автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование производственных функций со случайными аргументами

На правах рукописи

I

НАЗАРОВА Наталья Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ АРГУМЕНТАМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2005

Работа выполнена в Пензенской государственной технологической академии на кафедре "Прикладная математика и исследование операций в экономике".

Научный руководитель - кандидат технических наук,

профессор Зубков А.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Голованов O.A.; кандидат физико-математических наук, доцент Моисеев A.B.

Ведущая организация - институт статистики и эконометрики Московского государственною университета экономики, статистики и информатики.

Защита диссертации состоится "abf " — 2005 г.

в " " часов на заседании диссертационного совета KP 212.337.48 при Пензенской государственной технологической академии по адресу: 440605, г. Пенза, пр. Байдукова / ул. Гагарина, 1а / 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пензенской государственной технологической академии.

Автореферат разослан /¿¿ьЩьЯ— 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, доцент / __ С. Б. Демин

Ш7725

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Эффективное планирование производства, прогнозирование выпуска продукции, повышение конкурентоспособности являются одними из главных задач современных предприятий.

Использование математического моделирования помогает выделить и описать наиболее важные, существенные связи экономических объектов, оценить параметры производства. Производственные функции (ПФ) используются как полезный инструмент, позволяющий проводить аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать объём выпуска продукции и контролировать реальность плановых проектов.

Понятие ПФ введено в 1928 г. американскими учёными Коббом и Дугласом. Значительный вклад в развитие теории производственных функций внесли работы фон Неймана, В. Леонтьева, Р. Солоу, А. Клейна, А. Михалевского, Р. Сато, Дж. Хикса, JI. Терехова, Г. Клейнера и многих других отечественных и зарубежных учёных.

Используемые в настоящее время ПФ подразделяются на классы в зависимости от особенностей производственных отношений и используемого инструментария: микро- и макроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические, детерминированные и стохастические.

В работах современных отечественных и зарубежных учёных широко представлены виды детерминированных, статических, макроэкономических ПФ (Г.Б. Клейнер, В.А. Макаров, P.JI. Раяцкас, Е.К. Смир-ницкий, Е.Г. Голыптейн), динамические и статические оптимизационные задачи (Е.З. Демиденко, Ю.П. Иванилов, A.B. Лотов, Л.В. Канторович, Н.Е. Кобринский), прикладные эконометрические функции (К. А. Багриновский, В.П. Бусыгин, А.Г. Гранберг, А.И. Гладышевский). Наиболее малоизученными являются ПФ в вероятностной форме описания реальных процессов.

Интенсивному внедрению ПФ для описания производственных процессов препятствует отсутствие методик расчёта основных параметров производства с учётом их случайного характера.

Сказанное обуславливает актуальность выбранной темы диссертации, ее цели и задачи, научную и практическую значимость.— .

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА 1

¿-дал]

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение математической модели производственных функций со случайными аргументами, разработка методик использования полученной математической модели для оценки функционирования предприятия.

В соответствии с целью исследования в диссертационной работе поставлены и решены следующие основные задачи:

1) проведен анализ различных видов представления ПФ;

2) выполнено моделирование ПФ со случайными аргументами для оценки эффективности производства и принятия управленческих решений;

3) разработана методика определения параметров ПФ и прогнозирования их изменения на основе ограниченного статистического материала;

4) предложена динамическая производственная функция, обоснован подход к определению характеристик производства на ее основе;

5) разработана методика построения динамической производственной функции с учетом вероятностных законов распределения аргументов и неполной статистической информации о параметрах производства;

6) разработаны программы для определения характеристик моделируемых функций и оценки работы предприятий.

Методы исследования. Работа выполнена с использованием положений теории вероятностей и математической статистики, математического моделирования, теории функций и экономического анализа, численных методов.

Математическое моделирование ПФ проводилось с использованием программ, разработанных автором с учётом особенностей решаемых задач.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

1. Впервые предложена математическая модель на основе ПФ со случайными аргументами.

2. Построена математическая модель динамической ПФ с целью получения прогнозных оценок развития производства.

3. Разработанная функция плотности распределения выпуска продукции позволяет определить объём производства в зависимости от основных фондов и трудовых ресурсов, то есть прогнозировать с заданной вероятностью получение продукта производства.

4. Созданы методики построения разных видов ПФ с вероятностными аргументами на основе неполных статистических данных и их программная реализация.

Практическая ценность. Разработанные методики и результаты исследования могут быть применены экономистами-аналитиками для моделирования производственных процессов с целью получения прогнозных показателей и обоснования решений для повышения эффективности промышленных предприятий.

Реализация и внедрение результатов. Материалы диссертации нашли практическую реализацию на предприятии нефтехимического машиностроения ОАО "Пензтяжпромарматура". На основе моделирования с использованием предложенной динамической производственной функции при неполной статистической информации о параметрах производства получены прогнозные оценки выпуска изделий и разработаны рекомендации по повышению конкурентоспособности предприятия.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Обоснование целесообразности применения математического аппарата стохастического моделирования для построения производственных функций.

2. Математическая модель описания работы промышленного предприятия со случайными аргументами динамической производственной функции.

3. Методика математического моделирования динамического характера развития производства на основе производственных функций со случайными параметрами.

4. Методика оценки весовых коэффициентов основных аргументов производственной функции на основе ограниченной статистической информации.

5. Программная реализация определения характеристик моделируемых функций.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных Международных научно-технических конференциях "Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании" (г. Пенза, 2003-2005), IV Международной научно-практической конференции "Экономика, экология и общество в 21-м столетии" (г. Санкт-Петербург, 2001), Международной научно-практической конференции "Глобальные тенденции

в статистике и математических методах в экономике: наука, практика и образование" (г. Санкт-Петербург, 2004), III Всесибирском конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2004).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 17 работах, из которых 2 учебных пособия, 3 статьи и 12 тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации 151 страница, в том числе 125 страниц основного текста, 21 рисунок и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследований.

В первом разделе рассмотрены модели для описания социально-экономических процессов, проанализированы основные свойства ПФ. Показана возможность использования ПФ со случайными аргументами для решения задач исследования и прогнозирования работы предприятий, рассмотрены её основные свойства.

Производственная функция позволяет получить оценку производства на основе аналитических зависимостей вида

y = f(xl,x2,...,xn,ax,a2,...,an) = fa(< х), (1)

где у -объёмный показатель выпуска; ах,а2,...,ап -параметры производственной функции; хх,х2,...,хп -объёмные показатели производственных ресурсов; х = (хх,х2,...,хп)~вектор ресурсов, а = (ах,а2,...,ап)~вектор параметров.

