автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов электроразведки в слабоградиентных проводящих средах

На правах рукописи УДК 550.837

ГГБ од - з га ш

КУРДЮКОВ ЕВГЕНИЙ ПЕТРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ В СЛАБОГРАДИЕНТНЫХ ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ

05.13.16-Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 2000

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Курского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Соболев С.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мартинсон Л .К.

кандидат физико-математических наук Подосенов С. А.

Ведущая организация:

Объединеннный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта

Защита диссертации состоится «2б_» мая 2000 г. в11—■часов на заседании диссертационного Совета Д 053.15.12 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Отзыв в двух экземплярах, заверенных печатью учреждения, просим выслать по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5., МГТУ им. Н.Э. Баумана, Ученому секретарю диссертационного Совета.

Автореферат разослан М^йЛ«^.000 г.

------- Ученый секретарь диссертационного

д. ф.-м. н., профессор

Волков И.К

£тя ч/ч ¿и9 ¿9

/

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена математическому мо-елированкю электромагнитных процессов в средах; с непрерывной едленно изменяющейся электропроводностью. Областью приложений вляется разведочная геофизика, в круг изучаемых вопросов кото-ой входят задачи, начиная с детального исследования геологиче-ксй обстановки крупного города и заканчивая изучением крупно-асштабной структуры Земли, Луны и планет.

При теоретических исследованиях, как правило, предполагают, то по своим физическим свойствам горные породы, слагающие Берх-ие слои Земли, являются кусочно-однородными. Например, в элек-роразведке фундаментальными моделями служат среды с кусочно-днородной проводимостью. К настоящему времени достаточно подобно изучены такие геологические модели как система горизон-альных и вертикальных слоев, шар и цилиндр, погруженные в полу-ространство с иной электропроводностью, и ряд других.

Важнейшей физической характеристикой реального геологическо-о разреза является кажущееся или эффективное сопротивление сре-ы. При реализации метода электрических сопротивлений и при маг-итотеллурическом зондировании оно определяется на основе назем-ых измерений характеристик электромагнитного поля, а в теорети-еском плане его расчет представляет собой прямую задачу элек-роразведки.

Для более адекватного описания геологических структур необ-эдимо учитывать, что довольно часто электрические свойства по-од непрерывно зависят от пространственных координат. Например, ля рудных месторождений характерно плавное изменение удельно? лектропроводности с глубиной. Такой же особенностью обладают ноголетнемерзлые грунты. Кроме того, протекание таких геологи-еских процессов как выветривание, высыхание, диффузия, измене-ле солености подземных вод приводят к образованию горных nopoj непрерывно изменяющейся проводимостью. В подобных случаях an-роксимация среды моделью, в которой электропроводность являете; апрерывной функцией координат, очевидно, предпочтительна. Так ядом авторов в различные годы для теоретических расчетов кажу-егося сопротивления в геологические модели закладывались кон ретные зависимости проводимости среды от координат, преимущест анно в виде показательной и гиперболической функций. При этог» нтерпретация наземных измерений (обратная задача) заключалась гочнении числовых коэффициентов этих функций. Развитие ЭВТ от оыло широкие возможности в использовании полуаналитических ком /жированных методов, основанных на численном решении исходны эавнений в подобных задачах. Однако, интерпретация результато ачастую либо затруднительна, либо требует привлечения ЭВМ высо ovo класса и высококвалифицированного персонала.

Актуальность настоящей работы обусловлена необходимостью альнейшех1о развития методов математического обеспечения поиск олезных ископаемых в условиях сред с непрерывно изменяющейс роводимостью для оптимизации процедуры интерпретации результг-эв полевых измерений и снижения на этой основе экономически-атрат.

Цель настоящей работы состоит в получении необходимых аналитических и графических зависимостей и разработке достаточно простых алгоритмов, использование которых в условиях полеаых измерений занимает достаточно мало времени и не связана с привлечением сложной вычислительной техники.

Методы исследования. Математическую основу диссертации составляет ряд краевых задач уравнений классической теории поля, которые решаются методом последовательных приближений. Считается, что нулевому приближению соответствует среда с однородной проводимостью. Проведены подробные расчеты для первого приближения, учитывающего непрерывную зависимость электропроводности от координат. Сделана оценка второго и последующих приближений с целью обоснования достаточности использования первого приближения в задачах электромагнитного зондирования Земли.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Показана возможность применения метода последовательных приближений при решении ряда краевых задач геологической разведки слабоградиентных сред.

2. Проведены теоретические расчеты потенциала электрического поля и кажущегося сопротивления на основе первого приближения для ряда сред с непрерывной медленно изменяющейся электропроводностью и произвольной функциональной ее зависимостью от одной из пространственных координат (прямая задача).

3. Решена обратная задача вертикального зондирования непрерывно неоднородной среды постоянным электрическим током.

4. Рассчитаны и проанализированы.амплитудно-фазовые характеристики импеданса непрерывно неоднородного по глубине полупространства .

Практическая значимость состоит в расширении круга задач, решаемых аналитически, с привлечением ЭВМ лишь на заключительных этапах.

Реализация результатов расчесов. Программы для ЭВМ, созданные на основе теоретических разработок, используются в ГЭП "Юго-запгеология" для расчета кажущегося сопротивления среды и интерпретации результатов наземных измерений вертикального электрического зондирования (ВЭЗ). При этом оперативно решаются текущие задачи мелкомасштабного поиска ископаемых для производства строительных материалов в интересах областных и районных организаций Курской области. Предложенные программы просты и надежны. В рекомендациях к программам указаны критерии для отбора кривых зондирования, полученных в полевых условиях, с целью решения обратной задачи ВЭЗ предложенным методом, даны оценки погрешностей для различных видов теоретических кривых зондирования.

На аагциту выносятся следующие положения:

1. Метод приближенного решения уравнения для потенциала постоянного электрического поля в слабо неоднородной среде.

2. Расчет электрических полей в непрерывно-неоднородных средах, создаваемых различными типами заземлений.

3. Результаты решения ряда краевых задач вертикального электрического зондирования и горизонтального электрического профилирования .

. Способ и решение обратной задачи разведочной геофизики в ме-оде сопротивлений для вертикально-неоднородной среды.

