автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование электромагнитных полей в автоматических воздушных выключателях низкого напряжения

Оглавление

Введение

Глава. 1 Численный расчет распределения плотности переменного тока в токоведущих контурах электрических аппаратов

1.1 Основные уравнения для расчета распределения переменного тока в проводниках

1.1.1 Дифференциальные уравнения для скалярного и векторного потенциала

1.1.2 Граничные условия

1.1.3 Дополнительные условия

1.2 Распределение электромагнитного поля в системе бесконечно длинных проводников

1.2.1 Основные уравнения в дифференциальной форме

1.2.2 Интегральное уравнение

1.2.3 Решение интегрального уравнения

1.3 Сравнение численных результатов с аналитическим решением и экспериментальными измерениями

1.3.1 Сравнение численных результатов с аналитическим решением

1.3.2 Сравнение численных результатов с экспериментальными данными

1.4 Пример решения практической задачи

1.5 Выводы

Глава. 2 Моделирование распределения электрического поля между электродами во время существования электрической дуги

2.1 Распределение электрического поля - фактор обуславливающий дуговые процессы

2.2 Модель электрического поля между двумя электродами в присутствии дуги

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Интегральное уравнение

2.2.3 Существование и единственность решения интегрального уравнения

2.2.4 Задача с проводниками в пространстве между электродами

2.3 Изучение зависимости электрического поля от тока, напряжения, удельной проводимости дуги в выключающих аппаратах

2.4 Сравнение экспериментальных измерений с численным расчетом

2.4.1 Численный расчет

2.4.2 Эксперимент

2.5 Выводы

Глава. 3 Алгоритм решения плохо обусловленной СЛАУ

3.1 Интегральное уравнение Фредгольма первого рода теории потенциала

3.2 Аппроксимация задачи

3.3 Алгоритм решения СЛАУ

3.3.1 Идея алгоритма

3.3.2 Построение эквивалентной системы

3.4 Решение системы уравнений 95 3.4.1 Модифицированный метод Гаусса

3.5 Решение задачи о распределении электростатического потенциала

3.5.1 Пример решения модельной задачи

3.5.2 Сравнение с другими алгоритмами

3.6 Выводы 106 Заключение 111 Список литературы 114 Список опубликованных работ по теме диссертации

В электрических сетях низкого напряжения автоматический выключатель является основным коммутационным аппаратом автоматического действия, с помощью которого осуществляются любые изменения схемы цепей тока при всех возможных для данной точки сети режимах работы.

Общие требования к низковольтным выключателям приводятся, в зависимости от страны, в стандартах: Российский стандарт - ГОСТ Р 50030.192. [1]; стандарт Международной Электротехнической Комиссии - СЕ1-ЕЕС 947-1-88 [2]; Американский стандарт- ЦЪ 489 [3].

В связи с внедрением усовершенствованных методов эксплуатации электрических систем к выключателю, как к одному из наиболее ответственных элементов системы, предъявляются требования существенного повышения технико-эксплуатационных показателей, как-то: увеличение номинального тока и мощности отключения; повышение быстродействия и износоустойчивости механизмов (увеличение срока службы), удобство транспортировки, монтажа и эксплуатации и др. При этом выключатель должен обладать минимальными габаритами и наименьшим весом на единицу отключаемой мощности.

Перед проектировщиком стоит задача создания конструкции аппарата удовлетворяющая всему комплексу требований. Но из-за сложности физических процессов, протекающих в автоматах, решение этой задачи крайне затруднено или невозможно.

Существует два основных метода решения поставленных проблем: экспериментальные исследования и использование математического моделирования физических процессов, происходящих в автоматах.

Проведение экспериментальных работ связано с изготовлением опытного образца для чего требуются большие затраты рабочего времени и 4 материальных ресурсов. В связи с развитием вычислительной техники математическое моделирование даёт возможность сравнительно быстро и без особых материальных затрат проводить предварительный тест новой конструкции. Более того, построение адекватной модели физического процесса помогает принимать правильные конструктивные решения. Поэтому проблема создания математических моделей, которые точно описывали бы всю совокупность физических процессов в выключающих аппаратах, является актуальной и перспективной.

Задачи работы

Физические процессы условно можно разделить на три основные группы: процессы, протекающие при прохождении номинального электрического тока через аппарат; процессы, происходящие в выключателе при его отключении; процессы, обеспечивающие автоматическое управление выключателем.

К первой группе относятся:

1) электромагнитные процессы: распределение электрического тока в токоведущем контуре, в том числе в местах контактного соединения, распределение магнитных полей и вихревых токов, интенсивность и распределение электродинамических нагрузок;

2) тепловые процессы: распределение температуры в аппарате.

Ко второй группе относятся:

1) механические процессы, происходящие при отключении выключателя: работа расцепителя, контактной системы;

2) процессы в контактах, предшествующие возникновению дуги: вибрация контактов, их сваривание, силы действующие между контактами;

3) процессы на контактах и между ними во время возникновения 5 электрической дуги;

4) явления в дугогасительных устройствах аппаратов во время существования дуги: распределение электрических и магнитных полей; распределение температуры; процессы в дуге; восстанавливающаяся прочность межконтактного промежутка и восстанавливающееся напряжение на контактах аппарата при прохождении тока через ноль;

5) процессы при гашении электрической дуги: неустойчивость и повторное зажигание дуги.

К последней группе относятся явления в датчиках и в исполнительной части автомата.

Процессы, входящие в первые две группы, определяют работу аппарата. Третья группа процессов управляет его автоматической работой.

Рассматривая причинно-следственную связь физических явлений при работе выключателя можно отметить, что источником энергии в данных явлениях является электромагнитное поле. Поэтому электромагнитный расчет есть основа для математического моделирования всего комплекса физических процессов в выключающих аппаратах.

