автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса гашения электрической дуги с помощью неклассических уравнений математической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИ!'! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЕЕРСИТЕТ

гтз од 1

1 1 н01 1^6 пра5ах рукописи

Хаихасаея вдаеислав Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ КОДИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГАШЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ С ПО!,!ОПЬЮ НЕКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.1З.16 - применение вычислительно!) техники .математического моделирования и математических «атодов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1996

Работа выполнена на кафедре гшсней математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета(г.Улан--Удэ) н в лаборатории математического моделирования Новосибирского государственного университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор В. II. Врагов

дохтор технических наук, доцонт С.Л.Буянтуев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Дробыиевич

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Воеводин

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Зацита состоится " № -У/лЛ'^-'/ " 1996 года в часов

на заседании диссертационного совета К 063.98.05 при Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, Новосибирск, уя.Пирогова, 2, ауд. 317а.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан " х996 года

Ученый секретарь специализированного

совета, д.т.н., доцент Вельтмандер П.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Несмотря на большой опыт в разработке коммутационных аппаратов и исследовании происходящих в них электродуговых процессов, приведенный в частности в монографии А. И. Полтева, существует ряд проблем,связанных с изучением стационарных и нестационарных процессов в дуге, обдуваемой потоком газа, созданием методов расчета и поиском путей повышения эффективности дутьевых систем для увеличения теплосъома с электрической дуги.

Анализ работы выпускаемых в настоящее время промышленных высоковольтных выключателей классического типа с коммутацией, сопровождающейся возникновением дуги,показывает, что они зачастую не отвечают современным требованиям по уровням отключаемых токов, напряжений на разрыв, быстродействию и надежности.

В работах С. Л. Буянтуева и др. был предложен и экспериментально на первом этапе исследован новый автогазовый способ гашения коммутационной дуги,основанный на принципе возгонки элегаза (5Р6) из одного агрегатного состояния в другое под действием энергии дуги с образованием высокого давления в дутьевой камере. На втором этапе необходимо учитывать влияние потока газа в разные стадии горения и гашения дуги от амплитудных до нулевых значений тока, различную геометрию дутьевых систем и термохимические эффекты в столбе дуги.

В соответствии с полученными результатами и с целью дальней-нейшей эффективной доработки этого способа встала задача построения адекватных математических моделей (ММ) теплообмена и математического аппарата для их описания при определенных режимах работы, чему посвяиена первая глава диссертации.

В силу тепловой инерции плазмы В области перехода тока через нуль температура дуги достаточно высока (на оси - 7000°К). а время гаыения и тепловая постоянная времени дуги г для продольного дутья в воздухе, элегазе или смесях элегаза с азотом имеют длительность от единиц до десятков микросекунд, и тепловое равновесие достигается сравнительнс? быстро. Поэтому, если процессы в области амплитуды тока обычно представляют ;<ак установившиеся,описываемые классическим уравнением теплопроводности параболического тииа, то лугогаше-нио в области нуля тока необходимо рассматривать как существенно нестационарный процесс, описываемый пшерОолической моло-гью (1). К этой проблеме примыкает моделированпо йолКоЧого механизма телло-

- з -

переноса,обусловленного конечной скоростью распространения тепла.

Ряд работ по теплофизике последних лет В. А. Бубнова, О. Н.Шаб-ловского, Г.Я.Бородянского. А.С.Макаренко также показали, что для существенно нестационарных процессов электронной теплопроводности гиперболическая модель (X), которая после осреднения по пространственным переменным является уравнением осциллятора, лучше перелает свойства процесса теплопереноса.

В связи с этим, возникает гипотеза о замене постоянного коэффициента тепловой релаксации «с на функцию от времени «с - «<(<:), а возможно и а » «<<1:,х),гле л - 0 в области параболичности оператора к теплопроводности смешанного типа ( гиперболо - параболического > второго порядка, а также рассмотрение обратной задачи для установления л - <*(<:,х) по известным экспериментальным данным. Принимая в качестве решения задачи структурной идентификации ММ со смешанным оператором теплопроводности.предлагается в будущем решать актуальную задачу параметрической идентификации, т.е. нахождение d;^t,x).

Такие обратные задачи в настоящее время интенсивно исследуются и общей теории пока не существует. В качестве примера можно привести работы Ю. Е. Аниконова и Б. А. Бубнова с обратными задачами для параболического и гиперболического уравнений. Наряду с многочисленными методами решения таких задач для линейных и нелинейных уравнений второго порядка К(и) = И типа (1) и (5).можно использовать к предложенный Ю. А. Дубинским подход,когда с уравнением к(и) « Ь, которое в общем случае неразрешимо для произвольной правой части И,

*

связывается некоторое уравнение четвертого порядка вида К К(и) » ■ к Ь, которое уже разрешимо всегда. Тогда исходное уравнение разрешимо с точностью до ядра оператора к*.Эта конструкция может рассматриваться и как прием описания области значений оператора К(и), соответствующего некорректной задаче. В связи с этими возможностями становится актуальным получение корректных постановок краевых задач для широкого класса уравнений четвертого порядка, включающих в себя в качестве К(и) -оператор теплопроьодности сметанного тина.