Расчет и анализ амплитудно-фазовых характеристик импеданса юпрерывно-неоднородного полупространства.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семи-lapax лаборатории геофизических полей Института океанологии АН :сср им. п.п. Ширшова, внии ядерной геофизики и геохимии, отдела •еории физико-механических полей Института прикладных проблем «еханики и математики АН УССР, Всесоюзном совещании-семинаре 'Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва, мгту им. 1.Э.Баумана, 1990).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 8-ми работах .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, зетырех глав, заключения и приложений, включает список использо-занной литературы из 80 наименований. Объем диссертации составляет 113 страниц текста, включая 2 8 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, обсуждало современное состояние вопроса, сформулирована цель диссертации и кратко изложено ее содержание.

В первой главе рассматривается уравнение для потенциала U(r) постоянного электрического поля в среде с непрерывно неоднородной проводимостью <г(г)

Д U4-(grad (по-, grad U)=0, (1)

дается развернутая запись этого уравнения в наиболее распространенных ортогональных системах координат. Показано, что разделение переменных возможно, когда проводимость среди представляет собой произведение произвольных функций, каждая из которых зависит от одной пространственной координаты.

Анализируются уравнения электродинамики для квазистационарных процессов при изучении изменяющихся во времени полей в неоднородных средах. В частности, рассмотрена возможность выбор, электродинамических потенциалов электрического и магнитного ти пов, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца.

Показана возможность применения метода последовательны, приближений для решения краевых задач, основанного на предполо жении о слабоградиентности среды. Глава носит вспомогательны характер.

Вторая глава посвящена апробации первого приближения метод расчета потенциала в ряде прямых и обратных модельных задач средах с центральной и аксиальной симметриями проводимости. Оце пинается погрешность приближения.

В качестве модели 1 рассматривается неограниченная среда, электропроводность которой обладает центральной симметрией и яв ляется непрерывной функцией о (г) сферической системы координат Электрическое поле в среде на бесконечности однородно и имее напряженность Ея . Реально такая ситуация возникает, наприме£ когда центр неоднородности расположен между двумя разноименныь

электродами в пределах одной трети их разноса. Потенциал электрического поля U(r) удовлетворяет уравнению (1) при краевом условии на бесконечности U{r)=-E0r. (При определенной ориентации системы координат U(r) от азимутального угла (р не зависит.) Разделение переменных Ш{г) = Л{г)т(9)} приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для R(r) и Т(&), в первое из которых входит ог{г). Считая, что проводимость среды является медленно изменяющейся функцией, и представляя R в виде

RzRt+R,, ¿¡«Ro, (2)

для поправки первого приближения ft, приходим к уравнению, которое решается методом вариации постоянных. Функция Ra — -E0rcos0 соответствует среде с однородной проводимостью а0 -const . В результате потенциал электрического поля £/(?) в первом приближении теории представляется в виде

c/(r) = cos 0 1-4- pln^ir (3)

к r о ao J

Графически выражение (3) иллюстрируется для ряда конкретных зависимостей сг(г). Как и следовало ожидать, максимальное возмущение потенциала наблюдается в местах с достаточно большими градиентами проводимости.

Аналогичные результаты получены для среды, обладающей аксиальной симметрией проводимости. Ось Z цилиндрической системы координат совмещена с осью неоднородности, ст(?)= <т{г), а электрическое поле вдали от нее однородно и направлено перпендикулярно ей (модель 2).

Критерием применимости рассмотренного первого приближения (2), (3) является неравенство

1 1

- » —

г а

da

dr

(4)

накладывающее ограничения на скорость изменения а вдоль координаты г .

В рамках моделей 1 и 2 удается решить и обратную задачу, т.е. по известным (измеренным) зависимостям (/(?) получить поведение электропроводности <?{г). Проведено сопоставление решения обратной задачи, основанного на первом приближении, на примере кусочно-однородной среды с истинной проводимостью вида

Ш1 + а), при т<а а(г)>„ «Р» г> а ' (5>

где а - безразмерный коэффициент, принимающий значения от -1 до ю и определяющий степень отличия проводимости шара радиуса а от проводимости вмедающей среды. С использованием в качестве "измеренных" значения потенциала прямой задачи, которое для- среды вида (5) имеет точное известное решение, показано, что при -0.5<сс<1.5 относительная погрешность не превышает 10%.

Наиболее распространенными типами источников поля в электроразведке служат точечное и линейное заземления. Следующими, рассматриваемыми в главе 2 геоэлектрическими разрезами, являются модель 3 (сферическая симметрия проводимости) и модель 4 (аксиальная) , а источниками поля служат соответственно точечное и линейное заземления, совпадающие с центром и осью симметрии проводимости и лежащие на поверхности полупространства. Постановка задачи аналогична предыдущей. Краевыми же условиями являются равенство нулю нормальной производной потенциала на поверхности и известное поведение потенциала поля при гоз. Кроме того, вблизи заземления потенциал должен иметь особенность, отвечающую типу источника поля. Для конкретных зависимостей сг(г) приведены соответствующие графики.

Две последние прямые задачи электроразведки допускают точные решения, даже в случае произвольней зависимости ет(г). Сопоставление первого приближения и точного результата проведено на примере зависимости

о (г) = <х0 + o"¡ (—-j exp^- —j , а, = comí.

Установлено, что наибольшее расхождение наблюдается для тех значений г, в которых отклонения электропроводности от значения сг,, также максимальны. Относительная погрешность возрастает с увеличением отношения — и при —=0.25; 0.5; 1 составляют, соответственно, 1%; 4% и 12%.

На примере среды с проводимостью

Ф)

= 1 + а(г) (6)

Со

для моделей 3 и 4 найдены решения обратных задач, имеющие вид

а(Г) , п,

~ ехР. -¡у <7>

сг0 1 +- а(г)

Относительное отклонение зависимости (7) от (6) для некоторы: постоянных значений а представлено в работе в виде таблицы. На пример, даже при достаточно большем значении а=1 (ег = 2ст0) отно сительная погрешность составляет всего 26%.