Цель моделирования с использованием ПФ состоит в получении характеристик выпуска продукции в конкретных условиях действующего предприятия и направлена на решение следующих задач:

1) прогнозирование выпуска продукции при различных вариантах развития предприятия или в зависимости от наличия ресурсов;

2) определение эффективности использования ресурсов и целесообразности их дополнительного вовлечения в сферу производства;

3) получение комплекса количественных оценок для принятия управленческих решений.

В настоящее время существует четыре варианта концепции производственной функции как экономико-статистической модели процесса производства продукции:

1) вероятностная, согласно которой ПФ рассматривается как математическое ожидание случайной величины выпуска продукции при заданных ресурсах (Е.З. Демиденко);

2) мажорантная (оптимизационная), где считается, что ПФ выражает максимально возможный объём выпуска при заданных объемах ресурсов (А.Г. Гранберг);

3) мажорантно-вероятностная, в которой ПФ используется для получения вероятной верхней границы объема выпуска (А.И. Гладышевский);

4) детерминированная концепция рассматривает в качестве аргументов ПФ жесткие функциональные связи между переменными модели (Г.Б. Клейнер).

Эти формы представления производственных функций не позволяют учитывать как динамику систем, так и их случайные изменения параметров. Известные экономико-математические модели, как правило, базируются на производственных функциях с детерминированными параметрами. Однако во многих реальных системах, из-за непредсказуемости развития экономических отношений, значения прошлого труда в форме производственных фондов К и настоящего труда в виде трудовых ресурсов Ь носят случайный характер. В связи с этим актуальна задача построения математической модели в виде производственной функции, учитывающей вероятностный характер изменения формирующих её аргументов.

Во втором разделе предложена схема построения плотности распределения производственной функции. Получены плотности распределения производственной функции при различных законах распределения аргументов: нормальном, равномерном и экспоненциальном; для композиции распределений.

Для производственной функции с вероятностными аргументами вида

Х(К,Ь) = А{К - К0Г + В(Ь -Ы (2)

рассмотрена общая схема построения плотности распределения на основе композиции случайных величин К и Ь (рисунок 1).

Рисунок 1 - Построение плотности распределения

В соответствии со схемой построения получены следующие виды плотности распределения производственной функции:

1) равномерное распределение прошлого К и настоящего Ь труда

/(*) =-- | V (*-*,) 4 (3)

(Ь-а)2Аа'Ва> а,а2

2) нормальное распределение прошлого К и настоящего L труда

AB

4 <4 *1 ■ *2

2%a.a,araI

I 2 Xj

x,"' -2a V (,x-x,)">-2a (x-*,)al

2ci

2oi

dxy\ (4)

3) композиция экспоненциального распределения прошлого труда К и равномерного распределения настоящего Ь труда

ь hü

-—— Jjc, ' (JC-JC,)"2 е

dx}(5)

{b - ä)ala.2Aai Ваг 0

Для проверки правильности построения функции плотности использовалось основное свойство функции плотности, которое справедливо для построенных функций.

Исследование поведения плотности распределения случайной величины Х- результата производственной деятельности, зависящего от случайного характера основных фондов К и трудовых ресурсов/,, при изменении предельных показателей а,, а2 (эластичности по фондам и по труду) выявило следующие заюномерности.

1. Если а. = 0 или а, = 0, то lim f(x) =

1 L sv.—ьЛ

о

= оо, следовательно, эла-

стичности по фондам и по труду принимают значения а, > 0, а2 > 0.

1 ~

2. Если а. -> оо или а, -»оо, то lim f{x) =

1 + п.-мо

00

= 0.

3. При выполнении равенства а, = а2 = 1 плотности распределения ограничиваются конкретными значениями, зависящими от параметров производственной функции.

4. Если один из показателей эластичности а, = 1 или а2 = 1, то плотности распределения также ограничены конкретными значениями, учитывающими значение второго показателя эластичности.

5. Для неравенств 0<а,<1 и0<а2<1 справедливы соотношения 1-а, Л 1-а2

-> 0 и-> 0, следовательно, происходит увеличение прироста

а, а2

объёма производства.

1-а

6. Если а. >1 и а, >1, то выполняются неравенства -!-<0 и

а,

-—— < 0, прирост объёмов производства замедляется. а2

Таким образом, полученная функция плотности распределения /(х) позволяет определить объём производства в зависимости от основных фондов и трудовых ресурсов, то есть прогнозировать с заданной вероятностью получение продукта производства с учётом

х

Р(0<Х<х')= ¡/(х)с1х. (6)

о

Значение вероятности получения определённого количества продукции для каждого предприятия /) (/= 1,и) позволяет сравнить возможности производителей при принятии управленческого решения на

р —

основе коэффициента предпочтения —'- = / ^ у): Р

- если — > 1, то следует отдать предпочтение предприятию г;

р. 1

- если — < 1, то заказ следует разместить на предприятии у.

Проранжированные таким образом предприятия образуют иерархическую структуру, использование юэторой позволяет выявлять предприятия с низким уровнем рентабельности и принимать управленческие решения по их ликвидации или вложению инвестиций для развития производства, а также анализировать эффективность производственной деятельности остальных предприятий.

Статические производственные функции, описывающие поведение экономических объектов, не зависят от времени. Они также используются для предварительно заданных моментов времени, например, с определённым шагом (месяц, квартал, год).

Динамические модели развития позволяют получать зависимость характеристик производства от времени.

В работе осуществлён переход от статической мультипликативной производственной функции

Х = АКаЧа> (?)

к динамической

X' К' V

— = а, — + а,—

X 1К 2 Ь

С использованием уравнения (8) и модели Солоу разработана динамическая форма представления производственной функции.

(1Х_ Л

= а, —+ а2 —. (8)

(9)

где /-поток инвестиций в производство; v-годовой темп прироста числа занятых в производстве; |х - доля выбывших за год основных производственных фондов.

Уравнение динамики основных фондов в модели (9) имеет вид

dK

— = -К\1 + Хр, (10)

at

где р-норма накопления.

По результатам исследования решений уравнения (10) можно сделать следующие выводы:

1) если— = — ,тоК = К'= const, отсутствует развитие основных

К р

фондов производства (стационарный процесс);

X IX Ц

2) из условия —>— уменьшение величины — соответству-

К р р

ет увеличению основных фондов, что позволяет развивать рентабельное производство;

X и. и

3) в случае — < — увеличение значения — влечет уменьшение основ-

К р р

ных фондов и с течением времени возможно прекращение производства.