Кроме этого, обратные задачи для уравнений К(и) = Ь как правило переопределены из-за избыточной информации о решении на границе и получение самих решений, как численно, так и аналитически, затруднено вследствие некорректности постановки, тогда как наличие этих краевых условий может быть необходимо для численного решения, например, корректно поставленной задачи Дирихле для уравнения

- - <) -

* * *

к к(и) = к I», если оператор к к осуществляет гомеоморфизм .

Таким образом, наряду с самостоятельным теоретическим значением, обусловленным применением в теории упругости, теории оболочек и магнитной гидро- и газодинамике, возникает упомянутый выше интерес к исследованию прямых задач Дирихле для линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений смешанного типа четвертого порядка с кратными характеристиками, которому и посвящена вторая глава.

Не углубляясь далеко в историю уравнений смешанного типа второго порядка,приведем лишь для примера работы Ф. Трикоми,Г. Фикера и М. В. Келдыпа, и в„библиографию по этой теории, достаточно полно отраженную в монографии А. В. Бицадзе, укажем лишь ряд работ последних лет В. Н. Врагова, С. А. Терсенова, Б. А. Бубнова, А. И. Кожанова, А. Г. Кузьмина, Хе Кан Чера.И. Е. Егорова, Н. В. Кислова, А. Г. Подгаева, С. Г. Пяткова и др., посвященных изучению этих уравнений и характеризующих настоящее положение в этой области уравнений второго и третьего порядков. Касаясь асе уравнений более высокого порядка необходимо упомянуть работы Ю. А. Дубинского, С. И. Похожаева, Г. Н. Агаева, В. А. Маловичко, Н. И. Самедова.Т. Ш. Кальменова, М. М. Мередовой, которые близки по содержанию к задачам,исследованным во второй и третьей главах.Большинство упомянутых выше работ приведено в литературе к диссертации.

Цвяью работы является: формулировка постановок математических моделей для гиперболического и параболического уравнений теплопроводности различной степени сложности с анализом их адекватности выявленным дизаиическим эффектам данного процесса гашения электрической дуги; решение задачи параметрической идентификации ММ, т.е. нахождение оптимального коэффициента тепловой релаксации;постановка и исследование разрешимости первых краевых задач для некоторых классов линейных и нелинейных уравнений смешанно - составного типа высокого порядка в связи с высказанной выше гипотезой.

Метолы исследования. Для решения поставленных задач первой главы применяются различные методы асимптотического, численного и аналитического исследования,названия которых указаны в кратком содержании работы, причем метод моментов в данной постановке и использование рядов Бурмана- Лагранжа, - впервые. Во второй и третьей главах используются метод априорных оценок,теоремы вложения и другие методы функционального анализа.

Научная новизна работы заключается в:разработке комплекса математических моделей для описания процесса гашения электрической

дуги в продольном потоке газа при переходе переменного тока через ноль с учетом специфики инженерного расчета,т. е. аналитическим выводом одной кривой отслеживания динамики процесса; решении задачи структурной и параметрической идентификаций ММ в виде применения обобщения уравнения Фурье' с постоянным коэффициентом тепловой релаксации. являющегося подтверждением гипотезы о применении в дальнейшем уравнения теплопроводности смешанного ( гиперболо-параболического ) типа; постановке ряда краевых задач для линейных и нелинейных уравнений смешанно-составного типа высокого порядка с освобождением решения от части краевых условий на характеристических поверхностях оператора Ки второго порядка,включающего в свой класс оператор теплопроводности смешанного типа, и доказательстве теорем ; существования различных обобщенных решений этих задач в классах ' функций конечной гладкости. ;

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты I первой главы используются в автоматизированных системах научных 1 исследований лаборатории "Колебательный контур" Восточно-Сибирского государственного технологического университета для исследования нестационарных процессов горения и гашения дуги в камерах дугога-сительных устройств с продольным газовым дутьем и отраслевого центра плазманноэнергетических технологий РАО "ЕЭС" в городе Гусиноо-зерске для исследования характеристик плазмотронов. Результаты второй и третьей глав, кроме самостоятельного теоретического значения и использования для дальнейшего усовершенствования вышеупомянутых ММ, могут быть применены к задачам молекулярной акустики,магнитной гидродинамики,теории оболочек и термодиффузии.

