автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости

ьт'

На правах рукописи

Шел истов Владимир Сергеевич

Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата фпгшко-математпчоскнх наук

Краснодар 2011

005001139

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Демёхин Евгений Афанасьевич доктор физико-математических наук,

доцент Жуков Михаил Юрьевич доктор физико-математических наук, доцент Усатиков Сергей Васильевич

Ведущая организация:

Институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 9 декабря 2011 года в 12 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, Краснодар, ул. Ставропольская, д. 149, аудитория 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кубанского государственного университета, с авторефератом на сайте http://www.kubsu.ru/.

Автореферат разослан 7 ноября 2011 г ода.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.101.17, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Динамика и устойчивость топких пленок жидкости привлекали внимание ученых многие десятилетия. Интенсивное изучение указанной проблемы обусловлено, в частности, сё широким техническим применением для осуществления технологических процессов, связанных с тепло- и массообмеиом .между' фазами. Плёночные течения возникают в самых разных масштабах и являются ключевыми в многочисленных областях индустрии, геофизики и биофизики. С теоретической точки зрения исследование волновых движений стимулировало развитие новых отраслей математики, механики и теоретической физики. Основу развития этого направления заложили в своих фундаментальных работах П. Л. Капица, В. Г. Левич, В. Е. Накоряков и В. Я. Шкадов. Фундаментальные исследования данной проблемы в России проведены С. В. Алексеенко. Е. А. Демёхи-ным. А. А. Непомнящим, Б. Г. Покуеаевым, В. В. Пухпачёвым, К). Я. Трифоновым, О. Ю. Цвелодубом; за рубежом — такими исследователями, как Т. Бенджамин, Дж. Бшшн, В.'Бонтозугло, Дж. Голлуб, А. Даклер, С. Пор-тальски, Х.-Ч. Чаи.

Сложность исследования вязких слоев жидкости связана с наличием на поверхности раздела системы волн, которые меняют свою форму в зависимости от расхода жидкости, её физических свойств, геометрии канала, спектра внешних возмущений и т. д. В таких течениях вниз но-потоку, по мере развития возмущений, реализуется каскад неустойчшюстей, соответствующих бифуркаций п нелинейных переходов. При малых и умеренных числах Рей-польдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн. При увеличении числа Решюльдеа двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трёхмерными волновыми режимами, к т. ч. режимом, известным как режим поверхностной турбулентности.

В настоящее время закончился этап исследования двумерных воли, длившийся более шестидесяти лет, и двумерные волны полностью поняты. Иначе ситуация обстоит с трёхмерными волнами, наиболее интересными с практической точки зрения. Ключевую роль в динамике трёхмерных волновых режимов играют А-солитоны, зафиксированные в ряде экспериментов. С теоретической точки зрения трёхмерные волновые режимы явно недостаточно изучены, хотя и выведена упрощённая система уравнений для их исследования система Капицы Шкадова. Для восполнения этого теоретического пробела в настоящей работе исследуется проблема неединственности од-

иогорбых Л-солитонов и их устойчивости. Трёхмерный режим течения является типичным примером детерминированного хаоса: поверхность плёнки покрыта детерминированными когерентными структурами (Л-соллтошшн), которые, однако, хаотическим образом распределены по поверхности плёнки. давая процессу случайную составляющую. Хотя число Рейиольдеа при таком режиме далеко от критического для перехода к обычной турбулентности, поверхность плёнки выглядит очень нерегулярно и поэтому этот ¡»ежим часто называется режимом поверхностной турбулентности.

В настоящей работе впервые создан численный алгоритм для моделирования пространственно-надменного развития трёхмерных волновых структур в стекающей плёнке жидкости. С помощью этого алгоритма исследованы различные волновые режимы и переходы к ним, включая режим поверхностной турбулентности. Помимо разработки специальных численных методой расчёта пространственно-временного развития, исследование потребовало также применения математического аппарата теории бифуркации и теории гидродинамической неустойчивости. В работе теоретически объяснён и описан экспериментальный факт существования трёхмерных двугорбых уединённых волн.

Основной целью диссертационного исследования является моделирование трёхмерных режимов гравитационного стенания плёнок жидкости.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Выполнить анализ н сделать выбор численных методов решения задач динамики стекающей плёнки жидкости.

2. Провести математическое моделирование нелинейной неустойчивости трёхмерных уединённых волн.

3. Исследовать бифуркации мпогогорбых стационарных трёхмерных уединённых воли в стекающей плёнке.

4. Провести численные эксперименты по эволюции трёхмерного волнового точения плёнки при естественных возмущениях на входе.

5. Построит!, математическую модель режима поверхностной турбулентности в стекающем вязком слое и найти характеристики этого режима.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты:

1. Разработаны новые численные алгоритмы получения трёхмерных солн-тонных решений уравнений, описывающих стекающую плёнку.

2. Построена математическая модель, на основе которой впервые объяснены наблюдавшихся в экспериментах трехмерные двугорбые уединённые волны.

3. Разработан и апробщюван новый численный алгоритм для расчёта цространствешю-врсменнбО эволюции трёхмерных возмущенна в стекающих плёнках жидкости.

4. Впервые найдены и теоретически описаны статистические характеристики трёхмерных волновых режимов.

