автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Моделирование управления производственными системами с учетом случайности состояния формирующих параметров

004599686

На правах рукописи

ГУСЫНИНА Юлия Сергеевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СИСТЕМАМИ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНОСТИ СОСТОЯНИЯ ФОРМИРУЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ

Специальности: 05.13.10 - Управление в социальных и экономических системах; 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2010

2 5 МДР 2П1П

004599686

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и исследование операций в экономике» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенская государственная технологическая академия».

Научные руководители: кандидат технических наук, доцент

Бершадская Елена Григорьевна; кандидат технических наук, профессор Зубков Александр Федорович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Кошевой Олег Сергеевич; доктор физико-математических наук, профессор

Голованов Олег Александрович.

Ведущая организация - государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет».

Защита диссертации состоится ъСМУргилг-2010 г., в часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет». Автореферат диссертации размещен на сайте университета www.pnzgu.ru

Автореферат разослан « ъЛСв^ЯХ- 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных условиях рыночных отношений управление в социальных и экономических системах играет важную роль в совершенствовании механизмов принятия решений. Реальность ставит задачу разработки новых и совершенствования существующих структур и моделей управления социально-экономическими системами с целью повышения надежности и качества их функционирования. Это особенно важно в исследованиях производственных систем.

Системы характеризуются неоднородностью структуры, нелинейностью характеристик, ассиметричным распределением параметров. Решение, приводящее к правильному пониманию поведения социально-экономических систем, к которым можно отнести производственные, лежит в изучении эмпирических закономерностей параметров с помощью построения соответствующих математических моделей.

Детерминированные модели являются достаточно простыми и частыми в применении, так как позволяют осознать логику действия основных факторов развития производственной системы, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.

В свою очередь, в вероятностных моделях одному и тому же состоянию факторов соответствует целое множество состояний результирующего признака, что больше соответствует реальной действительности. Применение вероятностного подхода в описании процессов управления производственными системами обусловлено еще и тем, что в своем развитии производственные системы характеризуются случайными величинами: временем, фондами, людскими ресурсами. Важным является определение реального закона поведения случайных величин системы.

В работах отечественных ученых широко представлены виды детерминированных, статических, макроэкономических производственных функций (Г. Б. Кпейнер, В. Л. Макаров, Р. Л. Раяцкас, Е. К. Смирницкий, Е. Г. Голынтейн, В. А. Колемаев), динамические и статические оптимизационные задачи (Е. 3. Демиденко, Ю. П. Ива-нилов, А. В. Лотов, Л. В. Канторович, Н. Е. Кобринский), приклад-

н ые эконометрические функции (К. А. Багриновский, В. П. Бусыгин, А. Г. Гранберг, А. И. Гладышевский).

Поведение социально-экономических систем, их производственных функций с учетом случайности изменения формирующих параметров в вероятностной форме является малоизученным.

Изложенное обусловливает актуальность выбранной темы диссертации, ее цель и задачи, научную и практическую значимость.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка математической модели и алгоритма решения задач управления и принятия решений в социально-экономических системах на основе гипотез о распределении случайных величин времени, фондов и людских ресурсов при рассмотрении предприятия как примера социально-экономической системы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) проанализировать существующие модели описания функционирования предприятия как производственной системы, в частности рассмотреть формы представления производственной функции для решения задач исследования, прогнозирования и принятия аргументированных решений на любом этапе развития системы;

2) получить рекуррентные зависимости для описания поведения социально-экономической системы в различных ее состояниях с использованием вероятностных законов распределения случайных величин (времени, фондов и трудовых ресурсов): показательного, нормального и равномерного;

3) описать работу предприятия в качестве примера социально-экономической системы на основе построения функций плотности случайной величины времени выполнения производственной задачи по периодам производства, что позволяет лицу, принимающему решение, производить оценку потенциала предприятия при разработке планов производства продукции;

4) разработать алгоритм определения характеристик моделируемой функции получения продукции с учетом гипотез о различных законах распределения случайных величин фондов К и трудовых ресурсов Ь для оценки состояния развития производственной системы;

5) на основе статистических данных конкретной производственной системы построить производственную функцию, позволяющую принимать управленческие решения по развитию системы.

Методы исследования основаны на использовании основных положений теории вероятностей и математической статистики, математического моделирования, методов системного и регрессионного анализа, теории управления, теории случайных процессов, теории функций и экономического анализа.

Научная новизна работы.

1 Предложена математическая модель функционирования производственной системы, состояния которой описываются на осноие различных законов распределения случайных величин: времени, фондов, трудовых ресурсов. Данная модель является новым подходом в описании развития систем и в отличие от известных позволяет учитывать реальность поведения производственной системы, которая в своем развитии проходит следующие периоды:

- начальный период - ускоренный рост производства, где случайная величина времени выполнения производственной задачи подчиняется нормальному закону распределения;

- стационарный период работы - предполагается, что данная величина подчиняется равномерному закону;

- спад, период замедления производства - случайная величина времени выполнения производственной задачи подчиняется экспоненциальному закону.

2 Предложено прогнозировать работу системы с помощью разработанной функции плотности распределения величины объема продукции, которая учитывает случайный характер изменения величин основных фондов и трудовых ресурсов, что позволяет совершенствовать планирование работы.

3 Разработан интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ, который в отличие от существующих учитывает случайный характер изменения ресурсов рассматриваемой системы, реальность ее конкурентоспособности, что позволяет лицу, принимающему решение, определять вероятность получения конкретного заказа на выпуск продукции.

4 Впервые построены функции плотности случайной величины времени выполнения производственной задачи по периодам развития предприятия, которые можно использовать для оценки потенциала предприятия особенно при разработке и производстве новых изделий, а также для принятия решения на их производство.

5 Впервые проведен сравнительный анализ количественных оценок применения различных законов распределения случайных величин для описания функционирования социально-экономических систем, что позволяет исследователям-аналитикам предлагать реальную гипотезу для математического моделирования поведения системы.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования разработанных методик описания поведения производственных систем с целью получения прогнозных показателей их развития при учете реальности изменения формирующих характеристик. Предложенный алгоритм оценки системы позволяет принимать обоснованные решения для повышения эффективности развития предприятия как социально-экономической системы.