На защиту выносятся: постановка, асимптотическое, численное и аналитическое исследование одномерной по пространственным переменным ММ при 0(т)«=о; постановка, аналитическое при 0(т)=0 и численное решение при о;т) -« ое2 двухмерной осесимметрической ММ; численное решение при о<т)«о методом изотерм трехмерной осесимметрической ММ с учетом газодинамики; постановка, доказательство существования и единственности в выделенных случаях слабых, полусильных и сильных обобщенных решений ряда первых краевых задач для линейных и нелинейных уравнений смешанно-составного типа высокого порядка как с кратными характеристиками, так.и в виде суперпозиции разных операторов ки, удовлетворяющих (10); доказательство частичного освобождения решений от краевых условий на характеристических повер-

Нйостях этих операторов,

Апробация работы. Основные результаты диссертаЦйоЯйой работы докладывались и обсуждались на: Всесоюзных школах-семи?\раЯ по не-кЛаССЯЧеским уравнениям ( Новосибирск. 1980, 1981, 1983, Улан-Удэ, 1"985) ¡Всесоюзной школе молодых учекых'Функциональные методы в при-клаЛйоЙ' Математике и математической физике"; Ташкент. 1988) ;сессн-. ях секций Научного совета АН СССР по проблеме'Физика низкотемпературной плазмы"( Улан-Удэ. 1988, Алма-Ата, Улан-Удэ, 1991); Сибирской 'йколе по вычислительной математике! Новосибирск, 1988); Всесоюзной ' конференции "Математическое моделирование:нелинейные проблемы' й-вычислительная математика" ( Звенигород. 1988); Всероссийской ко"нфз$0Йции "Условно-корректные задачи дифференциальных уравнений й анализа" ( Новосибирск, 1992); второй Всероссийской конференции "Математические проблемы Экологии" ( Новосибирск, 1994г.); пятом Межреспубликанском соввШШи "Вычислительные методы в задачах волновой гиДродиГнамйки" ( Йаёосибирск, 1996); научных семинарах Института математики СО РАН й Новосибирского государственного университета под руководствуй С. А. Терсенова, В. Н.Врагова; Воронежского государственного университета под руководством И. А. Киприянова, Московского энергетического института под' руководством Ю. А. Дубинско-го, ежегодных научных конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 20 печатных работ, в составе которых Ю статей и Ю тезисов Докладов. В совместных раб'отах: С. Л. Буянтуеву принадлежит основная идея описания данного процесса гашения дуги с помочью гиперболической ММ, Б. Н. Девя-тову - идея применения метода моментов и рядов Бурмана-Лагранжа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из- 88'на'имёнованпй. Объем работы составляет не страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ--

Во введении обоснована актуальность работы, сформулй{Швани ей цель и задачи, дан краткий обзор литературы по теме работы, описаны примененные методы и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена математическому моделированию процесса

гаиения электрической дуги, обдуваемой потоком сжатого элегаза.Для описания релаксации трубки горячего газа после прекращения тока приводятся постановки математических' моделей трех уровней сложности: одномерной, осесимметрических двухмерной и трехмерной по пространственным переменным.

Из обобщенного уравнения Фурье и уравнения теплового баланса:

выводится уравнение теплопроводности гипербблического типа:

- «V» Ч ♦ <cve - - Я— А Ц ♦ QIT, , (1,

•v .dt2 v dT at <?xz

где су -удельная теплоёмкость,g -удельная плотность, т -температура, л -коэффициент теплопроводности, Q(T) -внутреннее тепло. Начальные и краевые условия для функции T(x,t):

&т

Т(х,0) - Ф1(х(; "

йт

3^(0,t) - 0; T(l,t) = 0,3.

^(х) - профиль экспериментальной кривой температуры элегаза в момент нуля тока (t-О); х-0- ось дуги, х-1- радиус столба дуги. Для задания <Р2(Х> применяем параболическое уравнение теплопроводности;

<ЫЮ - э!1 " k - *

£ az t-0 dx" t-0 1

Здесъ:отсчет по шкале температур - в тыс. °К; характерный размер по радиусу -• 1 см. На основе опытных данных для аналитического исследования уравнения (X) при о<Т) « о используется: к ■ » 70 .

Краевая задача ix,2), кроме предварительного асимптотического исследования гю методу Вишика-Люстерника при Q(T)»0 и численного решения при нелинейном внутреннем источнике в виде джоулева тепла, приведенных ' е первом параграфе, в третьем параграфе аналитически решается в два этапа. На первом -применяется метод моментов,позволяющий получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных моментов функции . T(x,t) по переменной х. На втором этапе для решения полученной задачи Кони используются два метода: аналитический, с применением рядов Бурмана-Лагранжа. и численный по схеме Рунге-Кутта.