Решения дифференциального уравнения (10) при конкретных значениях параметров р иц позволяют определить величину основных фондов в заданный момент времени, прогнозировать развитие производства.

В третьем разделе разработаны методики:

- построения ГТФ со случайными аргументами, имеющими различные законы распределения;

- построения динамической ПФ со случайными аргументами с использованием неполных статистических данных о промышленном предприятии.

Для определения весовых коэффициентов (показателей эластичности) по фондам и по труду предлагается использовать выражение производственной функции в относительных показателях

X

Х0

а1 М а2

<Ко) < А>,

(П)

где Х0,К0,Ь0 -значения соответственно выпуска продукции, основных фондов и трудовых ресурсов в базовый период.

При расчёте параметра а2 используются статистические данные о количестве занятых в производстве и о стоимостном выражении выпуска продукции.

Графическое представление относительных значений величины выпуска продукции и количества занятых в производстве с течением времени позволяет определить динамику этих показателей, выявить основные тенденции развития.

С целью определения взаимосвязи объёма выпуска продукции и количества занятых в производстве X = Х(Ь), выбирается зависимость и определяются её параметры по методу наименьших квадратов.

Исходя из соотношений

дХ X дХ

— = а2— или — = '£Ф, (12)

оь Ь оь

находится коэффициент эластичности по труду а2.

С другой стороны, исследуя производственную функцию с использованием метода наискорейшего градиентного спуска, получаем направление наибольшего роста в каждой точке (К,Ь), которое задаётся век-

тором-градиентом F =

дХ дХ

. Совокупность векторов-градиентов

м дЬ,

определяет линии наибольшего роста производственной функции, уравнение которых представлено в виде

дК дЬ

(13)

Для мультипликативной производственной функции уравнение (13) имеет общее решение

а2(Г-^02) = а,(/,2-Х^). (14)

При полученном значении эластичности по трупу а2, с учётом уравнения (14), составляется система уравнений для определения а,:

Х_ Хп

а

К_ г „

/ т \«2

К

\ко;

-1

3.

К1

(15)

и

Затем производится построение множественных линейных регрессионных моделей для определения степени влияния факторов на изменение эластичностей а,, а2. Выполняется проверка статистических гипотез о значимости рассчитанных параметров.

Д ля апробирования предложенной методики построения ПФ со случайными аргументами были использованы статистические данные об объёме выпускаемой продукции и количестве занятых в производстве за 1999-2003 годы на примере промышленного предприятия нефтехимического машиностроения ОАО "Пензтяжпромарматура".

Стоимостные показатели были пересчитаны в сопоставимые цены на начало 2003 г. Для этого на основе данных об объёме выпускаемой продукции за 2003 г. был найден корректировочный коэффициент, с помощью которого получены сопоставимые значения объёма выпускаемой продукции.

Аппроксимация зависимости выпуска продукции и количества занятых в производстве от времени позволила выявить основные тенденции и исследовать динамику показателей работы предприятия. Трендовая модель выпуска продукции от времени имеет вид

= 0,007/6 +0,0005^-0,002?4+0,0551г3 -

-0,601/2 + 1,2856^ + 102,68, (16)

где коэффициент детерминации Я2 =91,55 %.

Зависимость количества занятых в производстве от времени имеет вид

ДО = 0,00007/5 + 0,0002/4 - 0,0119/3 + 0,3346*2 - 3,4187/ +105,9, (17)

где коэффициент детерминации Я2 = 87,17 %.

Проверка моделей (16), (17) по критерию Фишера показала, что (4,03 <115,13) и /\абл (4,03 <394,07), следовательно, уравнения регрессии (16) и (17) с вероятностью Р = 0,95 являются статистически значимыми.

Оценка адекватности построенных моделей (16) и (17) выполнялась на основе проверок: по критерию пиков; по Я/Б-критерию; на основе /-критерия Стьюдента; по ^-критерию Дарбина - Уотсона. Проверки дали положительный результат.

Точность моделей (16) и (17) оценивалась с использованием средней относительной ошибки Еоти. Для модели (16) Ети =3,1%, для модели (17) Ёт =5,3%.

На следующем этапе была построена линейная зависимость выпуска продукции от количества занятых в производстве, которая имеет вид Х{Ь) = 167,5252-0,65521, (18)

где гхь =-0,34, /г = 7,99, ^та6л < ^ (4,00 < 7,99), Ё0Т„ =6,4 % .

Уравнение регрессии (18) с вероятностью Р = 0,95 является статистически значимым, адекватным описываемому процессу. Расчётные значения объёма выпускаемой продукции Хр отличаются от фактических

на 6,4 %, при этом наблюдается слабая обратная взаимосвязь между исследуемыми показателями.

В результате расчётов на основе статистически значимых, адекватных моделей была получена производственная функция

X = 1.98АГ0 "4°521. (19)

Установлено, что значение эластичности по фондам превосходит эластичность по труду а, > а2. Следовательно, имеет место трудосберегающее (интенсивное) направление развития предприятия за исследуемый период. Суммарное значение эластичностей превосходит единицу а, + а2 = 1,072 > 1, вследствие этого, увеличение объема выпуска продукции опережает рост основных фондов и трудовых ресурсов.

Согласно модели (19), фондовооруженность производства к = 5,48, норма замещения труда фондами ^ =5,28, что характерно для устойчивого экономического роста.

С использованием модели (19) была определена динамическая производственная функция предприятия

/

0,551

К

+ 0,52 IV

X. (20)

¿Г Л

Для решения дифференциального уравнения (20) использовался численный метод Булирша- Штёра. Изменяя значения доли выбывших за год основных производственных фондов ц и годового темпа прироста количества занятых в производстве V при неизменной величине отношения инвестиций к основным фондам получили зависимость

К

объема выпуска продукции от времени (рисунок 2).

40 60

t (мес )

Рисунок 2 - Динамика выпуска продукции Анализ решений уравнения (20) позволяет выявить тенденции развития предприятия:

1)если а,

личивается;

К

> 0, а2У > 0, объём выпуска продукции уве-

2) из условия а, | -ц + —

К

< 0, а2У < 0 следует, что происходит

снижение объёма выпуска продукции и с течением времени возможно его прекращение;

3) при а, отсутствует;

К)

4) в случае, когда «1 [ -Ц + —

: а2у = 0 прирост объема выпуска продукции

о.2у имеют разные знаки, рост

производства наблюдается при большем по абсолютной величине значении.

