приближении детально исследуются изотермические и неизотермические режимы выращивания тройных соединений. Для решения уравнений используются конечные разности, движение фронта кристаллизации отслеживается в результате перехода в новую систему координат.

В работе [43] проведено параметрическое исследование процесса ЖФЭ соединений A^TBi!xCVI. В частности, изучено влияние диффузии в твердой фазе на динамику процесса кристаллизации и формирование состава на гетерогранице.

Развитие полупроводниковой технологии ставит перед исследователями новые задачи. Одной из таких задач является изучение получения четверных полупроводниковых соединений. Работа в этой области только начинается. Уже имеются некоторые экспериментальные данные [60-62], попытки построения фазовых диаграмм четверных соединений [62]. Однако математическое моделирование процессов тепломассо-переноса при эпитаксиальном выращивании четверных соединений практически полностью отсутствует.

В работе [63] впервые проведенно моделирование эпитаксиального выращивания четверных соединений CdxHgi-x-yZnvTe из раствора Cd — Hg — Zn—Te. Полученные результаты подтверждаются экспериментальными данными.

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов кристаллизации многокомпонентных растворов и состоит из введения и трех глав.

1. Уфимцев В.Б., Акчурин Р.Х. Физико-химические основы жидкофа-зовой эпитаксии. Москва: Металлургия, 1983. С. 221.

2. Андреев В.М., Долгинов J1.M., Третьяков Д.К. Жидкофазовая эпитаксии в технологии полупроводниковых приборов. Москва: Сов. радио, 1975. 328 стр.

3. Hsieh J.J. Thickness and surface morphology of GaAs LPE layers growth by super cooling, step-cooling, equilibrium cooling and two - phase solution techniques. Journal of Crystal Growth, 27, 49 - 61, 1974.

4. Illingworth T.C., Golosnoy I.O. Numerical solutions of diffusion-controled moving boundary problems which conserve solute. Journal of computation physics, 209, 207 225, 2005.

5. Vermolen F.J., Vuik C. Solution of vector Stefan problems with cross-diffusion. Journal of computational and applied mathematics, 176, 179 301, 2005.

6. Vermolen F.J., Vuik C. A mathematical model for the dissolution of particles in multi-component alloys. Journal of computational and applied mathematics, 126, 233 254, 2000.

7. Vermolen F.J., Vuik C., Zwaag S. Particle dissolution and cross-diffusion in multicomponent alloys. Material science and engineering, 347, 265 -279, 2003.

8. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N., Iliev O.P., Churbanov A.G. Numerical simulation of convection/diffusion phase change problems a review. Journal of Heat Mass Transfer, 36(17), 4095 - 4106, 1993.

9. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана. Журнал вычислительной математики и математической физики, 5(5), 816 827, 1965.

10. Esen A., Kutluay S. A numerical solution of the Stefan problem with Neumann-type boundary condition by enthalpy method. Applied mathematics and computation, 148, 321 329, 2004.

11. Grossmann С., Noack A. Smoorhing and Rothe's method for Stefan problems in enthalpy form. Journal of computational and applied mathematics, 138, 347 366, 2002.

12. Meyer G.H. The numerical solution of Stefan problems with front-tracking and smoothing methods. Applied mathematics and computation, 4(4), 283 306, 1978.

13. Ettouney H.M., Brown R.A. Finute element methods for steady solidification problems. Journal of computational Physics, 49, 118 — 150, 1983.

14. Woulters P., Schaftingen J.J., Crochet M.J., Geyling F.T. Numerical simulation of the horisontal Bridgman growth. Part III: Calculation of the interface. International journal for numerical methods in fluids, 7, 131 153, 1987.

15. Muray W.D., Landis F. Numerical and mashine solutions of the transient heat conduction problems involving melting or freezing. Journal heat transfer, 81, 106 112, 1959.

16. Kutluay S. Numerical shcemes for one-dimensional Stefan-like problems with a forcing term. Applied mathematics and computation, pages XXX XXX, 2004. in press.

17. Crank J., Crowley A.B. Isoterm migration method orthogonal flow lines in two dimensions. Heat and mass transfer, 21(4), 393 399, 1978.

18. Crank J., Crowley A.B. On a implicit scheme for the isoterm migration method along orthogonal flow lines in two dimensions. Heat and mass transfer, 22(10), 1331 1338, 1979.

19. Дегтярев JI.M., Дроздов В.В., Иванова Т.С. Метод адаптивных к решению сеток в сингулярно возмущённых одномерных краевых задачах. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1160 - 1168, 1987.

20. Friazinov I.V., Marchenko М.Р., Mazhorova O.S. Transient simulation of crystal growth by Bridgman technique uder normal and low gravity. In Proceedings of microgravity science and low gravity. Aerospace congress,-Mosckow,-199L

21. Landau H.G. Heat conduction in a melting solid. Journal of applied mathematics, 8, 81 94, 1950.

22. Crank J., Furzeland R.M. The numerical solution of eliptic and parabolic parial differential equations with boundary singularity. Journal of computational physics, 26(3), 285 296, 1978.