Рассчитывая аналитически поле температуры T(x,t), но используя только функцию T(0,t).кривую отслеживания динамики процесса,э-х/а.

Т(ОД) » 7 - 0,271 + е~01:(О,271 + 0,289 +0,308 +

3 4 5

+ 0.328 + 0.345 + 0,294 ^д), -

провален серию расчетов для различных ы при t - ю мкс и найдем из таблицы 1 оптимальное значение коэффициента а » 4-10-6 из условия наибольшего спада температуры Т(о,^) на оси дуги: Аналитическое_реиение.наноси Таблица 1

а -5 5-10 э 10"5 5-10"6 4-Ю"6 3.5-10-6 3-Ю"6 10"6

Т<0,1) 6.258 6.233 6.219 6.218 6.219 6.225 6.516

Для' подтверждения корректности полученных аналитических формул • ^ задача Коши для системы решается также численно с помощью апробированного метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. В таблице 2 приведены значения функции Т(0Д) и ее первой производной для того же момента времени t - 10 мкс.

Гиперболическая,осноуерная_мо0ель Таблица 2

а иаг по времени Т<0,10-5) \(0,10"-5)

4-Ю-7 ю'7 1.10"6 6,32 6,317 -64445 -63629

Из'таблиц 1,2 видно, что рассмотренная модель, одномерная по пространственной переменной, не обеспечивает требуемой, скорости сладания пика температуры на оси дуги до температуры на периферии дуги, т.е. с 7000°к до зооо°к, за интервал времени 10 мкс, соизмеримый с тепловой постоянной времени дуги в элегазе. Несмотря на это, из этой, модели хорошо видно как с помощью метода моментов и рядов Бурмана-Лагранжа решается возникшая задача оптимизации гиперболической ММ по параметру тепловой релаксации а с использование« только одной кривой Т(0Д) -задача изучения динамики спадания температуры на оси дуги без получения всего поля температуры,которое возможно только с помощью более сложных численных методов. Приведем постановку второй" смешанной краевой задачи: Найдем решение Т(г,Ъ) в (0,1)х(0.») дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа 2-го порядка:

- э -

„ <?!? + й. . 1 й. (кг л,, (3)

¿Ъ г <?г <?г удовлетворяющее следующим начальным к краевым условиям:

Т(г,0) - <р,(с), "(г,0) (кс

Л г дг • дс

<?т

~(0Л) - О, Т(Х^) - 0,3.

Зг

Применяя аналогичную методику разложения по моментам, получим систему ОДУ, результаты численного расчета которой методом Рунге--Кутта приведены в таблице 3:

Гиперболическая_двухмерна Таблица з

оС шаг по времени Т(0,10""5) Т^(0Д0-5)

4-ХО"7 3,597 -306007

ю"7 1=1<Г7 3,553 -298347

Анализ приведенных расчетов показывает, что осесимметрическая двухмерная модель лучше описывает спад температуры электрической дуги. Взяз в уравнении (1) джоулево тепло 0(Т) - б(Т; е2, получаем на основе опытных данных для удельной проводимости элегаза в(Т) и напряженности электрического поля дуги е - юо б/см:

су9 - Ю"2, . < 103, су9 - - - с„в .

- откуда из уравнений (1),(3) Судет следовать уравнение:

„ & , Й . к й. (г + вш . (5)

вь* зt г аг аг суд

На этапе структурной идентификации математической модели <ММ) исследуемого процесса с нелинейным внутренним источником тепла рассчитываются численно температурные поля классической параболической ММ и выведенной гиперболической, для которых скорость спадания пика температуру т оси дуги у гиперболической ММ [табл. 4а) существенно вике, чем у параболической [табл.4б], что лучше согласуется с экспериментальным:: данными. Исходные тексты программ, ис-аользуицг.е подпрограммы пакета прикладных программ "БШГ Белорусского института математики, приводятся в приложениях 1-й 2.

На этапе параметрической идентификации гиперболической МИ, в основе которой краевая задача (4.5), решена задача оптимизации -

- определено значение коэффициента тепловой релаксации и - ю-7.