Таким образом, для прогноза развития выпуска продукции необходимо использовать соотношения значений выражений

' I

-Ц + —

К

Для проверки модели (20) использовались статистические данные предприятия ОАО „Пензтяжпромарматура" за 2004 г. Получена динамическая ПФ

^ = [0,551(-0,1 + 0,15) + 0,521 0,02]Х. (21)

Средняя относительная ошибка составила 5,61 %, что свидетельствует о точности модели (21). Следовательно, динамическая производственная функция (21) является адекватной ряду динамики и достаточно точной для построения краткосрочного прогноза.

Были получены следующие прогнозные значения объёма выпуска продукции на 2005-2006 год (таблица 1, рисунок 3).

Таблица 1 - Прогноз выпуска продукции в 2005-2006 гг.

X, тыс. руб. 4200 4250 4290 4340 4380 4430 4480 4520

1, мес. 1 2 3 4 5 6 7 8

X, тыс. руб. 4570 4620 4670 4720 4760 4810 4860 4920

1, мес. 9 10 11 12 13 14 15 16

X, тыс. руб. 4970 5020 5070 5120 5180 5230 5290 5340

мес. 17 18 19 20 21 22 23 24

"В,

Л

и

я Л X

12 15 18 21 24 I (мес )

Рисунок 3 - Прогноз выпуска продукции в 2005-2006 гг.

Полученные прогнозные значения объёмов выпускаемой продукции позволили разработать предложения по повышению конкурентоспособности предприятия и оптимального использования ресурсов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложениях приводятся тексты программ и акт о внедрении результатов работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена производственная функция со случайными аргументами на основе композиции случайных величин, позволяющая по коэффициенту предпочтения обосновать целесообразность размещения заказа на предприятии, решать задачи по оценке его возможного банкротства.

2. Получена динамическая производственная функция, которая позволяет определить величину выпуска продукции для конкретного момента времени, прогнозировать получение требуемого количества продукта с заданной вероятностью различных промышленных предприятий.

3. Разработанная математическая модель позволяет формировать политику развития производства как на начальном этапе, так и в период стабилизации, принимать решения по поддержке производства или, при благоприятных условиях, по переходу на рентабельный уровень.

4. Разработаны методики построения производственных функций промышленных предприятий со случайными аргументами при ограниченной статистической информации и программы для определения характеристик ПФ и оценки работы предприятий.

5. Получена по результатам моделирования на основе данных промышленного предприятия ОАО "Пензтяжпромарматура" производственная функция X = 1,98^Г°'55|10'521, позволяющая прогнозировать объем выпуска продукции.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Назарова Н.В. Численные методы в системе Mathcad: Учеб. пособие / Н.В. Назарова, В.Ф. Шишов, Д.В. Искоркин. - Пенза: ПГТА, 2005.-212 с.

2. Назарова Н. В. Практикум по математическому моделированию микроэкономических и макроэкономических систем: Учеб. пособие / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков. - Пенза: ПТИ, 2002. - 157 с.

3. Назарова Н.В. Методология принятия управленческих решений по вложению инвестиций в развитие производства / Я. В. Назарова, Н.Г. Васильченко, А. Ф. Зубков II Проблемы и технологии управления развитием социально-экономических систем: Сборник статей / Общ. ред. A.JI. Гапоненио. - М.: РАГС, 2004. - С. 5-17.

4. Назарова Н.В. Математическое моделирование производственных функций с различными законами распределения основных параметров / Н.В. Назарова, А. Ф. Зубков. - Пенза: ПТИ, 2004. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.04 № 784-В2004.

5. Назарова Н.В. Математическое моделирование производственных функций с вероятностными параметрами // Всесибирский конгресс женщин-математиков: Сборник статей / Под ред. Л.Ф. Ноженковой. -Красноярск: ТОРРА, 2004. - С. 90-102.

6. Назарова Н.В. Динамическая форма представления производственной функции // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей XV Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 25-26 мая 2005 г.). - Пенза: ПДЗ, 2005.-С. 23-26.

7. Назарова Н.В. Расчёт параметров производственных функций с использованием пакетов прикладных программ / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков II Современные информационные технологии: Труды III Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: ПГТА, 2004. - С. 9-12.

8. Назарова Н.В. Моделирование развития производства с учётом инвестиционных средств /Н.В. Назарова, А. Ф. Зубков II Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей XIV Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 21-22 декабря 2004 г.). - Пенза: ПДЗ, 2004. - С. 192-195.

9. Назарова Н.В. Статистические методы определения параметров производственных функций // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании:

19

Сборник статей XIII Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 21-22 мая 2004 г.). - Пенза: ПДЗ, 2004. - С. 21-23.

10. Назарова Н. В. Описание экономических систем с использованием характеристических функций //Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей XII Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 19-20 декабря 2003 г.). - Пенза: ПДЗ, 2003. - С. 7-9.

11. Назарова Н.В. Использование вероятностных методов при моделировании производственных функций // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей XI Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 22-23 мая 2003 г.). - Пенза: ПДЗ, 2003. - С. 46-49.

12. Назарова Н.В. Математическая модель определения авторитетности предприятия I Н.В. Назарова, А. Ф. Зубков II Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей X Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 24-25 декабря 2002 г.). - Пенза: ПДЗ, 2002. - С. 41-43.

13. Назарова Н.В. Фондовооруженность в условиях стационарности экономической системы // Экономика, экология и общество в 21-м столетии: Труды IV Междунар. науч.-пракг. конф. (г. Санкт-Петербург, 21-23 мая 2002 г.). - СПб.: Нестор, 2001. - Т. 4. - С. 213-214.

14. Назарова Н.В. Влияние инвестиций на изменение основных производственных фондов / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков II Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник материалов VIII Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 22-23 ноября 2001 г.). - Пенза: ПДЗ, 2001.-Ч. II.-С. 59-61.

15. Назарова Н.В. Оценка максимальной прибыли производства / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков II Аналитико-статистические и математические методы в управлении рыночной экономикой: Сборник материалов IV Всерос. науч.-пракг. конф. (г. Пенза, 28-29 мая 2002 г.). - Пенза: ПТИ, 2002.-С. 112-115.

16. Назарова Н.В. Моделирование производственных функций с различными законами распределения основных параметров / Н.В. Назарова, А. Ф. Зубков И Глобальные тенденции в статистике и математических методах в экономике: наука, практика и образование: Сборник тезисов Междунар. науч.-пракг. конф. (г. Санкт-Петербург, 27-30 января 2004 г.). - СПб: СЗЗГТУ, 2004. - С. 147-148.