На защиту выносятся:

1) разработанная математическая модель функционирования производственной системы, учитывающая случайный характер входящих в ее состав параметров, которые характеризуют систему в различных состояниях, представляющих цикл изготовления продукции;

2) методика описания поведения социально-экономической системы, включающая гипотезы о характере распределения случайных величин: времени функционирования системы, производственных фондов К, трудовых ресурсов X. Даная методика позволяет определять величину объема продукции в реальных условиях функционирования системы;

3) интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ, который в отличие от существующих, учитывая случайный характер изменения ресурсов рассматриваемой системы, определяет меру ее конкурентоспособности и позволяет лицу, принимающему решение, определить вероятность получения конкретного заказа на выпуск продукции;

4) методика построения производственной функции как характеристики социально-экономической системы на основе композиции случайных величин в условиях ограниченности статистической информации;

5) результаты применения функции плотности случайной величины времени выполнения производственной задачи по периодам развития производственной системы; данные результаты могут являться дополнительной информацией для принятия управленческих решений.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результата диссертационной работы внедрены на предприятии ООО «Пензенский завод коммунального машиностроения», что подтверждает соответствующий акт.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях разного уровня, в том числе на XX Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (Пенза, 2007); Международной научно-практической конференции «Статистические исследования социально-экономических систем в условиях развития мирохозяйственных связей» (Орел, 2007); V Межрегиональной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Инновационные технологии в экономике, информатике и медицине» (Пенза, 2008); Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и промышленная политика региона» (Экопром-2008) (Санкт-Петербург, 2008); IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Петрозаводск, 2008); Международной научно-практической конференции «Менеджмент качества и формирование стратегии развития экономических систем» (Санкт-Петербург, 2008).

Достоверность а обоснованность результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, использованием адекватных математических моделей, сравнением полученных результатов с известными аналитическими данными, использованием современных средств компьютерной обработки данных.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 14 работ, в том числе одна из них в рецензируемом журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертационной работы - 144 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи исследования, обозначены его научная новизна и практическая ценность, теоретическая значимость работы.

Первая глава посвящена рассмотрению моделей описания социально-экономических систем и многоуровневых схем функционирования производственной системы, показана возможность использования производственных функций со случайными аргументами для решения задач исследования, прогнозирования и принятия аргументированных решений на любом этапе развития предприятия как социально-экономической системы.

Любая социально-экономическая система, в частности производственная, описывается определенными параметрами (показателями), характеризующими моделируемую систему (элемент системы), что определяет отличие ее от других.

В момент, когда принимается какое-либо решение относительно данной системы (например, план работы предприятия), состояние этой системы образует исходные для данной задачи условия. Их достоверность и реальность позволяют, учитывая принятое решение, предсказать поведение системы в будущем. Конечное состояние системы может рассматриваться в качестве цели принимаемого решения.

Традиционно работу производственной системы можно описать следующими состояниями:

- состояние 1 - объявление конкурса (тендера) на выполнение згмаза;

- состояние 2 - подготовка и подача документации для участия в конкурсе;

- состояние 3 - объявление результатов конкурса;

- состояние 4 - выполнение производственной задачи, соответствующей объявленному конкурсу, прием выполненного заказа;

- состояние 5 - ожидание объявления нового конкурса.

В каждом состоянии производится определенная работа, характеризующаяся временем:

1р - время, отведенное для принятия решения об участии в конкурсе;

/д - время подготовки документации для участия в конкурсе;

/с - время выполнения производственных операций в системе;

/3 - время, требуемое на выполнение заказа;

/0 - время, запланированное в данной системе на выполнение заказа, которое определяется по формуле /0 - tc-(tp + tд).

В случае получения заказа следующим состоянием производственной системы является его непосредственное выполнение, что математически описывается производственными функциями.

Производственная функция позволяет получить оценку производства на основе аналитических зависимостей вида

у- /(хих2,...,х„>аиа2,...,а„) = /а(х)>

где у - объемный показатель выпуска; а\,аг, ..., а„ - параметры производственной функции; .хь хг, ..., х„ - объемные показатели производственных ресурсов; л; = х2, ..., х„) - вектор ресурсов, а - (й|, а2,..., а„) - вектор параметров.

В настоящее время существуют четыре варианта концепции производственной функции для описания функционирования предприятия как социально-экономической системы:

1) детерминированная концепция, рассматривающая в качестве аргументов производственной функции жесткие функциональные связи между переменными модели (Г. Б. Клейнер);

2) вероятностная, согласно которой производственная функция рассматривается как математическое ожидание случайной величины выпуска продукции при заданных ресурсах (Е. 3. Демиденко);

3) мажорантная (оптимизационная), считается, что производственная функция выражает максимально возможный объем выпуска при заданных объемах ресурсов (А. Г. Гранберг);

4) мажорантно-вероятностная, производственная функция используется для получения вероятной верхней границы объема выпуска (А. И. Гладышевский).

Эти формы представления производственных функций не позволяют учитывать ни динамику систем, ни их случайные изменения параметров. Известные математические модели, как правило, базируются на функциях с детерминированными параметрами. Однако во многих реальных системах параметры носят случайный характер, что необходимо учитывать при принятии решений. В связи с этим актуальна задача построения математической модели, учитывающей вероятностный характер изменения формирующих ее аргументов.

Во второй главе рассмотрена математическая модель функционирования социально-экономической системы производства со случайными параметрами, характеризующими ее в различных состояниях, представляющих цикл изготовления продукции. Разработана методика описания функционирования производственных систем на основе фундаментальных положений теории вероятностей о получении исчерпывающих характеристик функционального преобразования систем случайных величин. Предложено моделировать поведение социально-экономических систем на основе гипотез о нормальном, экспоненциальном, равномерном законах распределения случайных величин, характеризующих состояние системы, и их композиций.

Для анализа оценки выполнения заказа предприятием - финального события за время Т- рассмотрим гипотезы о распределении -случайной величины времени выполнения работ всех уровней, подчиняющейся различным законам распределения.

Вероятность выполнения работ каждого уровня есть оценка гипотезы для выполнения последующих работ.

Согласно методике описания поведения социально-экономической системы, включающей гипотезы о характере распределения случайных величин, получены вероятности перехода системы из состояния в состояние на основе гипотезы о рассматриваемом законе распределения.