- ю -

Ç pa g у § н и G-B ç g о [j y f! _ ц а _ о с и _ g Y г у _

Таблица 4

.t : ,0 5-Ю-6 10-Ю"6 X5-10"6 20-XO"6

т(д,£.) : 7 S.753 4.452 3.443 2.721

t ,0 . S'XD 10-10"S 15-10"6

T{0,t) 7 Д.¿63 3.7*2 3.182

Перейдем. теперь ,к рассмотренной во втором параграфа о.сесим-метрической трехмерной додели с добавлением аксиальной координаты г,т.е. с учетом газодинамики дугового разряда,и приведем постановку третьей смешанной краевой задачи: найти ноля температуры и скорости системы:

ЁЯ + 2-(вУ , + 1 Ё. (еду ) - Л . д - - > Л - - Й дЬ дг 2 г дс 1 дс К

<?у_ вv„ дч^ др I д Зч_

■г 04 г

9 —- + Qv —£ +gv — ■

<?t s 3z r ôt

, <5t ôt <3t ,

QC < -i + V -i + V — )

p ât z âz c de

+ - — («}r —S) , <Jz r <5r <Jr

Q(T) - i i-(rq> + v -B , t ôt z <?z

удовлетворяющие следующим начальным и краевым условиям:

Tlt-0 - *l<r>; « 7\КяХ - 0,3 ; 3) р 1г-0 - (

¿1Т дт аг ,

(6)

4> " ls.o " 0 ; 5> ?U-o

О ;

- А U.0 ■ ♦х<г>'-

2р р

V„lt.0 - vslr-1 - ( In -- ]1/2;

дг

б) qir-0 " " ' *B't=0 " тя'г-1

8> = 0 > Vr't.O =0 ; 10> v

■ о

= 0.

г'г-0

Здесь пренебрегаете.! аксиальной теплопроводностью и, обусловленной вязкостью, диссипацией энергии. Влияние геометрии разрядной трубки отражено в системе уравнений ¡5) посредством члена с продольным импульсом >p(zj, для которого хороией аппроксимацией в момент времени, близкий к моменту прерывания тока, является продольное распределение давления газа.

Система уравнений газодинамики, применяемая в работах К.Рагал-лера, является частным случаем системы (6) при а-0. Для реаения- поставленных краевых задач для системы К. Рагаллера я системы (6) били составлены п отлажены программы с использованием метода изо-

"Я г

терм. Приведено такхе описание возможности применения метода моментов к решению краевой задачи (6),(7).

Система дифференциальных уравнений в частных производных (6), (7) является одним из этапов обобщения уравнений Навьо-Стокса на пути к более общин уравнениям Бернетта, вытекающим из кинетической теории газов .

Исходный текст программы расчета температурного поля для системы (б),(7) и три графика этого поля для моментов времени t - о, Ь - 0.5 мке и Ъ «■ 1 мкс. иллюстрирующих сдувание дуги продольным потоком газа, приводятся в приложении 3.

Переходя к краткому изложению второй главы, необходимо начать с подробного описания наиболее общей постановки, приведенной в §3.

В ограниченной односвязной области о с г^' с кусочно - гладкой границей Г специального вида рассмотрим первую краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка:

"Л1 * _

(в)

Ш > £ Ь А,(Х,Ь и) * Ь(х), 3=0,п+1, 1«0

и1г - Г (X), "!ГчГ - < X а, , " *,Нг\Г " *?<*>' <9> 1 ' Л» 1 м о 1^.1 и <?х. •> 1 м о 2

где I, - тождественный оператор; » д/ди^ при 1=1,п; £-0 - произвольный линейный дифференциальный оператор к второго порядка, п п

Ки ■ £ а (х)и + £ Ь (х)и + с(х)и-, ^ 1-1 1 *1

с достаточно гладкими коэффициентами, удовлетворяющий неравенству Й*Ки1ь » «=<, , г>2, (10)

для любых функций и(х) е ск - (и(Х)еС2(0):и|р «0}; Г0 -часть границы Г, совпадающая с характеристической поверхностью оператора К,

С ' ( *еГ! < £ " о ): .

1»^ ■» I

через В(0),®'"»г1(о> обозначены нормы пространства Лебега иг.

и пространства Соболева »г(й), соответственно, а через л^ .здесь и в дальнейшем, обозначаются различные постоянные, которые больше нуля и не зависят от функций, входящих в неравенства.

Нетрудно видёть,что широкий класс эллиптических, параболических. гиперболических, ультрапшерболических, а также операторов с вырождением и смешанного типа,' в частности, оператор теплопроводности смешанного типа, введенный выше, удовлетворяет неравенству

(Ю) для функция из Ск. Здесь доказана следующая лемма.

Лзмма 1. Для любой функции и(х) е ск выполнено неравенство:

ЙКи»Ь (D) > -2 I £ «Ьв(Г, • <">

&а

ди иг

Определим теперь банаховы пространства н+ и нд с нормами

- 6kujl , isuiig - sku»l + iujhi ,

m n ' e Ai

полученные замыканием множества функции из cr = (иес„: —|г.г »0).

L К дН 1 М о

Из (Ю) следует, что 11- действительно норма, и пространства

и Нд .очевидно, сепарабельны. Далее, с помодью неравенства Кларк-

сона и теоремы Мильмака - Какутани доказывается такая лемма.