•5. Создала математическая модель режима поверхностно!! турбулентности.

Следующие результаты диссертационной работы выносятся на защиту:

]. Разработка численного алгоритма нахождения трёхмерных стационарных солитоипых решений уравнений, онисывающпх стекающую плёнку.

2. Исследование бифуркационных переходов одногорбых и многогорбых трёхмерных уединённых волн в актнвио-дцссипативных средах.

3. Исследование нелинейной устойчивости многогорбых трёхмерных уединённых волн и стекающих плёнках жидкости.

4. Разработка численного алгоритма моделирования пространственно-временной эволюции трёхмерных волновых режимов течения плёнок жидкости.

5. Изучение структуры и количественных характеристик трёхмерных волновых режимов, в том числе так называемой поверхностной турбулентности.

Научная значимость полученных в диссертационном исследовании результатов заключается в том, что они являются частью общего исследования устойчивости и волновых режимов течения тонких слоев вязкой жидкости. Практическая значимость заключается в возможности использования результатов в многочисленных технических устройствах, иснользующпх тонкие пдёпкп жидкости (тепломассогтереное, химические реакции и т. д.).

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в Кубанском государственном университете, в Южном федеральном университете, в Институте механики МГУ, в Институте теплофизики СО РАН (т. Новосибирск), в НИИ механики л прикладной математики (г. Ростов-на-Дону). В ходе выполнения работы был разработан и зарегистрирован программный комплекс для нахождения стационарных решений уравнений динамики жидкости и газа квазиспектральньш методом |16|. Результаты диссертационного исследования внедрены в работу ОАО "НИПИгазпереработка".

Достоверность результатов настоящего исследования обеспечивается согласованностью результатов, полученных в вычислительном эксперименте, с аналитическими решениями в предельных случаях существующих теорий и известными экспериментальными данными других авторов.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования представлялись на следующих конференциях:

Международная конференция "Environmental Problems and Ecological Safety", Университет Висбадена, Впсбадеи, Германия, июнь 2004 г.;

— IV, V. VI, VIII, X конференции студентов, аспирантов и молодых учёных ФПМ КубГУ "Прикладная математика XXI века", КубГУ, Краснодар, 2004 2010 гг.;

II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов '•Современное состояние п приоритеты развития фундаментальных наук в регионах", Анапа, октябрь 2005 г.;

Третья научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН, Ростов-на-Дону, сентябрь 2007 г.;

Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", пансионат "Университетский" МГУ им. М. В. Ломоносова, Московская область, 24 февраля 2 марта 20Ü8 г.;

— 1-я Европейская конференция по мпкротечепням "Microfluidics 2008", Бо-лоиский университет, Болонья, Италия, 10-12 декабря 2008 г.;

— Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", пансионат "Звенигородский" Российской Академии наук, Московская область, 28 февраля - 7 марта 2010 г.

11 на следующих семинарах:

IV |ш<ола-се%шнар-'Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", КубГУ, Краснодар, 2000 г.;

Семина)) лаборатории природных процессов и сред ЮНЦ РАН, КубГУ, Краснодар, 9 октября 200(1 г.;

XVI школа-семинар Института механики МГУ им. .М. В. Ломоносова ■■Современные проблемы аэрогидродинамики", МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 0 16 сентября 2010 г.

Проведённые исследования были поддержаны научным фондом РФФИ:

..... Российский фонд фундаментальных исследований, проект N2 05-08-

33585-а -Создание теории и математических моделей тснломассопсрсно-са в течениях с поверхностью раздела фаз" (исполнитель), 2005 -2007 гг.;

- Российский фонд фундаментальных исследовали«, проект № 06-01-90017-р_юг_а "Нелинейная динамика трёхмерных солитоиов и поверхностная турбулентность в стекающей плёнке вязкой жидкости" (исполнитель), 2000-2008 гг.

За доклад па международной конференции "НеЗаТЬГиУс и турбулентность" 2010 г. автор удостоен Почётной грамоты лауреата конференции.

Публикации. Основное содержание н результаты исследовании изложены в пятнадцати работах [1-1Гф в том числе в трёх работах М в рекомендованных ВАК журналах. В работах [1 -11,14,15] автору диссертации принадлежит вывод основных соотношении и формул, построение основных алгоритмов решения задачи, составление комплексов программ, получение и

анализ результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит пз введения, четырёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (147 наименований) и двух приложений. Общий объём диссертации - 141 страница, включая 29 рисунков и 7 таблиц.

Краткое содержание работы

Бо введении кратко описана основная проблема, обосновывается ее актуальность, кратко описывается содержание работы.

В первой главе производится предварительная подготовка к последующему исследованию.

В п. 1.1 выписывается безразмерная система уравнений Навьс - Стокса:

описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости, стекающей иод действием силы тяжести (направленной но оси л:) в вертикальной плоскости хО~. Ставятся следующие краевые условия:

у = !х{х,г,1) : П - По + К • \\7е = тпхп.г 4- т„яПу + т,,-«,;

дк дк дк У = о : « = 0.

