автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции в измерительном контуре

На правах рукописи

ФЕДОРОВА Ольга Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ЦИРКУЛЯЦИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ В ИЗМЕРИТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2007

003056686

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Губатенко Валерий Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Клинаев Юрий Васильевич

кандидат физико-математических наук Назаров Александр Анатольевич

Ведущая организация: ФГУП «НЛП «Контакт» (г. Саратов)

Защита состоится 25 апреля 2007 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « » марта 2007 г.

Ученый секретарь ~

диссертационного совета ' 1/7Терентьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Неотъемлемой составной частью любого измерительного прибора или системы являются датчики. Датчик (измерительный преобразователь) - это средство измерения, преобразующее измеряемую физическую величину (перемещение, давление, температуру, электрическое напряжение и т.д.) в сигнал (обычно электрический) для передачи, обработки или регистрации. Таким образом, датчик выполняет функцию первичного элемента, который воспринимает информацию от исследуемого объекта и преобразует ее для передачи в измерительное устройство.

Тот факт, что присутствие датчика может оказывать существенное влияние на измеряемую величину, в литературе подтверждается многими авторами. Например, об этом в своих работах пишут М.А. Земельман, Н.Г1. Миф, Ж. Аш, А.Г. Мошков, Л.Г. Гросс, С.А. Чугунов, В.М. Юркевич, Б.Л. Кондратьев, C.B. Бирюков и др.

Для измерения циркуляции напряженности электрического поли используются индукционные датчики, в состав которых обязательно входит приемная рамка или петля. Каждый виток этой петли представляет собой провод (чаще всего медный), в котором наводится электродвижущая сила (ЭДС) индукции. При этом ЭДС индукции принято отождествлять с циркуляцией напряженности электрического поля по контуру петли. Такое представление, бесспорно, верно на очень низких частотах возбуждаемого электромагнитного поля, когда толщина скин-слоя значительно превышает толщину измерительного провода. В этом случае электрическое поле практически без искажений проникает в провод и наводит в нем электрический ток, по величине которого определяют циркуляцию напряженности электрического поля.

Очевидно, что внесенный в среду провод изменяет распределение электропроводности среды и, следовательно, возмущает исходное электромагнитное поле, причем, если это возмущение несущественно на достаточно низких частотах (или поздних стадиях переходного процесса), но, благодаря скин-эффекту, может быть очень значительным на высоких частотах (ранних временах неустановившегося процесса). В работе П. О. Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского экспериментально доказано, что при измерении переходных процессов величина ЭДС индукции зависит от электропроводности измерительного провода и дано качественное объяснение этого эффекта на основе теории двухпроводной линии.

Таким образом, является актуальной проблема исследования взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, поскольку ее решение позволит найти количественную оценку искажений, вносимых приемным контуром при измерении электромагнитного поля.

Индукционные датчики являются составной частью большого числа измерительных приборов, применяемых в различных областях: в методах индуктивной электроразведки для поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, в инженерной геофизике, в дефектоскопии, в частности, для контроля за состоянием трубопроводных систем, при археолога-ческих исследованиях, при проведении строительных работ и т.д. Поэтому изучение данного вопроса имеет большое практическое значение, так как позволит разработать прецизионную измерительную аппаратуру, а также уточнить результаты измерений и правильно их интерпретировать.

Целью диссертационной работы является разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, основанной на асимптотических решениях интегральных уравнений, для количественной оценки искажений, вносимых измерительным контуром при регистрации электромагнитного поля.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

Ь Разработка математической модели взаимосвязи истинного (поле в отсутствие измерительного провода) и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

2. Разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции для осесимметрического электрического поля.

3. Проведение численного эксперимента по оценке искажений, вносимых приемным контуром при измерении плоского и осесимметрического электрических полей.

4. Оценка величины искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от размеров провода, его электропроводности, электропроводности окружающей провод среды и частоты электромагнитного поля.

Методы исследований для решения перечисленных задач базируются на теории уравнений математической физики, теории обобщенных функций и теории интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и их физическим обоснованием.

2. Сравнением результатов, полученных разными методами, решения поставленных задач.

3. Соответствием основных результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процессов, протекающих при измерении электромагнитного поля.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. На основе аналитического решения задачи о возбуждении гармонического электромагнитного поля в проводящем круговом цилиндре получена асимптотическая формула, устанавливающая линейную связь истинного и наведенного плоских электрических полей. Сравнение результатов расчета, полученных по асимптотической и точной аналитической формулам, показало, что асимптотическая формула обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.

2. С помощью асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского электрического поля. Решение этой задачи совпадает с асимптотической формулой, полученной на основе аналитического решения.

3. Проведены расчеты отношения истинного и наведенного в измгри-тельном проводе плоских электрических полей в зависимости от толщины измерительного провода, его электропроводности и частоты измеряемого поля. Показано, что с увеличением этих параметров возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля, однако это отличие уменьшается при уменьшении контраста электропроводности провода и вмещающей его среды.

4. На основе асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода проведено математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенной тороидальным измерительным проводом. Для этого найдено представление скалярной функции Грина в яиде определенного интеграла, отличающееся от ранее известного выражения этой функции, введена специальная ортогональная система коордетат, наиболее приспособленная для решения данной задачи.

5. Получена асимптотическая формула, линейно связывающая истинную и наведенную в тороидальной петле азимутальные компоненты напряженности осесимметрического электрического поля. Коэффициент пропорциональности между истинной и наведенной напряженносгями электрического поля зависит от толщины, электропроводности и рад иуса тороидального измерительного провода, а также от частоты измеряемого поля, но при сделанных допущениях не зависит от электропроводности исходной среды. Проведенные по этой формуле расчеты показали, что так же, как и в случае измерения плоского электрического поля, с увеличением электропроводности, толщины измерительного провода и частоты измеряемого поля возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля. Это отличие возрастает также с увеличением радиуса измерительной петли.

6. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Получены соотношения, позволяющие рассчитать циркуляцию напряженности электрического поля по измеренной ЭДС индукции и, наоборот, восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

7. На примере переходного процесса вертикального магнитного диполя в однородном пространстве построены кривые зависимости истинного и наведенного в круговой измерительной петле электрических полей от времени переходного процесса, а также кривая, соответствующая квазистационарному приближению. Показано существенное отличие истинного и наведенного полей на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса. На поздних же стадиях неустановившегося процесса этим отличием можно пренебречь. Отмечено, что это отличие может быть значительным даже для квазистационарного электромагнитного поля.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. На основе асимптотических решений интегральных уравнений Фред-гольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоского или осесимметрического электрических полей, позволяющая количественно оценить погрешности измерения в зависимости от параметров измерительного провода, электропроводности вмещающей его среды и частоты измеряемого поля.

2. В явном виде определен коэффициент пропорциональности, связывающий циркуляцию напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенную в круговой измерительной петле, и зависящий от электропроводности, толщины и радиуса петли, а также частоты измеряемого поля. Показано, что отличие циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции возрастает по мере увеличения этих параметров. Полученные соотношения между истинным и наведенным электрическими полями позволяют разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

3. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Показано, что для нахождения циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции достаточно к последней применить зависящий от времени оператор дифференцирования определенного вида. Решение обратной задачи - восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля, представлено в виде

грешностей проводить более тщательный и полный теоретический анализ с целью определения поправки или поправочного множителя, а также осуществление нескольких измерений по различным методикам. В работе П. С). Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского для переходного процесса рассмотрен эффект зависимости ЭДС индукции от электропроводности провода измерительной петли.

Вторая глава посвящена решению идеализированной задачи о взаимосвязи напряженностей истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей. Для решения этой задачи использовалось два подхода: исследование аналитических решений и метод интегральных уравнений. Аналитический подход основан на решении уравнений Максвелла методом разделения переменных и необходим для тестирования результатов, полученных с помощью более общего метода интегральных уравнений. Проведен анализ искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от различных параметров провода и других факторов.

В круговой цилиндрической системе координат p,<p,z рассмотрим однородную среду с электропроводностью <т0, магнитной проницаемостью //„ и диэлектрической проницаемостью £0. Пусть электромагнитное поле в такой среде возбуждается удаленным от оси OZ на расстояние р' прямолинейным сторонним электрическим током je, изменяющимся с течением времени t по гармоническому закону с круговой частотой со. В силу симметрии задачи сторонний ток создает в среде плоское Е- поле специального вида по отношению к координате z, то есть электромагнитное поле с не зависящими от координаты z компонентами Е'г, Н'р, H'f напряженностей электрического Е и магнитного Н поля. Отсюда следует, что Е'р =■ E'f = Н'г = 0. Для измерения электрического поля Е'г поместим в облает» р< а (а < р') провод в форме кругового цилиндра с электропроводностью сг и магнитной проницаемостью /лй (рис. 1(a)) с подключенным к нему параллельно вольтметром (рис. 1(6)). Подключение вольтметра, благодаря его большому внутреннему сопротивлению, почти не изменяет протекающий в проводе ток индукции (наведенную напряженность электрического поля).

Рассмотрим систему уравнений Максвелла, связывающую между собой векторы поля и плотность стороннего тока

rot H = a,E+je,

rot Е =icoju0H, (1)

где <т0 = cr0 - icoe0 - комплексная электропроводность среды.

(а)

(6)

-»■г

3

'О

Рнс./. (а,) - прямолинейный сторонний электрический ток в однородной среде с внесенным измерительным проводом;

(б) - схема измерения плоского наведенного электрического поля прямолинейным проводом с параллельно подключенным к нему вольтметром V

Решая систему уравнений (1) с помощью метода разделения переменных в исходной однородной среде (в отсутствии провода) и в случае, когда провод присутствует, и сравнивая затем полученные результаты, приходим к соотношению

Е, К /, \ка)

(2)

где к = ^j— icújjQ(T — волновое число провода, Re /с > 0;

£„ = -J- ¡Щ10сг0 - й)2//0 с0 - волновое число однородной среды, Re > 0; /„(ж), - модифицированные функции Бесселя первого и третьего

рода порядка п соответственно; Е'г - среднее значение напряженности El электрического поля по поперечному сечению провода плоскостью z = const в исходной, однородной среде, а Ег - среднее значение напряженности электрического провода в проводе. Величину Е"г будем называть «истинной» напряженностью электрического поля, а Ег — «наведенной».

Пусть |faj| «1, \к0а\ «1, что справедливо, во всяком случае, при малой толщине провода и на достаточно низких частотах. Тогда, применяя асимптотические формулы для модифицированных функций Бесселя, можно записать

EL ё.

<1-

ArV J еск„а

2 { 2

где С « 0.5772156649 - постоянная Эйлера.

= Г>

(3)

Отсюда следует, что отношение истинной напряженности электрического поля к наведенной не зависит от р', то есть от расположения возбуждающего поле стороннего электрического тока. Эта зависимость будет верна и для произвольного распределения сторонних токов, создающих в среде плоское электрическое поле.

Проведено сравнение точного у (2) и асимптотического решения у"

(3) для сг0 = 10-10 См/м, /¿0 = 4л"10"7 Гн/м, £0= ——10~9 Ф/м и медного

36л-

провода (<т = 5.61х107 См/м) различного радиуса (а=0.001 м, 0.003 м, 0.00.5 м). Столь малое значение электропроводности однородной среды соответствует измерениям в высокоомной среде, например, в воздухе. Показано, что в этом случае на интервале частот 0</<1 ГГц, где / =—,

2 тс

относительная погрешность вычисления по формуле (3) отношения |Е\ / £.| не превышает 0.013, а абсолютная погрешность агg{E'! /Е.) - менее

0.006 рад. Таким образом, приходим к выводу, что асимптотическая формула (3) обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.