Лемма 2. Пространства н+ н Нд рефлексивны.

Из теорем вложения пространств Соболева следует, что функции из пространств н+ и Нд обращаются в ноль на всей границе Г. Далее, на Г0 производная по коиормаян является производной по касательной к границе Г и на функциях из ск обращается в ноль на Г , поэтому неравенство (11) фактически означает:

1м+ - hku«l (0) >'а7 1*4 <гчг, ■

а С N20

После введения непрерывного оператора следа на основе неравенства (11) леммы 1 на функциях из CR и продолжения его по непрерывности на пространства н+ и Нд производная по конормали обрава-втея в нуль в пространстве ь2(Г\Г0).

Пусть теперь выражение в скобках означает вариант условия для пространства Нд , в отличив от указанного прямо варианта для для пространства н+ ,для которого k-r ( для Hg k - max(r,e) ). •

Предположим, что.функции fх{х),f^(х) из (9) допускают продолжение £{х) внутрь области D из пространства w2(D) П w,1.(d). Тогда

га к

совокупность функций вида и(х) = г(>;) + f(x), где z(x) е (Н@), образует пространство H+(f) (Hg,(f)).

Определение 1. Функцию u(x) € Hf(f) (Hg(f)) будем называть.

слабым обобщенным решением первой краевой задачи (8),(9), если

выполняется интегральное тождество: V v(x) e CL< j-o7n+i,

n*i n+i

£ S Ai(x,u,u .....u ,Ku)L,vdD » £ lA.is.yi.Lvl - (h,v).

i«0 D '1 и 1=0 J

Определение 2. Функцию u(x) € H+(f) (Hg(f)) будем называть сильным обобщенным решением первой краевой, задачи (3),(9), если существует последовательность функции z^x) б Сц таких, что

lim äz. + f - ü| . @ » Ilm l|L(z * £) - Ьй:(9)- = 0,

l-«o ' ' 1-MO

где H_(D) (Hq(D)) -негативные пространства к H+(D) (Hg (D)! )>,rtotipö*-' енные относительно гильбертова пространства L,(D).

Приведем ряд предположений для уравнений вида (8):

1)Условия ограниченности и непрерывности L:Ht(f )-»H_(D). Функции A^x.Cj), l,j»o,n+i,5eRn+1,удовлетворяют условиям Каратеодори, т.е. почти при всех xeD непрерывны по совокупности переменных , при всех значениях ^ измеримы по х и удовлетворяют неравенствам:

( П+1 Рц)

|А,(х,5.)1 < d а(х) +1 U.l 1JL где 1 3 8 1 j-0 3 >

PQ0» m-1; PQJ- k(m-l)/m, j-I7n; Р0/П+)" kn(m-l)/m(n-k); Pi0= m(k-l)/k, 1-T7n; k-1; P4 ni)- n(k-l)/<n-k);

P „«m(nk-n+kj/nk; p ,»(nk-n+k)/n; P ^, = (nk-n+k)/(n-k);-

Пт 1 f U Пт I $ J lit 1 , Пт 1

при n>k tt P„ , , P. .., , P ' ., - любые неотрицательные числа

0,n+l lihtl (l+l (nrl

при n < k; a(x) e 1^,(0); l/m + 1/ш' - l.

2) Условие Kö3pUMfHB!locTH оператора Lu. Для любой функции u(Jt)eil+(f) (Hg{£)) иИеет Место неравенство

i,m

£ (А1(х,^и),11и) > <*10«ий + - ¿ц, 3-0,П+1.

(П+1 ю в \

^(А^Х.^Ю.Ци ) > ¿12<1и|+ + |и1ы1(1>)) - |.

3)Условие Полуограниченности вариации оператора Ьи. Для любых функции и(х),у(э4)ен+(£) (Нф(£П из Шара |ий + < к (Ци(е<К) справедливо неравенство:

{Ьи - Ьу^О - v) > -с(11,йи - уйь (0)),

где с(К,д)>о -непрерывная функция такая.что с(К,£д)/е =>0 для любых к и о- когда +0, 1 < р < кп/(п-к) при п>к и ? -любое неотрицательное число при п < к.

4(Условие строгой монотонности оператора ьи. Для любых функций и(х),у(х)ен+(£) (Нф(£)),и(х) * у<х), справедливо неравенство:

(Ьи - Ьу,и - V) > о.

5(Условие дефицитности вариации оператора Ьи. Для любых функций и(х),у(х)ен+(£) (Нф(:Г)) имеет место неравенство:

(1Л1 - 1>у,и - V) » «л14Ии - уй^

(<Е.и - 1л/,и - V) > а15( Ни - VI™ + 9и - (0))).