Здссь и — {и, ь\ ю) — вектор скорости жидкости, П — давление в пей, По — атмосферное давление. По - число Рсйггальдса, \\Гс = 3,/37/Ис5/а число Вс-бера, 7 = 3 — число Капицы, 6 — (1,0,0) — вектор силы тяжести,

Н{х, г, () — профиль поверхности жидкости, К — сё кривизна, п = {щ, щ, из) - вектор внешне!! нормали к этой поверхности, тц — компоненты тензора вязких напряжений. Размерные величины обозначены в работе тильдой: а поверхностное натяжение жидкости, р — её плотность, Р — ее кинематическая вязкость, д — модуль ускорения свободного падения.

Для больших сил поверхностного натяжения задача для системы Навьс - Стокса сводится к упрощенной — системе Капицы - Шкадова (Дсмсхпп, Шкадов, МЖГ, 1984, № 5, с. 21-27):

Ц + = + (1)

01 5 ах п 5 дг I/ 5д ( Ох /г)

- 1 \h-v4 ~ ■ т

еИ + 50а; к 5Ог к ~ Ь6 \ 0г 11

дк д<1 др

Здесь /((.г, г, €) — профиль вышеупомянутой поверхности плёнки, ц{х, г, ¿) и р(х, г, £) — компоненты расхода жидкости в направлениях х и ; соответственно, 5— 11е11^9/(37^9571/3) модифицированное число Рейнольдса, нормированное к расходу подающего жидкость устройства на входе. В дальнейшем будет введено ещё одно модифицированное число Рейнольдса — Д, нормированное по подслою уединённой волны. Связь между Д и 6 приводится в Приложении Б.

В п. 1.2 дастся критический обзор теоретических и экспериментальных работ, касающихся различных аспектов волновых процессов и математического моделирования этих процессов.

Экспериментальное исследование было начато в работах П. JI. Капицы, а теоретические основы были заложены В. Я. Шкадовым. Из обзора делается вывод, что, несмотря на обилие как экспериментальных, так и теоретических работ, ряд вопросов плёночных течений, в частности, связанных с трёхмерными волновыми режимами и переходами к ним, остаётся открытым.

В п. 1.3, исходя из результатов обзора в п. 1.2, формулируется цель работы и оценивается сё научная новизна, даётся информация о публикациях автора и апробации работы.

Во второй главе описываются специфика задачи с точки зрения математического моделирования и встречающиеся сложное™, делается мотивированный выбор численных методов, позволяющих разрешить эти сложности.

В п. 2.1 даётся общий обзор и анализ численных методов, пригодных для решения данной задачи. Обосновывается выбор методов Галёркина для численного построения решений типа трёхмерных стационарных воли. Производится анализ различных полных систем функции. Для нахождения численных решений, сильно меняющихся как во времени, так и но пространству, для больших диапазонов времени и большого пространственного интервала обосновывается выбор дискретного преобразования Фурье но нормальной к направлению течения координате, а по координате вдоль течения особой разновидности разностной схемы — компактной схемы третьего порядка точности.

В п. 2.2 рассматриваются особенности методов Галёркина. Эти методы оказываются предпочтительными для нахождения стационарных трёхмерных когерентных структур. Каждая исходная функция и(х, z) проектируется на заранее выбранные системы ортогональных функций {'гк(х)} 11 где к и I меняются от 0 до некоторого достаточно большого числа, являющегося параметром численного алгоритма. Для нахождения солптопных решений по координате z берутся тригонометрические функции cos(2í - 1); и sin 2/2, а по координате х - тс же функции илн многочлены Чебышсва Тк(х) - cos(ifcarceos х) = соя fc£. При этом координаты исходной системы растягиваются так, чтобы исходная область спроецировалась па область определения выбранных функций. Вместо сеточных значений функции и(х,з) вводятся коэффициенты разложения Ukj, а исходное уравнение переходит в систему па эти коэффициенты. Многочлены Чебьппёва удобны тем, что раз-

ложенис функции но ним на соответствующим образом подобранной сетке х эквивалентно её дискретному косинусному преобразованию на равномерной сетке С. В случае, когда базисные функции не удовлетворяют поставленным краевым условиям, применяется тау-метод: из получаемой системы исключается столько уравнений (обычно на старшие коэффициенты разложения), сколько в неё добавляется уравнений удовлетворения краевым условиям. Решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений осуществляется методом Ньютона. Оно продолжается по параметру для получения всей ветви решения. В частности, рис. 1 построен именно с помощью этого метода.

Рис. 1. Профили трёхмерных одногорбой и многого |>бих уединённых воли

П. 2.3 описывает выбор метода решения нестационарной задачи, который делается в пользу особого конечноразностного метода компактных кояечноразноетным схем, т. к. для большой длины расчётной области спектральные методы не позволяют достичь требуемой точности решения с разумным числом коэффициентов разложения. Приводятся шаблоны, используемые далее в численных экспериментах, и сравнение эффективности этих схем с классическими конечноразиоетными методам.

Как известно, пространственная дискретизация уравнений гидродинамики зачастую приводит к жёстким системам дифференциальных уравнений. Явные методы интегрирования при решении этих систем обычно порождают сильную неустойчивость. Применительно к системе Капицы - Шкадова, ряд схем уже второго порядка аппроксимации по пространству оказываются неустойчивыми, а явной устойчивой схемы выше первого порядка аппроксимации по времени подобрать не удалось.