В третьей главе рассматриваются краевые задачи, связанные > методами вертикального электрического зондирования (ВЭЗ) (модел 5) и электрического профилирования (ЗП) (модель 6) . Б перво предполагается, что проводимость полупространства медленно изме няется с глубиной, во второй - является функцией горизонтально координаты. Зависимость проводимости от координат не конкретизи руется. Источником поля служит электрод, расположенный на по верхности среды, с которого стекает ток силы J . Обычно при рассмотрении подобных сред в качеств моделей выбираются системы однородных и изотропных горизонтальных и вертикальных слоев. И с ходным для потенциала поля, как и прежде, является уравнена (1). Краевые условия при решении прямой задачи заданы в виде ps

венства нулю нормальной производной потенциала на поверхности,

и{г) -> 0 при г -> оо и и(г) —>--— при г 0 .

2ясг„ г

Для расчета потенциала (/(г) на поверхности полупространства (модель 5} используется цилиндрическая система координат, ось г которой перпендикулярна его поверхности, а <т(г)=сг(г). Вследствие аксиальной симметрии задачи и(г) от координаты ср не зависит. Потенциал поля представляется в виде интеграла

(8)

где функции Лл(г) и 2и(г) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнения для содержащее ег(г), решается методом последовательных приближений: + . Окончательное выражение для потенциала точечного источника при г=0 имеет вид

аИ N

1}{г,г = й)-

I

2жстг

ч

Г

г' ¡п-

Ч

ч

гг +4г'

гул

-Ж'

Результат (9) для ряда конкретных зависимостей представлены графически.

В модели б электропроводность представляется в виде непрерывной функции горизонтальной координаты 2. Считается, что точечный источник поля расположен в начале цилиндрической системы координат (г, ф, г) и находится распределение потенциала [/(г) по поверхности полупространства. Для графического представления результатов выбраны конкретные зависимости <т(г).

Возможность применения данного метода при решении уравнения (1) равносильна требованию относительной малости поправки первого приближения. Показано, что в моделях 5 и 6 неравенство

эквивалентно условию

1п -

«1.

(Ю)

Для модели 6 на примере геоэлектрического разреза ! а„, при ~ю{г{с1,с}}0

а1

м=

а0(] + а), при

где а - постоянная, ос > -1, приведены оценки погрешности, обусловленные приближенностью исходного метода решения. Точное решение (1) для такого разреза можно получить методом электрических изображений. Найдено, что первое приближение теории дает хорошее качественное согласие с точным решением (1). Что касается количественного совладения, то при значениях а=0.5 и 2 отличие составляет примерно 1% и 10%, и даже при большой контрастности слоев (а=7) оно чуть больше 30%.

я

Результаты наиболее важной задачи (модель 5) дают возмож-)с<гь рассчитать кажущееся сопротивление среды. Для его наземных змерений широко используется четырехточечная установка Шлюмбер-г. В этой установке измерения напряженности электрического поля производятся в точке, которая равноудалена от питающих элек-эодов и лежит на соединяющей их прямой (полярности электродов эотивоположны). Если среда однородна, кажущееся удельное сопро-двление совпадает с удельным сопротивлением полупространства, оторое дается формулой

ß = ~E(s), (U)

де s - полуразнос установки. Если же среда неоднородна, то, с спользованием (9), находится E(s) для такой установки, а (11) риобретает вид:

о (Л - ^

MfI=1+6/f—e^tb. tu)

Po o{s2+4zlY2

Расчет кажущегося сопротивления реальных геоэлектрических азрезов Климовского участка Воронежской Геологоразведочной Эхс--едиции проведен по программе для ЭВМ на основе (12) и представши в Приложении 1 к диссертации.

Выражение (12) позволяет решить наиболее важную в практиче-:ком применении обратную задачу: по известным экпериментальньш (энным рк (s)вертикального электрического зондирования найти зави-:кмость истинного удельного сопротивления р от глубины ъ. В мате-1атическом отношении уравнение для p(z) (12) представляет инте-'ральное уравнение Фредгольма первого рода. Для численнного решения этого уравнения разобьем среду на (п+1) однородных горизонтальных слоев. В результате уравнение (12) сводится к системе «•шейных алгебраических уравнений, которая является плохо обу-:ловленной. Ее решение ищется методом наискорейшего спуска. Результаты такой задачи рассмотрены на примере шестислойной среды (см. рис.1 и 2) .

Рис.1 Кажущееся сопротивление шестислойной модели среды.

Рис.2 Результат решения обратной задачи - плавная линия, истинное удельное сопротивление среды - ломаная линия.

Для сопоставления результатов решения использован коэффициент взвешенных отклонений двух функций

представленных на рис.2. Величина этого коэффициента в зависимости от глубины 2 представлена в таблицах:

3 4,5 € 9 15 25 40

Л 1, 00 1, 00 0,79 0,89 0, 92 0, 91 0, 88

65 100 150 225 325 500 750 1000

Л 0,84 0,84 0, 54 0,66 0,60 0, 56 0,56 0, 57

Следует отметить, что применение используемого метода к данному геоэлектрическому разрезу из-за больших скачков проводимости при переходе от одного слоя к другому не является, вообще говоря, обоснованным. Однако, формальное их применение, как следует из таблицы, дает вполне удовлетворительные результаты.

Применение метода решения обратной задачи к данным Воронежской ГРЭ рассмотрено в Приложении 2.

В главе 4 решена стоящая несколько обособленно задача о магнитотеллурическом зондировании (МТЗ) непрерывно неоднородной среды. Однако, с предыдущим материалом ее объединяет применение

етода последовательных приближений. Кроме этого, как и прежде, читается, что среда слабоградиенгна.

В МТЗ исследуется переменная составляющая естественного лектромагнитного поля Земли. Эту составляющую рассматривают как адающую на поверхность Земли волну. Изучение геологического азреза основано на нахождении амплитудно-фазовых характеристик мпеяанса 2 на поверхности Земли, который определяется как отно-ение горизонтальных составляющих напряженностей электрического ' и магнитного Н полей:

Z = — (13)

н

частности, кажущееся сопротивление среды выражается через мо-,уль импеданса по формуле

И2

(14)

(йц

При падении по нормали на поверхность неоднородного полу-ространства a=a(z) плоской монохроматической волны напряженность

лектрического поля Е в среде удовлетворяет уравнению Гельмголь-.а

+ = 0, (15)

dz

1де, в пренебрежении токами смещения, квадрат волнового числг •2=iú)fio(z) . Представляя проводимость среды как <г(г)= а0+ <Ji(z), rD=const, oi/oo « 1 записываем к2 в виде суммы

k2=k¡+k¡, ÍÚ«1 (16) К

ito условие позволяет применить для решения (15) метод последо-;ательных приближений. В качестве краевого условия для амплитуды ¡оля Е использована ее ограниченность при z->w. В работе получе-;ы выражения для Е и Н в первом приближении, на основе которы. ¡айдены импеданс полупространства, кажущееся сопротивление сред-i фаза импеданса в зависимости от длины падающей волны.