17. Назарова Н.В. Эффективность производства для критического объёма капитальных затрат // Аналитико-статистические и математические методы в управлении рыночной экономикой: Сборник материалов П1 Всерос. науч.-практ. конф. (г. Пенза, 21-22 мая 2001 г.). - Пенза: ПТИ, 2001. - С. 109-111.

Назарова Наталья Викторовна

Математическое моделирование производственных функций со случайными аргументами

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Л.Ю. Горюнова Корректор А.Ю. Тощева Компьютерная верстка Д.Б. Фатеева, М.В. Недошивиной

Сдано в производство 24.11.05. Формат 60x84 Чхь Бумага типогр. №1. Печать трафаретная. Шрифт Times New Roman Cyr. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,29. Заказ № 870. Тираж 100.

Пензенская государственная технологическая академия. 440605, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ ул. Гагарина, 1711. Лицензия: Серия ИД № 06495 от 26 декабря 2001 г. Internet: http://www.pgta.ru

I

I !

Г

!

$2 4 045

РНБ Русский фонд

2006-4 26905

Введение.

1 Специальные функции в описании производств.

1.1 Гиперболические функции в описании социально-экономических процессов.

1.2 Производственные функции - одна из форм представления гиперболических функций.

1.3 Виды производственных функций в описании производств.

1.4 Исследование и анализ производственных функций.

Выводы.

2 Построение моделей производственных функций с вероятностными аргументами.

2.1 Рассмотрение гипотез о различных вероятностных законах представления прошлого и настоящего труда.

2.2 Нормальный закон представления прошлого и настоящего труда.

2.3 Равномерный закон представления прошлого и настоящего труда.

2.4 Различные композиции распределения случайных аргументов прошлого и настоящего труда.

2.5 Поведение плотности распределения случайной величины, характеризующей производство, в зависимости от коэффициентов эластичности фондов и труда.

2.6 Ранжирование предприятий с использованием функции плотности выпуска продукции.

Выводы.

3 Моделирование работы предприятия на основе разработанных специальных функций.

3.1 Разработка динамической модели производственной функции для описания работы предприятия.

3.2 Модели развития производства с учетом вложенных средств.

3.3 Методика определения показателей функционирования предприятия на основе разработанной математической модели.

3.3.1 Определение весовых коэффициентов производственной функции на основе ограниченной статистической информации.

3.4 Моделирование функционирования предприятия ОАО «Пензтяжпромарматура» на основе производственных показателей, прогноз развития производства.

Выводы.

В современных условиях математические методы исследования все больше проникают в такие области деятельности как экономика, экология, управление научно-техническим процессом. Особенно важны эти методы в исследованиях сложных систем социально-экономического, информационного, биологического плана. Сложность количественного описания таких систем, получения математических закономерностей сдерживают благоприятные стремления современной науки «проверить алгеброй гармонию».

Системы, как правило, характеризуются: неоднородностью структуры, нелинейностью характеристик, резко ассиметричным распределением параметров, многоконтурными взаимодействиями и т.д. Решение, приводящее к правильному пониманию поведения сложных систем, к которым можно отнести большой класс производственных, лежит в изучении эмпирических закономерностей с помощью построения соответствующих математических моделей.

Использование математического моделирования помогает выделить и описать наиболее важные, существенные связи экономических объектов, оценить параметры производства. Производственные функции (ПФ) используются как полезный инструмент, позволяющий проводить аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать объём выпуска продукции и контролировать реальность плановых проектов.

Понятие ПФ введено в 1928 г. американскими учёными Коббом и Дугласом. Значительный вклад в развитие теории производственных функций внесли работы фон Неймана, В. Леонтьева, Р. Солоу, А. Клейна, А. Михалев-ского, Р. Сато, Дж. Хикса, Л. Терехова, Г.Клейнера и многих других отечественных и зарубежных учёных.

Используемые в настоящее время ПФ, подразделяются на классы в зависимости от особенностей производственных отношений и используемого инструментария: микро- и макроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические, детерминированные и стохастические.

В работах современных отечественных и зарубежных учёных широко представлены виды детерминированных, статических, макроэкономических ПФ (Г.Б. Клейнер, В.А. Макаров, P.JI. Раяцкас, Е.К. Смирницкий, Е.Г. Голь-штейн, В.А. Колемаев), динамические и статические оптимизационные задачи (Е.З. Демиденко, Ю.П. Иванилов, A.B. Лотов, JI.B. Канторович, Н.Е. Коб-ринский), прикладные эконометрические функции (К.А. Багриновский, В.П. Бусыгин, А.Г. Гранберг, А.И. Гладышевский). Наиболее малоизученными являются ПФ в вероятностной форме описания реальных процессов.

Проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительно. Последнее обусловлено причинами:

-отсутствие достаточного объема статистического материала по основным параметрам производства;

-описание экономики с помощью производственных функций в виде «черного ящика», на вход которого поступают ресурсы, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства продукции;

-аргументы производственных функций не рассматриваются как случайные величины, описываемые различными законами распределения; интенсивному внедрению ПФ для описания микроэкономических процессов препятствует отсутствие методик расчёта основных параметров производства с учётом их случайного характера.

Решению этих актуальных проблем посвящена диссертационная работа.

Целью работы является построение математической модели производственных функций со случайными аргументами, разработка методик использования полученной математической модели для оценки функционирования предприятия.

В соответствии с целью исследования в диссертационной работе поставлены следующие основные задачи:

- провести анализ различных видов представления ПФ;

- выполнить моделирование ПФ со случайными аргументами для оценки эффективности производства и принятия управленческих решений;

- разработать методику определения параметров ПФ и прогнозирования их изменения на основе ограниченного статистического материала;

- выполнить моделирование динамической производственной функции, обосновать подход к определению характеристик производства на ее основе;

- разработать методику построения динамической производственной функции с учетом вероятностных законов распределения аргументов и неполной статистической информации о параметрах производства;

- разработать программы для определения характеристик моделируемых функций и оценки работы предприятий.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю, к.т.н., профессору Зубкову Александру Фёдоровичу за поддержку и помощь в процессе работы над диссертацией, а также высказать признательность коллективу кафедры «Прикладная математика и исследование операций в экономике» за оказанное внимание и ценные указания.

Выводы

1. В работе предложено динамическое представление производственах ной функции ах О

- ц + — \ + а,у К) 2

X на основе последовательных преобразований статической мультипликативной производственной функции и её композиции с динамической моделью Солоу. Динамическая производственная функция позволяет определить величину выпуска продукции в любой момент времени ^ с учётом выпуска в предыдущие периоды и прогнозировать получение требуемого количества продукта с заданной вероятностью.