Схемы высоких порядков аппроксимации сложны для программирования. что препятствует их эффективному применению. Эту проблему удалось разрешить с введением компактных разностных схем. Поскольку выбрана умеренная ширина расчётной области, по координате г применяется дискрет-

нос преобразование Фурье. В результате такого преобразования исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты Фурье исходных функций. Эти коэффициенты, в свою очередь, являются функциями переменной х и задаются на сетке.

Применение чисто неявных схем решает проблему устойчивости, но требует значительных затрат машинных ресурсов для реализации. Такой радикальный способ часто является невыгодным, поэтому для численного решения уравнений динамики жидкости часто применяют полунеявные методы. Эти методы предполагают неявное интегрирование лишь некоторых членов уравнения, к остальным же применяется явный метод. Часто бывает достаточно искусственного выделения из исходных уравнений линейных членов, подлежащих неявному интегрированию в ряде случаев основная жёсткость задачи характеризуется достаточно простым оператором.

Для решения системы Капицы Шкадова применяется полунеявный метод Рунге Кутты третьего порядка, предложенный в работе Никитина (Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2006. vol. 51, pp. 221 233). Для выделения неявной части система линеаризуется в окрестности тривиального (безволнового) решения и из неё исключаются члены высших порядков (которые обычно более устойчивы). Результирующий линейный оператор имеет вид

дт

125 + '¿At dq дх

+

At

56 дх 56 (>6 + 3At dp Ш d2p

dQ

at

At.

56

+

56 dz 6Д t dp о дх

+

5 дхдг -f

дР dt;

дН Л —- - At dt,

dq dp dx dz

(4)

(0)

Сначала методом прогонки решается уравнение (5) относительно коэффициентов Фурье для р. Его решение полностью определяет правую часть (4). которое также решалось методом прогонки относительно коэффициентов для д. Уравнение (0) решалось относительно коэффициентов для /г непосредственной подстановкой.

П. 2.4 освещает методики оптимизации, применяемые автором при организации расчётов трёхмерных волновых режимов, в том числе — параллельное программирование. Анализ последовательности, связи и времяёмкости операций алгоритма позволил разделить их на три вычислительных потока

и достичь примерно двукратного выигрыша в производительности по сравнению с последовательной реализацией.

Третья глава содержит исследование трёхмерных эффектов. На основе методов Галёркина и разностных методов, описанных в предыдущей главе, строятся численные модели для нахождения стационарных и нестационарных трёхмерных решений и исследования их устойчивости.

В п. 3.1 рассматриваются решения типа одно- и многогорбых трёхмерных уединённых волн. Такие решения были найдены для слабонелинейного уравнения Кавахары (7). качественно описывающего целый ряд физических процессов: уединённые волны в плазме, волны Россби, сегрегацию магмы в земной мантии, локализованные волны в жидких кристаллах.

Строится бифуркационная диаграмма решений, показывается существование многогорбых трёхмерных уединённых волн. Двугорбые солитоиные решения уравнения Кавахары продолжаются по параметру таким образом, чтобы в частном случае решение совпадало с предельным решением системы Капицы Шкадова (при Д 0 система Капицы Шкадова может быть сведена к уравнению того же вида, что и (7) при гп = 0). В свою очередь, строятся решения типа двугорбых трехмерных уединённых волн для системы Капицы -Шкадова в широком диапазоне параметров, описывающие реальные режимы на плёнке. На рис. 2 в координатах А — О (где О скорость волны, отнесённая к её подслою) показана бифуркационная диаграмма для системы Капицы - Шкадова. При Д = 0.03 скорость и максимальное отклонение поверхности от жёсткой стенки для одногорбой уединённой волны соответственно равны П — 3,262, /1шах = 1,147. а для двугорбой О = 3,250,

Типичная одногорбая уединённая волна имеет большую искривлённую головку с капиллярной рябыо на переднем фронте и два наклонных "уса" исходящих из головки. Двугорбая уединённая волна имеет ту же структуру, но содержит две головки. Скорости этих уединённых волн оказываются близкими. При Д > 0,051 решения как тина одногорбых, так и типа двугорбых уединённых волн исчезают.

В п. 3.2 построенные решения подтверждаются экспериментальными данными. Правая теоретическая граница существования трёхмерных уединённых волн, имеющая для среднерасходного числа Рейнольдса вид

д3Н

Ох* + Эх'1

= 0.

Ыппх = 1,131.

О 0 02 0 04 0 06 0 00 0 1 012

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма трёхмерных уедиштиых волн в стекающих плёнках жидкости

(Ко) а 380, находится в хорошем соответствии с экспериментальным диапазоном, который оценивается как 400 -т- 500.

В таблице 1 дано сравнение теоретических и экспериментальных скоростей, а па рис. 3 дано сравнение профилей н скоростей двугорбых уединенных воли. Число Рейнольдеа Ее дано здесь в нормировке на подслой волны. Имеется неплохое количественное соответствие теории и эксперимента. Интересно, что теории правильно предсказывает наличие впадины сразу после горба уединённой волны.

Таблица 1. Экспериментальные и теоретические значения скорости двугорбых трёхмерных уединённых волн _

Яс Д <Ъксть мм/с. стеор, мм/с.