Теперь рассмотрим другой, более общий способ оценки искажений результатов измерений. Пусть в однородном пространстве электромагнитное поле возбуждается произвольным распределением сторонних токов, изменяющихся по гармоническому закону с круговой частотой со, потребуем лишь равенство нулю этих токов в области р<а. Обозначим единственную отличную от нуля компоненту напряженности электрического поля, создаваемую этими токами, через Е°. Внесем в область р<а изме-ритепьный провод (круговой цилиндр). Для учета искажений, вносимых прямолинейным проводом, запишем интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно напряженности Ег электрического поля, наведенной в проводе:

Е,{р,<р) = Е°(р,<р) + (а-а0 + ше,) \\вг{р,<р\р',<р%{р\<р')р'с1рУ<р'. (4)

о о

Ядром этого уравнения является скалярная функция Грина исходной однородной среды, которая определяется выражением

С\р,(1\р\<р)=-г^-^епсо$п{<р-<р К . . , . (5)

2л- ^о {1„{к0р)Кп{к0р), р>р,

свертки. Различие между" циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции пренебрежимо мало на самых поздних стадиях переходного процесса, однако оно может быть существенно на ранних и промежуточных стадиях неустановившегося процесса и даже в области квазистационарности электромагнитного поля.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения полученных результатов для уточнения результатов измерений индукционными датчиками и разработки прецизионной измерительной аппаратуры.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, СамГТУ, 2004), на научном семинаре "Математическое моделирование геофизических полей" (Саратов, СГТУ, 2006).

Публикации.

Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах (четырех статьях, трудах и материалах двух конференций). Список публикаций приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении раскрывается современное состояние проблемы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования.

В первой главе проведен обзор существующих методов моделирования измерения электромагнитного поля.

Здесь, в частности, отмечается, что факт влияния датчика на измеряемую величину подтверждают многие исследователи, которые занимаются разработкой измерительной аппаратуры и изучением вопроса повышения точности результатов измерений. Так, например, авторы М.А. Зе-мельман и Н.П. Миф в своих работах обращают внимание на то, что это влияние практически всегда имеет место; оно вызывает погрешности измерений, нередко вполне соизмеримые с другими составляющими, и их необходимо учитывать. Они считают, что какого-либо общего метода оценки искажений рекомендовать не представляется возможным. Эти методы определяются только конкретными свойствами объекта измерений и датчика. Вообще, в литературе предлагается для оценки указанных по-

Если допустить, что |£0а|«1, |&0/&|«1, то можно применить асимптотические формулы для модифицированных функций Бесселя, упростить выражение (5) для функции Грина и записать в виде

асимптотическое решение интегрального уравнения относительно среднего значения наведенного электрического поля по поперечному сечению

ного электрических полей по области поперечного сечения прямолинейного провода соответственно. Совпадение асимптотических формул (3) и (6) свидетельствует о том, что метод интегральных уравнений можно использовать для решения задачи об учете искажений, возникающих при измерении не только плоского, но и осесимметрического электрического поля.

Проведенные по формуле (2) численные расчеты показывают, что отличие истинного электрического поля от наведенного возрастает с увеличением частоты колебаний электромагнитного поля, толщины измерительного провода и его электропроводности. Объяснить эту тенденцию можно с помощью явления скин-эффекта. Однако уменьшение контраста электропроводности провода и вмещающей его среды уменьшает различие истинной и наведенной напряженностей электрического поля.

В третьей главе метод интегральных уравнений применяется для решения задачи об учете искажений при измерении осесимметрического электрического поля. Проведен численный эксперимент по оценке погрешностей, вносимых приемным контуром при измерении осесимметрического электрического поля.

Пусть в однородном пространстве с параметрами сг0, , цъ сторонними монохроматическими электрическими токами, изменяющимися с круговой частотой а>, возбуждается осесимметрическое Е - поле специального вида, то есть электромагнитное поле, которое имеет независящие от координаты <р компоненту напряженности электрического поля и компоненты Я°, Н] напряженности магнитного поля. Внесем в исходную среду в свободную от источников область пространства замкнутый провод в форме тора с электропроводностью сг и магнитной проницаемостью ца (рис.2). Предположим также, что толщина провода (радиус а поперечного сечения тора) значительно меньше радиуса К измерительной петли, то есть а/Я « 1. Появление в указанной области круговой петли оставляет

(6)

провода. В этой формуле Е!, Е] - средние значения наведенного и истин-

Рис. 2. Тороидальный измерительный провод в однородной среде

электромагнитное поле осесимметричным, но изменяет исходное распределение электропроводности среды, в результате чего в среде возбуждается азимутальная компонента Е напряженности электрического поля,

отличная от Е".

р

Для оценки погрешностей измерения, как и в случае плоского поля, составлено интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно напряженности Ер

электрического поля, наведенной в тороидальном проводе, однако ядром этого уравнения является скалярная функция Грина осесим-метрического Е - поля специального вида для исходной однородной среды:

E9{p,z) = El{p,z)+{a-a0 + im0)jjG,(p,z\p',z%(p',z,)ds', (7)

s

где S - поперечное сечение тора плоскостью (р = const.

С помощью интеграла Сонина-Гегенбауэра получено представление функции Грина в виде

G = |exp(~*W>°2 +Р'2 +(z~z')2 ^юф)

2я 0J л/р2 + р'2+(г-г'У-2рр'со5ф где ка = ia>fJ0(J0 - со2рй£а, которое отличается от хорошо известного представления этой функции в виде преобразования Ханкеля.

Показано, что в предположении а/R« 1 ядро интегрального уравнения имеет слабую особенность относительно малого в области тора параметра

5 =

4рр'

С учетом этого и допущения |£0а|«1 получена асимптотическая формула для ядра интегрального уравнения (7). Применение этой формулы вместе с допущением |к0 !к\ «1, где к = ^-¡со/лйа, и специально выбранной криволинейной ортогональной системой координат позволило существенно упростить нахождение решения интегрального уравнения относительно среднего значения напряженности наведенного поля по поперечному сечению тороидального провода. В результате с точностью до бесконечно ма-

лых высшего порядка найдено следующее соотношение между средним истинным и средним наведенным электрическими полями:

2 8Ä

(8)

где Ef, Е° - средние значения наведенного и истинного электрических полей по области' поперечного сечения провода соответственно. Из формулы (8) следует, что в отличие от измерения плоского электрического поля в случае осесимметрического электрического поля отношение истинного поля к наведенному (при сделанных автором допущениях) не зависит от волнового числа ка, то есть волновое число к„ входит в бесконечно малую более высокого порядка, чем правая часть формулы (8) при \kjk\«\, a/R« 1, |Аг0а|«1.