В нормальном режиме прохождения переменного тока через выключающий аппарат одним из основных процессов является нагрев токоведущего контура выключателя и нагрев аппарата в целом (в стандартах [1-3] нормируется температуры выводов аппарата и тех его частей, к которым имеется непосредственный доступ). Здесь целью математического моделирования является определение, как температуры отдельных частей аппарата, так и распределения температуры в пространстве, занимаемом аппаратом. Указанный выше процесс можно представить как упорядоченное множество моделей, которое изображено в виде графа на рис.1. Основой для вычисления температуры является численный расчет тепловыделения в токоведущих частях выключателя, которое определяется распределением источников Джоулева тепла, то есть функцией плотности электрического 6 тока. Первая глава работы посвящена разработке модели распределения переменного тока, позволяющая корректно определить величину Джоулева тепла выделяющегося в проводниках при прохождении через них переменного тока.

Рассматривая группу процессов в автоматическом выключателе, возникающих при его отключении, можно выделить, как наиболее важные для безаварийной работы автомата, процессы, обусловленные существованием электрической дуги. Здесь при проектировании автоматического выключателя конечной целью математического моделирования является получение зависимостей тока и напряжения на дуге от времени. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть вопрос о моделировании физических процессов в дуге. Взаимосвязанная система моделей, указанных процессов, изображена на рис. 2. Результаты расчета распределения электрического поля в присутствии дуги являются входными данными для остальных моделей, представленных на рис.2. Вторая глава работы посвящена разработке модели электрического поля в присутствии дуги на основе которой возможно построение единой дуговой модели.

В настоящее время не существует единой математической модели электромагнитного поля. Здесь под единой моделью понимается, общий алгоритм нахождения распределения электромагнитного псля (численного определения векторов, описывающих поле) в любом диапазоне частот при любом распределении вещества в пространстве. Очевидно, что такого аналитического алгоритма не существует. Численный же алгоритм для корректной оценки ошибки должен обладать дополнительным свойством: его точность и сходимость должны зависеть только от параметра дискретизации задачи. К сожалению, к настоящему времени численные методы разработаны для частных постановок задачи о распределении электромагнитного поля [4-6]. Наиболее общие из них исследованы только теоретически [6], без 8 реализации на ЭВМ. Другие, зависят от дополнительных параметров (например, параметра сходимости) [7], которые задаются априорно, что затрудняет оценку численной ошибки.

В настоящей работе затрагивается проблема разработки общей математической модели электромагнитного поля. Здесь две частные задачи о распределении переменного тока и о распределении электрического поля решаются на основе одной численной процедуры (метода Гаусса), зависящей только от параметра дискретизации задачи. Третья глава настоящей работы посвящена разработке универсальной вычислительной процедуры численного решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получившейся в результате аппроксимации системы интегральных уравнений теории электромагнитного поля.

Необходимость проведения такой работы обусловлена, как отмечено выше, отсутствием общего численного алгоритма решения, обеспечивающего минимально возможную погрешность в широком диапазоне изменений параметров модели, что в свою очередь, вызвано некорректностью в смысле численных расчетов [8] большинства задач электродинамики.

Использование результатов решения выше указанных задач при проектировании автоматического выключателя иллюстрируется на примере расчета температуры выводов автоматического выключателя и на примере определения формы дуги отключения, качественной оценки скорости движения дуговых опорных площадок, вероятности повторных зажиганий дуги в зависимости от ее тока, напряжения, удельного сопротивления.

Моделирование нагрева выключающего аппарата. Обзор работ

Первые тепловые модели применительно к аппаратам были представлены в работах A.M. Залесского [9], П. В. Сахарова [10].

Они носили априорный характер и являлись справедливыми только для

10 частных случаев общей задачи. Разработанные модели распространения тепла достаточны для теоретической оценки распределения температуры при выполнении двух условий:

1) известны интенсивности и распределение источников тепловы де л гния;

2) из-за сложности геометрических форм аппарата должна быть проведена адекватная экспериментальная проверка модели распространения тепла на основе сравнения теоретических и экспериментальных результатов, полученных на реальном выключателе.

Для определения характеристик источника тепловыделения при переменном токе необходимо решить задачу о нахождении распределения плотности тока. Общего аналитического решения этой проблемы не существует даже для простых геометрических форм, кроме одной -уединенного круглого бесконечного цилиндра [11]. Наиболее полно проблема тепловыделения при переменном токе была освещена в работах Л.Р.Неймана [12] и Ю. Л. Мукосеева [13]. Здесь оценки тепловыделения были сделаны на основе экспериментального измерения распределения переменного тока по сечению проводника.

Первый из авторов разработал методику [12] измерения активного сопротивления при переменном токе. Основой метода является измерение распределения напряжения на отдельных нитях тока на поверхности проводящих шин по периметру сечения. Для определения активного сопротивления делается предположение, что комплексная величина полного внутреннего сопротивления проводника определяется через комплексное значение плотности тока в той крайней точке сечения проводника, в которой эта плотность тока является максимальной. Если Ушах - комплексная величина плотности тока в такой точке, то полное внутреннее сопротивление ¿ы определяется по формуле:

7 - ^ тах '

Л int ~ г / где L - длина нити тока, измеряемая датчиком, м: / - ток в проводнике; 7 - удельная электрическая проводимость материала проводника,. Данный метод не является строго теоретически обоснованным, поэтому при определении активного сопротивления в произвольном случае электрических цепей (например, элементов трехфазных систем) возникает значительная ошибка в определении тепловыделения.

В работе [13] автор, используя выше описанную методику, провел широкое экспериментальное исследование влияния на активное сопротивление эффектов обусловленных протеканием переменного тока: поверхностного эффекта, эффекта близости и эффекта переноса мощности. К сожалению, данные, полученные в этих работах, нельзя использовать применительно к расчетам тепловыделения в аппаратах по двум причинам:

1) для трехфазной системы результаты носят качественный характер, причем определена только зависимость активного сопротивления каждого элемента системы от расстояния между фазами, но не выяснена его зависимость от геометрических размеров проводников;

2) полученная зависимость противоречит экспериментальным измерениям тепловыделения в шинах (согласно данным работы [13] активное сопротивление уменьшается при уменьшении расстояния между фазами, что должно привести к уменьшению тепловыделения, а, следовательно, и к уменьшению температуры, но опыт показывает, что температура шин всегда увеличивается при уменьшении расстояния между ними).