2.5 0,035 125 127

3,9 0.061 209 213

4.8 0,078 248 268

В п. 3.3 исследуется поведение малых возмущений трёхмерных уединённых волн при помощи спектрального метода [16|. В силу бесконечности области но пространственным переменным решение системы имеет две части спектра непрерывную и дискретную. Показывается, что одногорбая уединённая волна устойчива, а двугорбая неустойчива к возмущениям дискрет-

а

н

Рис. 3. Двугорбые уединенные волны, Не = 2,2, 7 = 404. Экспериментальная скорость (а) 102 мм/с, теоретическая (б) 113 мм/с

кого спектра на всём интервале своего существования. Для обоих типов волн существует окно .устойчивости к возмущениям непрерывного спектра, т. е. существуют два критических значения. Д* да 0,054 и Д„ « 0,312. определяющих левую и правую границы диапазона устойчивых чисел Рейнольдса, Д. < Д < Дм,. Область неустойчивости для различных 8. в данном расчёте практически совпадающих с соответствующими Д. показана на рис. 4. При 6 —> 0 "пятно" схлоиывается в отрезок х)1 = 0, г/1 = 0. При достаточно больших й (А > 0.4) форма "пятна" перестаёт зависеть от 6. Для меньших 6 "нятно" слегка вытянуто в направлении х. При 6 > 0.081 его профиль теряет свою гладкость и приобретает угловую точку.

В п. 3.4 проводится численное моделирование взаимодействие уединённой волны п порождённых ей возмущений. Вывод спектральной теории устойчивости полностью подтверждается прямым численным экспериментом. рис. -5. Полученные графики также служат наглядной иллюстрацией спектральной теории.

Четвёртая глава описывает численное моделирование пространственно-временной эволюции начальных малых трёхмерных возмущений. Естественной считается эволюция всегда присутствующих в окружающей сре-

Рис. 4. Область коллективной неустойчивости показана штриховкой п координатах х/1 - г/1.

t=132

Рис. 5. Эволюция нелинейного локалпчованлого сигнала при я) Д = 0.035 (неустойчивый случай), б) Д = 0.06 (устойчивый случай)

дс малых случайных возмущений или, как их ещё называют, "комнатных возмущений". Эволюция таких возмущений приводит к наблюдаемым в экспериментах волновым режимам. При достаточно больших значениях числа Решюльдса наблюдается режим "поверхностной турбулентности".

В п. 4.1 уравнения (1) (3) дополняются краевыми условиями, моделирующими случайные возмущения на входе, и "мягкими" краевыми условиями на конце расчётной области. На боковых стенках принимаются условия периодичное™. В качестве начальных условий предполагается, что слой невоз-мущёи. Максимальная длина моделируемой области достигала L = 2500, что для воды составляе т более 2 метров. Число точек но оси х достигало 20-18, а число коэффициентов по оси z — 250. В начальные моменты времени возмущения, распространяясь от входа вниз по потоку, вытесняли невозмущённый участок потока за пределы области. При t = Т() « 50 -f- 90 течение полностью статистически устанавливалось. Анализ результатов расчета начинается с этого времени.

В п. 4.2 моделируются чисто двумерные возмущения, т. е. трёхмерная составляющая полагается равной нулю. На рис. Са представлена типичная картина эволюции сечешгя z = 0 поверхности плёнки h(x,z,t) при значении модифицированного числа Рейнольдса 5 = 0,46. Полный вид поверхности вблизи от входа в канал показан на рис. 66. Волны регулярнзуются на участке О < х < 20 и при 20 < х < 30 представляют собой практически синусоидальные двумерные волны с длиной волны максимального (по лнпейной теории устойчивости) роста. Далее следуют нелинейные стадии эволюции. Вплоть до конца расчётной области возмущения остаются двумерными, поэтому для их характеристики достаточно информации об одной точке z = const.

В п. 4.3 рассмотрена эволюция естественных трёхмерных возмущений, схематически изображённая на рис. Св. Итоговым результатом стало составление универсальной таблицы, где приведены основные стадии эволюции, хорошо совпадающей с экспериментом.

На длине х < L\ возмущения при заданной начальной амплитуде являются графически невидимыми, однако на этом интервале происходит важное явление: наложенный трёхмерный шум впнз по потоку рсгулярнзуется н возмущения становятся квазпдвумернымн п выходят на волны максимального роста с волновым числом от. Расчёты при S = 0,46 показали полную идентичность поведения случаю, когда возмущения па входе были двумерными: рис. 6 при малом уровне шума остаётся без изменений с графической точностью. Трёхмерная составляющая остаётся в латентном состоянии и не видна

[

Рис. б. а) типичная картина эволюции сечении г = 0 поверхности Н{х,г,1) "Р" <5 = 0.46: б) поверхность Н(х,гЛ) вблизи от входа; в) типичная картина эволюции волн вниз по потоку при естественной волнообразовании

на рисунке, она разовьётся ниже по течению. На рис. 7 более тёмные области соответствуют большим амплитудам гармоник в сечении г = 0.

На коротком участке < х < Ь> амплитуда волны насыщается, а форма остаётся синусоидальной. Трёхмерность волны проявляется в небольшой модуляции в поперечном направлении.