Вероятность Рп перехода системы из состояния 1 в состояние 2 с учетом характеристик показательного распределения

Р\ 2="

{р +{с

Вероятность перехода из состояния 2 в состояние 3 определяется следующим образом:

^23="

Сд+'сХ'р+О

Вероятность перехода системы из состояния 3 в состояние 4 определяется условием

Р - 'о *34 ~-•

'о+'з

В случае нормального и равномерного законов распределения случайных величин времени в системе получим следующие рекуррентные зависимости:

- для нормального закона распределения случайных величин времени

1+Ф

аг

( Л Ф

V Р у

+ Ф

\\

Руг —'—к 23 2

1 + Ф

\Ес;

•*"2

Ф

г-а,

\

Р34=1-~

( V

1 + Ф

( г

Ф

\Е0)

Е + Ф

+ Ф

\ -"г \

г \\

*з~а0 \ Е0

где а,, ар, аи а0 - математические ожидания случайных величин Тс, 7р, Т3, Го; Ес, Ер, Еъ, Е0 - срединные отклонения случайных величин Тс, Тр, Т3, Т0; а2=ар + ад;

- для равномерного закона распределения случайных величин времени в системе

гп~~л-»

4яср арР

/ г1

р _ 'с___'с

23 4(/р + *д) 32(Гр + Гд)2' *2

Р -1 3Р

Основным элементом системы является состояние 4, когда выполняется заказ в соответствии с производственной функцией. В связи с этим для производственной функции с вероятностными аргументами вида

Х{К,Ь) = А{К-К0р +5(2,-/о)"2

разработана методика решения задачи определения плотности распределения случайных аргументов (К, Ь).

Так как случайная величина X является суммой двух независимых величин Х\ =А(К-Ко)а1 и Х^ - В^Ь-Ьц)0'2 , то согласно предло-жгнной методике функция плотности распределения случайной величины X определяется с использованием характеристической функции по формуле (0 = ©л, (0 ©,2 (0.

В свою очередь, для нахождения характеристических функций б1^ (0, &х2 (0 случайных величин Х\ и выполняется прямое преобразование Фурье соответственно для функций плотности /|(*1)=Ф1Ы*1))*'1(*1) и /г) = Фг(^2))^'г (^2)•

Обратное преобразование Фурье для характеристической функции ©л (/) определяет функцию плотности /(х) случайной величины X.

В соответствии с методикой построены следующие виды плотности распределения производственной функции:

- экспоненциальное распределение фондов К и трудовых ресурсов Ь:

1-<ч

X J x^ (x-Xl) 0

l-«2 «2

d*,;

- нормальное распределение фондов К и трудовых ресурсов L:

/00 =

2л а, а2 с,, аЛ2

а2 а2

*> , *2

2ст2 2ст2

*1 *2 )

{ JL _L JL.

+оо hs. '-«2

X Jxiai (*-*,) "2 е

dxj;

- равномерное распределение фондов К и трудовых ресурсов L:

A(b-K0)al 1г«1 tSl

fix) =-- J x^ (X-Xl)^ дх,.

(b-a)2AaiB^aia2 ^-¿о)"2

Для проверки правильности построения функций плотности использовался пакет прикладных программ MathCad и Maple (в случае равномерного распределения случайных величин).

Таким образом, полученная функция плотности распределениях*) позволяет определить объем производства в зависимости от основных фондов и трудовых ресурсов, т.е. прогнозировать с заданной вероятностью получение объема продукции, что является важным при принятии управленческих решений.

В третьей главе получены количественные оценки моделирования поведения системы на основе различных законов распределения формирующих ее случайных величин. Предложено использовать вероятностную форму функции производства на основе гипотезы о случайности ее элементов, т.е. различные значения функции производства отвечают определенной величине времени производства /о-Разработана методика построения производственной функции (и темпах роста) с использованием неполных статистических данных о промышленном предприятии. Построены функции плотности случайной величины времени работы производственной системы, которые представляют работу системы по периодам и могут быть использованы для оценки потенциала предприятия.

Получение количественных оценок поведения системы при гипотезах применения различных законов распределения случайных величин, характеризующих ее, основано на предположении, что поведение системы подчиняется показательному, нормальному и равномерному законам распределения времени пребывания системы в различных состояниях. Матрица состояний имеет вид

где 1 = 1,5, у = 1,5.

Система характеризуется временными параметрами: (р -2 мес.;

= 2 мес.;

= 12 мес.; г3 = 7 мес.;

'о = /С~('р + гд) = 8мес.

При оценке результатов моделирования поведения производственной системы с использованием вероятностных законов распределения формирующих ее случайных величин получено, что при показательном законе распределения вероятность перехода Р\г на 17 % больше, чем в том случае, когда исходят из предположения, что случайные величины распределены по нормальному закону. В случае

равномерного закона вероятность перехода больше на 14%, чем при нормальном законе распределения формирующих параметров.

Вероятности Р2з и Рм, полученные для различных законов распределения случайных величин, характеризующих систему, могут отличаться не более чем на 30 % (по отношению к нормальному закону распределения).

Задача принятия решения на производство продукции определяется на основе математической модели оптимизации:

К=х*з'

|/(Г<т*)->Р(Г<т*)тах,

где Р(Т <х/с) представляет собой площадь, ограниченную графиком функции плотности случайной величины времени работы производственной системы по периодам и осью абсцисс.

Функция плотности случайной величины времени выполнения производственного заказа системой описывает основные периоды:

1) ускоренный рост производства;

2) стационарный период работы;

3) спад, замедление производства.

Данные периоды можно связать с законами распределения случайной величины времени выполнения производственной задачи Т = Т(хк):

0 < / < т„ - нормальный закон распределения;

Г е тл < I < хь - равномерный закон распределения;

Тд < / < хк - показательный закон распределения,

где Т = хп -тй) + (т£ -хь)',хп - время подготовки выполнения производственной задачи; х^ - время окончания стационарного периода работы; т^ - время окончания выполнения производственной задачи.

Таким образом, ускоренный рост производства характеризуется вероятностью Ру, стационарный период работы - вероятностью Рг,

замедление производства - Р3. Данные вероятности зависят от изменения среднего квадратического отклонения.

Результаты сравнения полученных значений вероятностей выполнения производственной задачи приведены в таблице 1. Таблица 1 - Сводные показатели

Функции плотности вероятности ъ Р\ Рг Ръ

4,0 0,400 0,193 0,232 0,825

№ 4,5 0,408 0,173 0,221 0,802

/з(0 5,0 0,413 0,156 0,213 0,782

т 5,5 0,413 0,143 0,206 0,762

Полученные результаты показывают работоспособность математической модели функционирования производственной системы. С увеличением среднего квадратического отклонения ст, значение конечной вероятности выполнения производственного заказа уменьшается - это показывает реальность поведения социально-экономических систем производственного плана, их нестабильность. Результаты исследования могут являться дополнительной информацией для лица, принимающего решение.