По формуле (8) были проведены численные расчеты и arg/®'. На рис. 3(а) показана зависимость и arg/" от частоты / для медного (сг = 5.61х107См/м) и алюминиевого (<т = 3.6хЮ7См/м) тороидального провода при R = 1м, а = 0.001м и //0 = 4;г10~7Гн/м. Так же, как и в случае плоского Е- поля специального вида, в случае осесимметрического Е- поля специального вида наведенное электрическое поле с повышением частоты тем больше отличается от истинного, чем выше электропроводность измерительного провода. Однако искажения, вносимые измерительной линией на тех же частотах, ниже, чем для плоского поля. Такая же закономерность наблюдается при увеличении а (рис.З(б)). Увеличение же радиуса R измерительной петли (рис.З(в)) понижает точность измерения.

R = 1 м, « = 0.001м: 1 - медь (<т = 5.61 х 107См/м), 2-алюминий (сг = 3.бх107См/м)

со

Рис.3. Зависимость \/<р\ и от частоты / =

2 я

(б)

медный провод, R = 1 м: 1 - а = 0.001 м, 2 - а - 0.003 м, 3 - а = 0.005 м

медный провод, а = 0.001 м: 1 - Д = 1 м, 2- Ä = 10м, 3 - Ä = 100 м

Рис.3. Зависимость \yv\ и aigy9 от частоты / = — (окончание) 1 1 2тг

Асимптотические формулы (6) и (8) можно также применять для неоднородной среды, хотя удовлетворительная точность расчета по этим формулам будет достигаться при значительно меньшей толщине провода, чем з случае однородной среды.

В четвертой главе исследуется взаимосвязь циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции при измерении неустановившегося электромагнитного поля.

Пусть в некоторой немагнитной среде с областью W, заполненной однородной средой с параметрами ег0,возбуждается с круговой частотой со осесимметрическое электрическое поле. Для измерения единственной отличной от нуля азимутальной компоненты Е° напряженности электрического поля внесем в область W проводящую круговую петлю, а точнее провод с электропроводностью а и магнитной проницаемостью 14

изготовленный в форме тора (рис.2). Внесенная в однородную среду круговая петля вместе с подключенным к ней измерительным прибором играет роль измерительного контура. ЭДС индукции можно измерить либо с помощью последовательного соединения петли с амперметром, либо применяя параллельное подключение вольтметра к круговой петле. Амперметр имеет низкое внутреннее сопротивление, и поэтому его последовательное подключение к петле практически не изменяет силу наведенного в ней тока в отсутствие подключения. В случае параллельного подключения вольтметра к участку круговой петли сила тока, протекающего в проводе, почти не изменяется из-за большого внутреннего сопротивления вольтметра.

Предположим, что a/R« 1, \к0а\«1, \kj к\«1, где

к0 = д/- ia/J0a0 - а1 /х0£0, к = ¿со/иаст - волновые числа среды в области W и провода соответственно. Эти условия означают, что толщина провода значительно меньше радиуса круговой петли, а среда в области \У высоко-омная и ее электропроводность много меньше электропроводности провода. Поскольку обычно применяют медные провода, обладающие высокой электропроводностью, то сделанные предположения выполняются вглоть до очень высоких частот (о.

Умножая обе части (8) на 2nR, получаем соотношение между циркуляцией напряженности электрического поля W(a>) и ЭДС индукции (со) в частотной области

l + ^ln-^lr-'V). (9)

2 е а)

Выполняя в выражении (9) замену - ico —> р, где р - параметр преобразования Лапласа, и применяя теорему о дифференцировании оригинала, находим связь циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС, индукции в случае переходного процесса

= + (10) 2 е a dt

Таким образом, для нахождения циркуляции напряженности электрического поля ef"(t) по известной ЭДС индукции В7'"'(i) достаточно применить к

последней оператор дифференцирования 1 +

2 е a dt

Несколько сложнее решается обратная задача - восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля. Ее решение можно представить в виде свертки

gf» = í

Гы(/)=^(г-г)Г0(г)Л, (П)

о

где Щ = —е рв(Г), 0(/) - функция Хевисайда.

р 2 е а

Рассмотрим пример, иллюстрирующий взаимосвязь циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции. Пусть в круговой цилиндрической системе координат р, ф, г задано однородное пространство с параметрами <т0, /г0, я0. Предположим, что на оси в плоскости г = Н находится магнитный диполь, момент которого направлен по оси 02 и скачком изменяется при / = 0 от некоторого постоянного значения М до нуля. В силу осевой симметрии магнитный диполь возбуждает в однородном пространстве осесимметрическое Е-поле специального вида.

Циркуляция напряженности электрического поля (/) по окружности радиуса Я с центром на оси ОХ, лежащей в плоскости г = Н определяется формулой

= ря 2го. (12)

г -*0

где /0 = ^р0ейЯ — момент времени прихода электромагнитной волны из точки источника поля на окружность, по которой вычисляется 12(х) - модифицированная функция Бесселя первого рода второго порядка аргумента х.

Помещая теперь на этой окружности круговую петлю и применяя формулы (11) и (12), находим ЭДС индукции в петле

Я^,,5/2_2 п2 I _£о£

— А 0{<-10)\е "е2** — г 2

8 т2-(20

у

йх. (13)

Так как численное интегрирование выражения в правой части формулы (13) является непростой задачей, то для нахождения гГ' (?) по известной функции была поставлена следующая задача Коши: найти численное решение 1?'ы(/) дифференциального уравнения (10), удовлетворяющее начальному условию ^ = 0. На рис.4 представлены в билогарифмическом масштабе результаты решения для однородного про-

странства, в случае сг0 =10 'См/м, //0 =4;г-10~7Гн/м, е0 =—10"' Ф/м,

36л

медного провода (сг = 5.61-Ю7См/м), М = ЮАмг, Л = 1м, а = 10^м для ранних и поздних стадий становления поля. Кривые рассчитаны с момента времени t0 =3.33x10"9 с. Из рисунка видно, что циркуляция напряженности электрического поля почти сразу совпала с кривой, рассчитанной в квазистационарном приближении. Но, несмотря на это, отличие циркуляции напряженности электрического поля от ЭДС индукции существенно, что необходимо учитывать при интерпретации результатов измерений.