К настоящему времени разработаны более строгие математические модели распределения переменного тока [6, 8, 14-16]. В указанных работах, главным образом, уделено внимание теоретическим аспектам задачи, таким как, выводу интегральных уравнений [15,16] или соответствующей системы линейных алгебраических уравнений [17], существованию и единственности решения [6].

Более того, предлагаемые численные алгоритмы решения [8, 15-17] часто зависят от параметров подбираемых опытным путем, что не гарантирует получение общего решения задачи. Поэтому ни один из предлагаемых алгоритмов не описан в виде универсальной численной процедуры и не приведены результаты расчетов в сравнении с экспериментальными измерениями. Таким образом, результаты работы [13], в настоящее время, являются основой для оценки тепловыделения при переменном токе в выключающих аппаратах. Но из-за указанных выше недостатков использование, обобщенных без теоретического обоснования данных, полученных экспериментально, на практике приводит к некорректным оценкам температуры. Отсюда возникает необходимость в более точных методах моделирования процессов тепловыделения при переменном токе.

Моделирование электрической дуги. Обзор работ

Эмпирический подход к моделированию дуги

Первую упрощенную модель дуги - каналовую модель - предложил Штеенбек в 1932 г. [18]. Дуга в данной работе рассматривалась как некоторая область в пространстве - канал, где температура имеет настолько высокое значение, что проводимость, как функция от температуры в точках данной области, обеспечивает протекание тока. При этом реальная зависимость проводимости от температуры заменялась на приближенную так, что дугу можно было представить, как твердый проводник круглого сечения с определенной проводимостью, постоянной во всех точках сечения.

Отметим недостатки каналовой модели дуги. Во-первых, в модели не

13 определен диаметр сечения канала. Для его однозначного определения необходимо ввести дополнительное условие - принцип минимума мощности, который утверждает, что при заданном токе и проводимости канала должны установиться такая температура плазмы и диаметр канала, чтобы мощность и электрическое поле оказались минимальными. Вопрос о его правомерности для электрических дуг в автоматических выключателях остается открытым. Данная проблема обсуждается во введении ко второй главе настоящей работы.

Во-вторых, протекание электрического тока в твердом проводнике в заданном направлении обусловлено наличием границы между проводником и диэлектрическим пространством, где сосредотачивается не скомпенсированный электрический заряд. С другой стороны, дуговая плазма во всех точках за исключением, быть может, конечного их числа должна быть электрически нейтральной. Поэтому проблема, каким образом в дуге обеспечивается то или иное направление движения электрических зарядов в рамках каналовой модели дуги остается нерешенным. Существует еще ряд дуговых явлений, которые нельзя объяснить, используя каналовую модель. Эти явления рассматриваются в третьей главе настоящей работы.

Первой попыткой разрешить выше указанные противоречия в каналовой модели дуги можно считать работы Вейцеля и Ромпе [19]. Авторы дали взаимосвязанную систему дифференциальных уравнений, описывающих электрические и тепловые процессы в дуге. Анализ этих уравнений приводит к заключению, что если рассматривать дугу как цилиндрический проводник, невозможно получить их решение при заданных граничных условиях (высокая температура Т на оси дуги и температура Т0 окружающей среды на большом расстоянии от оси дуги). Поэтому они рассмотрели дугу конечной длины в виде эллипсоида вращения, фокусы которого находятся на концах электродов. Такая концепция дала возможность определить распределение температуры вдоль оси дуги. Эти же авторы приводят решение основных

14 уравнений для дуги, горящей в трубе. Интересно отметить, что решение дает два различных распределения температуры по радиусу дуги при двух разных ее формах. Первая форма характерна для дуги при малых токах, и она описывается падающей вольтамперной характеристикой. Вторая форма соответствует дуге с большими токами, которая имеет возрастающую вольтамперную характеристику. Эти результаты соответствуют опытным данным.

Дальнейшее развитие каналовая модель применительно к дуге отключения получила в работах О. Майра [20-21] и А. М. Кэсси [22]. Эти авторы рассмотрели динамическое поведение дуги. Из-за неопределенности одного из параметров модели они вводят дополнительные допущения. Так Майр предполагает, что мощность, которая отводигся от дуги (из-за процессов теплопроводности, конвекции и др.), постоянна и не зависит от изменения тока, а с током изменяется температура дуги. Иное допущение делает Кэсси. Он считает величину Pq отводимой от дуги мощности пропорциональной сечению дуги: Р0 = кг2, где г - радиус дуги, причем сечение дуги он считает изменяющимся во времени вместе с током, к - коэффициент пропорциональности. Это и другие допущения Кэсси приводят к выражению для напряженности электрического поля внутри дуги: Е = const.

Рассматривая предположения Майра и Кэсси, можно установить, что первое близко к действительности при малых токах, а второе - при больших токах. Хотя оба допущения далеко не точны, эти модели получили широкое распространение из-за возможности корректировки их параметров данными опыта. Причем к настоящему времени созданы гибридные модели, объединяющие теории Майра и Кэсси [23,24]. Основным недостатком данного класса моделей является зависимость от конкретных условий проведения эксперимента, то есть параметры модели остаются неизвестными до тех пор, пока не проведены опыты в заданных условиях (геометрические размеры экспериментальной установки, материал и форма контактов, среда в

15 которой находится дуга и ряд других). При изменения хотя бы одного из этих условий математическая модель не адекватно описывает физические процессы.

Таким образом, к началу пятидесятых годов исследователи при изучении дуги из-за противоречивости теоретических представлений о физических процессах в ней склоняются либо к полуэмпирическим (модели Майра и Кэсси), или полностью эмпирическим моделям. Здесь на первый план выходит накопление опытных данных о дуге.

Большой вклад в создание эмпирических моделей внесли советские ученые. Следует отметить работы О. Б. Брона [25], Г. В. Буткевича [26], А. М. Залесского [27], И. С. Таева [28]. В этих работах получен целый ряд эмпирических зависимостей физических параметров дуги при различных внешних воздействиях. Данный материал представляет большую ценность на этапе экспериментальной проверки математических моделей дуги.