Далее в главе 4 рассмотрены некоторые геоэлектрические раз юзы. Результаты представлены в виде аналитических выражений : рафиков (см. рис.3).

Оценка точности полученных результатов проведена на пример шухслойного геоэлектрического разреза, для которого извести ючное решение. Полученные приближенные зависимости дают не :колько заниженные значения кажущегося сопротивления и фазы ик 1едзнса. Вместе с тем даже при полуторакратном отношении провс ¡имостей сред в месте контакта, когда оно не мало по сравнению ¡диницей и не выполняется условие (16), максимальное отклонена и фазы Z от соответствующих им точных значений не превышаю'. !0% и 5%.

'f

2. 4 л

1 10 10 10

а)

у ^ qba.iL-

•33

-VI -

- 15 А

ч :ъЛу \ 1 / 105 '

ЧЭ V/5

-51 -

0)

Рис.3 Кажущееся сопротивление (а) и фаза импеданса (б) геоэлектрического разреза проводимости ст=ов-нт|(рг) ехр (-рг) , р=сопб1:. Шифр кривых - <т/о0.

Таким образом, использование первого приближения дает вполне удовлетворительные результаты даже в условиях, выходящих зг

лкк его формальной применимости. Поэтому данные результаты мог быть полезными при МТЗ областей с достаточно широким интер-

пом изменения электропроводности как для кусочно-однородных гд, так и для сред с отличным от нуля градиентом проводимости.

В заключении диссертации формулируются основные результата боты.

В приложениях даны программы для ЭВМ и их реализация не имере данных Воронежской ГРЭ при расчете кажущегося сопротив-ния ВЭЗ и решения обратной задачи электроразведки.

В приложениях также приведена полная принципиальная схем; оверки адекватности математической модели изучаемому процессу: .спериментальные данные —> математическая модель —> расчетные нные. Согласованность расчетных значений с экспериментальными .иными проверяется на основе критерия согласия Колмогорова-мрнова. Этот же критерий применяется на отдельных этапах: пря-[Я и обратная задачи ВЗЗ для реальных данных Воронежской ГРЭ :шу считается, что уровень значимости а=0.05. Рассмотренные ) 1боте модели признаны верными на указанном уровне значимости.

Заключительным, важным и логически завершающим этапом являйся оценка высших приближений для потенциала электрического по! в некоторых моделях сред (Приложение 4). Эта оценка позволяв доводить отбор кривых зондирования верхних слоев Земли с цель-1льнейшей интерпретации результатов наземных измерений и оце 1ть погрешность теоретических расчетов, оставаясь в рамках пер зго приближения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследованы геоэлектрические модели слабо неоднородны/ роводящих сред, в которых распределение электропроводности об-адает центральной и аксиальной симметркями, а также вертикально

горизонтально неоднородные полупространства. Считалось, чт роводимость изменяется по произвольному закону вдоль одной и ространственных координат.

2. Для решения краевых задач электродинамики предложен еализован метод последовательных приближений. Нулевое приближе ие соответствует однородной среде. Расчет потенциала электриче кого поля достаточно подробно проведен для первого приближения 'читывакщего непрерывное отклонение электропроводности от некс ■орого постоянного "фонового" значения.

3. В каждой конкретной модели среды указан критерий, выпо1 [ение которого делает возможным применение данного метода. Кр!-'ерий вытекает из вида обыкновенных дифференциальных уравнени{ : которым приводит разделение переменных в исходном уравнении ¡астних производных, или из условия малости поправки перво) 1риближения по сравнению с нулевым.

4. В качестве источников поля рассматривались: первично од -гародное электрическое поле, постоянные поля точечного и линей -того заземления, а также внешнее квазистационарное электрома: литное поле.

5. Показано, что сопоставление первого приближения с точш ни решениями на примерах кусочно однородных разрезов дают впол' удовлетворительные результаты. Такая мера продиктована невозмо:

ностью получения точных решений уравнений поля в непрерывно неоднородных средах.

6. Приведены оценки поправок высших приближений для потенциала электрического поля. В результате установлено, что указанные ранее критерии применимости первого приближения являются достаточно жесткими. Использование оценок позволяет расширить область применения первого приближения, указать погрешности этого приближения, что важно в плане практического использования. Аналогичный вывод дает применение критерия согласия Колмогорова-Смирнова.

7. Теоретически получены аналитические зависимости кажущегося сопротивления вертикального непрерывно-неоднородного полупространства от полуразноса четырехточечной симметричной установки (прямая задача вертикального электрического зондирования (ВЭЗ) ) .

8. Решена обратная задача вертикального электрического зондирования, исходными данными для которой служат результаты наземных измерений. В ее основе лежит прямая задача ВЭЗ, решение которой получено предлагаемым методом. Для численного решения обратной задачи использован метод наискорейшего спуска.

9. Приведено решение задачи о нормальном падении плоской монохроматической волны на поверхность вертикально неоднородного полупространства. Рассчитан импеданс полупространства и найдена зависимость кажущегося сопротивления и фазы импеданса среды ог длины падающей волны.

10. Разработаны программы для ЭВМ и инструкции к ним для расчета кажущегося сопротивления ВЭЗ и интерпретации наземных наблюдений. Предложенные программы используются в ГЭП "Югозапгеология".

Основное содержание диссертации опубликовано в работах :

1. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Влияние неоднородности проводимости на распределение потенциала постоянных электрических полей// Изв. АН СССР. Физика Земли.-1983.-N3.-С.108-110.

2. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории линейного и точечного заземлений в среде с неоднородной электропроводностью//Изв. АН СССР. Физика Земли.-1984.-N5.-С.101-104.

3. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Распределение потенциала постоянного электрического поля точечного источника на плоской поверхности неоднородного полупространства //Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. - 1985. -N1.-С.61-65.

4. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Расчет электрического потенциала точечного заземления для неоднородной среды (электропроводность изменяется по горизонтали)//Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1985. -N5.- С.91-94.

5. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории магнитотеллуриче-ского зондирования неоднородного полупространства//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. - 1986.-N6. -С.112-116.

6. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикального электрического зондирования методом сопротивле-ний//Инженерно-физические проблема новой техники: Тезисы докладов всесоюзного совещания-семинара. -М., 1990.-С.175-176.

7. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача метода со-фотивлений для некоторых слабонеоднородных сред//Изв. ВУЗов, "еол. и разведка.-1992.-N3.-С.119-123.

8. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикаль--юго электрического зондирования методом сопротивлений//Изв. РАН. Физика Земли. -1992. -N11.-С.18-22.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ СРЕД С НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬЮ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Стационарные электрические поля в неоднородных средах.

1.2 . Переменные электромагнитные поля в сплошных средах.

1.3. Схема приближенного решения уравнений поля в сплошной среде.

Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОСТОЯННЫХ ИСТОЧНИКОВ В СРЕДАХ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ И АКСИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЯМИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ.

2.1. Среды со сферической и цилиндрической симметриями проводимости во внешнем однородном электрическом поле.

2.2. Поле точечного и линейного источников.

2.3. Обратная задача электроразведки для первично однородного электрического поля, полей точечного и линейного заземлений.

Глава 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ОДНОМЕРНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ.

3.1. Точечный и дипольный источники в вертикально неоднородной среде.

3.2. Электрические поля в горизонтально неоднородной среде.

3.3. Зависимость кажущегося сопротивления среды от расстояния между электродами установки Шлюмберже (прямая задача). Постановка обратной задачи ВЭЗ.

3.4. Решение обратной задачи ВЭЗ методом наискорейшего спуска.

Глава 4. МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОЕ ЗОНДИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВ

НОНЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Импеданс полупространства с изменяющейся вглубь электропроводностью.

4.2. Исследование амплитудно-фазовых соотношений импеданса. Кажущееся сопротивление.

Разведочная геофизика как наука, базирующаяся на достижениях естествознания, берет свое начало, в основном, с изучения земного магнетизма и открытия закона всемирного тяготения. По мере возникновения и развития новых физических теорий к целям разведочной геофизики привлекался все более широкий круг как естественных природных явлений, так и искусственных процессов. В настоящее время поиск необходимых для человека ископаемых Земли ведется гравитационными, радиоактивными, а также различными химическими, тепловыми и другими методами.

Область применения средств и методов геологической разведки расширяется: от исходных для ее развития задач поиска полезных ископаемых до изучения крупномасштабной структуры Земли, Луны и планет с одной стороны, до детального исследования геологической обстановки крупного города с многовековой историей или археологического объекта - с другой. Актуальность последних задач связана со стремлением избегать ошибок при выборе строительных площадок или проведении раскопок на территории многократно перестраивавшегося городского района. При этом для сокращения до минимума земляных работ и обеспечения сохранности заглубленных объектов требуется точное оконтуривание фрагментов фундаментов, локальных подземных пустот, труб, кабелей, магистралей и т.п.

Основной, но решаемой весьма редко, задачей разведочной геофизики, является получение информации о типах слагающих верхнюю часть земной коры горных породах по результатам наземных измерений. В связи с этим интерпретация данных полевых измерений основана, как правило, на решении прямых задач разведочной геофизики, постановка которых уже предполагает известными свойства горных пород до требуемых глубин.

Важная информация о структуре и свойствах верхних слоев Земли может быть получена путем определения физических характеристик их геофизических разрезов. В этой связи широкое развитие получили исследования по возбуждению в Земле электромагнитных полей, измерение которых на земной поверхности может дать картину электропроводности среды по различным направлениям.

Прогресс науки и техники позволил обогатить арсенал технических средств геологической разведки. Решению глобальных крупномасштабных задач служат достижения космической техники, обеспечивающие крупномасштабные исследования. Существенно увеличились и инструментальные возможности изучения мелкомасштабных деталей. Так, в частности, в области электромагнитного каротажа значительные успехи достигнуты благодаря применению несинусоидальных волн, с помощью которых удается уточнить глубину залегания вечной мерзлоты и определить положение мелкомасштабных неоднородностей, слабоконтрастных по отношению к основной горной породе - бетонных, глиняных или пластмассовых труб, полостей в известняке и т.п. [63].

Большой интерес для развития прикладной геофизики представляет комплексное использование волновых методов полей различной физической природы. Изучение эффектов взаимодействия сейсмических и электромагнитных волн открывает новые перспективы в области разведки полезных ископаемых [53].

Теоретической базой, служащей для интерпретации данных полевых наблюдений, является разработка методов расчета электромагнитных полей, порождаемых различными типами источников как искусственного, так и естественного происхождения в средах с переменной электропроводностью.

Структурными моделями верхних слоев Земли, которые к настоящему времени изучены достаточно подробно, являются среды с кусочно-однородной проводимостью: система горизонтальных и вертикальных слоев, шар и цилиндр, погруженные в полупространство с иной электропроводностью и ряд других (см., например, [13,16]).

Для более адекватного описания геологических разрезов необходимо учитывать, что электрические свойства пород часто непрерывно зависят от пространственных координат. Так, согласно [56], рудные месторождения имеют особенность в геологическом строении, которая состоит в плавном изменении (градиентность) удельной электропроводности и поляризуемости среды и повышении с глубиной ее анизотропии. В работах [45,66] указано на более сложное, чем кусочно-однородное, изменение удельной электрической проводимости с глубиной в многолетнемерзлых грунтах. Одновременно такие геологические процессы как выветривание, высыхание, диффузия, вымерзание приводят к изменению проводимости с глубиной [51], что затрудняет аппроксимацию среды кусочно-однородной п-слойной моделью. В [40] отмечается иная причина градиентного поведения проводимости, состоящая в постепенном повышении солености подземных вод. Названные причины требуют развития методов расчета полей в неоднородных средах с непрерывно изменяющейся электропроводностью.

Одна из основных задач разведочной геофизики заключается в определении кажущегося (эффективного) сопротивления среды. Достаточное распространение для этих целей получил метод электрических сопротивлений [16,64,65,68]. Его применение в предположении о кусочной однородности среды сводится к решению граничной задачи для уравнения Лапласа, которому удовлетворяет потенциал электрического поля постоянных источников. Получающиеся при этом выражения кажущихся сопротивлений даже в ряде случаев достаточно простых структур имеют вид интегралов и рядов, в которые входят электрические и геометрические параметры разрезов.