Методика определения весовых коэффициентов (показателей эластичности по фондам и труду) предполагает использование выражения производственной функции в относительных показателях:

где Х0, Ко, ¿о - значения соответственно выпуска продукции, основных фондов и трудовых ресурсов в базисный период.

Зависимость объема выпуска продукции от величины производственных фондов X = Х{К) строится на основе статистических данных рассматриваемой системы:

2 ^ I -1.

Система уравнений (1) используется для определения параметра 0С2. На завершающем этапе методики производятся построение регрессионных моделей эластичностей схь а.2 для определения факторов, влияющих на их изменение, и проверка статистических гипотез о значимости рассчитанных параметров.

В четвертой главе разработан и рассчитал интегральный критерий предпочтительности заявки Кщ, на выполнение работ. Представлены результаты апробации предложенной методики построения производственной функции с использованием статистических данных об объеме выпускаемой продукции и величине производственных фондов за 2003-2007 гг. на предприятии ООО «Пензенский завод коммунального машиностроения».

При формировании портфеля заказов, как правило, объявляется конкурс для предприятий, способных их выполнить. Оценка конкурсной комиссии для определения конкретного предприятия и выделения ему тендера основывается на анализе потенциала данного предприятия, характеризующегося числовыми характеристиками.

Одним из основных количественных показателей является время, отводимое на операции по получению заказа и его выполнение.

На основе использования временных характеристик был предложен и рассчитан интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ:

Определенные количественные значения интегрального критерия предпочтительности заявки на выполнение работ Кпр показывают, что при времени, требуемом на выполнение заказа предприятием ООО «Пензенский завод коммунального машиностроения»,

= 8 мес. и времени подготовки Кд, составляющем 8 % от времени выполнения заказа, Кщ, = 0,96 (96 %), а при условии, что /3 = 9 мес., Кпр = 0,87. При увеличении времени выполнения заказа /3 интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ Кпр понижается. Поэтому для получения тендера оптимальным вариантом будет рассмотрение предприятий, у которых Кпр > 50 %.

Для проверки предложенной методики поиска параметров производственной функции стоимостные показатели были пересчитаны в сопоставимые цены на начало 2008 г. и приведены к относительному виду, а аномальные значения величин заменены их средними значениями между соседними значениями показателя.

Аппроксимация зависимости выпуска продукции и величины производственных фондов от времени позволила выявить основные тенденции и исследовать динамику показателей работы предприятия.

На следующем этапе решения строится зависимость выпуска продукции от величины производственных фондов (с использованием методов регрессионного анализа и программы математических расчетов МаЛСаф, которая имеет вид

Х(К) = 131,1886 - 0,2347^. (2)

Уравнение регрессии (2) с вероятностью Р - 0,95 является статистически значимым, адекватным описываемому процессу. Расчетные значения объема выпускаемой продукции отличаются от фактических на 9,6 %, при этом наблюдается слабая обратная взаимосвязь между исследуемыми показателями.

В результате расчетов на основе статистически значимых, адекватных моделей получена производственная функция (в темпах рос-

га) X - к°'Ш I0-373 .

Установлено, что значение эластичности по труду превосходит эластичность по фондам а2 > а) (0,373 > 0,264), что означает: имеет место фондосберегающее (экстенсивное) направление развития предприятия за исследуемый период. При этом суммарное значение эла-стичностей не превосходит единицу а) + <Х2 = 0,637 < 1, следовательно, для развития производственной системы и своевременного выполнения заказа лицу, принимающему решение, необходимо обратить внимание на совершенствование основных фондов, техническое перевооружение предприятия.

В заключении диссертационной работы обобщены результаты моделирования производственных систем на основе законов описания их вероятностными методами, приведены результаты статистического исследования на основе реальных данных производственной системы, сформулированы основные выводы и даны рекомендации по их практическому применению для принятия управленческих решений.

В приложении к диссертации приведены алгоритмы построения плотности распределения производственной функции со случайными аргументами, имеющими нормальное и равномерное распределение (в среде пакетов MathCad, Maple), а также листинги программ в средах MathCad и MatLab.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработана математическая модель функционирования социально-экономической системы, такой как предприятие, с учетом внутренних и внешних взаимосвязей системы, случайности изменения времени функционирования, фондов, трудовых ресурсов и их взаимосвязи на основе композиции распределений.

2 Получен интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ, который позволяет обосновать целесообразность размещения заказа на предприятии, принять обоснованное решение по развитию производственной системы.

3 Впервые построены функции плотности случайной величины времени выполнения производственного заказа, которые представляют работу предприятия по периодам и дают оценку потенциала производственной системы при разработке и производстве изделий с учетом оптимизации ресурсов. Это позволяет руководителю принять обоснованное решение.

4 Предложена методика описания поведения социально-экономической системы, включающая гипотезы о различных законах рас пределения случайных величин (время функционирования системы, производственные фонды, трудовые ресурсы), которая позволяет определять величину объема продукции в реальных условиях функционирования системы.

5 Предложена методика построения производственной функции как характеристики социально-экономической системы (предприятия) на основе композиции случайных величин и построена производственная функция, позволяющая прогнозировать объем выпуска продукции, планировать работу на текущее время и на перспективу с учетом развития производственной системы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Гусынина, Ю. С. Моделирование социальных и технических систем с учетом случайности поведения формирующих их величин / А. Ф. Зубков, Ю. С. Гусынина // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008,- Т. 15. - Вып. 3. - С. 476-477.

Публикации в других изданиях

2 Гусынина, Ю. С. Выбор на конкурсной основе предприятия для получения заказа / А. Ф. Зубков, Ю. С. Гусынина, Р. В. Наумов // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и промышленная политика региона (Экопром-2008)». - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 400-406.

3 Гусынина, Ю. С. Методология планирования инновационного развития экономических систем : коллективн. моногр. / Н. Н. Арлаш-кина, А. В. Бабкин, А. Е. Бром, О. С. Гайфутдинова, Ю. С. Гусынина [и др.]; под ред. д-ра экон. наук, проф. А. В. Бабкина. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 114-129.