На участке Ь, < х < Ь-л происходят двумерные взаимодействия между волнами. В результате этого процесса образуются уединённые волны с большой амплитудой. Процесс по-прежнему квазидвумерен.

На последнем участке. Ь3 < х < £,4, двумерные уединённые волны разрушаются трёхмерными возмущениями. В результате этого распада образуются устойчивые, сильно сцепленные трёхмерные когерентные структуры — трёхмерные одногорбые уединённые волны. В итоге поверхность слоя оказывается покрытой трёхмерными уединёнными волнами-солитонамн и небольшими фрагментами разрушенных двумерных уединённых волн, см. рис. 8а, где приведён вид сверху расчёта типичного режима поверхностной турбулентности при 5 = 0,2.

В п. 4.4 представлена маломодовая модель "солитонного газа . Реальная картина случайного распределения отдельных уединённых волн по по-

Рис. в. а) численный эксперимент фрагмент зоны развитого трёхмерного режима, й - и,2: б) зависимость скорости уединённой волны от модифицированного числа Рейнольдам и бифуркации солитонных решений для б = 0,2 (1), 0,3 (2). 0,4 (3) и 0,5 (4)

X

Рис. 7. Широкополосный шум переходит вниз но потоку и узкую полосу частот около частоты максимального роста

Таблица. 2. Характерные расстояния, на которых реализуются различные волиопые режн-мм

Характеристика интервала Безразмерная длина Ь Размерная длина, мм (вода)

ЛинеПиое поведение = 30 4- 40 3,5 5

НелинеПное насыщение 1-2 = 40 50 О -г б

Зона образования двумерных удлинённых НОЛИ /.;) = 100 4- ЗОО 10 Ч- 35

Распад двумерных уединённых волн к образование трёхмерных I, = 500 4- 700 50 85

керхпостп заменялась регулярнзоваиной моделью их распределения, когда каждой волне приписываются характерные размеры 1Х х 1г. Получены практически важные соотношения, связывающие толщину подслоя уединённой волны, чпело Рейпольдса и среднюю плотность уединённых волн, подвер-ждённые численным экспериментом, в частности, следующее:

—(2034<5\<п<';) - 81,51) = 1 - (8)

О

При (фиксированном размерном расходе на входе, т. е. при фиксированном 6, зная из численного эксперимента 5, можно решить (8) относительно \ и. пользуясь формулами пересчета, найти все критичные параметры равновесной уединённой волны при заданном Д.

На рис. 86 показаны бифуркации солнтонных решений, полученные из численного эксперимента вышеуказанным способом. Полученные зависимости убедительно доказывают, что основной структурной единицей режима поверхностной турбулентное.™ является именно трёхмерная уединённая вол-па Л-солитоп.

Далее перечислены основные результаты диссертации, согласно пунктам, выносимым на защиту, и список цитируемой литературы.

В приложениях приводятся некоторые дополнения, разъяснения и обоснования по задаче. В частности, в приложении А даны физические свойства жидкостей, обычно применяемых в экспериментах, связь между различными параметрами, вопросы пересчёта экспериментальных величин на теоретические и наоборот. В приложении Б рассмотрен пересчёт параметров трёхмерной уединённой волны на параметры системы случайно разбросанных в зоне течения волн с заданной плотностью так называемый солптопиый газ.

Основные выводы и результаты работы

В ходе работы над диссертацией автором было осуществлено моделирование трёхмерных режимов гравитационного стенания плёнок жидкости. Основными результатами работы являются следующие.

1. Выполнен анализ и сделан выбор численных методов решения задач динамики стекающей плешки жидкости.

2. Разработан н апробирован новый численный алгоритм для расчёта пространственно-временной эволюции трёхмерных возмущений в стекающих плёнках жидкости.

3. Проведено математическое моделирование нелинейной неустойчивости трёхмерных уединённых волн.

4. Построена математическая модель, на основе которой впервые объяснены наблюдавшихся в экспериментах трёхмерные двугорбые уединённые волны.

5. Исследованы бифуркации многогорбых стационарных трёхмерных уединённых волн в стекающей плёнке.

6. Проведены численные эксперименты по эволюции трёхмерного волнового течения плёнки при естественных возмущениях па входе.

7. Создана математическая модель режима поверхностной турбулентности в стекающем вязком слое.

8. Впервые найдены и теоретически оинсапы статистические характеристики трёхмерных волновых режимов.

Таким образом, поставленная цель работы была достигнута, поставленные задачи были решены.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации в изданиях из перечня российских рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ

1. К теории трёхмерных многогорбых солитонов в активно-лпесипатпвиых средах / Е. Н. Калайдин, С. М. Шапарь, Е. А. Демёхнн, В. С. Шелнстов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2009. — № 2. — С. 186— 192.

2. Устойчивость трехмерных солнтопов в вертикально стекающих плёнках жидкости / Е. А. Демёхин. Е. Н. Калайднн, С. М. Шапарь, В. С. Шели-стов // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 413, X« 2. - С. 193-197.

3. Шелистов, В. С. Численное моделирование поверхностной турбулентности в стекающем вязком слое / В. С. Шелистов, А. В. Зайцева, Е. А. Демёхин /,/ Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2011. Л'"- 2. С. 62 08.