„3_

110

110

110

(а)

МО '

г, с

а? в

срЪг

В

Рис. 4. Циркуляция напряженности электрического поля (пунктирная линия), квазистационарная кривая (линия с разрядкой) и ЭДС индукции (сплошная линия)

для однородного пространства: (а) - 10~9 <( < Ю-6, (б) - 10 6 < ? < 1

В заключении сформулированы основные выводы по результатам исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского и осесимметриче-ского электрических полей, основанная на асимптотических решениях интегральных уравнений.

2. Проведены численные эксперименты, в результате которых показано, что отличие истинного электрического поля от наведенного возрастает с увеличением частоты колебаний электромагнитного поля, толщины измерительного провода и его электропроводности, причем это отличие меньше для замкнутого провода при измерении осесимметрического электрического поля, чем при регистрации плоского электрического поля прямолинейным проводом. С увеличением радиуса круговой петли возрастает отличие циркуляции напряженности электрического поля от ЭДС индукции на тех же частотах.

3. Получены асимптотические формулы, определяющие коэффициенты пропорциональности между истинным и наведенным в измерительном проводе электрическими полями. Применяя эти формулы, можно количественно оценить ошибки измерения электрического поля (циркуляции напряженности электрического поля) и разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

4. Установлено, что различие между циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции может быть существенным на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса и им можно пренебречь лишь на самых поздних стадиях установления электромагнитного поля.

5. Получены соотношения, позволяющие рассчитать в случае переходного процесса циркуляцию напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции, а также восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Федорова (Пескова) О. С. Применение интегральных уравнений для математического моделирования измерения электрического поля/ О. С. Федорова (Пескова), В. П. Губатенко // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы

"Понтрягинские чтения - XV" / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2004. - С. 165-166.

2. Федорова (Пескова) О. С. Математическое моделирование измерения плоского и осесимметрического электрического поля / О. С. Федорова (Пескова), В. П. Губатенко // Математическое моделирование и краевые задачи : труды Всероссийской научной конференции / Самарский гос. техн. ун-т. - Самара, 2004. -Часть 2. - С. 210-212.

3. Федорова (Пескова) О. С. Математическая модель измерения плоского электрического поля / В.П. Губатенко, О.С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2005.-№4 (9).-С. 24-29.

4. Федорова (Пескова) О. С. Математическая модель измерения осесимметрического электрического поля / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2006. - №4 ; Вып. 3. - С. 22-28.

5. Федорова (Пескова) О. С. Математическое моделирование измерений электрического поля в индуктивной электроразведке / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Геология и геофизика. - 2006. - Т. 47, № 7. -С. 902-912.

6. Федорова (Пескова) О. С. О взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции во временной области / В.П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Приборы и системы разведочной геофизики. - 2006. - № 01 (15). - С. 5-8.

Подписано в печать 20.03.07 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 80 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗМЕРЕНИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ

ИСТИННОГО И НАВЕДЕННОГО В ИЗМЕРИТЕЛЬНОМ

ПРОВОДЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

§1. Аналитическое решение задачи о взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

§ 2. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи о взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

§3. Результаты численного эксперимента.

Выводы по главе.

ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ

ЦИРКУЛЯЦИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

§ 1. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи о взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции при измерении осесимметрического электрического поля.

§ 2. Результаты численного эксперимента.

Выводы по главе.

ГЛАВА IV. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЦИРКУЛЯЦИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО

ПОЛЯ.

§ 1. Нахождение циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции.

§ 2. Восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

§ 3. Примеры, иллюстрирующие взаимосвязь циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции.

Выводы по главе.

Актуальность темы. Неотъемлемой составной частью любого измерительного прибора или системы являются датчики. Датчик (измерительный преобразователь) - это средство измерения, преобразующее измеряемую физическую величину (перемещение, давление, температуру, электрическое напряжение и т.д.) в сигнал (обычно электрический) для передачи, обработки или регистрации. Таким образом, датчик выполняет функцию первичного элемента, который воспринимает информацию от исследуемого объекта и преобразует ее для передачи в измерительное устройство [3,20,39,47,64].

Тот факт, что присутствие датчика может оказывать существенное влияние на измеряемую величину, в литературе подтверждается многими авторами. Например, об этом в своих работах пишут М. А. Земельман, Н. П. Миф [34], Ж. Аш [3], А. Г. Мошков, Л. Г. Гросс [43], С. А. Чугунов, В. М. Юркевич, Б. Л. Кондратьев [67, 68, 71], С. В. Бирюков [9,10] и др.

Для измерения циркуляции напряженности электрического поля используются индукционные датчики, в состав которых обязательно входит приемная рамка или петля. Каждый виток этой петли представляет собой провод (чаще всего медный), в котором наводится электродвижущая сила (ЭДС) индукции. При этом ЭДС индукции принято отождествлять с циркуляцией напряженности электрического поля по контуру петли. Такое представление, бесспорно, верно на очень низких частотах возбуждаемого электромагнитного поля, когда толщина скин-слоя значительно превышает толщину измерительного провода. В этом случае электрическое поле практически без искажений проникает в провод и наводит в нем электрический ток, по величине которого определяют циркуляцию напряженности электрического поля.

Очевидно, что внесенный в среду провод изменяет распределение электропроводности среды и, следовательно, возмущает исходное электромагнитное поле, причем, если это возмущение несущественно на достаточно низких частотах (или поздних стадиях переходного процесса), но, благодаря скин-эффекту, может быть очень значительным на высоких частотах (ранних временах неустановившегося процесса). В работе П. О. Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского [4] экспериментально доказано, что при измерении переходных процессов величина ЭДС индукции зависит от электропроводности измерительного провода и дано качественное объяснение этого эффекта на основе теории двухпроводной линии.

Таким образом, является актуальной проблема исследования взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, поскольку ее решение позволит найти количественную оценку искажений, вносимых приемным контуром при измерении электромагнитного поля.