4 Гусынина, Ю. С. Построение вероятностной модели эксплуатации технических систем с учетом стоимостных показателей их состояний / А. Ф. Зубков, Ю. С. Гусынина, О. В. Деркаченко // Научно-технические ведомости СПбПТУ. Экономические науки. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2007. - № 4(52). - С. 284-288.

5 Гусынина, Ю. С. Выбор предприятия в системе контрактации заказов / А. Ф. Зубков, Ю. С. Гусынина, Р. В. Наумов И Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - № 4(61). - С. 53-56.

6 Гусынина, Ю. С. К вопросу единой системы науки, техники, производства / В. М. Голощапов, Ю. С. Гусынина // Сборник статей

XVI Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза : ПДЗ, 2005. - С. 335-339.

7 Гусынина, Ю. С. Многомерный статистический анализ в исследовании экономической деятельности малых предприятий / Ю. С. Гусынина, А. Ф. Зубков, В. Н. Деркаченко, Р. В. Рыжов // Сборник материалов Международной научно-практической конференции «Статистические исследования социально-экономических систем в условиях развития мирохозяйственных связей».- Орел : ОрелГТУ, 2007. - С. 40-45.

8 Гусынина, Ю. С. Модели управления запасами при нескольких уровнях цен / В. Ф. Шишов, С. В. Колесникова, Ю. С. Гусынина // Сборник статей XV Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза : ПДЗ, 2005. - С. 12-20.

9 Гусынина, Ю. С. Моделирование экономических систем на основе различных законов распределения случайных величин / А. Ф. Зубков, Н. В. Назарова, Ю. С. Гусынина // Труды конференции «Менеджмент качества и формирование стратегии развития экономических систем». - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 542-552.

10 Гусынина, Ю. С. Оценка производственной системы с учетом гипотезы случайного времени функционирования ее состояний / Ю. С. Гусынина // Сборник статей V Межрегиональной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Инновационные технологии в экономике, информатике и медицине». - Пенза : Пенз. гос. технол. акад., 2008. - С. 47-48.

11 Гусынина, Ю. С. Оценка производственной системы со случайным временем функционирования ее состояний / А. Ф. Зубков, Н. В. Назарова, Ю. С. Гусынина // Труды конференции «Формирование стратегии инновационного развития экономических систем». -СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 51-57.

12 Гусынина, Ю. С. Применение различных законов распределения в описании экономических систем / А. Ф. Зубков, Ю. С. Гусынина, Р. В. Наумов // Сборник статей XX Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза: ПДЗ, 2007.-С. 28-31.

13 Гусынина, Ю. С. Модель принятия решения на получение тендера / Ю. С. Гусынина // Сборник материалов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы науки и образования». - Пенза : Пенз. гос. технол. акад., 2008. - Ч. 2. -С. 101-106.

14 Гусынина, Ю. С. Определение характеристик производственной функции / Ю. С. Гусынина // Сборник статей VI Межрегиональной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Инновационные технологии в экономике, информатике и медицине». -Пенза: ПГТА, 2009. - С. 145-147.

Научное издание

ГУСЫНИНА Юлия Сергеевна

/

Моделирование управления производственными системами с учетом случайности состояния формирующих параметров

Специальности:05.13.10 - Управление в социальных и экономических системах; 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Е. П. Мухина Технический редактор Н. А. Вьялкова

Корректор Ж. А. Лубенцова Компьютерная верстка М. Б. Жучковой

Подписано в печать 09.03.2010.

Формат 60x84 /16. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 100. Заказ № 89.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1 Системный подход в моделировании функционирования социально-экономических и производственных систем.:.

1.2 Описание деятельности производственных систем различными видами производственных функций.

1.3 Формирование математической модели производства с учётом случайности изменения её параметров.

Выводы.

ГЛАВА 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ.

2.1 Исчерпывающие характеристики функционального преобразования системы случайных величин.

2.2 Модель описания социально-экономической системы на основе показательного закона распределения.

2.3 Описание развития социально-экономической системы на основе нормального закона распределения.

2.4 Применение равномерного закона распределения в описании установившегося процесса развития социально-экономической системы.

2.5 Моделирование производства на основе производственных функций со случайными параметрами.

Выводы.

ГЛАВА 3. ВЫБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В МОДЕЛИРОВАНИИ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ.

3.1 Количественные оценки моделирования поведения системы на основе различных законов распределения формирующих её случайных величин.

3.2 Представление вероятностной формы производственной функции.

3.3 Формирование параметров производственной функции.

3.4 Циклограмма работы производственной системы на основе вероятностных методов.

Выводы.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ.

4.1 Выбор на конкурсной основе предприятия для получения заказа.

4.2 Получение количественных оценок производственной функции.

Выводы.

В современных условиях рыночных отношений управление в социальных и экономических системах играет важную роль в совершенствовании механизмов принятия решений. Реальность ставит задачу разработки новых и совершенствования существующих структур и моделей управления сложными социально-экономическими системами с целью повышения надёжности и качества их функционирования. Это особенно важно в исследованиях социально-экономических систем информационного и производственного планов.

Системы характеризуются неоднородностью структуры, нелинейностью характеристик, резко ассиметричным распределением параметров, многоконтурными взаимодействиями и т.д. Решение, приводящее к правильному пониманию поведения социально-экономических систем, к которым можно отнести информационные и производственные, лежит в изучении эмпирических закономерностей с помощью построения соответствующих математических моделей.

Использование математического моделирования помогает выделить и описать наиболее важные состояния системы, определить вероятностные характеристики нахождения в этих состояниях, связи между ними. Имея статистику, можно построить законы развития той или иной системы, проводить аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов, принимать управленческие решения по их дополнительному вовлечению в производство, прогнозировать объём выпуска продукции и контролировать реальность плановых проектов.

Как правило, любая система проходит определённые потенциальные уровни (состояния) своего развития. Описание этого развития может быть рассмотрено на основе предположения - гипотез о развитии системы. В реальном развитии социально-экономические системы характеризуются случайными величинами: временем, фондами (прошлый труд), людскими ресурсами (настоящий труд). Важным является определение реального закона поведения случайных величин системы.

Случайные величины, формирующие социально-экономические системы, связаны математическими зависимостями со своими весовыми коэффициентами. Представление таких зависимостей в форме производственных функций впервые было введено в 1928 г. американскими учёными Ч. Коббом и П. Дугласом.