В настоящее время эмпирический подход находит применение при моделировании работы электрических аппаратов только в лабораториях крупных электротехнических фирм [29], так как, во-первых, при его реализации используется дорогостоящая измерительная аппаратура, во-вторых, проведение самого эксперимента требует значительных затрат материальных ресурсов.

Достаточно строгие теоретические модели дуги были предложены за последние десять лет в связи с быстрыми темпами развития вычислительной техники. Все существующие в настоящее время дуговые модели можно разделить на три основные группы:

1) модели "дугового столба" [30-44];

2) модели процессов в приэлектродных областях [45-59];

3) объединенные модели процессов в дуговом столбе и в приэлектродных областях [60-70].

Модели дугового столба

В основе математической модели дугового столба лежит следующие положение: под дугой понимают объём трехмерного пространства, в каждой точке которого газ является электрически проводящим. Причём предполагается, что в любой точке дуги выполняется условие локального термодинамического равновесия. Выполнение этого условия проверено экспериментально для каждого момента времени существования дуги во всем её объёме, за исключением момента восстановления напряжения дуги до напряжения в сети и областей вблизи электродов [40].

С учётом выше указанного положения дальнейшее построение математической модели дугового столба основано на системе уравнений Навье-Стокса [30-44], которые в свою очередь являются дифференциальными выражениями законов сохранения энергии и импульса. При этом джоулево тепловыделение моделируется через закон Ома, процессы диссоциации, и ионизации в дуге берутся в расчёт через уравнения состояния газовой среды [32, 33], энергетический обмен между стенками дугогасительной камеры и электродами учитываются через граничные условия [35, 36, 39], расчет лоренцевых сил проводится, используя закон Био-Савара [31, 33]. В последнее время появились работы, в которых сделана попытка, обобщить теорию "столба" дуги на основе создания законов подобия для дуговых процессов по аналогии с законами подобия в аэродинамике [44].

Отметим основные недостатки описанной модели. Во-первых, в ней не учитываются влияние процессов в приэлектродных зонах дуги на процессы в её столбе. Аргументом в пользу такого допущения являются малые геометрические размеры (около I мм) катодной и анодной областей дуги, и поэтому их влиянием при макроскопическом описании можно пренебречь. Указанный аргумент не подтвержден ни экспериментально, ни теоретически. Во-вторых, в выше перечисленных работах граничные условия для электрического поля либо совсем не принимаются в расчёт или учтены не полностью. В-третьих, уравнения Навье-Стокса описывают движение потоков газовой среды, но не движения дуговых оснований. Поэтому при моделирований движения дуги в целом должны быть сделаны некоторые предположения о движении дуговых пятен. Эти предположения выбираются, как правило, достаточно произвольным образом [30-44].

Таким образом, существующие математической модели "столба" дуги достаточно полно описывают процессы возникновения гидродинамических потоков, диссоциации, и ионизации, механизмы распространения тепла в области занятой дуговой плазмой. Однако они оставляют открытым вопрос о механизме тепловыделения в дуге и его взаимосвязи с процессами в приэлектродкых областях.

Модели процессов в приэлектродных областях

Следующая группа моделей описывает процессы в приэлектродных областях. Здесь математические модели строятся на основе квантомеханического уравнения Шрёдингера [47, 48] и уравнения энергетического баланса вблизи электродов [46]. Эти модели, в большой своей части, не относятся к самосогласованным моделям, поэтому часть параметров в них, таких как катодное падение напряжения, ток одиночного дугового пятна и ряд других определяют из опыта [45-59]. Указанные теории находятся в стадии разработки.

Объединенные модели процессов в дуговом столбе и в приэлектродных областях

Последняя группа моделей объединяет теории "столба" дуги и её приэлектродных областей. Из-за неопределенности в понимании физических связей между процессами в "столбе" дуги (или областями, где плазма находится в состоянии термодинамического равновесия) с процессами в областях, прилегающих к электродам, к настоящему времени было предложено несколько объединенных теорий дуги и электродов [60-65]. В их основе лежат газокинетические уравнения для трехкомпонентной плазмы (электроны, ионы, нейтральные атомы) [64-68] в различных внешних условиях [67-69]. Основным недостатком этой группы моделей является то, что теории предлагаемые разными авторами не дополняют, а в некоторых своих положениях и противоречат друг другу.

Поэтому использование существующих моделей при расчетах реальных аппаратов является ограниченным и может быть полезным только при оценке некоторых дуговых параметров: проводимости, температуры, приэлектродных падений напряжения, тока уединенного пятна и ряда других. Получение же на основе этих моделей взаимосвязанной единой дуговой модели, в настоящее время, не представляется возможным.

Актуальность темы.

Разработка математических моделей электромагнитных процессов в выключающих аппаратах и эффективных численных алгоритмов расчета их параметров представляют значительный интерес в процессе проектирования новых конструкций. При этом важнейшими требованиями к сильноточному выключателю являются: ограничение температуры нагрева токоведущих частей в номинальном режиме работы аппарата при его минимально возможных габаритах, а также безаварийное отключение токов во всем рабочем диапазоне.

Существующие макроскопические модели дуги, возникающей при отключении токов, учитывают тепловые и гидродинамические процессы в дуговом столбе и процессы в приэлектродных областях, как правило, обособленно друг от друга. Последние работы по объединению этих двух моделей в некоторых своих положениях противоречат друг другу. Поэтому является актуальным поиск подходов к построению единой теории дуги на основе модели распределения электромагнитного поля как источника ее энергии.

Основой задачи определения температуры на выводах выключателя в простейшем случае является модель распределения переменного тока в бесконечно длинных параллельных проводниках. Существующие модели представлены двухмерными интегральными уравнениями. Причем для их однозначной разрешимости требуется задавать не измеряемую экспериментально функцию. Для снижения затрачиваемых машинных ресурсов при численных вычислениях и увеличения точности расчетов представляет интерес сведение задачи к одномерным интегральным уравнениям. При этом для их разрешимости должно быть достаточно измеряемых экспериментально данных.