Публикации в других изданиях

4. Ковардакова, У. В. Моделирование динамики поверхностных уединённых волн разностными схемами второго порядка точности / У. В. Ковардакова, В. С. Шелистов // Прикладная математика XXI века: материалы IV объединённой научной конференции студен тов и аспирантов факультета прикладной математики. Краснодар: Кубанский государственный университет. 2004. С. 17 19.

5. Ковардакова, У. В. Моделирование динамики поверхностных уединённых волп разностными схемами второго порядка точности / У. В. Ковардакова, В. С. Шелистов // Вестник СНО КубГУ.- 2005,- .V» 7.-С. 80 81.

6. Ковардакова, У. В. О распаде двумерных уединённых волн / У. В. Ковардакова, В. С. Шелистов // Прикладная математика XXI века: материалы V объединённой научной конференции студентов и аспирантов факультета прикладной математики. Краснодар: Кубанский государственный университет. 2005. С. 28 29.

7. Ковардакова, У. В. О распаде двумерных уединённых волн / У. В. Ковардакова, В. С. Шелистов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды 11 Всероссийской научной конференции молодых учёных н студентов. — 2005. — С. 105.

8. Ковардакова, У. В. Моделирование распада двумерных уединённых волн / У. В. Ковардакова. В. С. Шелистов // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: материалы IV школы-семинара, — Краснодар: Кубанский государственный университет. 2006. С. 110 112.

9. Ковардакова, У. В. О конвективной устойчивости трехмерных уединённых волн / У. В. Ковардакова, В. С. Шелнстов // Прикладная математика XXI века: материалы VI объединённой научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий н прикладной математики. Краснодар: Кубанский государственный университет. 2006. С. 37-39.

10. Ковардакова, У. В. О распаде двумерных уединённых волн / У. В. Ковардакова, В. С. Шелнстов // Вестник СНО КубГУ. 200С. № 8. С. 9 10.

11. Шапарь, С. М. Исчезновение двумерных соллтонов в стекающих плёнках жидкости и теорема Шилышкова / С. М. Шанарь, В. С. Шелнстов /,/ Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность".— М.: Издательство Московского университета. — 2008. — С. 140.

12. Шелистов, В. С. К неустойчивости жидкости в микроканалах / В. С. Шелнстов // Прикладная математика XXI века: материалы VIII объединенной научной конференции студентов н аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар: Кубанский государственный университет. 2008. С. 09 70.

13. Шелистов, В. С. К исследованию поверхностной турбулентности на тонких плёнках вязкой жидкости / В. С. Шелистов // Прикладная математика XXI века: материалы X объединенной научной конференции студентов н аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. — Краснодар: Кубанский государственный университет. — 2010.-С. 81-82.

14. Шелистов, В. С. Численное моделирование поверхностной турбулентности / В. С. Шелистов, Е. А. Демёхпн // Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". М.: Издательство Московского университета. 2010. С. 165.

15. Pollutaut t-rausfer by 3D localized coherent structures of surface turbulence / E. A. Dcraekliiu, E. N. Kalaidin, S. Yu. Vlaskin, V. S. Shelistov // Environmental Problème and Ecological Safcty. — Wiesbadcn, Germany. — 2004. — Pp. 22 30.

Патенты н авторские свидетельства

16. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Х« 2011017597 Программный комплекс "Квазпспектралыюе моделирование динамики жидкости" / В. С. Шелпстов, А. В. Лебедева, Е. А. Дс-мехпн; заявитель и правообладатель: ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный университет'. X» 2011015901; заявл. 4 августа 2011 г., зарег. 29 сентября 2011 г.. Реестр программ для ЭВМ.

f

j

Шелистов Владимир Сергеевич

Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03.11. 2011. Формат 60.84 i/ió. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №891

Кубанский государственный университет Центр "Универсервис", тел. 219-95-51 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская 149.

Введение.

1 Математическая формулировка проблемы и её современное состояние.

1.1 Постановка задачи и основные уравнения, описывающие течение слоя жидкости

1.2 Обзор предшествующих теоретических и экспериментальных результатов.

1.3 Цель и задачи работы.

2 Численные методы решения.

2.1 Обзор решаемых задач и методов

2.2 Особенности применения методов Галёркина для описания волновых структур.

Волны в жидкости весьма разнообразны. Огромные океанские волны, волны, возникающие при движении морских судов, гидравлические прыжки, бора — вот лишь некоторые из широко известных практически видов волновых движений. Отдельный интерес представляют волны в плёночных течениях. Динамика и устойчивость тонких плёнок жидкости привлекали внимание учёных многие десятилетия. Наблюдения за регулярными волновыми структурами в плёночных течениях по поверхности оконного стекла или по жёлобу, группирование капель на несмачиваемой поверхности и "языкообразование" в вязких струях по наклонной поверхности — всё это встречается в повседневной жизни. Плёночные течения возникают в самых разных масштабах и являются ключевыми в многочисленных областях индустрии, геофизики и биофизики. Сюда же следует отнести нано-и микроплёночные течения, нанесение покрытий, потоки лавы, динамику континентальных ледников, высыхание плёнки слезы в глазах и специальный метод замены тканей в медицине с применением ПАВ. Известно широкое применение плёнок жидкости в таких массообменных аппаратах, как абсорберы, ректификационные колонны, кристаллизаторы, электролизёры. В холодильной технике плёночные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладоагентов. Плёнки жидкости используются в биореакторах для осуществления биохимических реакций. Скрубберы с орошаемыми стенками применяются для получения растворов газов (например, абсорбция паров хлороводорода водой), разделения газовых смесей (абсорбция бензола при производстве кокса), очистки газов от вредных примесей, улавливания компонентов газовой смеси. Описание многих практических применений проблемы приведён, в частности, в монографии