В работах отечественных учёных широко представлены виды детерминированных, статических, макроэкономических производственных функций (Г.Б. Клейнер, В.А. Макаров, P.JI. Раяцкас, Е.К. Смирницкий, Е.Г. Голыптейн, В.А. Колемаев), динамические и статические оптимизационные задачи (Е.З. Деми-денко, Ю.П. Иванилов, A.B. Лотов, Л.В. Канторович, Н.Е. Кобринский), прикладные эконометрические функции (К.А. Багриновский, В.П. Бусыгин, А.Г. Гранберг, А.И. Гладышевский).

Детерминированный подход в описании социально-экономических систем предполагает использование марковских моделей, где случайные величины описываются показательным законом распределения, что не всегда отвечает реальному процессу развития.

Описание поведения социальных и экономических систем, производственных функций с учётом случайности изменения формирующих их параметров в вероятностной форме является малоизученным.

Всё изложенное обусловливает актуальность выбранной темы диссертации, ее цель и задачи, научную и практическую значимость.

В соответствии с этим целью диссертационной работы является разработка математической модели и алгоритма решения задач управления и принятия решений в социально-экономических системах на основе предположений о гипотезах распределения случайных величин времени, фондов (прошлый труд) и людских ресурсов (настоящий труд) при рассмотрении производственной системы как примера социально-экономической системы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- проанализировать существующие модели описания функционирования предприятия как производственной системы, в частности рассмотреть формы представления производственной функции для решения задач исследования, прогнозирования и принятия аргументированных решений на любом этапе развития системы;

- получить рекуррентные зависимости для описания поведения социально-экономической системы в различных ее состояниях с использованием вероятностных законов распределения случайных величин (времени, фондов и трудовых ресурсов): показательного, нормального и равномерного;

- описать работу предприятия в качестве примера социально-экономической системы на основе построения функций плотности случайной величины времени выполнения производственной задачи по периодам производства, что позволяет лицу, принимающему решение, производить оценку потенциала предприятия при разработке планов производства продукции;

- разработать алгоритм определения характеристик моделируемой функции получения продукции с учетом гипотез о различных законах распределения случайных величин фондов К и трудовых ресурсов Ь для оценки состояния развития производственной системы;

- на основе статистических данных конкретной производственной системы построить производственную функцию, позволяющую принимать управленческие решения по развитию системы.

Таким образом, на защиту выносятся:

1) разработанная математическая модель функционирования производственной системы, учитывающая случайный характер входящих в ее состав параметров, которые характеризуют систему в различных состояниях, представляющих цикл изготовления продукции;

2) методика описания поведения социально-экономической системы, включающая гипотезы о характере распределения случайных величин: времени функционирования системы, производственных фондов К, трудовых ресурсов Ь. Даная методика позволяет определять величину объема продукции в реальных условиях функционирования системы;

3) интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ, который в отличие от существующих, учитывая случайный характер изменения ресурсов рассматриваемой системы, определяет меру ее конкурентоспособности и позволяет лицу, принимающему решение, определить вероятность получения конкретного заказа на выпуск продукции;

4) методика построения производственной функции как характеристики социально-экономической системы на основе композиции случайных величин в условиях ограниченности статистической информации;

5) результаты применения функции плотности случайной величины времени выполнения производственной задачи по периодам развития производственной системы; данные результаты могут являться дополнительной информацией для принятия управленческих решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе результатов диссертационной работы были получены следующие выводы и даны предложения.

1. Разработана математическая модель описания поведения социально-экономической системы — предприятия - на основе системного подхода с учётом внутренних и внешних взаимосвязей системы, случайности изменения времени функционирования, фондов, трудовых ресурсов и использования фундаментальных положений теории вероятностей.

2. Получена модель производственной функции со случайными аргументами на основе композиции случайных величин, позволяющая по интегральному критерию предпочтительности обосновать целесообразность размещения заказа на предприятии, принять обоснованное решение по развитию социально-экономической системы.

3. Предложено использование интегрального критерия предпочтительности заявки на выполнение работ для оценки анализа потенциала предприятий. Полученные количественные значения интегрального критерия предпочтительности заявки на выполнение работ Кпр для задачи, рассматриваемой в работе, показывают, что при времени, требуемом на выполнение заказа ¿3 = 8 месяцев, и времени подготовки, составляющем 8% от времени выполнения заказа, Кпр = 0,96 (96%), при условии, что = 9 месяцев Кпр = 0,87. При увеличении времени выполнения заказа 13 интегральный критерий предпочтительности заявки на выполнение работ Кпр понижается. То есть предпочтительнее для получения тендера будет рассмотрение предприятий, у которых Кпр > 50%.

4. Впервые предложен алгоритм построения циклограммы работы предприятия. Циклограмма работы предприятия даёт оценку потенциала социально-экономической системы при разработке и производстве изделий с учетом оптимизации ресурсов, что позволяет принимать обоснованные управленческие решения.

5. Методика построения циклограммы производства учитывает отдельные этапы функционирования производственной системы, циклограмма является новым предложением в решении вопросов оценки потенциала предприятия, определении его конкурентоспособности.

6. Предложена методика решения задачи по определению функции плотности вероятности композиции случайных величин, входящих в систему со своими коэффициентами предпочтительности - весовыми коэффициентами.

7. В исследовании предполагалось, что количество основных фондов К и трудовых ресурсов Ь подчиняется различным законам распределения и на основании этого смоделированы различные виды плотности распределения производственной функции. Полученные количественные оценки показывают отклонение результатов от нормального закона распределения (принимаемого за основной) в среднем до 30% при показательном и равномерном распределениях.

8. Для промышленного предприятия ООО «Пензенский завод коммунального машиностроения» смоделирована производственная функция, позволяющая прогнозировать объём выпуска продукции, планировать работу на текущее время и на перспективу с учётом развития производственной системы.

9. Анализ полученной модели показал, что эластичность по труду превосходит эластичность по фондам сс2>сс\ (0,373>0,264) - это означает: имеет место фондосберегающее (экстенсивное) направление развития предприятия за исследуемый период. При этом суммарное значение эластичностей не превосходит единицу ос1+а2=0,637<1, следовательно, для развития производственной системы .лицу, принимающему решение, необходимо обратить внимание на совершенствование основных фондов и техническое перевооружение предприятия.

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики Текст./ С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 456 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных Текст./ С.А. Айвазян, Е.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1993. - 471 с.