Решение системы интегральных уравнений (ИУ) типа ИУ Фредгольма первого рода, описывающих электромагнитное поле, относится к классу некорректных численных задач. Для данного класса сложно выбрать алгоритм, не зависящий от каких-либо дополнительных параметров. Поэтому разработка новых численных алгоритмов решения ИУ, учитывающих их специфику, остается актуальной при построении теории электрических аппаратов.

Цель работы.

Целью работы является разработка математической модели основных электромагнитных процессов в выключающих аппаратах на основе интегральных граничных уравнений. Создание модели в себя включает: - вывод интегральных уравнений на основе известных физических законов;

- приведение их к виду, удобному для численных расчетов;

- разработка численного алгоритма решения задачи;

- сравнение результатов вычислений с экспериментальными данными.

Научная новизна работы.

I. Впервые получено одномерное интегральное уравнение, описывающее распределение переменного тока в сечении бесконечно длинных параллельных проводников. На основе этого уравнения создано программное обеспечение, позволяющее определять распределение плотности тока (напряженности электрического поля) в проводниках и их температуру в широком диапазоне изменения параметров: формы сечения проводников, частоты, величин тока и напряжения. П. Представлена новая математическая модель распределения электрического поля в межэлектродной области в присутствии электронейтральной дуги, основанная на представлении дуговых корней в виде конечного числа точечных источников ЭДС. Ш. Разработан новый алгоритм решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученной аппроксимацией интегрального уравнения типа интегрального уравнения Фредгольма первого рода теории потенциала.

Практическая ценность диссертации.

Разработанные в настоящей работе алгоритмы и программное обеспечение внедрены в практическую деятельность на АОЗТ "Контактор" и используются в процессе проектирования новых выключающих аппаратов с улучшенными характеристиками, позволяющими уменьшить габариты, время гашения дуги, эрозию поверхности электродов и др. Кроме того, предложенные модели и алгоритмы могут быть использованы для численных расчетов электрического поля при протекании электрического тока как внутри металлических проводников, так и вне их.

Автор защищает следующие положения.

1. Задача о распределении переменного тока в сечении бесконечно длинных проводников может быть сведена к решению одномерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Решение задачи существует и единственно при условии однозначного задания полного тока в каждом проводнике.

2. Математическая модель электрического поля в присутствии дуги имеет физический смысл только в предположении, что электрический ток непрерывен на границе твердое тело - дуга в конечном или счетном числе точек.

3. Задача о распределении электрического поля в присутствии дуги в плоской геометрии сводится к решению одномерного интегрального уравнения. Оно имеет единственное решение при условии задания тока дуги, напряжения на дуге и ее удельной проводимости.

4. Форма дуги, скорость перемещения ее опорных пятен, повторное зажигание дуги определяются, наряду с другими факторами, распределением электрического поля в области дуги.

5. Алгоритм решения плохо обусловленной СЛАУ, полученной аппроксимацией интегрального уравнения типа уравнения Фредгольма первого рода теории потенциала.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• 42ш международной Холмовской конференции по электрическим контактам (Чикаго, США, 1996г.);

• 7~ международном симпозиуме по токам короткого замыкания в силовых системах (Варшава, Польша, 1996);

• 8Ш международной конференции по дуговым явлениям (Лодзь, Польша, 1997г.);

• 44ш международной Холмовской конференции по электрическим контактам (Вашингтон, США, 1998г.);

• Международной конференции "Электрические контакты и электроды" ЭК-98 (Украина, Крым, 1998г.);

• научных семинарах кафедры "Электрические аппараты" Московского Энергетического Института;

• научных семинарах физико-технического факультета Ульяновского государственного университета.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 13 работах (список работ прилагается).

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, 81 страницы

3.6 Выводы

В настоящей главе предложен численный алгоритм решения интегральных уравнений типа ИУ Фредгольма первого рода в теории

106

0.060 -,

0.040

0.020

0.000

-0.020 ! , г , ] г ! 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 а)

0.030

0.020

0.010

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Ь)

Рис.3.4

Графики приближенного решения & интегрального уравнения для различных значений параметра % при п=400 а) 7 = 1.5; (Ь) % = Ъ. 107

0.016 —I

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

Ь)

Рис. 3.5

Графики приближенного решения а интегрального уравнения для различных значений параметра % при п=100 а) яг = 1.5; (Ь) / = 108

2.5Е-3

2.0Е-3 —

1.5Е-3

1.0Е-3

5.0Е-4

О.ОЕ+О

32 я О

30 *<"9 °48 *47

44

42 °41

40 °39

37 °3б °33 °34 °33

3 4 3 6«

32 31 30 29 28 27 9

13 °14 15

Ъ «

18

20 °21 °22 °23 °24

2б а)

10

12 Ъ

14 °13

17 °18 19 °20 °21 °22 °23 °24 °25 °2«

3 4 3 2 1«

32 31 °50

47 °46

43 9

44 °43 °42 °41 О

40 *39 °38 °37 О

36 °33 °34 °33

27 28 29 30 3 1 32

0.00

20.00

40.00

60.00

Ь)

Рис. 3.6 а) Дискретизация задачи. Число точек п=104. (Ь) Графики для двух численных решений модельной задачи. Непрерывная линия - решение, полученное предложенным алгоритмом. Пунктир - решение, полученное согласно Н. М. Гюнтеру. потенциала. Проведенные численные расчеты модельной задачи показали, что ошибка алгоритма не превышает точности задания машинных чисел.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Аппроксимация ИУ СЛАУ. Точнее, замена интегралов в исходном уравнении на конечные суммы используя некоторую квадратурную формулу Гаусса [3.4]. В настоящей работе для решения модельных задач применялась составная формула прямоугольников.

2. Построение эквивалентной системы с индексом N системе линейных алгебраических уравнений, получившейся в результате аппроксимации задачи. Отметим, что способ построения эквивалентной системы определяет систему линейно-независимых решений соответствующей однородной СЛАУ.