2. Зависимости между соотношениями значений X — выпуска продук

Х И ции, К— основных фондов и коэффициентов ц, р: -;— позволяют форми

К р ровать политику развития производства, как на начальном этапе, так и в период стабилизации. При ограничении финансирования модель позволяет принимать решения по поддержке производства, в случае благоприятных условий - перехода на рентабельный уровень.

3. В результате экономико-статистического моделирования на основе реальных данных предприятия ОАО «Пензтяжпромарматура» была получена производственная функция Х- 1,98АГ0"551 -¿°'521, соответствующая определённому значению вероятности. Данная модель статистически значима и адекватна.

4. Анализ полученной модели показал, что значение эластичности по фондам превосходит эластичность по труду о^ > (Х2, что означает: имеет место трудосберегающее (интенсивное) направление развития предприятия в исследуемом периоде. При этом суммарное значение эластичностей а1 +а2 = 1,072 >1, следовательно, выпуск продукции растёт быстрее, чем в среднем растут величина основных фондов и число занятых в производстве.

Полученное условие оц+о^ «1 соответствует фундаментальному требованию для производственных функций в форме Кобба-Дугласа. Данное положение отражает выводы многих исследователей для различных производств, технических укладов, экономик разных стран.

5. Результаты развития производства, полученные на основе использования смоделированной динамической производственной функции для ОАО «Пензтяжпромарматура», показали, что с увеличением коэффициента инвестиций (р) и уменьшением значения доли выбывших за год производственных фондов (ц) быстрее происходит рост величины основных фондов. Оптимальными значениями являются р=0,15 и |1=0,1, что позволяет провести распределение инвестиций в соответствующих пропорциях.

6. Разработана методика построения динамической производственной функции со случайными аргументами. Методика позволяет строить производственные функции для любых промышленных предприятий. Отличительная особенность методики заключается в том, что построение производственной функции происходит при ограничении статистической информации.

Заключение

На основе результатов диссертационной работы были получены следующие выводы и даны предложения.

1. Предложена производственная функция со случайными аргументами на основе композиции случайных величин, позволяющая по коэффициенту предпочтения обосновать целесообразность размещения заказа на предприятии, решать задачи по оценке его возможного банкротства.

2. Получена динамическая производственная функция, которая допускает определить величину выпуска продукции для конкретного момента времени, прогнозировать получение требуемого количества продукта с заданной вероятностью различных промышленных предприятий.

3. Разработанная математическая модель позволяет формировать политику развития производства, как на начальном этапе, так и в период стабилизации, принимать решения по поддержке производства, или, при благоприятных условиях, по переходу на рентабельный уровень.

4. Для производственной функции с вероятностными параметрами предложена схема построения плотности распределения на основе композиции случайных величин. Проверка показала, что основные свойства полученных плотностей распределения для различных законов распределения выполняются, что подтверждает правильность выдвинутых предположений.

5. Разработаны методики построения производственных функций промышленных предприятий со случайными аргументами при ограниченной статистической информации и программы, для определения характеристик производственной функции.

6. Применение разработанных математических моделей производственных функций на предприятии ОАО «Пензтяжпромарматура» показали эффективность их использования для оценки работы промышленного производства и прогнозирования объема выпускаемой продукции.

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики Текст. / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 456 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных Текст. / С.А. Айвазян, Е.С. Енюков, Л.Д. Мешал-кин. М.: Финансы и статистика, 1993. - 471 с.

3. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст. / A.A. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н.В. Копченова-М.: Высшая школа, 1994.-544 с.

4. Арнольд, В.И. О представлении непрерывных функций трёх переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных Текст. / В.И. Арнольд. Математический сборник, 1959. т. 48, №1. — 17 с.

5. Астахов, Ю.И. Применение производственных функций на стадии предплановых расчётов в электромашиностроении Текст. / Ю.И. Астахов, Г.Б. Клейнер, Е.И. Райхельсон. // Электротехническая промышленность. -1982, №2. С. 47-54.

6. Багриновский, К.А. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика) Текст. / К.А. Багриновский, В.М. Матюшок. М.: РУДН, 1999.-312 с.

7. Багриновский, К.А. Интеллектная система в отраслевом планировании Текст. / К.А. Багриновский, В.В. Логвинец. М.: Наука, 1989. - 136 с.

8. Багриновский, К.А. Математика плановых решений Текст. / К.А. Багриновский, В.П. Бусыгин. М.: Наука, 1980. - 224 с.

9. Баканов, М.И. Теория экономического анализа Текст. / М.И. Баканов, А.Д. Шеремет. М.: Финансы и статистика, 1995. - 560 с.

10. Баркалов, Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста Текст. / Н.Б. Баркалов. М.: МГУ, 1981. - 214 с.

11. И. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

12. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем Текст. / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика, 2003. — 368 с.

13. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов Текст. / Ю.П. Боглаев. М.: Высшая школа, 1990.-544 с.

14. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. -544 с.

15. Валтер, Я. Стохастические модели в экономике Текст. / Я. Валтер. Пер. с чеш. — М.: Статистика, 1976. — 230 с.

16. Введение в математическое моделирование Текст. / Под. ред. П.В. Трусова. М.: Логос, 2004. - 440 с.

17. Венецкий, И.Г. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе Текст. / И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. -М.: Статистика, 1979.-446 с.

18. Вентцель, А.Д. Курс теории случайных процессов Текст. / А.Д. Вентцель. — М.: Наука, 1975. 319 с.

19. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения Текст. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.

20. Вержбицкий, В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные диференциальные уравнения) Текст. / В.М. Вержбицкий. -М.: Оникс, 2005.-400 с.

21. Вероятностные методы и кибернетика: Сборник статей Текст. / Под. ред. проф. Р.Г. Бухараева // 20-й выпуск. Казань: Казанский ун-т, 1983. -134 с.

22. Волков, Е.А. Численные методы Текст. / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982.-256 с.

23. Высшая математика для экономистов Текст. / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2000.-471 с.

24. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов Текст. / И.И. Гихман, A.B. Скороход. М.: Наука, 1963. - 655 с.

25. Гладышевский, А. И. Методы и модели отраслевого экономического прогнозирования Текст. / А. И. Гладышевский. М.:Экономика, 1977. — 143 с.

26. Глинский, Б.А. Моделирование как метод научного исследования Текст. / Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов. М.: Наука, 1965. — 245 с.

27. Глушков, В.М. Моделирование развивающихся систем Текст. / В.М. Глушков, A.C. Иванов, К.А. Яненко. М.: Наука, 1983. — 276 с.

28. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / В.Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1977. - 479 с.

29. Горчаков, A.A. Компьютерные экономико-математические модели Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова. М.:ЮНИТИ, 1999. - 345 с.

30. Горчаков, A.A. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых условиях хозяйствования Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова, В.А. Половников. М.: ВЗФЭИ, 1991. - 278 с.

31. Гранберг, А.Г. Моделирование социалистической экономики Текст. / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1988. - 486 с.

32. Гранберг, А.Г. Основы региональной экономики Текст. / А.Г. Гранберг. М.: ГУВШЭ, 2004. - 494 с.

33. Гутер, P.C. Элементы теории функций Текст. / P.C. Гутер, Л.Д. Кудрявцев, Б.М. Левитан. М.: Наука, 1963. - 244 с.

34. Демиденко, Е.З. Оптимизация и регрессия Текст. / Е.З. Демиденко. -М.: Наука, 1989.-292 с.

35. Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия Текст. / Е.З. Демиденко. М.: Наука, 1981. - 302 с.

36. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст. / Б.П. Демидович, И. А. Марон. М.: Наука, 1960. - 659 с.

37. Дубров, A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе Текст. / A.M. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская. М.: Финансы и статистика, 2001. - 224 с.

38. Дубров, A.M. Многомерные статистические методы Текст. / A.M. Дубров, B.C. Мхитарян, Л.И. Трошин. М.: Финансы и статистика, 2000. -350 с.

39. Дуброва, Т.А. Статистические методы прогнозирования Текст. / Т.А. Дуброва. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003. - 206 с.

40. Дьяконов, В.П. Mathcad 2001: учебный курс Текст. / В.П. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

41. Евграфов, М.А. Аналитические функции Текст. / М.А. Евграфов. М.: Наука, 1965.-423 с.

42. Замков, О.О. Математические методы в экономике Текст. / О.О.Замков, A.B. Толсто пяте нко, Ю.Н. Черемных М.: ДИС, 1998. - 368 с.

43. Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики Текст. / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2002. — 592 с.

44. Золотарёв, В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин Текст. / В.М. Золотарёв,- М.: Наука, 1986. 415 с.

45. Зубков, А.Ф. Математическое моделирование производственных функций с различными законами распределения основных параметров

46. Текст. / А.Ф. Зубков, Н.В. Назарова. Пенза: ПТИ, 2004. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.04 № 784-В2004.

47. Зубков, А.Ф. Практикум по математическому моделированию микроэкономических и макроэкономических систем: Учебное пособие Текст. / А.Ф. Зубков, Н.В. Назарова. — Пенза: ПТИ, 2002. 157 с.

48. Иванилов, Ю.П. Математические модели в экономике Текст. / Ю.П. Иванилов. М.: Наука, 1999. - 303 с.

49. Калиткин, H.H. Численные методы: Учебное пособие Текст. / H.H. Калиткин.- М.: Наука, 1978. 512 с.

50. Карасёв, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / А.И. Карасёв. М.: Статистика, 1977 - 279 с.

51. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение Текст. / Каханер, Д., Моулер К., Нэш С. Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 575с.

52. Кейслер, Г.Дж. Теория непрерывных моделей Текст. / Г.Дж. Кейс-лер, Чэн Чен-чунь. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 182 с.

53. Клейнер, Г.Б. Методы анализа производственных функций Текст. / Г.Б. Клейнер. М.: Информэлектро, 1980. - 211 с.

54. Клейнер, Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение Текст. / Г.Б. Клейнер. — М.:Финансы и статистика, 1986. — 238 с.

55. Клейнер, Г.Б. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения Текст. / Г.Б. Клейнер, С.А, Смоляк. М.:Наука, 2000. — 104 с.

56. Клейнер, Г.Б. Предприятие в нестабильной экономической среде: риски, стратегия, безопасность Текст. / Г.Б. Клейнер. — М.:Экономика, 1997. -286 с.

57. Клейнер, Г.Б. Об одном классе производственных функций Текст. / Г.Б. Клейнер, Б.Н. Сирота. // Экономика и математические методы. 1976. -T.XII, вып. 1.-С. 131-157.

58. Кобринский, Н.Е. Экономическая кибернетика Текст. / Н.Е. Коб-ринский. М.:Экономика, 1982. - 407 с.

59. Кобринский, Н.Е. Точность экономико-математических моделей Текст. / Н.Е. Кобринский, В.И. Кузьмин. М.: Финансы и статистика, 1981. -255 с.

60. Кодолов, И.М. Теоретические основы вероятностных методов в инженерно-экономических задачах: случайные события и случайные величины Текст. / И.М. Кодолов, С.Т. Худяков. М.: МАДИ, 1989. - 197 с.

61. Козлов, А.Ю. Пакет анализа MS Excel в экономико-статистических расчётах Текст. / А.Ю. Козлов, В.Ф. Шишов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -139 с.

62. Козлов, А.Ю. Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчётах Текст. / А.Ю. Козлов, B.C. Мхитарян, В.Ф. Шишов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 231 с.

63. Колемаев, В.А. Математическая экономика Текст. / A.B. Колемаев.- М.:ЮНИТИ, 2002. 398 с.

64. Комарницкая, О.И. Применение теории вероятностей в инженерных и экономических расчетах Текст. / О.И. Комарницкая, К.Б. Старобин. JL: Ленинградский ун-т, 1973. — 72 с.

65. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Сборник статей Текст. / Под. ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1988. - 176 с.

66. Королёв, Ю.Г. Метод наименьших квадратов в социально-экономических исследованиях Текст. / Ю.Г. Королёв. — М.: Статистика, 1980.- 112 с.

67. Лебедев, В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов Текст. / В.В. Лебедев. М.:Изограф, 1997. — 324 с.

68. Львовский, E.H. Статистические методы построения эмпирических формул Текст. / E.H. Львовский. — М.: Высшая школа, 1988. 239 с.

69. Ляпунов, A.A. Вопросы теории множеств и теории функций Текст. / A.A. Ляпунов. М.: Наука, 1979. - 264 с.

70. Макаров, B.JI. Модели оптимального функционирования отраслевых систем Текст. / B.JI. Макаров, В.Д. Маршак. М.: Экономика, 1979. -159 с.

71. Макаров, И.М. Теория выбора и принятия решения Текст. / И.М. Макаров, Т.М. Виноградская. М.: Наука, 1982. - 328 с.

72. Малыхин, В.И. Математика в экономике Текст. / В.И. Малыхин. -М.: ИНФРА-М, 2002. 352 с.