3. Акимова Т.А. Теория организации Текст./ Т.А. Акимова. М: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 367с.

4. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст./ A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова-М.:Высшая школа, 1994.-544 с.

5. Баканов, М.И. Теория экономического анализа Текст./ М.И. Баканов, А.Д. Шеремет. М.: Финансы и статистика, 1995. - 560 с.

6. Баркалов, Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста Текст./ Н.Б. Баркалов. М.:МГУ, 1981. - 126 с.

7. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст./ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. - 640 с.

8. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных Текст./ Дж. Бендат, А. Пирсол. М.: Мир, 1989. - 540 с.

9. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем Текст./ Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика, 2008. - 432 с.

10. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов Текст./ Ю.П. Боглаев. М.: Высшая школа, 1990. - 544 с.

11. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст./ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев.-М.: Наука, 1986.-544 с.

12. Валтер, Я. Стохастические модели в экономике Текст./ Я. Валтер. Пер. с чеш. М.: Статистика, 1976. - 230 с.

13. Введение в математическое моделирование Текст./ Под. ред. П.В. Трусова. М.: Логос, 2004. - 440 с.

14. Вентцель, А. Д. Курс теории случайных процессов Текст./

15. A.Д. Вентцель. М.: Наука, 1975. - 319 с.

16. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения Текст./ Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.

17. Вероятностные методы и кибернетика: Сборник статей Текст. / Под. ред. проф. Р.Г. Бухараева// 20-й выпуск. Казань: Казанский ун-т, 1983. -134 с.

18. Власов, М.П. Моделирование экономических процессов Текст./ М.П. Власов, П. Д. Шимко. Ростов н/Д: Феникс, 2005. - 409 с.

19. Волков, Е.А. Численные методы Текст./ Е.А. Волков. СПб: Лань, 2008.-256 с.

20. Волчихин, В.И. Управление сложными производственными и технологическими системами: Монография Текст./ В.И. Волчихин, H.H. Вершинин, A.B. Тихомиров. Пенза: ПТУ, 2004. - 241с.

21. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов Текст./ И.И. Гихман, A.B. Скороход. М.: Наука, 1977. - 570 с.

22. Глушков, В.М. Моделирование развивающихся систем Текст./

23. B.М. Глушков, A.C. Иванов, К.А. Яненко. М.: Наука, 1983. - 276 с.

24. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / В.Е. Гмурман. М.: Юрайт-Издат, 2009. - 480 с.

25. Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием Текст. /А.Б. Горстко. -М.: Знание, 1991.-160 с.

26. Горчаков, A.A. Компьютерные экономико-математические модели Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова. М.:ЮНИТИ, 1999. - 345 с.

27. Горчаков, A.A. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых условиях хозяйствования Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова, В .А. Половников. М.: ВЗФЭИ, 1991. - 278 с.

28. Гранберг, А.Г. Моделирование социалистической экономики

29. Текст. / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1988. - 215 с.

30. Гусынина, Ю.С. Сборник заданий для самостоятельной работы студентов Текст./ Ю.С. Гусынина, C.B. Трубицков, В.М. Голощапов, J1.A. Ракитина. Пенза: ПГТА, 2007 - 75 с.

31. Гусынина, Ю.С. Статистика. Часть 1. Общая теория статистики Текст./ Ю.С. Гусынина, C.B. Трубицков, В.М. Голощапов. — Пенза: ПГТА, 2006.-180 с.

32. Гусынина, Ю.С. Статистика. Часть 2. Социально-экономическая статистика Текст./ Ю.С. Гусынина, C.B. Трубицков, В.М. Голощапов. Пенза: ПГТА, 2006. - 180 с.

33. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст./

34. Б.П. Демидович, И. А. Марон. СПб: Лань, 2009. - 679 с.

35. Дубров, A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе Текст./ A.M. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская.- М.: Финансы и статистика, 2001. 224 с.

36. Дуброва, Т.А. Статистические методы прогнозирования Текст./ Т.А. Дуброва. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003. - 206 с.

37. Дьяконов, В.П. Mathcad 2001: учебный курс Текст./ В.П. Дьяконов.- СПб.: Питер, 2001. 624 с.

38. Евграфов, М.А. Аналитические функции Текст./ М.А. Евграфов. СПб: Лань, 2008. 448 с.

39. Емельянов A.A. Имитационное моделирование экономических процессов Текст./ Емельянов A.A., Власова Е.А., Дума P.B. М.: Финансы и статистика, 2002. - 92 с.

40. Замков, О.О. Математические методы в экономике Текст./ О.О.Замков, A.B. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных М.: ДИС, 1998. - 368 с.

41. Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики Текст./ Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2002. - 592 с.

42. Зубков, А.Ф. Практикум по математическому моделированию микроэкономических и макроэкономических систем: Учебное пособие Текст./ А.Ф. Зубков, Н.В. Назарова. Пенза: ПТИ, 2002. - 157 с.

43. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение Текст./ Каханер, Д., Моулер К., Нэш С. Пер. с англ. -М.: Мир, 2001. 575с.

44. Кейслер, Г.Дж. Теория непрерывных моделей Текст./ Г.Дж. Кейс-лер, Чэн Чень-чунь. Пер. с англ. -М.: Мир, 1971. 184 с.

45. Клейнер, Г.Б. Методы анализа производственных функций Текст./ Г.Б. Клейнер. М.: Информэлектро, 1980. - 211 с.

46. Кодолов, И.М. Теоретические основы вероятностных методов в инженерно-экономических задачах: случайные события и случайные величины Текст./ И.М. Кодолов, С.Т. Худяков. М.: МАДИ, 1989. - 197 с.

47. Козлов, А.Ю. Пакет анализа MS Excel в экономико-статистическихрасчётах Текст./ А.Ю. Козлов, В.Ф. Шишов.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.-139 с.

48. Козлов, А.Ю. Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчётах Текст. / А.Ю. Козлов, B.C. Мхитарян, В.Ф. Шишов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 231 с.

49. Колемаев, В.А. Математическая экономика Текст./ A.B. Колемаев. -М.:ЮНИТИ, 2002. 398 с.

50. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Сборник статей Текст./ Под. ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1988. - 176 с.

51. Королёв, Ю.Г. Метод наименьших квадратов в социально- экономических исследованиях Текст./ Ю.Г. Королёв. М.: Статистика, 1980. -112 с.