Индукционные датчики являются составной частью большого числа измерительных приборов, применяемых в различных областях: в методах индуктивной электроразведки для поисков и разведки месторождений полезных ископаемых [33, 52, 73], в инженерной геофизике [46], в дефектоскопии, в частности, для контроля за состоянием трубопроводных систем, при археологических исследованиях, при проведении строительных работ и т.д. Поэтому изучение данного вопроса имеет большое практическое значение, так как позволит разработать прецизионную измерительную аппаратуру, а также уточнить результаты измерений и правильно их интерпретировать.

Целью диссертационной работы является разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, основанной на асимптотических решениях интегральных уравнений, для количественной оценки искажений, вносимых измерительным контуром при регистрации электромагнитного поля.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Разработка математической модели взаимосвязи истинного (поле в отсутствие измерительного провода) и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

2. Разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции для осесимметрического электрического поля.

3. Проведение численного эксперимента по оценке искажений, вносимых приемным контуром при измерении плоского и осесимметрического электрических полей.

4. Оценка величины искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от размеров провода, его электропроводности, электропроводности окружающей провод среды и частоты электромагнитного поля.

Методы исследований для решения перечисленных задач базируются на теории уравнений математической физики, теории обобщенных функций и теории интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и их физическим обоснованием.

2. Сравнением результатов, полученных разными методами, решения поставленных задач.

3. Соответствием основных результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процессов, протекающих при измерении электромагнитного поля.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. На основе аналитического решения задачи о возбуждении гармонического электромагнитного поля в проводящем круговом цилиндре получена асимптотическая формула, устанавливающая линейную связь истинного и наведенного плоских электрических полей. Сравнение результатов расчета, полученных по асимптотической и точной аналитической формулам, показало, что асимптотическая формула обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.

2. С помощью асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского электрического поля. Решение этой задачи совпадает с асимптотической формулой, полученной на основе аналитического решения.

3. Проведены расчеты отношения истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей в зависимости от толщины измерительного провода, его электропроводности и частоты измеряемого поля. Показано, что с увеличением этих параметров возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля, однако это отличие уменьшается при уменьшении контраста электропроводности провода и вмещающей его среды.

4. На основе асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода проведено математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенной тороидальным измерительным проводом. Для этого найдено представление скалярной функции Грина в виде определенного интеграла, отличающееся от ранее известного выражения этой функции, введена специальная ортогональная система координат, наиболее приспособленная для решения данной задачи.

5. Получена асимптотическая формула, линейно связывающая истинную и наведенную в тороидальной петле азимутальные компоненты напряженности осесимметрического электрического поля. Коэффициент пропорциональности между истинной и наведенной напряженностями электрического поля зависит от толщины, электропроводности и радиуса тороидального измерительного провода, а также от частоты измеряемого поля, но при сделанных допущениях не зависит от электропроводности исходной среды. Проведенные по этой формуле расчеты показали, что так же, как и в случае измерения плоского электрического поля, с увеличением электропроводности, толщины измерительного провода и частоты измеряемого поля возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля. Это отличие возрастает также с увеличением радиуса измерительной петли.

6. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Получены соотношения, позволяющие рассчитать циркуляцию напряженности электрического поля по измеренной ЭДС индукции и, наоборот, восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

7. На примере переходного процесса вертикального магнитного диполя в однородном пространстве построены кривые зависимости истинного и наведенного в круговой измерительной петле электрических полей от времени переходного процесса, а также кривая, соответствующая квазистационарному приближению. Показано существенное отличие истинного и наведенного полей на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса. На поздних же стадиях неустановившегося процесса этим отличием можно пренебречь. Отмечено, что это отличие может быть значительным даже для квазистационарного электромагнитного поля.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. На основе асимптотических решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоского или осесимметрического электрических полей, позволяющая количественно оценить погрешности измерения в зависимости от параметров измерительного провода, электропроводности вмещающей его среды и частоты измеряемого поля.

2. В явном виде определен коэффициент пропорциональности, связывающий циркуляцию напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенную в круговой измерительной петле, и зависящий от электропроводности, толщины и радиуса петли, а также частоты измеряемого поля. Показано, что отличие циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции возрастает по мере увеличения этих параметров. Полученные соотношения между истинным и наведенным электрическими полями позволяют разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

3. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Показано, что для нахождения циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции достаточно к последней применить зависящий от времени оператор дифференцирования определенного вида. Решение обратной задачи - восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля, представлено в виде свертки. Различие между циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции пренебрежимо мало на самых поздних стадиях переходного процесса, однако оно может быть существенно на ранних и промежуточных стадиях неустановившегося процесса и даже в области квазистационарности электромагнитного поля.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения полученных результатов для уточнения результатов измерений индукционными датчиками и разработки прецизионной измерительной аппаратуры.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались: на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, СамГТУ, 2004), на научном семинаре "Математическое моделирование геофизических полей" (Саратов, СГТУ, 2006).

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в работах [24-27, 61,

62].

Объем и структура работы.

Диссертация общим объемом 103 страницы состоит из введения, четырех глав и заключения, включает 15 рисунков и список использованной литературы из 76 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского и осесимметрического электрических полей, основанная на асимптотических решениях интегральных уравнений.

2. Проведены численные эксперименты, в результате которых показано, что отличие истинного электрического поля от наведенного возрастает с увеличением частоты колебаний электромагнитного поля, толщины измерительного провода и его электропроводности, причем это отличие меньше для замкнутого провода при измерении осесимметрического электрического поля, чем при регистрации плоского электрического поля прямолинейным проводом. С увеличением радиуса круговой петли возрастает отличие циркуляции напряженности электрического поля от ЭДС индукции на тех же частотах.

3. Получены асимптотические формулы, определяющие коэффициенты пропорциональности между истинным и наведенным в измерительном проводе электрическими полями. Применяя эти формулы, можно количественно оценить ошибки измерения электрического поля (циркуляции напряженности электрического поля) и разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

4. Установлено, что различие между циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции может быть существенным на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса и им можно пренебречь лишь на самых поздних стадиях установления электромагнитного поля.