23. Tzai-Fu Cheng. Numerical analisis of nonlinear multiphase Stefan problems. Computers and Structures, 75, 225 233, 2000.

24. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующихся сеток. Математическое моделирование, 3(10), 104- 115, 1991.

25. Дарьин Н.А., Мажукин В.И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивной сетке. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1154 1160, 1987.

26. Mazhukin V.I., Chuiko М.М. Solution of two-dimensionsl multi-interface Stefan problem by the method of dynamic adaptation. Mathematical Modelling and analysis, 6(1), 129 137, 2001.

27. Дарьин H.A., Мажукин В.И. Метод построения адаптивных сеток для одномерных краевых задач. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1987, № 33, 28 стр.

28. Дарьин Н.А., Мажукин В.И. Об одном подходе построения адаптивных сеток для нестационарных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики, 28(3), 454 460, 1988.

29. Мажукин В.И., Такоева Л.Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решения сеток в одномерных краевых задачах. Математическое моделирование, 2(3), 101 117, 1990.

30. Verma А.К., Sanjay Chandra, Dhindaw В.К. An alternative fixed grid method for solution of the classical one-phase Stefan problem. Applied mathematics and computation, 158, 573 584, 2004.

31. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Сахарчук А.С. Об одной краевой за--даче-для-системы-параболических-уравнений,-Препринт-институтаприкладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1996, № 107, 36 стр.

32. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Похилко В.И. Исследование алгоритмов численного решения систем параболических уравнений с нелинейными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1240 1250, 1987.

33. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Похилко В.И. О численном решении уравнений параболического типа с нелинейными граничными условиями. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1985, № 46, 28 стр.

34. Kimura М., Qin Z., Dost S. A solid liquid diffusion model for growth and dissolution of ternary alloys by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 158, 231-240, 1996.

35. Dost S., Qin Z., Kimura M. A model for convective mass transport in liquid phase epitaxial growth of semiconductors. Journal of heat mass transport, 40(13), 3039 3047, 1997.

36. Kimura M., Djilali N., Dost S., Kanai H., Tanaka A., Sukegawa T. Liquid phase epitaxy of silicon: an experimental and numerical parametric study. Journal of Crystal Growth, 167, 516 524, 1996.

37. Small M.B., Ghez R. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. Journal of Applied physics, 50(8), 5322- 5330, 1979.

38. Small M.B., Ghez R. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. II. Comparisons between thermodynamic and kinetic models. Journal of Applied physics, 51(3), 1589- 1592, 1980.

39. Ghez R., Small M.B. Growth and dissolution of ternary alloys of III-V compounds by liquid phase epitaxy and formation of heterostructures. Journal of Crystal Growth, 52, 699- 709, 1981.

40. Ghez R., Small M.B. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. III. Effect of temperature programming. Journal of Applied physics, 53(7), 49074918, 1982.

41. Small M.B., Ghez R. Reversal in the growth or dissolution of III-V heterostructures by liquid phase epitaxy. Journal of Applied physics, 55(4), 926- 930, 1984.

42. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Чисто неявный метод решения задач о фазовом переходе. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2004, № 29, 42 стр.

43. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Алгоритм расчета задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Дифференци-алные уравнения, 7, 1051 1160, 2004.

44. Chtcheritsa O.V., Mazhorova O.S., Popov Yu.P. Implicit Numerical Algorithm for the Solution of Phase Transition Problems in Multi-Component Alloys. Journal of Mathematical Modelling and Analysis., 9(4), 253- 266, 2004.

45. Денисов И.А., Лакеенков B.M., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование эпитаксиального выращивания твёрдых растворов CdyHgi-YTe из жидкой фазы. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1992, № 65, 42 стр.

46. Denisov I.A., Lakeenkov V.M., Mazhorova O.S., Popov Yu.P. Numerical modelling for liquid phase epitaxy of CdxHg\^xTe solid solution. Journal of Crystal Growth, 245, 21- 30, 2002.

47. Denisov I.A., Mazhorova O.S., Popov Yu.P., Smirnova N.A. Numerical modelling for convection in growth/dissolution of solid solution CdKHg\-xTe by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 269,-284-291,-2004,-----

48. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Смирнов В.А., Шленский А.А. Численное моделирование выращивания монокристаллических слоёв полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Физика и химия обработки материалов, 4, 81 90, 1983.

49. Kimura М., Djilali N., Dost S. Convective transtort and interface kinetic in liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 143, 334 348, 1994.

50. Djilali N., Qin Z., Dost S. Role of thermosolutal convection in liquid phase electroepitaxial growth of gallium arsenide. Journal of Crystal Growth, 149, 153 166, 1995.