3. Перестановка строк и столбцов в матрице эквивалентной системы.

4. Определение СЛАУ прямого хода эквивалентной системы, используя прямой ход метода Гаусса.

5. Исследование и решение, если оно возможно, СЛАУ прямого хода.

6. Нахождение частного решения эквивалентной системы а(1!>, обратным ходом метода Гаусса, используя найденные решения СЛАУ прямого хода.

7. Нахождение постоянных эквивалентной системы {С, .

8. Определение решения СЛАУ по формуле:

4=1

Заключение

Главными итогами работы явилось создание двух универсальных численных моделей: распределения переменного тока по сечению системы бесконечно длинных проводников и распределения электрического поля между двумя электродами в присутствии дуги. Разработанные численные модели являются основой для расчетов:

1) температуры выводов мощных автоматических выключателей низкого напряжения;

2) дуговых процессов в дугогасительных камерах выключающих аппаратов в широких диапазонах изменения тока, напряжения и удельной проводимости дуги.

Создание модели включает: вывод интегральных уравнений на основе известных физических законов, приведение их к виду, удобному для численных расчетов, разработка численных алгоритмов решения полученных интегральных уравнений, сравнение расчетных значений с экспериментальными.

Основные научные положения и результаты, сформулированные, обоснованные и полученные в настоящей работе заключаются в следующем:

1. Впервые задача о распределении переменного тока в сечении бесконечно длинных проводников сведена к решению одномерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Разработана вычислительная процедура решения полученного интегрального уравнения. Показано, что в случае существования и единственности решения задачи, оно может однозначно определяться заданием значений токов в каждом проводнике, что соответствует условиям проведения тепловых испытаний. Сравнение численного решения с экспериментальными измерениями показало, что отличие между ними не превышает 8 % от экспериментальных измерений.

2. Представлена новая математическая модель распределения электрического поля в межэлектродной области в присутствии электронейтральной дуги, основанная на представлении дуговых корней в виде конечного числа точечных источников ЭДС. Впервые в макроскопической модели дуги учтена непрерывность тока на границе электрод - дуга.

3. Разработан новый алгоритм решения плохо обусловленных СЛАУ. В отличие от существующих алгоритмов, здесь невязка СЛАУ лежит в пределах точности машинного числа и слабо зависит от размеров матрицы системы. Минимизация невязки позволяет "визуально" контролировать численное решение, выбирая при этом из всей совокупности решений одно, наиболее близкое по смыслу задачи. Алгоритм был реализован в вычислительной процедуре для решения задачи о распределении переменного тока.

4. На основе разработанной дуговой модели получены общие зависимости распределения напряженности электрического поля от тока, напряжения, удельной проводимости дуги между двумя электродами, а именно "радиус" дуги, рассматриваемый как максимальный поперечный размер плотности пучка силовых линий вдоль пути протекания тока, зависит: однозначно от значения тока при неизменных значениях напряжения и удельной проводимости дуги, причем "радиус" дуги увеличивается с увеличением тока и, более того, при некотором критическом значении тока понятие "радиуса" дуги теряет смысл, так как часть силовых линий поля в пучке перестает быть непрерывной; однозначно от значения напряжения при неизменных значениях тока и удельной проводимости дуги, причем "радиус" дуги увеличивается с уменьшением напряжения на дуге и при некотором критическом значении понятие "радиуса" дуги теряет смысл, аналогично случаю увеличения тока; однозначно от значения удельной проводимости дуги при неизменных значениях тока и напряжения, причем "радиус" дуги увеличивается с уменьшением удельной проводимости дуги и при некотором критическом значении понятие "радиуса" дуги теряет смысл, аналогично случаю увеличения тока.

5. Для обоснования модели электрического поля в присутствии дуги проведен эксперимент, косвенно подтвердивший адекватность представленной модели.

1. Государственный стандарт Российской Федерации. Низковольтная аппаратура распределения и управления, ГОСТ Р50030.1-92. - М.: Издательство стандартов, 1992.

2. Standard for Safety UL 489. Molded-Case Circuit Breaker and Circuit- Breaker Enclosures. Underwriters Laboratories Inc.

3. International standard CEI-IEC 947-1-88. First edition, 1988.

4. Тимофеев Б. Б. Специальные задачи теории поверхностного эффекта.- Киев: Наукова думка, 1966.

5. Никитенко А. Г., Пеккер И. И. Расчет электромагнитных механизмов на вычислительных машинах. -М.: Энергоатсмиздат, 1985.

6. Чегис И. А. Задача распределения вихревых токов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. № 7. С. 1053.

7. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: "Наука", 1978.

8. Демирчян К. С., Чечурин В. JI. Машинные расчеты электромагнитных полей. - М: Высшая школа, 1986.

9. Залесский А. М., Кукеков Г.А. Тепловые расчеты электрических аппаратов. - JL: "Энергия", 1967.

Ю.Сахаров П.В. Проектирование электрических аппаратов. - М.: "Энергия", 1971.

П.Бессонов JI. А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1964.

12.Нейман Л. Р. Руководство к лаборатории электромагнитного поля. -Госэнергоиздат, 1950.

13.Мукосеев Ю. Л. Распределение переменного тока в токопроводах. - М.: Госэнергоиздат, 1959.

14.Курбатов П. А., Арингин С. А. Численный расчет электромагнитных полей. - М.: Энергоатомиздат, 1984.

15.Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехники. - М.: Энергия,

114

1975.

16.Тозони О.В., Маергойз И. Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. -М.: Энергия, 1975.

П.Немцов М.В. Справочник по расчету параметров индуктивности. - М.: Энергоатомиздат, 1989.

18.Энгель А., Штеенбек М. Физика и техника электрического разряда в газах, т. II / Пер. с нем. под ред. Кагщова Н. А.-М.; Л.: ОНТИ, 1936.

19.Weizel W., Rompe R. Theory electrischer Lichtbogen und Funken - Leipzig, 1949.

20.Mayr O. Beitrag zur Theory der statischen und dynamischen Lichtbogen // AfE, 1943. Bd. 37. C. 588.