5. Получены соотношения, позволяющие рассчитать в случае переходного процесса циркуляцию напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции, а также восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

1. Арутюнов В. О. Электрические измерительные приборы и измерения/

2. B. О. Арутюнов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958. - 631 с.: ил.

3. Атамалян Э. Г. Приборы и методы измерения электрических величин : учеб. пособие / Э. Г. Атамалян. М.: Высш. шк., 1982. - 223 с.: ил.

4. Аш Ж. Датчики измерительных систем : в 2 кн. / Ж. Аш и др. ; пер. с франц. Н. В. Васильченко [и др.]. М.: Мир, 1992. - Кн. 1. - 480 с.: ил. -ISBN 5-03-001641-4.

5. Барсуков П. О. Антенный поляризационный эффект в импульсных электромагнитных исследованиях / П. О. Барсуков, Э. Б. Файнберг,

6. Е. О. Хабенский // Известия РАН. Физика Земли. 2003. -№11.1. C. 81-87.

7. Барсуков П. О. Импульсные электромагнитные зондирования в микросекундном диапазоне : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 25.00.10 / Барсуков Павел Олегович. Троицк, 2004. - 195 с.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены /

9. Г. Бейтмен, А. Эрдейи ; пер. с англ. Н. Я. Виленкина. 2-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 295 с.: черт.

10. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле : учебник для вузов / Л. А. Бессонов. 10-е изд. -М.: Гардарики, 2003. - 317 с.: ил. - ISBN 5-8297-0158-8.

11. Бирюков С. В. Цифровой измеритель напряженности электрического поля промышленной частоты / С. В. Бирюков, В. Я. Ложников // Приборы и техника эксперимента. 1981. -№ 1. - С. 275.

12. Бирюков С. В. Расчет электрического поля на поверхности электроиндукционного сферического датчика напряженности, находящегося в поле сферического конденсатора / С. В. Бирюков //

13. Известия вузов. Электромеханика. 2002. - № 5. - С. 73-74.

14. Бирюков С. В. Градуировка электроиндукционных датчиков напряженности электрического поля в сферическом конденсаторе/ С. В. Бирюков // Известия вузов. Приборостроение. 2004. - Т.47, № 6. -С. 35-39.

15. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики : учеб. /

16. А. В. Бицадзе. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982. - 336 с.: ил.

17. Бобровников JI. 3. Электроразведочная аппаратура и оборудование : учеб. для техникумов / JI. 3. Бобровников, И. Н. Кадыров, В. А. Попов.2.е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1985. - 336 с.

18. Бобровников JI. 3. Полевая электроразведочная аппаратура : справочник / JI. 3. Бобровников, JI. И. Орлов, В. А. Попов. М.: Недра, 1986. - 223 с.

19. Бобровников JI. 3. Радиотехника и электроника: учеб. для вузов/ JI. 3. Бобровников. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1990. - 374 с.: ил. - ISBN 5-247-01313-1.

20. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. 13-е изд., испр. - М. : Наука, 1986.-514 с.

21. Бузинов B.C. Образцовая установка для поверки и калибровки малых дипольных антенн / В. С. Бузинов // Измерительная техника. 1967. -№6.-С. 50-53.

22. Бурсиан В. Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке / В. Р. Бурсиан. 2-е изд., испр. и доп. - JI. : Недра, 1972.-368 с.

23. Вайнштейн JI. А. Электромагнитные волны / JI. А. Вайнштейн. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1988. - 440 с. - ISBN 5-256-00064-0.

24. Вострокнутов Н. Г. Техника измерений электрических и магнитных величин / Н. Г. Вострокнутов. 3-е изд., испр. - M.-JI. : Госэнергоиздат-Судпромгиз, 1958.-365 с.: ил.

25. Вострокнутов Н. Г. Основы информационно-измерительной техники / Н. Г. Вострокнутов, Н. Н. Евтихиев. М., 1972. - 331 с.

26. Вострокнутов Н. Н. Цифровые измерительные устройства. Теория погрешностей, испытания, поверка / Н. Н. Вострокнутов. М. : Энергоатомиздат, 1990. - 208 с.: ил. - ISBN 5-283-00614-Х.

27. Губатенко В. П. Обобщенные функции с приложениями в теории электромагнитного поля : учеб. пособие / В. П. Губатенко. Саратов : Стило, 2001.-138 с. - ISBN 5-85559-084-4.

28. Губатенко В. П. Квазиволновые свойства сигнала становления электромагнитного поля / В. П. Губатенко, В. Г. Осипов, А. А. Назаров // Известия РАН. Физика Земли. 2000. - № 3. - С. 40-49.

29. Губатенко В. П. Математическая модель измерения плоского электрического поля / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета.2005.-№4 (9).-С. 24-29.

30. Губатенко В. П. Математическая модель измерения осесимметрического электрического поля / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета.2006. №4 (18); Вып. 3. - С. 22-28.

31. Губатенко В. П. Математическое моделирование измерений электрического поля в индуктивной электроразведке / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Геология и геофизика. 2006. - Т. 47, № 7. -С. 902-912.

32. Губатенко В. П. О взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции во временной области / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Приборы и системы разведочной геофизики. 2006. - № 01 (15). - С. 5-8.

33. Гурский Д. А. Вычисления в MathCAD / Д. А. Гурский. Минск : Новое знание, 2003. - 814 с. - ISBN 985-475-013-2.

34. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; пер. с англ. Н. В. Леви. 6-е изд. - М.: Наука, 1983.176 с.: ил.

35. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. М.: Наука, 1974. - 542 с.

36. Дмитриев В. И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики : учеб. пособие / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 167 с.

37. Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений / Е. Ф. Долинский. -2-е изд. М.: Изд-во стандартов, 1973. - 192 с.

38. Жданов М. С. Электроразведка : учеб. для вузов / М. С. Жданов. М. : Недра, 1986.-316 с.

39. Земельман М. А. Планирование технических измерений и оценка их погрешностей / М. А. Земельман, Н. П. Миф. М. : Изд-во стандартов, 1978.-80 с. :ил.

40. Зимовнов В. Н. Вопросы оценки точности результатов измерений / В. Н. Зимовнов. М.: Геодезиздат, 1951. - 112 с.