52. Львовский, E.H. Статистические методы построения эмпирических формул Текст./ E.H. Львовский. М.: Высшая школа, 1988. - 239 с.

53. Ляпунов, A.A. Вопросы теории множеств и теории функций Текст./ A.A. Ляпунов. М.: Наука, 1979. - 264 с.

54. Малыхин, В.И. Математика в экономике Текст./ В.И. Малыхин. -М.: ИНФРА-М, 2002. 352 с.

55. Малыхин, В.И. Математическое моделирование экономики Текст./ В.И. Малыхин. М.: УРАО, 1998. - 160 с.

56. Математический словарь высшей школы Текст./ В.Т. Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович. Под ред. Ю.С.Богданова. М.: МПИ, 1988. -527с.

57. Методология планирования инновационного развития экономических систем. Коллективная монография Текст./ Под ред. д-ра экон. наук, проф. A.B. Бабкина. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 772 с.

58. Моисеев, H.H. Математика в социальных науках Текст./ H.H. Моисеев// Математические методы в социологическом исследовании. — М.: 1981.-С. 73-98.

59. Невельсон, М.Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание Текст./ М.Б. Невельсон, Р.З. Хасьминский.-М.: Наука, 1972.-340 с.

60. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем Текст./

61. Д.А. Новиков, С.Н. Петраков. М.: СИНТЕГ, 1999. - 108 с.

62. Общая теория статистики Текст./ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с.

63. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции Текст./ Ф. Олвер. Пер. с англ. М.: Наука, 1978. - 376 с.

64. Очков, В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров Текст./ В.Ф. Очков. М.: КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.

65. Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин Текст./ В.В. Петров. М.: Наука, 1992. - 312 с.

66. Плотинский, Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов Текст. / Ю.М. Плотинский. -М.: Логос, 1998. -280 с.

67. Предельные теоремы для случайных процессов и их применения Текст./ Под ред. A.A. Боровкова. Новосибирск: Ин-т математики, 1993. - 256 с.

68. Ричард, Т. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности Текст./ Т. Ричард. Пер. с англ. М.: Дело и сервис, 1999. - 432 с.

69. Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика Текст./ Ю.А. Розанов. М.: Наука, 1989. - 320 с.

70. Романовский, П.И. Ряды Фурье Текст./ П.И. Романовский. М.: Наука, 1980.-334 с.

71. Рыжиков, Ю.И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере Текст./ Ю.И. Рыжиков. СПб.: КОРОНА, 2000. - 272 с.

72. Рыков A.C. Методы системного анализа: Оптимизация Текст./ A.C. Рыков. М.: Экономика, 1999. - 256 с.

73. Самарский, A.A. Введение в численные методы Текст./ A.A. Самарский СПб.: Лань, 2009. - 288 с.

74. Смит, Джон М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей Текст./ Джон М. Смит. Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980.-271 с.

75. Советов, Б.Я. Моделирование систем Текст./ Б.Я. Советов,

76. С.А. Яковлев. М.: Высшая школа, 1998. - 319 с.

77. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст./ Под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-312 с.

78. Солодовников, A.C. Математика в экономике: Учебник в 2 ч. Текст./ A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов. М.: Финансы и статистика, 1998. - 4.1, 224 с.

79. Солодовников, A.C. Математика в экономике: Учебник в 2 ч. Текст./ A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов., И.Г. Шандра. М.: Финансы и статистика, 1999. - 4.2, 376 с.

80. Сошникова, JI.A. Многомерный статистический анализ в экономике Текст./ JI.A. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шеффер. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с.

81. Справочник по специальным функциям Текст./ Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. Пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 832 с.

82. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование Текст./ Ю.Ю. Тарасевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

83. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Справочник Текст./ Под ред. В.Н. Волковой, A.A. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2006 - 848 с.

84. Теория статистики: Учебник Текст./ Под ред. P.A. Шмойловой. -М.: Финансы и статистика, 1998. 576 с.

85. Терехов, JLJI. Производственные функции Текст./ JI.JI. Терехов. -М.: Статистика, 1974. 183 с.

86. Фатхутдинов, P.A. Разработка управленческого решения Текст./ P.A. Фатхутдинов. М.: Бизнес-школа «Интел - Синтез», 1998. — 272 с.

87. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Текст./ Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2004. - 4.2. - 464 с.

88. Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности Текст./ Т.П. Фомин. М.: Финансы и статистика, 2001. - 544 с.

89. Френкель, A.A. Применение регрессионного анализа в условиях мультиколлинеарности экономических показателей Текст./ A.A. Френкель. -М.:МЭСИ, 1988.- 125 с.

90. Хачатрян, С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем Текст./ С.Р. Хачатрян. М.: Экзамен, 2002. - 192с.

91. Херхагер, М., Партолль X. Mathcad 2000: полное руководство Текст./ М. Херхагер, X. Партолль. Пер. с нем. К.: BHV, 2000. - 416 с.

92. Четыркин, Е.М. Статистические методы прогнозирования Текст./ Е.М. Четыркин. -М.: Статистика, 1977. 200 с.

93. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе Текст./ С.И. Шелобаев. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000.-367 с.

94. Эконометрика: Учебник Текст./ Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2001. - 344 с.

95. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие Текст./ Под ред. A.B. Кузнецова. Минск: БГЭУ, 2000. - 412с.

96. Экономико-математические методы и прикладные модели Текст./ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов; Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 1999.-391 с.

97. Экономико-математический энциклопедический словарь Текст./ Гл. ред. В.И. Данилов-Данильян. М.: Большая Российская энциклопедия, ИНФРА-М, 2003. - 668 с.

98. Экономический анализ: Учеб. Пособие Текст./ Под ред. М.И. Баканова, А.Д. Шеремета. — М.: Финансы и статистика, 2000. 656 с.

99. Эшби, У. Р.Введение в кибернетику = An Introduction to cybernetics Текст./ У. Росс Эшби; пер. с англ. Д. Г. Лахути; под ред. В. А. Успенского; предисл. А. Н. Колмогорова. M.: URSS, 2009. - 432 с.

100. Яглом, И.М. Математические структуры и математическое моделирование Текст./ И.М. Яглом. М.: Советское радио, 1980. - 144 с.

101. Янке, Е. Специальные функции: формулы, графики, таблицы Текст./ Е.Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. М.: Наука, 1968. - 342 с.