21.Mayr O. Iber die Theory des Lichtbogens und seiner Leschung // ETZ. 1943. C. 645.

22.Cassie M. A new theory of arc rupture and circuite severity // CIGRE. 1939. № 102.

23.King-Jet Tseng, Yaoming Wang, Vilathgamuwa D. An experimentally verified hybrid Cassie-Mayr electric arc model for power electronics simulations // IEEE Transactions on Power Electronics. 1997. Vol.12. NO. 3. C. 429.

24.1buki K. An arc model used in analisys of inerruption test of GCBC // in Proc. 9th Int. Conf. Gas Discharge and Their Appl., Venice, Italy. 1988. C. 87.

25.Брон О. Б. Электрическая дуга в аппаратах управления. - М: Госэнергоиздат, 1954.

26.Буль Б. К., Буткевич Г. В. и др. Основы теории электрических аппаратов. -М.: "Высшая школа", 1970.

27.3алесский А. М. Электрическая дуга отключения. - М: Госэнергоиздат, 1963 г.

28.Таев И. С. Электрические контакты и дугогасительные устройства аппаратов низкого напряжения. - М: "Энергия", 1973.

29. Anheuser М. Simulation, verification, and validation of the short circuit switching behaviour of low voltage power circut breakers. // in Proc. 8th Int. Conf on

Switching Arc Phenomena, Lodz. 1997. C. 38.

Модели столба дуги

30.Claessens M., Meller К., Thiel H. G. A computational fluid dynamics simulation of high- and low-current arcs in self-blast circute breakers. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C.1899.

31.Barrault M. Study of the post-recovery current in SF6 circuit breakers. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995. Vol.28. C.1133.

32.Thiel H. G. Modelling of pressure build-up and temperuture distribution in SF6 circuit breakers. // in Proc. 6th Int. Conf. on Switching Arc Phenomena, Lodz. 1989. C.109.

33.Chevrier P., Barrault M., Fievet C., Mafitoul J., Fremillon J. Industrial applications of high-, medium-, and low-voltage arc modelling. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C.1346.

34.Claessens M., Krigel M. Experimental and theoretical investigations of an experimental self-blast circuit breaker. // in Proc. 8th Int. Conf. on Switching Arc Phenomena, Lodz. 1997. C.109.

35.Miller L. Modelling of an ablation controlled arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C. 1305.

36.Рора I., Cautil I. Boundary conditions for quenching chamber modelling in transient regime. // in Proc. 8th Int. Conf. on Switching Arc Phenomena, Lodz. 1997. C.20.

37.Fan H. G., S-J Na, Shi Y. W. Mathematical model of arc in pulsed current gas tungsten arc welding. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C.94.

38.Blundell R. E., Fang M. Т. C. The similarity and scaling of radiating arcs burning in a turbulent, axially, accelerating gas flow. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. C.628.

39.Domejean E., Chevrier P., Fievet C., Petit P. Arc-wall ineraction modelling in a low-voltage circuit breaker. //J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C.2132.

40.Chevrier P., Barrault M., Fievet C. Hydrodynamic model for electrical arc modelling. // IEEE Trans. Power Eng. Rev. 1996. Vol.11. C.1824.

41.Chevrier P., Galley H. A finite-volume scheme for the Euler equations on unstructured meshes. // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 1993. №27. C.183.

42. Chevrier P., Maftoul J. State law equation of a real gas and simulation of electrical arc gas flow interactions. //J. Phys. D: Appl. Phys. 1993. Vol.26. C.949.

43.Fang M. Т. C., Brannen D. A current-zero arc model based on forced convection. // ШЕЕ Trans. Plasma Sci. №7. C.217.

44.Blundell K., Fang M. Т. C., Terril R. M. Similarity and scaling laws for transient low current arcs in a strongly accelerating gas flow. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995. Vol.28. C.2029.

Модели дуговых процессов вблизи электродов

45.Belis I. I. State of the theory of cathode spot phenomena in vacuum arcs. I I in Proc. XVIIth International Symposium on Discharges ana Electrical Insulation in Vacuum, Berkley. 1996. C.188.

46. Teste Ph., Leblanc Т., Chabrerie J-P. Study of the arc root displacement and three-dimensional modelling of the thermal phenomena occurring in a hollow cathode submitted to an electric moving arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995.Vol. 28. C. 888.

47.Gayet R., Harel C., Josso Т., Jouin H. A simple model for cathodic electronic emission enhanced by low-energy ions in high-pressure arcs. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. Vol.29. C.3063.

48.Teste Ph., Chabrerie J-P. Some improvements concerning the modelling of the cathodic zone of an electric arc (ion incidence on electron emission and the 'cooling effect'). // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. Vol.29. C.697.

49.Beilis I, Djakov 3. E., Jettner B., Pursch H. Structure and dynamics of high-current arc cathode spots in vacuum. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. Vol.30. C. 119.

50.Nemchinsky V. A., Peretts L. N. Anode sheath in a high-pressure, high-current arc. // Sov. Phys.-Tech. 1977. №22. C.1083.

51.Nemchinsky V. A. Plasma parameters near a small anode in a high-pressure arc(gas matal arc welding). // J. Phys. D: Appl. Phys. 1994. Vol.27. C. 2515.

52.Nemchinsky V. A. The effect of the type of plasma gas on current constriction at the molten tip of an arc electrode. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. Vol.29, C. 1202.

53.Pokrzywka B., Pellerin S., Musiol K., Richard F., Chapelle J. Observations of electric arc cathode region. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. Vol.29. C.2841.

54.Pellerin S., Musiol K., Pokrzywka B., Chapelle J. Investigation of a cathode region of an electric arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1994. Vol.27. C.522.

55.Pellerin S., Musiol K., Pokrzywka B., Chapelle J., Pawelec E. Spectroscopic investigation of equilibrum state in electric arc cathode region. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.29. 1996. C.2644.

56.Salihou H., Guillot J. P., Abbaoui M., Lefort A. Anode parameters of short arcs at low current. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.29. 1996. C.2915.