73. Малыхин, В.И. Математическое моделирование экономики Текст. / В.И. Малыхин. -М.: УРАО, 1998. 160 с.

74. Математические методы в социальных науках: Сборник статей Текст. / Под ред. П. Лазарсфельда, Н. Генри. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1973.-350 с.

75. Математические методы анализа экономики Текст. / Под ред. А .Я. Боярского. М.: МГУ, 1983. - 152 с.

76. Математическая экономика и экстремальные задачи: Сборник статей Текст. / АН СССР, отв. ред. Е.Г. Голыптейн. М.: Наука, 1984. - 159 с.

77. Математическая экономика на персональном компьютере Текст. / Под ред. М. Кубонива. М.: Финансы и статистика, 1991. - 303 с.

78. Математическая экономика и функциональный анализ Текст. / Сборник статей. // Отв. ред. Б.С. Митягин. М.: Наука, 1974. - 263 с.

79. Математика и кибернетика в экономике: Словарь-справочник. М.: Экономика, 1975. - 700 с.

80. Математический словарь высшей школы Текст. / В.Т. Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович. М.: МПИ, 1988. - 527с.

81. Моисеев, H.H. Математика в социальных науках Текст. / H.H. Моисеев // Математические методы в социологическом исследовании. М.: 1981.-С. 73-98.

82. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль Текст. / А.Е. Мудров.- Томск: Раско, 1991. 272 с.

83. Назарова, Н.В. Высшая математика в системе Mathcad: Учебное пособие Текст. / Назарова Н.В., Зубков А.Ф., Шишов В.Ф. Пенза: ПГТА, 2005.-288 с.

84. Назарова, H.B. Математическое моделирование производственных функций с вероятностными параметрами Текст. / Н.В. Назарова // Всесибир-ский конгресс женщин-математиков: Сборник статей / Под ред. Л.Ф. Ножен-ковой. Красноярск: TOPP А, 2004. - С. 90-102.

85. Назарова, Н.В. Расчёт параметров производственных функций с использованием пакетов прикладных программ Текст. / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков // Современные информационные технологии: Труды III Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: ПГТА, 2004. - С. 9-12.

86. Назарова, Н.В. Численные методы в системе Mathcad: Учебное пособие Текст. / Назарова Н.В., Шишов В.Ф. Пенза: ПГТА, 2005. - 212 с.

87. Невельсон, М.Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание Текст. / М.Б. Невельсон, Р.З. Хасьминский. — М.: Наука, 1972 — 304 с.

88. Неуймин, Я.Г. Модели в науке и технике Текст. / Я.Г. Неуймин. -Л.: Наука, 1984.-189 с.

89. Общая теория статистики Текст. / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с.

90. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции Текст. / Ф. Олвер. Пер. с англ. М.: Наука, 1978. — 376 с.

91. Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин Текст. / В.В. Петров. М.: Наука, 1992. - 312 с.

92. Пинегина, М.В. Экономико-математические методы и модели Текст. / М.В. Пинегина. М.: Экзамен, 2002. - 331 с.

93. Плотинский, Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов Текст. / Ю.М. Плотинский. М.: Логос, 1998. - 280 с.

94. Применение математических методов для исследования многокомпонентных систем Текст. / Под. ред. И.Г. Зедгинидзе. М.: Металлургия, 1974. - 176 с.

95. Раяцкас, P.JI. Количественный анализ в экономике Текст. / P.JI. Раяцкас, М.К. Плакунов. М.: Наука, 1987. - 390 с.

96. Раяцкас, P.JI. Социально-экономическая эффективность производства Текст. / P.JI. Раяцкас, В.П. Суткайтис. М.: Наука, 1984. - 188 с.

97. Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика Текст. / Ю.А. Розанов. М.: Наука, 1989. - 320 с.

98. Романовский, П.И. Ряды Фурье Текст. / П.И. Романовский. М.: Наука, 1980.-334 с.

99. Садовский, JI.E. Вопросы моделирования иерархических систем Текст. / JI.E. Садовский, Л.Ш. Иоффе, Г.Б. Клейнер // Изв. АН СССР, сер. «Техническая кибернетика», 1977, №2. С. 67-91.

100. Сирота, Б.Н. О методах оценивания параметров нелинейных производственных функций Текст. / Б.Н. Сирота.// Экономико-математические проблемы хозрасчёта в объединениях / Под. ред. Г.Б. Клейнера. — М.: ИНЭ-УМ, 1977.-С. 35-51.

101. Смирницкий, Е.К. Экономические показатели промышленности Текст. / Е.К. Смирницкий. М.: Экономика, 1989. - 334 с.

102. Смит, Джон М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей Текст. / Джон М. Смит. Пер. с англ. — М.: Машиностроение, 1980.-271 с.

103. ИЗ. Советов, Б.Я. Моделирование систем Текст. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высшая школа, 1998. - 319 с.

104. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / Под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. Пер. с англ. — М.: Мир, 1979.-312 с.

105. Солодовников, A.C. Математика в экономике: Учебник в 2 ч. Текст. / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов. М.: Финансы и статистика, 1998. - 4.1, 224 с.

106. Сошникова, JI.А. Многомерный статистический анализ в экономике Текст. / JI.A. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шеффер. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999. - 598 с.

107. Справочник по специальным функциям Текст. / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. Пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 832 с.

108. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование Текст. / Ю.Ю. Тарасевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

109. Терехов, JI.JI. Производственные функции Текст. / JI.JI. Терехов. М.: — Статистика, 1974. 183 с.

110. Терехов, JI.JI. Экономико-математические методы в планировнаии и управлении Текст. / JI.JI. Терехов, В.А. Кузнецов, С.П. Сиднее. Киев: -Вища школа, 1984. 231 с.

111. Терехов, JI.JI. Кибернетика для экономистов Текст. / JI.JI. Терехов. М.: Финансы и статистика, 1983. - 191 с.

112. Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности Текст. / Г.П. Фомин. -М.: Финансы и статистика, 2001. 544 с.У

113. Хачатрян, С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем Текст. / С.Р. Хачатрян. — М.: Экзамен, 2002. -192с.

114. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе Текст. / С.И. Шелобаев. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000. -367 с.

115. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие Текст. / Под ред. A.B. Кузнецова. Минск: БГЭУ, 2000. - 412с.

116. Экономико-математические методы и прикладные модели Текст. / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов; Под ред. В.В. Федосеева. -М.: ЮНИТИ, 1999.-391 с.

117. Экономический анализ: Учеб. Пособие Текст. /Под ред. М.И. Ба-канова, А.Д. Шеремета. М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.