Воронцова и Тананайко [5] и недавней работе Крастера и Матара [103]. В новых статьях [108,122,131] также продолжается исследование некоторых аспектов трёхмерных течений плёнок жидкости.

С теоретической точки зрения исследование волновых движений стимулировало развитие новых отраслей математики, механики и теоретической физики. В частности, исследование волновых течений тонких слоёв вязкой жидкости с поверхностью раздела является одним из важнейших направлений гидромеханики. Основу развития этого направления заложили в своих фундаментальных работах П. Л. Капица [25,26], В. Г. Левич [35], В. Е. Накоряков [1,36-38,57,80] и В. Я. Шкадов [73,74,76,78]. Фундаментальные исследования данной проблемы в России проведены С. В. Алексе-енко, Е. А. Демёхиным, А. А. Непомнящим, Б. Г. Покусаевым, В. В. Пухна-чёвым, Ю. Я. Трифоновым, О. Ю. Цвелодубом [9-17,40-45,50-53,56,59,64], а за рубежом — такими исследователями, как Т. Бенджамин, Дж. Винни, В. Бонтозугло, Дж. Голлуб, А. Даклер, С. Портальски, Х.-Ч. Чан [88-93,101,102,115-117,126,127,133,138,139]. Обзор экспериментальных и теоретических работ и методов можно найти в монографиях [2,75,94].

Сложность исследования вязких слоёв жидкости связана с наличием на поверхности раздела системы волн, которые меняют свою структуру и форму в зависимости от расхода жидкости, её физических свойств (поверхностное натяжение, вязкость и т. п.), геометрии канала, спектра внешних возмущений и т. д. По типу задача течения вязкого слоя относится к открытым течениям типа течения Пуазейля или пограничного слоя. В таких течениях вниз по потоку, по мере развития возмущений, реализуется каскад неустойчивостей, соответствующих бифуркаций и нелинейных переходов. При малых и умеренных числах Рейнольдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн, периодических или независимых локализованных образований солитонного типа. При увеличении числа Рейнольдса двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трёхмерным волновым режимом, в основе которого лежат трёхмерные когерентные локализованные структуры — трёхмерные уединённые волны или так называемые Л-солитоны. Хаотическое взаимодействие этих детерминированных структур приводит к режиму, известному как режим поверхностной турбулентности [94,108,122,131].

В настоящее время закончился этап исследования двумерных волн, длившийся более шестидесяти лет, начиная с экспериментальных работ П. Л. Капицы, и более сорока — с работ В. Я. Шкадова. Двумерные волны можно считать понятыми теоретически. Иначе ситуация обстоит с трёхмерными волнами. Эти волны наиболее интересны с практической точки зрения, т. к. в интервал чисел Рейнольдса, где они реализуются, попадает большая часть плёночных режимов в индустрии (см., например, [5]). В настоящее время выяснено, что ключевую роль в динамике трёхмерных волновых режимов играют Л-солитоны [46,47,140,141], они зафиксированы в экспериментах [21-23,56,142], где также измерены их характеристики, такие как амплитуда, скорость и профиль. С теоретической точки зрения трёхмерные волновые режимы явно недостаточно изучены, хотя и выведена упрощённая система уравнений для их исследования — система Капицы - Шкадова [25,26,73-75]. Для восполнения этого теоретического пробела в настоящей работе исследуется проблема неединственности одногорбых Л-солитонов и их устойчивости. Трёхмерный режим течения является типичным примером детерминированного хаоса: поверхность плёнки покрыта когерентными структурами (Л-солитонами), которые, однако, хаотическим образом распределены по поверхности плёнки, давая процессу случайную составляющую. Хотя число Рейнольдса при таком режиме далеко от критического для неустойчивости Толлмина - Шлихтинга и обычной турбулентности, поверхность плёнки выглядит очень нерегулярно и этот режим часто называется режимом поверхностной турбулентности.

В настоящей работе впервые создан численный алгоритм для моделирования пространственно-временнбго развития трёхмерных волновых структур в стекающей плёнке жидкости. С помощью этого алгоритма исследованы различные волновые режимы и переходы к ним, включая режим поверхностной турбулентности. Помимо разработки специальных численных методов расчёта пространственно-временнбго развития, исследование потребовало также применения математического аппарата теории бифуркаций и теории гидродинамической неустойчивости. В работе теоретически объяснён и описан экспериментальный факт существования трёхмерных двугорбых уединённых волн.

Настоящая диссертация состоит из введения, четырёх глав, обоснованного заключения, списков литературы и используемых обозначений и двух приложений.