57.Krinberg I. A., Lukovnikova M. P. Application of a vacuum arc model to the determination of cathodic microjet parameters. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.29. 1996. C.2901.

58.Yokomuizu Y., Matsumara T., Henmi R., Kito Y.Total voltage drops in electrode fall regions of SF6, argon and air arcs in current range from 10 to 20000 A. I I J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.29. 1996. C.1260.

59. Voget N., Jittner B. Measurements of the current density in arc cathode spots from the Zeeman splitting of emission lines. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.24. 1991. C. 935.

60.Lowke J. J., Morrow R., Haidar J. A simplified unified theory of arcs and their electrodes. //J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.30. 1997. C.2033.

61.Morrow R., Lowke J. J. A one-dimensional theory for the electrode sheaths of electric arcs. //J. Phys. D: Appl. Phys. 1993. Vol.26. C.634.

62.Lowke J. J., Kovitya P., Schmidt H. P. Theory of free-burning arc columns including the influence of the cathode. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.25. 1992. C.1600.

63.Zhu P., Morrow R., Lowke J. J., Unified theory of free burning arcs, cathode sheaths and cathodes. //J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.25. 1992. C.1221.

64.Retheld В., Wendelstorf J., Klein Т., Simon G. A self-consistent model for the cathode fall region of an electric arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.29. 1996. C. 121.

65.Borkowski P., Walczuck E. Introduction to computer simulation of thermal influence of electric arc on contacts during breaking of high currents. // in Proc. 3rd International Conference on Electrical Contacts, Arcs, Apparatus and their Applications. 1997. C.206.

66.Zhong-Jun He, Robert Haug Cathode spot initiation in different external conditions. //J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.30. 1997. C.603.

67.Mitterauer J., Till P. Computer simulation of the dynamics of plasma-surface interactions in vacuum arc cathode spots. // IEEE Plasma Science. 1987. №15. C.488.

68.Benilov M. S. Non-linear heat structures and arc-discharge electrode spots. // Phys. Rev. E. №48. 1993. C.506.

69.Benilov M S., Marrota A. A model of the cathode region of atmospheric pressure arcs. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.28. 1995. C. 1869.

70.Velleaud G., Brdys C., Toumazet J. P., Laurent A. Study of the dynamics of a break arc with a numerical inverse method. // in Proc. 8th Int. Conf. on Switching Arc Phenomena, Lodz. 1997. C.53.

1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частныхпроизводных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

2. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.13 см. 11.14 см. 8.15 см. 15.16 см. 13.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

4. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1976.19 см. 6.

5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1986.1.11см. 12. 1.12 см. [10].

6. Список литературы к главе 2:

7. Mercier М., Laurent A. Study of the movement of an electric breaking arc at a low voltage. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.24. 1991. C. 681-684.

8. Mercier M., Cajai D. Laurent A. Evolution of a low-voltage electric arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.1. 1996. C. 95-99.

9. Haug R., Hahn A. Current trancfer between two parallel electrical arc. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.24. 1991, C. 325-330.24 см. 8.25 см. 1.8.26 см. 28.27 см. 25.

10. Грановский Л. Электрический ток в газах. М: Наука, 1971.

11. Podolsky D., Kapustin V. Study of electrical field between two parallel electrodes with arc at a low voltage. // in Proc. 44 Holm Conference on Electrical Contacts, Arlington, 1998.210 см. 11.211 см. 1.10.

12. Мицкевич М.К., Бушик А.И. и др. Электроэрозионная обработка металлов. Минск, 1988 г.213 см. 1.2.

13. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: Гостехиздат, 1959.215 см. 1.7.

14. Список литературы к главе 3:

15. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.32 см. 1.2.

16. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

17. Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного анализа. М.: ТОО "Янус", 1995.

18. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966.36 см. 2.14.

19. Список опубликованных работ по теме диссертации:

20. V. Kapustin, D. Podolsky, V. Mestcherjakov Arc Penetration to the Arc Chute and Arc Chute Erosion. // in Proc. 42th IEEE Holm Conference on Electrical Contacts joint with the 18th International Conference on Electrical Contacts, Chicago, 1996, C.50-59.

21. V. Kapustin, V. Mestcheijakov, D. Podolsky Arc lifetime in the classicalLcircuit-breaker. // 7 International Symposium on Short-Circuit Currents in Power System, vol.4, Warszava, 1996. C.4.9.1-4.9.3.

22. Д.В.Подольский, В.В.Капустин Расчет электрического поля в системе заряженных тел. // Ученые записки Ульяновского гос. университета. Серия физическая. Теоретическая и экспериментальная физика. Ульяновск: Из-во УГтУ, 1996, в.2. С.94-100.

23. D. Podolsky, V. Kapustin Study of the influence of electric field on the arc backward movements. // in Proc.l 8th Inter. Conf. on Switching Arc Phenomena, 1997, Lodz, C.57-61.

24. В. П. Мещеряков, В. В. Капустин, Д. В. Подольский Физические процессы при отключении низковольтных сильноточных выключающих аппаратов. // Электротехника, №1, 1997. С.30-36.

25. Д. В. Подольский, А. В. Казакевич, В. В. Капустин, В. П. Мещеряков Электрическое поле в дуговом разряде. // Серия физическая: ученыезаписки Ульяновского Государственного Университета, в. 1(3), Ульяновск, 1997. С.23-27.

26. Д. В. Подольский, В. В. Капустин, В. П. Мещеряков, Н.В. Кошелев Изучение электрического поля в присутствии дуги. // Электротехника, №1, 1998. С.9-13.

27. I.D. Podolsky, V. Kapustin Study of electrical field between two parallel electrodes with arc at a low voltage. // in Proc. 44 Holm Conference on Electrical Contacts, Arlington, 1998. C.440-443.

28. С. В. Булярский, В. В. Капустин, Д. В. Подольский, С. О. Яровиков Численный расчет распределения переменного тока в токоведущих контурах электрических аппаратов. // Электротехника, №1, 1999, С. 15-23.