в

Аналогично работам Ю.А.Дубйнского доказывается следующая теорема.

Теорема. Если выполнены предположения 1) - 3).то первая краевая задача (8),(9) для любой функции )цх) € (Нд(О)) имеет по крайней мере одно слабое обобщенное решение из пространства Н+ (£) (Нщ(Г). Если выполнены предположения 1),2),4),то это решение единственно, а при выполнении 1),2),5) слабое решение совпадает с сильным, т. е. отображение

Г,: Н+(£) - Н_(0) (Ь: Н@< Г) - Ндф))

есть гомеоморфизм. Э1а непрерывная биекция позволяет находить ре-иония прямой задачи численными методами, т. к. галеркинские приближения сходятся к решениям не только слабо, но и сильно.

Далее в этом параграфе доказывается аналогичная теорема для нестационарного аналога уравнения (8) в следующей постановке: с!и п+1

+ Е L.A,(t,x,u,u ,...,u ,Ku> - h(t,a>, dt 1=0 11 *1 n au

u<0,x) = f <x), u| - f,(t,x), —

1 is 2 âlf

s\s0' f3<t'x>-

В первых двух параграфах этой главы рассматриваются первые краевые задачи для линейной системы смешанного типа с вырождением при у = о,т.е. с обращением в ноль коэффициента при ,его называют вырождением типа Келдыша, в отлично от вырождения типа Трико-ми, когда обращается в ноль при у =» о коэффициент при ихх , в гладкой односвязной области, а также для нелинейного уравнения (8) с' оператором ки специального вида в цилиндрической области.для которых доказаны неравенства, аналогичные (10), и теоремы о существовании слабых обобщенных реаений. Тип оператора Ки выбран с учетом смены стационарной и нестационарной Фаз горения и гавения электрической дуги и включает в свой класс оператор теплопроводности смешанного типа при достаточно малой функции релаксации «t(t,x) и источнике тепла Q(T) = о.

Эти уравнения и системы могут оказаться полезными и для обоснования, корректности постановок задач для дальнейшего обобщения системы Навье-Стокса, указанного недавно Б. Г. Кузнецовым, или для линейного уравнения четвертого порядка,возникающего в стационарной теории уравнений Стокса, описанных в переменных функция тока-вЬхрь и исследованных в работах А. Ф. Воеводина.

В замечаниях указывается еще на ряд результатов, получанных

автором для этих уравнений, в частности, о полноте системы корневых функция спектральной задачи для линейного полиномиального пучка

* n_1 I

К Ки + Ти - 2 а г <х)и - ки - О,

i = l

с однородными краевыми условиями (9) и существовашш слабого обобщенного решения краевой задачи (8), (9), также с оянородкичи условиями (9),в нерефлексивном случае с образованием структуры четверки дополнительных пространств типа Соболева-Орлича по методике Дока-льдсона -Трудингера -Госсеза. На необходимость привлечения пространств этого типа для получения глобальных априорных оценок ¡аля уравнений Навьв-Стокса указывалось в работах А.В.Кажихова.

В первом параграфе третьей главы рассматривается одна краевая задача для линейного и нелинейного уравнений смешанно - составного типа четвертого порядка с некратными характеристиками, получаемых как суперпозиции разных операторов,которые могут быть,в частности, оператором теплопроводности смешанного типа при приведенных виие условиях, в квадрате D » ( о<х<1,о<у«л ), где Г^Г^.Гд.Г -стороны D, соответственно, <х*0), (у=1), (х«=1), (у=о):

Lu « Kj^u + ек3и « f(x,y) ,

и|ГгиГ3иГ4""0' "x1^*0- V^f0' uyy'r2=0-'

Доказаны теоремы существования слабых и полуспльных решений поставленных краевых задач, гладкости этих решений, обеспечивающей удовлетворение ими краевых условий.

Во втором параграфе приводятся снова постановки первых краевых задач для нелинейных уравнений с кратными характеристиками, но

уже смешанно-составного типа шестого порядка: п * *

LU * £ L. A,(X,D и,ци| + Z D В (x,D и,ци) - h(X),

ulr - fl(x,. - f2(x), ^!ГчГо - £3(X,.

- доказываются теоремы, аналогичные вышеприведенным для четвертого поря;ка. Результаты этого параграфа, кроме самостоятельного теоретического интереса,могут быть применены для исследования гладкости решений краевых задач.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям В.Н. Врагову и С.Л.Буянтуеву за постоянное внимание к работе и ценные советы, данные при написании диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Ханхасаев В. Н; О задаче Дирихле для одной системы уравнений смешанного типа 4-го порядка // Сб. " Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики", ИМ СО АН, Новосибирск, 1980, С. 164-168.