41. Клаассен К. Б. Основы измерений. Электронные методы и приборы в измерительной технике / пер. с англ. Е. В. Воронова и А. JL Ларина.

42. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.: ил. - ISBN 5-901095-02-2.

43. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн ; под общ. ред. И. Г. Арамановича. 5-е изд. -М.: Наука, 1984. - 831 с.: ил.

44. Краснов М. Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию) / М. Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

45. Левшина Е. С. Электрические измерения физических величин : (Измерительные преобразователи): учеб. пособие для вузов /

46. Е. С. Левшина, П. В. Новицкий. Л.: Энергоатомиздат, 1983. - 320 с.

47. Маликов М. Ф. Основы метрологии / М. Ф. Маликов. М. : Изд-во Комитета по делам мер и измерительных приборов при СМ СССР, 1949.-480 с.

48. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах : учеб. для вузов / В. И. Нефёдов и др.; под ред.

49. B. И. Нефёдова. М.: Высш. шк., 2001. - 383 с.: ил. -ISBN 5-06-004069-0.

50. Миф Н. П. Модели и оценка погрешности технических измерений / Н. П. Миф. М.: Изд-во стандартов, 1976. - 143 с.

51. Мошков А. Г. Измерение параметров электростатического поля /

52. А. Г. Мошков, JI. Г. Гросс // Измерительная техника. 1978. - № 5.1. C. 61-63.

53. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн : учеб. пособие для вузов / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 544 с.: ил. - ISBN 5-02-014033-3.

54. Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. 2-е изд., перераб. и доп. - Л. : Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1991. - 304 с.: ил.1.BN 5-283-04513-7.

55. Огильви А. А. Основы инженерной геофизики : учеб. для вузов / А. А. Огильви ; под ред. В. А. Богословского. М.: Недра, 1990. - 501 с.: ил.-ISBN 5-247-01414-6.

56. Островский Л. А. Основы общей теории электроизмерительных устройств / Л. А. Островский. Л.: Энергия, 1971. - 544 с.: ил.

57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

58. Прудников А. П. Интегралы и ряды: специальные функции /

59. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. -М.: Наука, 1983. -752 с.

60. Рабинович С. Г. Погрешности измерений / С. Г. Рабинович. JI. : Энергия, 1978. - 262 с.: ил.

61. Самарский A.A. Численные методы : учеб. пособие /

62. А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. - 429 с.: ил. -ISBN 5-02-013996-3.

63. Светов Б. С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки / Б. С. Светов. М. : Недра, 1973.-256 с.

64. Светов Б. С. Аналитические решения электродинамических задач / Б. С. Светов, В. П. Губатенко. -М.: Наука, 1988. 344 с. -ISBN 5-02-001297-1.

65. Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт ; пер. со 2-го амер. изд. А. В. Гапонова и М. А. Миллера. М. : Изд-во иностр. лит., 1954. - 604 с.: черт.

66. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовича, И. Стиган ; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и JI. Н. Кармазиной. М. : Наука, 1979. -832 с.: ил.

67. Тамм И. Е. Основы теории электричества : учеб. пособие для вузов / И. Е. Тамм. 11-е изд., испр. и доп. - М. : Физматлит, 2003. — 616 с. — ISBN 5-9221-0313-Х.

68. Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля : справ, пособие для электротехнических специальностей вузов / Т. А. Татур. М. : Высш. шк., 1989. - 271 с.: ил. - ISBN 5-06-000108-3.

69. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : учеб. пособие для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. 5-е изд., стереотип. - М. : Наука, 1977.-735 е.: ил.

70. Тойберт П. Оценка точности результатов измерений : пер. с нем. / П. Тойберт. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 88 с.: ил.1.BN 5-283-02438-5.

71. Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.-232 с.

72. Федорюк М. В. Асимптотика : интегралы и ряды / М. В. Федорюк. М. : Наука, 1987.-544 с.

73. Фрайден Дж. Современные датчики : справочник / Дж. Фрайден. М. : Техносфера, 2005. - 592 с.: ил. - ISBN 5-94836-050-4.

74. Хмелевской В. К. Краткий курс разведочной геофизики /

75. В. К. Хмелевской. 2-е изд. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 287 с.: ил.

76. Хмелевской В. К. Электроразведка / В. К. Хмелевской. 2-е изд. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 422 с.

77. Чугунов С. А. Расширение зоны измерения параметров электростатического поля зондовым методом / С. А. Чугунов, В. М. Юркевич // Измерительная техника. 1981. - № 1. - С. 33-35.

78. Чугунов С. А. Геометрические соотношения при измерениях напряженности электрического поля / С. А. Чугунов, В. М. Юркевич // Измерительная техника. 1982. - № 8. - С. 52-56.

79. Щигловский К. Б. Приборы для измерения параметров электростатического поля и их калибровка / К. Б. Щигловский, В. С. Аксельрод // Измерительная техника. 1978. - № 5. - С. 63-65.

80. Электроразведка : справочник геофизика : в 2 кн. / под ред.

81. В. К. Хмелевского, В. М. Бондаревского. 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Недра, 1989. - Кн. 1. -438 с.: ил. - ISBN 5-247-01838-9.

82. Юркевич В. М. О методике измерения напряженности и других характеристик электрического поля / В. М. Юркевич, Б. JI. Кондратьев // Измерительная техника. 1980. -№ 5. - С. 57-59.

83. Якубовский Ю. В. Электроразведка / Ю. В. Якубовский. М. : Недра, 1980.-300 с.

84. Якубовский Ю. В. Электроразведка : учеб. пособие для вузов / Ю. В. Якубовский, И. В. Ренард. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1991. - 359 с.: ил. - ISBN 5-247-01044-2.

85. Янке Е. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш ; пер. с 6-го перераб. нем. изд.; под ред. Л. И. Седова. М.: Наука, 1977. - 342 с.: ил.

86. Paul D. J. Accuracy in instrumental measurement and calculation / D. J. Paul // Australian journal of instrument technology. 1965. - № 4. - C. 122-128.

87. Paul D. J. Accuracy in instrumental measurement and calculation / D. J. Paul // Australian journal of instrument technology. 1966. - № 1. - C. 6-12.