Если проводимость среды является непрерывной функцией координат, то аналитическое решение уравнения для потенциала поля в общем случае не представляется возможным. В таких ситуациях необходимо прибегать к различным эвристическим методам.

Исследование кажущегося (эффективного) сопротивления среды с непрерывной зависимостью проводимости от вертикальной координаты содержит работа [74]. Представленное в виде определенного интеграла кажущееся сопротивление находится в результате разложения в ряд подинтегральной функции, которая, в свою очередь, является функцией удельной электропроводности среды.

Рядом авторов [5,6,15,46,55,57,70-78] были найдены выражения потенциалов поля постоянного тока в кусочно-градиентных по вертикали моделях слоистых сред, учитывающих различные геологические особенности. При этом выбирались конкретные функции изменения удельной электропроводности в каждом из слоев.

Развитие ЭВТ позволило производить расчеты электрического поля в многослойной горизонтально-слоистой среде [12,13,62]. При этом можно получить кривые зондирования для.непрерывно-неоднородной по глубине среды, приближенно заменяя неоднородное полупространство слоистым разрезом. Однако интерпретация многослойных кривых с небольшим отличием удельных сопротивлений слоев затруднительна.

Исследованию электрического поля в многомерзлых грунтах посвящены работы [24-26], в которых рассмотрен целый ряд законов изменения удельной электропроводности в каждом из слоев п-слойной градиентной среды, допускающих решения в цилиндрических функциях. Аналогичный результат получен в [80], где изучено множество зависимостей удельного сопротивления от глубины, для которых можно найти точные выражения потенциала электрического поля.

В последнее время большое развитие получили полуаналитические комбинированные методы, основанные на сочетании интегрального преобразования с численными или получисленными вычислениями, позволяющие решать более сложные, чем в рассмотренных ранее работах задачи. Так в работах [11, 19-22, 29, 30] приводятся расчеты потенциала поля постоянного тока в средах, удельная электропроводность которых в сферических и цилиндрических координатах может быть представлена в виде произвольной функции одной из них.

Сделаны первые попытки учета горизонтально-градиентной неоднородности среды, сочетающейся с вертикальной неоднородностью. В работах [28,44] рассчитано электрическое поле постоянного тока в пласте с экспоненциальным изменением удельной электропроводности вдоль пласта конечной и предельно малой мощности. В работе [79] впервые рассматривается двумерно-градиентная среда. Функция удельной электрической проводимости зависит от двух координат (г, г) цилиндрической системы (г, ф, т). Однако положение источника на оси ъ делает модель малопригодной для широкого использования в электроразведке, хотя она и решает некоторые частные задачи.

Значительно меньшее число работ посвящено методу магнитотеллурического зондирования непрерывно неоднородных сред. В работе [3] рассмотрен случай экспоненциального изменения сопротивления с глубиной и интерпретация экспериментальных данных для такого типа разреза. Исследованию одномерных сред с удельным сопротивлением, изменяющемся по гиперболическому и экспоненциальному законам, посвящена работ [47].

Математическое обеспечение геологоразведочных работ важнейший фактор сокращения объема натурных изысканий. Известно, что и сама математическая проблема обратных задач получила свое начало из проблем геологической разведки. Реализация методов обратных задач, развитых для нужд геологической разведки, требует проведения больших объемов вычислительных работ с применением ЭВМ высокого класса и привлечением высококвалифицированного персонала. Вместе с тем, в повседневной реальной практике мелкомасштабной георазведки (для обеспечения производственных нужд отдельных предприятий) зачастую нет возможности оперативно применять большие вычислительные мощности. Поэтому существует большая практическая потребность разработки и применения математических методов, позволяющих обеспечить решение производственных задач геологической разведки малыми силами, в компактной форме, при относительно малом объеме вычислительных работ.

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию электромагнитных процессов в средах с непрерывной медленно изменяющейся электропроводностью с целью получения необходимых аналитических зависимостей и разработки достаточно простых алгоритмов, использование которых в условиях проведения полевых измерений занимает достаточно мало времени и не связано с привлечением сложной вычислительной техники. Математическую основу для решения целого ряда возникающих краевых задач уравнений электродинамики составляет метод последовательных приближений.

Материал диссертационной работы изложен в четырех главах.

В первой главе рассматривается уравнение для потенциала постоянного электрического поля в среде с непрерывно неоднородной проводимостью, дается развернутая запись этого уравнения в наиболее распространенных ортогональных системах координат. Показано, что разделение переменных возможно тогда, когда проводимость среды может быть описана аналитической зависимостью, представляющей собой произведение произвольных функций, каждая из которых зависит от одной пространственной координаты.

Анализируются уравнения электродинамики в плане использования их для изучения переменных во времени полей в неоднородных средах. В частности, рассмотрена возможность выбора электродинамических потенциалов электрического и магнитного типов, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца. Указана область частот, в которой допустимо разделение переменных.

Показана возможность применения метода последовательных приближений для решения краевых задач, появление которого связано со слабой градиентностью проводимости среды.

Вторая глава посвящена апробации метода последовательных приближений на ряде прямых и обратных модельных задач по расчету электрического поля в средах с центральной и аксиальной симметриями проводимости. Предполагается, что источниками поля в этих средах служат точечное и линейное заземления, а также источники, создающие первично однородное электрическое поле. Сопоставление полученных приближенных результатов с результатами ряда задач, допускающих точное решение, а также анализ критериев применимости первого приближения позволяет сделать заключение о достаточной эффективности метода и на его основе перейти к изучению адекватных моделей геоэлектрических разрезов.

В третьей главе решены прямая и обратная задачи вертикального электрического зондирования и прямая задача электрического профилирования. Дан анализ результатов для некоторых типов геоэлектрических разрезов, изменение проводимости в которых происходит в вертикальном или горизонтальном направлениях. Показано, что применение данного метода к соответствующим моделям кусочно-однородных сред дает полное качественное согласие с ранее известными результатами. Оценены погрешности, обусловленные использованием приближенного метода решения исходных уравнений.

В последней четвертой главе произведен расчет импеданса плоской монохроматической электромагнитной волны для полупространства, электропроводность которого изменяется с глубиной. С целью интерпретации результатов наземных измерений подробно проанализированы амплитудно-фазовые характеристики импеданса. Указан критерий применимости используемого метода для решения краевых задач такого типа.