51. Motogaito A., Kimura M., Dost S., Katsuno H., Tanaka A. Growth of alloy GalnP crystals by compositional conversion of InP layers grown on GaP substrate in an LPE system. Journal of Crystal Growth, 182, 275 280, 1997.

52. Kanai H., Kimura M., Dost S., Tanaka A., Sukegawa T. Gravity effect on dissolution and growth of GaSb by liquid-phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 174, 226 229, 1997.

53. Dost S., Liu Y., Lent B. A numerical simulation study for the effect of applied magnetic field in liquid phase electroepitaxy. Journal of Crystal Growth, 240, 39- 51, 2002.

54. Kimura M., Dost S., Udono H., Tanaka A., Sukegawa Т., Qin Z. A numerical analysis for the conversion phenomenon of GaAs to GaAsP on a GaP substrate in an LPE system. Journal of Crystal Growth, 169, 697 703, 1996.

55. Qin Z., Kimura M., Dost S. Convection model for growth and dissolution of ternary alloys by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 167, 74 86, 1996.

56. Sell H.E., Miiller G. Numerical modelling of the growth and composition GaxIn\-xAs bulk mixed crystals by the travelling heater method. Journal of Crystal Growth, 97, 194- 200, 1989.

57. Olchowik J.M., Sadowski W., D Szymczuk D. Study of generstion of GaxInl — xPyAsi-y transition layers obtained by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 156, 241-247, 1996.

58. Sydorchuk P., Khlyap G., Andrukhiv A. Growth and Some Properties of Heterostructures Based on New Narrow-Gap Semiconductor ZnCdHgTe. Crystal Research and Technology, 36(4), 361-369, 2001.

59. Khlyap G., Sydorchuk P. Growth and Electrical Properties of New Semiconductor Compound ZnCdHgTe. Crystal Research and Technology, 36(8), 1027-1034, 2001.

60. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Метод численного решения задач кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2002, № 18, 42 стр.

61. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Москва: Наука, 1971.

62. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов J1.A. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. Москва: Наука, 1984.

63. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Отв. ред. Ю.И.Шокин. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1981. 304 с.

64. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Сахарчук А.С. Устойчивость разностной задачи для системы параболических уравнений с нетрадиционными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 33(7), 946-954, 1997.

65. Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 16(2), 519 524, 1976.

66. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. Москва: Наука, 1985 . 304 стР

67. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. С.592.

68. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Москва: Мир, 1991. т.1. 62 е., т.2. 552 с.

69. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992. С.423.

70. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Диффузионные модели кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2003, № 24, 42 стр.

71. Harman Т.С. Liquidus isotherms, solidus lines and LPE growth in the Te-rich corner of Hg — Cd—Те system. Journal of Electronic Materials, 2(6), 945-961, 1980.

72. Lusson A., Triboulet R. Liquid phase epitaxy of CdxHgi-xTe (0.5 < X < 1) and phase diagram determination. Journal of Crystal Growth, 85, 505-509, 1987.

73. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва: Мир, 1980.

74. Ермаков С.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Построение разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1990, № 89, 28 стр.

75. Ермаков С.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование задач электрического разделения биосмесей. 4.1. Дифференциальные уравнения, 28(10), 1810 1821, 1992.

76. Гончаров A.JI., Фрязинов И.В. О построении монотонных разностных схем для уравнений Навье Стокса на девятиточечных шаблонах. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1986, К0- 93, 14 стр.

77. Мажорова О.С., Марченко М.П., Фрязинов И.В. Монотонизирующие регуляризаторы и матричный метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Математическое моделирование, 6(12), 97 116, 1994.

78. Shaw W. Numerical simulation of Hgi-yCdyTe liquid epitaxy. Journal of Crystal Growth, 62, 247-253, 1983.

79. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Щерица О.В. Чистонеявный метод решения задачи о фазовом переходе. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2004, № 29, 42 стр.

80. Utke I., Frentrup W., Hahnert I., Kirmse H., Mtiller O., Schenk M., Winkler M. Non-abruptness of heterointerfaces during LPE growth of (Hg, Cd)Te on (Cd, Zn)Te and Cd(Te, Se) substrates. Journal of Crystal Growth, 162, 126-134, 1996.

81. Crossley I., Small M.B. The physical processes occurring during liquid epitaxial growth. Journal of Crystal Growth, 27, 35 48, 1974.

82. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Матричный итерационный метод численного решения двумерных уравнений Навье Стокса. ДАН СССР, 259(3), 535 - 540, 1981.

83. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье Стокса. Журнал вычислительной математики и математической физики, 20(4), 1005 - 1020, 1980.

84. Мажорова О.С. Итерационный метод решения двумерных матричных уравнений. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 1979, № 48, 19 стр.