2. Ханхасаев В.Н. Об одной краевой задаче для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка// Сб."Динамика спловной среды", N53,"Динамическ. задачи сплошной среды, Новосиб-ск,1981,с.144-150.

3. Ханхасаев В. Н. Разрешимость задачи Дирихле для одного нелинейного уравнения смешанного типа 4-го порядка // Сб. "Динамика сплошной среды", N54, " Математические проблемы механики сплошных сред", Новосибирск, 1982, С. 172-177.

4. Ханхасаев В. Н. Об одном свойстве системы корневых функций одной спектральной задачи //Тезисы докладов XXIV научной конференции ВСТК, Улан-Удэ, 1985, С. 32.

5. Ханхасаев В. Н. Первая краевая задача для одного нестационарного нелинейного уравнения неклассического типа 4-го порядка // Тезисы докладов XXVI научной конференции ВСТИ, Улан-Удэ, 1987, С. 7.

6. Ханхасаев В.Н. К теории нелинейных уравнений смешанно-составного типа 6-го порядка // Тезисы докладов XXVII научной конференции ВСТИ, Улан-Удэ, 1988, С. 22.

7. Буянтуев С.Л. , Ханхасаев В.Н. Исследование нестационарных процессов дугогааения в нуле тока с помоцью гиперболического уравнения // Тезисы докладов VII Всесоюзной сессии научного совета по* -проблемам "Физика низкотемпературной плазмы", секция "Приложения низкотемпературной плазмы". Улан-Удэ, 1988, С.10-11.

в. Ханхасаев В. Н. К теории нелинейных уравнений смевакно-сос-тавного типа 6-го порядка // Тезисы докладов Всесоюзной иколы молодых ученых "Функциональные методы прикладной математики и математической физики", ТГУ, Ташкент, 1988, С. 55.

9. Ханхасаев В.Н. К теории нелинейных уравнений смешанного типа четвертого порядка// Сб."Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики",Новосибирск, 1988, С.154-135.

ю. Ханхасаев В.Н. К теории нелинейных уравнений смешанного типа 4-го порядка // Тезисы докладов II конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. НГУ, Новосибирск, 1908, С. 171-172.

11. Ханхзсаев В. Н. Об одной краевой задаче для нелинейного

уравнения смешанного типа 4-го порядка//Тезисы докладов xxvill научной конференции ВСТИ, Улан-Удэ. 1989. С. 29.

12. Ханхасаев В. Н. О первой краевой задаче для одного нелинейного уравнения высокого порядка // Тезисы докладов xxix научной конференции ВСТИ. Улан-Удэ. 1990. С. 24.

13. Ханхасаев В. Н. О первой краевой задаче для одного нелинейного уравнения смешанно-составного типа 6-го порядка // Сборн. докладов ххх научной конференции ВСТИ, Улан-Удэ. 1991. С. 18-20.

14.Буянтуев С. JI.,Ханхасаев В. Н. Численное исследование нестационарных процессов в нуле тока //Сб. докладов Всесоюзного семинара проблемного совета ФНП АН СССР "Нестационарный дуговые и приэлект-родныв процессы в электрических аппаратах и плазмотронах", Алма-Ата, 1991, Институт математики и механики АН КазССР, С. 29-36.

15. Ханхасаев В. Н. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка // Тезисы докладов XXXI научной конференции ВСТИ, Улан-Удэ, 1992, С. 7.

16. Ханхасаев В. Н. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка. // Межвузовский сборник научных трудов * Математический анализ и дифференциальные уравнения", НГУ, Новосибирск. 199?, С. 138-141.

17.Буянтуев С. Л., Девятое Б. Н.,Ханхасаев В. Н. Возможность аналитического исследования низкотемпературной плазмы в моделях гашения электрической дуги//Тезисы докладов и Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, 1994,Институт математики. СО РАН, С. IIS-116.

16. Ханхасаев В. Н. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка // Сборник научных статей,-серия "Физико-математические науки",вып. 1,ВСГТУ, Улан-Удэ, 1994. С. 166-168. .

19. Буянтуев С. Л. .Девятов Б. Н., Карпенко Е. И., Ханхасаев В. Н. Применение метода моментов и рядов Бурмана-Лагранха к исследованию некоторых математических моделей гашения электрической дуги// Меж-вуз. сб. научных трудов по прикладной математике, ВСТГУ.БФ НГУ.БГПИ, Улан-Удэ. 1994. С. 3-21.

20. Еуянтуев С.Л.,Ханхасаев В. Н. О некоторых математических моделях электрической дуги в спутном потоке элегаза в момент прерывания тока// Сб. научных статей "Плазменные аппараты и технологии теплоэнергетики". ВСТГУ, Улан-Удэ, 1995, С.21-39.

- 1В -