В приложения к диссертационной работе вынесены: анализ результатов работы с точки зрения проверки статистических гипотез на основе применения критерия согласия Колмогорова-Смирнова; программы решения прямой и обратной задач ВЭЗ, использование которых позволяет быстро получить значения кажущегося и истинного удельных сопротивлений среды, а также оценки второго и более высоких приближений потенциала электрического поля для некоторых моделей сред. В диссертационной работе защищаются:

1. Метод приближенного решения уравнения для потенциала постоянного электрического поля в слабо неоднородной среде.

2. Расчет электрических полей в непрерывно-неоднородных средах, создаваемых различными типами заземлений.

3. Результаты решения ряда задач вертикального электрического зондирования и горизонтального электрического профилирования.

4. Способ и решение обратной задачи разведочной геофизики в методе сопротивлений для вертикально-неоднородной среды.

5. Расчет и анализ амплитудно-фазовых характеристик импеданса непрерывно-неоднородного полупространства.

Основные результаты работы докладывались на семинарах лаборатории геофизических полей Института океанологии АН СССР им. П.П, Ширшова, ВНИИ ядерной геофизики и геохимии, отдела теории физико-механических полей Института прикладных проблем механики и математики АН УССР, Всесоюзном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (МГТУ им. Н.Э.Баумана) и опубликованы в работах [32-39].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту C.B. Соболеву и доктору

12 физико-математических наук, профессору МГТУ им. Н.Э. Баумана М. И Киселеву за помощь и внимание при выполнении настоящей работы.

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы геоэлектрические модели слабо неоднородных проводящих сред, в которых распределение электропроводности обладает центральной и аксиальной симметриями, а также вертикально и горизонтально неоднородные полупространства. Считалось, что проводимость изменяется по произвольному закону вдоль одной из пространственных координат.

2. Для решения краевых задач электродинамики предложен и реализован метод последовательных приближений. Нулевое приближение соответствует однородной среде. Расчет потенциала электрического поля достаточно подробно проведен для первого приближения, учитывающего непрерывное отклонение электропроводности от некоторого постоянного "фонового" значения.

3. В каждой конкретной модели среды указан критерий, выполнение которого делает возможным применение данного метода. Критерий вытекает из вида обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводит разделение переменных в исходном уравнении в частных производных, или из условия малости поправки первого приближения по сравнению с нулевым.

4. В качестве источников поля рассматривались: первично однородное электрическое поле, постоянные поля точечного и линейного заземления, а также внешнее квазистационарное электромагнитное поле.

5. Показано, что сопоставление первого приближения с точными решениями на примерах кусочно однородных разрезов дают вполне удовлетворительные результаты. Такая мера продиктована невозможностью получения точных решений уравнений поля в непрерывно неоднородных средах.

6. Приведены оценки поправок высших приближений для потенциала электрического поля. В результате установлено, что указанные ранее критерии применимости первого приближения являются достаточно жесткими. Использование оценок позволяет расширить область применения первого приближения, указать погрешности этого приближения, что важно в плане практического использования. Аналогичный вывод дает применение критерия согласия Колмогорова-Смирнова.

7. Теоретически получены аналитические зависимости кажущегося сопротивления вертикального непрерывно-неоднородного полупространства от полуразноса четырехточечной симметричной установки (прямая задача вертикального электрического зондирования (ВЭЗ)).

8. Решена обратная задача вертикального электрического зондирования, исходными данными для которой служат результаты наземных измерений. В ее основе лежит прямая задача ВЭЗ, решение которой получено предлагаемым методом. Для численного решения обратной задачи использован метод наискорейшего спуска.

90

9. Приведено решение задачи о нормальном падении плоской монохроматической волны на поверхность вертикально неоднородного полупространства. Рассчитан импеданс полупространства и найдена зависимость кажущегося сопротивления и фазы импеданса среды от длины падающей волны.

10. Разработаны программы для ЭВМ и инструкции к ним для расчета кажущегося сопротивления ВЭЗ и интерпретации наземных наблюдений. Предложенные программы используются в ГЭП "Югозапгеология".

1. Алытин J1.M., Даев Д.С., Карпинский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике.-М.:Недра,1985. - 408 с.

2. Альпин JI.M. Теория дипольных зондирований. М.: Гостоптехиздат, 1950. -208 с.

3. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Мерщикова И.А. Исследование градиентных сред при глубоком электромагнитном зондировании//Изв. АН СССР, Физика Земли.-1974.-N6.-C.61-72.

4. Большев А.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.-416 с.

5. Боровинский Б.А. К теории вопроса применения ВЭЗ на. (jмноголетнемерзлых горных породах//ГеофиЗические методы изучения многолетнемерзлых горных пород, снега и льда. М., 1964. - С.56-77.

6. Бурсдорф В.В. Расчет заземлений в неоднородных грунтах //Электричество. 1954.-N1. - С. 15-25.

7. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. JL: Недра, 1972. - 368 с.

8. ВаньянЛ.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. -109 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. -528 с.

10. Ю.Воронцов Ю.И. Теория и методы макроскопических измерений. М.:

11. Наука, 1989. 280 с. П.Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод решения задач электродинамики неоднородных сред//Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1970. -N6. - С. 1453-1464.

12. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде//Вычислительные методы и программирование. 1968. - N10. - С. 5565.

13. З.Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. -М.: Рт. ВЦ МГУ, 1969.-132 с.

14. М.Ермохин К.М., Комаров В.А. Электрическое поле с непрерывным измерением удельного сопротивления//Вестник ЛГУ.-1983. N12. - С.92-95.

15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

16. Иванов В.Т. Решение методом прямых некоторых задач для уравнений эллиптического типа//Дифференциальные уравнения. 1967.-N6.-C.1002-1008.

17. Иванов В.Т., Комаров В.А., Подлипчук Л.Н. Решение задач теории электрометрии скважин дифференциально-разностным методом//Изв. ВУЗов. Геология и разведка.-1971.-N1.-С. 106-112.

18. Иванов В.Т. О методе прямых для решения смешанных краевых задач в многосвязных областях//Дифференциальные уравнения. 1982.-N3. -С.150-153.

19. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения некоторых прямых и обратных задач электрокаротажа. -М.:Наука,1983. -144с23 .Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.-576 с.

20. Козыренко В.Е., Альтшулер Э.Б., Шинаев А.Г. О расчете полей сосредоточенных заземлителей в условиях многолетнемерзлых грунтов//Электричество.-1979.-N12.-С. 16-20.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. - 832 с.

22. Королюк Т.И. Поле точечного источника, помещенного в пласте, сопротивление которого изменяется по показательному закону//Математ. записки Урал. гос. ун-та (Свердловск).- 1967. -Т.6, тетрадь 2.-С.55-56.

23. Костянев С.Г. Исследование поля постоянного тока в горизонтально-градиентных средах//Изв. ВУЗов. Геология и разведка.-1979.-N9.-C. 108112.

24. Костянев С.Г. Поле постоянного тока в градиентных средах// Вычисл. методы и программирование (M.).- 1975.-N24. -С. 156-160.

25. Костянев С.Г. Расчет поля тока в цилиндрической градиентной среде//Численные методы в геофизике.-М.,1979.-С.81-86.

26. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Влияние неоднородности проводимости на распределение потенциала постоянных электрических полей// Изв. АН СССР. Физика Земли.-1983.-КЗ.-С.108-110.

27. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории линейного и точечного заземлений в среде с неоднородной электропроводностью//Изв. АН СССР. Физика Земли.-1984.N5 .-С. 101 -104.

28. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Распределение потенциала постоянного электрического поля точечного источника на плоской поверхности неоднородного полупространства //Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1985. -N1.-C.61-65.

29. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Расчет электрического потенциала точечного заземления для неоднородной среды (электропроводность изменяется по горизонтали)//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. -N5.-С.91-94.

30. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории магнитотеллурического зондирования неоднородного полупространства//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1986.-N6. -С.112-116.

31. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикального электрического зондирования методом сопротивление/Инженерно-физические проблема новой техники: Тезисы докладов всесоюзного совещания-семинара. -M.- 1990.-С.175-176.

32. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача метода сопротивлений для некоторых слабонеоднородных сред//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка.-1992.-N3.-C.119-123.

33. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикального электрического зондирования методом сопротивлений//Изв. РАН. Физика Земли. -1992. -NI 1.-С. 18-22.

34. Куфуд О. Зондирование методом сопротивлений. -М.: Недра, 1984.- 272 с.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. -286с.

36. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика.-М.: Наука, 1989.-768с.95 .

37. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. -624 с.

38. Майер A.A. Потенциал точечного источника на бесконечной неоднородной плоскости//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. -N1. -С.98-101.

39. Меньшов Б.Г., Альтшулер Э.Б., Шинаев А.Г. Определение параметров градиентной структуры многолетней мерзлоты при расчете заземляющих устройств//Изв. ВУЗов. Энергетика.-1981. -N2.-C.24-29.

40. Мейер A.A. Потенциал точечного источника постоянного тока в полупространстве с линейно-изменяющейся проводимостью (сопротивлением)//Изв. АН СССР. Сер.геофиз.-1962.-N9. -С. 1158-1162.

41. Овчинников И.К. Электроразведка рудных объектов под поверхностным слоем земной коры. -М.: Недра, 1975.-88с.

42. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1982.-331с.

43. Потапов O.A., Лизун С.А., Кондрат В.Ф. Основы сейсморазведки. -М.: Недра, 1995.-268 с.

44. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.:Наука,1981. -800с.

45. Редозубов A.A., Сысков С.С. Картирование зон рассланцевания электроразведкой//Вопросы рудной геофизики. -Свердловск, 1973.-С.33-55.

46. Редозубов A.A. Теория и практика электрической разведки рудоносных зон (на примере поисков медноколчедановых месторождений Урала): Диссертация на соискание ученой степени доктора геолого-минералогических наук. -Свердловск, 1978. -465с.

47. Рудерман E.H. Поле точечного источника в трехслойной среде с промежуточным градиентным слоем//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. -1971.-N11.-С.124-127.

48. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические методы решения электродинамических задач. М.: Наука, 1988. -344с.

49. Телфорд В.М. Прикладная геофизика. М.: Недра, 1980. -502 с.

50. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.-286 с.

51. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. -736с.

52. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Метод расчета электромагнитных полей в слоистых средах//Изв. АН СССР. Сер.геофиз.-1956. -N3. -С.245-251.

53. Хармут X. Основы секвентного анализа. Основы и применения. -М.: Мир., 1980.-576с.

54. Хмелевской В.К. Основной курс электроразведки. -М.: Изд-во МГУ,1970.-4.1.-245 с.

55. Электроразведка. Справочник геофизика.-М.: Недра, 1980.-518 с.

56. Якубовский Ю.В. Электроразведка. -М: Недра, 1980. -384 с.

57. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. -М.: Наука, 1977. -342 с.

58. Banerjee В., Sengupta B.J., Pal В.Р. Apparent resestivity of a multilayered Farth with a layer having expanentiality conductivity//Geophys.prospect.-1980.• V.28, N3.-P.435-452.

59. Jain S.C. Resistivity sounding an a three-layer transitional model//Geophys.prospect.-1972.-V.20, N2.-P.283-292.

60. Koefed O. Resistivity sounding on an earth model containing transition layers with linear change of resistivity with depth//Geophys. prospect.-1979.-V.27, N4.-P.862-868.

61. Lai T. Apparant resistivity over a three layer on inhomogenions iterstretum//Pageop.-1970.-V.82, N5.-P. 269-862.

62. Langer R.E. An inversee problem in differential equations //Am. Math. Soc.Bul.-1933.-V.39.- P.814-820.

63. Mallick R., Jain S.C. Resistivity sounding on a layered transitional earth/ZGeophys. prospect.- 1977.-V.27, N4.-P. 869-875.

64. Patella D. Resistivity sounding on a multy-layred earth. Thteory//Geophys. prospect.- 1977.-V.25, N4.-P.699-729.

65. Prosad Pal Barun, Dasgupta S.P. Electrical potential due inhomogeneous anisotropic earth//Geophys.prospect.-1984.-V.32, N5.-P.943-952.

66. Raghuwanshi S.S., Singh Bijendra. A class of resistivitydepth functions amenable to exact solutions of geoelectric potential//Indian J.Earth Sci.-1977.-V.10, N1.-P.75-81.99